Matemáticas 1 - Versión Alumno - Correo del Maestro - Conaliteg 2021-2022

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Anne Alberro Semerena Rubén García Madero

Anne Alberro Semerena Rubén García Madero

Matemáticas 1

Primer Grado

Matemáticas 1

ISBN: 978-607-9034-75-7

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Estimada alumna, estimado alumno:

El libro texto gratuito que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo que realizan el gobierno federal, los gobiernos estatales, las maestras y los maestros para garantizar que todas las niñas, los niños y los adolescentes que cursan la educación básica en nuestro país cuenten con materiales educativos para construir su aprendizaje, y con ello alcanzar una educación de excelencia. Tu libro de texto gratuito promoverá que te desarrolles integralmente, fomentará en ti el amor a la Patria y el respeto a todos los derechos; así reconocerás lo que te rodea, apreciarás tus fortalezas y sabrás lo que tu comunidad, México y el mundo Nombre

necesitan y lo que puedes hacer por ellos. En el marco de la Nueva Escuela Mexicana, la equidad y la calidad son premisas

Grado

de la educación. Este libro ha sido seleccionado por los docentes de tu escuela, de entre las distintas opciones que la Secretaría de Educación Pública pone a su disposición y forma parte de los materiales educativos que se ofrecen para que, con

Escuela

el trabajo diario de maestras, maestros, autoridades y familias, alcances el máximo logro de aprendizaje y el fortalecimiento de los lazos entre tu escuela y tu comunidad.

Maestro (a)

Este libro ya es tuyo; es un regalo del pueblo de México para ti. ¡Conócelo, cuídalo y disfrútalo!

Distribución gratuita, prohibida su venta

PROPUESTA 3º-FORROS-SEC-GRAL.indd 1 Matemáticas 1 Portada conali 2020.indd 2

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Matemáticas 1 Anne Alberro Semerena Rubén García Madero

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CORREO del MAESTRO coordinación editorial

Roxana Martín–Lunas Rodríguez

autoría

Anne Alberro Semerena Rubén García Madero

edición

Elena Martín–Lunas Rodríguez

revisión técnica y pedagógica

corrección de estilo

Bertha Francisco Nicanor María Antonieta Molina Garza Galindo José María Fábregas Puig

colaboración especial

Josefa de Regules Ruiz Funes Emiliano Mora Valladares

cuidado de la edición

Guadalupe Escalante Ramírez

diseño de interiores

José Francisco Ibarra Meza π

diseño de cubierta

José Francisco Ibarra Meza π

ilustración fotografía

obra de cubierta

fotografía de cubierta gestión de derechos y permisos

ISBN:

372.7 R54 2018 Pierre Alberro Semerena, Anne Marie Matemáticas 1: primer grado / Anne Alberro Semerena, Rubén García Madero ; edición Elena Martín-Lunas Rodríguez .— México: Correo del Maestro, 2018 260 p. : il. ISBN 978-607-9034-75-7 1. Matemáticas – Estudio y enseñanza (Secundaria) I. García Madero, Rubén,coaut. II.Martín- Lunas Rodríguez, Elena, ed. III. t

Trazo Magenta, Francisco Ibarra Meza π, Rosa Trujano López/Alógrafo

formación electrónica

investigación iconográfica

Sistema de clasificación Melvil Dewey DGMyME

Elena Martín–Lunas Rodríguez Alejandro Teodores Romero © Carlos Hahn Ramírez © Bancos de imagen: Shutterstock, Pixabay, Latinstock México © Sin título (2009), Alba Rojo Cama.† Técnica: papel recortado en caja de cartón y tela con vidrio. Medidas: 23 x 31.5 x 16.5 cm © Carlos Hahn Ramírez correo del maestro

978-607-9034-75-7 © 2018: Anne Marie Pierre Alberro Semerena, Rubén García Madero Primera edición: 2018 Primera reimpresión: 2019 Segunda reimpresión: 2020 © 2018 del maestro, s.a. de c.v.

derechos reservados correo

Av. Reforma No. 7 Int. 403, Cd. Brisa Naucalpan Estado de México, México C.P. 53280 Tels. 53-64-56-70 / 53-64-56-95 correo@correodelmaestro.com

www.correodelmaestro.com Impreso en México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2817 La presentación y disposición en conjunto de Matemáticas 1, son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de la información), sin consentimiento por escrito del editor.

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Presentación Querido estudiante: tiene el enorme gusto de poner en tus manos el presente libro, que te dará muchas satisfacciones: sumarás a tus conocimientos otra manera de observar y analizar el mundo, y aprenderás, cada vez con mayor profundidad, a vivir, porque la matemática es una herramienta poderosa de razonamiento y una fuente de conocimiento que permite resolver problemas abstractos, prácticos, sociales y culturales. Toma el estudio de esta ciencia como un reto, una meta a la que quieres llegar. Las distintas destrezas que adquieras, entre ellas la de usar este lenguaje universal y concreto para comunicar tus dudas o compartir lo que sabes con otros, te demostrará que la práctica hace al maestro. Correo del Maestro

Asistir a la escuela implica que descubras nuevos intereses, que construyas tu manera de apropiarte de conocimientos, de desarrollar habilidades y de reflexionar sobre lo que has logrado y sobre el camino que has trazado y que aún te falta recorrer. En la escuela estás encontrando gente nueva que con sus puntos de vista enriquece tu manera de ver, comprender y sentir el mundo. Estudiantes que, como tú, quieren divertirse y ser parte de todo lo nuevo que sucede; maestros que te estimularán a seguir adelante en tus descubrimientos porque te acercarán al trabajo de otros grandes maestros de la ciencia y la tecnología, la literatura, el periodismo, la filosofía, la historia y la geografía, los deportes y el arte. Mientras tanto, tu familia se enriquecerá cada vez que tú los vincules con lo que aprendes. ¿Qué implica aprender? Entre otras cosas, aprender es hacerte cargo de cómo te apropias de nuevas formas de saber y hacer y de qué uso les das. Así, aprender te ayudará a ir reconociendo los beneficios de mantener una convivencia incluyente, pacífica, democrática y

tolerante; de cuidar de ti y de tu entorno natural y social, así como participar en la conformación de una sociedad más justa. Hoy se espera que te des cuenta de que todas las actividades que realizas en tus ámbitos escolar, familiar y comunitario contribuyen a tu aprendizaje y que saber usar las distintas herramientas para aprender es fundamental porque éstas van cambiando con el tiempo. Tus abuelos y tus padres, por ejemplo, tenían como principales herramientas de aprendizaje los textos impresos, así que debían ir a bibliotecas para leerlos, si es que los encontraban. Tú, en cambio, tienes además las herramientas digitales que te proporciona la tecnología. Con los dispositivos electrónicos, puedes consultar en internet videos, audios, documentos, juegos y un largo etcétera, además de continuar consultando los libros impresos en las bibliotecas de tu escuela y de la comunidad a fin de apoyar tu aprendizaje en forma permanente. Para escribir, seguirás utilizando lápiz y papel que ayuda a desarrollar las destrezas finas, pero también utilizarás computadoras y otros dispositivos para editar, hacer presentaciones, videos, folletos, revistas, diarios, en fin, todo lo que imagines. No obstante, conviene que te apropies del conocimiento formal en todos sus órdenes: científico y tecnológico, social, artístico, deportivo; y que aprendas a discriminar de la inmensa información que hay en la red la que es realmente valiosa de la que no es, la que te ayude a construir nuevos conocimientos. Éste es el propósito de tu libro de texto: ayudarte en este mundo de información y tecnología en el que vivimos a apropiarte de los conocimientos y habilidades para que tú mismo te encargues, con la guía de tu maestro, de los aspectos de tu aprendizaje en solitario pero, sobre todo, en colaboración con tus pares, y que verifiques constantemente lo que vas interiorizando mediante la reflexión de tus logros. Autores y editores

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Conoce tu libro

Con el apoyo del maestro,* lee las siguientes descripciones y recorre las páginas de este libro para que sepas cómo está estructurado. Cada uno de los tres Módulos cubre un trimestre del calendario escolar: agosto-noviembre

1

er

Cuando bebas agua recuerda la fuente…

diciembre-marzo

Módulo

proverbio chino

abril-julio

Agua que ves

Entrada de Módulo

Todos los días usamos agua. Para empezar, debemos beber por lo menos dos litros diarios. Además, hay que lavar las frutas y verduras; y muchos alimentos, como los frijoles, el caldo de pollo y el arroz, se preparan con agua. También lavamos los platos y la ropa, además de bañarnos, lavarnos los dientes y descargar el inodoro. Es mucha agua, ¿pero cuánta?

Te invitamos a que leas estos textos sobre el tema del agua, su importancia y cómo usamos este recurso natural no renovable.

Según la Organización Mundial de la Salud (oms), la cantidad de agua que requiere cada persona por día para beber, cocinar, asearse y limpiar va de 40 a 150 litros, es decir, el equivalente a entre 2 y 7.5 garrafones. Imagina cuántos garrafones consume tu familia en un año, y las familias de todos tus compañeros… A este paso, ¿nos vamos a acabar el agua? Pues no. Desde que se formó la atmósfera, hace unos 4 500 millones de años, ha habido casi la misma cantidad de agua, que circula y se limpia gracias al ciclo hidrológico. El problema es que, en la actualidad, para cubrir nuestras necesidades inmediatas, estamos extrayendo y contaminando el agua de los ríos, lagos y subsuelo más rápido de lo que el ciclo hidrológico y nuestros avances tecnológicos pueden limpiarla. ¿Qué podemos hacer para evitarlo?

Verás que están vinculados con los aprendizajes que lograrás a lo largo de cada Módulo.

¿Te parece que 7.5 garrafones al día es demasiado? Pues significa sólo el 4% de la que consumes. Y el otro 96%, ¿dónde está? Reflexiona sobre este texto porque la retomarás en la evaluación final del Módulo.

Nota: Un garrafón contiene 19 litros.

14

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Los retomarás en la Evaluación del cierre de Módulo.

15

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Refrán o proverbio relacionado con el texto y la imagen

Indica el número de Módulo

Identifica cada Eje

Ruta de aprendizaje

Cada aprendizaje termina con una actividad que se llama Logro ir más allá, aquí se muestran las imágenes de esta actividad. Revisa también el Índice de contenido.

Eje

Forma, espacio y medida

aNÁlisis de datos

adicióN y sustraccióN

Figuras y cuerpos geométricos

probabilidad

Tema

Número

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.

Aprendizaje esperado Lección

Aquí se muestra la secuencia de las Lecciones del Módulo.

Número, Álgebra y VariacióN

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

ecuacioNes

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Conversión entre fracciones y decimales

Orden en las fracciones y en los números decimales

Suma y resta de números enteros

Suma y resta de números decimales y fracciones

Fórmulas geométricas y uso de literales

Ecuaciones lineales I

Suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

Construcción de triángulos

Propiedades de los cuadriláteros

Experimentos aleatorios

Proyecto

Sigue la ruta para ver cómo se desprende cada Lección de los Aprendizajes esperados.

Ruta de apRendizaje

Logro ir más allá

Se muestran los Ejes, Temas y Aprendizajes esperados del programa de la asignatura.

16

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17

06/12/17 00:40

* […] Por razones de corrección política, que no de corrección lingüística, se ha extendido la costumbre de hacer explícita la alusión a ambos sexos […]. Se olvida en estos casos que en la lengua está prevista la posibilidad de referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical masculino, posibilidad en la que no debe verse intención discriminatoria alguna, sino la aplicación de la ley lingüística de la economía expresiva […] Por otra parte, [se] ha suscitado la creación de soluciones artificiosas que contravienen las normas de la gramática como “las y los ciudadanos”. Véase: Diccionario panhispánico de dudas, Real Academia Española, 2005, sustento que se utiliza en este libro.

4

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Lecciones Los términos o conceptos resaltados en negritas se explican a lo largo del contenido.

En cada Módulo se distribuyen las Lecciones numeradas, que son secuencias didácticas de actividades. Exploro es una actividad de inicio que siempre termina con un Evalúo.

Los términos nuevos que enriquecerán tu vocabulario están resaltados con color y se explican en el Glosario al margen de la página.

Descubro y construyo son una secuencia de actividades que están centradas en motivar a la reflexión y la resolución de situaciones problemáticas, la mayor parte de la veces terminan con un Evalúo.

Las imágenes son fotografías, dibujos, esquemas y gráficas que se leen como parte de los textos y de las actividades de cada secuencia didáctica.

Ambas actividades inician con una intención o propósito. Intención Título de la Lección

Experimentos

aleatorios

Entra a esta página donde puedes leer más sobre El parentesco del azar, azahar y hazard: cmed.mx/m115

Glosario

GLOSARIO Azar. Acto que sucede de manera fortuita. Probabilidad. Mide la posibilidad de que ocurra un evento.

Icono Evalúo

y 12 11.5 11 10.5 10 9.5 9 85 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

donde la recta interseca el

y

Nadia 10.2

11

9.4 8.6 7.8 7 6.2

5.4 3.8

0

4.6

2

4

6

8

10

x

13 12.5 12 11.5 11 10.5 10 9.5 9 85 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

_____. Si b es igual a cero, relación de _____________ _____________ y es de la

12

forma y = _____..

10.8 9.6 8.4 7.2

6 4.8 3.6 2.4 1.2 0

Tiempo (min)

la variación representa una

Roxana

2

4

6

8

10

12

x

Tiempo (min)

y ¿Quién empezó su entrenamiento al inicio de la carretera? ¿Cómo se muestra en la gráfica? y ¿En qué punto de la carretera inició su entrenamiento la otra ciclista? y ¿Qué expresión algebraica representa cada situación? y ¿Qué gráfica muestra una relación de proporcionalidad directa?

Evalúo

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otros compañeros. Comenten y debatan sobre las características de las expresiones algebraicas y las M1-3-L26-PRACTICO correspondientes gráficas que representan una variación lineal. y

Practico 60

1. Traza la gráfica que corresponde a las siguientes tablas y determina la expresión algebraica correspondiente.

¿Cómo determinarías qué evento es más probable que ocurra al realizar un experimento aleatorio? ¿Para qué es importante conocer todos los posibles resultados de un experimento, como el lanzamiento de dos dados? Comenta tus respuestas con tus compañeros.

74

de b corresponde al punto

1. Analiza,en pareja, la información. Tracen en su cuaderno las tablas correspondientes a las gráficas. Después, respondan.

Un grupo de amigos discute sobre quién debe ir a la tienda a comprar lo necesario para la próxima reunión, y después de un rato deciden dejarlo al azar. Cada quien elige un número y lanza los dos dados; después se suman los números de ambos dados y si sale el número elegido, esa persona tiene que ir a la tienda. 1. Observa el número que eligió cada amigo y responde. Natalia: 12 Luis: 8 Ernesto: 10 Julia: 3 y ¿Qué números se pueden obtener al lanzar dos dados? y ¿Quién consideras que tiene más probabilidad de ir a la tienda? Explica tu respuesta. y ¿Quién tiene menos probabilidad de ir a la tienda? y Si fueras uno de los amigos, ¿qué número elegirías de todos los posibles y por qué? 2. Anota todas las combinaciones con las que se puedan obtener los números que eligieron los amigos. Por ejemplo, (3, 4) y (4, 3) son dos resultados diferentes. y A partir de lo anterior, ¿sigues pensando lo mismo sobre quién tiene mayor o menor probabilidad de ir a la tienda? ¿Por qué?

es una línea recta. El valor

M1-3-L26-DYC V-1

km sobre la carretera

Leo +

forma y = _____+ _____

Nadia y Roxana son ciclistas y entrenan sobre una carretera en un tramo de 50 km. Cada una inició su entrenamiento en un punto diferente de la carretera, como muestran las siguientes gráficas.

Comparo dos o más eventos y determino cuál es más probable que suceda. Existen varias teorías sobre el origen del juego con dados. Una de las más conocidas dice que proviene de las Cruzadas del siglo xii, cuando tropas inglesas, lideradas por Sir William de Tyre (1125 d.C.), asediaban una fortaleza árabe llamada Asart o Hazarth. Durante los descansos de la batalla, su pasatiempo preferido era un juego de dados que habían aprendido en territorio islámico, por lo que le dieron el nombre de “hazard” (que significa riesgo en inglés). Poco a poco este juego se extendió por toda Europa.

La gráfica de una relación de variación lineal de la

George de la Tour (1650-1651)

Leo +

Exploro

Tomo Nota

Tomo NoTa

VI. Completo tablas a partir de la información que muestra una gráfica y determino la expresión algebraica correspondiente.

Un experimento aleatorio es aquel en el que no se puede tener certeza de lo que va a suceder, es decir, no se puede predecir su resultado.

Exploro

Número de Módulo

Icono Descubro y construyo

km sobre la carretera

Icono del Eje

55

40

x

y

y

35

0

6

2

30

1

8

11

11

25

2

16

16

20

20

3

24

21

29

15

4

32

26

38

10

y=

y=

y=

Ingresa a cmed.mx/m159 y responde la pregunta, comprueba tu respuesta y cuando aciertes, pasa a: “siguiente pregunta”.

45

0

y

Utilizo las TIC

50

5 0

Probabilidad

Utilizo las Tic

1

2

3

4

5

6

7

x

L26 Diferentes representaciones de una relación con variación lineal

201

Practico

Tema Términos nuevos

Número y título de Lección

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Actividades Exploro

Descubro y construyo

Practico Logro ir más

allá

Es la primera actividad de cada Lección. Les permitirá, a ti y al maestro, hacer un diagnóstico de lo que sabes y de tus intereses. Algunas veces la resolverás en forma individual, otras en pareja o en equipo. Son retos o situaciones problemáticas presentadas en una secuencia con números romanos. Pondrás en práctica tus competencias matemáticas y de lectura y requerirás de una actitud de trabajo y reflexión para construir nuevos conocimientos en solitario, con tus pares en equipo o en grupo. Son ejercicios para que desarrolles, en forma individual, las técnicas y destrezas matemáticas, apliques y practiques lo que has aprendido. Es la actividad de cierre de cada aprendizaje. Evalúo: es una breve valoración de tu aprendizaje con la que cierra cada actividad, en la que puedes llegar a conclusiones, concretar tus resultados y compartirlos con tus pares, en equipo o en grupo. Guarda esta evaluación en tu Itacate de evidencias, servirá como evaluación formativa y será un apoyo para que reconozcas cómo has aprendido.

Itacate

Itacate de evidencias: es la carpeta o portafolio en el que te sugerimos guardar todos los trabajos que hayas realizado, incluye tus logros de cada Evalúo. Cada vez que lo consultes, se convertirá en una guía para construir nuevos aprendizajes, y reconocer cómo has aprendido o bien para verificar tus logros al desarrollar cada secuencia de actividades. Te sugerimos revisarlo antes de Evalúo mi aprendizaje y de Evaluemos lo aprendido.

It

Recuadros

Tomo Nota Utilizo las TIC

Formalización matemática completa y otras que podrás completar al concluir las actividades. Te servirá como un apunte para tu Itacate de evidencias. Te será útil en la medida en que requieras indagar, investigar y verificar tu aprendizaje, o bien si deseas profundizar en alguna información o practicar en forma interactiva. Todas las ligas electrónicas fueron consultadas en febrero de 2018.

Leo +

Son recomendaciones de lecturas de los Libros del Rincón y otros textos relacionados con el tema de estudio. Algunas veces incluyen imágenes.

Cierre del aprendizaje Son los conocimientos puntuales que te permitieron alcanzar parte del Aprendizaje esperado.

Evalúo mi aprendizaje

Es una evaluación formal que se encuentra al cierre de cada aprendizaje; puedes realizarla en forma individual o en parejas, pero siempre con la guía del maestro. Retoma tu Itacate de evidencias antes de contestar la evaluación.

Logro ir más

Es la actividad final de cada aprendizaje. Presenta situaciones problemáticas diversas. Está relacionada con una parte de tu aprendizaje, para que practiques o juegues. Te interesará compartirla también en ámbitos no formales.

allá

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Reconoce tus emociones

Referencia al Itacate de evidencias Logro ir más allá

Recapitulo Evalúo mi aprendizaje

Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Logro ir más

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Evaluemos lo aprendido

EvaluEmos

allá

2. Para obtener la constante de proporcionalidad entre dos conjuntos de magnitudes que son directamente proporcionales, se divide una magnitud del segundo conjunto entre la magnitud correspondiente del primer conjunto. 3. El factor de proporcionalidad o de escala es el número por el cual hay que multiplicar las dimensiones de una figura para obtener las dimensiones de la ampliación o de la reducción. 4. La aplicación de n de un factor m proporcionalidad equivale a multiplicar la magnitud correspondiente por n y después dividir entre m, o viceversa, primero dividir entre m y luego multiplicar por n. 5. Todo factor de proporcionalidad tiene un factor recíproco que deshace los cambios. 6. El factor recíproco o inverso de un factor de proporcionalidad m es n , ya que al n m multiplicarlos se obtiene 1.

1. Balam gasta 3 partes de su sueldo mensual en actividades de entretenimiento. De 8 esa cantidad, la mitad la utiliza para asistir a conciertos. Si Balam gana $8 000.00 al mes, ¿cuánto dinero gasta en ir a conciertos?

M1-2-L14-EVALÚO

5 cm 3 cm ____ cm ____ cm

3.6 cm 6.5 cm

____ cm

____ cm

1.8 cm 5.5 cm Polígono A

____ cm Polígono B

3. En los viajes de Gulliver, Brobdingnag es el país de los gigantes y Lilliput el de los enanos. En el primero todo es 12 veces más grande y en el segundo todo es 12 veces más pequeño de lo que es en nuestro mundo. ¿Cuántos centímetros medirías en Brobdingnag y cuántos en Lilliput? 4. En una máquina hay cuatro engranes unidos, A, B, C y D, que cumplen lo siguiente: a. Si A da una vuelta, B da 1 vuelta. 2 b. Si B da una vuelta, C da tres vueltas. c. Si C da una vuelta, D da 1 de vuelta. 3 y Si el engrane A da una vuelta, ¿cuántas vueltas da el engrane D? y ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre los engranes A y D? 5. Con 15 kilos de duraznos se preparan 12 kilos de mermelada y con 8 kilos de mermelada se preparan 40 pasteles. y ¿Cuántos kilos de duraznos se necesitan para hacer 8 kilos de mermelada? y ¿Cuántos kilos de mermelada se necesitan para hacer 28 pasteles?

Metros

20 100

6 30

20 70

6 21

20 50

6 15

20 40

6 12

20 30

6 9

20 25 20 20

6 7.5 6 6

20 200

2. Los dos hexágonos son proporcionales. Encuentra las longitudes que faltan en ambas figuras y anótalas en sus respectivos lados.

4 cm

Pies

I.

Reconoce tus emociones

6 60

Comparte aquí tus reflexiones sobre el texto: "Agua que ves" y las emociones que provocó en ti.

Revisa tu Itacate de evidencias antes de realizar tu evaluación.

Itacate de evidencias

lo aprEndido

Recapitulo 1. La constante de proporcionalidad entre dos conjuntos de magnitudes puede ser entera, decimal o fraccionaria.

Itacate de evidencias

Selecciona la opción correcta. Compara tus respuestas y procedimientos con un compañero.

1. El martes Carolina le prestó a Daniela $248.00 para que se comprara una blusa. El viernes, Daniela le pagó $125.00. ¿Cuál de las siguientes expresiones modela la situación de Daniela? a. −248 + 125 b. −248 − 125 c. 248 − 125 d. 248 + 125 2. Luis fue al mercado a comprar medio kilogramo de naranjas, un cuarto de kilogramo de fresa, un kilogramo y tres cuartos de kilogramo de limón y tres cuartos de kilogramo de mango. ¿Cuántos kilogramos pesaba en total la fruta que compró? a. 2.750 kg b. 3.875 kg c. 2.375 kg d. 3.125 kg 3. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? b. 0.125= 3 c. 13 = 1.625 a. 1 = 2.6 5

La prueba de E o carta E giratoria para medir la agudeza visual se utiliza con personas que no tienen la capacidad para leer el alfabeto latino; la letra “E” en la primera fila mide 88.7 mm de altura. Para esta prueba se debe identificar la orientación de las letras a cierta distancia. Lograr esto con la línea correspondiente a 6 m indica una visión 6 normal, pero si alguien puede identificar únicamente las letras de la línea 6 m, esto 12 quiere decir que tiene que estar a 6 metros para leer algo que, con vista normal, se podría leer a 12.

25

d. 3.75= 15

8

4

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la cuarta parte de la diferencia de dos números cualesquiera? b. 4 (x − y) c. x − y d. x − y a. x − y 4

y Si tuvieran que realizar la prueba en menos de 6 m, ¿qué harían? y Si tuvieran que elaborar un cartel para un pasillo de 5 m, ¿qué cantidades de metros asignarían a cada una de las líneas del cartel? ¿Cuál sería la altura de la primera letra? y Si tuvieran que elaborar un cartel para un pasillo de 3.5 m, ¿qué cantidades de metros asignarían a las tres primeras líneas del cartel? ¿Cuál sería la altura de la primera letra? y Determinen en grupo la proporción para nombrar cualquier línea del cartel a una distancia de x metros. y Juan dice que para pasillos que miden menos de 6 m de largo se puede utilizar un espejo plano. Investiguen a qué se refiere Juan y ¡explíquenlo!

4

4

1

¿Qué es para tí lo más importante de esta idea?

5. ¿Cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación 2 x − 0.75 = 8? a. x = 8.75 b. x = 14.5 c. x = 9.25 d. x = 17.5

Cuando bebas agua

M1-1-EVALUACIÓN 6. ¿En qué inciso no hay condiciones suficientes para que los triángulos ABC y DEF de la figura sean congruentes?

recuerda la fuente…

p

D

c

a q

r b

f

x d

F

z e y E

116

ProPorcionalidad

Cierre de Módulo

L13

a. AB = EF, BC = FD y r = x c. AB = EF, BC = FD y CA = DE.

117

L14

b. BC = FD, CA = DE y r = x d. p = y, AB = EF y q = z

7. Si se lanza 96 veces un dado, ¿cuántas veces se espera que salga un número impar y cuántas veces un múltiplo de 4? a. 48 veces un impar y 16 veces un múltiplo de 4. b. 48 veces un impar y 24 veces un múltiplo de 4. c. 3 veces un impar y 24 veces un múltiplo de 4. d. 6 veces un impar y 16 veces un múltiplo de 4.

Lecciones que abarcan el aprendizaje esperado 82

Itacate

Evaluemos lo aprendido: antes de iniciar la evaluación final, te invitamos a retomar nuevamente tu Itacate de evidencias para trabajar distintos tipos de evaluación, aplicar lo que has aprendido y medir tus logros en pareja, en equipo y con el maestro. Valorarás cómo organizaste y desarrollaste tus aprendizajes y te ayudará a establecer tus metas.

Habilidades del siglo xxi

Autoevaluación Mis logros y metas Autoevaluación Mis logros y metas Como has completado y revisado tu Itacate de evidencias, ya puedes reconocer cómo has aprendido, ahora completa este cuadro. Escribe lo que se pide en cada caso.

Tengo el conocimiento Sí

Reconoce tus emociones: una invitación a reflexionar y a reconocer tus emociones en relación a los textos de inicio del Módulo.

LO SÉ HACER

LO SÉ INDICADOR DEL LOGRO

Aún no

LO VALORO

Desarrollé las habilidades para representar y seguir procedimientos Sí

Aún no

Convierto fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproximo algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordeno fracciones y números decimales.

COMENTARIOS No

¿Cómo lo lograré?

Habilidades del siglo xxi Marca con una (3) las habilidades que consideres que has alcanzado: Confío en mí Percibo mis emociones Soy responsable Muestro empatía

Resuelvo problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Tengo sentido de comunidad Me comunico Colaboro / participo

Autoevaluación: cuadro para reflexionar sobre tus logros y metas. Habilidades del siglo xxi: podrás señalar las habilidades y destrezas que has logrado desarrollar a lo largo del Módulo.

Resuelvo problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Me adapto Muestro creatividad Muestro curiosidad e interés Tengo iniciativa

Analizo la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determino y uso criterios de congruencia de triángulos.

Soy persistente Planteo metas positivas Resuelvo problemas Manejo la información

Realizo experimentos aleatorios y registro los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

Uso los medios Manejo la tecnología Soy consciente del mundo natural y social

84

Apéndices Bibliografía: contiene la lista de las publicaciones, impresas y electrónicas recomendadas, en caso de que deseen investigar más sobre algún tema mencionado en esta obra. Se incluyen ligas electrónicas.

85

Tabla de correlación: es el programa de la asignatura y su relación con las páginas del libro de texto. Notas para tu Itacate: Un espacio para que escribas notas, procedimientos, tareas pendientes, logros, metas, dudas, etcétera. Créditos iconográficos

7

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Índice de contenido Presentación Conoce tu libro

3 4

1er MÓDULO 14 Ruta de aprendizaje eje tema

lección

1

16

Número, álgebra y variación Número Conversión entre fracciones y decimales

18

Conversión de fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproximación de fracciones no decimales a notación decimal. lección

2

Orden en las fracciones y en los números decimales

22

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Orden de fracciones y números decimales (densidad).

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

3

26 27

Adición y sustracción Suma y resta de números enteros

28

Resolución de problemas de suma y resta con números enteros. lección

4

Suma y resta de números decimales y fracciones

36

Resolución de problemas con fracciones y decimales positivos y negativos.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

5

40 41

Ecuaciones Fórmulas geométricas y uso de literales

42

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales. Expresiones equivalentes. Justificación de la fórmulas. lección

6

Ecuaciones lineales I

48

Resolución y representación de problemas con ecuaciones de primer grado del tipo ax = b; ax + b = c. Uso de las propiedades de la igualdad.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

54 55

8

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eje tema

lección

7

Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos geométricos Suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

56

Análisis de la relación entre los ángulos que se forman entre rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de la suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. lección

8

Construcción de triángulos

62

Construcción de triángulos. Análisis de la unicidad en la construcción de triángulos. Criterios de congruencia de triángulos. lección

9

Propiedades de los cuadriláteros

68

Unicidad y propiedades de los cuadriláteros.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

10

72 73

Análisis de datos Probabilidad Experimentos aleatorios

74

Realización y registro de los resultados de experimentos aleatorios. Definición de la probabilidad frecuencial.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

Evaluemos lo aprendido

80 81

82

Autoevaluación 84

9

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2o MÓDULO Ruta de aprendizaje eje tema

lección

11

86

88

Número, álgebra y variación Multiplicación y división Multiplicación de fracciones

90

Resolución de problemas de multiplicación de fracciones. lección

12

Multiplicación y división de números decimales 96 Resolución de problemas de multiplicación y división de números decimales.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

13

102 103

Proporcionalidad Proporcionalidad directa con constante natural

104

Cálculo de valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa con constante natural. lección

14

Proporcionalidad directa con constante decimal o fraccionaria

110

Resolución de problemas de proporcionalidad directa con constante de proporcionalidad fraccionaria o decimal.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

15

116 117

Ecuaciones Ecuaciones lineales II

118

Resolución de ecuaciones lineales del tipo ax + b = c x + d Con coeficientes enteros, fraccionarios y decimales.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

16

124 125

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes Regla de sucesiones aritméticas

126

Construcción de sucesiones aritméticas. Identificación y representación algebraica de la regla en sucesiones del tipo ax + b.

10

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lección

17

El enésimo término de una sucesión aritmética

132

Determina el lugar que ocupa un término de la sucesión con progresión aritmética a partir de conocer el término y la regla general.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

18

136 137

Forma, espacio y medida Magnitudes y medidas Perímetro de polígonos y área de triángulos y cuadriláteros

138

Se establecen y aplican las fórmulas para el cálculo del perímetro de polígonos. Se justifican y aplican las fórmulas para el área de triángulos y cuadriláteros. lección

19

Perímetro del círculo

144

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud

de la circunferencia y el diámetro.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

20

148 149

Análisis de datos Estadística Medidas de tendencia central

150

Análisis de casos en los que la media aritmética, moda o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos. Cálculo del rango para determinar la dispersión de los datos. lección

21

Propiedades de la media y la mediana

156

Análisis de las propiedades de la media y la mediana.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

Evaluemos lo aprendido

160 161

162

Autoevaluación 164

11

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3er MÓDULO

Ruta de aprendizaje eje tema

lección

22

166

168

Número, álgebra y variación Multiplicación y división

Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis

170

Jerarquía de operaciones de números naturales, enteros y decimales y uso de paréntesis.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

23

176 177

Ecuaciones Ecuaciones lineales III

178

Resolución de ecuaciones lineales del tipo ax + b = cx + d, con coeficientes fraccionarios y decimales, positivos y negativos (uso de paréntesis, propiedad distributiva).

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

24

182 183

Proporcionalidad Tanto por ciento

184

Resolución de problemas relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad y determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra. lección

25

Cálculo de porcentajes 190 Resolución de problemas de porcentaje, obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa; porcentajes mayores que 100% (iva).

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

26

194 195

Funciones Diferentes representaciones de una relación con variación lineal

196

Comparación entre situaciones de variación lineal y no lineal. Análisis y representación tabular, gráfica y algebraica, de funciones lineales y de la razón de cambio. lección

27

Razón de cambio y pendiente

202

Análisis de la recta que modela una función lineal al variar alguno de los parámetros Comparación entre situaciones de variación lineal y no lineal.

12

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Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

28

208 209

Forma, espacio y medida Magnitudes y medidas Fórmulas para calcular el volumen de cubos y prismas rectos

210

Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos y prismas rectos. lección

29

Relación entre el decímetro cúbico y el litro

214

Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad. lección

30

Problemas de volumen

218

Cálculo de cualquiera de las dimensiones involucradas en la fórmula para determinar el volumen de prismas rectos.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

31

222 223

Análisis de datos Estadística Gráficas circulares

224

Construcción, lectura e interpretación de la información dada en gráficas circulares.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

Evaluemos lo aprendido

230 231

232

Autoevaluación 234

Apéndice Tabla de correlación Bibliografía Ligas electrónicas

237 238 240 242

Recomendaciones para navegar en la red Ligas electrónicas consultadas y generales Notas para tu Itacate Créditos iconográficos

242 243 248 259

13

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Cuando bebas agua recuerda la fuente… proverbio chino

14

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1

er

Módulo

Agua que ves Todos los días usamos agua. Para empezar, debemos beber por lo menos dos litros diarios. Además, hay que lavar las frutas y verduras; y muchos alimentos, como los frijoles, el caldo de pollo y el arroz, se preparan con agua. También lavamos los platos y la ropa, además de bañarnos, lavarnos los dientes y descargar el inodoro. Es mucha agua, ¿pero cuánta? Según la Organización Mundial de la Salud (oms), la cantidad de agua que requiere cada persona por día para beber, cocinar, asearse y limpiar va de 40 a 150 litros, es decir, el equivalente a entre 2 y 7.5 garrafones. Imagina cuántos garrafones consume tu familia en un año, y las familias de todos tus compañeros… A este paso, ¿nos vamos a acabar el agua? Pues no. Desde que se formó la atmósfera, hace unos 4 500 millones de años, ha habido casi la misma cantidad de agua, que circula y se limpia gracias al ciclo hidrológico. El problema es que, en la actualidad, para cubrir nuestras necesidades inmediatas, estamos extrayendo y contaminando el agua de los ríos, lagos y subsuelo más rápido de lo que el ciclo hidrológico y nuestros avances tecnológicos pueden limpiarla. ¿Qué podemos hacer para evitarlo? • ¿Te parece que 7.5 garrafones al día es demasiado? Pues significa sólo el 4% de la que consumes. Y el otro 96%, ¿dónde está? Nota: Un garrafón contiene 19 litros.

Reflexiona sobre este texto porque la retomarás en la evaluación final del Módulo.

15

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Ruta de Aprendizaje

Eje

Número, Álgebra y Variación

Adición y sustracción

Ecuaciones

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

1

2

3

4

5

6

Conversión entre fracciones y decimales

Orden en las fracciones y en los números decimales

Suma y resta de números enteros

Suma y resta de números decimales y fracciones

Fórmulas geométricas y uso de literales

Ecuaciones lineales I

Proyecto

Logro ir más allá

Lección

Aprendizaje esperado

Tema

Número

16

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Forma, Espacio y Medida

Análisis de Datos

Figuras y cuerpos geométricos

Probabilidad

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

7

8

9

10

Suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

Construcción de triángulos

Propiedades de los cuadriláteros

Experimentos aleatorios

17

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Conversión entre

fracciones y decimales

Las fracciones y los decimales permiten representar números menores o mayores que la unidad. Con ellos se pueden resolver problemas que sería imposible solucionar sólo con los números naturales. Exploro Leo + En la mitología egipcia, los difuntos se sometían al Juicio de Osiris en el “Más Allá”. En la Sala de las Dos Verdades había una balanza, en uno de cuyos platillos se colocaba el corazón del difunto, que representaba la “conciencia y moralidad”, mientras que en el otro se colocaba un contrapeso con la pluma de avestruz de la diosa Maat, símbolo “de la verdad y la justicia”.

Realizo equivalencias entre fracciones y convierto fracciones a número decimal. 1. La balanza es un instrumento de medición. yy ¿Cómo funciona una balanza? yy ¿Cuántas pesas de 14 g se necesitan para pesar 1 12 g? yy Si se utiliza una pesa de 12 g y tres de 18 g, ¿cuál es el peso total? 2. Gabriel trabaja como técnico dental. Hace aleaciones de plata-estaño para elaborar incrustaciones. Por cada 100 g de plata utiliza 22.5 g de estaño, pues sabe que ésa es la proporción ideal aunque algunos de sus colegas le pongan más estaño para M1-1-L1-DIEZ PESAS-65777802 ganar más. Gabriel sopesa por unaM1-1-L1-DIEZ parte laPESAS-65777802 salud de sus pacientes y por la otra una mayor ganancia, y su balanza ética se inclina por preservar la salud.

20 g 10 g 5g 20 g 10 g 5g

1g Ritual de Anubis, Sortilegio 125 del Papiro de Ani. Libro de los Muertos.

GLOSARIO Aleación. Mezcla homogénea de dos o más metales que no se pueden separar por métodos sencillos.

18

1g

1/2 g

1/2 g 1/4 g

1/4 g 1/8 g

3g

3g

1/8 g

2g

2g

1/10 g 1/10 g

yy Si Gabriel utiliza las pesas que se muestran, ¿cuáles de ellas debe emplear para medir los 22.5 g de estaño? yy ¿Qué pesas debe utilizar para obtener 0.2 g de metal? yy ¿Qué fracción simplificada o irreducible representa? 3. Describe el procedimiento que utilizaste para representar las medidas anteriores como fracción. ______________________________________________________ ____________________________________________________________________

Comparte tus resultados y procedimientos con otro compañero. ¿Sus procedimientos son iguales? ¿Qué método les pareció más adecuado? ¿Cambiarían su procedimiento por otro? ¿Por qué? Si existen diferencias, indaguen a qué se deben para intentar llegar a acuerdos.

Número

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Descubro y construyo

I. Convierto números decimales a fracción.

1. Resuelve, con un compañero, lo siguiente: Gabriel quiere preparar una nueva aleación con 50 g de plata, por lo que tiene que pesar 11.25 g de estaño. yy ¿Qué pesas puede utilizar para medir los once gramos y veinticinco centésimos? ¿Existen otras maneras de formar la misma cantidad? yy Comparen sus respuestas con otras parejas y explíquenles cómo las obtuvieron. yy ¿Qué fracción es equivalente a la medida anterior? Para 25 g de plata se necesitan 5.625 g de estaño. 2. Anoten cómo se pueden representar los cinco gramos y seiscientos veinticinco milésimos cómo fracción irreducible. yy ¿Qué hicieron para simplificar la fracción? ______________________________ 3. Completen la tabla para representar las medidas dadas como fracción. Medida en número decimal

¿Cómo se lee?

Medida como fracción decimal

Fracción irreducible

0.8 g 0.37 g 0.375 g

¿Pudieron simplificar todas las fracciones? ¿A qué se debe lo anterior? En el caso de 0.375, ¿qué estrategia les permitió obtener la fracción irreducible? Con un compañero que haya elegido una estrategia diferente a la tuya, discute por qué crees que elegiste la correcta. Practico

1. Emilia entrena todos los días en una pista de 1 km de longitud. El día de hoy recorrió 3.8 km. Escribe la medida en forma de fracción irreducible. _______________ ______________________________________________________________________ 2. Paola desea cortar una tela de 3.2 m de largo en 4 pedazos 0.8 m de largo cada uno. yy ¿Cuál será la medida de cada pedazo expresada en forma de fracción irreducible? ¿Cómo obtuviste la respuesta? _____________________________________ 3. De una botella de 1.25 l se llenaron tres vasos de 0.375 l cada uno. yy Expresa en forma de fracción la cantidad de agua que contiene cada vaso. ______________________________________________________________________ yy Si sobraron 0.125 l de agua, ¿qué fracción irreducible representa esta cantidad? ______________________________________________________________________

GLOSARIO Fracción irreducible. Es una fracción que no se puede simplificar más. Por ejemplo, 1 es una fracción 2 que no se puede simplificar más, es decir, es irreducible.

Tomo Nota Las fracciones decimales son aquellas que tienen como ______________ una potencia de 10 (10, 100, 1 000, etcétera). Para simplificar una fracción se ______________ entre un mismo número el ______________ y el ______________ hasta que sea irreducible. 75 = 15 = 3 100 20 4

Validen en parejas sus resultados y procedimientos con los de otros compañeros. En caso de que no coincidan, verifiquen si todos los procedimientos permiten obtener el mismo resultado.

L1

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Conversión entre fracciones y decimales

19

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20g 10 g 20 5gg

10 10 3gg

525ggg

33gg

22gg

II. Convierto fracciones a número decimal. 1/2 g

Gabriel, el técnico dental, cobra las piezas metálicas que elabora según su peso. Esta vez hizo una pieza de oro, que al colocarla en la balanza se equilibró con las tres pesas 1/4 11ggg 1/81/2 g g g1/2 g g 1/101/4 g 1/4 1/81/8 g g 1/10 1/10 g g que se muestran a la izquierda. 1. Describe el procedimiento que debe seguir Gabriel para convertir a número decimal la medida de las tres pesas. Tomo Nota yy ¿Cuál es el peso de la pieza de oro como número decimal? Un número decimal es yy ¿A qué número decimal es equivalente una pieza de oro que pesa 34 g? aquel que tiene una fracción yy ¿Qué hiciste para representar las medidas del peso anteiror como número decidecimal _______________. mal? ¿En ambos casos seguiste el mismo procedimiento? ¿Por qué? __________ Fracciones como 1 , 3 , 4 8 _________________________________________________________________ también se pueden escribir como fracciones decimales, 2. Representa las siguientes fracciones como número decimal. 186 = _______ 9 64 = _______ 545 porque tienen una fracción 100 10 = _______ 10 1000 = _______ _______________ con ______________ 10, 100, etcétera, por lo tanto tiene un número decimal equivalente. 1 = 25 = 0.25 4 100 3 = 375 = 0.375 8 100

5 4

= _______

7 2

= _______

4 5

= _______

9 12 = _______

• ¿Las fracciones de la segunda línea tienen una fracción decimal equivalente? Explica tu respuesta. __________________________________________

Comparte y compara tus procedimientos con un compañero y, si fueron diferentes, comenten las ventajas o desventajas de uno u otro y registren sus conclusiones.

III. Represento fracciones en notación decimal e identifico cuáles son equivalentes a una fracción decimal.

GLOSARIO Truncar. Dejar el número de cifras decimales deseadas y quitar las demás. Por ejemplo 1.2587 con dos decimales se aproxima como 1.25. Redondear. La cifra que se redondea aumenta en 1 si la primera cifra que se elimina es mayor o igual que 5. En otro caso no varía. Por ejemplo 1.2587 con dos decimales se aproxima a 1.26 mediante redondeo.

20

Para hacer el marco de los carteles sobre una campaña de prevención de la violencia escolar, Pedro cortó en partes iguales tres tubos de 5 metros de largo, como se muestra en las imágenes. 1. Junto con un compañero, anoten la medida de cada tramo en metros, como fracción y como número decimal. Trunquen o redondeen cuando sea necesario. Tubo 1

5m

Tubo 2

5m

Tubo 3

5m

• Tubo 1:____________ • Tubo 2:____________ • Tubo 3: ____________ yy ¿En todos los casos la representación en notación decimal es exacta? Expliquen su respuesta. ______________________________________________________ 2. Ahora, por cada uno de los tubos, sumen las medidas expresadas como fracción y como decimal tantas veces como indican las partes en las que se dividieron. yy En cada tubo, ¿obtuvieron el mismo resultado en las dos sumas? Expliquen por qué creen que sucedió. ______________________________________________ Compartan sus respuestas con otros compañeros, comenten su explicación de la última pregunta y registren sus conclusiones sobre los casos en los que la notación decimal no suma el número original.

Número

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3. Representa las fracciones en notación decimal. Trunca el resultado a centésimas del inciso a al inciso d, y redondea a décimos del inciso e al i, cuando sea necesario. a. 7 = b. 4 = c. 4 = 5 27 11 d. 3 =

16 14 g. = 9

e. 4 = f. 3 = 2 3 11 7 h. = i. = 4 18

Tomo Nota Para convertir una fracción a número decimal, se divide el _____________ entre el denominador. 3 = 0.375 8 8

4. Seleccionen los casos en los que las fracciones pueden representarse como fracción decimal. Justifiquen su elección a partir de los números decimales correspondientes. yy ¿Por qué los otros casos no son equivalentes a una fracción decimal? 5. Establezcan cómo anticipar si una fracción tiene representación en notación decimal con expansión finita o decimal con expansión infinita. Expliquen su respuesta. _____________________________________________________________ 6. Marquen con un círculo azul las fracciones que representan un decimal infinito y con verde las que representan un decimal finito, sin hacer conversiones a número decimal. a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 6 15 9 12 25 8 Se dice que un número con extensión decimal infinita es periódico cuando sus cifras decimales siguen una regularidad. Para distinguir el periodo, se coloca una línea sobre las cifras que representan la regularidad. Por ejemplo: 8 = 0.727272 = 0.72 11

5 = 0.83333 = 0.83 6

0.375 3.0 60 40 0

GLOSARIO Decimal con expansión finita. Son números decimales que tienen una fracción decimal equivalente. Decimal con expansión infinita. Son números cuya extensión decimal es infinita, porque en la división, su residuo nunca es cero.

7. Anoten las fracciones de la actividad 6 en notación decimal, identifiquen y escriban el periodo. Usen su calculadora. Compartan sus estrategias con otros compañeros. Encuentren en parejas la razón por la cual una división de una fracción decimal siempre es exacta. Practico

1. Paulina utilizó 23 de litro de leche para hacer un pastel. yy ¿Cómo se representa la cantidad de leche en notación decimal? ¿El número es periódico o finito? 2. María cortó dos listones de 2 m, en partes iguales. Uno lo cortó en 5 pedazos y el otro en 7 pedazos. yy ¿Cuál es la medida como fracción de cada pedazo? yy ¿En ambos casos puede representar la medida como número decimal? ¿Por qué?

L1

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Utilizo las TIC Al dividir en tu calculadora, cuando el resultado es infinito seguramente notaste que la última cifra no es igual al periodo. Por ejemplo, al dividir 8 , en la calculadora 9 aparece: 0.8888889. Investiga por qué la última cifra cambia. ¿Qué significa ese cambio? Comparte tu trabajo con tus compañeros y con el maestro.

Conversión entre fracciones y decimales

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Orden en las fracciones y en los

los números decimales Para ordenar números decimales y fracciones se puede utilizar una recta numérica. Exploro

Ubico números decimales en la recta numérica. Se va a realizar una carrera de 5 km en territorio tarahumara o rarámuri (término que significa “los de los pies ligeros”), y en uno de sus tramos se van a colocar diversos servicios, como se muestra en la tabla.

Corredora Rarámuri en el Ultra Maratón de los Cañones (umc) 2017.

Leo + Para conocer más sobre los rarámuri entra a la siguiente página: cmed.mx/m11

Servicio

Kilómetro

Sanitario damas (D)

2.20

Sanitario caballeros (C)

2.70

Puesto de hidratación 1 (H1)

2.15

Puesto de hidratación 2 (H2)

2.85

Fotógrafos y periodistas (P)

2.43

1. Escribe el orden en que un corredor verá los servicios a lo largo de la carrera. Utiliza las letras indicadas en la tabla. _________________________________________ 2. Ubica en la recta numérica cada uno de los servicios colocando un punto y su clave correspondiente (D, C, H1, etcétera). 2

3

yy ¿El orden coincide con tu respuesta anterior? yy En la recta numérica, ¿entre qué números con una cifra decimal se encuentran los puntos de hidratación? 3. Explica el procedimiento que utilizaste para ubicar el punto P. __________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

22

Compara, con otro compañero, el procedimiento que utilizaron para ubicar el punto P. ¿Son iguales? ¿Cuál consideran que es más preciso?

Número

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Descubro y construyo

I. Ubico números decimales en una recta numérica a partir de información diversa.

1. Ubiquen, en parejas, los números decimales que se piden en cada caso. Los segmentos de recta representan el tramo final de la carrera de 5 km. a. Ubiquen, colocando un punto, los números con una cifra decimal que están entre 4 y la meta.

4

4.1

yy ¿Cuántos números con una cifra decimal hay entre el 4 y la meta? b. Ubiquen el punto que representa al kilómetro 4.55.

4.65

4.7

yy ¿Qué número decimal está a la mitad de 4.55 y 4.65? c. Ubiquen el punto que representa al kilómetro 4.4.

4.33

4.37

d. ¿Qué números con dos cifras decimales hay entre 4.37 y 4.4?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y compartan sus estrategias. Si tienen dudas, busquen el apoyo del maestro. Practico

1. ¿Cuántas cifras decimales, como mínimo, deben tener los números decimales que están entre 1.12 y 1.13? ______________________________________________ 2. ¿Qué número decimal está a la mitad de 0.32 y 0.43? _______________________ 3. Escribe tres números decimales que estén entre 0.123 y 0.124. ________________ 4. Verifiquen que los resultados sean correctos aunque no sean los mismos.

L2

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Orden en las fracciones y en los números decimales

23

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II. Ordeno números fraccionarios.

GLOSARIO Llave Allen. Herramienta con cabeza hexagonal que sirve para apretar o aflojar tornillos y cuya medida se da en milímetros o pulgadas.

Alberto ya está listo para el día de la carrera, pero antes de salir tiene la responsabilidad de arreglar las herramientas del taller de su papá. Tiene que ordenar las 3 , 7 , 5 y 1 de fracción llaves Allen según su medida. Encontró llaves de 1 , 16 64 32 8 4 de pulgada. 1. Ordena las llaves en orden creciente según su medida. 9 7 yy Alberto encontró dos llaves más, una de 64 de pulgada y otra de 64 . Para respetar el orden, ¿entre qué llaves las debe colocar?

yy ¿Cómo quedan ordenadas ahora las siete llaves? ¿Qué estrategia utilizaste? Compara tus resultados con un compañero. Compartan sus procedimientos y determinen cuál les parece más sencillo o práctico. Registren sus conclusiones. III. Encuentro fracciones entre dos fracciones dadas.

Ubiquen, en parejas, la fracción que se indica. En cada caso, expliquen su procedimiento y coloquen en la recta numérica la marca correspondiente.

yy Una fracción entre 3 y 6 . 5 5 Procedimiento. _______________________________________________________ 3 5

6 5

yy Una fracción entre 3 y 7 . 4 6 Procedimiento. _______________________________________________________ 3 4

7 6

Comparen sus resultados y procedimientos con los de otra pareja. Juntos escriban una manera de encontrar una fracción entre dos dadas, si éstas tienen denominador distinto, es decir, como en el ejemplo de la segunda recta.

24

Número

Matemáticas 1 Book 2020.indb 24

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IV. Encuentro una fracción o un decimal entre dos números distintos.

1. Cuatro amigos viven en la misma calle. El segmento de recta muestra en qué fracción de la calle viven Ana y Javier. Ana Javier 1 2

3 4

yy Si la casa de Emilia está a la mitad de la distancia entre la casa de Ana y la de Javier, ¿en qué fracción de la calle vive Emilia? _____ Explica tu respuesta. yy Si la casa de Carlos está a la mitad de la distancia entre la casa de Emilia y la de Javier, ¿en qué fracción de la calle vive Carlos? _____. Explica tu respuesta. 2. Balam le dijo a Martín que los sucesores de 37, de 4.7 y de 5 , son 38, 4.8 y 6 , 8 8 respectivamente. a. Si consideras que Balam cometió algún error, explícalo.

b. Encuentra tres números decimales que estén entre 4.7 y 4.8. yy ¿La cantidad de decimales que hay entre 4.7 y 4.8 es finita o infinita? Explica tu respuesta. yy ¿Consideras, como Balam, que un número decimal tiene un sucesor? c. Encuentra tres fracciones que estén entre 5 y 6 . 8

8

yy ¿La cantidad de fracciones que hay entre 5 y 6 es finita o infinita? Explica 8 8 tu respuesta. ____________________________________________________________ yy ¿Consideras que una fracción tiene un sucesor? Explica tu respuesta. ______ _________________________________________________________________________

Compara tus resultados y razonamientos con un compañero. Si tienen dudas, busquen el apoyo del maestro. Practico

1. Claudia quiere colocar los dígitos 2, 3, 4 y 5 para formar dos fracciones y que se cumpla la desigualdad, y le dice a Sofía que sólo hay una manera de colocarlos, ¿tiene razón? Coloca los números en los recuadros y explica tu respuesta.

Tomo Nota Las fracciones cumplen la propiedad de densidad porque entre dos fracciones distintas siempre se puede ____________ otra entre ellas. Por ejemplo, 5 está 8 entre 1 y 3 .Y, como todo 2 4 número decimal es igual a una fracción decimal, también se tiene que entre 4.5 y 4.55 hay otro número decimal. Dados dos números distintos, existe una relación de orden entre ellos, es decir, uno de ellos es mayor o menor que el otro. El símbolo > se lee "mayor que" y el símbolo < se lee "menor que". Así por ejemplo, 9>0 y 3 < 5 se 4 2 leen como, nueve es mayor que cero y tres cuartos es menor que cinco medios.

<

2. Para cada par de fracciones, escribe una fracción que se encuentre entre ellas.

3 < 5

< 5 6

1 < 3

< 2

5 < 8

3

L2

Matemáticas 1 Book 2020.indb 25

< 3 4

Orden en las fracciones y en los números decimales

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Evalúo mi aprendizaje

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Itacate

Recapitulo 1. Todo número decimal se puede escribir como una fracción. 2. Toda fracción se

puede escribir como un número decimal. A veces resulta ser un número decimal finito y otras, un decimal infinito y periódico. 3. Se puede

utilizar la recta numérica para ordenar números decimales y fracciones.

1. En una joyería tienen que fundir 1.35 g de oro para hacer un pieza. Si únicamente tienen pesas de 12 g, 14 de g y 18 de g, ¿pueden obtener la medida exacta en la báscula? ¿Por qué? 2. Escribe el signo <, > o = según corresponda. a. 8.4

8.41

b. 17 9

13 9

d. 78

3 4

e. 38

375 1000

c. 73

2.34

9 f. 10

17 20

3. Indica qué número representan los puntos en cada recta numérica. a. A = 0.5

A

1

b. B =

4. Entre dos

números decimales cualesquiera distintos hay infinidad de números decimales. 5. Entre dos

fracciones cualesquiera distintas se puede encontrar otra fracción comprendida entre ellas.

3.3

B

3.31

c. C =

6

C

6.1

4. En un tramo de 2 km de largo van a colocar 12 postes de luz a la misma distancia uno de otro. En la figura los postes se representaron por puntos, ¿qué distancia hay entre cada par de postes? Escribe tu respuesta en metros. ____________________

5. Marco es albañil y le ofrecen darle como adelanto las dos terceras partes del monto total del presupuesto para que compre los materiales que va a utilizar para construir una barda. Marco propone que mejor le den las tres quintas partes del total porque piensa que así recibe más dinero. ¿Tiene razón Marco? ¿Cómo concluiste que Marco tiene o no razón? Compara estrategias con un compañero.

26

Número

Matemáticas 1 Book 2020.indb 26

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Logro ir más

allá

501 . ¿Creen que existen Hay muchas fracciones que representan a 0.5 como 12 , 36 , 1002 otros casos donde dos notaciones decimales representan el mismo número?

1. Considera las siguientes igualdades: 1 3

= 0.333…

19 = 0.111…

• Multiplica los números de cada lado de la primera igualdad por 3 y los números de cada lado de la segunda igualdad por 9. ¿Qué obtienes? • Considera las igualdades sin los puntos que indican que hay infinidad de números. Efectúa las multiplicaciones anteriores, ¿qué resultados obtienes? 2. Platica con tus compañeros sobre los significados de los resultados anteriores. • ¿Existen dos representaciones decimales distintas para representar al 1? Expliquen su respuesta. • ¿En qué punto de la recta numérica ubicarían el 0.999...? ¿La ubicación es exacta? • Encuentren otra expresión decimal para los números 5.39 y 1.79. 3. Los decimales finitos se pueden expresar como una fracción, por ejemplo 0.125 = 18 . ¿Los decimales periódicos se pueden expresar como fracción? Consideren 0.777… Multiplíquenlo por 10. _____________ • ¿Cuál es la diferencia entre los dos números anteriores?

Utilizo las TIC Si te interesa ir más allá, revisa estas páginas. Convertir decimales periódicos en fracciones. cmed.mx/m12 y cmed.mx/m13

4. Al hacer la diferencia anterior, cuántas veces están considerando 0.777… Expliquen su respuesta. ___________________________________________________________ • ¿A qué fracción equivale 0.777…? 5. Utilizando el razonamiento anterior, encuentren una fracción que sea equivalente a 2.3 y compruébenlo con su calculadora.

