Igualdad, equivalencia, transformación

Igualdad, equivalencia, transformación1

Roberto Markarian

Representación de una transformación. Dos sumado a cuatro hacen seis.

El proceso de traducción y revisión técnica del

libro de Derek Haylock y Anne Cockburn2 nos indujo a repensar algunas cuestiones relacionadas con el aprendizaje de conceptos fundamentales de la matemática. Entre ellos se encuentran el uso correcto de patrones de diverso tipo, la utilización precisa del signo de igual y la buena comprensión de los procesos de equivalencia.

en esta nota me referiré a los últimos tópicos, infl uido por la afi rmación en el mencionado libro de que equivalencia y transformación “impregnan el pensamiento matemático”. En el libro estas ideas aparecen recurrentemente desde el capítulo 1, en que se estudia el signo de igual, hasta el 8 (en que se ven las fi guras planas y del espacio) y el 9 (referido al manejo de datos).

Por ejemplo, dicen, al analizar la importancia, el signifi cado y las difi cultades del buen uso de la igualdad:

1 Con motivo de la aparición del libro de Derek Haylock y

Anne Cockburn, Comprender y enseñar matemáticas. Una guía para los maestros de preescolar y grados inferiores de primaria,

Correo del Maestro-La Vasija, México, 2011. 2 Derek Haylock and Anne Cockburn: Understanding Mathematics for Young Children. A Guide for Foundation Stage and Lower

Primary Teachers, SAGE Publications Ltd, London, 260 pp., 2008.

Fully Revised and Expanded Edition. Traducción y revisión realizadas con Nelson Möller, en 2009. El concepto de “es igual” es otro ejemplo de una compleja red de conexiones, la que representamos por el signo de igual. Para analizar este concepto, discutimos primero dos ideas fundamentales que atraviesan las matemáticas. Éstas son las nociones de transformación y de equivalencia. 3

Y luego, al analizar las formas planas y cuerpo tridimensionales:

Somos de la opinión de que los conceptos matemáticos fundamentales de transformación y equivalencia son comunes a la comprensión de las nociones de número y de forma, y que esto hace de las dos áreas una materia unifi cada. Los dos tipos básicos de aprendizaje implicados en la comprensión de los conceptos forma y espacio son clasifi car y cambiar formas. Primero, podemos colocar las formas en conjuntos de acuerdo a cier-

3 Derek Haylock y Anne Cockburn, 2011, op. cit., p. 33.

to parecido. Luego, miramos varias maneras de hacerlas cambiar, discutiendo qué es lo diferente. En otras palabras, reconocemos equivalencias y aplicamos transformaciones.4

Este análisis no debe confundirse con el del uso del signo de igual, a pesar de que están íntimamente vinculados.

El signo de igual

El signo de igual indica la relación entre dos cantidades iguales. Cuando vemos un signo de igual debemos observar qué hay a cada lado de él y operar de modo de tener cantidades iguales. El error, muchas veces comprobado, de que los niños en la escuela al preguntársele que número poner en el cuadrado, para que valga esta igualdad numérica:

3 + 4 = + 2 ,

respondan, en su mayoría, 7 o 9, indica que para ellos el símbolo opera como una orden y no como una relación. Es como si ejecutara el comando: “sume”, “haga lo que acaba de leer”. En este sentido, el error acarrea la incomprensión de que ambos lados del signo son lo mismo, que la relación es reversible.

Esta incomprensión del uso del signo de igual al comienzo de los estudios de primaria traerá más adelante todo tipo de difi cultades cuando se entre en el terreno de los cálculos, de la resolución de ecuaciones y el álgebra en general.

De igual manera, en la escuela primaria debería combatirse el uso del signo de igual para indicar otro tipo de relaciones. Así, hay que rechazar la presentación de listas de nombres y edades de las respectivas personas en la forma: María = 7, Rafael = 9… También debe señalarse el mal uso al dibujar 5 objetos (digamos 5 manzanas) y poner luego = 5.

