Correo del Maestro Núm. 149 - Octubre de 2008 by EDILAR

Los niños y los números IV Virginia Ferrari

ISSN 1405-3616

Topología explicada para maestros I

Educación matemática en los Países Bajos: un recorrido guiado

Roberto Markarian

Marja van den Heuvel-Panhuizen

Arte para chiquitos ESTAMPA V

Guadalupe Rosas Francisco Antonio Ledesma

Sólo dos de las naves de Colón eran carabelas… la otra era una nao

9!BLF?E@:RUPUOV!

Arrigo Coen Anitúa (†) MÉXICO

OCTUBRE 2008

AÑO 13

NÚMERO 149

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Coordinación editorial Celina Orozco Correa Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz (†) Roberto Markarian Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Ana Lilia Estrella Producción editorial Rosa Elena González Diseño, ilustración y formación digital Rosa E. González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos • Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. • El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. • El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. • Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. • En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. • Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. • En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. • Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. • Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

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Año 13, Núm. 149, octubre 2008. Circulación certificada por el Instituto Verificador de Medios. Registro No. 282/09.

editorial

na de las metas de la educación matemática es que los estudiantes sean

capaces de utilizar su comprensión y herramientas para resolver problemas de la vida diaria, es decir, que las matemáticas les sean útiles. Pero, ¿qué estrategias se deben seguir para que en verdad se cumpla este objetivo? Tres investigadores ensayan algunas respuestas y nos comparten su experiencia en este número de Correo del Maestro. Los Países Bajos cuentan con una importante trayectoria en la investigación de matemática educativa y, al cabo de 30 años de trabajo, han logrado un diseño curricular que les está dando buenos resultados. En 1971, el escritor, pedagogo y matemático germano-holandés, Hans Freudenthal (1905-1990), fundó el instituto que lleva su nombre y que ha marcado un paradigma en la enseñanza de las matemáticas no sólo en su país. Freudenthal decía que para que tengan un valor humano, las matemáticas deben tener conexión con la realidad, mantenerse apegadas a la experiencia de los niños y ser pertinentes a la sociedad. A pesar de tratarse de un medio distinto al mexicano y latinoamericano, muchos elementos teóricos y prácticos del sistema holandés pueden servir de reflexión sobre nuestro propio sistema educativo. Ofrecemos, pues, a nuestros lectores el artículo de la doctora Marja van den Heuvel-Panhuizen, del Instituto Freudenthal: Educación matemática en los Países Bajos: un recorrido guiado. Pese al estigma que ha tenido el empleo de los dedos como un recurso para el aprendizaje de las matemáticas, si los educadores tienen claro el objetivo para usarlos y son conscientes del momento en que deben dejarse de lado, entonces se encontrarán frente a un extraordinario material didáctico, del cual se pueden servir para reforzar la adquisición de habilidades como el conteo y el cálculo. En la cuarta entrega de la serie Los niños y los números, la maestra Virginia Ferrari dice “¡Sí a los dedos!”, y propone algunas actividades para realizarse en la escuela y en la casa. En su obra La representación del espacio en el niño (1948), Piaget e Inhelder defienden que tal proceso comienza con relaciones topológicas mucho antes de que se haga proyectivo o euclidiano. Para entender los conceptos relacionados con la topología, como: proximidad y separación, orden y encerramiento, el matemático Roberto Markarian elaboró Topología explicada para maestros, una serie que da comienzo en este número. En otros temas, con la presente entrega llega a su fin la serie Arte para chiquitos. Más de sesenta actividades de dibujo, pintura y estampado tuvieron como objetivo sensibilizar a los pequeños y fomentar el disfrute de la actividad plástica. Agradecemos a los artistas Guadalupe Rosas y Francisco Ledesma todo el talento y entusiasmo que dedicaron por más de un año a esta serie. Para concluir, don Arrigo Coen emprende un viaje de descubrimiento lexicográfico y nos trae noticias de ultramar: Sólo dos de las naves de Colón eran carabelas... la otra era una nao. Correo del Maestro

Dibujo de portada: Martín Solís Ventura.

índice entre NOSOTROS

Los niños y los números IV ¡SÍ A LOS DEDOS! Virginia Ferrari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

antes

Topología explicada para maestros I

DEL AULA

Roberto Markarian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

certidumbres E INCERTIDUMBRES

Educación matemática en los Países Bajos UN RECORRIDO GUIADO

Marja van den Heuvel-Panhuizen . . . . . . . . . . . .

artistas Y ARTESANOS

Arte para chiquitos ESTAMPA V

Guadalupe Rosas y Francisco A. Ledesma . . . . .

sentidos Y SIGNIFICADOS

SIN NÚMERO

abriendo LIBROS

CORREO del MAESTRO

núm. 149 octubre 2008

Sólo dos de las naves de Colón eran carabelas… la otra era una nao ....................

Claudia Hernández García . . . . . . . . . . . . . . . . .

Arrigo Coen Anitúa

problemas

(†)

¿Quién es quién?

¡Exploradores a la vista! Ana Y. Martínez Villalba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CORREO del MAESTRO

núm. 149 octubre 2008

entre NOSOTROS

Los niños y los números IV ¡SÍ

A LOS DEDOS! Virginia Ferrari

En esta entrega de la serie Los niños y los números. ¡Sí a los dedos! abordaremos –tal como el subtítulo lo indica– el uso de los dedos en los inicios del conteo y el cálculo. Veremos, de manera general, por qué es importante recurrir a los dedos en la numerización temprana del niño, cuáles son nuestras metas al proponer su empleo, cómo es conveniente usarlos, qué pasos seguir, cuándo dejarlos a un lado. Propondremos, asimismo, algunas actividades para realizar en el salón de clases y para sugerir a los padres.

Usar los dedos, pero con una finalidad

En nuestra cultura, es frecuente que en la familia se enseñe a los niños a usar los dedos para indicar cuántos ojos, bocas, narices, orejas, manos, piernas, pies o años tienen, cuántas galletitas quieren, etc. Sin embargo, en la escuela el uso de los dedos en el aprendizaje de las matemáticas no ha sido suficientemente explotado. Por lo general, éste ha estado limitado a: • La representación de cantidades mediante ellos.1 • Servir de apoyo a la suma de números cuyo total es 10 o menos de 10 (por ejemplo, 4+3, 5+4, 7+3, etcétera). • Para hacer posible la estrategia de suma en la que “se pone el sumando mayor en la cabeza” y el menor en los dedos cuando el resultado sobrepasa el 10 (por ejemplo, 8+5, 7+6, 9+8). 1

Ver Umberto Cattabrini, “Instrumentos para el cálculo: los dedos”, Correo del Maestro, núm. 47, año 4, abril de 2000, pp. 5-9.

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Entre NOSOTROS

Instrumentos para el cálculo Hoy en día, la didáctica de la matemática a nivel primaria ha introducido también el uso y el estudio de la moderna máquina de calcular de bolsillo, pero, en un primer nivel de acercamiento, son todavía las antiguas piedritas –transformadas en cubitos, bolitas o discos, antes de madera y ahora de plástico– las que predominan en los primeros grados de primaria y también en el preescolar. Los que por el contrario nunca tuvieron, en nuestra escuela, una respetuosa aceptación, son los dedos. Anteriormente, porque toda la enseñanza aritmética se fundamentaba sobre la memorización, hoy, tal vez, porque se considera a la mano un medio menos científico respecto a aquellos materiales comercializados bajo el rubro de “específicos de la escuela”. A pesar de la aversión de los maestros, bajo los pupitres, fuera de su vista, los dedos de los niños siempre siguieron torciéndose en la búsqueda de cuánto suman 2+3; 5+4, etcétera. Umberto Cattabrini, “Instrumentos para el cálculo: los dedos”, Correo del Maestro, núm. 47, año 4, abril de 2000.

Empleados de esta manera, los dedos han tenido en la escuela un uso casi mecánico, que si bien puede resultar muy útil en los inicios del aprendizaje numérico, a la larga se convierte en un verdadero obstáculo para el perfeccionamiento de ese aprendizaje y para el desarrollo de estrategias de cálculo mental más eficientes. Esta situación se debió, principalmente, a la falta de claridad por parte nuestra (de los docentes) del uso de los dedos como instrumentos que han de servir para determinados aprendizajes, con determinados objetivos, para luego dejarlos a un lado. Lo que muchas veces ha sucedido es que, en lugar de que esto ocurra, los dedos han creado una especie de dependencia difícil de erradicar. Es importante que los maestros tengamos en cuenta que cualquier material didáctico es un medio que nos sirve de apoyo a la enseñanza para facilitar el aprendizaje. Sin embargo, en el momento en que ese instrumento no genera retos al niño, ni lo pone en situaciones en las que tiene que pensar mucho para resolverlas, ni le dan la posibilidad de crear nuevas estrategias, entonces debemos considerar que el material o la propuesta de enseñanza empleada dejó de ser adecuada y se debe cambiar. Pensemos, pues, en los dedos como un extraordinario material didáctico, económico y “a la mano”, del cual nos hemos de servir para el logro de diversos objetivos en el aprendizaje de los números en los tres grados de preescolar y en los primeros grados de primaria, sin perder nunca de vista que en la propia forma de usarlos (por lo general en conjunción con otros materiales) debe estar implícito que puedan sustituirse fácilmente. Por ello, debemos tener presente con qué finalidad vamos a usar los dedos en cada caso, sin perder de vista que, por momentos, el adecuado uso de éstos puede ser,

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¡Sí a LOS DEDOS!

en sí mismo, una actividad de aprendizaje que servirá de apoyo a actividades de aprendizaje posteriores.

La enseñanza con apoyo en los dedos debe ser planificada

En el artículo precedente,2 hicimos algunas referencias respecto al uso de los dedos en el aprendizaje de las primeras nociones numéricas. En ese texto mencionamos la importancia de que los niños representen mediante los dedos la cantidad de elementos en una colección. Entonces, si el niño ve que en un conjunto hay 4 elementos, al preguntarle ¿Cuántos hay?, levanta la misma cantidad de dedos, es decir, establece la correspondencia uno a uno entre los objetos que ve y los dedos. A esta forma de representación de una cantidad le llamamos “colección de muestra”. El uso de los dedos como colección de muestra se recomienda mucho en los primeros grados de preescolar, cuando los niños están apenas entrando en contacto con los números de una manera más sistematizada que en el ambiente familiar, y comenzando a trabajar sus diferentes aspectos (secuencia oral, cifra, cantidad, etc.). Sin embargo, lejos de ser sencillo y banal, como pudiera parecer, está cargado de detalles sumamente importantes que pueden hacer la diferencia para que éste sea, en verdad, un trabajo constructivo para el niño, que lo enfrente a retos por resolver, que lo hagan disfrutar de sus hallazgos y logros y, como consecuencia, sentirse muy motivado para aprender más. 2

Virginia Ferrari,“Los niños y los números III. Hacia la noción de cantidad ”, Correo del Maestro, núm. 147, año 13, agosto de 2008, pp. 5-14.

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Guía mínima para una evaluación uno por uno*

Sentado junto a cada niño, el maestro le debe presentar las siguientes tareas o actividades orales y anotar las respuestas de cada uno. 1. Por favor, comienza a contar en 1 y yo te digo cuándo detenerte. No importa la edad del niño, la tarea se le plantea de todas maneras. En caso de que el niño sepa la secuencia oral hasta 10, ahí lo detenemos. 2. Le mostramos una colección de 4 juguetes y le pedimos que muestre con los dedos cuántos juguetes ve. Luego preguntamos: ¿Cuántos hay? Lo mismo con el 3 y con el 5. 3. Por favor, muéstrame 3 con tus dedos. Lo mismo hacemos con el 5 y luego con el 4. 4. El maestro levanta primero 3 dedos, se los enseña rápidamente al niño e inmediatamente cierra la mano. Luego le pregunta: ¿Cuántos dedos viste? Repite la acción con el 5 y luego con el 4.

* Evaluación inspirada en la propuesta de Bob Wright et al., Enseñar el número a los niños de 4 a 8 años, Correo del Maestro [en proceso de edición].

Entre NOSOTROS

Conocer a cada uno

Principios orientadores de la enseñanza

Principio 3 “La enseñanza se centra justo un paso delante del límite del conocimiento corriente del niño.”

Bob Wright et al., “Nueve principios orientadores de la enseñanza”, en Enseñar el número a los niños de 4 a 8 años, Correo del Maestro [en proceso de edición].

Estamos trabajando con niños muy pequeños. Debemos, pues, respetar el ritmo, el tiempo y las particularidades de cada uno. No se trata de exigir al niño que cumpla una actividad (una tarea) para la cual no está preparado y que le implique un esfuerzo tan desmedido que lo desanime. De ahí que es importante que el maestro conozca el nivel de cada uno de sus alumnos, que parta de una evaluación inicial de cada uno de ellos (ver recuadro pág. 3) y que las actividades que les proponga (en caso de que el grupo sea muy desparejo, deberá dividirlo en subgrupos formados de acuerdo con los niveles de conocimiento) sean, únicamente, un paso delante del conocimiento corriente del niño, del conocimiento que ya tiene (ver “Principio 3” de Bob Wright en el recuadro).

El trabajo con los dedos debe ser graduado

El trabajo con los dedos debe ser graduado. No es posible dar una secuencia exacta de pasos a seguir, puesto que ésta dependerá de las características de cada grupo. Sin embargo, sí Se debe respetar el ritmo, el tiempo y las particularipodemos proporcionar ciertos criterios genedades de cada niño. rales que permitirán, a cada maestro, armar su propia trayectoria de aprendizaje-enseñanza de los primeros números, con apoyo en los dedos.Y, lo más importante, la reflexión del maestro deberá guiar su trabajo: • Reflexión sobre su observación de cada niño. • Reflexión sobre su práctica cotidiana, sobre las actividades que le dan resultado, sobre las que debe modificar o innovar. • Reflexión sobre su propia reflexión: ver cómo y para qué le sirven las reflexiones anteriores para modificar su práctica a futuro; consultar algunas fuentes bibliográficas relativas al tema y ver si necesita mayor comunicación con otros colegas para intercambiar opiniones. No hay, pues, recetas para dar ni para seguir.

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¡Sí a LOS DEDOS!

Algunas sugerencias 1. Nos concentraremos primero en los números del 1 al 5. Aun cuando los niños sepan la secuencia numérica oral mucho más allá del 5, para la representación con los dedos nos concentraremos, primero, en este intervalo.

2. Jugaremos primero con una sola mano, con la que al niño le resulte más fácil. Es importante que el maestro observe qué mano usa cada niño, de manera que cuando se pase a trabajar con la otra, efectivamente haga el cambio.

3. Luego comenzaremos a trabajar con la otra mano. Debido a la dificultad que la tarea plantea, es frecuente que los niños tiendan a utilizar siempre la misma mano, que comiencen con la otra pero inmediatamente se cambien a aquella con la que les resulta más sencillo. No hay que obligarlos a usar una mano que no desean. En todo caso, debemos crear juegos que inciten a emplear la otra mano.

4. ¿Qué dedos mostrar? Estamos en un tema que ha generado mucha discusión, pues las posiciones son extremas: quienes dicen que se debe dejar que el niño muestre los dedos que él quiera (o pueda) y los que opinan que, por razones culturales, se debe enseñar qué dedo representa el 1, cuál el 2, etc. Así, por ejemplo, en México es muy frecuente que se represente el 1 con el índice levantado, y el 2 con el índice y el mayor levantados en tanto el pulgar sostiene a los restantes (ver fig. 1).

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Figura 1.

Entre NOSOTROS

Figura 2. Algunas representaciones del número 3. De acuerdo con nuestra experiencia, y por razones que a continuación exponemos, optamos por la primera modalidad, esto es: dar total libertad a los niños de que levanten los dedos como puedan. Luego, mucho más adelante, quizá cuando el niño esté en preprimaria o en primer grado, le enseñaremos la forma culturalmente empleada. La decisión sobre este aspecto, que puede parecer trivial, es de suma importancia, y los maestros debemos tenerla muy presente: el hecho de optar por una modalidad determinada de cómo se van a usar los dedos en clase no depende de nuestro gusto, es, más bien, una decisión que debe tomarse con base en una reflexión sobre nuestras metas, acorde a nuestro objetivo de enseñanza. Por ello, en este texto nos detendremos únicamente en la primera modalidad mencionada, y dejaremos para un artículo sucesivo la otra. ¿Por qué optar por dejar que los niños enseñen los dedos como ellos lo deseen? En primer lugar, porque estamos trabajando con niños muy pequeños cuya motricidad fina apenas se está desarrollando. Levantar unos dedos y dejar otros abajo para representar los objetos que ven en una colección es algo que significa una gran dificultad y les implica un gran esfuerzo, por lo que se les debe respetar. Además, y esto es lo más importante, debemos tener presente que nuestro objetivo no es el ejercicio psicomotriz en sí mismo, sino que el niño comience a establecer una relación entre los dedos que levanta y la cantidad de objetos que percibe por alguno de los sentidos (la vista, el oído, el tacto). Nuestra meta es que el niño vaya aprendiendo a representar cantidades con los dedos, por tanto, como actor principal de su propio aprendizaje, es él quien debe solucionar el problema que se le ha planteado con las estrategias que desarrolle en el momento. De ahí que las formas en que los niños representen, por ejemplo el 3,

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¡Sí a LOS DEDOS!

pueden ser muy variadas y sorprendentes para los adultos, e incluso mucho más difíciles para nosotros (ver fig. 2).

