Controle preditivo baseado em modelo - Volume 1

3.1.1Cálculodaspredições

3.1.3CálculorecursivodasprediçõesdoDMC

3.2.3Minimizandoumafunçãoquadrática

3.2.4Horizontedeslizanteeobtençãodaleidecontrole

3.3Referênciafuturaeusodefiltrosdereferência

3.6Umasoluçãocompletaparaplantasintegradoraseinstáveis

3.6.1DMCGeneralizado(GDMC)

3.6.2GDMCcomaçãoantecipativa

3.6.3ImplementaçãorecursivadoGDMCparaplantasestáveis

3.7GDMC–controleequivalente

3.7.1Obtençãodocontroleequivalente

3.7.2Análisedofiltronodesempenho

3.7.3Análisedofiltronarobustez

3.7.4Análisedocontroleantecipativoefiltrodereferência

3.8Estudosdecaso

3.8.1Estudodecaso1:processoestável

3.8.2Estudodecaso2:processoinstável

3.9Comentáriosfinais

3.10Exercíciospropostos

4ControlePreditivoGeneralizado(GPC)

4.1ModelousadonoGPC

4.2Cálculodaspredições(caso �� (�� 1 ) = 1) ......................

4.2.1Exemplosintrodutórios

4.2.2Cálculodasprediçõescomequaçõesdiofantinas

4.2.3Implementaçãorecursivadaequaçãodiofantina

4.2.4Análisedocasodeprocessoscomatraso

4.2.5Formamatricialdaspredições .......................

4.3Cálculodaspredições(caso �� (�� 1 ) ≠ 1)

4.4Açãoantecipativa(feed-forward) ..........................

4.5Obtençãodaleidecontrole

4.6Exemplos

4.7Obtençãodocontroladorequivalente

4.7.1GPCcomoumcontroladordedoisgrausdeliberdade comaçãoantecipativa ...........................

4.7.2GPCcomoPID

4.7.3AnálisedocontroleequivalenteantecipativodoGPC

4.7.4Controladorequivalentecom

5.1Restriçõesespeciais

5.2Problemasdeinfactibilidadecomtratamentoderestrições

5.3.1Implementaçãosimplesdasbandas

5.3.2Referênciasvariáveisdeacordocomasaídaatual

5.3.3Referênciascomovariáveisdedecisão

5.4Ponderaçõesvariáveisporfaixas

5.5Partidaaquente(warmstart)

5.7Referênciasparaavariávelmanipuladanafunçãocusto

5.8Efeitodotempodeprocessamentodaaçãodecontrole nosistemaesoluçõespráticas

5.9Comentáriosfinais

Introdução

Estelivrotemcomoobjetivoprincipalapresentaraosestudantesdeengenharia edeáreasafinsosfundamentosdocontrolepreditivobaseadoemmodelo,também denominadoapenascomocontrolepreditivo(MPC,doinglês ModelPredictiveControl). OMPCéumadasmetodologiasdecontrolemaisusadasnaindústriadeprocessos (ALAMIR,2013),sendo,depoisdoPID,aestratégiamaisdifundidaecommaiorsatisfação deusoporpartedosusuários.Ainda,elaémuitopesquisadanomeioacadêmico,o quepodesercomprovadopelagrandequantidadedeartigospublicadosnoassunto anualmente.Estesucessosedeveaváriosfatores:(i)elapodeseraplicadatantoa processosmonovariáveisquantoamultivariáveis,sejameleslinearesounãolineares; (ii)asrestriçõesdasvariáveisdoprocessopodemserincluídasdiretamentenaformulação docontrolador,oqueéumimportantediferencialfrenteaoutrastécnicasdecontrole avançadoetalvezumadassuascaraterísticasmaisimportantesdopontodevistadas aplicaçõespráticas;(iii)osobjetivosparaosistemaemmalhafechadasãodefinidos nodomíniodotempo,oquesimplificaoentendimentoesuaaplicação;(iv)éuma estratégiadecontroleótima,quebuscaaminimizaçãodeumafunçãocustoquepode serbastanteflexível,possibilitandoasuaadaptaçãoparaumagrandediversidadede problemaspráticos.

Olivrotemumaabordagemteórico-prática,quepriorizaodesenvolvimentoda teoriaclássicadoMPC,alémdeapresentaraspectosdeimplementaçãoeestudosdecaso retiradosdoambienteindustrial.Paratal,diversoscasosreaissãousadosparamotivare embasarasmetodologiasdecontroleeseusrespectivosdesenvolvimentosmatemáticos.

Nodecorrerdestetexto,queéoVolume1deumconjuntodedoisvolumes,osconceitosbásicosdecontrolepreditivoserãodetalhados,abordandoasprincipaismetodologiasdeMPClinearusadasnapráticaindustrial,paraocasomaissimplesdesistemasde umaentradaeumasaída(SISO,doinglês Single-InputSingle-Output).Sãotraçadosparaleloscomateoriaclássicadecontroleparacompararosresultadosapresentadoscom estratégiasbemconhecidasdaliteratura,comocontroladoresPIDeopreditordeSmith. Posteriormente,noVolume2,tratam-seosproblemasmaisgeraismultivariável(MIMO, doinglês Multi-InputMulti-Output)enãolinear,bemcomoaspectosmaisdetalhadosde métodosdeotimização.

Todoodesenvolvimentoteóricoapresentadonestelivrosegueumaabordagem nodomíniodotempodiscreto,recorrendoaconceitoseferramentasbásicasdateoria

Controlepreditivobaseadoemmodelo

decontroledigitalclássico,comoequaçõesadiferençasetransformadaZ.Olivroé orientadoaestudantesdeengenhariaedeáreasafinsquepossuemconhecimentos básicosdeteoriadecontroleemtempocontínuoetempodiscreto,podendoserusado tantoemcursosdegraduação(nasfasesfinais)quantoemcursosdemestrado.Para cursosmaisavançadosepesquisasdedoutorado,sugere-setambémousodomaterial apresentadonoVolume2.

