Sylvia van den Boogaard y Brian Doig

E INCERTIDUMBRES

Los libros de cuentos ilustrados

ESTIMULAN EL APRENDIZAJE DE las matemáticas*

Marja van den Heuvel-Panhuizen Sylvia van den Boogaard Brian Doig**

En este artículo describimos cómo utilizar libros de cuentos ilustrados para proporcionar a los niños pequeños (de 5 a 6 años) un ambiente de aprendizaje en el que puedan explorar y ampliar conceptos preliminares de nociones relacionadas con las matemáticas, sin enseñar estos conceptos explícitamente. Tomamos estas experiencias del proyecto PICO-ma, cuyo objetivo era generar más conocimiento acerca del efecto que tienen los libros de cuentos ilustrados en el aprendizaje de las matemáticas en niños pequeños. El objetivo del proyecto era investigar cómo los libros de cuentos ilustrados pueden contribuir al desarrollo de conceptos matemáticos en niños pequeños, y cómo las acciones del maestro son capaces de fortalecer las características de los libros ilustrados para apoyar al aprendizaje. Las sesiones de lectura descritas en este artículo no pretendían ser “lecciones” de matemáticas. En su lugar, aspiraban a contar a los niños una historia agradable y, al mismo tiempo, darles algo en qué pensar. Con base en nuestra investigación, damos argumentos para utilizar libros de cuentos con ilustraciones para desarrollar pensamiento matemático, e incluimos recomendaciones para quienes estén interesados en la utilización de este tipo de libros para el aprendizaje de las matemáticas.

Introducción

El uso de libros de cuentos ilustrados para apoyar el aprendizaje de niños y la investigación que estudia esto se enfocan, por lo general, en el aprendizaje relacionado con el desarrollo del lenguaje, que incluye habilidades orales del lenguaje y conceptos de lectoescritura temprana.1 Sin embargo, desde la segunda mitad de la década de 1980, vincular la instrucción de las matemáticas a la

* “Picture books stimulate the learning of mathematics”, publicado en the Australasian Journal of Early Childhood, vol. 34, núm. 3, septiembre de 2009, pp. 30-39. Traducido con la respectiva autorización. Traducción de José Ignacio de Lucas Arbiza. ** Marja van den Heuvel-Panhuizen, Universidad Utrecht, Holanda y Universidad Humboldt, Alemania;

Sylvia van den Boogaard, Universidad Utrecht, Holanda; Brian Doig, Universidad Deakin. 1 Blok, H., “Reading to young children in educational settings: A meta-analysis of recent research”, en

Language Learning, núm. 49(2), pp. 343-371, 1999.

literatura infantil se ha vuelto cada vez más frecuente y extendido.2 Durante este periodo, se publicaron varios libros que proporcionaban ejemplos de maestros que utilizaban la literatura infantil3 en la enseñanza de las matemáticas, o preparaban para los maestros guías de cómo utilizar los libros ilustrados –y la literatura infantil en general– en lecciones de matemáticas. Esta popularidad se ha extendido a los sitios web de algunos autores, donde se dan a los padres sugerencias para utilizar libros de cuentos con propósitos educativos, y no sólo en matemáticas.4

Los niños aprenden matemáticas en entornos signifi cativos, y la enseñanza debe construirse sobre el conocimiento informal que los niños han adquirido, tanto antes de haber comenzado la escuela como el que obtuvieron fuera del horario escolar. Este punto de vista –esto es, el del papel de apoyo del conocimiento intuitivo e informal en el aprendizaje de las matemáticas, y la importancia de un contexto signifi cativo al establecer las bases del pensamiento matemático– es ampliamente aceptado en las teorías actuales del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas.5 Como dijo Sue, una maestra de primer grado: “Con los pequeños, creo que los libros son geniales…, los involucra inmediatamente, así que… eso es bueno”.6 Aprender matemáticas comenzando por un contexto que tiene sentido para los niños es uno de los principios fundamentales de la Educación Matemática Realista, el enfoque neerlandés de enseñanza de las matemáticas.7 EMR ve las matemáticas como una parte integral de la experiencia humana, lo que signifi ca que también se considera una parte integral de las historias narradas en los libros de cuentos ilustrados. Por esta razón, creemos que el uso de este tipo de libros es adecuado en esta propuesta reformada de la educación matemática.

Lo que queremos mostrar es que los buenos libros de cuentos ilustrados –aunque sean comunes y corrientes, en el sentido de que no fueron escritos con el propósito de enseñar matemáticas– tienen el poder de hacer que los niños piensen matemáticamente. Durante la lectura de este tipo de obras, los niños se

2 Clyne, M. y R. Grif ths, Books you can count on: Linking mathematics and literature, Heinemann, Melbourne, 1991; Doig, B., Puf n Mathspack: Lower primary level, Teacher’s Notes, Pinguin, Melbourne, 1987;

Doig, B., Links: A guide to maths in children’s, Thomas Nelson, Melbourne, 1989; Haury, D., “Literaturebased mathematics in elementary school”, en ERIC Digest, ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education, Columbus OH, 2001. 3 Ver: Whittaker, D., Will Gulliver’s suit t? Mathematical problem-solving with children, Cambridge, Nueva