El maestro debe permitir que el niño represente cantidades levantando los dedos que pueda y como pueda (muchas veces lo hacen torneando las manos y los brazos). Lo importante es que, efectivamente, la cantidad de dedos que muestre corresponda con la cantidad representada.

El esfuerzo de mente y cuerpo que al niño le implica solucionar el problema planteado, lo pone en la ruta del aprendizaje constructivo. Resolverlo le proporcionará enorme alegría y disfrutará de enfrentarse con nuevos retos similares o, incluso (más adelante) un poquito más difíciles. Si uno le enseña la solución, ya no hay reto, sólo un acto de repetición mecánica, pura imitación. Pero hay aún otro motivo, también importante, por el cual optar por este camino constructivista: si nosotros enseñamos una manera determinada de representar cantidades con los dedos, sólo tendremos esa opción con una u otra mano. Ya no tendremos la posibilidad de decir, por ejemplo: Esa forma de representar el 3 está muy bien. A ver si ahora encuentras una forma diferente de representarlo. Y luego otra y otra, y luego con la otra mano, y más adelante con las dos a la vez. Al enseñar una sola forma, estamos limitando la posibilidad de enfrentar al niño a muchos otros retos, a más oportunidades de que piense arduamente y busque vías de resolución de distintos problemas.

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Principios orientadores de la enseñanza

Principio 7 “Los niños experimentan una satisfacción intrínseca al resolver problemas, al darse cuenta de que están progresando, y de los métodos de verificación que ellos desarrollan.”

Bob Wright et al., “Nueve principios orientadores de la enseñanza”, en Enseñar el número a los niños de 4 a 8 años, Correo del Maestro [en proceso de edición].

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5. Estar atentos a no caer en el acto puramente motor, sino que siempre debemos mirar que éste tenga un sustrato conceptual.

Foto: Archivo.

Expliquemos esto un poco más: si pedimos al niño que represente una colección con los dedos (colección de muestra), esta acción puede transformarse en una acción mecánica, puramente visual, que no implique ninguna noción de número. El niño puede haber aprendido muy bien a establecer la correspondencia uno a uno, y a levantar la misma cantidad de dedos que de objetos que ve, sin que esto implique para él ningún esfuerzo de pensamiento, de tener que resolver una situación problemática. Es, pues, un acto mecánico. Para evitar caer en ello, podemos proponer actividades que implican pensar y poner en juego lo que sabe acerca de la cantidad. Por ejemplo, empezar diciéndole que levante la misma cantidad de dedos como aplausos (palmadas) oiga (siempre en el intervalo de 1 a 5 y mezcladas: 4, 2, 5, 1, 3). Como siempre, primero con una mano y luego con la otra. Otra actividad es, con los niños sentados en círculo, poner al centro una colección de objetos (peluches, carritos, etc.) cubierta con un pedazo de manta, descubrirla durante una fracción de segundo e inmediatamente volverla a cubrir. Solicitar que ellos enseñen con los dedos cuántos vieron. Luego, dentro de la misma actividad, podemos plantearles un reto mayor: sin descubrir los objetos y manteniendo cubiertas nuestras manos decir: Y si ahora retiro uno de los juguetes, ¿cuántos quedaron? Enséñamelo con los dedos. O bien: Si pongo uno más, ¿cuántos tengo ahora? Una actividad aún más sofisticada que la anterior es proponerles sólo imaginar que debajo de la manta tengo, por ejemplo, 4 carritos o 4 peluches y pedirles que levanten la misma cantidad de dedos. Luego, preguntar: ¿Cuántos quedan si quito uno?, etcétera. Por último, podemos decir que el niño tiene una mejor base conceptual en las siguientes situaciones:

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1. cuando le solicitamos: Enséñame 3 (o 4, o 5, etc.), y 2. cuando al mostrarle el maestro los dedos levantados por un instante, el niño puede decir cuántos vio. Al proceder así, sabremos que la representación con los dedos no es un acto mecánico de cuyo sustrato cognitivo no podemos estar seguros, sino que se trata de la construcción de un aprendizaje que permite establecer relaciones que, a su vez, abrirán la puerta a otros aprendizajes. Un tema más: ¿cuándo podemos decir que el niño ha adquirido agilidad en representar cantidades con los dedos? Esto es sencillo de ver. Al principio, los niños dedican mucho tiempo a buscar distintas formas de mostrar números con los dedos, y debido a la dificultad motora que esto implica, lo hacen levantando un dedo a la vez, es decir, lo hacen secuencialmente, de a uno. Llega un momento en que el pequeño ha adquirido tal habilidad, que es capaz de levantar los dedos simultáneamente, todos a la vez. Como maestros, podemos pensar que el niño ya tiene un mayor dominio y que la tarea ya le resulta fácil. Es el momento, entonces, de proponer algunas actividades un paso más adelante.

6. Después de que los niños tienen agilidad en representar una cantidad con una mano y con la otra, entonces podemos pedirles que la representen usando las dos manos.

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Foto: Archivo.

Es muy frecuente que, tratándose de números en el intervalo de 1 a 5, los niños se equivoquen. Por lo general levantan el mismo número en cada mano. Por ejemplo, cuando se les pide que muestren 3 utilizando las dos manos, es muy probable que levanten 3 dedos en cada mano, o sea 6. Mediante preguntas se les debe conducir a darse cuenta del error. Por ejemplo: ¿Cuántos dedos levantaste en una mano?, ¿cuántos en la otra, ¿cuántos en

Foto: Archivo.

Entre NOSOTROS

total? Busca de qué manera puedes mostrar sólo 3 dedos, pero usando las dos manos. Esta tarea no es sencilla para los niños de 3 a 6 años que no han estado expuestos a ella. Hay que darles tiempo de explorar y de que encuentren por sí mismos la solución. El maestro nunca debe ayudarlos ni darles pistas para su resolución. Con paciencia por parte del profesor, ellos lo lograrán. No está de más que insistamos en que se debe dejar a los niños hacer las combinaciones de dedos de una y otra mano que ellos quieran.

7. Cuando el niño adquiera cierta agilidad para representar números en el intervalo de 1 a 5, debemos aprovechar la oportunidad para avanzar un poco en la estructuración numérica.

MAESTRO: Enséñenme

Foto: Archivo.

¿Cómo podemos hacer esto? Expliquémoslo con un ejemplo de actividad: 3 utilizando las dos manos,

por favor. El maestro da tiempo y pregunta: MAESTRO: ¿Qué

número estás enseñando con los dedos? Para enseñar el 3, ¿cuántos dedos levantaste en una mano y cuántos en la otra?

Se espera la respuesta y se insiste: MAESTRO: ¿Entonces,

con qué números formaste el 3? ¿Puedes encontrar otra manera de formar el 3?

Otro día, hacemos una actividad similar con los demás números en el intervalo de 1 a 5, siempre sin apurar, siempre encontrando formas divertidas de hacer participar a los niños, siempre planteando retos.

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¡Sí a LOS DEDOS!

8. Sugerimos seguir un proceso similar con el intervalo de 1 a 10.

9. ¿Cuándo enseñar la forma que en nuestro país resulta culturalmente más aceptada para representar números con los dedos? Foto: Archivo.

Esto, lógicamente, dependerá de los objetivos que el maestro se plantee. Hemos observado que, por lo general, los maestros de primer grado –o los de preprimaria, después de la segunda mitad del ciclo escolar–, cuando los niños ya tienen firme todo lo anteriormente mencionado, prefieren enseñar la convención, pues su objetivo es adquirir mayor agilidad en otras tareas como sumas, restas y representación de dobles, en las cuales nos detendremos en otro artículo.

Comunicarnos para enriquecernos Nos gustaría que aquellos lectores que han puesto en práctica las propuestas de la serie Los niños y los números, nos comunicaran su experiencia. Nos interesa saber si éstas fueron aplicables a sus grupos, o qué modificaciones tuvieron que hacer de acuerdo con las características particulares de la comunidad escolar en la que trabajan.Asimismo, es probable que muchos colegas hayan creado muchas nuevas actividades. Los invitamos a compartirlas en este espacio de Correo del Maestro donde las publicaremos con el nombre de su autor. Pensamos que parte de nuestro desarrollo profesional es vincularnos con otros maestros para aprender qué da resultado y bajo qué circunstancias. Entablar comunicación con otros colegas y conocer sus experiencias nos permite clarificar nuestros conocimientos y desarrollar nuevas ideas, a la vez que sentirnos parte de una profesión cuya práctica puede ser mejorada y enriquecida entre todos. vferrari@correodelmaestro.com

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antes DEL AULA

Topología EXPLICADA PARA maestros I Roberto Markarian

La finalidad de esta serie de artículos es analizar desde el punto de vista matemático, para un público no especializado, el significado y los alcances de la topología y sus elementos, así como aclarar el uso de estos conceptos en el libro La representación del espacio en el niño, de Jean Piaget y Bärbel Inhelder.

Puentes en Königsberg (actual Kaliningrado).

a inmensa obra de Jean Piaget 1 y su Escuela ha dejado profundas huellas en la formación de sucesivas generaciones de maestros, pedagogos y psicólogos de todo el mundo. Como sucede con todos los aportes al conocimiento humano, cuando el tiempo pasa, se empiezan a notar defectos. Nuevas experiencias y observaciones permiten analizar los datos con otros enfoques y, debido a estas circunstancias, surgen ideas nuevas, algunas, quizá, contrapuestas. Ello no quita importancia al aporte mismo, algunas veces hasta lo realza. Tal es el caso de la obra de Piaget. Los defectos o extrapolaciones exageradas que pudieran haber realizado él o algunos de sus discípulos

no quitan valor a la originalidad y profundidad de muchos de sus enfoques. Esta serie de notas no será, por tanto, una apología de los enfoques piagetianos sobre el espacio y la geometría, sino que intentará explicar las expresiones de la matemática utilizadas por Piaget y analizar la relación entre su significado preciso y la manera como la utilizaba el psicólogo suizo. Puede que esto ayude a colocar en términos más justos el valor actual del enfoque piagetiano para la enseñanza de la geometría a nivel escolar y anterior.

“La representación del espacio en el niño” 1

Jean Piaget (1896-1980). Psicólogo y filósofo suizo, cuyos estudios sobre la formación del conocimiento tuvieron amplia repercusión en pedagogía y psicología.

En su obra La representación del espacio en el niño (La represéntation de l'espace chez l'enfant, PUF, 1948),

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Topología explicada PARA MAESTROS I

J. Piaget y B. Inhelder defienden con mucho entusiasmo y sabiduría que: [...] el análisis geométrico abstracto tiende a mostrar que los conceptos fundamentales del espacio no son de manera alguna euclidianos, sino ‘topológicos’. Es decir, basados enteramente en correspondencias cualitativas o ‘bicontinuas’ que involucran conceptos como proximidad y separación, orden y encerramiento.2 Y, ciertamente, encontraremos que el espacio del niño, que es esencialmente de carácter activo y operacional, invariablemente comienza con ese tipo simple de relaciones topológicas mucho antes que se haga proyectivo o euclidiano.

Estos aspectos topológicos son diferenciados por Piaget y su Escuela de los proyectivos (que suponen, entre otras cosas, la capacidad del niño de percibir un mismo objeto al observarlo desde distintos ángulos) y los euclidianos (que se refieren a tamaños, distancias y direcciones, y conducen a la medición de longitudes, ángulos, áreas, y a las figuras geométricas sencillas como triángulo, esfera, etcétera).

Uso de expresiones provenientes de la matemática Debe anotarse que el uso cotidiano de vocablos provenientes de la matemática y su contexto no implica que en esta disciplina se les dé el significado del habla común. De igual manera, en el sentido inverso, la matemática toma del habla cotidiana términos que adquieren una significación más precisa o específica, de acuerdo con los métodos de esta ciencia. Muchas veces también,

Si bien no está nombrado en esta cita sacada del Prefacio del libro, inmediatamente luego se agrega una quinta relación de continuidad entre los llamados conceptos topológicos.

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vocablos de uso común ya han adquirido un significado preciso, desde el punto de vista matemático, por el tiempo que llevan insertos en la lengua. Palabras como número, triángulo y círculo, por ejemplo, existen desde tiempos de los griegos clásicos o los romanos del Imperio, y su uso común, en general, es también el de la matemática. Ello no impide que puedan tener otras acepciones, incluso metafóricas; por ejemplo, a un grupo de personas relacionadas por ideas u orientaciones estéticas, políticas, etc., se les llama círculo; así, el Círculo de Viena (Wiener Kreis, en alemán) fue un movimiento científico y filosófico (1922-1936) en el que tuvo gran influencia el Tractatus logico-philosophicus, de Ludwig Wittgenstein, y que promocionó las primeras obras de Karl Popper. Otro ejemplo es el de palabra caos, la cual, proviniendo de la teogonía griega primitiva, entró a las religiones judeo-cristianas y pasó luego a indicar el desorden en general. Ahora tiene un significado científico más o menos preciso y está a punto de entrar en el terreno de la mística. Esta observación sobre el sentido general de palabras provenientes de la matemática en otros contextos no se hace para desmerecer dicho uso, sino para evitar caer en confusiones conceptuales. El ejemplo más claro de esta eventual confusión es el de la palabra proximidad o cercanía (que quizá debería traducirse por entorno). Con esa expresión, en el libro de Piaget e Inhelder se hace referencia a la percepción global de los objetos y sus partes (que están “en proximidad”), mientras que en topología tiene un significado más restringido y abstracto, como se verá más adelante. En este caso puede haber una segunda confusión que es rotundamente aclarada en el libro: la proximidad no hace referencia a la cercanía en el sentido de distancia, sino a la estructuración de “elementos pertenecientes al mismo campo perceptual.”

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a) Los espacios (conjuntos) en los que están bien definidas “vecindades” (cercanías, entornos) para cada uno de sus puntos. b) Las funciones (relaciones, correspondencias) que conservan las vecindades (las cercanías). A puntos cercanos les corresponden puntos cercanos.

Leonard Euler (1707-1783).

Incluso, muchas veces una palabra inventada en un contexto lingüístico determinado pasa a tener traducciones no precisas en otras lenguas y en el “ir y venir” de un idioma a otro surgen variadas confusiones. Este proceso se sufre actualmente con la palabra inglesa numeracy, traducida como “alfabetización numérica” por unos, “competencias numéricas” por otros, y ha pasado a tener significados distintos del original, según las escuelas pedagógicas u orientaciones ideológicas que las utilicen. En estos casos, mejor es introducir un neologismo como numerización para evitar toda transposición deformante.

Orígenes de la topología La topología es una rama de la matemática que estudia: 3

Titulado, en latín, Solutio problematic ad Gemetrian Situs Pertinentis (autore Leonh. Eulero): “Solución de un problema vinculado a la geometría de la posición”.Wilhem Leibniz (1646-1716), citado por Euler, es el famoso filósofo, matemático, racionalista alemán, nacido en Leipzig.

Se denomina espacio topológico y función continua a cada uno de los objetos antes referidos. Desde ya insistimos en aclarar que estos artículos no pretenden tener total rigor, sino explicar el significado matemático de los términos usados por la escuela piagetiana, independientemente de que ésta sea o no la acepción con la que la usó el psicopedagogo y filósofo suizo. Se suele decir que la topología es la “geometría de los trozos de hule (goma elástica)”, puesto que se puede dibujar en tales trozos, estirar, deformar, apretar –sin romperlos–, manteniendo las propiedades topológicas de tales dibujos. Parece evidente que con tales deformaciones –que son un modelo sencillo, en superficies, para las funciones continuas– las distancias, los ángulos, el paralelismo no se mantienen; pero sí se mantienen las ideas de frontera, de corte entre curvas, de encerramiento, de orden, etcétera. Fue el matemático y físico suizo Leonard Euler (1707-1783), que entonces trabajaba en la corte rusa, quien dio presentación formal a algunos aspectos de la topología tal como hoy se la concibe. Esto fue realizado en un famoso estudio sobre los puentes de Königsberg, ciudad alemana-rusa (también llamada Kaliningrado) en cuya universidad trabajó, más o menos contemporáneamente, el filósofo alemán Emmanuel Kant (1721-1804). En la introducción a ese trabajo3 (presentado en la Academia de San Petersburgo en 1735, y publicado en Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8, 1741, pp. 128-140) escribió Euler:

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Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte hasta entonces desconocida, fue Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar sólo de la posición y de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta el cálculo de las cantidades […]. Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecía realmente de geometría, pero estaba presentado de tal manera que no precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición.