Estelivroéorganizadodaseguintemaneira:

• oCapítulo2introduzosprimeirosconceitossobrecontroleMPCeapresenta exemplosmotivadoresparamostraropotencialdaferramenta;

• osCapítulos3e4apresentam,paraocasoSISO,duasdasabordagensdeMPC maisusadasnaliteraturaenaindústria,respectivamente,ocontroladorDMC (doinglês DynamicMatrixControl)eocontroladorGPC(doinglês Generalized PredictiveControl);

• parafinalizarestevolume,oCapítulo5tratadeaspectospráticosdoscontroladores MPC.DetalhesdeestratégiasusadasnapráticaparaadaptaroMPCacadêmico aousoindustrial,equesãomuitoimportantesparaosucessodessasaplicações, sãoapresentadas.Assim,sediscutem,entreoutros,problemascomoousode variáveisdefolganasrestrições,fundamentalparaasrestriçõesnasvariáveis controladasdoprocesso,eastécnicasdeblocagem,muitoutilizadasparareduzir otempodecálculodaleidecontrole.

Parafinsderevisãodosconteúdosapresentados,nofinaldecadacapítulosãopropostosexercícioseatividadesdesimulação.Ainda,nosapêndices,sãoapresentadosuma ferramentadesimulaçãogratuita,eumresumodosalgoritmosMPCdiscutidosnolivro. Oscódigosdosexemplossãodisponibilizadosparadescarganapáginawebdolivro1

Controlepreditivobaseadoemmodelo

Ocontrolepreditivobaseadoemmodelo(MPC,doinglês ModelPredictiveControl), comoseunomeindica,éumaestratégiadecontrolequeusaoconceitodepredição paraocálculodaaçãodecontroleaseraplicadanoprocesso.Prediçãoéoatoou efeitodepredizer,deafirmaroquevaiacontecernofuturo.Quandofazemosuma predição,estamosantecipandoaquiloque,supostamente,vaiacontecer.Nocasodo MPC,essasprediçõessãocalculadasusandoummodelodoprocessoasercontroladoe dadospresentesepassadosdesseprocesso.Assim,oMPC,tambémchamadoapenasde controlepreditivo,éumaestratégiadecontrolequebaseiasuasdecisõesempredições doquevaiacontecernofuturocalculadascombaseemummodelo.

Deumacertaforma,ocontrolepreditivotentareproduziraformacomooshumanos tomamdecisões.Considere,porexemplo,asaçõestomadasporumapessoaantesde iniciarocruzamentodeumaavenida.Apartirdomomentoemqueopedestrechega nofimdacalçada,aaçãodecontroleseguinte,cruzarounãoaavenida,dependede umaanáliserealizadacombasenaobservaçãodasposiçõesevelocidadesdoscarros quetrafegam,enumcálculomentaldotempoqueelesvãolevarparachegaratéo pontoondeopedestrepretendecruzar.Ainda,opedestreestimaotemponecessário paracruzaratéooutrolado.Assim,eleestárealizandoumapredição,emumajanela detempofuturo,dequalseráasuaposiçãoedequaisserãoasposiçõesdoscarros.A janeladetempoqueeleconsideraédada,aproximadamente,pelotemponecessáriopara cruzaratéooutrolado.Adecisãofinalasertomada,quepodemosdenominaraçãode controle,nãodependeapenasdasmediçõesrealizadasnoinstanteatual,mastambém dasprediçõesdasvariáveisenvolvidasnoproblema.Se,pelocálculomentalrealizado,o temponecessárioparacruzarformenorqueonecessárioparaoscarroschegarematéo local,opedestrevaicruzar.Casocontrário,deveesperaroutraoportunidade.Ainda, seadecisãofoiadecruzaraavenida,normalmenteopedestreirácontinuaraanálise damovimentaçãodoscarrosereavaliaráasituaçãoparapoderalterarsuadecisão,se necessário.Porexemplo,seopedestreobservaraaceleraçãodeumdoscarrosquese aproxima,areavaliaçãodaprediçãopodeconcluirqueénecessárioaceleraropasso parachegarasalvonooutroladodaavenida.

Omesmoaconteceemoutrassituações,porexemplo,quandodirigimosumcarro.As decisõesdeaceleraroufrearnãosãotomadasapenascomainformaçãodoinstanteatual detodososelementosmóveisquepodemcolidircomonossocarro,masusamostambém

Controlepreditivobaseadoemmodelo

asprediçõesdasvelocidadeseposiçõesdosmesmos.Efazemosissocontinuamente, sempreatentosamovimentaçõesdoscarrosepedestrespróximos.

Emtodasessassituações,usamosummodelomentalobtidocomaexperiência,que nospermiterealizarasprediçõesemumadeterminadajaneladetempoe,apartirdas informaçõesdessemodeloedoambienteemqueestamos,decidimosqueaçãotomar usandoalgumcritério.Nocasodocarro,porexemplo,seestamoscommuitapressa podemostomarumadecisãobemdiferentedaquetomaríamos,casonossoobjetivofosse economizarcombustívelouprezarpelasegurança.Ainda,seestivermosdirigindoum carropopularouumcarroesportivo,pormaisquetenhamosumobjetivobemdefinido, usaremosumaestratégiadiferenteparapisarnoaceleradoremcadacaso.Issoocorre porqueocomportamentodosveículosédiferenteparaumadadaaçãodecontrole,então nossocomportamentoaovolantetambémteráqueserdiferenteparaqueosveículos possamsecomportardemodosemelhante.Ouseja,nossasdecisõessãoimpactadas pelosobjetivostraçadosepelomodelodoprocessoquecontrolamos.Aindaemrelação aesteexemplo,observequeasdecisõesquetomamossãoreavaliadasacadainstantee sempreconsideramumajaneladetempofuturo.

