Estructura de la serie Esta propuesta intenta replantear la relación profesor–conocimiento–estudiante, en donde éste último abandone su actitud pasiva y receptora, para aventurarse con decisión y disciplina a reconstruir su conocimiento con sus pasiones,sentimientos y valores socioculturales. En este curso se hace énfasis en la modelación de los sistemas numéricos con sus relaciones y operaciones en diferentes situaciones y contextos, procurando cerrar la brecha entre teoría matemática y realidad cotidiana.
La serie Matemática activa Pitágor@s es una propuesta pedagógica a la luz de los estándares nacionales para la enseñanza de las matemáticas.Los contenidos de cada curso se organizan en cuatro grandes módulos: Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Pensamiento métrico y sistemas de medidas. Pensamiento variacional: sistemas algebraicos y analíticos. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.
Cada módulo incluye un breve párrafo relacionado con el tema del módulo, que hace énfasis en su desarrollo histórico o su aplicación en la vida cotidiana y en otras áreas del conocimiento.
Los módulos se dividen en lecciones y éstas a su vez en temas para desarrollar en bloques de una a cuatro horas clase. Cada lección incluye los estándares de proceso.
Los temas que conforman cada lección incluyen ejemplos, ejercicios y diferentes secciones didácticas que amplían los contenidos.
A continuación se relacionan las diferentes secciones didácticas y su función:
Secciones didácticas
REFLEXIÓN ÉTICA
PENSAMIENTO CRÍTICO
¡QUÉ INTERESANTE!
Sección orientada al crecimiento de la vida personal.
Plantea situaciones problema que exigen procesos de pensamiento como la interpretación, análisis y evaluación.
Situaciones relacionadas con las matemáticas que amplian la cultura general y muestran su aplicación en la vida práctica.
¡QUÉ DIVERTIDO!
¿QUÉ OCURRIÓ?
¿QUIÉN ERA?
Incluye cuadros mágicos, crucigramas, ilusiones ópticas y juegos matemáticos.
En esta sección se muestran muchos acontecimientos importantes en la historia de las matemáticas.
En esta sección se resalta la vida y obra de muchos matemáticos.
TENLO EN CUENTA
WWW Direcciones electrónicas de referencia sugeridas en los temas y secciones didácticas que constituyen una interesante herramiento para reforzar los contenidos de manera lúdica e interactiva.
Corresponde a situaciones que ayudan a resolver problemas.
En esta sección se propone que el estudiante aplique algunos programas de uso común, como Excel y Cabri para la solución de problemas matemáticos.
Estas secciones proponen una variedad de situaciones problema en contexto, que permiten al estudiante evaluar su desempeño y manifestar sus competencias.
Contenido
Pensamiento aleatorio y sistema de datos Lección 1. Tema 1. Tema 2. Tema 3. Tema 4. Tema 5. Tema 6.
Interpretación de la información .......................... Organización y análisis de datos .............................. Pares ordenados .............................................................. Gráfica de barras .............................................................. Diagrama lineal ................................................................ Pictogramas ...................................................................... Media aritmética, mediana y moda en un conjunto de datos ..........................................................
10 10 16 17 19 21
Lección 2. Probabilidad .................................................................... Tema 1. Exploración de posibilidades ...................................... Tema 2. Probabilidad de eventos................................................ Autoevaluación .................................................................. Evaluación por competencias ........................................ Matemáticas y tecnología ..............................................
26 26 29 32 34 37
22
Pensamiento numérico y sistemas numéricos Lección 1. Tema 1. Tema 2. Tema 3. Tema 4. Tema 5.
6
Contenido
Números naturales ........................................................ Significado de número natural .................................. Explora algunas relaciones entre los números .... Sistema de numeración decimal .............................. ¡Números grandes…números pequeños! .............. ¿Cómo se escriben los números en notación desarrollada? ............................................ Tema 6. ¿Cómo se agrupa en el sistema binario? ................ Tema 7. Notación desarrollada en base dos .......................... Autoevaluación ..................................................................
