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Álgebra para todos
E INCERTIDUMBRES
CONSTRUIR EL SENTIDO DE LAS RELACIONES LINEALES EN LOS ALUMNOS, APILANDO CUBOS*
Diana Underwood Gregg**
El programa de matemáticas en desarrollo en nuestra universidad está dise-
ñado para ayudar a aquellos alumnos cuya formación en habilidades y razonamiento algebraicos se considera inadecuada. Con sólo pocas excepciones, los alumnos que participan en el programa tomaron un curso inicial de álgebra en algún momento. Mi trabajo con esta población indicaba que sus difi cultades no podían subsanarse simplemente con un curso de actualización. En los últimos cinco años, he trabajado para diseñar materiales de instrucción y métodos de enseñanza que puedan ayudar a estos estudiantes a desarrollar una comprensión conceptual del álgebra básica. En este artículo, comento una serie de actividades que he diseñado para ayudar a los alumnos a dar sentido a las rectas y a las ecuaciones lineales.
mi intento inicial en esta área consistió en adaptar materiales del currículo de la reforma que utilizaban la regla de tres. En otras palabras, los materiales que presentaban las funciones lineales desde los puntos de vista numérico, gráfi co y simbólico. Aunque el razonamiento detrás de estos materiales parecía coincidir con mis objetivos para la clase, encontré que muchos alumnos no conectaban las ecuaciones lineales con sus gráfi cas. Por ejemplo, podían escribir la ecuación lineal correcta para un problema, generar una tabla de pares ordenados a partir de la ecuación y grafi car los pares ordenados que habían generado. Asimismo, podían entender la idea de pendiente gráfi camente como “subir y avanzar”. También “descubrían” que el número que representa la pendiente era el coefi ciente de x en la ecuación de la recta. Sin embargo, aunque identifi caban esta correspondencia, no podían explicar la razón de su existencia. En otras palabras, su com-
* Permiso de traducción y reproducción del artículo “Algebra for all. Building students’ sense of linear relationships by stacking cubes”, copyright 2002 por el National Council of
Teachers of Mathematics. Todos los derechos reservados.
NCTM no es responsable por la exactitud o la calidad de esta traducción. Traducción de José Ignacio de Lucas Arbiza y Fernanda Gallego. Copyright de esta traducción: Correo del Maestro. ** Diana Underwood Gregg (diana@calumet.purdue.edu) es profesora de matemática y coordinadora de matemática básica en la Purdue University Calumet, en Hammond, EUA. Sus intereses incluyen el diseño de secuencias de enseñanza y el trabajo con docentes en formación y en servicio. NOTA: Correo del Maestro agradece a Diana Underwood Gregg por enviarnos su artículo.
prensión de esta correspondencia era similar a la de un alumno pequeño que explica que 3 cuatros es equivalente a 4 tres “porque la respuesta es 12”, pero no puede explicar por qué 3 cuatros es la misma cantidad que 4 tres. Dado que mis alumnos no entendían la conexión entre la pendiente y la ecuación de la recta, tenían difi cultades incluso con los problemas más básicos, como determinar la ecuación de una recta cuando se dan puntos de la misma.
Mi idea de ayudar a los alumnos a conectar las representaciones gráfi cas con las simbólicas surgió al observar las soluciones de varios de ellos en una actividad de registrar datos y grafi car. En esta actividad de la serie Connected Mathematics (Matemáticas Conectadas),1 se solicitó a los alumnos que lanzaran una moneda durante noventa segundos, registraran el número acumulado de lanzamientos en intervalos de diez segundos y realizaran una gráfi ca que representara los datos que habían recolectado. Observé que la mayoría de los alumnos generó gráfi cas de barras para representar sus datos. En una secuencia de instrucción anterior, adaptada de la serie Mathematics in Context (Matemáticas en Contexto),2 los alumnos habían desarrollado exitosamente fórmulas para el crecimiento de patrones espaciales, como se muestra en la fi gura 1.