¿Cuál era el problema estudiado por Euler? La ciudad de Königsberg era atravesada por un río, que luego de formar una isla se dividía en dos ramas. Siete puentes permitían ir de un lado a otro y la gente se preguntaba si era posible caminar por la ciudad pasando una sola vez por cada puente. El trabajo de Euler no sólo mostró que la respuesta es negativa, sino que generalizó el problema a otros tipos de recorridos (ver fig. 2). El concepto de espacio topológico comenzó a formalizarse 150 años después, con las ideas de superficies conexas (B. Riemann, 1822-1866) en 1851, la idea de curva cerrada simple por C. Jordan (1838-1922) y las definiciones de punto interior, frontera y de acumulación para espacios euclidianos, por G. Cantor (1845-1918). Las ideas de conexión son reformuladas, de una manera totalmente rigurosa, por H. Poincaré (1854-1912) en una serie de trabajos de 1895, en que reaparece la expresión Análisis Situs, originalmente introducida por Leibniz. Es entre 1906 y 1914, con trabajos de M. Fréchet (1878-1973), H. Weyl (1885-1955) y F. Hausdorff (1868-1942), que el actual concepto de espacio to-

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Figura 1. Primera página del trabajo seminal de Euler, aparecido en Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 1741.

pológico toma su forma definitiva. Fue Hermann Weyl quien sugirió el uso de “vecindades” para definir los espacios topológicos. Esta palabra tuvo traducciones diferentes en los diversos idiomas: entorno, neighborhood, vicinhanca, voisinage, etcétera.

¿Qué es un espacio topológico? Consideremos un conjunto cualquiera al que llamaremos X, por comodidad. Tomemos una familia bien definida de subconjuntos de X. Es decir, elegimos en X, diversas partes de él. Éstas se pueden intersecar, ser disjuntas, incluir a todo el conjunto (que es una parte de sí mismo), etc. Esta familia debe satisfacer ciertas propiedades simples que describiremos, en primer lugar, a través de un ejemplo, y luego, en un segundo artículo, en general. Denotaremos con la letra griega omega, 1, a esa familia. Cada

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Figura 2. Diagrama del río que pasa por Königsberg y sus puentes, que aparece en el trabajo seminal de Euler (ver fig. 1).

elemento del conjunto total será llamado punto, y los conjuntos de la familia son agrupamientos de tales puntos, partes del conjunto total. Habitualmente representamos el conjunto X como una parte encerrada del plano, y dibujamos diversos subconjuntos trazando curvas que encierran partes de X (ver fig. 3). Comencemos con un ejemplo muy interesante, y que está en los orígenes de diversas formalizaciones en matemática, incluida la topología. Es el del conjunto formado por los puntos de la (una) recta. Tomamos segmentos sin incluir sus extremos, o sea lo que habitualmente se denomina segmento abierto o intervalo abierto. Ya se verá que la palabra abierto pasa a tener un significado mucho más general en el marco de la topología abstracta. Para ayudar a la comprensión de este ejemplo, consideremos simultáneamente la recta numérica (esto quiere decir que tenemos un cero y un uno marcados en la recta, y de esa manera podríamos “marcar” todos los números y tener

una correspondencia biunívoca entre los puntos y los números reales) (ver fig. 4). Debe quedar claro que no es necesario tener la recta numérica para hacer todas estas explicaciones, pero ayuda. En término de números, cada uno de aquellos intervalos abiertos son conjuntos de la forma (a, b), que son los números reales que están entre a y b o sea los números mayores que a y menores que b (estamos suponiendo siempre a < b). Esto suele escribirse, resumidamente así: (a, b) = {x: número real, a < x < b}. Obsérvese que a y b pueden ser menos y más infinito, o sea los “extremos” izquierdo y derecho de la recta. “Izquierda” y “derecha” se refieren aquí al orden con que habitualmente se suelen dibujar estas cosas, y con el que nosotros representaremos los números en estos artículos (ver fig. 5). Tomemos ahora la familia formada por la unión de cualquier cantidad numerable de estos segmentos. Un conjunto es numerable si se puede adjudicar un número natural distinto a

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D C

cada uno de sus elementos. Esto significa que podemos tomar: • ningún segmento, • un segmento, • cualquier cantidad finita de segmentos, pero también • una cantidad “infinita numerable” de ellos. De acuerdo a lo explicado anteriormente, esto significa que son infinitos segmentos y a cada uno de ellos se le puede adjudicar un número natural, que lo “numera”. Veamos que esta familia formada por uniones numerables de segmentos satisface estas tres propiedades: 1. La unión de cualquier cantidad numerable de esos conjuntos también está en la familia. 2. La intersección de dos de ellos, también. 3. El todo (o sea el conjunto formado por todos los puntos) y el vacío (el conjunto formado por ningún punto) forman parte de la familia original. Esto se escribe X ¡ 1 (X pertenece a omega), Ø ¡ 1 (el vacío pertenece a omega), respectivamente. El conjunto de todos los números reales (de todos los puntos de la recta) es un subconjunto de

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Figura 3. D interseca a todos los demás subconjuntos de X. C y E intersecan sólo a D. A interseca a D y B.

la familia de segmentos (es el segmento que va de -infinito a +infinito), el vacío también porque el segmento (a, a) no contiene ningún número real. Por tanto se cumple la propiedad 3 antes aludida. De igual manera, la intersección de dos segmentos es otro segmento o el vacío. Veamos: sean los segmentos (a,b) y (c,d), a coincide con c {a = c} o está a la derecha {c < a} o a la izquierda de c {a < c}. Supongamos que a está a la izquierda de c (los otros casos se analizan de la misma manera), entonces puede suceder una de estas tres situaciones: • si c < b < d, entonces la intersección es el segmento (c, b); • si d < b, la intersección es el segmento (c, d); por último, • si b < c, la intersección es vacía. Este razonamiento, que se extiende a la intersección de cualquier cantidad finita de elementos de 1, muestra que se cumple la propiedad 2. Dado que hemos tomado como conjunto 1 cada una de las uniones de segmentos, es claro que se cumple la propiedad 1: la unión de cualquier cantidad numerable de uniones de segmentos da una unión numerable de segmentos. Por tanto, la familia 1 de subconjuntos de la recta

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Figura 4

Figura 5

) b

(

)

(a, b)

( a

(c, d) = (c, b)

Recta orientada, en la que figura un intervalo (a, b) que contiene al punto que representa al número uno.

Intersección de dos segmentos; la interesección de (a, b) y (c, d) es (c, b).

Figura 6

Figura 7

(

)

(

-1/n

) 0

1/n

Sucesión de entornos abiertos (a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), … incluidos unos dentro de otros, que “convergen” a P.

Los intervalos (-1/n, 1/n), entorno del cero. Cuando n se hace cada vez más grande, los intervalos se hacen cada vez más pequeños, se dice que “tienden” al cero.

formada por todas las uniones de segmentos es una topología en la recta. Esta familia verifica los propiedades 1, 2 y 3 antes indicadas. Cada punto de la recta tiene un abierto que lo contiene, porque por lo menos el abierto X ¡ 1 lo contiene. Se dice que un abierto, un elemento de 1, que contiene un punto de X, es un entorno o una vecindad de ese punto. Y aquí estamos llegando a Piaget, finalmente. Es claro que el caso interesante es cuando cada punto de X contiene muchas vecindades, cada vez más cercanas al punto. O sea que se tiene una sucesión de entornos, unos metidos dentro del otro, que convergen hacia el punto en cuestión (ver fig. 6). En la recta numérica, cada punto tiene infinitos entornos que lo contienen. Por ejemplo, si el punto es el cero, es claro que los puntos -1/n y 1/n, a izquierda y derecha del cero definen intervalos cada vez más pequeños alrededor del cero (ver fig. 7). Si expresáramos que ese segmento tiene

longitud 2/n nos estaríamos saliendo de la topología. La afirmación es cierta, una vez que hubimos establecido una unidad de medida entre el cero y el uno, pero en topología no se miden distancias entre puntos. Ruego aquí releer la cita de Euler en la que se indica que se quiere evitar “el cálculo de las cantidades”. Si quisiéramos bien definir todos estos conceptos, la matemática de este artículo se complicaría demasiado. En ese caso, deberíamos comenzar a explicar más profundamente algunas de las concepciones de Piaget, porque las propiedades topológicas y métricas (distancias, cercanías, etc.), comienzan a entrelazarse. Pero ello está muy lejos de los propósitos esta serie.4

En la siguiente entrega de esta serie, daremos la definición abstracta de espacio topológico y del concepto de separación.

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Educación matemática en los Países Bajos: UN RECORRIDO GUIADO* Marja van den Heuvel-Panhuizen 1

El artículo que presentamos a continuación

forma parte del proyecto de Correo del Maestro de poner al alcance de los profesores obras de actualización en temas de enseñanza de las matemáticas. Agradecemos a la doctora Marja van den HeuvelPanhuizen, autora del presente ensayo, su entusiasmo por colaborar y el permitirnos hacer llegar su trabajo a lectores de habla hispana. Si bien el artículo se ocupa de la educación matemática en los Países Bajos, éste es sumamente útil para reflexionar sobre cómo aprenden matemáticas los niños, sobre cómo éstas deberían enseñarse, y sobre lo que sucede en ese ámbito en nuestro sistema educativo.

1 Introducción Este artículo se ocupa de la educación matemática en los Países Bajos, y ofrece un recorrido guiado por los aspectos principales del sistema holandés de educación en esta disciplina. El título del artículo se refiere, asimismo, a los aspectos de orientación de la educación matemática, al papel del profesor y al del currículo. El recorrido se enfocará en la enseñanza del número en la escuela primaria. Las dos preguntas principales de las que nos ocuparemos son: 1. ¿Cómo se enseña aritmética en la escuela primaria en los Países Bajos? 2. ¿Qué contiene el currículo holandés de aritmética? Hace alrededor de quince años, la primera pregunta fue investigada también en un estudio llamado Cómo hacen aritmética los holandeses 2 (Van den HeuvelPanhuizen y Goffree, 1986). En comparación con el enfoque de la investigación

* Traducido del inglés por Héctor Escalona en colaboración con Correo del Maestro. 1

Referencia bibliográfica: Marja van den Heuvel-Panhuizen, Mathematics education in the Netherlands: A guided tour. Instituto Freudenthal, CD-ROM para ICME9, Universidad de Utrecht, Utrecht, 2000. Una primera versión de este artículo se presentó en la Conferencia de Investigación sobre “Enseñanza de la aritmética en Inglaterra y los Países Bajos” (Homerton College, Universidad de Cambridge, 26-27 de marzo de 1999). Una versión más breve de este artículo ha sido publicada en Anghileri (2001); véase Van den Heuvel-Panhuizen (2001). En holandés el título es Zo rekent Nederland.

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educativa que prevalecía en ese tiempo, éste fue un estudio bastante poco convencional. Se pidió a los profesores describir cómo enseñaban matemáticas en un día determinado, y sus informes por escrito tuvieron formato libre. Los profesores podían ocuparse de lo que fuera que les pareciese importante en relación con la enseñanza de las matemáticas impartida en ese día. Cada profesor era libre, además, para elegir el tema de las lecciones de matemáticas.3 Se analizaron en total 160 informes. Los trabajos de los profesores aportaron una visión exhaustiva de la práctica en el aula. También la manera de exponer las conclusiones de la investigación fue poco convencional: se presentaron los resultados mediante Portada del informe ‘Cómo hacen estampas de aula. Se utilizaron ejemplos tomados de los aritmética los holandeses’. informes de los profesores para ofrecer una imagen de la enseñanza de las matemáticas en la práctica. Además, se incluyeron notas sobre las conclusiones de la investigación en los márgenes de cada página. Se hicieron comentarios y se dieron explicaciones y opciones respecto a lo sucedido en las aulas. Las notas iban encaminadas a estimular a los lectores a reflexionar sobre su propia enseñanza y sobre la educación matemática en general. El panorama holandés de la educación matemática ha cambiado significativamente de quince años a la fecha,4 y las conclusiones de ese estudio han dejado de ser válidas. No obstante, hay motivos sólidos para volver a sacarlo a la luz. En primer lugar, fue una investigación eficaz que se pudo llevar a cabo con facilidad y generó información práctica útil. Los estudios de este tipo ofrecen una buena perspectiva de lo que ocurre en las aulas. En segundo lugar, los informes anotados de los profesores ayudan en el proceso de reforma y en la implantación de un sistema nuevo. Incitan a la reflexión y el análisis sobre la educación desde el punto de vista tanto práctico como teórico. El motivo principal para referirnos a este estudio, no obstante, es la advertencia que aportó. El análisis de los datos mostró una amplia diversidad en las prácticas de aula. Además, puso también al descubierto una discrepancia entre las ideas respecto a los métodos de enseñanza en el papel –la teoría de la enseñanza, por así 3

Desde luego, los profesores se muestran del modo más favorable. Esto, sin embargo, está habitualmente prohibido en la investigación educativa. En general, una muestra de las actividades en el aula debe ser representativa; pero, ¿se puede conseguir esto en algún momento? En vez de esforzarse por lograr esto, el estudio reflejó con precisión lo que es posible alcanzar en la práctica en el aula desde la perspectiva de los profesores. Al adoptar este punto de vista, la investigación mostró dónde podrían comenzar las posibles mejoras. En comparación con el presente, hace quince años se hacía más hincapié en las conexiones con la realidad. En general, se buscaba más la matematización horizontal que la matematización vertical.

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decirlo– y lo que ocurría en el aula, o al menos lo que se decía que ocurría en el aula.5 Se debe tener en cuenta estos hechos durante el recorrido guiado, que no va a llevar a los lectores a las aulas o a proporcionarles una muestra de la práctica holandesa en el aula, sino más bien a presentarles el marco teórico de la enseñanza de las matemáticas y las actividades didácticas acordes con estas ideas. Desde luego, este recorrido guiado no puede ofrecer una visión exhaustiva del sistema holandés de educación matemática. Éste es demasiado complejo, y además –y esto podría sorprender a más de uno– la dificultad reside en que no existe un sistema holandés unificado. En su lugar, hay ciertas ideas comunes acerca del qué y el cómo básicos de la enseñanza de las matemáticas. Estas ideas han sido perfeccionadas a lo largo de los últimos treinta años, y la acumulación y repetida revisión de estas ideas ha dado como resultado lo que hoy se conoce como Educación Matemática Realista (EMR). Durante este periodo se ha hecho hincapié en diferentes aspectos6 del marco teórico que sirve de guía para el trabajo holandés de investigación teórica y aplicada en el campo de la educación matemática.7 Junto con esta diversidad, el marco teórico mismo está sujeto a un proceso constante de renovación. Inherente a la EMR, con su idea básica de las matemáticas como actividad humana, está el concepto de que la EMR nunca podrá ser considerada una teoría fija o acabada de la educación matemática. La EMR se considera una obra en marcha (Van den Heuvel-Panhuizen, 1998). El acento en diferentes aspectos es el motor de este desarrollo continuo. 5

El estudio MORE también puso de manifiesto esta discrepancia (véase Gravemeijer, Van den HeuvelPanhuizen,Van Donselaar, Ruesink, Streefland,Vermeulen,Te Woerd y Van der Ploeg, 1993). Una diferencia en cuanto a énfasis es, por ejemplo, que algunos representantes de la EMR hacen más hincapié en el aprendizaje constructivo y otros insisten más en el punto de vista de la enseñanza reconstructiva. Para conocer más sobre la investigación teórica y aplicada en relación con la EMR, véase el trabajo de Koeno Gravemeijer presentado en esta conferencia.

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Además de estas actividades nacionales, también se aprendió mucho de lo que sucedía en el exterior. La EMR no es una innovación aislada, y tiene mucho en común con otros movimientos de reforma en matemáticas. Esto significa que en la EMR el lector podrá reconocer similitudes con sus propias ideas sobre cómo enseñar y aprender matemáticas. Puede haber también ciertas diferencias. Insistimos en que vale la pena reflexionar sobre ellas para buscar pistas sobre cómo mejorar más en el qué y el cómo de la educación matemática.