40 40 46 48 52
Lección 2. Relaciones entre números naturales ...................... Tema 1. Números pares e impares ............................................ Tema 2. Divisores o factor de un número .............................. Tema 3. Múltiplos de un número .............................................. Tema 4. ¿Cuáles son los criterios de divisibilidad? .............. Tema 5. Mínimo común múltiplo: mcm .................................. Tema 6. Máximo común divisor (MCD) .................................... Tema 7. Descomposición de números en factores primos .......................................................... Tema 8. ¿Qué es un fenómeno regular? .................................. Tema 9. Estimar un resultado y redondear cantidades ......
61 61 62 66 68 71 73
55 57 59 60
75 77 80
Lección 3. Operaciones y propiedades con números naturales................................................ 83 Tema 1. Uso de operaciones para interpretar situaciones 83 Tema 2. Propiedades de las operaciones representadas en la recta numérica ...................................................... 90 Autoevaluación .................................................................. 97 Tema 3. Potenciación ...................................................................... 98 Tema 4. Radicación y logaritmación ........................................ 103 Tema 5. Propiedades de la potenciación ................................ 105 Tema 6. Propiedades de la radicación de números naturales .......................................................... 106 Lección 4. Ecuaciones ........................................................................ 107 Tema 1. Resolución de ecuaciones ............................................ 107 Autoevaluación .................................................................. 111 Evaluación por competencias ........................................ 112 Matemáticas y tecnología .............................................. 115
Pensamiento numérico y sistemas numéricos Lección 1. Tema 1. Tema 2. Tema 3. Tema 4. Tema 5.
Fracciones: significado y representación .......... 118 La fracción como parte de un todo .......................... 118 Fracciones equivalentes ................................................ 124 Amplificación y simplificación de fracciones ........ 126 Ordenamiento de fracciones ...................................... 128 Fracciones mayores o menores que la unidad .... 131 Autoevaluación .................................................................. 134
Lección 2. Tema 1. Tema 2. Tema 3.
Operaciones con fracciones ...................................... 135 Suma y resta de fracciones .......................................... 135 Multiplicación de fracciones ...................................... 141 División de fracciones .................................................... 145
Lección 3. Tema 1. Tema 2. Tema 3. Tema 4. Tema 5. Tema 6. Tema 7.
Números decimales y operaciones........................ 149 Fracción como cociente ................................................ 149 Fracción decimal y número decimal ........................ 151 Ordenamiento de decimales ...................................... 154 Redondear decimales .................................................... 155 Adición y sustracción de decimales ........................ 156 Multiplicación de números decimales .................... 159 División de números decimales ................................ 162 Autoevaluación .................................................................. 167 Evaluación por competencias ........................................ 168 Matemáticas y tecnología .............................................. 171 Contenido
7
Contenido Pensamiento espacial y pensamiento métrico Lección 1. Tema 1. Tema 2. Tema 3. Tema 4.
Elementos básicos de la geometría .............................. Exploración de los sólidos .................................................... Conceptos básicos de la geometría ................................ Rectas paralelas y perpendiculares .................................. Ángulos ......................................................................................
174 174 177 180 183
Lección 2. Tema 1. Tema 2. Tema 3.
Polígonos .................................................................................. ¿Qué es un polígono? ............................................................ Estudia los triángulos ............................................................ Estudia los cuadriláteros ......................................................
191 191 193 197
Lección 3. Tema 1. Tema 2. Tema 3. Tema 4. Tema 5.
Longitud, patrones y unidad ............................................ Concepto de unidad .............................................................. Selección de unidades .......................................................... Unidades de longitud ............................................................ Otras unidades de longitud ................................................ Perímetro de figuras planas ................................................
200 200 202 205 209 211
Lección 4. Tema 1. Tema 2. Tema 3.