York, 1986. 4 Ver: Kehoe, S., Note for parents and teachers on using Hello, Red Fo with children, www.eric-carle.com/ bb-HRFnotes.html, s/d. 5 Bransford, J. D., A. L. Brown y R. R. Cocking (eds.), How people learn: Brain mind, experience, and school, edición ampliada National Academy Press, Washington, DC, 2000. 6 Doig, B., Interview with a rst year of school teacher, transcripción de una entrevista no publicada, Universidad de Deakin, 2008. 7 Ver: Van den Heuvel-Panhuizen, M., “Realistic mathematics education in the Netherlands”, en J. Anghilerhi (ed.), Principles and practices in arithmetic teaching, pp. 49-63, Open University Press, Buckingham, 2001.

encuentran con imágenes o acciones nuevas que permanecen en sus mentes, que pueden combinar con experiencias previas, y sobre las cuales construyen comprensión y pensamientos nuevos. Esto signifi ca que las imágenes y las situaciones en las historias funcionan como “anzuelos cognitivos” para los niños,8 que provocan y forman bases para su desarrollo matemático. Una mejor comprensión del poder de los libros ilustrados puede consultarse en un estudio realizado por Van den Heuvel-Panhuizen y Van den Boogaard (2008), el cual mostró que es posible evocar el pensamiento matemático en niños pequeños cuando leen un libro ilustrado. Los resultados de este estudio, realizado como parte del proyecto El libro ilustrado y el desarrollo de conceptos en matemáticas [Picture book and Concept development in mathematics (PICO-ma] defi enden la idea de que leer libros de cuentos ilustrados a los niños, sin un afán explícito de instrucción y sin instigarlos, tiene mucho potencial para involucrar a los niños en las matemáticas. Esta perspectiva también fue presentada en el proyecto PICO-ma, presentado en este artículo.

Método

A fin de mostrar la gama de posibilidades que ofrecen los libros de cuentos ilustrados para dar a los niños pequeños acceso a las matemáticas –ofreciéndoles una fuente de experiencias para el desarrollo de futuros conceptos–, vamos más allá del ámbito más común de los números e incluimos tres ejemplos de tres áreas matemáticas diferentes, de las que tienen menos probabilidad de abordarse con niños pequeños. El primer ejemplo trata de geometría, en específi co con cortes transversales de objetos y formas. El segundo se refi ere al manejo de datos, donde se utilizan gráfi cas de tiempo-longitud y tiempo-peso para explicar crecimiento. El tercer ejemplo abarca medición, e incluye cuestiones como escalas y razones, y la medición de objetos curvos. Todos estos temas se reconocen como contenidos que, por lo general, sólo aparecen en programas tradicionales de matemáticas en grados superiores de la escuela –e incluso no antes de la secundaria. El poder de los libros de cuentos ilustrados es que dan a los niños un acceso informal a estos temas, en una edad temprana.

Los tres ejemplos se recopilaron como parte del proyecto PICO-ma, y provienen de sesiones de lectura de libros de cuentos ilustrados de una clase de preescolar (niños de 5 y 6 años). En los Países Bajos, el preescolar (kindergarten) es parte de la educación primaria y dura un periodo de dos años, para niños de 4 a 6 años. Estos años sirven como transición del hogar al comienzo de la educación

8 Lovitt, C. y D. Clarke, The mathematics curriculum and teaching program (MCTP): Professional development package activity banc, vol. 2, Curriculum Development Corporation, Carlton, Victoria, 1992.

formal en la primaria. Esto signifi ca que los niños involucrados en las sesiones de lectura –las cuatro niñas: B., I., J. y M., y los dos niños: K. y T.– no habían recibido ningún tipo de instrucción matemática formal. Los niños todavía no sabían leer solos. Las sesiones de lectura se llevaron a cabo en una escuela urbana en una ciudad grande de los Países Bajos. La población de esta escuela está formada principalmente por niños inmigrantes, cuyo desarrollo del lenguaje está por debajo del esperado en niños de su edad. Como resultado de esta situación, la edad mayoritaria de los niños (6 años, 3 meses) está un poco por encima del promedio. El maestro leyó los libros de cuento ilustrados a los niños, como estaba especifi cado en las bases del proyecto. Los alumnos no conocían esos libros en el momento en que las sesiones de lectura tuvieron lugar (en un gimnasio), y las sesiones fueron grabadas.

Ejemplo 1: los primeros pasos en geometría

Los niños pequeños entienden más y más del mundo conforme se mueven en el espacio y van interactuando con los objetos en ese espacio, experimentando cómo funciona el mundo.9 El salón de clases ofrece un ambiente donde se adquiere experiencia, y que puede ayudar a expandir, aún más, el pensamiento espacial. Sin embargo, esto no signifi ca que el proceso comienza cuando empieza la educación formal. Como resalta Clements: “Este conocimiento temprano puede ser apoyado por experiencias en casa, guarderías y maternales, de tal forma que todos los niños construyan fundamentos sólidos de geometría y pensamiento espacial.”10

Clements y sus colegas también recalcan que en la infancia temprana, la geometría y el razonamiento espacial forman los fundamentos de gran parte del aprendizaje de las matemáticas, así como de otros conocimientos. Entre otras cosas, mencionan que “las fi guras geométricas pueden ser descritas, analizadas, transformadas, compuestas y descompuestas en otras fi guras”; que “las matemáticas se pueden utilizar para especifi car, de manera precisa, direcciones, rutas y ubicaciones en el mundo”; que “las imágenes mentales se pueden usar para representar y manipular formas, direcciones y ubicaciones”, y que “los objetos se pueden representar desde diferentes puntos de vista”.11

