Análise Matemática para Licenciatura - 3ª Edição Revista e Ampliada by Editora Blucher

Sum´ ario Pref´ acio

1 Preliminares de L´ ogica 1.1 Primeiras no¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposi¸cões e teoremas . . . . . . . . . . . . Condi¸cão necessária e suficiente . . . . . . . . Dois princ´ıpios de Lógica . . . . . . . . . . . Contraposi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . Demonstra¸cão por absurdo . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 1.2 Indu¸cão matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ preciso ter cuidado . . . . . . . . . . . . . . E Conversando com o professor do ensino médio Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . Respostas, sugesto ¸o 1.3 Notas históricas e complementares . . . . . . . . . . A Geometria dedutiva . . . . . . . . . . . . . Os Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . O conte´ udo dos Elementos . . . . . . . . . . . As geometrias não-euclidianas . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 4 5 7 7 8 9 10 11 13 16 17 18 19 19 19 20 21

2 N´ umeros reais — Parte I 2.1 N´ umeros racionais e representa¸c˜ ao decimal . N´ √umeros irracionais . . . . . . . . . 2 ´e n´ umero irracional . . . . . . . N´ umeros reais . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . Respostas, sugesto ¸o 2.2 No¸c˜oes sobre conjuntos . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

23 23 25 25 26 26 28 29

. . . . . . .

Sum´ario

2.3

2.4

Especifica¸cão de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A enumerabilidade do conjunto Q . . . . . . . . . . . . . Um caso mais geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´ umeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A não enumerabilidade do conjunto R . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . Respostas, sugesto ¸o Notas históricas e complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . A teoria dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cantor e os conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Cantor e infinidade dos n´ umeros transfinitos . O paradoxo de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frege e o paradoxo de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . Por que surgem paradoxos? . . . . . . . . . . . . . . . . . Zermelo e o axioma da especifica¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . O paradoxo de Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . As imprecisões da linguagem . . . . . . . . . . . . . . . . A linguagem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linguagem formal e linguagem corrente . . . . . . . . . . Ainda a linguagem e o simbolismo . . . . . . . . . . . . . Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 N´ umeros reais — Parte II 3.1 Grandezas incomensuráveis . . . . . . . . . . . . A medi¸cão de segmentos . . . . . . . . . . Segmentos incomensuráveis . . . . . . . . O retângulo áureo . . . . . . . . . . . . . Uma infinidade de retângulos áureos . . . Divisão áurea . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto 3.2 A crise dos incomensuráveis e sua solu¸c˜ ao . . . . A teoria das propor¸c˜ oes . . . . . . . . . . Desenvolvimento posterior da Matemática Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o

. . . . . . . . . . . . .

29 31 31 32 32 33 34 34 35 36 37 37 38 38 38 39 40 40 41 41 42 43 43 44 44 45 46 46 47 48 49 50 51 52 52 53 53 54 55 56

Sum´ ario iii 3.3

. . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 59 59 60 61 61 62 64 66 67 68 69 69 69 70

4 Seq¨ uˆ encias infinitas 4.1 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Seq¨ uências infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conceito de limite e primeiras propriedades . . . . Defini¸cão de vizinhan¸ca . . . . . . . . . . . . . . . Seq¨ uências limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . Opera¸cões com limites . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 4.3 Seq¨ uências monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O n´ umero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subseq¨ uências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seq¨ uências recorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 4.4 Intervalos encaixados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos aderentes e teorema de Bolzano-Weierstrass Critério de convergência de Cauchy . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 4.5 Notas históricas e complementares . . . . . . . . . . . . . A não enumerabilidade dos n´ umeros reais . . . . . Cantor e os n´ umeros reais . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 72 73 74 75 78 80 82 84 85 86 88 88 91 92 93 95 96 97 99 100 101 101 101

3.4

3.5

Dedekind e os n´ umeros reais . . . . . . . . . . Cortes de Dedekind . . . . . . . . . . A rela¸cão de ordem . . . . . . . . . . . Opera¸cões com n´ umeros reais . . . . . O conjunto Q como subconjunto de R A completude dos n´ umeros reais . . . Unicidade do corpo dos n´ umeros reais Supremo e ´ınfimo de um conjunto . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto Desigualdade do triângulo . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o Nota histórica e defini¸cão de corpo . . . . . . Fundamentos da Matemática . . . . . Defini¸cão de corpo . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

Sum´ario Bolzano e o teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . 104

5 S´ eries infinitas 5.1 Primeiros exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Como definir soma infinita . . . . . . . . . . . . . . Propriedades e exemplos . . . . . . . . . . . Séries de termos positivos . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . Respostas e sugesto 5.3 Teste de compara¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . Irracionalidade do n´ umero e . . . . . . . . . ´ Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto 5.4 Teste da razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto 5.5 Teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto 5.6 Convergência absoluta e condicional . . . . . . . . Séries alternadas e convergência condicional Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Notas históricas e complementares . . . . . . . . . A origem das séries infinitas . . . . . . . . . A divergência da série harmônica . . . . . . Nicole Oresme e a série de Suiseth . . . . . Cauchy e as séries infinitas . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106 106 107 108 111 112 113 114 115 118 119 119 121 121 122 123 124 124 125 128 128 128 129 129 131

6 Fun¸ c˜ oes, limite e continuidade 6.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . Terminologia e nota¸c˜ ao . . . . . . . . Vários tipos de fun¸c˜ ao . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 6.2 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . No¸cões topológicas . . . . . . . . . . . As defini¸cões de limite e continuidade Propriedades do limite . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 6.3 Limites laterais e fun¸cões monótonas . . . . .