L1

Matemáticas 1 Book 2020.indb 27

L2

27

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Suma y resta de

números enteros

Los números enteros no tienen parte decimal y están conformados por el conjunto de los números naturales, sus simétricos y el cero, que es un número neutro, y se pueden representar así: = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 …} Los números simétricos u opuestos son aquellos números que al representarlos en la recta numérica, están a la misma distancia del cero. Por ejemplo, 2 y −2 están a la misma distancia del cero como puedes observar: simétricos –2 0 2 Por tanto, –2 es simétrico de 2 y 2 es simétrico de –2. Se representa como: –(a) = –a, y se lee: el simétrico de a es menos a. Por ejemplo, –(–5) = 5 y –(5) = –5 y se lee: el simétrico de cinco negativo es cinco y el simétrico de cinco es cinco negativo. Exploro

Represento números enteros en la recta numérica y los comparo. El grado Celsius, que se representa como ºC, es la unidad creada por el científico sueco Anders Celsius para medir la temperatura con una escala. El botánico y explorador Linneo le asignó 100 ºC al punto de ebullición del agua y 0 ºC al punto de congelación. 1. Las siguientes imágenes representan la temperatura mínima en cuatro distintos lugares de México, durante un mismo día del mes de enero. Cancún Chihuahua Tijuana Comunidad La Rosilla

13º

−4º

−10º

yy ¿Qué representa el signo menos en las temperaturas? __________________________________________________________________ 2. Representa en la siguiente recta numérica la temperatura de los cuatro lugares. 0º

yy ¿Qué temperatura es más cercana a cero grados? yy ¿Cuántos grados tiene que aumentar la temperatura de La Rosilla para alcanzar la de Cancún? yy ¿Cuál de las temperaturas está más lejana de cero grados? yy ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura de Chihuahua y Tijuana?

28

Comparte tus respuestas con otros compañeros. ¿Qué operación permite obtener la respuesta de la última pregunta? Discutan lo anterior en busca de llegara a acuerdos.

Adición y sustracción

Matemáticas 1 Book 2020.indb 28

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Descubro y construyo

I. Identifico números que están a la misma distancia del cero.

Como lo has observado, un número positivo es mayor que cero, es decir, si a > 0, entonces a es positivo y un número es negativo cuando es menor que cero, es decir, si a < 0, entonces a es negativo. 1. Observen, en pareja, la siguiente b 0 a recta y completen la expresión: Según su ubicación en la recta, a es _______ que cero y b es ______ que cero. La tabla muestra la diferencia de goles de los equipos que participan en un torneo de futbol. Por ejemplo, si un equipo anota 1 gol y recibe 2, la diferencia de goles es un gol en contra, es decir, –1. Equipo

Mineros

Palmeiras

Diferencia de goles

–5

2

Abogados Halcones 8

0

Lobos –4

2. En parejas, representen en la recta numérica la diferencia de goles de los equipos de la tabla anterior. 0

yy ¿Qué equipo tiene que recibir o anotar más goles para tener diferencia de cero? yy ¿Cómo se muestra lo anterior en la recta numérica? 3. Con base en los datos de la tabla, representen en la recta numérica anterior los números simétricos que corresponden a la diferencia de goles de cada equipo. yy Si el equipo Halcones metió 6 goles, ¿cuántos recibió para tener diferencia de goles cero? Expliquen su respuesta. ____________________________________ II. Uso números positivos y negativos para resolver problemas.

1. Retomen los resultados de la tabla y completen las expresiones para que se cumpla lo que se dice. yy Los Halcones tienen que ___________ para tener la misma diferencia de goles del equipo Palmeiras. yy Palmeiras tiene que ____________ para tener la misma diferencia que los Lobos. yy Lobos tiene que _____________ para tener la misma diferencia que Mineros.

Tomo Nota El valor absoluto de un número es la la distancia que hay entre él y el cero. Se representa entre dos líneas verticales: || y su valor es positivo si el número es distinto de cero. |–3| = 3 y|3|= 3. Estas parejas de números, como 3 y –3, se conocen como números simétricos u opuestos.

Reflexionen y discutan lo siguiente: si Abogados recibe dos goles, ¿podrían calcular su diferencia de goles con una suma? Practico

1. Escribe el valor absoluto de cada número. |–12|= _________ |7|= _________ |8|= _________ |–15|= _________ 2. Si a las 5 am la temperatura en una ciudad era de –5 ºC y a las 2 pm llegó a 12 ºC, ¿cuántos grados aumentó? 3. Un equipo tenía 18 goles a favor y 25 goles en contra (–25). Si en el último partido ganó 4-1, ¿cómo quedó su diferencia de goles después del último partido?

L3

Matemáticas 1 Book 2020.indb 29

Suma y resta de números enteros

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Descubro y construyo

I. Resuelvo sumas de números enteros con el apoyo de la recta numérica

La imagen de la derecha muestra una parte del estado de cuenta de una tarjeta de crédito en el último mes. 1. Analiza la información y resuelve. yy ¿Qué representan las cantidades con signo negativo? __________________

Movimientos del mes Saldo anterior: –$1 280.00 Pagos: +$ 820.00 Intereses: –$ 64.00 Reembolso: +$ 345.00

yy ¿Cuánto dinero suman los valores negativos? ________________________ yy ¿Cuánto suman los valores con signo positivo? ___________________________ yy ¿Cuál es el saldo final? ¿Es a favor o en contra? Explica cómo obtuviste el resultado. __________________________________________________________________ Comparte tus respuestas con otros compañeros. Juntos analicen lo siguiente: ¿Cómo pueden representarse los resultados de las deudas y del saldo a favor como sumas de números enteros? Comenten sus posibles estrategias. Diana y Andrés entrenan sobre la ruta de 15 km que les diseñó su entrenador. La ruta está representada en la siguiente recta numérica. El día de hoy cada quien recorrió los kilómetros indicados por las flechas azules. 2. Observen, en equipo, las representaciones en la recta numérica y resuelvan. Consideren que los movimientos a la izquierda se representan con el signo menos. +8

–4

km 0

km 15 +9

+3

yy Considerando lo anterior, ¿cuántos kilómetros recorrió cada atleta en su entrenamiento? _________________________________________________________ 3. Expresen como una suma en qué kilómetro quedó cada atleta. yy Diana: ________________________ • Andrés: ___________________________

30

Adición y sustracción

Matemáticas 1 Book 2020.indb 30

28/04/20 1:09


4. Representen cada situación en la recta numérica; utilicen flechas a la izquierda o derecha. Observen el ejemplo y completen las operaciones. yy ¿Qué número sumado a 8 es igual a 3? _____ + 8 = 3 +8

–1

0

1

3

yy ¿Qué número sumado a 7 es igual a –2? 7 + _____ = –2

–2

–1

0

1

7

yy ¿Cuál es el resultado de sumar –2 y –6? –2 + (–6) = _____

–2

–1

0

1

Compartan sus respuestas y compárenlas con las de otros compañeros. Comenten sobre las estrategias que siguieron para representar y resolver las operaciones. 5. Analicen el valor absoluto de los sumandos con el del resultado en cada una de las operaciones anteriores. yy Al sumar dos números con diferente signo, ¿qué relación observan entre los valores absolutos de los sumandos y el valor absoluto del resultado? ____________________________________________________________________ yy Considerando los valores absolutos, al sumar números con diferente signo, ¿qué signo tiene el resultado? _______________________________________________ yy Al sumar números del mismo signo, ¿qué relación observan entre los valores absolutos de los sumandos y el valor absoluto del resultado? ________________ ____________________________________________________________________

Utilizo las TIC Para reafirmar lo que aprendiste revisa esta página.

Sumar números con signos diferentes: cmed.mx/m14

Practico

1. Raúl tenía que comprar una impresora de urgencia. Contaba con $875.00, su papá le dio $400.00 y pidió prestado el resto del dinero. Si pagó $2 320.00 por la impresora, ¿Cuál es el estado financiero de Raúl? 2. Andrés tiene dos tarjetas de crédito. En una tiene un saldo de −$1 895.00 y en la otra su saldo es de −$1 214.00. Si a la primera le abonó $850.00 y a la segunda $715.00, ¿cuál es su saldo total después de hacer los pagos? Representa la situación como sumas de números enteros.

L3

Matemáticas 1 Book 2020.indb 31

Suma y resta de números enteros

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II. Resuelvo operaciones de suma y resta de números con signo.

Frida y sus amigos realizan un juego en el que suman puntos positivos o negativos de acuerdo con los números que obtienen al lanzar dos dados. El dado azul representa puntos positivos y el rojo, puntos negativos; sin ver el color del dado se lanza RESTA DE DADOS uno y después el otro, y enM1-M1-L3-SUMA ese orden seYregistran los puntos.

+

a. Por ejemplo, si se lanzan los dados y sale 5 en el rojo y 3 en el azul, se suman los resultados: –5 + 3 = –2, y esos puntos se anotan al jugador. b. Los puntos se acumulan durante cinco tiradas; al final, quien tenga la mayor cantidad de puntos positivos gana el juego. c. La juez puede restar o quitar los puntos positivos o negativos obtenidos en una tirada si ésta no se realizó correctamente. 1. Completa la tabla que muestra los puntos obtenidos por cada participante durante el juego. Observa el ejemplo. Puntos del último tiro

Suma de los puntos del último tiro

Puntos acumulados

Total de puntos

Frida

–2 y 5

–2 + 5 = 3

8

3+8=

Andrea

3 y –6

2

Luis

–4 y 2

5

Jugador

Ximena es la juez y anuló el último tiro de Frida y de Andrea porque los dados no cayeron sobre la mesa; por ello, les restó del total los puntos de su último tiro. 2. Completa la resta que representa la puntuación de Frida después de que Ximena le quitó los puntos: (___) – 3 =___ yy ¿Qué resta representa el caso de Andrea? Resuélvela. ______________________ yy ¿Qué estrategia seguiste para resolver la resta anterior? ____________________ ¿Qué sucedió con Andrea al restarle puntos negativos? Comparte y compara tus respuestas con tus compañeros. Busquen llegar a acuerdos sobre las estrategias para restar números enteros.

32

Adición y sustracción

Matemáticas 1 Book 2020.indb 32

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III. Identifico la resta como operación inversa de la suma para resolver problemas.

Como ya sabes, la suma y la resta son operaciones inversas. Por ejemplo, 8 + 7 = 15, lo que nos permite saber que 15 – 7 = 8. En una resta, la suma de la diferencia (resultado) más el sustraendo es igual al minuendo 1. Resuelvan, en pareja, las sumas para encontrar los valores faltantes de las restas. Consideren la información anterior. a. 9 + 5 = ___ c. (___) + 8 = 6

– 9 = 5

b. – 6 + (___) = ___

– 11 = – 6

– (–2) = 8

d. (___) + 34 = ___

– (–10) = 34

GLOSARIO Minuendo. Número al que se le resta una cantidad. Sustraendo. Cantidad que será restada.

Otra regla en la resta es: minuendo – diferencia = sustraendo. 2. Resuelvan las restas para encontrar el sustraendo; apliquen la regla anterior. a. 5 – 8 =___

5 – (___) = 8

b. –12 – 3 =___

–12 – (___) = 3

3. Resuelvan la resta 5 – (–8) y expliquen cómo obtuvieron el resultado. yy yy yy yy

¿Qué número tienen que sumar a 5 para obtener el resultado anterior? __________ ¿Cuál es el resultado de la resta –7 – (–10)? __________ ¿Qué número tienen que sumar a –7 para obtener el resultado anterior? ________ ¿Qué relación hay entre los números –7 y –10 de las restas anteriores y los números que encontraron para completar las sumas? __________ ¿Qué estrategias permiten resolver restas que incluyen números positivos y negativos? Comparen sus respuestas y expliquen sus estrategias a otros compañeros.

4. Resuelve las siguientes restas. a. 27 – ( –14 ) = _____ b. –45 – (–31) = _____ c. –45 – (–31) = _____ yy ¿Qué operación de suma permite resolver la resta 17 – (–31)? yy Si a –32 le restas un número y el resultado es igual a –3, ¿de qué número se trata? 5. Consigan dos dados de colores distintos y en grupos de tres realicen el juego de la actividad de la página anterior. Elijan a otro compañero para que sea el juez y determinen las reglas del juego. Registren los resultados en una tabla.

L3

Matemáticas 1 Book 2020.indb 33

Suma y resta de números enteros

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IV. Resuelvo restas de números enteros con el apoyo de la recta numérica.

La recta numérica permite representar y resolver restas. a. Se ubica el sustraendo y se traza una flecha hasta el minuendo. b. La distancia que muestra la flecha es igual a la diferencia, cuyo signo depende de su dirección. En el siguiente ejemplo se muestra el resultado de dos restas en la recta numérica. 1. Analiza el siguiente ejemplo, en el que la flecha azul representa la resta 8 – 3, que es igual a ir del 3 al 8, y responde.

–6

–5 –4

–3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

yy Si inviertes los números 8 y 3, es decir, si vas del 8 al 3, ¿la resta sería la misma? ¿Por qué? ___________________________________________________________ yy Observa la flecha verde, que representa el recorrido para ir del 2 al –6. ¿Con qué signo se representa la posición de la flecha? ¿Por qué? yy ¿Qué resta representa la situación y cuál es el resultado? 2. Representa en la siguiente recta numérica el recorrido para ir de –4 a 7.

–6

–5 –4

–3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

yy ¿Qué distancia hay que recorrer para ir de –4 a 7 y con qué signo se representa? ¿Por qué? ___________________________________________________________ yy ¿Cuál es el resultado de la resta que representa la situación? 7 – (–4) = ___ 3. Representen, en pareja, las operaciones en las rectas numéricas, con flechas a la izquierda o la derecha, y resuélvanlas. a. 3 – (–3) = ___ –8

–7 –6

–5 –4

–3 –2 –1

0

1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

–3 –2 –1

0

1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

b. –8 – (–1) = ___

–8

34

–7 –6

–5 –4

Adición y sustracción

Matemáticas 1 Book 2020.indb 34

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Utilizo las TIC

c. 4 – (–5) = ___

–8 –7 –6

–5 –4

–3 –2 –1

0

1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

–3 –2 –1

0

1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

Para reafirmar lo que aprendiste revisa esta página. cmed.mx/m15

d. –6 – (+2) = ___

–8 –7 –6

–5 –4

4. Analicen y comenten los resultados obtenidos para responder las preguntas. yy ¿Qué estrategia permite restar dos números negativos? _____________________ ____________________________________________________________________ yy ¿Qué se debe hacer para restar un número negativo a un número positivo? ____________________________________________________________________ Compartan sus respuestas en grupo y validen los resultados con el maestro. En grupo, registren sus conclusiones sobre los procedimientos para restar dos números negativos y un número positivo con uno negativo. Practico

1. Analiza las siguientes preguntas y responde. Justifica en cada caso tu respuesta. a. Si a –8 le restas un número y el resultado es 5, ¿de qué número se trata? ____________________________________________________________________ b. Imagina que estás otra vez en el juego de los dados. Si con tu último tiro sumaste 25 puntos, pero Ximena la juez te quita –5 puntos de tu último tiro, ¿cuántos puntos tienes después de la corrección? ________________________ ____________________________________________________________________ c. La temperatura ambiente en un lugar era de –8 ºC y bajó –2 ºC; ¿cuál es la temperatura final? Representa la situación con una resta. __________________

Tomo Nota Restar un número es lo mismo que ____________ ____________. Por ejemplo: 6 – (–3) = 6 +___= 9; –5 – (___) = –5+___=–3. La resta de un número menos un número negativo puede representarse con la siguiente frase: “Quitar una deuda es lo mismo que pagar lo que debes”. 6 – (–3) = 6 + 3 = 9 Quitar deuda = Pagar

2. La mayoría de las calculadoras tienen una tecla que se representa con el símbolo (±). a. Investiga y describe cuál es su función. Después resuelve las siguientes operaciones con apoyo de esa tecla. –39 + 19 = _____

–28 – (–57) = _____

35 + (–45) = _____

b. Describe la secuencia de teclas que oprimiste para obtener las respuestas y explica cuál es la ventaja de usar esa tecla.

L3

Matemáticas 1 Book 2020.indb 35

Suma y resta de números enteros

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Suma y resta de números

decimales y fracciones Los números decimales y las fracciones, al igual que los enteros, pueden ser números positivos y negativos y también es posible hacer operaciones con ellos. Exploro

Leo + En esta página podrás conocer cuáles son las acciones que toma México en el manejo de refrigerantes: cmed.mx/m16

Represento en la recta numérica números decimales positivos y negativos y hago operaciones con ellos. Refrigerador 1 Refrigerador 2 Miguel trabaja en una tienda y un día, antes de abrir, mientras leía un artículo sobre la contribución de los refrigerantes a la destrucción de la capa de ozono, observó que los refrigeradores tenían la temperatura que se muestra en las siguientes imágenes 1. Representa las temperaturas de los refrigeradores en la recta numérica.

– 1 °C

0

1 ºC

yy ¿Qué temperatura tiene mayor valor absoluto? yy ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas de los refrigeradores? yy ¿Cómo lo determinaste? Mientras llenaban el refrigerador 1, Miguel notó que la temperatura subió 1.9 ºC. yy ¿Qué temperatura alcanzó el refrigerador? _______________________________ 2. Cuando abrieron el refrigerador 2, la temperatura subió 2.7 ºC. Escribe y resuelve la operación que permite conocer la temperatura alcanzada por el refrigerador 2 en el caso anterior. _______________________________________ 3. Después de retomar su nivel inicial, la temperatura de los refrigeradores volvió a subir hasta alcanzar 5.3 ºC y 2.3 ºC, respectivamente. Anota y resuelve las operaciones de suma o resta que permitan conocer cuánto aumentó la temperatura de cada refrigerador. Refrigerador 1: __________________

Refrigerador 2: __________________

¿Cambian los procedimientos al sumar y restar números decimales en comparación con la suma y resta de números enteros? Comenta lo anterior con tus compañeros y registren sus conclusiones.

36

Adición y sustracción

Matemáticas 1 Book 2020.indb 36

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Descubro y construyo

I. Resuelvo problemas de suma y resta de números decimales positivos y negativos.

La siguiente tabla muestra el balance semanal entre ingresos y egresos de un negocio. 1. Analicen en parejas la información de la tabla y anoten los datos que faltan. Día de la semana 1

Egresos

Lunes

–$ 735.65

Martes

–$ 875.38

Miércoles

–$1 094.36

Jueves

–$ 893.15

Viernes

Ingresos

Balance (diario)

$1 235.40 –$

80.08

$

305.35

$ 874.85 $1 954.25

$ 1 050.55

2. Describan el procedimiento que siguieron para encontrar el valor faltante en la columna de egresos. ____________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3. Describan lo que hicieron para calcular los valores faltantes en la columna de ingresos. ______________________________________________________________ yy ¿Cuál fue el balance final de la semana? __________________________________

GLOSARIO Egresos. Dinero que sale de una empresa o negocio (gastos o inversiones). Ingresos. Dinero que entra a una empresa o negocio. Balance. Diferencia entre ingresos y egresos de una empresa.

En los primeros tres días de la semana 2, el balance fue: lunes, ganancia de $532.40; martes y miércoles, pérdidas por –$753.20 y –$135.05, respectivamente. 4. Respondan a partir de la información anterior. yy ¿Cuál fue el balance de la semana 2 hasta el día miércoles? __________________ yy ¿Qué procedimiento utilizaron cuando la operación incluyó más de dos números? _____________________________________________________________ yy ¿Qué procedimiento pueden seguir para sumar tres o más números con distinto signo? ______________________________________________________________ Comparen sus procedimientos con los que siguieron otras parejas de compañeros. ¿ Fueron los mismos? ¿Obtuvieron los mismos resultados? Si hubo diferencias, validen la veracidad de los mismos con el apoyo del maestro. Practico

1. Un proyectil es lanzado desde un muelle hacia el fondo del mar. El proyectil recorrió 12.8 metros en línea recta y llegó a –4.55 m. ¿Desde qué altura fue lanzado? 2. Marcela practica rápel y asciende sobre un muro de 18.4 m de altura. Primero sube 3.5 m, pero tropieza y cae 1.35 m; desde ese punto asciende 5.8 m, pero se da cuenta de que no podrá ascender más por esa ruta y regresa 1.9 m para retomar su ascenso. ¿Cuántos metros le faltan a Marcela para llegar a lo más alto del muro?

L4

Matemáticas 1 Book 2020.indb 37

Suma y resta de números decimales y fracciones

37

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II. Sumo fracciones positivas y fracciones negativas con diferente denominador.

Para practicar la suma y resta de fracciones, la maestra elaboró algunas tarjetas como las que se muestran y organizó al grupo en equipos. 5 8

1 2

– 1

– 3

2

4

Cada jugador toma dos tarjetas al azar y suma las fracciones obtenidas. Si lo hace correctamente gana un punto. Por ejemplo, si saca en las tarjetas: 14 y 38 tiene que calcular la suma entre las fracciones, es decir, 14 + 38 . 1. Observa las tarjetas que sacaron algunos estudiantes y calcula la suma de fracciones. Jugador

Tarjeta 1

Tarjeta 2

2 3

6 5

Emilio

– 5

4

5 4

Alondra

– 1 2

– 1 4

Gilberto

– 5 8

1 6

Verónica

Suma

yy ¿Qué hiciste para calcular la diferencia entre las fracciones?

Compara tu estrategia con la de otros compañeros. ¿Coinciden? ¿Qué similitudes encuentran con los procedimientos previos? __________________________ ____________________________________________________________________

III. Resuelvo sumas de fracciones positivas y negativas.

1. Describan, en parejas, el procedimiento para sumar y restar fracciones con diferente denominador. _______________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. Apliquen su procedimiento para resolver las siguientes sumas. 1 4 = + 2 3

38

3 4 = + 8 5

9 5 )= +(– 7 4

Adición y sustracción

Matemáticas 1 Book 2020.indb 38

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IV. Resto fracciones positivas y fracciones negativas con diferente denominador.

En el juego de tarjetas de la página anterior la maestra modificó las reglas: ahora los estudiantes tienen que calcular la diferencia entre la fracción de la primera tarjeta y la fracción de la segunda. 1. Observen las tarjetas de cada estudiante y resten a la fracción de la primera tarjeta la fracción de la segunda. Jugador

Tarjeta 1

Tarjeta 2

5 6

– 8 9

Emilio

– 7 3

5 4

Alondra

– 1 2

– 3 8

Gilberto

– 6 7

6 5

Verónica

Procedimiento y diferencia

Utilizo las TIC 1. En una hoja electrónica de cálculo puedes practicar sumas y restas de fracciones y decimales positivos y negativos. Abre un archivo y explóralo. Describe el procedimiento que seguiste para resolver las operaciones.

yy ¿Qué diferencias hay al sumar y restar fracciones positivas y negativas, con los procedimientos que usaron para operar con enteros y con decimales? 2. Validen sus resultados con una calculadora que opere con fracciones o usen una hoja electrónica de cálculo si tienen acceso a ella. Comparen sus estrategias y resultados con los de otros compañeros. ¿Qué dificultades encontraron al trabajar con fracciones positivas y negativas? Compártanlas en grupo y aclárenlas con el apoyo del maestro.

2. Sumar y restar fracciones negativas. Entra a esta página para practicar: cmed.mx/m17

Practico

Los cuadrados mágicos son tablas divididas en celdas que forman un cuadrado, de ahí su nombre. En ellos, la suma de los números de las filas, columnas y diagonales debe ser la misma. 1. Calcula y anota las fracciones que completan cada cuadrado mágico. 3 Suma = – 4

– 6 8

3 4 – 1 4

Suma = 3

Suma = (–1)

5

12 15

–1 – 1 3 – 4 9

4 2

0

L4

Matemáticas 1 Book 2020.indb 39

– 4 10

Suma y resta de números decimales y fracciones

39

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al cero y su valor es positivo si el número es distinto de cero. 2. Los números opuestos o simétricos son aquellos que se encuentran a la misma distancia del cero, en lados opuestos. 3. Para sumar números positivos y números negativos…

• cuando tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le da el signo de ambos números. • cuando tienen diferente signo, se calcula la diferencia entre los valores absolutos de los números y el resultado tendrá el signo del número con mayor valor absoluto. 4. Para restar números positivos con negativos, se se suma al minuendo el opuesto del

1. Escribe el signo que falta en cada operación para que se cumpla la igualdad. 23.5 + (___) 16.2 = 7.3

–45.2 – (___) 12.1 = –57.3

16 – (___) 5 = 21

2. Escribe y resuelve la operación para encontrar la respuesta. Después resuelve la operación para validarla. yy ¿Qué número sumado a –27 es igual a 14? Escribe la operación para encontrar el valor faltante. yy ¿Qué número hay que restarle a 32 para que el resultado sea 59? 3. Después de jugar cinco partidos, un equipo de futbol tenía una diferencia de goles de –5. De los partidos jugados, le anularon uno por alineación indebida del otro equipo; por ello, le quitaron –4 goles y le asignaron un nuevo marcador de 2-0 a su favor. ¿Cuál fue la diferencia de goles después de anular el partido? ¿Cuál fue la diferencia después del nuevo marcador? Representa con sumas y restas la situación y calcula la nueva diferencia de goles del equipo. 4. Alejandro tenía en su tarjeta de crédito un saldo de –$3 454.32 y un cargo de –$345.65 que no realizó. Por ello, presentó un reclamo al banco, el cual fue aceptado y se le quitó esa cantidad. Escribe y resuelve la operación que muestre el ajuste hecho por el banco: 5. Un cangrejo está en una roca a – 34 de m del nivel del mar y asciende 98 m sobre la roca, como muestra la imagen de la derecha. ¿A qué distancia del nivel del mar llegó el cangrejo?

Nivel del mar – 34

sustraendo.

Comparte tus respuestas y tus procedimientos con un compañero. Si tienen dudas, expóngalas el resto del grupo y busquen cómo resolverlas. Anoten en sus apuntes lo que consideren importante para recordar.

40

Adición y sustracción

Matemáticas 1 Book 2020.indb 40

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Logro ir más

allá

Joel y Arturo tienen un juego de fichas marcadas con un signo positivo (negras) o con uno negativo (rojas), como las que se muestran. Las utilizan para representar y resolver restas con números enteros.

Las reglas para resolver restas son las siguientes: » Se presenta el número de fichas que corresponden al minuendo y se tachan o eliminan las que corresponden al sustraendo, para resolver la operación. » Dos fichas con diferente signo se neutralizan y no modifican un resultado, es decir, una ficha roja y una negra es igual a cero, por lo que se pueden agregar parejas de fichas rojas y negras cuando la operación lo requiera. Por ejemplo, 4 – 2 y –3– (–5) se representan y resuelven de la siguiente forma: 4–2=2 –3 – (–5) = 2 +

+

+

+

+

+

+

+

+

yy ¿Qué regla se aplicó en la segunda operación?

1. Aplica las reglas del juego y representa el resultado de las restas. a. 7 – 4 = ______ b. – 6 – 2 = ______ c. 2 – 3 = ______ +

+

+

+

+

+

+

d. –2 – (–4) = ______ –

+

+

e. 5 – (–3) = ______

+

+

+

+

+

2. ¿Podrían realizar la misma actividad con fracciones utilizando tarjetas como las siguientes? Expliquen, en parejas, cómo lo harían. –1

2

1 2

–1

1 4

4

3. Con base en las tarjetas anteriores, diseñen su juego de manera que las éstas les alcancen para resolver las siguientes operaciones: 1 3 2 – 4 =

– 3 – 2 =

8

4

5 – (– 3 )= 8 2

yy Comparen estrategias con otros compañeros. Después, en equipo elaboren fichas como las de la actividad y jueguen siguiendo las mismas reglas.

L3

Matemáticas 1 Book 2020.indb 41

L4

41

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Fórmulas geométricas

y uso de literales Las letras o literales permiten representar de manera general los procedimientos para calcular el área y el perímetro de figuras geométricas y algunas expresiones dadas en lenguaje común. Exploro

Describo los procedimientos para calcular el área y el perímetro. Eduardo tiene un terreno con forma rectangular, como el que se muestra, al que le M1-1-L4-MÁS ALLÁ 2 quiere poner pasto; también lo quiere cercar para protegerlo. Para ello, pidió un presupuesto.

yy yy yy yy

¿Qué datos necesita Eduardo para calcular el área y el perímetro del terreno? ¿Qué procedimiento le permite conocer el perímetro del terreno? ¿Cómo determinas el área que ocupa el terreno? Si tuvieras que escribir de manera general los procedimientos para calcular el área y el perímetro de cualquier rectángulo, ¿cómo lo harías de manera abreviada? Compara tus respuestas con otros compañeros. ¿Todos usaron el mismo procedimiento? Si cambian las medidas del terreno, cambia el procedimiento. Comenten lo anterior y registren sus conclusiones. Descubro y construyo

I. Establezco las fórmulas para calcular el área y el perímetro de cuadriláteros. M1-1-L5-DESCUBRO Y CONSTRUYO 1

1. Analicen, en parejas, las figuras que trazó Mariana y resuelvan las siguientes actividades. 3.6 cm 4 cm

4.6 cm

6 cm

42

5 cm

7 cm

8 cm

Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 42

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2. Describan con palabras, los procedimientos para calcular el área y el perímetro de cada figura. ___________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Anoten las operaciones que permiten obtener el área y el perímetro de las figuras. Operaciones para calcular el perímetro

Figura

Operaciones para calcular el área

Rombo Paralelogramo Cuadrado M1-1-L5-DESCUBRO Y CONSTRUYO 2

4. Consideren que las literares representan las magnitudes de cada figura y describan el procedimiento para obtener el perímetro y el área de cada figura usando las literales que se muestran. m

b a

o

x

GLOSARIO Magnitud. Medida asignada a un objeto que es medible.

c n

yy ¿Cambiaron los procedimientos al representar las operaciones con números y literales? Expliquen por qué. _________________________________________ _________________________________________________________________ 5. Escriban las expresiones, con literales, para obtener el perímetro y el área de las figuras anteriores. Figura

Expresión para calcular el perímetro

Expresión para calcular el área

Rombo Romboide Cuadrado

6. Determinen una expresión general o fórmula que permita calcular el área y el perímetro de los cuadriláteros anteriores, incluido el rectángulo. Utilicen literales diferentes a las que presentan las figuras anteriores. yy ¿Habrá otra forma de expresar de manera general las mismas fórmulas, por ejemplo para el caso del perímetro del rectángulo o del cuadrado? Expliquen por qué.

Tomo Nota Las literales permiten representar fórmulas geométricas o expresiones generales. En una misma expresión, una literal no puede representar diferentes magnitudes. Cuando se multiplican expresiones con literales el signo × se representa de otra manera. Por ejemplo, x × z = (x)(z) = x • z; 3 × a = 3a.

Comparen sus fórmulas con las de otros compañeros. ¿Todos usaron las mismas literales? ¿Eso modifica los procedimientos? En caso de que haya diferencias en las expresiones, discutan si ambas son correctas y lleguen a acuerdos; valídenlos con el maestro.

L5

Matemáticas 1 Book 2020.indb 43

Fórmulas geométricas y uso de literales

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II. Represento con literales las fórmulas para calcular el área y el perímetro de triángulos y trapecios. M1-1-L5-DESCUBRO Y CONSTRUYO 3

1. Observen en parejas los siguientes triángulos y respondan.

yy ¿Qué información necesitan conocer para calcular el área y el perímetro de un triángulo? ___________________________________________________________ 2. Asignen las literales necesarias a las magnitudes de cada triángulo y escriban las expresiones para calcular su área y su perímetro. Triángulo

Operaciones para calcular el perímetro

Operaciones para calcular el área

Equilátero (verde) Isósceles (rosa) Escaleno (morado)

M1-1-L5-DESCUBRO Y CONSTRUYO 4

6 4.5

4 10

yy L uis dice que la expresión 3 × s permite obtener el perímetro de cualquier triángulo. ¿Están de acuerdo con Luis? ¿En qué casos podría aplicarse? _______________ ____________________________________________________________________ yy Mariana dice que la expresión a + b + c permite obtener el perímetro de cualquier triángulo. ¿Comparten la opinión de Mariana? Argumenten su postura. yy Carlos dice que las expresiones rs2 y mn 2 que usaron sus compañeros para calcular el área de un triángulo no representan el mismo procedimiento porque las literales no son las mismas. ¿Qué opinan de esto? _________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Describan con palabras el procedimiento para calcular el perímetro y el área del siguiente trapecio de la izquierda, con base en las medidas que se dan en la figura. Perímetro: __________ Área: __________ yy ¿Qué sucede con los procedimientos si las medidas del trapecio se cambian? ____________________________________________________________________ 4. Asignen las letras que se indican a cada magnitud del trapecio y escriban la fórmula para calcular su área y su perímetro. 10 = Base mayor (B); 6 = base menor (b); 4 = altura (h); 4.5 = lados laterales (l) Área = __________ Perímetro: __________ yy ¿Podrían escribir las mismas fórmulas de otra manera? Expliquen su respuesta.

44

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros: Después, registren en grupo sus conclusiones sobre las ventajas del uso de literales para expresar fórmulas geométricas.

Ecuaciones

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III. Identifico y represento expresiones algebraicas equivalentes.

En matemáticas se conocen como expresiones equivalentes aquellas que representan lo mismo, pero escrito de diferente manera, por ejemplo: a + a es equivalente a 2a. Estas expresiones representan una igualdad, que se escribe así: a + a = 2a. 1. Retomen las fórmulas para el perímetro y el área de figuras geométricas y resuelvan. yy ¿La expresión 2l + 2l es válida para representar el perímetro de cualquier cuadrado? ¿Por qué? yy La fórmula 5l permite calcular el perímetro de un pentágono regular. ¿Qué expresión es equivalente a esta fórmula? M1-1-L5-DESCUBRO Y CONSTRUYO 5 el perímetro de las siguien2. Escriban dos expresiones equivalentes que representen tes figuras.

d

d

e

2l

Comparen sus expresiones con las de otros compañeros. Asignen valores numéricos a las literales y resuelvan las operaciones para verificar que lleguen a los mismos resultados. Si los resultados son diferentes, argumenten por qué, encuentren el error y corrijan. Practico

1. Escribe la expresión que permita calcular el área de cada figura, de acuerdo con las M1-1-L5-practico literales asignadas a cada magnitud. k

k i

y

z

g

k j

x

M1-1-L5-práctico 2. Escribe el perímetro de cada figura usando una sola2 vez cada una de las literales incluidas en la fórmula. b c

f d

m

p

a

L5

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Fórmulas geométricas y uso de literales

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IV. Identifico el significado de expresiones matemáticas dadas en lenguaje común.

La maestra anotó en el pizarrón las frases que se muestran y pidió a sus alumnos que representaran cada una con un ejemplo en su cuaderno. 1. Lee las frases y escribe a la derecha del pizarrón un ejemplo que represente cada situación.

• La suma de dos números cualesquiera. • La diferencia de dos números cualesquiera. • El doble de un número cualquiera. • El triple de un número cualquiera. • La mitad de un número cualquiera más 1.

yy Compara tus respuestas con las de un compañero. ¿Coincidieron los ejemplos? ¿Por qué creen que sucedió? Ahora, compara tus respuestas con todo el grupo. ¿Cómo podrían obtener expresiones únicas o equivalentes a las frases dadas por la maestra? ¿Qué sucede al utilizar literales? Discutan en grupo la pregunta anterior en busca de acuerdos. V. Represento algebraicamente frases dadas en lenguaje común y viceversa.

El álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza literales para representar números generales, variables o incógnitas.

Tomo Nota Una expresión algebraica es una combinación de letras y ________ ligados por signos de operación, en la que las ________ pueden adquirir cualquier valor. Las fórmulas geométricas anteriores representan expresiones algebraicas.

46

1. Comenta cada pregunta con un compañero, y juntos respondan. yy Si llamamos x a un número cualquiera, ¿cómo llamarían algebraicamente a su sucesor? _____________________________ yy Un número cualquiera se representa con la letra m. ¿Qué expresión algebraica usarían para representar a su doble? _____________________________ yy Un número cualquiera se representa con a y otro con b. ¿Qué expresión algebraica representa su suma? ¿Y su diferencia? _____________________________ yy Si la base de un rectángulo mide p y su altura mide la mitad de p, ¿qué expresión algebraica usarían para representar su área? _____________________________

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Si tienen dudas, aclárenlas en grupo con el apoyo del maestro.

Ecuaciones

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2. Escriban una expresión algebraica que represente cada situación. Observen el ejemplo. yy yy yy yy yy

El producto de un número por su sucesor: a × (a + 1) El triple de un número entre el mismo número: ________________________ El cuádruple de un número más su doble: ____________________________ El doble de un número menos su mitad: ____________________________ La suma de un número y su simétrico: _____________________________

3. Representen en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas. Expresión algebraica

Lenguaje común

y n + 3n

x+y x–y

(x) (x –1)

Comparen sus expresiones con las de otros compañeros. ¿Sus expresiones son únicas? ¿Habrá una expresión equivalente a cada una? Comenten las preguntas anteriores y concluyan sobre las ventajas de usar expresiones algebraicas. Practico

1. Subraya las expresiones algebraicas equivalentes con las que se pueda obtener el área de un trapecio. Después, argumenten por qué eligieron esas expresiones. (B + b) × h ––––––––––– 2

(B + b) ×

(h) 2

(B + b × h) 2

(B+b) 2

2. Representa algebraicamente las siguientes situaciones. a. Luis tiene el doble de la edad de su hermano más dos años. Edad de Luis: b. La altura de un rectángulo mide un tercio de su base más una unidad. Altura: c. Laura tiene cuatro veces el dinero de su hermana. Dinero de Laura: d. Un camión transporta el triple de la carga de otro camión más la mitad de la carga de un tercero. Carga del primer camión: 3. Escriban algebraicamente, en dos formas diferentes, las siguientes situaciones. a. Un número multiplicado por sí mismo: b. La mitad de un número multiplicado por otro:

L5

Matemáticas 1 Book 2020.indb 47

Fórmulas geométricas y uso de literales

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Ecuaciones

lineales I Exploro

Represento algebraicamente adivinanzas numéricas y encuentro el resultado. 1. Piensa un número cualquiera. Súmale 6 y resta 4 al resultado. Suma 11 al nuevo resultado y luego réstale 8. Ahora, al resultado anterior réstale el número que pensaste. ¿Qué número obtienes? yy Piensa en otros números y repite la actividad. ¿Qué número obtienes en cada caso? a. Denota con x el número que pensaste y escribe la expresión simplificada que resulte en cada paso. yy Número pensado: _________________________________________________ yy Súmale 6 y resta 4 al resultado: ______________________________________ yy Suma 11 al nuevo resultado y luego réstale 8: _________________________ yy Ahora, al resultado anterior réstale el número que pensaste: ______________ yy ¿Qué número obtienes? ____________________________________________ b. Explica con tus propias palabras por qué crees que siempre se obtiene el mismo resultado. 2. Piensa un número cualquiera. Multiplícalo por 4 y suma 8 al resultado. Divide el nuevo resultado entre 4 y réstale 2. ¿Qué número obtienes? yy Repite la actividad con otros números. ¿Qué número obtienes en cada caso? a. Denota con a el número que pensaste y escribe la expresión simplificada que resulte en cada paso. yy Número pensado: _________________________________________________ yy Multiplícalo por 4: ________________________________________________ yy Suma 8 al resultado: _______________________________________________ yy Divide el nuevo resultado entre 4: ___________________________________ yy Al resultado anterior réstale 2: ______________________________________ yy ¿Qué número obtienes? ____________________________________________ b. Explica con tus propias palabras por qué siempre se obtiene el mismo resultado. Compara tus respuestas con las de un compañero. Juntos expliquen por qué las expresiones 4a+8 4 y a+ 2 son equivalentes. Escriban un acertijo en el que se deba duplicar el número que se pensó y se obtenga siempre 3. Compártanlo con otra pareja y escriban en su cuaderno las expresiones algebraicas correspondientes para comprobar que siempre se obtenga 3.

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Ecuaciones

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Descubro y construyo

I. Conozco las ecuaciones lineales sencillas y las resuelvo.

En la actividad Exploro y en la lección 5, trabajamos con literales como números generales o variables. Ahora vamos a trabajar con expresiones algebraicas en las cuales las literales son incógnitas, es decir, tienen un valor desconocido que se puede encontrar. 1. Escriban, en pareja, una expresión algebraica que represente la situación y contesten. a. Perla pensó un número, le sumó 12.25 y obtuvo 19. Expresión algebraica: yy ¿Qué número pensó Perla? Expliquen cómo lo obtuvieron. yy ¿El número que pensó Perla es único o puede haber otros? b. Luis tenía cierta cantidad de dinero. Le regaló $57.50 a su hermana Laura y se quedó con $102.80. Expresión algebraica: yy Laura dice que Luis tenía $161.30. ¿Tiene razón? ¿Por qué? yy ¿Cuánto dinero tenía Luis? Expliquen su respuesta.

c. Las 32 canicas que tengo equivalen a la cuarta parte de las que tiene Martín. Expresión algebraica: yy ¿Martín puede tener 125 canicas? yy ¿Qué harían para calcular cuántas canicas tiene Martín? d. El triple de la edad de mi hermano equivale a 81 años. Expresión algebraica: yy ¿Mi hermano puede tener 30 años? Expliquen su respuesta. yy ¿Qué harían para encontrar la edad de mi hermano? e. El perímetro de un cuadrado mide 197 centímetros. Expresión algebraica: yy ¿La igualdad P =197 permite encontrar la medida del lado del cuadrado? yy ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

Tomo Nota

2. Investiga por qué ciertas ecuaciones se llaman de primer grado o lineales y otras, de segundo grado o cuadráticas.

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen una o varias ________________.

Comparen con otra pareja las expresiones algebraicas que escribieron en cada caso. ¿Qué tienen en común?, ¿en qué son distintas?, ¿qué representa la literal en la expresión?, ¿pueden encontrar el valor de la literal a partir de ellas?

L6

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Ecuaciones lineales I

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II. Encuentro la solución de ecuaciones.

1. Completa los diagramas y determina la solución de cada ecuación. Observa el ejemplo z −19= −9 –

x +17.8 = 32.4 =

+

19 z

−9

x

+

=

17.8

=

32.4

19 = z = 10

x = ___

a+ 1 = 7

3

+

7y =224

6

1 3

a

=

×

7 6

y

=

224

y = ___

x =10 2.5

z − 3 = 11

5

3 5

z

=

÷

11

x

2.5

=

10

=

= z = ___

50

=

= a = ___

7

x = ___

Discute y argumenta con un compañero qué significa el “regreso” en el diagrama. ¿Qué operaciones son inversas entre sí?

Ecuaciones

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III. Investigo cuándo cierto valor es la solución de una ecuación.

1. Resuelvan, en pareja, lo siguiente: Si al triple de la edad de Julián se le suman dos años se obtiene la edad de su mamá, que tiene 38 años. yy ¿Puede Julián tener 5 años? ¿Por qué? yy Si Julián tuviera 15 años, ¿su mamá podría tener 38? yy ¿Qué edad tiene Julián? Expliquen cómo llegaron a esa respuesta. Escriban una ecuación que modele la situación y comprueben que la edad de Julián que encontraron es la solución de la ecuación. Juana pensó un número y lo multiplicó por 3.5. Al resultado le sumó 42.5 y obtuvo 81. 2. Escriban una ecuación que modele la situación anterior. yy ¿El número que pensó Juana es mayor, menor o igual que 9? yy ¿El número que pensó Juana es mayor, menor o igual que 11? yy ¿Cuál es la solución de la ecuación? 3. Investiguen si el valor dado es solución o no de la ecuación. Completen la tabla. Ecuación

Valor

¿Es solución?

7.5x – 9 = 12.5

x=3

5 – 2x = 1 8 8 102 a = 34

x = 14

2a – 189 = 158

a = 172.5

Tomo Nota

Justificación

La solución de una ecuación es el valor que al sustituirse en la incógnita hace que la igualdad sea cierta. Por ejemplo, x = ___ es solución de la ecuación 2x +1 = 9 porque 2(___) +1 = 9.

a=3

Comparen sus respuestas y sus procedimientos con otra pareja y, en grupo, respondan: ¿cuándo se puede saber si el valor de una incógnita es solución de una ecuación? En los casos en que el valor dado no sea solución, encuentren la solución y comprueben que sea la correcta. Practico

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. y – 34 = 12 y = ___

b. 17 – w = 25 w = ___

c. a = 131 5 a = ___

2. Investiga si el valor dado es solución de la ecuación. 2 a. x + 23 = 45 ; x = 15

x = 22.5; x = 2.25 b. 10

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Ecuaciones lineales I

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IV. Conozco el modelo de la balanza para resolver ecuaciones.

Una ecuación es una igualdad que se puede representar como una balanza en equilibrio. Los dos miembros de la ecuación están balanceados por una relación de igualdad entre ellos. 1. Escriban, en pareja, una ecuación que represente que la balanza está en equilibrio.

5 kg

5 kg

5 kg

5 kg

5 kg

5 kg

5 kg

yy Si se quita la pesa de 5 kg del lado izquierdo de la balanza, ¿qué se debe hacer del lado derecho para que la balanza siga en equilibrio? M1-1-L6-BALANZA EQUILIBRIO yy ¿Qué ecuación se obtiene? yy ¿Cuánto pesa el gato?

Tomo Nota Una ecuación de la forma ax + b = c, por ejemplo 2x+1=5, se puede resolver utilizando operaciones ________ o el modelo de la balanza, que consiste en aplicar la misma operación en __________ lados de la igualdad.

2. Ahora escriban una ecuación que represente que esta balanza está en equilibrio.

1x 2

xx

x

yy ¿Qué harían para saber cuánto vale una de las pesas que tienen una x? Argumenten su respuesta. yy ¿Cuánto vale x? En la siguiente figura, las tres balanzas están en equilibrio. A partir de la primera se obtuvo la segunda, y a partir de ésta la tercera. 3. Escriban en el recuadro la ecuación que representa cada una de ellas.

x x x

x x x

x

yy ¿Qué se hizo en la primera balanza para obtener el equilibrio en la segunda? Represéntenlo por medio de una ecuación. yy ¿Qué se hizo en la segunda balanza para obtener el equilibrio en la tercera? Represéntenlo por medio de una ecuación.

52

Escriban en su cuaderno los pasos que se siguen para resolver las ecuaciones que se representan en las balanzas y expliquen a otra pareja cuál fue su razonamiento.

Ecuaciones

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V. Planteo y resuelvo ecuaciones de la forma ax + b = c.

1. Subraya la ecuación que modele cada problema y resuélvela. Comprueba si la solución de la ecuación resuelve el problema. a. Pensé un número y lo multipliqué por 2.2. Al resultado le resté 11 y obtuve 0. 2.2x + 11 = 0 2.2 + 11x = 0 2.2x – 11 = 0 2.2 – 11x = 0 yy ¿Qué número pensé? b. Claudio tenía cierta cantidad de dinero y el día de su cumpleaños cuadruplicó esa cantidad con el regalo de su tío. De ahí pagó $200.00 que le debía a su hermana, por lo que se quedó con $524.00. 4x + 200 = 524 4x – 200 = 524 4x + 200 = 524 4x – 200 = 524 yy ¿Cuánto dinero tenía Claudio? c. Para comprar un libro que costó $145.00, Mario utilizó $20.00 menos que la mitad de sus ahorros. y y 2y + 20 = 145 2y – 20 = 145 + 20 = 145 −20 = 145 2 2 yy ¿Cuánto dinero tenía Mario ahorrado? 2. Piensa en el modelo de la balanza para resolver la siguiente ecuación. Escribe completo tu procedimiento. 7 x – 15 = 622

Utilizo las TIC Entra a la siguiente página interactiva para reforzar lo aprendido, practicar y aprender más. cmed.mx/m18

Compara tu procedimiento con el de un compañero. ¿Obtuvieron el mismo valor para x? Si hay diferencias, recurran a la ayuda de su maestro. 3. Utiliza el método de la balanza para resolver en tu cuaderno las siguientes ecuaciones y anota aquí la solución. 5z – 121 = 47 z = ______ 5.5a – 3.5 = 90 a = ______ 3 11 2w + 8 = w = ______ 8

Comprueben, en equipo, las soluciones de las ecuaciones y si hay diferencias confirmen que la igualdad se cumple en cada caso. Compartan con el grupo y argumenten sus ideas. Practico

1. Pagué $329.60 por un libro de $125.00 y tres cuadernos del mismo precio. ¿Cuánto costó cada cuaderno? 2. A una cuerda se le hace un corte a 3 de su longitud y después se cortan otros 4 2 metros. Si la longitud final de la cuerda resultó ser de 40 m, ¿cuánto medía originalmente?

L6

Matemáticas 1 Book 2020.indb 53

Ecuaciones lineales I

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Las literales permiten representar algebraicamente las fórmulas para calcular el área y el perímetro de figuras geométricas. 2. Una expresión algebraica es la combinación de literales (que pueden adquirir cualquier valor)y números relacionados por los signos de operación. 3. Las expresiones algebraicas equivalentes son aquellas que representan lo mismo, pero escrito de diferente manera. Como representan una igualdad, están separadas por el signo “=”. 4. Las literales se utilizan para representar un número general o una incógnita. 5. Una ecuación es una igualdad en la que hay una o más incógnitas. En una ecuación lineal o de primer grado la incógnita está elevada a la primera potencia. Permiten modelar y resolver situaciones de la vida cotidiana utilizando operaciones inversas o el modelo de la balanza.

54

1. Escribe de dos maneras diferentes la expresión algebraica que represente el área y el perímetro de la siguiente figura.

Área = ________

Perímetro = ________

b l

h

B

2. Representa algebraicamente las siguientes situaciones. Después, escribe una expresión equivalente a cada caso. a. El triple de la suma de dos números: __________________ b. El doble de un número cualquiera más ocho: __________________ 3. Averigua si x = 3 es solución de la ecuación 7x – 5 = 14. 4. Resuelve la ecuación 3x − 1 = 2.8 y comprueba que la solución sea correcta. 5

5. Alicia se quiere comprar un teléfono celular que cuesta $2 050.00. Su papá le regala la mitad de la cantidad de dinero que ella tiene ahorrado y su mamá le da $400.00. Si con su dinero y los regalos de sus papás ya se puede comprar el teléfono, ¿cuánto tenía ahorrado? 6. Resuelve las ecuaciones. a. 3x + 2 = 20

x = _____

b. 6y + 1.5 = 8.7

y = _____

c. 8z + 17 = 85

z = _____

Ecuaciones

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Logro ir más

allá

Actualmente, es común encontrar en las redes sociales acertijos matemáticos. Algunos de ellos se vuelven virales y causan polémica por los resultados diferentes que se dan. La ecuación con frutas de la imagen apareció en las redes sociales en enero de 2016. Por las diversas respuestas que se iban dando: 16, 15 o 14, a los pocos días superó los dos millones y medio de comentarios.

Reúnete con un compañero para representar algebraicamente cada igualdad y respondan: yy ¿Cuánto vale la manzana? Explica tu respuesta. yy En las igualdades anteriores, ¿cuánto vale cada racimo de plátanos? Explica tu respuesta. yy ¿Cuánto vale medio coco? Explica tu respuesta.

En grupo, discutan cómo se puede obtener cada una de las respuestas que se dieron, 16, 15 y 14, y por qué una es correcta y las otras dos no. Escuchen las ideas de sus compañeros y acuerden cuál es la respuesta correcta.

L5

Matemáticas 1 Book 2020.indb 55

L6

55

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Suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros El triángulo es el polígono con menor número de lados, pero no por ello el menos importante. Es una figura geométrica rígida, lo que quiere decir que no se deforma cuando se aplica una fuerza a cualquiera de sus vértices; se utiliza en la construcción de puentes y torres, siendo la Torre Eiffel una de las estructuras trianguladas más conocida del mundo. Exploro

M1-P1-L7-EXPLORO Conozco los ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan. Enrique trazó las rectas R1 y R2 y nombró con letras los cuatro ángulos que se forman.

R2

R1 z

y w

x

yy ¿Qué relación hay entre el ángulo z y el ángulo y? ¿Y entre el ángulo x y el ángulo y? yy ¿Qué relación hay entre los ángulos opuestos por el vértice, es decir, entre x y z? Explica tu respuesta. ________________________________________________ yy Mide con un transportador los ángulos. ¿Qué parejas de ángulos miden lo mismo? Discute con alguno de tus compañeros si sucede lo mismo cuando las rectas que se cruzan son perpendiculares. Descubro y construyo Torre Eiffel.

M1-P1-L7-RECTAS Y TRASVERSAL-S

I. Conozco los ángulos que se forman cuando tres rectas o más se cortan.

Tomo Nota Dos ángulos son adyacentes si comparten un lado y un vértice.

1. Juan dibujó dos rectas R1 y R2 cortadas por una recta transversal S y señaló con letras los ocho ángulos que se forman. Observó que cuatro de ellos son ángulos externos: a, d, f y g, y cuatro son interiores: b, c, e y h.

Los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, suman 180º. z Por ejemplo: x+y=180º

56

y w

x

z+w=180º

Figuras y cuerpos

Matemáticas 1 Book 2020.indb 56

S a

d c

b e

R1 h

R2

yy Los ángulos interiores que están en lados distintos f g de la transversal se llaman alternos internos. ¿Qué parejas de ángulos son alternos internos? yy Los ángulos externos que están en lados distintos de la transversal se llaman alternos externos. ¿Qué parejas de ángulos son alternos externos? yy Los ángulos a y e se llaman ángulos correspondientes porque están del mismo lado de la transversal; uno es externo y el otro interno. ¿Qué otras parejas de ángulos correspondientes hay? yy Los ángulos colaterales están del mismo lado de la transversal y son internos o externos. ¿Qué parejas de ángulos son colaterales internos?

geométricos

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M1-P1-L7-CUATRO RECTAS- L-M-S1 Y S2

2. Ahora, Carolina modificó el trazo con cuatro rectas y denotó con letras algunos de M L los ángulos que se forman. p q t

s r

w

u v

S1 S2

a. Encuentra dos ángulos alternos internos e indica respecto a qué transversal lo son. b. Encuentra dos ángulos alternos externos e indica respecto a qué transversal lo son. c. Encuentra dos ángulos correspondientes respecto a S1 y otros dos respecto a S 2. Practico

1. Considera las rectas R1, R2 y R3 y las transversales T1 y T2. En cada caso, marca con arcos del mismo color los ángulos que se piden. M1-P1-L7-RECTAS Y TRASVERSALES-T T1

a. Tres pares de ángulos correspondientes. b. Tres pares de ángulos alternos internos. c. Tres pares de ángulos alternos externos.

T2

R1

R2 R3

2. Un herrero construyó una escalera con cuatro peldaños cortando triángulos como los que se indican en la imagen: ABC, CDE, etcétera. M1-P1-L7-ESCALONES H I

F G

D E

B C A

a. Observa los ángulos marcados en color verde. Considerando los segmentos de recta CD y EF, determina con respecto a qué segmentos de recta son correspondientes. b. Ahora, di con respecto a a qué segmento de recta y a cuál segmento de transversal son correspondientes los ángulos de color naranja.

L7

Matemáticas 1 Book 2020.indb 57

Suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

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Tomo Nota Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, M1-P1-L7-ANGULOS 1234 los ocho ángulos que se forman cumplen que:

II. Conozco la igualdad entre los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. VERDE-M1-P1-L7- RECTAS L-M-T

En la imagen, L y M son dos rectas paralelas cortadas por la transversal T. T

12

34

a c

56 7 8

L

Los ángulos correspondientes son iguales: <1=___, <3=___, <2=___ y <4=___. Los ángulos alternos internos son iguales: <3=___, <4=___. Los ángulos alternos externos son iguales: <1=___, <2=___. Los ángulos colaterales son suplementarios, es decir, suman 180º: <3+___=180º, <7+___=180º, <2+___=180º, <4+___=180º

Utilizo las TIC En cmed.mx/m19 encontrarás una hoja dinámica de Geogebra para trabajar rectas paralelas cortadas por una transversal. Sigue las instrucciones y podrás visualizar las relaciones que se trabajaron en la actividad. ¿Qué sucede con los ángulos?, ¿se cumplen las relaciones que se trabajaron? Abre un archivo nuevo en Geogebra y traza dos rectas paralelas y una transversal; verifica la relación entre los ángulos utilizando las herramientas de Geogebra.

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Figuras y cuerpos

Matemáticas 1 Book 2020.indb 58

b

d

e g

f

h M

1. Escribe las parejas de ángulos correspondientes. yy Imagina que puedes trasladar la recta M hasta la recta L a través de las líneas punteadas. ¿Cómo se verían las rectas L y M? yy ¿Qué pasaría con las parejas de ángulos correspondientes? Explica tu respuesta. 2. Mide los ángulos correspondientes para verificar tu respuesta. 3. Raquel dice que si dos ángulos son iguales a un tercero, entonces los ángulos son iguales entre sí. Con base en la imagen y utilizando el razonamiento de Raquel, expliquen por qué son iguales los ángulos que se indican en la tabla. Nombre Alternos internos

Pareja de ángulos c y f

Razonamiento c = b por ser opuestos por el vértice. b = f por ser _______________________. c=f

Alternos internos Alternos externos Alternos externos

¿Cómo son entre sí las parejas de ángulos alternos internos? ¿Y los alternos externos? ¿Será que siempre sucede esto entre rectas paralelas cortadas por una transversal? Validen sus respuestas con otro ejemplo y registren sus conclusiones.

geométricos

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III. Encuentro la medida de los ángulos que se obtienen cuando rectas paralelas son cortadas por transversales. M1-P1-L7-RECTAS Y 45 GRADOS

1. Encuentra, en pareja, la medida de los ángulos que se indican en cada figura. Las rectas R1 y R2 son paralelas. R 2

x

y

R1

45º

w z

yy yy yy yy

S

El ángulo x = _____ porque ______________________________. El ángulo y = _____ porque ______________________________. El ángulo z = _____ porque ______________________________ . M1-P1-L7-RECTAS L- M-T1-T2-ANGULOS 50 Y 70 El ángulo w = _____ porque ______________________________.

