Análise Linear de Sistemas Dinâmicos - 2ª Edição

Análise Linear de Sistemas Dinâmicos - 2ª Edição Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios

José C. Geromel Alvaro G. B. Palhares

Lançamento 2011 ISBN: 9788521205890 Páginas: 390 Formato: 20,5x25,5 cm Peso: 0,942 kg

4a CAPA

Conte´ udo Pref´ acio & Agradecimentos

vii

omenos 1 Prolegˆ 1.1 Discuss˜ao Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

2 Modelagem de Processos Dinˆ amicos 2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Mecˆanica Translacional e Rotacional . . . . . . . .

2.2.1 Sistemas de Referˆencia para Movimentos de 2.2.2 Sistemas de Referˆencia para Movimentos de 2.2.3 Momento de In´ercia . . . . . . . . . . . . .

2.3 Eletricidade e Eletromagnetismo . . . . . . . . . .

2.3.1 Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Dinˆamica Econˆomica . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Notas e Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Transla¸c˜ao Rota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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13 13 16 21 24 42 57 58 68 76 82 83

3 Fundamentos de Dinˆ amica Cont´ınua 3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Equa¸c˜oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Propriedades da Transformada de Laplace 3.3.2 Inversa da Transformada de Laplace . . .

3.3.3 Solu¸c˜ao de Equa¸c˜oes Diferenciais . . . . .

3.4 Resposta em Frequˆencia . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Notas e Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . .

95 95 100 114 124 143 151 168 187

v

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. . . . . . . .

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vi 3.6

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4 Fundamentos de Dinˆ amica Discreta 4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Equa¸c˜oes a Diferen¸cas . . . . . . . . . . .

4.3 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1 Propriedades da Transformada Z .

4.3.2 Inversa da Transformada Z . . . .

4.3.3 Solu¸c˜ao de Equa¸c˜oes a Diferen¸cas .

4.4 Resposta em Frequˆencia . . . . . . . . . .

4.5 Discretiza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Notas e Referˆencias . . . . . . . . . . . . .

4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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195 195 199 213 221 227 233 247 258 274 274

5 Modelagem e Ensaios Pr´ aticos 5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Identifica¸c˜ao de Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1 Sistemas a Tempo Discreto . . . . . . . . . . . .

5.2.2 Sistemas a Tempo Cont´ınuo . . . . . . . . . . . .

5.3 Motor de Corrente Cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Identifica¸c˜ao dos Parˆametros do Motor . . . . . .

5.3.2 Valida¸c˜ao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Alimenta¸c˜ao com Fonte Chaveada . . . . . . . .

5.4 For¸ca de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Movimentos com Dois Graus de Liberdade . . . . . . . .

5.5.1 Juntas Rob´oticas Rotacionais . . . . . . . . . . .

5.5.2 Juntas Rob´oticas Rotacionais com Atrito Viscoso 5.5.3 Juntas Rob´oticas Subatuadas . . . . . . . . . . .

5.6 Linha de Transmiss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7 Notas e Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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283 283 283 284 289 296 298 300 302 304 310 311 316 319 326 339 340

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. . . . . . . . . .

A Vetores e Matrizes

345

B Fun¸ c˜ oes de Vari´ aveis Complexas

355

Bibliografia

369

´Indice

373

Cap´ıtulo 5

Modelagem e Ensaios Pr´ aticos 5.1

Introdu¸ c˜ ao

Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns sistemas dinˆamicos a tempo cont´ınuo e a tempo discreto que s˜ao modelados a partir dos procedimentos introduzidos no Cap´ıtulo 2. Para cada um deles, desenvolvemos o modelo matem´atico o qual, em seguida, ´e simulado e confrontado com os respectivos dados reais colhidos em montagens experimentais de laborat´orio. Antes por´em, tendo em m˜aos um determinado modelo matem´atico, ´e imperativo determinar os diversos parˆametros nele presentes a partir de medidas realizadas durante o ensaio pr´atico. Nesta importante etapa, os valores dos parˆametros s˜ao determinados e, em seguida, devem ser validados atrav´es de compara¸c˜ao do modelo final obtido com as medidas dispon´ıveis. Neste sentido, iniciamos este cap´ıtulo pelo desenvolvimento de um procedimento cl´assico de identifica¸c˜ao de parˆametros baseado na minimiza¸c˜ao da norma do erro de estima¸c˜ao.