Pero el signo de igual suele signifi car mucho más que igualdades numéricas. La igualdad es una propiedad muy relacionada con los procesos de elaboración de conceptos. O sea los procesos de representación de objetos, en los que se perciben similitudes, caracteres comunes, que permiten caracterizar e individualizar distintos tipos de cosas. Si no, ¿cómo se podría decir que un fresno y un pino son árboles? Cómo se podría hacerlo si no se tiene el concepto de árbol. En la base de la conceptuación hay un proceso de clasifi cación, que se va ejercitando ya desde los años de preescolar. Por tanto, si el maestro quiere profundizar la comprensión del signo de igual, debería abordar el signifi cado de la igualdad en un sentido más amplio. Sin embargo, desde el punto de vista numérico, al que nos estamos refi riendo ahora, alcanza con hablar de que las cantidades a ambos lados del signo son iguales.

Más adelante, el maestro puede idear estrategias de enseñanza que lleven al niño a comprender que A = B implica B = A (propiedad recíproca), y más adelante, que la igualdad se mantiene si a los números que están a un lado y otro del signo se les suma, resta, multiplica o divide, un mismo número.

Sin embargo, la propiedad transitiva, o sea A = B, B = C implican A = C, es de aplicación intuitiva permanente, en los procesos de conceptuación. Pero, desde el punto de vista numérico, los niños la aprenderán luego.

3 Idem., p. 229.

Transformaciones y equivalencias

Volviendo a las concepciones más generales y profundas de la igualdad, caemos en el terreno de la clasifi cación, de la identifi cación de distin-

tos, y es precisamente en este terreno que transita el libro de Haylock y Cockburn al referirse a las transformaciones y equivalencias.

Ellos destacan que en el proceso de comparación se trata, por una parte, de percibir qué se debe hacer para pasar de un objeto a otro (transformación) y, por la otra, de analizar qué tienen de “iguales”, qué características les son comunes (equivalencia). Estos procesos paralelos (transformación y equivalencia) son observados en situaciones muy diferentes.

• El tamaño de papel más usado actualmente en las impresoras se denomina A4. se obtiene así: se corta a la mitad, por su lado más largo una hoja de papel tamaño A0, para obtener dos de tamaño A1 y así sucesivamente. Cada rectángulo tendrá la mitad del área del anterior, las longitudes de los lados serán distintas, y tendrán otras características diferenciadoras. Pero a su vez, todos serán rectángulos,

tendrán las mismas proporciones (la longitud de cada lado mayor es alrededor de 1.4 del menor, exactamente la raíz cuadrada de dos). Por las primeras características, las fi guras serán diferentes, por las segundas, son “iguales”. Sugiero este ejercicio: mida una hoja de papel A4 y luego responda esta pregunta: ¿Cuál es el tamaño del área del papel A0? (ver fi g. 1). • de igual manera, si se toman conjuntos de peras y papas, es claro que serán distintos, pero si tienen la misma cantidad, serán “iguales” y eso permitirá dar el cardinal (la cantidad de elementos) de los conjuntos. • la buena defi nición de las fracciones incluye también este proceso: 3/6 es distinto de 1/2.

Para transformar la primera pareja de números en la otra hay que dividir ambos números entre tres (ésa es la transformación), pero ambos números indican el fraccionamiento de un todo en dos partes iguales (equivalencia).

a A1

A0

A1

b A2 A2

A1

A3

A3

A2

A4 A4

A3 A4

a b = 2

Figura 1. Comparación de los tamaños de las hojas de papel más usadas en la actualidad. Cada una se obtiene de la anterior (más grande) cortándola a la mitad.

Dicen Haylock y Cockburn:

En general, entonces, cuando hacemos afi rmaciones sobre qué ha cambiado de una situación a otra, qué es lo diferente entre dos cosas, en qué se ha convertido algo, y cosas por el estilo, estamos usando la idea de transformación. Cuando nos interesamos en “lo mismo”, en las semejanzas en lugar de las diferencias, sobre lo que permanece incambiado a pesar de la transformación, entonces estamos hablando sobre equivalencia. Las preguntas clave, en lenguaje de todos los días, para incitar a los niños a reconocer transformaciones y equivalencias, son simplemente: “Qué es ‘diferente’”, y qué es lo ‘mismo’?”4

Creemos necesario incursionar ahora en el tema general, que es el de las relaciones de equivalencia;5 llevará la mayor parte de lo que resta de este artículo.

