Introdução ao Delineamento de Experimentos - 2ª Edição

XI

conteúdo

1 — Revisão sobre testes de hipóteses paramétricos.....................................

1.1 — Comentários iniciais.......................................................................

1.2 — Poder do teste e curva característica de operação..............................

1.3 — Teste de hipóteses — roteiro e exemplos............................................

Exercícios propostos...................................................................................

1 1 7 13 23

2 — Comentários iniciais sobre o delineamento de experimentos................

2.1 — Introdução.....................................................................................

2.2 — Definições e tipos de delineamento de experimentos..........................

2.3 — Análise de variância.......................................................................

Exercícios propostos...................................................................................

27 27 31 34 36

3 — Experimentos com um único fator e completamente aleatorizados......

3.1 — Introdução.....................................................................................

3.2 — Modelo de efeitos fixos....................................................................

3.2.1— Experimentos com mesmo número de réplicas

nos tratamentos..................................................................

3.2.2— Comparações múltiplas para tratamentos com

mesmo número de réplicas...................................................

3.2.3— Experimentos com números diferentes de réplicas nos

tratamentos........................................................................

3.2.4— Comparações múltiplas para tratamentos com

números diferentes de réplicas..............................................

3.3 — Modelo de efeitos aleatórios............................................................

3.4 — Número mínimo de réplicas.............................................................

3.5 — Uso da probabilidade de significância (P-valor).................................

Exercícios propostos...................................................................................

37 37 38 38 46 51 53 57 60 60 61

XII 4 — Experimentos fatoriais com 2 fatores....................................................

4.1 — Considerações iniciais......................................................................

4.2 — Experimentos sem repetição (ou réplicas).........................................

4.3 — Experimentos com repetições (ou réplicas)........................................

4.4 — Comparações múltiplas...................................................................

4.5 — Uso da ANOVA sem interação.........................................................

4.6 — Número mínimo de réplicas.............................................................

4.7 — Considerações sobre a aplicabilidade do modelo adotado...................

Exercícios propostos...................................................................................

65 65 70 73 79 86 89 93 93

5 — Noções sobre alguns tipos de experimentos: fatorial com

3 fatores, 2p fatorial e quadrado latino................................................. 97

5.1 — Experimento fatorial com 3 fatores.................................................. 97

5.2 — Experimento 2p fatorial................................................................... 105

5.3 — Experimento em quadrado latino..................................................... 105

Exercícios propostos................................................................................... 110 6 — Operação evolutiva.................................................................................

6.1 — Comentários iniciais.......................................................................

6.2 — Técnica da EVOP............................................................................

6.3 — Passos recomendados para a EVOP..................................................

Anexos

Anexo A — Distribuição normal ou de Gauss..............................................

Anexo B — Distribuição de Qui quadrado acumulado (ACIMA DE)..............

Anexo C — Distribuição de “t” de Student, 1.ª parte...................................

Anexo C — Distribuição de “t” de Student, 2.ª parte..................................

Anexo D — Distribuição de F de Snedecor, 1.ª parte...................................

Anexo D — Distribuição de F de Snedecor, 2.ª parte...................................

Anexo D — Distribuição de F de Snedecor, 3.ª parte...................................

Anexo D — Distribuição de F de Snedecor, 4.ª parte...................................

Anexo E — Método de Duncan, Coeficientes para o cálculo de

amplitudes significativas — 1.ª parte.......................................

Anexo E — Método de Duncan, Coeficientes para o cálculo de

amplitudes significativas — 2.ª parte.......................................

111 111 113 114

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

Referências...................................................................................................... 130

1 — REVISÃO SOBRE TESTES DE HIPÓTESES PARAMÉTRICOS

1

revisão sobre testes de hipóteses paramétricos

1.1 COMENTÁRIOS INICIAIS Em certas ocasiões, os parâmetros de uma população não são conhecidos e devemos tomar uma decisão baseada em valores obtidos numa amostra retirada dessa população.

No início, admitimos um valor hipotético para o parâmetro da população no qual estamos interessados e, após a retirada de uma amostra, levantamos as necessárias informações dessa amostra para aceitarmos ou não o valor hipotético inicial.

HIPÓTESES INICIAIS No princípio, temos duas hipóteses: H0: HIPÓTESE NULA — É a hipótese que está sendo testada.

Admite-se que a diferença entre o valor obtido na amostra (estimador) e o parâmetro da população não é significativa, por ser unicamente devida ao acaso.