5.2

Identifica¸ c˜ ao de Parˆ ametros

Naturalmente os modelos matem´aticos, que representam sistemas reais, dependem de parˆametros que devem ser adequadamente identificados. Em v´arias situa¸c˜oes os referidos parˆametros s´o podem ser determinados a partir do conhecimento da evolu¸c˜ao dinˆamica do sistema. Por exemplo, um corpo sujeito a uma for¸ca externa que se move em um ambiente com atrito viscoso, tem o seu deslocamento definido pela Segunda Lei de Newton. Para aplic´a-la ´e preciso conhecer a massa e o coefi283

´ CAP´ITULO 5. MODELAGEM E ENSAIOS PRATICOS

312

τ2

j

φ2

α1

β2

α2

β1

τ1

φ1

φ2 i φ1 φ3

Figura 5.10: Manipulador planar com duas juntas

ℓ2 , tem seu centro de massa situado a uma distˆancia ℓc2 do centro de rota¸c˜ao que se localiza na extremidade do bra¸co. Nos dois centros de rota¸c˜ao do bra¸co e do antebra¸co s˜ao aplicados torques externos τ1 e τ2 , conseguidos geralmente atrav´es de motores de corrente cont´ınua convenientemente posicionados.

Como temos dois centros de rota¸c˜ao com movimentos planares independentes, na Figura 5.10 mostramos tamb´em os trˆes sistemas de referˆencia que s˜ao utilizados: O referencial inercial SF definido atrav´es dos versores (i, j, k) e dois referenciais expressos em coordenadas cil´ındricas SC1 e SC2 . Estes, m´oveis em rela¸c˜ao ao referencial inercial SF , s˜ao definidos pelos versores (α1 , β1 , k) que acompanham o movimento do centro de massa do bra¸co e (α2 , β2 , k) que acompanham o movimento do centro de massa do antebra¸co, respectivamente.

Assumindo que s˜ao conhecidas as massas m1 e m2 , bem como os momentos de in´ercia Jc1 e Jc2 em rela¸c˜ao aos centros de massa do bra¸co e do antebra¸co respectivamente, com aux´ılio da Figura 5.11 podemos imediatamente aplicar as leis que regem o movimento de cada elo, desconsiderando, neste primeiro instante, a eventual existˆencia de qualquer tipo de atrito.

A resultante de todas as for¸cas que agem no antebra¸co escrita na base, que define

Apˆ endice A

Vetores e Matrizes Neste apˆendice, oferecemos um breve estudo das mais importantes propriedades de vetores e matrizes que s˜ao utilizadas no decorrer do texto. As propriedades aqui elencadas est˜ao presentes na maioria dos bons livros de c´alculo e an´alise matricial, como aqueles citados nas referˆencias bibliogr´aficas.

Vetor ´e uma cole¸c˜ao de n ≥ 2 escalares, denominados componentes, que assumiremos sempre estarem dispostas em uma coluna. Assim sendo, x ∈ Rn indica um vetor com n componentes reais e ao estar associado a um sistema de referˆencia, permite localizar um ponto no espa¸co de dimens˜ao n. Denotamos   x1  x2    x :=  .  ∈ Rn (A.1) .  .  xn

como sendo um vetor gen´erico com todas as suas componentes reais sendo que n ´e a sua dimens˜ao. Podemos tamb´em ter um vetor coluna formado por n n´ umeros n complexos quando ent˜ao denotamos x ∈ C . Todas as opera¸c˜oes e propriedades que passaremos a exibir valem indistintamente para vetores definidos no Rn ou Cn .

O vetor linha

x′ := x1 x2 · · · xn ∈ Rn (A.2) ´e, por defini¸c˜ao, o transposto de x ∈ Rn ficando claro que a opera¸c˜ao de transposi¸c˜ao n˜ao altera a dimens˜ao do vetor. O vetor linha x∼ := (x∗ )′ ´e o conjugado transposto ´ de x e suas componentes s˜ao as conjugadas das respectivas componentes de x′ . E n ∼ ′ n claro que para todo x ∈ R tem-se x = x ∈ R .

