Page 1

M

Y

CM

MY

CY

Oscar E. Fernandez

CMY

É professor assistente de Mate-

K

mática na Wellesley College. Pesquisa mecânica geométrica e é apaixonado por ensinar. Por

O autor utiliza nossas experiências do dia a dia para revelar o cálculo por trás de eventos em um dia típico. Ele nos guia pela matemática que surge naturalmente de simples observações – como o café quente esfria, por exemplo. Fernandez demonstra que o cálculo pode ser usado para explorar praticamente qualquer aspecto de nossas vidas, incluindo a quantidade ideal de horas que devemos dormir e o caminho mais rápido para chegar ao trabalho. Mostra também como o cálculo pode ser útil, por exemplo, para determinar em que lugar do cinema devemos nos sentar para ter uma boa experiência e até para explorar assuntos como a viagem no tempo ou a idade do universo. Quer você seja um estudante de Matemática ou um curioso entusiasta, convidamos você a passar um dia descobrindo o cálculo à sua volta.

que o café esfria tão rápido? E outras aplicações do cálculo no seu dia é o seu primeiro livro.

POR QUE O CAFÉ ESFRIA TÃO RÁPIDO?

C

Cálculo. Esqueça os livros grandes e pesados e as equações tediosas e abstratas. Embora não pareça, o cálculo pode ser divertido e acessível, e está por toda parte. Nesta divertida narrativa, Oscar E. Fernandez nos mostra como enxergar a matemática no café, nas estradas e até no céu estrelado.

FERNANDEZ

ward ard Ho Rich : o t Fo

Capa_Cafe calculo_lombada 11 mm_corrigido.pdf 1 16/02/2016 14:04:20

OSCAR E. FERNANDEZ

POR QUE O CAFÉ ESFRIA TÃO RÁPIDO? E outras aplicações do cálculo no seu dia

“A abordagem agradável e bem-humorada do professor Fernandez traz uma ótima introdução ao maravilhoso mundo da matemática por trás de cenas de nosso cotidiano.”

– Publishers Weekly

“O livro é perfeito para o leitor que realmente quer saber que tipo de matemática está no comando de nossas vidas, e para quem quer aprender, entender ou polir seus conhecimentos enferrujados dessa matemática.”

– A. Bultheel European Mathematical Society

“Fernandez é um escritor peculiar. Por que o café esfria tão rápido? é leve e irresistível, conectando a matemática a nosso dia a dia. [...] De fato, nem todo mundo leva em consideração o cálculo presente dentro de um forno de barro, mas deveria.”

– Robert Schaefer New York Journal of Books

Matemática

www.blucher.com.br


POR QUE O CAFÉ ESFRIA TÃO R ÁPID O?

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 1

16/02/2016 10:20:31


Sumário

Prefácio................................................................................................ 11 Tópicos de cálculo discutidos por capítulo......................................... 15 Capítulo 1. Acorde e descubra as funções........................................... 17 O que a trigonometria tem a ver com nossas manhãs?................. 18 Como uma função racional frustrou Thomas Edison, e por que a indução impulsiona o mundo..................................................... 22 Os logaritmos ocultos no ar.......................................................... 28 A frequência de funções trigonométricas...................................... 33 O raciocínio parabólico de Galileu............................................... 36 Capítulo 2. Café da manhã com Newton............................................. 41 Apresentando... cálculo, o método CNBC.................................... 42 O café tem seus limites................................................................. 47 Um multivitamínico ao dia mantém nossa saúde equilibrada....... 52 As derivadas referem-se a mudanças............................................ 57

7

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 7

16/02/2016 10:20:32


por que o café esfria tão rápido?