. . . . . . . . . . . .

133 133 136 137 138 140 140 140 142 144 148 149 151

. . . . . . . . . . . .

Sum´ario v

6.4

6.5

Limites infinitos e limites no infinito . . . . . As descontinuidades de uma fun¸c˜ ao . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o Fun¸cões cont´ınuas em intervalos fechados . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto Notas históricas e complementares . . . . . . . . . . O in´ıcio do rigor na Análise Matemática . . . O Teorema do Valor Intermedi´ ario . . . . . . Weierstrass e os fundamentos da Análise . . . Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . Conversando com o professor do ensino médio

7 O c´ alculo diferencial 7.1 A derivada e a diferencial . . . . . . . Reta tangente . . . . . . . . . . A diferencial . . . . . . . . . . Regras operacionais . . . . . . Derivada da fun¸cão inversa . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto 7.2 Máximos e m´ınimos locais . . . . . . . Teorema do valor médio . . . . ´ Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e sugesto ˜ es . . . . . . . . Soluc ¸o 7.3 Notas históricas e complementares . . As origens do Cálculo . . . . . O cálculo fluxional de Newton O cálculo formal de Leibniz . . Newton e Leibniz . . . . . . . . O problema dos fundamentos . 8 Teoria da integral 8.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 A integral de Riemann . . . . . . . . Defini¸cão de integral . . . . . Continuidade uniforme . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . Sugesto ¸o 8.3 Integrabilidade das fun¸cões cont´ınuas

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

152 155 158 160 161 166 167 168 168 171 172 172 173

. . . . . . . . . . . . . . . . .

175 175 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 187 188 188 190 190

. . . . . . .

192 192 193 193 197 200 201 201

. . . . . . .

8.4

Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . Primitivas de fun¸c˜ oes cont´ınuas . . . . . . . . . Fun¸cões definidas por integrais . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto Notas históricas e complementares . . . . . . . . . . . O que é quadratura . . . . . . . . . . . . . . . Arquimedes e a área do c´ırculo . . . . . . . . . Arquimedes e a área do segmento de parábola . Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Seq¨ uˆ encias e s´ eries de fun¸ c˜ oes 9.1 Seq¨ uências de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergência simples e convergência uniforme Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 9.2 Conseq¨ uências da convergência uniforme . . . . . . . Séries de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es e soluc ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto ¸o 9.3 Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raio de convergência . . . . . . . . . . . . . . Propriedades das séries de potências . . . . . ´ Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto 9.4 As fun¸cões trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sugesto 9.5 Notas históricas e complementares . . . . . . . . . . As séries de potências . . . . . . . . . . . . . Lagrange e as fun¸cões anal´ıticas . . . . . . . A convergência uniforme . . . . . . . . . . . . A aritmetiza¸cão da Análise . . . . . . . . . . Referˆ encias bibliogr´ aficas

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205 206 208 209 210 211 211 211 212 213 214

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215 215 216 219 220 222 224 226 227 229 230 231 233 234 234 236 237 237 237 238 238 239 241

Cap´ıtulo 1

Preliminares de L´ ogica As disciplinas introdutórias de Análise, que costumam integrar os curr´ıculos de bacharelado e licenciatura em Matemática, em geral são totalmente dedicadas a uma apresenta¸cão rigorosa do Cálculo. Assim, uma tal disciplina apresenta excelente oportunidade para desenvolver no estudante de licenciatura e futuro professor do ensino básico aquela habilidade tão necessária no trato com defini¸c˜ oes, teoremas, demonstra¸cões, que são o embasamento lógico de toda a Matemática. Por isso mesmo, o primeiro cap´ıtulo do presente livro é dedicado aos elementos de Lógica que são os recursos de todo esse embasamento.1 Entretanto, o leitor não deve pensar que seja preciso fazer um curso de Lógica para estudar Matemática. Isso não é, em absoluto, necessário, nem mesmo para quem faz mestrado ou doutorado. Em verdade, as no¸c˜ oes de Lógica dadas aqui costumam ser aprendidas naturalmente, durante o pr´ oprio estudo da Matemática. Lógica e Fundamentos da Matemática são disciplinas muito especializadas, que formam um campo de estudos de grande importância em Matemática e Epistemologia2 . Mas, no estudo de outras disciplinas matemáticas — Análise, em particular — bastam os poucos rudimentos que daremos neste cap´ıtulo.

1.1

Primeiras no¸co ˜es

Proposi¸c˜ oes e teoremas Proposi¸ca õ é qualquer afirma¸cão, verdadeira ou falsa, mas que fa¸ca sentido. Por exemplo, são proposi¸cões as três afirma¸c˜ oes seguintes: 1

Veja tamb´em o artigo de Gilda Palis e Iaci Malta na RPM 37. Para aqueles que ainda n˜ ao sabem, RPM significa Revista do Professor de Matem´ atica, uma publica¸ca ˜o da SBM (Sociedade Brasileira de Matem´ atica). 2 Veja, no final do Cap´ıtulo 3, a nota hist´ orica dedicada a Fundamentos.