9 Van den Heuvel-Panhuizen y K. Buys (eds.), Young children learn measurement and geometry. A learningteaching trajectory with intermediate attainment targets for the loweer grades in primary school, Sense

Publishers, Rotterdam, 2008. 10 Clements, D. H., “Geometric and spatial thinking in early childhood education”, Sarama y A. DiBiase (eds.),

Engagin young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education, Lawrence Erlbaum

Associates, Mahwah, NJ, 2004a. Books you can count on: Linking mathematics and literature, p. 48. 11 Clements, D. H., op. cit., p. 39.

También durante la infancia temprana, los niños continúan construyendo imágenes mentales de formas, incluidas las geométricas. Es sabido que los niños de preescolar (niños de 4 a 6 años que aún no están en clases formales) e incluso los de maternal y kínder muestran la habilidad de mover, voltear y girar formas en ciertos entornos, y son capaces de generar e inspeccionar imágenes mentales (“Piensa en un cuadrado. ¿Qué es lo que ves?”). Ellos llegan incluso a transformar estas imágenes mentales en algunas maneras (“Piensa en un cuadrado cortado a la mitad. ¿Qué es lo que tienes?“). Sin embargo, lo importante es que se les den oportunidades de desarrollar estas habilidades.12

El libro de cuentos ilustrado El libro de cuentos ilustrado que se leyó a los niños fue ¡Oh, no! La muñeca en el escusado…13 El libro cuenta la historia de una niña llamada Nina que pierde su muñeca al tirarla accidentalmente dentro del retrete. Junto con su madre, Nina sale a buscarla. Por suerte, la muñeca es salvada por un empleado de la planta de drenaje.

En un punto del libro, la estructura interna de la casa es visible: la tubería del drenaje y su contenido se ven en un dibujo. Las casas están cortadas aproximadamente a la mitad, de tal forma que los niños pueden observar un corte transversal. Esta vista se sigue parcialmente en las páginas subsecuentes, mientras madre e hija van por el camino que las lleva a la planta de drenaje. Aquí se presenta a los niños una ilustración dividida. La parte superior muestra la casa completa y la inferior, un corte transversal del suelo y las tuberías de drenaje. En esta última, los niños ven dónde está la muñeca.

Instantáneas de la sesión de lectura La maestra leyó e intercambió ideas hasta la página 8. Luego, examinó las páginas 9 y 10 (ver fi g. 1) con una expresión de sorpresa en su rostro. En la página de la izquierda, podemos ver que la muñeca está en el tubo de drenaje debajo del lavabo. En la página de la derecha, Nina y su mamá ya se subieron a la bicicleta, y van en busca de la muñeca.

Figura 1. Páginas 9 y 10 del libro ¡Oh, no! La muñeca en el escusado… (Huijsing, 2006).

12 Clements, D. H., op. cit. 13 Huijsing, A., O, nee! Pop in de WC…, Pimento, Amsterdam, 2006.

Traducción del texto:

“Mamá, ¿a dónde fueron mi muñeca y la popó?”, pregunta Nina. Ella está en la bicicleta con su mamá. Mamá le explica: “La popó de toda le gente y toda el agua sucia fl uyen hacia una gran tubería que está debajo del suelo. Esa tubería se llama drenaje y va hasta una planta. Ahí la convierten en agua limpia otra vez.” “¡La planta de la popó!”, exclama Nina. “Ahí es donde está la muñeca, ahí es a donde debemos ir.”

Antes de leer el texto en voz alta, la maestra fi ngió no entender lo que mostraba el dibujo. Esperó las reacciones de los niños. Lo siguiente es una transcripción de parte de la sesión de lectura:

B.: Hay agua ahí adentro. [B. señala el gran tubo de drenaje.] [Y luego ella señala a la muñeca en el drenaje.] MAESTRA: ¿Dónde está la muñeca? B. e I.: ¡Aquí! [B. e I. señalan a la muñeca en el drenaje.] B.: Va así. [B. señala la ruta que seguirá la muñeca en el drenaje por la tubería.] I.: Va a la otra agua… K.: De todos los escusados. [K. señala los escusados de la página 9.] MAESTRA: Entonces, ¿dónde creen que vive Nina? K.: [K. mueve su dedo desde la muñeca por el drenaje hasta el escusado de casa de Nina.] Por este escusado se fue. I.: Aquí. [I. indica la ruta de la muñeca desde el escusado hasta el tubo del drenaje.] MAESTRA: ¿Dónde está el escusado de Nina? [M. y K. señalan al escusado de Nina.] MAESTRA: Ahí, ¿sí? K.: Y luego hace esto… [K. traza la ruta.] MAESTRA: Y luego hace eso, ¿sí? [La maestra traza la ruta de nuevo.] MAESTRA: ¿Y dónde están Nina y su mamá? [B. e I. las señalan.]