Capítulo 3. Movido a derivadas........................................................... 59 Por que sobrevivemos a dias chuvosos?....................................... 60 A política nas derivadas ou as derivadas na política?................... 65 O que o índice de desemprego nos ensina sobre a curvatura dos gráficos................................................................................... 66 O aumento da população americana............................................. 71 Sentindo derivadas........................................................................ 73 O cálculo da viagem no tempo...................................................... 74 Capítulo 4. Conectados pelo cálculo................................................... 79 E-mails, mensagens de texto, tweets, ah!...................................... 79 O cálculo presente nos resfriados.................................................. 82 Qual a relação entre sustentabilidade e pegar um resfriado?........ 85 O que o seu fundo de pensão tem a ver com o tráfego?................ 88 Também há cálculo para os gulosos.............................................. 91 Capítulo 5. C  alcule uma derivada e você se sentirá melhor............... 97 Eu ♥ diferenciais........................................................................... 98 Como a vida (e a natureza) utiliza o cálculo................................. 100 A custosa desvantagem do cálculo................................................ 106 O caminho ideal de volta para casa............................................... 109 Pegando “apressadinhos” eficientemente com o cálculo.............. 112 Capítulo 6. O  perações de soma... o método do cálculo....................... 115 O pequeno motor que podia... integrar.......................................... 116 O teorema fundamental do cálculo............................................... 124 Utilização de integrais para estimar tempos de espera.................. 129

8

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 8

16/02/2016 10:20:32


oscar e. fernandez

Capítulo 7. D  erivadas e integrais: o time dos sonhos......................... 133 A integração trabalhando – frango tandoori................................. 134 Encontrando o melhor assento no cinema..................................... 138 Mantendo a operação do metrô de Boston com o cálculo............ 142 Olhe para o céu para olhar para o passado.................................... 146 O destino final do universo........................................................... 148 A idade do universo....................................................................... 153 Epílogo................................................................................................. 155 Apêndice A – Funções e gráficos......................................................... 159 Apêndices 1 a 7.................................................................................... 167 Notas.................................................................................................... 193 Índice remissivo................................................................................... 197

9

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 9

16/02/2016 10:20:32


Tópicos de cálculo discutidos por capítulo

A tabela a seguir detalha os tópicos de cálculo discutidos em cada capítulo. Funções lineares Funções polinomiais Capítulo 1

Funções trigonométricas Funções exponenciais Funções logarítmicas Inclinações e taxas de variação

Capítulo 2

Limites e derivadas Continuidade Interpretação da derivada

Capítulo 3

A segunda derivada Aproximação linear

Capítulo 4

Regras de derivação Taxas relacionadas

15

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 15

16/02/2016 10:20:32


2. Café da manhã com Newton

Todas as pessoas têm uma rotina pela manhã. Após tomar banho, gosto de sintonizar o canal CNBC de noticiário financeiro enquanto me visto. O programa da manhã é o mais perto que se pode chegar de um programa diário sobre matemáticai. Basta assistir a cinco minutos e você provavelmente verá alterações das taxas de juros, a alta e a queda dos preços no mercado de ações, a flutuação das taxas de câmbio e, bem, uma porção de outros números piscando em vermelho e verde. Após anos iniciando minhas manhãs dessa forma, estou acostumado a essa rápida sucessão de informações. Mas não minha esposa, Zoraida; esse canal, em particular, lhe dá dor de cabeça. “Há números correndo pela tela em todas as direções; simplesmente há coisas demais acontecendo ao mesmo tempo”, diz ela. Eu concordo, mas, para mim, o fato de a abundância de mudanças apresentada pela rede ser expressa por meio de números sugere uma matemática mais profunda. Se as funções descrevem nosso mundo – como tentei i Certamente, há o Numbers, Fringe ou até mesmo The Big Bang Theory, mas o CNBC fica no ar o dia inteiro. 41

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 41

16/02/2016 10:20:37


oscar e. fernandez

As derivadas referem-se a mudanças Com toda essa conversa sobre vitaminas e suas taxas de absorção, esqueci de beber meu café requentado. Poderia requentá-lo novamente, mas isso agora seria uma tolice; não importa, terminei meu café da manhã. Agora, o cômodo ficou mais escuro; o sol se escondeu e as nuvens lá fora estão ficando mais carregadas. A experiência me diz que essa mudança no tempo é tipicamente seguida de chuva, então vou levar meu guarda-chuva por precaução. E, pensando bem, vou apanhar uma jaqueta leve também. Apesar de julho ser um mês historicamente quente em Boston, meu escritório tende a ser um tanto frio. Em meio a todas essas reflexões tenho um momento de revelação: a mudança é onipresente em nosso cotidiano. Dos painéis de ações da CNBC ao meu desjejum matinal, das vitaminas ao clima, as mudanças praticamente definem nossas vidas. E neste capítulo, aprendemos, graças ao dr. Newton, que onde houver mudança, o cálculo – e uma derivada, em particular – estará presente.