H1: HIPÓTESE ALTERNATIVA — É qualquer hipótese diferente da hipótese nula.

Neste caso é significativa a diferença entre o estimador amostral e o parâmetro populacional, existindo razões além do acaso para explicar essa diferença.

O quadro e a tabela a seguir mostram os tipos de erro e as situações que podem ocorrer num teste de hipóteses.

21

1 — REVISÃO SOBRE TESTES DE HIPÓTESES PARAMÉTRICOS

Tabela 1.3 Resumo dos testes de hipóteses paramétricos A – A média (µ) de uma população é igual a um valor conhecido (µ0) 2 conhecida

2 não conhecida

Variável de teste:

Variável de teste:

Hipóteses

H0

Zcalc =

H1

X − μ0

t calc =

σ/ n

S/ n

(Distribuição “t” de Student)

(Distribuição Normal)

µ = µ0

X − μ0

µ ≠ µ0 (bilateral)

|Zcalc| > Zα/2: rejeita-se H0

|tcalc|> tα/2: rejeita-se H0

µ > µ0 (unilateral)

Zcalc > Zα: rejeita-se H0

tcalc > tα: rejeita-se H0

µ < µ0 (unilateral)

Zcalc < – Zα: rejeita-se H0

tcalc < –tα: rejeita-se H0

Usar (n–1) graus de liberdade

B – A variância (2) de uma população é igual a um valor conhecido (20) Hipóteses H0

2 = Variável de teste: χ calc

H1 2

σ ≠ σ2 = σ20

σ02

(n − 1)⋅S2 σ 02

(Distribuição Qui-quadrado) χ2calc

(bilateral)

>

χ2α/2

χ2calc < χ21–α/2: rejeita-se H0

ou

σ2 > σ20 (unilateral)

χ2calc > χ2α: rejeita-se H0

σ2 < σ20 (unilateral)

χ2calc < χ2α: rejeita-se H0

Usar (n – 1) graus de liberdade

C – As médias de duas populações são iguais (µ1 = µ2) Hipóteses

H0

µ1 = µ2

Variável de teste H1

12 e 22 conhecidas Zcalc =

12 e 22 não conhecidas 12 e 22 supostas iguais

X1 − X 2

t calc =

σ 12 σ 22 + n1 n2

12 e 22 supostas diferentes

X1 − X 2 Sp ⋅

t calc =

n1 + n2 n1 ⋅n2

X1 − X 2 S12 S22 + n1 n2

µ1 ≠ µ2 (bilateral)

|Zcalc| > Zα/2: rejeita-se H0

|tcalc| > tα/2: rejeita-se H0

|tcalc| > tα/2: rejeita-se H0

µ1 > µ2 (unilateral)

Zcalc > Zα: rejeita-se H0

tcalc > tα: rejeita-se H0

tcalc > tα: rejeita-se H0

µ1 < µ2 (unilateral)

Zcalc < – Zα: rejeita-se H0

tcalc < – tα: rejeita-se H0

tcalc < – ta: rejeita-se H0

Distribuição “t” de Student

1 Distribuição “t” de Student com graus de liberdade

Notas

Distribuição Normal

(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 = n1 + n2 − 2 Média ponderada das variâncias amostrais

S p2 =

graus de liberdade = ∅ = (n1 + n2 − 2)

φ=

onde:

(υ1 + υ 2 )2 υ2 υ12 + 2 n1 + 1 n2 + 1 υ1 =

S12 n1

e

−2

υ2 =

S22 n2

2 Para amostras grandes, usar a Normal

2 — COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE O DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

27

comentários iniciais sobre o delineamento de experimentos

2.1 INTRODUÇÃO Um Experimento é definido como um ensaio ou uma série de ensaios nos quais são feitas mudanças propositais nas variáveis da entrada de um processo ou sistema de forma que possam ser observadas e identificadas as razões para mudanças na resposta de saída (ref. 1).

Os experimentos são executados em todos os campos de conhecimento, pelos pesquisadores e estudiosos interessados em descobrir algo que ocorre ou possa vir a ocorrer em certo processo ou sistema.

O foco dos experimentos é a descoberta, o rumo ao desconhecido, para aperfeiçoamento do processo ou otimização de suas saídas. Por exemplo, o objetivo pode ser o de tornar um processo mais robusto, isto é, menos afetado pelos fontes externas de variabilidade. Pode ser, também, o de torná-lo mais econômico ou de melhorar as características tecnológicas do produto resultante.