I.: Deben ir para allá. [I. señala a la izquierda.] K.: Porque la ven. [K. señala la muñeca] B.: No la ven. Ellas miran y ella no está ahí. Porque está bajo tierra. K.: Está en el drenaje. MAESTRA: Tú dices ‘Nina y su mamá no están buscando bien, porque la muñeca aún está ahí’; pero B. dice, ´Sí, pero ellas no saben eso porque la muñeca está bajo tierra’. B.: Entonces deberían quitar las piedras. MAESTRA: ¿Pueden ellas ver dónde está la muñeca entonces? I.: Maestra, la muñeca está aquí. [I. señala la muñeca.] MAESTRA: Nosotros sí podemos verla. ¿Pero Nina y su mamá pueden ver eso?

TODOS: No. MAESTRA: Porque B. ya lo dijo, está bajo tierra.

Refl exión Al no contarles todo desde el principio, la maestra dio a los niños la oportunidad de que ellos mismos examinaran el dibujo. Este último los animó a buscar la muñeca y trazar la ruta que seguiría. La maestra amplió esto al preguntar donde vivía Nina. Los niños señalaron espontáneamente a la muñeca y mostraron la ruta por las tuberías. Este comportamiento indica que ellos entendían lo que estaban viendo. Las casas y tuberías transparentes no parecieron sorprenderlos. Aunque tal vez era la primera vez que veían un corte transversal así, ellos aparentemente tomaron esa presentación como evidente por sí misma.

Cuando la maestra preguntó si Nina y su mamá podían ver la muñeca, uno de los niños (B.) pareció convencer a los demás de que ésta era visible para ellos pero no para los personajes del cuento. Las reacciones de los niños revelaron que algunos de ellos podían manejar diferentes perspectivas en una sola imagen. El hecho de que otros no fueran capaces aún de captar las diferentes perspectivas no es un problema –los niños estaban siendo expuestos a ideas nuevas y, como sugirió la maestra entrevistada por Doig,14 no todos los niños “son capaces de [resolver el problema], pero es importante que sean capaces de ver que alguien [lo entiende], y [piensen] ‘quizá yo también puedo entenderlo’”.

14 Doig, B., op.cit.

Ejemplo dos: primeros pasos en el manejo de datos

El manejo o análisis de datos es un área de las matemáticas que no se trabaja comúnmente en los grados de primaria, y mucho menos en preescolar y preprimaria (cuando los niños tienen de 4 a 6 años). Sólo recientemente se ha reconocido la importancia de que construyan un sentido del manejo de datos a temprana edad.15 Como demostraron Curcio y Folkson,16 las actividades informales de comparar, clasifi car y contar de los niños proporcionan los inicios matemáticos para desarrollar en jóvenes aprendices la comprensión de datos, el análisis de datos y la estadística de forma más general. Además, pueden comparar una parte de los datos y hacer afi rmaciones acerca de éstos como un todo.17 Aún más, al plantear preguntas y reunir datos acerca de ellos mismos y su entorno, los niños son capaces de aprender a representar esos datos.

En la bibliografía al respecto, no existe mucha información acerca de la habilidad de los niños para interpretar gráfi cas. Por ejemplo, el marco de referencia para el pensamiento estadístico desarrollado por Jones et al.18 comienza con la descripción de datos y termina con el análisis e interpretación de éstos. Resalta el reconocimiento de patrones y tendencias, y la posibilidad de hacer inferencias y predicciones como el nivel más alto del pensamiento estadístico. Cuándo y cómo los niños pequeños llegan a desarrollar la habilidad de interpretar gráfi cas no está claro: como no leen periódicos, ¿dónde pueden encontrarse con gráfi cas? Por suerte, los libros de cuentos ilustrados ofrecen a los niños acceso al mundo de la representación de datos.

El libro de cuentos con ilustraciones La siguiente obra fue La sorpresa.19 Se trata de un libro sin texto; los dibujos cuentan la historia. El personaje principal es una oveja blanca y lanuda. Vemos a la oveja pesándose y midiendo el espesor de su lana. En su patín del diablo motorizado, la oveja va a la tienda a comprar pintura. De regreso en casa, tiñe, lava, seca y corta su lana. Vestida con un suéter, la oveja lleva su lana a un taller para que la hilen. La oveja teje un suéter con el estambre, lo envuelve en un mantel, y se lo da a la jirafa como regalo. La oveja es recompensada por este

15 Perry, B. y S. Docket, “Young children’s access to powerful mathematical ideas”, en L. English (ed.),

Handbook of international research in mathematics education: Directions for the 21th century, pp. 81-111,

Lawrence Erlbaum, Mahwah, NJ, 2002. 16 Curcio, F. R. y S. Folkson, “Explooring data: Kinderarten children do it their way”, en Teaching Children

Mathematics, núm. 6, pp. 382-385, 1996. 17 Ver: Clements, D. H. y M. Stephan, “Majors themes and recommendations”, en D. H. Clements, J. Sarama y A. DiBiase (eds.), Engagin young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education, pp. 7-72, Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, NJ, 2004b. 18 Jones, G. A., C. A. Thornton, C. W. Langrall, E. Mooney, B. Perry e I. Putt, “A framework for characterizing students’ statistical thinking”, en Mathematical Thinking and Learning, núm. 2, pp. 269-308, 2000. 19 Van Ommen, S., De verrassing, Lemniscaat, Rotterdam, 2003.

lindo gesto con un beso de la jirafa. En determinado momento se muestra una gráfi ca. No muchos maestros pondrían una gráfi ca en el programa, pero, como mostraremos, resulta que los niños son totalmente capaces de interpretarla. Le pueden dar sentido e incluso decir cómo se construyó.