1.2. Indu¸c˜ ao matem´atica 11

1.2

Indu¸c˜ ao matem´ atica

O método de demonstra¸cão por indu¸c˜ ao costuma causar dificuldades até mesmo a alunos universitários, por isso mesmo devemos dedicar-lhe alguma aten¸c˜ ao. Vamos apresentar esse método através de uma série de teoremas. 1.2. Teorema. Dados quatro n´ umeros reais a, b, c, d, podemos afirmar que

a c a+b c+d = ⇒ = . b d b d Demonstra¸c˜ ao. Basta notar que a c a c a b c d = ⇒ +1= +1⇒ + = + . b d b d b b d d

Ora, esta u ´ltima igualdade pode tamb´em ser escrita na forma a+b c+d = , b d o que conclui a demonstra¸c˜ao do teorema. 1.3. Teorema. Dados quatro n´ umeros reais a, b, c, d, podemos afirmar que

c a c a+c a = ⇒ = = . b d b d b+d Demonstra¸c˜ ao. Come¸camos observando que a c a b = ⇔ ad = bc ⇔ = . b d c d

Pelo teorema anterior, desta u ´ltima igualdade obtemos a+c b+d = , c d a qual nos permite escrever a+c b+d c a+c = ⇔ (a + c)d = (b + d)c ⇔ = . c d d b+d Daqui e da hip´otese inicial, obtemos a c a+c = = , b d b+d que ´e o resultado desejado.

Cap´ıtulo 2

N´ umeros reais — Parte I O presente cap´ıtulo e o seguinte são dedicados aos n´ umeros reais, que são o alicerce primeiro da Análise Matemática. No presente cap´ıtulo recordaremos inicialmente certas propriedades elementares dos n´ umeros reais. Em seguida, após um breve tratamento sobre conjuntos, consideramos certas propriedades dos conjuntos numéricos, demonstrando a enumerabilidade dos n´ umeros naturais, dos racionais e a surpreendente não-enumerabilidade dos n´ umeros reais. Outras propriedades mais delicadas dos n´ umeros reais são tratadas no cap´ıtulo seguinte.

2.1

N´ umeros racionais e representa¸ c˜ ao decimal

Vamos denotar com N o conjunto dos n´ umeros naturais (inteiros positivos)1 , com Z o conjunto dos inteiros (positivos, negativos e o zero), com Q o conjunto dos n´ umeros racionais e com R o dos n´ umeros reais. Como o leitor bem sabe, os n´ umeros racionais costumam ser representados por fra¸cões ordinárias, representa¸c˜ ao essa que é u ńica se tomarmos as fra¸c˜ oes em forma irredut´ıvel e com denominadores positivos. Vamos considerar a conversão de fra¸c˜ oes ordinárias em decimais, com vistas a entender quando a decimal resulta ser finita ou periódica. Como sabemos, a conversão de uma fra¸c˜ ao ordinária em decimal se faz dividindo o numerador pelo denominador. Se o denominador da fra¸c˜ ao em forma 1

Esses n´ umeros chamam-se “naturais” justamente por surgirem “naturalmente” em nossa experiência com o mundo f´ısico, j´ a nos primeiros anos da infˆ ancia. Deste ponto de vista, “zero” est´ a longe de ser um n´ umero natural. Ali´ as, levou muito tempo para os matem´ aticos concederem ao zero o “status” de n´ umero. No entanto, é freq¨ uênte o aluno perguntar: “Professor, zero é n´ umero natural”? Isto ocorre porque certos autores incluem o zero entre os naturais. Nada de errado nisso, é apenas uma conven¸ca õ, que os algebristas principalmente preferem fazer, por ser conveniente em seu trabalho. Coisa parecida acontece com a exclus˜ ao do n´ umero 1 como n´ umero primo, simplesmente porque isso é conveniente em teoria dos n´ umeros.

Cap´ıtulo 2: N´ umeros reais — Parte I

Assim, A = {1, 3, 5, 7} é o conjunto dos quatro n´ umeros ´ımpares de 1 a 7; Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} é o conjunto dos n´ umeros inteiros; A = {x ∈ R : x2 − 4x + 3 > 0} é o conjunto dos n´ umeros reais onde o trinômio x2 − 4x + 3 > 0 é positivo, que é o mesmo que o conjunto dos n´ umeros que jazem fora do intervalo das ra´ızes, ou seja, A = {x ∈ R; x < 1} ∪ {x ∈ R; x > 3}.

B A

A A> B

A< B

(a)

(b)

Figura 2.1 Freq¨ uentemente um conjunto pode ser descrito de diferentes maneiras. Por exemplo, o conjunto dos n´ umeros ´ımpares positivos pode ser descrito como {1, 3, 5, 7, . . .}, ou {2n + 1 : n = 0, 1, 2, 3 . . .} ou {2n − 1 : n ∈ N} Quando lidamos com subconjuntos de um mesmo conjunto X, entende-se por complementar de um conjunto A, indicado pelo s´ımbolo Ac ou X − A, como sendo o conjunto dos elementos de X que não estão em A, como ilustra o diagrama da Fig. 2.2a, isto é, Ac = X − A = {x ∈ X : x 6∈ A}. ´ claro que X c = φ e φc = X. O complementar relativo de um conjunto A em E rela¸cão a outro conjunto B, ilustrado no diagrama da Fig. 2.2b, é definido por B − A = {x ∈ B : x ∈ / A}.