2. Las rectas L y M son paralelas.

q

T1

p

T2

50º

70º

L

s r

yy yy yy yy

M

El ángulo q = _____ porque ______________________________. El ángulo p = _____ porque ______________________________. El ángulo r = _____ porque ______________________________. El ángulo s = _____ porque ______________________________.

Compartan sus respuestas y sus argumentos con los de otra pareja de comM1-P1-L7-ANGULO a pañeros. ¿Qué transversal utilizaron en cada caso? Practico

L1

1. Las rectas L1, L2 y L3 son paralelas. Marca con un arco de color rojo todos los ángulos que sean iguales al ángulo a.

L2

L3

a M1-P1-L7-ANGULO x

GLOSARIO 2. Si las semirectas R1 y R2 son paralelas, ¿cuánto mide el ángulo x?

R1

330º

x

L7

Matemáticas 1 Book 2020.indb 59

Semirecta. Es una línea que se extiende desde un punto.

R2

Suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

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IV. Sumo los ángulos interiores de un triángulo.

1. Dibuja en una hoja de papel tamaño carta un triángulo obtusángulo, de modo que puedas manipularlo con facilidad. Marca con arcos de distinto color los ángulos interiores. Corta las esquinas para recortar los ángulos del triángulo. Pega en una hoja cada ángulo, uno al lado del otro, de modo que los tres vértices coincidan en GULOS IÁNGULO CON ÁN -TR -L7 -P1 M1 el mismo

yy Traza una línea recta donde se unen los vértices de los ángulos, como la recta roja de la figura. ¿Cuánto miden los tres ángulos interiores de tu triángulo? M1-P1-L7-TRAZO Compara tus resultados con otro compañero. Tracen otrosPARALELA triángulos y sigan el mismo procedimiento, ¿el valor de la suma de los ángulos depende del triángulo trazado?

C

2. Consideren el triángulo ABC, cuyos lados se prolongaron un poco.

A

B

Tracen una recta que pase por el vértice C y que sea paralela a la base AB. Denótenla con R. Denoten con a, b y c los ángulos de los vértices A, B y C, respectivamente. * Consideren las rectas paralelas AB y R y la transversal AC. Marquen, con un arco de color rojo y con la misma letra, el ángulo que es igual al ángulo a. Expliquen por qué son iguales. * Consideren las rectas paralelas AB y R y la transversal BC. Marquen, con un arco de color azul y con la misma letra, el ángulo que sea igual al ángulo b. Expliquen por qué son iguales. yy ¿Cuánto vale a + b + c? Expliquen su respuesta. ___________________________ yy ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC? Expliquen su respuesta. En grupo, discutan si el procedimiento anterior es válido para cualquier triángulo.

60

Figuras y cuerpos

Matemáticas 1 Book 2020.indb 60

geométricos

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V. Sumo los ángulos interiores de un cuadrilátero.

1. Dibuja en una hoja de papel un cuadrilátero cualquiera; trata de que sea grande. Marca con arcos de distinto color los ángulos interiores. Calca los ángulos del cuaM1-P1-L7-CUADRILATERO Y ÁNGULOS drilátero y reprodúcelos en una hoja, uno al lado de otro, de modo que los vértices coincidan en un mismo punto, como se indica en el dibujo. Utilizo las TIC

D

A C

B M1-P1-L7-CUADRILATERO Y DIVIDIDO

yy ¿Cuánto mide el ángulo que formaste con los cuatro ángulos del cuadrilátero? Explica tu respuesta. A

A

A

D

B

D

B C

C

En cmed.mx/m110 encontrarás una hoja dinámica de Geogebra con la que podrás formar distintos cuadriláteros y mover sus ángulos interiores para visualizar y confirmar la suma de sus medidas. Ahora abre un archivo nuevo en Geogebra, traza un cuadrilátero cualquiera, mide sus ángulos y después manipula los lados. ¿Qué sucede con la suma de la medida de los ángulos?

C

2. Observen que en el cuadrilátero ABCD se trazó la línea punteada AC que va del vértice A al vértice C. yy ¿En cuántos triángulos quedó dividido el cuadrilátero? . yy ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada triángulo? . yy ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero? Expliquen su respuesta.

Compartan sus resultados con otra pareja. Dibujen en su cuaderno diversos cuadriláteros y divídanlos, a partir de sus vértices, en dos triángulos. ¿Fue siempre posible? ¿Cuánto miden sus ángulos interiores? Practico

1. ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles? Justifica tu respuesta. 2. ¿Cuánto miden los tres ángulos de un trapecio isósceles si uno de sus ángulos mide 30 grados? Explica cómo encontraste la respuesta.

L7

Matemáticas 1 Book 2020.indb 61

Tomo Nota La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre es igual a ______.

Suma de ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

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Construcción de

triángulos Exploro

Leo + En esta página podrás conocer más acerca del Sistema de Posicionamiento Global (gps): cmed.mx/m111

Investigo cuáles son los triángulos imposibles de trazar. A través del estudio de la relación de los ángulos y de los lados de un triángulo se puede determinar la posición de puntos y la medida de distancias. La triangulación por gps, el sistema de posicionamiento global con el que es posible determinar las coordenadas de cualquier objeto o persona sobre la superficie de la Tierra, consiste en averiguar la distancia de cada una de las tres señales respecto al punto de medición. 1. Intenten, en parejas, trazar en su cuaderno los triángulos cuyos datos se muestran en las tablas. Triángulo A Medida de los lados en cm

Triángulo B 3, 4 y 7

Triángulo C Medida de los lados en cm

30º, 40º y 50º

Triángulo D 6, 6 y 3

Triángulo E Medida de los lados en cm

Medida de los ángulos

Medida de los ángulos

90º, 30º y 60º

Triángulo F 2, 5 y 9

Medida de los ángulos

20º, 37º y 113º

yy ¿Qué triángulos pudieron trazar? yy ¿Cuáles de ellos no pudieron trazarse? Determinen, en cada caso, a qué creen que se debió. yy Modifiquen las medidas de los lados o de los ángulos, según sea el caso, para solucionar la construcción de todos los triángulos. ¿Qué medidas eligieron? yy ¿Qué propiedad deben cumplir los ángulos del triángulo para que éste se pueda trazar? yy ¿Qué relación hay entre dos lados cualesquiera de un triángulo con el tercer lado, para poder construir el triángulo? Juntos elijan dos tríadas de números con los que se pueda trazar un triángulo. Comparen sus respuestas con otra pareja y establezcan los criterios para determinar qué condiciones deben cumplir la longitud de los lados de un triángulo y los ángulos para que el triángulo se pueda trazar.

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Figuras y cuerpos

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geométricos

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Descubro y construyo

I. Analizo los triángulos si conozco algunas de las medidas de sus lados o de sus ángulos.

En lenguaje coloquial decimos que dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. Así, tenemos que dos triángulos son congruentes si los tres ángulos y los tres lados de uno son iguales a los tres lados y los tres ángulos del otro. 1. Tracen en su cuaderno los triángulos T1 y T2 como se indica, y marquen la medida de los tres lados y de los tres ángulos. Triángulo T1

Triángulo T2

9 cm, 6.5 cm, 8 cm

3 cm, 4 cm, 5 cm

2. Comparen los triángulos trazados para determinar si los ángulos son diferentes. 3. Intercambien su trabajo y midan los ángulos y los lados de los triángulos elaborados por su compañero. yy ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo T1 que trazó tu compañero? ¿Y cuánto los del triángulo T2? yy ¿Esos triángulos son congruentes con los que tú trazaste? ¿Por qué? yy Comparen sus figuras con las de otros compañeros. ¿Todos los triángulos T1 son congruentes? ¿Y los triángulos T2? Cuando dos triángulos tienen sus tres lados iguales, es decir, del mismo tamaño, escribimos en forma simplificada las siglas LLL. yy ¿Todos los triángulos que cumplen LLL son congruentes? Verbalicen y escriban su conclusión.

Comparen sus respuestas con otra pareja. Recorten cada uno de los triángulos y sobrepóngalo al correspondiente para validar sus respuestas. Practico

1. Lola quiere trazar un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 5 cm y 9 cm. Explica si es M1-1L8 CUATRO TRIÁNGULOS posible hacerlo. 2. Circula con rojo los triángulos que sean congruentes al triángulo ABC. A

X

G P E Y

B

C

F

Q

R Z

L8

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Construcción de triángulos

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II. Analizo y comparo triángulos cuando conozco dos lados y un ángulo.

Veamos qué sucede si cambiamos las condiciones en la construcción. Los siguientes M1-P1-L8-CINCO TRIÁNGULOS cinco triángulos cumplen la propiedad de tener dos lados y un ángulo igual al del triángulo ABC. A

2 B

C

1 4 3

1. Mide los lados y los ángulos del triángulo ABC. En cada uno de los triángulos, marca con el mismo color los ángulos y lados que sean iguales a los del triángulo ABC y completa la tabla. Triángulo

Lados iguales a los del triángulo ABC

Ángulo entre ellos

1 2 3 4

yy ¿Qué triángulos son congruentes con el triángulo ABC? ¿Por qué? yy ¿Qué triángulos no son congruentes con el triángulo ABC? ¿Por qué? Cuando dos triángulos tienen dos lados y un ángulo iguales, escribimos en forma simplificada las siglas LLA, y si el ángulo que es igual está entre los dos lados iguales, escribimos LAL. 2. Con base en la notación anterior, explica qué propiedad debe cumplir un triángulo para ser congruente con otro si sólo se conoce la longitud de dos de sus lados y la medida de un ángulo. 3. Escriban en cada triángulo si cumple LAL o LLA. A partir del ejercicio anterior, analiza con tu compañero por qué LLA no es un criterio de congruencia y por qué LAL sí lo es. Comparen sus respuestas con otra pareja y verifiquen si son iguales o no. Si tienen dudas, compártanlas y traten de llegar a acuerdos con el apoyo del maestro.

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Figuras y cuerpos

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geométricos

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Utilizo las TIC

III. Analizo triángulos cuando conozco la medida de dos de sus ángulos y un lado.

El maestro de Carmen les pidió que trazaran un triángulo con un lado que midiera 3.5 cm TRIÁNGULOs y lo marcaran con color rojo, un M1-P1-L8-Cuatro ángulo de 90º que marcaran en color verde y un ángulo de 60º marcado con color rosa. Carmen hizo el triángulo EFG, mientras que Paulo, Claudio e Inés hicieron los otros tres. E

F

Paulo

G

Claudio

En cmed.mx/m112 encontrarás una hoja dinámica de Geogebra con la que podrás formar distintos cuadriláteros y mover sus ángulos interiores para visualizar y confirmar la suma de sus medidas. Ahora abre un archivo nuevo en Geogebra, traza un cuadrilátero cualquiera, mide sus ángulos y después manipula los lados. ¿Qué sucede con la suma de la medida de los ángulos?

Inés

1. Calcula el valor de cada uno de los ángulos en todos los triángulos. yy ¿Cuánto miden los ángulos en cada uno de los triángulos? Argumenta por qué dados dos ángulos el tercero queda determinado. yy Carmen colocó el lado de 3.5 cm entre el ángulo de 90º y el de 60º, es decir, ALA. ¿Alguien más hizo lo mismo? ¿Alguien lo hizo diferente, es decir, AAL? 2. Identifica quién trazó un triángulo congruente con el de Carmen. 3. En grupo, expliquen qué propiedad deben cumplir los dos ángulos y un lado de cierto triángulo para que éste sea congruente con otro triángulo. Comparen sus respuestas con otra pareja y verifiquen si coinciden. Si tienen dudas, calquen todos los triángulos en su cuaderno y sobrepóngalos para comprobar sus respuestas. Practico

1. Circula con el mismo color los triángulos que sean congruentes entre sí e indica el criterio de congruencia que utilizas para determinarlo.

5

80º

40º

6

40º

6

5 80º

40º 6

60º

40º 5

80º

6

6 40º 5

80º

5

L8

Matemáticas 1 Book 2020.indb 65

Construcción de triángulos

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IV. Analizo triángulos con ángulos ÁNGULOS iguales. TRIÁNGULOS CUYOS

MIDEN 35º 105º Y 40º

En la figura los segmentos de recta FG, DE y BC son paraleos y los tres triángulos, BAC, DAE y FAG, tienen en común el ángulo a. F D f B

g

a A

C

E

G

1. Marca con rojo los ángulos que sean iguales al ángulo f. Justifica tu respuesta con lo que has aprendido hasta ahora. ________________________________________ 2. Marca con verde los ángulos que sean iguales al ángulo g. Observa los triángulos ABC, ADE y AFG y di si son congruentes. Describe por qué. ___________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ yy ¿Siempre se cumple que dos triángulos son congruentes cuando sus ángulos (AAA) miden lo mismo? lo mismo? Explica tu respuesta. ___________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Compara tus respuestas con un compañero. Si tienen dudas, que cada quien trace en su cuaderno un triángulo cuyos ángulos midan 40º, 40º y 100º, y vean si son congruentes. V. Conozco los criterios de congruencia.

Como hemos visto en las actividades anteriores, para establecer la congruencia entre dos triángulos no es necesario comprobar las seis igualdades entre sus tres lados y sus tres ángulos. Las condiciones LLL, LAL y ALA se llaman criterios de congruencia, y en la práctica nos facilitan identificar la congruencia entre triángulos. 1. Aplica los criterios de congruencia para medir los siguientes triángulos y determina cuáles son congruentes.

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Figuras y cuerpos

Matemáticas 1 Book 2020.indb 66

geométricos

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2. Traza, en el recuadro en blanco, un dibujo que represente cada uno de los criterios M1-P1-L8-DIAGRAMAS de congruencia y cada uno de los que no son criterios de congruencia. Utilizo las TIC Criterios de

Entra a la siguiente página para practicar la congruencia de triángulos. Determina triángulos congruentes. cmed.mx/m113

Criterios de congruencia congruencia

LLL LLL

LAL LAL

ALA ALA

No criterios No son son criterios de de congruencia congruencia

LLA LLA

AAL AAL

AAA AAA

Tomo Nota

Practico

Te encuentras en un terreno de forma triangular y quieres tomar medidas. En una de las esquinas (vértice) del terreno hay un panal de abejas, por lo que no te puedes acercar lo necesario para medir. yy ¿Qué medidas del terreno tomarías?

L8

Matemáticas 1 Book 2020.indb 67

Criterio _______________. Si los tres lados de un triángulo miden lo mismo que los tres lados de otro, entonces los dos triángulos son congruentes. Criterio _______________. Si en un triángulo dos ángulos y el lado entre ellos miden lo mismo que los correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes. Criterio _______________. Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos miden lo mismo que los correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.

Construcción de triángulos

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Propiedades de los

cuadriláteros

M1

O

LOR

EXP

L9-P1-

Un popote tarda más de 100 años en degradarse y, en el mundo, se utilizan más de 500 millones de popotes diariamente. Así, a menos que exista un problema de motricidad o movilidad, el uso de popote realmente no es necesario, por lo que debemos eliminarlo de nuestros hábitos cotidianos. Exploro

Construyo cuadriláteros con ciertas condiciones. Con popotes de la longitud indicada, forma un cuadrilátero. Une los popotes con un hilo o con una tachuela de manera que puedas moverlos. 1. Cuadrilátero con lados de 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm. yy Si mueves los vértices opuestos, ¿cuántos cuadriláteros distintos puedes formar? ¿Son congruentes? ¿Por qué? 2. Cuadrilátero con cuatro lados de 6 cm. yy Si mueves los vértices opuestos, ¿cuántos cuadriláteros distintos puedes formar? ¿Son congruentes? ¿Por qué? yy ¿Cuántos cuadrados puedes formar? ¿Qué debes hacer para formarlos?

Compara con un compañero tus respuestas; investiguen y establezcan si existe alguna condición que solamente considere los lados para trazar un único cuadrilátero. Descubro y construyo

I. Identifico diferencias en cuadriláteros cuyos lados tienen la misma longitud.

El maestro pidió a tres alumnos que trazaran un cuadrilátero con dos lados de 6 cm y dos de 4 cm. M1-1-L9-TRES CUADRILÁTEROS

4

6

6

6 4

Mónica 6

4

4

Alejandro 6

4

Claudia

4

6

yy ¿Existe alguna diferencia entre los ángulos del cuadrilátero de Mónica y los de Alejandro? 1. Expliquen una similitud entre los cuadriláteros de Mónica y Alejandro y anótenla en su cuaderno. 2. Verbalicen y anoten una diferencia entre el cuadrilátero de Claudia y los de Mónica y Alejandro. Midan las diagonales de la figura de Mónica y discutan si las diagonales de cualquier rectángulo cumplen con una misma propiedad e identifiquen cuál podría ser ésta.

68

Figuras y cuerpos

Matemáticas 1 Book 2020.indb 68

geométricos

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II. Identifico algunas características de los cuadriláteros.

1. Cada quien trace en su cuaderno los cuadriláteros con las características que se indican en la siguiente tabla. Cuadrilátero

Características

GLOSARIO

ABCD EFGH

Sólo un par de lados paralelos de 2 cm y 4 cm.

PQRS

Los lados de 4 cm y sus diagonales son perpendiculares.

WXYZ

Cuatro ángulos de 90º.

Paralelogramo con diagonales de 6 cm y un lado de 4 cm.

Paralelogramo. Cuadrilátero con lados opuestos paralelos.

2. Reúnanse con otra pareja y comparen sus figuras. Si hay alguna diferencia entre los cuadriláteros ABCD que trazaron, explíquenla. yy ¿Cuántos paralelogramos EFGH diferentes trazaron? Escriban una característica de sus lados y una de sus ángulos. yy ¿Cuántos diferentes tipos de cuadriláteros PRQS trazaron? Expliquen sus similitudes y diferencias. yy ¿Cuántos tipos diferentes de cuadriláteros WXYZ trazaron? Expliquen sus similitudes y diferencias.

Utilizo las TIC Utilicen la herramienta dinámica Geogebra para realizar los trazos de la actividad 1. Confirmen si sus conclusiones son ciertas.

Comparen sus respuestas con el resto del grupo. Discutan qué información adicional podrían plantear para asegurar que en cada caso los cuadriláteros que trazaron resulten congruentes entre sí. Practico

1. Reúnete con un compañero. Cada quien trace en su cuaderno un cuadrilátero ABCD. En una hoja, escriban la información que consideren necesaria para que su compañero reproduzca un cuadrilátero congruente con el que dibujaron. Pídanle que lo trace en su cuaderno.

Tomo Nota Clasificación de cuadriláteros con al menos dos lados paralelos.

yy Comparen sus cuadriláteros. ¿Son congruentes? yy ¿Faltó o sobró información para reproducir el cuadrilátero congruente?

Cuadrilátero Trapecio

2. Analicen la información que escribieron y hagan los ajustes necesarios para asegurar que su cuadrilátero se puede reproducir de manera única.

Paralelogramo

Rombo

Rectángulo

Cuadrado

L9

Matemáticas 1 Book 2020.indb 69

Propiedades de los cuadriláteros

69

28/04/20 1:09


III. Conozco algunas de las propiedades que debe cumplir un cuadrilátero para ser un paralelogramo.

1. En tu cuaderno dibuja un paralelogramo que no sea un rectángulo ni un rombo. ¿Es cierto que los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son siempre iguales? yy Mide sus lados opuestos y sus ángulos opuestos. ¿Son iguales entre sí? . 2. Llama P, Q, R y S a sus vértices nombrándolos en el sentido inverso al giro de las manecillas del reloj. Ahora traza la diagonal QS. El paralelogramo quedó dividido en dos triángulos: PQS y SQR.

Tomo Nota

yy Considera los triángulos PQS y SQR. ¿Tienen lados iguales? ¿Cuáles? yy ¿Tienen ángulos iguales? ¿Cuáles? ¿Por qué? yy ¿Son congruentes estos triángulos? ¿Qué criterio de congruencia podrías utilizar? yy Si los triángulos PQS y SQR son congruentes, ¿qué puedes decir de los lados opuestos? ¿Y de los ángulos opuestos?

En un paralelogramo, los lados opuestos son siempre _________ y los ángulos _________ son siempre iguales.

Comparen sus figuras y discutan por qué obtuvieron los mismos resultados aun cuando los paralelogramos que trazaron son distintos. Uno de los objetivos centrales de la geometría es el estudio de las propiedades de las figuras, por ejemplo el comportamiento de los lados y de los ángulos. Sin embargo, ¿cómo sabemos que estas propiedades no dependen de las medidas de una figura en particular? 3. Considera el paralelogramo ABCD al que se le trazó una de sus diagonales. M1-M1-L9-PARALELOGRAMO ABCD A yy ¿Qué pares de rectas son paralelas? Si conb sideras la diagonal AC, ¿qué ángulos son iguales? Explica tu respuesta. B yy ¿Los triángulos ABC y ADC son congruentes? Explica tu respuesta. yy ¿Qué lados del paralelogramo son iguales? yy ¿Qué ángulos del paralelogramo son iguales?

70

Figuras y cuerpos

Matemáticas 1 Book 2020.indb 70

D a

c d C

Escribe, junto con un compañero, las propiedades que cumplen los lados opuestos y los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo. ¿Estas propiedades se pueden mostrar para rectángulos y rombos utilizando la congruencia de triángulos?

geométricos

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IV. Conozco la propiedad que cumplen las diagonales de un rectángulo. M1-M1-L9-RECTÁNGULO WXYZ

Considera el rectángulo XYZW. ¿Serán iguales sus diagonales?. X

W

Y

Z

Utilizo las TIC Entra a la siguiente página, donde encontrarás una hoja dinámica de Geogebra para comprobar la propiedad de los ángulos contiguos de un paralelogramo. Sigue las instrucciones para visualizarlo. Luego, modifica el paralelogramo moviendo sus vértices y vuelve a comprobar la propiedad de sus ángulos contiguos: cmed.mx/m114

1. Escribe la característica que define a un rectángulo. yy Traza con color azul la diagonal XZ. ¿Cuál es el triángulo que tiene a la diagonal XZ como lado? yy Traza con color verde la diagonal YW. ¿Cuál es el triángulo que tiene a la diagonal YW como lado? 2. Utiliza los criterios de congruencia para explicar si los triángulos XYZ y YZW son o no congruentes. 3. Explica si es posible concluir que las diagonales de un rectángulo son iguales, es decir, XZ = YW.

¿Se puede establecer qué tipo de paralelogramo es un cuadrilátero a partir de las medidas de sus diagonales? Comparte tus respuestas y procedimientos con tus compañeros y analicen si, además, las diagonales de un rectángulo se cortan en su punto medio. Traten de probarlo utilizando los criterios de conM1-M1-L9-PRÁCTICO gruencia. ¿Esta propiedad se cumple para rectángulos y rombos? Practico

b

1. Para saber si los ángulos contiguos de cualquier paralelogramo suman 180º, Pilar trazó un paralelogramo y denotó con c y d dos de los ángulos contiguos. yy yy yy yy yy

d a

c

b

¿Por que los ángulos a son iguales entre sí? ¿Por que los ángulos b son iguales entre sí? ¿Por qué a + b + c =180º? ¿A qué ángulo es igual a + b? ¿A cuánto es igual c + d? ¿Cuánto suman los ángulos contiguos de cualquier paralelogramo?

L9

Matemáticas 1 Book 2020.indb 71

a

GLOSARIO Ángulos contiguos. o suplementarios de un polígono. Son los ángulos que están sobre un mismo lado.

Propiedades de los cuadriláteros

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28/04/20 1:09


Evalúo mi aprendizaje

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Itacate

Recapitulo 1. Cuando dos rectas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos.

1. Si las semirectas L1 y L2 son paralelas, ¿cuánto mide el ángulo x? _________

140º

2. Cuando las rectas son paralelas, la transversal determina pares de ángulos iguales.

90º

3. Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º. 4. Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

L1

x

L2

Para las preguntas 2 y 3 considera la siguiente figura.

5. Existen tres criterios para determinar si dos triángulos son congruentes: LLL, LAL y ALA.

M

P O

6. Los criterios de congruencia de triángulos nos permiten mostrar algunas propiedades de los cuadriláteros.

Q

N

2. Si MN es paralela a PQ, MO = OQ = 1 cm y PQ = 4 cm, ¿cuánto mide MN? ¿Por qué? ________________________________________________________________

7. En un paralelogramo, los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales.

3. Si el ángulo NMQ mide 106º y el ángulo OPQ mide 27º, ¿cuánto mide el ángulo NOQ? Explica tu respuesta. _____________________________________________

8. En un rectángulo, las diagonales son iguales.

4. En la figura se muestra parte del sistema estructural de un puente. El segmento de recta AB es paralelo a CD, el segmento DF es paralelo a CB y el segmento AD es paralelo a EC. ¿Cuánto mide el ángulo CGF? D

C G

48º A

72

Figuras y cuerpos

Matemáticas 1 Book 2020.indb 72

37º E

F

B

geométricos

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Logro ir más

allá

En dibujos, planos y diagramas, los ángulos o lados que son congruentes entre sí se “decoran” (distintivo gráfico) de la misma forma, como se muestra en las siguientes figuras.

1. Reúnete con un compañero para resolver la siguiente situación, utilizando alguno de los criterios LLL, LAL y ALA.

Los triángulos ADB y BEC son equiláteros. Si AE = 2.6 cm y AD = 3 cm, ¿cuánto mide CD? B

C

E

A

D

2. Analicen la información que se obtiene al saber que los triángulos ADB y BEC son equiláteros y decoren los lados y los ángulos congruentes que consideren pertinentes. 3. Muestren que los triángulos EBA y CBD son congruentes. Expliquen con detalle su respuesta. 4. Expliquen cómo obtuvieron cuántos centímetros mide CD.

L7

Matemáticas 1 Book 2020.indb 73

L8

L9

73

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Experimentos

aleatorios

Un experimento aleatorio es aquel en el que no se puede tener certeza de lo que va a suceder, es decir, no se puede predecir su resultado.

Leo + Entra a esta página donde puedes leer más sobre El parentesco del azar, azahar y hazard: cmed.mx/m115

GLOSARIO Azar. Acto que sucede de manera fortuita. Probabilidad. Mide la posibilidad de que ocurra un evento.

Comparo dos o más eventos y determino cuál es más probable que suceda. Existen varias teorías sobre el origen del juego con dados. Una de las más conocidas dice que proviene de las Cruzadas del siglo xii, cuando tropas inglesas, lideradas por Sir William de Tyre (1125 d.C.), asediaban una fortaleza árabe llamada Asart o Hazarth. Durante los descansos de la batalla, su pasatiempo preferido era un juego de dados que habían aprendido en territorio islámico, por lo que le dieron el nombre de “hazard” (que significa riesgo en inglés). Poco a poco este juego se extendió por toda Europa.

George de la Tour (1650-1651)

Exploro

Un grupo de amigos discute sobre quién debe ir a la tienda a comprar lo necesario para la próxima reunión, y después de un rato deciden dejarlo al azar. Cada quien elige un número y lanza los dos dados; después se suman los números de ambos dados y si sale el número elegido, esa persona tiene que ir a la tienda. 1. Observa el número que eligió cada amigo y responde. Natalia: 12 Luis: 8 Ernesto: 10 Julia: 3 yy ¿Qué números se pueden obtener al lanzar dos dados? yy ¿Quién consideras que tiene más probabilidad de ir a la tienda? Explica tu respuesta. yy ¿Quién tiene menos probabilidad de ir a la tienda? yy Si fueras uno de los amigos, ¿qué número elegirías de todos los posibles y por qué? 2. Anota todas las combinaciones con las que se puedan obtener los números que eligieron los amigos. Por ejemplo, (3, 4) y (4, 3) son dos resultados diferentes. yy A partir de lo anterior, ¿sigues pensando lo mismo sobre quién tiene mayor o menor probabilidad de ir a la tienda? ¿Por qué? ¿Cómo determinarías qué evento es más probable que ocurra al realizar un experimento aleatorio? ¿Para qué es importante conocer todos los posibles resultados de un experimento, como el lanzamiento de dos dados? Comenta tus respuestas con tus compañeros.

74

Probabilidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 74

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Descubro y construyo

I. Represento el espacio muestral de un experimento aleatorio y anticipo los posibles resultados.

1. Completen en parejas la siguiente tabla, que representa la suma de todas las combinaciones de posibles resultados al lanzar dos dados comunes de seis caras. Dado 2

Dado 1

1

1

1+1=2

2

1+2=3

2

3

4

5

6

3 4 5 6

yy Si jugarán a lanzar dos dados 20 veces, ¿qué número esperan que salga más veces? ¿Por qué? ______________________________________________________ 2. Ahora, lancen un par de dados 20 veces y registren sus resultados. yy ¿Qué número salió más veces? ¿Coincide con el número que anticiparon? 3. Junten sus resultados con los de otras dos parejas y realicen un solo registro de los 60 resultados. Repitan lo anterior y junten 100 resultados. yy ¿Qué hicieron para registrar y ordenar los resultados? ______________________ yy ¿Qué número salió más veces? ¿Coincide con el número que tiene más resultados en la tabla? ______________________________________________________ 4. Consideren el experimento de lanzar dos monedas (moneda 1 y moneda 2) al mismo tiempo y contesten. yy Al lanzar las dos monedas, ¿será lo mismo el evento (sol, águila) que el (águila, sol)? ¿Por qué? ________________________________________________________ yy ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? ___________________________

GLOSARIO El espacio muestral representa el conjunto de todos los posibles eventos de un experimento aleatorio. El espacio muestral de lanzar dos dados y sumar sus resultados es: E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Diagrama de árbol

A

5. Completen el diagrama de árbol de la derecha para representar el espacio muestral. yy Si lanzan las monedas 50 veces, ¿cuántas veces caerá un sol y un águila? Expliquen por qué. _________________________________________________________ 6. Lancen dos monedas 50 veces al aire y registren sus resultados. yy ¿Su predicción es cercana a los resultados que obtuvieron al lanzar las monedas? yy ¿Cuántas veces saldrán dos águilas si realizan el experimento 100 veces? ¿Por qué?.

En un experimento aleatorio, ¿cómo pueden determinar o anticipar las veces que puede ocurrir un evento? Compartan sus respuesta con otras parejas.

L10

Matemáticas 1 Book 2020.indb 75

S

Utilizo las TIC Ingresa a: cmed.mx/m116 donde podrás representar el espacio muestral de diferentes experimentos aleatorios.

Experimentos aleatorios

75

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M1-1-L10-EXPLORO URNA

II. Anticipo los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Para realizar un experimento aleatorio, la maestra de Tomás construyó la urna de la izquierda. yy Por turnos, cada alumno debía decir un color: azul o verde, y meter la mano a la urna para sacar una pelota. Si le atinaban al color, ganaban un punto. Después de cada turno se regresaba la pelota a la urna. yy Después de 10 repeticiones, quien obtuviera más puntos ganaba el juego. 1. Responde, a partir del experimento anterior, lo siguiente. yy ¿Cuál es el espacio muestral de todos los posibles eventos de sacar una pelota de la urna? ______________________________________________________________ yy ¿Qué color de pelota es más probable que salga? ¿Por qué? _________________ yy Si realizaras cinco veces el experimento, ¿siempre elegirías el mismo color? Explica por qué tomarías o no dicha decisión. yy Un estudiante dice que si se realiza 100 veces el experimento, es muy probable que salga 60 veces una pelota verde. ¿Estás de acuerdo con su postura? ¿Por qué? 2. Retomen el experimento de la urna y realicen en equipos lo que se pide. a. Antes de llevar a cabo el experimento, comenten cuántas veces creen que sucederá cada evento. Después registren en la siguiente tabla la frecuencia absoluta que esperan en cada caso. GLOSARIO Frecuencia absoluta. Número de veces que aparece un valor en un estudio estadístico o experimento aleatorio. Probabilidad frecuencial. Es la probabilidad de los resultados favorables entre el número de experimentos realizados. Por ejemplo, de 50 extracciones de pelotas de una urna, 21 fueron de color azul, por tanto, la probabilidad frecuencial de pelotas azules es: Pf = 21 . 50

76

Frecuencia absoluta esperada Número de veces que se repite el experimento Sacar una pelota verde Sacar una pelota azul 20 50 150

b. Describan cómo decidieron la cantidad de veces que ocurriría cada evento. c. Comparen su tabla con las de otros compañeros. Si existen diferencias, discutan su postura sin corregir sus respuestas. 3. Realicen el experimento anterior de la siguiente manera: yy En una caja opaca introduzcan cinco canicas: tres de un color y dos de otro color, todas del mismo tamaño y textura; también pueden usar papeletas del mismo tamaño: tres que digan “verde” y dos que digan “azul”, y colocarlas dobladas en una bolsa opaca. yy Hagan 150 extracciones, y en la tabla de la siguiente página registren la probabilidad frecuencial después de 20, 50 y 150 extracciones. yy Para optimizar el tiempo, pueden juntar sus resultados con los de otros dos equipos después de hacer el experimento 50 veces (así suman 150 resultados).

Probabilidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 76

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Número de veces que se repite el experimento

Frecuencia absoluta Pelota verde

Pelota azul

Probabilidad frecuencial Pelota verde

Pelota azul

20 50 150 yy Después de realizar el experimento, ¿hay alguna relación entre su predicción y los resultados? ¿En qué caso los resultados fueron más parecidos? yy ¿A qué creen que se deba la relación anterior? 4. Lean la información y respondan. Después de cada extracción, la maestra de Tomás registra el color de la pelota. Luego registra la probabilidad frecuencial a las 20, 50 y 150 extracciones, como se muestra en la siguiente tabla. Frecuencia absoluta

Número de veces que se repite el experimento

Pelota verde

Pelota azul

20

15

5

50

33

150

88

Probabilidad frecuencial

17

Pelota verde 15 20 = 0.75 35 50 = 0.66

Pelota azul 5 20 = 0.25 17 50 = 0.34

62

88 150 = 0.59

62 150 = 0.41

yy ¿Hay alguna relación entre sus resultados y los resultados obtenidos por la maestra? ¿En qué casos resultaron más parecidos?

M1-1-L10 PRACTICA

Comparen sus resultados con los de otros compañeros. Comenten acerca de su similitud y por qué consideran que se asemejan más cuantas más veces se repite el experimento. Registren sus conclusiones.

5. En equipos de tres integrantes, hagan el siguiente juego. Elaboren en cartulina una ruleta como la que se muestra a la derecha. yy Necesitan un lápiz y un clip; con el lápiz como apoyo, harán girar el clip como se muestra. yy Anoten el nombre de los tres colores de la ruleta en papelitos y, al azar, tomen uno para decidir qué color le corresponde a cada uno de ustedes. El juego consiste en hacer girar la ruleta 20 veces y anotar cada vez el color del espacio en el que se detenga el clip. Gana quien tenga el color que más veces haya salido. yy ¿Qué color tiene más posibilidades de ganar? yy ¿Cuántas veces creen que saldrá cada color? yy Si realizan el juego 100 veces, ¿cuántas veces creen que saldrá cada color? 6. Realicen el juego 20 veces como se sugiere. Después, junten sus resultados con los de otros 4 equipos (para tener 100 resultados) y comparen el registro con su respuesta anterior. yy En qué casos la probabilidad es más representativa de las condiciones del experimento: ¿en 20 repeticiones o en 100? ¿Por qué?

L10

Matemáticas 1 Book 2020.indb 77

Paso 11 Paso

Paso 22 Paso

Paso 33 Paso

Experimentos aleatorios

77

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III. Anticipo la probabilidad frecuencial de la ocurrencia de un evento a partir de una gráfica y registro los resultados en una tabla de datos.

Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que pueden modelarse con un experimento aleatorio. Por ejemplo: en una oficina hay 6 hombres y 8 mujeres, de los cuales 4 hombres y 3 mujeres usan lentes. Los empleados de la oficina representan a la población que se va a estudiar en el experimento aleatorio GLOSARIO 1. Responde, en equipos, a partir de la información anterior. yy ¿Qué información se puede obtener al realizar el experimento aleatorio? yy ¿En qué forma creen que es conveniente registrar los resultados del experimento? ¿Por qué? yy Si el experimento se realiza 100 veces, ¿cuántas veces creen que salga una papeleta con una mujer que no usa lentes? Justifiquen su respuesta. yy Un alumno dice que al realizar el experimento 100 veces, la probabilidad de frecuencia esperada para el evento “hombres que no usan lentes” es de 45 veces de 100. ¿Están de acuerdo con su opinión? ¿Por qué? yy Si se realiza el experimento 200 veces, ¿qué evento se espera que ocurra 60 veces aproximadamente? Argumenten su respuesta. _____________________ _________________________________________________________________________ Uso de lentes entre mujeres y hombres 2. Lean la información y resuelvan. 50 Para simular el caso anterior 50 se colocaron papeletas en una 40 40 urna, una porcada persona. La 30 gráfica de la derecha muestra 30 los resultados obtenidos al ex- 20 20 traer una papeleta de la urna, 10 10 registrar el resultado y regresar el papel. yy ¿Cuántas veces se realizó el Hombres que Mujeres que Hombres que Mujeres que usan lentes usan lentes no usan lentes no usan lentes experimento? yy ¿Por qué creen que se dieron así los resultados del experimento? Veces que se repitió el evento

Población. En estadística, es un conjunto de sujetos o elementos que presentan características comunes.

3. Completa la tabla a partir de la información de la gráfica anterior. Probabilidad frecuencial Hombres que usan lentes

78

Mujeres que usan lentes

Hombres que no usan lentes

Mujeres que no usan lentes

¿Qué sucede con la probabilidad frecuencial entre más veces se repite un experimento aleatorio? Discutan con otros compañeros para llegar a acuerdos y registren sus conclusiones. ________________________________________________ _________________________________________________________________________

Probabilidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 78

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Utilizo las TIC

IV. Represento gráficamente la probabilidad frecuencial de un experimento aleatorio y lo comparo con mis predicciones.

1. Retomen el experimento anterior y, en equipos, realicen lo que se pide. Organicen al equipo en parejas. Cada pareja debe elaborar papeletas que representen a los personajes del experimento, una por cada persona. Tomen una papeleta, registren el resultado y regresen el papel a la urna. yy Entre todos deben realizar 100 y 200 veces el experimento; cada pareja hará los que le corresponda para contar con los experimentos que se piden. 2. Antes de realizar el experimento, tracen las gráficas que muestren, en cada caso, el número de veces que esperan que suceda cada uno de los cuatro eventos. 3. Realicen el experimento siguiendo las instrucciones. Al final, tracen las gráficas correspondientes. yy ¿Hay alguna relación entre las gráficas de la probabilidad frecuencial esperada y la que obtuvieron al realizar el experimento?

1. Ingresa a: cmed.mx/m117, donde podrás simular el juego de lanzar dos dados y sumar los resultados además de obtener la gráfica correspondiente. 2. Aquí puedes ver, de manera interactiva, lo que has aprendido en esta lección. Selecciona “Azar y probabilidad” y disfruta mientras aprendes. cmed.mx/m118

Comparen sus resultados con los del grupo. ¿Qué sucede con las gráficas de la probabilidad frecuencial a medida que se repite más veces el experimento? Registren en una sola gráfica los resultados obtenidos.

Como lo habrán notado, en los experimentos aleatorios no se puede tener certeza de lo que sucederá, pero conocer el espacio muestral o la probabilidad frecuencial nos permite tomar decisiones sobre futuros resultados al volver a realizar el experimento, aunque estos, en muchos casos, pueden variar. 4. Ahora, consideren el evento de lanzar un dado y una moneda al mismo tiempo. Construyan en el espacio de la derecha, el diagrama de árbol que muestre los posibles resultados del experimento. yy Si realizarán el experimento, ¿qué resultado elegirían? ¿Por qué? yy Realicen el experimento 50 veces y registren sus resultados. yy Junten sus resultados con los de otros equipos. ¿Qué sucede con la probabilidad frecuencial de cada evento entre más veces se repite el experimento? Registren sus conclusiones.

Construye aquí el diagrama de árbol

Practico

1. Considera el evento de lanzar un dado y obtener: Un número par. Un número impar. a. Registra el espacio muestral de los eventos anteriores. b. Realiza el experimento 50 y 200 veces. 2. Antes de realizar el experimento, anota arriba la probabilidad frecuencial que esperas obtener para cada evento. 3. Realiza el experimento y registra la probabilidad frecuencial. yy ¿Tu predicción se parece a los resultados que obtuviste? yy ¿En qué caso los resultados de ambos eventos son más parecidos? ¿Por qué consideras que sucede?

L10

Matemáticas 1 Book 2020.indb 79

Experimentos aleatorios

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Un experimento aleatorio es aquel en el que no se puede tener certeza de lo que va a ocurrir. 2. El espacio muestral representa el conjunto de todos los posibles eventos de un experimento aleatorio. 3. La probabilidad frecuencial es el número de veces que ocurre un evento al realizar un experimento aleatorio.

1. Considera el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo. Completa el siguiente diagrama de árbol que describe el espacio muestral del experimento. Considera “águila” (A) y “sol” (S).

Moneda 2

A

Moneda 1 A

Moneda 3 yy ¿Qué evento es más probable que suceda al lanzar las tres monedas: que salgan tres soles o que salgan dos soles y un águila? yy Si realizaras el experimento, ¿qué opción elegirías: tres soles, tres águilas, dos soles o dos águilas?

2. En una urna se tienen cuatro bolas rojas, R1, R2, R3 y R4, y una bola blanca, B. El experimento consiste en extraer dos pelotas, registrar el resultado y regresar las pelotas a la urna. yy ¿Cuántos resultados distintos pueden ocurrir? Anótalos. yy ¿Qué evento es más probable que suceda: que salgan dos bolas del mismo color o dos de diferentes colores? yy Si se repite el experimento 200 veces, ¿cuál sería la probabilidad frecuencial de que salgan dos pelotas rojas? 3. Inventa una situación que corresponda a cierta población y que pueda representarse con un experimento aleatorio. a. Describe la forma de modelar el experimento para hacer la simulación. Decide cuántas veces lo realizarás y anticipa las veces que esperas que suceda cada evento. b. Decide la forma más correcta de representar la probabilidad frecuencial que esperas para cada evento. c. Después realiza el experimento y registra la probabilidad frecuencial en una tabla y en una gráfica de barras.

80

Probabilidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 80

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Logro ir más

allá

Sin duda, los juegos con dados nos dan un sinfín de posibilidades para realizar divertidos experimentos aleatorios. Por ejemplo: se tienen los siguientes tres dados de seis caras, que resultan especiales ya que sus caras contienen los números que se muestran:

Dado rojo:

Dado azul:

Dado verde:

yy Se lanzan los tres dados al mismo tiempo y se suman los números que salgan. yy Antes de lanzar se tiene que elegir “par” o “impar”, según la suma que se crea que saldrá en los dados. * ¿Qué opción elegirías? ¿Por qué? 1. Representa en un diagrama de árbol todos los posibles resultados de lanzar los tres dados. 2. Anota cuántas veces crees que saldrá par si lanzas los dados 50, 100 y 150 veces. 3. Para simular la actividad, elaboren en equipos los tres dados en una cartulina a partir del modelo de la derecha. También pueden pintar las caras de un dado común. 4. Elijan “par” o “impar” y realicen el juego 50, 100 y 150 veces. Registren sus resultados. Gana quien haya obtenido el mayor número de resultados favorables.

L10

Matemáticas 1 Book 2020.indb 81

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Evaluemos lo aprendido

Reconoce tus emociones Comparte aquí tus reflexiones sobre el texto: "Agua que ves" y las emociones que provocó en ti.

Itacate

Revisa tu Itacate de evidencias antes de realizar tu evaluación.

I. Selecciona la opción correcta. Compara tus respuestas y procedimientos con un compañero.

1. El martes Carolina le prestó a Daniela $248.00 para que se comprara una blusa. El viernes, Daniela le pagó $125.00. ¿Cuál de las siguientes expresiones modela la situación de Daniela? b. −248 − 125 c. 248 − 125 d. 248 + 125 a. −248 + 125 2. Luis fue al mercado a comprar medio kilogramo de naranjas, un cuarto de kilogramo de fresa, un kilogramo y tres cuartos de limón y tres cuartos de kilogramo de mango. ¿Cuántos kilogramos pesaba en total la fruta que compró? b. 3.875 kg c. 2.375 kg d. 3.125 kg a. 2.750 kg 3. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? b. 0.125= 3 c. 13 = 1.625 d. 3.75= 15 a. 1 = 2.6 5

25

8

4

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la cuarta parte de la diferencia de dos números cualesquiera? b. 4 (x − y) c. x − y d. x − y a. x − y 4

4

4

1

¿Qué es para tí lo más importante de esta idea?

Cuando bebas agua

5. ¿Cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación 2 x − 0.75 = 8? b. x = 14.5 c. x = 9.25 d. x = 17.5 a. x = 8.75 M1-1-EVALUACIÓN 6. ¿En qué inciso no hay condiciones suficientes para que los triángulos ABC y DEF de la figura sean congruentes?

A

recuerda la fuente…

p

q B

D r

C

x

z

F

y E

a. AB = EF, BC = FD y r = x c. AB = EF, BC = FD y CA = DE.

b. BC = FD, CA = DE y r = x d. p = y, AB = EF y q = z

7. Si se lanza 96 veces un dado, ¿cuántas veces se espera que salga un número impar y cuántas veces un múltiplo de 4? a. 48 veces un impar y 16 veces un múltiplo de 4. b. 48 veces un impar y 24 veces un múltiplo de 4. c. 3 veces un impar y 24 veces un múltiplo de 4. d. 6 veces un impar y 16 veces un múltiplo de 4.

82

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8. Si Juan es 5 años menor que Luis, la relación entre sus edades se puede expresar M1-1-EVALUACIÓN 9 como: b. L + 5 = J c. 5 L = J d. 5 J = L a. L − 5 = J P

9. Si los segmentos P y R son paralelos, ¿cuántos grados mide el ángulo x? a. x = 60º c. x = 120º

60°

100°

b. x = 100º d. x = 40º

R x

10. Don Beto, el carpintero, le pidió a Jaime que fuera a comprar tornillos para fijar una tabla que mide 22.1 milímetros de grueso. En la ferretería le ofrecen tornillos de diversos largos. Si una pulgada equivale a 2.54 cm, ¿de qué largo debe comprar Jaime los tornillos para que atraviesen la madera? a. 1 pulgada 2

b. 7 pulgada c. 3 pulgada d. 5 pulgada 8

4

8

II. Resuelve los siguientes problemas.

Itacate

Registra, en Notas para tu Itacate, qué contextos de las actividades te gustaron más. ¿Cuáles fueron las mejores experiencias al trabajar con tus compañeros? ¿Tiene esto algún valor para tí? ¿Por qué?

1. Laura tenía cinco medias manzanas y le regaló a Claudia una manzana. Pedro 2 le dio 7 mitades, pero entre Javier y Beatriz se comieron tres mitades cadaM1-1-EVALUACIÓN uno. ¿Cuántas manzanas le quedaron a Laura? 2. Ayer compré una cartulina que costaba $9.00, un cuaderno 40° para mí y otro idéntico para Amanda, mi mejor amiga. Si en total pagué $105.00, ¿cuánto costaron los cuadernos? 60° 3. Encuentra la medida de los ángulos internos del paralelogra4.5 cm mo que se muestra en la figura de la derecha, y su perímetro. 7 cm III. En parejas, lean el texto de inicio del Módulo 1 y contesten:

• ¿En qué otras actividades cotidianas de la escuela o la casa utilizan agua? • ¿Cuántos garrafones o fracciones de garrafón estiman que usan diariamente endichas actividades? • ¿Cuántos garrafones o fracciones de garrafón estiman que usan diariamente en casa para su cuidado personal (bañarse, lavarse los dientes, descargar el inodoro)? ¿Y cuántos usan en la escuela? • ¿Cuántos garrafones de agua utilizas diariamente? ¿Y al mes? ¿Y al año? • ¿Cuántos litros consume cada miembro de tu familia al año? En grupo, comenten cómo pueden cambiar sus hábitos para consumir sólo el agua necesaria. Calculen a cuántos garrafones diarios equivaldría ese ahorro. Verifiquen, en parejas, que completaron correctamente los Tomo Nota de este Módulo.

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Autoevaluación Mis logros y metas Como has completado y revisado tu Itacate de evidencias, ya puedes reconocer cómo has aprendido, ahora completa este cuadro. Escribe lo que se pide en cada caso. LO SÉ HACER

LO SÉ INDICADOR DEL LOGRO

Tengo el conocimiento Sí

Aún no

Desarrollé las habilidades para representar y seguir procedimientos Sí

Aún no

Convierto fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproximo algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordeno fracciones y números decimales.

Resuelvo problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Resuelvo problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Analizo la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determino y uso criterios de congruencia de triángulos.

Realizo experimentos aleatorios y registro los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

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LO VALORO

COMENTARIOS

Habilidades del siglo xxi

s Sí

No

¿Cómo lo lograré?

Marca con una (3) las habilidades que consideres que has alcanzado: Confío en mí Percibo mis emociones Soy responsable Muestro empatía Tengo sentido de comunidad Me comunico Colaboro / participo Me adapto Muestro creatividad Muestro curiosidad e interés Tengo iniciativa Soy persistente Planteo metas positivas Resuelvo problemas Manejo la información Uso los medios Manejo la tecnología Soy consciente del mundo natural y social

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Soy un ser del cielo y de la tierra, Cuando bebas agua de truenos y relámpagos, de recuerda la fuente… lluvia y viento, de las galaxias. proverbio chino eden ahbez

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2

o

Módulo

Agua que no ves La mayor parte del agua que consumimos (96%) no la vemos porque está contenida en los procesos para construir, producir, empacar y transportar los bienes y servicios que utilizamos. Esta agua, que ya no está presente en el producto final, se llama agua virtual. Por ejemplo, para producir un kilogramo de carne de res se usan 15 000 litros y para producir un kilogramo de maíz se requieren 1 500 litros, ¡esto equivale a un tinaco por taco! Ahora imagínate la cantidad de agua que se usa para producir ropa, bicicletas, celulares… Y como el agua no es infinita, la que utilizamos para producir todo esto deja de estar disponible para los animales, las plantas y todos los seres vivos de los ecosistemas. El volumen total de agua utilizado para producir todo lo que consumes se llama huella hídrica y su magnitud depende de tus hábitos alimenticios y tus patrones de consumo personales. La puedes calcular multiplicando todos tus alimentos, bienes y servicios por su contenido de agua virtual. • ¿De qué tamaño es tu huella hídrica? ¿Qué puedes hacer para reducirla?

Reflexiona sobre esta nota porque la retomarás en la evaluación final del Módulo. módulo.

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Ruta de Aprendizaje

Eje

Número, Álgebra y Variación

Tema

Multiplicación

Proporcionalidad Ecuaciones

y división

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.

11

12

13

14

15

16

Multiplicación de fracciones

Multiplicación y división de números decimales

Proporcionalidad directa con constante natural

Proporcionalidad directa con constante decimal o fraccionaria

Ecuaciones lineales II

Regla de sucesiones aritméticas

Proyecto

Logro ir más allá

Lección

Aprendizaje esperado

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.

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Forma, Espacio y Medida

Análisis de Datos

Magnitudes y medidas

Estadística

Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

17

18

19

20

21

El enésimo término de una sucesión aritmética

Perímetro de polígonos y área de triángulos y cuadriláteros

Perímetro del círculo

Medidas de tendencia central

Propiedades de la media y la mediana

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Multiplicación de

fracciones Exploro

500 ml 400 ml 300 ml

Calculo la cantidad que representa una fracción de un número entero. Marcela participa como voluntaria en una campaña de alfabetización. Para cerrar el curso, preparó un pastel utilizando la cantidad de leche que se muestra en la taza medidora y 360 gramos de harina, entre otros ingredientes. La receta indica que primero se debe mezclar la mitad de la leche con 23 de la harina y un huevo hasta obtener una mezcla homogénea. Después se agrega el resto de los ingredientes, se coloca todo en un molde y se hornea. yy ¿Qué cantidad de leche utilizó Marcela en la primera mezcla? ________________ yy ¿Qué cantidad de harina utilizó? ________________ yy ¿Cómo obtuviste las respuestas? ________________ yy Marcela también utilizó 34 de una barra de mantequilla de 120 g. ¿Cuánta mantequilla utilizó?

200 ml 100 ml

Compara el procedimiento que seguiste con el de otros compañeros. ¿Cómo se puede calcular una fracción de un número entero? ¿Hubo más de un procedimiento? Descubro y construyo

I. Identifico la multiplicación que permite calcular una fracción de una cantidad.

Durante un evento deportivo escolar, el profesor de la escuela de Aranza llevó 8 botellas de 2 litros de agua y 6 botellas de 3 de litro para hidratar a los competidores. 4 1. Escriban como una suma de fracciones la cantidad de agua en las botellas de 3 de l. 4 Botellas de 34 de l: ________________ yy ¿Qué multiplicación es igual a la suma anterior? yy ¿Qué procedimiento permite obtener el resultado de la multiplicación? yy ¿Qué cantidad de agua llevó el profesor en total? yy De una botella de 2 l tomaron 23 . ¿Qué cantidad de cada litro se consumió? yy Escribe la suma que representa el total de agua consumida: ________________ yy ¿Qué multiplicación representa la suma anterior? yy ¿Qué cantidad representan 23 de 2 l de agua?

90

Comenten lo siguiente: ¿Con qué operación se puede calcular 23 de 2? Expliquen y comenten su respuesta con otros compañeros.

Multiplicación y división

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II. Resuelvo problemas de multiplicación de números naturales por fracciones.

Karla, Lorena y Andrea pertenecen a un equipo de atletismo con capacidades diferentes. Ellas entrenan en una pista de 900 m de longitud. 1. Consideren la situación anterior y respondan. yy Si Lorena da tres vueltas a la pista, ¿qué distancia recorre? yy Si Karla recorre 45 de la pista, ¿sería adecuado calcular la distancia que recorrió como una suma de fracciones iguales? ¿Por qué? yy ¿Qué operación permite conocer la distancia recorrida en x número de vueltas? yy De acuerdo con tu respuesta anterior, ¿qué operación permite conocer la distancia que recorrió Karla? yy ¿El resultado es mayor o menor que 900 m? ¿Por qué? yy ¿Qué distancia recorrió Karla? yy Andrea da 2 vueltas y 23 , ¿qué distancia recorrió? Expliquen cómo obtuvieron la respuesta. Un grupo de atletas entrena en la misma pista y durante su entrenamiento cada uno recorrió la distancia que se muestra en la tabla. 2. Anoten los metros que recorrió cada atleta según el número de vueltas que dieron. Atleta Vueltas

Roberto

Cristina

Verónica

José

Fernanda

1 1

2 3

4

4 3

5 1

2

4

5

4

Distancia (m)

Describan el procedimiento que siguieron para obtener los valores de la tabla. Compártanlo con otros compañeros y validen sus resultados con el maestro. ¿En qué casos es más conveniente uno u otro procedimiento? Practico

Tomo Nota

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica los resultados. 2 × 4 = 5× 9 = 13 × 6 = 3 6 8

Para multiplicar un número natural por una fracción:

2. Yolanda cortó 12 listones de 23 de m cada uno para elaborar moños. ¿Cuántos metros de listón usó? __________________________ 3. Juan Carlos realiza un viaje en carretera de 380 km. Si se detuvo después de recorrer 5 del recorrido, ¿qué distancia le falta para llegar a su destino? __________________ 8 4. Un tinaco de 1 500 l se encontraba a 46 de su capacidad. Si durante la mañana se utilizó 14 de la capacidad del tinaco, ¿cuánta agua le quedó? ______________________

c× a

b

• Se divide ___ entre ___ y el resultado se multiplica por ___. • Se multiplica ___ por ___ y como denominador queda ___, por ser lo mismo que _____ varias veces la misma fracción. ___ ×

/

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III. Resuelvo problemas en los que tengo que trabajar con fracciones. M1-2-L11-DESCUBRO Y CONSTRUYO III

En la fiesta de Melissa se partieron dos pasteles: el que hizo Marcela, que se muestra a la izquierda, y uno que le regaló su madrina, el de la derecha

Marcela partió el pastel que hizo en rebanadas del mismo tamaño, seis rebanadas a lo largo y cinco rebanadas a lo ancho, y le sobraron las rebanadas que se muestran. 1. Anota la fracción, a lo largo y a lo ancho, que representa cada rebanada del pastel. A lo largo: A lo ancho: yy ¿En cuántas rebanadas partió el pastel? yy ¿Qué fracción del pastel representa cada rebanada? 2. Anota la fracción que representan las rebanadas que sobraron a lo ancho y a lo largo. A lo largo: A lo ancho: yy ¿Qué fracción del pastel sobró? yy Si tuvieras que calcular con una operación la parte del pastel que sobró, ¿cómo lo harías? Del pastel que le regaló su madrina, sobraron 35 a lo largo y 34 a lo ancho, como se muestra en la imagen. yy A partir de la imagen, ¿es posible calcular la cantidad de pastel que sobró mediante una suma de fracciones iguales? ¿Por qué? yy ¿Qué parte del segundo pastel sobró? yy ¿Cómo lo determinaste?