345

ˆ ˜ ´ APENDICE B. FUNC ¸ OES DE VARIAVEIS COMPLEXAS

358

para qualquer ∆z ∈ C o que implica que a fun¸c˜ao em considera¸c˜ao satisfaz f0 = f (z0 ) = z02 sendo, portanto, cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. De fato, fazer z se aproximar de z0 sobre qualquer trajet´oria poss´ıvel, ´e equivalente a afirmar apenas que |∆z| se aproxima de zero o que leva a |f (z) − z02 | a tamb´em se aproximar arbitrariamente de zero, estabelecendo a sua continuidade em z0 ∈ C. A derivada de f (z) definida segundo (B.10) em z0 ∈ D ´e dada por f ′ (z0 ) := lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

(B.14)

onde deve-se obviamente exigir que o limite indicado exista e que, como j´a comentado, seja invariante com qualquer trajet´oria segundo a qual z tende a z0 . Assim sendo, muito embora a diferencial complexa seja dz = dx + jdy com as diferenciais dx e dy independentes, n˜ao h´a ambiguidade alguma em escrever f ′ (z) = df (z)/dz.

A exigˆencia de se ter o mesmo valor para o limite indicado em (B.14), ´e equivalente a exigir que a derivada direcional da fun¸c˜ao seja a mesma em todas as dire¸c˜oes.

Isso faz com que as fun¸c˜oes u(x, y) e v(x, y) n˜ao possam ser gen´ericas mas tenham que exibir alguma propriedade para que f (z) seja diferenci´avel. Para obtermos essa propriedade, ´e preciso lembrar que a rela¸c˜ao q :=

a∆x2 + b∆x∆y + c∆y 2 ∆x2 + ∆y 2

(B.15)

com a, b e c reais ´e constante para todo ∆x ∈ R e ∆y ∈ R se e somente se a = c e b = 0 quando, ent˜ao, q = a = c. Explicitando o limite indicado em (B.14), temos f ′ (z0 ) =

lim

x→x0 y→y0

∆u∆x + ∆v∆y ∆v∆x − ∆u∆y + j lim 2 2 x→x 0 ∆x + ∆y ∆x2 + ∆y 2 y→y

(B.16)

0

onde as quantidades ∆u e ∆v, assumindo diferenciabilidade e, eliminando os termos de ordens superiores n˜ao importantes para o c´alculo de (B.16), s˜ao dadas por ∆u =

∂u ∂v ∂v ∂u ∆x + ∆y , ∆v = ∆x + ∆y ∂x ∂y ∂x ∂y

(B.17)

com as derivadas parciais calculadas em x = x0 e y = y0 . Substituindo (B.17) em (B.16), notamos que a parte real e a parte imagin´aria de f ′ (z0 ) s˜ao do tipo (B.15) o que nos leva ao resultado f ′ (z0 ) =

∂v ∂v ∂u ∂u +j = −j ∂x ∂x ∂y ∂y

(B.18)

Cap´ıtulo 1

Prolegˆ omenos 1.1

Discuss˜ ao Preliminar

Este livro pretende oferecer ao leitor uma vis˜ao abrangente a respeito da problem´atica que envolve a modelagem e an´alise de processos dinˆamicos cont´ınuos ou discretos no tempo, cujo comportamento ´e descrito atrav´es de equa¸c˜oes diferenciais ou de equa¸c˜oes a diferen¸cas finitas, respectivamente.

O esfor¸co para desenvolver modelos matem´aticos nas mais diversas ´areas do conhecimento ´e not´avel e, certamente, tem um impacto importante na hist´oria do desenvolvimento humano. Vale aqui relembrar, por exemplo, o monumental esfor¸co realizado por s´eculos para se construir um modelo matem´atico para a mat´eria o qual, ainda nos dias atuais, n˜ao est´a inteiramente acabado. O mesmo esfor¸co se verificou na astronomia, culminando com a contribui¸c˜ao ´ımpar da Lei da Gravita¸c˜ao de Newton e da Teoria da Relatividade Geral de Einstein. Em outras ´areas da ciˆencia tais como Qu´ımica, Biologia, Economia etc., algo similar aconteceu e certamente continuar´a acontecendo tendo em vista que, como hip´otese de base, aprimoramentos sempre s˜ao poss´ıveis e desej´aveis.

