Números reais

NÚMEROS REAIS

Númerosreais

©2023GermanLozadaCruz

EditoraEdgardBlücherLtda.

Publisher EdgardBlücher

Editor EduardoBlücher

Coordenaçãoeditorial JonatasEliakim

Produçãoeditorial ArianaCorrêa

Revisãodetexto MaurícioKatayama

Capa LaércioFlenic

Imagemdacapa iStockphoto

EditoraBlucher

RuaPedrosoAlvarenga,1245,4˝ andar

CEP04531-934SãoPauloSPBrasil

Tel.:55113078-5366

contato@blucher.com.br

www.blucher.com.br

SegundooNovoAcordoOrtográfico,conforme6.ed.do VocabulárioOrtográficodaLíngua Portuguesa,AcademiaBrasileiradeLetras,julhode2021.Éproibidaareproduçãototalouparcial porquaisquermeiossemautorizaçãoescritadaeditora.TodososdireitosreservadospelaEditora EdgardBlücherLtda.

DadosInternacionaisdeCatalogaçãonaPublicação(CIP)

AngélicaIlacquaCRB-8/7057

Cruz,GermanLozada

Númerosreais/GermanLozadaCruz.-SãoPaulo:Blucher,2023.

112p.:il.

Bibliografia

ISBN978-65-5506-755-2

1.MatemáticaEstudoeensino2.NúmerosreaisI.Título

23-1717CDD510.07

Índiceparacatálogosistemático:1.MatemáticaEstudoeensino

Capítulo1

Osnúmerosreais:propriedades algébricas

Nestecapítulovamosverbrevementealgunsresultadosimportantessobreos númerosreais.Assumiremosconhecidooconjuntodosnúmerosnaturais,oqualé denotadopor N “t1, 2, 3, ¨¨¨u, 1 oconjuntodosnúmerosinteiros,oqualédenotado por Z “t¨¨¨ , 2, 1, 0, 1, 2, ¨¨¨u2 eoconjuntodosnúmerosracionais,oqualé denotadopor Q “ p q : p, q P Z, q ‰ 0(. 3

1.1Induçãomatemática

Ateoriadosnúmerosnaturaispodeserobtidaapartirdetrêsaxiomas,chamados axiomasdePeano.Oestudodetalhadodessateoriaestáalémdospropósitosdeste texto.Porisso,vamospartirdeoutroponto:vamosadmitirconhecidasasoperações deadição,suaspropriedadesalgébricaseaordemdosnúmerosnaturais.

Definição1.1.1 Seja H‰ N Ă N.Dizemosquen0 P Néo menorelemento pou elementomínimoq deNsen0 ď nparatodon P N.

1Anotação N vemdapalavra natural.Algunsautorestambémchamamosnúmerosnaturaisde números inteirospositivos.

2Anotação Z vemdapalavraalemã Zahl,quesignificanúmero.

3Anotação Q vemdapalavra quociente.

10Osnúmerosreais:propriedadesalgébricas

Apartirdessadefinição,podemosconcluirque,se m0 e n0 sãoelementos menoresde N,entãotem-se m0 ď n0 e n0 ď m0,donde m0 “ n0.Portanto,o elementomenordeumsubconjuntodosnúmerosnaturaiséúnico.

Umresultadodegrandeimportânciaem N éochamado princípiodaboa ordenação.

Princípiodaboaordenação (PBO).

TodosubconjuntoA Ă N nãovaziopossuiummenorelementodeA,istoé,existe n0 P Atalquen0 ď n, @n P A

Demonstração. Paracadanúmero n P N denotemospor In “t1, 2, , nu.

‚ Se1 P A,então1seráoelementomenorde A.

‚ Se1 R A,entãoconsideremosoconjunto X “tn P N : In Ă NzAu.

Como I1 “t1uĂ NzA segueque1 P X .Poroutrolado,como A ‰H segueque X ‰ N.Logo,existe n P X talque n ` 1 R X .Então In Ă NzA,mas n0 “ n ` 1 P A.