92

¿Hay otra manera de calcular la cantidad de pastel que sobró? ¿Cuál? En cada caso, ¿qué relación hay entre los valores de las fracciones que sobraron a lo largo y ancho con la fracción del pastel que representan? ¿Qué multiplicación permite obtener el pastel que sobró en cada caso? Expliquen por qué.

Multiplicación y división

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IV. Calculo fracciones de una fracción.

Alicia realiza figuras en origami y tiene varias Y tiras de papel de 1 m de largo, M1-2-L11-DESCUBRO CONSTRUYO 4 de diferentes colores, para hacer una figura. Ella recortó 43 de la tira roja, 87 de la tira azul y 3 5 de la tira verde, como se aprecia en las siguientes figuras.

1. De cada fracción recortó otra parte para formar su figura, según se indica; es decir, Respuestas usó una fracción de cada fracción: 1 Azul: 2 Verde: 3 Roja: 2 3 4 yy ¿ Qué fracción de un metro representa la parte utilizada en cada tira? Para saberlo, realicen las siguientes actividades. 2. Hagan, en parejas, los trazos necesarios en cada tira para calcular gráficamente las respuestas. yy ¿Qué fracción del total representa 21 de 43 , es decir, qué parte del metro de la tira roja usó Alicia? __________________________________________________ yy ¿Qué fracción del metro de la tira azul utilizó Alicia? ______________________ yy ¿Qué fracción del metro de la tira verde utilizó? __________________________ 3. Describan que hicieron para resolver gráficamente. __________________________ _____________________________________________________________________ 4. Escriban la multiplicación de fracciones que represente qué fracción de cada fracción es la parte recortada en cada tira. Roja: _____ × _____ = _____ Azul: _____ × _____ = _____ Verde: _____ × _____= _____ yy ¿Qué relación hay entre los numeradores de cada pareja de fracciones con el numerador del resultado correspondiente? yy ¿Qué relación hay entre los denominadores de cada pareja de fracciones con el denominador del resultado correspondiente?

¿Con qué procedimiento se puede obtener el resultado de multiplicar dos fracciones? Comparen su respuesta con las de otros compañeros.

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V. Resuelvo problemas de multiplicación de fracciones. M1-2-L11-DESCUBRO 5 de En un despacho de arquitectos están en la etapa de planeaciónY CONSTRUYO de un edificio oficinas. La superficie de la manzana que ocupará el edificio es la parte de color verde en la siguiente imagen. Calle 3

yy ¿Qué fracción de la manzana sobre la Calle 2 ocupará el edificio? _______________________ yy ¿Qué fracción de la manzana ocupará sobre la Av. Juárez? Calle 2 ____________________________ yy ¿Qué fracción de la manzana ocupa el edificio? _____________________________ yy ¿Cómo lo determinaron? __________________________________________________

2. Apliquen la fórmula para el área de un rectángulo y completen la multiplicaM1-2-L11-DESCUBRO CONSTRUYO ción que permiteYobtener el área5-2 que ocupará el edificio. 6 _____ × _____ = 12

Estacionamiento

Tomo Nota Al multiplicar dos fracciones, el resultado es igual a multiplicar numerador por ___________ y _____________ por _______________. Siempre que sea posible, se simplifica el resultado.

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Av. Hidalgo

Av. Juárez

1. Respondan en parejas, con base en la imagen.

La imagen representa el plano del edificio de la actividad anterior. Como pueden ver, el estacionamiento ocupará 51 del terreno; de la parte restante, 41 se usará para áreas verdes y el resto para la edificación.

3. Anoten qué fracción del terreno, a lo largo y a lo ancho, ocupará el edificio. A lo largo:______ A lo ancho:______ yy ¿Qué fracción del terreno corresponde al edificio? yy ¿Qué multiplicación permite obtener el área que ocupará el edificio? yy ¿Qué multiplicación permite obtener la superficie de las áreas verdes? Dividan la figura en las partes necesarias para validar sus respuestas. Discutan su postura con la de otros compañeros y registren en grupo sus conclusiones.

Multiplicación y división

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4. Lean en equipo la siguiente información. Las pistas de los hipódromos tienen diferentes longitudes y generalmente se miden en millas. Por ejemplo, un caballo que da 21 vuelta a cierta pista recorre 17 32 de milla. yy ¿Qué distancia en millas recorre un caballo que da 43 de vuelta a la pista? yy ¿Cómo obtuvieron la respuesta? yy ¿Cuál es la longitud de la pista? 5. Consideren la información anterior y completen la siguiente tabla. Simplifiquen cuando sea posible. Vueltas a la pista

3 5

1 1

2 1

4

2

1 1

3

Distancia (millas)

Practico M1-2-L11-PRACTICA DC5

1. Escribe y resuelve la multiplicación para calcular el área de color de cada figura.

2. ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide 65 m de largo y 1 16 m de ancho? 3. Una camioneta transportaba 34 de tonelada de arena para entregar a diferentes clientes. Si al primer cliente le dejó 13 de la carga, ¿qué fracción de tonelada quedó en la camioneta?

Utilizo las TIC 1. Si tienes una calculadora científica, verifica si opera con fracciones o ingresa a una hoja de cálculo electrónica, y realiza lo siguiente: Elige las celdas A1, B1 y C1; en "Formato de celdas", elige "Número", da clic en "Fracciones" y elige "Hasta 2 dígitos". Después, escribe dos fracciones, una en la celda A1 y otra en B1. En la celda C1 escribe la fórmula: =A1*B1 y da enter para obtener el resultado de la multiplicación. Comprueba las respuestas de la tabla de la actividad 5. Comparte tu experiencia con otros compañeros. 2. Evalúa y refuerza lo que aprendiste en: cmed.mx/m119

4. De un tubo de 4 12 metros, Manuel cortó varios pedazos que representan cierta fracción del tubo, como se muestra en la tabla. Anota la medida que corresponde a cada fracción del tubo cortado. Fracción del tubo

1 4

3 8

1 3

Medida (m)

yy ¿De qué longitud era el tubo que sobró? Describe el razonamiento que seguiste para resolver.

L11 Multiplicación de fracciones

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Multiplicación y división de

números decimales

Exploro

Resuelvo multiplicaciones de números decimales por potencias de 10. Caminar es un ejercicio muy completo que nos ayuda a mantenernos en forma: fortalece el corazón y previene enfermedades cardiovasculares. Los especialistas recomiendan dar 10 000 pasos al día, ya que consideran que es el número mínimo que se necesita para que una caminata sea efectiva: de esta forma, aumentan nuestra defensa inmunológica cuya efectividad se incrementa más de 30%.

Leo +

La maestra pidió a sus alumnos calcular la distancia que recorre una persona al dar 10 pasos si en promedio avanza 0.65 m en cada paso.

¿Realmente se necesitan 10 000 pasos al día para estar en forma? En la página: cmed.mx/m120 encontrarás más información sobre la teoría y el origen de los 10 000 pasos.

yy Calcula la distancia que recorre una persona al dar 10, 100 y 1 000 pasos: 10 pasos

Potencia de 10. Número que se obtiene al multiplicar 10 por sí mismo varias veces. 10 × 10 = 100; 10 ×10 × 10 = 1 000.

1000 pasos

yy ¿Qué distancia recorrerá si cumple la meta de los 10 000 pasos diarios? yy Si una persona da pasos de 1.05 m en promedio, ¿qué distancia recorrerá si camina los 10 000 pasos en un día?

GLOSARIO

100 pasos

Anota el procedimiento que permite obtener el resultado de una multiplicación de un decimal por una potencia de 10, sin hacer operaciones escritas. Realiza algunas operaciones para validarlo. Descubro y construyo

I. Resuelvo multiplicaciones de números naturales por decimales.

Existen en la actualidad dispositivos que miden el número de pasos; algunos se colocan en la muñeca, como si fuera un reloj, como el que se muestra en la imagen. 1. Calculen, en parejas, la distancia que recorren las siguientes personas, de acuerdo con el número de pasos que muestran las pantallas y la medida de cada paso. Número de pasos: 8 904 7 873 6 535 9 025 Medida de cada paso: 0.8 m 0.75 m 0.7 m 0.63 m Distancia recorrida: _____________ _____________ _____________ _____________ yy ¿En algún caso la distancia es mayor que el número de pasos? Expliquen por qué. yy ¿Qué relación hay entre el número de cifras decimales de la medida de cada paso y la distancia recorrida en cada caso?

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Multiplicación y división

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2. Multipliquen el número de pasos por la medida de cada paso sin considerar el punto decimal, por ejemplo: 8 × 8 904. yy ¿En qué se parecen los resultados de cada pareja de operaciones? 3. Resuelvan la primera multiplicación y consideren la relación anterior para obtener el resultado de la segunda operación, en cada pareja. a. 16 × 12 = ______ 16 × 1.2 = ______ b. 8 × 242 = ______ 8 × 2.42 = ______ c. 6 × 84 = ______ 6 × 0.84 = ______ d. 14 × 35 = ______ 1.4 × 3.5 = ______ 4. Escriban un procedimiento para multiplicar un número natural por un decimal. Validen su estrategia con otros compañeros y con el maestro. II. Resuelvo multiplicaciones de números decimales.

1. Conviertan los números decimales a fracción y calculen el área de cada figura. M1-2-L12-DyC II Después, conviertan el resultado a número decimal. 0.9 m

2.34 m2

1.15 m

1.3225 m2

2.6 m

yy ¿Qué relación hay entre las cifras decimales del resultado y las de los factores? yy Si un rectángulo mide 1.2 m de base por 0.94 m de altura, ¿cuál es la medida de su área? yy ¿Cómo obtuvieron el resultado? Establezcan un procedimiento para multiplicar números decimales. Validen sus procedimientos con otros compañeros.

Tomo Nota Para multiplicar números decimales, la operación se hace sin considerar el ____________________; el resultado debe tener tantas ________________ como la suma de las cifras decimales que tengan los dos factores.

Practico

1. Cuando necesitamos hacer una operación mentalmente y no requerimos el resultado exacto, podemos realizar una estimación. Una estimación correcta permite tener control al resolver una operación ya que podemos validar si la respuesta es o no razonable. yy Por ejemplo: en la multiplicación 2.45 × 0.9, ¿el resultado será menor que 2? ¿Por qué? yy ¿Cuál es la mejor estimación de la multiplicación: 3.8 × 2.1: 8 o 9? ¿Por qué? 2. Estima el resultado de las siguientes multiplicaciones de números decimales. b. 3.5 × 8.52 c. 5.6 × 9.1 a. 3.3 × 2.5 yy Realiza las operaciones para validar qué tan acertadas fueron tus respuestas. 3. Considera los siguientes recuadros como pantallas de una báscula digital y anota el total a pagar en cada caso. Peso (kg)

Precio × (kg)

0.785

$28.60

Total ($)

Peso (kg)

Precio × (kg)

2.160

$42.50

L12

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Total ($)

Multiplicación y división de números decimales

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III. Encuentro familias de divisiones que permiten obtener el mismo resultado.

La maestra pidió a sus alumnos idear una división cuyo cociente fuera igual a 4.5 con residuo cero. Algunas divisiones fueron las siguientes. Al revisar las respuestas, la maestra se dio cuenta de que una división no era correcta. Andrea 18 ÷ 4 =

Armando 67 ÷ 15 =

Lorena 45 ÷ 10 =

Itzel 180 ÷ 40 =

Manuel

Francisco

31.5 ÷ 7 =

26.1 ÷ 5.8 =

1. Identifica el error y responde: yy ¿Quién cometió el error? ¿Qué hiciste para saberlo? yy ¿Qué relación hay entre los valores de la división de Lorena y el cociente? yy ¿Qué relación hay entre los números utilizados por Andrea e Itzel? 2. Plantea tres diferentes divisiones cuyo cociente sea 5.2 con residuo cero. Utiliza números naturales y decimales. b. ______________. c. ______________ a. ______________. yy ¿Qué hiciste para establecer las operaciones?

Valida si tus divisiones permiten obtener el cociente esperado, utilizando la calculadora. A partir de lo visto, ¿podrías establecer un procedimiento para resolver divisiones con números decimales?, ¿cuál sería?

IV. Resuelvo divisiones entre potencias de 10.

Un microscopio es un instrumento que nos permite observar objetos muy pequeños que no se pueden ver a simple vista. Constituye una herramienta esencial en diferentes disciplinas, como la Biología, puesto que permite observar tejidos, células y sus estructuras. Los aumentos más comunes de algunos microscopios son: 10x, 20x, 40x, 100x y 400x, donde x representa la medida real de los objetos. 1. Resuelve, con apoyo de un compañero.

GLOSARIO Micra (μm). Unidad de medida de longitud equivalente a 0.001 mm. 1 mm = 1 000 μm.

98

Durante una práctica de Biología un grupo de alumnos analizaba diferentes células. Al observar una en el microscopio, con un aumento de 10x, la célula medía 18 micrómetros (micras) de diámetro. yy ¿Cuál era la medida real de la célula? _____________________________________________ yy Imaginen que para observar esa misma célula, que se ve de 18 μm, se usó el aumento de 100x. ¿Cuál sería su medida real? ____________________________________ yy ¿En qué se parecen las cifras de las respuestas obtenidas y en qué difieren las cantidades? ¿Por qué se da la diferencia? _________________________________________

Multiplicación y división

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2. Completa la siguiente tabla, que muestra el tamaño del diámetro de algunas células al ser observadas en el microscopio con un aumento de 100x. Medida aumentada (μm)

250

81.4

90.5

120.2

Medida real (μm) Medida real (mm)

Utilizo las TIC Para practicar divisiones y multiplicaciones por potencias de 10, entra a la página: Cálculo mental con números decimales cmed.mx/m121

yy ¿Qué procedimiento permite resolver divisiones entre potencias de 10 mediante cálculo mental? 3. Apliquen el procedimiento que encontraron y resuelvan las siguientes divisiones. 3.35 ÷ 10 = 33.5 ÷ 100 = 335 ÷ 1 000 = yy ¿Qué relación hay entre los cocientes obtenidos? yy ¿Cómo se pueden obtener el dividendo y el divisor de la segunda y tercera divisiones a partir de los correspondientes de la primera división? Comparen su procedimiento para dividir entre potencias de 10 con los de otros compañeros. Reflexionen. ¿Podrían afirmar que las últimas divisiones son equivalentes? ¿Por qué? Discutan lo anterior y registren sus conclusiones. V. Resuelvo divisiones de números naturales entre decimales.

Alberto cortó un tubo de 15 m en tramos de 0.75 m. Para saber cuántos tramos obtuvo, se resuelve la división 15 ÷ 0.75. yy Si hubiera cortado el tubo de 15 m en tramos de 1 m de longitud, ¿cuántos tramos habría obtenido? yy Si los cortes fueran de más de 1 m, ¿obtendría más de 15 tramos o menos? ¿Por qué? yy En el caso expuesto, ¿Alberto obtendrá más de 15 tramos o menos? Expliquen su respuesta. Para resolver la división, tres alumnos propusieron lo siguiente. ∗ Alicia piensa que a 15 se le puede restar iteradamente 0.75 hasta obtener cero. El resultado son las veces que se resta 0.75. ∗ Mauricio dice que puede buscar un número que multiplicado por 0.75 dé 15. ∗ Ximena cree que puede multiplicar el dividendo y el divisor (15 y 0.75) por la misma potencia de 10, para convertir 0.75 en un número entero y así resolver una división de números enteros. 1. Discutan en equipos los procedimientos propuestos. Después, respondan. yy ¿Los procedimientos de Alicia y Mauricio son correctos? yy ¿Qué resultado se obtiene en cada caso? yy Si aplican el procedimiento de Ximena, ¿qué división resultaría? ¿Cómo la obtuvieron? yy ¿Cuál es el resultado de la división? ¿Coincide con el de los otros dos procedimientos? yy ¿Por qué se tienen que multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número? yy ¿El cociente de la división fue mayor o menor que 15? Expliquen por qué sucedió esto.

L12

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Multiplicación y división de números decimales

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2. Anticipen en cuáles de las siguientes divisiones el cociente será mayor o menor que el dividendo. Expliquen por qué lo creen. 6 ÷ 0.75 = 42 ÷ 3.5 = 25 ÷ 0.8 = 3. Resuelvan las divisiones considerando los tres procedimientos de la página anterior. Que cada quien siga un procedimiento diferente. Al final, comparen sus resultados. yy ¿Qué operaciones obtuvieron con el procedimiento de Ximena? yy ¿Por qué funciona el procedimiento de Ximena para resolver divisiones que involucran números decimales? yy ¿Qué dificultades observan en los procedimientos de Alicia y Mauricio? 4. Sigan el procedimiento de Ximena y resuelvan la división 33 ÷2.4 en el siguiente espacio.

_____

__________

yy ¿Podrían utilizar el procedimiento de Alicia en esta división? Expliquen por qué. Validen con su calculadora los resultados de todas las divisiones originales. ¿Por qué el cociente no se modifica al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número? ¿En qué casos el cociente es mayor que el dividendo? Discutan en grupo lo anterior y registren sus conclusiones. VI. Resuelvo problemas de división entre números decimales.

En una fábrica producen quesos de diferentes tamaños, que se dividen y guardan en paquetes del mismo peso para su venta. Leo + ¿Sabías que el queso de bola es un producto orgullosamente chiapaneco? En el municipio de Ocosingo se producen más de 2 000 unidades mensuales que se empacan y distribuyen a otros municipios; ésta es una fuente de ingresos local. cmed.mx/m122 Localicen, en el mapa de Chiapas, dónde se encuentra Ocosingo.

100

1. Resuelvan, en pareja, las siguientes situaciones. Un queso de 3.75 kg se dividió en paquetes de 0.375 kg, mientras que con otro de 2.75 kg se hicieron paquetes de 0.55 kg. yy ¿La cantidad de paquetes de cada uno de los quesos es mayor o menor que la cantidad representada por el peso de cada queso? yy Si se convierten las medidas a gramos, ¿qué operaciones permiten obtener las respuestas? yy ¿Cuántos paquetes se pueden formar en cada caso? yy ¿Cambia el número de paquetes al operar con kilogramos o con gramos? yy ¿Qué relación hay entre las conversiones anteriores y el procedimiento de Ximena para dividir números decimales?

Multiplicación y división

Matemáticas 1 Book 2020.indb 100

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2. Analicen los procedimientos que se siguieron para resolver las siguientes divisiones. Para resolverlas, cada una se convirtió en una división equivalente.

1.625 ÷ 0.65 = 2.5

7.84 ÷ 2.45 = 32

51.36 ÷ 3.21 = 16

2.5 32 16 65 162.5 245 7840 321 5136 325 490 1926 0 0 0 yy ¿Por qué número se multiplicaron el divisor y el dividendo en la primera operación? yy ¿Todas las operaciones fueron bien resueltas? yy Si hubo algún error, ¿en qué operación se cometió y cuál fue?

Tomo Nota Al dividir números decimales, se multiplican el dividendo y el __________________ por

una potencia de 10 para obtener una división ______________ de números enteros o de un decimal entre un entero: 8.15 ÷ 9.5 = ____÷ 950

3. Analicen el siguiente procedimiento para dividir 6.21 ÷ 4.6 : yy Al recorrer el punto, ¿ en qué tipo de número se convirtió 1.35 el divisor? 4 . 6 . 6 . 2 .1 yy ¿Por qué se recorre el punto decimal una cifra a la derecha 1 6 1 en ambos valores? 2 3 0 0 yy ¿A qué operación es equivalente el movimiento anterior? yy ¿En qué se parece al procedimiento de la actividad 2? yy ¿Por qué funciona este procedimiento?

2.55 ÷ 1.2 = ____÷ 12

4. Resuelvan las siguientes divisiones a partir del procedimiento anterior. 7.4

28 . 8 6

3.12

14.04

1.625 5.2

Validen sus resultados con otros compañeros. Registren en su cuaderno el procedimiento para resolver las divisiones de números decimales que realizaron en la actividad 4. 1. Calcula la altura de las siguientes figuras. El número dentro de cada figura reM1-2-L12-PRACTICO 1-DYC VI presenta la medida de su área. 85 m2

65.55 m2

12.5 m

13.8 m

Utilizo las TIC

2. Carlos cargó gasolina en su carro. La bomba marcó $359.52 por 22.4 litros. ¿Cuál es el precio de cada litro de gasolina? 3. De un costal de frijol de 33.75 kg, se quieren llenar bolsas de 0.750 kg. ¿Cuántas bolsas se pueden llenar? 4. Marcela compró 2.3 kg de jamón. Si el ticket marcó $104.88, ¿cuánto pagó por cada kilogramo?

L12

Matemáticas 1 Book 2020.indb 101

Para practicar la división de decimales entra a esta página, imprime los ejercicios y resuélvelos: cmed.mx/m123

Multiplicación y división de números decimales

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Para multiplicar un número decimal por potencias de 10, basta recorrer el punto decimal tantas cifras a la derecha como ceros tenga la potencia correspondiente; si es necesario se agregan ceros. 2. Para multiplicar números decimales se procede como si fueran números enteros, y en el producto se considera la suma de cifras decimales de ambos factores. 3. Dos divisiones son equivalentes cuando tienen el mismo cociente. 4. Al dividir un número entre una potencia de 10, se recorre el punto decimal a la izquierda tantas cifras como ceros tenga la potencia de 10. 5. En una división, si el divisor es menor que la unidad, el cociente será mayor que el dividendo. 6. Al dividir un número entero entre uno decimal, o un decimal entre otro decimal, se convierten a divisiones equivalentes de números enteros o de un decimal entre un entero.

102

1. Resuelve las multiplicaciones.

3.45 × 10 = _____

100 × 0.065 = _____ 12.015 × 1 000 = _____

2. Completa la siguiente tabla. Redondea a dos cifras decimales. Considera que el precio de la gasolina en este momento es de $16.15 y calcula lo que se pagó en cada caso. Número de litros

10

12

22.65

30.8

Total a pagar

3. Usain Bolt, el hombre más rápido del planeta, posee el récord mundial de 100 m planos. El día que lo obtuvo, corrió aproximadamente 10.43 metros por segundo. yy En promedio, ¿qué distancia recorrió en 2 segundos? _______________________ yy ¿Y en 3.5 segundos? _______________________ yy ¿El récord fue mayor o menor que 10 segundos? Explica por qué. ___________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ yy ¿Qué tiempo se registró como récord mundial? _______________________ 4. Si tienes 2 costales de semillas, de arroz y de lentejas, y quieres llenar un número determinado de bolsas, como se muestra en la tabla, ¿cuál es el peso de cada bolsa? Semillas

10 bolsas

50 bolsas

100 bolsas

Arroz: 85.5 kg. Lentejas: 0.124 t

5. Gabriela pagó $816.75 por cierta cantidad de dólares. Si cada dólar le costó $18.15, ¿cuántos dólares compró? yy ¿Cuántos dólares se pueden comprar con $1 225.00? _______________________ 6. Julio es joyero y compró 708.75 gramos de plata en barras que pesan 1 onza. Si cada onza equivale a 28.35 gramos, ¿cuántas onzas compró?

Multiplicación y división

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Logro ir más

allá

En los tanques o tinacos de agua y de cisternas, el control automático de nivel ayuda a cuidar este vital líquido, evitando que se derrame o desperdicie por descuidos. Su funcionamiento es más simple de los que parece: La cisterna llena el tanque o tinaco, por medio de una bomba que vierte agua de manera constante y en forma automática, cuando el sistema detecta que el tinaco se encuentra en su nivel mínimo. La bomba se detiene automáticamente cuando el tinaco se encuentra en su nivel máximo.

Suministro casa

Tanque Suministro calle

La información general de un sistema automatizado es la siguiente: Nivel máximo de la cisterna: 3 450 litros Nivel máximo del tinaco: 1 800 litros Nivel mínimo del tinaco: 215 litros Agua que bombea la cisterna al tinaco: 69.4 l por minuto. Agua que entra a la cisterna: 26.5 l por minuto.

Bomba

1. Completa las siguientes tablas que muestran el llenado del tinaco y el agua que bombea la cisterna en cierto tiempo. Después, a partir de la sucesión que se genera en cada caso, anota la regla de cada una. a) Llenado del tinaco Regla: ______________________ Tiempo (min)

1

2

3

4

Cisterna

5

6

Agua en el tinaco (l )

b) Agua que bombea la cisterna Tiempo (min) Agua que bombea la cisterna (l )

1

Regla: ______________________ 2

3

4

5

6

69.4

yy ¿Qué expresión algebraica permite conocer el tiempo (n) en el que se llena el tinaco? _____________________________________________________________ yy ¿En cuánto tiempo se llena el tinaco? __________________________________ yy Si la cisterna está a su máxima capacidad cuando se empieza a llenar el tinaco y recibe agua al mismo tiempo, ¿cuánta agua tendrá después de un minuto? yy Considerando la situación anterior, ¿qué regla define la cantidad de agua en la cisterna después de n minutos? _______________________________________ yy ¿Cuánta agua habrá en la cisterna cuando se llene el tinaco? ________________

L11

Matemáticas 1 Book 2020.indb 103

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Proporcionalidad directa con

constante natural

Leo + Aquí encontrarás: Cómo usar las marchas de una bici. cmed.mx/m124

La bicicleta es un medio de transporte con ventajas notables: no contamina y es económica, ayuda a la salud y puede ser muy placentero transportarse en ella. Su uso en las grandes ciudades ha ido en aumento. Cadena Plato Piñón

Exploro

Conozco la relación de engranaje de una bicicleta de velocidades. ¿Te has fijado que las bicicletas de velocidades tienen varios discos en los pedales y en la rueda trasera? Podemos decir que hay velocidades suaves y duras, según como se sientan los pedales. La distancia que recorras en una vuelta de pedal depende de la combinación de dos engranes diferentes: los platos y los piñones, que son ruedas dentadas. Los platos están conectados a los pedales y los piñones están unidos a la llanta trasera. La cadena une estas ruedas, sosteniéndose de los dientes de ambas, de modo que al pedalear el plato gira, jala la cadena y ésta a su vez hace girar el piñón y la llanta trasera. Los cambios o velocidades de la bici consisten en cambiar la cadena de un plato a otro o de un piñón al otro; pero la suavidad o dureza de las velocidades depende de la “relación de engranaje” que está dada por:

Relación de engranaje =

Número de dientes del plato Número de dientes del piñón

Por ejemplo, si la cadena está sobre un plato con 52 dientes y un piñón con 13 dientes, la relación de engranaje es 52 , es decir, 4:1, lo que significa que el piñón da 4 vueltas 13 por cada vuelta que dan los pedales. Ahora bien, si la cadena se mueve a un plato y a un piñón de 28 dientes por igual, la relación de engranaje será 28 28 , es decir 1:1. Entonces la rueda trasera da una vuelta por cada vuelta de los pedales. yy ¿Con cuál de las relaciones anteriores crees que se sientan más duros los pedales? yy Si quieres subir una colina, ¿cuál de las relaciones anteriores te conviene? yy Si quieres alcanzar más velocidad, ¿cuál de las relaciones anteriores utilizarías?

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Comparte tus respuestas y tus razonamientos con un compañero. ¿La relación de engranaje es una razón? ¿Por qué? Expliquen, en un texto breve, cómo debe ser la razón entre los dientes del plato y del piñón de una bicicleta según se necesite mayor fuerza o mayor velocidad.

Proporcionalidad

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Leo +

Descubro y construyo

I. Pienso en razones.

1. Consideren el siguiente teclado. yy ¿Cuál es la razón entre el número de teclas negras y el número de teclas blancas? yy ¿Cuál es la razón entre el número de teclas negras y el total de teclas? Este patrón de teclas se repite en teclados más grandes. yy ¿Cuántas teclas negras esperarías encontrar en un teclado de 42 teclas blancas? Explica tu respuesta. __________________________________________________ yy ¿Cuántas teclas negras esperarías encontrar en un teclado de 72 teclas en total? Explica tu respuesta. __________________________________________________

Si quieres conocer el nombre de hombre o de mujer más común en cada estado de la república, o si quieres saber qué tan común es tu nombre, consulta: Éstos son los 100 nombres más comunes en todo el país. cmed.mx/m125

2. El siguiente cuadro muestra los veinte nombres más populares en México desde 1900 hasta 2015, según el Registro Nacional de Población. Nombres 1. Juan 11. Miguel Ángel 2. José Luis 12. Pedro 3. José 13. Alejandro 4. María Guadalupe 14. Manuel 5. Francisco 15. Margarita 6. Guadalupe 16. María del Carmen 7. María 17. Juan Carlos 8. Juana 18. Roberto 9. Antonio 19. Fernando 10. Jesús 20. Daniel yy ¿Cuál es la razón entre los nombres que empiezan con J y los que no empiezan con J? yy ¿Cuál es la razón entre los alumnos de tu clase cuyo primer nombre aparece en la lista y los alumnos cuyo primer nombre no aparece? Practico M1-2-13-PRACTICA

1. La razón entre la cantidad de flores y el total de cuadrados en el tapete es: _____ 2. La razón entre los cuadros verdes y las flores en el tapete es: _____ 3. Escribe un enunciado para cada una de las siguientes razones, en el que establezcas alguna razón entre los elementos del tapete. b. 4:25 a. 5:2

Una _____________ es la comparación entre dos cantidades. Hay diversas formas de expresarla. Por ejemplo, si en un grupo 2 de cada 3 alumnos usan lentes, expresamos la razón entre los alumnos que usan lentes y el total de alumnos como 2:3 o 2 , es decir, decimos 3 que las 2 partes del grupo 3 usan lentes. En una razón, el orden en que se enuncian los términos que la forman es importante. No es lo mismo 2 de cada 3, 2 , que 3 de cada 2, 3 . 3

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 105

Tomo Nota

Proporcionalidad directa con constante natural

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II. Comparo razones.

1. En la Kermes de la escuela se instalarán varios puestos de venta de agua de fruta. M1-2-L12-VASOS Los alumnos de primero de secundaria se dividieron en equipos y cada uno preparó M1-2-L12-VASOS agua de sabor utilizando distintas cantidades de concentrado natural de fresa, agua y cucharaditas de azúcar, Equipo A como se muestra en la figura. Equipo B Equipo A

Equipo B

Equipo A

Equipo B

Equipo Equipo CC

Equipo D Equipo D

Equipo C

Equipo D

Explica cómo podrías comparar las cantidades que se utilizaron de cada uno de los ingredientes. _______________________________________________________ yy ¿Qué equipo preparó el agua de fruta con sabor más intenso a fresa? ¿Y qué equipo con sabor menos intenso? ______________________________________ yy ¿En qué equipos la relación entre la cantidad de azúcar y el concentrado de fresa es mayor? ¿Y en qué equipo es menor? ___________________________________ yy ¿En qué equipo la relación entre la cantidad de agua y la cantidad de azúcar es mayor? ¿Y en cuál es menor? __________________________________________

Compara tus respuestas y tu procedimiento con un compañero. ¿Qué procedimiento les pareció más sencillo? En alguna de las comparaciones que hicieron, ¿encontraron equipos en los que la relación entre los ingredientes fuera igual? ¿En cuáles?

III. Comparo razones y resuelvo problemas.

Resuelvan, en parejas, los siguientes problemas. 1. Marco quiere comprar plumones. En la papelería “La Pape” la caja con 24 plumones cuesta $114.00. Buscó en otras papelerías y encontró que en la papelería “Arcoíris” la caja de 18 plumones cuesta $88.20 y en la papelería “El Compás” la caja de 20 plumones cuesta $94.00. yy ¿En qué papelería le dan más plumones por su dinero? Expliquen su respuesta.

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Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 106

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2. Patricio, Hugo, Clara y Xóchitl hicieron una competencia con sus autos de control remoto. La siguiente tabla muestra los resultados. Distancia recorrida (m)

Tiempo del recorrido (s)

Hugo

Dueño

3

4

Clara

8

9

Patricio

10

12

Xóchitl

2

3

yy ¿Qué auto creen que es el más rápido? ¿Y cuál el más lento? yy Si el auto de Patricio recorre 10 metros en 12 segundos, ¿qué fracción de metro recorre en 1 segundo? yy Si la rapidez de un objeto es la razón entre la distancia recorrida y el tiempo que emplea en hacerlo, ¿cuál de los autos es más rápido? ¿Y cuál es el más lento? Expliquen su respuesta. yy ¿La respuesta anterior coincidió con lo que creías respecto al auto más rápido y al más lento? 3. En un aviario hay siete guacamayas por cada cuatro tucanes y cinco loros cabeza amarilla por cada tres tucanes. yy Si hubiera12 tucanes, ¿cuántas guacamayas habría? ¿Y cuántos loros cabeza amarilla? ___________________________________________________________ yy ¿Cuál es la razón entre el número de guacamayas y el número de loros cabeza amarilla? ____________________________________________________________ yy Si en el aviario hay en total 84 guacamayas, ¿cuántos loros cabeza amarilla hay? _____________________________________________________________________ Comparen sus respuestas y sus procedimientos con otra pareja. Juntos elaboren dos tablas: en una comparen el número de guacamayas con el número de tucanes y en la otra el número de loros cabeza amarilla con el número de tucanes. A partir de las tablas, resuelvan la situación. Practico

1. Mariana, Ilse y Sofía comparan quién de ellas lee más. Mariana lee 7 libros en 9 meses, Ilse lee 3 libros en 2 meses y Sofía lee 2 libros en 4 meses. yy ¿Cuál de las tres lee menos libros al mes? ¿Y cuál de las tres lee más libros al mes? 2. Mario tiene una bolsa de chocolates. Por cada 5 chocolates con menta hay 8 con naranja y por cada 2 chocolates con naranja hay 5 con almendras. Si en la bolsa hay 20 chocolates con menta, ¿cuántos chocolates con almendras hay?

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 107

Utilizo las TIC Entra a esta página, donde podrás practicar el cálculo de la razón de proporcionalidad con magnitud entera: cmed.mx/m126

Proporcionalidad directa con constante natural

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M1-2-13-PERRITO

IV. Calculo valores faltantes en figuras hechas a escala.

GLOSARIO Escala. Es la relación entre una medida real y la del dibujo que representa expresada como una razón. Por ejemplo, en un plano una escala 1:100 significa que 1 cm representado en el plano corresponde a 100 cm en la realidad.

a

1. El maestro pidió hacer dos ampliaciones a escala del dibujo que se muestra. a. Completa la tabla a partir de la relación entre las medidas que se muestran. Medidas del dibujo original (cm)

d

b

c

Medidas del dibujo de Laura (cm)

Medidas del dibujo de Lalo (cm)

a = 1.5 b=2

6

c = 0.5

1.5

d=3 yy ¿Cómo obtuviste las medidas del dibujo de Laura? ¿Y las medidas del dibujo de Lalo? _______________________________________________________________ yy ¿Cuál es la escala del dibujo de Laura? ¿Y cuál la de Lalo? __________________ V. Resuelvo problemas de proporcionalidad directa con constante natural.

Recuerda que una relación entre dos conjuntos de cantidades es directamente proporcional si al aumentar una cantidad de un conjunto al doble, al triple o x veces, la cantidad correspondiente del otro conjunto aumenta al doble, al triple o x veces. Resuelvan, en parejas, las siguientes actividades. 1. Nadia prepara bolsas con dulces y juguetes para regalar a sus amigos en su fiesta de cumpleaños. Todas las bolsas tienen la misma cantidad de objetos de cada tipo. a. Completen la tabla. Cantidad de objetos Cantidad de bolsas

Pelotas

3

Paletas

Caramelos

Muñecos

12

5 7 10

14

21 10

b. Para estar segura de que no le falten bolsas de regalo, hará 35. yy Si cada caja de paletas contiene 50 piezas, ¿cuántas cajas debe comprar? yy Si cada paquete de muñecos contiene 12 piezas, ¿cuántos paquetes debe comprar? yy Si cada caja de pelotas contiene 8 piezas, ¿cuántas cajas debe comprar? yy Si cada bolsa de caramelos contiene 75 piezas, ¿cuántas bolsas debe comprar?

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Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 108

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2. Los engranes de la imagen forman parte de una máquina y giran, de manera sincronizada, en sentidos opuestos. El mayor con 60 dientes y el menor con 20. Número de vueltas del engrane mayor

Número de vueltas del engrane pequeño

1

60

39

20

54 5

a. Calculen para completar la tabla. yy Si el engrane mayor da 4 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas da el engrane menor en 15 segundos? __________________________________________________ yy Si el engrane mayor da 10 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas da el engrane menor en un segundo? _________________________________________________ 3. Un automóvil se desplaza con movimiento uniforme a razón de 70 km por cada 42 minutos de recorrido. yy ¿Cuántas horas y cuántos minutos tardará en recorrer 280 km? ______________ yy ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 4 horas con 12 minutos? _________________ 4. Carolina es ceramista y hace macetas para un pequeño vivero. Todos los días trabaja de manera constante y en los últimos 60 días ha entregado 840 macetas. yy ¿Cuántos días tardará en hacer 1 092 macetas? yy ¿Cuántas macetas deberá hacer en un año bisiesto?

Comparen sus respuestas con las de otra pareja. Analicen los procedimientos que utilizaron, ¿son iguales? ¿Existen varias maneras de resolver problemas de proporcionalidad directa? Si es así, mencionen dos de ellos. Practico

1. Julio compró 3 kg de manzana y pagó $112.50. Completa la tabla. Cantidad (kg)

Total a pagar ($)

2 3 6 8 12

2. En una fotografía Miguel mide 2.8 cm y Alejandra, 7.5 cm. Si en una ampliación de la fotografía Miguel mide 14 cm, ¿cuánto mide Alejandra?

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 109

Proporcionalidad directa con constante natural

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Proporcionalidad directa con

constante decimal o fraccionaria

Exploro

Leo + En esta página puedes aprender a escribir tus textos de manera impecable utilizando adecuadamente la tipografía: Introducción a la tipografía, la imprenta en casa. cmed.mx/m160

Conozco la proporcionalidad con constante entera o decimal. Una fuente tipográfica o tipo de letra se define como el estilo o apariencia de un grupo completo de caracteres, números y signos regidos por ciertas características comunes. Los procesadores de texto de las computadoras permiten dar formato al texto al modificar la fuente (Arial, Verdana, Times Roman, etc.) y su tamaño, que se mide en puntos o pt (8 pt, 12 pt, 20 pt, etcétera). 1. La tabla muestra la relación de proporcionalidad que guardan el tamaño de la fuente y la altura de la letra M en la fuente Arial. Complétala.

Letras

M

Tamaño de fuente (pt)

24

Altura de la letra (mm)

6

M

M

M

48

M

M

18 3

9

2.25

yy ¿Cuál es la razón entre la altura de la letra y el tamaño de la fuente? yy ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar el tamaño de la fuente para la M que tiene 9 mm de altura? ¿Y cuál para encontrar el tamaño de la fuente para la M que tiene 2.25 mm de altura? yy ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar la altura de la letra M para el tamaño de fuente de 18 pt? 2. En un documento de texto, Ernesto eligió una fuente tipográfica y escribió la letra E en 20 puntos. Imprimió el documento al 100% y la letra mide 4 mm de altura. yy Completa la tabla. Recuerda que la altura de la letra y el tamaño de la fuente son proporcionales. Tamaño de fuente (pt) Altura de la letra (mm)

8

14

20

26

4

yy ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar la altura de la letra a partir del tamaño de la fuente? Comparte tus respuestas y tus procedimientos con un compañero. Si las cantidades de un conjunto son directamente proporcionales a las del otro conjunto, ¿los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad entre la cantidad correspondiente del otro conjunto son iguales? ¿Cómo se llama esta constante?

110

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 110

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Descubro y construyo

6 personas

I. Resuelvo problemas de proporcionalidad directa con constante decimal.

Harina

125 g

Azúcar

200 g

Resuelve, en pareja, los siguientes problemas. 1. Patricia encontró la receta de un pastel de zanahoria para 6 personas. Ella hará uno para 9 personas por su cumpleaños y otro para 4 personas que le encargó una prima.

Zanahoria rayada cruda

250 g 2

Huevo (piezas) Nuez picada

50 g

Bicarbonato

10 g

Canela

10 g

Sal

5g

Completa la tabla. Redondea a la unidad. yy ¿Qué procedimiento utilizaste para obtener la cantidad de ingredientes para el pastel de 9 personas? ¿Cómo obtuviste este número? . ¿Y si multiplicas por 32 obtienes el mismo resultado? Personas 9 4 yy ¿Qué procedimiento utilizasHarina te para obtener la cantidad de Azúcar ingredientes para el pastel de Zanahoria rayada 4 personas? ¿Cómo obtuviste cruda este número? ¿Y si multiplicas Huevo (piezas) por 23 obtienes el mismo reNuez picada sultado? Bicarbonato Canela Sal 36

48

2. Considera dos engranes unidos, el menor con 36 dientes y el mayor con 48 dientes, como se muestra en la figura. yy ¿Cuál es la razón, expresada como número decimal, entre el número de dientes del engrane menor y el número de dientes del engrane mayor? yy Si el engrane menor da una vuelta, ¿cuántas vueltas da el engrane mayor? yy Si el engrane menor da 8 vueltas, ¿cuántas vueltas da el engrane mayor? Explica tu respuesta. yy Si el engrane menor da 12 vueltas, ¿cuántas vueltas da el engrane mayor?

Comparen sus procedimientos con los de otra pareja. ¿Existen distintas maneras de encontrar el número de vueltas que dan los engranes? ¿Cuáles? Escriban dos maneras distintas de resolver la situación.

Tomo Nota Dos conjuntos de magnitudes son __________________ si al multiplicar o dividir una de las magnitudes del primer conjunto por un número, la correspondiente en el segundo conjunto queda multiplicada o dividida por ese mismo número; y si al dividir cualquier valor del segundo conjunto entre su correspondiente valor del primer conjunto, se obtiene siempre el _____________ valor. Esta constante se llama razón o constante de proporcionalidad directa.

Practico

1. Sonia compró 12 chocolates iguales que pesan 100 gramos y pagó $54.00. ¿Cuánto pesan 15 chocolates del mismo tipo y cuánto debe pagar por ellos? 2. Don Pancho vendió 1.5 toneladas de papa en $33 750.00. Si vende 6.3 toneladas de papa, ¿cuánto le deben pagar?

L14

Matemáticas 1 Book 2020.indb 111

Proporcionalidad directa con constante decimal o fraccionaria

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II. Opero con factores de proporcionalidad fraccionarios. M1-2-L14-DYCII

1. La imagen muestra las medidas de dos reproducciones de un rectángulo. 25 cm 15 cm 10 cm 6 cm

5 cm 2 cm Original

Reproducción 1

Reproducción 2

yy ¿Cómo se pueden obtener las medidas de los lados de la reproducción 1 a partir de las medidas de los lados del rectángulo original? yy ¿Cómo se pueden obtener las medidas de los lados de la reproducción 2 a partir de las medidas de los lados de la reproducción 1? El número por el que hay que multiplicar las dimensiones de uno de los rectángulos para obtener las dimensiones del otro se llama factor de proporcionalidad. yy ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre el rectángulo original y la reproducción 2? 2. Carlos le quiere regalar a Gustavo una fotografía, que tiene las medidas que se muestran, del viaje que hicieron juntos al Nevado de Toluca. En una tienda pidió que hicieran una ampliación al doble. Al verla decidió que era muy grande, por lo que solicitó que la redujeran a la tercera parte y la imprimieran. yy ¿La fotografía que regaló Carlos era más grande o más pequeña que la original?

Tomo Nota

b

b 2

a 2

× ___

112

15 cm

Determina dos procedimientos distintos para encontrar las dimensiones de la fotografía final. yy ¿Cuáles son las dimensiones de la fotografía final? yy ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre la fotografía original y la ampliación? ¿Y entre la ampliación y la reducción? yy ¿Qué operación aplicarías a los factores de proporcionalidad de la ampliación y la reducción para obtener el factor de proporcionalidad entre la original y la regalada? yy ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre la fotografía original y la regalada?

El factor de proporcionalidad o de escala es el _________________ por el cual hay que multiplicar las dimensiones de una figura para obtener las dimensiones de la ampliación o de la reducción. M1-2-L14-TOMO NOTA a

12 cm

Compara tus respuestas con las de un compañero. Comenten cuáles son las diferencias y similitudes entre la constante de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad o de escala, y cómo se puede encontrar uno a partir del otro.

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 112

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III. Resuelvo problemas de proporcionalidad directa con factor fraccionario.

Resuelvan, en parejas, las siguientes situaciones. 1. Claudia trazó un pentágono irregular cuyos lados miden 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm y 18 cm. Marco amplió el pentágono de Claudia con un factor de escala de 74 y Pilar hizo una reducción del pentágono de Claudia con un factor de escala de 25 . yy Calcula la longitud de cada uno de los lados de los pentágonos de Marco y Pilar y completa la tabla. Figura de Claudia (cm)

Figura de Marco (cm)

Figura de Pilar (cm)

6 8 10 12 18

2. Hugo, Paco y Luis tienen que hacer un trabajo en Lado Lados equipo. El maestro dibujó un triángulo isósceles desigual iguales cuyo lado desigual mide 24 cm y los lados iguales, Hugo 27 cm 36 cm 18 cm. Hugo hizo una copia a escala del triángulo 12 cm Paco 16 cm del maestro; a su vez, Paco hizo una copia a escala 15 cm Luis 20 cm de la figura de Hugo, y Luis copió a escala el dibujo de Paco. La tabla muestra las dimensiones de los triángulos de cada persona. yy Determina el factor de proporcionalidad que aplicó cada uno a su reproducción, de acuerdo con el triángulo que recibió. Hugo: × Paco: × Luis: × yy ¿Cómo utilizarían los factores de proporcionalidad anteriores para encontrar el factor de proporcionalidad que existe entre las dimensiones del triángulo del maestro y la reproducción que hizo Luis? yy ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre el dibujo del maestro y el dibujo de Luis? ¿Cómo comprobarías tu respuesta? 3. La tabla muestra las medidas de dos reproducciones de un rectángulo. Anota en los círculos los factores de proporcionalidad que se indican con las llaves.

Tomo Nota

Largo (cm) Ancho (cm)

×

Original

12

8

Reproducción 1

3

2

Reproducción 2

9

6

× ×

4. En una granja se necesitan 40 kg de forraje para alimentar a cuatro vacas. ¿Cuántos kilogramos de forraje se necesitarían para alimentar a 22 vacas?

L14

Matemáticas 1 Book 2020.indb 113

La aplicación de un factor n/m de proporcionalidad equivale a multiplicar la magnitud correspondiente por n y después dividir entre m; o viceversa, primero dividir entre m y luego _______________ por n.

Proporcionalidad directa con constante decimal o fraccionaria

113

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IV. Conozco el factor de proporcionalidad recíproco o inverso.

Si amplías una fotografía, el factor de proporcionalidad que regresa la fotografía a su M1-2-L14-DYCIV tamaño original se llama factor de proporcionalidad recíproco o inverso. 1. La imagen muestra la reducción, a sus 23 partes, del dibujo original de un rompecabezas, el Tangram.

b

c yy ¿Las dimensiones del Tangram del dibujo original son más grandes o más pequeñas a que las dimensiones de la reducción? yy Si a = 8 cm, b = 4 cm, c = 2.4 cm y d d = 5.8 cm, ¿qué medidas tienen estos segmentos en el dibujo original? a = _____ cm b = _____ cm c = _____ cm d = _____ cm yy ¿Cuál es el factor de proporcionalidad inverso que te permitió encontrar las medidas de la figura original? 2. La tabla muestra las longitudes en centímetros de los lados de dos cuadriláteros. Lado

Cuadrilátero 1 (cm)

Cuadrilátero 2 (cm)

A

6

2.4

B

4

1.6

C

0.5

0.2

D

5

2

yy ¿Qué factor de proporcionalidad se aplicó a las medidas de los lados del cuadrilátero 1 para obtener las medidas de los lados del cuadrilátero 2? yy ¿Qué factor de proporcionalidad se aplicó a las medidas de los lados del cuadrilátero 2 para obtener las medidas de los lados del cuadrilátero 1? yy Si a las dimensiones del cuadrilátero 1 se les aplica el factor de proporcionalidad que encontraste para reducirlo y luego se les aplica el factor de proporcionalidad que encontraste para ampliarlo, ¿qué dimensiones obtienes? Explica tu respuesta. ______________________________________________________________

114

Discute con un compañero qué harían para obtener las dimensiones de un dibujo original si la reducción o ampliación del dibujo tiene un factor de proporcionalidad de mn .

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 114

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V. Resuelvo problemas con factores de proporcionalidad recíprocos o inversos.

Resuelve, en pareja, los siguientes problemas. 1. Un microscopio óptico compuesto tiene dos lentes: el lente del objetivo, que aumenta 60 veces el tamaño del objeto, y el lente ocular, que aumenta 20 veces el tamaño de lo visto a través del objetivo. ____________________________________ yy Si en el microscopio el diámetro de un glóbulo rojo mide 12 600 micras (μm), ¿cuántas micras mide en la realidad? _____________________________________ yy Si en el microscopio la longitud de un espermatozoide es de 48 000 μm, ¿cuántas micras mide en la realidad? _________________________________________ yy ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar las medidas reales? ___________ ____________________________________________________________________ M1-2-L14-DYC V-2

2. Las dimensiones de las casas son proporcionales. A C

Tomo Nota El factor recíproco o inverso de un factor de proporcionalidad m es n ya que al multiplicarlos se obtiene 1. ×

4 cm

m n

1.6 cm Reproducción

2 cm 3 cm

2.4 cm

×

B Figura 1

Figura 2

yy ¿Qué factor de proporcionalidad se aplicó a la figura 2 para obtener la figura 1? Explica tu respuesta. __________________________________________________ yy ¿Cuánto miden los lados de la figura 1? A = _____ cm B = _____ cm

C = _____ cm

Practico

1. Completa los diagramas. ×

× 9

120

×

×

L14

Matemáticas 1 Book 2020.indb 115

0.72

0.12

Proporcionalidad directa con constante decimal o fraccionaria

115

28/04/20 1:09


Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. La constante de proporcionalidad entre dos conjuntos de magnitudes puede ser entera, decimal o fraccionaria. 2. Para obtener la constante de proporcionalidad entre dos conjuntos de magnitudes que son directamente proporcionales, se divide una magnitud del segundo conjunto entre la magnitud correspondiente del primer conjunto. 3. El factor de proporcionalidad o de escala es el número por el cual hay que multiplicar las dimensiones de una figura para obtener las dimensiones de la ampliación o de la reducción. 4. La aplicación de n de un factor m proporcionalidad equivale a multiplicar la magnitud correspondiente por n y después dividir entre m, o viceversa, primero dividir entre m y luego multiplicar por n. 5. Todo factor de proporcionalidad tiene un factor recíproco que deshace los cambios. 6. El factor recíproco o inverso de un factor de proporcionalidad m es n , ya que al n m multiplicarlos se obtiene 1.

116

1. Balam gasta 3 partes de su sueldo mensual en actividades de entretenimiento. De 8 esa cantidad, la mitad la utiliza para asistir a conciertos. Si Balam gana $8 000.00 al mes, ¿cuánto dinero gasta en ir a conciertos? 2. Los dos hexágonos son proporcionales. Encuentra las longitudes que faltan en ambas figuras y anótalas en sus respectivos lados. M1-2-L14-EVALÚO

5 cm 4 cm

3 cm ____ cm

____ cm

3.6 cm 6.5 cm

____ cm

____ cm

1.8 cm 5.5 cm Polígono A

____ cm Polígono B

3. En los viajes de Gulliver, Brobdingnag es el país de los gigantes y Lilliput el de los enanos. En el primero todo es 12 veces más grande y en el segundo todo es 12 veces más pequeño de lo que es en nuestro mundo. ¿Cuántos centímetros medirías en Brobdingnag y cuántos en Lilliput? 4. En una máquina hay cuatro engranes unidos, A, B, C y D, que cumplen lo siguiente: a. Si A da una vuelta, B da 1 vuelta. 2 b. Si B da una vuelta, C da tres vueltas. c. Si C da una vuelta, D da 1 de vuelta. 3 yy Si el engrane A da una vuelta, ¿cuántas vueltas da el engrane D? yy ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre los engranes A y D? 5. Con 15 kilos de duraznos se preparan 12 kilos de mermelada y con 8 kilos de mermelada se preparan 40 pasteles. yy ¿Cuántos kilos de duraznos se necesitan para hacer 8 kilos de mermelada? yy ¿Cuántos kilos de mermelada se necesitan para hacer 28 pasteles?

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 116

28/04/20 1:09


Logro ir más Pies 20 200

Metros 6 60

20 100

6 30

20 70

6 21

20 50

6 15

allá

20 40 20 30

6 12 6 9

20 25 20 20

6 7.5 6 6

La prueba de E o carta E giratoria para medir la agudeza visual se utiliza con personas que no tienen la capacidad para leer el alfabeto latino; la letra “E” en la primera fila mide 88.7 mm de altura. Para esta prueba se debe identificar la orientación de las letras a cierta distancia. Lograr esto con la línea correspondiente a 6 m indica una visión 6 normal, pero si alguien puede identificar únicamente las letras de la línea 6 m, esto 12 quiere decir que tiene que estar a 6 metros para leer algo que, con vista normal, se podría leer a 12. yy Si tuvieran que realizar la prueba en menos de 6 m, ¿qué harían? yy Si tuvieran que elaborar un cartel para un pasillo de 5 m, ¿qué cantidades de metros asignarían a cada una de las líneas del cartel? ¿Cuál sería la altura de la primera letra? yy Si tuvieran que elaborar un cartel para un pasillo de 3.5 m, ¿qué cantidades de metros asignarían a las tres primeras líneas del cartel? ¿Cuál sería la altura de la primera letra? yy Determinen en grupo la proporción para nombrar cualquier línea del cartel a una distancia de x metros. yy Juan dice que para pasillos que miden menos de 6 m de largo se puede utilizar un espejo plano. Investiguen a qué se refiere Juan y ¡explíquenlo!

L13

Matemáticas 1 Book 2020.indb 117

L14

117

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Ecuaciones

lineales II Exploro

Reconozco dos ecuaciones equivalentes. La balanza A está en equilibrio.

M1-2-L15-BALANZAS VS A

Balanza A Balanza A

Balanza

3 3

3

1

1 1

M1-2-L15-BALANZAS VS A

M1-2-L15-BALANZAS VS A Balanza A M1-2-L15-BALANZAS VS A Balanza A

3 3 1 3 Balanza B 3 3 1 3 yy ¿Cuál o cuáles de las siguientes balanzas representan 3 3 1 una situación equivalente 1 1 3 Balanza A

M1-2-L15-BALANZAS VSa Ala M1-2-L15-BALANZAS VS A Balanza A Balanza A

3

Balanza A

3

3 3

3 Balanza C Balanza C

3 3 3 3

Balanza C

3 3

Balanza Balanza B B

M1-2-L15-BALANZAS VS A

3 3 1 3 3 1

Balanza B

1 1 1 1

1

3

Balanza E

1

3 33 1 13 33 3 1 3 1 3 3 1 3

3

1.5

3

0.5 0.5

3

0.5

3

0.5 0.5

Balanza E

Balanza D Balanza D Balanza D

3

Balanza D

1.5

0.75 0.75

1

1.5 0.75

3

3

3

3

Balanza C

33 0.53

Balanza F Balanza F

3

3

Balanza B

3

3

3

1

Balanza C 1Balanza 3C

3 3

3 3

1 1

Balanza E Balanza E

1.5 1.5

Balanza C

de la balanza A?

Balanza E

1

3 3 3 3 31 3 3 1 3

1

0.75 0.75 0.75

Balanza G

0.75 0.75

1

3 3

Ba

Balanza D

3 3 1 33 3 11 3 Balanza D 3 3 1 3 3

Balanza Balanza EE

B

0.75

1.5 1.5

3

0.5

0.5

B

3 3

0.5 0.5

Balanza F

3

3

3 31 1 3

3 3 3

Balanza G

1

3 3 1 3 Balanza Balanza FF 3 3 1 3 3

1

3 3

1 3

Balanza Balanza GG

0.75

Balanza G

0.75

0.75

0.75

Balanza0.75 G1

0.75

0.75

1

1

yy Explica las diferencias entre la balanza A y las balanzas que no representan la 0.75 1 misma situación.

Compara tus respuestas con las de un compañero. Por cada balanza, escriban una ecuación y resuélvanla. Comparen la solución de la ecuación de la balanza A con las demás. ¿Son iguales las soluciones de ecuaciones que representan la misma situación?

118

Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 118

1

Balanza F

0.75 Balanza G Balanza G

1 1 1 1 3 0.5

Balanza E

3

1

Balanza C

B

Ba

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1 1

Ba


Descubro y construyo

I. Investigo qué operación se aplicó a cierta ecuación para obtener una ecuación equivalente.

Para encontrar una ecuación equivalente a una ecuación dada, se aplica la misma operación en ambos miembros de la ecuación. En los siguientes casos, se realizaron diferentes operaciones en ambos miembros de la igualdad para obtener ecuaciones equivalentes a la primera ecuación. 1. Anoten, en pareja, las operaciones que se plantearon para obtener la correspondiente ecuación equivalente. a. 6x + 4 = 28 3x + 2 = 14 ________ 6x = 24 ________ b. 5y + 2 = 10.4 5 25y + 2 = 52 ________ 5y = 10 ________

Miembros de la ecuación. Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

c. 4z – 46 = z – 7 4z – 12 = z +27 ________ 3z – 46 = –7 ________ d. w + 5 = 11 2 w + 10 = 22 ________ w + 12 = 18 ________ 2

2. Encuentren la solución de la última ecuación de cada inciso. Comprueben sus respuestas. y= ____ z= ____ w= ____ x= ____ 3. Comprueben que las soluciones anteriores son solución de las correspondientes ecuaciones equivalentes.