2 EMR: el sistema holandés de educación matemática Historia y filosofía básica El desarrollo de lo que hoy se conoce como EMR inició alrededor de 1970. Los cimientos fueron colocados por Freudenthal y sus colegas del antiguo IOWO, el predecesor más remoto del Instituto Freudenthal. El impulso actual en pro del movimiento de reforma fue el comienzo del proyecto Wiskobas, puesto en marcha por Wijdeveld y Goffree. El primer mérito del proyecto consistió en que la educación matemática holandesa no fue afectada por el movimiento de la Matemática Moderna (New Math). La forma actual de la EMR ha sido determinada, en su mayor parte, por el punto de vista de Freudenthal (1977) respecto a las matemáticas. Freudenthal sentía que las matemáticas deben tener conexión con la realidad, mantenerse apegadas a la experiencia de los niños y ser pertinentes a la sociedad para que tengan valor humano. En vez de ver las matemáticas como una asignatura por transmitir, Freudenthal insistió en la idea de las matemáticas como actividad humana. Las clases de matemáticas deben dar a los estudiantes la oportunidad guiada de re-inventar las matemáticas haciéndolas. Esto significa que, en la educación matemática, el foco de atención no debe ser las matemáticas como un sistema cerrado, sino la actividad, el proceso de matematización (Freudenthal, 1968). Más tarde, Treffers (1978, 1987) formuló explícitamente la idea de dos tipos de matematización en un contexto educativo: distinguió entre la matematización horizontal y la vertical. En términos generales, se puede entender estos dos tipos como sigue: en la matematización horizontal los estudiantes crean herramientas matemáticas que les ayudan a organizar y resolver un problema planteado en una situación de la vida real. La matematización vertical es el proceso de reorganización dentro del sistema matemático mismo; por ejemplo: hallar atajos y descubrir conexiones entre conceptos y estrategias, y después aplicar estos descubrimientos. Así pues, la matematización horizontal implica pasar del mundo de la vida al mundo de los símbolos, en tanto que la matematización vertical significa moverse dentro del mundo de los símbolos (véase también

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Freudenthal, 1991). Aunque en esta distinción no parece haber ninguna ambigüedad, Freudenthal afirma que ello no significa que la diferencia entre estos dos mundos esté perfectamente definida. También insistió en que estas dos formas de matematización son de igual valor. Además, se debe tener en mente que la matematización puede tener lugar en diferentes niveles de comprensión.

Mala interpretación de realista Pese a esta clara afirmación respecto a la matematización horizontal y la vertical, la EMR llegó a conocerse como “educación matemática del mundo real”. Esto se dio especialmente fuera de los Países Bajos, pero hubo la misma interpretación dentro de ellos. Hay que aceptar, entonces, que el nombre de Educación Matemática Realista origina cierta confusión a este respecto. Sin embargo, el motivo por el que se llamó realista a la reforma holandesa de la educación matemática no es sólo por su conexión con el mundo real, sino que guarda relación con la insistencia de la EMR en ofrecer a los estudiantes situaciones problema que ellos pueden imaginar. La traducción holandesa de imaginar es “zich REALISEren”. Esta insistencia en hacer que algo sea real en la propia mente dio a la EMR su nombre. En cuanto a los problemas que se presentan a los estudiantes, esto significa que el contexto puede provenir del mundo real, pero ello no es siempre necesario. El mundo de fantasía de los cuentos de hadas, o incluso el mundo formal de las matemáticas, aportan contextos idóneos para un problema en tanto éstos sean reales en la mente del estudiante.

3 Cómo intentan los holandeses enseñar aritmética en la escuela primaria La EMR refleja cierto punto de vista sobre las matemáticas como asignatura, sobre cómo aprenden matemáticas los niños y sobre cómo se deberían enseñar las matemáticas (Van den Heuvel-Panhuizen, 1996). Es posible caracterizar estos puntos de vista en términos de los seis principios siguientes.8 Algunos de ellos tienen su origen en el punto de vista del aprendizaje y otros están más estrechamente ligados con la perspectiva de la enseñanza. La lista que sigue es una mezcla de principios, donde cada uno refleja una parte de la identidad de la EMR.

Esta lista de principios es una versión adaptada de los cinco dogmas del marco para la teoría de instrucción de la EMR que distinguió Treffers (1987): “exploración fenomenológica por medio de contextos”, “tender puentes con instrumentos verticales”,“construcciones y producciones propias de los alumnos”, “instrucción interactiva” y “entrelazamiento de líneas de aprendizaje”. Los primeros tres principios descritos en esta sección tienen consecuencias importantes para la evaluación de la EMR (véase Van den Heuvel-Panhuizen, 1996).

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1. Principio de actividad Es claro que la idea de matematización se refiere al concepto de las matemáticas como una actividad que, según Freudenthal (1971, 1973), se aprende mejor haciendo (véase también Treffers, 1978, 1987). Los estudiantes, en vez de ser receptores de matemáticas ya hechas, son tratados como participantes activos en el proceso educativo, en el cual desarrollan toda clase de herramientas y discernimientos matemáticos por sí mismos. Según Freudenthal (1973), utilizar currículos estructurados científicamente, donde los estudiantes se enfrentan a las matemáticas ya hechas, es una “inversión antididáctica”. Se basa en la falsa suposición de que los resultados del razonamiento matemático, colocados en un marco temático, pueden ser transferidos de manera directa a los estudiantes. El principio de actividad significa que los estudiantes se enfrentan a situaciones problema en las cuales, por ejemplo, pueden producir fracciones y, poco a poco, desarrollar una forma algorítmica de multiplicar y dividir, con base en un modo informal de trabajar. En relación con este principio, las “producciones propias” desempeñan un importante papel en la EMR.

2. Principio de realidad Como en la mayoría de los sistemas de educación matemática, la EMR busca que los estudiantes sean capaces de aplicar las matemáticas. La meta global de la educación matemática es que los estudiantes utilicen su comprensión y herramientas matemáticas para resolver problemas. Esto implica que deben aprender “las matemáticas de modo que sean útiles” (véase Freudenthal, 1968). En la EMR, no obstante, este principio de realidad no sólo es reconocible al término del proceso de aprendizaje en el campo de aplicación; también se concibe la realidad como una fuente para aprender matemáticas. Así como las matemáticas surgieron de la matematización de la realidad, así también el aprendizaje de las matemáticas debe tener su origen en la matematización de la realidad. Incluso en los primeros años de la EMR se insistía en que, si los alumnos aprendían matemáticas de forma aislada, divorciada de sus experiencias, las olvidarían rápidamente y no serían capaces de aplicarlas (Freudenthal, 1973, 1971, 1968). En vez de comenzar con ciertas abstracciones o definiciones que se aplicarán más tarde, hay que partir de contextos ricos que demanden una organización matemática o, en otras palabras, contextos que puedan ser matematizados (Freudenthal, 1979, 1968). De este modo, mientras trabajan sobre problemas de contexto, los estudiantes desarrollan herramientas matemáticas y la comprensión.

3. Principio de nivel Aprender matemáticas significa que los estudiantes pasan por diversos niveles de comprensión: de la capacidad para inventar soluciones informales relaciona-

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das con un contexto, a la creación de diversos niveles de atajos y esquematizaciones, a la adquisición de una comprensión de los principios subyacentes y el discernimiento de relaciones más amplias. La condición para llegar al siguiente nivel es la capacidad para reflexionar sobre las actividades realizadas. Esta reflexión puede ser suscitada por interacción. Los modelos sirven como un importante recurso para salvar esta distancia entre las matemáticas informales, relacionadas con contextos, y las matemáticas más formales. Primero, los estudiantes desarrollan estrategias estrechamente ligadas al contexto. Más adelante, ciertos aspectos de la situación de contexto pueden hacerse más generales, lo que significa que el contexto adquiere más o menos el carácter de un modelo y, como tal, ofrece un apoyo para resolver otros problemas relacionados. Finalmente, los modelos dan a los estudiantes acceso a un conocimiento matemático más formal. Para que cumplan con la función de tender puentes entre los niveles informal y formal, los modelos deben pasar a ser, de un “modelo de” una situación específica, a un “modelo para” todo tipo de otras situaciones equivalentes.9 El contexto del autobús es un ejemplo de la vida diaria capaz de evolucionar hacia un nivel más general y formal. En un principio, se utiliza la ilustración para describir los cambios en la parada de autobús (véase fig. 1). Más tarde el contexto del autobús se convierte en un “modelo para” entender todo tipo de enunciados numéricos, y después los estudiantes pueden ir mucho más allá del contexto real del autobús. Incluso son capaces de utilizar el modelo para razonar retrospectivamente (véanse los últimos dos enunciados de la fig. 2).

entran

salen

Parada

Figura 1. En la parada de autobuses.Tomado de Streefland, 1996, pp. 15 y 16.

Fue Streefland quien, en 1985, detectó el cambio en los modelos como mecanismo crucial en el crecimiento de la comprensión. Más adelante, esta idea de un paso del “modelo de” al “modelo para” llegó a ser un elemento importante dentro del razonamiento de la EMR sobre el adelanto de los estudiantes en su comprensión de las matemáticas (véase Streefland, 1991;Treffers, 1991; Gravemeijer, 1994; Van den Heuvel-Panhuizen, 1995).

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dentro

fuera diferencia al menos de -6 o más

Figura 2. Dos enunciados numéricos.Tomado de Streefland, 1996, p. 17.

Un requisito importante para que los modelos funcionen de esta forma es que estén arraigados en situaciones concretas y que sean también suficientemente flexibles para ser útiles a niveles más altos de actividades matemáticas. Esto significa que los modelos proporcionarán a los estudiantes un punto de apoyo durante el proceso de matematización vertical, sin obstruir el camino de regreso a la fuente. La fortaleza del principio de nivel es que orienta el crecimiento en comprensión matemática y confiere coherencia longitudinal al currículo. Esta perspectiva de largo plazo es característica de la EMR. Se pone mucha atención a la relación entre lo que se aprendió antes y lo que se aprenderá después. Un ejemplo muy claro de un modelo longitudinal de este tipo es la línea numérica. Comienza en el primer grado como a) un collar de cuentas en el que los estudiantes practican toda clase de actividades de contar. En grados superiores, esta cadena de cuentas se transforma sucesivamente en b) una línea numérica vacía para apoyar sumas y restas,10 c) una doble línea numérica como apoyo en problemas sobre razones y d) una barra de fracción/porcentaje para apoyar el trabajo con fracciones y porcentajes (véase fig. 3).

4. Principio de entrelazamiento Es también característico de la EMR que las matemáticas, como asignatura escolar, no están separadas en ejes distintos de aprendizaje. Desde una perspectiva matemática más profunda, no es posible separar los capítulos dentro de las

Véase el trabajo presentado en esta conferencia por Julie Menne sobre su programa de “Saltar hacia adelante” para estudiantes de bajo aprovechamiento en los primeros grados.

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minutos

kilómetros

Figura 3. Diversas formas de presentar la línea numérica.

matemáticas. Más aún, resolver problemas de contexto rico suele significar que uno tiene que aplicar una amplia variedad de herramientas y discernimientos matemáticos. Por ejemplo, si los niños deben estimar el tamaño de la bandera que se representa en la figura 4, esta estimación implica no sólo mediciones, sino además razones y geometría. De igual forma, la actividad del espejo de la figura 5 muestra claramente cómo pueden ir de la mano la geometría y la aritmética elemental. La fortaleza del principio de entrelazamiento reside en que confiere coherencia al currículo. Este principio tiene que ver no sólo con la relación mutua entre los diferentes capítulos de las matemáticas; también se lo encuentra en las distintas partes de un mismo capítulo. En el eje de números, por ejemplo, temas como el sentido numérico, la aritmética mental, la estimación y los algoritmos están estrechamente relacionados; esta cuestión se considera con más detenimiento en una sección ulterior. Figura 4. Problema de la bandera.

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Figura 5. Reflejar y contar.Tomado de Treffers,Van den HeuvelPanhuizen y Buys, 1999.

5. Principio de interacción Dentro de la EMR, se considera el aprendizaje de las matemáticas como una actividad social. La educación debe ofrecer a los estudiantes oportunidades para darse a conocer unos a otros sus estrategias e inventos. Al escuchar lo que otros averiguan y comentar estos hallazgos, los estudiantes toman ideas para mejorar sus estrategias. Más aún, la interacción suscita reflexión, lo que permite a los estudiantes alcanzar un nivel más elevado de comprensión. La trascendencia del principio de interacción implica que la enseñanza a clases completas desempeña un importante papel en el enfoque EMR de educación matemática. Sin embargo, esto no significa que la clase entera avanza colectivamente y que todos los estudiantes siguen el mismo camino y alcanzan igual nivel de desarrollo al mismo tiempo. Por el contrario, dentro de la EMR se considera a los niños como individuos, cada uno de los cuales sigue una senda individual de aprendizaje. Este punto de vista sobre el aprendizaje suele desembocar en peticiones de dividir las clases en grupos pequeños de estudiantes, cada uno de los cuales sigue su propia trayectoria de aprendizaje. En la EMR, no obstante, hay una fuerte preferencia por mantener junta la clase como unidad de organización11 y por adaptar en cambio la educación a los diferentes niveles de habilidad de los estudiantes. Esto se puede hacer dando a los estudiantes problemas susceptibles de ser resueltos en diferentes niveles de comprensión.

6. Principio de orientación Uno de los principios fundamentales de Freudenthal (1991) para la educación matemática es que ésta debe dar a los estudiantes una oportunidad orientada de re-inventar las matemáticas. Esto implica que en la EMR tanto los profesores como los programas educativos desempeñan un papel crucial en cómo adquieren cono11

Dentro de la estructura de mantener junto al grupo, es posible aplicar diversos métodos de enseñanza que van desde la enseñanza a clases completas hasta el trabajo en grupo y el trabajo individual.

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cimientos los estudiantes. Profesores y programas conducen el proceso de aprendizaje, pero no de una forma fija mostrando a los estudiantes lo que deben aprender. Esto entraría en conflicto con el principio de actividad, y daría lugar a una pseudocomprensión. En cambio, los estudiantes necesitan espacio para construir herramientas y discernimientos matemáticos por cuenta propia. A fin de alcanzar esta deseable condición, los profesores deben proporcionar a los estudiantes un ambiente de aprendizaje en el cual pueda surgir el proceso de construcción. Un requisito es que los profesores deben ser capaces de prever dónde y cómo anticipar los discernimientos y destrezas de los estudiantes, que apenas asoman en el horizonte (véase también Streefland, 1985). Los programas educativos deben contener escenarios que tienen el potencial de funcionar como palancas para cambiar la comprensión de los estudiantes. Respecto a estas situaciones, es importante que retengan siempre la perspectiva de la trayectoria de enseñanza-aprendizaje de largo plazo con base en las metas deseadas. Sin esta perspectiva, no es posible orientar el aprendizaje de los estudiantes. Si bien en el nivel microdidáctico la EMR tiene mucho en común con el enfoque constructivista de educación matemática, en el nivel macrodidáctico del currículo se hacen evidentes ciertas diferencias importantes. De hecho, el enfoque constructivista carece de un nivel macrodidáctico en el que se tomen decisiones respecto a las metas de educación y trayectorias de enseñanza-aprendizaje que es necesario cubrir para alcanzar estas metas. A diferencia de la EMR, el enfoque constructivista es más una teoría del aprendizaje que una teoría de la educación. El principio de orientación conduce a las ideas de currículo de la EMR.

4 ¿Cuáles son los factores que determinan el currículo holandés de matemáticas? A diferencia de otros países, en el nivel de escuela primaria de los Países Bajos no se toman decisiones centralizadas respecto a programas de estudios curriculares, libros de texto o exámenes (véase Mullis et al., 1997). Nada de esto requiere la aprobación del gobierno holandés. Por ejemplo, las escuelas deciden qué series de libros de texto utilizarán. Incluso pueden crear su propio currículo. En general, lo que se enseña en las escuelas primarias es, en su mayor parte, responsabilidad de los profesores y equipos escolares, y los docentes gozan de bastante libertad de enseñanza. Por citar algunos ejemplos más, los profesores tienen llave del edificio escolar, se les permite hacer cambios en sus horarios sin consultar al director de la escuela (que también suele impartir una clase) y, como último ejemplo, la recomendación del profesor al término de la escuela primaria, más que una prueba, es el criterio más importante para asignar un estudiante a un nivel determinado de educación secundaria.