1 Lappan, Glenda, et al., Connected Mathematics, Dale Seymour
Publications, Menlo Park, Calif., 1998. 2 Wijers, Monica, et al., “Building Formulas”, en Mathematics in
Context: A Connected Curriculum for Grades 5–8, National Center for Research in Mathematical Sciences Education (Centro Nacional para la Investigación Matemática) e Instituto Freudenthal, Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, 1997. #1 #2 #3 #4
Fuente: “Elaborar fórmulas” tomado de Mathematics in Context, Wisconsin Center for Education Research y el Instituto Freudenthal. Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago III, 1996.
Figura 1
Yo pensé que, combinando la idea de escribir fórmulas para el crecimiento de patrones con la idea de construir gráfi cas de barras, podría diseñar materiales de instrucción que ayudaran a los alumnos a desarrollar una comprensión conceptual de las funciones lineales. También tenía la esperanza de que la habilidad de representar simbólicamente una función lineal surgiera naturalmente a partir de su actividad de grafi car. En el siguiente párrafo, describo las diferentes actividades que fueron parte de la secuencia de apilar cubos, doy ejemplos de cada una, destaco las preguntas que hice e ilustro los métodos de solución que generalmente usan los alumnos.
Actividad 1
CONTINUAR UN PATRÓN
En la actividad inicial, presenté a los alumnos una sucesión de “torres”, como se muestra en la fi gura 2, y les pedí que dibujaran las tres torres siguientes de la secuencia. Para saber si podían generalizar su actividad, también les solicité que averiguaran cuántos cubos habría en la décima torre, sin dibujar todas las torres que estaban en el medio.
Debido a que el número se incrementaba en dos de torre a torre, y se requerían seis torres más para llegar a la décima, algunos alumnos razonaron que sólo necesitaban sumar 12 al nú-
La disposición espacial se asemeja a la gráfi ca de barras que los alumnos han dibujado en su actividad de registrar datos y grafi car.
#1 #2 #3 #4
Figura 2
mero de cubos en la cuarta torre. Otros notaron que el número de cubos en cada torre era uno más que el doble del número de patrón de la torre. Les pregunté cómo describirían ese patrón simbólicamente. Utilizando la solución anterior, el grupo fue capaz de describir el patrón como 2p + 1, donde p era el número de patrón (o torre). La naturaleza de esta tarea era similar a la tarea “V” que se muestra en la fi gura 1. Sin embargo, la disposición espacial de las torres se parece a las gráfi cas de barras que los alumnos habían dibujado en su actividad de registrar datos y grafi car. Esta disposición, en última instancia, los ayudaría a dar sentido a los puntos en el plano cartesiano y, por lo tanto, fue el primer paso hacia la representación de una función lineal en el plano.
Para las tareas de la fi gura 2, los alumnos llegaron fácilmente a la fórmula 2p + 1 porque reconocieron que el número de cubos en cada una de las torres es “uno más que el doble del número de patrón (o torre)”.
Debido a que relaciones como 7p – 18 no serían tan fáciles de descubrir y porque esta manera de ver el patrón no propiciaba pensar en el cambio de una torre a la siguiente, hice preguntas a los alumnos que los ayudarían a enfocarse en construir la fórmula en base al cambio. Primero hice la siguiente pregunta: ¿Cuántos cubos habría en la construcción cero?
Esta pregunta fue relativamente fácil para que los alumnos la descifraran, y me permitió continuar con preguntas como las que siguen. Si comienzas con la torre cero, ¿cuántos cubos más necesitas para construir la tercera torre? Como los alumnos sabían que el número de cubos se incrementaba en dos de torre a torre, preguntas como ésta nos permitieron enfocarnos en el número adicional de grupos de dos que se necesitaban para construir la tercera torre. Después de que se estableció esta idea, hice otra pregunta: ¿Cuántos cubos habría en la octava torre?
Los alumnos solucionaron esta tarea sumando ocho grupos de 2 al número de cubos en la torre cero. Esta actividad los ayudó a ver que el 2 en la fórmula 2p + 1 representaba la razón de cambio. También incluí secuencias como la de la fi gura 3, porque presentaba situaciones a los alumnos en las que la torre cero estaba “bajo tierra”. Los alumnos describieron la torre en la fi gura 3 como “dos pisos en el sótano” (–2).