GLOSARIO

Tomo Nota Dos ecuaciones son equivalentes si tienen ______________ solución. Por ejemplo, la ecuación 2x + 1 = 9 es equivalente a la ecuación 2x = ___.

Comparen sus resultados y sus procedimientos con los de otra pareja. Si se aplica una operación a un solo miembro de cierta ecuación, ¿la ecuación que se obtiene es equivalente a la original? ¿La solución de la ecuación original sería la misma que la solución de la ecuación obtenida? Practico

1. Escribe una ecuación equivalente a la ecuación 2x – 3 = x + 1. Explica qué ope5 raciones aplicaste en ambos miembros para obtenerla. 2. A partir de la ecuación que se da, aplica en ambos miembros la operación que se indica. Repite el proceso con cada ecuación que obtengas. 5x – 7 = 3x + 1.5 Restar 3x ______________________ Sumar 7 _______________________ Dividir entre 2 _________________

L15

Matemáticas 1 Book 2020.indb 119

Ecuaciones lineales II

119

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II. Identifico cómo se obtuvo una ecuación equivalente.

Para resolver una ecuación de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad, se buscan ecuaciones equivalentes que sean más simples que la original para encontrar el valor de la incógnita. 1. Escribe, a partir de la imagen, la operación que aplicó cada persona en ambos miembros de la ecuación para obtener las subsecuentes ecuaciones equivalentes.

Luis

Carolina

7x−6=3x+90 9x+120=10x+ 116 7x=3x+96 9x+120 − 116 =10x 4= x 4x=96 x=24

Juliana

Martín

5y−11=103−y 6y+12.5= −25+7y 6y−11=103 −y+12.5= −25 6y= 114 −y= −37.5 y= 19 y= 37.5

Luis Carolina Primer paso: Primer paso: Segundo paso: Segundo paso: Tercer paso: Tercer paso: Juliana Martín Primer paso: Primer paso: Segundo paso: Segundo paso: Tercer paso: Tercer paso:

a. Comprueba si el valor de cada incógnita es la solución de la ecuación. yy ¿El procedimiento de Carolina es correcto? ¿Alguien cometió algún error? ¿Cuál?

Tomo Nota Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo término, se obtiene una ecuación _______________.

120

b. Analiza la ecuación equivalente que se obtiene en cada paso. yy ¿Cuál es la intención del primer y el segundo pasos? yy ¿Cuál es la intención del tercer paso? yy ¿Existe alguna diferencia entre el procedimiento de Carolina y el de los demás? ¿Cuál?

Escribe junto con un compañero un procedimiento que les permita resolver una ecuación de primer grado como las anteriores. Compartan su procedimiento con otra pareja y juntos determinen cuál les parece más sencillo.

Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 120

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III. Resuelvo ecuaciones lineales encontrando ecuaciones equivalentes.

1. Con un compañero, resuelvan paso a paso las ecuaciones. a. 3x− 2 = 2x − 5

b. z+ 3 = z + 9

c. 14 − 1.5a = 3 + 1.25a

d. 34 w − 6 = 14 w + 8

2

Compara tus respuestas y tus procedimientos con los de un compañero. ¿Coinciden? Si hay diferencias, verifiquen si los errores son de cálculo o de razonamiento. IV. Encuentro el error.

El maestro pidió resolver las ecuaciones que se muestran en la imagen. Santiago Julieta 5x − 75 = x + 125 −3y + 12 = 24 − 7y −3y + 12 + 7y = 24 − 7y + 7y 5x − 75 − x = x + 125 + x 4y + 12 = 24 5x − 75 = 125 4y + 12 − 12 = 24 + 12 5x − 75 + 75 = 125 + 75 5x = 200 4y = 36 y=9 x = 40 1. Circulen con color rojo la ecuación en la que Santiago y Julieta cometieron el primer error. Corrijan los errores y encuentren la solución de cada ecuación. x = ______ y = ______ Comparen sus respuestas con otra pareja. Discutan cuáles son los errores que cometieron Santiago y Julieta y revisen si ustedes no cometieron ese tipo de error en la actividad III.

L15

Matemáticas 1 Book 2020.indb 121

Ecuaciones lineales II

121

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V. Resuelvo ecuaciones del tipo ax + b = cx + d.

Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba tu respuesta. a. 13x + 6 = 7x + 11 ________________________ Comprobación b. 19 + 4y = 1 – 5y ________________________ Comprobación c. 14w – 7 = –27 – 35w ________________________ Comprobación d. 8x + 4 – 2x = 7 – 3x + 11 ________________________ Comprobación VI. Planteo ecuaciones y las resuelvo.

Completen en parejas las tablas con la información de cada problema. 1. Enrique y María recibieron una gratificación en su trabajo al final del año. A Enrique le entregaron 6 vales y $10 000.00 y María recibió 4 vales y $50 000.00. Si los vales son de la misma denominación y los dos recibieron igual pago, ¿a cuánto asciende cada vale?, ¿cuánto recibió de compensación cada trabajador? Nombre Enrique

Valor del vale

Dinero en vales

Dinero en efectivo

Total de dinero recibido

x

María

Tomo Nota Partes de una ecuación del tipo ax + b = cx + d: Término independiente (no tiene incógnita) ax + b = cx + d Término lineal (tiene la incógnita)

122

a. Escriban la ecuación que modela la situación. yy Resuelvan la ecuación. yy ¿Cuál es el monto de cada vale? b. Comprueben si la solución de la ecuación es solución del problema. yy ¿Cuánto recibió de compensación cada trabajador?

Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 122

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2. Alicia tiene un álbum de futbol y el número de estampas repetidas es el cuádruple del número de estampas que tiene Eduardo. Para que tuvieran la misma cantidad, Alicia debería tener 3 estampas menos y Eduardo 15 estampas más. ¿Cuántas estampas tiene cada uno? Nombre

Número de estampas

Número de estampas para que tengan la misma cantidad

Alicia Eduardo

a. Escriban la ecuación que modela la situación. yy Resuelve la ecuación. ¿Cuántas estampas tiene Eduardo? yy Comprueben si la solución de la ecuación es solución del problema. ¿Cuántas estampas tiene Alicia? Practico

En este Sudoku, todo número entero del 1 al 9 está una y sólo una vez en cada columna, en cada renglón y en cada bloque. Contesta las siguientes preguntas y, cada vez, coloca en la casilla indicada el número que corresponde a la respuesta. Cuando todas M1-2-L15-PRACTICA 6 las preguntas se contesten sin errores, será posible terminar el Sudoku. 1. Resuelva las siguientes ecuaciones y expresa cada solución como fracción irreducible. A

a. 21x – 35 = 7x Coloca el denominador de la solución en G7 y E1. b. 13x + 6 = 7x + 11 Coloca el numerador de la solución en B5 y su denominador en B8. c. –2x – 3 = x – 7 Coloca el numerador de la solución en F4 y E3 y su denominador en E8 y F5. d. –3x – 1 = 4x – 2 Coloca el numerador de la solución en D4 e I5 y su denominador en B7 y E9.

1

2

5

6 3

B C

5

E

8

6

7

8

9

2 4

3

7 5

1

6

F 9

G 6

1

9 8

2 5

I

4 3

1

D

H

3

9 5

5

8 2

2

7 8 3

4

5

2. Resuelve el siguiente problema y coloca tu respuesta en D5 y C3. En una canasta hay 41 frutas: plátanos, mangos y una piña. Si hay 4 veces más plátanos que mangos, ¿cuántos mangos hay?

L15

Matemáticas 1 Book 2020.indb 123

Ecuaciones lineales II

123

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 2. Si se aplica la misma operación en ambos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente. 3. Para resolver una ecuación lineal se deben encontrar ecuaciones equivalentes más sencillas. 4. A través del planteamiento de ecuaciones lineales se pueden resolver situaciones en las que es necesario encontrar el valor de una incógnita. 5. Las ecuaciones lineales modelan problemas.

1. Para cada caso, selecciona las ecuaciones que sean equivalentes a la ecuación dada. a. − 7x + 2 = 3 − 2x − 9x = 1

−5x = 1

−14x + 4 = 3−2x

−7x = 1 − 2x

12y − 1 = y + 12

3 y= 1 y− 1 4 2 2

b. 3 y − 1 = 1 y + 1 4

2

2

3y −2=2+4

1 y− 1 =1 4 2

2. Escribe dos ecuaciones que sean equivalentes a cada ecuación. ____________ ____________ 2.4x + 1= 0 2x = − 1 ____________ ____________ 3. Resuelve las siguientes ecuaciones y escribe la solución. a. 7x – 3 = 21x − 9

x = _____

b. 7w – 12 + 2w = 25 − 9w + 35

w = _____

4. Para cada problema selecciona la ecuación que lo modela. 3x + 7x = 7 3x + 4x = 7 3x = 4x + 7 3x + 7x = 4

4x = 3x + 7

3x + 4 = 7

En una escuela hay dos areneros, uno en forma de cuadrado y el otro en forma de triángulo equilátero. Si la longitud de sus lados es igual y la suma de sus perímetros es de 7 m, ¿cuánto miden sus lados? En una escuela hay dos areneros, uno en forma de cuadrado y el otro en forma de triángulo equilátero. Si la longitud de sus lados es igual y la diferencia de sus perímetros es de 7 m, ¿cuánto miden sus lados? Paco compró tres estampas y Mila compró siete. Si entre los dos gastaron $4.00 y todas las estampas valían lo mismo, ¿cuánto valía cada estampa? Paco compra tres estampas y Mila compra cuatro más que Paco. Si entre los dos gastaron $7.00 y todas las estampas valían lo mismo, ¿cuánto valía cada estampa?

124

Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 124

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Logro ir más

allá

Liberación de palomas mensajeras en el Jardín de Luxemburgo, Francia. Grabado coloreado.

Hoy día, con los sofisticados sistemas de comunicación que permiten enviar mensajes en forma inmediata a cualquier lugar del mundo, resulta difícil imaginar que en algún momento de la historia uno de los medios más rápidos para enviar mensajes fueron las palomas mensajeras. Un gavilán vio un grupo de palomas y les dijo, “¡Adiós, mis cien palomas!”, a lo que una de ellas respondió: “No vamos cien pero nosotras más nosotras más la mitad de nosotras juntas y la mitad de la mitad de todas nosotras y usted, señor gavilán, sumamos cien”. ¿Cuántas palomas formaban la bandada?. • • • • •

Expresa la situación por medio de una ecuación. Compara tu planteamiento con el de un compañero. ¿Son iguales? Encuentren juntos cuántas palomas formaban la bandada. Comprueben si la solución de la ecuación es la solución del problema. Comparen en grupo sus procedimientos y determinen cuál les pareció más sencillo.

L15

Matemáticas 1 Book 2020.indb 125

125

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Regla de sucesiones

aritméticas Exploro

Leo + Si quieres saber cómo actuar en caso de sismo, ingresa a esta página, donde se puntualiza que si nos encontramos dentro de un edificio, “no utilicemos los elevadores ni las escaleras durante el sismo”: cmed.mx/m127

Calculo la regla de una sucesión aritmética y encuentro términos faltantes. ¿Sabes cómo actuar en caso de sismo o de algún otro desastre natural? Es muy importante que conozcas las medidas preventivas o de seguridad en caso de algún siniestro: dónde y cómo resguardarte, identificar los señalamientos que indican por dónde puedes evacuar, ubicar las zonas de resguardo fuera de los lugares cerrados, etc. Esos pequeños detalles pueden salvar muchas vidas. Las escaleras de emergencia de los edificios deben estar ubicadas de tal manera que permitan a las personas que se encuentran dentro del inmueble acceder a ellas de una manera rápida y segura. Por ello, deben cumplir con una serie de requisitos y reglamentos en relación con tipo de estructura, ancho, altura de barandales, ancho de escalones, etc., para que la gente pueda utilizarlas con facilidad en caso de algún siniestro. Un edificio de oficinas de 32 pisos tiene escaleras de emergencia para evacuar a los ocupantes en caso de un siniestro. La escalera tiene 22 escalones entre el primer piso y la planta baja, mientras que el resto de ella, entre pisos, tiene 16 escalones. yy ¿Cuántos escalones tiene que bajar una persona que se encuentra en el 2º piso para llegar a la planta baja? yy ¿Cuántos escalones tiene que bajar una persona desde el 5° piso? Completa la tabla que muestra el número de escalones que hay que subir o bajar para llegar a cada piso desde la planta baja. Piso

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Escalones

GLOSARIO Sucesión. Conjunto ordenado de elementos que siguen cierto orden o patrón.

Explica por qué el número de escalones del edificio representa una sucesión y de qué tipo es ésta. ___________________________________________________________ yy ¿Cuál es el patrón que sigue la sucesión que se genera? ___________________ yy ¿Cuántos escalones hay en total? _____________________________________ yy ¿Cómo obtuviste la respuesta? _______________________________________ Compara tus respuestas con las de otros compañeros. ¿Cómo las obtuvieron? ¿De qué manera puedes saber cuántos escalones hay entre la planta baja y los pisos 20 y 25 sin escribir todos los términos anteriores? Discute lo anterior con otros compañeros en busca de llegar a acuerdos.

126

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Matemáticas 1 Book 2020.indb 126

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Descubro y construyo

I. Describo verbalmente la regla de una sucesión aritmética y la utilizo para encontrar términos faltantes.

Una sucesión con progresión aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos cualesquiera es la misma, es decir, es una constante llamada diferencia. Las siguientes figuras formadas con popotes representan una sucesión aritmética. M1-2-L16-D Y C I Figura Figura 11

Figura Figura 2 2

Figura Figura 33

1. Analicen, en parejas, la sucesión que se genera con el número de popotes utilizado para formar cada figura y respondan. yy ¿Cuál es la diferencia o constante entre el número de popotes de cada figura y la anterior? yy ¿Cuántos popotes se necesitan para formar las figuras 4, 5 y 6 de la sucesión? yy ¿Cuál es la regla de la sucesión? Descríbela.

GLOSARIO Término. Cada uno de los elementos que forman una sucesión. Se numeran en orden ascendente: término 1, término 2, etcétera. Suma iterada. Suma que involucra varias veces la misma cantidad. Por ejemplo: a + a + a + a = 4a.

2. Anoten el número de popotes que se necesitan para formar cada figura.. Figura 8: ______ Figura 10: ______ Figura 12: ______ Figura 15: ______ yy ¿Qué hicieron para encontrar las respuestas? yy Considerando al primer término y a la constante, ¿qué suma representa los popotes de la figura 2? yy Si sumas iteradamente la constante al término inicial, ¿qué operación permite conocer los popotes de la figura 3? 3. Escribe el número de popotes de las figuras 4, 5 y 6 sumando iteradamente la constante al término inicial. Figura 4: ____________ Figura 5: ____________ Figura 6: ____________ 4. Escribe de manera simplificada las sumas iteradas de la actividad anterior. Figura 4: ____________ Figura 5: ____________ Figura 6: ____________ yy ¿Qué operación permite calcular el número de popotes de las figuras 10 y 15 de la sucesión? Justifiquen su respuesta. yy ¿Cómo se puede encontrar el número de popotes para cualquier término de la sucesión? ¿Cuántos popotes tiene la figura 100 de la sucesión? ¿Cómo lo obtuvieron? Si llamamos n a cualquier término de la sucesión, ¿hay una expresión algebraica que represente la regla de la sucesión? Registren sus conclusiones.

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 127

Regla de sucesiones aritméticas

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II. Encuentro la expresión algebraica que representa una sucesión aritmética.

1. Escriban los primeros términos de la sucesión que se genera con el perímetro de los siguientes octágonos regulares cuyos lados miden 1 unidad cada uno. M1-2-L16-DYC II Figura 1 1 Figura

1

Figura

Figura 2 2 Figura

2

3

4

5

Figura 3 3 Figura

6

7

8

9

10

Perímetro

yy ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ______________________________________ yy ¿Cuál es la diferencia de la sucesión? ____________________________________________ yy ¿Cómo se puede obtener cualquier término de la sucesión a partir de los números de las dos respuestas anteriores? ________________________________________ Se acostumbra nombrar a los términos de una sucesión con una letra, por ejemplo la a, de manera que a1 representaría el primer término, a2 el segundo término, etcétera. 2. Escriban una operación para los siguientes términos de la sucesión, que incluya el término inicial, el término anterior y la diferencia.

a11 = ____________

a12 = ____________

a13 = ____________

yy ¿Cuál es el perímetro del término a15 de la sucesión? yy Si llamamos n al lugar que ocupa cierto término de la sucesión, ¿cómo se puede obtener el término an? ___________________________________________________________ yy ¿Qué expresión algebraica representa la regla de la sucesión, es decir, la que corresponde al término n, es decir, an? __________________________________________ 3. Determinen, a partir de la regla anterior, el valor de los siguientes términos de la sucesión. a20 = __________

a55 = ____________

a82 = ____________

a102 = ____________

Comparen sus respuestas y expresiones algebraicas con las de otros compañeros. El procedimiento para encontrar la regla, ¿se aplica a cualquier sucesión aritmética? ¿Hay otra forma de representar la regla de la sucesión?

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Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

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III. Resuelvo problemas de sucesiones aritméticas: represento algebraicamente la regla o, a partir de ésta, encuentro términos faltantes.

1. Resuelvan, en parejas, a partir de la siguiente sucesión que generó Pablo. 17, 32, 47, 62, 77,… yy ¿Cuál es la diferencia entre términos consecutivos? yy ¿Qué expresión algebraica representa la regla de la sucesión? yy ¿Qué número corresponde a los términos 15, 22 y 40 de la sucesión? 2. Analicen los primeros términos de las siguientes sucesiones y completen las expresiones para encontrar la regla. a. Sucesión: 5, 14, 23, 32, 41, 50,… diferencia: _____ a1: _____ regla: ______________________ a15 = ____________ a22 = ____________ a40 = ____________ b. Sucesión: 11, 23, 35, 47, 59, 71,… diferencia: _____ a1: _____ regla: ______________________ a20 = ____________ a45 = ____________ a80 = ____________ 3. Escriban los primeros 10 términos de la sucesión que se genera con la regla: 9 + 7(n – 1) Primeros términos: ____________________________________________ yy ¿Qué números representan los términos a15, a22 y a40 de la sucesión?

Tomo Nota La regla general de una sucesión aritmética es igual a: el primer término más, la diferencia o constante por (el número de término correspondiente menos uno) y se simboliza así: an = a1 + d(n – 1), donde a1 es igual al _______________ de la sucesión y d es igual a la ___________ entre términos consecutivos.

Compartan sus reglas con las de otros compañeros. En la sucesión del inciso a, si multiplicas la diferencia (d) por cualquier n término, ¿qué tienes que hacer con el resultado para obtener an? ¿Qué expresión algebraica representa este caso? ¿Esta expresión es equivalente a la regla que obtuvieron? Registren sus conclusiones. Practico

1. Las personas encargadas de la construcción de una autopista de 235 km de longitud planean colocar un puesto de auxilio, con agua y teléfonos de emergencia, cada 6 km. El primer puesto lo colocarán 7 km después de la primera caseta de cobro, a la cual le corresponde el km 0. yy ¿Cuál es la regla que describe la sucesión? yy Una cuadrilla de obreros trabaja del kilómetro 100 al kilómetro 130. ¿Cuántos puestos de auxilio les toca colocar de manera que estén equidistantes? ¿En qué kilómetros los colocarán? 2. César hizo un plan de ahorro semanal. Abrió una cuenta en el banco con $1 250.00 y planea ahorrar $400.00 semanales; es decir, la primera semana tendría ahorrados $1 650.00. yy Si cumple con su plan de ahorro, ¿cuánto dinero tendrá después de 2 semanas? ¿Y después de 3 semanas? yy ¿Qué expresión algebraica representa la regla de la sucesión que se genera con el ahorro de César? yy ¿Cuánto dinero puede juntar en un año (52 semanas)?

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Regla de sucesiones aritméticas

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IV. Identifico diferentes expresiones algebraicas para la regla de una sucesión aritmética. M1-2-L16-DYC III-1

1. Determina la regla de la sucesión. Después, contesta. Término 22 Término 3 3 Término 1 1 Término Término Término

TérminoTérmino 4 4

yy ¿Cuántos cuadrados tendrá el término 40 de la sucesión? yy Si multiplicas el lugar que ocupa cada término por la diferencia de la sucesión, ¿qué tienes que hacer con el resultado para obtener el número de cuadrados del término correspondiente? ¿Lo anterior se repite en todos los términos? yy ¿Cuántos cuadrados tiene el término 32 de la sucesión? Utiliza la relación anterior para calcularlo. yy ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas representan la regla de la sucesión? Selecciónalas. 2n + 1 4n – 1 3 + 2(n –1) n+n+1 2. Calcula el número de cuadrados de las figuras 100, 140 y 155 usando las expresiones que elegiste, para validar que todas sean correctas. 3. Dibuja los términos 4 y 5 de la siguiente sucesión de puntos. Después, responde. Término 1

Término 2

III-2 M1-2-L16-DYC III-2 III-2 M1-2-L16-DYC M1-2-L16-DYC

Término 3

Término 4

Término 5

yy ¿Qué expresión algebraica representa la regla de la sucesión? yy Mauricio dice que la regla de la sucesión también puede representarse como 5n + 2. Describe por qué es correcta la expresión de Mauricio. yy Describan con palabras el significado de la regla de Mauricio. yy ¿Cuántos puntos tendrá la figura 30 de la sucesión? Encuentren la respuesta usando las dos expresiones. yy ¿Cuántos puntos forman los términos 45 y 70 de la sucesión? yy ¿Hay otra expresión equivalente para la regla de la sucesión? ¿Cuál? Valida tus expresiones algebraicas con otros compañeros. ¿Qué relación hay entre las distintas expresiones que permiten obtener el enésimo término de una sucesión? _________________________________________________________ _________________________________________________________________

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Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

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Tomo Nota

IV. Represento la regla de sucesiones aritméticas usando expresiones equivalentes.

1. Escriban, en equipo, de dos formas diferentes la regla de cada sucesión. Sucesión: Regla 1 Regla 2 a. 2, 15, 28, 41, 54,… ______________ ______________ b. 3.5, 5, 6.5, 8, 9.5,… ______________ ______________ c. 1.4, 2.8, 4.2, 5.6, 7,… ______________ ______________ 2. Calculen los términos que se indican de cada sucesión. Anoten ambos procedimientos para validar que sus expresiones sean correctas. Sucesión

Término 22

Otra forma de representar la regla general de una sucesión aritmética es: an = dn + b, donde d es igual a la _________ entre términos consecutivos. Esta expresión es _________ a la expresión general vista antes.

Término 115

a b c

3. Relacionen las expresiones algebraicas que permiten generar la misma sucesión. n+n+3

7 + 3(n – 1)

3 + 5(n – 1)

4 + 3n

5n – 2

2(n – 1)+ 5

Validen sus respuestas con otros compañeros. Si existen dudas en el ejercicio 3, escriban los primeros términos de cada sucesión usando las expresiones correspondientes. ¿Cuántas sucesiones generaron? ¿Por qué es importante conocer la expresión algebraica de una sucesión? Discutan lo anterior y registren sus conclusiones. Practico

1. Escribe de tres maneras diferentes la regla de la sucesión de números impares. yy ¿Qué número corresponde al término 74 de la sucesión? 2. Elige las expresiones algebraicas que representan la regla de la sucesión: 6, 9, 12, 15, 18, 21,… 3(n – 1) 7n – n 3n + 3 3(n – 1) + 6 yy ¿Qué números corresponden a los términos 24, 46 y 72 de la sucesión?

Utilizo las TIC Utiliza una hoja electrónica de cálculo para obtener los primeros n términos de una sucesión. Escribe en la columna A los números del 1 al n. En la celda B1, escribe la regla de una forma y en la celda C1 de otra forma, y valida que hayas obtenido los mismos valores en ambos.

3. Imagina que cierto país se independizó en 2015 y eligieron a su primer presidente. A partir de ahí, decidieron nombrar un nuevo presidente cada 6 años. yy ¿En qué año tomarán posesión el segundo y el tercer presidentes? yy ¿Qué expresión algebraica permite conocer el año en que tomará posición el presidente número n del país? Represéntala en dos formas diferentes. yy ¿En qué año tomará posesión el presidente número 15?

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Regla de sucesiones aritméticas

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El enésimo término de una

sucesión aritmética

Exploro

Establezco la regla de una sucesión aritmética para determinar términos faltantes. Miranda compró una bicicleta para hacer ejercicio y cuidar su salud, y también con la intención de contribuir al cuidado del medio ambiente dejando de usar su automóvil para transportarse al trabajo. Ella compró la bicicleta a crédito, y el plan es pagarla en 15 pagos semanales. Según el acuerdo, su primer pago será de $450.00 y, a partir de la segunda semana, los pagos serán de $530.00, es decir, $530.00 la semana 2, $530.00 la semana 3, etc., hasta liquidar la deuda. 1. Responde de acuerdo con la información anterior. yy ¿Cuánto dinero habrá abonado Miranda a su deuda después de 2 semanas? ¿Y en la semana 3? __________________________________________________ yy ¿Cuánto dinero habrá abonado después del primer mes, es decir, después de cuatro semanas? ____________________________________________________ 2. Escribe de dos maneras diferentes la expresión algebraica que corresponde a la sucesión que se genera con los pagos de Miranda. yy ¿Cuánto le costó la bicicleta? _________________________________________ yy En algún momento la cantidad abonada por Miranda puede ser, exactamente, $5 220.00. Si tu respuesta es afirmativa, ¿en qué semana sucedería? Argumenta tu respuesta. _______________________________________________________ 3. Si el crédito de Miranda hubiera sido con un pago inicial de $500.00 y pagos posteriores de $650.00, ¿cuál sería la regla de la sucesión que se generaría, escrita en la forma an + b? yy En este caso, ¿aproximadamente en cuánto tiempo terminaría de pagar la bicicleta? __________________________________________________________ yy ¿Qué hiciste para determinarlo? _______________________________________

132

Patrones, figuras geométricas y

Matemáticas 1 Book 2020.indb 132

Compara tus respuestas con las de otros compañeros. ¿Cómo las obtuvieron? ¿Todos siguieron el mismo procedimiento? ¿Hay alguna manera de conocer el tiempo que tardaría Miranda en pagar su deuda en una sola operación? ¿Se podría resolver algebraicamente la situación?

expresiones equivalentes

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Descubro y construyo

I. Identifico si una cantidad corresponde o no a un término de una sucesión aritmética.

Javier ideó la siguiente sucesión con triángulos equiláteros. M1-2-L17-DYC I 1. Analicen la sucesión en parejas y respondan.

M1-2-L17-DYC I-2

Figura 1

Figura 1

Figura 2 2 Figura

Figura 3

Figura 3

Figura 4

Figura 4

yy ¿Cuál es la expresión algebraica que determina la regla de la sucesión formada M1-2-L17-DYC I-2 por los triángulos? __________________________________________________ M1-2-L17-DYC I-2 Figura 6 yy ¿Cuántos triángulos forman las figuras 15 y 20 de la sucesión? ________________ yy ¿Qué hicieron para encontrar los valores? _______________________________ 2. Coloreen las figuras que puedan formar parte de la sucesión anterior y anoten el M1-2-L17-DYC I-2 Figura 6 número de figura oFigura término que corresponda. 6

Figura1 6 Figura

Figura 2

Figura 11

Figura 11 Figura 11

Figura 3 Figura 4

Figura 17

yy yy yy yy

¿Qué hicieron para determinar qué figuras pertenecen a la sucesión? ¿A qué término corresponden 64 triángulos? 17 ¿Algún términoFigura oFigura figura de la sucesión estarían formados por 50Figura triángulos? ¿Por qué? 11 17 Si una figura tiene 82 triángulos, ¿cómo se puede determinar el número de término que le corresponde dentro de la sucesión? yy Representen la situación anterior mediante una ecuación y resuélvanla. yy ¿A qué número de figura o término le corresponden 82 triángulos? Figura 17

Comparen su ecuación con la de otros compañeros. ¿Se puede establecer siempre una ecuación que permita determinar a qué término an de una sucesión aritmética corresponde cierto valor? Discutan la pregunta anterior en busca de llegar a acuerdos. Juntos determinen, con base en sus acuerdos, si alguna figura de la sucesión puede estar formada por 112 triángulos y qué número de figura sería.

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 133

El enésimo término de una sucesión aritmética

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II. Resuelvo la ecuación que permite conocer el término an de una sucesión, al que le corresponde cierto valor numérico.

1. Escriban, en equipo, la expresión algebraica de la forma ax + b que corresponde a cada una de las siguientes sucesiones. Después, escriban y resuelvan la ecuación que permite conocer el término an, al que le corresponden los valores que se muestran, y anoten el término correspondiente. a. Sucesión: 4, 13, 22, 31, 40, 49,… Regla: _____ = 130 _____ = 184

_____ = 445

b. Sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,… Regla: _____ = 62 _____ = 146

_____ = 218

c. Sucesión: 1.2, 2.4, 3.6, 4.8, 6, 7.2,… Regla: _____ = 18 _____ = 78

_____ = 144

2. Consideren la regla de cada sucesión y determinen a qué término corresponden los números que se muestran en cada caso. a. Regla de la sucesión: 11n + 3 Número de término Valor

91

256

465

533

48.2

59

96.8

b. Regla de la sucesión: 2.7n – 0.4 Número de término Valor

134

13.1

Discutan sobre las ventajas de establecer una expresión algebraica para representar la regla de una sucesión. ¿Qué tipo de ecuaciones representan las expresiones que obtuvieron en cada caso? Registren sus conclusiones.

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Matemáticas 1 Book 2020.indb 134

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III. Identifico números que no son parte de una sucesión aritmética.

Un tinaco de agua de 850 litros tiene 325 litros en el momento en que empieza a llenarse. El tinaco se llena a razón de 21 litros por minuto. yy ¿Cuánta agua tendrá después de un minuto de empezar a llenarse? 1. Tacha los valores que no correspondan al número de litros que habrá en el tinaco después de n minutos exactos.

430 litros

483 litros

703 litros

776 litros

Utilizo las TIC Entra a este recurso interactivo para aprender, practicar y reforzar tus conocimientos sobre Sucesiones aritméticas: cmed.mx/m128 Observa, explora, aprende y prueba si tu respuesta es acertada. Intenta subir de nivel para ponerte retos.

yy ¿En cuántos minutos se llenará por completo el tinaco? ____________________ 2. Circula los números que no pertenecen a cada sucesión. a. Sucesión: 7, 15, 23, 31, 39, 47,… 79 142 280 359 511 b. Sucesión: 3.4, 5.2, 7, 8.8, 10.6, 12.4,… 35.2 50.2 88 108.6 160 Practico

1. Lorena inició su entrenamiento del día trotando a un ritmo de 150 metros por minuto durante el primer minuto. Después, empezó a trotar a un ritmo constante de 180 metros por minuto. yy Anota la distancia que recorrió Lorena después de 2, 3, 4 y 5 minutos. yy ¿Qué expresión algebraica describe la sucesión que se genera? yy Si Lorena recorrió 5.01 km durante su entrenamiento, ¿cuántos minutos entrenó? Escribe y resuelve la ecuación correspondiente. 2. En el grupo de Samuel hicieron una colecta para ayudar a personas de escasos recursos de la ciudad donde viven. La maestra aportó $250.00 y los alumnos aportaron una misma cantidad, que fue de $120.00. yy Si en el grupo hubiera 5 alumnos, ¿cuánto dinero juntarían, incluyendo la aportación de la maestra? yy ¿Y si hubiera 8 alumnos? yy ¿Qué expresión algebraica se forma con las aportaciones de la maestra y los alumnos? yy Si juntaron $3 970.00 entre la maestra y los alumnos, ¿qué ecuación permite conocer el número n de alumnos del salón? yy ¿Cuántos alumnos hay en el salón?

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 135

El enésimo término de una sucesión aritmética

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, números o figuras que siguen cierto orden o patrón. 2. En una sucesión aritmética la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la misma, es decir, una constante, llamada diferencia.

1. Analiza la sucesión de cuadrados y resuelve.

Término 1

Término 2

Término 3

Término 4

yy ¿Cuál es la regla de la sucesión de cuadrados? Escríbela de dos maneras diferentes. yy ¿Cuántos cuadrados tendrían las figuras 15, 27 y 34 de la sucesión? yy ¿Habría un término de la sucesión con 153 cuadrados? ¿Cuál? ¿Habría un término de la sucesión con 196 cuadrados? ¿Cuál?

3. Se le llama término de la sucesión a cada uno de los elementos que la forman.

2. En un taller de costura produjeron cierta cantidad de camisas en 25 días de trabajo. El primer día produjeron 40 camisas y en los siguientes días terminaron 50 camisas por día. ¿Cuántas camisas produjeron en total?

4. La regla general de una sucesión aritmética es a1 + d(n – 1), que es equivalente a la expresión dn + b, donde b es igual a restar al primer término la diferencia (d).

3. Escribe dos expresiones algebraicas que representen la regla general de cada sucesión. Después, responde. a. 4, 15, 26, 37, 48,… b. 2.7, 4.1, 5.5, 6.9, 8.3,…

5. A partir de la regla general de una sucesión se puede determinar cualquier término de la misma y si cierto número pertenece o no a la sucesión.

yy ¿Cuál es el décimo término de cada sucesión? yy Identifica qué números pertenecen a cada sucesión anterior, de acuerdo con el inciso correspondiente, y anota qué término les corresponde. a. 191 _____ 390 _____ 675 _____ 862 _____ b. 31.7 _____

40.5 _____

67.1 _____

86.2 _____

4. Para pagar una deuda de $2 500.00 se hizo un pago inicial de $205.00, y los siguientes pagos fueron de $85.00 hasta terminar la deuda. ¿En cuántos pagos quedó saldada la deuda? Explica tu respuesta. 5. Jacinto inició un negocio en el que la primera semana se produjeron 0.8 toneladas de producto con dos máquinas que trabajan al mismo ritmo. Para las siguientes semanas compraron una máquina más y ahora producen 1.2 toneladas de producto semanalmente, con las tres máquinas. yy Si continúan con la misma producción semanal, ¿cuántas toneladas habrán producido después de 5 semanas? yy ¿En cuántas semana producirán 20 toneladas?

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Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Matemáticas 1 Book 2020.indb 136

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Logro ir más

allá

Actualmente existe una gran variedad de app que brindan servicio de taxi en muchas ciudades, todas ellas efectivas. Estas aplicaciones utilizan tu ubicación para determinar qué taxi se encuentra más cerca y brindarte el servicio lo más rápido posible (de 5 a 10 minutos en promedio). En algunas de ellas, sabes lo que vas a pagar antes de realizar el viaje con sólo teclear el punto de partida y el de llegada. Esta tarifa se define de la siguiente manera: se paga una cuota fija por pedir el servicio, más un incremento fijo por kilómetro recorrido. Las siguientes tarifas corresponden a tres diferentes servicios brindados por una misma app en cierta ciudad. Servicio básico: $14.50 de tarifa fija y $2.40 por cada kilómetro recorrido. Servicio plus: $16.20 de tarifa fija y $2.80 por cada kilómetro recorrido. Servicio ejecutivo: $18.50 de tarifa fija y $3.10 por cada kilómetro recorrido. En horas pico, estas tarifas se pueden incrementar según la oferta y la demanda: por ejemplo, si la tarifa indica 1.5x, significa que se incrementa 1.5 veces, tanto en lo que es la cuota inicial como en el costo por kilómetro. Resuelve y, en cada caso, escribe la expresión algebraica que permite obtener las respuestas. yy Diana solicitó un taxi para un viaje de 8 km. Si la tarifa indicaba 2.2x y la aplicación marcaba $84.92 por su viaje, ¿qué servicio solicitó? __________________ yy Una persona solicitó un servicio básico y la tarifa marcaba 1.2x. Si el teléfono indicaba $49.08 por el viaje, ¿de cuántos kilómetros sería su recorrido? _______ _______________________________________________________________ yy Si en un viaje de servicio ejecutivo se pagaron $69.60 por un viaje de 9 km, ¿en cuánto se incrementó la tarifa? Explica tu respuesta. ______________________ _______________________________________________________________

L16

Matemáticas 1 Book 2020.indb 137

L17

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Perímetro de polígonos y área de triángulos y

cuadriláteros

Exploro

M1-2-L18-EXPLORO

Calculo la longitud de un lado del polígono a partir de su perímetro. 1. El número dentro de cada figura corresponde a su perímetro.

3 cm

Tomo Nota El ____________ de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados.

17 cm

9 cm

a

x

37 cm

y

2 cm z

1 cm

b 2

21 cm 1 cm

z

100 cm

b 2

b

a. Para cada figura escribe la ecuación que modela la situación. Rectángulo: ____________ Cuadrado: ____________ Pentágono: ____________ Heptágono: ____________ Triángulo: _____________________

b. Encuentra la longitud de los lados. a = _______ b = _______ x =_______ y = _______ z = _______ M1-2-L18-DYCI

I. Resuelvo problemas que incluyen el perímetro de polígonos.

Resuelve, en pareja, los siguientes problemas. 1. Todos los ángulos de la figura son rectos y las x longitudes de los lados están en centímetros. yy Para encontrar el perímetro de la figura, ¿necesitas tener más información que la que y se da en la figura? ¿Cuál? yy ¿Qué estrategia utilizarías para encontrar el perímetro de la figura? yy ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro de la figura? yy Si x = 6 y y = 10, ¿cuánto mide el perímetro de la figura?

138

2 cm

Comparen su estrategia con la de otra pareja. ¿Coinciden? Discutan por qué el perímetro de la figura es igual que el de un rectángulo de lados x y y.

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 138

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M1-2-L18-DYC FIGURA MORADA Y VERDE

2. En la figura, cada cuadrado morado tiene 6 cm de lado y el perímetro de cada rectángulo verde es el doble del perímetro de cada cuadrado. Encuentra el perímetro de la figura. yy ¿Cuál es el perímetro del cuadrado morado? ¿Y del rectángulo verde? yy ¿Cuánto mide de largo el rectángulo verde? Explica tu respuesta. yy ¿Cuánto mide el perímetro de la figura? 3. El diseño del jardín que se muestra en la figura está formado por un hexágono ABCDEF cubierto de pasto, que tiene todos sus lados iguales y cuyo perímetro mide 102 m; y por cuatro triángulos iguales cubiertos con flores, cuyo perímetro miM1-2-L18-VERDE Y ROSA de 40 m. Para protegerlo, se quiere colocar una malla alrededor del perímetro del rectángulo GHIJ. G

A

F

J

9m

9m E

B 9m H

9m C

D

I

yy ¿Qué longitudes debes conocer para calcular la cantidad de malla que se necesita? yy ¿Cuánto miden los lados del hexágono? Explica tu respuesta. yy ¿Cuánto mide el lado HC? Explica tu respuesta. yy ¿Cuál es el perímetro del rectángulo GHIJ? Explica tu respuesta.

Comparen sus respuestas y sus procedimientos con los de otra pareja. Comenten por qué es importante analizar toda la información que se da en un problema y cómo a partir de cierta información se puede deducir otra. M1-2-L18-ESTRELLA

Practico

1. La estrella se elaboró prolongando los lados de un hexágono regular hasta obtener triángulos equiláteros. Si el perímetro de la estrella mide 276 cm, ¿cuánto mide el perímetro del hexágono? 2. La siguiente figura está formada por triángulos equiláteros de 1 cm de lado. ¿Cuál M1-2-L18-TRIÁNGULOS sería el perímetro de una figura que contuviera 5050triángulos?

L18

Matemáticas 1 Book 2020.indb 139

Perímetro de polígonos y área de triángulos y cuadriláteros

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Si dos figuras ocupan la misma superficie, aunque su forma sea diferente, entonces tienen la misma área. Así, conociendo la fórmula para calcular el área de alguna figura geométrica, se puede encontrar la fórmula para calcular el área de otras. II. Justifico las fórmulas del área de triángulos y cuadriláteros.

1. Analiza, en pareja, la secuencia de figuras que se presenta en cada caso y contesten. a. Escriban en la figura las dimensiones del rectángulo. M1-2-L18-FÓRMULA PARALELOGRAMO

_____ h

h Utilizo las TIC Existen otras maneras de encontrar la fórmula para calcular el área de cualquier triángulo. Para conocerlas entra a la página: cmed.mx/m129

b

b _____

yy ¿Cuál es su área? yy ¿Cuál es el área del paralelogramo? yy ¿De qué figura geométrica se puede encontrar la fórmula del área con la secuencia anterior? M1-2-L18-FÓRMULA TRIÁNGULO b. Escriban en la figura las dimensiones del paralelogramo.

h b

h 2 h 2

_____ b

_____

yy Considerando la fórmula del paralelogramo del inciso anterior, ¿cuál es el área del paralelogramo de esta secuencia de figuras? yy Considerando la secuencia de figuras, ¿cuál es el área del primer triángulo? yy ¿La fórmula anterior es equivalente a la fórmula que conocen para calcular el M1-2-L18-FÓRMULA ROMBO área de un triángulo? Expliquen su respuesta. ____________________________ c. Escriban en el paralelogramo la medida de su base y de su altura. yy ¿Cuál es el área del paralelogramo? yy ¿Coincide con el área del rombo?

_____

D 2

D d 2

_____

Expliquen su respuesta. ________________________

140

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 140

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M1-2-L18-FÓRMULA TRAPECIOS

d. Escriban en la figura las dimensiones del triángulo obtenido. b

b _____

h B

B

b

_____

yy Considerando la fórmula para calcular el área de un triángulo que obtuvieron en el inciso b, ¿cuál es el área del triángulo de la figura? yy ¿Cuál es el área del trapecio? Expliquen por qué la fórmula anterior coincide con la manera que conocen de calcular el área de un trapecio. 2. Investiguen si existen otras formas de justificar las fórmulas para calcular el área de paralelogramos, triángulos, rombos y trapecios.

Comenten con otra pareja por qué la fórmula para calcular el área de un cuadrado es igual a la fórmula para calcular el área de un rectángulo. ¿Cómo justificarían cada una de las fórmulas anteriores a partir de la fórmula del área de un rectángulo?

Y TRIÁNGULO 3. Considera las secuenciasM1-2-L18-ROMBO de las figuras siguientes.

R

R

M

M

b

a

a

yy ¿Qué relación hay entre el área del rombo y el área del rectángulo que lo contiene? ________________________________________________ yy ¿Cuál es el área del rectángulo? ________________________ yy ¿Cuál es el área del rombo? ________________________ yy ¿Qué relación existe entre el área del triángulo y el área del rectángulo que lo contiene? ________________________ yy ¿Cuál es el área del triángulo? ________________________

L18

Matemáticas 1 Book 2020.indb 141

Perímetro de polígonos y área de triángulos y cuadriláteros

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III. Encuentro las dimensiones de ciertas figuras geométricas a partir de su área o de otras dimensiones.

Adentro de cada una de las siguientes figuras se escribió su área. Determina la fórmula del área que le corresponde y encuentra la dimensión que falta. No olvides indicar las M1-2-L18-RECTÁNGULO Y TRAPECIO unidades. 2.2 cm

9 cm 2 cm

22.5 cm2

x

Fórmula del área = x =________________________

6 cm2 w

Fórmula del área = w = ________________________

3.2 cm

y

7.5 cm

6.4 cm

37.5 cm2 b

Fórmula del área = y = ________________________

1 156 cm2

m

68 cm

Fórmula del área = m = ________________________

142

Fórmula del área = b = ________________________

z

5 cm

12 cm

Fórmula del área = z = ________________________

Comparte tus resultados y tus procedimientos con un compañero. Comparen las ecuaciones que idearon y la forma de resolverlas. ¿Coinciden?

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 142

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IV. Resuelvo problemas que incluyen el área de triángulos y cuadriláteros.

M1-2-L18-ÁREA CAMINO

Resuelve, en pareja, los siguientes problemas. 1. En una superficie rectangular de 9 metros de largo por 8 metros de ancho se va a hacer un jardín. Se quiere construir en diagonal un camino de 3 metros de ancho y el resto se cubrirá con pasto, como se muestra en la figura. yy ¿Cuál es el área del camino? Explica tu respuesta. yy ¿Cuál es el área de la zona cubierta de pasto? Explica tu respuesta. 2. Se quiere pintar la fachada (sin techo) de una bodega de 10M1-2-L18-ÁREA m de largoFACHADA por 3 m de alto que tiene dos ventanas y una puerta, como se muestra en la figura. yy Si un litro de pintura alcanza para 6 m2, ¿cuántos litros completos de pintura es necesario comprar?

1m

0.8 m

1.5 m

1m

3m

0.5 m

2m

10 m M1-2-L18-ÁREAS FIGURAS

3. El área del cuadrado mide 4 cm2 y los puntos A y B están sobre el punto medio de cada lado. yy ¿Cuál es el área del triángulo rosa? yy ¿Qué procedimiento siguieron? yy ¿Cuál es el área de los otros triángulos?

B

A

Comparen sus resultados con otra pareja. Si hay diferencias, busquen si se debieron al procedimiento o a los cálculos. M1-2-L18-MOSAICO

Practico

En un mosaico cuadrado de 10 cm de lado se pintó una estrella verde, como se muestra en la figura. 10 cm

4.5 cm

yy ¿Cuánto mide el área de cada uno de los cuadrados blancos de las esquinas? yy ¿Cuánto mide el área de cada uno de los triángulos? yy ¿Cuánto mide el área de la estrella?

6 cm

L18

Matemáticas 1 Book 2020.indb 143

Perímetro de polígonos y área de triángulos y cuadriláteros

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Perímetro del

círculo

El número Pi se utiliza cuando se quiere encontrar el perímetro o el área de un círculo. Se eligió la letra griega π para denominar este número por ser la inicial de la palabra griega "περιφερεια" (periferia). Es un número que ha fascinado al hombre desde la antigüedad. A lo largo de la historia y 355 , como aproximaciones a su valor. Sin se han utilizado distintas fracciones, 22 7 113 embargo, los matemáticos no descansaron hasta que en el siglo xvii se demostró que π es un número irracional, es decir, un número decimal infinito y no periódico. Exploro

GLOSARIO Radio. Segmento que une cualquier punto de la circunferencia con su centro. Es uno de los elementos del M1-2-L19-CÍRCULO círculo. Circunferencia

Círculo Radio

Conozco Pi. En parejas, tracen en una cartulina círculos con radio de 3 cm, 5 cm, 8 cm, 10 cm y 15 cm. Denoten con O el centro, tracen un radio OA, marquen el punto A y recorten M1-2-L19-EXPLORO cada círculo. a. Tracen una línea recta en una hoja de papel. Coloquen uno de los círculos de manera que el radio OA sea perO pendicular a la línea recta trazada y marquen sobre la recta este punto con A B la letra B, como se muestra en la figura. b. Hagan rodar el círculo, en el sentido de las manecillas del reloj, hasta que dé una vuelta completa, es decir, hasta que A vuelva a tocar la línea. Marquen este punto con la letra C y midan el segmento BC. c. Repitan el procedimiento con cada uno de los círculos que recortaron y completen la tabla.

Centro

Radio (cm) Segmento BC (cm) Diámetro (cm) Diámetro

Razón entre el segmento BC y el diámetro

3 5 8 12

Utilizo las TIC Disfruta esta demostración de la relación entre Pi y la circunferencia. Sigue las instrucciones y anota en tu cuaderno todo lo que aprendiste utilizando este recurso. cmed.mx/m130

144

15

yy yy yy yy

¿A qué corresponde la longitud del segmento BC? ¿Qué observan respecto a los resultados de la última columna? Aproximadamente, ¿cuántas veces cabe el diámetro en el contorno del círculo? ¿Qué relación hay entre el número π y la razón de la última columna?

Comparen sus resultados con los de otra pareja. ¿Coinciden? Escriban con palabras cómo se puede obtener el perímetro de un círculo.

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 144

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Leo +

Descubro y construyo

I. Calculo la distancia que recorre un círculo al dar una vuelta completa.

1. Imagina que colocas cada uno de los siguientes círculos sobre el cero de una recta numérica, como en la actividad anterior, y los haces girar hasta que den una vuelta M1-2-L19-DYC I completa. Escribe, en cada caso, la distancia aproximada que recorrieron.

O

2.3 cm

1 cm O

O

Distancia: _____ cm

1 cm

3.1 cm

Distancia: _____ cm

¿Sabías que para probar las capacidades de una supercomputadora, se averigua cuántos millones de decimales de π puede calcular en cierto tiempo? ¿Y que se ha compuesto música utilizando π? Si quieres conocer más curiosidades de π, entra a: cmed.mx/m131

O

Distancia: _____ cm

Distancia: _____ cm

yy ¿Qué representa la distancia que recorre el círculo al dar una vuelta? Explica tu respuesta. M1-2-L19-DYC II II. Analizo la relación del perímetro de un círculo y su diámetro.

1. El diámetro del círculo azul es dos veces más grande que el diámetro del círculo rojo.

0

10

20

30

40

50

60

Tomo Nota

70

El contorno de un círculo es la circunferencia, y su longitud corresponde al perímetro del círculo. En cualquier círculo se tiene que:

0

10

20

30

40

50

60

70

π=

yy ¿Cuántas veces es más grande el perímetro del círculo azul que el del círculo rojo? yy Si el diámetro de un círculo corresponde a la tercera parte del diámetro de otro, ¿cuál sería la relación entre sus perímetros? yy ¿La relación entre el diámetro de un círculo y su perímetro es de proporcionalidad directa? Explica tu respuesta.

L19

Matemáticas 1 Book 2020.indb 145

,

y el valor aproximado es 3.141592… La fórmula para calcular el perímetro de un círculo de diámetro d es: P=πd

Perímetro del círculo

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III. Resuelvo problemas que incluyen el perímetro de un círculo.

1. Resuelvan, en parejas, los siguientes problemas. Para hacer los cálculos, consideren π = 3.14. a. Adentro de cada uno de los siguientes círculos se escribió su perímetro con el M1-2-L19-DIC IIIindican. No olviden poner las mismo color. Encuentren las dimensiones que se unidades. 1.4 m

r P

15.7 cm

r = ______ r = _______ = ______ d = d_______

= _______ ______ dd = P = ______ P = _______

d 21.98 cm

d = ______ d =_______ r = ______ r =_______

M1-2-L19-DYC III b

b. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor perímetro? 3.5 cm

3.5 cm

Utilizo las TIC Para poner en práctica lo que has aprendido, entra a esta página y contesta las preguntas: cmed.mx/m132

146

4 cm

3 cm

2 cm

c. El biciclo de la imagen es una bicicleta antigua en la que el radio exterior de la llanta pequeña mide 17 cm y el radio exterior de M1-2-L19-III-c la rueda grande es el triple de la pequeña. yy ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de la rueda pequeña? ________________ yy ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de la rueda grande? ________________

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 146

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M1-2-L19-DYC III-d

d. Don Mateo tiene un huerto cuadrado cercado con alambre de púas, como el que se muestra en la figura.

5.5 m

Quiere utilizar todo el alambre de púas del huerto cuadrado para cercar un área circular en otro terreno en el que sembrará pasto. yy ¿Cuánto mide el diámetro de la zona circular más grande que puede cercar? Explica tu respuesta. M1-2-L19-DYC III-Mesa e. Una mesa cuadrada tiene dos extensiones en forma de semicírculo que permiten extenderla cuando se requiere más espacio, como se muestra en la figura. yy ¿Cuánto mide el perímetro de la mesa con las extensiones?

2m m

Comparen sus resultados y sus procedimientos con los de otra pareja. Si hay diferencias, busquen dónde se encuentran, ¿en el razonamiento o en los cálculos?

2. Resuelvan, en grupo, el siguiente problema.

M1-2-L19-DYC III ECUADOR

Imaginen que la Tierra es una esfera perfecta y que una persona que mide 1.75 m la recorre siguiendo el ecuador, como se muestra en la figura yy Discutan si la distancia que recorre la coronilla de su cabeza es mayor, menor o igual que la distancia que recorre la planta de los pies. yy Si denotamos con R el diámetro de la Tierra, ¿cómo se expresa la distancia que recorre la planta de los pies? ¿Y cómo se expresa la distancia que recorre la coronilla de su cabeza? yy ¿Cuál es la diferencia entre las distancias anteriores? Expliquen su respuesta. Juntos analicen si la diferencia de las distancias recorridas por la cabeza y los pies dependen del radio de la Tierra o de la estatura de la persona. Practico

1. El perímetro de un círculo de 4 cm de diámetro mide 12.56 cm (considerando que π = 3.14). ¿Cuál es el perímetro de un círculo de 2 cm de radio? 2. La manera más precisa de expresar el perímetro de un círculo es utilizando π. ¿Cuánto mide el perímetro de un círculo de radio 3 cm? 3. ¿Qué distancia, en metros, recorre una bicicleta por cada 25 vueltas de una rueda si el diámetro exterior de cada rueda es de 29 pulgadas (1 pulg = 2.54 cm)?

L19

Matemáticas 1 Book 2020.indb 147

Perímetro del círculo

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Evalúo mi aprendizaje

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Itacate

Recapitulo 1. El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. 2. Las fórmulas del área de triángulos y cuadriláteros se pueden determinar a partir de la transformación de los triángulos y cuadriláteros en paralelogramos o rectángulos, o en otras conocidas cuyas fórmulas ya se justificaron.

1. El lado desigual de un triángulo isósceles mide la tercera parte de los lados iguales, cuya longitud es de 12 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? 2. Los tres triángulos de la figura son equiláteros, cada lado de un triángulo menor M1-2-L19-Evaluo-mi-avance-2 sale de la mitad del lado del triángulo más grande que él y el perímetro del triángulo mayor mide 48 cm. yy ¿Cuál es el perímetro de la figura? M1-2-L19-EVALUO MI AVANCE-3

3. Analiza la siguiente figura. yy ¿Cuál es el área del trapecio de color verde?

4. Se puede calcular cualquiera de las dimensiones de un polígono dada su área y otras dimensiones. 5. El número Pi (π) es la constante que se obtiene al dividir la circunferencia (perímetro) de cualquier círculo entre su diámetro. 7. La fórmula del perímetro de un círculo es P = πd, donde d es el diámetro del círculo. 8. Se puede calcular el radio o el diámetro de un círculo dado su perímetro.

148

w

z

x

w

z

4. Un rollo de tela de 2 metros de ancho se utilizó para cortar 1 050 pañuelos cuaM1-2-L19-TELA drados de 20 centímetros de lado, como se muestra en la figura. yy ¿Cuántos metros de largo tenía la tela del rollo si no 2m faltó ni sobró tela?

5. La siguiente curva está formada por semicírculos; si tomamos π = 3.14, ¿cuánto M1-2-L19-CURVA mide la longitud de la curva? 12 cm

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 148

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Logro ir más

allá

En algunas carreras de atletismo, como la de 100 m, la línea de salida de los competidores está alineada. Pero en otras, como la carrera de 200 m, para que todos los atletas recorran la misma distancia, la línea de salida está desfasada. Una pista de atletismo está formada por ocho carriles de b metros de ancho cada uno (en la imagen se muestran sólo cinco carriles). El primer carril tiene una longitud de 400 m y su tramo recto tiene una longitud de a metros, como se muestra en la siguiente figura.

bm

dm

am

¿Cuál es la distancia entre las líneas de salida de dos carriles consecutivos en la carrera de 200 metros? Trabajen en parejas. yy Determinen una expresión matemática para escribir la longitud exterior del Carril 1. __________ yy Escriban una expresión matemática para la longitud exterior de cada uno de los carriles. Carril 2: ____________________ Carril 3: ____________________ Carril 4: ____________________ Carril 5: ____________________ Carril 6: ____________________ Carril 7: ____________________ Carril 8: ____________________ yy ¿Cómo determinarían la distancia entre las líneas de salida de dos carriles? yy ¿Cuál es la distancia entre las líneas de salida de dos carriles consecutivos?

L18

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L19

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Medidas de

Exploro

tendencia central

Analizo dos conjuntos de datos y respondo preguntas al respecto. La estadística es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar, analizar interpretar, explicar y representar datos.

Leo + En la siguiente página podrás encontrar más información sobre el Origen de la estadística: cmed.mx/m133

El origen de la palabra estadística proviene del vocablo “estado” porque fue concebida para cubrir la necesidad de los gobiernos de recopilar información acerca de su población, su economía, su tierra, etcétera. En una escuela secundaria, las maestras de matemáticas aplicaron un mismo examen a dos diferentes grupos para verificar el nivel de sus alumnos en ciertos temas. En la evaluación, Laura, que está en el grupo A, obtuvo 25 aciertos. yy Con la información anterior, ¿es posible saber cuál fue el rendimiento de Laura? Explica por qué. yy Si la evaluación fue de 35 reactivos, ¿cómo calificarías el resultado de Laura? La siguiente lista muestra los aciertos que tuvieron todos los alumnos del grupo de Laura, ordenados de menor a mayor, incluida ella. 18, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 32, 34, 35 yy ¿Cuál fue el aprovechamiento de Laura en comparación con los resultados de todo el grupo? Explica tu respuesta. Los resultados del otro grupo fueron los siguientes: 21, 21, 24, 24, 25, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 30, 32, 32, 33 yy ¿Sería justo considerar el número de aciertos que obtuvo cada grupo para comparar el nivel de los dos? Explica por qué. yy ¿Cuál de los dos grupos tuvo mejor rendimiento en la evaluación? ¿Qué criterio usaste para determinarlo? yy Si tuvieras que usar la media, la moda o la mediana para comparar los conjuntos de datos, ¿cuál usarías? Explica por qué.