Instantáneas de la sesión de lectura En todas las páginas, la maestra pidió a los niños que contaran la historia que narraba cada dibujo. Cuando llegó a la página 3 (ver fi g. 2), los niños discutieron lo que hacía la oveja.

La fi gura muestra a la oveja sosteniendo un lápiz rojo y una regla. En la pared hay una gráfi ca. La línea superior ascendente de la gráfi ca es azul; la inferior, roja.

Figura 2. Página 3 del libro La sorpresa (Van Ommen, 2003).

I.: Ahí está haciendo algo. MAESTRA: Sí, ¿qué está haciendo ahora la oveja? I.: No sé qué es eso… Oh sí, cuál es su grosor, con esa regla. MAESTRA: Sí, parece una regla, ¿eh? J.: No, luego de muchos días pone una cruz. MAESTRA: Entonces, ¿dónde pone la cruz? [J. señala el papel en la pared.] MAESTRA: Ah sí, aquí tiene una hoja de papel, ¿eh?

I.: Pero ahí hay una fecha. [I. apunta a la gráfi ca.]

Luego, la similitud entre la hoja de papel de la pared y el boletín de anuncios se analizan. Después de esto, la maestra continúa hablando de la gráfi ca.

MAESTRA: Alguien dijo: ‘Éstos son los días´. ¿Quién dijo eso? Fuiste tú, ¿eh, I.? ¿Por qué piensas eso? I.: Porque tiene cuadritos.

De esta forma, la maestra “leyó” el libro completo con los niños. Al terminar, repasó todo el libro nuevamente haciendo preguntas. En la página 1 (ver fi g. 3) se discutió que la oveja se estaba pesando. Mientras se paraba en la báscula, la oveja sostiene un lápiz azul.

En la página 3, la maestra señaló el lápiz.

Figura 3. Página 1 del libro La sorpresa (Van Ommen, 2003).

MAESTRA: Ahora hace algo con el lápiz azul. Se estaba pesando… Y luego puso una pequeña línea aquí. [La maestra señala el principio de la línea azul.]

I.: Lo sé. Ella tenía esta… [I. señala la regla.] Estaba un poco por debajo… Estaba más delgada… Y ahora se puso un poco más gordita. MAESTRA: Sí. ¿Y cómo puedes saber a partir de este dibujo que se puso más gruesa? ¿Qué le pasa a la línea? I.: Porque la línea sube mucho. [I. traza la línea con el dedo.] MAESTRA: Sí, la línea se mueve hacia arriba todo el tiempo.

Refl exión Sin haberlo dicho de manera explícita, los niños entendieron que la oveja estaba midiendo el grosor de la capa de lana y llevaba un registro de los resultados. Aún más, sus reacciones revelaron que los niños tenían una idea de la función de la regla: medir la longitud de las cosas. Cuando vieron la gráfi ca, los niños asumieron que la oveja se estaba midiendo todos los días, y que marcaba los resultados en la gráfi ca. Los niños parecían tener nociones de la función de una gráfi ca. Incluso entendieron que la línea hacia arriba representaba un incremento. Esto resultó ser cierto tanto para la medida del espesor de la capa de lana como para la de su peso. El problema de cómo leer ambos datos en la gráfi ca no se analizó.

En cualquier caso, este ejemplo demuestra que los autores de libros de cuentos ilustrados nos abren los ojos a lo que los niños pueden entender. En los materiales del programa de preescolar y preprimaria (niños de 4 a 6 años), por lo general no se ven gráfi cas. Sin embargo, los autores de libros ilustrados no se atienen a los estándares –ni siquiera saben cuáles son–, simplemente colocarán una gráfi ca cuando la historia lo merezca, con resultados sorprendentes. Así que el libro no era sólo acerca de una sorpresa, ¡tenía una sorpresa para nosotros también!

Ejemplo tres: primeros pasos en medición

Al igual que la geometría, medir es una manera de entender el mundo físico en el que vivimos. Es una de las principales aplicaciones reales de las matemáticas.20 Cómo comprenden los niños la medición tiene sus raíces en los años

20 Clements, D. H. y M. Stephan, “Measurement in Pre-K to Grade 2 mathematics”, en D. H. Clements, J.

Sarama y A. DiBiase (eds.), Engagin young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education, pp. 299-317, Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, NJ 2004.

anteriores al preescolar, antes de los 4 años. Durante los años de preescolar, los niños se hacen menos dependientes de claves perceptuales al comparar cantidades específi cas.

Como explican Clements y Stephan,21 los niños identifi can que dos bolas de arcilla idénticas –incluso si una se transforma en forma de salchicha– tienen la misma cantidad de arcilla.