Área y medición de superficies ...................................... Concepto de área .................................................................... Unidades de áreas en el sistema métrico decimal ...... Áreas de figuras planas ........................................................
215 215 217 221
Lección 5. Tema 1. Tema 2. Tema 3.
Círculo y circunferencia ...................................................... Círculo y circunferencia ........................................................ Longitud de la circunferencia ............................................ Área del círculo ........................................................................
229 229 232 234
Lección 6. Simetría y transformaciones ............................................ Tema 1. Ejes de simetría de una figura ............................................ Tema 2. Traslación .................................................................................... Autoevaluación .......................................................................... Evaluación por competencias ................................................ Matemáticas y tecnología ......................................................
235 235 238 241 244 247
Apéndice 1 ........................................................................................................ 249 Tema 1. Proposiciones ............................................................................ 249 Tema 2. Conjuntos .................................................................................. 251 Apéndice 2 ........................................................................................................ Tema 1. Significado y construcción de los números enteros .. Tema 1. Los enteros en la recta numérica ...................................... Tema 2. Consideraciones generales de los números enteros
255 255 258 260
Respuestas ........................................................................................................ 263 Glosario ........................................................................................................ 278 Bibliografía........................................................................................................ 280 8
Contenido
Un número es un símbolo que representa una cantidad. Los números más conocidos son los números naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si se añaden los números negativos se obtienen los enteros, y la división de enteros genera los números racionales. A través de la historia, diferentes culturas han ideado diferentes sistemas de símbolos o signos para expresar los números. En algunas culturas la notación numérica consistía en la combinación de líneas rectas, verticales u horizontales. Con el tiempo, se fueron creando sistemas que facilitaban el manejo de grandes números y sus operaciones. Algunos de los sistemas más antiguos son: cuneiforme, babilonio y romano, chino, egipcio y mesopotámico. Las culturas precolombinas, como los mayas y los aztecas, también tenían sus sistemas de numeración. Con mucha lentitud los números arábigos fueron reemplazando a los números romanos, que se habían esparcido por todo el imperio. En la página http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/ SISTNUM.html encontrarás una bonita historia de los números. Visítala y comparte tu experiencia.
(ver tabla en la página: www.espaniol.asinah.net/es/wikipedia/n/nu/numeracion_japonesa.html
Números naturales ::.::. Estándares de proceso
Tema 1
• Utilizar y dar significado a los números en diferentes contextos. • Descomponer un número de acuerdo con las propiedades del sistema de numeración decimal. • Explicar el valor de cada cifra de un número en el sistema de numeración decimal y binario. • Aplicar los principios de algunos sistemas de numeración. • Utilizar diferentes estrategias en la solución de problemas.
Significado de número natural A diario utilizas los números para expresar muchas situaciones: tu edad, el número de habitaciones de la casa o apartamento donde vives, la distancia de una ciudad a otra y, en fin, muchas más.Así mismo, algunos datos de biología, geografía y otras áreas se expresan con números. Analicemos la siguiente situación: El sistema solar está formado por el Sol, nueve planetas con sus satélites, asteroides, cometas, meteoritos, polvo y gas interplanetario.
Distancia al Sol (km)
Tiempo en dar vuelta al Sol
Tiempo de una rotación
Planetas
Satélites
Diámetro (km)
Mercurio
0
58’000.000
88 días
59 días
4.878
Venus
0
108’000.000
225 días
243 días
12.102
Tierra
1
150’000.000
365,25 días
24 horas
12.756
Marte
2
228’000.000
686 días
24,6 horas
6.786
Júpiter
16
778’000.000
12 años
10 horas
142.984
Saturno
23
1.427’000.000
29,5 años
10 horas
120.660
Urano
15
2.870’000.000
84 años
18 horas
51.118
Neptuno
8
4.497’000.000
165 años
19 horas
49.528
Plutón
1
5.900’000.000
248,5 años
6,4 horas
2.300
En la tabla aparecen los planetas ordenados, de acuerdo con la distancia a que se encuentran del Sol. El primer puesto lo ocupa el planeta Mercurio; el segundo,Venus; el tercero,la Tierra; el cuarto,Marte,el quinto,Júpiter; el sexto,Saturno; el séptimo, Urano; el octavo, Neptuno y el noveno, Plutón.