Ocontrolepreditivocolocatodaessafilosofiadetomadadedecisãomedianteuma formulaçãomatemática.Nessaformulaçãoestarãodefinidosomodelo,osobjetivoseas restrições.Porexemplo,nocasodocarro,vamosconstruirummodelomatemáticoque relacioneasuavelocidadeeposiçãonaestrada,queserãoasvariáveiscontroladas(ou saídas),comasvariáveismanipuladas(ouentradasdecontrole),quenestecasosãoa posiçãodovolante,doaceleradoredofreio.Oobjetivopodeser,porexemplo,conduzir ocarroseguindoumatrajetóriadefinidaporvelocidadeseposiçõesaolongodaestrada. Asprincipaisrestriçõesdoproblemanestecasosãoavelocidademáximaeaaceleração máximadocarro,avelocidademáximapermitidanaviaemcadatrecho,omáximo ângulodegirodovolanteeadistânciamínimaquedesejamosmanteremrelaçãoa outroscarrosouobstáculos.Assim,combasenaprediçãocalculadapelomodelono horizonte,vamoscalcularaaçãodecontrolequeatendadamelhorformapossívelo objetivodeseguiratrajetóriaplanejada,satisfazendotambémasrestriçõesassociadasao problema.Finalmente,acadaamostra,oalgoritmodecontrolereavaliaasituação,dado queoscarroseobstáculospróximosmudamdeposição,edeslocaajaneladetempo usadaparaapredição.

Emcontrolepreditivo,utiliza-seumaformulaçãomatemáticaparadescreveros objetivosdecontrole,assimcomoparaconsiderarasrestriçõesdoproblema,oque implica,naprática,aresoluçãodeumproblemadeotimizaçãoaserresolvidoemcada amostra.Encontrarasaçõesdecontrolefuturasaseremaplicadasnoprocesso,deforma talquecheguemosomaispróximopossíveldoobjetivopodeser,emgeral,colocado

comoumproblemademaximizaçãoouminimizaçãodeumafunção,normalmente chamadadefunçãocustooufunçãoobjetivo.

AFigura2.1mostraumdiagramadeblocosdoMPCconsiderandoasideiasanteriormenteexpostas.Nele,podemosveroblocoquerepresentaomodelomatemáticoque aproximaocomportamentodoprocessoeootimizadorqueencontraaaçãodecontrole aseraplicadanoprocessoacadaamostra.Apesardeotimizadoremodeloseremrepresentadosemblocosseparados,ootimizadorprecisadeinformaçõesdomodeloparapoderdefinirasequênciaótimadeaçõesdecontrole,entãoesseselementossãorepresentadosnafiguracomocompartilhandoumespaçodememória,paratrocadeinformações.

Observequeootimizadorprecisa,comoentradas,umafunçãocusto(oufunçãoobjetivo), asrestriçõesdoproblema,asreferênciaseomodeloquerelacionaasprediçõescomas açõesdecontrole.Emgeral,pode-secolocaroproblemadeotimizaçãodeformagenéricacomo:encontrarasaçõesdecontrolenumajaneladetempofuturoparaminimizar afunçãocustoe,aomesmotempo,satisfazerasequaçõesdomodeloeasrestrições.

Dessaforma,porumladoootimizadorprecisadasprediçõesfuturasparapoder encontrarosinaldecontroleótimo.Poroutrolado,omodeloprecisadosvalorespassados dasvariáveismanipuladasecontroladasetambémdoscontrolesfuturosdefinidospelo otimizadorparaencontrarasprediçõesnajaneladetempofuturo,comumentechamada dehorizontedepredição.Essatrocadeinformaçõeséoqueserepresentanoespaçode memóriacompartilhadanaFigura2.1.

Função custo

Referências

MPC

Restrições

Otimizador

Memória

Ação de controle

Modelo

Saída do processo

Figura2.1 DiagramadeblocosdoMPC.

Comoomodeloutilizaosvalorespassadosdasvariáveiscontroladasparacalcularas predições,ficaclaroqueocontrolepreditivoéumaestratégiaqueutilizaarealimentação. MuitaspessoastêmafalsaideiadequeoMPC,portrabalharcompredições,nãoprecisa

Processo

Controlepreditivobaseadoemmodelo

deinformaçõessobreamediçãodoprocesso,masissonãoéverdade.AbordagensMPC utilizamasaídadoprocessoparaocálculodaaçãodecontrole.Essadependêncianão aparecedeformaexplícita,maspormeiodomodelonaFigura2.1,quecalculaassaídas futurascombasenasmediçõesjáfeitas,edofatoqueootimizadorfazusodomodelo paraencontrarasaçõesótimasdecontrole.

Observeageneralidadedessesistemadecontrole,poiselepodeseraplicadonosmais diversosproblemas,usandoosmaisdiversostiposdemodelo,econsiderandodiferentes objetivos.NaformulaçãodoMPCnãoespecificamos,porexemplo,seomodeloélinear ounãolinear,seestádadoemrelaçõesentrada-saídaoucomvariáveisdeestado,se éummodelofenomenológicooudotipocaixapreta.Tambémnãoespecificamosse osobjetivossãoseguirumadeterminadareferênciaoumaximizarumaprodução,por exemplo.

Masseráqueousodoconceitodeprediçãonaformulaçãodeumaleidecontrole éumaexclusividadedoMPC?Vamosapresentarumexemplosimplesdecontroleem tempodiscretoparaanalisaresteponto.