Processo é definido como um conjunto de causas que produzem um ou mais efeitos.

As causas podem ser agrupadas em seis grupos-chave (6 M): ■ Mão-de-obra ■ Método ■ Máquina ■ Matéria-prima ■ Meios de medir ■ Meio ambiente

OBJETIVOS DO EXPERIMENTO Em geral, os objetivos do experimento incluem: 1 – Determinar quais os fatores que mais influem na saída do processo.

2 – Determinar os valores necessários dos fatores controláveis do processo de forma a obter a saída próxima do valor nominal desejado.

3 – Determinar que valores atribuir aos fatores controláveis do processo, de forma a tornar pequena a variabilidade na saída.

29

2 — COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE O DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

b) No ■ ■ ■

projeto: Avaliação e comparação de configurações básicas do projeto Avaliação de materiais alternativos Seleção de parâmetros de projeto para tornar o produto robusto, isto é, capaz de funcionar bem sob uma variedade de condições de campo e ■ Determinação de parâmetros-chave do projeto, que influenciam o desem-penho do produto O modelo geral de um processo é dado na figura a seguir (Ref. 1).

Fatores controláveis X1

X2

Xn

Entradas controladas

Saída (Y)

Z1

Z2

Zn

Fatores não controláveis

Figura 2.2 — Modelo geral de um processo para o delineamento de experimentos.

Exemplo 1: Um banco está interessado em aumentar o lucro das suas agências e deseja saber qual é o tipo de propaganda mais eficiente. Seleciona, então, os veículos de propaganda a seguir: rádio, televisão, jornal e mala direta. Neste caso, temos: As entradas controladas são os insumos do processo (todas as matérias-primas utilizadas).

Os fatores controláveis são: ● Propaganda: Tipos e valores a serem despendidos ● Agências: Quantidade e localização ● Funcionários: Quantidade em cada agência ● Treinamento do pessoal: Assuntos, verbas, locais etc. ● Produtos oferecidos pelo banco ● Etc. Alguns fatores não controláveis são: Ações da concorrência ● Ações governamentais ● Crises econômicas mundiais ● Crises econômicas nacionais ● Greves ● Etc. ●

Saída (Y): é o lucro semestral do banco.

3 — EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR E COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS

37

experimentos com um único fator e completamente aleatorizados

3.1 INTRODUÇÃO O experimento com um único fator é o tipo mais simples de experimento. Neste caso, estamos interessados em saber se existe influência de um determinado fator nos resultados do processo, sendo os outros fatores mantidos nos mesmos níveis conhecidos. O experimento vai, então, ser desenvolvido variando-se apenas esse fator no qual estamos interessados. É necessário que o experimento seja executado numa ordem aleatória e que o ambiente seja o mais uniforme possível. Assim, o experimento é chamado de completamente randômico ou aleatorizado.

Podemos adotar um dos dois modelos: Efeitos fixos ou efeitos aleatórios.

MODELO DE EFEITOS FIXOS Neste caso, o engenheiro da qualidade ou pesquisador escolhe a priori o fator e os seus níveis a serem utilizados no experimento.

As conclusões obtidas no experimento, então, só são válidas para os níveis escolhidos daquele fator específico, não podendo ser estendidas a outros níveis ou fatores. Por exemplo, o fator selecionado por um pesquisador foi a mão-de-obra e ele resolveu fazer o experimento com 4 níveis: Operadores João, Marcos, José e Carlos. Obviamente, as conclusões obtidas só se aplicam a estes operadores e não devem ser extrapoladas para outros elementos.

MODELO DE EFEITOS ALEATÓRIOS Neste caso, os níveis do fator são escolhidos ao acaso (por sorteio), dentre uma grande população de níveis.

As conclusões obtidas no experimento, então, podem ser estendidas a todos os níveis do fator, mesmo que não tenham sido objeto de ensaios. Por exemplo, o pesquisador estava interessado em conhecer a inf luência do fator mão-de-obra nos