57

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 57

16/02/2016 10:20:39


4. Conectados pelo cálculo

Se você for como eu, uma das primeiras coisas que faz quando chega ao trabalho é olhar seus e-mails. Honestamente, não sei como algumas tarefas eram realizadas antes do e-mail. Não consigo imaginar meus alunos escrevendo-me cartas com suas dúvidas sobre o trabalho de casa, ou eu fazendo custosas ligações internacionais a colaboradores para discutir pesquisa. O e-mail tornou muito mais fácil – e rápida – a comunicação entre as pessoas. Mas essa nova tecnologia não possibilitou apenas facilidade de comunicação. Nessa era de Facebook e Twitter, estamos todos conectados uns aos outros. Isso me faz pensar na descoberta da dilatação do tempo de Einstein. Este conceito, a relatividade do tempo, conecta tudo. Começo a me perguntar que outros fenômenos podemos conectar à matemática.

E-mails, mensagens de texto, tweets, ah! Em meio às minhas divagações, um novo e-mail surge inesperadamente na tela de meu computador. Se você for como eu, isso ocorre várias vezes ao dia. De fato, estima-se que em 2010 foram 79

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 79

16/02/2016 10:20:41


por que o café esfria tão rápido?

exato e usar meu discurso de vendas: “Mas espere, há mais!”. No próximo capítulo, veremos como o cálculo ajuda a melhorar nossa vida. Como o antigo comercial da BASF, veremos que o cálculo não apenas descreve o seu mundo; ele torna a sua vida... melhor!

96

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 96

16/02/2016 10:20:43


5. Calcule uma derivada e você se sentirá melhor

Meu escritório fica no terceiro andar do edifício em que trabalho. Assim que volto a ele, tendo já consumido metade do copo de chocolate quente, me dirijo à escadaria. Subo esses três lances de escadas várias vezes ao dia. Naturalmente, o primeiro par de degraus é superado com facilidade, mas conforme continuo subindo, meu coração bate cada vez mais rapidamente. Ele está compensando o aumento repentino da demanda de oxigênio, e por meio de meus vasos sanguíneos distribui rapidamente o oxigênio a meus músculos. Mas esse processo exige um sistema de bombeamento muito especial. Para começar, meus vasos sanguíneos precisam se expandir a fim de acomodar o maior volume de sangue que flui (se quisermos manter a pressão arterial baixa). Quanto eles devem se expandir? Além disso, esse sangue precisa chegar aos meus músculos da forma mais rápida possível. Com os vasos sanguíneos ramificando-se em todas as direções, isso levanta outra questão: como o seu corpo reconhece quais são as direções de ramificação mais eficientes? Assim como nosso exemplo sobre inundação do último capítulo, estas são literalmente questões de vida ou morte. Vamos abordar a primeira e retomar a questão da ramificação mais adiante. 97

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 97

16/02/2016 10:20:43


R' (x) = 140 – 4x. g=

y x + . 36 29

por que o café esfria tão rápido?