REFLEXIÓN ÉTICA 40
La vida de los seres humanos es como una corriente continua que choca o interactúa con otros elementos del mundo: piedras, árboles, animales, música… pero, especialmente, con personas, para crear matices de agrado o desagrado.
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
1. Ordena los planetas de acuerdo con el tiempo empleado por cada uno de ellos en dar una vuelta alrededor del Sol. a. ¿Cuál es el planeta que ocupa el quinto puesto? b. ¿Cuál planeta ocupa el octavo puesto? 2. Según la distancia al Sol, ¿cuáles planetas se encuentran entre 108’000.000 de kilómetros y 1.500’000.000 de kilómetros? 3. ¿Qué planetas se encuentran más lejos del Sol?
¡QUÉ INTERESANTE!
4. ¿Cuáles son los 5 planetas que están a mayor distancia del Sol y gastan más tiempo en darle una vuelta completa? 5. Escribe los planetas que tienen un diámetro menor de 10.000 km. 6. Supón que puedes hacer un viaje desde el Sol hasta Plutón, ¿por cuáles planetas que no tuvieran satélites pasarías primero? 7. Si una nave espacial que partiera de la Tierra hacia Plutón necesitara reabastecerse de combustible en los planetas que gastan menos de 24 horas en dar una vuelta sobre sí mismos, ¿cuál sería el orden de las paradas? 8. Consulta qué relación tienen los símbolos de los planetas con la mitología griega. 9. Identifica en el mapa algunos de los ríos más largos de América que se relacionan en la tabla. Consulta en un atlas del mundo los que no están dibujados.Luego,ordena la tabla por longitud del río.
A través de la historia, el ser humano ha ideado formas para medir el tiempo. Todavía algunos campesinos observan la posición de algunos astros para calcular la hora. Pueblos antiguos, como los egipcios, los mayas y los chinos, desarrollaron mapas interesantes de las constelaciones, y calendarios de gran utilidad en la agricultura y otras actividades. Para perfeccionar su calendario, los babilonios estudiaron los movimientos del Sol y la Luna. Designaban como comienzo de cada mes el día siguiente a la luna nueva, cuando aparece el primer cuarto lunar después del ocaso. Al principio, este día se determinaba mediante la observación, pero después los babilonios intentaron calcularlo por anticipado.
5
7
4 3
1 2
8
6
Nombre
Longitud
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
6.439 km 3.240 km 2.816 km 2.575 km 4.270 km 4.023 km 5.971 km 3.199 km
Amazonas Madeira Japurá Orinoco Mackenzie Paraná Mississippi San Francisco
Números naturales
41
10. Ya sabes que el agua es un recurso natural básico para la vida en el planeta.La siguiente gráfica de barras ayuda a comparar la longitud de algunos de los ríos más largos de América. Analízala y contesta las preguntas: 7.000
6.439 5.971
Longitud (km)
6.000 5.000 4.270 4.000
4.023
3.240
3.199 2.816
3.000
2.575
2.000 1.000 0
as
zon ma
A
a eir
d Ma
rá
u Jap
o
oc
in Or
zie
en ack
M
ná
ra Pa
M
pi
sip
is iss
n
Sa
co
cis
n Fra
Algunos ríos de América
▲
En los ejercicios anteriores hemos utilizado los números para ordenar la distancia de los planetas al Sol, y los ríos, de acuerdo con su longitud. En la vida práctica se utilizan con frecuencia en muchas situaciones. Por ejemplo, para ordenar la clasificación de los participantes en diferentes eventos como olimpiadas, campeonatos y otros.