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Pese a esta libertad para tomar decisiones en materia educativa –o probablemente habría que decir gracias a la ausencia de decisiones centralizadas en materia educativa–, los temas matemáticos que se enseñan en las escuelas primarias no difieren mucho entre sí. En general, todas siguen el mismo currículo. Esto da lugar a la pregunta: ¿qué es lo que éste determina? Hasta hace poco tiempo, había tres factores determinantes y fundamentales para el seguimiento macrodidáctico en la educación holandesa en matemáticas en la escuela primaria: • Las series de libros de texto de matemáticas. • El Proeve, un documento que recomienda el contenido matemático a enseñar en la escuela primaria. • Las metas fundamentales por alcanzar al término de la escuela primaria como las describe el gobierno.

4.1 El papel determinante de los libros de texto En la actual reforma mundial de la educación matemática, hablar sobre los libros de texto –para no mencionar su utilización– suele suscitar una asociación negativa. De hecho, muchos movimientos de reforma buscan deshacerse de los libros de texto. En los Países Bajos, no obstante, ocurre lo contrario. Aquí, el mejoramiento de la educación matemática depende en gran medida de los nuevos libros de texto. Éstos desempeñan un papel determinante en la educación matemática. De hecho, los libros de texto son los instrumentos más importantes que orientan la enseñanza de los profesores. Esto es cierto tanto respecto al contenido como a los métodos de enseñanza, si bien por lo que toca a los segundos la orientación que se ofrece no es suficiente para llegar a todos los profesores. Muchos estudios pusieron al descubierto indicios de que la implantación de la EMR en la práctica del aula todavía no es óptima (Gravemeijer et al., 1993; Van den Heuvel-Panhuizen y Vermeer, 1999). Este papel determinante de los libros de texto no significa, sin embargo, que los profesores holandeses sean prisioneros de sus libros de texto. Como se ha señalado, éstos gozan de bastante libertad de enseñanza, y las escuelas deciden qué series de libros de texto utilizarán. Actualmente, alrededor de 80% de las escuelas primarias holandesas usan una serie de libros de texto de matemáticas inspirada en mayor o menor medida en la EMR. En comparación con lo que ocurría hace diez o quince años, esta proporción ha cambiado significativamente. En ese tiempo, sólo la mitad de las escuelas trabajaba con una serie de libros de texto de este tipo (De Jong, 1986). Una serie de libros de texto es creada por editoriales comerciales. Los autores de los libros de texto son desarrolladores

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independientes de la educación matemática, pero llegan a emplear las ideas respecto a actividades didácticas producto de la investigación aplicada del Instituto Freudenthal (y sus predecesores) y del SLO, el Instituto Holandés para el Desarrollo del Currículo (Dutch Institute for Curriculum Development).

4.2 El Proeve: una descripción de dominios de las matemáticas de la escuela primaria Una ayuda importante en el desarrollo de los libros de texto es también la orientación que, desde mediados de la década de 1980, ha provenido de una serie de publicaciones llamadas el Proeve.12 Treffers es el principal autor de esta serie. En ella hay descripciones de los diversos dominios dentro de las matemáticas como asignatura escolar. El trabajo sobre el Proeve todavía está en curso, y en último término habrá descripciones respecto a todas las destrezas numéricas básicas, algoritmos escritos, razones y porcentajes, fracciones y números decimales, medición y geometría. Aunque el Proeve está escrito en un estilo fácil con muchos ejemplos, no ha sido redactado como una serie para profesores. En cambio, se pretende que sea un apoyo para los autores de libros de texto, educadores de maestros y asesores escolares. Por otra parte, muchos de estos expertos en educación matemática fueron, y todavía son, contribuyentes importantes a la realización de esta serie. Si se mira en retrospectiva el movimiento holandés de reforma de la educación matemática, se concluye que la reforma tuvo lugar de un modo interactivo e informal, sin interferencia del gobierno. En cambio, desarrolladores e investigadores, en colaboración con formadores de maestros, asesores escolares y profesores, idearon actividades didácticas y ejes de aprendizaje que más tarde se incluyeron en los libros de texto.

4.3 Metas fundamentales de la educación matemática Hasta hace poco tiempo no había una interferencia real del gobierno holandés en cuanto al contenido de los programas educativos. Había sólo una ley general que

El título completo de esta serie es Diseño de un programa nacional para la educación matemática en escuelas primarias [Proeve van een Nationaal Programma voor het reken- wiskundeonderwijs op de basisschool]. La primera parte de esta serie fue publicada en 1989 (véase Treffers, De Moor y Feijs, 1989). Adviértase que el título se refiere a un “programa nacional”, aunque no hubo interferencia por parte del gobierno.A los autores les agradó la idea de etiquetar esto como un programa nacional a fin de lograr un programa común; en este objetivo tuvieron éxito.

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contenía una lista de las asignaturas por enseñar. Qué temas debían enseñarse dentro de estas asignaturas era, casi totalmente, responsabilidad de los profesores y equipos escolares. Hace pocos años, no obstante, el criterio del gobierno cambió y, en 1993, el Ministerio Holandés de Educación propuso una lista de objetivos a lograr, llamados Metas fundamentales. Estas metas describen lo que los estudiantes deben aprender en cada asignatura al término de su estancia en la escuela primaria (a la edad de doce años). En cuanto a matemáticas, la lista contiene 23 metas, separadas en seis dominios (véase tabla 1). El contenido de la lista concuerda con los documentos del Proeve mencionados. En comparación con las descripciones de metas y programas de otros países, es notable que en esta lista no se mencionan ciertos temas matemáticos muy extendidos; por ejemplo, resolución de problemas, probabilidad, combinatoria y lógica. Otro rasgo sorprendente de esta lista es que sea tan simple. Ello significa que los profesores gozan de mucha libertad para interpretar las metas. Al mismo tiempo, sin embargo, esta lista no ofrece mucho apoyo a los profesores. En consecuencia, tuvo un trato de documento muerto: se guarda en un cajón cuando llega a la escuela. Con todo, esta primera lista de metas fundamentales fue importante para la educación matemática holandesa. La publicación de la lista por parte del gobierno confirmó y, de cierto modo validó, los cambios recientes del currículo holandés. Los cambios predominantes fueron los siguientes: • Debía ponerse más atención a la aritmética mental y la estimación. • Las operaciones formales con fracciones dejaron de ser medulares en el currículo; ahora los estudiantes deben hacer operaciones con fracciones sólo en situaciones de contexto. • Se incluyó oficialmente la geometría en el programa de estudio. • Y también el uso de la calculadora con discernimiento. Sin embargo, no todos estos cambios han sido incluidos en los libros de texto ni implantados en la práctica actual en el aula. Esto es especialmente cierto respecto a la geometría y al uso de calculadora. A partir de 1993 hubo debates acerca de estas 23 metas fundamentales (véase Wit, 1997). Casi todos coinciden en que estas metas nunca serán suficientes para apoyar las mejoras en la práctica de aula ni para comprobar el resultado de la educación. El gobierno concibe esto último como un poderoso instrumento para salvaguardar la calidad de la educación. Respecto a ambos propósitos, se juzgó que las metas fundamentales fracasaban. El simple hecho de enunciarlas no basta para alcanzarlas. Las metas fundamentales tampoco son apropiadas para poner a prueba el resultado de la educación. Se escucharon muchas quejas en el sentido de que no se habían formulado con la precisión suficiente para ofrecer patrones

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Tabla 1. Metas fundamentales en matemáticas en la escuela primaria holandesa Al terminar la escuela primaria, los estudiantes: 1

Pueden contar hacia adelante y hacia atrás con unidades que cambian

Pueden hacer tablas de suma y tablas de multiplicación hasta diez

Pueden resolver problemas fáciles de aritmética mental de forma rápida y con discernimiento de las operaciones

Pueden estimar calculando la respuesta de forma global, también con fracciones y decimales

Disciernen la estructura de los números enteros y el sistema de valor de posición de los decimales

Pueden utilizar la calculadora con discernimiento

Pueden convertir problemas simples, no presentados de forma matemática, en un problema matemático

Algoritmos escritos

Pueden aplicar los algoritmos estándar, o variaciones de éstos, a las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división en situaciones simples de contexto

Razón y porcentajes

Pueden comparar razones y porcentajes

Destrezas generales

Fracciones

Medición

Geometría

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Pueden resolver problemas simples de razón

Entienden el concepto de tanto por ciento y saben hacer cálculos prácticos con porcentajes presentados en situaciones simples de contexto

Entienden la relación entre razones, fracciones y decimales

Saben que las fracciones y los decimales pueden tener varios significados

Pueden localizar fracciones y decimales en una línea numérica y convertir fracciones en decimales; también con ayuda de una calculadora

Pueden comparar, sumar, restar, dividir y multiplicar fracciones simples en situaciones simples de contexto por medio de modelos

Pueden leer el tiempo y calcular intervalos de tiempo; también con ayuda de una calculadora

Pueden hacer cálculos con dinero en situaciones de contexto de la vida diaria

Disciernen la relación entre las cantidades más importantes y las correspondientes unidades de medición

Conocen las unidades corrientes de medición de longitud, área, volumen, velocidad, peso y temperatura, y pueden aplicarlas en situaciones simples de contexto

Pueden leer tablas y diagramas simples, y elaborarlos con base en sus propias investigaciones de situaciones simples de contexto

Dominan ciertos conceptos básicos con los cuales organizan y describen el espacio de un modo geométrico

Pueden razonar geométricamente utilizando bloques de construcción, planos de planta, mapas, imágenes y datos sobre ubicación, dirección, distancia y escala

Pueden explicar imágenes de sombra, combinar formas e idear e identificar recortables de objetos regulares

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de medida aplicables a las pruebas. Se escucharon estos argumentos no sólo en cuanto a las matemáticas, sino también en relación con todas las asignaturas de escuela primaria respecto a las cuales se formularon metas fundamentales.

4.4 Bosquejos de trayectorias longitudinales de enseñanza-aprendizaje: un nuevo factor para el seguimiento macrodidáctico Durante varios años no se vio con claridad qué dirección sería la elegida para mejorar las metas fundamentales: proveer ya sea una lista más pormenorizada de metas para cada grado expresadas en términos de funcionamiento, o bien, una descripción que apoyara a la enseñanza en vez de la pura aplicación de pruebas. En 1997, el gobierno optó tentativamente por la segunda y pidió al Instituto Freudenthal que las elaborara para las matemáticas. Esta decisión dio como resultado la puesta en marcha del Proyecto TAL14 en septiembre de 1997. El propósito de este proyecto, que el Instituto Freudenthal lleva a cabo conjuntamente con el SLO y el CED,15 es contribuir al mejoramiento de la práctica de aula, comenzando por la de los primeros grados. El motivo para comenzar en los grados de menor nivel fue que, al mismo tiempo, el gobierno tomó medidas para reducir el tamaño de los grupos en estos grados. Los productos del Proyecto TAL podrían llegar a ser con el tiempo, el cuarto factor orientador para el seguimiento macrodidáctico en la educación matemática de las escuelas primarias holandesas.

Para comenzar, un bosquejo de trayectoria sobre los números enteros El primer foco de atención del proyecto fue formular una descripción de una trayectoria de enseñanza-aprendizaje longitudinal sobre la aritmética de números enteros. La primera descripción para los grados inferiores (K1, K2 –preescolar 2 y 3 en México– y 1º y 2º grados de primaria)16 se publicó en noviembre de 1998. Le siguió la versión definitiva un año después (Treffers, Van den HeuvelPanhuizen y Buys (eds.), 1999). Ahora la atención se centra en la continuación de una trayectoria de números enteros para los grados superiores de la escuela primaria (de 3º a 6º grados), y recientemente se ha comenzado a formular una trayectoria de enseñanza-aprendizaje respecto a medición y geometría. En el futuro se formularán otros ejes respecto a fracciones, decimales y porcentajes. 14

TAL es una abreviatura en holandés que significa Metas Intermedias Anexas a Trayectorias de Enseñanza-Aprendizaje. El SLO es el Instituto Holandés para el Desarrollo de los Currículos, el CED es el Centro de Asesoría Escolar para la ciudad de Rotterdam. En un futuro cercano es probable que otros institutos participen también oficialmente en el Proyecto TAL. Estos grados cubren a los estudiantes de 4 a 8 años de edad.

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En la trayectoria de números enteros se interpreta la aritmética en un sentido amplio, que incluye conocimiento de los números, sentido numérico, aritmética mental, estimación y algoritmos. De hecho, se pretende que la descripción ofrezca una perspectiva general de cómo están relacionados estos elementos numéricos unos con otros, tanto en sentido longitudinal como de sección transversal.

Un nuevo enfoque de la descripción de metas como marco para apoyar la enseñanza Los pasos que los estudiantes darán (de una forma u otra) en su camino para alcanzar las metas al término de la escuela primaria son cruciales en los bosquejos de trayectoria, y pueden verse como metas intermedias. Como metas, no obstante, difieren en muchos aspectos de las descripciones habituales de las metas de fin de curso, que son demasiado rígidas para considerarlas idóneas como base directa para la aplicación de pruebas. De hecho, en varios sentidos los bosquejos propuestos de las trayectorias de enseñanza-aprendizaje son lo contrario de las descripciones de metas que tradicionalmente se supone que orientan la educación. En vez de descripciones no ambiguas de metas en términos conductuales, la trayectoria de enseñanza-aprendizaje brinda a los profesores un bosquejo más o menos narrativo de cómo puede realizarse el proceso de aprendizaje siempre y cuando se concrete en efecto un entorno educativo en particular. La descripción contiene muchos ejemplos, incluso videograbados en un disco compacto, del comportamiento y el trabajo de los estudiantes en relación con actividades medulares de la enseñanza. Dar a los profesores una perspectiva directa de cómo evoluciona la comprensión matemática de los niños de los grados Preescolar 1 al 2º grado de primaria (dado el caso hasta 6º grado) y de cómo contribuye la educación a este desarrollo es el propósito principal de esta alternativa a la insistencia tradicional en metas claras como el motor más potente para mejorar la práctica de aula. De ningún modo, sin embargo, se pretende que los bosquejos de trayectoria sean recetarios. Más bien se busca que proporcionen a los profesores un mapa mental educativo que puede ayudarles a hacer ajustes al libro de texto, de ser necesario. Otra diferencia respecto a la descripción tradicional de metas es que no hay una estructura de prerrequisitos estrictos. Además, los procesos de aprendizaje no se consideran un proceso continuo de pasos pequeños, ni se ve a las metas intermedias como una lista de comprobación para ver cuánto han avanzado los estudiantes. De hecho, un enfoque de este tipo descuida las discontinuidades del proceso de aprendizaje y no tiene en cuenta el grado en que la comprensión y el ejercicio de destrezas son determinados por el contexto y cuánto difieren ambos entre los individuos. En vez de una lista de comprobación de habilidades aisladas, los bosquejos de trayectoria procuran exponer con

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claridad cómo éstas se construyen, unas en relación con las otras. Lo que se aprende en una etapa es comprendido y ejecutado en un nivel más alto en una etapa siguiente.

La fuerza vinculante de los niveles y su uso didáctico Es esta característica de niveles del proceso de aprendizaje –un elemento constitutivo de la EMR– lo que da coherencia longitudinal a la trayectoria de enseñanzaaprendizaje. Otra implicación crucial de esta característica de niveles es que los estudiantes pueden comprender algo en niveles diferentes. En otras palabras, pueden trabajar sobre los mismos problemas sin hallarse en el mismo nivel de comprensión. La distinción de niveles en la comprensión, que puede tener apariencias diferentes en los distintos subdominios dentro del eje de los números enteros, es muy fructífera para trabajar en el adelanto de la comprensión de los niños. Ofrece puntos de apoyo para estimular este progreso.

Niveles de conteo como primer ejemplo Como ejemplo, podríamos considerar los niveles de conteo17 que han sido distinguidos respecto a la etapa inicial del desarrollo del concepto de número en el jardín de niños y el comienzo del 1er grado. Se han identificado los tres niveles siguientes (véase Treffers, Van den Heuvel-Panhuizen y Buys, eds., 1999): • conteo relacionado con contexto, • conteo ligado a objetos, • (hacia) un modo más formal de contar. Para explicar esta distinción de niveles y dar una idea de cómo puede utilizarse para hacer accesibles los problemas a los niños y provocar cambios en los niveles de habilidad, podemos pensar en la capacidad de conteo resultativo hasta diez. ¿Qué ocurre si a un niño no le dice nada la pregunta cuántos (véase fig. 6)? ¿Significa esto que el niño simplemente no es capaz de hacer un conteo resultativo? Si no es el caso, puede hacerse evidente si el profesor pasa a una pregunta relacionada con contexto, en vez de una pregunta simple de cuántos. Por ejemplo:

Figura 6. ¿Cuántos...?