Cap´ıtulo 3

N´ umeros reais — Parte II O presente cap´ıtulo trata da gênese dos n´ umeros irracionais, que compõem, juntamente com os n´ umeros racionais, o conjunto de todos os n´ umeros reais. Para isso, come¸camos tratando das chamadas “grandezas incomensuráveis”, que foram, na antig¨ uidade, a descoberta que levaria aos n´ umeros irracionais. Embora esses n´ umeros irracionais estivessem sendo usados havia séculos, eles só foram logicamente constru´ıdos no século XIX. Faremos um apanhado de como isso foi feito pelo método de Dedekind e discutiremos a importante propriedade dos n´ umeros reais conhecida como “princ´ıpio do supremo”, que será de importância fundamental em nossos estudos.

3.1

Grandezas incomensur´ aveis

Historicamente, a primeira evidência da necessidade dos n´ umeros irracionais ocorre com a idéia de “incomensurabilidade”, que explicaremos logo adiante. Comecemos lembrando que na Grécia antiga, os u ńicos n´ umeros reconhecidos como tais eram os n´ umeros naturais 2, 3, 4, etc. O próprio 1 não era considerado n´ umero, mas a “unidade”, a partir da qual se formavam os n´ umeros. As fra¸c˜ oes só apareciam indiretamente, na forma de razão de duas grandezas, como, por exemplo, quando dizemos que o volume de uma esfera está para o volume do cilindro reto que a circunscreve assim como 2 está para 3. Os n´ umeros que hoje chamamos de “irracionais” também não existiam na Matemática grega. Segundo Aristóteles, a irracionalidade da raiz quadrada de 2 foi descoberta como na demonstra¸c˜ ao que fizemos na p. 25. Mas é poss´ıvel também que a necessidade deles tenha sido percebida com a descoberta das chamadas “grandezas incomensuráveis”, como veremos adiante. Para tratarmos disso, precisamos primeiro de falar da medi¸c˜ ao de segmentos.

3.1. Grandezas incomensur´aveis 51

2b-a

a-b

Figura 3.5

Figura 3.6

Divis˜ ao ´ aurea Diz-se que um ponto C de um segmento AB (Fig. 3.6) divide esse segmento na raz˜ ao ´ aurea se AC AB = . (3.5) AC CB Diz-se também que C divide AB em média e extrema raz˜ ao (ou meia e extrema raz˜ ao), isto porque o segmento AC aparece duas vezes na propor¸c˜ ao como termos do meio, enquanto AB e CB são os termos extremos. A rela¸cão (3.5) é precisamente a rela¸c˜ ao (3.3) se pusermos AC = a e CB = b, de sorte que os segmentos AC e CB (ou AB = a + b e AC = a) da divisão áurea são os lados de um retângulo áureo, e (3.5) é a razão áurea φ já encontrada anteriormente. ´ interessante notar que se C1 divide AB em média e extrema razão, e E se marcarmos no segmento AB os pontos C2 , C3 , C4 , . . ., de tal maneira que AC2 = C1 B, AC3 = C2 C1 , AC4 = C3 C2 , . . . (Fig. 3.7), ent˜ ao Cn divide ACn−1 em média e extrema razão, n = 2, 3, 4, . . . Este resultado segue do que já provamos sobre a sequência infinita de retângulos áureos, donde segue também que os segmentos AC1 e C1 B da divisão áurea de AB são incomensuráveis. (Veja o Exerc´ıcio 2 adiante e o Exerc´ıcio 22 da p. 85.) A

Figura 3.7

Cap´ıtulo 4

Seq¨ uˆ encias infinitas O leitor já deve ter adquirido alguma familiaridade com as seq¨ uências infinitas. Neste cap´ıtulo retomamos esse estudo, fazendo uma revisão de resultados já conhecidos e acrescentando outros, que serão importantes em nossos estudos posteriores. Ao leitor que sentir necessidade de rever seus estudos anteriores de seq¨ uências poderá consultar qualquer texto de Cálculo, em particular o Cap´ıtulo 3 de [2].

4.1

Intervalos

Antes de entrarmos propriamente no assunto deste cap´ıtulo, vamos rever algumas defini¸cões sobre intervalos numéricos, que serão usadas neste e nos cap´ıtulos seguintes. Dados dois n´ umeros a e b, com a < b, chama-se intervalo aberto de extremos a e b, denotado por (a, b), ao conjunto (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Se incluirmos os extremos a e b no intervalo, ent˜ ao ele será denominado intervalo fechado e indicado com o s´ımbolo [a, b]: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. O intervalo pode também ser semifechado ou semi-aberto, como nos exemplos seguintes: [−3, 1) = {x ∈ R : −3 ≤ x < 1}; (3, 5] = {x ∈ R : 3 < x ≤ 5}. Introduzindo os s´ımbolos −∞ e +∞, podemos considerar todo o eixo real como um intervalo: (−∞, +∞) = {x : −∞ < x < +∞}. 72