Afirmamosque n0 éomenorelementode A.Defato,suponhamosqueexiste l P A talque l ă n ` 1.Logo l ď n,daí l P X ,ouseja, l R A,oqueéumabsurdo.

Portanto, n0 éomenorelementode A. ˝

Exemplo1.1.2 Nãoexistenúmeronaturalntalque 0 ă n ă 1.

Solução. Definamos A “tn P N :0 ă n ă 1u.Vamosmostrarque A “H. Suponhamosque A ‰H,logo,peloprincípiodaboaordenação, A possuielemento menorquedenotaremospor a.Assim,0 ă a ă 1.Multiplicandoessadesigualdade por a temos0 ă a2 ă a ă 1.Logo a2 éelementomenorde A eémenorque a,mas issoéumabsurdo,pois a éelementomenorde A.Portanto, A “H. ˝

Umresultadoqueéimportanteemtodaamatemáticaéo princípiodaindução finita.Eleéabasedeumeficientemétododedemonstraçãodeproposições referentesaosnúmerosnaturais.

Princípiodainduçãofinita SejaPpnq umapropriedadereferenteaonúmero naturaln.Suponhamosque:

piq Pp1q éválida

piiq Paratodon P N,avalidadedePpnq implicaavalidadedePpn ` 1q.

Capítulo2

Osnúmerosreais:propriedadesde ordem

Em R existeumsubconjunto,oqualdenotaremospor R` Ă R,chamado conjuntodosnúmerosreaispositivos,quesatizfazasseguintespropriedades:

pP1q Paratodo x, y P R` tem-se x ` y P R` e x y P R`

pP2q Dado x P R,somenteumadastrêsalternativasocorre:ou x “ 0,ou x P R` ou x P R`

Denotandopor R “t´x P R : x P R`u,acondição pP2q dizque

R “ R` Yt0uY R

eosconjuntos R` , t0u e R sãodoisadoisdisjuntos(pois R`Xt0u“ R Xt0u“

H.

Osnúmeros y P R chamam-senegativos.

Teorema2.0.1 Paratodo 0 ‰ x P R tem-sex2 P R`

Demonstração. Defato,se x P R` então x x “ x2 P R` .

Se x P R então, x P R`,logo x2 “p´xqp´xqP R`.Emparticular1 P R`

pois1 “ 1 1 “ 12 . ˝

26Osnúmerosreais:propriedadesdeordem

2.1Relaçãodeordem

Definição2.1.1 Dizemosquex émenordoque yedenotamosporx ă yquando y x P R`,istoé,y “ x ` zondez P R`.Nestecasotambémescreve-sey ą xe diz-sequey émaiordoque x.

Emparticular, x ą 0significaque x P R`,istoé, x épositivo;enquanto x ă 0 querdizerque x énegativo,ouseja, x P R`

Teorema2.1.2 Sejamx, y P R.Arelaçãox ă ydefineem R umarelaçãodeordem quesatisfazasseguintespropriedades:

pO1q Sex ă yey ă z,entãox ă z (transitividade).

pO2q Dadosx, y P R,somenteumadasseguintesalternativasacontece;x “ y,x ă y ouy ă x (tricotomia)

pO3q Sex ă y,entãoparatodoz P R tem-sex ` z ă y ` z (monotonicidadeda adição).

pO4q Sex ă y,entãoparatodoz ą 0 tem-sexz ă yz.Se,porém,z ă 0,entãox ă y implicaqueyx ă xz (monotonicidadedamultiplicação).

Demonstração. pO1q.Se x ă y,então y x P R`.Se y ă z,então z y P R`.Logo, z x “py xq`pz yqP R`.Dissosegueque x ă z.

pO2q.Dados x, y P R,ou y x P R` ou y x “ 0ou y x P R .Noprimeiro casotem-se x ă y,nosegundocaso x “ y enoterceiro y ă x.Essasalternativasse excluemmutuamentepor pP2q.

pO3q.Se x ă y,então y x P R`.Daí y x ` z z “ y x ô y ` z ´px ` zq“ y x P R` ô x ` z ă y ` z

pO4q Se x ă y e z ą 0,tem-se y x P R` e z P R`.Logo yz xz “py xqz P R`

Daí xz ă yz.