42

INTRODUÇÃO AO DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

Cálculo da variância “dentro” dos tratamentos (SR2 ) S2R =

2 S12 + S22 + … + S2a 1 a n (Yij − Yi ) = ⋅∑∑ a i=1 j=1 n − 1 a

=

a n 1 (Y 2 − 2Yij Yi + Yi2 ) ∑ ∑ a(n − 1) i=1 j−1 ij

=

a ⎤ 1 ⎡ a n 2 2 ⎢ ∑ ∑ (Yij ) − n∑ (Yi )⎥ a(n − 1) ⎢⎣ i=1 j=1 ⎥⎦ i=1

Ora, pode-se observar na tabela que: a

n

Q = ∑ ∑ Yij2 ;

e

i=1 j=1

2

a ⎛T ⎞ 1 ∑ (Yi2 ) = ∑ ⎜⎝ ni ⎟⎠ = n2 i=1 i=1 a

a

∑T i=1

2 i

Substituindo-se as expressões acima na expressão de S2R, vem: S2R =

⎡ ⎤ 1 1 a Q − ∑ Ti2 ⎥ ⎢ a(n − 1) ⎣ n i=1 ⎦

Definindo-se SQR como:

SQR = soma dos quadrados residuais = Q −

Vem:

S2R =

1 a 2 ∑T n i=1 i

SQR a(n − 1)

Cálculo da variância total (S2T ) A variância total é aquela variância de todos os dados dos tratamentos em relação à média global dos tratamentos: a

S = 2 T

n

∑ ∑ (Y i=1 j=1

ij

− Y)2

a ⋅ n −1

Se definirmos SQT como:

SQT = Soma dos quadrados totais = Q – T2/(a · n) Podemos demonstrar, de maneira similar, que: SQT S2T = a ⋅n −1

Observando-se as expressões de SQT, SQE e SQR, podemos concluir que:

SQT = SQE + SQR Podemos, agora, elaborar a tabela de análise de variância ou ANOVA, que é dada na Tabela 3.2.

65

4 — EXPERIMENTOS FATORIAIS COM 2 FATORES

experimentos fatoriais com 2 fatores

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O experimento fatorial é apropriado quando dois ou mais fatores estão sendo investigados em dois ou mais níveis e a interação entre os fatores pode ser importante.

Neste capítulo, estudaremos o experimento com apenas dois fatores, para testar as suas influências.

Vamos realizar vários ensaios, variando os tratamentos de cada um dos dois fatores em estudo e mantendo os demais fatores fixos ou controlados.

Se tivermos um fator A com a tratamentos e um fator B, com b tratamentos, então devemos realizar ensaios com todas as combinações dos tratamentos de A e de B, num total de (a × b) ensaios.

O efeito do fator é definido como a variação na saída (Y) produzida pela mudança do nível do fator. Por exemplo, vamos imaginar um experimento com 2 fatores, em 2 níveis. Os resultados são dados na tabela a seguir: Fator A

Fator B

A–1

A–2

B–1

30

60

B–2

10

40

Os resultados são indicados na Figura 4.1, onde pode-se verificar que não existe interação entre os fatores, pois as linhas A1-A1 e A2-A2 são paralelas.

92

INTRODUÇÃO AO DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

Exemplo 7: Calcular o número mínimo de réplicas para um experimento com os seguintes dados:

α = 5%; β = 5%; a = 4; b = 1; σ = 1 cm; D = 2,5 cm

Solução: Neste caso, existe apenas 1 fator (A) e não precisamos calcular φB. Vamos iniciar as tentativas com n = 6. Daí vem: 6 × 1 × 2,52 φ2A = = 4,6875 2× 4 ×1 ∴ φ A = (φ A )1/ 2 = 2,165

ν1 = (a – 1) = 4 – 1 = 3

ν2 = a · b · (n – 1) = 4 × 1 × (6 – 1) = 20 Na Tabela 4.8, com α = 5% e β = 5%, vem:

φmin = 2,28 Como φA < φmin,A — O número de réplicas é insuficiente e deve ser aumentado.

Passando-se n para 7, vem: 7 × 1 × 2,52 = 5,4688 2× 4 ×1

∴ φ A = 2,339

Na Tabela 4.8, com ν1 = 3; ν2 = 4 × 1 × 6 = 24, interpolando-se vem:

φmin,A = 2,252

∴ φA > φmin,A Logo, o número de réplicas (n = 7) é suficiente. φ2A =

Exemplo 8: Quais são as mínimas diferenças detectáveis entre duas médias para o seguinte experimento:

a = 4; b = 3; n = 6; α = 5%; β = 1%; σ = 3 mm

Solução: Na tabela de φmin, com α = 5%; b = 1% e Para o fator A: ν1 = (a – 1) = 3

ν2 = a · b · (n – 1) = 4 × 3 × (6 – 1) = 60 Obtém-se: φmin,A = 2,47 Para o fator B: v1 = (b – 1) = 2

v2 = a · b · (n – 1) = 60 Obtém-se φmín,B = 2,78 Daí vem: 6 × 3 × D2 Para o fator A: φ2A = = 2,472 ∴ DA = 4,94 mm 2× 4×9

6 × 4 × D2 Para o fator B: φ2B = = 2,782 ∴ DB = 4,17 mm 2 × 3 × 9

Conclusão: As diferenças mínimas detectáveis são de 4,94 e 4,17 mm, para os fatores A e B, respectivamente.