150

Compara tu última respuesta con la de otros compañeros. ¿Coinciden? Comenten sus argumentos en busca de llegar a acuerdos. Si uno de los compañeros opina que el rendimiento de Laura está dentro de la media o promedio del grupo, ¿qué le dirías? ¿Por qué? Discutan lo anterior en grupo y registren sus acuerdos.

Estadística

Matemáticas 1 Book 2020.indb 150

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Descubro y construyo

I. Resuelvo problemas relacionados con las medidas de tendencia central de un conjunto de datos.

1. Analicen, en parejas, cada situación y resuelvan. La media o promedio de un conjunto de datos es el valor que se obtiene al dividir la suma de todos los valores entre el número de ellos. a. El maestro de matemáticas pidió a sus alumnos cubos de 1 cm de arista. El equipo 1 llevó 20 cubos; el equipo 2, 13; el equipo 3, 18; el equipo, 4, 12 y el equipo 5, 7 cubos. •• Si el maestro reparte los cubos en forma equitativa, ¿cuántos cubos debe entregar a cada equipo? •• ¿Qué relación tiene el resultado anterior con las medidas de tendencia central? Justifiquen su respuesta. b. En una fábrica llevan el registro del número de focos que salen defectuosos cada día. Los resultados de los últimos 15 días fueron los siguientes (las cantidades se ordenaron de menor a mayor): 9, 9, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15. •• Si tuvieran que reportar el número de focos defectuosos por día, ¿qué número dirían? ¿Por qué? •• ¿Cuál es la media y la mediana del número de focos defectuosos? •• ¿Qué medida consideran que representa eficazmente el conjunto de datos? ¿Por qué? c. Durante un experimento, un grupo de 12 estudiantes midió el contenido de un tubo de ensayo. Las medidas obtenidas fueron las siguientes;18.4 ml, 18.2 ml, 17.5 ml, 17.5 ml, 17.2 ml, 17 ml, 16.8 ml, 16.7 ml, 16.7 ml, 16.6 ml, 16.4 ml, 7.2 ml •• ¿Cuál es la media y la mediana del conjunto de datos? •• ¿Qué hicieron para calcular la mediana? •• ¿Qué medida representa de mejor manera la estimación de la cantidad del líquido: la media o la mediana? ¿Por qué? d. Se llevó a cabo una encuesta entre 10 adultos sobre el número de televisiones que tenían en casa. El resultado de la encuesta arrojó que la media o promedio de aparatos era de 2.7 televisores por hogar. •• ¿Qué información podemos obtener a partir de la media? •• ¿Cuántos televisores se contabilizaron? ¿Cómo lo determinaron? •• ¿Hay más familias con 2 televisores o menos, o más familias con 3 televisores o más? ¿Por qué? Inventa una lista de 10 datos que cumplan con la media que se indica.

GLOSARIO Mediana. Valor que se encuentra a la mitad de un conjunto de números cuando están ordenados de menor a mayor o viceversa.

Tomo Nota La media es una medida de tendencia central que permite realizar repartos. También sirve para representar un conjunto de datos y permite obtener una estimación de una medida, cuando se encuentra aproximadamente en el centro de los valores.

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. ¿Por qué es útil conocer la media y mediana de un conjunto de datos? ¿Por qué se le considera una tendencia central de un conjunto de datos? Discutan lo anterior en el grupo.

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 151

Medidas de tendencia central

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II. Identifico qué medida de tendencia central es más representativa de un conjunto de datos.

Durante una prueba física, el entrenador de un equipo de atletismo contó el número de abdominales que hacen los atletas durante un minuto. Los resultados fueron los siguientes: 42, 42, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 54, 55. 1. Calculen en parejas la media, mediana y moda del conjunto de datos y respondan lo que se pide. Media: __________

GLOSARIO Moda. El valor que más veces se repite en un conjunto de datos.

Mediana: __________

Moda: __________

yy ¿Considerarían a la moda para representar el rendimiento de los atletas? ¿Por qué? _______________________________________________________________ yy ¿Qué medida resulta más representativa del conjunto de valores? ¿Por qué? ____________________________________________________________________ yy ¿Qué distancia hay de la media al 42? ¿Y al 55? _____________________________ yy Se dice que este conjunto de datos es simétrico respecto a la media. ¿Por qué consideran que se afirma esto? _________________________________________ Se elaboró una prueba para evaluar la habilidad lectora de algunos adultos. El número de palabras por minuto que leyó cada persona fue: 280, 260, 260, 285, 145, 290, 275, 260, 300, 310, 295, 285, 280 2. Ordenen los datos anteriores de menor a mayor y calculen la media, mediana y moda. Después, respondan. Media: __________

Mediana: __________

Moda: __________

yy ¿Los resultados de la prueba muestran un conjunto de datos simétricos o asimétricos? Expliquen su respuesta. ______________________________________ _____________________________________________________________________

Utilizo las TIC Ingresa a: cmed.mx/m134 Lee la información sobre media, moda, mediana y rango y resuelve los ejercicios; después valida tus respuestas.

152

Manuel dice que la media del conjunto de datos se ve afectada por el número 145. yy ¿Están de acuerdo con Manuel? ¿Por qué creen que piensa así? yy ¿Qué pasa con la media y la mediana si se elimina el 145 del conjunto de datos? yy ¿Qué medida consideran más representativa de los 13 resultados del estudio? Argumenten su elección. __________________________________________ ____________________________________________________________________ yy ¿Por qué consideran que las otras medidas no son representativas? ____________________________________________________________________

Estadística

Matemáticas 1 Book 2020.indb 152

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En una prueba para verificar el peso de bolsas de frijol, que supuestamente contenían 1 kg, se tomaron al azar 21 bolsas. Los resultados fueron los siguientes (las medidas están dadas en gramos): 890, 895, 895, 915, 935, 950, 955, 960, 965, 965, 980, 985, 995, 995, 995, 995, 1 000, 1 000, 1 000, 1 000, 1 005. 3. Calculen la media, moda y mediana de los datos anteriores. Media: __________ Mediana: __________

Moda: __________

yy ¿Alguna de las medidas se ve afectada por uno de los valores del conjunto? Argumenten su respuesta. yy De acuerdo con el valor de la media, ¿qué tipo de datos representa el conjunto? yy ¿La moda podría ser un dato representativo del conjunto? ¿Por qué? yy ¿Qué medida es más representativa del peso de las bolsas? En la siguiente tabla se muestra el número aproximado de habitantes de los 12 estados de la República Mexicana con mayor población en 2015, según datos del Instituto Nacional de Estadística y Geografía (inegi). Millones de habitantes

Estado

Estado

Millones de habitantes

Estado de México

16.2

Chiapas

5.2

Ciudad de México

8.9

Nuevo León

5.1

Veracruz

8.1

Michoacán

4.5

Jalisco

7.8

Oaxaca

3.9

Puebla

6.1

Chihuahua

3.5

Guanajuato

5.8

Guerrero

3.5

Fuente: http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/habitantes.aspx?tema=P 4. Realicen lo que se indica a partir de la información anterior. yy ¿Cuáles son la media, la moda y la mediana del conjunto? yy ¿Cómo afecta a la media el número de habitantes del Estado de México? yy ¿Cuál de las medidas anteriores es más representativa del número de habitantes de los 12 estados? Argumenten su respuesta. 5. Inventen un conjunto de 10 datos que muestre un dato atípico, cuya media sea 11.5, mediana 10.5 y moda 9. yy ¿Qué medida es más representativa de su conjunto de datos?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. ¿Qué sucede con la media cuando un valor es atípico? ¿Qué sucede con la moda y la mediana en estos casos? Discutan lo anterior en grupo y registren sus conclusiones en su cuaderno.

L20

Matemáticas 1 Book 2020.indb 153

Medidas de tendencia central

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III. Calculo el rango de un conjunto de datos estadísticos.

El rango de un conjunto de datos es el límite dentro del cual están comprendidos los valores de un conjunto. El rango es igual a la diferencia entre el valor máximo y el mínimo. Esta información permite establecer la dispersión de los datos; cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto. Utilizo las TIC Ingresa a: cmed.mx/m135 y averigua, en cada ejercicio, cuál es el rango de un conjunto de datos.

Las siguientes tablas muestran la edad de los jugadores de dos equipos de volibol. 1. Ordenen, en parejas, los datos de cada tabla de menor a mayor y determinen el rango de edad de cada equipo. Equipo Guerreros 23 años

26 años

27 años

23 años

22 años

25 años

25 años

24 años

30 años

31 años

18 años

Equipo Cuervos 27 años

26 años

29 años

29 años

26 años

yy ¿En qué equipo la edad de los integrantes es más dispersa? _________________ IV. Establezco la medida más adecuada para comparar dos conjuntos de datos.

1. Lean, en parejas, la información y resuelvan. yy Antonio y Joel pertenecen al mismo equipo de basquetbol. La siguiente lista muestra el número de puntos que cada uno anotó en los primeros 9 partidos de la temporada. Antonio se lesionó en el tercer partido y no jugó el cuarto por problemas con su lesión. Antonio: 20, 22, 5, 0, 18, 15, 23, 24, 22 Joel: 13, 16, 14, 18, 26, 25, 14, 12, 15 Calculen la media, la mediana, la moda y el rango de cada jugador. Jugador

Media

Mediana

Moda

Rango

Antonio Joel

yy ¿Cuál de los dos jugadores tiene mayor dispersión en sus puntajes? yy ¿Qué provoca la dispersión y cómo influye en la media de cada jugador? yy ¿Qué sucede en el caso de Joel? ¿Se podría decir que Joel es un jugador más consistente? ¿Por qué? yy Si quisieras hablar a favor de Joel, ¿qué medida de tendencia central usarías? ¿Sería justo? yy Si quieres hablar a favor de Antonio, ¿qué medida usarías? yy ¿Qué medida de tendencia central es la más justa para comparar el rendimiento de ambos jugadores? Expliquen su respuesta. yy Si sólo se consideran los siete partidos que jugó completos Antonio, ¿la media sería una buena forma de comparar el rendimiento de ambos jugadores?

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Estadística

Matemáticas 1 Book 2020.indb 154

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2. Calculen la media, mediana y moda de los siguientes datos y respondan. Calificaciones de Andrea: 9, 8, 5, 10, 7, 8, 6

Calificaciones de Sofía: 7, 9, 7, 7, 9, 7, 9

Media: ___ Mediana: ___ Moda: ___

Media: ___ Mediana: ___ Moda: ___

yy ¿Cuál es el rango de las calificaciones de cada alumna? ___________________ yy ¿Lo anterior podría determinar quién tuvo mejor rendimiento? yy ¿Quién consideran que tuvo mejor rendimiento? ¿Por qué? __________________ ____________________________________________________________________ yy ¿Qué medida les ayudó a decidirlo? ¿Por qué? ____________________________

Validen sus respuestas con otros compañeros. En caso de que existan diferencias, expresen sus argumentos con la idea de llegar a acuerdos. Practico

1. La media de la temperatura máxima de una ciudad durante 6 días consecutivos fue de 28.5 ºC y la mediana fue de 28 ºC. yy Al ordenar las temperaturas de menor a mayor, 27 ºC ocupó el tercer lugar. ¿Qué temperatura ocupó el cuarto lugar? yy Considerando las dos temperaturas anteriores y que las temperaturas estuvieron entre 26 ºC y 31 ºC, ¿cuáles fueron las temperaturas de los seis días? Ordénalas de menor a mayor. ___________________________________________________

Utilizo las TIC Para Elegir “la mejor” medida del centro entra a esta página, responde las preguntas, comprueba tus respuestas y lee la explicación que se te ofrece: cmed.mx/m136

2. Durante una competencia de tiro con arco, Alejandra obtuvo el siguiente promedio de puntuación en 8 rondas: 9, 8.5, 8.8, 8.6, 9.2, 5.8, 8.8, 8. yy ¿Cuál es la media de la puntuación de Alejandra? ____________________________ yy ¿Por qué la media no es representativa del rendimiento de Alejandra? ____________________________________________________________________ 3. La siguiente tabla muestra la venta de playeras de dos distintas sucursales durante las mismas semanas consecutivas. Tienda A

105

115

115

119

115

118

127

105

104

84

Tienda B

103

115

128

128

89

45

134

109

102

96

yy ¿Qué medida representa mejor las ventas de cada tienda? Explica por qué. yy ¿Cuál de ellas permite comparar de mejor manera las ventas de ambas tiendas? Argumenten su respuesta.

L20

Matemáticas 1 Book 2020.indb 155

Medidas de tendencia central

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Propiedades de la media

y la mediana

Exploro

Resuelvo problemas relacionados con la media de un conjunto de datos. En una tienda de videojuegos llevan un registro de las ventas diarias. En los últimos siete días vendieron 189 videojuegos: el mejor día vendieron 30 piezas y el peor, 24. Responde lo siguiente a partir de la información anterior. • ¿La media de las ventas durante los siete días puede ser superior a 30 piezas? ¿Por qué? __________________________________________________________ • Si alguien dice que la media de ventas diarias fue de 22 piezas, ¿qué le dirías? ¿Por qué? __________________________________________________________ • ¿Cuál fue el promedio o media de las ventas diarias? ¿Cómo lo determinaste? Anota un conjunto de posibles cantidades que representen la media de las ventas de la tienda. • ¿Son únicas o hay otras opciones? _____________________________________ • ¿Qué condición deben cumplir las cantidades para obtener la media?

Comenta tus respuestas con otros compañeros. ¿Qué características pudieron identificar en la media del conjunto de datos? Comenten lo anterior en grupo y registren sus acuerdos. Descubro y construyo

I. Identifico y establezco algunas de las propiedades de la media.

La media de un conjunto de datos tiene ciertas propiedades, las cuales descubrirás y establecerás en las siguientes actividades. 1. Resuelve, junto con un compañero. Karla recaba firmas para solicitar el apoyo de las autoridades en la realización de mejoras para su comunidad. En los últimos 5 días obtuvo un promedio de 18 firmas diarias. yy ¿Cuántas firmas recabó en esos 5 días? ___________________________________ yy Luisa le comentó a Karla que uno o más días recabó 18 firmas, porque ése es el valor de la media. Karla le respondió que no necesariamente tenía que pasar eso. yy ¿Están de acuerdo con la postura de Luisa? ¿Por qué? yy Anoten un conjunto de cantidades que justifique su postura. yy ¿Qué propiedad podrían determinar respecto a la relación de la media con el conjunto de datos?

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Estadística

Matemáticas 1 Book 2020.indb 156

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2. Lean la información y respondan. a. Un grupo de seis primos juntó $507.00 para comprarle un regalo a su abuelo. Las aportaciones fueron así: $70.00, $76.00, $80.00, $85.00, $91.00 y $105.00. yy ¿La media puede ser mayor que $105.00 o menor que $70.00? Argumenten su respuesta. yy Calculen la media de las aportaciones de los primos. yy ¿Habría un grupo de cantidades en los que la media fuera menor que el número más pequeño o mayor que el número más grande? Si su respuesta es positiva, escriban un ejemplo. yy ¿Qué condición cumple la media respecto a los valores extremos? yy En este caso, ¿con qué propiedad cumple la media? b. Otro primo quiere participar en el regalo para el abuelo y aporta $84.50. yy ¿Qué sucede con la media considerando al nuevo primo? ¿Por qué sucede esto? yy Si el primo no aportara dinero y sólo ofreciera una bolsa de regalo y el moño, ¿la media se mantendría o se modificaría? ¿Por qué? yy A partir de lo anterior, ¿qué propiedad de la media podrían establecer? La diferencia de un valor de un conjunto de datos con la media se llama desviación. Por ejemplo, si la media de un conjunto es 2.5 y un valor es igual a 2, entonces la desviación de dicho valor respecto a la media es 2 – 2.5 = –0.5. 3. Lean la información y resuelvan. La siguiente lista muestra el número de personas inscritas a 6 distintas actividades que se imparten en una casa de cultura: 8, 15, 19, 22, 24 y 26. yy yy yy yy yy yy

yy yy

¿Cuál es la media? Calculen la desviación de cada dato con respecto a la media. Ahora sumen los resultados anteriores. ¿Qué resultado obtuvieron? Si en un grupo hubiera 3 personas más, ¿cómo debe ser el número de personas de otro grupo para mantener la misma media? Escriban un ejemplo y calculen la media para validarlo. Imaginen que se agregan un par de actividades. Si en una se inscriben 17 personas, ¿cuántas personas tendrían que inscribirse en la otra para mantener la misma media? Argumenten su respuesta. Calculen la desviación de los valores anteriores respecto a la media y sumen los resultados. ¿Qué sucede con la suma de las desviaciones, se conservó el mismo resultado?

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 157

Propiedades de la media y la mediana

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4. Consideren el siguiente conjunto de valores y realicen lo que se pide. 5, 8, 10, 11, 11 yy Calculen la media: yy Calculen la desviación de cada dato respecto a la media: yy Sumen las desviaciones anteriores: yy Si al conjunto de datos se le agrega un valor cuya desviación respecto a la media es +4, ¿qué otro valor se debe agregar para mantener la misma media? 5. Utilicen la suma de las desviaciones y encuentren cuatro valores cuya media sea 19. yy ¿Qué hicieron para encontrar los valores? yy ¿Qué propiedades podrían establecer sobre la suma de las desviaciones respecto a la media? Compartan y validen sus respuestas con las de otros compañeros. Comenten acerca de las propiedades que aprendieron de la media y en qué situaciones podrían resultar útiles. II. Analizo las propiedades de la mediana de un conjunto de datos.

La siguiente tabla muestra los premios que se repartieron en una rifa, organizada por la junta de padres de familia de una escuela con el fin de recaudar fondos. Lugar

Boletos ganadores

Premio por boleto

Primero

1

$9 500

Segundo

2

$2 400

Tercero

3

$1 100

Cuarto

4

$ 700

1. Responde con base en la información de la tabla. yy ¿Cuánto dinero se entregó en premios? yy ¿La mediana puede ser mayor que 9 500 o menor que 700? ¿Por qué Realiza una lista que muestre todos los premios entregados, ordenados de menor a mayor. Después, responde con base en la información. yy ¿Cuál es la mediana? yy Si alguien piensa que la mediana es representativa del premio que recibieron las personas, ¿qué dirías? ¿Por qué? yy Si por alguna razón la persona que ganó el primer lugar no reclama el premio, ¿la mediana de los premios entregados se ve afectada? yy ¿Qué propiedades de la mediana identificaste en esta actividad?

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Estadística

Matemáticas 1 Book 2020.indb 158

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2. Lee la información y responde. Antes de una carrera de autos se llevan a cabo pruebas para determinar la posición en la que los pilotos arrancarán. La siguiente lista muestra, las velocidades promedio en km/h que alcanzaron los automóviles, ordenadas de mayor a menor: 235, 232, 232, 230, 229, 228, 226, 225, 223, 223, 221, 220, 218, 218, 180 yy ¿Cuál es la mediana? yy ¿La mediana puede ser diferente a uno de los datos cuando éstos son un número impar? ¿Por qué? yy Si se agrega un auto cuya velocidad sea de 225 km/h, ¿cuál sería la mediana en este caso? yy Y si la velocidad del auto que se agrega es de 220 km/h, ¿cuál sería la media? yy ¿Qué sucede con la representación de la mediana, entre los valores, cuando el número de valores es par? yy En un conjunto de datos, ¿cuántos valores son mayores o iguales que la mediana y cuántos son menores o iguales? yy ¿La mediana depende de la dispersión de los valores de un conjunto de datos? yy Con base en esta actividad, ¿qué propiedad de la mediana identificaste?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Comenten sus propuestas y busquen llegar a acuerdos. Validen su postura con el maestro. Practico

1. Determina qué opción representa la media del siguiente conjunto de datos, sin hacer cálculos: 36, 45, 28, 34, 26, 41. 26 35 48 24 yy ¿Qué hiciste para determinarlo? 2. En una familia cinco personas trabajan y el salario promedio individual es de $2 850.00 semanales. yy ¿De cuánto es el ingreso semanal de la familia? yy Si a quien menos gana le aumentan $300.00, ¿cuál es la nueva media del sueldo de la familia? yy ¿Qué sucede con la mediana? ¿Por qué? 3. En una casa de arte se llevó a cabo un concurso para artistas plásticos. Una artista obtuvo los siguientes puntajes por su obra: 5, 7, 8, 8, 8, 8, 9. Para calificar las obras, eliminan los puntajes más alto y más bajo y promedian los otros. yy ¿Cuál fue la calificación del artista? yy ¿Por qué consideras que se eliminan los puntajes más alto y más bajo? yy ¿Qué pasaría con la mediana si se siguiera el mismo sistema de calificación? 4. El número de calzado de un grupo de estudiantes es: 25, 29, 26, 26, 30, 26. a. ¿Cuáles son la media y la mediana? b. Se incorporan dos personas más al grupo, una de las cuales calza del 29, y se mantiene la misma media, ¿cuál es el número de calzado de la otra persona? c. ¿Qué sucedió con la mediana?

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Matemáticas 1 Book 2020.indb 159

Utilizo las TIC He aquí cuatro ejercicios para aplicar la suma de las desviaciones que trabajaste en la lección; responde la pregunta y pulsa “comprobar” para validar tu respuesta. cmed.mx/m137

Propiedades de la media y la mediana

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el dato menor y el mayor. 2. Las medidas de tendencia central: media, mediana y moda, representan, en un solo valor, a un conjunto de datos numéricos. 3. La media es igual a la suma de los valores del conjunto de datos entre el número de ellos. 4. La mediana es el dato que se encuentra a la mitad del conjunto. Si la cantidad de datos es un número par, se calcula con el promedio de los dos datos que están a la mitad.

1. Determina el rango de cada conjunto de datos. a. 2.5, 3.8, 0.3, 5.1, 6.2, 3.4 b. 74, 54, 45, 66, 74, 82, 69, 58

Rango: ___ Rango: ___

2. Calcula la media, mediana y moda del siguiente conjunto de datos. Estatura de un grupo de 10 personas, en centímetros: 172, 178, 169, 180, 172, 175, 172, 168, 179, 175 Media: ___ Mediana: ___ Moda: ___ yy ¿Qué medida consideras que es más representativa del conjunto de valores? yy Si se mide a una persona más, ¿qué estatura tendría si se mantuvo la misma media? _____________________________________________________________ yy Si la estatura de todas las personas fuera 2 cm mayor, ¿cuál sería la media de las estaturas? ___________________________________________________________ 3. Las ventas en toneladas, de una bodega de manzanas durante la última semana fueron las siguientes: 2.2 t, 2.4 t. 0.5 t. 2.5 t. 2.8 t. 3 t

5. La media se ve afectada por valores atípicos, es decir, muy dispersos respecto al resto del conjunto de datos.

yy ¿Cuáles fueron la media y la mediana de las ventas de la tienda? yy ¿Qué propiedad de la media y la mediana permite afirmar que la segunda es más representativa del conjunto de datos?

6. La media se modifica al aumentar un valor distinto a ella en un conjunto de datos.

4. Realiza una encuesta en tu grupo. Pregunta a tus compañeros cuántos hermanos tienen y calcula la media, mediana y moda. Determina qué valor es más representativo y describe el significado de la media si su valor es un número decimal.

7. La media y la mediana se encuentran entre los valores extremos de un conjunto de datos. 8. A la mediana no le afectan valores atípicos y no depende de la dispersión del conjunto de datos, sino del orden de los mismos.

160

5. Inventa una situación que incluya 8 cantidades con una media de 22.5 y una mediana de 26. ___________________________________________________________ yy ¿La media es representativa del conjunto de datos? ¿Por qué? ________________ _____________________________________________________________________ yy Agrega dos valores de manera que se mantengan las mismas media y mediana, ambos valores diferentes a estas medidas.

Estadística

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Logro ir más

allá

Un indicador del nivel de educación de una población es la media del número de años que las personas acuden a la escuela. En 2015 la Ciudad de México obtuvo el promedio de escolaridad más alto del país: sus habitantes mayores de 15 años tenían 11.1 años de escolaridad, lo que equivale a cursar hasta los dos años de bachillerato. Chiapas tuvo el menor promedio de escolaridad, con 7.2 años. Los promedios de escolaridad de la Ciudad de México y Chiapas son simétricos respecto a la media del país. yy Explica cómo se puede obtener la media de escolaridad del país. yy ¿Cuál es la media de años de escolaridad en el país? Guanajuato es de los estados con el promedio de escolaridad más bajo: 8.4 años, y Sonora es el estado con el tercer lugar nacional. yy Si la media de estos dos estados es igual a la media del país, ¿cuál es el promedio de escolaridad del estado de Sonora? Los países con el promedio de escolaridad más alto son: Noruega, 12.5 años; Nueva Zelanda, 12.5 años; Estados Unidos, 12.4; República Checa, 12.3 años y Alemania, 12.2 años. yy ¿Cuáles son la media y la mediana de estos países? yy ¿Por qué se puede afirmar que los valores son simétricos a la media? yy ¿Qué sucede con la media y la mediana de los países que se enlistan arriba si se agrega la información de México? yy En este caso, ¿la media sería representativa? ¿Por qué? yy ¿Cómo calificarías la media de México en comparación con estos países? Comenta lo anterior con tus compañeros. Con el apoyo del maestro, discutan sobre cómo mejorar el nivel de escolaridad del país.

L20

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Leo + Si tienes oportunidad ingresa a la página del inegi, Escolaridad: cmed.mx/m138 Aquí encontrarás información sobre el promedio de escolaridad en cada estado de México.

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Evaluemos

Itacate

lo aprendido

Reconoce tus emociones Comparte aquí tus reflexiones sobre el texto: "Agua que no ves" y las emociones que provocó en ti.

Revisa tu Itacate de evidencias antes de realizar tu evaluación.

I. Selecciona la opción correcta. Compara tus respuestas y procedimientos con un compañero.

1. Juan reparte el contenido de una botella de 2.5 l en envases de 625 ml de capacidad. Cuántos envases llenó completamente? a. 6 envases

b. 5 envases

c. 7 envases

d. 4 envases

2. De las 72 personas que asistieron a una fiesta infantil, las 2 partes eran mujeres y 3 de ellas las 3 partes eran niñas. ¿Cuántas niñas había en la fiesta? 4

a. 48 niñas

b. 36 niñas

c. 24 niñas

d. 44 niñas

3. En una caja hay 200 canicas verdes y rojas. Si por cada canica verde hay tres rojas, ¿cuántas canicas rojas hay a. 160 canicas

b. 140 canicas c. 130 canicas d. 150 canicas

4. Carmen compró 3.8 kg de pera a $48.50 el kilo. Si pagó con un billete de $200.00, ¿cuánto recibió de cambio? ¿Qué piensas que se quiere transmitir con ésta frase de Eden Ahbez?

Soy un ser del cielo y de la tierra, de truenos y relámpagos, de lluvia y viento, de las galaxias.

a. $15.70

b. $16.40

c. $21.70

d. $14.40

5. En una fotografía, Sandra mide 4.8 cm y su papá 7 cm. Si en una reducción a escala de la fotografía Sandra mide 3.6 cm, ¿cuánto mide su papá? a. 4.2 cm

b. 5.25 cm

c. 5.6 cm

d. 6.5 cm

6. Al resolver la ecuación 7x − 5 = 3x + 21 se obtiene: M1-MOD2-TANGRAM

a. x = 3.75

b. x = 2.5

c. x = 6.5

d. x = 1.5

7. Las 7 piezas forman un Tangram de 12 cm por 12 cm. ¿Cuál es el área del paralelogramo de color verde? a. 18 cm2

b. 12 cm2

c. 9 cm2

d. 16 cm2

8. ¿Qué número corresponde al término 75 de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19,…? a. 295

b. 299

c. 303

d. 291

9. ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 8.2 cm y 12.4 cm? a. 10.30 cm2

b. 25.42 cm2

c. 42.60 cm2 d. 50.84 cm2

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10. ¿Qué número no forma parte de la sucesión 11, 30, 49, 68, …? b. 315 c. 695 d. 790 a. 390 M1-MOD2-II-1

II. Resuelve los siguientes problemas.

1. Se diseña una loseta recortando cuadrantes de círculo de cada vértice de un cuadrado de 12 cm por lado. Si se colocan tres de estas losetas en fila, ¿cuál es el perímetro de la figura que se forma?

12 cm

4 cm

2. En un grupo de diez estudiantes, cada uno pesa 58 kg en promedio. Si se sabe que tres de ellos pesan en promedio 65 kg cada uno, ¿cuánto pesa en promedio cada uno de los 7 restantes? 3. Daniela tiene cierta cantidad de dinero ahorrado. Cuando su hermano le pregunta cuánto tiene, contesta: “La tercera parte de mis ahorros más $45.00 corresponden al doble de lo que tengo ahorrado”. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado Daniela? III. En parejas, lean el texto de inicio del Módulo 2 y contesten:

yy Calculen, con base en la siguiente tabla, su huella hídrica de hábitos alimenticios según lo que consumen comúnmente durante un día (desayuno, almuerzo, comida y cena). Alimento (kg) Carne de res

Peso en agua (litros)

Alimento (kg)

15 000 Lechuga

Carne de cerdo

6 500 Aguacate

Pollo

4 500 Papa

Huevo

3 500 Papas fritas en bolsa

Slachicha

11 500 Leche

Peso en agua (litros) 250 1 300 250 1 800 1 000

Arroz

2 500 Azúcar

Trigo

1 800 Jugo de naranja natural (litro)

200

Maíz

1 500 Jugo de manzana natural (litro)

350

Frijol

350 Jugo de naranja envasado (litro)

Jitomate

200 Jugo de manzana envasado (litro)

1 800

680

Itacate

1 200

yy ¿Cuál es su huella hídrica de hábitos alimenticios anual? yy En grupo, escriban en el pizarrón los datos anteriores de cada alumno y calculen la media y la mediana. yy ¿Qué medida de tendencia central representa mejor la huella hídrica alimenticia anual del grupo? Verifiquen, en parejas, que completaron correctamente los Tomo Nota de este Módulo.

Registra, en Notas para tu Itacate, qué contextos de las actividades te gustaron más. ¿Cuáles fueron las mejores experiencias al trabajar con tus compañeros? ¿Tiene esto algún valor para tí? ¿Por qué?

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Autoevaluación Mis logros y metas Como has completado y revisado tu Itacate de evidencias, ya puedes reconocer cómo has aprendido, ahora completa este cuadro. Escribe lo que se pide en cada caso. LO SÉ HACER

LO SÉ INDICADOR DEL LOGRO

Tengo el conocimiento Sí

Aún no

Desarrollé las habilidades para representar y seguir procedimientos Sí

Aún no

Resuelvo problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales. Calculo valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación). Resuelvo problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales. Formulo expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utilizo para analizar propiedades de la sucesión que representan. Calculo el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas. Uso e interpreto las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decido cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

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LO VALORO

COMENTARIOS

Habilidades del siglo xxi

os Sí

No

¿Cómo lo lograré?

Marca con una (3) las habilidades que consideres que has alcanzado: Confío en mí Percibo mis emociones Soy responsable Muestro empatía Tengo sentido de comunidad Me comunico Colaboro / participo Me adapto Muestro creatividad Muestro curiosidad e interés Tengo iniciativa Soy persistente Planteo metas positivas Resuelvo problemas Manejo la información Uso los medios Manejo la tecnología Soy consciente del mundo natural y social

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Blanco hielo, Cuando bebas agua es de lluvia mensajero. recuerda la fuente… proverbio proverbio chino

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3

er

Módulo

Consumo sustentable ¿Cuánta agua se necesita para vivir como vivimos? Los hábitos alimenticios, los patrones de consumo y el estilo de vida (transporte, tecnología, entretenimiento, ocupación, aficiones) determinan el tamaño de tu huella hídrica personal y, por lo tanto, de tu impacto en la disponibilidad de agua. Conocer tu huella hídrica puede ayudarte a tomar decisiones sustentables de consumo... y no sólo de agua. Por ejemplo: Cuanto más elaborado es un producto, más agua se utiliza para fabricarlo: Naranjas para 250 ml de jugo = 50 litros 250 ml de jugo de naranja envasado = 170 litros Cuanto más empaque lleva un producto, más agua se utiliza: Papas para 100 g de papas fritas = 25 litros Bolsa de 100 g de papas fritas = 180 litros Cuanto más tiempo lleva un proceso, más agua utiliza: 1 kilo de carne de res (3 años) = 15 000 litros 1 kilo de pollo (4 meses) = 3 200 litros Además, si tomas en cuenta que para producir unos jeans se utilizan 10 000 litros, para una playera 2 500 y para un par de zapatos 8 000, ¿cuánta agua tienes secuestrada en tu clóset? Reflexiona sobre esta ¡Haz la cuenta! nota porque la retomarás en la evaluación final del Módulo. módulo.

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Ruta de Aprendizaje

Eje

Número, Álgebra y Variación

Proporcionalidad Funciones

y división

Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, solo números positivos).

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

22

23

24

25

26

Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis

Ecuaciones lineales III

Tanto por ciento

Cálculo de porcentajes

Diferentes representaciones de una relación con variación lineal

Lección

Tema

Ecuaciones

Aprendizaje esperado

Multiplicación

Proyecto

Logro ir más allá

M1-3-L22-LOGRO IR MÁS ALLÁ

Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

44 4x4

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Forma, Espacio y Medida

Análisis de Datos

Magnitudes y medidas

Estadística

Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares

27

28

29

30

31

Razón de cambio y pendiente

Fórmulas para calcular el volumen de cubos y prismas rectos

Relación entre el decímetro cúbico y el litro

Problemas de volumen

Gráficas circulares

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Jerarquía de operaciones

y uso de paréntesis

Exploro

Analizo distintos resultados para una misma operación. Resuelve mentalmente las siguientes operaciones y anota el resultado. a. 2 + 6 × 5 = ______

b. 3 × 5 + 2 = ______

c. 14 ÷ 2 + 12 = ______

d. 3 − 9 ÷ 3 = ______

e. 22 − 4 × 3 ÷ 2 = ______

f. −9 + 36 ÷ 3 × 2 = ______

yy ¿Utilizaste el mismo procedimiento para resolver cada operación? ¿Cuál? María obtuvo los siguientes resultados. Anota una ✔ si obtuviste el mismo resultado que ella o una ✘ en caso contrario. a. 40 _______ b. 17 _______ c. 19 _______ d. –2 _______ e. 27 _______ f. 18 _______

yy En los casos que marcaste con una palomita, ¿cuál fue tu procedimiento? ______________________________________________________________ yy En los casos que marcaste con un tache, ¿cuál fue tu procedimiento para resolver la operación? ¿Qué procedimiento crees que utilizó María? ______________________________________________________________ yy ¿El procedimiento que utilizaste para resolver la operación del inciso “a” fue el mismo que utilizaste para resolver la del inciso “b”? ______________________________________________________________

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Compara tus respuestas con las de un compañero. Analicen los procedimientos que utilizaron en cada caso. Si las operaciones se pueden resolver de dos maneras, ¿cuál es el resultado correcto?

Multiplicación y división

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Descubro y construyo

I. Analizo los resultados que se obtienen al utilizar una calculadora científica para resolver operaciones.

1. Resuelve, en pareja, las siguientes operaciones utilizando una calculadora científica. a. 3 + 7 × 6 − 5 = ______ b. 5 − 15 ÷ 3 = ______ d. 5 − 24 ÷ 8 − 1 = ______ c. 11 − 2 × 5 + 1 = ______ f. 40 − 36 ÷ 4 × 2 = ______ e. 3 + 8 × 2 ÷ 4 = ______ 2. Analicen la operación de cada inciso, deduzcan en qué orden la realizó la calculadora y contesten. yy ¿Qué operación se efectuó primero en el inciso a? ¿Y en el inciso b? yy ¿En los incisos c y d se efectuaron primero las sumas y las restas? Explica tu respuesta. yy ¿En qué orden se efectuaron las operaciones en el inciso e? yy ¿En qué orden se efectuaron las operaciones en el inciso f? yy Si en una operación combinada hay multiplicaciones y divisiones, ¿qué operación se resuelve primero? Explica tu respuesta. Comparen sus respuestas con las de otra pareja. Escriban sus conclusiones respecto a qué sucede si en una operación se combinan varias operaciones; ¿cuáles se resuelven primero?, ¿cuáles después?, ¿en qué orden se resuelven las sumas en relación con las restas?, ¿en qué orden se resuelven las multiplicaciones en relación con las divisiones? II. Resuelvo operaciones considerando su jerarquía.

1. Resuelvan las operaciones. Consideren la jerarquía de las operaciones. a. 7 − 45 ÷ 5 + 2 = ______ c. 3 × 11 − 8 ÷ 2 = ______ d. 5 − 11 + 6 × 3 ÷ 2 = ______

b. 2 × 6 ÷ 3 + 9 = ______ d. 8 × 2 + 4 − 5 ÷ 5 = ______ e. −4 + 8 ÷ 4 + 5 × 3 + 2 = ______

Practico

1. Circula las operaciones en las que no se respetó la jerarquía al resolverlas. a. 2 + 16 ÷ 4 = 4.5

b. 5 − 2 × 3 + 4 = 13 c. 4 + 8 × 3 ÷ 2 = 16

d. 7 − 21 ÷ 7 + 3 = 7

e. 3 + 2 × 12 ÷ 3 − 4 ÷ 4 = 4

Tomo Nota Para hacer las operaciones de una expresión numérica que no tiene paréntesis existe un orden establecido, denominado jerarquía de operaciones, que consiste en resolver primero las multiplicaciones y divisiones, yendo de izquierda a derecha, y después las sumas y restas. Por ejemplo: 9 − 12 ÷ 4 = 9 − 3 = 6 o 24 ÷ 4 × 3 + 2 = 6 × 3 + 2 = ___ + 2 = 20

Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis

Matemáticas 1 Book 2020.indb 171

171

28/04/20 1:10


En matemáticas, los paréntesis se utilizan para señalar una multiplicación o como signo de agrupación que indica que se deben resolver primero las operaciones que están dentro de ellos. III. Analizo el uso de paréntesis en expresiones numéricas y algebraicas.

1. Considera las siguientes expresiones numéricas y algebraicas y contesta. b. 5.3 + 2 (4.5 − 1) = 12.3 a. 3 (7 + a) = 21 + 3a

La propiedad distributiva, distribuye la multiplicación sobre la suma o resta. Por ejemplo: 3(7 + 5) = 21 + _____ 5(n + 2) = 5n + 10.

d. p (m + 3 ) = pm + 3 p 4 4

e. (7.5 + 4) + (5 − 7) = 9.5

f. (8 × 12.25) ÷ (7 × 2) = 7

g. ( 3 + 7) − (3 + 1 ) = 4 2 5 5 5

h. (237 − 112) + 7 + (30 − 13) = 149

yy ¿En qué incisos los paréntesis se utilizan para indicar una multiplicación? yy ¿En qué incisos los paréntesis se utilizan como símbolo de agrupación? yy ¿En qué incisos los paréntesis no son necesarios, es decir, su uso no cambia el resultado?

Tomo Nota como su nombre lo indica,

c. (11 − 2)(17 − 7) = 90

2. Determina en qué operaciones los paréntesis no son necesarios, es decir, en qué casos su uso no cambia el resultado. Escribe Sí o No según corresponda. a. (3 × 8) + 13 = ____ b. (3 + 8) × 13 = ____ c. 13 × (8 + 3) = ____ d. 13 − (8 + 3) = ____

e. 3 + (8 × 13) = ____

f. (13 − 8) + 3 = ____

3. Selecciona la expresión numérica que modele cada situación. a. 12(118 − 14) b. 118 − 14 × 12 c. (118 + 14) ÷ 12 e. 118 × 14 × 12

f. 118 + 14 × 12

g. 118 + 14 ÷ 12

d. 12(118 + 14) h. 118 × 14 ÷ 12

______ En un huerto se recolectaron 118 manzanas. Al día siguiente se recolectaron 14 manzanas más y el total se guardó en cajas con 12 manzanas cada una. ¿Cuántas cajas hay? ______ Los 118 alumnos de primer grado de secundaria y los 14 de segundo donaron $12.00 cada uno para la kermés. ¿Cuánto dinero donaron en total? ______ En la tienda de Don Paco hay 118 botellas de aceite y llegaron 14 paquetes con 12 botellas cada uno. ¿Cuántas botellas de aceite hay en total?

172

Compara tus respuestas con las de un compañero. ¿Qué lugar ocupan las operaciones que están dentro de un paréntesis en la jerarquía de las operaciones? Juntos escriban cuál es la jerarquía para realizar las operaciones en una operación combinada que tiene paréntesis.

Multiplicación y división

Matemáticas 1 Book 2020.indb 172

28/04/20 1:10


Cuando se necesita agrupar operaciones que ya fueron agrupadas se utilizan otros signos, como los corchetes [ ] y las llaves { }. También la barra de división — resulta ser un signo de agrupación dado que señala que las operaciones del numerador y del denominador se deben realizar por separado. Para resolver una operación que tiene varios signos de agrupamiento, unos dentro de otros, las operaciones se llevan a cabo de adentro hacia afuera. Este proceso se conoce coloquialmente como “quitar paréntesis”. IV. Resuelvo operaciones combinadas que tienen signos de agrupación.

Resuelve, en pareja, las siguientes operaciones. Escribe tu procedimiento. a. 34 + (12 − 5) =

b. 4 (3 + 5) = 8×2

c. 2 [ 4 + 3 (11 − 3)] =

d. 3 + 2 ( 3 + 1 ) = 10 5 2 4

e. [ 73 − (4 ÷ 0.25)] × 8 =

f. {2 [11 − 4] + 1 ( 1 + 7.5)} × 1 = 2 2 3

+ 4.75) g. (5.5 − 3.25)(5.25 = 2(12.8 − 5.3)

Comparen sus resultados y sus procedimientos con los de otra pareja. ¿Coinciden? Si existen diferencias, ¿fueron al quitar paréntesis o fueron de cálculo? Comprueben sus resultados con una calculadora científica. Utilicen los paréntesis cada vez que quieran teclear un signo de agrupación. Practico

1. Escribe el enunciado de un problema que se modele con la expresión numérica: 100 + 3 (12.50 + 7.50) = 160 __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2. Resuelve las siguientes operaciones. a. 4 (3.5 − 0.75) = ____ 5

b. 14 + [(24 ÷ 8)] + 3(11.5) = ____

c. [(3 + 4) × 5] − 5 + 2 × 5 = ____

d. 4 {3 [5 (2 + 4 × 9 ÷ 6 )]}= ____

L22

Matemáticas 1 Book 2020.indb 173

Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis

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28/04/20 1:10


IV. Coloco paréntesis y signos de operación en expresiones numéricas para obtener cierto resultado.

1. Coloca los signos de agrupación necesarios para que se cumpla la igualdad. a. 5 × 1 − 3 + 2 = 0 c. 6 __ 9 – 1 + 3 = 66 e. 3 × 8 − 3 − 4 + 2 = 9 g. 2 × 4 + 12 ÷ 6 − 4 = 10

b. −4 + 9 × 3 = 23 d. 3 + 2 × 4 ÷ 1 = 20 f. 7 − 7 + 7 ÷ 7 + 7 = 8 h. 5 + 7 − 3 × 16 ÷ 4 + 4= 40

Trabajen en parejas. 2. Para cada situación, coloquen los paréntesis y los signos de operación que falten de manera que la expresión numérica resultante conteste la pregunta que plantea el problema. a. Si Gerardo sólo desea comprar la mesa y dos sillas, ¿cuánto deberá pagar? 6 000 ____ 2 ____ + ____ = ___________

$ 250.00

$ 450.00

M1-3-L22-DYC 1V-MESA Y SILLAS

$ 18

.

0

C/U 00

/U

$1 5 C .5

b. Nicolás le quiere regalar a su abuelita, por su cumpleaños, un arreglo floral, incluido el florero, como el que se muestra en la imagen. Si pagó con un billete de $1 000.00, ¿cuánto recibirá de cambio?

$3

78.

C/U

80

1 000.00 __ 11 × 18.00 __ 6 __ 15.50 + 378.80 = 330.20

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Multiplicación y división

Matemáticas 1 Book 2020.indb 174

28/04/20 1:10


c. Carlos quiere pintar su recámara rectangular de color verde, como se muestra VERDE en la figura. Si la puerta M1-3-L22-DYC mide 1.50 m IV deRECÁMARA alto por 0.7 m de ancho, ¿cuántos metros cuadrados en total va a pintar? 0.5 m 4.50 m

3.80 m 0.75 m 2m

2 × 2 __ 4.50 __ 2 × 3.80 ____ 0.5 __ 0.75 __ 1.5 × 0.7 = 31.775 m2

Comparen sus resultados con los de otra pareja. ¿Encontraron dos maneras distintas y correctas de colocar los paréntesis? Comprueben las operaciones utilizando una calculadora científica.

3. Trabajen en grupo. El objetivo del juego es conseguir el número 100 con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, con las reglas siguientes: a. Colocar los cuatro operadores +,−, ×, ÷ intercalados entre los dígitos. b. No se puede cambiar el orden en que aparecen los números, es decir, los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 deben permanecer en esa posición. c. Se puede utilizar la concatenación, es decir, se pueden juntar por ejemplo el 2, el 3 y el 4 para formar el 234. d. Se debe respetar la jerarquía de operaciones. ¿Cuántas maneras distintas encontraron? Practico

1. Escribe el número 24 utilizando algunas de las operaciones básicas (+, –, ÷, ×) y números iguales, que no sean el 8. 2. Coloca los paréntesis y los signos de operación que falten de manera que la expresión numérica que resulte conteste la siguiente pregunta. La familia González viaja 333 kilómetros para visitar a la abuela. El automóvil utiliza 5 litros de gasolina cada 100 kilómetros, y cada litro cuesta $17.20. ¿Cuánto dinero gastaron en gasolina? 5 __ 333 ÷ 100 __ 17.20 = ______

L22

Matemáticas 1 Book 2020.indb 175

Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Existe una jerarquía al realizar las operaciones en una expresión numérica o algebraica sin paréntesis: primero las multiplicaciones y las divisiones, yendo de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas.

1. Resuelve las siguientes operaciones utilizando la jerarquía de las operaciones. a. −4 + 7 × 0.4 − 8 + 22 ÷ 0.5 = ______ b. 15 ÷ 5 × 4 ÷ 12 = ______ c. 3 × 23 + 42 ÷ 2 = ______ d. 9 × 1000 + 8 × 100 + 7 × 10 + 6 = ______

2. Los paréntesis se utilizan para señalar una multiplicación o como signo de agrupación. Además, existen otros signos de agrupación: corchetes [ ], llaves { } y la barra de división —.

2. Coloca los signos de operación y los paréntesis que sean necesarios para que la igualdad se cumpla. 2 __ 2 __ __ 2 __ 2 __= 5 __ 77 __ 77 __ __ 7 = 8

3. Los signos de agrupación indican que se deben resolver primero las operaciones que estén dentro de ellos.

4. Resuelve las siguientes operaciones. Escribe el procedimiento.

4. Para resolver una operación que tiene varios signos de agrupamiento, unos dentro de otros, las operaciones se llevan a cabo de adentro hacia afuera. 5. Saber colocar paréntesis nos ayuda a comprender cómo se resuelven ciertos problemas.

e. 3 − 1 × 2 + 1 = ______ 4 2 4

3. Subraya la operación en la que no se respetó la jerarquía de operaciones. 2 + 5.5 × 3 + 12.6 ÷ 3 − 1 = 21.7 2 + 5.5 × 3 + 12.6 ÷ 3 − 1 = 24.8

a.

2 (7 + 9) = ___ 8 (– 1 + 9)

b. 2 [6 (12 − 8) + 7 (17 − 9)] + 4 = ___ c. 7 + 3 {1 + 5 [2 (9 − 7) + 4] + 2} = ___

M1-3-L2

2-EVALU

O MI AV ANCE

5. Escribe una expresión que te permita calcular el perímetro de la figura. Utiliza π en lugar de su valor.

40 m

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Multiplicación y división

Matemáticas 1 Book 2020.indb 176

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M1-3-L22-LOGRO IR MÁS ALLÁ

Logro ir más

allá

El reloj de los cuatro números 4

El reloj de la figura marca las 11 en punto. El número 11 se construyó utilizando únicamente cuatro números 4.

44 4x4

¡Ahora es tu turno! El objetivo de la actividad es terminar de construir el reloj escribiendo los números naturales del 1 al 10 y el 12 mediante el uso de cuatro números 4 únicamente. Las operaciones permitidas son suma, resta, multiplicación y división, y la concatenación: usar el 44 es válido, y en este caso se han utilizado ya dos cuatros. Utilicen paréntesis como crean conveniente.

Para el número 11 se utilizó la raíz cuadrada, pero no será necesario que la usen para los otros números. Observa también que el 0 se escribió de dos maneras distintas.

0 = 44 − 44

0= 4 − 4 4 4

1 = 7 =

2 =

8=

3 =

9=

4 = 10 = 5 = 12 = 6 = yy ¿Les fue posible escribir todos los números? ¿Cuáles les faltaron? yy Comparen sus respuestas con las de otro equipo. Comprueben con una calculadora científica que sean correctas y construyan su reloj.

L21

Matemáticas 1 Book 2020.indb 177

L22

177

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Ecuaciones

lineales III Exploro

Expreso algebraicamente la igualdad del área de dos figuras geométricas. Considera que el rectángulo y el triángulo tienen la misma área y encuentra el valor de la incógnita. La longitud de los lados está en centímetros y las figuras no están a escala. 7 2x +1

2 x + 33

Subraya las ecuaciones que resuelvan el problema. 14x + 1 = x + 33

7 (2x + 1) = 2 (x + 33) 2

14x + 7 = x + 33 7 (2x + 1) = 2 (x + 33)

yy ¿Las ecuaciones que subrayaste son equivalentes? Explica cómo puedes obtener una a partir de la otra. yy Elige una de las ecuaciones que modelan el problema y resuélvela. ¿Cuánto vale x? yy ¿Cuánto mide el área de las figuras?

Compara tus respuestas con las de un compañero. ¿Eligieron las mismas ecuaciones? Juntos determinen por qué son equivalentes. Descubro y construyo

I. Resuelvo ecuaciones lineales que tienen paréntesis.

1. Con un compañero, resuelvan las siguientes ecuaciones. Utilicen la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. a. −6a – 8 = 4(2a + 5)

178

b. 2 (3x + 1) = 5 + 2x

Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 178

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c. 3 (2z + 1) − 5 − z = 3 (1 + z)

d. 3 (1 + 2y) − y + 5 (y + 2) − 33 = 0

Comparen sus respuestas con otra pareja. Si hay diferencias, comprueben los resultados sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación original. 2. Resuelvan en su cuaderno las siguientes ecuaciones y relacionen las soluciones con las ecuaciones. a. 4(x + 2) − 11 − x = 0

x = 11 3

b. 2(x + 1) + 3(x + 2) = x + 16

x = 32

c. 4(x + 2) = 6 (5 + x) − 8x x = 1 d. 3 (2x + 4) = x + 19 4

x=2

Comparen sus respuestas con otra pareja. Juntos, escriban los pasos a seguir para resolver cualquier ecuación lineal con paréntesis. En grupo, compartan su trabajo y determinen cuál les parece más sencillo. Practico

1. Paulo y Selene teclearon el mismo número en su calculadora. Luego, Paulo tecleó la siguiente secuencia: + 7

=

×

4

=

Selene, por su lado, tecleó:

×

8

3

=

yy Si los dos obtuvieron el mismo resultado, ¿qué ecuación modela la situación? yy ¿Qué número teclearon al inicio? yy ¿Qué número obtuvieron al final? 2. Carmen resolvió las siguientes ecuaciones. A la solución de la ecuación de la izquierda le restó la solución de la ecuación de la derecha y obtuvo −3. ¿Qué números restó?

3 (x + 2) = 2 (4 + 2x)

− 20x + 8 (3x + 2) − 20 = 0

Utilizo las TIC Si tienes dudas o necesitas resolver más ejercicios, entra a: cmed.mx/m139

L23 Ecuaciones lineales III

Matemáticas 1 Book 2020.indb 179

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M1-2-L23-DESCUBRO Y CONSTRUYO 2-PP-human-PIXABAY-PI2136095

III. Utilizo distintas ecuaciones para resolver un mismo problema.

Dentro de 10 años tendré el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tengo?

1. Para resolver el problema que plantea Pepe, tres alumnos eligieron distintas incógnitas. a. Procedimiento de Paulo: eligió asignar la incógnita x a la edad actual de Pepe. Completa la tabla y escribe una ecuación que modele la situación. _______________ Edad hace 10 años

Edad actual

Edad dentro de 10 años

x

yy Resuelve la ecuación; x = ___ ¿Qué edad tiene Pepe? b. Procedimiento de Selene: eligió asignar la incógnita y a la edad de Pepe dentro de 10 años. Completa la tabla y escribe una ecuación que modele la situación. ___________ Edad hace 10 años

Edad actual

Edad dentro de 10 años y

• Resuelvan la ecuación; y = ___ ¿Qué edad tiene Pepe? c. Procedimiento de Ricardo: eligió asignar la incógnita z a la edad de Pepe hace 10 años. Completa la tabla y escribe una ecuación que modele la situación. ___________ Edad hace 10 años

Edad actual

Edad dentro de 10 años

z

yy Resuelve la ecuación; z = ___ ¿Qué edad tiene Pepe? 2. En grupo, resuelvan el problema por medio de dos ecuaciones diferentes. Indiquen a qué dato le asignan la incógnita. Tres veleros hacen exactamente el mismo crucero por el Mediterráneo. El primero tarda 6 días menos que el tercero. El segundo tarda cuatro veces más tiempo que el primero y dos veces más tiempo que el tercero. ¿Cuánto tiempo tarda cada velero? a. Asignamos la incógnita a: _______ b. Asignamos la incógnita a: _______

180

Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 180

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III. Resuelvo problemas.

Lee y analiza cada una de las situaciones y contesta lo que se te pide. 1. Si a un recipiente con cierta cantidad de agua le añades 130 litros de agua tendrá el triple que si le quitaras 20 litros. ¿Cuántos litros de agua hay en el recipiente?

a. ¿Qué ecuación modela la situación? _________________________________ b. ¿A qué dato le asignaste la incógnita? _______________________________ c. ¿Cuál es la solución del problema? __________________________________ 2. Si un kilo de pera es $5.00 más caro que un kilo de manzana y si compro 6 kilos de pera y 4 kilos de manzana pago $480.00, ¿cuánto vale el kilo de cada fruta?

a. ¿Cuál es la ecuación que modela la situación? __________________________ b. ¿Cuál es la solución de la ecuación? _________________________________ c. ¿Cuál es la solución del problema? __________________________________ 3. En un avión viajan 330 pasajeros de tres nacionalidades: españoles, alemanes y franceses. Hay 30 franceses más que alemanes, y hay el doble de españoles que de franceses y alemanes juntos. ¿Cuántos pasajeros son españoles, cuántos son franceses y cuántos son alemanes?

a. Asigné la incógnita a: __________________________________ b. La ecuación que modela la situación es: ______________________________ c. ¿La solución de la ecuación es solución del problema? Explica tu respuesta. _______________________________________________________________

Comparen sus respuestas con las de otra pareja. Si hay diferencias en las ecuaciones planteadas, analicen a qué se deben: ¿asignaron de otra manera la variable?, ¿comprendieron de otra manera el enunciado?, ¿encontraron alguna que les parezca más clara para lograr expresar las ecuaciones?, ¿les sirve representar el problema con dibujos, por ejemplo, o haciendo una tabla? Si hay diferencias en la solución del problema, comprueben sus resultados e identifiquen dónde hay errores para corregirlos. Practico

1. Dentro de 9 años, la edad de Jorge será el triple de la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene hoy Jorge? 2. Un libro cuesta $125.00 más que un cd de música. Si compro tres libros iguales y dos cd iguales y pago $1 625.00, ¿cuánto cuestan los libros?

L23 Ecuaciones lineales III

Matemáticas 1 Book 2020.indb 181

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Para resolver ecuaciones lineales con paréntesis, es necesario eliminarlos utilizando la propiedad distributiva. 2. La ecuación que modela una situación depende de la asignación de la incógnita. 3. Distintas ecuaciones modelan el mismo problema.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones y escribe la solución. a. 10 (x + 1) – 4x = 4 (6 + x)

x = ____

b. 3b + 2 + 2 (b + 4) = 2 (2b + 3)

b = ____

2. Resuelve el siguiente problema de dos maneras: asignando el valor de la incógnita al valor del tercer ángulo y asignando el valor de la incógnita al valor del primer ángulo. Encuentra el valor de los tres ángulos de un triángulo si se sabe que el segundo es 10º menor que el tercero y que el primero mide el triple de lo que mide el segundo. Medida de los ángulos: ________________________________________________ yy ¿Cuál de las dos ecuaciones resolviste más fácilmente? yy ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo? 3. ¿Qué problemas permite resolver la ecuación 4x + 8 = 2 (x + 8)? ____ La edad de Aurora es el cuádruple de la edad de Elías, pero dentro de 8 años será el doble. ¿Qué edad tiene Elías? ____ La pila de libros de 4 cm de espesor que hice es 8 cm más grande que la pila que hice con los libros de 2 cm de espesor. ¿Cuántos libros de 2 cm de espesor hay? ____ Pensé un número y le sumé 8. Si multiplico este resultado por 2 obtengo el cuádruple del número aumentado en 8. ¿Qué número pensé? 4. Resuelve los siguientes problemas. Comprueba tu respuesta. a. Víctor tiene 42 años y sus hijos, 7 y 4 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será la suma del doble de la edad del hijo mayor y la edad del hijo menor? ____________________________________________________________ b. En una granja hay conejos y gallinas. En total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay? _____________________________________

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Ecuaciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 182

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Logro ir más

allá

Nicolás Chuquet fue un médico francés que vivió en la segunda mitad del siglo xv. Se sabe muy poco de su vida y de cómo y cuándo surgió su pasión por las matemáticas, pero se le considera el mejor matemático francés de ese siglo. En 1484 escribió su obra más importante: Tripartición en la ciencia de los números, que se publicó hasta el siglo xix pero que matemáticos del Renacimiento europeo estudiaron, reconociendo a su autor como uno de los pioneros en el desarrollo del álgebra. En su libro, Chuquet presentó el siguiente acertijo: Un comerciante visita tres ferias. En la primera duplica su dinero y gasta 30 francos. En la segunda triplica su dinero y gasta 54 francos. En la tercera cuadruplica su dinero y gasta 72 francos. Si le quedan 48 francos, ¿Qué cantidad de dinero tenía al inicio? Reúnete con un compañero para resolver el acertijo. Contesten las siguientes preguntas y comprueben si la solución que encontraron es correcta. yy yy yy yy

¿Cuántos francos tiene el comerciante al iniciar la feria? ¿Cuánto dinero tiene al terminar la primera feria? ¿Cuántos francos tiene al terminar la segunda feria? ¿Cuánto dinero tiene al terminar la tercera feria? ¿Coincide con lo que dice el problema?