En el preescolar, medir (sea o no conscientemente) es un elemento normal de muchas actividades. Por ejemplo, se lleva a cabo cuando los niños están jugando en el rincón destinado a la casita y buscan una sábana lo sufi cientemente grande para cubrir la cama de su muñeca. Además de estas actividades espontáneas, pueden planearse actividades de medición en las que los niños deben pensar en estrategias de comparación útiles y directas, y ganar experiencia por medio de la repetición de una determinada unidad al medir longitud.22

El libro de cuento con ilustraciones La historia de La princesa de cabello largo23 comienza con el nacimiento de la princesa. El cabello de ésta crece muy rápido; y lacayos tienen que cargar su cabello, que es lavado en una alberca por nueve damas. La pobre princesa no puede jugar por la longitud de su cabello, pero su padre le prohíbe que se lo corte. Cuando la princesa alcanza edad para casarse, contratan un hombre fuerte de circo para cargar su cabello en dos maletas. El rey quiere que la princesa se case con un hombre rico; sin embargo, ella se rehúsa y se escapa para tener una vida feliz con el hombre fuerte.

Instantáneas de la sesión Se mostró la portada (ver fi g. 4) a los niños.

Se dio a los niños la oportunidad de reaccionar a la imagen de la portada. Aún no se les había leído el título.

J.: La niña de pelo largo. MAESTRA: ¡Así que crees que ya sabes el título! B.: Su pelo se ve demasiado largo. J.: Sí, es largo, sólo miren. ¡Hey, hey! [J. sigue la espiral de cabello con su dedo.] K.: Así, así, así. [K. sigue la espiral de cabello con su dedo comenzando en la cabeza de la princesa.]

21 Idem. 22 Van den Heuvel-Panhuizen y K. Buys, 2008, op. cit. 23 Van Haeringen, A., De prinses met de lange haren, Leopold, Amsterdam, 1999.

Figura 4. Portada y contraportada del libro La princesa de cabello largo (Van Haeringen, 1999).

J.: Todo el camino hasta aquí. [J. señala la contraportada del libro.] MAESTRA: Sí, tienen razón. ¿Lo abro así? Así pueden verlo bien. [La maestra abre completamente el libro de tal manera que la portada y la contraportada queden una junto a la otra.] TODOS: ¡Guau! MAESTRA: Largo, ¿eh? J.: Hace así. [J. sigue el cabello con su dedo, comenzando al fi nal del cabello. Cada vez que se encuentra con la princesa, la esquiva por arriba y de regreso para continuar.] T.: Entonces siempre se cae, entonces siempre se tropieza con él. MAESTRA: ¿Todos escucharon lo que dijo T.?

Luego se mostraron las páginas 3 y 4 (ver fi g. 5) a los niños.

Figura 5. Páginas 3 y 4 del libro La princesa de cabello largo (Van Haeringen, 1999).

La maestra leyó el texto. Luego llamó la atención hacia el fragmento que dice: “La princesa crece, y su cabello crece aún más rápido.” La maestra preguntó cómo podría alguien saber esto.

MAESTRA: En el libro dice que el cabello crece aún más rápido que la princesa. ¿Cómo pueden saberlo? I.: Porque su cabello está superlargo ahora. MAESTRA: ¿Y la princesa? I.: Pequeña. MAESTRA: No es tan alta, ¿eh? J.: Era un bebé, ¿verdad? Ahora su cabello ha crecido y luego tuvo el cabello largo. MAESTRA: Tiene cabello largo, así es. I.: Cinco hombres tienen que sostenerlo. [I. levanta cuatro dedos.] [La maestra pide a los niños que hablen uno por uno, porque todos están hablando al mismo tiempo.] MAESTRA: La princesa creció un poquito, ¿verdad? [La maestra señala a la princesa de pies a cabeza.] K.: Hasta aquí. [K. señala una parte del cabello que tiene el mismo tamaño que la princesa.] B.: Ella es así de grande. [B. camina hasta el libro y mide la estatura de la princesa con las puntas de sus índices.] Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete. MAESTRA: ¿Siete qué? TODOS: Siete metros. MAESTRA: ¿Siete metros? ¿Así que tienen dedos de un metro? B.: ¡No! B.: [B. mide siete veces la punta de su dedo en el cabello de la princesa.] Hasta aquí. MAESTRA: Así que ha crecido siete dedos, así de alta es. [Mientras tanto, J. trata de medir todo el cabello con su dedo.] MAESTRA: Tienes dedos muy chiquitos. ¿Quieres que vea con mis dedos qué tan alta que es? [La maestra mide a la princesa con su dedo índice.] TODOS: Uno, dos, tres, cuatro, cinco. MAESTRA: Conmigo sólo es cinco dedos de alta. I.: Porque tienes dedos gruesos. MAESTRA: Sí, mis dedos son mucho más gruesos.

J.: Miren mi dedo pequeño. [J. mide la princesa con la punta de su dedo meñique.] Uno, dos…

Al fi nal de la sesión de lectura, se mostraron las guardas (ver fi g. 6) a los niños. La maestra preguntó a los niños cuán largo sería el cabello en la vida real.

Figura 6. Guardas al nal del libro La princesa de cabello largo (Van Haeringen, 1999).

MAESTRA: Si miran su cabello, aquí es muy largo. [La maestra señala al zigzag de cabello.] ¿Cuán largo creen que sea en la vida real? I.: Muy largo. B.: Así de largo. [B. se para y camina el patrón del pelo en un espacio vacío del gimnasio.]