5 — noções sobre alguns tipos de experimentos: fatorial, 2P FATORIAL e quadrado latino

97

noções sobre alguns tipos de experimentos: fatorial com 3 fatores, 2pp fatorial e quadrado latino

5.1 EXPERIMENTO FATORIAL COM

3 FATORES Quando existem 3 fatores a serem estudados, o procedimento de análise é similar ao do experimento com 2 fatores, mas também deve ser considerada a possibilidade de existência de interações dos fatores dois a dois e de interação tripla.

O experimento, em geral, torna-se caro e complexo, devido à quantidade de ensaios a serem realizados. O número de cálculos é também maior do que no caso de 2 fatores, com mesmos números de tratamentos.

Vamos considerar 3 fatores: ●

A com a níveis

●

B com b níveis

●

C com c níveis

Vamos considerar n réplicas em cada combinação de tratamentos.

As respostas (Yijkn) obtidas nos ensaios podem ser tabuladas tal como mostrado na Tabela 5.1, onde i, j, k e n correspondem aos fatores A, B e C e ao número da réplica (n), respectivamente.

Devemos, após, fazer uma nova tabulação, indicando as somas dos resultados obtidos para cada combinação de tratamento. Isto é mostrado na Tabela 5.2.

A partir daí, desdobramos a Tabela 5.2 nas 3 novas tabelas dadas a seguir, com as combinações (A - B), (A - C) e (B - C), somando-se os dados originais, de acordo com cada combinação de tratamento. Depois, o procedimento é similar ao caso de 2 fatores, com a inclusão da verificação da interação tripla.

100

INTRODUÇÃO AO DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

Tabela 5.5 Somas dos resultados da combinação A – C C=1

C=2

...

C=c

TA

A=1

T1.1

T1.2

...

T1.c

TA = 1

A=2

T2.1

T2.2

...

T2.c

TA = 2

…

…

…

…

…

…

A=a

Ta.1

Ta.2

...

Ta.c

TA = a

TC

TC = 1

TC = 2

...

TC = c

T

Observe-se que a 1.ª célula (A-1, C-1) foi preenchida da seguinte forma:

T1.1 = T111 + T121 + … + T1b1 Além disso:

TA = 1 = T1.1 + T1.2 + … + T1.c

TC = 1 = T1.1 + T2.1 + … + Ta.1

T = TA = 1 + TA = 2 + … + TA = a = TC = 1 + TC = 2 + … + TC = c Daí podemos, calcular:

Q = ∑∑∑∑Y2ijkn = Soma de todos os resultados (tabela inicial) ao

quadrado = Y21111 + Y21112 + … + Y2111n + Y21121 + Y21122

+ … + Y2112n + … + Y2abc1 + Y2abc2 + … + Y2abcn T2 a⋅ b⋅c⋅n 2 T + TA2 = 2 + … + TA2 = a T2 SQA = A =1 − b⋅c⋅n a⋅ b⋅c⋅n 2 2 2 T + TB = 2 + … + TB = b T2 SQB = B =1 − a⋅c⋅n a⋅ b⋅c⋅n 2 2 2 T + TC = 2 + … + TC = c T2 SQC = C =1 − a⋅b⋅n a⋅ b⋅c⋅n SQT = Q −

Somas dos quadrados das interações entre os fatores 2 2 2 2 2 2 T11. + T21. + … + Ta1. + … + T12. + T22. + … + Tab. T2 − − SQA − SQB c⋅n a⋅ b⋅c⋅n 2 2 2 2 T 2 + T1.2 + … + T1.c + … + T2.1 + T2.2 + … + Ta2.c T2 − − SQA − SQC SQ ( A − C ) = 1.1 b⋅n a⋅ b⋅c⋅n 2 2 2 2 T 2 + T.12 + … + T.1c + … + T.21 + T.22 + … + T.2bc T2 − − SQB − SQC SQ ( B − C ) = .11 a⋅n a⋅ b⋅c⋅n 2 2 2 2 2 T 2 + T112 + … + T11c + … + T121 + T122 + … + Tabc T2 − − SQA − SQ ( A − B − C ) = 111 n a⋅ b⋅c⋅n − SQB − SQC − SQ ( A − B ) − SQ ( A − C ) − SQ ( B − C )

SQ ( A − B ) =

111

6 — OPERAÇÃO EVOLUTIVA

OPERAÇÃO EVOLUTIVA

6.1 COMENTÁRIOS INICIAIS A operação evolutiva (Evolutionary Operation ou EVOP) constitui um tipo de experimento bastante simples porém muito poderoso e com ampla aplicação industrial, especialmente nas indústrias de processos.