a. ¿Cuál de estos ríos es el más corto? b. ¿Cuáles ríos son más largos que el Orinoco y menos largos que el Madeira? c. ¿Cuáles ríos están entre 4.000 km y 7.000 km? d. ¿Cuáles ríos son más largos que el Paraná? e. ¿Cuáles ríos son menos largos que el Japurá? f. ¿Cuáles ríos tienen una longitud menor que 3.000 km? 11. ¿Cuántos estudiantes hay en tu curso? 12. ¿Cuántas niñas? 13. ¿Cuántos niños? 14. ¿Más de la mitad del curso son niñas? ¿Por qué? 15. ¿Menos de la mitad del curso son niños? ¿Por qué? 16. ¿Las niñas son el doble de los niños. ¿Por qué?
42
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Volvamos al tema de los planetas.En la actualidad se conocen nueve planetas del sistema solar.Cada uno gira alrededor del Sol y describe una órbita. Si observas la ilustración, a cada planeta le corresponde una sola órbita. Esta idea se puede representar en un diagrama de Venn.
Mercurio
1
Venus
2
Tierra
3
Marte
4
Júpiter
5
Saturno
6
Urano
7
Neptuno
8
Plutón
9
▲
P
Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3… y se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Al conjunto de los números naturales se denota mediante la letra N.
El conjunto P (planetas) y el conjunto N (número de orden de los planetas) son conjuntos coordinables,porque tienen el mismo número de elementos y se puede establecer una correspondencia uno a uno entre sus elementos (para cada planeta, una órbita). El conjunto cuyos elementos es 0 y los números que usamos para contar (1, 2, 3, 4, 5, 6...) se llama conjunto de los números naturales. 17. Establece una correspondencia entre los dos conjuntos: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Conjunto A 2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Conjunto B 18. ¿Podemos afirmar que el conjunto A y el conjunto B son coordinables? ¿Por qué? Números naturales
43
La fiesta de los números El número uno, el número dos y el número 3, decidieron hacer la fiesta del siglo e invitar a todos los números. El número diez, un amigo especial de este trío, les preguntó si estaban seguros del compromiso, tengan en cuenta amigos que somos infinitos, eso quiere decir que somos tantos y más que la arena del océano. Con este comentario, unos opinaban que eran tantos como las gotas de agua que habían caído en el último huracán, otros se aventuraron a decir que eran tantos como la distancia a la última galaxia expresada en milímetros. Los números curiosos se acercaban y todos empezaron a opinar. Así recordaban más y más historias de los números grandes. El más romántico de todos dijo que eran tan infinitos como su amor por la sirena. Pero, finalmente, el número diez dijo: ¡Somos más que cualquiera de esos! ¡Compañeros, dijo el número filósofo: nosotros nunca terminamos, a eso me refiero cuando digo que somos un infinito!
¿QUÉ OCURRIÓ? Los seres humanos más antiguos usaron diferentes estrategias para contar: piedrecillas, pedazos de hueso, marcas sobre los troncos o piedras, líneas dibujadas en el suelo, que luego los matemáticos definirían como correspondencia biunívoca entre dos conjuntos.
Ahora cuenta tu propio cuento.
Los números naturales se pueden representar en la recta numérica
y el segmento A
B
Con el compás tomamos la medida del segmento AB, y sin mover la abertura del compás, lo ubicamos sobre la recta , en cualquier punto, entonces marcamos las dos puntas del compás sobre la recta AB, a la primera marca le hacemos corresponder el número natural 0 y a la segunda el número natural 1. A
l
A
B
0
1
B
El segmento AB va a ser nuestra unidad.A partir del punto B, con la misma abertura del compás, señalamos un nuevo punto sobre la recta y le hacemos corresponder el número natural 2, y así sucesivamente se ubican los números siguientes.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11...