(6 − x)2 + 4,41 x + . 36 29 comparassem suas anotações – e utilizassem o Teorema do Valor f(b) − f(a) Médio – concluiriam instante c no in. f (c) = que em um determinado b −do a motorista s’(c) deve ter sido igual a: tervalo 0 < t < 50 a velocidade g (x) =

s (c) =

s (50) − s (0) 1 milha = = 72 mph (≈ 115,8 km/h). 50 − 0 50 segundos

Nessa via com limite máximo de 50 mph (≈ 80 km/h), com certeza teria havido excesso de velocidade! E acredite ou não, algumas autoestradas efetivamente empregam esse conceito básico – de comparar as velocidades dos carros no início e final de uma distância fixa ao longo da pista – de um modo automatizado, pela utilização de câmeras; então, da próxima vez que você avistar dois postes altos com câmeras separados por uma centena de metros em uma autoestrada, reduza a velocidade! Exceto por pensar em meios de ajudar a polícia a flagrar motoristas acima da velocidade permitida pelo uso do TVM, o restante do trajeto até minha casa transcorre sem grandes acontecimentos. Embora eu tenha poupado apenas 20 centavos ao tomar a rota otimizada, chego em casa satisfeito por ter feito diversas conexões entre os aparentemente desconectados campos da biologia, dos negócios, da física e de “poupar dinheiro na volta para casa” utilizando a matemática da otimização. O que considero particularmente gratificante é que a noção de um ponto estacionário, e sua importância central na otimização, emergiu da simples análise da trajetória de meu copo de chocolate quente. Às vezes, as percepções mais profundos nascem quando pensamos muito cuidadosamente sobre as implicações ocultas por trás dos fenômenos mais simples. E, como veremos no próximo capítulo, esse exemplo aparentemente banal do TVM forma a base da outra metade do cálculo: a teoria da integração.

114

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 114

16/02/2016 10:20:46


6. Operações de soma... o método do cálculo

O percurso de carro até minha casa me tomou cerca de 20 minutos. Faço uma parada rápida em meu quarto para tirar as roupas de trabalho. No meu caso, vestir “roupas mais casuais” basicamente significa apenas uma calça jeans. E como tenho somente quatro calças jeans, cinco minutos depois estou pronto para tomar o metrô. Só comecei a usar transporte público quando me mudei para o norte, pois cresci em Miami, Florida. Mas como nossa casa está a um minuto de caminhada da estação de metrô mais próxima, não há dificuldade alguma. A operadora do metrô é a Massachusetts Bay Transportation Authority (MBTA); na realidade, Boston abriga o mais antigo túnel de metrô do país, que remonta a 1897.23 Com um histórico tão longo de operação, não é de surpreender que o sistema sobre trilhos da MBTA seja um dos mais amplamente utilizados na atualidade. Em 2009, ele ocupava o 5o lugar em operações nos Estados Unidos, completando cerca de 370 mil viagens, perfazendo um total de 1,8 milhão de milhas (≈ 2,8 milhões de quilômetros) somente naquele ano24. Com tantos trens para monitorar e uma demanda tão alta por seus serviços, a MBTA precisa continuamente determinar os 115

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 115

16/02/2016 10:20:46


por que o café esfria tão rápido?

a gerência a determinar que aspectos da empresa – tais como centrais de atendimento ao cliente ou departamentos de envio de produtos – precisam melhorar seus tempos de espera. No capítulo anterior, discutimos como uma empresa pode utilizar derivadas para otimizar suas receitas ou fluxos de lucros. A matemática deste capítulo nos ensinou que as integrais são uma ferramenta igualmente importante para esse mesmo objetivo. E, agora que sabemos que calcular probabilidades significa integrar f.d.p., essa descoberta abre um novo leque de possíveis aplicações da integração. Essencialmente, qualquer coisa que envolva uma grande dose de probabilidade (por exemplo, esportes) agora se beneficiará da matemática de integração que desenvolvemos. Mas há muito mais coisas que podemos fazer com a integração. Embora seja mais difícil pensar nisso, muitas situação exigem a soma de um número infinito de quantidades. E, segundo nosso novo mantra, em cada uma dessas situações podem ser encontradas integrais. No próximo capítulo, combinaremos o que sabemos sobre derivadas e integrais de modo a enfrentar alguns dos maiores problemas de toda a existência humana.