Formación de conceptos: el perro

A pesar de que hemos empezado refi riéndonos al signo de igual, llamo la atención sobre el carácter general del concepto de relación de equivalencia: en el fondo se pueden presentar todos los procesos de conceptuación utilizando esta herramienta lógica. Pongamos un ejemplo no matemático, más relacionado con la experiencia cotidiana.

Como objeto de la naturaleza viva, el perro como tal, no existe; existen perros, un perro, cada perro. ¿Cómo se aprende (se podría decir también aprehende) eso que llamamos perro? ¿Cómo el niño, desde muy temprana edad, distingue diversos animales, plantas, formas y un poco más adelante números, fi guras geométricas?

Sin querer entrar en una larga presentación sobre la formación de conceptos, ni en sus aspectos psicológicos o neurológicos, que obviamente son muy importantes, parece muy útil pensar estos procesos lógicos en un marco algo más general.

En aras de estructurar el proceso de formación de un concepto, comenzaremos suponiendo que este proceso siempre se realiza comparando parejas de objetos. Aunque esto no es del todo cierto –pues generalmente se captan de una vez muchos objetos comparables que darán lugar al concepto de que se trate–, daremos el procedimiento por válido.

Observemos, de paso, que el procedimiento que estamos usando (comparar objetos por pares, de a dos por vez) es un tipo de ‘simplifi cación’ muy usado en matemática: si se quieren comparar muchos objetos, siempre se puede hacer de dos en dos, sucesivamente, hasta compararlos todos. Puede parecer un tanto arbitrario, pero es válido. Además, la comparación de pares se formaliza con más facilidad.

4 Idem., p. 34. 5 Partes de lo que sigue están inspiradas en mis artículos

“Rompiendo unidades VIII”, Correo del Maestro, núm. 103, diciembre 2004, pp. 13-18 y “Rompiendo unidades IX”, Correo del Maestro, núm. 104, enero 2005, pp. 11-16.

Pares de objetos visibles

Supongamos que se trata de elaborar el concepto de algún objeto visible. Ésta es una elección muy específi ca; podríamos trabajar con otro universo, por ejemplo, el de algún conjunto numérico, de alguna rama de las ciencias sociales, etc. La defi nición precisa de ‘objeto visible’ no cae en el campo de las matemáticas o de la lógica, por lo que el lector debe ser generoso, y aceptar que ese conjunto está más o menos bien delimitado. Por otra parte, corresponde a las experiencias iniciales de relación de un ser humano con el mundo externo.

Nótese que estamos distinguiendo entre los objetos visibles y el concepto de cada uno de ellos.

Consideremos, pues, las parejas del conjunto de los objetos visibles. Entre esas parejas se establece una relación de semejanza: diremos que dos objetos son semejantes si tienen varios caracteres comunes; esta relación nos permitirá distinguir un árbol de una bicicleta, digamos. La palabra ‘semejante’, que tiene acepciones muy precisas en matemáticas, está usada aquí en un sentido más coloquial: dos cosas son semejantes si son muy parecidas, si tienen muchos rasgos comunes.

Destacamos que este procedimiento de comparación es mucho más impreciso que el que se usa en lógica o en matemáticas. Las semejanzas que se perciben difi eren mucho de una persona a otra; dependen del uso que cada quien dará al objeto (condicionante ‘social’), de su capacidad de abstracción (‘psicológica’), de cuánto ve (‘neurológica’) y de muchas otras cosas. Por eso hemos tomado como objetos los perros, que merecen pocas discusiones, a pesar de que su concepto puede ser algo trivial.