Primer número natural
El número que está a la derecha de otro se llama sucesor. Para obtenerlo se suma 1 al anterior. El número 4 es el sucesor de 3, ya que 4 = 3 + 1.También podemos afirmar que 3 es menor que 4 (3 4) Recuerda que el símbolo se lee menor que. 44
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
antecesor de 8
10
11...
sucesor de 8
El número que está a la izquierda de 8 es 7 y se llama antecesor, y el sucesor es 9, que se encuentra a la derecha de 8. Podemos establecer relaciones entre estos números: 7 es menor que 8 y simbólicamente se escribe 7 8 9 es mayor que 8 y simbólicamente se escribe 9 8
Todo número natural tiene su sucesor o consecutivo, que se obtiene al sumarle 1 al número. Ejemplo: el sucesor de 3 es 3 + 1, o sea; 4. En general, si a y b son números naturales consecutivos: a b; si a está ubicado en la recta numérica a la izquierda de b (a = b − 1). a b; si a está ubicado en la recta numérica a la derecha de b (a = b + 1). a = b; si a los dos les corresponde el mismo punto en la recta numérica.
19. Escribe el antecesor y el sucesor de cada uno de los números que aparecen a continuación: a.
9
b.
15
c.
d.
2.015
e.
980.002
187
20. Escribe el signo , o = en cada caso a. 8
b. 27
11
c. 162
20
¡QUÉ INTERESANTE!
162
21. En la recta numérica se pueden ubicar números no consecutivos. 50
100
150
Ubica en la recta anterior los números: a. 55
b. 122
c. 170
d. 115
Organiza los números del 1 al 6, uno en cada círculo, sin repetir, de manera que los números en línea sumen siempre lo mismo. (Encuentra varias posibilidades).
22. Ubica en la recta los números: a. 16
b. 20
c. 23
d. 29
15
18
21
24
27
30
Números naturales
45
Tema 2
Explora algunas relaciones entre los números Según la tabla de la página 40, Júpiter tiene 16 satélites. El número 16 se puede escribir como: * 13 y 3 más * la mitad de 32
¿QUIÉN ERA? Galileo Galilei Fue matemático, astrónomo y físico. Ideó un telescopio astronómico con el que pudo ver cráteres de la superficie lunar, manchas del Sol y algunos planetas. En su libro Mensajero a las estrellas dice: “Doy gracias a Dios, que ha tenido a bien hacerme el primero en observar las maravillas ocultas a los siglos pasados. Me he cerciorado de que la Luna es un cuerpo semejante a la Tierra... He contemplado una multitud de estrellas fijas que nunca antes se observaron”. Amplía tus conocimientos acerca de este personaje en: www.mat.usach.cl/histmat/html/gali.html
* 4 veces 4 * 1 más que 15
* 1 menos que 17 * 1 diez y seis más
1. Escribe de cinco formas diferentes: a. El número de horas que gasta Saturno en dar una vuelta sobre sí mismo. b. El número de satélites de Saturno. c. El número de satélites de Neptuno. d. El número de días que gasta Venus en dar una vuelta alrededor del Sol. e. El número de satélites de la Tierra. 2. Analiza las siguientes consideraciones, encuentra el número y, luego, completa: a. El número buscado es: * 1 menos que 20 * 12 y 7 más * Número impar * 3 veces 5 y 4 más b. El número buscado es: * 5 veces 20 y 16 menos * 6 veces 6 más 12 veces 4 * 95 y 11 menos * Número par 3. Completa con números y operaciones:
45 es
uno menos que 46
Un número es: ◆ más o menos 50 ◆ menos que 100 ◆ tanto como 42 más 4 ◆ poco comparado con 92 ◆ más o menos la mitad de 98 ◆ mucho comparado con 4
46
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
¡Adivínalo!
Taller. A jugar con los refrescos Seguramente conoces una variedad de bebidas refrescantes.La publicidad en los periódicos,avisos de las calles o vallas,y las propagandas de televisión seducen a personas de todas las edades para escoger un sabor u otro.Los puedes conseguir de diferentes formas y tamaños para satisfacer diversos gustos y necesidades.