L23

Matemáticas 1 Book 2020.indb 183

Leo +

Entra a esta página, donde podrás leer más sobre la vida de Chuquet. Te sorprenderás de todo lo que este médico-matemático hizo por el álgebra. ¿Crees que él también se sorprendería si supiera lo mucho que agradecemos sus aportaciones matemáticas? cmed.mx/m140

183

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Tanto por

ciento Exploro

Calculo qué cantidad representa una parte de un todo. La obesidad se ha vuelto un problema de salud pública en México. Actualmente 7 de cada 10 adultos en México tienen problemas de sobrepeso y obesidad.

Leo + Entra a esta página para saber más sobre obesidad y sobrepeso y las acciones y programas que tiene la Secretaría de Salud para prevenirlas: cmed.mx/m141

1. Responde a partir de la información anterior. yy ¿Qué fracción de la población en México tiene problemas de sobrepeso y obesidad? yy De un grupo de 100 personas en México, ¿cuántas se espera que padezcan obesidad? ¿Y de un grupo de 200 personas? yy En un grupo de 500 personas, ¿cuántas podrían tener problemas de obesidad y sobrepeso? yy ¿Cómo se puede calcular la cantidad de personas con posibles problemas de obesidad en una población de cierto número de personas? 2. Analiza la información de la tabla, presentada en una revista de nutrición para deportistas, en la que se muestran diferentes rangos de porcentajes de grasa corporal en hombres y mujeres, y su posible nivel de obesidad.

Hombre

Nivel

Mujer

2 a 4%

Grasa esencial

10 a 12%

5 a 13%

Atletas

13 a 16%

14 a 16%

“Fitness” (ejercicio continuado y sostenido)

17 a 19%

17 a 23%

Aceptable

20 a 26%

24 a 26 %

Sobregraso moderado

27 a 29%

27 a 29%

Sobregraso en riesgo

30 a 32%

30 a 32%

Obeso

33 a 35%

33 a 35%

Obeso en riesgo

36 a 38%

36% o más

Obeso mórbido

39% o más

184

yy Raúl pesa 70 kg y ¼ de su peso es grasa. Según su porcentaje de grasa, ¿en qué nivel se encuentra? yy Una mujer pesa 60 kg, es decir, se encuentra en la media del nivel de “grasa esencial”. ¿Cuántos kilogramos de grasa tiene en promedio? yy Un hombre de 90 kg, ¿cuántos kilogramos de grasa mínima debe tener para ser obeso? yy Si una persona pesa 80 kg y su índice de masa corporal (imc) indica que tiene 16 kg de grasa, ¿qué fracción de su peso es grasa?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Cómo calcularon los respectivos porcentajes? ¿Qué representa que ¼ del peso de una persona sea grasa? ¿Cómo se relacionan las fracciones con los porcentajes? Compartan su opinión sobre el problema del sobrepeso y la obesidad en México y cómo se podría solucionar o prevenir. Comenten sus propuestas en grupo.

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 184

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Descubro y construyo

I. Calculo el porcentaje de cantidades dadas.

Paúl participa en un concurso de chistes donde los jueces son las 100 personas que se encuentran en el público. Después de que los participantes cuentan su chiste, el público da su opinión apretando uno de los tres botones que indican si el chiste fue: bueno, malo o regular. Los cinco participantes que mayor porcentaje obtienen en la categoría bueno pasan a la final. La siguiente tabla muestra el porcentaje que obtuvo Paúl en cada una de las categorías. 1. Calcula el número de votos que obtuvo Paúl en cada categoría y completa la tabla. Categoría

Porcentaje

Bueno

60%

Regular

30%

Malo

10%

Número de votos

yy ¿Qué hiciste para obtener el número de votos en cada caso? Paúl logró pasar a la final y, durante la misma, obtuvo el tercer lugar. En esta ocasión fueron 200 las personas que acudieron al evento y emitieron su voto. La tabla muestra el porcentaje que obtuvo Paúl en cada categoría. 2. Anota los votos correspondientes. Después, responde. Categoría (Paúl)

Porcentaje

Bueno

65%

Regular

20%

Malo

15%

Número de votos

yy ¿Qué procedimiento seguiste en este caso? yy El primer lugar obtuvo 78% de votos en la categoría bueno y el segundo lugar, 72%. ¿Cuántos votos obtuvo cada uno? yy Si en la final hubieran votado 40 personas, ¿cuántos votos habría obtenido Paúl en la categoría bueno? yy ¿Y si hubieran sido 80 personas? ¿Qué hiciste para calcularlo?

Compara tus estrategias y procedimientos para calcular los porcentajes con los de otros compañeros. ¿Fueron diferentes? Si obtuvieron los mismos resultados, comenten por qué los procedimientos permiten llegar al resultado correcto. En caso de que haya diferencias, revisen sus procedmientos en busca del error para corregir.

L24 Tanto por ciento

Matemáticas 1 Book 2020.indb 185

185

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II. Utilizo diferentes formas para representar y calcular un tanto por ciento.

El porcentaje o tanto por ciento de una cantidad corresponde a “n de cada 100”, es decir, una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicha cantidad (uno o varios centésimos de un número). De acuerdo con lo anterior, es posible representar un porcentaje como número decimal y como fracción. 1. Completen, en parejas, y escriban los porcentajes como fracción irreducible y como número decimal, y calculen el porcentaje correspondiente. Porcentaje

Como fracción

Cómo número decimal

Total

25% de 150 34% de 300 60% de 400

yy ¿Cómo puedes calcular un porcentaje de una cantidad a partir de su representación como fracción? yy ¿Cómo se calcula un porcentaje cuando está representado por un número decimal? 2. Resuelvan las siguientes situaciones. En el año 2015 se contabilizaron, en México, un poco más de 119 millones de habitantes, según la Encuesta Intercensal del Instituto Nacional de Estadística y Geografía (inegi). a. Según los datos de la encuesta, 27% de la población tiene 15 años o menos, 13 , 20 tienen entre 15 y 64 años y 8 de cada 100 personas son mayores de 64 años. yy ¿Qué porcentaje de la población tiene entre 15 y 64 años? yy ¿Qué porcentaje de la población es mayor de 64 años? yy ¿Aproximadamente cuántas personas corresponden a cada grupo de edad? b. Generalmente un espacio geográfico se divide en dos zonas: urbana (ciudad) y rural (campo). Según la encuesta, en el territorio nacional 39 de cada 50 personas viven en zonas urbanas y el resto lo hace en zonas rurales. yy ¿Cuántas personas en todo el país viven en el campo? yy ¿Qué porcentaje de la población de México representan?

186

Comparen sus respuestas y estrategias para calcular porcentajes con las de otros compañeros. ¿Emplearon la misma estrategia? ¿Cuál les pareció más eficiente? ¿Consideran el cálculo de porcentajes como una relación de proporcionalidad directa? ¿Por qué? Discutan lo anterior para llegar a acuerdos y valídenlos con su profesor.

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 186

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III. Encuentro la cantidad finalM1-3-L24-COMPUS-DYCII después de aplicar un porcentaje.

Gabriela fue con sus papás a una tienda de electrónica a comprar una computadora. Al llegar notaron que en la tienda había promociones especiales de aniversario. La siguiente imagen muestra dos computadoras que le interesaron a Gabriela y el descuento que tenía cada una.

$ 15 450

$ 16 220

12% de descuento

15% de descuento

1. Analicen, en parejas, la situación anterior y resuelvan. a. ¿Cuánto se tiene que pagar por cada modelo después de aplicar el descuento? __________________________________________________________________ b. ¿Cómo lo determinaron? ____________________________________________ c. Para calcular lo que debe pagar, Gabriela multiplicó el precio de la primera computadora por 0.88 y el precio de la segunda por 0.85. Explica por qué su procedimiento es correcto. __________________________________________ d. Gabriela compró la computadora que tiene 12% de descuento. Al pagar en la caja le informaron que tenía un 5% adicional sobre el precio final; ¿cuánto pagó por el equipo? ________________________________________________ 2. Calculen lo que se paga por los siguientes aparatos de acuerdo con el porcentaje de descuento correspondiente. Precio inicial

Porcentaje de descuento

Consola de videojuegos

$ 5 850.00

8%

Smart TV

$10 435.00

25%

Bocina bluetooth

$ 4 122.00

20%

Computadora de escritorio

$18 370.00

5%

Aparato

Precio final

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. ¿Qué procedimiento resulta más sencillo para calcular la cantidad final después de aplicar un porcentaje de descuento? Registren sus acuerdos.

L24 Tanto por ciento

Matemáticas 1 Book 2020.indb 187

187

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IV. Determino qué porcentaje representa una cantidad de otra.

La maestra planteó el siguiente problema a sus alumnos: Para la presentación de un nuevo producto, los fabricantes organizaron un evento de dos días e invitaron a 180 personas cada día. El primer día, 45 no pudieron asistir al evento. ¿Qué porcentaje de los invitados no asistió al evento el primer día? yy Emma propuso que el problema se puede ver como una relación de proporcionalidad: como 180 personas representan 100% de los invitados, hay que calcular qué cantidad (porcentaje) le corresponde a 45 personas y se plantea de la siguiente forma: 180 = 45 , se multiplica 100 × 45 y el resultado se divide 100 x entre 180. yy Samuel no está de acuerdo y dice que hay que calcular qué parte de 180 representa 45, para lo cual se divide 45 y el resultado corresponde al porcentaje 180 expresado como número decimal, luego es necesario multiplicarlo por 100 para escribirlo como porcentaje. yy Patricia dice que para obtener el resultado se multiplica 180 por 45, y como se quiere conocer qué porcentaje de 180 representa 45, entonces el resultado se divide entre 100%.

Tomo Nota Al calcular porcentajes intervienen 4 variables: cantidad total, 100%, cantidad parcial y porcentaje parcial, que se relacionan de la siguiente manera: Total ⇒ 100%

1. Comenten en parejas los procedimientos propuestos por los estudiantes y respondan lo siguiente: Calculen la respuesta con los tres procedimientos propuestos. Para validarla, calculen si el resultado corresponde a x% de 180 = 45. a. ¿Con los tres obtuvieron la misma respuesta? Si hubo diferencias, ¿en qué casos se dieron? ¿Cuál fue el error? b. ¿Alguno de los procedimientos les pareció más efectivo? ¿Cuál? c. ¿Qué porcentaje de los invitados no asistió el primer día? d. Si el segundo día asistieron 153 personas al evento, ¿qué porcentaje de los invitados no asistió?

Parcial ⇒ % Parcial Esta relación permite

2. Lean la información y anoten los porcentajes correspondientes en la tabla.

encontrar cualquier valor desconocido a partir de las otras tres variables. Por

En una escuela de idiomas se imparten clases de inglés, francés, portugués e italiano. Este semestre están inscritos 132 estudiantes.

ejemplo: ¿Qué porcentaje de 80 representa 25?

Idioma

Se plantea así:

Alumnos inscritos

80 ⇒ 100% 25 ⇒ x %

Porcentaje

Por tanto, x = 25 × 100 = _________. 85

188

Inglés

Francés

Portugués

Italiano

46

37

33

16

a. ¿Qué procedimiento siguieron para completar la tabla? b. Al sumar los porcentajes, ¿obtuvieron el 100%? ¿Por qué creen que sucede?

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 188

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3. Analicen la información y determinen el valor de x en cada caso.

x% 100%

119 x = ____ 340

120 52.8 x = ____ 100% x%

100% 16.5

x% x = ____ 3.3

x% 100%

119 x = ____ 340

yy ¿Qué diferencias y similitudes observan entre las distintas relaciones? 4. Completen la siguiente tabla. Calculen qué porcentaje representa la “cantidad parcial” de la “cantidad total” en cada caso.

Cantidad total

Cantidad parcial

42

14

380

247

30

4.5

Porcentaje que representa

Comparen sus respuestas y procedimientos para calcular qué porcentaje representa una cantidad de otra. Discutan los diferentes procedimientos para realizar los cálculos correspondientes. Comenten cuál les parece mejor, argumentando su postura.

Leo + Ingresa a: cmed.mx/m142 y resuelve los problemas de cálculo de porcentajes que ahí se proponen. Entra a estas páginas para practicar de fracción a porcentaje: cmed.mx/m143 Y de porcentaje a fracción: cmed.mx/m144

Practico

1. En una comunidad, 3 de cada 10 hogares cuentan con servicio de internet. a. ¿Qué porcentaje de hogares cuenta con internet? b. Si en la comunidad hubiera 150 hogares, ¿cuántos tendrían internet? c. ¿Y si hubiera 600 hogares? ¿Y si fueran 1 200? 2. Una población escolar de 280 estudiantes se sometió a exámenes para ver si necesitaban lentes. Del total de la población, 3 resultaron con problemas de la vista. 8 a. ¿Qué porcentaje de la población escolar tiene problemas de la vista? b. ¿Cuántos estudiantes salieron bien en sus resultados? 3. María y su prima Luisa hicieron el examen de admisión para la preparatoria. La prueba fue de 128 reactivos. María obtuvo 75% de respuestas correctas y su prima Luisa obtuvo 88 aciertos. a. ¿Quién obtuvo mayor número de aciertos? ¿Por qué? b. ¿Qué porcentaje de aciertos obtuvo Luisa?

L24 Tanto por ciento

Matemáticas 1 Book 2020.indb 189

189

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Cálculo de

porcentajes Exploro

Calculo porcentajes a partir de promociones de descuento. ¿Cuántas veces te has encontrado con promociones como las que se muestran en las imágenes? “Paga uno y llévate 2”, “Todo al 3 × 2”, etcétera. Este tipo de promociones cuenta con algunas ventajas, pero también tiene sus inconvenientes, ya que invita al consumidor a “dejarse llevar” y adquirir productos que no necesita. Por ello es importante aprender a ser un consumidor responsable, porque en muchos casos no necesitamos adquirir más de una unidad de un mismo producto. Observa los anuncios de las promociones y anota en la tabla qué porcentaje del precio original se tiene que pagar en cada caso al comprar la promoción correspondiente. Considera que los productos son del mismo precio. 2 × 1 1/2

Promoción 2 × 1

Lleva 3 y paga 2

Compra 3 y llévate 4

yy Describe qué hiciste para determinar los porcentajes. yy Si se pagan $165.00 por dos pizzas del mismo precio, ¿cuánto se pagaría por ambas sin la promoción? yy Si en la promoción de zapatos para dama se pagan $930.00 por dos pares del mismo precio, ¿cuánto cuesta cada par de zapatos? yy ¿Qué hiciste para responder? yy Si por la promoción de llantas se pagan $2 655.00, ¿cuánto se pagaría por las 4 llantas sin la promoción? Explica tu respuesta. Los siguientes productos corresponden a su costo en la promoción “Lleva 3 y paga 2”. Anota el precio original, sin considerar el descuento. Costo con la promo

3 yogures $9.50

3 jugos $26.60

3 cajas de galletas $117.40

Costo original

190

Comenta tus respuestas con otros compañeros. El precio final en cada ejemplo corresponde a cierto porcentaje del precio original. ¿Cómo determinarían el precio original a partir de conocer el porcentaje y la cantidad que le corresponde? Discutan lo anterior en grupo y registren sus acuerdos.

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 190

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Descubro y construyo

I. Calculo la cantidad base al conocer una parte de ella y el porcentaje que representa.

México es el tercer país con mayor biodiversidad biológica en el mundo. Muchas de las especies de animales y plantas que hay en nuestro país son únicas, no existen en otros lugares del mundo. Estas especies se llaman endémicas. Por ejemplo, en México hay 2 692 grupos de peces, de los cuales 271 son especies endémicas, lo que representa 10.1% del total de los peces del país. 1. Resuelve, a partir de la información anterior y junto con un compañero, lo siguiente. En México existen 164 especies de mamíferos endémicos, lo que representa 30.65% del total de especies existentes. yy ¿Cómo calcularían el total de especies de mamíferos que hay en México a partir de la información anterior? yy ¿Cuántas especies de mamíferos hay en México?

Leo + En la siguiente página encontrarás más información sobre las especies endémicas en México: cmed.mx/m146

2. La tabla muestra las especies endémicas de diferentes grupos de animales y plantas de México. Complétenla redondeando los resultados. Especies endémicas

Porcentaje que representan

Reptiles

493

57.05%

Aves

Grupo

125

11.4%

Corales

18

12.95%

Musgos

103

10.49%

Total de especies en México

yy ¿Cómo calculas una cantidad a partir de conocer una parte de ella y el porcentaje que representa? 3. Calculen el porcentaje correspondiente al total de especies que obtuvieron, en cada caso, para validar que su cálculo fue correcto. 4. Completa las siguientes expresiones. a. 585 representa 30% de ________. b. El 18% de ________ es igual a 620.1. c. 1 012 es 55% de ________.

Validen sus respuestas con otros compañeros. Comparen sus procedimientos, y si son diferentes pero correctos, comenten cuál les parece más eficiente. Recuerden que diferentes caminos pueden llevar a un mismo resultado y ser igualmente eficientes.

L25 Cálculo de porcentajes

Matemáticas 1 Book 2020.indb 191

191

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II. Resuelvo problemas relacionados con porcentajes superiores a 100%.

1. Lean en equipo la información y resuelvan los problemas. a. Mónica vende productos naturales de salud y belleza, por catálogo. Ella obtiene diferentes ganancias por cada producto que vende, de acuerdo con el precio en que compra los productos. Por ejemplo, una crema hidratante para la piel le cuesta $380.00, pero la vende en $475.00. yy ¿Cuánto obtiene de ganancia por la venta de una crema? yy ¿Qué porcentaje del precio original representa su ganancia? yy El porcentaje que representa el precio de venta, en comparación con el precio de compra, ¿es mayor o menor que el 100%? Expliquen por qué. yy ¿Qué fracción del precio original representa el precio de venta? yy ¿Qué porcentaje del precio original representa el precio de venta? b. Mónica vende en $274.50 un aceite para manos que adquiere en $225.00. yy ¿Qué porcentaje de ganancia obtiene por la venta? yy Si Mónica obtiene 35% de ganancia en una pomada que compra en $415.00, ¿en cuánto la vende? yy ¿Qué hicieron para determinarlo? c. Mónica vende un champú en $212.75, lo que le reporta una ganancia de 15%. yy Si llamamos x al precio original, ¿qué ecuación permite obtener su valor? yy ¿Cuánto le costó el producto? La siguiente tabla muestra el porcentaje en que aumentaron los precios de algunos productos en una tienda de ropa. 2. Completen la tabla para conocer el precio final de cada producto. Precio original

Porcentaje de aumento

Pantalón

$580.00

5%

Chamarra

$875.00

12%

Camisa

$335.00

25%

Bermuda

$410.00

35%

Producto

192

Precio final como porcentaje

Precio final

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. ¿Cómo se calculan porcentajes mayores que 100% aplicando una sola operación? ¿El procedimiento para calcular porcentajes mayores que 100% es diferente de los empleados antes? Comenten lo anterior en grupo y validen su postura con el maestro.

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 192

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III. Calculo porcentajes relacionados con el iva.

El impuesto al valor agregado (iva) es un impuesto que se utiliza en muchos países del mundo al adquirir algunos productos y servicios. En México el iva generalizado es de 16%, aunque hay productos por los que no se paga este impuesto, por ejemplo las medicinas. Llegaron a una tienda de teléfonos celulares nuevos modelos de cierto precio, y los encargados de la tienda tienen que etiquetarlos para presentarlos al público con el iva incluido.

Utilizo las TIC Para calcular el iva entra a: cmed.mx/m147

1. Considera la información anterior y responde. yy El precio de venta de un teléfono es de $3 735.20; ¿cuál era el precio antes de etiquetarlo, es decir, antes de aplicarle el iva? yy Si el precio de un teléfono, después de aplicarle el iva, es de 5 475.20, ¿cuál era su precio original? yy ¿Cómo obtuviste los resultados? Explica tu procedimiento. yy ¿Cómo se obtiene el resultado con una sola operación? Utilizo las TIC

2. Completa la tabla. Modelo Precio sin iva

A

B

C

$6 815.00

$8 340.00

$9 216.50

Para practicar con propiedades de cálculo de porcentajes, ingresa a la página cmed.mx/m148 y resuelve los problemas.

Precio con iva

yy ¿Qué procedimiento te permitió obtener los precios finales?

Para resolver Problemas verbales de porcentaje ingresa a: cmed.mx/m149

Practico

1. Si 245 representa 80% de una cantidad, ¿cuál es esa cantidad? 2. Armando come todos los días en un lugar cerca de su trabajo. El mes pasado gastó en comidas $1 164.00, lo que representó 8% de sus ingresos. ¿Cuáles fueron los ingresos de Armando durante el mes? 3. Completen las siguientes relaciones. 85 161.55 ➝ 22.5 120% ➝ 100% 40% 100% ➝ ➝ 780

Y para practicar con problemas de descuentos, impuestos y propinas entra a: cmed.mx/m150

➝ 100% ➝

4. La producción de una finca de uva el año pasado fue de 24.5 toneladas y este año se incrementó 11%. ¿Cuál fue la producción de uva del último año? 5. El precio sin iva de un perfume es de $520.00. ¿Cuál es su precio después de agregar el impuesto? 6. En la compra de un sistema de karaoke se pagaron $3 074.00, incluido el 16% de iva. ¿Cuál es el precio del sistema sin iva?

L25 Cálculo de porcentajes

Matemáticas 1 Book 2020.indb 193

193

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Un tanto por ciento es una relación de proporcionalidad que implica determinar una parte de cada 100. 2. Un porcentaje puede representarse como fracción y como número decimal. 3. Los porcentajes superiores a 100% representan un número decimal mayor que 1. 4. Para calcular un porcentaje de una cantidad basta con multiplicarla por la representación del porcentaje escrito como número decimal. 5. La siguiente relación permite determinar cualquiera de las variables implícitas a partir de las otras tres:

Cantidad total

Cantidad parcial

100%

Porcentaje parcial

6. Mediante una ecuación de primer grado es posible encontrar alguna de las variables implícitas en la relación anterior.

1. En una población escolar de 395 estudiantes, 2 de cada 5 participan en alguna actividad deportiva fuera de la escuela. yy ¿Qué porcentaje de los estudiantes participa en una actividad deportiva? yy ¿Cuántos estudiantes son? 2. Calcula los siguientes porcentajes. Porcentaje

De:

35%

725

72%

848

115%

912

Es:

3. Una tienda tiene una promoción de 10% de descuento en sus productos, más 5% adicional sobre el precio rebajado. yy ¿El descuento es igual, mayor o menor que el 15% directo? ¿Por qué? yy Si un producto cuesta $450.00, ¿cuál es su costo después de aplicar los descuentos correspondientes? yy ¿Cuál es el precio final si se aplica un 15% de descuento directo? yy ¿Coinciden los resultados con tu primera respuesta? yy ¿Qué porcentaje del precio original se paga? ¿A qué porcentaje corresponde el descuento? ¿Resultó mayor o menor que el 15% de descuento directo? 4. Gabriela compró un libro que tenía 15% de descuento. Si el precio original era de $394.00, ¿cuánto pagó? 5. A un club de lectura asisten 32 personas, de las cuales 14 son hombres. ¿Qué porcentaje de los asistentes son mujeres? 6. En una fábrica produjeron 820 camisas de cierto modelo, de las cuales lograron vender 697 piezas. ¿Qué porcentaje de la producción vendieron? 7. Completa la tabla. Porcentaje

De:

Es:

62%

279

81%

1 741.5

122%

1 195.6

8. Una guitarra eléctrica cuesta $2 350.00 más iva. ¿Cuánto se paga por ella? 9. Si por una batería se pagan $5 417.20 con iva incluido, ¿cuánto se paga de iva?

194

Proporcionalidad

Matemáticas 1 Book 2020.indb 194

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Logro ir más

allá

En México, el Índice Nacional de Precios al Consumidor (inpc) indica el cambio promedio de los precios en el tiempo. Para medirlo, se elige una “canasta ponderada” de bienes y productos que represente el consumo de las familias en zonas urbanas, se calcula su costo mes por mes y se compara con los meses anteriores. La variación porcentual que experimenta el índice de precios con respecto al mes o año anterior se conoce como inflación. Una inflación elevada se refleja en el aumento en los precios de bienes, productos y servicios, lo cual reduce el poder adquisitivo. La siguiente tabla muestra la inflación en México durante los primeros nueve meses de 2017. La inflación se calcula considerando el cierre del mes o el último día del año anterior; es decir, la inflación de enero se calcula del 31 de diciembre al 31 de enero. Mes

Inflación

Enero

1.7%

Febrero

0.58%

Marzo

0.61%

Abril

0.12%

Utilizo las TIC

Mayo

–0.12%

Junio

0.25%

En la página cmed.mx/m151 podrás calcular la inflación en México en el periodo que elijas. ¡Utilízala!

Julio

0.38%

Agosto

0.49%

Septiembre

0.31%

Fuente: http://www.banxico.org.mx/portal-inflacion/inflacion.html

yy Cuál es la inflación acumulada, es decir, la suma de las inflaciones mensuales? Supongamos que al iniciar el año 2017 el precio de una canasta básica era de $845.00. Considera que, en cada caso, se considera la inflación acumulada hasta ese mes. yy ¿Cuál fue su precio al final del mes de septiembre? yy ¿Al final de qué mes el precio de la canasta básica era de $871.19? yy ¿En qué meses el precio fue el mismo? yy ¿Cuál era el precio? Escribe una expresión algebraica para calcular el precio de la canasta básica (x) si se conocen su costo inicial (C) y la inflación mensual acumulada (I).

L24

Matemáticas 1 Book 2020.indb 195

L25

En una hoja de cálculo electrónica coloca la información de la tabla en las columnas A y B, y en la columna C escribe las fórmulas correspondientes para realizar los cálculos. Por ejemplo, para el caso de enero, si su porcentaje está en la celda B2, anota: = (B2/100+1)*845.

195

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Diferentes representaciones de una relación con variación lineal Exploro

Represento gráficamente el comportamiento de dos fenómenos, los describo y los comparo. Dos automóviles iniciaron un viaje en carretera a la misma hora, en el mismo punto y en la misma dirección. Las siguientes tablas muestran su comportamiento durante el viaje. Automóvil 1

Tomo Nota

Tiempo (horas)

1

2

3

4

5

6

En un plano cartesiano, el

Distancia (km)

75

150

225

300

375

450

2

3

4

5

6

225

325

410

punto que corresponde a

Automóvil 2

la relación (x, y) se conoce como __________.

Tiempo (horas)

1

A x le corresponde el primer

Distancia (km)

90

y se le llama __________, y al segundo elemento, (y),

En los planos cartesianos, marca un punto en la coordenada que represente cada pareja de magnitudes del comportamiento de cada automóvil. Después, únelos con una línea.

se le llama __________.

y 475

A la coordenada (0, 0) se Distancia (km)

le llama origen.

y 475

450 425 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0

1

2

3

4

Tiempo (horas)

196

140 225 M1-3-L26-EXPLORO

Distancia (km)

elemento de la coordenada

5

6

7

x

450 425 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0

1

2

3

4

5

6

7

x

Tiempo (horas)

yy ¿En algún momento los automóviles recorrieron la misma distancia en el mismo tiempo? Si es así, ¿en qué momento? yy ¿Cómo se observa lo anterior en las gráficas? yy ¿Cómo fue el comportamiento del automóvil 1? ¿Qué tipo de relación representa? Explica tu respuesta. yy ¿Cómo fue el comportamiento del automóvil 2? yy ¿Qué sucedió con el automóvil 2 entre las horas 3 y 4? yy ¿En qué momento se movió a mayor velocidad el automóvil 2? ¿Cuál fue esa velocidad? Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Debatan sobre el comportamiento de los automóviles y cómo se refleja en la gráfica que uno de los automóviles siempre haya viajado a la misma velocidad.

Funciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 196

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Tomo Nota

Descubro y construyo

En matemáticas, cuando una

I. Represento algebraicamente la relación entre dos magnitudes a partir de una tabla o una gráfica.

variable depende del valor

Con el fin de obtener un ingreso extra, en su tiempo libre Mariana administra departamentos particulares que se rentan por tiempos breves a personas que buscan un alojamiento distinto a un hotel. Por cada espacio que se renta recibe $345.00 de comisión.

está en función de ella.

de otra variable se dice que

Por ejemplo, en una relación de la forma y = 3x o y = 4x + 5 el valor

1. Completen la tabla que muestra las rentas logradas por Mariana en las últimas cuatro semanas. Número de rentas

5

8

2

de la variable y depende del valor que se dé a la

6

variable x, que es la

Ingresos ($)

yy yy yy yy

variable inpendiente.

¿Cómo determinaron su ingreso extra? ¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente? Justifica tu respuesta. ¿Qué expresión algebraica representa la relación anterior? Si Mariana renta 15 espacios, ¿cuál es su ganancia?

2. Lean la información, analicen la gráfica y respondan. Arturo también se dedica a la renta de espacios, pero él tiene un sueldo fijo semanal más las comisiones por cada renta. Sus ingresos se muestran en la gráfica. yy ¿Cuál sería el ingreso semanal de Arturo si rentara 1, 3 o 5 espacios? yy Escriban una expresión algebraica que muestre la relación entre la variable dependiente y la independiente. yy ¿Qué diferencia observan entre las expresiones algebraicas de la cantidad de dinero que gana Mariana y la que gana Arturo?

y 4000

3000

2000

1000

0 1

2

Completa la tabla para calcular el ingreso de Arturo en las últimas 4 semanas, incluido su sueldo semanal. Número de rentas

5

3

4

5

8

6

7

2

8

9

10

x

6

Ingresos ($)

Validen sus respuestas. Comenten la estrategia que siguieron para determinar la expresión algebraica en cada caso. ¿Qué tipo de relación representan las expresiones de la forma y = ax? Busquen llegar a acuerdos y registren sus conclusiones.

L26 Diferentes representaciones de una relación con variación lineal

Matemáticas 1 Book 2020.indb 197

197

28/04/20 1:10


II. Expreso algebraicamente relaciones de variación lineal e identifico la gráfica que le corresponde.

Tomo Nota

1. Analiza las siguientes tablas y escribe la expresión algebraica correspondiente a cada relación.

La relación entre dos magnitudes con variación

x

y

x

y

x

y

1

1.7

1

4.5

1

5.4

son constantes y ___ es un

2

3.2

2

9

2

8.2

número cualquiera distinto

3

4.7

3

13.5

3

11

de cero. A la relación lineal

4

6.2

4

18

4

13.8

lineal es de la forma y = ax; y = ax + b, donde ___ y ___

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3

de la forma y=ax+b, también se le conoce como relación lineal afín.

yy ¿Qué hiciste para determinar la expresión algebraica en cada caso? yy ¿Qué tipo de expresiones algebraicas corresponden a cada tabla? yy ¿Cuál de las tablas representa una relación afín? M1-3-L26-DYC II-2 a cada una de las tablas anteriores. 2. Escribe qué gráfica le corresponde

y

y

y 30

34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

2

4

6

Tabla 1

8

10

12

x

0

1

2

3

4

5

6

7

x

16 15.5 15 14.5 14 13.5 13 12.5 12 11.5 11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

0

2

4

6

8

10

12

x

III. Completo una tabla de datos a partir de la expresión algebraica Tabla 2 Tabla 3 correspondiente.

Un automóvil se devalúa año con año, es decir, su valor decrece anualmente. El precio de un automóvil está representado por la expresión algebraica: y = 175 000 – 12 500x, donde x representa el número de años transcurridos. 1. Completa la tabla a partir de la información anterior. Tiempo en años

1

2

3

4

5

Precio del carro ($)

yy ¿Cuál será el precio del automóvil después de 8 años?

198

Compara tus respuestas con las de otro compañero. ¿Podrían graficar la relación anterior? ¿Cómo creen que sea la gráfica? Debatan sobre lo anterior en busca de llegar a acuerdos.

Funciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 198

28/04/20 1:10


IV. Trazo gráficas de relaciones lineales y las comparo.

Jorge se irá de viaje con su familia. Quiere rentar un automóvil y está comparando precios. En la compañía A le cobran $850.00 por día y en la compañía B le cobran $500.00 al rentar el automóvil más $700.00 por día de renta. 1. Completen, en parejas, las tablas del costo por la renta del auto en ambas compañías. Compañía A Tiempo (días)

Ingresa a: cmed.mx/m152, y representa algebraicamente las situaciones que se proponen.

Compañía B

Costo ($)

Tiempo (días)

1

1

2

2

3

3

4

4

Utilizo las TIC

Costo ($)

yy yy yy yy

¿Qué expresión algebraica representa el costo en cada compañía? ¿Qué compañía le convendría si quisiera rentar el automóvil 3 días? ¿Cuánto pagaría en cada compañía si rentara el automóvil 8 días? ¿Alguna de las compañías representa una relación de proporcionalidad directa? Justifiquen su respuesta. yy ¿Lo anterior se cumple en la compañía B? ¿Por qué? M1-3-L26-DYC III-2 2. Representa en el plano cartesiano correspondiente un punto para cada pareja de magnitudes y une éstas con una línea para obtener las gráficas correspondientes. Compañía A

y

Compañía B

y 6000

9000 8500 8000 7500 7000 6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

500 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

yy ¿Qué similitudes y diferencias observan en las gráficas? yy ¿Qué tipo de relación representa la gráfica que pasa por el origen?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Comenten y debatan sobre las diferencias entre las gráficas y en qué radican, de acuerdo con las expresiones algebraicas correspondientes.

L26 Diferentes representaciones de una relación con variación lineal

Matemáticas 1 Book 2020.indb 199

199

28/04/20 1:10


V. Completo tablas que representan una función lineal y las represento algebraica y gráficamente.

Marcelo cotiza, el mismo día, el precio del dólar en dos diferentes casas de cambio. En ambos casos el dólar está en $18.50 a la compra, pero la Casa A cobra $20.00 de comisión por la venta, mientras que la Casa B no cobra ninguna comisión. . 1. Completen, en parejas, las tablas, a partir de la información anterior. Casa B

Casa A Dólares

Dólares

Costo ($)

5

5

10

10

15

15

20

20

Costo ($)

yy Anoten la expresión algebraica que representa cada situación: Casa A: ________ Casa B: ________ 2. Tracen en el siguiente plano cartesianoIV-2 las gráficas de las relaciones anteriores. M1-3-L26-DYC

y 300 275 250 225

Costo ($)

200 175 150 125 100 75 50 25 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

x

Número de dólares

yy Si prolongan las gráficas hasta el eje y, ¿qué diferencias observan en ellas? ____________________________________________________________________ yy ¿Cómo es la gráfica que muestra una relación de proporcionalidad directa? yy ¿A qué se debe la diferencia en las gráficas? ______________________________ yy ¿Cómo se muestra esto en la tabla y en la expresión algebraica? _____________ ____________________________________________________________________

200

Funciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 200

28/04/20 1:10


Tomo Nota

VI. Completo tablas a partir de la información que muestra una gráfica y determino la expresión algebraica correspondiente.

La gráfica de una relación de variación lineal de la forma y = _____+ _____

Nadia y Roxana son ciclistas y entrenan sobre una carretera en un tramo de 50 km. Cada una inició su entrenamiento en un punto diferente de la carretera, como muestran las siguientes gráficas.

es una línea recta. El valor de b corresponde al punto donde la recta interseca el

M1-3-L26-DYC V-1

_____. Si b es igual a cero,

1. Analiza,en pareja, la información. Tracen en su cuaderno las tablas correspondientes a las gráficas. Después, respondan. 12 11.5 11 10.5 10 9.5 9 85 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

y

Nadia 10.2

11

9.4

km sobre la carretera

km sobre la carretera

y

8.6 7.8 7 6.2

5.4 3.8

0

4.6

2

4

6

8

10

x

13 12.5 12 11.5 11 10.5 10 9.5 9 85 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

relación de _____________

Roxana

_____________ y es de la

12

forma y = _____..

10.8 9.6 8.4 7.2

6 4.8 3.6 2.4 1.2 0

Tiempo (min)

la variación representa una

2

4

6

8

10

12

x

Tiempo (min)

yy ¿Quién empezó su entrenamiento al inicio de la carretera? ¿Cómo se muestra en la gráfica? yy ¿En qué punto de la carretera inició su entrenamiento la otra ciclista? yy ¿Qué expresión algebraica representa cada situación? yy ¿Qué gráfica muestra una relación de proporcionalidad directa?

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otros compañeros. Comenten y debatan sobre las características de las expresiones algebraicas y las M1-3-L26-PRACTICO correspondientes gráficas que representan una variación lineal. y

Practico 60

1. Traza la gráfica que corresponde a las siguientes tablas y determina la expresión algebraica correspondiente.

55

40

y

y

y

35

0

0

6

2

30

1

8

11

11

25

2

16

16

20

20

3

24

21

29

15

4

32

26

38

10

y=

y=

Ingresa a cmed.mx/m159 y responde la pregunta, comprueba tu respuesta y cuando aciertes, pasa a: “siguiente pregunta”.

45

x

y=

Utilizo las TIC

50

5 0

1

2

3

4

5

6

7

x

L26 Diferentes representaciones de una relación con variación lineal

Matemáticas 1 Book 2020.indb 201

201

28/04/20 1:10


Razón de cambio y pendiente Exploro

Respondo preguntas a partir de una gráfica que representa una relación de variación lineal. Cerca de la escuela de Emiliano hay dos lugares donde rentan computadoras con internet por fracciones o periodos de 15 minutos. El servicio se cobra de manera diferente en M1-3-L27-EXPLORO cada uno de los lugares, según se muestra en la siguiente gráfica: y

Costo ($)

Alta Velocidad Café Internet

x Periodos de 15 minutos

yy De acuerdo con la información de la gráfica, al iniciarse la renta, ¿cuál es la diferencia en la forma de cobrar de ambos lugares? yy ¿Cuánto se paga en ambos lugares por 30 minutos de renta? yy ¿En qué lugar el incremento de cada periodo de 15 minutos es mayor? ¿Cómo lo sabes? Escriban la expresión algebraica que represente el costo en cada lugar, en función de los periodos de 15 minutos: Alta Velocidad: ________ Café Internet: ________ yy ¿Cómo varía el precio entre el quinto y el octavo periodos de 15 minutos, en cada caso? Emiliano rentó una computadora en el Café Internet durante una hora y media, y antes de entregarla se la dejó a un amigo, quien la usó durante el mismo periodo de tiempo. yy Si Emiliano pagó su parte antes de dejar la computadora a su amigo, ¿cuánto pagó cada uno? Si hubieran rentado la computadora en Alta Velocidad, ¿cuánto habría pagado cada uno?

202

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten sobre el comportamiento de ambas gráficas en periodos de tiempo consecutivos; ¿cómo pueden determinar dicho comportamiento?

Funciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 202

28/04/20 1:10


Tomo Nota

I. Calculo la razón de cambio en gráficas con variación lineal.

Cuando dos variables

Emanuel compró un teléfono celular. Dio un pago inicial y cada mes pagará una cuota fija que cubre la mensualidad del teléfono y el plan, que incluye 8 Gb de internet, llamadas ilimitadas a teléfonos de la misma compañía y redes sociales gratis.

representan una relación lineal, la variación de una magnitud respecto a la otra se conoce como razón de

1. Analicen, en parejas, la gráfica que muestra lo que Emanuel ha pagado hasta el octavo mes y respondan. y

M1-3-L27-DYC I-1

cambio (r). En la ecuación de la forma y = ax + b, el valor de a representa la razón de

7000

cambio (r). Si se tienen dos 6000

parejas de coordenadas: (x1, y1) y (x2, y2), entonces: y2 – y1 r = _______ x2 – x1

Cantidad pagada ($)

5000

4000

3000

2000

1000 800 600 400 200

x Número de mes

yy Si su papá le ayudó pagando las mensualidades 4 y 5, ¿qué cantidad pagó el papá de Emanuel? yy ¿Cuánto pagó Emmanuel del quinto al octavo mes, es decir, cómo varió? yy Si su pago total es de $17 800.00, ¿en cuánto tiempo liquida su teléfono? yy ¿Cuánto dinero paga mensualmente Emanuel? yy ¿Qué expresión algebraica representa la situación? 2. Identifiquen las coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) que se piden en las siguientes igualdades; escríbanlas numéricamente y resuélvanlas. Razón de cambio = Acumulado hasta el mes 4 – Acumulado hasta el mes 1 =

=

hasta el mes 8 – Acumulado hasta el mes 6 = Razón de cambio = Acumulado Número de mes 8 – Número de mes 6

=

Número de mes 4 – Número de mes 1

yy ¿Qué relación observan entre los resultados obtenidos? yy ¿Cuál es la razón de cambio en este caso? yy ¿Qué representa en el contexto del problema la razón de cambio?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Reflexionen sobre las siguientes preguntas: Si Emanuel pagara una cantidad mensual menor, ¿cómo sería la razón de cambio? ¿Y si la cantidad fuera mayor? ¿Qué sucedería con la recta en ambos casos?

L27

Matemáticas 1 Book 2020.indb 203

Razón de cambio y pendiente

203

28/04/20 1:10


II. Determino y comparo la razón de cambio en diferentes relaciones con variación lineal.

y

Tres primos: Néstor, Carlo y Alejandro, juegan en línea un videojuego en el que al superar una etapa acumulan cierta cantidad de puntos, de acuerdo con el nivel de dificultad en el que juegan. Las siguientes rectas representan los puntos acumulados por M1-3-L27-DYC II-1 cada uno el día de hoy. 1. Carlo y Alejandro continuaron una partida que guardaron el día anterior y Néstor inició un nuevo juego.

Puntos acumulados

yy ¿De qué color es la recta que corresponde a la puntuación de Néstor? _______________ yy Si Carlo inició su juego con 40 puntos, ¿qué recta le corresponde? __________________

x Niveles avanzados en el día

yy ¿Cómo varió la puntuación de cada uno del nivel 2 al 4, es decir, cuántos puntos acumuló cada uno en ese periodo? _________ ____________________________________

2. Dividan los resultados anteriores entre la distancia que hay del 1 al 3. Anoten los resultados. Néstor: ________ Carlo: ________ Alejandro: ________ yy ¿Cómo varió la puntuación de cada uno del nivel 4 al 8? 3. Dividan el resultado anterior entre la distancia que hay del 4 al 8. Néstor: ________ Carlo: ________ Alejandro: ________ yy ¿Qué relación hay entre los cocientes obtenidos por cada primo? ____________ yy ¿Qué sucedería si se realizan las divisiones anteriores usando otros intervalos? yy ¿Qué representan los resultados de las divisiones? ______ __________________ yy ¿Quién tiene mayor razón de cambio? ¿Qué significa esto en el contexto del juego? yy A medida que la razón de cambio va siendo mayor, ¿qué sucede con la recta? yy ¿Cuál es la expresión algebraica que representa cada situación? Néstor: ________ Carlo: ________ Alejandro: ________

204

Validen sus resultados con los de otros equipos y con el apoyo del maestro. En la expresión general: y = ax + b, ¿qué representa b en la recta correspondiente? ¿La razón de cambio depende de los intervalos que se utilicen para calcularla? Comenten lo anterior en grupo y registren sus conclusiones.

Funciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 204

28/04/20 1:10


III. Reconozco la relación entre la razón de cambio y la pendiente de la recta. M1-3-L27-DYC III

Mariano fue al banco a solicitar un préstamo de $5 000.00 con la idea de iniciar un negocio y pagarlo lo antes posible. El ejecutivo del banco le propuso tres plazos de pago, cubriendo en cada caso una cuota fija mensual. y

7000

La siguiente gráfica muestra la cantidad que tendría que pagar en las tres propuestas. En la recta verde se señaló la relación entre las coordenadas x de dos puntos (recorrido) y las correspondientes coordenadas y (elevación).

5000

4000

Elevación

Deuda ($)

1. Calculen la distancia que hay entre los puntos que muestran la elevación y el recorrido. Elevación: ________ Recorrido: ________

6000

3000

2000

Recorrido

yy ¿Cuál es el cociente de la relación: 1000 800 600 400 200

Elevación ? recorrido

x

2. Tracen un “recorrido” y una “elevación” en las rectas roja y azul, como muestra el ejemplo, y calculen los cocientes correspondientes. Recta azul: Elevación = recorrido

=

Recta roja: Elevación = recorrido

=

Tiempo (meses)

Tomo Nota La razón de cambio es igual a la pendiente (inclinación) de laM1-3-L27-TOMO recta. NOTA

3. Anoten la expresión algebraica que corresponda a cada recta. yy Recta azul: _____

• Recta roja: _____

Recorrido

• Recta verde: _____

Validen sus respuestas con las de otros compañeros. Comenten el procedimiento para calcular la pendiente de una recta y su relación con la razón de cambio. Registren sus conclusiones en su cuaderno, con el apoyo del maestro.

L27

Matemáticas 1 Book 2020.indb 205

y

Elevación

yy Si los resultados anteriores corresponden al valor de la pendiente de cada recta, ¿cuál de las rectas tiene mayor pendiente? yy ¿Qué relación hay entre la inclinación de las rectas y el valor de la pendiente? yy ¿Qué relación hay entre la pendiente y la razón de cambio en cada caso?

x

Y es igual al cociente:

Razón de cambio y pendiente

205

28/04/20 1:10


IV. Determino la pendiente de una recta y escribo la expresión algebraica correspondiente.

Tomo Nota La ordenada al origen es el punto donde la recta

Ximena y Pamela trazaron en una hoja electrónica de cálculo las siguientes gráficas de M1-3-L27-DYC IV XIMENA Y PAMELA variación lineal, pero no recuerdan la fórmula que usaron para elaborarlas. 1. Analicen las gráficas y respondan.

interseca el eje y, es

y

decir, es la distancia de

y

Ximena

Pamela

la coordenada y (de las

x

ordenadas) al cero (el origen). Corresponde a la coordenada: (0 , b).

x

Tomo Nota Se denomina pendiente a la inclinación de una recta respecto al eje x .

yy ¿Cuál es la ordenada al origen de cada recta? _____________________________ yy En la expresión de una relación lineal: y = ax + b, ¿qué representa la ordenada al origen? __________________________________________________________ yy ¿Qué diferencia observan en las rectas? _________________________________ yy ¿Cómo varían los valores de y en cada recta cada vez que x aumenta una unidad? Escriban como números con signo esta variación. 2. Tracen un “recorrido” y una “elevación” en las rectas, y determinen el cociente relación Elevación . Recuerden que las distancias se representan con números recorrido positivos. Ximena: ________ = ____ Pamela: ________ = ____ yy En una de las rectas el valor de la pendiente es negativo y en la otra positivo. ¿Cuál corresponde a cada caso? _______________________________________ yy ¿A qué se debe lo anterior? ___________________________________________ yy A partir de la ordenada al origen y de la pendiente, ¿cuál es la expresión algebraica que corresponde a cada recta? ___________________________________

En la expresión y = ax + b, si a > 0 se dice que la pendiente es __________ y si a < 0 se dice que la pendiente es __________..

206

Comparen sus respuestas y argumentos con los de otros compañeros e identifiquen las ventajas de utilizar otros procedimientos. Busquen llegar a acuerdos. ¿Qué características tiene la recta con pendiente negativa? ¿Qué diferencia hay entre la expresión algebraica correspondiente y la de una recta con pendiente positiva?

Funciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 206

28/04/20 1:10


M1-3-L27-DYC IV-3

3. Tracen un recorrido y una elevación en cada recta y determinen la pendiente. Después, encuentren la ordenada al origen y la expresión algebraica correspondiente. y

y

x

x

Pendiente: _____ Ordenada al origen: _____ Expresión algebraica: __________

Pendiente: _____ Ordenada al origen: _____ Expresión algebraica: __________

Validen sus respuestas con las de otros compañeros y con el maestro. Si existen diferencias, coméntenlas para llegar a acuerdos.

Utilizo las TIC En la página de Geogebra cmed.mx/m161 encontrarás información sobre la razón de cambio; responde las preguntas y revisa el video que se muestra al final. Y en cmed.mx/m162 modifica los valores de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b) y observa cómo se modifica la gráfica de la función.

Utilizo las TIC Ingresa a cmed.mx/m163 y representa gráficamente las funciones lineales que se solicitan. En la página: cmed.mx/m164 resuelve los problemas que se proponen. Comparte tus resultados con tus compañeros.

Practico

1. Una máquina produce 10 botellas de vidrio en 50 segundos. yy Al graficar la situación, ¿cuál es la pendiente de la recta? ___________________ yy Si t es el tiempo en segundos y m el número de botellas,, ¿qué expresión algebraica representa la situación? _________________________________________M1-3-L27-PRACTICO 3 y

2. Si otra máquina produjo 2 botellas del segundo 9 al 17, al graficar su producción, ¿cuál es el valor de la pendiente? _______ yy ¿Cuál de las rectas tuvo mayor pendiente? ______________ 3. En tu cuaderno, haz una tabla que muestre distintas parejas de valores de las siguientes relaciones lineales. Después, traza en el plano que se muestra las rectas correspondientes. a. Pendiente 8 y ordenada al origen 0 b. Pendiente –3 y ordenada al origen 48 yy ¿Cuál es la expresión algebraica que representa cada situación? x

L27

Matemáticas 1 Book 2020.indb 207

Razón de cambio y pendiente

207

28/04/20 1:10


Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo

2. La gráfica de una función lineal es una línea recta. 3. La ordenada al origen es el punto donde una recta corta el eje de las ordenadas (y), y es igual a la distancia de y al cero. 4. En la expresión: y = ax + b, el valor de b corresponde a la ordenada al origen y su coordenada es: (0, b). Si b = 0, la función representa una relación de proporcionalidad directa. 5. La razón de cambio (r), en una relación entre dos magnitudes, es la variación de una magnitud respecto a 2 1 la otra: r= y 2 – y1 . x –x

7. La pendiente es la inclinación de una recta y su valor es igual a la razón de cambio. 8. En la expresión y = mx + b, si m es > 0 la pendiente es positiva, y si m es < 0 la pendiente es negativa.

208

1. Escribe la expresión algebraica que representa la siguiente tabla y traza la gráfica correspondiente. Tiempo (semanas)

Dinero ahorrado

0

$ 70.00

1

$125.00

2

$180.00

3

$235.00

4

$290.00

5

$345.00

520 500

Dinero ahorrado ($)

1. En una relación de variación lineal de la forma y = ax; y = ax + b; el valor de y varía en función de la variable independiente x ; a y b son constantes y a es un número cualquiera distinto de cero.

400

300

200

100

yy ¿Cuál es la pendiente de la recta?

80 60 40 20 0

M1-3-L27-EVALUO 2

y

2. Determina la pendiente de la siguiente recta y completa la información. Pendiente: ____________ Ordenada al origen: ____________ Expresión algebraica: ____________

Tiempo (semanas)

x

M1-3-L27-EVALUO 3

y

3. Traza la gráfica y escribe la expresión algebraica correspondiente. Pendiente: 1.5 Ordenada al origen: – 5 Expresión algebraica: ____________

x

4. Completa las siguientes expresiones. a. Si la pendiente vale 8 y la ordenada al origen es 3.5, la expresión algebraica correspondiente es: ________________. b. Al graficar la expresión algebraica: y = – 8x + 2, la ordenada al origen es ________ y la pendiente vale ____.

Funciones

Matemáticas 1 Book 2020.indb 208

28/04/20 1:10


Logro ir más

allá

La mitad de los seres humanos actualmente vive en las ciudades, y se espera que en dos décadas casi 60% de la población mundial habite en zonas urbanas. Esto conlleva grandes problemas relacionados con la carencia de agua. La falta de acceso a agua saludable y al saneamiento, así como el aumento de desastres relacionados con el agua: inundaciones y sequías, tiene graves consecuencias para la salud y el bienestar humanos, la seguridad, el medio ambiente, el crecimiento económico y el desarrollo. Lee la información y resuelve. En una colonia de la ciudad, donde es común la falta de agua, las autoridades enviaron dos pipas para llenar un pozo que abastece del vital líquido a la zona. * Las pipas están llenas de agua a su máxima capacidad, contienen 12 000 litros y llenan el pozo de manera constante. La gráfica que representa la forma en que cada pipa se vacía tiene una pendiente de –150. M1-3-L27-LOGRO IR MÁS ALLÁ * La capacidad del pozo es de 35 000 litros y tenía 1 500 litros cuando empezó a llenarse.

Capacidad (litros)

A partir de la información anterior tracen, en el siguiente plano cartesiano, las rectas que representan el vaciado de una de las pipas y el llenado del pozo. Después, respondan. yy Si las pipas llenan al mismo tiempo el pozo, ¿cuál es la pendiente de la gráfica de y llenado del pozo? Argumenta tu respuesta. yy ¿Cuál es la ordenada al origen en el caso de una pipa? ¿Y en el caso del pozo? yy ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el caso de cada pipa y el llenado del pozo? Pipa: ________________ Pozo: ________________ yy ¿En cuánto tiempo habrá la misma cantidad de agua en cada una de las pipas y en el pozo? Justifiquen su respuesta. yy Si el pozo continúa llenándose al mismo ritmo, ¿cuánto tiempo necesita para llenarse por completo? yy ¿En cuánto tiempo se vacían las pipas?

x

Tiempo (minutos)

L25

Matemáticas 1 Book 2020.indb 209

L26

L27

209

28/04/20 1:10


Fórmulas para calcular el volumen de cubos y prismas rectos Exploro

Calculo el volumen de un cuerpo por medio de unidades cúbicas. M1-3-28-EXPLORO

yy Los siguientes cuerpos se formaron con cubos cuyas aristas miden 1 cm.

Tomo Nota El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. En el Sistema Internacional de Unidades, es la unidadM1-3-L28-TOMO de ________ NOTA el metro cúbico (m3).

Cuerpo A

Cuerpo B

Cuerpo C

Cuerpo D

Metro cúbico

1m

1m 1m

yy ¿Cuál es el volumen de cada cuerpo? Cuerpo A: ________ Cuerpo B: ________ Cuerpo C: ________ Cuerpo D: ________ GLOSARIO

yy P ara formar un cubo grande con cubos más pequeños necesitas colocar el mismo número de cubos en cada una de las tres dimensiones. Imagina que desarmas cada cuerpo y tomas los cubos pequeños que lo forman. Hay dos construcciones con las que se puede formar un cubo utilizando todas las piezas. ¿De qué cuerpos se trata? yy ¿Cuánto miden las aristas de los cubos que se pueden formar con los cuerpos anteriores? ¿Cuál sería su volumen?

Aristas. Segmentos de recta que son los lados de una cara. Cada aristaM1-3-L28-GLOSARIO es la frontera entre dos caras. Arista

Vértice

Cara

210

Compara tus respuestas y procedimientos con los de un compañero. Discutan la estrategia que utilizaron en cada caso para calcular el volumen de los cuerpos. ¿Coinciden? Analicen si es posible que dos cuerpos tengan el mismo volumen aun cuando tengan formas distintas.

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 210

28/04/20 1:10


Descubro y construyo

I. Calculo el volumen de un cubo o de un prisma rectangular por medio de unidades cúbicas.

Determinen, en parejas, la cantidad máxima de cubos de 1 cm de arista que se pueden M1-3-L28-DYC I guardar en cada caja y calculen su volumen.

4 cm

Volumen: ________

Volumen: ________

Volumen: ________

6 cm

6 cm

2 cm

1 cm 2 cm

4 cm 6 cm

Volumen: ________

10 cm

6 cm

Volumen: ________

Volumen: ________

yy ¿Qué estrategia siguieron para obtener el volumen de cada caja?

Comparen sus respuestas y sus estrategias con las de otra pareja. Juntos escriban una fórmula para calcular el volumen de un cubo y el de un prisma rectangular recto. Practico M1-3-L28-PRACTICO 1

1. En una bodega se están apilando cajas cúbicas. Hasta el momento, se han colocado las cajas que se muestran en la figura. yy ¿Cuál es el volumen hasta el momento? yy ¿Cuántas cajas más se deben colocar para formar un cubo con la altura que se tiene hasta el momento? M1-3-L28-PRACTICO 2

M1-3-L28-PRACTICO 2

2. Si el volumen de es de 1.5 cm3, ¿cuál es el volumen del prisma de la derecha?

L28

Matemáticas 1 Book 2020.indb 211

Fórmulas para calcular el volumen de cubos y prismas rectos

211

28/04/20 1:10


II. Aplico las fórmulas para calcular el volumen de cubos y prismas rectangulares.

1. Para cada uno de los siguientes prismas rectos determina el área de la base, la altura y el volumen. Anota las unidades que correspondan; todas las dimensiones están M1-3-L28-CYD II en metros.

z

x z

2 y

y

2

Área de la base: ______ Altura: ______ Volumen: ______

Área de la base: ______ Altura: ______ Volumen: ______

Área de la base: ______ Altura: ______ Volumen: ______

2. Luis construyó con madera un cubo de a centímetros por lado y un prisma rectangular de a centímetros de largo, b centímetros de ancho y c centímetros de altura. yy ¿Cuál es el volumen del cubo de madera? Explica tu respuesta. yy ¿Cuál es el volumen del prisma? Explica tu respuesta. III. Justifico las fórmulas para calcular el volumen de prismas triangulares y cuadrangulares.