• ¿Cuántos años tiene la niña? (refiriéndose a las velas de un pastel de cumpleaños) (véase fig. 7). • ¿Qué tan lejos puedes saltar? (refiriéndose a los puntos de un dado).

Para indicar que no hay una división estricta entre contar y calcular, en la trayectoria de enseñanzaaprendizaje la destreza de contar se llama “contar y calcular”.

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Figura 7. ¿Cuántos años...? Tomado de Treffers,Van den Heuvel-Panhuizen y Buys, eds., 1999, p. 26.

• ¿Qué tan alta es la torre? (refiriéndose a los bloques con los que está construida la torre). En las preguntas relacionadas con contexto, éste confiere significado al concepto de número. Este conteo relacionado con contexto antecede al nivel del conteo relacionado con objetos, en el que los niños manejan la pregunta directa cuántos en relación con un conjunto de objetos concretos sin referencia alguna a un contexto significativo. Más adelante, tampoco es ya necesaria la presencia de objetos concretos para responder preguntas de cuántos. Por la vía de la simbolización, los niños han alcanzado un nivel de comprensión en el que son capaces de lo que se podría llamar conteo formal, lo cual significa que pueden reflexionar sobre relaciones de números y que pueden hacer uso de este conocimiento.

Niveles de cálculo como segundo ejemplo Respecto al campo del cálculo inicial en el 1er grado (con números hasta 20), se han identificado los tres niveles siguientes (véase Treffers, Van den HeuvelPanhuizen y Buys, eds., 1999): • Calcular por conteo (o mediante conteo). Por ejemplo, calcular 7+6 depositando siete monedas de un florín y seis monedas de un florín y contando el total una por una. • Calcular por estructuración. Por ejemplo, calcular 7+6 depositando dos monedas de cinco florines y tres monedas de un florín. • Calcular formalmente (y con flexibilidad). Por ejemplo, calcular 7+6 sin usar monedas y utilizando el conocimiento que uno tiene sobre 6+6. Se mostrará cómo se manifiestan estos niveles en la práctica de aula en la lección del Restaurante que se analiza en la siguiente sección (véase §5.1). En grados más altos, cuando los estudiantes hacen cálculos en un nivel formal, se reconocen los niveles mencionados en las tres estrategias de cálculo para sumas y restas hasta 100:

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• La estrategia de salto (esta estrategia guarda relación con calcular por conteo; implica conservar el primer número como entero: 87-39=... 87-30=57; 57-7=50; 50-2=48). • La estrategia de separar los números en decenas y unidades (esta estrategia guarda relación con calcular por estructuración; implica hacer uso de la estructura decimal: 87-39=... 80-30=50; 7-7=0; 50-2=48). • Calcular con flexibilidad (esta estrategia implica hacer uso del conocimiento de relaciones numéricas y propiedades de las operaciones: 87-39=... 87-40=47; 47+1=48).

Niveles didácticos El discernimiento de estos niveles didácticos proporciona a los profesores un sólido pilar para tener acceso a cómo los niños comprenden y para trabajar sobre los cambios en la comprensión. Después de comenzar, por ejemplo, con preguntas relacionadas con contexto (“¿cuántos años tiene la niña?”), el profesor puede hacer a un lado el contexto gradualmente y llegar a las preguntas relacionadas con objetos (“¿cuántas velas tiene el pastel de cumpleaños?”). Las categorías de niveles respecto a los cálculos hasta 20 y 100 difieren notablemente, por ejemplo, de los niveles basados en tipos de problemas18 y de los niveles basados en el tamaño de los números por procesar. También se desvían de las distinciones más generales entre concreto y abstracto en los niveles de comprensión19 y de las distinciones de niveles que van desde realizar operaciones con números con base en materiales hasta procedimientos mentales, con la verbalización como estadio intermedio.20 Las ideas con las cuales se identifican más los niveles de TAL en los primeros grados se hallan en el trabajo de Donaldson (1978) y Hughes (1986).21 Hasta aquí hemos analizado algunas de las ideas principales en las que se basan los bosquejos de trayectoria. Como se ha señalado, el Proyecto TAL apenas comienza a trabajar en ellas. Aún no se sabe cómo funcionarán en la práctica escolar ni si realmente ayudan a los profesores. Sin embargo, las indagaciones realizadas hasta ahora (De Goeij, Nelissen y Van den Heuvel-Panhuizen, 1998; Groot, 1999; Slavenburg y Krooneman, 1999) nos dan una sensación general de que efectivamente ayudan a los profesores, y que la trayectoria de enseñanzaaprendizaje del TAL sobre la aritmética de números enteros para los primeros

19 20 21

Los tipos de problemas de CGI pueden considerarse ejemplos de distinción de niveles basada en tipos de problemas. Como los niveles piagetianos de crecimiento cognitivo. Como los niveles que distingue Galperin. Con todo, hay ciertas diferencias significativas entre sus ideas y las ideas del TAL sobre los niveles. Donaldson, por ejemplo, no aplicó sus ideas al conteo, y Hughes no identificó lo que se conoce como conteo relacionado con contexto en el TAL.

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grados de primaria ha puesto en marcha algo que, de una forma u otra, pueden llevar a un nivel más alto no sólo a los niños, también a la educación matemática holandesa. El interés del equipo del TAL se despertó al descubrir que hacer un bosquejo de trayectoria no era sólo cuestión de poner por escrito lo que ya era conocido en un sentido popular y accesible para los profesores, sino que además el trabajo sobre la trayectoria daba como resultado el surgimiento de ideas nuevas sobre cómo enseñar matemáticas y una revisión de nuestra forma corriente de pensar en la enseñanza.

5 Tres ejemplos de la práctica de la EMR en el aula La respuesta a la pregunta qué respecto al currículo holandés de aritmética se limitará a dar una impresión de ella con base en los tres problemas siguientes: • 6+7= • 81 ÷ 6 = • 4 x ƒ 1.98 = Es evidente que esta selección no cubre la totalidad del currículo holandés de aritmética. Es sólo una breve perspectiva en pasos gigantescos: se mostrará un problema para los primeros grados, uno para los grados intermedios y uno para los grados finales de la escuela primaria. Lo que estos ejemplos tienen en común es que pueden resolverse en diferentes niveles y, por tanto, pueden ser suelo fértil para el adelanto. También dejan claro que la pregunta qué respecto al currículo holandés de aritmética nunca podrá desligarse del cómo.

5.1 Restaurante La lección del Restaurante es una de las que se presentan en el disco compacto y pertenece a la trayectoria de enseñanza-aprendizaje del TAL sobre números enteros para los primeros grados. Fue videograbada en una clase mixta con niños de Kinder 2 y primer grado, esto es, de cinco y seis años de edad (preprimaria y primer grado de primaria en México). La profesora, Ans Veltman, pertenece al personal del equipo del TAL; también diseñó la lección, aunque ella estaría en desacuerdo al respecto: Ans considera que su estudiante Maureen fue quien desarrolló esta lección. Maureen abrió un restaurante en un rincón del aula, y todos fueron invitados a comer. La tarjeta del menú muestra a los niños lo que pueden ordenar y cuánto cuesta. Los precios están en florines enteros (véase fig. 8).

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Figura 8. La tarjeta de menú del restaurante de Maureen.

El propósito de la profesora con esta lección es trabajar en un problema difícil de suma “pasando por el número diez”. La forma como lo hace refleja, no obstante, un mundo de libertad para los estudiantes. La profesora anunció a los niños que podían elegir dos cosas del menú y les preguntó cuáles elegirían y cuánto costarían. En otras palabras, aparentemente no había orientación por parte de la profesora, pero la verdad era lo contrario. Si elegían un panqueque y un helado, que cuestan 7 florines y 6 florines, respectivamente, la profesora sabía por adelantado en qué problema trabajaría la clase; esto es, el problema de sumar arriba de diez, que es en lo que ella deseaba que trabajaran. Hay un monedero con un poco de dinero para pagar lo que se ordena, y la profesora dispuso que hubiera en él monedas de cinco florines y de un florín. (Esto muestra una vez más la sutil orientación por parte de la profesora.) Enseguida, los estudiantes comienzan a ordenar. Niels elige un panqueque y un helado. Jules escribe la orden en un pequeño pizarrón. Los otros niños exclaman: “Sí... yo también”. Coinciden con la elección de Niels. Entonces la profesora pregunta cuánto costaría esta elección en total. He aquí un resumen de lo que hicieron los niños: • Maureen contó 13 monedas de un florín. Seis monedas para el helado y siete monedas para el panqueque (calcular mediante conteo) (véase fig. 9). • Thijs y Nick cambiaron cinco monedas de un florín por una moneda de cinco florines, y pagaron el helado con “5” y “1” y el panqueque con “5” y “1” y “1”. Entonces vieron que los dos cincos hacen diez y los tres unos hacen 13 en total (calcular por estructuración) (véase fig. 10). Más tarde, Nick puso las monedas en fila: “5”, “5”, “1”, “1”, “1”.

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Figura 9. La estrategia de Maureen.

Figura 10. La estrategia de Thijs.

• Luuk ideó la siguiente estrategia: “Primero pongo tres florines de los seis con los siete florines, y eso da diez florines, y tres son trece” (calcular por estructuración y hacia el cálculo formal). • Hannah no utilizó las monedas, sino que calculó: “6 y 6 son 12, y 1 son 13 florines”. A otro estudiante se le ocurrió que: “7 y 7 son 14, menos 1 son 13” (cálculo formal y flexible). Esta lección de Restaurante deja en claro que los niños con diferencias en cuanto a destreza y nivel de comprensión pueden trabajar en clase sobre un mismo problema. Para ello, es necesario que se plantee a los niños problemas susceptibles de ser resueltos en diferentes niveles. La ventaja para los estudiantes es que el hecho de compartir y comentar sus estrategias entre ellos puede funcionar como una palanca para elevar su comprensión. La ventaja para los profesores es que los problemas de este tipo les ofrecen una muestra representativa de la comprensión de su grupo en cualquier momento dado, así como una perspectiva longitudinal de la trayectoria que necesitan seguir. La muestra representativa de estrategias en un momento cualquiera indica lo que está por llegar a su alcance en el futuro inmediato. Como tal, esta muestra representativa de estrategias contiene asideros que servirán al profesor para la enseñanza ulterior.

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5.2 Velada de padres La siguiente escena de aula22 muestra cómo contribuyen los principios de la EMR al crecimiento en la comprensión matemática. El punto de partida de la lección es la exploración de un problema de contexto que –y esto es indispensable– pueda ser resuelto en varios niveles de comprensión. Mediante la exposición y la discusión de las estrategias de solución en clase, los estudiantes que resolvieron primero el problema utilizando una estrategia muy larga pueden avanzar hacia un nivel más alto de comprensión. A resultas de este proceso, que se conoce como matematización progresiva, es posible constituir conceptos matemáticos nuevos. El escenario es un aula de tercer grado. Los estudiantes tienen de ocho a nueve años. La profesora comienza con la presentación de un problema sobre una velada de padres que se está organizando. La pregunta se refiere al número de mesas necesarias para sentar a los padres (véase fig. 11).

“Esta noche habrá una velada de padres. Los papeles que recibí de ustedes me dicen que asistirán 81 personas. La reunión se celebrará en el salón grande. Los padres se sentarán alrededor de mesas grandes. Seis personas pueden ocupar cada mesa.” La profesora hace un dibujo de una de las mesas en el pizarrón:

Enseguida, la profesora pregunta: “¿Cuántas mesas necesitamos para 81 personas?” Figura 11. Problema de las mesas.

Los estudiantes comienzan a trabajar y la profesora camina por el aula. Cuando es necesario, ayuda un poco a los niños. Al cabo de aproximadamente diez minutos, la maestra pide a los niños mostrar su trabajo y explicar sus soluciones. 22

Esta actividad de aula procede de Van Galen et al. (1991) (véase también Van Galen y Feijs, 1991); la presente estampa fue utilizada también por De Lange en su conferencia plenaria de la ICME 1996, en Sevilla, España.

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Badr dibujó todas las mesas que necesitaba para sentar a todos los padres (véase fig. 12).

Figura 12. El trabajo de Badr.

Roy comenzó de igual forma, pero después de dibujar dos mesas completas dibujó dos rectángulos y puso en ellos el número seis. Mientras dibujaba más de estos rectángulos comprendió de pronto que, si tenía cinco mesas, podía sentar a 30 padres. Continuó dibujando rectángulos y después de otros cinco apuntó 60. Después dibujó otros dos, apuntó 72, luego uno más, y apuntó 78. Terminó con un rectángulo en el que puso el número 3 (véase fig. 13).

Figura 13. El trabajo de Roy.

Un tercer estudiante, Abdelaziz, se mostró aún más adelantado en cuanto a matematizar el problema. Aunque también él comenzó dibujando una copia de la mesa que estaba en el pizarrón, pasó de inmediato a una solución más formal utilizando su conocimiento de los múltiplos de seis. Apuntó 6 x 6 = 3 6 , duplicó este número y llegó a 72, y después agregó dos mesas más al 72 y obtuvo la respuesta de 84 (véase fig. 14).

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Certidumbres E INCERTIDUMBRES

Figura 14. El trabajo de Abdelaziz.

Si se miran estas tres soluciones, es evidente que cierta matematización tuvo lugar en cada nivel, incluso en el trabajo de Badr, pues la visualización y la esquematización son también poderosos instrumentos para matematizar. En los otros dos ejemplos las matemáticas son más visibles, pero aún no están en el nivel que se busca. Este problema fue pensado como punto de partida para aprender la división larga. Para alcanzar esta meta, el problema debe ir seguido de otros problemas. Por consiguiente, una vez que terminó el debate en clase sobre las diferentes estrategias, la profesora planteó otro problema: el de las cafeteras (véase fig. 15).

“Se ofrecerá a los 81 padres una taza de café. Puedes llenar 7 tazas con una cafetera. ¿Cuántas cafeteras se necesitarán?” Figura 15. Problema de las cafeteras.

Desde un punto de vista matemático, este problema es el mismo que el anterior. En vez de dividir entre seis, ahora los estudiantes deben dividir entre siete. Para estos estudiantes, sin embargo, este problema es diferente por completo, y también es más difícil hacer una presentación visual de él. Es más fácil dibujar mesas que cafeteras, aunque Badr intentó dibujarlas (véase fig. 16). Después de dibujar dos cafeteras, Badr recordó el comentario acerca de cómo se puede hallar más rápidamente la respuesta multiplicando. Procedió a utilizar 10 x 7 =70 seguido de 70 +11=81, y concluyó que se necesitan 12 cafeteras. Tanto la constitución de herramientas matemáticas (la representación de la situación problema, la esquematización, la suma repetida, la aplicación del co-

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Figura 16. El trabajo de Badr sobre el Problema de las cafeteras.

nocimiento de operaciones numéricas, la forma de llevar la cuenta de los resultados y la comunicación sobre las estrategias) como el cambio de nivel de Badr fueron suscitados por los problemas dados a los estudiantes. En términos más precisos, fueron suscitados por problemas relacionados. De cierto modo, el contexto de este racimo de problemas induce a los alumnos a re-inventar las matemáticas y a alcanzar un nivel más alto de comprensión (véase también la fig. 19).

5.3. Comprar hogazas de pan La meta global última de la EMR es la numerización. Los niños deben ser capaces de entender los números y las operaciones numéricas. Entre otras cosas, esto implica que los niños deben ser capaces de decidir por sí mismos qué procedimiento de cálculo es apropiado para resolver un problema aritmético en particular. Deben saber cuándo es adecuado un cálculo mental, cuándo conviene utilizar una estimación y cuándo es mejor hacer aritmética de columnas en papel o utilizar una calculadora.23 Ser capaz de tomar decisiones como éstas es una de las metas de orden más alto de la educación aritmética que se busca alcanzar en los grados superiores de la escuela primaria. El Problema de comprar hogazas de pan (véase fig. 17) es muy apropiado para trabajar en esta meta.

Lieke va a comprar cuatro hogazas de pan; cada una cuesta f 1.98 ¿Será suficiente con un billete de diez florines? Figura 17. Problema de comprar hogazas de pan.

Para conocer más sobre estrategias mentales y escritas, véase el trabajo presentado en esta conferencia por Meindert Beishuizen.