O modelo matem´atico de um determinado fenˆomeno abre a possibilidade para que o seu comportamento futuro possa ser previsto com certa precis˜ao e, em consequˆencia, o seu impacto possa ser devidamente avaliado e, at´e mesmo, ser alterado atrav´es de a¸c˜oes determinadas para tal fim. Por exemplo, existem atualmente modelos bastante precisos que permitem prever o clima em uma determinada regi˜ao com grande antecedˆencia e determinar como os poluentes emitidos por ind´ ustrias, autom´oveis etc. se dissolvem ou reagem na atmosfera indicando o impacto negativo 1

ˆ CAP´ITULO 1. PROLEGOMENOS

6 T y

q ℓ

mg φ

p

m˜ ao x

Figura 1.2: O equilibrista considerar a equa¸c˜ao diferencial linear de segunda ordem

b d d2 y(t) + y(t) + g = 0 2 dt m dt

(1.8)

como sendo um modelo mais adequado, onde b ´e uma constante denominada coeficiente de atrito viscoso e que ser´a objeto de estudo mais adiante. Resolvendo essa equa¸c˜ao, obtemos a posi¸c˜ao do corpo em fun¸c˜ao do tempo a qual, ap´os simples deriva¸c˜ao, fornece sua velocidade como sendo

mg −(b/m)t e −1 (1.9) v(t) = b

Comparando essa fun¸c˜ao com aquela que consta em (1.7), notamos que ambas e suas respectivas derivadas em rela¸c˜ao ao tempo s˜ao iguais em t = 0. Assim sendo, no in´ıcio da queda, os dois modelos se comportam de forma semelhante. Por´em, ` a medida que o tempo passa, eles se distanciam de forma marcante tendo em vista que segundo (1.9) a velocidade n˜ao aumenta indefinidamente mas atinge o valor m´aximo v∞ = −mg/b, o que ´e bastante concordante com o que podemos observar na pr´atica. Quanto maior a massa, maior ser´a a velocidade v∞ mas, em contra partida, ela torna-se menor conforme o coeficiente de atrito viscoso aumenta. O projeto de um bom para-quedas deve resultar em um b suficientemente grande para oferecer maior conforto e seguran¸ca ao usu´ario.

Em toda modelagem, um passo importante ´e ser capaz de selecionar as leis b´asicas adequadas e aplic´a-las corretamente, sobretudo observando as condi¸c˜oes e hip´oteses em que elas s˜ao v´alidas. Para ilustrar esse fato, vamos considerar a Segunda Lei de Newton e discutir sua validade, que ´e restrita a referenciais ditos inerciais.

Cap´ıtulo 2

Modelagem de Processos amicos Dinˆ 2.1

Introdu¸ c˜ ao

Neste cap´ıtulo, revemos algumas das principais leis fundamentais que exprimem as rela¸c˜oes dinˆamicas de processos, tais como: eletro-eletrˆonicos, eletromagn´eticos, eletromecˆanicos, mecˆanicos, t´ermicos, econˆomicos etc. A finalidade deste estudo ´e preparar o leitor para uma sistematiza¸c˜ao com vistas `a obten¸c˜ao de modelos matem´aticos para diversas classes de processos dinˆamicos.

As leis fundamentais utilizadas nos mais variados ramos da ciˆencia, como a F´ısica, Biologia, Qu´ımica, Economia etc., s˜ao enunciadas a partir de observa¸c˜oes de fenˆomenos est´aticos e/ou dinˆamicos feitas de tal modo a obter-se um modelo matem´atico que as represente. Considera-se como fenˆomenos dinˆamicos aqueles caracterizados por propriedades que associam, ao seu comportamento atual e futuro, as ocorrˆencias em tempos passados. Os fenˆomenos est´aticos, pelo contr´ario, tˆem sua ocorrˆencia dependente somente de altera¸c˜oes instantˆaneas dos agentes externos ao processo em observa¸c˜ao. Essas leis s˜ao enunciadas com o prop´osito de se ter uma descri¸c˜ao quantitativa dos fenˆomenos observados e, por conseguinte, elaborar atrav´es de rela¸c˜oes precisas o respectivo modelo matem´atico ou experimental.