4.3. Seq¨ uˆencias mon´otonas 85

4.3

Seq¨ uˆ encias mon´ otonas

Há pouco vimos que toda seq¨ uência convergente é limitada. Mas nem toda seq¨ uência limitada é convergente, como podemos ver através de exemplos simples como os seguintes: 1) an = (−1)n assume alternadamente os valores +1 e −1, portanto, não converge para nenhum desses valores; 2) an = (−1)n (1 + 1/n) é um exemplo parecido com o anterior, mas agora a seq¨ uência assume uma infinidade de valores, formando um conjunto de pontos que se acumulam em torno de −1 e +1. Mas a seq¨ uência não converge para nenhum desses valores. Se ela fosse simplesmente 1 + 1/n, ent˜ ao convergiria para o n´ umero 1. Veremos, entretanto, que há uma classe importante de seq¨ uências limitadas — as chamadas seq¨ uências “monótonas” — que são convergentes. 4.11. Defini¸ c˜ oes. Diz-se que uma seq¨ uência (an ) é crescente se a1 < a2 < . . . < an < . . . ; e decrescente se a1 > a2 > . . . > an > . . . Diz-se que a seq¨ uência é n˜ ao-decrescente se a1 ≤ a2 ≤ . . . an ≤ . . .; e n˜ aocrescente se a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . Diz-se que a seq¨ uência é mon´ otona se ela satisfaz qualquer uma dessas condi¸c˜ oes. As seq¨ uências monótonas limitadas são convergentes, como veremos logo a seguir. Esse é o primeiro resultado que vamos estabelecer em cuja demonstra¸c˜ ao utilizamos a propriedade do supremo. Aliás, foi a necessidade de fazer tal demonstra¸cão para “fun¸cões monótonas” a principal motiva¸c˜ ao que teve Dedekind em sua constru¸cão dos n´ umeros reais. (Veja o Teorema 6.14, p. 152.) 4.12. Teorema. Toda seq¨ uência mon´ otona e limitada é convergente. Demonstra¸c˜ ao. Consideremos, para fixar as idéias, uma seq¨ uência não decrescente (an ); portanto, limitada inferiormente pelo elemento a1 . A hipótese de ser limitada significa que ela é limitada superiormente; logo, seu conjunto de valores possui supremo S. Vamos provar que esse n´ umero S é o limite de an . Dado ε > 0, existe um elemento da seq¨ uência, com um certo ´ındice N , tal que S − ε < aN ≤ S. Ora, como a eq¨ uência é não decrescente, aN ≤ an para todo n > N , de sorte que n > N ⇒ S − ε < an ≤ S < S + ε,

Cap´ıtulo 5

S´ eries infinitas Assim como no caso das seq¨ uências, quem já cursou Cálculo deve ter adquirido alguma familiaridade com as séries infinitas. Neste cap´ıtulo, vamos retomar o estudo dessas séries a partir do que se costuma tratar numa primeira disciplina de Cálculo, acrescentando resultados adicionais, como o critério de convergência de Cauchy, que seré fundamental para o estudo das séries de fun¸c˜ oes no Cap´ıtulo 9.

5.1

Primeiros exemplos

Vamos iniciar nosso estudo das séries infinitas com exemplos simples. Essas séries surgem muito cedo, ainda no ensino fundamental, quando lidamos com d´ızimas periódicas. Com efeito, uma d´ızima como 0, 777 . . . nada mais é do que uma progressão geométrica infinita. Veja: ¶ µ 1 1 1 + + + ... 0, 777 . . . = 7 · 0, 111 . . . = 7 10 100 1000 µ ¶ µ ¶ ¶ µ 1 1 10 7 1 1 =7 + 2 + 3 + ... = 7 −1 =7 −1 = . 10 10 10 1 − 1/10 9 9 Mas quando se ensinam essas d´ızimas, não é preciso recorrer às séries infinitas, pode-se usar o procedimento finito que utilizamos no Cap´ıtulo 2, assim: 7 x = 0, 777 . . . ⇒ 10x = 7, 777 . . . = 7 + x ⇒ 9x = 7 ⇒ x = . 9 Voltando às séries infinitas, o que significa “soma infinita”? Como somar um n´ umero após outro, após outro, e assim por diante, indefinidamente? Num primeiro contato com séries infinitas, particularmente séries de termos positivos, a idéia ingênua e não cr´ıtica de soma infinita não costuma perturbar o estudante. Porém, lidar com somas infinitas do mesmo modo como lidamos com somas 106

122

Cap´ıtulo 5: S´eries infinitas

5.5

Teste da integral

Um outro teste de convergência de séries de muita utilidade é o chamado teste da integral, porque se baseia na compara¸c˜ ao da série com a integral de uma fun¸c˜ ao. 5.17. Teorema. Seja f (x) uma fun¸c˜ ao positiva, cont´ınua e decrescente em x ≥ 1, e an = f (n). Ent˜ ao N X

Z f (n) <

f (x)dx < 1

n=2

N −1 X

f (n).

(5.5)

n=1

Em conseq¨ uência, a série an converge ou diverge, conforme a integral que a´ı aparece seja convergente ou divergente, respectivamente, com N → ∞. Demonstra¸c˜ ao. A primeira somatória em (5.5) é a soma das áreas dos retângulos sombreados da Fig. 5.1a, entre as abscissas x = 1 e x = N . Esses retângulos jazem sob a curva y = f (x), devido ao fato de esta fun¸c˜ ao ser nãocrescente. Isto prova a primeira desigualdade em (5.5), pois a integral é a área sob a curva. De maneira análoga prova-se a segunda desigualdade, bastando observar que a u ´ltima somatória em (5.5) é a soma das áreas dos retângulos sombreados da Fig. 5.1b, que supera a área sob a curva y = f (x) entre as abscissas x = 1 e x = N .