Os métodos apresentados nos capítulos anteriores, em geral, são usados quando existe uma necessidade, e não fazem parte do dia-a-dia da organização. São, então, algo especial a ser realizado de tempos em tempos.

A operação evolutiva, no entanto, foi criada com a idéia de introduzir uma ferramenta simples de delineamento e análise de experimentos que possa ser usada diretamente pelos próprios operadores do processo, sem alterar a rotina da produção. Desta forma, não haveria a necessidade de plantas-piloto ou uso de laboratórios.

Em geral, os produtos são fabricados com produtividade e qualidade menores em relação à potencialidade da planta produtiva. Portanto, existe sempre a possibilidade de uma melhoria dos processos utilizados. Mesmo em plantas novas, com projeto moderno, o “ajuste fino” para as condições reais de operação ainda não foi feito. Por exemplo, é comum encontrar processos químicos que dobraram ou triplicaram a produtividade após 10 anos de operação, apesar de serem considerados modelos e com produtividade máxima, na época da inauguração.

Os experimentos em pequena escala podem dar informações extremamente úteis nos estágios de pesquisa, desenvolvimento e projeto. No entanto, fornecem indicações para as condições de escala industrial, dando as características gerais esperadas, porém com prováveis imperfeições devido à mudança de escala. Assim, os resultados em escala industrial podem ser diferentes daqueles de escala laboratorial e precisam ser otimizados.

A EVOP vai ajudar nesta tarefa.

ANALOGIA COM A SELEÇÃO NATURAL Os organismos vivos avançam por dois mecanismos: 1 Variabilidade genética (por exemplo, mutação); e 2 Seleção natural.

113

6 — OPERAÇÃO EVOLUTIVA

Pressão 7

B

280 6 270 5 260

4 3 2

250 1 240

A

230 20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Figura 6.1 — Superfície de resposta de um processo químico.

não-conformidades etc. Estas dependem das variáveis de entrada (fatores controlados), existindo uma superfície de resposta para cada grupo de variáveis consideradas.

No exemplo anterior, a saída é a produção/hora, porém podem existir outras como: custo de produção, custo de manutenção, número de não-conformidades etc.

Assim, otimizar uma das saídas não é necessariamente uma boa atitude, porque as outras podem ser prejudicadas (por exemplo, o custo pode ficar proibitivo). Isto deve ser levado em consideração pelos engenheiros da qualidade.

6.2 TÉCNICA DA EVOP Em geral, o objetivo da EVOP é aumentar o lucro de uma planta já em operação, maximizando as suas saídas, sem prejudicar demais a produção e com mínimos riscos e esforços.

Como não se conhece a superfície de resposta do processo, devem ser feitas pequenas mudanças em torno da combinação de tratamentos que constitui o padrão da produção.

Após alguns ciclos nos novos valores, as respostas médias são comparadas e a combinação de tratamentos que resultou em melhor saída passa a ser o novo padrão. A partir

119

ANEXOS

ANEXOS

ANEXO A Distribuição Normal ou de Gauss, áreas sob a curva da distribuição Normal ANEXO B Distribuição de Qui quadrado acumulado (ACIMA DE) ANEXO C Distribuição “t” de Student, 1.ª parte: Para teste unilateral.

Distribuição “t” de Student, 2.ª parte: Para teste bilateral.

ANEXO D Distribuição Distribuição Distribuição Distribuição

F F F F

de de de de

Snedecor, Snedecor, Snedecor, Snedecor,

1.ª parte: α = 10% 2.ª parte: α = 5% 3.ª parte: α = 2,5% 4.ª parte: α = 1%

ANEXO E Método de Duncan, Coeficientes para o cálculo de amplitudes significativas.

1.ª parte: α = 1% Método de Duncan, Coeficientes para o cálculo de amplitudes significativas.

2.ª parte: α = 5%