Exemplo2.1

Considereumprocessomodeladoporumsistemadetempodiscretodeprimeira ordemdotipo:

sendo ��(��) asaída, ��(��) ocontrole, �� aamostradetempoatuale �� e �� coeficientes reaisquecaracterizamadinâmicadosistema.Suponhamosquedesejamosfazer comqueoprocessotenhaumasaídapredeterminadanumajaneladetempofutura detamanho �� dadapor:

Assumindoqueomodelorepresentabemoprocesso,épossívelobterosvalores futurosdasaídasimplesmentedeslocandonotempoaequaçãodomodelo:

Comestaúltimaequação,épossívelobterosinaldecontrolenecessárioparagarantirqueasaídaem �� + �� + 1 tenhaovalordesejado ���� (�� + �� + 1) aoseisolarosinaldecontrole ��(�� + ��) esubstituir �� por ����.Seisso forfeitoparadiferentesvaloresde ��,chega-seaumasequênciadesinaisdecon-

ControleporMatrizDinâmica(DMC)

Ocontrolepormatrizdinâmica(DMC)foipropostonofimdosanos1970por engenheirosdacompanhiapetrolífera Shell (CUTLER;RAMAKER,1980).ODMCutiliza arespostaaodegraucomomodelodeprediçãoesetornouummétododecontrole bastantepopularnocontextoindustrial,aplicávelaplantasestáveisnasuaversão originalepermitindoaconsideraçãodemodosintegradoresnocasoestendido.Aadesão daindústriadeu-se,emgrandeparte,devidoàfamiliaridadenaobtençãodomodelo porprocessosconhecidosdeidentificaçãodaplantaeàcapacidadedelidarcomplantas multivariáveisdemaneirasimples(CAMACHO;BORDONS,2004).

ApesardeoDMCtersidoapresentadodiretamenteparaocasoMIMO,estecapítulo focaapenasnocasoSISOparapoderintroduzirosconceitosdeumamaneiramais simples.OcasoMIMO,queédefatoomaisusadonapráticaindustrial,éapresentado noVolume2destaobra.

3.1FORMULAÇÃODODMCPARAPLANTASESTÁVEIS

Nestaseção,apresentaremosocontroladorDMCparaplantasSISOestáveis,focando nostrêselementosprincipaisdoalgoritmo:omodelodepredição,afunçãocustoeo procedimentodecálculodaaçãodecontrole.Iniciaremosoestudocomodesenvolvimentodaestratégiausadaparaocálculodaspredições.

3.1.1Cálculodaspredições

OmodelodeprocessoutilizadopeloDMCparaocálculodaprediçãodasaídade umsistemaestávelébaseadonoconceitode“respostaaodegrau”deumsistemalinear einvariantenotempo.Considerandoosistemainicialmenteemrepouso,ométodopara modelaroprocessoconsisteemaplicarumdegrauunitárionavariávelmanipuladada plantaearmazenararespostaobservadanavariávelcontrolada.Paraarmazenaressa respostaemumvetor,bastaamostrarosvaloresdarespostaobtida.

Paraexemplificar,naFigura3.1éapresentadaarespostaaodegrauparaumsistema genéricoestável,lineareinvariantenotempo,partindodorepouso.Observenafiguraa determinaçãodoscoeficientesdarespostaaodegrau,denotadosaquipor ���� emarcados nafiguracomasteriscos.

Controlepreditivobaseadoemmodelo

Saída do processo resposta coeficientes gi

0 0,5 1 1,5 2

0102030405060

Tempo (minutos)

Figura3.1 RespostaaodegraudeumsistemaSISOestável.

Comumperíododeamostragemfixo,épossívelrepresentarocomportamento entrada-saídadosistema(modelodemalhaaberta)apartirdoscoeficientesdesua respostaaodegraudaseguinteforma:

emque ���� sãovaloresdoscoeficientesdarespostaaodegrau, �� éavariávelmanipulada e �� éasaídaouvariávelcontroladadosistema.Observequeassumimosqueosistema consideradonãotemrespostainstantânea,ouseja,sempretemosnomínimouma amostradeatrasoentreentradaesaída(noteque ��(��) dependede ��(�� 1) econtroles anteriores).ComodiscutidonaSeção2.1.2,emumaimplementaçãodeMPCissoé sempreverdade,poisasaídaéprimeiromedidaedepoisécalculadoosinaldecontrole aplicadoem ��.Dessaforma,mesmoqueoprocessoeventualmentetenharesposta instantânea,elasóseráobservadanoinstante �� + 1.

Paraentenderestaformaderepresentaromodelo,devemoslembrardoconceitode respostaaoimpulsodiscretadeumsistema,dadapelosomatóriodeconvolução:

com ℎ(��) = ℎ�� representandoosvaloresdoscoeficientesdarespostaaoimpulso.Vejaque estaequaçãoéanálogaàintegraldeconvoluçãodeumsistemaeenvolveumsomatório cominfinitostermos(LATHI,2006).

Mas,comooimpulsodiscreto ��(��) podesercolocadocomo: ��(��) = 1(��)− 1(�� 1),

definindo 1(��) comoumdegrauunitário,arespostaaoimpulsopodeserescrita,para todo ��,como:

oqueimplicaqueoscoeficientesdasrespostasverificam:

oquepermiteescreverarespostadosistema(3.2)como:

Usandoapropriedadedaconvoluçãoqueestabeleceque Δ�� ∗ �� = �� ∗ Δ��,temos:

Observequeaoaplicarumsinaldotipodegrauunitárionosistema,queverifica Δ��(��) = 1 para �� = 0 e Δ��(��) = 0 para ��> 0,paracada ��,todosostermosdasoma sãonulos,salvoode �� = ��,oqueresultaem ��(��) = ���� .Destaforma,podemosobter todososcoeficientes ���� (�� = 1 ... ∞)diretamenteapartirdosvaloresdarespostadosistemaparaumdegraudeamplitudeunitária.