Figura 5.1 O teste da integral segue imediatamente das desigualdades (5.5): se a integral converge, basta fazer N → ∞ na primeira dessas desigualdades para se concluir que a série converge. Reciprocamente, se a série converge, fazemos N → ∞ na segunda desigualdade e conclu´ımos que a integral converge, o que completa a demonstra¸cão.

Cap´ıtulo 6

Fun¸co ˜es, limite e continuidade O leitor vem se familiarizando com a idéia de fun¸cão desde o ensino médio. Tendo em conta a importância desse conceito no Cálculo e na Análise, vamos retomá-lo neste cap´ıtulo, come¸cando com alguns aspectos de sua evolu¸cão histórica a partir do século XVII. Embora a idéia de fun¸cão possa ser identificada em obras do século XIV, foi só a partir do século XVII que ela teve grande desenvolvimento e utiliza¸cão. Isso porque, nessa época surgiu a Geometria Anal´ıtica, e muitos problemas matemáticos puderam ser convenientemente formulados e resolvidos em termos de variáveis ou incógnitas que podiam ser representadas em eixos de coordenadas.

6.1

Conceitos b´ asicos

Uma das questões que ocupou a aten¸c˜ ao dos matemáticos do século XVII foi o problema de tra¸car a reta tangente a uma dada curva (Fig. 6.1). Nesse problema intervêm várias grandezas, como a ordenada do ponto de tangência T , os comprimentos da tangente OT , da subtangente OA, da normal T N e da subnormal AN . E as investiga¸cões que sobre isso se faziam giravam em torno de equa¸c˜ oes envolvendo essas várias grandezas, as quais eram encaradas como diferentes variáveis ligadas à curva, em vez de serem vistas como fun¸c˜ oes separadas de uma u ńica variável independente. Mas, aos poucos, uma dessas vari´ aveis — no caso, a abscissa de T — foi assumindo o papel do que hoje chamamos a vari´ avel independente. A palavra “fun¸cão”foi introduzida por Leibniz em 1673, justamente para designar qualquer das várias vari´ aveis geométricas associadas com uma dada curva. Só aos poucos é que o conceito foi-se tornando independente de curvas particulares e passando a significar a dependência de uma vari´ avel em termos de outras. Mas, mesmo assim, por todo o século XVIII, o conceito de fun¸c˜ ao permaneceu quase só restrito à idéia de uma vari´ avel (dependente) expressa por 133

6.4. Fun¸c˜ oes cont´ınuas em intervalos fechados 161 16. Observe que, sendo h > 0, f (x + h) − f (x) =

X x<rn <x+h

1 n2

17. Com h > 0, f (rN + h) − f (rN ) = X rN −h≤rn <rN

6.4

1 . n2

e f (x) − f (x − h) =

X x−h≤rn <x

X rN ≤rn <rN +h

1 . n2

1 e f (rN ) − f (rN − h) = n2

Fun¸co ˜es cont´ınuas em intervalos fechados

O primeiro teorema que vamos demonstrar nesta se¸c˜ ao, o assim chamado Teorema do Valor Intermedi´ ario, tem uma visualiza¸c˜ ao geométrica muito evidente. Em linguagem corrente ele afirma que o gráfico de uma fun¸c˜ ao cont´ınua definida num intervalo, ao passar de um lado a outro do eixo dos x, necessariamente tem de cortar esse eixo. Até o final do século XVIII esse resultado foi aceito como evidente, sem que ninguém pensasse em demonstrá-lo, uma atitude muito de acordo com o esp´ırito da época. Foi Bolzano o primeiro matemático a fazer uma tentativa séria de demonstrar esse teorema, de maneira puramente anal´ıtica, num trabalho de 1817, trabalho esse que mais tarde seria visto como um dos marcos principais do in´ıcio do rigor na Análise das primeiras décadas do século XIX. Vamos apresentar esse teorema em sua vers˜ ao mais geral, como enunciamos a seguir. 6.24. Teorema do Valor Intermedi´ ario. Seja f uma fun¸c˜ ao cont´ınua num intervalo I = [a, b], com f (a) 6= f (b). Ent˜ ao, dado qualquer n´ umero d compreendido entre f (a) e f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d. Em outras palavras, f (x) assume todos os valores compreendidos entre f (a) e f (b), com x variando em (a, b). Demonstra¸c˜ ao. Vamos fazer a demonstra¸c˜ ao supondo que f (a) < f (b). O caso oposto se reduz a esta considerando a fun¸c˜ ao g(x) = −f (x). Suporemos também que d = 0, notando que o caso geral se reduz a este para a fun¸c˜ ao g(x) = f (x) − d. Faremos a demonstra¸cão pelo método de bisse¸caõ, como na demonstra¸c˜ ao do Teorema de (Bolzano-Weierstrass, p. 96). Seja l o comprimento de I. Come¸camos dividindo esse intervalo ao meio, obtendo dois novos intervalos, digamos, [a, r] e [r, b]. Se f (r) = 0, o teorema estará demonstrado. Se f (r) > 0, escolhemos o intervalo [a, r]; e se f (r) < 0, escolhemos o intervalo [r, b]. Em qualquer desses