10
7
4
1
#1 #2 #3
Figura 3
#4 gran número de cubos. En este punto, introduje la idea intermedia de dibujar cada torre como una “barra” con el número de cubos en la parte superior, como se muestra en la fi gura 4. Hice preguntas como las siguientes: • ¿Cuál es la altura de la décima construcción? • Si sabes el número de patrón, ¿puedes escribir una fórmula que te dé la altura de cualquier torre?
Para ese entonces, la mayoría de los alumnos había descubierto que podían determinar una fórmula para una secuencia estableciendo, en primer lugar, el cambio de altura en torres consecutivas, trabajando hacia atrás para determinar la altura de la torre cero, y luego poner estos elementos juntos en una fórmula que describieron como
Altura de la torre cero + (n° de patrón) × cambio =número total de cubos
Así la formula, que es la representación simbólica de la relación, surgió del pensamiento de los alumnos sobre las diferentes representacio-
12 16 20 24
Actividad 2
AVANZAR HACIA EL PLANO CARTESIANO Y HACIA LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Quise que los alumnos pasaran a representar pares ordenados como puntos en el plano cartesiano. Ya que mi experiencia previa indicaba que tenían difi cultades en dar signifi cado a los pares ordenados, intenté capitalizar su trabajo con las torres de manera que los ayudara a dar sentido a un par ordenado. Por lo tanto, diseñé una situación en la que fuera engorroso dibujar los cubos, es decir, que las torres tuvieran un
#1 #2 #3
Figura 4
#4
nes gráfi cas como torres de cubos, barras, etc. Las representaciones gráfi cas proporcionaron un marco de referencia que les permitió dar signifi cado a los distintos componentes de la ecuación de una recta en la forma de y = a + bx.
Actividad 3
CONSTRUIR HACIA UNA RAZÓN DE CAMBIO
Luego pasé a tareas en las que los alumnos pudieran no sólo descubrir simplemente el cambio comparando las alturas de torres consecutivas. Con el patrón de torres de la fi gura 5, pregunté: ¿Cuál es la altura de la quinta construcción?
Para resolver esta tarea, varios alumnos razonaron que la torre 8 era la cuarta construcción después de la torre cuatro. Como el cambio de altura de la cuarta a la octava torre era 10, el cambio por torre era 10 ÷ 4, o 2.5. La altura de la quinta torre sería 37.5, es decir, 35 + 2.5. Estas tareas ayudaron a los alumnos a ampliar su concepto de razón de cambio para representar el cambio de altura dividido por el número de construcciones sobre las que se dio este cambio.
35 45
4 8
Figura 5 Actividad 4
INTERPRETAR PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
El siguiente paso fue describir las torres como puntos. Mostré a los alumnos una cuadrícula similar a la de la fi gura 6 y expliqué que en lugar de dibujar la barra para representar la altura de la torre, usaríamos una cuadrícula para indicar la altura de cada una. Una vez más, pregunté cómo podríamos descubrir una fórmula que relacionara la altura de la construcción y el número de patrón. Los alumnos, una vez más, encontraron la fórmula usando la estrategia de determinar primero el cambio en la altura de la construcción y luego, regresar a la torre cero –sumando o restando– repetidamente la razón de cambio a partir de la altura de la construcción dada.
Número de cubos en la torre 80 70 60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5 Número de torre
Figura 6
Como quería que los alumnos fueran más allá de restar repetidamente el cambio para saber la altura de la torre cero, es decir, la ordenada al origen, les di patrones en los que este método sería engorroso. Mi objetivo era presionarlos a desarrollar una estrategia diferente. Por ejemplo, en la fi gura 7 se dan las alturas de
las construcciones 40 y 48. Para encontrar una ecuación apropiada, los alumnos primero determinaron la razón de cambio: 3. Luego, razonaron que para llegar a la torre cero, tendrían que restar 3 cuarenta veces. En lugar de restar 3 de 128 cuarenta veces, abreviaron su conteo restando 120, esto es, 3 x 40, de la altura de la torre cuarenta (128 – 120). Normalmente, enseñamos a los alumnos a encontrar la ordenada al origen dados dos puntos, determinando primero la pendiente, luego sustituyendo la pendiente y un punto en la fórmula y = mx + b y calculando b. En esta situación, los alumnos inventaron un procedimiento similar que les era signifi cativo.