Éimportantecolocarque,naprática,osprocessostêmcomportamentos,emgeral, nãolineareseosmodeloslinearesaproximadossãoobtidoscomoprocessooperando emumdeterminadopontodeoperação.Assim,omodelolinearderespostaaodegraué ummodeloincrementalválidoparaopontodeoperaçãodefinido.Quandoqueremos obteressemodeloexperimentalmente,oprocedimentopráticotipicamenteconsisteem aplicarumincrementodotipodegraunavariávelmanipuladanopontodeoperação. Destaforma,osdadosqueinteressamparadeterminaromodelosãoosincrementosna variávelcontroladadoprocessoreal,istoé,asvariaçõescomrelaçãoaovalorde ��(0). Destamaneira,omodeloaproximadodoprocessoseria:

sendo ��(0) asaídadoprocessonopontodeoperaçãodoprocessoeconsiderandoos controlesdeamplitudetalqueafastamoprocessodopontodeoperaçãoemumafaixa

Controlepreditivobaseadoemmodelo

quemantenhaavalidadedaaproximação.Paraobteroscoeficientes ���� apartirdos dadosdeumexperimentoderespostaaodegrauunitário,devemoscalcularavariação de ��(��) comrelaçãoa ��(0):

eassim,usandoumdegraudeamplitudeunitáriaem ��,podemosencontraros ���� usando ����(��) = ���� (�� = 1 ... ∞).

Noteque,apesardeaobtençãodoscoeficientesderespostaaodegrauserdadapara umdegraudevalorunitárionavariávelmanipulada,naprática,dificilmenteteremosa possibilidadedeaplicarumdegraudessaamplitude,porser,àsvezes,muitograndeou muitopequeno.Porexemplo,umdegrauunitáriopodenãosersuficienteparagerar umarespostadosistemacomrelaçãosinal/ruídoadequada,inviabilizandoaobtenção domodelo.Detodaforma,comoomodeloélinear,podemossimplesmenteajustaros valoresdoscoeficientesdarespostaincrementalobtida ����(��) comodegraunãounitário, dividindotodoselespelovalordaamplitudedodegrauaplicado.Supondoqueodegrau aplicadopossuiamplitude ��0 equeoscoeficientesobtidosdarespostaincrementaldo sistemasãodadospor ˜ ���� = ����(��) (�� = 1 ... ∞),calculamososcoeficientesdesejadospara omodelocomo ���� =

Porém,semperdadegeneralidade,amaioriadosdesenvolvimentosteóricosna sequênciasãorealizadosconsiderando ��(0) = 0 e ��0 = 1,apesardenapráticaa amplitudedodegrauaplicadoraramenteserunitária.

Opróximoexemploilustraoprocedimentoparaobtençãodoscoeficientesparaum casoprático.

Exemplo3.1

Umprocessodecontroledetemperaturadeumtrocadordecalorágua-vapor usadonaindústriadoetanolutilizavaporresidualdoprocessodeevaporaçãodo caldoparaaqueceraáguaempregadanalimpezadeváriosequipamentos.Avazão devaporqueentranotrocadorécontroladacomumaválvulaeatemperaturada águaémedidalogonasaídadotrocador.

OesquemadoprocessoéilustradonaFigura3.2,enaFigura3.3émostradoo resultadodeumensaiorealizadonoprocesso.Noensaio,comotrocadornuma temperaturadeoperação,aplicou-seumdegraudeaberturanaválvuladevapor deamplitude 10% (passandode 30% para 40%),observando-seumaresposta transitóriadetemperaturadopontoinicialem �� (0) =70 ◦C paraovalorfinalde �� =90 ◦C.

ControlePreditivoGeneralizado(GPC)

OmétodochamadoControlePreditivoGeneralizado(GPC,doinglês Generalized PredictiveControl)foipropostoem1987(CLARKE;MOHTADI;TUFFS,1987)esetornou umdosmétodosmaispopulares,tantonaindústriaquantonaacademia(CAMACHO; BORDONS,2004).AprincipaldiferençaentreDMCeGPCestánomodelousadoparao cálculodasprediçõesdasaídadoprocessoedasperturbações.OGPCusaummodelo baseadoemfunçõesdetransferênciapararepresentaroprocesso,quetrazalgumas vantagensemrelaçãoaomodeloadotadopeloDMC:(i)éummodeloparamétrico,com umreduzidonúmerodecoeficientes;(ii)poderepresentarqualquerdinâmicalinear possíveldeserrepresentadaporfunçõesdetransferência,inclusiveplantasinstáveis, semnecessidadedemodificações.Ainda,omodelodasperturbaçõesémaisgeralqueo usadonoDMCepodeconsiderarváriostiposdeperturbação,alémdaquelasdotipo degrau.Nosoutrosaspectos,comofunçãocusto,representaçãoderestriçõeseobtenção daleidecontrole,oprocedimentousadonoGPCéigualaodoDMC.Porisso,neste capítulofocaremosprincipalmentenaanálisedocálculodaspredições,queéoaspecto quediferenciaosdoiscontroladores.Usaremos,nasequência,amesmafunçãocustoque nocasodoDMCecomosmesmosparâmetrosdesintonia(horizonteseponderações).

4.1MODELOUSADONOGPC

Funçõesdetransferênciadetempodiscretosãomodeloslinearesamplamenteutilizadospararepresentarasdinâmicasassociadasaprocessos.Aqui,vamosconsiderara funçãodetransferência ���� (��) pararepresentararelaçãoentreavariávelmanipulada �� (��) easaídadoprocesso �� (��),noplanotransformado:

com �� sendoavariávelcomplexa.Estafunçãodetransferênciatambémpodeserescrita emfunçãode �� 1 , ���� (�� 1),oquefacilitaatransformaçãoparaequaçõesadiferenças, nodomíniodetempodiscreto.Assim,essanotaçãoseráusadanasequência:

Controlepreditivobaseadoemmodelo

com ���� (�� 1) e ���� (�� 1) sendopolinômiosem �� 1.Aestruturadessespolinômiosserá discutidaembreve.

