3.1.4
L’expression de x en fonction de u
Voyons maintenant une dernière technique que nous pourrons utiliser pour calculer une intégrale à l’aide du changement de variable. Jusqu’à maintenant, les changements de variables permettaient d’éliminer la dépendance de l’intégrande par rapport à la variable de départ. Cependant, pour effectuer l’intégrale, il est parfois nécessaire d’exprimer la variable de départ x par rapport à la variable du changement de variable u. E x e m ple
3.13
Effectuez l’intégrale suivante.
∫s
s − π ds
2
Solution
Nous avons :
∫s
2
s − π ds =
∫s
=
du
u
∫s
u= s − π du = ds
s − π ds
2
2
udu
Nous ne pouvons pas effectuer l’intégrale précédente, car elle ne dépend pas uniquement de la variable u. Par contre, il est possible d’exprimer s 2 en fonction de u, car u = s - π, donc s = u + π, ce qui implique que s 2 = (u + π)2. Ainsi :
∫s
2
udu =
=
∫ (u + π )
2
∫(
udu 1
)
u 2 + 2π u + π 2 u 2 du
=
∫
3 1 25 2 2 2 u + 2π u + π u du
=
∫
u 2 du + 2π
5
7
5
∫
3
u 2 du + π 2
∫
1
u 2 du
3
u2 u2 u2 = + 2π + π2 +C 1 5 3 2 2 2
=
98
Chapitre 3 – Les techniques d’intégration
7
5
3
2 4π 2π 2 (s − π ) 2 + (s − π ) 2 + (s − π ) 2 + C 7 5 3
Calcul INTÉGRAL