Para representar las parejas pondremos ambos elementos entre paréntesis, separando sus denominaciones por una coma. En un enfoque general, distinguiremos, además, parejas de los mismos elementos dados en órdenes distintos. Por ejemplo, serían diferentes:

(este perro, este higuerón) de (este higuerón, este perro).

Aunque, como veremos después, en las relaciones de equivalencia, que son las que nos interesan especialmente, esto (el orden en que son dados los elementos de la pareja) no importará. Es claro que cuando se da información de parejas, el orden suele importar. Por ejemplo, si hay que hacer un fi chero con los nombres de padre y madre de los alumnos, el poner José María Pérez y Julia Rodríguez o en el orden inverso, cambia radicalmente el dato brindado.

Los dos ejemplos anteriores (perro, higuerón) muestran que al tomar todas las parejas de objetos visibles, muchas estarán formadas por objetos muy diferentes, que no tienen los ‘parecidos’ que nos interesan. A efectos de conceptuar objetos parecidos (semejantes), estas parejas parecen no tener mayor interés, pero sirven para mostrar que en nuestro mundo visible hay objetos que caerán en categorías distintas, o sea, que defi nirán conceptos distintos.

Entonces, nuestra relación entre parejas de objetos visibles nos permite decir que:

(este león, esta silla), (este árbol, aquel perro),

no están relacionados, pero que este galgo y aquel bulldog sí están relacionados. Es decir, los objetos visibles que tienen cuatro patas, cierta forma vistos de frente (boca, nariz, oreja…), que emiten cierto tipo de sonido (ladrido; esto no es visible, pero colabora con la distinción), etc., constituyen una clase distinguible de otras. Para quedarnos con objetos cercanos, del reino animal, los objetos que se acaban de describir son distintos de otros cuyas pelambres son más suaves, emiten sonidos distintos (maúllan en lugar de ladrar), son más cariñosos, etc., que llamamos gatos. 6

Perros, un perro, el perro

Pedimos paciencia a los lectores, por estar escribiendo sobre cosas que podrían parecer dema-

6 Un cocker spaniel tiene muchos parecidos con un gato y sería una buena experiencia estudiar cuando un bebé distingue un gato de un cocker spaniel.

siado elementales. Es que estamos queriendo abstraer en esa relación de semejanza las propiedades que no dependen tanto de los objetos comparados, en sí mismos, sino las que defi nen a la relación misma. A la lógica no le interesa saber cómo son los objetos relacionados, sino cómo se construye la relación entre ellos, independientemente de cuáles sean los objetos.

Entonces, en el conjunto de las parejas de objetos visibles establecimos una relación de ‘semejanza’, que es una relación entre objetos que pueden ser distintos –por ejemplo, (este doberman, este bulldog), (este doberman, este galgo)–, pero que son parecidos. Esta relación de semejanza tiene las siguientes características:

a) Las parejas formadas por dos objetos iguales (un mismo elemento) están relacionadas: una cosa no sólo es semejante a sí misma (o sea que se ve con muchos rasgos semejantes, que es lo que necesitamos), sino que es idéntica, es la misma, por ejemplo:

(este bulldog, este bulldog).

b) El orden en que se forma la pareja no importa: si éste es parecido a aquél, aquél es parecido a éste (ocupar el primero o el segundo lugar en la relación, no importa), ejemplo:

(este bulldog, este doberman)

será considerada la misma pareja que:

(este doberman, este bulldog)

c) Por último, y muy importante, si dos parejas tienen un elemento común, los dos elementos no comunes también son semejantes (esto se llama propiedad transitiva). En el ejemplo que sigue, el elemento común es el galgo: (este doberman, este galgo) y (este galgo, este bulldog)

están en la relación, entonces también lo están:

(este doberman, este bulldog).

Así, en el mundo de los objetos visibles hemos hecho una separación de parejas por sus rasgos comunes, por ser parejas de objetos que se parecen. Se ha establecido una relación entre parejas que ha dado lugar a una gran cantidad de agrupamientos. Uno de esos agrupamientos es el de los perros, el de todos los perros, que naturalmente es disjunto del de los leones, los árboles, las fl ores, las hierbas, las sillas, etc. Pero esta clasifi cación no distingue si se trata de un bulldog o de un galgo: ambos tienen elementos comunes que llevan a conceptuarlos en la misma categoría, perro.