Cap´ıtulo 7

O c´ alculo diferencial No presente cap´ıtulo fazemos uma apresenta¸cão rigorosa dos conceitos e teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial, uma tarefa que não costuma ser feita nas disciplinas introdutórias de Cálculo; isso por duas razões: por um lado o professor não dispõe de uma teoria dos n´ umeros reais, sobretudo a propriedade do supremo, ou algo equivalente, como a propriedade dos intervalos encaixados. E sem isso fica imposs´ıvel demonstrar rigorosamente os teoremas da Se¸cão 6.4 que são necessários às demonstra¸cões que faremos logo adiante. Em segundo lugar, o objetivo primordial de um curso de Cálculo é desenvolver logo os métodos e técnicas da disciplina, não só para prover os pre-requisitos de outras disciplinas, mas também para familiarizar o aluno com fun¸cões mais sofisticadas e várias de suas propriedades, o que muito facilita o estudo da Análise. Portanto, no presente cap´ıtulo cuidaremos de estabelecer, de forma rigorosa, os resultados básicos do Cálculo Diferencial, e não os métodos e técnicas que são objeto de um curso preliminar de Cálculo. Por isso mesmo é muito conveniente que o leitor, ao estudar os tópicos deste cap´ıtulo, fa¸ca, ao mesmo tempo, um re-estudo dos referidos métodos e técnicas da derivada. E para isso ele deve se valer de um texto de Cálculo, em particular nossos livros [1] e [2].

7.1

A derivada e a diferencial

Diz-se que uma fun¸cão f , definida num intervalo aberto I, é derivável em x0 ∈ I se existe e é finito o limite da raz˜ ao incremental f (x) − f (x0 ) x − x0

175

(7.1)

7.2. M´aximos e m´ınimos locais

185

quaisquer x1 e x2 do intervalo [a, b], não importa qual desses dois n´ umeros é o menor, isto é, f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (c)(x1 − x2 ), (7.6) onde c é um n´ umero conveniente entre x1 e x2 .

Figura 7.5

Figura 7.6

O Teorema do Valor Médio tem importantes conseq¨ uências. Ele nos permite saber, por exemplo, se uma fun¸c˜ ao é crescente ou decrescente, conforme sua derivada seja positiva ou negativa, respectivamente. Assim, se uma fun¸c˜ ao tem derivada positiva em todo um intervalo (a, b), de (7.6) obtemos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ), donde f é fun¸cão crescente; e se a derivada for negativa em (a, b), x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) e f é decrescente.

Exerc´ıcios 1. Seja f uma fun¸cão com derivada crescente (decrescente) em todo um intervalo. Prove que qualquer tangente ao gráfico de f só toca esse gráfico no ponto de tangência. 2. Seja f uma fun¸cão com f (0) = 0 e f 0 crescente em (0, ∞). Prove que a fun¸cão g(x) = f (x)/x também é crescente em (0, ∞). 3. Considere a fun¸cão f (x) = |x|3 sen2 (1/x) se x 6= 0 e f (0) = 0. Verifique que f 0 (0) = 0 e que f 0 é cont´ınua em toda a reta. (Este exemplo mostra que uma fun¸cão pode ter ponto de m´ınimo — no caso, x = 0 — sem ser decrescente logo à esquerda e crescente logo à direita desse ponto.)

Cap´ıtulo 8

Teoria da integral O objetivo do presente cap´ıtulo é mostrar como definir rigorosamente a integral como limite de somas de Riemann, e demonstrar que toda fun¸cão cont´ınua é integrável (Teorema 8.8 adiante). Esta é uma tarefa que dificilmente pode ser feita nos cursos de Cálculo, por exigir o conceito mais delicado de continuidade uniforme e o Teorema de Heine (Teorema 8.7 adiante). Por outro lado, há muito o que fazer naqueles cursos para desenvolver os métodos e técnicas do Cálculo Integral. Mas, do mesmo modo que nos cursos de Cálculo fica dif´ıcil lidar com os conceitos mais delicados da Análise, num curso desta disciplina não cabe reapresentar tudo que, por natureza, pertence aos cursos de Cálculo. Portanto, é natural que agora o leitor tenha de rever seus estudos anteriores sobre a integral, principalmente os aspectos mais práticos, para que possa tirar maior proveito do que se vai apresentar aqui.