132

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 132

16/02/2016 10:20:51


7. Derivadas e integrais: o time dos sonhos

Após discutirmos pela primeira vez as derivadas no Capítulo 2, não apenas conseguimos encontrá-las por toda parte, mas também, como nossa discussão sobre a dilatação de tempo mostrou, elas tinham importância suficiente para literalmente mudar a nossa perspectiva da realidade. Do mesmo modo, após apresentarmos a integração no último capítulo, nós já vimos como ela naturalmente aparece ao nosso redor por meio da probabilidade. Imagine, então, as possibilidades de utilizarmos tanto as derivadas como as integrais no tratamento matemático de uma situação. Como descobriremos em breve, esse time dos sonhos pode responder a algumas das mais fundamentais questões formuladas na história da civilização. Mas, primeiro, preciso consolidar esse crescendo. Voltemos então ao encontro com minha esposa. Assim que você sai da estação Boylston, no centro de Boston, é possível ver uma placa na qual se lê “Boston Common, Founded 1634” (“Parque Público de Boston, fundado em 1634”). Como o mais antigo parque público urbano dos Estados Unidos, seus cerca de 20,23 hectares de terreno foram outrora utilizados 133

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 133

16/02/2016 10:20:51


oscar e. fernandez

a2 + b2 = c2 para triângulos retângulos planos é verdadeira, significa que ela continuará verdadeira para sempre. Mas como então se dá o progresso? Com frequência, o que nós, matemáticos, fazemos é alterar as hipóteses. Por exemplo, o que acontece se estudarmos triângulos não em um plano, e sim numa superfície curva (como a de uma esfera)? Então o Teorema de Pitágoras não é mais válido. Em vez disso, obtemos uma nova e interessante geometria não euclideana. Ou considere o simples fato de que 12 + 1 = 13. E se agora insistíssimos que 12 + 1 = 1? Isso pode parecer loucura, mas espere até o meio-dia de amanhã e então pergunte a uma pessoa que horas serão dali a uma hora. Ela provavelmente dirá uma da tarde, ou seja, 12 + 1 = 1i. Talvez você jamais tenha percebido esse comportamento peculiar sobre como informamos as horas, mas esta é exatamente a mensagem deste livro: examine atentamente o mundo que o rodeia e você encontrará a matemática em todas as partes, conectando coisas que você jamais pensou que estivessem relacionadas de um modo lindo e geralmente profundo. E mesmo se você precisar fazer algumas hipóteses simples sobre o que vê, alterar essas hipóteses normalmente leva a uma matemática ainda mais interessante. Isso é parte do que torna a matemática divertida, e eu encorajo você fortemente a continuar explorando tudo o que o assunto tem a oferecer. Oscar Edward Fernandez Newton, MAii

i Se você fizer essa pergunta a militares, ainda poderá receber 13 como resposta, mas, para eles, 24 + 1 = 1. ii P.S. Eu moro em Newton e escrevi um livro sobre cálculo – isso é muito legal! 157

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 157

16/02/2016 10:20:57


Apêndice A Funções e gráficos

Embora talvez você não perceba, há funções por toda a sua volta. A temperatura externa de sua casa é uma função do tempo; o custo de encher o tanque de combustível de seu carro no posto de gasolina é uma função de quantos litros são bombeados para o interior do reservatório; e a quantidade de calorias que você “queima” fazendo um exercício é uma função do período de tempo em que você está se exercitando. Em termos matemáticos, denominamos as entradas – tempo, litros bombeados e duração do exercício, em nossos exemplos – variáveis independentes e usamos a letra x para denotá-las. Chamamos as saídas – temperatura, custo da gasolina e calorias queimadas – de variáveis dependentes, denotadas pela letra y. Escrevemos y = f (x) para expressar o fato de que a variável dependente y depende, ou é uma função, da variável independente x. Uma importante característica comum aos nossos três exemplos é que cada entrada produz uma única saída. Isso significa, por exemplo, que após ter se exercitado durante 30 minutos você não pode ter queimado 100 calorias e 120 calorias; o resultado tem de ser um ou outro, mas não ambos. Essa é a ideia principal por trás do que queremos dizer matematicamente com uma função: uma 159