En esa clase de objetos semejantes (equivalentes, se suele decir), cualquiera de sus objetos individuales es un representante. A la CLASE entera la llamamos perro; cada uno de sus REPRESENTANTES es un perro. Tal vez la explicación anterior complica mucho cosas que son relativamente elementales: reconocer perros, árboles… Están demasiado vinculados con las experiencias iniciales, y quizá le parezca que esto no tiene que ver con las matemáticas. Pero sí tiene que ver. Si esta explicación se le hizo muy larga y farragosa, vuelva a leerla luego del tratamiento formal que haremos a continuación.

Relaciones

Comenzamos introduciendo la noción de relación entre pares de objetos mediante un criterio que puede parecer un tanto trivial: defi nir una relación entre pares de objetos es proporcionar

un procedimiento que permita distinguir a cierto conjunto de pares. Esta manera de defi nir relaciones es de gran utilidad porque evita tener que dar detalles acerca de qué relación se trata, es decir, cuál ha sido el criterio por el que se distinguen las parejas.

Es decir, si tomamos el conjunto de las parejas ordenadas de elementos del conjunto A y elegimos montones separados de esas parejas, eso es una relación. Obsérvese que en principio el hecho de que (a,b) esté en una de esas divisiones no signifi ca que (b,a) también lo esté.

La manera de hacer la distinción (de separar las parejas) puede ser, incluso, elaborar una lista de los elementos ‘distinguidos’ (o sea, especifi car conjuntos de pares).

Introduzcamos ahora alguna nomenclatura que simplifi cará la redacción. El conjunto de las parejas ordenadas de elementos de dos conjuntos A y B suele representarse con el símbolo A x B (que se lee: A por B), donde “x” no representa ningún producto numérico, sino la indicación de que consideraremos los símbolos a la izquierda y derecha de x como conjuntos que formarán pares de elementos. Si tomamos B = A, tendremos el conjunto A x A de las parejas de un mismo conjunto A, que es con lo que trabajaremos en general (ver fi g. 2).

Entonces una relación R en el conjunto A es una división del conjunto de los pares ordenados A x A (la denominación R para la relación es arbitraria; en general, se usan letras mayúsculas u otros símbolos ad hoc). Es el resultado de la elección de ciertos subconjuntos de A x A. Esta división no tiene por qué contener todos los pares, pero un par no puede estar en dos subconjuntos de esta división. Si (a,b) pertenece a (está en uno de los subconjuntos de) R, diremos que a está en relación con b y escribiremos aRb. Observe aquí que el símbolo R está usado en dos acepciones, que no dan lugar a confusión: indica, por un lado, el nombre de la partición en subconjuntos de A x A y, por el otro, señala que una pareja está en uno de esos subconjuntos: aRb signifi ca que “la pareja (a,b) está en una de las subdivisiones (subconjuntos) R”. Ejemplos: 1. En el ejemplo de los objetos visibles que analizamos, podemos llamar R a una subdivi-

a

c b

d (a,a); (a,b); (a,c); (a,d); (b,a); (b,b); (b,c); (b,d); (c,a); (c,b); (c,c); (c,d); (d,a); (d,b); (d,c); (d,d) (a,a); (a,b)

(b,c); (c,d); (d,a)

(a,c); (b,a); (d,b); (d,c)

A A x A R

Figura 2. En estos diagramas se han representado: el conjunto A, formado por cuatro elementos (A = {a, b, c, d}); el conjunto A x A, formado por 16 elementos y una relación R formada por tres subconjuntos de A x A.

sión en pares de objetos semejantes; por ello diremos que:

[este galgo] R [este bulldog], pero no podremos poner: [ese perro] R [este roble]. 2. La relación de igualdad en cualquier conjunto A queda defi nida al establecer la relación de las parejas de elementos iguales: R = {(a,a) con a A}7 (el símbolo se lee: “pertenece a”). Por tanto, existen igual cantidad de subconjuntos como elementos tiene A. Esta propiedad de que la cantidad de subconjuntos en R es igual a la cantidad de elementos de

A es muy particular. En general, hay muchos más elementos en A que cantidad de clases en R. Piense en el ejemplo anterior, en que hemos agrupado todos los perros visibles en una sola clase de R, la que defi ne el perro. Y observe qué pasa en el ejemplo siguiente. 3. Sea Z el conjunto de los números enteros, R = {(a, b): a, b Z, a - b es múltiplo entero de 2}; por tanto, a está en relación con b si ambos son pares o ambos impares. Entonces el conjunto queda dividido en sólo dos subconjuntos que, en aras de la claridad, describimos completamente: pares = {n: n = 2k para algún k entero} = {…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,…}

impares = {n: n = 2k+1 para algún k entero} = {…, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}

porque si se restan cualesquiera dos números de cada clase da un múltiplo de dos. Entonces consideramos en las parejas de números enteros (Z x Z), la relación en la que no fi guran pares formados por un número par y un número impar.

4. Mostraremos con un ejemplo clasifi catorio cómo se pueden usar dos tipos de relaciones.

Queremos ordenar los libros de una biblioteca por un procedimiento que nos permita ubicarlos, de la manera más rápida posible, conociendo sólo la nacionalidad del autor, y los de un mismo país, por año de publicación. Entonces, en el conjunto de los libros se establece la división por países: o sea, dos libros están relacionados si sus autores son coterráneos. Eso produce una primera división en relaciones por países, es decir que el libro a y el libro b están relacionados si sus autores son del mismo país. En cada una de esas relaciones generamos la relación de los que se publicaron en el mismo año, que producirá nuevas relaciones. En la primera división podrá haber relaciones que tengan pocos libros (la que corresponda a los autores rumanos, por ejemplo; puede que ésta tenga cero elementos, es decir, que sea el conjunto vacío, que se representa con el símbolo Ø) y otras con muchos. Como se ve, la defi nición de la relación varía mucho dependiendo del objeto que se quiere clasifi car y del criterio clasifi catorio.

5. La relación que describiremos a continuación tiene características distintas de todas las otras que vimos antes y tiene la diferencia de que no considera todas las parejas posibles.8

7 Usaremos la notación “C = { }” para describir, en el interior de las llaves, las propiedades veri cadas por los elementos del conjunto C, o para indicar todos sus elementos. Así, los múltiplos enteros de 3 se pueden escribir {3k, k entero} = {…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,…}. 8 Efectivamente, hay personas que no son madres y por tanto las parejas que comienzan con hombres no están consideradas, y tampoco las que comienzan con mujeres sin hijos. Por otra parte, en el segundo lugar de la pareja, están todos los seres humanos, porque todos nacimos de una mujer.

En el conjunto de los seres humanos tomamos las parejas formadas por madres e hijos. Esta relación no es conmutativa, pues el primer elemento de cada pareja de la relación es siempre una mujer y si cambiáramos el orden, podrían aparecer hombres en el primer lugar.

Relaciones de equivalencia

Definiremos ahora el tipo particular de relación que nos interesa especialmente y que permite clasifi car conjuntos y defi nir conceptos. Nos fi jaremos en cada uno de los subconjuntos que forman R.

O sea, en las parejas de la forma aRb.

Se dice que la relación R es • refl exiva (también se le llama idéntica) si aRa para todo a A; • simétrica si aRb implica bRa, y • transitiva si aRb y bRc implican aRc.

[Obsérvese que en la propiedad transitiva se pasa de dos parejas (a, b), (b, c) a ternas (a, b, c)]

Una relación de equivalencia en un conjunto A es una relación refl exiva, simétrica y transitiva, tal que cada elemento de A aparecen en alguna pareja. Si una relación R es de equivalencia y aRb diremos que a es ‘equivalente’ a b y escribiremos a~b. Por tanto, las propiedades que defi nen una relación de equivalencia son:

a) a~a , para todo a A (idéntica) b) a~b implica b~a (simétrica) c) a~b, b~c implican a~c (transitiva).