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En la figura 18, el trabajo de los estudiantes muestra una extensa variedad de categorías de procedimientos de cálculo que es posible aplicar para resolver este problema. Los estudiantes A, B y C lo resolvieron de una u otra forma mediante aritmética de columnas. Los estudiantes D, E y F 24 utilizaron un método de sí

no y luego

y luego

sí

sí es casi

porque

menos

menos sí porque

es casi

florines

sí florines

porque y

eso

más

que

Figura 18. El trabajo de los estudiantes en el Problema de comprar hogazas de pan

(traducción añadida por la autora).

Ésta es la solución que Adri Treffers agregó al conjunto de su puño y letra.

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estimación. Dentro de estas dos categorías principales, los estudiantes aplicaron varias estrategias.

La necesidad de debatir en clase Como en los problemas de la Velada de padres y el Restaurante, un debate en clase acerca de cómo abordaron los estudiantes el Problema de comprar hogazas de pan ayudará a éstos a hacer una elección más apropiada la próxima vez. Especialmente si se trata de hacer estimaciones, un debate de este tipo ayudará a los alumnos a deshacerse de la idea de que su trabajo con números puede llamarse matemáticas sólo si hacen cálculos precisos. En problemas como el de Comprar hogazas de pan no se necesita un cálculo preciso, basta una estimación. Por otra parte, hacer una estimación para resolver este problema ¡abre el camino hacia el cálculo preciso inteligente! El trabajo del estudiante D es un buen ejemplo de esto.

Grupos de problemas A fin de abrir el camino hacia el cálculo preciso inteligente, la pregunta global de “¿Alcanza el dinero?” va seguida de una pregunta más precisa como “¿Cuánto queda o cuánto más necesitas?” Como en el Problema de la velada de padres, esta serie de preguntas puede verse como una minitrayectoria con posibilidad de funcionar como palanca para lograr cambios en la comprensión de los estudiantes. De cierto modo, estos grupos de problemas son escenarios educativos que orientan la enseñanza e impulsan el aprendizaje.

Coherencia entre los procedimientos de cálculo Además de abrir los ojos de los estudiantes a la elección apropiada de un procedimiento de cálculo en particular, la diversidad del trabajo realizado sobre el Problema de comprar hogazas de pan (véase fig. 19) proporciona al profesor una poderosa herramienta para analizar con los estudiantes cómo están relacionados los procedimientos. El trabajo de los estudiantes C y A muestra perfectamente que, en vez de una multiplicación de columnas, se puede aplicar una suma de columnas repetida. De hecho, la segunda es una etapa preliminar del algoritmo escrito estándar para la multiplicación. El trabajo del estudiante B muestra incluso lo que antecede a esta etapa preliminar: una especie de combinación de aritmética horizontal con el valor de los números enteros (en vez de procesar los números como dígitos) y aritmética de columnas. Este procedimiento mixto es un elemento crucial de la trayectoria de enseñanza-aprendizaje que el equipo del TAL tiene en mente respecto a la aritmética en los grados superiores de la escuela primaria. La aritmética mental se consi-

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dera la rama principal, de la cual se deriva más tarde la rama de aritmética de columnas. “Más tarde” significa, por ejemplo, que los algoritmos estándar para la suma y la resta (véase fig. 20, +d y –d) no están previstos antes del cuarto grado. No se tratan los algoritmos para la multiplicación y la división antes del quinto grado. En los años previos a estos grados, los estudiantes aplican procedimientos más o menos abreviados y mixtos que se basan en una forma horizontal de calcular con valores enteros. La figura 20 muestra cómo evoluciona gradualmente esta forma de calcular, relacionada con la aritmética mental, hacia los algoritmos estándar. Esto se cumple al menos respecto a la suma y la multiplicación. Por lo que se refiere a la resta, se sigue otro camino. El algoritmo de resta no surge de forma natural del enfoque de valor-entero. Por consiguiente, el algoritmo de suma podría dar acceso al algoritmo de resta (véase la flecha en la fig. 19). El algoritmo estándar abreviado para la división queda fuera del esquema. Este algoritmo ya no pertenece al currículo medular.

Velada de padres

“¿Cuántas mesas?”

“¿Cuántas cafeteras?”

Comprar hogazas de pan

“¿Alcanza el dinero?”

“¿Cuánto queda, cuánto más necesitas?” “¿Cuál es el precio exacto?”

Figura 19. Problemas relacionados como herramienta didáctica para suscitar

cambios en la comprensión.

El trabajo del estudiante como espejo de la educación La resolución de este problema es algo que depende de cómo se ha enseñado a los estudiantes. Por ello, se puede ver el problema como un espejo de la enseñanza. Uno recibe lo que ha dado a los estudiantes. En el estudio en el que se reunió el trabajo de los estudiantes que se muestra en la figura 19, casi la mitad de los alumnos de cuarto y quinto años aplicaron un procedimiento de aritmética de columnas, y menos de un tercio de los estudiantes optó por una estimación global (véase Treffers, Streefland y De Moor, 1996). Otros estudios de este tipo de problemas pusieron de manifiesto una fuerte relación con el tipo de educación, y diferentes series de libros de texto dieron resultados distintos (Treffers, 1999). El trabajo de los estudiantes no deja duda de que todavía hay trabajo por hacer en los Países Bajos, pese a los buenos resultados encontrados en el estudio TIMSS (véase Mullis et al., 1997).

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Figura 20. Trayectoria de enseñanza-aprendizaje propuesta25 para la aritmética de números enteros en los grados superiores de primaria: del cálculo horizontal al vertical.

6 Para concluir Con este último ejemplo concluye este recorrido guiado. Confiamos en que el paisaje holandés de la educación matemática ya no sea el territorio inexplorado que pudo haber sido antes que el lector iniciara el recorrido. Los educadores holandeses en matemáticas tienen, obviamente, una relación especial con los paisajes. Freudenthal (1991) puso al último capítulo de su último libro el título de “El paisaje de la educación matemática”. Es probable que este capítulo haya inspirado a Treffers cuando adaptó un muy conocido poema del famoso poeta holandés 25

Este esquema se desarrolló en las primeras etapas del trabajo sobre la trayectoria de enseñanza-aprendizaje sobre números enteros para los grados superiores de primaria. De entonces a la fecha ha cambiado un poco.

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Hendrik Marsman para resumir la educación matemática en las escuelas primarias holandesas:26

Cuando pienso en Holanda Cuando pienso en Holanda veo largos ríos atravesando lentamente las infinitas planicies, como una sucesión de líneas numéricas que dibujan el horizonte. Veo bloques aritméticos de bases múltiples que descienden y se pierden en el inmenso espacio abierto a través de esta tierra de matemáticas reales. Basado en “Denkend aan Holland” de H. Marsman Adaptado al inglés por A. Treffers, 1996. Versión en español: Correo del Maestro

El poema adaptado al inglés fue presentado por Adri Treffers al comienzo de un encuentro internacional sobre educación matemática celebrado en la Universidad de Leiden del 14 al 15 de diciembre de 1996.

Referencias E., Nelissen, J y M. van den Heuvel-Panhuizen, TAL, Tussendoelen Annexleerlijnen, Informe de consultoría [TAL, Anexo de Metas Intermedias Trayectorias de EnseñanzaAprendizaje], Instituto Freudenthal, Utrecht, 1998.

DE GOEIJ,

DE JONG,

R., Wiskobas in methoden [Wiskobas en libros de texto], OW & OC, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1986.

DE LANGE,

J., Mathematics, Insight and Meaning, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1987.

OC,

DE WIT, C.N.M., Over tussendoelen gesproken. Tussendoelen als

component van leerlijnen [Hablando sobre metas intermedias. Las metas intermedias como componente de trayectorias de enseñanza-aprendizaje]. ‘s-Hertogenbosch: KPC Onderwijs Innovatie Centrum, 1997. DONALDSON,

M., Children’s Mind, Fontana, Londres, 1978.

FREUDENTHAL,

H., “Why to Teach Mathematics so as to Be Useful”, Educational Studies in Mathematics, 1, 1968, pp. 3-8. , H., “Geometry Between the Devil and the Deep Sea”, Educational Studies in Mathematics, 3, 1971, pp. 413-435.

, H., Mathematics as an Educational Task, Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1973. , H. “Antwoord door Prof. Dr. H. Freudenthal na het verlenen van het eredoctoraat” [Discurso del Prof. H. Freudenthal al serle otorgado un doctorado honorario], Euclides, 52, 1977, pp. 336-338. , H., “Structuur der wiskunde en wiskundige structuren; een onderwijskundige analyse” [Estructura de las matemáticas y estructuras matemáticas; un análisis educativo], Pedagogische Studiën, 56 (2), 1979, pp. 51-60. , H., Revisiting Mathematics Education. China Lectures, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991. GRAVEMEIJER,

K., M. van den Heuvel-Panhuizen, G. van Donselaar, N. Ruesink, L. Streefland, W. Vermeulen, E. Te Woerd y Van der Ploeg, D., Methoden in het reken-wískundeonderwíjs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek [Serie de libros de texto en educación matemática, un contexto rico para investigación comparativa]: CD-ß Press/Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1993.

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GRAVEMEIJER,

Education, 1994.

K.P.E., Developing Realistic Mathematics Press/Instituto Freudenthal, Utrecht,

CD-ß

GROOT.,

W., Draagvlak voor tussendoelen [Apoyo para metas intermedias], Den Haag: OC y W, 1999.

HUGHES,

M., Children and Number. Difficulties in Learning Mathematics, Basil Blackwell Ltd., Oxford, 1986.

MENNE,

J., Oefenen in de rekenkring [Practicando en el círculo aritmético], Instituto Freudenthal (publicación interna), Utrecht, 1996/1997/1998.

MULLIS,

I. V. S., M. O. Martin, A. E. Beaton, E. J. Gonzalez, D. L. Kelly y T. A. Smith, Mathematics Achievement in the Primary School Years: IEA’s Third International Mathematics and Science Study (TIMSS), MA: Boston College, Chestnut Hill, 1997.

SLAVENBURG, A.

y P. J. Krooneman, Leerlijnen en tussendoelen in het reken-wískundeonderwijs gepeild [Trayectorias de enseñanza-aprendizaje y metas intermedias en la educación matemática puestas a prueba], Regioplan, Amsterdam, 1999.

STREEFLAND,

L., Wiskunde als activiteit en de realiteit als bron [Las matemáticas como actividad y la realidad como fuente], Nieuwe Wiskrant, 5, 1, 1985, pp. 60-67. , L., Fractions in Realistic Mathematics Education. A Paradigm of Developmental Research, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991. , L., “Learning from history for teaching in the future”, Conferencia impartida en la ICME-8 en Sevilla, España, 1996.

TREFFERS,

A., Wiskobas doelgericht (Wiskobas encaminado a metas], IOWO, Utrecht, 1978. , Three Dimensions. A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Instruction – the Wiskobas Project. Dordrecht: Reidel Publishing Company, 1987.

, “Realistic mathematics education in the Netherlands 1980-1990”, en L. Streefland (ed.), Realistic Mathematics Education in Primary School, CD-ß Press / Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1991. , E. de Moor y E. Feijs, Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen [Diseño de un programa nacional para la educación matemática en las escuelas primarias. Parte I. Perspectiva general de las metas], Zwijsen, Tilburg, 1989. , L. Streefland y E. de Moor, Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3B. Kommagetallen [Diseño de un programa nacional para la educación matemática en las escuelas primarias. Parte 3B. Números decimales], Zwijsen, Tilburg, 1996.

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núm. 149 octubre 2008

, Conferencia no publicada presentada en la Panama Spring Conference en Noordwijkerhout, 1999. , M. van den Heuvel-Panhuizen y K. Buys (eds.), Jonge kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen. Onderbouw Basisschool [Niños pequeños aprenden aritmética. Anexo de Metas Intermedias Trayectorias de Enseñanza-aprendizaje. Números enteros. Grados más bajos de la escuela primaria], WoltersNoordhoff, Groninga, 1999. VAN DEN BOER,

C., “Allochtone leerlingen in het wiskundeonderwijs” [Niños inmigrantes en la educación matemática], Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken-wiskundeonderwijs, 15, 4, 1997, pp. 27-34.

VAN GALEN,

F., M. Dolk, E. Feijs, V. Jonker, N. Ruesink y W. Uittenbogaard, Interactieve video in de nascholing rekenwiskunde [Video interactivo en la capacitación de profesores en servicio], CD-ß Press/OW & OC, Universidad de Utrecht, Utrecht, l99l. , F. y E. Feijs, “A mathematics lesson on videodisc”, en L. Streefland (ed.), Realistic Mathematics Education in Primary School, CD-ß Press/Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1991. BRINK, J. F., Realistisch rekenonderwijs aan jonge kinderen [Educación realista en aritmética para niños pequeños], OW & OC, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1989.

VAN DEN

VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN,

M. y F. Goffree, Zo rekent Nederland [Cómo hacen aritmética los holandeses], SLO, Enschede, 1986.

VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN,

M., “A representational model in a long-term learning process — the didactical use of models in Realistic Mathematies Education”, Trabajo presentado en la AERA de 1995 en San Francisco, 1995. , Assessment and realistic mathematics education, Press/Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1996.

CD-ß

, “Realistic Mathematics Education: Work in progress”, en T. Breiteig y G. Brekke (eds.), Theory into practice in Mathematics Education, Facultad de Matemáticas y Ciencias, Kristiansand (Noruega), 1998. , y H. J. Vermeer, Verschillen tussen meisjes en jongens bij het vak rekenen-wiskunde op de basisschool. [Diferencias entre niñas y niños en las matemáticas de escuela primaria], C-ß Press/Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1999. , “Realistic Mathematics Education in the Netherlands”, en J. Anghileri (ed.), Principles and practice in arithmetic teaching (pp. 49-63), Open University Press Buckingham, Filadelfia, 2001.

artistas Y ARTESANOS

Arte para chiquitos ESTAMPA Guadalupe Rosas

Francisco Antonio Ledesma

Una simple línea pintada con el pincel puede llevar a la libertad y a la felicidad JOAN MIRÓ

n las últimas entregas de esta serie hemos revisado diversos aspectos del principio de la estampa y la reproducción de una imagen a través de matrices. Una matriz imprime por relieve, por hueco o por litografía (en el mismo plano), dependiendo de la técnica gráfica que se haya utilizado para generarla. Por sus características, el grabado en relieve es más práctico para trabajar con niños pequeños. Las técnicas tradicionales de relieve son la linografía (linóleo) y la xilografía (madera); en ambos se dibuja el motivo para imprimir y se desbasta con cuchillas aquello que no se quiere imprimir; lo que está en lo alto, o sea en relieve, se estampará. Para nuestra actividad utilizaremos materiales blandos y seguros que nos den un resultado similar.

Material • Platos de unicel planos rectangulares o circulares (mínimo de 20 x 20 cm). • Pegamento blanco. • Barras de jabón (una por niño). • Cajas de cartón corrugado. • Pigmentos: tinta para impresión de base de agua o pintura vinil-acrílica en los colores amarillo canario, azul ultramar, rojo cardenal y negro. • Soporte: hojas de papel bond blanco (15 por niño) y tinta para sellos de diferentes colores. Material de apoyo didáctico y herramientas • Cucharas grandes de madera • Rodillos de goma • Micas, vidrios o acrílicos para extender la pintura

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Arte para chiquitos. ESTAMPA IV

• Tijeras • Bolígrafos • Palitos de madera con punta y clavos grandes con punta • Pinceles

Matrices planas Actividad 1. Plato de unicel Repartiremos platos de unicel planos y los niños recortarán los bordes con tijeras para que quede únicamente la base. Con un lápiz, dibujarán alguna figura sobre el unicel, marcando líneas profundas. Después tomarán los pinceles, la pintura acrílica o la tinta de impresión y las hojas de papel bond. La instrucción será que coloreen el plato rápidamente, pero respetando la línea en hueco, es decir, sólo aplicarán pintura sobre las partes planas y los huecos no deberán ser invadidos por el color. Cuando hayan terminado, colocarán una hoja de papel sobre el unicel coloreado, tratando de que la placa (plato) quede centrada en la hoja, y presionarán sobre ella; con una mano evitarán que la hoja se mueva y con la otra la recorrerán en diferentes direcciones –sin dejar de presionar– para que la pintura se transfiera. Después levantarán la hoja y observarán que la línea profunda del dibujo en la placa deja una línea y lo demás está definido por el color. Les diremos que pueden volver a colorear e imprimir las veces que quieran, cambiando los colores a su gusto.

Grabado con matriz de unicel.