Refl exión La forma en la que el concepto de medida aparece en este libro de cuentos con ilustraciones es muy diferente de la presentación en libros de texto y las guías de instrucciones. El libro de cuentos no presenta una construcción fl uida de los diferentes aspectos de medir: comenzar con situaciones sencillas e ir gradualmente introduciendo situaciones más complejas. Aquí todas las difi cultades se presentan juntas, y vienen todas mezcladas. Por ejemplo, lidiar con “cuán largo es algo que está doblado y cómo medirlo” antes de que los niños estén familiarizados con la medición de líneas rectas; y lidiar con crecimiento a diferentes velocidades (el cabello y la niña) antes de que los niños tengan, asumimos, un entendimiento del crecimiento de un solo atributo.

Aún más, cuando se discutió el largo del cabello, los niños tuvieron diferentes formas de expresar la longitud: la cantidad de tiempo que se necesita para seguir el pelo con el dedo, caminar alrededor del gimnasio, el número de dedos que se precisan para medir el pelo, y el número de hojas del libro que ocupa.

Stephan y Clements afi rman que hay dos elementos importantes en medición: “identifi car la unidad en que se mide, y subdividir (física y mentalmente) el objeto que se mide en esa unidad y… poner esa unidad de principio a fi n (iterando) a lo largo del objeto que se está midiendo”.24 Está claro que algunos de los niños de este grupo estaban midiendo de acuerdo con esta defi nición. Aún más, el hecho de que el tamaño de la unidad en relación con el número de iteraciones haya sido mencionado por los niños sugiere una comprensión madura de un principio básico de medición que está menos desarrollado en otros niños. Por ejemplo, Grant y Kline describen una clase de primer grado en la que una diferencia en la unidad de medida (los pies de los niños) llevó a una discusión acerca de la medida real de una distancia. Grant y Kline encontraron que “un número signifi cativo de estudiantes pensó que pies más pequeños llevan a medidas más pequeñas”.25 Éste es un contraste interesante con el niño de este proyecto, quien se dio cuenta que los dedos más gruesos de la maestra llevaría a un menor número de “conteos”.

Estas actividades de medición requieren que se repita una unidad de medida natural. Al hacer esto, los niños descubren el requisito de encontrar un solo parámetro, es decir, una unidad consistente para medir. Y haber asimilado esto puede ayudarlos a desarrollar una temprana comprensión de la relación entre la unidad de medida y el resultado de medición, como hemos visto. Se podría pensar que esto es mucho para una sola sesión de lectura, pero como hemos mostrado, todas estas experiencias de aprendizaje son posibles con un libro de cuento ilustrado como el de La princesa de cabello largo.

Discusión

En este artículo hemos mostrado cómo la lectura de libros de cuento ilustrados estimula el pensamiento matemático acerca de geometría, representación de datos y medición. Hemos visto, de acuerdo con lo que creen la mayoría de los expertos, que los niños pequeños tienen una cantidad sustancial de conocimientos

24 Stephan, M. y D. H. Clements, “Linear and area measurement in prekindergarten to Grade 2”, en D. H. Clements y G. Bright (eds.), Learning and teaching measurement: 2003 Yearbook, National Council of Teachers of

Mathematics, Reston, VA, 2003, p. 3. 25 Grant, T. y K. Kline, “Developing the building blocks of measuremente with young children”, en D. H. Clements y G. Bright (eds.), Learning and teaching measurement: 2003 yearbook, National Council of Teachers of Mathematics, Reston, VA, 2003, p. 52.

informales de matemáticas. Como hemos mostrado, los libros de cuentos ilustrados ofrecen un contexto signifi cativo para el aprendizaje de las matemáticas, y proporcionan una base informal de experiencia con ideas matemáticas que pueden servir de trampolín a otros niveles más formales de entendimiento. La afi rmación de Piaget acerca de que el conocimiento conceptual nace de actividades inventivas del niño a través de acciones con objetos (incluso objetos mentales) más que de una transmisión proveniente de maestros u otros, claramente apoya el uso de libros de cuentos ilustrados para el desarrollo del conocimiento conceptual.26 Lambert y Clyde alegan que “las necesidades de desarrollo esenciales durante estos años (preescolar y preprimaria) son la exploración, creación y comunicación”,27 cada una de las cuales fl uye naturalmente de las experiencias con libros de cuentos con ilustraciones como describe este artículo.

Además de los “anzuelos cognitivos”28 que los niños obtienen de los libros de manera individual, otro atributo de éstos es el hecho de que pueden reforzarse mutuamente. Por ejemplo, las experiencias con la medición del cabello de la princesa se reviven cuando se discute el largo del hilo de la telaraña en el libro La araña muy ocupada29 (ver fi g. 7).

Figura 7. Página 22 del libro La araña muy ocupada (Carle, 1985).

26 Piaget, J., To understand is to invent, Viking Press, Nueva York, 1974. 27 Lambert, E. y M. Clyde, Re-thinking early childhood theory and practice, Social Science Press, Katoomba, 2000, p. 134. 28 Lovitt, C. y D. Clarke, The mathematics curriculum and teaching program (MCTP): Professional development package activity banc, vol. 2, Curriculum Development Corporation, Carlton, Victoria, 1992. 29 Carle, E., De spin die het te durk had, Gottmer, Haarlem, 1985.