Altura de la construcción 160
120
80
40
0
0 (48, 152)
(40, 128)
8 16 24 32 40 48
Número de la construcción
Figura 7
Actividad 5
UTILIZAR RECTAS PARA REPRESENTAR ECUACIONES LINEALES
Para pasar a la idea de recta, retomé secuencias que mostraban las alturas de la primera, segunda, tercera y cuarta construcciones y pregunté a los alumnos cuál sería la altura de la construcción 1 ½. Muchos de ellos utilizaron la estrategia previamente desarrollada para encontrar la ecuación del patrón y luego la usaron en 1 ½. Después les pregunté dónde estaría en la gráfi ca el punto para la construcción 1 ¼.
Utilizar esta estrategia permitió que el grupo, tarde o temprano, llegara a utilizar una recta para representar las alturas de todas las construcciones de números enteros, así como de todas las construcciones “entre”. Dado que el escenario de apilar cubos es una situación discreta, el docente debería sugerir a los alumnos que utilicen una recta punteada en lugar de una continua. También señalé que, por convención, usamos el término pendiente, para lo que los alumnos llamaban el cambio y que la altura de la construcción cero se llamaba ordenada al origen o intersección con el eje y. Una vez que los alumnos conceptualizaron que lo que llamamos pendiente es el cambio en altura entre construcciones numeradas con enteros consecutivos, pude hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Cuál sería más empinada, una recta con pendiente 4 o una con pendiente 2? • ¿Cómo se comparan las gráfi cas de rectas que tienen pendiente negativa con las que tienen pendiente positiva?
Los alumnos descubrieron que una pendiente mayor correspondería a una recta más empinada; una pendiente menor, a una recta más horizontal; y una pendiente negativa, a una recta que decrece en altura mientras los números de las torres crecen.
Conclusión
En mi enfoque anterior para la enseñanza de este tema, encontré que los alumnos hacían pre-
guntas como las siguientes: Cuando estás buscando la pendiente, ¿divides la diferencia entre las x por la diferencia entre las y, o viceversa? Y, ¿qué punto utilizas para encontrar la ordenada al origen, y dónde lo pones? Muchos alumnos pensaban que la y, en y = mx + b, era la intersección con el eje y. En otras palabras, su actividad carecía de referentes signifi cativos. En contraste, el enfoque de apilar cubos ofrece un escenario sobre el cual los alumnos pueden razonar signifi cativamente. También proporciona una base para razonar en otros contextos lineales. Por ejemplo, cuando presenté problemas de relación lineal similares que involucraban dinero ahorrado a intervalos regulares a lo largo del tiempo, muchos alumnos todavía calculaban el resultado tomando como referencia el apilamiento de cubos.
Podría argumentarse que el escenario de apilar cubos es una situación discreta, y que quizá utilizar un contexto continuo, como agua que entra en un contenedor de manera constante, sería más apropiado. Por supuesto, tarde o temprano, introducimos contextos continuos como ése. Sin embargo, los alumnos pueden comenzar a construir la noción de función lineal en un ambiente discreto, el cual les proporcionará la base para su pensamiento en contextos continuos. Mi experiencia con apilar cubos ayuda a los alumnos a dar signifi cado a las relaciones lineales y a conectar las representaciones gráfi cas y simbólicas de estas relaciones.
Este material está basado, en parte, en el trabajo fi nanciado por la National Science Foundation (Fundación Nacional de Ciencias). Todas las opiniones, hallazgos, conclusiones y recomendaciones expresadas en este artículo son del autor, y no necesariamente refl ejan los puntos de vista de la National Science Foundation.
Referencias: LAPPAN, Glenda, James T. Fey, William Fitzgerald,
Susan Friel y Elizabeth D. Phillips, Connected Mathematics, Dale Seymour Publications, Menlo Park,
Calif., 1998. WIJERS, Monica, Anton Roodhardt, Martin van
Reewijk, Gail Burrill, Beth R. Cole y Margaret A. Pligge. “Building Formulas”, en Mathematics in Context: A Connected Curriculum for Grades 5–8, editado por el National Center for Research in Mathematical Sciences Education (Centro Nacional para la Investigación Matemática) y el Instituto Freudenthal, Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, 1997.