Daremos a cada niño una barra de jabón, varios palitos de madera con punta y un cuchillo con poco filo. Les pediremos que dibujen algún animal en una de las caras del jabón. Con los palitos, los clavos o el bolígrafo remarcarán el dibujo, procurando dejar líneas profundas o hendiduras. Enseguida entintarán su diseño, ya sea aplicando la pintura con el pincel –de la manera como se hizo con la placa de unicel–, o bien, extendiendo la pintura o tinta con un rodillo sobre la superficie del jabón. Tomarán una hoja de papel bond y la colocarán sobre el jabón pintado o entintado; la presionarán con la parte cóncava de una cuchara

Actividad 2. Grabado en barra de jabón El jabón es un material muy suave de tallar; antes de repartirlo a los niños, el maestro deberá quitar con una navaja la marca que llevan grabada en las caras más amplias, cuidando que éstas queden lisas y planas.

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Grabado con matriz de barra de jabón.

Artistas Y ARTESANOS

de madera y recorrerán toda la superficie para transferir la imagen del jabón al papel. Al levantar la hoja verán que, como en la actividad con el plato, la línea profunda no imprime color y el dibujo queda definido justo por esa línea.

Observaciones Cuando los niños imprimen varias veces sus grabados están haciendo una edición que pueden numerar de la siguiente manera: si imprimen diez veces se utiliza la numeración 1/10 (uno de diez) hasta 10/10 (diez de diez), esto

quiere decir que existen solamente diez impresiones, y el primer número indica el número de estampa correspondiente en la edición. Este dato se asienta en el extremo inferior izquierdo del grabado (junto a la imagen), y en el extremo inferior derecho, el nombre del autor. Debemos explicar a los niños que el grabado, a diferencia de la pintura, no es una obra única, sino que permite obtener varias veces o reproducir la misma obra. Para afianzar este concepto, podemos hablar de otras cosas que también se reproducen a partir de un molde o matriz, por ejemplo: diarios, galletas, muebles, ropa, juguetes, etcétera.

Queridos maestros y padres de familia: Con esta entrega damos por concluida la serie Arte para chiquitos. A lo largo de 19 artículos hemos revisado diversas técnicas gráfico-plásticas que incentivan el desarrollo gráfico y la creatividad de los niños. Nuestro objetivo ha sido ofrecer una amplia gama de actividades estructuradas de manera progresiva en el avance del manejo de cada técnica. Con frecuencia hicimos hincapié en considerar que lo importante en el trabajo plástico es la expresión y el proceso creativo, pues mediante esto los niños conquistan la libertad de explorar y experimentar, y fortalecen la confianza en sí mismos. En la serie abordamos solamente técnicas bidimensionales. Sensibilizamos a los niños en la práctica del arte plástico y buscamos alcanzar mayor madurez en cuanto a la percepción y el manejo del espacio, así como en el desarrollo de la psicomotricidad fina. El siguiente paso es el trabajo en tercera dimensión o la escultura: ahora los niños están listos para explorar técnicas como modelado, tallado y construcción. Nuestra propuesta también buscó la inspiración y motivación en otras expresiones artísticas, como la música, la expresión corporal y la oral, pues cada una puede tocar una parte de nuestro ser que nos impulse a generar ideas e imágenes. Un consejo que siempre damos a padres y maestros es que vivan lo que enseñan para lograr que sus alumnos perciban y comprendan las experiencias plenamente. La falta de empatía entorpece la comunicación y el aprendizaje. Como artistas visuales tenemos una formación académica en este aspecto, pero fueron nuestros primeros maestros en preescolar y primaria quienes impulsaron nuestra vocación y marcaron nuestro compromiso con la enseñanza de las artes. A ustedes, los formadores, está dedicado este trabajo. Contacto: sello_blanco@yahoo.com http://selloblanco.blogspot.com

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sentidos Y SIGNIFICADOS

Sólo dos DE LAS NAVES COLÓN eran carabelas… la otra ERA UNA nao Arrigo Coen Anitúa (†)

La carabela es un tipo de embarcación que, a no ser por el celebérrimo viaje del descubrimiento de América, quizás habría quedado tan escasamente conocido como la galera, el bergantín, la fragata y tantos otros que sólo en los anales de la navegación se registran. Pero lo cierto es que la Pinta, la Niña y la Santa María, las tres naves integrantes de la intrépida flota colombina, pasaron a la historia del género humano como otros tantos símbolos para la posteridad. Este antiguo género de barco, de propulsión a vela, usado especialmente por los portugueses y los españoles, estuvo en boga entre los siglos XIII y XVI. La carabela era muy ligera, de casco más firme que la mayoría de las otras naves contemporáneas; presentaba la proa de líneas sencillas, muy poco procidente, en veces con un pequeño castillo que solía no proyectarse fuera del casco. En la popa estaban el alcázar y las dos falsas cubiertas, la inferior de las cuales casi llegaba al palo mayor. El aparejo de la carabela constaba de dos a cuatro mástiles, según los casos; comúnmente tres. El palo mayor, en medio, “en candela”, esto es, vertical, y los otros con caída; iban aparejados cada uno con velas cuadras; en ocasiones el mástil posterior llevaba entena para una latina (vela triangular). Esta disposición con frecuencia se alteraba un tanto, según las exigencias del viaje proyectado. Por ejemplo, la Pinta fue aparejada sólo con velas latinas. “Es curioso observar –dice un lexicógrafo inmiscuido en asuntos de marear (navegar)– que de las famosas tres llamadas carabelas, una, la Santa María, barco insignia de Colón, era en realidad una nao, que aparejaba una sola vela cuadrada de mesana, con una gavia principal y una vela latina de mesana.” (Para información del lector, aclararemos que se llamaban de mesana las velas que iban acodadas al mástil de ese mismo nombre, o sea, el que, en un buque de tres palos, estaba más a popa.) Otro lexicógrafo nos da noticia de que “la Santa María, nao del almirante del Descubrimiento, tenía aproximadamente unos 25 metros de eslora, por 7.5 de manga y unos 3.5 o 4 m de calado”.

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Sentidos Y SIGNIFICADOS

Acerca de esto, Pedro Mártir de Anglería, en la primera de sus Décadas del Nuevo Mundo, dice: Los monarcas citados (Fernando e Isabel) ordenaron poner a disposición del solicitante (Cristóbal Colón) tres embarcaciones, una de carga, con bodega, y otras dos mercantes ligeras y sin bodegas, a que los españoles llaman “carabelas”.1

En el primer viaje del Almirante, pues, fueron sólo dos carabelas, embarcaciones muy propias para explorar litorales, dada su ligereza. En la otra nave, la Santa María, se acarrearía la “cantidad inagotable de perlas, aromas y oro” de aquellas “islas confinantes con las Indias”, cuya existencia Colón había propuesto a los Reyes Católicos. Que las carabelas eran los barcos más apropiados para el conocimiento de los litorales, ya Colón lo habría de comprobar en ese primer viaje, pues al andar costeando la isla a la que dio el nombre de Española, […] ya se acercaba a tierra deseoso de explorar la naturaleza de los lugares en la parte norte de la isla; cuando la quilla de la nave mayor, tropezando en un escollo cubierto por las aguas, se abrió y quedó encallada; mas como la roca era plana, esta circunstancia impidió que la embarcación zozobrase; acudiendo al punto con las otras dos, sacaron sanos y salvos a todos sus compañeros.2

El Almirante habría también de conocer, en este escollo, la eficiencia de las canoas, los botes de los naturales, que ignoraban el uso del hierro, por medio de los cuales “sacaron a nuestros hombres y todo el cargamento, con tanta rapidez y buena voluntad, que entre nosotros no se ayudarían unos parientes a otros con tanta abnegación”. Pero volviendo a las carabelas, más adelante agrega el cronista: […] los santísimos monarcas (Isabel como Fernando) mandaron disponer, para una segunda expedición, diecisiete naves, tres grandes de carga, con bodegas, doce de las que ya dijimos que los españoles llaman carabelas, sin ellas, y otras dos de esta última clase algo mayores, que gracias a la dimensión de los mástiles podían llevar compartimentos. (Carta escrita al Cardenal Ascanio Sforza, el 13 de noviembre de 1493, desde la corte de España, en Medina del Campo.) 3

En 1959, la Sud-Aviation, compañía francesa, constructora de aeronaves, bautizó uno de sus modelos más gráciles con el nombre de Caravelle, con lo que la carabela subió a los cielos.

1 2 3

Pedro Mártir de Anglería, Décadas del Nuevo Mundo, Polifemo, Madrid, 1989, 566 pp. Idem. Idem.

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problemas SIN NÚMERO

¿Quién es

QUIÉN?

Claudia Hernández García

‘‘

Nací en la India hace muchos siglos. No recuerdo la fecha exacta

y tampoco en aquella época se registraba este tipo de cosas. ¡Fíjense qué atraso!, que un acontecimiento tan importante como mi nacimiento no haya sido registrado por nadie... Uno de los temas favoritos de conversaciones éramos nosotros, los números. Mis hermanos Uno, Dos, Tres, Cuatro, Cinco, Seis, Siete, Ocho y Nueve nacieron antes que yo y, según me enteré después, sin mayor dificultad. Un día sucedió algo inesperado que ha causado muchos problemas y, sobre todo, me ha traído muchas enemistades. Resulta que, por un error supongo involuntario, me colocaron a la izquierda de Uno y a un maldito humano, cuyo nombre he olvidado, se le ocurrió decir que yo, en aquel lugar no valía nada. Realmente ellos se alegraron mucho porque al fin encontraron el símbolo adecuado para nada; es decir, que si a una persona le quitan las monedas que tiene, me toman a mí para indicar que no le queda ninguna. Esto me sentó fatal. Piensen que, hasta ahora, siempre me colocaban a la derecha de mis hermanos y por esto era muy apreciado pues ellos aumentaban su valor de una forma extraordinaria. A partir de la apreciación de este individuo, me dejaron solo y con un significado bastante triste. Me resultó curioso que alguno de aquellos sabios se lamentara de lo tarde que habían empezado a utilizarme solo. Al final comprendí que eso era parte de mi sino y lo acepté.

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LUIS BALBUENA

Tomado de Cuentos del cero, de Luis Balbuena, Editorial Nivola, Madrid 2006, pp. 11, 16-17. Luis Balbuena Castellano (n. 1945) es considerado uno de los matemáticos españoles de mayor prestigio. Ha colaborado con diversas instituciones y ha dirigido varias asociaciones de profesores de matemáticas. Su dedicación y entusiasmo en torno a la didáctica de las matemáticas le ha merecido premios como la Medalla Viera y Clavijo, que el gobierno de las Islas Canarias otorga a la labor docente.

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Problemas SIN NÚMERO

Actividad En esta edición de Correo del Maestro les proponemos una actividad para alumnos de sexto de primaria en adelante. Les sugerimos que primero traten de resolverla en equipos de dos o tres personas y luego se reúna todo el grupo a compartir estrategias y soluciones.

a) Cuando se le preguntó a la señora Reyes cuáles eran las edades de sus tres hijos, ella respondió que Alberto es el más joven, a menos que Benito lo sea, y que si Carlos no es el más joven, entonces Alberto es el mayor. ¿Cuál de sus hijos es el más joven, cuál es el de en medio y cuál es el mayor?

b) Berenice, Julia y Sofía son una doctora, una abogada y una arquitecta. La arquitecta, que es hija única, es la más joven. Sofía, que está casada con el hermano de Berenice, es mayor que la abogada. ¿Cuál es la profesión de cada mujer?

c) Salvador y Javier estaban platicando en la casa de Salvador cuando llegó un tercer hombre. Salvador dijo: “Podría presentarte a este hombre, pero mejor te dejo que lo descubras: yo no tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre”. ¿Quién es el hombre que llegó?

3. Como Salvador no tiene hermanos ni hermanas, él es el único hijo que tuvo su padre y, por lo tanto, es el único que puede ser padre del hombre que entró. Es decir, el hombre que entró es hijo de Salvador. 2. Como Sofía es mayor que la abogada, sabemos que ella no podría ser la abogada. Además, como es más grande que alguien, sabemos que no es la más joven y, por lo tanto, no puede ser la arquitecta. Así que Sofía tiene que ser la doctora. Berenice no puede ser la arquitecta porque la arquitecta es hija única y Berenice tiene un hermano que está casado con Sofía; y como tampoco es la doctora, entonces debe ser la abogada. Y, por último, Julia es la arquitecta. 1. De la primera afirmación sabemos que sólo Alberto o Benito pueden ser el más joven, es decir, que Carlos es el hijo de en medio. Y como Carlos no es el más joven, entonces Alberto es el mayor de acuerdo con la segunda afirmación. Por lo tanto, el más joven es Benito. Soluciones:

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¡Exploradores

A LA VISTA!

Ana Y. Martínez Villalba

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La travesía se prolonga; nos hallamos lejos de casa y los hombres han empezado a quejarse de su duración y de mí por haberlos arrastrado a esta aventura...

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CUADERNO

DE BITÁCORA DE COLÓN, SEPTIEMBRE 16 DE 1492.

l deseo de indagar qué hay más allá del lugar en el que nacimos es un impulso que parece haber acompañado al ser humano durante toda su existencia; en ese sentido, tal vez nunca sepamos el nombre del primer gran explorador pues, sin duda, hubo cientos o miles de ellos. Sin embargo, la historia nos obliga a recordar a aquellos hombres cuyos osados viajes dieron a conocer a sus pueblos paisajes nuevos, animales asombrosos, comunidades con culturas y hábitos diferentes, que preparaban alimentos de sabores insospechados y hablaban lenguas desconocidas. Las crónicas –fantásticas o reales, de viajeros míticos o de carne y hueso– siempre han atrapado nuestra atención, tanto que, inspirados en un buen libro, a no pocos de nosotros nos ha dado por soñar en hacernos cronistas de nuestras propias aventuras. Sin embargo, viajar no es cosa

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sencilla y si, incluso con la avanzada tecnología actual, para quienes vivimos en el continente americano viajar a Europa o al Medio Oriente todavía nos parece una costosa, larga y cansada travesía, ¿qué significaría un viaje de este tipo para los exploradores y grandes navegantes que hacia finales del siglo XV zarparon en busca de nuevas tierras por el inexplorado mar de occidente o hacia el sur de lo que hoy conocemos como África? El 12 de octubre se conmemora el final de uno de estos asombrosos viajes: la llegada de Cristóbal Colón a América en 1492. Y, aunque muchos hablan de la hazaña del italiano como el descubrimiento de nuestro continente, otros tantos se niegan a darle tal honor y ven con recelo la celebración. Sin duda, el acontecimiento se presta a controversias y a reflexiones históricas y, puesto que es un tema obligado en las escuelas de

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nuestro país, puede aprovecharse el momento para echar un vistazo más amplio a la vida de Colón, al contexto histórico que lo rodeaba y a las acciones que llevó a cabo en sus cuatro viajes al “Nuevo Mundo”. El libro Cristóbal Colón. En busca de nuevas rutas, editado por Correo del Maestro y La Vasija, dentro de la colección Grandes Exploradores, ofrece información interesante y que muchas veces se omitió en nuestras clases de historia, por ejemplo: ¿Qué herramientas utilizaban para navegar en el siglo XV? ¿Cuál era la carga que debía llevar un barco, en este caso, las tres naves de Colón? ¿Cómo cocinaban en el barco, qué comían, cómo dormían? ¿Cómo financiaban sus viajes los exploradores? Todas estas cuestiones amenizan la historia pero, no sólo eso, además nos ayudan a sacar nuestras propias conclusiones acerca de los hechos. Sólo por dar un ejemplo, si como dice el libro, Cristóbal Colón era diestro marinero con conocimientos de astrología y experto

en los instrumentos de navegación, ¿de verdad nunca se dio cuenta de que había llegado a nuevas tierras y no a Japón o a China? Su obstinada idea de haber llegado a Oriente ¿tenía que ver con los compromisos que había adquirido con sus mecenas, los Reyes Católicos? ¿O será que su profunda religiosidad no le permitía aceptar la existencia de tierras y grupos humanos no descritos en la Biblia? Mediante mapas, ilustraciones coloridas, datos curiosos y comentarios al margen, Cristóbal Colón. En busca de nuevas rutas permite que la historia abandone su tradicional vestido sepia o gris y nos muestra que, aun siendo una ciencia, esta disciplina deja espacio para variadas interpretaciones. Asimismo, nos damos cuenta de que siempre podemos descubrir nuevas facetas de los personajes de la historia; en este caso, el célebre marinero se aleja del estereotipo para mostrarse como un explorador protagonista de brillantes hazañas, pero también de lamentables equivocaciones.

Reseña del libro Cristóbal Colón. En busca de nuevas rutas, Col. Grandes Exploradores, 8 vols., Correo del Maestro / La Vasija, México, 2005. Informes: Lada sin costo 01 800 31 222 00 www.clublectores.com

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Correo del Maestro Núm. 149 - Octubre de 2008

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