Dada una relación de equivalencia en un conjunto A y un elemento a A, llamaremos clase de equivalencia de a al conjunto de todos los elementos c A que son equivalentes con a. O sea el conjunto de los c A tales que c~a.

En el ejemplo 3 anterior, la relación defi nida en los números enteros dada por los pares que difi eren en un número par, todas las parejas de números pares están relacionadas entre sí y todas las parejas de números impares, también. Por tanto habrá sólo dos clases de equivalencia, la de los números pares y la de los impares.

Llamaremos cl(a) a este conjunto, o sea cl(a) = {c A : c~a}. Por la condición a) de la defi nición de clase de equivalencia se deduce que a cl(a). De las condiciones b) y c) de la defi nición de relación de equivalencia se deduce que si a~b, entonces c~a si y sólo si c~b, por lo que: {c A : c~a} = {c A : c~b}.

Entonces cl(a) = cl(b). Es claro que también vale un recíproco: si cl(a) = cl(b) entonces a~b, porque si ambas conjuntos son el mismo quiere decir que b {c A : c~a}.

Todo elemento b cl(a) se dice que es un representante de esa clase. Es decir que b es un representante de cl(a) si y sólo si b~a.

Antes de seguir con el enfoque abstracto, veamos algunos ejemplos y contraejemplos (el lector verifi cará si se cumplen o no las tres propiedades antes indicadas):

(b,b); (a,b); (b,a); (a,a)

(c,c)

(d,d)

S

Figura 3. Tomando el mismo conjunto A de la g. 2, cambiamos la relación. Esta relación S es de equivalencia porque en cada subconjunto se veri can las tres propiedades: idéntica, recíproca y transitiva.

Otros ejemplos, y contraejemplos:

1. La relación de igualdad es una relación de equivalencia. Cada elemento es representante de su clase porque cada clase tiene un solo elemento.

2. La relación de parecido (semejanza) entre objetos visibles, que nos permitió defi nir el concepto de perro, es también una relación de equivalencia. De hecho fuimos destacando las tres propiedades cuando dimos sus características. Mi perro es representante de la clase de los perros.

3. En el conjunto de los números naturales N se establece una relación por la desigualdad: aRb si y sólo si a < b. Ésta no es una relación de equivalencia, porque no cumple las propiedades idéntica y simétrica. O sea, no es cierto a < a y no es cierto que si a < b entonces b < a.

4. Defi nimos ahora otra relación entre números naturales: aRb si y sólo si a b. Ésta tampoco es de equivalencia, pues no satisface la relación simétrica. Sí satisface la idéntica porque a a para todo número natural. Pero esta relación satisface otra propiedad: d) si aRb y bRa entonces a = b (antisimétrica)

Si una relación satisface las propiedades de ser idéntica, transitiva y esta propiedad de antisimetría, decimos que la relación es de orden parcial.

5. Sea N el conjunto de los números naturales.

A fi n de obtener los números enteros Z a partir de los naturales, se defi ne en el conjunto

N x N (ver el signifi cado de x en la p. 28) la relación:

(a,b) ~ (a’,b’) si a + b’ = a’ + b. Efectivamente, es fácil verifi car que se satisfacen las tres propiedades idéntica, recíproca y transitiva. El número entero defi nido es a – b. Si ambos números son iguales, se defi ne la clase del cero. Si a > b se tienen de nuevo los números naturales positivos; si a < b, ¡se tiene la novedad de los números negativos! 6. Si Z son los números enteros y Z \0 son los enteros sacando el cero, los números racionales se obtendrán tomando en el conjunto de las parejas Z x (Z \0) la relación: (a,b) ~ (c,d) si a por d = b por c. Nótese con cuidado que se han multiplicado los dos números de los extremos de (a,b) ~ (c,d), que son a y d, y este producto se igualó con el producto de los dos números

‘de en medio’ (b y c). Obsérvese que el conjunto A son parejas de números enteros, pero el segundo elemento de la pareja no puede ser cero. Estas parejas de números enteros suelen escribirse como fracciones: a/b = c/d .