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 159

16/02/2016 10:20:57


Apêndice 3

1. A afirmação mais geral aqui é que se uma função f (x) está crescendo, então sua derivada f ’(x) é positiva. Vamos dar alguma justificativa para isso recordando a definição derivada da Equação 2.3 do Capítulo 2:

f (x) = lim h

0

f (x + h) − f (x) . h

Agora, uma função está fcrescendo (x + h) −se fquando (x) você aumenta os f (x) ≈ valores em x, os valores em y tambémhaumentam., Nesse contexto, isso quer dizer que se h > 0, então f (x + h) – f (x) > 0. Portanto, se h > 0, tanto = são 32m(t), o numerador como o(m(t)v(t)) denominador positivos. Um argumento similar mostra que se f (x) está decrescendo, então f’(x) é negativa. m (t)v(t) + m(t)v (t) = 32m(t).

Já que estamos aqui, eu poderia também lhe dizer que se f’(x) é =h)32m(t). 2,3m(t)v(t) + m(t)v positiva, então f (x) está crescendo. A+aproximação f (x(t) − f (x) a seguir oferece f (x) = lim . alguma justificativa2,3v(t) para isso, h+ 0v (t) = 32. h

(x + h) − f (x) 32, ≈ou,f equivalentemente 2,3z(t) + z (t) = 0 32 + 2,3z(t) + z (t) =f (x) , h ou z (t) = − 2,3z(t). que é precisa quando (m(t)v(t)) h é muito pequeno. A partir disso, podemos = 32m(t), at at − 2,3e é. positivo, o lado direito raciocinar que, como o ae lado =esquerdo m (t)v(t) + m(t)v (t) = 32m(t). 32 − 2,3t 32 32 v (t) 2,3m(t)v(t) =− e + +m(t)v = (1 − e − 2,3t ). 171 (t) = 32m(t). 2,3 2.3 2,3 = 32. 2,3v(t) + v (t) 32 lim v (t) = . t 2,3 (t) = 32, 2,3z(t) + 16/02/2016 z (t) =10:21:00 0 ou, equivalentemente 32 + 2,3z(t) + z Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 171


1 + 3e − 20kt 1 + 3 lim e 20 20t lim = = 20. − 20kt 1 +(a3e−− 20kt t c) p0 1 + 3 lim e t

t lim bp0 + ((a − c) − bp0 )e − (a− c)t t por que o café (a esfria − c) tão p rápido? 0 p (a − c) 0

(a − c) p0 a− c = , bp0 b (a − c) p0 t (a − c) p0 a− c 8. Com: = = = , − (a− c)t bp b bp0 + ((a − c) − bp0 ) lim 100s e 0 100s r t/ 100 t , e − B(t) = B(0) + r r 100s 100s r t/ 100 , + e − B(t) = B(0) 100s r r e r t/ 100 = rr B(t) + 100s = B (t) = B(0) + a regra da cadeia fornece r 100 100 r r 100s 100s r r B (t) = = B(0)B(t) + + s. e r t/ 100 = B(t) + = r 100 100 r 100 r x =b −100 a B(t) + s. (b − a)h (b − a)h = , ou x = , e r = a+ . h H H H b–a x b− a (bb − a)h (b − a)h 2 , = , ou x = e r = a+ . π h (b − a)h (b − a)h 2 h V =H H + a a+ a+ + aH , 3 H H πh (b − a)h 2 (b − a)h V= a+ + a a+ + a2 , 3 H H 2 π 3a(b − a) 2 (b − a) 3 V= h + 3a 2 h + h . 2 x H H3 H H x π 3a(b − a) 2 (b − a)2 3 V= h + 3a 2 h + r h . 2 3 H6a(b − a) H3(b π − a)2 2 2 V (h) = 3a + h , h+ 3 H H2 h π 6a(b − a) 3(b − a)2 2 V (h) = 3a 2 + h , h+ 3 H H2 lim t = bp0 + ((a − c) − bp0 )e − (a− c)t− (a− c)t = bp0 + ((a − c) − bp0 ) lim e

a

Figura A4.2 Uma seção transversal do copo.