4. ¿Cuántas botellas de 1 litro caben en 2 litros? 5. ¿Cuántas botellas, más o menos de 237 mililitros, necesitaríamos para llenar una de 2 litros? 6. ¿Cuántas botellas,más o menos de 350 mililitros,podría envasar en una de litro y medio? 7. Escribe algunas expresiones en las que compares la botella de 1 litro con las demás. 8. Con base en la siguiente lectura elabora una lista de los datos que sean razonables y otra de los que no lo sean.
Cuentan que unos 5 kilómetros antes de llegar a un pueblo vive un señor de 3 metros de altura, en una casita estilo rústico, con techo de paja y puertas de 1 metro de altura, en madera fina y de color natural, que le fabricó el carpintero del pueblo, el viejo Álvarez. Un día, cinco niños del pueblo fueron a conocerlo por curiosidad, y él les contó su historia, tan insólita como todo lo suyo: su familia vive en un pueblo a 12 horas de la capital; Carlos, su papá, tiene 65 años y mide 1,60 m y Juana, su mamá, tiene 60 años y mide 1,55 m; no tuvo hermanos; él estudiaba en la escuela y su profesora Panchita, que tenía 190 años, le enseñó a leer, sumar y restar. Terminó la primaria y se fue a la capital a seguir estudiando. Terminó dos carreras, matemáticas y astrono-
mía. Trabajó algún tiempo y ahorró para irse a vivir allí, ya que no le gustaba la ciudad, por la contaminación y el ruido. Compró una fanegada de tierra por $100, el día 30 de febrero de 2001. Construyó su casa para vivir. Le gusta mucho leer y observar el firmamento para extasiarse con el movimiento de las constelaciones. Los niños estaban muy interesados en el relato, pero ya era hora de regresar; entonces le preguntaron que si podían volver y él les dijo que sí, pero que pensarán la siguiente situación y que la discutirían cuando regresaran: si tengo los números 25 y 30, ¿será posible que la suma sea más de 100? ¿Menos de 40? ¿Más o menos 60? ¿Podrías ayudarles a analizar y a decidir qué sería lo más razonable?
9. Agrega cinco situaciones nuevas a la historia y explica si son razonables o no. Números naturales
47
Tema 3
Sistema de numeración decimal Los sistemas numéricos sirven para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base es el número de símbolos diferentes, o guarismos necesarios para representar un número cualquiera, de los infinitos posibles, en el sistema.Por ejemplo,el sistema decimal utilizado hoy de forma universal (con excepción de los ordenadores o computadoras) necesita diez símbolos diferentes o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar un número y es, por tanto, un sistema numérico en base 10; según parece, por el número de dedos con los que contamos. A lo largo de la historia se han ideado muchos sistemas numéricos.En realidad, cualquier número mayor que 1 puede ser utilizado como base. Algunas civilizaciones usaban sistemas basados en los números 3, 4 ó 5. Los babilonios utilizaron el sistema sexagesimal, basado en el número 60; los romanos (en ciertas aplicaciones), el sistema duodecimal, con el número 12 como base; los mayas utilizaban el sistema vigesimal, basado en el número 20. El sistema binario, o en base 2, fue usado por algunas tribus antiguas. Este sistema, junto con el sistema en base 16, se usa en la actualidad en los ordenadores o computadoras. Algunas calculadoras científicas permiten trabajar con diferentes sistemas de numeración: binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16).
▲
Expresa en las diferentes numeraciones que aparecen en el cuadro: ◆ Tu edad. ◆ El año en que naciste. ◆ El número de estudiantes de tu curso. ◆ El total de estudiantes de tu colegio.
Ilustración 44 Sistemas numéricos
¡QUÉ INTERESANTE! 200 Los egipcios escribían así los números 276 y 3.456:
276
70 6
48
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
3.456