= - ln ln(Vmax ) − ln(V ) V = - ln ln max ( propriété (par des logar ithmes ) des logarithmes) les propriétés V Déterminons maintenant l’intégrale de droite.
∫ λdt = λt + C
1
Ainsi :
V - ln ln max = λt + C1 V
-λ t V (t ) = Vmax e-Ce
desmanipulations manipulationsalgébriques) algébriques ) ( pardes (par
où C est une constante.
E x e m ple
3.6
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de perte de chaleur d’un objet chaud est directement proportionnel à la différence de température entre cet objet et le milieu ambiant. Soit T, la température d’un café, et 22 °C, la température ambiante d’une pièce. Si le café est à une température de 95 °C lorsqu’il est versé dans une tasse et qu’après 5 min, il est à une température de 80 °C, dans combien de temps sera-t-il possible de le boire à une température de 65 °C ?
3
Solution
Soit T(t) la température du café en fonction du temps t. Selon la loi de refroidissement de Newton : dT = k(T − 22) dt où k est une constante que nous pourrons déterminer à l’aide des données du problème. Trouvons la forme différentielle de l’équation précédente. Ainsi :
dT = k(T − 22)dt Séparons maintenant les variables.
∫
dT = kdt T − 22 1 dT = kdt T − 22
u= T − 22
∫
1
du = dT
∫ u du = kt + C
Calcul INTÉGRAL
1
3.1 L’intégration par changement de variable
89