9. Durante aquele período de 20 anos, suas contribuições totais foram de 20 × $ 5.000 = $ 100.000. Subtraindo essa parcela, junto com os $ 30.0000 iniciais de B (20), resulta em $ 220.280,31, que é 68,78% dos $ 320.280,31 que a conta acumulou durante o período de 20 anos. 10. A Figura A4.2 exibe um perfil do copo e do líquido. Se decompusermos o raio do líquido r em r = a + x, então por triângulos semelhantes deduzimos: 180

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 180

16/02/2016 10:21:05


Apêndice 5

1. De f (r) = kr4, sabemos que f ’(r) = 4kr3. Utilizando isso em dr = f ’(a)dr, obtemos dr = 4ka3dr. 2. O enunciado matemático que garante essa igualdade é denominado Teorema de Fermat. A versão relevante aos nossos propósitos afirma que se uma função f (x) é diferenciável em algum ponto x0 no intervalo a < x < b (o que significa que f ’(x0) existe) e f ’(x0) ≠ 0, então x0 não é um extremo de f. Assim, todos os pontos de uma função diferenciável – função cuja derivada f ’(x) existe para todos os valores de x – que não são estacionários não podem ser pontos extremos. Mas, como o Teorema de Fermat não diz nada sobre as extremidades a e b, também precisamos considerá-las na busca dos extremos de f. 3. A trajetória do ponto A na Figura A5.1 pelo ponto de ramificação B e até o ponto final C pode ser dividida em dois segmentos de comprimentos l1 e l2.

183

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 183

16/02/2016 10:21:05


Apêndice 7

1. Aplicando a lei dos cossenos para o triângulo da Figura 7.2, obtemos: (24)2 = a 2 + b 2 − 2abcos θ,

ou

2abcos θ = a 2 + b 2 − 576.

2 2 2 (24) =a 2a 2++bnessa 2abcos θ,temos: ou 2abcosaθ2 =+ ab22 +− b576 − 576. 2b − fórmula, Isolando-o − 576 , ou θ = arccos . cos θ = 2ab 2ab a 2 + b 2 − 576 a 2 + b 2 − 576 , ou θ = arccos . cos θ = 2ab 2ab z = 10 + x cos β, (24)2 = a 2 + b 2 − 2abcos θ, ou 2abcos θ = a 2 + b 2 − 576. 2 a ze = 2+ Para2 determinar b, 10 podemos o triângulo β, 2abcos (24) a22 (10 + b+ − 2abcos θ, x cos oudividir θ = 2 a 2 +dab 2Figura − 576. a=2 = 2 x cos β ) + (34 − 4 − x sin β2) , 2 + b − 576 aA7.1). + b Esses − 576dois a 7.2 cos em θdois triângulos retângulos (veja a Figura . = b 22=2= (10 + x cos β, )22ou + (10θ −= 4arccos − x sin β )22, 2 2 + x cos β ) + (34 − 4 − x sin 2β ) , 2ab (10 triângulosatêm b2ab − 576 a + b − 576 a +base , ou θ = arccos . cos θ = 2 2ab+ x cos β )2 + (10 − 4 − x sin β )2 ,2ab b = (10 β,2 z = z =( 10x)+2 +x cos ( y)

= (10 x) + 2x cos β,y)2 z =xzdecos (obtemos: e, utilizandoao2 = Teorema Pitágoras, (10 + β )2 + +(34 − 4 − x sin β )2 , y = f '(xi ) x (10 ++ xx cos cosββ))22 ++ (34 (10 −− 44 −− xx sin sinββ))22,, ab22 == (10 y = f '(x ) x 2 + [ f (x )]2 (2 x)i 2 = 2 2 x. f (x z = b 2( =x)(10 + x cosi β ) + (10 − 41−+x[sin βi))] , 2 2 z = ( x) + ( y) z = ( x)2 + [ f (xi )]2 ( x)2 = 1 + [ f (xi )]2 x. z = ( x)2 + ( y)2 191 y = f '(xi ) x z=

y = f '(xi ) x ( x)2 + [ f (xi )]2 ( x)2 =

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 191

2

2

2

1 + [ f (xi )]2 x. 2

16/02/2016 10:21:09


a 2 + b 2 − 576 a 2 + b 2 − 576 , ou θ = arccos . cos θ = 2 (24)2 = a 2 + b2ab − 2abcos θ, ou 2abcos θ = a 22ab + b 2 − 576. 2