8.1

Introdu¸c˜ ao

Enquanto a derivada é um conceito moderno, que surgiu no século XVII, a integral remonta ao tempo de Arquimedes há mais de dois milênios. De fato, Arquimedes calcula áreas e volumes de figuras geométricas por um procedimento que equivale aos métodos modernos do Cálculo Integral. Naquela época, entretanto, a Matemática era muito geométrica e não havia simbologia desenvolvida; portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “cálculo integral” sistematizado. A situa¸cão, no século XVII, era bem diferente. Já no século anterior a simbologia se desenvolvera bastante, sobretudo com Fran¸cois Viéte. Depois, com os trabalhos de René Descartes , Pierre de Fermat e outros seus contemporâneos, a moderna nota¸cão da Geometria Anal´ıtica se difundiu e tornou poss´ıvel a cria¸cão de métodos sistemáticos e unificados de tratamento do cálculo de áreas e volumes. Foi por isso que o Cálculo Integral, como ele é hoje conhecido, pode 192

8.3. Integrabilidade das fun¸c˜ oes cont´ınuas 205 esfera, um cilindro circular e um cone circular reto, ambos com raios das bases e alturas iguais a R, obedecendo mais ao seguinte: a base do cilindro e o vértice do cone situam-se no mesmo plano passando pela origem O e perpendicular a Ox; o eixo do cone é perpendicular a esse plano e sua base fica acima do vértice, como ilustra a Fig. 8.10. Agora fica fácil ver que o mesmo plano perpendicular a Ox pelo ponto de abscissa x intersecciona os três sólidos, na ordem em que aparecem na figura, em c´ırculos de áreas πR2 , π(R2 − x2 ) e πx2 , respectivamente. Como a primeira dessas áreas é a soma das outras duas, conclu´ımos, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, que o volume do cilindro é igual ao volume de metade da esfera somado ao volume do cone. Denotando com V o volume da esfera, isso significa que V πR3 πR3 = + , 2 3 4πR3 . 3

donde, finalmente, obtemos V =

Figura 8.10

Propriedades da integral Há várias propriedades da integral, que o leitor deve ter visto em seus estudos anteriores de Cálculo. Vamos relembrar algumas delas aqui, com as respectivas demonstra¸cões. 8.10 Teorema. Seja f uma fun¸c˜ ao cont´ınua num intervalo limitado e fechado [a, b], e seja c um ponto interno desse intervalo. Ent˜ ao, Z

f (x)dx = a

f (x)dx + a

f (x)dx.

(8.4)

Demonstra¸c˜ ao. Vimos que a integral é o limite de qualquer seq¨ uência de somas de Riemann, cuja normas das respectivas parti¸c˜ oes tende a zero. O que devemos fazer então é considerar apenas somas de Riemann associadas a parti¸cões do intervalo [a, b] que incluam o ponto c. Uma tal soma, digamos Snab pode se expressar como soma de duas outras, digamos, Srac e Sscb , referentes aos

Cap´ıtulo 9

Seq¨ uˆ encias e s´ eries de fun¸c˜ oes Neste cap´ıtulo final fazemos uma breve apresenta¸cão das seq¨ uências e séries de fun¸cões. Ao lado da integral, elas são um outro processo infinito muito importante para a defini¸cão e o estudo das propriedades de fun¸c˜ oes, principalmente as séries de potências. Por exemplo, o leitor já viu, em seu estudo do Cálculo, que fun¸c˜ oes como sen x e cos x, possuem as seguintes séries de Taylor: ∞

sen x = x −

X (−1)n x2n+1 x3 x5 + − ... = ; 3! 5! (2n + 1)! n=0 ∞

X (−1)n x2n x2 x4 cos x = 1 − + − ... = . 2! 4! (2n)! n=0

Estas séries podem ser usadas como ponto de partida para a defini¸cão de sen x e cos x de maneira puramente anal´ıtica, sem a necessidade de recorrer à motiva¸cão geométrica, como se costuma fazer em Trigonometria. Para o estudo deste cap´ıtulo o leitor poderá sentir necessidade de recordar, de seus estudos anteriores de Cálculo, o chamado “polinômio de Taylor”, e as aproxima¸cões de fun¸cões por esse tipo de polinômio.

9.1

Seq¨ uˆ encias de fun¸co ˜es

Vamos iniciar nosso estudo com as seq¨ uências de fun¸c˜ oes fn , todas com o mesmo dom´ınio D. Assim, para cada valor de x em D, temos uma seq¨ uência numérica fn (x), à qual se aplicam todos os conceitos e resultados das séries numéricas, em particular o conceito de limite. Aqui, entretanto, esse limite, em geral, depende do valor x considerado — é fun¸c˜ ao de x; da´ı designarmos o limite de uma seq¨ uência de fun¸cões fn (x) por f (x), justamente para evidenciar que esse limite é fun¸cão de x. 215

9.1. Seq¨ uˆencias de fun¸c˜ oes 217

Figura 9.1 9.2. Defini¸ c˜ ao. Diz-se que uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes fn converge uniformemente para uma fun¸c˜ ao f num dom´ınio D se, dado qualquer ε > 0, existe N tal que, para todo x ∈ D, n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε. ´ costume referir-se à convergência de uma seq¨ E uência de fun¸c˜ oes fn para uma fun¸cão f , sem qualquer qualificativo; neste caso deve-se entender que se ´ claro que este tipo de convergência é trata de convergência simples ou pontual. E conseq¨ uência da convergência uniforme, mas a convergência pontual não implica a convergência uniforme.

f f n

Figura 9.2 A convergência uniforme admite uma interpreta¸c˜ ao geométrica simples e sugestiva: ela significa que, qualquer que seja ε > 0, existe um ´ındice N a partir do qual os gráficos de todas as fun¸c˜ oes fn ficam na faixa delimitada pelos gráficos das fun¸cões f (x) + ε e f (x) − ε (Fig. 9.2). Ao contr´ ario, a convergência não sendo uniforme, existe um ε > 0 tal que, para uma infinidade de valores