De maneira gen´erica, podemos descrever um modelo experimental como um conjunto de elementos que interagem entre si e com o meio externo, trocando ou dissipando energia. A cada um desses elementos, associamos vari´aveis ou fun¸c˜oes matem´aticas que exprimem a quantidade de energia que ´e por ele dissipada ou ar13

22

ˆ CAP´ITULO 2. MODELAGEM DE PROCESSOS DINAMICOS y CM trajet´ oria do CM j k

rc (t) x

i

z

Figura 2.1: Sistema de referˆencia para movimentos translacionais barra r´ıgida sem massa CM1

CM2

κ1 • b

y1 (t)

κ2

y2 (t)

•

Figura 2.2: Sistema massa-mola-amortecedor n˜ ao imprimam nenhuma for¸ca `as massas. Consequentemente, os vetores de posi¸c˜ao de cada centro de massa CM1 e CM2 s˜ao dados por rc1 = −y1 j rc2 = −y2 j

´ importante observar que o sentido de cada um desses vetores pode ser arbitrado, por´em E uma norma, que sempre facilita a determina¸c˜ao das equa¸c˜oes, ´e arbitrar o mesmo sentido para o deslocamento de todos os corpos, com movimentos numa dada dire¸c˜ao. Embora n˜ ao seja fundamental, o uso dessa conven¸c˜ao permite que consideremos, sempre, que as posi¸c˜ oes e velocidades relativas, necess´arias para a determina¸c˜ao das intensidades das for¸cas definidas pelas equa¸c˜ oes (2.14) e (2.15), sejam dadas pelas diferen¸cas entre esses dois vetores e pela diferen¸cas entre as suas derivadas respectivamente, obtendo-se portanto as intensidades dessas for¸cas externas aplicadas em cada um dos corpos isolados, na forma fκ1 = κ1 (y1 − y2 ) f κ2 = κ2 y 2 fb = b(y˙ 1 − y˙ 2 )

(2.16)

Cap´ıtulo 3

Fundamentos de Dinˆ amica Cont´ınua 3.1

Introdu¸ c˜ ao

No cap´ıtulo anterior, estudamos com detalhes o comportamento de diversos sistema dinˆ amicos. Genericamente, como j´a sabemos, um sistema caracteriza-se por um conjunto de componentes acoplados que desenvolvem uma determinada fun¸c˜ao.

Com o adjetivo dinˆ amico, desejamos colocar em evidˆencia que o seu comportamento em um determinado instante de tempo, depende das ocorrˆencias a que foi submetido em outros instantes de tempo. No mundo real, podemos afirmar que o comportamento futuro de um determinado sistema dinˆamico s´o depende das ocorrˆencias a que foi submetido no passado e no presente.

Um passo fundamental para podermos descrever e, consequentemente, analisar e prever a evolu¸c˜ao temporal de um determinado sistema dinˆamico ´e dado ao fazermos sua representa¸c˜ao matem´atica. Obtemos, assim, seu modelo matem´ atico. Como j´a vimos anteriormente, o modelo matem´atico de um sistema dinˆamico ´e normalmente obtido a partir de leis fundamentais. Ao associ´a-las de maneira adequada, podemos descrever seu comportamento, naturalmente restrito `as condi¸c˜oes em que tais leis s˜ao v´alidas. Assim sendo, um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais pode representar um determinado motor el´etrico e permite prever seu comportamento atrav´es de sua solu¸c˜ao. Um modelo pode ser mais ou menos preciso no que diz respeito `a representa¸c˜ao de um certo fenˆomeno. Geralmente, maior precis˜ao implica em maior complexidade matem´atica do modelo proposto. Por exemplo, o deslocamento x(t) 95

˜ 3.2. EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS

113

20

15

10

ea (t)

5

3 0

2

−5

−10

1

−15

−20 0

5

10

15

20

25

30

35

t

Figura 3.4: Evolu¸c˜ao temporal do erro que substitu´ıda na equa¸c˜ ao dada permite determinar os coeficientes indicados, ou seja d1 = −d2 = 1/2j(1 − a2 ) =⇒ yp (t) =

sen(at) 1 − a2

A solu¸c˜ao geral fica ent˜ ao na forma y(t) = c1 ejt + c2 e−jt +

sen(at) 1 − a2

sendo que as duas constantes indicadas s˜ao obtidas, impondo-se as condi¸c˜oes iniciais dadas.