2

2

2

2

a + esfria b − 2abcos θ, ou 2abcos θ 2= a 2+ b − por(24) que = o café tão rápido? a + b − 576 a 2 + b 2 − 576z = 10 + x cos β,

576. .

, ou θ = arccos 2ab 2ab 2 2 − +576 asin +β )b22, − 576 aa22+= b(10 x cos βfórmulas )2 + (34 de − 4a −e bxno que, resulta Capítulo 7. . ,nas ou θ = arccos cossimplificado, θ= 2ab 2ab b 2 = (10 + zx=cos10β +)2 x+ cos (10 − 4 − x sin β )2 , 2. Como a quantidade Δy na expressãoβ, z = 10 2+ x cos β, − 2 x sin β )2 , a 2 = (10 + xz cos 2 + −( 4y) = β )( +x)(34 2 2 ba22 == (10 (10 ++ xx cos cos ββ))2 ++ (10 (34 −− 44 −− xx sin sin ββ))2,, representa a variação em y = f (x) no intervalo Δx, assumindo que =2 +f '(x b 2 = diferenciável (10 + x cos βy )(como (10ié) −o xcaso 4 − xdasinfunção β )2 , da Figura f é uma função 2 2 z = ( x) + ( y) 7.5), o Teorema do Valor Médio nos diz que: 2 2 2 2 z = ( x) + z =[ f (x(i )]x)(2 +x)( =y)2 1 + [ f (xi )] x. y = f '(xi ) x cos θ =

y = f '(xi ) x para algum intervalo Δx.)]Utilizando 2 + [ f (x 2 ( x)2 = isso, ( x) 1 +obtemos: [ f (xi )]2 x. z = xi no i z=

( x)2 + [ f (xi )]2 ( x)2 =

1 + [ f (xi )]2 x.

1

24 pés ≈ 7,3 m a

b 2

10 pés ≈ 3,04 m

4 0–

1

θ

és 4p

z x β 10 pés ≈ 3,04 m

–x

sen

β

,2 m

≈1

x sen β

x cos β

Figura A7.1 Figura A7.1 Os dois triângulos retângulos relacionados ao triângulo de visão.

192

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 192

16/02/2016 10:21:09


Notas

1. Klein, S.; Thorne, B. M. Biological Psychology. New York: Worth Publishers, 2007. 2. Klein; Thorne, Biological Psychology. 3. Carr, N. The Big Switch: Rewiring the World, from Edison to Google. New York: W.W. Norton & Company, 2008. 4. Essa “disputa das correntes” é discutida em profundidade no excelente livro AC/DC: The Savage Tale of the First Standards War, de Tom McNichol (San Francisco: Jossey-Bass, 2006). 5. WBUR Highlights & History, s/d. Disponível em www.wbur. org/about/highlights-and-history. 6. Avison, J. The World of Physics. Cheltenham: Thomas Nelson and Sons, 1989. 7. Gelfland, S.A. Essentials of Audiology. New York: Thieme Medical Publishers, 2009. 8. Gelfland, Essentials of Audiology. 9. Avison, The World of Physics. 193

Calculo_invisivel_Oscar-E-Fernandez.indb 193

16/02/2016 10:21:09


Clique aqui e:

Veja na loja

Por que o Café Esfria Tão Rápido? E outras aplicações do cálculo no seu dia Oscar E. Fernandez ISBN: 9788521210269 Páginas: 200 Formato: 14 x 21 cm Ano de Publicação: 2016 Peso: 0.267 kg

Por que o Café Esfria tão Rápido?