De la misma manera, el libro de La princesa de cabello largo y el de La sorpresa también tienen algo en común: fortalecen la comprensión de la transformación de estructuras lineales a planas, y viceversa, en los niños. Al fi nal del libro de la princesa, el cabello de la princesa está colocado de tal forma que el cabello lineal se convierte en un plano en la forma de una sábana debajo de la cual la princesa y el hombre fuerte se están acurrucando para protegerse del frío. En el de La sorpresa, la oveja usa su lana (plana) para convertirla en hilo (línea) que luego se utiliza para tejerle un suéter a la jirafa; así el hilo lineal se convierte nuevamente en una estructura plana.

Los libros de cuentos ilustrados tienen el poder de captar y enfocar la atención de un grupo de niños. Esto facilita la interacción entre ellos, como se describió al principio en el libro de la muñeca en el escusado, donde B., I. y K. se apoyan entre sí. Claramente, la interacción entre pares, estimulada por el libro de cuentos con ilustraciones, desempeña un papel muy importante en el desarrollo conceptual y lingüístico del niño.

Otra razón por la que los libros de cuentos con ilustraciones son herramientas poderosas para proporcionar a los niños pequeños un ambiente de aprendizaje donde explorar y construir nociones preliminares de conceptos relacionados con las matemáticas, tiene que ver con lo que sucede después de que la maestra cierra el libro. El mayor deseo de los niños es que la maestra vuelva a leerlo, para volver a medir el cabello con sus dedos, y comparar sus resultados con los de la maestra. Todo aprendizaje necesita ensayo, y es común no poder organizar y mantener a los niños concentrados. En el caso de los libros de cuentos con ilustraciones, esto es distinto. Se trata de la típica situación: “Por favor, ¿podemos hacerlo de nuevo…?”

Recomendaciones

Los ejemplos descritos en este artículo muestran con qué facilidad los libros de cuentos ilustrados ayudan a los maestros a desarrollar y mantener una discusión educativa si se escoge el libro adecuadamente. Cuando se elige un libro de cuentos con ilustraciones para estimular el pensamiento matemático, las características de éste deben ser, por lo menos, las siguientes: una buena historia, cautivadora para los niños, y con matemáticas disponibles pero no muy evidentes. Además, es preferible escoger libros de cuentos con ilustraciones que abren los ojos de los niños a una gama amplia de pensamientos matemáticos, a aquellos que sólo son narraciones.

Debe recordarse también que los libros de cuentos con ilustraciones pueden leerse, disfrutarse y continuar con el desarrollo del pensamiento matemático en lecturas subsecuentes. Mientras que algunos niños captarán ideas desde la

primera lectura, otros necesitarán exposiciones repetidas de los conceptos que encierra el libro de cuentos ilustrado. Además, a medida se desarrollan, todos los niños encontrarán nuevos o más profundos sentidos matemáticos en la historia. Está claro en los ejemplos que mostramos aquí que los niños se apoyan en las ideas de sus compañeros para ampliar su propio conocimiento, y la lectura proporcionará futuras oportunidades para este tipo de aprendizaje.

Hacer matemáticas estimulada por libros de cuentos con ilustraciones no es sólo una actividad para preescolar, sino que puede extenderse a grados de primaria ya que, de acuerdo con Ginsberg,30 el papel de los maestros de primaria es hacer enlaces entre las matemáticas informales de los niños y las formales que se enseñan en la primaria. Nosotros afi rmamos que esto es más fácil a través del contacto temprano con ideas matemáticas, y pensar acerca de ellas, particularmente cuando se presentan en libros de cuentos con ilustraciones que se leen en sesiones grupales.

Esto se demuestra con claridad en los libros de cuentos ilustrados de este artículo. Por ejemplo, en la historia de la princesa de cabello largo, los niños fueron capaces de medir el cabello con los dedos y relacionarlo con mediciones del mundo real (metros). Además, pudieron ver que el tamaño de los dedos hacía una diferencia en el valor de la medición, un paso signifi cativo en el aprendizaje acerca de medición. En el libro de la muñeca y el escusado, los niños se encontraron con nuevas maneras de representar objetos del mundo físico y tuvieron la oportunidad –quizá por primera vez– de ver dentro de este mundo tridimensional por medio de cortes transversales que se mostraron en dos dimensiones. El libro de cuentos La sorpresa metió a los niños en un nuevo territorio matemático: medir un incremento y representarlo en una gráfi ca. Lo más asombroso para nosotros fue la facilidad con la que los pequeños entendieron lo que hacía la oveja con la regla y la balanza, y lo que las dos líneas signifi caban en la gráfi ca.

Los autores e ilustradores de estos libros de cuentos, que son de una alta calidad literaria, sólo querían contar una historia interesante, pero al mismo tiempo hicieron otra cosa. Al representar el cabello largo en una espiral y en una forma sinuosa; al hacer a la muñeca visible por medio de cortes transversales, y al proporcionarle a una oveja una regla, una báscula y una gráfi ca “adulta” que muestra los resultados de la medición, los autores de estos libros –probablemente sin intenciones de enseñar matemáticas– crearon oportunidades que dieron a los niños acceso a las matemáticas. Nos gustaría recomendar a los maestros de niños pequeños que aprovechen las ventajas que ofrecen los libros de cuentos con ilustraciones.

30 Ginsberg, H. P., “Toby’s math” [“Las matemáticas de Toby”], en R. J. Ternberg y T. Ben-Zeev (eds.), The nature of mathematical thinking, pp. 175-202, Lawrence Erbaum Asociados, Hillside, NJ, 1996.

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