Todas as contas feitas, permitem explicitar a solu¸c˜ao procurada, isto ´e y(t) = ya (t) :=

1 [sen(at) − a sen(t)] , a 6= 1 1 − a2

(3.37)

Considerando agora a = 1, temos a solu¸c˜ao particular da forma yp (t) = d1 tejt + d2 te−jt e, novamente, por simples substitui¸c˜ ao, vem d1 = d2 = −1/4 =⇒ yp (t) = −

t cos(t) 2

Finalmente, escrevendo a solu¸c˜ ao geral e impondo as condi¸c˜oes iniciais, obtemos y(t) = y1 (t) :=

sen(t) − t cos(t) 2

(3.38)

Cap´ıtulo 4

Fundamentos de Dinˆ amica Discreta 4.1

Introdu¸ c˜ ao

O objetivo deste cap´ıtulo ´e estudar sistemas dinˆamicos discretos. Por serem dinˆamicos, s˜ao primeiramente caracterizados pelo fato de que o seu comportamento em um determinado instante de tempo depende de eventos ocorridos naquele instante e em instantes de tempo passados. O fato marcante a ser, desde logo, enfatizado ´e que sua evolu¸c˜ao n˜ao ´e caracterizada continuamente, mas sim em instantes isolados ou discretos de tempo. Assim sendo, seu modelo matem´atico n˜ao ´e descrito atrav´es de equa¸c˜oes diferenciais as quais, como j´a sabemos, envolvem derivadas sucessivas de uma determinada vari´avel de interesse, mas sim atrav´es de equa¸c˜oes a diferen¸cas que relacionam os valores da grandeza em estudo em intervalos finitos de tempo.

Diversos sistemas dinˆamicos s˜ao naturalmente representados de forma discreta.

Por exemplo, suponha que um bem qualquer foi adquirido em um determinado ano, no passado, por V0 unidades monet´arias e deseja-se determinar seu valor presente em um ambiente sujeito a uma infla¸c˜ao anual de i %. Considerando k = 0 o ano da compra e k = L o ano atual ent˜ao o seu valor em cada ano ´e dado por V (k) = (1 + i/100)k V0 , k = 0, 1, · · · , L

(4.1)

De fato, no ano inicial k = 0 o seu valor ´e dado por V (0) = V0 , no ano k = 1 o seu valor j´a deflacionado, expresso nas mesmas unidades monet´arias, ´e dado por V (1) = rV0 com r := 1 + i/100 e assim sucessivamente para k = 2, · · · , L. A fun¸c˜ao 195

4.3. TRANSFORMADA Z

229

Im D(fˆ)

Re

β

γ

Figura 4.2: Caminho de integra¸c˜ao Sendo pi um polo qualquer com multiplicidade mi , o desenvolvimento em s´erie de Laurent em uma vizinhan¸ca de pi permite escrever mi fil fˆ(z) X = + Ei (z) z (z − pi )l l=1

onde Ei (z) ´e uma fun¸c˜ao polinomial apenas com potˆencias n˜ao negativas da s´erie, sendo assim anal´ıtica em todo o plano complexo. O mesmo ocorre com a fun¸c˜ao z k , k ∈ N que pode ser desenvolvida em s´erie de Taylor, ou seja,

∞ X 1 dl k

k z (z − pi )l z = l! dz l z=pi l=0

onde a soma foi feita at´e o infinito por simples conveniˆencia de nota¸c˜ao, muito embora a derivada indicada torne-se nula para l > k. Consequentemente, o res´ıduo do polo em quest˜ao ´e dado por

mi X dl−1 k

fil z ri (k) = (l − 1)! dz l−1 z=pi l=1

e a transformada Z inversa ´e determinada somando-se os res´ıduos de todos os polos da fun¸c˜ao fˆ(z)/z os quais, como j´a foi alertado, pode incluir um polo na origem

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