Damesmaforma,épossívelconsiderarummodelodotipofunçãodetransferência ���� (��) paraarelaçãoentreasperturbaçõesnãomensuráveis �� (��) easaída �� (��),e outromodelo ���� (��) paraarelaçãoentreasperturbaçõesmensuráveis �� (��) easaída doprocesso,comaforma:

com ���� (�� 1), ���� (�� 1) e ˜

sendopolinômiosem �� 1.Novamente,as estruturasdessespolinômiosserãodiscutidasnasequência.Porora,ofundamentalé entenderquecadarelaçãodinâmicadoprocessorealémodeladaporumafunçãode transferênciadetempodiscreto.

Destaforma,omodelocompletodosistemaédadopor:

Omodeloem(4.5)podeserreescritoconsiderandoaseguinteformacompacta:

quepossuiomesmopolinômiocomodenominadordetodasasfunçõesdetransferência. Alémdesimplificaranotação,issopossibilitaoperarmaisfacilmentenodomíniodo tempo.Trataremosissocomdetalhesaolongodestecapítulo.Nanotaçãode (4.6),note queforamfeitasasseguintesconsiderações:

• ��(�� 1) éomínimomúltiplocomumdospolinômios ���� (�� 1), ���� (�� 1) e ���� (�� 1); •parapodermanteramesmarelaçãodinâmica,osnumeradorestambémsãoalteradosemrelaçãoa(4.5);

• osprocessosestudadosnãotêmtransferênciadiretaentreosinaldecontroleea saída,istoé,existe,nomínimo,umatrasodeumaamostraentre �� e ��,representado pelofator �� 1 explicitamentecolocadononumeradordomodelo3;

3 Notequeaausênciadetransferênciadiretanomodelodeprediçãoéalgoinerenteaumcontrolador preditivo,dadoquesempresemedeprimeiroasaídaparaentãocalcularosinaldecontrolequeserá aplicadonomesmoinstantedetempo.Detalhessobreissosãoapresentadosnapartedeescolhados horizontesdaSeção2.1.2.

• oatrasodetransporte(outempomorto) �� adicionalentreosinaldecontroleea saídaétambémexplicitamentecolocadononumeradordomodelocomotermo �� ��;

• oatrasodetransporte ���� entreosinaldeperturbaçãomedidaeasaídaétambém explicitamentecolocadononumeradordomodelo(comotermo �� ���� )4;

• paraasperturbaçõesnãomedidas,omodelotambémpodeconsiderarresposta instantâneaentreasperturbação �� easaídamas,nestecaso,omodelonãomostra oatraso �� 1 explicitamentenaformulação.Casoexistaumatrasonestafunção detransferência,eleseráobservadonoscoeficientesnulosdopolinômio �� (�� 1).

Nomodelo(4.6),ospolinômios ��(

sãodadospor:

Notequeopolinômio ��

émônico,istoé,ocoeficientedotermodemaiorgraué1. Ospolinômios

1) originalmenteusadosem (4.5) possuemestruturasequivalentesàquelasapresentadasacimapara ospolinômios ��(�� 1), ��(�� 1), �� (

1) e ���� (��

),cadaumpodendoterumnúmerodiferentedetermosesendoospolinômiosdodenominadortodosmônicos.Casoalgum polinômiododenominadornãosejamônico,notequeépossíveldividirtantoonumeradorquantoodenominadordessepolinômiopelocoeficientedotermodemaiorgraudo denominadorechegaraumarepresentaçãoequivalentecomdenominadormônico.

Caso ���� (�� 1), ���� (�� 1) e ���� (�� 1) sejamdiferentes, ��(�� 1) édefinidocomoo mínimomúltiplocomumdessespolinômioseénecessárioadicionaralgunstermos em ���� (�� 1), ���� (�� 1) e ˜ ���� (�� 1) paracompensarostermosadicionadosaosubstituir cadaumdosdenominadoresoriginaispelomínimomúltiplocomum.Nasequência, apresentamosumexemplodecálculodomodeloqueajudaaentendercomoobtera representaçãogeralde(4.6)apartirdeumarepresentaçãocomoade(4.5).

4 Notequese ���� = 0 omodelopodeconsiderarrespostainstantâneaentreaperturbaçãomedidaea saída,dadoqueessasituaçãopodeacontecernapráticaquandoaperturbaçãoestánasaídadoprocesso (comojádiscutidonocasodoDMC).Estecasoédiferentedarelaçãoentrevariávelmanipuladaesaída, poistantoaperturbaçãomensurávelquantoasaídasãomedidasjuntasacadainstantedetempo.

Controlepreditivobaseadoemmodelo

Exemplo4.1

Considereoseguintemodelodeumprocessoque,porsimplicidade,apenas possuiumaperturbaçãomensurável:

Claramente,osdenominadoresde ���� (�� 1) e ���� (�� 1) nãosãoiguais,apesarde teremumpoloem ��1 emcomum.Apartirdessaequação,construímosopolinômio ��(�� 1) comoomínimomúltiplocomumde (1 ��1

)2 e (1 ��1

1)(1 ��2 �� 1), istoé,umpolinômioquecontenhacomoraízestodososdiferentespolosde ���� (�� 1) e ���� (�� 1),respeitandoamaiormultiplicidadedeumdadopolo.Nestecaso,

Aseguir,encontramososnovospolinômiosnumeradores ��(�� 1) e �� (�� 1) de talformaaobtermos ���� (��) e ���� (��) considerandoonovodenominadorcomum ��(�� 1).Nesteexemplo,noteque ��(�� 1) temumtermoadicional (1 ��2 �� 1) em relaçãoaodenominadororiginalde ���� (�� 1),entãoeledeveseradicionadoao numeradorparaqueasrepresentaçõessejamequivalentes.Omesmovaleparao termo (1 ��2 �� 1) emrelaçãoa ���� (�� 1).