Tomo Nota El volumen de un prisma rectangular es igual al área de la _______ por la _________.

Trabaja en pareja. 1. Un prisma rectangular de x metros de largo por y metros de ancho por z metros M1-3-L28-DYC III de altura se cortó de tal manera que se formaron dos prismas triangulares, como se muestra en la figura.

z

z

z

y x

yy yy yy yy yy

212

y x

y x

¿Cuál es el volumen del prisma rectangular? ¿Cuál es el volumen de cada prisma triangular? ¿Cuál es el área de la base de uno de los prismas triangulares? ¿Cuál es la altura de uno de los prismas triangulares? ¿El volumen del prisma triangular se puede encontrar multiplicando el área de la base por la altura? Expliquen su respuesta.

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 212

28/04/20 1:10


2. Un prisma trapezoidal recto está formado por tres prismas rectos: uno rectangular M1-3-L28-DYC III TRAPEZOIDAL y dos triangulares iguales, como se muestra en la figura. 6 cm

6 cm 2 cm

15 cm

10 cm

15 cm

10 cm

yy Cuánto mide el volumen del prisma rectangular? __________________________ yy ¿Cuánto mide el volumen de cada prisma triangular? _____________________ yy ¿Cuánto mide el volumen del prisma trapezoidal? ________________________ yy ¿Cuál es el área de la base del prisma trapezoidal? ________________________ yy ¿El volumen del prisma trapezoidal se puede encontrar multiplicando el área de la base por la altura? Expliquen su respuesta.

Comparen sus respuestas con las de otra pareja. ¿Coinciden? Discutan por qué el volumen de un prisma recto se puede obtener multiplicando el área de la base por la altura del prisma.

M1-3-L28-PRACTICO

Practico

Encuentra, con dos procedimientos distintos, el volumen del prisma recto trapezoidal que se muestra en la figura. 5m

9m

Tomo Nota El volumen de cualquier prisma recto se calcula

3m

multiplicando el área de la base por su __________. 7m

L28

Matemáticas 1 Book 2020.indb 213

Fórmulas para calcular el volumen de cubos y prismas rectos

213

28/04/20 1:10


Relación entre el decímetro cúbico y el litro Exploro

Comprendo la diferencia que existe entre volumen y capacidad. Claudia y Mara discuten si es lo mismo volumen que capacidad.

Tomo Nota En el Sistema Internacional de medidas (SI) existen siete unidades básicas, entre ellas

Claudia: El volumen y la capacidad son el mismo concepto. Mara: No, Claudia, son conceptos que tienen una estrecha relación, pero no son iguales. Claudia: Todo objeto tiene un volumen dado, que es el espacio tridimensional que ocupa, ¿cierto? Mara: Sí, así es. Claudia: Y la capacidad es…mmm Mara: La capacidad no es una cualidad que pueda medirse en cualquier objeto. Claudia: ¿Cómo? Mara: Los objetos cuya capacidad es medible son aquellos en los que se pueden introducir objetos o sustancias, y se les conoce como recipientes. Claudia: ¡Ah, ya entendí la diferencia!

la longitud (_____) y la

1. Señala con una ✔ las cualidades que se pueden medir en cada objeto.

masa (kg).

Objeto

Volumen

Capacidad

Pelota de golf Caja de cartón Dado de plástico Tinaco Piedra Botella Leo + El acceso al agua potable y de saneamiento es un derecho humano plasmado en la Constitución Política desde 2012. Entra a la página, revisa los antecedentes y la situación actual y lee ¡Aguas con el agua!, escrito por Rius. Hacia una nueva ley de agua en México cmed.mx/m154

214

Descubro y construyo M1-3-L29-EXPLORO

I. Conozco la relación que existe entre las unidades de volumen y las de capacidad.

Trabajen en parejas. 3 ml

3 ml

1. Se tiene un dado cúbico de 1 cm3 de 2 ml 2 ml volumen y un cilindro graduado que 1 ml 1 ml contiene agua hasta 2 mililitros de su capacidad. Se introduce el dado en el líquido y se observa que el nivel asciende hasta 3 ml, como se muestra en la figura.

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 214

28/04/20 1:10


yy ¿A cuántos mililitros corresponde el volumen del dado? yy ¿Qué relación hay entre centímetros cúbicos y mililitros? Una unidad de volumen es 1 000 veces más grande × 1 000 × 1 000 × 1 000 × 1 000 × 1 000 × 1 000 que la del orden inmediato inferior y mil veces menor que la del orden inmediato superior, como se muestra kl3 hl3 dal3 l3 dl3 cl3 ml3 en la figura de la derecha. yy ¿A cuántos litros equivale 1 decímetro cúbico? 2. En cada caso, escriban la longitud que deben te÷ 1 000 ÷ 1 000 ÷ 1 000 ÷ 1 000 ÷ 1 000 ÷ 1 000 M1-3-L29-DYCI-2 ner las aristas del cubo o la cantidad de agua que debe tener la botella, según corresponda, para que sean equivalentes. Después, completen la equivalencia que se establece entre volumen y capacidad.

10 cm

Tomo Nota

1 dm

La magnitud del volumen se deriva de la longitud y se

____ dm3 = ____ l ____ cm3 = ____ l

expresa en metros cúbicos o en unidades equivalentes en el SI, como el centímetro cúbico. La capacidad indica cuánto puede contener o

1l mm

____ mm3 = ____ l

1 000 ml

guardar un __________.

cm

____ cm3 = 1 000 ml

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otra pareja. Comenten cómo se convierte de centímetros cúbicos a metros cúbicos y establezcan un procedimiento que funcione para convertirlos. Practico

Según la Comisión Nacional del Agua, las fugas representan entre 15 y 20% de la cantidad de agua consumida en promedio en los hogares mexicanos. yy Cuando la fuga es gota a gota, se pierden 4 litros por hora. ¿Cuántos cubos de 10 centímetros de arista se podrían llenar? yy Cuando la fuga está en el wc, se pierden 25 litros por hora. ¿Cuántos metros cúbicos se desperdician al año? yy Si en casa de Juan hay una llave de agua que gotea y su wc tiene una fuga, ¿cuántos cubos de 1 dm3 de volumen se podrían llenar en una semana?

L29 Relación entre el decímetro cúbico y el litro

Matemáticas 1 Book 2020.indb 215

215

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II. Utilizo la relación establecida entre las unidades de volumen y las de capacidad.

Es común utilizar unidades de capacidad para expresar unidades de volumen y viceversa, con base en sus equivalencias. 1. Indica, para cada objeto, qué unidades de volumen utilizarías: metros cúbicos, decímetros cúbicos, litros, mililitros, etcétera. Utilizo las TIC Para reforzar lo aprendido, entra a Volumen y capacidad y da clic en “Pulsa para hacer unos ejercicios”: cmed.mx/m155

a. Jeringa: ____________________

b. Tambo de gasolina: ___________

c. Cubeta: ____________________

d. Botella de perfume: ___________

e. Agua de una alberca: _________

f. Lata de refresco: ______________

g. Botella de agua chica: ________

h. Silo para guardar granos ______

Compara tus respuestas con las de un compañero. Si hay diferencias, discutan los argumentos por los que determinaron la unidad de volumen correspondiente y vean cuánto mayor o menor es la de orden de magnitud de la diferencia entre las unidades.

2. Completa, en pareja, la tabla. Volumen ( m3)

Capacidad ( l )

0.001 1 000 0.1 10

3. El maestro pidió que calcularan cuántos litros de agua le caben a un recipiente de 10 cm de largo, 5 cm de ancho y 15 cm de altura; cuatro alumnos hicieron los siguientes procedimientos: Rubén: Convirtió cada longitud del recipiente a decímetros. Luego calculó el volumen y ese resultado se lo dio al maestro como la cantidad de litros. Xóchitl: Convirtió cada longitud del recipiente a metros cúbicos. Luego calculó el volumen y dividió entre 0.01 para obtener el total de litros. Alicia: Calculó el volumen del recipiente y dividió el resultado entre 1 000, para obtener el total de litros. Pedro: Calculó el volumen del recipiente y ese resultado le dio la cantidad de litros.

216

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 216

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a. Resuelvan la situación utilizando cada uno de los procedimientos. yy ¿Con qué procedimientos se obtuvieron resultados iguales? yy ¿Qué procedimientos son correctos? b. Identifica los procedimientos erróneos. c. En cada uno de los casos erróneos, describe qué se tiene que hacer para corregir el procedimiento. ________________________________________________________ yy ¿Cuántos litros caben en el recipiente? __________________________________ Practico

1. Selecciona, en cada caso, el recipiente que se llena con la cantidad indicada sin que sobre ni falte. M1-3-L29-PRACTICO a

a. 600 ml de pintura.

1 dm

0.4 dm

1.5 dm

1 dm

1.5 dm

0.4 dm

0.75 dm 2 dm

4 dm M1-3-L29-PRACTICO b

b. 800 ml de mermelada.

Utilizo las TIC 20 cm 20 cm

4 cm

10 cm 20 cm

20 cm

20 cm

2 cm 20 cm

2. A fin de recaudar fondos para los niños con cáncer, Claudia y su hermana harán pasteles para vender. Después de batir la masa, llenarán los moldes hasta las dos M1-3-L29-PRACTICO-2 terceras partes de su capacidad para que cuando se cocinen, no se desborde la masa.

Practica la Conversión de medida de volumen y capacidad con este recurso interactivo: cmed.mx/m156 En esta página puedes practicar resolviendo los Ejercicios interactivos de medidas de volumen; pulsa “Corregir” para verificar tus resultados: cmed.mx/m157

7.5 cm 5 cm 32 cm

yy Si utilizan moldes como el de la figura, ¿cuántos pasteles pueden hacer con 4 litros de masa? Explica tu respuesta. _____________________________________ _____________________________________________________________________

L29 Relación entre el decímetro cúbico y el litro

Matemáticas 1 Book 2020.indb 217

217

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Problemas de

volumen Exploro

Analizo dos prismas que tienen la misma superficie. Resuelve, en pareja, la siguiente situación. Patricio y Mila construyeron dos prismas rectos, sin base ni tapa, haciendo dobleces en dos hojas de papel iguales, como se muestra en la figura. Después, cada uno construyó la base y la tapa de su prisma y la pegó con cinta adhesiva.

yy El volumen del prisma que construyó Mila es menor, mayor o igual que el del prisma que construyó Patricio? Expliquen cómo podrían comprobar físicamente su respuesta yy ¿Cuál es el volumen del prisma de Mila? Expliquen su respuesta. Tomen dos hojas tamaño carta y midan su largo y ancho. Cada quien construya un prisma recto cuadrangular, sin tapas, siguiendo la idea de Patricio y Mila. Encuentren con la calculadora el volumen de cada prisma.

218

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otra pareja. Comenten si sus resultados fueron como los pensaron al inicio y el porqué de las diferencias.

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 218

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Descubro y construyo

M1-3-L30-DYCI

I. Encuentro alguna de las dimensiones de un prisma conociendo su volumen.

Para cada uno de los siguientes prismas, determina la dimensión indicada. 2 m 4 0.3 cm

2.5 cm

11.5 cm 4.5 cm

7 cm 6 cm Volumen 283.50 cm3

Volumen 138 cm3

Volumen 0.45 m3

Altura del prisma: _____ Altura del triángulo: _____ Base mayor del trapecio: _____

Compara tus respuestas y procedimientos con los de otro compañero. Juntos analicen el procedimiento general que utilizaron para encontrar las dimensiones pedidas a partir del volumen.

II. Exploro las relaciones de variación entre las dimensiones de un cuerpo y su volumen.

1. El departamento de mercadotecnia de una fábrica de cajas detectó que varios clientes pedían cajas que tuvieran dos veces, tres veces o cuatro veces más volumen que la caja estándar que se muestra en la figura. yy ¿Cuál es el volumen de la caja estándar? Modifica en cada caso las dimensiones de la caja estándar de manera proporcional para obtener el volumen que se indica.

Doble de volumen Largo: ______ Ancho: ______ Alto: ______ Volumen: ______

25 cm

20 cm

Triple de volumen Largo: ______ Ancho: ______ Alto: ______ Volumen: ______

30 cm

Cuádruple de volumen Largo: ______ Ancho: ______ Alto: ______ Volumen: ______

L30 Problemas de volumen

Matemáticas 1 Book 2020.indb 219

219

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yy ¿Qué estrategia utilizaste para obtener una caja con el doble de volumen? yy Para diseñar la caja con el triple de volumen, Carlos triplicó cada dimensión de la caja estándar. ¿Es correcto su razonamiento? ¿Por qué? yy ¿Qué hiciste tú para determinar las dimensiones? yy ¿Qué pasa con las dimensiones al duplicar, triplicar o cuadruplicar el volumen? yy En la fábrica también quieren hacer una caja cuyo volumen sea 6 veces mayor que el de la caja estándar. Ricardo dice que para ello se puede duplicar una de las dimensiones y triplicar otra de ellas. ¿Tiene razón Ricardo? Explica tu respuesta.

Compara tus respuestas y procedimientos con los de otros compañeros. Juntos escriban cómo varía el volumen de un cuerpo a partir de la variación de sus dimensiones.

III. Resuelvo problemas relacionados con el volumen o capacidad de prismas cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero.

Resuelve, en pareja, los siguientes problemas. 1. Ana compró una pecera como la que se muestra en la figura y la llenó de agua hasta el borde de la lámpara. M1-3-L30-DYCIII

25 cm 80 cm 7 cm

Tomo Nota Si la razón de

60 cm

proporcionalidad entre las tres dimensiones de dos cuerpos F y F’ es r, entonces la razón entre sus ___________________ es r3.

a. ¿Cuántos litros de agua hay en la pecera? Expliquen su respuesta. _____________________________________________________________________ 2. En una bodega de 5 metros de largo por 3 metros de ancho y 2 metros de altura se quieren guardar cajas cúbicas de medio metro de largo. a. ¿Cuál es el volumen de la bodega? 30 m3 ¿Y de cada caja? b. ¿Cuántas cajas se pueden almacenar en la bodega? Expliquen su respuesta. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

220

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 220

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3. En un parque se construyó una jardinera de 7 metros de largo por 5.2 metros de ancho y se cubrieron, de manera regular, 5.1 m3 con tierra de hoja. a. ¿Cuántos centímetros de espesor tiene la capa de tierra? Expliquen su respuesta. 4. Juan dibujó un cubo de 40 cm de arista y le pidió a su hermana Paula que dibujara un cubo cuyo volumen fuera una octava parte del volumen del cubo que él dibujó. a. ¿Cuánto mide la arista del cubo que dibujó Paula? Explica tu respuesta.

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otra pareja. Si hay diferencias, traten de encontrar si hubo error en la elección del procedimiento o si fue un error de cálculo. Compartan con el grupo y busquen llegar a acuerdos con el maestro.

5. En grupo, resuelvan el siguiente problema.

Utilizo las TIC

Una alberca mide 20 m de largo por 8.5 m de ancho. En la parte menos profunda el nivel del agua es de 1.25 m y va descendiendo progresivamente durante 14.5 m M1-3-L30-DYC-5 hasta los 2.1 m de profundidad. Después vuelve a ascender hasta los 1.85 m de profundidad, como se muestra en la figura.

1.25 m

a

14.5 m

b

En cmed.mx/m158 encontrarás varios ejercicios para practicar el cálculo del volumen de objetos.

1.85 m

2.1 m

yy ¿Cuánto miden a y b? yy En la figura, la alberca quedó dividida en dos prismas. ¿Qué forma tiene la base de cada prisma? yy ¿Cuál es el volumen de cada prisma? yy ¿Cuál es el volumen de la alberca? yy ¿Cuántos litros de agua caben en ella? Practico

1. Para construir un camino de 4 metros de ancho, se colocó una capa de piedra de 15 cm de espesor. ¿Qué longitud del camino se cubrió con 300 m3 de piedra? 2. Una tienda de campaña de tipo canadiense tiene 197 cm de largo por 98 cm de M1-3-L30-DYC-5 ancho y 112 cm de alto. yy La figura muestra la forma de este tipo de tienda; escribe en los recuadros sus dimensiones. yy ¿Cuál es el volumen de la tienda? Explica tu respuesta. yy ¿Cuántos metros cúbicos tiene aproximadamente la tienda?

L30 Problemas de volumen

Matemáticas 1 Book 2020.indb 221

221

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo

3. Para encontrar el volumen de un prisma recto cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, se multiplica el área de la base por la altura del prisma. 4. Los objetos cuya capacidad es medible son aquellos en los que se pueden introducir objetos o sustancias, y se les conoce como recipientes. 5. Un litro es igual a 1 decímetro cúbico (1 l = 1 dm3). 6. Si se modifica una de las dimensiones de un prisma, el volumen lo hace de manera proporcional. 7. Dadas dos dimensiones y el volumen de un prisma, se puede calcular la tercera dimensión.

2. En los envases que se muestran en la figura, la altura del envase menor es la mitad de la altura del mayor. ¿Cuál es la capacidad en litros del envase menor?

2500 ml

b

a

b

a

3. En una cisterna en forma de prisma rectangular de 3.5 m de largo por 2.4 m de ancho el agua llega a 2 m de altura. Con una bomba que extrae agua de la cisterna M1-3-L30-EVALUO 2 se llenaron dos tinacos de 2 100 litros cada uno. yy ¿Cuántos metros cúbicos de agua quedaron en la cisterna? yy ¿A qué altura de la cisterna quedó el agua? 10 dm

4. Un decímetro cúbico del material con el que está fabricado el recipiente de la figura pesa 7.8 kilogramos. Calcula cuánto pesa el recipiente.

9 dm

8 dm

2. Una unidad de volumen es el metro cúbico (m3).

1. Una caja mide 36 cm de largo por 24 cm de ancho y 30 cm de alto. En ella se quieren introducir paquetes de 9 cm de largo por 5 cm deM1-3-L30-EVALUO ancho y 6 cm de alto. 2 ¿Cuántos paquetes caben en la caja?

9 dm

1. El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.

10 dm

12 dm

M1-3-30-CUBOS HIELO

5. En un recipiente con forma de prisma de base cuadrada se introducen siete cubos de hielo de 2 cm de arista, como se muestra en la figura. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenar el recipiente después de que se derritan los hielos?

12 cm

8 cm

222

Magnitudes y medidas

Matemáticas 1 Book 2020.indb 222

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Logro ir más

allá

Las Torres de Satélite son cinco espectaculares esculturas con forma de prisma triangular, que fueron creadas por los arquitectos Luis Barragán y Mathías Goeritz en 1957 y se inauguraron en marzo de 1958. Ubicadas en el municipio de Naucalpan, Estado de México, se asientan sobre una glorieta en medio del Anillo Periférico, una de las vialidades más transitadas de la zona metropolitana de la Ciudad de México. El proyecto de las Torres de Satélite representa un icono de la vanguardia de la arquitectura mexicana a nivel internacional y se diseñó con la idea de que las torres marcaran la entrada al nuevo suburbio de la ciudad, es decir, Ciudad Satélite. La torre que está en el centro de la imagen es de color amarillo y es la de menor altura, con 31.42 m, si bien tiene la base más grande. Su perímetro aproximado es de 25.18 m y su volumen es de 558.88 m3 aproximadamente. Reúnete con un compañero y contesten. yy ¿Cuánto mide el área de la base de la torre amarilla? yy Imaginen que dentro de la torre amarilla hay 177.78 m3 de agua. ¿A qué altura de la torre llegaría el agua? ¿Cómo lo determinaron? yy Y si dentro de la torre hubiera 266 700 litros de agua, ¿a qué altura se encontraría el agua? La siguiente tabla muestra las medidas de las otras tres Torres de Satélite. Calculen y anoten los datos que faltan. Son medidas aproximadas. Torre

Base Base (m)

Roja

2.4

Azul

2.3

Blanca

Altura (m)

Área de la base (m2)

Altura (m)

Volumen (m)

43.75

304.5

Capacidad (litros)

5.15 5.5

214 008 37.75

224 235

L28 L28

Matemáticas 1 Book 2020.indb 223

L29 L29

L30

223

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Gráficas

circulares Exploro

Analizo la información que muestra una gráfica circular y respondo preguntas. La compra de productos por medio de un teléfono o una computadora se ha vuelto muy popular en México. El comercio online, mejor conocido como eCommerce, creció 59% en México. La gente está cambiando sus hábitos de compra; un estudio realizado por la Asociación Mexicana de Internet (Amipci) reveló que México tiene 51.2 millones de usuarios de internet, de los cuales 50% ha realizado una compra en línea. Sin embargo, todavía existen personas que se resisten a utilizar este medio ya sea por temor a poner en riesgo su dinero o por una mala experiencia de algún amigo o conocido Una empresa realizó una encuesta para conocer cómo gastan los mexicanos en internet: qué tipo de productos consumen, qué métodos de pago utilizan y qué los motiva o no a comprar en línea. La siguiente gráfica muestra las categorías que fueron más populares. Deportes Hogar Moda Niños y bebés Salud y Belleza Tecnología

Responde lo siguiente a partir de la información anterior. yy yy yy yy

De los usuarios de internet en México, ¿cuántos han hecho compras por internet? ¿En qué categoría compraron más personas? ¿Qué categoría tuvo menos compradores? Entre Moda, Salud y Belleza y Hogar, ¿qué categoría tuvo más compradores y cuál menos? yy La encuesta se realizó a 1 500 personas, de las cuales 480 compraron artículos de tecnología. Sin medir, ¿cuánto calculas que mide el ángulo correspondiente a Tecnología? Explica tu respuesta.

224

Compara tus respuestas con las de otro compañero. Juntos reflexionen: ¿Cómo se pueden determinar los valores que corresponden a cada categoría a partir de conocer la medida del ángulo central? Registren sus acuerdos en el cuaderno.

Estadtística

Matemáticas 1 Book 2020.indb 224

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Descubro y construyo

I. Construyo gráficas de sector circular a partir de la frecuencia absoluta de los valores implícitos.

Emiliano trabaja en un restaurante y es el encargado de recabar información, entre los clientes, sobre el servicio que otorgan, y de presentarla a sus jefes en una gráfica circular. Una de las preguntas es: ¿Cómo calificarían la calidad y sabor de los alimentos? Las respuestas se dividen en 4 categorías: Excelente, Buena, Regular y Mala. La tabla muestra la opinión de los clientes en la última semana: Al representar en una gráfica circular un conjunto de datos, la relación entre sus valores y el ángulo central correspondiente debe ser proporcional. La determinación del ángulo central de cada categoría se realiza aplicando tus conocimientos sobre proporcionalidad: Por ejemplo: Frecuencia Ángulo 80 –––––––– 360º x = 24 × 360 80 24 ––––––––– x x = 108

Utilizo las TIC Resuelve los dos ejercicios de la página cmed.mx/m165 y verifica tus respuestas hasta que hayas completado las dos tablas correspondientes. Si tus respuestas no son correctas, observa dónde está el error para corregirlo y aprender.

1. Completa la tabla. Anota la medida del ángulo correspondiente a cada valor, de acuerdo con la frecuencia absoluta. Opinión

Frecuencia absoluta

Medida del ángulo central

Excelente

24

108º

Buena

32

Regular

18

Mala

6 Total

M1-L31-CIRCULO AZUL

Calidad y sabor de los alimentos

80

2. Construyan la gráfica circular a partir de la información anterior. • ¿Por qué es importante respetar la proporción entre los valores que se representan en una gráfica circular? ________________________________________ _________________________________________________________________ • ¿Qué errores de interpretación podrían cometerse al leer información en una gráfica circular en la que no se respetaron las proporciones correspondientes? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

Reunidos en equipos, redacten el procedimiento para construir una gráfica circular a partir de las frecuencias absolutas. Comenten acerca de la importancia de respetar las proporciones entre los valores.

L31

Matemáticas 1 Book 2020.indb 225

Gráficas circulares

225

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II. Construyo gráficas de sector circular a partir de la frecuencia relativa representada como porcentaje.

En el grupo de Carlos, la maestra los organizó en equipos para realizar un experimento aleatorio: debían lanzar dos monedas al aire 50 veces y registrar sus resultados en una tabla y posteriormente en una gráfica circular. La tabla muestra los resultados obtenidos por el equipo de Carlos. 1. Completen, en parejas, los datos que faltan en la tabla. Evento

Frecuencia absoluta

Dos soles

15

Dos águilas

12

Un sol y un águila

23 Total

Frecuencia relativa (%)

50

100%

2. Determinen la medida que debe tener el ángulo de cada sector circular en la gráfica a partir de la frecuencia relativa (porcentaje) de cada evento. a. Dos soles: ________ b. Dos águilas: ________ c. Un sol y una águila: ________

Tomo Nota La gráfica circular, también llamada gráfica de pastel o gráfica de 100%, se utiliza para mostrar ________________ y proporciones.

yy ¿Qué hiciste para determinar la medida de los ángulos centrales en cada caso? 3. Tracen la gráfica circular M1-L31-CIRCULO a partir de la información AZUL anterior. Resultados del experimento: lanzar dos monedas

Consiste en dividir el _____________ en sectores proporcionales a la frecuencia ___________ de los datos que representa.

226

Validen sus respuestas con las de otros compañeros. Comenten la estrategia que siguieron para trazar las gráficas a partir de los porcentajes correspondientes.

Estadtística

Matemáticas 1 Book 2020.indb 226

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III. Relaciono la parte con el todo en una gráfica circular y calculo la frecuencia absoluta de cada valor representado.

Según el inegi, en 2015 había en México cerca de 2 500 000 niños, niñas y adolescentes de 5 a 17 años que realizaban alguna actividad económica. 1. Completen, en parejas, la siguiente tabla, que muestra el tipo de actividad realizada por los menores y el porcentaje que representa. El número de niños y adolescentes es una aproximación muy cercana al número real en cada categoría Motivos (color en la gráfica)

Porcentaje Frecuencia absoluta (fa)

Para pagar su escuela o sus gastos

23.5%

El hogar necesita de su trabajo

17%

Por gusto o para ayudar a su familia

23.5%

Aprender un oficio

15%

El hogar necesita de su aportación económica

10%

Pagar deudas, no estudia y otra razón

11%

GLOSARIO Ángulo completo. Es el ángulo formado por dos semirrectas que se superponen; mide 360º.

Fuente: cuentame.inegi.org.mx/poblacion/ninos.aspx?tema=P#uno yy Al representar la información en una gráfica circular, y de acuerdo con la medida del ángulo completo, ¿cómo se puede determinar la medida del ángulo que corresponde a cada categoría? M1-L31-DYC 2. Analicen las gráficas que construyeron Alberto y Natalia para representar la inforM1-L31-DYC M1-L31-DYCIII-2 III-2 III-2 mación anterior y respondan. Motivos Motivos Motivos por por por los los losque que quetrabajan trabajan trabajanniños niños niñosyyyadolescentes adolescentes adolescentes

Motivos por los que trabajan niños y adolescentes Para escuela Para pagar escuela Para Parapagar pagar pagar escuela escuela ooosus sus susgastos gastos gastos El necesita El hogar necesita El Elhogar hogar hogar necesita necesita dede desusu sutrabajo trabajo trabajo

o sus gastos

de su trabajo

Por o opor ayudar Por gusto por ayudar Por Porgusto gusto gusto oo por por ayudar ayudar a asu a su sufamilia familia familia

a su familia

Aprender unun oficio Aprender un oficio Aprender Aprender un oficio oficio

Utilizo las TIC

El hogar necesita El hogar necesita de su aportación El El hogar hogar necesita necesita de su aportación económica económica de de su su aportación aportación económica económica

Alberto Alberto Alberto Alberto

Natalia Natalia Natalia Natalia

Pagar deudas, no estudia Pagar deudas, no estudia Pagar Pagar deudas, deudas, no no estudia estudia ootra otra razón oo otra otrarazón razón razón

u

yy ¿Cuál de los estudiantes trazó correctamente la gráfica? ¿Cómo lo saben? yy ¿Por qué la otra gráfica no es correcta? yy En la gráfica incorrecta, ¿aproximadamente qué procentaje corresponde a la categoría “Para pagar su escuela o sus gastos”? 3. Describan el procedimiento que se puede o debe seguir para obtener la frecuencia absoluta o los porcentajes correspondientes a partir de una gráfica circular.

Ingresa a: cmed.mx/m166 y en el menú de la izquierda, selecciona la opción Círculo y Cuánto. Resuelve las actividades correspondientes.

Validen sus resultados y estrategias con los de otros compañeros. Comenten sobre la importancia de respetar las proporciones entre los valores correspondientes al representarlos en una gráfica circular. Registren sus acuerdos en el cuaderno.

L31

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Gráficas circulares

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IV. Establezco qué porcentaje corresponde a cada valor representado en una gráfica circular.

Hilda tiene un teléfono celular de 32 gigas (Gb). La siguiente gráfica circular muestra el espacio que ocupan los diferentes tipos de archivos almacenados en el teléfono de Hilda. 1. Analicen, en equipos, la gráfica y M1-L31-DYC respondan. IV Espacio que ocupan los archivos Apps

Espacio libre

Documentos

Música Videos

Tomo Nota En una gráfica circular, el ángulo de cada valor debe ser ______________ a la frecuencia absoluta o al procentaje correspondiente. Por ejemplo, si un ángulo mide 72º, su sector circular representa: P = 72º × 100%/360º = ______. De manera inversa, si un valor representa 30%, entonces el ángulo del sector circular correspondiente debe medir: ∝ = 30% × 360º/100% = _______.

Fotos

yy yy yy yy yy

2. Completen la siguiente tabla a partir de la información de la gráfica. Medida del ángulo Espacio libre

Porcentaje que representa

Memoria que ocupa

108º

Música

2.4 Gb

Fotos

17.5%

Video

57.6º

Documentos

Apps

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Qué tipo de archivos ocupan más memoria en el teléfono de Hilda? ¿Qué tipo de archivos ocupan 5% de la memoria? ¿Cómo determinaron qué archivos ocupan 5%? ¿Cuántos Gb de la memoria corresponden al 5%? Si el ángulo del sector circular que corresponde a los videos mide 57.6º, ¿cómo se puede saber qué porcentaje representa este tipo de archivos?

86.4º

Comparen sus resultados y procedimientos con los de otros compañeros. ¿Cómo pueden determinar un porcentaje a partir del ángulo central de una gráfica circular? Debatan con argumentos, con la idea de llegar a acuerdos sobre los procedimientos más eficientes.

Estadtística

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V. Registro los resultados de un experimento en gráficas circulares.

1. Realicen la siguiente actividad reunidos en equipos.. yy Corten 6 papelitos del mismo tamaño y numérenlos del 1 al 6. yy Doblen los papelitos y colóquenlos en una bolsa opaca. yy Por turnos, saquen un papelito de la bolsa, registren el número que salió y regresen el papelito. yy Repitan el experimento 30 veces y registren los resultados en la siguiente tabla. M1-L31-CIRCULO AZUL yy Después, construyan la gráfica circular correspondiente. Evento

Frecuencia absoluta (fa)

Frecuencia relativa (%)

Números que salieron

1 2 3 4 5 6

Compartan sus resultados con otros compañeros. Comenten en grupo lo siguiente: ¿En qué situaciones es conveniente representar la información en gráficas circulares? Propongan una situación, distinta a las anteriores, en la que convenga utilizar una gráfica circular para presentar la información. Discutan y registren sus conclusiones. Practico

1. Completen la tabla a partir de la información que se muestra y después tracen la gráfica. La tabla muestra el porcentaje de alumnos de un grupo de 1° de secundaria que obtuvieron cada una de las calificaciones siguientes durante un examen de M1-L31-CIRCULO AZUL matemáticas. Calificación obtenida Frecuencia Ángulo en la Calificación en el examen relativa (%) gráfica circular 10

26%

9

24%

8

28%

7

18%

6

4%

Total

100%

en un examen

360º

• Si en el grupo hay 50 estudiantes, ¿cuántos sacaron 10? • ¿Qué calificación obtuvieron 9 estudiantes? • ¿Sería correcto dividir la gráfica en cinco partes iguales y poner una calificación en cada sector, por ejemplo en un sector 10, en otro 9, etcétera? ¿Por qué?

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Gráficas circulares

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Evalúo mi aprendizaje Recapitulo 1. La gráfica circular, también llamada gráfica de pastel, consiste en un círculo dividido en sectores que se utiliza para representar conjuntos de datos a partir de su frecuencia relativa (como porcentaje) o de su frecuencia absoluta. 2. En una gráfica circular, el ángulo de cada sector circular es proporcional a la frecuencia absoluta o al porcentaje que representa cada variable; se obtiene multiplicando la frecuencia absoluta (fa) por 360º y dividiendo el resultado entre el total de valores (N), esto es:

x=

fa × 360º n

3. Cuando se conoce el porcentaje, N se sustituye por 100% y fa por el porcentaje o frecuencia relativa correspondiente a cada variable. 4. En toda gráfica circular se cumple las siguientes proporciones: ángulo central = ángulo completo frecuencia absoluta = total de datos porcentaje parcial 100%

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Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido. MI AVANCE M1-L31-EVALUO

Resultados de las elecciones estudiantiles

1. Lean la información, analicen la gráfica y resuelvan. La gráfica representa los votos obtenidos por las cuatro planillas de estudiantes que participaron en la elección del nuevo comité estudiantil. En las votaciones participaron 540 estudiantes.

Planilla anaranjada

Planilla verde

Planilla azul

Planilla amarilla

yy ¿Qué planilla obtuvo más votos? yy ¿Cuál obtuvo menos votos? ___________________________________________ yy ¿Cuál fue la segunda planilla con más votos? Completa la gráfica anotando el porcentaje de votos obtenidos por cada planilla. yy ¿Cuántos votos obtuvo cada planilla? Planilla amarilla: __________ Planilla azul: __________

Planilla verde: __________ Planilla anaranjada: __________

2. Lee la información, completa la tabla y construye la gráfica circular correspondiente. Fernanda hizo una encuesta entre sus amigos a través de una red social. Ella planteó lo siguiente: Si eres mi amigo y me conoces, dime cuál es mi color favorito: azul, verde, negro o amarillo. AZUL Después de varios días, las respuestas de sus amigosM1-L31-CIRCULO fueron las siguientes:

Color

Frecuencia absoluta (fa)

Azul

18

Verde

14

Negro

35

Amarillo

9

Porcentaje (%)

Color preferido

Estadtística

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Logro ir más

allá

Lee la información y resuelve. Se acerca el cierre de este ciclo escolar, tu primer año de la educación secundaria; seguramente resultó para ti un año lleno de nuevas experiencias y aprendizajes. Para cerrar el ciclo escolar, reunidos en equipo, realicen una encuesta en su grupo con la idea de conocer las experiencias de sus compañeros en su primer año de secundaria. Utilizo las TIC Entra a este interactivo para practicar, con un ejemplo, cómo puedes Obtener, representar y analizar datos: cmed.mx/m167

M1-L31-CIRCULO AZUL yy Elijan una pregunta cuyas respuestas puedan ser representadas en una gráfica circular, por ejemplo: ¿Cuál fue tu materia favorita? ¿En cuál obtuviste mejor promedio? ¿Cuál te resultó más difícil?, etcétera. yy A partir de las respuestas de sus compañeros, completen una tabla en la que incluyan la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de cada respuesta. yy Al final, construyan la gráfica en el círculo que se muestra. Compartan su trabajo con el resto del grupo y con el profesor.

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Evaluemos

Revisa tu Itacate de evidencias antes de realizar tu evaluación.

Itacate

lo aprendido

I. Selecciona la opción correcta. Compara tus respuestas y procedimientos con un compañero.

Reconoce tus emociones

1. Al resolver 2 [ 7 + 9 ( 21 − 5) ] se obtiene: b. 368 c. 382 d. 302 a. 512 2. Paco se dedica a la venta de bicicletas. En la bodega tiene un total de 400 bicicletas, de las cuales 35% son de montaña, 45% de paseo y el resto de carreras. ¿Cuántas bicicletas de montaña y de carreras tiene en total? b. 320 c. 220 d. 240 a. 260 3. ¿A cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente la ecuación 3 ( 2x + 4 ) = x + 19? 4 b. 2x = 7 c. 14x = 19 d. 10x = 88 a. 2x = 64 4. Descuentos sucesivos de 20% y de 30% equivalen a un descuento único del: b. 44%. c. 10%. d. 60%. a. 50%. 5. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? b. 1 l = 1 000 cm3 c. 100 l = 1 cm3 d. 1 000 l = 1 m3 a. 1 l = 1 dm3 6. ¿Cuál de las siguientes fórmulas corresponde al volumen del prisma que se muestra en la figura? b. ( a × A ) L h. M1-MOD c. (a3-6+ A) L h. d. (a + A) 2 L h. a. ( a + A ) L h.

Comparte aquí tus reflexiones sobre el texto: "Consumo sustentable" y las emociones que provocó en ti.

¿Qué piensas que se

2

2

quiere transmitir con este proverbio?

a

Blanco hielo es de lluvia mensajero.

h

L A

7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? b. 4 + 2 (45 − 1) = 264 a. (3.5 − 2) (10 − 7) = 4.5 d. 5 − 3 (24 ÷ 6) + 7 = 0 c. (3 × 17) ÷ (10 × 3) = 1.7 8. Las gráficas corresponden a la relación de la distancia que recorre un móvil que se aleja en línea recta de un punto de referencia en función del tiempo. ¿Qué gráfica c. d. M1-MOD3-4 GRÁFICAS b. representa la expresión algebraica y = 90x?

a.

y

y

y

600

600

500

500

500

500

400

400

400

400 300

300

Distancia

600

Distancia

600

Distancia

Distancia

y

300

300

200

200

200

200

100

100

100

100

0

2

4

6

8

Tiempo

10

x

0

2

4

6

Tiempo

8

10

x

0

2

4

6

Tiempo

8

10

x

0

2

4

6

8

10

x

Tiempo

a. b. c. d. 9. La ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 5) y tiene pendiente –2 es: b. 5x − 2 c. −2x + 5 d. −2x − 5 a. 5x + 2

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10. Si en lugar de 128 millones de mexicanos fuéramos 100 personas y 34 tuvieran entre 0 y 14 años, 29 entre 15 y 29M1-MOD3-GRÁFICA años, 30 entre 30 y 59 años y 7 tuvieran 60 o CIRCULAR más años, ¿cuál de las siguientes gráficas circulares representaría esto?

a.

b.

II. Resuelve los a. siguientes problemas. b.

c.

d.

c.

d.

1. Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad del padre sea el triple de la edad del hijo? 2. Una alberca de 8 m de largo por 3 m de ancho y 1.8 m de alto se va a llenar con una manguera que arroja 6 litros de agua por minuto. ¿Cuántos días, horas y minutos debe permanecer la llave abierta para llenar la alberca de agua hasta metro y medio de altura? 3. El año pasado una patineta costaba $3 500.00 y un casco $1 400.00; este año el precio de la patineta aumentó 12% y el del casco 5%. Si este año compré ambos artículos, ¿qué porcentaje de más pagué en relación al año pasado? III. En parejas, lean el texto de inicio del Módulo 3 y contesten:

yy Estimen cuántos pantalones, playeras y zapatos tienen en su guardarropa y calculen el agua virtual correspondiente. Si su ropa y zapatos les duraran un año, ¿qué tamaño tendría su huella hídrica diaria de guardarropa, es decir, el consumo promedio diario de agua? yy La tabla muestra el agua virtual utilizada para producir algunos equipos electrónicos. Calculen el agua virtual correspondiente si cambiaran de equipos cada 3 años, ¿qué tamaño tendría su huella hídrica diaria de equipos electrónicos? Equipo

Agua virtual (litros)

Celular

23 200

Computadora

37 800

Consola de videojuegos

32 200

Televisor

29 400

yy Con los datos que han obtenido de cuánta agua usan en un día, ¿cuál es su huella hídrica alimenticia diaria?, ¿cuánta agua virtual llevan consigo y cuánta agua virtual tienen secuestrada con los equipos electrónicos? Calculen el tamaño de su huella hídrica personal diaria. yy Si una alberca olímpica mide 50 m de largo por 21 m de ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántas albercas olímpicas se llenarían con su huella hídrica anual? yy En grupo, discutan qué podrían hacer como individuos para reducir su huella hídrica. ¿Y como escuela? Verifiquen, en parejas, que completaron correctamente los Tomo Nota de de este Módulo.

Itacate

Registra, en Notas para tu Itacate, qué contextos de las actividades te gustaron más. ¿Cuáles fueron las mejores experiencias al trabajar con tus compañeros? ¿Tiene esto algún valor para tí? ¿Por qué?

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Autoevaluación Mis logros y metas Como has completado y revisado tu Itacate de evidencias, ya puedes reconocer cómo has aprendido, ahora completa este cuadro. Escribe lo que se pide en cada caso. LO SÉ HACER

LO SÉ INDICADOR DEL LOGRO

Tengo el conocimiento Sí

Aún no

Desarrollé las habilidades para representar y seguir procedimientos Sí

Aún no

Determino y uso la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros, decimales y fracciones (para multiplicación y división, solo números positivos).

Resuelvo problemas de cálculo porcentaje, del tanto por ciento y de la cantidad base.

Resuelvo problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Analizo y comparo situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreto y resuelvo problemas que se modelan con estos tipos de variación.

Calculo el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

Recolecto, registro y leo datos en gráficas circulares.

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LO VALORO

COMENTARIOS

Habilidades del siglo xxi

os Sí

No

¿Cómo lo lograré?

Marca con una (3) las habilidades que consideres que has alcanzado: Confío en mí Percibo mis emociones Soy responsable Muestro empatía Tengo sentido de comunidad Me comunico Colaboro / participo Me adapto Muestro creatividad Muestro curiosidad e interés Tengo iniciativa Soy persistente Planteo metas positivas Resuelvo problemas Manejo la información Uso los medios Manejo la tecnología Soy consciente del mundo natural y social

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Apéndice

Tabla de correlación  Bibliografía   Recomendada para los estudiantes   Recomendada para los docentes   Ligas electrónicas  Recomendaciones para navegar en la red   Consultadas  Generales   Notas para tu Itacate   Créditos iconográficos

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Tabla de Correlación

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

LIBRO DE TEXTO

MATEMÁTICAS SECUNDARIA. 1º EJES

Temas

Número

Adición y sustracción

Multiplicación

Y VARIACIÓN

NÚMERO, ÁLGEBRA

y división

Proporcionalidad

Aprendizajes esperados

Páginas

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.

18 a 27

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos

28 a 41

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales. Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, sólo números positivos). Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación). Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.

90 a 103 170 a 177

104 a 117 184 a 195

Ecuaciones

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

42 a 55 118 a 125 178 a 183

Funciones

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

196 a 209

Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.

126 a 137

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

LIBRO DE TEXTO

MATEMÁTICAS SECUNDARIA. 1º EJES

Temas

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos

Magnitudes y medidas

Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas. Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.

56 a 73

Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

138 a 149 210 a 223

224 a 231 150 a 161

DE DATOS

Estadística

ANÁLISIS

Páginas

Y MEDIDA

FORMA, ESPACIO

Figuras y cuerpos geométricos

Aprendizajes esperados

Probabilidad

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

74 a 81

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Bibliografía

Recomendada para los estudiantes Frabetti, C. (2000). Malditas matemáticas. México: Alfaguara juvenil. Ko, Seok-ku. (2012). Matemáticas asombrosas de matemáticos excéntricos. México: Ediciones Castillo/sep. Col. Libros del Rincón. Littan, J. (2014). Mates divertidas para gente ingeniosa. México: Ediciones sm. Magnus Enzensberger, H. (2016). El diablo de los números. México: sep/Siruela. Col. Libros del Rincón. Paenza, A. (2008). Matemática... ¿Estás ahí? Episodio 100. Argentina: Siglo Veintiuno Editores. Col. Ciencia que ladra. Potter, L. (2015). A jugar con las matemáticas. México: sep/Hiperlibro. Col. Libros del Rincón. Sierra i Fabra, J. (2004) El asesinato del profesor de matemáticas. México: Anaya. Tahan, M. (2014). El hombre que calculaba. México: Limusa. VanCleave, J. (2009). Matemáticas para niños y jóvenes. México: Limusa-Wiley. Col. Biblioteca Científica. Wardle, T. (2003). La suma más difícil del mundo. Madrid: Ediciones sm.

Recomendada para los docentes Alagia, H., Bressan, A. & Sadovsky, P. (2005). Reflexiones teóricas para la educación matemática. Buenos Aires: Libros del Zorzal. (Formación Docente Matemática). Alanís, J. & Cantoral, R., et. al. (2008). Desarrollo del pensamiento matemático. México: Trillas. Alsina i Pastells, A. (2010). Educación matemática. El aprendizaje reflexivo en la formación inicial del profesorado: un modelo para aprender a enseñar matemática. México: Santillana. Vol. 22, Núm. 1, pp. 149-166. Planas, N. & Alsina i Pastels, A. (2009). Educación matemática y buenas prácticas. Infantil, primaria, secundaria y educación superior. Barcelona: Graó.

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Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1998). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. México: sep (Biblioteca para la actualización del Maestro de la Secretaría de Educación Pública). Gascón Pérez, J. (1994). El papel de la Resolución de Problemas en la Enseñanza de las Matemáticas. Barcelona: Suma, Revista para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Marrase, P. J. (2016). La Belleza de las Matemáticas. Barcelona: Plataforma. Ramírez, M. & Block, D. (2009). La razón y la fracción: un vínculo difícil en las matemáticas escolares, Educación Matemática. México: Santillana. Vol. 21 (1), pp. 63-90. Ruiz Munzón, N., Bosch, M. & Gascón, J. (2010). La algebrización de los programas de cálculo aritmético y la introducción del Álgebra en secundaria. España: Investigación en Educación Matemática XIV, Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, pp. 545-556. Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemáticas hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Buenos Aires: Libros del Zorzal. (Formación Docente-Matemática). Sáenz de Cabezón, E. (2016). Inteligencia matemática. Descubre al matemático que llevas dentro. Barcelona: Plataforma.

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Ligas electrónicas Recomendaciones para navegar en la red 1. No te quedes en la primera referencia a la que te remite el buscador. 2. Busca páginas que contengan citas de libros especializados. 3. Busca páginas de instituciones educativas (universidades) pues éstas suelen ser permanentes y confiables. 4. Wikipedia es un buen comienzo pero no te debes quedar ahí. Conviene que revises las referencia, la bibliografía y los enlaces externos que están relacionados con la página de Wikipedia que consultaste y, además, no pierdas de vista que mucha de la información a la que remite puede ser muy técnica. 5. Wikipedia sirve para contrastar la información que se presenta en otras páginas. Normalmente es confiable, pero también insuficiente. 6. Los blogs en internet suelen caducar (no son permanentes) y por ello mucha información valiosa puede dejar de estar disponible. 7. Merece hacer el esfuerzo de establecer contacto vía correo electrónico con el autor de una página que te resulte interesante. 8. La calidad de una investigación aumenta conforme se incrementa la cantidad y calidad de sus fuentes. 9. En Ciencia y Matemáticas las páginas en inglés suelen estar más completas y contener información más actualizada. 10. Los textos que no encuentres en la biblioteca de tu escuela búscalos como archivos pdf. 11. Busca en la red entrevistas con autores reconocidos, puedes encontrarlos como texto o como video. 12. Si escribes entre comillas, por ejemplo: “caminos, azar y probabilidad”, el buscador listará. todas las páginas donde encuentre esta frase literalmente. 13. Sistematiza tus propios métodos de búsqueda. 14. Recuerda que los libros son insustituibles y que las referencias que encuentras en la red son sólo otra forma de adquirir información. Además siempre será mejor, ya sea que consultes libros o la red, que busques en los textos de los autores que generaron la información que estás investigando.

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Consultadas Agrega agrega.educacion.es/

Es una plataforma con contenidos educativos para profesores y alumnos, de uso directo y para su descarga.

AAAMath http://www.aaamatematicas.com/

Variedad de lecciones interactivas de matemáticas con solución.

APRENDE 2.0 https://recursos.aprende.edu.mx/#/

Plataforma única de contenidos educativos digitales desarrollados principalmente por la Secretaría de Educación Pública para la educación básica.

AQUASTAT

Recursos hídricos

http://www.fao.org/nr/water/aquastat/water_res/indexesp.stm

Base de datos de la Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (FAO).

Centro de Información del Agua Agua.org.mx

Portal del Fondo para la Comunicación y la Educación Ambiental, A.C.

Contiene material para niños, jóvenes y educadores alineados a la currícula de la Secretaría de Educación Pública, además de una nutrida biblioteca temática con contenido multimedia: Hidrospekes. Calcula tu huella hídrica y revisa los contenidos de: “FAVORITOS DE AGUA.ORG.MX”

Cetes directo

www.cetesdirecto.com En esta página podrás encontrar consejos adecuados para invertir y ahorrar dinero, así como las opciones que son más viables para tu estilo de vida.

Colegio Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo

http://www.conevyt.org.mx/

Portal educativo de la Secretaría de Educación Pública con un conjunto importante de recursos tecnológicos aplicados a la educación.

Busca: “Ejercicios de reforzamiento de matemáticas nivel secundaria”.

Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros

www.condusef.gob.mx

Página que depende de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, que otorga medidas

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preventivas para orientar, informar y promover la educación financiera, así como atender y resolver las quejas y reclamaciones de los usuarios de servicios y productos financieros. Cuéntame

www.cuentame.inegi.org.mx/

Es una página de Instituto Nacional de Geografía e Informática que está dirigida a niños y jóvenes donde se otorgan cifras acerca del territorio, la población y la economía de México.

Disfruta las Matemáticas www.disfrutalasmatematicas.com

Aquí encontrarás muchos temas de matemáticas para entretenerte y aprender.

EduCaixa https://www.educaixa.com/

Plataforma educativa de Obra Social “la Caixa” diseñada especialmente para que el maestro encuentre todo lo que necesita para preparar y organizar sus clases. Contiene recursos en línea para los alumnos y mucho más.

EducaLAB http://educalab.es/

Sus creadores dicen: “Es un lugar de encuentro para la educación. Su objetivo es apoyar a los docentes y en sentido amplio a todo el sistema educativo español desde el conocimiento y la cercanía, desde los datos y el análisis y desde la investigación, la experimentación y la innovación”.

Enseñanza de las ciencias

http://ensciencias.uab.es/ Revista digital de investigación y experiencias didácticas. Los contenidos se pueden leer y descargar libremente.

Espacio Procomún Educativo http://procomun.educalab.es/

Encontrarás Recursos Educativos Abiertos (rea) para su descarga y uso directo por el profesor y el alumno. Podrás buscar en “Histórico de Recursos”, por asignatura.

Educaplus

http://www.educaplus.org/games/matematicas

Recursos de matemáticas multimedia.

Ejercicios de Matemáticas https://www.ematematicas.net/

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GeoGebra

geogebra.org/cms/es/ Plataforma interactiva de Matemáticas y Ciencias para enseñar y aprender. Entre los objetivos generales de las actividades propuestas aquí, siempre estarán fomentar el uso de cuetro verbos: ver, tocar, investigar y descubrir.

Guía para el trabajo con Desafíos Matemáticos. Secretaria de Educación Pública http://www.sec.gob.mx/coordinacion/uploads/PETC/interiores%20Z7508.pdf Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Historia (inegi) http://www.inegi.org.mx/ Junta de Andalucía

http://www.juntadeandalucia.es/educacion/portalaverroes/contenidosdigitales/

Recursos digitales y materiales educativos.

Khan Academy

https://es.khanacademy.org Plataforma que ofrece ejercicios de práctica, videos instructivos y un panel de aprendizaje personalizado que permite a los alumnos aprender a su propio ritmo, dentro y fuera del salón de clases.

Matemáticas visuales

http://www.matematicasvisuales.com/

Encontrarás exposiciones visuales de conceptos matemáticos.

Museo Interactivo de Economía (mide)

http://www.mide.org.mx/mide/maestros/

Una plataforma interactiva para entender las finanzas y la economía del mundo.

Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales (semarnat)

https://www.gob.mx/semarnat

Múltiples recursos e información útil para conocer aspectos de las ciencias naturales.

Oei

Biblioteca digital

http://www.oei.es/historico/bibliotecadigital.php

Plan Ceibal http://rea.ceibal.edu.uy/

Contenidos educativos organizados de acuerdo al currículo de las enseñanzas de niveles anteriores a la universidad y preparados para descarga y uso directo por los profesores y alumnos.

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Portal Educativo

www.portaleducativo.net/ Contenidos educativos útiles para que los alumnos puedan estudiar, practicar y resolver sus necesidades y dudas en un solo lugar. Todo esto, potenciado con aplicaciones interactivas y profesores online.

Red del Agua UNAM

www.agua.unam.mx/

Consultar en el menú: “Noticias” y “Novedades”.

SM-Conectados

www.smconectados.com/

Servicio exclusivo para profesores.

Thatquiz

www.thatquiz.org/es-0/?-j104-l9-p0

Sitio web para la enseñanza de las matemáticas.

Vitutor

https://www.vitutor.com Es una plataforma diseñada para el aprendizaje en línea de distintas materias. Contiene ejercicios y respuestas además de cursos y tutoriales.

UNO

http://uno.grao.com/

Revista de Didáctica de las Matemáticas.

Generales Coolmath Store www.coolmath-games.com/

Lecciones, juegos y aplicaciones de matemáticas, divertidas y gratuitas.

Math worksheets and printables

www.education.com/worksheets/math/

Hojas de trabajo de matemáticas para un aprendizaje atractivo (en inglés).

NrichMaths (Enriqueciendo las Matemáticas)

http://nrich.maths.org/frontpage

Sitio de la Universidad de Cambridge donde se proponen ejercicios desafiantes de matemáticas (en inglés).

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Red Escolar ILCE

http://red.ilce.edu.mx

Un espacio para el fomento del aprendizaje y la cultura digitales.

Revista de investigación en Didáctica de la Matemática. PNA.

www.pna.es Revista de investigación en Didáctica de la Matemática cuyo fin es promover y difundir la investigación de calidad que se realiza en España y el mundo.

Revista de Didáctica de las Matemáticas. Números.

www.sinewton.org/numeros

Publicación que incluye trabajos de interés para el profesorado de educación primaria y secundaria, principalmente.

Revista EPSILON de la SAEM THALES

http://thales.cica.es/epsilon

Revista de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática.

Revista Iberoamericana de Educación Matemática. UNIÓN.

www.fisem.org/web/union Publicación que difunde trabajos sobre educación matemática, destinados al profesorado en activo, de todos los niveles educativos (desde educación infantil hasta la universidad).

Revista Latinoamericana de Etnomatemática

www.etnomatematica.org

Aborda los aspectos socioculturales y políticos del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas a través de entrevistas y reseñas que divulgan trabajos de investigación de Etnomatemática.

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa

www.clame.org.mx/relime.htm

Publicación oficial de investigación del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Revista Mexicana de Investigación Educativa

www.comie.org.mx/v1/revista/portal.php Revista en la que encontrarás aportes a la enseñanza de una metodología educativa, con prioridad en México y América Latina.

UNESCO. Programa Hidrológico Internacional

http://www.unesco.org/new/es/natural-sciences/environment/water/ihp/about-ihp/

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Créditos iconográficos Bancos de imagen © Shutterstock: pp. 24, 83, 86, 90, 96, 98, 104 (izq.), 112, 117, 166, 209. Pixabay: pp. 14, 62, 104 (der.), 105 (arr.), 125, 150, 154, 161, 180. © Latinstock: p. 22, 125.

Otras fotografías © Carlos Hahn Ramírez: pp. 80, 137, 183, 195, 223, 231.

Dominio Público p. 18 El juicio de Osiris, p. 64 Los jugadores de dados.

Ilustraciones Alejandro Teodores Romero.y Francisco Ibarra

Fotografía de cubierta © Carlos Hahn Ramírez. Obra: © Alba Rojo Cama, “Sin título” (2009). Medidas: 23 x 31.5 x 16.5 cm.

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Estimada alumna, estimado alumno:

El libro texto gratuito que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo que realizan el gobierno federal, los gobiernos estatales, las maestras y los maestros para garantizar que todas las niñas, los niños y los adolescentes que cursan la educación básica en nuestro país cuenten con materiales educativos para construir su aprendizaje, y con ello alcanzar una educación de excelencia. Tu libro de texto gratuito promoverá que te desarrolles integralmente, fomentará en ti el amor a la Patria y el respeto a todos los derechos; así reconocerás lo que te rodea, apreciarás tus fortalezas y sabrás lo que tu comunidad, México y el mundo Nombre

necesitan y lo que puedes hacer por ellos. En el marco de la Nueva Escuela Mexicana, la equidad y la calidad son premisas

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de la educación. Este libro ha sido seleccionado por los docentes de tu escuela, de entre las distintas opciones que la Secretaría de Educación Pública pone a su disposición y forma parte de los materiales educativos que se ofrecen para que, con

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el trabajo diario de maestras, maestros, autoridades y familias, alcances el máximo logro de aprendizaje y el fortalecimiento de los lazos entre tu escuela y tu comunidad.

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