Se x ă y e z ă 0,tem-se y x P R` e z P R`.Logo

R` Qpy xqp´zq“ yp´zq´ xp´zqpy xqp´zq“´yz ` xz ô yz ă xz.

Capítulo3

Osnúmerosreais:completude

Nadadoquefoifeitoatéagoranospermitedistinguir R de Q,poisos númerosracionaistambémformamumcorpoordenado.Acabaremosagora nossacaracterizaçãode R,descrevendo-ocomoumcorpoordenadocompleto, propriedadeque Q nãopossui.

3.1Cotassuperioreseinferiores

Definição3.1.1 SejaX Ă R nãovazio.

piq DizemosqueXé limitadosuperiormente quandoexisteb P R talquex ď b, paratodox P X.Onúmerobéchamadode cotasuperior deX.

piiq DizemosqueXé limitadoinferiormente quandoexistea P R talquea ď x, paratodox P X.Onúmeroaéchamadode cotainferior deX.

piiiq DizemosqueXé limitado seélimitadosuperioreinferiormente,ouseja,se existema, b P R taisquea ď x ď b,paratodox P X.

Proposição3.1.2 SejaX Ă R nãovazio.Xélimitadose,esomentese,existeL ą 0 talque

Demonstração. ñs Se X élimitado,entãoexiste L ą 0talque |x|ď

72Osnúmerosreais:completude

Defato,sendo X limitado,entãoexistem a, b P R taisque a ď x ď b, @x P X .Do

Teorema2.7.12,segueque |x|ď L, @x P X ,onde L “ maxt|a|, |b|u.

ðs Seexiste L ą 0talque |x|ď L, @x P X ,então X élimitado.

Como |x|ď L ô´L ď x ď L, bastatomar a “´L e b “ L.Assim,temos a ď x ď b,paratodo x P X .Logo, X é limitado. ˝

Exemplo3.1.3 SejaX “t5, 6, 7, 8uĂ R.OconjuntoXélimitado.

Solução. Onúmero8etodososnúmerosreaismaioresque8sãocotassuperiores de X ,pois x ď 8,paratodo x P X .Logo,oconjunto X élimitadosuperiormente.

Poroutrolado,onúmero5etodososnúmerosreaismenoresque5sãocotas inferioresde X ,pois4 ď x,paratodo x P X .Logo,oconjunto X élimitado inferiormente.

Portanto, X élimitado,poisexistem5e8talque4 ď x ď 8,paratodo x P X . ˝

Exemplo3.1.4 SejaX “ 3 ` 1 n : n P N(.MostrequeoconjuntoXélimitado.

Solução. Oconjunto X ,escritoporextensão,é

X “ !4, 7 2 , 10 3 , 13 4 , )

Observeque3 ` 1 n ě 3,paratodo n P N,i.e., x ě 3,paratodo x P X .

Poroutrolado,3 ` 1 n ď 4,i.e., x ď 4,paratodo x P X .Assim,

,

Logo3 ď x ď 4,paratodo x P X ,i.e., X élimitado. ˝

Definição3.1.5 Seja H‰ X Ă R limitadosuperiormente.A menordascotas superiores échamadadeo supremo deXedenotadapor sup pX q.Emoutras

palavras,b “ sup pX q se

pS1q x ď b, @x P X.

Esta obra apresenta o estudo das propriedades básicas dos números reais, desde o ponto de vista algébrico, da ordem que apresentam os elementos dos conjuntos dos números reais, até o ponto de vista da completude. Ela está direcionada aos alunos ingressantes nos cursos de matemática e também aos de engenharia.

www.blucher.com.br