Dessaforma,podemserobtidasrepresentaçõesequivalentesde ���� (�� 1) e ���� (�� 1) comomesmodenominadordadaspor:

Observequeasfunçõesdetransferênciaoriginais, ����

) e ���� (�� 1),podemser obtidasefetuandooscancelamentosdasraízesiguaisnosnumeradoresedenominadores.

Porfim,notequenarepresentaçãode (4.6) oatrasoassociadoàamostragem éexplicitamenteremovidode ��(�� 1),entãoospolinômios ��(�� 1) e ���� (�� 1) são dadospor:

AspectospráticosdoMPC

EstecapítuloanalisadiversosaspectospráticosimportantesdoMPCquenãoforam, porumaquestãodidática,introduzidosnoscapítulosanteriores.Porexemplo,na práticaindustrial,énormalquesejamutilizadasfunçõescustodiferentesdabásica usadanoscapítulosanteriores,deformaapermitirtratarsituaçõescomobjetivosmais diversos.Também,otratamentoderestriçõesnasvariáveisdesaída,oucontroladas, deveserrealizadodeformadiferentedojáapresentadonestelivroafimdeevitar problemasdefactibilidade.Finalmente,paraaimplementaçãodoalgoritmodecontrole emumaaplicaçãoreal,oproblemadeotimizaçãodeveserresolvidodentrodoperíodo deamostrageme,casoissonãoaconteça,algumaestratégiadeveserdefinidaparaenviar osinaldecontroleaoprocesso.Nasequência,formularemosessescasosespeciaise mostraremosasdiferençasemrelaçãoaoscasosjáestudados.

5.1RESTRIÇÕESESPECIAIS

Noscapítulosanteriores,vimosqueoproblemadeotimizaçãoquadráticocom restriçõesdedesigualdade,naformapadrão,podeserdefinidocomo:

com R e r sendo,respectivamente,umamatrizeumvetorquerepresentamrestriçõesde desigualdadedadasporumacombinaçãolinearde Δu,masobtidosapartirdasrestrições originaisdoproblema(tipicamentenocontrole,noincrementodecontroleenasaída). Aformapadrãoéimportante,poisamaioriadospacotesdeotimizaçãoautilizam,facilitandoaentradadedadoseatrocadealgoritmos.E,comoveremosnasequência,vários outrostiposderestriçõespodemsercolocadosdestaforma.Ressalta-se,noentanto,que aoseaumentaronúmeroderestrições,ocustocomputacionalpararesolveroproblema deotimizaçãocresceconsideravelmente,possivelmenteinviabilizandoaimplementação docontroladoremsistemascomperíodosdeamostragemrelativamentecurtos.

Apresentaremos,nestecapítulo,algumasrestriçõesquesãobastanteinteressantes paraasvariáveisdesaídadoprocesso:(i)restriçõesderespostamonotônica,istoé,que osistemaseaproximedareferênciasemoscilações;(ii)restriçõesdepicozero,quando sedesejaquearespostanãoultrapasseovalordareferênciaduranteotransitório;e

Controlepreditivobaseadoemmodelo

(iii)restriçõesderespostainversa,quandosedesejaqueasaídanãosemovimenteem direçãocontráriadamudançadereferência(efeitogeralmenteconhecidoderespostade fasenãomínima).

Emtodososcasosanteriores,ilustraremosoestudoconsiderandoarestriçãoaplicada emtodaajaneladepredição.Outrostiposderestriçõestambémpodemserestudados aplicandoasmesmasideiasaquiapresentadas,inclusivecomcondiçõesaplicadasapenas emalgunselementosdohorizonte.Nosexercícios,nofinaldocapítulo,sãopropostos algunsproblemasrelacionadoscomoutrasrestriçõesespeciais.

5.1.1Respostamonotônica

Arespostamonotônicaexigeque:

paratodoelementodohorizonte( �� = ��1,...,��2),quandoosinaldereferênciasejatal que �� (�� + ��) >��(��).Deformacontrária,exigimos:

, paratodoelementodohorizonte,quandoosinaldereferênciasejatalque �� (�� + ��) <��(��).

Observequeseosistemativeratraso �� e ��1 forescolhidodeformainadequada,isto é,com ��1 <�� +1,nãohánadaqueocontroladorpossafazerparaascondiçõescolocadas nassaídaspreditasaté �� + 1,dadoqueumaaçãodecontroleaplicadanoinstante �� só surtiráefeitoem �� + �� + 1.Assim,aaçãodecontroledefinidaem �� nãoterácomoalterar arespostadosistemaantesde �� + �� + 1 easatisfaçãoounãodequalquerrestrição impostaparaasaídaatéesseinstantedetempodependerádarespostalivrequeosistema apresentavaemfunçãodasentradaspassadas.Dessaforma,nestecasoarestrição colocadapodeserinfactível,vistoquenãohaverásinaldecontroleaplicadoem �� enos instantesseguintesquepossafazercomquearestriçãonãosejavioladacasoaresposta dosistemaaentradaspassadasviolearestrição.Vamosconsideraraquiaescolhacorreta de ��1 edesenvolvercomdetalhesapenasoprimeirodoscasos,quando �� (�� + ��) >��(��):

Considerandoaformavetorialdaspredições,ovetordoladoesquerdodadesigualdade éescritocomo: ˆ y = GΔu + f.Jáovetordoladodireitopodeserescritocomo:

sendoamatriz G

Assimtemos:

GΔu + f ≥ G0Δu + f0, quepodeserescritocomo:

[G G0] Δu ≥[f0 f], ou

[G0 G] Δu ≤[f f0], eusadonoconjuntoderestriçõesdoproblemadeprogramaçãoquadrática.Noteque, caso ��1 sejaescolhidocomo ��1 = �� + 1,entãoaprimeiralinhadamatriz G0 seránula, poissomenteos ����+�� com ��> 0 serãonãonulos.Lembre,também,queaspredições ˆ ��(�� + �� | ��) = ��(�� + ��) se �� ≤ 0.