Clases de equivalencia

Los principales aspectos que muestran la importancia clasificatoria de las relaciones de equivalencia son: 1) Dadas dos clases de equivalencia cl(c) y cl(d) en un conjunto A entonces: o bien cl(c) = cl(d) o bien ambos conjuntos no tienen elementos comunes (se dice que son disjuntos). Por tanto, la relación de equivalencia clasifi ca a los elementos del conjunto

A en clases de equivalencia, disjuntas dos a dos. 2) Todo elemento de A pertenece a alguna clase.

El primer resultado se deduce de las siguientes simples, pero muy importantes, observaciones: si c cl(a) y c cl(b), entonces c~a y c~b, por

lo que, de acuerdo con la propiedad transitiva, resulta que b~a, de donde cl(a) = cl(b); esto signifi ca que si dos clases de equivalencia tienen un elemento común son la misma. Entonces, son disjuntas (es decir, no tienen elementos comunes) o son la misma.

El segundo resultado se deduce de que para todo a A se tiene que a cl(a).

Considerando ambas propiedades a la vez, el conjunto de las clases de equivalencia: P = {cl(a): a A} (por favor, observe que estamos hablando del conjunto de todas las clases de equivalencia) satisface estas dos propiedades: • la unión de los elementos de todas las clases de equivalencia da todo el conjunto; • la intersección de dos clases de equivalencia distintas no da nada, es el conjunto vacío.

La fi g. 3 grafi ca ambos aspectos. En el conjunto A = {a, b, c, d}, hemos defi nido la relación de equivalencia S mediante la descripción de tres subconjuntos de A x A. La relación es de equivalencia porque cada subconjunto satisface las tres propiedades y cada elemento de A aparece en alguna pareja de las consideradas. Hay tres clases de equivalencia. En una están a y b, en cada una de las otras están sólo c y d.

Destacamos que aquí hemos vuelto al conjunto A original, que es el que en realidad se quiere analizar. O sea, estudiando las parejas de elementos de A (A x A) estamos decidiendo sobre propiedades de A.

Comentarios fi nales

El lector habrá observado que el objetivo central de este artículo es explicar lo imposible: por qué dos cosas distintas son iguales. Por ejemplo, por qué dos fracciones distintas son iguales, o sea cómo se pueden identifi car parejas distintas de números enteros.

Repitamos la última cita del libro de Haylock y Cockburn:

En general, entonces, cuando hacemos afi rmaciones sobre qué ha cambiado de una situación a otra, qué es lo diferente entre dos cosas, en qué se ha convertido algo, y cosas por el estilo, estamos usando la idea de transformación. Cuando nos interesamos en “lo mismo”, en las semejanzas en lugar de las diferencias, sobre lo que permanece incambiado a pesar de la transformación, entonces, estamos hablando sobre equivalencia. Las preguntas clave, en lenguaje de todos los días, para incitar a los niños a reconocer transformaciones y equivalencias son simplemente: “Qué es ‘diferente’”, y qué es lo ‘mismo’?”

Ellos se están refi riendo a la detección de relaciones de equivalencia en cosas que han cambiado. ¿Cómo puede ser que cuando se hacen transformaciones se distingan características que se preservan, que se mantienen iguales? La respuesta es: los iguales de cosas diferentes son sus clases de equivalencia.

Hemos tratado de explicar que se deben distinguir propiedades que permiten identifi car objetos distintos: dos rectángulos son los mismos aunque se le haya movido; dos fracciones distintas son iguales si verifi can la relación de equivalencia indicada en el último ejemplo.

Hemos tratado, también, de explicar en qué medida las relaciones de equivalencia en un conjunto es una de las maneras acertadas de clasifi car objetos y percibirlos como iguales (cada clase de equivalencia), sucediendo que cada elemento de la clase es un representante de ella.