Paraocasode �� (�� + ��) <��(��),seusarmosomesmoprocedimentoanteriorcoma condiçãocontrária,chegamosa:

GΔu + f ≤ G0Δu + f0, quepodeserescritocomo:

[G G0] Δu ≤[f0 f].

Vamosapresentardoisexemplos:noprimeiro,usaremosumMPCcomhorizonte curtoparaomostrarocálculodasmatrizese,nosegundo,realizaremossimulaçõescom estetipoderestrição.

Controlepreditivobaseadoemmodelo

Exemplo5.1

ConsidereumsistemacontroladoporumGPCcomhorizontesdefinidospor ��1 = 1, ��2 = 3 e ���� = 2 eumamatriz G dadapor:

Considere,ainda,quenoinstante �� temosovalorde:

earespostalivreédadapor:

Comessesdados,podemoscalcularamatriz

Assim,casodesejemosimporumarespostamonotônicacomosinaldereferência, talque �� (�� + ��) >��(��),precisamoscolocaraseguinterestriçãonoproblemade otimização:

A

Nesteapêndice,apresentamosbrevementeumsimuladorinterativoparaocontroladorGPCparaocasoSISO,quepodeserdescarregadodapáginawebdoprofessorJosé LuisGuzmanSanchez,daUniversidadedeAlmeríanaEspanha11 .

Osarquivossãoexecutáveisenãoprecisamdenenhumainstalação.Ainda,na mesmapáginapodemserbaixadososmanuaisdeutilização.Porserinterativa,é possívelmodificarquaisquerparâmetrosdasimulaçãoeobservarosefeitoscausadosno desempenhodosistemadeformaimediata.Porisso,éumaferramentabemútilpara ilustrarosprincipaisconceitosdeMPC,apesardeserbaseadaapenasnoGPC.

Nosimulador,épossívelescolheroprocessoasersimulado,medianteàdefiniçãodos coeficientesdafunçãodetransferência,ouainda,usandoumaferramentadealocação depolosezerosnoplanocomplexo.Paraassimulações,épossívelescolherentreocaso ondeomodeloéigualaoprocessoeocasocomerrodemodelagem,bastandoparaisso movimentarospolosezerosdaplantaoumodelo.

AFiguraA.1mostraajaneladaferramentacomosdiferenteselementos.Naparte inferiorpodemosverosgráficosdasaída ��,docontrole �� edoincrementodecontrole Δ��.Barrasverticaispontilhadasindicamoshorizontesdeprediçãonográficode �� ede controlenográficode �� e Δ��.Épossívelmudarasreferênciaseperturbaçõesaplicadas, assimcomootempodesimulação.Napartesuperioràesquerda,seobservaajanela quemostraalocalizaçãodepolosezeros.Napartesuperioràdireita,estãotodosos parâmetrosdeajustedocontrole,períododeamostragem,definiçãoderestriçõese tempototaldesimulação.

Paraoajustedequaisquerparâmetro,bastamoverasbarrasparaesquerdaoudireita. Paraescolhadotipoderestriçãoaserusadabastamarcaracaixacorrespondente.Nos gráficos,épossívelmodificaroshorizontes,temposdeaplicaçãodasmudançasde referênciaeperturbações,assimcomosuasamplitudes,apenasmexendodiretamente comocursornoelementocorrespondente.

Paramaioresdetalhessugerimosaleituradomanual,quepodeseracessadoda própriaferramentanomenu Settings-Tutorial. 11 https://abre.ai/iSuL.

FiguraA.1 JaneladaferramentainterativadesimulaçãodoGPCSISO

ResumodosalgoritmosMPC

Nesteapêndice,sãodescritosdeformaresumidaosalgoritmosMPCapresentados parafacilitareventuaisconsultasdoleitor.

B.1CONTROLEPREDITIVOBASEADOEMMODELO(MPC)

Afunçãocustoaserresolvidaconsideradanestevolumeédadapor:

sendo ��, ˆ ��, Δ��,respectivamente,areferênciadesejada,aprediçãodasaída,eoincremento decontroleaseraplicado.Osparâmetrosdesintoniasãooshorizontesdepredição inicial ��1 efinal ��2,ohorizontedecontrole ����,aponderaçãodoesforçodecontrole ��, eaponderaçãodoserrosfuturos ��

Asprediçõespodemserescritasnoformatovetorial:

y = GΔu + f , (B.2)

sendoqueotermo GΔu representaarespostaforçadae f ∈ R�� arespostalivre,com �� = ��2 ��1 + 1.Amatriz G ∈ R�� × ���� édefinidapelosalgoritmosDMCeGPC, Δu ∈ R���� éovetordeincrementosfuturosdecontrolequedevesercalculadopelo controlador,e �� ovetorderespostalivre:

y =

Afunçãocustopodeserescritanoformatomatricialpadrão:

Controlepreditivobaseadoemmodelo

com H���� = 2 G�� Q��G + Q�� , f���� = 2G�� Q�� [r f ] ,

= [r f ]�� Q�� [r f ] ,

com Q�� = ��I���� e Q�� = ��I�� .Senãoforemconsideradasrestrições,existesolução analítica,aqualédadapor:

,

,

com K = G�� Q��G + Q�� 1 G�� Q�� constantequepodesercalculadodemaneira offline Como,usualmente,édeinteresseapenasovalorde Δ��(��),ocálculosetorna:

sendo K1 aprimeiralinhadamatriz K

Seforemconsideradasrestrições,oproblemadeotimizaçãosetorna:

com R e r representandoasrestriçõesassociadasaoproblemadeotimização.Asrestriçõesmaiscomunssão:(a)noincrementodecontrole;(b)novalordaaçãodecontrole; (c)nasaídadosistema.Arestriçãonoincrementodecontroleédescritacomo:

sendo 1���� umvetordedimensão ���� noqualtodososelementossãoiguaisa1.

Arestriçãonovalordaaçãodecontroleédadapor: