Correo del Maestro Núm. 85 - Junio de 2003

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Cartel: Medidas de uso frecuente

ISSN 1405-3616

Diplomado La ciencia en tu escuela Módulo de matemática. Primaria Carlos Bosch Virginia Ferrari Luz María Marván Pilar Rodríguez

Herramientas computacionales en la enseñanza de la matemática Víctor Larios Osorio

Cuando los niños aprenden matemática Mirta Rodríguez

Francisco de Quevedo

Y en junio, día del padre... ¡qué padre! Arrigo Coen Anitúa

Adolfo Hernández Muñoz

La autoridad y el castigo en la escuela Horacio Belgich

9!BLF?E@:RUPUOV!

México D. F. Junio 2003. Año 8 Número 85. Precio $40.00


UN VIAJE A... El largo y apasionante trayecto recorrido por la humanidad desde su aparición es puesto al alcance de todos en esta serie profusamente ilustrada que se complementa con una detallada línea del tiempo y actividades manuales con las que niños y jóvenes aprenden y se recrean

Colección de ocho libros a todo color • • • • • • • •

¿Quiénes fueron los antecesores del Homo sapiens? ¿Cuántas civilizaciones habitaron la región entre los ríos Tigris y Éufrates? ¿Sabías que el Imperio Chino duró hasta principios del siglo XX? ¿Quiénes eran los brahmanes? ¿Quién fue Buda? ¿Hay algunas maravillas del mundo antiguo en pie todavía? ¿Cuál es el legado de la civilización griega? ¿Hasta dónde se extendió el Imperio Romano? ¿De dónde llegaron los vikingos a irrumpir en la apacible Europa medieval?

Una nueva y divertida forma de aprender historia

Informes y ventas: 01 800 31222 00 • 53 65 08 70 • 53 62 88 60 Página web: correodelmaestro.com


Revista mensual, Año 8 Núm. 85, junio 2003.

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección María Jesús Arbiza Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Héctor Delgado Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Concepción Ruiz Maya Sáenz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 95, Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro Postal No. PP15-5040 autorizado por SEPOMEX. RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Editorial Progreso, S.A., Naranjo No. 248, Col. Santa María la Ribera, C.P. 06400, México, D.F. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Tiraje de esta edición: 25,000 ejemplares, de los cuales 19,800 corresponden a suscriptores.

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Editorial

Ya es común oír hablar de la crisis en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. El problema ha pasado a ser no sólo del interés de quienes tienen que aprenderla o enseñarla en la educación básica, sino de los diversos sectores de la población, debido al papel que ésta juega en el desarrollo de cada uno y de la sociedad en general. El conocimiento matemático es fundamental en la toma de decisiones de muchos asuntos de vital importancia. La población necesita de una cultura matemática, y científica en general, para comprender la complejidad de la realidad contemporánea, para adquirir habilidades que le permitan desenvolverse en la vida cotidiana y para relacionarse con su entorno, con el mundo del trabajo, de la producción y del estudio. En este número de Correo del Maestro se encuentran diversos artículos que nos permiten reflexionar sobre este problema, desde la educación preescolar hasta niveles avanzados. Comenzamos, además, la publicación de los textos generados en el diplomado La ciencia en tu escuela, un programa coordinado por la Academia Mexicana de Ciencias y apoyado por la Secretaría de Educación Pública, en el que trabajan, en conjunto, científicos de nuestro país con maestros de educación básica, tendiente a elevar el nivel de la enseñanza de las ciencias y la matemática a los niños de primaria y secundaria.

Correo del Maestro

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Entre nosotros

Cuando los niños aprenden matemática. Mirta Rodríguez

Pág. 5

Antes del aula

Diplomado La ciencia en tu escuela. Módulo de Matemática. Primaria Carlos Bosch,Virginia Ferrari, Luz María Marván, Pilar Rodríguez

Pág. 9

Herramientas computacionales en la enseñanza de la matemática Víctor Larios Osorio

Pág. 24

Certidumbres e incertidumbres

La autoridad y el castigo en la escuela. Horacio Belgich

Pág. 44

Artistas y artesanos

Francisco de Quevedo (1580-1645). Un diablo penetrante y satírico

Pág. 48

Adolfo Hernández Muñoz

Sentidos y significados

Y en junio, día del padre... ¡qué padre!

Arrigo Coen Anitúa

Pág. 54

Problemas sin número

Travesuras, frutas y engaños. Claudia Hernández García y Daniel Juárez Melchor

Pág. 56

Abriendo libros

La matemática: entre números y filosofía. Virginia Ferrari

Pág. 58

Portada: Arantza Viruega González, 6 años. Páginas a color: Medidas de uso frecuente.

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Entre nosotros

Cuando los niños aprenden matemática Mirta Rodríguez El conocimiento matemático es un producto cultural que precede a los niños en el tiempo y posee reglas o leyes internas que han ido variando según las diferentes culturas, de las cuales los niños se tienen que apropiar. Esta apropiación es un largo camino que se inicia con anterioridad al ingreso del niño a la escolaridad. Desde muy pequeños los niños van construyendo intuitivamente distintas teorías acerca del mundo vivo, la mecánica y el número. A partir de las acciones que desarrollan con el fin de dar solución a juegos o situaciones problemáticas, los niños aprenden. Cuando salen de paseo con sus padres, los niños ven números en los autobuses, en las fachadas de las casas, en los precios de las golosinas, etc. En su accionar cotidiano van ‘construyendo’ paulatinamente ‘significados’ matemáticos. De igual manera descubren ‘para qué sirve’ determinada operación y, al querer ponerla en juego ante nuevas situaciones, intentando su ‘transposición didáctica’, van ampliando sus alcances y descubriendo sus limitaciones. Se construyen nuevos conocimientos a partir de ideas anteriores que los alumnos tenían sobre los mismos, a las que denominamos ‘saberes previos’. Sin embargo, es importante tener en cuenta que los conocimientos no se acumulan unos sobre otros; se articulan, y de ahí la necesidad de un docente que actúe como ‘facilitador’, proporcionando múltiples y variadas situaciones que permitan a los niños aprehender los diversos sentidos de un mismo concepto. Matemática en el nivel inicial

En nivel inicial nuestro objetivo es facilitar la construcción de las nociones matemáticas, que serán la base de posteriores aprendizajes, y sin las cuales resultaría imposible cualquier abstracción de nivel superior. Desarrollamos algunas actividades encaminadas al perfeccionamiento de las siguientes nociones intuitivas: • Operaciones: agregar/reunir-quitar/separar/repartir. • Espacio: representación gráfica: . de sí mismo y de los otros, . de sí mismo en el ambiente, . de sí mismo en movimiento. Atendiendo a requerimientos de: • Tamaño: chico, mediano y grande.

• Numerosidad: tantos como, todos/ninguno, muchos/pocos, uno/varios. • Número: la sucesión natural, numeración oral. • Relaciones de orden: igual-anterior-siguiente. • Clasificación: tamaño-forma-color.

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Cuando los niños aprenden matemática

Elaboración de un climatograma

Muchos de los rituales que se llevan a cabo en la escuela pueden ser utilizados como facilitadores para el desarrollo de aprendizajes. ¿Cuántas maestras inician el día escribiendo en el pizarrón la fecha y dibujando un sol o un paraguas en concordancia con el estado climático? La mayoría, indudablemente. Sin embargo, con un pequeño grado de sistematización, esta actividad puede convertirse en medio para introducir la estadística en el mundo del niño. ¿Llueve o el día está soleado? Construyamos un climatograma elemental. domingo

lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

sábado

Alcanzará con un pizarrón magnético en el que se dibuje una tabla de siete columnas, letreros con los nombres de los días de la semana y dibujos imantados que permitan identificar los distintos estados del tiempo. Cada día se deberá llenar el cuadro correspondiente en el rincón del clima; esto ayudará a conocer la sucesión temporal de los días de la semana y al finalizar ésta nos detendremos a analizar el cuadro. Podemos preguntar a los niños: ¿hubo más días de sol o de lluvia?, ¿alguien puede decir cuántos días soleados hubo? Al realizar el recuento pueden superponerse los dibujos y elaborar entre todos un gráfico de bloques.

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Juegos matemáticos

Dominó Existen distintas variantes, desde el tradicional con puntitos hasta el que incluye algún tipo de figuras. Resulta más conveniente utilizar fichas con dibujos para los niños más pequeños e ir reemplazándolas por las de puntos en función de la maduración y, si el grupo lo permite, elaborar un dominó con los símbolos numéricos. La consigna que rige el juego es: unir las fichas de acuerdo con su valor numérico. Los problemas que plantea el juego: hay que contar, comparar, repartir y asociar por valor numérico. ¿Cómo se juega? 1) Se reparten 7 fichas a cada jugador. 2) Juega primero el que tiene la ficha de mayor valor. 3) Se juega por turno, colocando una ficha igual en alguno de los extremos de la ya colocada. 4) Si no se tiene una ficha que haga correspondencia, se busca entre las no repartidas. 5) Gana el niño que consiga primero acomodar todas sus fichas. La batalla de los naipes Se trata de una actividad para dos jugadores. Utilizaremos un mazo de naipes (sin figuras o comodines), dentro de lo posible franceses, con valores que los niños sean capaces de contar. La consigna que rige el juego es: la carta de mayor valor se queda con la de menor. Los problemas que plantea el juego: hay que contar, comparar, repartir y relacionar por valor numérico. ¿Cómo se juega? 1) Se reparten las cartas por partes iguales entre los jugadores. 2) Sin mirar las cartas, cada jugador voltea una sobre la mesa. 3) Ambos jugadores comparan las cartas. 4) El jugador que colocó sobre la mesa la carta de mayor valor, se llevará ambas. 5) Gana el juego el niño que logró acumular mayor cantidad de cartas. ¡A formar los tríos! De un mazo de naipes se separan y mezclan tantos tríos de cartas iguales como jugadores participen. Requiere de un coordinador de juego. Se debe preestablecer cuántas manos tendrá el juego. La consigna que rige el juego es: encontrar 3 cartas de igual valor. Los problemas que plantea el juego: hay que contar, comparar, repartir y buscar equivalentes numéricos. ¿Cómo se juega? 1) Se reparten 3 cartas a cada jugador. 2) Se pasa al compañero que está a la izquierda el número de cartas que diga el coordinador.

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Cuando los niños aprenden matemática 3) Obtiene un punto el primer niño que consigue reunir las 3 cartas del mismo valor. 4) Gana el juego el niño que alcanza más puntos. Pareja de gemelos Se trata de una adaptación del conocido juego Memotest. Se diseñan tarjetas con dibujos de animales. Es conveniente utilizar no más de cinco clases de animales y variar el número de animales por ficha (ejemplo: 2 fichas con 2 monitos y también 2 fichas con 5 monitos). La consigna que rige el juego es: obtener la mayor cantidad de parejas de fichas idénticas. Los problemas que plantea el juego: hay que contar, comparar y buscar equivalentes numéricos. ¿Cómo se juega? 1) Respetando turnos, cada jugador voltea dos fichas. 2) Compara y cuenta los animales que aparecen en ambas fichas. 3) Cuando voltea dos fichas idénticas se queda con ellas. 4) Gana el juego el niño que consiga acumular mayor cantidad de fichas idénticas. Juego de bolos Puede utilizarse un juego de bolos común o elaborar uno con material de desecho. El juego se practica por equipos. La consigna que rige el juego es: tumbar la mayor cantidad de bolos posibles. Los problemas que plantea el juego: hay que contar y los equipos deben acordar el modo de notación que deseen utilizar para contabilizar los puntos obtenidos. ¿Cómo se juega? 1) Se acuerda la distancia de tiro. 2) Un jugador del primer equipo tira dos veces la pelota contra los bolos. 3) Los otros jugadores se encargan de contar los bolos que tumba y anotar el puntaje obtenido. 4) La actividad se repite en forma alternada hasta que todos los jugadores hayan realizado sus dos tiros. 5) Para descubrir al equipo ganador es necesario contar el total de puntos anotados y compararlos con los obtenidos por el equipo contrario.

Conclusiones

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Es interesante señalar que los docentes tienen la función de orientar la tarea y evaluar los logros y los errores, las dificultades que se han producido para reorientar y realizar los ajustes que fueran convenientes. Los niños se irán apropiando de los distintos saberes a través de una actividad lúdica placentera que les ofrecerá un desafío, los acercará al conocimiento y que, a la vez, enriquecerá sus experiencias grupales.

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Antes del aula

Diplomado La ciencia en tu escuela Módulo de Matemática • Primaria

En la sociedad moderna, la ciencia y la tecnología ocupan un lugar fundamental en el sistema productivo y en la vida cotidiana, por lo que se ha vuelto fundamental que toda la población posea una cultura científica y tecnológica que le permita comprender un poco mejor el mundo moderno y ser más capaz de tomar decisiones. El diplomado en ciencias y matemática del programa La ciencia en tu escuela tiene como propósito central colaborar a la concreción de la enseñanza de las ciencias a los niños de primaria y secundaria trabajando, en conjunto, científicos de nuestro país con maestros de esos niveles. El diplomado dio inicio en agosto de 2002; es coordinado por la Academia Mexicana de Ciencias, que agrupa a investigadores mexicanos de distintas disciplinas científicas, y está apoyado por la Subsecretaría de Servicios Educativos para el D.F., de la Secretaría de Educación Pública. Sustento fundamentales de estos esfuerzos son, por una parte, los científicos que se acercan a la enseñanza básica de la matemática y de las ciencias y, por otra, los maestros que comparten sus experiencias de docentes. La ciencia en tu escuela se complementa con la participación de estudiantes de servicio social, con la elaboración de materiales de estudio para cada una de las áreas, con la organización de conferencias magistrales especializadas para los maestros y con conferencias de divulgación para las comunidades de directores, maestros y padres de familia de las escuelas participantes. Con el fin de que el trabajo realizado dentro de este diplomado pueda extenderse a gran cantidad de maestros que se encuentran en diversas regiones de nuestro país, Correo del Maestro, que ha participado activamente en el proyecto, apoyado por la Academia Mexicana de Ciencias, publicará a partir de este número parte de los textos generados en los módulos que integran el curso.

Presentación Es irrefutable que todo país que aspire a ser independiente cultural, científica y tecnológicamente deberá preparar a las futuras generaciones para ello, a través de una educación sólida y de alto nivel. El desarrollo de la ciencia y la tecnología, así como los avances en las disciplinas educativas, hacen necesaria una constante formación, actualización y superación académica de los profesores responsables de la educación de nuestra juventud. El adecuado diseño e implementación de estas actividades repercutirá en forma definitiva en una mejor preparación de los alumnos, acorde con la época que estamos viviendo, de manera que sean capaces de adquirir una actitud responsable ante un mundo en constante cambio. La SEP y la Academia Mexicana de Ciencias, comprometidas en esta tarea, han diseñado este diplomado, cuyo objetivo primordial es la superación y actualización de los profesores participantes. Estructura y evaluación El diplomado está constituido por cuatro módulos: Matemáticas, Ciencias I, Ciencias 2 e Historia de las ideas científicas, que se cursarán en ese orden. Cada módulo consiste de ocho sesiones sabatinas, cuatro de 2 horas y otras cuatro de 3 horas. Cada una de ellas se detalla más adelante. La evaluación de cada uno de los módulos se hará de la siguiente manera: el 50% de la calificación se otorgará por medio de un trabajo que se entregará por escrito y que se expondrá en Correo del Maestro. Núm. 85, junio 2003.

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Diplomado La ciencia en tu escuela. Módulo de Matemática. Primaria

una sesión con apoyo de carteles durante la última sesión de cada módulo. La forma de calificar este trabajo está indicada al final de la presentación de este diplomado. El otro 50% de la calificación se otorgará con evaluaciones que se harán a lo largo de cada uno de los módulos y cuyos detalles se darán en la primera sesión de cada uno de ellos. Las sesiones podrán ser impartidas por diferentes especialistas. La evaluación del trabajo final podrá ser hecha por uno o varios especialistas, hayan impartido o no sesiones del módulo correspondiente. El diplomado terminará con un minicongreso en el cual los participantes harán reflexiones sobre el trabajo que efectuaron y la experiencia que acumularon al cursarlo. De preferencia este minicongreso se llevará a cabo durante un día completo en alguna institución cercana al Distrito Federal.

MÓDULO

DE MATEMÁTICAS •

PRIMARIA Carlos Bosch, Virginia Ferrari, Luz María Marván y Pilar Rodríguez

Justificación A través de este proyecto se intenta hacer una propuesta que acerque a los científicos y a los profesores para elevar el nivel de enseñanza de la ciencia y la matemática. Los resultados de diversas evaluaciones, así como las encuestas realizadas entre maestros de secundaria indican que los alumnos llegan a estos grados arrastrando, en numerosos casos, graves carencias y errores en la conceptualización y aplicación de temas cuya adquisición corresponde, precisamente, a los contenidos programáticos establecidos para el nivel anterior. Mediante este módulo se propone incidir de manera decisiva en la práctica cotidiana del docente al interior del aula de tal forma que ésta sea, efectivamente, un quehacer sustentado tanto en la comprensión profunda y clara de los conceptos matemáticos a impartir como en una concepción didáctica acorde a los principios del alumno como constructor de su conocimiento a partir de su actividad. Contenido. Hemos hecho un análisis de los temas contemplados en el programa de matemáticas para la escuela primaria en general y para 5° grado en particular, a partir del cual hemos determinado aquéllos que tendrían efectos sobre el conjunto en general. De acuerdo con estas consideraciones, proponemos trabajar sobre el eje de medición por ser uno de los que se desarrollan en el transcurso de toda la primaria y uno en los que se hace mayor hincapié –a la vez que se profundiza y amplía considerablemente– en quinto grado. ¿Por qué detenerse en la medición? ¿En qué consiste la propuesta sobre este eje? Las ventajas de trabajar sobre el eje de medición son varias: 1. La medición tiene una estrecha relación con nuestra vida cotidiana. Todos los días, a toda hora y sin que seamos conscientes de ello, realizamos innumerables actos de medición: la hora en que nos levantamos, la temperatura exterior, la pasta dental que ponemos sobre el cepillo, el agua que consumimos al bañarnos, las tazas de café que tomamos, el dinero que gastamos en camión, pasaje, gasolina, alimentos, luz, teléfono, renta; medimos las distancias recorridas, el tiempo de trabajo, las

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hojas escritas, el tiempo en internet, las calorías que ingerimos… Por todo ello, y más, es un tema que podemos relacionar fácilmente con las experiencias e intereses inmediatos de los niños. 2. El papel que las medidas han jugado en la historia de la humanidad no sólo aporta un mayor interés al tema sino que, además, resalta el carácter significativo que el aprendizaje de las mismas ha de tener. Establecer el vínculo con lo histórico debería ser una aspiración permanente para hacer significativo el aprendizaje de cada uno de los temas del programa de matemáticas. Esta posibilidad se ve especialmente favorecida en el tema de la medición, porque esta actividad ha acompañado al hombre desde la más remota antigüedad. De esta manera, se enlaza un tema que en el ámbito escolar proviene de la matemática, con una actividad cultural universal e históricamente practicada. El vínculo cotidiano e histórico proporciona no sólo una dimensión distinta, sino también un nuevo sentido a la enseñanza de la medición en la escuela primaria. Su aprendizaje, por estar anclado en la historia y en la cotidianidad, ha de ser perdurable. 3. El eje de medición abarca, en quinto grado, el conocimiento de las medidas del Sistema Métrico Decimal (longitud, área, volumen, capacidad, peso y temperatura), de las medidas inglesas y su equivalencia con el SMD, medición del tiempo, de ángulos, de la probabilidad de que un evento tenga lugar... 4. Al abarcar gran parte del contenido programático de quinto y, consecuentemente, gran parte del tiempo que debe dedicarse a la enseñanza de la matemática, tomar la medición como uno de los ejes conductores del mismo permite establecer numerosas y diversas relaciones con los otros ejes (numeración, geometría, tratamiento de la información, procesos de cambio, predicción y azar). 5. La enseñanza de la matemática, incluso en niveles básicos, suele preferir los aspectos lógicoverbales (uso de símbolos abstractos, el lenguaje formalizado, el cálculo, la lógica formal, los procedimientos analíticos.) Sin embargo, la práctica de la medición exige trabajar con material concreto –requisito aún indispensable en esta etapa escolar–, para la adquisición del conocimiento a partir de la propia actividad. La construcción de un laboratorio de medición al interior del aula, armado a partir del trabajo y la participación de los niños, debe ser condición ineludible para el aprendizaje significativo de este tema. Un laboratorio en el aula permite el desarrollo de los aspectos visuales-imaginativos (dominio de las imágenes visuales, los aspectos intuitivos, la capacidad para detectar formas). Proponemos una metodología que permita integrar ambos componentes, los lógico-verbales y los visuales-imaginativos, porque esto permite aproximarse a métodos más creativos, para producir una imagen más realista de la naturaleza de la matemática. Es bueno considerar que el juego dirigido es una fuente rica e interesante, por medio de la cual se pueden crear situaciones que permiten a los niños descubrir relaciones que favorecen la construcción de conocimientos. 6. El trabajo de medición con material concreto ha de favorecer el establecimiento de relaciones y la adquisición de diversos conceptos matemáticos a niños con necesidades educativas especiales, como pueden ser los disminuidos visuales o auditivos.

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Diplomado La ciencia en tu escuela. Módulo de Matemática. Primaria

Así pues, por estar enraizada en las prácticas culturales de cualquier sociedad y, en consecuencia, el niño inmerso en el lenguaje que da cuenta de ellas, la medición resulta ser uno de los ejes privilegiados dentro del programa de matemática de la escuela primaria, razón por la cual lo proponemos como el hilo conductor fundamental de esta propuesta. Este módulo se evaluará con un trabajo escrito. Se propone distribuir las 20 horas del diplomado en 2 sesiones semanales de 2 horas cada una. En el conjunto de las diez sesiones se dedicarán: • 2 horas al empleo de internet, • 10 horas a conocimiento, • 6 horas a materiales y actividades didácticas, • 2 horas a la exposición de los trabajos elaborados por los participantes. A excepción del tiempo que se dedicará de manera exclusiva a la adquisición de destreza en el uso de internet, los otros aspectos serán trabajados de manera integrada en las demás sesiones de tal forma que en cada una de ellas se aborden aspectos teóricos, didácticos y prácticos, además de que se propongan ejercicios que han de servir, a la vez, de retroalimentación y de evaluación. PROGRAMA

POR SESIONES

Sesión 1: (3 horas) A. Introducción al módulo y al proyecto. Metas y alcances. Dinámica del módulo, y como éste se integra al Diplomado. Evaluación (Elaboración de material didáctico, exposición de trabajos) Trabajo con la computadora. Paquetes: procesadores de texto, correo electrónico. Comunica-ción: Internet, acceso a buscadores. B. Historia de las medidas Introducción: La medición como herramienta en la enseñanza de la matemática en la escuela primaria. Acercamiento a la historia de las medidas. Significación e importancia en la vida cotidiana de los hombres. El origen de las medidas. La diversidad de medidas, las medidas antropométricas. El problema de la arbitrariedad y convencionalidad de las medidas. Necesidad de universalización, el surgimiento de los sistemas de medidas. Concepto de medir Qué es medir Qué es lo que se mide. Formas de medir. Medidas y unidades de medida. Sesión 2: (3 horas) A. Magnitud Concepto de magnitud, longitud, área, volumen, tiempo, peso, temperatura, velocidad, fuerza, densidad. Distinción entre la magnitud y su medición Clasificación de las magnitudes. B. Longitud. La longitud. Dimensión y distancia. Longitud y línea recta. Introducción al Sistema Métrico Decimal. Breve referencia a las circunstancias históricas que conducen a la creación del Sistema Métrico Decimal, su novedad, su estructura, las dificultades para su implementación, su universalidad. El metro. Primeras determinaciones, definición actual. Experiencias diversas en el empleo del metro como unidad de medida. Estimaciones.

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Múltiplos y submúltiplos del metro. Escritura de estas unidades, numeración decimal. Equivalencias. Sesión 3 (2 horas) Superficie y área Superficie y área. Actividades dirigidas al encuentro de relaciones entre perímetro y área y a afirmar la conservación de la superficie. Sugerencias de actividades didácticas dirigidas a que los niños deduzcan la fórmula para el cálculo del área de algunos polígonos. Unidades de medida. Múltiplos y submúltiplos. Equivalencias. Pitágoras. Sesión 4: (3 horas) A.Volumen Noción de volumen Área y volumen. Experiencias con una y otra magnitud. Distinción entre volumen interno, volumen como espacio ocupado y volumen complementario o cantidad de agua desalojada. Relaciones entre el volumen de distintos cuerpos; ejemplo: pirámides y prismas, conos y cilindros, esferas y cilindros. Obtención de la fórmula para el cálculo del volumen de algunos cuerpos geométricos. Unidades de medida. Múltiplos. Submúltiplos. Equivalencias. B. Capacidad, Peso,Temperatura Concepto de capacidad Volumen y capacidad. Unidad de medida de capacidad. Múltiplos y submúltiplos. Equivalencias. Elaboración de distintos instrumentos de medición a partir de objetos de uso cotidiano. Cálculo del volumen de un cuerpo por desalojo de agua. Concepto de la magnitud peso. Peso y masa. Peso y fuerza de gravedad. El sentido del peso a partir del sentido muscular, ejercicios de comparación de pesos. La balanza, construcción de una balanza, las pesas. Unidades de medida de peso: el gramo o el kilogramo. Unidades de medida. Múltiplos y submúltiplos. Equivalencia. Temperatura. Concepto de temperatura. Concepto de energía térmica. La medición de la temperatura. Los grados centígrados. El termómetro. Construcción de un termómetro. Sesión 5: (2 horas) Ángulos,Tiempo. Ángulos. Noción de ángulo desde el punto de vista dinámico y estático. Comparación de ángulos, clasificación. El uso de giros y fracciones de giro para medir ángulos. El grado. El transportador. Suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero. Tiempo. Construcción de la noción del tiempo en los niños. Apreciación de los intervalos. Medición del tiempo, formas que el hombre ha desarrollado para medir el tiempo. El reloj. Sesión 6: (3 horas) Probabilidad La probabilidad. Definición e importancia. Independencia de eventos. Probabilidad condicionada. Registro de eventos. Tablas de frecuencias. Frecuencias acumuladas. Gráficas y su interpretación. Sesión 7: (3 horas) Crecimientos Notación científica. ¿Qué tan grande? ¿Qué tan pequeño? ¿Cómo medimos las distancias dentro del Sistema Solar? ¿Cómo medimos a los microorganismos? Crecimiento y decaimiento exponencial. Sesión 8: (2 horas) Sesión de evaluación y presentación de los trabajos.

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Diplomado La ciencia en tu escuela. Módulo de Matemática. Primaria

Sesión 1 Sesión introductoria, en la que se presentaron los objetivos generales del diplomado, los contenidos y la planeación del curso, así como las formas de evaluación. Posteriormente, se plantean situaciones problemáticas que deben ser resueltas empleando unidades de medida no convencionales y se realiza, a nivel grupal, una discusión sobre la historia de la medición basada en los textos Las medidas y los hombres, de Witold Kula (Siglo XXI editores) y Física, de Irwin Genzer y Philip Youngner (Publicaciones Cultural, S.A.). Los interesados pueden consultar un resumen de ellos en la página de internet del diplomado La ciencia en tu escuela:http://www.amc.unam.mx/laciencia/lacienciaentuescuela2.htm. Sesión 2 Objetivos El objetivo de la primera parte de esta sesión es hacer una propuesta de trabajo que permite introducir las nociones de cuerpo, superficie, línea y punto, gradual y paralelamente. Asimismo, se propone la aproximación a las nociones de volumen, superficie y longitud y la iniciación en su medición. La segunda parte de la sesión tiene por objetivo el trabajo específico en la medición de la longitud. PRIMERA

PARTE

El eje de medición Gran parte del programa de matemáticas de quinto grado de primaria está dedicado al eje de medición. El libro para el maestro especifica: El objetivo de este eje es que los alumnos realicen mediciones y estimaciones, desarrollen destrezas en el uso de instrumentos de medición y resuelvan problemas que involucren diferentes magnitudes, utilizando las unidades de medida convencionales más comunes. La construcción y el uso de instrumentos de medición, como el metro, la regla graduada, el dinamómetro, la balanza, el termómetro y otros, favorecen la comprensión del significado de medir, es decir, la comparación del objeto con la unidad de medida elegida y las equivalencias entre las diferentes unidades. El programa propone el reforzamiento de la medición de perímetros y que los alumnos cuenten con un procedimiento útil para calcular el área de cualquier figura. El propósito es que adquieran la habilidad para calcular el área de diversas figuras a partir de su descomposición en triángulos, cuadrados o rectángulos, utilizando las fórmulas para calcular el área de tales figuras. De esta manera, contarán con un procedimiento general para obtener el área de figuras de lados rectos y no estarán obligados a aprender de memoria una fórmula para cada figura. En lo que se refiere al volumen, se propone que se realicen actividades para que el alumno se acerque a esta noción y a su medición. Asimismo, se sugiere que se ponga el énfasis en las equivalencias y se reflexione en la semejanza con el sistema de numeración decimal. Aparecen, pues, estrechamente entrelazados los ejes de medición, geometría y numeración, lo que nos permite avanzar de manera integrada en distintos temas del programa a la vez que nos multiplica la diversidad de actividades interrelacionadas.

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La longitud es lo más sencillo Es frecuente que al comenzar el estudio del área, los niños confundan esta noción con el perímetro. Asimismo, suele suceder que luego, al comenzar el estudio del volumen, presenten mucha dificultad en su conceptualización. De todo ello deriva que, en numerosas ocasiones, nuestros alumnos intenten aplicar fórmulas mecánicamente, haciendo caso omiso de la magnitud que se está considerando y la unidad de medida con la que se está trabajando. Al suceder esto, caemos en la cuenta de que lo que falla está en la base de estos conocimientos, esto es, en las propias nociones de estas magnitudes. Los niños llegan a 5° y 6° grados sin tener claras las nociones de longitud, superficie y volumen y, por lo mismo, su medición se confunde. Parte de las razones por la que esto sucede se encuentra en la lógica con la que distruibuimos los temas del programa de matemáticas en la escuela primaria: pensamos que el estudio de la longitud es más sencillo para los niños que el de la superficie y el volumen y, por lo mismo, lo enseñamos primero. Desde el punto de vista de la didáctica de la matemática esta elección –ir de lo simple a lo complejo, de lo fácil a lo difícil– parece ser lo más atinado. Sin embargo, ¿es éste realmente el camino más sencillo para el niño? Las confusiones a las que hicimos referencia parecen indicar que debemos detenernos en estas cuestiones y considerar aspectos que pudieran llevamos a matizar este enfoque. Por lo general, en la enseñanza de estas magnitudes partimos de que la longitud ha de ser la que más se facilita a los pequeños por diversos motivos: • Tomamos, en primer lugar, aquellas consideraciones que parten del niño. De las tres propiedades físicas fundamentales –longitud, masa y tiempo–, la longitud es la que el niño de 10-11 años capta con mayor facilidad por haber alcanzado a esta edad –y en la mayoría de los casos– su conservación.1 • El aprendizaje del niño se facilita cuando para la enseñanza partimos del empleo de materiales concretos. La longitud es susceptible de ser representada con materiales manipulables. Por corresponderse con la primera dimensión, la longitud puede ser asociada a la línea y ésta, a su vez, la podemos representar mediante objetos tales como una cuerda, un estambre, un hilo, un alambre, etc., o mediante trazos de un lápiz sobre un papel, de un gis sobre el pizarrón y el piso, o mediante ligas en un geoplano. Es conveniente que abramos aquí un paréntesis. Es necesario que nosotros, como adultos, tengamos muy claro que tanto la línea como la superficie son abstracciones, que nunca vamos a poder sostener una de ellas, de manera aislada, en la mano. Las superficies, las líneas, los puntos, únicamente existen como construcciones teóricas y sólo podemos trabajar con sus representaciones. Sin embargo, 'podemos hacer de cuenta' que ciertos objetos son líneas o superficies, o podemos considerarlos como partes de objetos o como representaciones de ellos; así, podemos tocar las superficies de los cuerpos o 'ver' la línea donde se tocan las caras de una caja. Esta puntualización es sumamente importante, por lo que volveremos sobre ella al hacer referencia a cómo trabajar estas nociones con los niños. 1 Una condición necesaria previa para la medida es que el niño entienda que un objeto sigue teniendo la misma longitud inde-

pendientemente del cambio de posición. [...] Sin embargo, el hecho de comprender que la longitud se conserva, aunque el objeto sufra un cambio de posición, no indica necesariamente que se haya entendido la idea de medida. Aunque un niño sea capaz de comprender la conservación de la longitud cuando dos series de objetos se le presenten ordenados en línea recta, puede no ser capaz de comprender que la longitud se conserva si son reordenados siguiendo una línea curva o quebrada. Lovell, K; Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Ed. Morata, Madrid, 1986, p.132.

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• Hay también razones matemáticas: La unidad de longitud, el metro, es la unidad básica, fundamental, del Sistema Métrico Decimal. Recordemos que ésta fue la primera unidad que los científicos abocados a la creación de este sistema determinaron y a partir de la cual definieron las demás unidades. • La longitud permite, mediante la utilización de material concreto, 'visualizar' la relación de 'diez en diez' de las distintas unidades –múltiplos y submúltiplos. ¿Qué queremos decir con visualizar? Que podemos construir un metro con papel, cortarlo en decímetros y ver, por superposición, a cuántos de éstos equivale el primero, y luego repetir la operación para ver la equivalencia con los centímetros. De esta manera será más sencillo comprender las famosas 'equivalencias' o 'conversiones' que muchas veces abordamos enseñando un memorizado mecanismo de correr el punto decimal hacia la derecha o la izquierda según sea el caso. El cuerpo es lo más cercano Una vez establecidos algunos porqués a favor de iniciar a partir de la longitud, veamos ahora algunos argumentos que nos llevan a cuestionar este enfoque. • Recurrimos, en primer lugar, a la siguiente cita: La geometría se ocupa del espacio y de las propiedades y relaciones de los objetos en él. Separadas de sus propiedades físicas, las formas espaciales son consideradas desde un punto de vista puramente abstracto. Y es este nivel de abstracción el que distingue a la geometría de las otras ciencias que también investigan a los cuerpos y sus interrelaciones. En la astronomía, por ejemplo, las posiciones mutuas de los cuerpos celestes son estudiadas, pero éstos son en realidad objetos masivos en el Universo. En la geodesia es la forma de la Tierra lo que interesa; para la cristalografía, la forma de los cristales, en la morfología, el tamaño, estructura, estructura interna y perfil de los organismos vivos, y así sucesivamente. En otras ciencias, la forma y la posición de los objetos concretos es analizada, pero siempre en dependencia con otras propiedades evidentemente no geométricas.En la geometría no es posible hacer experimentos con puntos adimensionales, con rectas sin grosor o planos sin masa. La única posibilidad de demostración es mediante argumentos lógicos 2.

¿Por qué hacemos referencia a estas ideas? Porque debemos tener en cuenta que al abordar el estudio de la longitud estamos haciendo referencia, de alguna manera, a la medición de líneas (rectas y curvas) y que éstas no existen en el mundo real, son abstracciones. Lo mismo sucede con las superficies. Lo único que existe son los cuerpos, los cuales constan de tres dimensiones. • Teniendo en cuenta esto y lo expresado respecto al aprendizaje del niño, ¿no existe entonces, al menos a primera vista, una contradicción entre lo que hacemos y lo que deberíamos hacer? Si nos guiáramos por los principios didácticos que indican partir de lo más cercano y concreto al niño para ir llevándolo, poco a poco, hacia las nociones más abstractas, deberíamos comenzar por los cuerpos. Ellos son lo real, lo que existe, lo que nos rodea. Tienen materia, masa, peso, densidad, volumen; podemos tocarlos, olerlos, moverlos, percibir su tamaño y su color... atributos, todos ellos, que no podemos adjudicar a los puntos, las líneas y las superficies por sí 2 Berlanga, R.; Bosch, C.; Rivaud, J. J.; Las matemáticas, perejil de todas las salsas. Fondo de Cultura Económica, Colección La

ciencia para todos, 163, México, 1999. p.48.

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mismos. Cuando podemos hacerlo es en referencia al cuerpo del que son una parte, nunca de manera aislada Entonces, ¿no son los cuerpos lo más cercano al niño? ¿No son el suyo, el de su madre y los objetos que lo rodean, los primeros cuerpos que conoce? ¿Por qué no partir 'del cuerpo' y 'los cuerpos'? • Pero hay un aspecto más en favor de esta propuesta. En sexto grado, al comenzar a trabajar con fórmulas tales como 'área de la base por la altura' para el cálculo de volumen, muchos niños preguntan cómo es que la superficie se 'transforma' en volumen. La pregunta es, sin duda, elocuente. ¿Es posible construir un cuerpo a partir de la línea o la superficie? ¿O esto únicamente podemos hacerlo recurriendo a grandes abstracciones y tecnologías sofisticadas? ¿Qué será más sencillo para el niño? Estas consideraciones parecen indicar que este segundo camino puede ser muy fructífero. Algunas actividades Es importante tener en cuenta que, de manera conjunta, abordaremos cuerpo, superficie, línea y punto, así como posteriormente trabajaremos, paralelamente, unidades de volumen, área y longitud. 1) En primer lugar introducimos, mediante actividades, la noción de cuerpo como lo que ocupa un lugar en el espacio sin, lógicamente, partir de la definición. Para ello podemos proponer experiencias en las que efectivamente trabajemos con objetos concretos o situaciones en las que recurrimos a la imaginación. Así, por ejemplo, podemos plantear a los niños qué ocurriría si de buenas a primeras ingresaran a nuestro grupo de 5°, veinte niños más. ¿Cómo nos sentiríamos? ¿Tendríamos el mismo espacio y el mismo tiempo para cada uno? ¿Cabríamos todos en el salón? ¿Qué sucedería? ¿Por qué al haber más personas en el grupo, el espacio libre de que disponíamos en el salón se reduce? Las situaciones en que esto sucede pueden ser muy variadas: en el camión de pasajeros, en una alberca, en el patio de recreo, en un salón de fiestas, etcétera. Lo importante es que nuestras preguntas conduzcan a los niños a darse cuenta de que cada uno de nosotros y de los objetos que nos rodean ocupa un lugar en el espacio. Esto lo podemos ver claramente cuando ponemos cosas dentro de una caja: llega un momento en que ésta se llena. Podemos llevar al salón una caja de cartón en la que quepa únicamente un niño 'hecho bolita'. Solicitarle a uno que se meta, que cierre la tapa y luego preguntarle: ¿Cabe algún compañero más? ¿Por qué? Esta experiencia resulta ser muy esclarecedora para los niños pues inmediatamente perciben lo que significa 'ocupar un lugar en el espacio'. 2) Podemos proporcionar a los niños papel, tijeras y pegamento y que ellos construyan sólidos de papel. Lo importante en esta actividad es el despliegue de la imaginación y el desarrollo del ingenio que se expresa en la variedad de resultados. 3) Una actividad que favorece el pasaje a la abstracción es plantear a los niños que no es necesario recurrir a objetos concretos para delimitar regiones espacio, podemos hacerlo con nuestra imaginación y obtener espacios invisibles. Así, podemos delimitar un espacio imaginario en el que estamos metidos y al que le imponemos ciertas restricciones. Por ejemplo: Estoy de pie sobre una base rectangular en la que puedo moverme cinco pasos hacia delante y tres hacia atrás. Si extien-

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do los brazos lateralmente, toco las paredes interiores con la uña del dedo mayor. Si levanto un brazo, éste golpea con el techo antes de que lo haya extendido completamente. Otro ejemplo: Desde el punto en el que estoy de pie, en mi espacio, en cualquier dirección que camine únicamente puedo dar diez pasos como máximo. Si extiendo un brazo hacia arriba, toco el techo con la palma de la mano. Éste es plano. Cada niño pasa al frente a describir mediante palabras, no con gestos, el espacio que ha delimitado para sí. 4) La misma caja usada anteriormente puede servir para trabajar la noción de superficie. Estando la caja cerrada podemos preguntar: ¿Es ilimitada la caja? ¿Cuál o cuáles son sus límites? Para indicarlos, podemos pasar la palma de la mano extendida sobre ellos e indicarlos. A estos límites les llamamos superficies. Vemos que en el caso de esta caja, las superficies son planas, las llamamos caras. ¿Cuántas caras tiene la caja? Podemos distinguir –siempre y cuando la caja esté cerrada– superficies exteriores y superficies interiores. ¿Cuántas son las superficies exteriores? ¿Cuántas las interiores? Si abro la tapa de la caja y así la dejo, ¿qué sucede? ¿Puedo hacer la misma distinción que antes? ¿Cómo son ahora las superficies? ¿Cuántas son? A continuación podemos examinar una de las caras y recorrer con el dedo (la palma de la mano resulta ahora muy grande) su frontera. A las fronteras de las caras le llamamos aristas. Recorremos con el dedo todas las aristas. ¿Cuántas aristas hay? ¿Dónde comienza y dónde termina una arista? Los niños no siempre llegan a decir el lugar donde se encuentran dos aristas. Si esto sucede, debemos conducirlos mediante preguntas. A los puntos donde se encuentran las aristas se llaman vértices. Recordemos que el límite de una línea es un punto. ¿Podemos ir de una arista a otra desplazándonos sólo por las aristas, sin atravesar ninguna cara? Esta pregunta resulta importante, porque establece una marcada diferencia con el cilindro que se analizará en otra actividad. 5) Ya que hemos trabajado con superficies, líneas y puntos de un cuerpo, podemos plantear una actividad en que los niños trabajen con distintos sólidos (tetraedros, pirámides, octaedros, etc.) fabricados por ellos mismos o de plástico, para descubrir las relaciones entre el número de caras, el número de aristas y el número de vértices. Se sugiere que se disponga de varios tetraedros y unirlos para obtener nuevos sólidos. En cada caso se han de contar el número de caras, de aristas y de vértices. Si luego se les sugiere a los niños que sumen el número de caras con el número de vértices y comparen el resultado con el número de aristas, podrán descubrir nuevas relaciones. 6) Una actividad que permite la manipulación y la construcción de sólidos con material concreto es armar éstos con palillos y plastilina. Contamos caras, aristas y vértices. 7) Una actividad que es un antecedente de la medición de superficies y volúmenes es el trabajo con teselaciones. Las teselas pueden ser construidas en papel o en corcho (estas últimas quedan muy bonitas). Construimos triángulos equiláteros, cuadrados, rectángulos, pentágonos, hexágonos, heptágonos, etc., de ser posible hasta decágonos. Las distribuimos entre los niños para que, por figuras, traten de 'pavimentar' o 'enmosaicar' la mesa sin dejar huecos. Al principio los niños intentarán no dejar huecos con ninguna de las figuras y se sorprenderán de ver que con algunas

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de ellas no es posible lograrlo por más intentos que se hagan. Les decimos que las figuras con las que es posible cubrir un plano ‘hasta el infinito’ si pudiéramos, se llaman teselas. Este mismo material nos puede servir para contar caras, aristas y vértices y establecer relaciones.

M. Riveros y T. Zanocco. Geometría: aprendizaje y juegos, Ed. Universidad Católica de Chile, Santiago de Chile, 1992

8) La siguiente actividad no sólo permite insistir en el trabajo con superficies y aristas sino que, además, permite abordar un caso que resulta 'sorprendente'. Con una tira de papel construimos un cilindro. Vemos que el cilindro tiene una superficie curva y dos planas, una superior y una inferior. Asimismo, tiene dos aristas, la superior, donde la 'tapa' superior se une con la pared curva, y la inferior, donde se une esa pared con el 'piso'. Pasamos el dedo por una y otra aristas y observamos que para pasar de una a otra es necesario pasar por la superficie curva. También podemos colorear la pared curva interior de un color y la pared curva exterior de otro color y ver que éstas no se tocan, que están separadas por las aristas. Si solicitamos a los niños que corten el cilindro a la mitad, a lo largo del centro de la pared curva, obtendrán dos cilindros con características similares al ya descrito. Con otra tira de papel, construimos una banda de Moebius y les solicitamos que coloreen sus caras. ¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántas aristas? ¿Qué sucede si la cortamos a lo largo del centro?

9) A partir de una superficie plana como una hoja de papel podemos considerar una sola de sus caras, o las dos más grandes, y jugar a que aumentamos el número de superficies a partir del plegado de papel (origami). Un cuerpo de seis superficies podemos transformarlo en un cuerpo con muchas superficies más. Podemos colorearlas y contarlas. 10) Otra actividad es desarmar cajas. Solicitamos a los niños que lleven cajas de diversos productos tales como cereales, pasta dental, chocolate Abuelita, etc., y les pedimos que las describan según la cantidad y forma de sus caras, vértices y aristas. Luego, con mucho cuidado, desarmamos las cajas y observamos el desarrollo. En el caso del cilindro es interesante ver cómo la cara curva de un cilindro queda convertida en un rectángulo. 11) Una actividad que tiene relación con la anterior es pedirle all niño que, ante la representación de un cuerpo geométrico y diversos polígonos, coloree únicamente aquéllos que le permitan armar el cuerpo geométrico. Por ejemplo:

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M. Riveros y T. Zanocco. Geometría: aprendizaje y juegos, Ed. Universidad Católica de Chile, Santiago de Chile, 1992.

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12) Podemos trabajar con líneas determinando regiones abiertas y cerradas y contándolas. Vemos cuándo estamos dentro de una región, cuándo estamos fuera, cuándo estamos en la frontera. Elaboramos laberintos. Este ejercicio lo podemos hacer con material concreto como puede ser cuerdas sobre el piso, o con trazos sobre una hoja de papel. 13) Con cajas de medicamentos y cereales a las que recortamos el ‘piso’ y unimos con pegamento podemos construir maquetas de edificios. También les recortamos las puertas de entrada. Luego imaginamos que mojamos la parte inferior de la maqueta en pintura e inmediatamente imprimimos una hoja de papel. Nos queda impreso el plano del edificio. Hemos pasado a la representación en el plano.

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Actividades de medición de volumen, área y longitud Una vez que los niños pueden distinguir claramente volumen, superficie y longitud, pasamos a su medición. Para ello mediremos primero con unidades de medidas arbitrarias –lápices, gises, estambres, cuadernos, libros, cajas variadas, etc.– trabajando en una y otra magnitud, de manera de conducir a los niños a la necesidad de un patrón y, en el caso de la superficie y el volumen, también a la conveniencia de que este patrón sea una tesela. Una vez que hemos llegado a la conveniencia de que estos patrones sean el cuadrado y el cubo –para el caso de superficie y volumen– independientemente de lo que midan, podemos llegar a la conclusión de que el volumen se mide en unidades que llamaremos cúbicas, la superficie en unidades cuadradas y la longitud en unidades lineales. Ahora podemos pasar a poner ejercicios como los siguientes (ver figuras) en que el niño deba distinguir la unidad de medida que emplearía en cada caso. Por ejemplo: Si tengo que medir el largo de la falda, si quiero saber si cabrá el refrigerador en el hueco de la cocina que destiné para él, o la porción de terreno de la escuela que podemos dedicar a la parcela agrícola, ¿qué unidad empleo en cada caso?

¿Qué unidaes usarías para hacer las siguientes mediciones? ¿Lineales, cuadradas o cúbicas?

1. El piso que quiero cubrir con mosaicos __________________________

1. El largo de cada una de las faldas __________________________

1. La distancia entre el D.F. y Acapulco __________________________

1. El espacio interior de la caja con que jugamos __________________________ Correo del Maestro. Núm. 85, junio 2003.

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5. El espacio en el que voy a poner el refrigerador_________________

6. El terreno cercado___________________

7. El terreno que ocupa la cancha de fútbol __________________________

8. El espacio interior de la caja del camión __________________________

9. El espacio que tenemos al interior de la tienda de campaña________________

10. Mi estatura ________________________

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13

11. La pared que voy a empapelar ___________________

13. Mi cuerda para saltar _______________

12. La cantidad de agua que le cabe a la alberca ___________________

cm

13. Mi pie ___________________

Una vez que los niños tienen clara esta diferenciación, podemos empezar a trabajar con las unidades de medida del Sistema Métrico Decimal, comenzando, ahora sí, por las unidades de longitud. SEGUNDA

PARTE

Medición de longitudes Por lo general, al llegar a 5° grado los niños han tenido numerosas experiencias de medición de longitudes y no presentan dudas al respecto. Sin embargo, no es poco frecuente que tiendan a pensar que medir longitudes es medir segmentos de recta y suelen sorprenderse cuando se les invita a medir el perímetro de figuras como las que se observan, que pueden representar el contorno de un lago, un área protegida o una cancha de beisbol. Al trabajar sobre el cuaderno con este tipo de situación, los niños suelen recurrir a distintos procedimientos; por ejemplo, algunos dividen la línea curva en pequeños segmentos rectos y miden cada uno para luego sumar todos; otros colocan un hilo encima del contorno de la figura y luego lo miden estirado. Pero, ¿podemos recurrir a estos procedimientos de medición cuando se trata de la realidad? ¿No resultaría poco práctico y muy fatigoso medir el contorno de un lago de tal manera? ¿De qué otra forma podríamos hacerlo? En provincia es frecuente ver trabajadores midiendo carreteras y campos con una rueda. ¿Cómo podemos construir una en clase?

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Herramientas computacionales en la enseñanza de la matemática Víctor Larios Osorio En este escrito se presentan algunas reflexiones acerca del papel que puede tener la incorporación de la tecnología computacional en la educación matemática, además de señalar algunos aspectos que tienen que ser necesariamente tomados en cuenta para poder llevar a cabo un proceso de aprendizaje eficaz y eficiente, haciendo hincapié en el hecho innegable de que su uso ni es trival ni representa automáticamente la solución de los problemas de enseñanza y de aprendizaje en la matemática.

1. En las últimas dos décadas el desarrollo de la tecnología electrónica e informática ha tomado un impulso tal que se ha introducido en casi todos los ámbitos de la sociedad humana, en aspetos sociales, económicos y científicos, incluyendo a la educación y la matemática. Estos avances tecnológicos tendrían que hacer reflexionar a las autoridades educativas, pero más que nada a los docentes, de una manera seria y responsable sobre las implicaciones que en los procesos educativos (incluyendo los escolares) puede tener su aplicación a fin de considerar a esta tecnología un apoyo eficaz y eficiente para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática (y otras ciencias). Es importante considerar que cuando se habla de tecnología informática o electrónica, comúnmente nombrada ‘tecnología computacional’, no sólo se debe incluir a las computadoras personales, sino que también aparecen en el panorama las calculadoras electrónicas en sus diversas modalidades. No es válido eliminar las potencialidades que en aritmética, teoría de números, álgebra, trigonometría y cálculo pueden tener el uso de calculadoras electrónicas sencillas, al tener el equipamiento de un salón de clases con computadoras personales y la utilización de software que realice operaciones simi-

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lares. El tamaño físico del aparato no necesariamente es proporcional a las posibilidades educativas que tiene, y menos en espacios educativos con presupuestos económicos restringidos. Existen las calculadoras electrónicas básicas (qué solo contienen las cuatro operaciones fundamentales y ocasionalmente un par extra de funciones), las científicas (que permiten el uso de algunas funciones y sus inversas), las graficadoras (que proporcionan al menos una idea cercana de la curva de una función) y las llamadas ocasionalmente hand-held, que además de graficar ya portan sofware (denominado Advanced Mathematics Software y Computer Algebra Software) comparable con el usado en las microcomputadoras. De hecho, no sólo existen investigaciones didácticas donde se usan computadoras personales o hand-held, sino que también existen muchas que toman en cuenta a las calculadoras de bolsillo (véanse por ejemplo Flores, 1991 y 1995; Wenzelburger, 1993; Cedillo, 1995). 2. Esta tecnología, cada vez más al alcance de los individuos y las instituciones, no sólo ha afectado al aspecto algorítmico, en el cual ha buscado desde hace siglos la descarga de trabajo operativo que resulta mecánico, sino que también


ofrece las oportunidades gráficas y el impacto que esto tiene en la construcción de los conocimientos y en el desarrollo de habilidades (ver Hitt, 1998). Las computadoras y las calculadoras permiten además una retroalimentación casi instantána del usuario, pues su capacidad de manejo de información permite a estos aparatos dar respuestas rápidas a las acciones emprendidas por el usuario y éste, utilizando habilidades que no sólo se quedan en los algoritmos, está en posibilidades de aceptar o no la respuesta, de rectificar si es necesario las condiciones sin estar supeditado a otra persona, a un suceso o a un texto. El resultado es un ciclo como el que sigue (Dixon, 1991:107): Ud. piensa

Ud. escribe

dibuja

La microcomputadora

Ud. mira

Ud. piensa

Estas herramientas, por su misma construcción y programación, permiten también dar énfasis a la necesidad de una comunicación correcta, puesto que las máquinas requieren que se les indique qué hacer de una manera más o menos precisa, pues siguen algoritmos, y entonces los objetos que se manejan o se construyen deben ser lo que se pretende y no sólo parecer que lo son. Por ejemplo, al utilizar software para geometría dinámica a fin de obtener la circunferencia inscrita de un triángulo pueden quedar las dos siguientes construcciones: B

B

. A

I

.Q

.I

C

A

.

C P

Figura 1

Obsérvese primero que las dos circunferencias fueron creadas utilizando a I como centro (es el incentro) y a Q y P (respectivamente) como puntos que se encuentran en la circunferencia. Pareciera que las dos construcciones funcionan, mas a aquél que ya está familiarizado con la geometría dinámica se le hará más fácil darse cuenta de que la figura de la izquierda está pensada como una construcción estática, pues Q es un punto cualquiera, y sólo la construcción de la derecha se ajusta más al uso de software, pues P está construido como el pie de la perpendicular al lado AC que pasa por I. Es importante hacer notar a los lectores que no estén familiarizados con la geometría dinámica que la construcción de una circunferencia con centro en I y que pase por P ó Q resulta incluso más fácil con la computadora que con un compás, pues éste se tiene que abrir a una medida dada (aunque se obtenga por medio de aproximaciones o ‘a ojo’) mientras que con aquélla se selecciona el punto que será el centro (I en este caso) y luego se mueve el ratón para seleccionar (o crear) el punto por donde pasará la circunferencia, lo cual permite ver cómo la circunferencia crece o decrece a voluntad, ajustando su tamaño a la medida que uno quiere (si es necesario). Precisamente por esta capacidad de arrastre es posible mover los vértices o los elementos de la construcción una vez finalizada y si está bien hecha deben conservarse las propiedades geométricas de los objetos que fueron creados. Esto tiene como consecuencia que los objetos que parecen ser algo y no lo son queden en evidencia. Como ejemplo presentamos tres imágenes1 que resultan de tomar la primera figura 1 y mover (con el ratón) sólo el vértice C horizontalmente hacia la izquierda:2

1 En un medio impreso como éste no es posible poner ejemplos que se muevan, sino sólo los pasos que sugieran movimiento. 2 Se puede notar que los puntos A, B y Q no se mueven (así como el lado AB) porque su posición no depende de C, a diferencia

de los otros dos lados del triángulo y el punto I, cuya posición, en cierta medida, sí depende su posición de la de C.

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Herramientas computacionales en la enseñanza de la matemática

B

B

.

.Q

I

.Q

.I

C

C

A

A B

I

.

.

Q

C

Figura 2

A

Como resultado se puede notar que lo que parecía ser la circunferencia circunscrita no lo es en general, sino sólo para un caso en particular. En cambio, si se miran las siguientes figuras, que muestran el mismo procedimiento de arrastre del vértice C de la parte derecha de la figura 1, se aprecia que la circunferencia inscrita cambia de tamaño (porque cambió el triángulo) pero sigue siendo lo que debe ser: B

B

.

I

.

.Q

.I .

C

C

P

P

A

A B

I

. C

. P

Figura 3

A

De hecho, como menciona Alessandra Mariotti (2000), esta acción que comúnmente es llamada el examen de arrastre puede llevar al

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estudiante a un nivel genérico de las construcciones; es decir, hacia una perspectiva teórica del conocimiento matemático. Podemos notar, por tanto, que este tipo de software permite al alumno trabajar con construcciones casi genéricas (aceptémoslo: la computadora también tiene limitaciones ante el infinito) y no sólo con una construcción en el papel en la cual, quizá por error o por casualidad, el alumno pudo haber dibujado algo interesante, pero falso. Si el alumno logra percatarse (por sí mismo o con ayuda del profesor) de esta característica del software, puede aprovechar la retroalimentación inmediata que proporciona el aparato y corregir, es decir, llegar a obtener un control lógico de la construcción a través de la interiorización de la función de arrastre y aprovechar al mismo tiempo el ciclo que se mencionó arriba. Además, en este punto se puede ir dilucidando la diferencia entre lo que Laborde denomina dibujo (drawing) y figura (figure), lo cual está relacionado con la capacidad del individuo de ‘ver’ más allá de la representación gráfica que tiene enfrente y llegar a un grado de abstracción mayor (Hoyles y Jones, 1998:124). 3. Una cuestión insoslayable es que el uso de estas herramientas tecnológicas no proporcionará una solución a todos los problemas educativos. De hecho, en algunas ocasiones no existe garantía de que proporcione soluciones a algún problema en particular y, en otras, podrá generar más problemas aún. Mucho dependen del profesor el éxito o fracaso de su uso. En otras palabras, sería ingenuo pensar que el uso de la informática y la tecnología en educación, por sí mismo, representa una mejora en el aprendizaje de la matemática: es el profesor, con su labor, quien tendrá la responsabilidad de plantear las actividades en función del curso que está impartiendo a fin de utilizar racionalmente esta herramienta. Aceptar


que con la sola introducción de esta tecnología a la educación se resolverán los problemas educativos y que el individuo aprenderá casi automáticamente, implica aceptar que la capacidad cognitiva del ser humano es equiparable a la de una computadora actual y negar la complejidad de los fenómenos educativos. Un supuesto que aparece conmúnmente en los argumentos en favor del uso de la tecnología informática es su modernidad, que desestima (implícita o explícitamente) otras tecnologías o, incluso, algunos temas en la matemática que (aunque sólo podría ser aparentemente) no pueden ser abordados con su uso, y las califica de ‘viejas’ u ‘obsoletas’. Sin embargo, el carácter de obsolescencia que puede tener una técnica o un conocimiento se mide más en términos de las expectativas y el sentido de utilidad social y no del tiempo que tiene funcionando (o de que se inventó). Tales expectativas y la utilidad de una tecnología en el salón de clase quedan muy determinadas por las creencias del profesor. Es decir, es el docente quien puede darle el sentido de obsolescencia a una técnica o a un conocimiento de acuerdo con sus creencias, lo cual se refleja directamente en sus actitudes y su conocimiento al respecto, por lo que se hace necesario que sea él uno de los que más conozcan estas herramientas y reflexione responsablemente en su uso e implicaciones. 4. Ahora bien, para conocer más a fondo este apoyo educativo se pueden revisar sus funciones. Éstas se basan entre otras cosas en las potencialidades que tienen esos aparatos para realizar operaciones a gran velocidad, para (aprovechando lo anterior) modelar gráficamente la información y para servir como un medio de comunicación. A continuación se proponen tres funciones: • Como herramienta algorítmica: Ésta es la función ‘clásica’de las calculadoras electrónicas

en las clases de matemática. Estos aparatos se han utilizado ya como un medio para realizar cálculos que ocupan mucho tiempo o son complicados. Sin embargo, aún no se liberan algunas áreas de todo el cálculo engorroso que lleva a desarrollar habilidades para resolver situaciones repetitivas y complejas, pero que desatiende habilidades de análisis y razonamiento. Un ejemplo de que en el ámbito algorítmico estos aparatos calculadores han entrado en la enseñanza de la matemática es el relacionado con el uso de las tablas matemáticas para el cálculo de logaritmos y la obtención de valores para las funciones trigonométricas. Cada vez es más común ver que en los concursos de álgebra y trigonometría las calculadoras (científicas por lo general) aparecen en los pupitres de los alumnos en lugar de los cuadernillos que contienen decenas de columnas llenas de números. Se pretende que esto no sea en detrimetro del aprendizaje, sino que permita el uso del tiempo que se invertía en aprender a usar las tablas (y no a usar los logaritmos y las funciones trigonométricas) en aprender el uso de los mismos logaritmos y de las funciones trigonométricas a través de los resultados que proporcionan las calculadoras. • Como mediador: Por sus capacidades, tanto de cómputo como de graficación, las computadoras y las calculadoras electrónicas se presentan como un medio que sirve para poner al estudiante en contacto con cierto conocimiento. Esta función, de hecho, no es nada trivial y es donde al parecer hay más obstáculos en su utilización, pues el conocimiento que se aprende queda mediado por la computadora (ya que es una herramienta), que lo afecta y lo modifica. • Como medio relacionado con la comunicación: Básicamente se puede hablar de dos vertientes

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cuando se utiliza a las computadoras en su función relacionada con la comunicación: considerar una función de la tecnología para la comunicación y otra función como medio de comunicación. Así pues, por un lado, el uso de este tipo de aparatos al interior del aula puede permitir a los alumnos entablar una comunicación con base en las actividades que realicen con computadoras y calculadoras. Consideremos que, por ejemplo, la necesidad de comunicar sus resultados y el uso de estos aparatos con una estructura de funcionamiento tan rígida, lleva a la necesidad de que sus comunicaciones sean lo suficientemente concisas como para que los demás puedan aplicar esta información en sus respectivos aparatos. Recordemos el comentario que se hizo un par de páginas antes sobre la necesidad de que los objetos sean algo y no sólo parezcan que son. Por otro lado, con el impulso tanto comercial como académico, las computadoras se han convertido en un medio de comunicación al alcance de cada vez más personas. Un uso racional, con actividades concretas cuidadosamente planeadas, permite poner al alcance de los alumnos la posibilidad de contactarse y establecer comunicación con personas de todo el mundo, pensando un poco en la internet, por ejemplo. Sin embargo, no todo se queda en el uso de navegadores3 con acceso a información actualizada que anteriormente era muy difícil de conseguir, y del correo electrónico, sino que también se puede hablar de educación a distancia, de trabajos en equipo y colegiados entre individuos y de consultas con expertos que geográficamente se encuentran lejos. Los materiales y los medios que quedan a disposición del profesor le abren la posibilidad de interactuar con información nueva y actuali-

zada, además de permitirle, bajo una reflexión personal e institucional, llevar estas actividades a los alumnos (ver Adell, 1995; Larios, 2000). Existen, por ejemplo, algunos sitios en la internet que tienen entre sus contenidos la publicación de problemas matemáticos de manera periódica. Uno de sus objetivos es poner al alcance de alumnos de distintos niveles escolares problemas que les permitan aplicar sus conocimientos y habilidades de una manera libre, sin haberse establecido previamente procedimientos o técnicas. Tres ejemplos son: el problema semanal que publica The Math Forum en la dirección http:// forum.swarthmore.edu/pow/, los problemas del mes del proyecto ProbleMATEMATICAmente que aparecen en la dirección http://arci01.bo.cnr.it/cabri/ probmat/index.htm y la propuesta quincenal de problemas geométricos del Laboratorio de triángulos con Cabri en la dirección http://www.pdipas.us.es/r/rbarroso/trianguloscabri/. 5. Por otro lado, también conviene hablar de un par de niveles que en el uso de la tecnología puede hacer el profesor. Estos niveles de uso, ni excluyentes ni incluyentes entre sí necesariamente, se refieren a las potencialidades que en el trabajo docente puede tener la tecnología para facilitar la labor del profesor; están expuestos a continuación: • Un nivel externo, donde las computadoras y las calculadoras son utilizadas por el docente para la elaboración de material didáctico (e incluso exámenes) que se empleará de manera impresa. •Un nivel expositivo, donde la tecnología es utilizada por el profesor como un medio para exponer algún tema o concepto a través de medios audiovisuales y utilizando herramientas como cañones y proyectores de pantalla líquida

3 Los programas llamados ‘navegadores’ son aquellos que están diseñados para localizar información que tiene formato hipertextual, como

la que típicamente está disponible en internet. Dos ejemplos son Netscape e Internet Explorer.

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(viewscreens) que permiten mostrar de manera masiva lo que está ocurriendo en la pantalla de la calculadora o de la computadora. Hay que recalcar que esta tecnología ofrece la posibilidad (que puede ser explotada muy eficazmente) de guardar la información en soportes magnéticos y que, a lo largo de un curso o de varios cursos, puede ser modificada para irla adaptando o mejorando de acuerdo con las necesidades que el profesor capta en sus cursos. Guardar la información (exámenes o apuntes, por ejemplo) solamente en medios impresos hace que una posterior modificación sea engorrosa y difícil, pero la tecnología actual permite la actualización permanente e, incluso, mejorar la presentación, por ejemplo, con imágenes. Los niveles mencionados en el uso de la tecnología están relacionados un poco con las funciones que se mencionaron anteriormente, pero con la diferencia fundamental de que mientras aquéllas se refieren a su relación con el alumno y con su aprendizaje, éstos están directamente relacionados con una labor exclusivamente docente. Asimismo, mientras que las funciones están siendo investigadas y estudiadas por la necesidad de averiguar los procesos cognitivos del alumno y las ventajas (o desventajas) que representa el uso de esta tecnología, los niveles de uso fueron objeto de estudio hace un par de décadas. Creo que vale la pena recordarlos, más que nada para proporcionar un apoyo al profesor en su trabajo docente relacionado con actividades educativas orientadas sobre todo a la preparación de clases, elaboración de materiales y revisión de tareas y exámenes, todas ellas tareas que no pueden evitarse al ser profesor. 6. Sin embargo son necesarias algunas precauciones. El uso de calculadoras o computadoras no implica el acortamiento de los cursos, pues con una visión simplista se podría afirmar que

se están eliminando todas aquellas técnicas que se aprenden en la escuela. Si se considera a la enseñanza de la matemática orientada hacia la resolución de problemas, hacia la construcción del conocimiento por parte del alumno, hacia el aprendizaje de las principales nociones matemáticas, hacia el desarrollo de habilidades para conjeturar y razonar, así como hacia la aprehesión de una cultura matemática amplia, el aprendizaje de las técnicas no es prioritaria, aunque no es conveniente eliminarlas. El asunto está en el énfasis que se le otorga a cada uno de los aspectos que se incluyen en un curso. El uso de tecnologías electrónicas aplicables al cálculo y la modelación permiten acortar los tiempos de aquellos procesos que, finalmente, una máquina puede realizar, y permitir de esta manera disponer de mayor tiempo dedicado al estudio de los objetos matemáticos, el análisis de los resultados de los cálculos o las modelaciones, la interpretación de los conceptos y los datos, etcétera, considerando seriamente su función como mediadora. Una visión corta y miope como la de que el uso de las calculadoras y las computadoras elimina la posibilidad de que el alumno desarrolle conceptos y nociones, y de que les bloquean las posibilidades de razonamiento, es tan irresponsable como pensar que van a resolver todos los problemas educativos. El uso racional y cuidadosamente planeado de actividades con estas herramientas puede permitir alargar los cursos en el sentido de profundizar en aquellas nociones claves para cada uno de ellos. Al eliminar tiempo dedicado a los cálculos engorrosos y automáticos, al hacer a un lado construcciones geométricas hechas a mano, que son estáticas y hasta confusas por la profusión de trazos, queda tiempo para el análisis y la interpretación de datos, es decir, para la profundización de los conceptos.

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Mucho importa entonces que exista un equilibrio entre las distintas opciones que tiene el docente en cuanto a tecnología, es decir, entre la tecnología informática, la de papel y lápiz, y alguna otra tecnología disponible. Este equilibrio debe ser percibido por el alumno para que así esté en posibilidad de discernir qué tipo de técnicas o tecnologías debe usar con base en la situación a la que se enfrenta. El símil que proporciona De la Rosa (2001: 37) resulta ilustrador: Un empleo habitual ayudará al estudiante a entender el uso apropiado de la tecnología, por ejemplo, si tuviéramos que ir de compras, de acuerdo con la distancia, emplearemos la tecnología (transporte) adecuada: iríamos caminando, si la tienda se encuentra, por ejemplo, a 100, 150... 400 metros; en bicicleta si está a 500... 1000 metros y en automóvil si hay que recorrer algunos kilómetros. Vemos que el equilibrio consiste precisamente en saber cuándo la tecnología facilita las tareas cognitivas, […] y no caer en el error del uso inadecuado.

Es casi un hecho innegable que el uso eficiente de la tecnología pone al alcance del docente y de sus alumnos conocimientos que hasta hace poco era prácticamente imposible tomar en cuenta; por ejemplo (y quizá a nivel introductorio), es el caso de las geometrías no euclidiana, fractal y proyectiva, y las ecuaciones de grado mayor que 2 en los cursos de álgebra (pensando específicamente en el nivel medio). 7. Es también un hecho relevante que el profesor determine el nivel de comprensión que debe tener el alumno sobre los procesos que realiza la máquina electrónica. Ocasionalmente, será necesario que el alumno comprenda el procedimiento que se realiza al interior de los circuitos, pero también es posible utilizarla como caja negra, de la que se obtienen resultados a partir de datos introducidos y que no es necesario que

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el alumno (y a veces ni el mismo profesor) dilucide y comprenda a plenitud los procesos que se realizaron en el interior de los apartados, por no ser el punto central del curso (ver por ejemplo De la Rosa, 2001:37). Sin embargo, lo anterior nos lleva a remarcar la importancia de que el alumno sea mesurado al momento de tomar un aparato de este tipo como el medio de validación del conocimiento que se genera. Se podría hablar de manera particular en los aspectos relacionados con su uso en la enseñanza de la demostración matemática, pues se ha visto repetidamente que el uso de la tecnología no necesariamente lleva a crear la necesidad en los alumnos de realizar una demostración de los resultados que observan, sino que se requieren algunos mecanismos extras que el profesor debe promover (ver Villiers, 1996). En el caso particular de la matemática misma, se ha estado viendo un avance tremendo en el uso de la informática y de las computadoras en su investigación, por lo que se ha llegado a afirmar que existe la matemática experimental. Como consecuencia de lo anterior, por ejemplo, se ha difundido en algunos niveles la idea de que la demostración matemática, hasta hoy conocida como cadena de deducciones, tiene los días contados (ver Horgan, 1993), pero como Colette Laborde (2000) afirma, las investigaciones sobre el aprendizaje de la demostración utilizando computadoras no sólo concluye que su enseñanza no está en peligro, sino que presentan evidencia de que es necesaria. Existe el peligro de que se le otorgue una autoridad a las máquinas sobre la resolución de los problemas al aceptar el alumno cualquier respuesta que los circuitos electrónicos proporcionen. Así como se pretende que el uso de estas herramientas descarguen de los cursos tiempo que pueda ser usado en el análisis, razonamiento e interpretación de los resultados proporcionados por las máquinas, también es nece-


sario que dentro de esos ratos de análisis y razonamiento se incluyan aspectos relacionados con estimaciones que lleven a que la validación de los resultados proporcionados por la tecnología y del conocimiento que se genera esté bajo la responsabilidad del mismo alumno. 8. Otra consideración que debe tomarse en cuenta es lo referente al software de microcomputadora y la capacidad del equipo disponible. No es necesario conseguir equipo muy avanzado y nuevo, ni utilizar los mejores y más caros paquetes disponibles en el mercado. El hincapié se hace en que el equipo electrónico es un apoyo y no el centro de la enseñanza de la matemática. En el momento en que el profesor acude a su ayuda no es para que el alumno se convierta en un experto en el uso del software (de hecho hay programas en los que se pueden eliminar algunas opciones a conveniencia de la clase), sino para que haga un uso dirigido hacia el aprendizaje de conocimientos matemáticos. Bajo esta perspectiva se puede pensar en software para microcomputadoras de bajo costo y

cuyos requerimientos del sistema sean, comparativamente, muy bajos con respecto a los que actualmente se piden en el mercado. Repetimos, con algunos cambios: el tamaño y colores de un programa computacional no es proporcional a sus posibles usos educativos. Paquetes relativamente pequeños (algunos incluso gratuitos que se pueden obtener en la internet) tienen mucho potencial para ser explotado, sin tener que acudir a alguna marca o empresa en particular: el software que se utilice debe cubrir las necesidades educativas de cierta actividad y proporcionar medios para observar los procesos cognitivos del alumno. La tecnología computacional es un potente apoyo para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la escuela; sin embargo, no sólo no es la solución a todos los problemas educativos sino que también abre las puertas a nuevos problemas. Es responsabilidad del profesor utilizar estos medios de manera racional y consciente, así como afrontar, con una nueva postura y una nueva visión, el reto de su entrada en el campo educativo investigando y experimentando.

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La autoridad y el castigo en la escuela Horacio Belgich

H

ablar de convivencia en el actual contexto sociohistórico nos compromete a reconocer que en la sociedad se han producido transformaciones estructurales de orden económico y social; ello promovió como consecuencia una serie de mutaciones en la subjetividad colectiva que aún no se pueden dimensionar en toda su extensión. Es por ello que las consideraciones que siguen adquieren un carácter provisional y por lo tanto inacabado, pues la historia de las relaciones intersubjetivas muestran que es inherente a las transformaciones de la subjetividad un gradual proceso de mutación social, político, económico, ecológico, y también en implicación recíproca con aquella, mutaciones del imaginario social. Abocarse a la problemática de la convivencia en el ámbito de la institución escolar requiere de una serie de definiciones, entre ellas, la del –precisamente– vocablo convivencia; es así que decimos que invoca a las relaciones de coexistencia entre el sujeto y el otro, entre el sujeto y el grupo (y lo social), entre el sujeto y sus propios deseos. Esa coexistencia es producto de la construcción de la subjetidad colectiva misma; entonces, el registro de consideraciones que permitan elementos de análisis para una mejor intrusión en la problemática nos convoca a la investigación de aquellos procesos que permiten a la subjetividad convertirse en tal con las particularidades propias de la textura actual del imaginario social y sus procesos de edificación de identidades, además del análisis de las particularizaciones que adquieren las relaciones

intersubjetivas en la escuela contemporánea, con las acciones de violencia tanto visible como invisible que se instalan en dicha institución. Ello permite, a manera de conclusión parcial, considerar que los modos y contenidos de las relaciones entre las subjetividades perfilan las formas de intercambio simbólico que se despliegan en la sociedad global, por lo que creemos posible la composición de nuevas modalidades de gestión educativas donde el niño y el adulto adquieran capacidad de deliberación y autonomía. Por lo tanto, creemos necesario analizar algunas significaciones tales como autoridad, obediencia y castigo en la institución escolar.

Por un orden descentrado Pensamos que el funcionamiento de la escuela se centra en la presencia del adulto, así se sostiene la escena escolar y crea, como un efecto que le es inherente, una lógica de las relaciones intersubjetivas. Ese movimiento lógico, que fluye articulando las subjetividades, erige significaciones tales como la autoridad, la obediencia, el orden, el castigo, las sanciones, el consenso y el dolor, entre otras. Sobre ellas reflexionaremos, pues están relacionadas de manera inequívoca con las posiciones que los sujetos asumen en la escena escolar. Es así que la autoridad del adulto puede cimentarse en el poder que él representa con su posición centralizante, o bien, contrariamente, en el respeto a los valores a partir de la autono-

* El autor, psicólogo, docente e investigador de la Universidad Nacional de Rosario,Argentina, nos hizo llegar este artículo que consideramos de gran interés para los maestros de nuestro país.

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mía de los alumnos. De esos sentidos y otros que se abrirán en el decurso de este artículo, se despliega la escena montada entre el adulto, el niño y el sistema escolar; que tiene, además, como claro objetivo la búsqueda –no siempre acompañada del encuentro consecuente– de un consenso legitimado por los disensos, que es lo que podemos acordar en llamar pluralismo democrático. Ese pluralismo estará cercano a la diversidad cuando el consenso pueda caracterizarse por la dignidad, y con ello queremos afirmar que contenga la multiplicidad de racionalidades, discursos, lenguas, modos de pensar y de sentir en juego, en oposición a la primacía de una sola racionalidad, lengua, modo de pensar y de sentir; esa preeminencia es la que emana del sistema educativo. Por ello resulta necesario consignar que el currículo centralizado es la instancia que las instituciones toman como referencia para aquella primacía. Y ello supone que la contención de otros currículos que se apartan de la estandarización puede perder valor, pues el alejamiento y la divergencia no están prescritos, sino sancionados. Pero es importante considerar que esa desviación, de angulación relativa y creciente, bien puede ser el embrión de la gestación de una subjetividad que se posiciona de forma distinta respecto del mandato y ello quiere significar que obedece a otra cosa, de otra manera, con otra lógica y con otros afectos. Recordemos: la obediencia representa uno de los temas más significativos del proceso de enseñanza-aprendizaje. Y cuando decimos obediencia reconocemos que sin un orden de conformidad entre ambas partes (el enseñante y el aprendiente) no existiría el aprendizaje. Esa existencia supeditada nos lanza al análisis del orden de la obediencia; recorramos estos conceptos. Si nos hemos preguntado ¿con qué derecho una persona manda a otra? (nos interroga A. Ariel1 ),

podemos suprimir el vocablo ‘derecho’ y nos queda sólo: ¿por qué una persona manda a otra? La respuesta, lejos de ser simple, se vuelve compleja en el orden escolar; dos cuestiones –para comenzar– fundan la obediencia o, mejor dicho, fundamentan la razón de la autoridad. Esa razón, por un lado, para sustentarse requiere del amor, y por otro necesita de la fuerza. El amor es lo que permite escuchar a quien enseña aquello que pregunta quien aprende. Sin esa escucha, el que enseña monologa, y el que aprende no puede sino dejar caer su confianza en el saber de aquel que enseña. Ese saber que, sostenido, supone la apertura del por-venir. ¿Reconocemos a adultos/docentes que monologan y por lo tanto no se aman más que a sí mismos? El monólogo es por lo tanto lo que resiste como muralla de palabras a la escucha de quien quiere hacerse oír. Pero los monólogos no sólo se edifican de palabras, existen también gestualidades, posicionamientos corporales, que dicen que el adulto monologa y no ama a quien dice enseñar. Ello es evidente en el estudio llevado a cabo por C. Kaplan 2, donde por intermedio de una técnica de entrevistas obtiene descripciones por parte del docente de algunos de sus alumnos, a través de adjetivaciones, donde la consigna es realizar combinaciones entre dos alumnos y diferenciarlo de un tercero. Así se generaron ‘constructos’ clasificatorios que se corroboraron en la observación de la hora de clase; pues aquellos alumnos que la docente describe de una determinada manera, ocupan en el aula un determinado lugar ( por ejemplo los ‘conversadores’ ocupan el fondo del salón, mientras que los niños descritos como de ‘buena conducta’ están instalados en la primera fila de la sala, cerca de la maestra). Es necesario hacer notar que el encuadre no es otro que el del

1 A. Ariel, ‘La autoridad y la obediencia”, revista La Maga, suplemento Psicología. Buenos Aires, septiembre de 1996. 2 C. Kaplan, Buenos y malos alumnos, Ed. Aique, 1994.

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binarismo, o la oposición de elementos clasificatorios (inteligente-no inteligente, buen-mal alumno). Esos ‘constructos’ denotan no sólo adjetivaciones y juicios conformados, sino también el modo en que el discurso institucional no puede escuchar a los niños-alumnos en su decir, esto es, en las posibles variaciones que puedan sucederse en su devenir escolar, pues la muralla que se crea ya no sólo es de palabras, sino de una masa ideativa que se esparce sobre toda la institución, y asigna los lugares de tal forma que los hace inmodificables. Entre las palabras del monólogo y las ideas, el amor a sí mismo del adulto se reproduce, pues casi nada puede escuchar de lo que dice el niño con sus palabras y con su cuerpo. El otro aspecto a considerar es el de la fuerza. Esta fuerza reside en aquel que enseña, pues es el único que puede retirar el amor a quien lo necesita, y esa quita sólo debe hacerse en el buen momento. Además, esa fuerza es independiente del ‘saber’ y del contenido del mismo, y es esgrimida cuando el castigo es inminente. Pues lo que organiza a la sociedad no es otra cosa que el temor a la pérdida del amor del otro; ése es el límite que resiste y teme traspasar la subjetividad. Ahora bien, cuando algunos de los dos aspectos está ausente, el fundamento deja de ser tal; así, por ejemplo, si es el amor el que no está como componente en la razón de la autoridad, entonces no habrá temor a perderlo. Y si existe un exceso de castigo, el deseo del otro se transforma en ley, y ello presupone la apelación a la disciplina como último recurso. El castigo significa por ello que el amor bien puede ser retirado, y de hecho eso hace la sociedad cuando reprocha penalmente a alguien por la comisión de un delito. Si, en cambio, queda la fuerza sola, sin el amor, no se obtiene una enseñanza, sino que, en todo caso, se logra atemorizar. El dolor como

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producto del castigo genera a su vez temor al dolor, en una memoria orgánica y corporal-subjetiva. Ese temor engendra asimismo sumisión, pero no obediencia en el sentido de conformidad. Pues se piensa más en la fuga y en eludir que en capturar la palabra del enseñante; en verdad, cuando el castigo se instala como elemento central en la escena escolar, la palabra es sustituida por el golpe o por el grito. La escena se rompe de esa forma, y no puede componerse sobre la razón de la autoridad, que es la que otorga el derecho de que alguien mande a otro, con base en la conformidad subjetiva. Si la huida es imposible, el odio se transforma entonces en complacencia y también puede transformarse en aburrimiento, que es una forma velada de agresión que recae sobre el niño. La escena escolar está repleta de situaciones de fuga de los niños, como también de complacencia y aburrimiento. Pensemos en algunas de las causas mencionadas como posibles orígenes del malestar de los niños en las instituciones escolares. En los excesos de coacciones, que podemos denominar como complejo coactivo, es donde la subjetividad del niño y también la del adulto se hallan en los bordes mismos de la convivencia, por los violentamientos que se producen en la descomposición y/o desequilibrios de estos dos elementos, el amor y la fuerza. Pues bien, la coacción no es sino un recurso surgido de la desesperación, ya que el fundamento se resquebraja y convierte la convivencia en una escena de circulación de afectos donde el más débil acata los mandatos. ¿Cómo se relaciona esto con la serie de mecanismos que se despliegan entre los sujetos en la escuela? Es posible pensar que la obediencia en el sentido del acatamiento, obtenida desde la descomposición de la razón de la autoridad, se complementa con los dispositivos que implementan los mecanismos que violentan la convivencia pero principalmente todos se conjugan en la instalación


de una racionalidad superior que abreva, a su vez, en una lógica única del sistema, donde la ausencia de amor es la característica del sistema educativo. Y esta ausencia nos remite a la unidimensionalidad del sentido que se establece para interpretar la realidad. Hemos observado ya que aquello que se transmite como única manera de entender la compleja composición de la realidad, en verdad tiene como esencia una moral de la competencia, donde el poder se percibe venido del más allá, de las entrañas de la burocracia misma. Allí, docentes y alumnos se encuentran entrampados en el juego de poder que ellos no determinan, ni tampoco pueden percibir en su origen; pero sí son afectados por sus determinaciones. La obediencia como acatamiento, con su carencia de amor expuesta por la imposibilidad que tienen los adultos de escuchar a quienes aprenden, y después de desplegadas las estrategias inconscientes y preconscientes que consolidan los mecanismos, termina por cimentar una forma de subjetividad más cercana al complejo compulsivo, lleno de pequeñas coacciones cotidianas, donde todo está reglamentado al mismo tiempo que se ignoran los poderes visibles e invisibles de los niños, y también de los adultos en algunos casos. Y esa subjetividad está alejada del placer de la enseñanza, por el lado de los adultos, como del placer del aprendizaje, en el caso de los niños, pues lo que importa, según parece, es el resultado, el final de carrera, cumplir con el programa y no el tránsito con sus múltiples variaciones, con sus series de pequeños poderes que circulan entre el niño y el adulto en la escena escolar. Ello supone el reconocimiento de que los poderes son los que están instalados en el centro de la escena, compuestos por la decisión de uno y otro actor; pero bien, la sensación imperante es la de que el poder llega desde las sombras de lo desconocido, perdiéndose por lo tan-

to la razón que fundamenta tal o cual regla, lo que deja de ser una conformidad del consenso, para transformarse en un imperativo. La acción de compartir la empresa de la vida entre el maestro y el niño tiene su punto de partida, entonces, en la coexistencia que supone un marco de justicia, según lo entendemos, esto es, el amor consciente, generalizado, humanizado a toda la humanidad, con sus cualidades de paciencia, atención, indulgencia y cuidado por parte de los adultos a los niños. Ese amor se compatibiliza con la posibilidad de éstos de escuchar a los que dicen enseñar. Si monologan, ya no hay justicia, ni coexistencia, ni paciencia, sólo hay certeza en lo que el adulto dice y, por lo tanto, desmentida de lo que el niño supone que sabe y puede. El diagrama escolar se encuentra enhebrado por múltiples hilos de poder, pero que confluyen en la voz y figura del docente, quien a su vez presta su cuerpo y subjetividad a lo que se desprende del sistema como sentido e interpretación. Nada puede deliberarse, pues ya casi todo ha sido pensado. Tampoco pueden accionarse decisiones, pues éstas serán sancionadas como elementos desviantes. La falta de deliberación se evidencia, por lo demás, en las omisiones que se presentan sobre la construcción por parte de los niños del currículo; esto es, que pueden los niños (a través de debates grupales) ir conformando ellos mismos, por elección, el programa a continuar. Esto puede parecer una audacia, pero en verdad el niño deliberativamente, conociendo sólo algunos atributos de los temas por conocer, puede construir un recorrido singular por el currículo de acuerdo con su deseo y su compromiso. El adulto, en tales circunstancias debe coordinar esa instancia de deliberación y guiar el pasaje a la acción, soportando ser sólo una referencia a veces muda del encuadre, a veces participante cuando las circunstancias lo requieran, y resignarse a ser en esa escena una figura centralizante.

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Artistas y artesanos

Francisco de Quevedo (1580-1645) Un diablo penetrante y satírico *

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onoció las miserias humanas como pocos, porque las sufrió con largueza. Como tenía genio, vio la luz de la grandeza y su secuela, la melancolía. Amó España de manera desengañada y sus versos hablan irónicamente, en tono de sequedad, de sus tierras. Tal es Quevedo, dividido en varias personalidades. Todo un cúmulo de contradicciones, navegando entre lealtades a toda prueba, inmerso en un escenario mediocre que camina en mitades; una, hacia la pobreza alucinante del pueblo; la otra en la Corte, donde pretendientes y cazafortunas caminan, desvergonzados, por los caminos de una picaresca irrefrenable. Luchó, con poca fortuna, contra los rigores de una Inquisición férrea y el asfixiante intervencionismo de un gobierno –como el de Olivares– que no daba margen a ideas autonómicas, independientes; en suma, un infierno concentracionario que, a la larga, casi acaba con España. Díganlo si no las revoluciones constitucionalistas ahogadas de Portugal, Aragón y Cataluña. Estamos, pues –durante la vida del gran escritor y poeta–, en la doble vertiente de un Imperio que se deshace y de una crisis económico-social que se consolida. Por otra parte, entra triunfante, el conceptismo con su cúspide que es Baltasar Gracián y su mensaje ácido-moral; en tanto, su cima poética es Quevedo. Todos ellos envueltos en una acuciante dicotomía de ‘vida y muerte’ constan-

Historia de la literatura, fascículo 10,Volumen III, Editorial Planeta Mexicana.

Adolfo Hernández Muñoz

Retrato de Quevedo. Colección de grabados Varones ilustres.

tes en una sátira, a veces degradante, pero siempre viva e incisiva y donde –en ocasiones– hay remansos de poesía pura. Digamos, en concreto, que es, a su manera, cronista de la decadencia, reflejo puntual de un pueblo que, siendo imperio, conoce el hambre y donde cortesanos y pícaros son mezcla de un todo común que se resuelve en un revoltijo de truhanes y bellacos, aguafuerte de una España que vive como puede y donde las pompas son, en su mayoría, de oropel. En ese escenario, este poeta maldito es un diablo penetrante y satírico. Díganlo si no los Sueños o El buscón, a los que nos referiremos más adelante. Díganlo también muchos de sus sonetos ‘brevedad de lo que se vive y cuán nada se parece lo que se vivió’, lo que a fin de cuentas sería un com-

* Este texto forma parte de la serie El castellano: acerca de sus venturas y desventuras, de la cual ya se han publicado los artículos: “Cervantes” (revista número 59), “La lengua madre del imperio” (60), “Nacimiento del idioma español en la roca cántabra” (62), “Canasta de ingenios” (63),“Del Marqués de Santillana a Garcilaso de la Vega” (71),“ Tirso de Molina” (73),“Lope de Vega y Carpio” (75), “Tres rivales y un misterio” (78) y “Juan Ruiz de Alarcón” (80). En números posteriores se continuará con la publicación de esta serie.

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bate sin tregua, sin punto de descanso cuyo trágico protagonista sería un personaje que responde al nombre de Francisco de Quevedo, compendio de laconismo lapidario. Pronto entraremos en sus notas biográficas, baremos de un andar angustiado, un ser claramente dividido. En la Historia de la literatura se lee: …conviene decirlo para no sorprenderse demasiado por el contraste entre un Quevedo grave, metafísico, obsesionado por la fugacidad de la vida humana y un Quevedo chocarrero, y aun indecente, cuyos chistes en verso a menudo tienen una intención burlesca, pero otras veces no atacan a nadie, sino que son un simple ejercicio de ingenio”.1

Digamos también que en Quevedo hay una constante batalla por penetrar los entresijos del idioma. El profesor Lapesa lo ha dicho con agudeza: 2 “Tanta condensación significativa no cabe en las normas de la sintaxis usual y se ayuda con acrobáticas construcciones.” Por otra parte: Otro aspecto del conceptismo quevedesco es el estilo concentrado y nervioso de sus obras graves. Lector y traductor de Séneca –no hay que olvidar que nuestro escritor dominaba el latín, el griego y el italiano–, Quevedo emplea la frase cortada, de extrema concisión y abundante en contraposiciones de ideas. Esta sobriedad da relieve a la profundidad del pensamiento, sentencioso y agudo.

Pero este pensamiento tiene sus remansos porque ‘es polvo enamorado’, es poeta. En alguna ocasión dirá: Ojos, guardad al corazón secreto, pues le guarda la lengua a sus pasiones; ved que son vuestras lágrimas razones: 1 2 3 4 5

que el ciego amor, si es mucho, es más perfecto.3 Volvemos al gran investigador Rafael Lapesa 4 con estos conceptos extraídos de su Historia de la lengua española: Tan variada como su vida de cortesano y político, de viajero y estudioso de gabinete, es su abundantísima obra, gran parte de la cual –sobre todo la poética– no se publicó hasta después de su muerte. Cervantes es el novelista; Lope de Vega es el dramaturgo; Góngora es el poeta. ¿Y Quevedo? Quevedo no se deja clasificar: impresiona como prosista serio y refinado (por ejemplo en su Marco Bruto, ampliación pomposa de una de las Vidas de Plutarco; impresiona también como prosista satírico, por ejemplo en sus Sueños y en su Buscón; pero impresiona sobre todo como poeta. Pocos poetas ha habido con una obra tan variada. Quevedo es, con Ronsard 5 y con Shakespeare, una de las cumbres de esa exaltación del amor y de la belleza que fue el petrarquismo europeo, al mismo tiempo es uno de los que con más cruel escepticismo han considerado el amor humano en su realidad, el amor no idealizado, y de los que más se han complacido en acumular rasgos y colores para pintar las innumerables fealdades de la vida.

Don Francisco de Quevedo y Villegas es una de las cúspides del idioma castellano y uno de sus protagonistas más preparados, quizás el mayor de ellos pero también el más complicado. Su niñez tiene por escenario la corte de Felipe II. Sus padres: don Pedro Gómez de Quevedo –de la nobleza de Toranzo (Santander)–, fue secretario de la princesa María, hija del emperador Carlos V y más tarde de la reina Ana de Austria, cuarta esposa de Felipe II. Su madre, doña María de Santibáñez, fue dama de honor de la reina.

Historia de la literatura (10, págs.. 69-70), Ed. Planeta Mexicana. Los 1001 años de la lengua española, Antonio Alatorre (citas de Rafael La pesa), pp. 274-275, Bancomer, S.A. 1979 Antología poética, Edición, introducción José Ma. Pozuelo.-74 Soneto pág. 94 Historia de la lengua española (7a. Edición), Madrid, 1968. Los 1001 años de la lengua española.-Antonio Alatorre, Bancomer S.A., 1979.

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Francisco de Quevedo

Cinco años más tarde queda huérfano y bajo la tutoría de don Agustín de Villanueva que le amparó a lo largo de su carrera –brillantísima– en las universidades de Alcalá y Valla-dolid, donde empieza a destacar como prosista y poeta. Se manifiesta como consumado políglota, por sus extensos conocimientos de latín, griego, árabe, francés e italiano. Absorbe humanidades y tres ramas de la ciencia (matemática, astronomía y medicina). Finalmente queda muy penetrado en filosofía y derecho. Con el tiempo se convierte en uno de los más esclarecidos cultores del barroco y en especial del conceptismo, por los que navega su contemporáneo, el aragonés Gracián 6. La de Quevedo es una vida variada, azarosa, ajetreada, viajera, pero sobre todo erudita, que cultiva contactos con mentes brillantes de la época como el humanista flamenco Justo Lipsio (Joost Lips), maestro de la escuela neoestoica 7. Desde su juventud figura en una antología de Pedro Espinosa (Flores de poetas ilustres, de 1605). Ya en esa época es bachiller y amigo de don Pedro Téllez-Girón, el futuro duque de Osuna, con el que lo ligará una gran amistad. Coincidentemente, por esas fechas se inicia su enemistad con Góngora, no se sabe si por motivos académicos o meramente personales, la cual durará toda la vida. Se inicia la publicación –fragmentada– de sus Sueños, de los que hablaremos más adelante, además de El alguacil endemoniado. Un pleito sucesorio por la posesión de la Torre de Juan Abad que, a la postre, ganará y le servirá como constante refugio y hogar creativo, en diversas épocas de su vida. En 1609 dedica a Felipe III su nueva creación Premática de las cotorreras y España defendida y Los tiempos de ahora. Un año más tarde, 1610, le nie-

gan autorización para publicar el Juicio final, amplio mosaico satírico-moral que mereció de la Inquisición ‘reprimendas’ y ‘censuras’. En estos escritos remueve el lenguaje y hace gala de una fase destructora, burlona, que no deja títere con cabeza; es un Aristófanes tremebundo 8 y actúa como escalpelo para atacar malas costumbres e hipocresías de toda laya. Detengámonos un poco: Estamos en el Sueño del Juicio Final. Al sonido de una trompeta comenzó a temblar la tierra y a dar licencia a los güesos que anduviesen unos en busca de otros [...] la manera que algunas almas huían, unas con asco y otras con miedo, de sus antiguos cuerpos [...] Después, fue de ver cómo los lujuriosos no querían que los hallasen sus ojos. los maldecientes las lenguas; los ladrones y matadores gastaban los pies en huir de sus propias manos [...]; una gran chusma de escribanos andaban huyendo de sus orejas”, [y lo más extraordinario] fue ver los cuerpos de dos o tres mercaderes que se habían calzado las almas del revés, y tenían todos los cinco sentidos en las uñas de la mano derecha.

Y en fin, en la espeluznante “garganta del Averno” barre con una multitud de sabandijas diciendo: Era de ver una legión de espíritus malos con azotes, palos y otros instrumentos, cómo traían a la audiencia una multitud de taberneros, sastres, zapateros y libreros, que de miedo se hacían sordos; letrados revolviendo no tanto leyes como caldos y un escribano comiendo sólo letras que no había querido leer en esta vida..

He aquí un infierno no muy distinto del de Dante, un reflejo de la calidad humana en su inmensa variedad de injusticias. Los censores

6 “Gracián” (serial en Comunidad Ibérica), México, 1967, Editores Mexicanos Unidos. 7 Lipsio (Justo), castellanización de Joost Lips, humanista flamenco (Overijse, Brabante, 1547 -Lovaina, 1606). Se hizo protestante y

posteriormente comulgó de nuevo con los católicos. Enseñó en las universidades de Jena, Leiden y Lovaina (1592). Fue uno de los maestros de la escuela neoestoica. 8 Sueño del Juicio final, Quevedo, 1627- Selección.

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barruntaron que algo andaba mal (‘demasiado hiriente’) y suspendieron, en varias ocasiones, la impresión de estos Sueños que, quizás, respondían a realidades. En 1611al protagonizar un lance desgraciado, Quevedo sufrió un cambio radical en su vida. Por defender a una dama que había sido abofeteada por un galanteador que la acosaba mientras oía misa, nuestro escritor desafió al ofensor y lo mató de una estocada. El lío que se armó obligó al poeta a huir a Sicilia, donde obtuvo protección del virrey –que era su amigo–, el duque de Osuna, quien lo nombró su secretario. Pasa el tiempo, se olvidan los problemas y su obra crece: El mundo por de dentro, Doctrina moral del conocimiento propio y desengaño de las cosas ajenas. Inicia una serie de viajes al servicio de Osuna y, en 1615, el Parlamento siciliano lo elige como embajador para llevar los donativos ordinarios y extraordinarios a Felipe III; debe portar también otro donativo especial para el duque de Uceda. Tiene, además, otra misión mucho más secreta y delicada: convencer al duque de Lerma, al duque de Uceda y al confesor del rey, el dominico Luis de Aliaga, de la conveniencia de dar el virreinato de Nápoles al duque de Osuna. La misión tiene éxito y, pese a las intrigas del poderoso conde-duque de Olivares en la Corte, logra que se prorrogue el virreinato de Nápoles, un año después, por tres años. En 1617 se le concede el hábito de caballero de la Orden de Santiago y el rey le da una pensión en Italia de cuatrocientos ducados. Pero hay conjuras de las que tiene aviso Quevedo, en Roma y Nápoles; la ‘Conjuración de Venecia’ que trataría de la desastrosa conducción de la Nación por parte de Felipe III y Felipe IV. La crónica habla de medidas tiránicas y tributos arbitrarios que dieron por resultado la

Frontispicio de una edición de las obras de Quevedo,1841.

separación temporal de Cataluña (1640-1652) y la definitiva de Portugal, además de las hostilidades, reanudadas, entre España y Holanda. A mediados de 1618, en junio, defiende ante el Consejo de Estado al duque de Osuna de la acusación de complicidad en la Conjuración de Venecia. Se sabe que Quevedo no participó en este complot, pero no era muy ajeno a él, como lo demuestra una carta que el propio condeduque escribe al rey y en la que le dice: “(asunto Quevedo). [...] confidente de Francia y corresDe 1619 a 1621 se pondiente de franceses”9 retira a su Torre de Juan Abad, pero en la capital se precipitan los acontecimientos: regresa y es procesado el conde de Osuna y sus resultados alcanzan al poeta que es encarcelado en Uclés, para ser, bajo revisión, confinado de nuevo en la Torre. Muere Felipe III y su sucesor, Felipe IV, sigue la ruinosa política que aconseja el condeduque. El 25 de septiembre de 1624 muere en prisión su amigo y protector el duque de Osuna. Quevedo, que le sirvió en Italia y que le fue fiel hasta su propio perjuicio cuando aquél cayó en desgracia política, le dedica un sentido soneto:10

9 Cita del hispanista E. H. Elliot.Ver también J. Ma. Pozuelo, “Introducción” en Antología poética, 1994. 10 Epitafio del sepulcro y con las armas del propio.“Habla el mármol”, Soneto 49 de Antología poética, Barcelona, 1994. Ed. Planeta.

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Francisco de Quevedo

Memoria soy del más glorioso pecho que España en su defensa vio triunfante; en mí podrás, amigo caminante, un rato descansar del largo trecho. Lágrimas de soldados han deshecho en mí las resistencias de diamante; yo cierro al que el ocaso y el levante a su victoria dio círculo estrecho.

Historia de la literatura, fascículo 10,Volumen III, Editorial Planeta Mexicana.

En tanto crece su fama literaria, lo acechan enemigos mortales; en 1625 publica Cartas del caballero de la Tenaza y en los años 1627 y 1628 se imprimen nuevas ediciones de El buscón y de los Sueños, en tanto se urden amenazas en su contra. En 1634 se casa con doña Esperanza de Mendoza, viuda de Fernández Liñán de Heredia, que resulta matrimonio fallido, ya que se separan dos años más tarde. Se siguen editando sus obras, entre ellas su célebre El buscón, una estrella más en la picaresca de esos años en los que circulaban copias de El Lazarillo de Tormes, Guzmán de Alfarache, de Mateo Alemán y La vida del escudero Marcos de Obregón, de Vicente Espinel. Y en suma, ¿qué es El buscón? Un pícaro que nos da cuenta de sus truhanerías con mucho desenfado. Varias ediciones de la obra en

Madrid, Zaragoza, Barcelona e incluso en Francia, en Rouen, hablan del éxito. Quevedo busca congraciarse con el poderoso conde-duque y le dedica: ‘Cómo ha de ser un privado’ y también su edición de las obras poéticas de Fray Luis de León. Pero a pesar de todo, el de Olivares lo tiene entre ceja y ceja y hay otros más que, embozados, le atacan por connivencia con los franceses. Muestra de ello es un sangriento libelo contra Quevedo, aparecido en Valencia, donde se tacha al poeta de: “...maestro de errores, doctor en desvergüenzas, licenciado en bufonerías, bachiller en suciedades,...” La divisa con la que navega El buscón es clara: “Haz como vieres, dice el refrán, y dice bien. De puro considerar en él, vino a resolverme de ser bellaco con los bellacos, y más, si pudiere, que todos. No sé si salí con ello, pero yo aseguro a v.m. que hice todas las diligencias posibles...” El libro es pura delicia, y, sin duda, recomiendo el capítulo IX titulado: ‘En que me hago representante, poeta y galán de monjas’. Nuestro Alberti 11 advierte el escenario en el que vive Quevedo: [...] fúnebre y divertido carnaval del descenso de un pueblo. Dolor y retortijones de hambre, bascas y morisquetas de la muerte, que los vivos y encandilados lentes de Don Francisco van a aumentar, a encalabrinar hasta lo insoportable.

Sigue escribiendo nuestro biografiado; dedica al duque de Medinaceli El Rómulo; por su parte saca a luz Vida de Marco Bruño y reedita Sueños y La perinola. Por esos años, una llamada Junta de Reformación destaca el ‘amancebamiento’ de nuestro poeta y hombre de Corte con una actriz, Ledesma. De repente hay novedades, corren rumores de que en la Conjura de Venecia sí estuvo nuestro poeta y además huyó cuando acabaron con los

11 Alberti, Rafael, ”Don Francisco de Quevedo, poeta de la muerte”, Revista Nacional de Cultura (Caracas) XII, 1960 pp. 6-23 12 J. Ma. Pozuelo, “Introducción” a la Antología poética (XXIV) Barcelona, 94-Plan.

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Alterna Quevedo los años siguientes las estancias en la Torre, dedicadas a la creación y lectura, con viajes a la Corte. En 1639 es detenido en casa del duque de Medinaceli y conducido a la cárcel de San Marcos de León. Su prisión nada tiene que ver con el apócrifo memorial: Católica, Sacra y Real Majestad; ni Quevedo lo compuso, como Blecua ha demostrado, ni lo depositó debajo de la servilleta del Rey.

La prisión de Quevedo coincidió con la deportación del de Medinaceli a Andalucía. La teoría del duque de Maura y de Gregorio Marañón es que la prisión de Quevedo obedeció a su relación con los adversarios extranjeros del conde-duque, que querían sustituir, con ayuda de algunos grandes de España, el poderoso valimiento unipersonal de Olivares por un valimiento oligárquico. El cardenal Richelieu y Roma verían con buenos ojos la empresa. La intervención personal del rey, la deportación de Medinaceli, la dureza con que se trató a Quevedo, hablan de un asunto grave. El gacetillero Pellicer lo sugiere al decir: El vulgo habla con variedad de la prisión de Quevedo; unos dicen que era porque escribía sáti-

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conjurados: disfrazado de pordiosero y empleando un magnífico acento italiano. ¿Será cierto? Otras fuentes lo desmienten y lo ubican en Madrid en esos días que los hechos sucedieron. Pero hay una relación de sucesos –pese a su siempre proclamada inocencia, que no pudieron desmentir– y que se refiere a su prisión y su liberación después de la caída del conde-duque de Olivares, nefasto personaje de la crisis española de esos años, e inductor del final del gran escritor. La introducción que antecede a la Antología poética lo resume José Ma. Pozuelo:12

ras contra la monarquía; otros, porque hablaba mal del gobierno y otros aseguraban que adolecía del propio mal del señor Nuncio y que entraba cierto francés, criado del señor cardenal de Richelieu, con gran frecuencia en su casa. Quevedo defendió siempre su inocencia, lo que no le privó de cuatro duros años de cárcel y que el rey ni siquiera lo recibiera cuando salió de prisión. Estos años quebraron su salud física, aunque aumentaron su lucidez sobre las escasas posibilidades de la política imperial y acrecentaron su pesimismo político-social. Retirado en la Torre, escribiendo cartas desoladoras pero con talante estoico y resignado, le sobrevino la muerte en 1645 (8 de septiembre).

Se ha dicho acerca de Quevedo todo y de todo, pero habría que remarcar lo que todos los eruditos han proclamado: cumbres de lírica, agudeza sin par y juego de vituperios y alabanzas en conjunción infernal. No sabemos si es cumbre de religiosidad o si el escepticismo campea en él . Oír sus sonetos es un juego de belleza con atisbos de azufre. No tiene par en la literatura española. Es y será único.

Bibliografía ALATORRE Antonio, Los 1001 años de la lengua española, México, Bancomer, S.A. 1979 Antología poética, Barcelona, Ed. Planeta, 1994. Historia de la lengua española (7a. edición), Madrid, 1968. QUEVEDO, Sueño del Juicio final, QUEVEDO, 1627- SELECCIÓN. ALBERTI Rafael, “Don Francisco de Quevedo, poeta de la muerte”, Revista Nacional de Cultura (Caracas) XII, 1960 pp. 6-23

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Sentidos y significados

Y en junio, día del padre... ¡qué padre! Arrigo Coen Anitúa

D

erivada del latín pater, el español registra, desde principios del siglo XII, la voz padre, general en todas las épocas y común a la mayor parte de las otras lenguas romances. Para la Academia —¡la española, claro!— no basta que la mujer haya concebido, sino que, para considerarla madre, debe haber dado a luz, pues define: “Hembra que ha parido”. Pero, en cuanto a padre, sí le es suficiente que el “varón o macho” haya fecundado, porque se limita a: “que ha engendrado”. En la siguiente acepción sí quedan más o menos parejos; de ella, pone: “Hembra respecto de su hijo o hijos”, y de él: “Varón o macho respecto a sus hijos”. Por lo que concierne a la consanguinidad, solamente la concede (seguimos refiriéndonos al Diccionario de “la Real”) al hermano de padre, esto es, la “persona que respecto de otra tiene el mismo padre, pero no la misma madre”; mas —por obra y gracia del androcentrismo (no se confunda con antropocentrismo), el hermano de madre, o sea, la “persona que respecto de otra tiene la misma madre, pero no el mismo padre”, ése no es —al menos explícitamente— consanguíneo, sino simplemente uterino. El pater latino es, en la gran familia de lenguas indoeuropeas, hermano del griego páteer, del persa pidar, del sánscrito pitr; primo del irlandés athair, y, por otro lado, también primo del anglosajón faeder; del holandés vader, y del sueco fader, islandés fadir y del gótico fadar. La familia del lexema patr- o su derivado padr- es muy extensa; del latín vulgar patraster tenemos padrastro, despectivo que aplicamos al ‘marido de la madre’, o a un ‘mal padre’, o al ‘pellejito que sobresale cerca de las uñas y causa estorbo o, a veces, dolor’; del ‘padre excesivamente consentidor con sus hijos’ decimos que es un padrón o padrazo, y del niño que ‘se encariña con exceso con su padre o con sus padres’, se dice que se empadra o empadrea; padrear es ‘parecerse al propio padre, sea en lo físico o en la manera de portarse’, y en Europa es, ‘entre los animales, ejercer el macho las funciones de la generación’ y, por extensión, lo que nosotros entendemos por padrotear; y ‘el que padrotea’ es padrote, cholo, rufián, (ya la Academia había aceptado el galicismo gigolo, pero en la edición actual no lo registra); pichi (no aparace en el Diccionario, a pesar de su origen en la liricodramática española: es ‘el chulo que castiga’); padrejón lo define la Academia como “histerismo en el hombre”; en el Cono Sur Americano, padrillo es el ‘cabilo padre’; la forma padrina equivale a ‘madrina’. Para las iglesias cristianas, padrino es “el que tiene, presenta o asiste a otra persona que recibe el sacramento del bautismo, de la confirmación, del matrimonio o del orden

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si es varón, o que profesa, si se trata de una religiosa”; en México, también se incluye la primera comunión. Por extensión, es asimismo padrino ‘el que acompaña a quien recibe algún honor, grado o reconocimiento’; y ‘quien asiste al que sostiene sus derechos en certámenes, torneos, desafíos, etcétera’; en plural, padrinos son ‘el padrino y la madrina juntos’ o bien las ‘influencias de que uno dispone para conseguir algo’. Padrinazgo es el ‘título o cargo de padrino’, el ‘hecho de asistir como padrino a un acto cualquiera’ o ‘protección o favor que se dispensa a otra persona’. Apadrinar es ‘asistir como padrino’, ‘amparar’, ‘proteger’, y apadrinarse es ‘valerse de alguien’, ‘acogerse’. La ‘acción y efecto de apadrinar’ es el apadrinamiento, y ‘quien apadrina’ es apadrinador o apadrinadora. Además de, como ya se apuntó, ‘sinónimo de padrazo’, padrón vale en varios países hispanohablantes de América, ‘caballo semental’. En general se entiende como ‘nómina de los integrantes de una unidad municipal’, ‘módulo’ o ‘dechado’; ‘monumento en que se inscribe un suceso memorable’, y ‘recuerdo infamante de una mala acción’. ‘Asentar o recibir a alguien en el padrón’ es empadronar, y el empadronamiento la ‘lista del padrón’; a ‘quien empadrona’ se le llama empadronador o empadronadora. El “padrino de bautizo de una criatura respecto del padre o la madre o la madrina de ésta” es el compadre, y también, “con respecto a los padres del confirmado, el padrino de confirmación”. En toda la hispanoparla compadre es sinónimo de ‘buen amigo’, ‘amigo de confianza’; ha caído en desuso llamar compadre al ‘bienhechor’ o ‘protector’. El compadre contrae una ‘conexión o afinidad moral con los padres del ahijado’; tal es el compadrazgo, que se debe no confundirlo con el compadraje o compadreo, que es el ‘concierto entre varias personas para alabarse mutuamente’, y en esta acepción tiene sentido peyorativo. ‘Contraer compadrazgo o hacerse compadre o amigo’ es la idea de compadrear, y compadrería viene a ser todo “lo que pasa o se contrata entre compadres, amigos o camaradas”. El tango argentino ha contribuido a internacionalizar ciertos términos del lenguaje porteño (bonaerense, al que aporta léxico, en buena proporción, el lunfardo, el habla de la lunfa, del hampa), como el sustantivo compadrito, ‘tipo jactanciosos, pendenciero, afectado en el vestir y amanerado’, el adjetivo compadrón, -na; lo ‘relativo o propio del compadrito’, compadrada, ‘jactancia’. La palabra latina pater, adoptada tal cual en español, sólo poniéndole el acento ortográfico, páter, es un sinónimo bastante generalizado de padre, en el sentido de ‘sacerdote’. Lo ‘propio del afecto, cariño o solicitud que se suele atribuir a un buen progenitor’ es lo paternal, derivado directo de paterno, lo ‘perteneciente o relativo al padre’; pero hay que distinguirlo del paternalismo, que es la ‘aplicación de formas de autoridad o de protección paternal a relaciones de otro tipo, no familiares, sino sociales, laborales, políticas, deportivas, frecuentemente con intenciones demagógicas, por lo que se suele darle un matiz peyorativo’. La voz paternidad aparece definida así: “(Del lat. paternitas, -atis,) f. Calidad de padre. // 2. Tratamiento que en algunas órdenes dan los religiosos inferiores a los padres condecorados de una orden, y que los seculares dan por reverencia a todos los religiosos en general, considerándolos como padres espirituales”.

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Problemas sin número

Travesuras, frutas y engaños Claudia Hernández García Daniel Juárez Melchor Muchas veces, cuando se considera la diferencia entre las ciencias y otros tipos de disciplinas, se dice que lo que caracteriza a la actividad científica es la realización de experimentos. Sin embargo, esta concepción trae consigo algunos problemas. En primer lugar, puede servir como justificación para excluir del ámbito de lo científico a disciplinas serias, como las ciencias sociales. Todo mundo está de acuerdo en que resulta, al menos, difícil hacer experimentos en economía, sociología, historia o arqueología… y sin embargo todas estas ciencias han demostrado, cada una en su propio ámbito y con su propio grado de confiabilidad, su valor y su importancia como fuentes válidas de conocimiento. Descalificarlas por no poder aplicar un método experimental sería darles armas a los radicales que consideran que sólo las ciencias “duras”, cuyo ejemplo clásico es la física, son dignas de tal nombre. […] Lo que realmente caracteriza a una ciencia –y lo que la distingue de seudociencias como la astrología– no es la realización de experimentos, sino la formulación de hipótesis para tratar de explicar lo observado, que luego son puestas a prueba, confrontándolas con nuevos datos, para ver si coinciden con ellos o si deben ser sustituidas con hipótesis nuevas, más adecuadas. Si los datos con los que se confrontan las hipótesis son obtenidos observando un hecho natural o un experimento controlado, es realmente cuestión secundaria.* Martín Bonfil Olivera**

Las actividades que proponemos en este número del Correo del maestro están pensadas, por su grado de dificultad, para alumnos de secundaria en adelante. Como siempre, sugerimos que

primero se trabaje en grupos de dos o tres personas y luego se genere una discusión en la que participe todo el grupo para que se comparen estrategias y soluciones.

* Extracto del artículo “Experimentos” de la sección Ojo de mosca de la revista ¿Cómo ves?, publicación mensual de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM, año 3, Núm. 27, febrero de 2001, p.7. ** Martín Bonfil es un brillante e incansable divulgador de la ciencia en México. Actualmente trabaja en la Dirección General de Divulgación de la Ciencia de la UNAM donde, entre otras cosas, colabora mensualmente con la sección Ojo de mosca de la revista ¿Cómo ves? y es editor del Muégano divulgador. Ambas publicaciones se pueden consultar en la página www.dgdc.unam.mx

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Actividad:

1. Juan quiere formar parte de una sociedad muy exclusiva, pero para lograr entrar tiene que descubrir la clave secreta. Se esconde cerca del punto de reunión y observa. En ese momento llega una persona. Llama a la puerta y desde el interior le dicen: 18. El que está afuera responde: 9. La puerta se abre y accede al interior. Juan se queda pensativo y cree tener la respuesta, pero decide esperar.Viene otra persona, desde dentro le dicen: 8. Él responde: 4 y la puerta se abre. Juan sonríe porque está convencido de que la clave consiste en responder la mitad del número que dicen desde dentro. Llega otra persona, se escucha 14, y la persona contesta: 7. La puerta se abre. Juan está convencido de que ésa es la forma de acceder al interior y decide intentarlo. Llama a la puerta. Desde dentro le dicen: 0. Se queda parado y después de unos breves segundos responde: 0 y la puerta no abre. Juan está sorprendido y desilusionado y se va a casa. Unos días después, desea intentarlo una vez más.Toca la puerta, desde dentro se oye: 2. Juan contesta muy convencido: 1, sin embargo, la puerta no se abre. ¿Por qué? 2. Hay tres cajas, una contiene manzanas, otra duraznos y la otra peras. El que ha puesto las etiquetas de lo que contenían se ha confundido y no ha acertado con ninguna. Abriendo una sola caja y sacando una sola pieza, ¿cómo se puede conseguir poner a cada caja su etiqueta correcta? 3. Un maestro de alguna escuela ofrece no hacer examen final a uno de sus diez alumnos, elegido al azar. Para ello prepara una caja con diez canicas, 9 negras y una sola blanca y les dice que aquel que extraiga la bola blanca quedará exento. Pero el maestro, que esa vez pretendía hacer una travesura, coloca, sin que nadie lo sepa, diez canicas negras y ninguna blanca,para asegurarse de que ninguno de sus 10 alumnos se librará de examen. Andrés, que tiene fama de ser muy listo, se enteró casualmente de la trampa que iba a hacer el maestro,e ideó una estrategia que lo libró del examen.¿Qué habrá sido lo que hizo Andrés?

Solución:

1. La respuesta no es la mitad del número, sino el número de letras que tiene. Dieciocho tiene 9 letras. Ocho tiene 4 letras. Catorce tiene 7 letras. Cuando desde dentro dicen cero, debía contestar 4, y cuando dicen dos, debía responder 3.

2. La solución del acertijo se esconde en la interpretación del enunciado “no ha acertado con ninguna etiqueta”. Imagina que las etiquetas son: caja 1 ——— manzanas, caja 2 ——— duraznos, caja 3 ——— peras Al abrir la 1ª supongamos que vemos que tiene peras (no puede tener manzanas porque eso es lo que la etiqueta dice). Como la 2ª caja tiene la etiqueta de duraznos, sabemos que ahí no hay duraznos y como supusimos que la 1ª tiene peras, entonces en esta caja debe haber manzanas. Por eliminación, en la 3ª caja deben estar los duraznos. ¿Qué pasaría si la 1ª caja tuviera peras en lugar de duraznos? 3. Cuando a Andrés le tocó pasar delante de la caja, metió la mano y tomó una de las canicas y, sin mostrarla a nadie, se la metió en la boca y se la tragó. Tan pronto pudo respirar bien, dijo “yo he sacado la canica blanca, pues nadie más la ha sacado y sólo quedan en la caja canicas negras”.Todos miraron dentro de la caja; era verdad y el maestro no pudo negarse a eximirlo del examen.

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Abriendo libros

La matemática: entre números y filosofía* Virginia Ferrari

La matemática es la ciencia de la forma y la cantidad; el razonamiento matemático es la simple lógica aplicada a la observación de la forma y la cantidad. El gran error consiste en suponer que las verdades que se llaman puramente algebraicas son verdades abstractas o generales. Y este error es tan enorme, que me admira la unanimidad con que ha sido acogido. Los axiomas matemáticos no son los axiomas de la verdad general. Lo que es cierto en una relación de forma o de cantidad, es con frecuencia un grosero error respecto a la moral, por ejemplo. En esta última ciencia suele ser falso que la suma de las partes sea igual al todo. [...] Pero el matemático, por rutina, argumenta de acuerdo con sus verdades finitas, como si fueran de una aplicación general y absoluta, valor que, por otra parte, el mundo les atribuye. [...] En resumen, no he encontrado nunca un matemático puro en quien pudiera tenerse confianza fuera de sus raíces y ecuaciones. Edgar Allan Poe (en La carta robada)

Si uno llevara a serio la transcripción con que comienza la “Introducción” del libro que reseñamos, dejaría de leerlo de inmediato, salvo que se interesara por alguno de los temas propiamente matemáticos tratados en la obra. Pero, por suerte para el lector, el tono ameno, a veces coloquial y festivo, caracteriza muchas partes del libro y explican por qué se han incluido éste y otros muchos dichos de personajes de cuentos de Edgar Allan Poe (esta cita es de La Carta Robada, pero las hay también de El misterio de María Roget, Los asesinatos de la Rue Morge y otras obras de este solitario y bohemio escritor norteamericano de principios del siglo XIX). Es que esta serie de ensayos, trabajos de divulgación, memorias, puede ser leído, en partes o totalmente, por un público muy variado. El público general, no especializado, encontrará varios capítulos en que temas de carácter epistemológico o de opinión sobre políticas científicas son tratados con seriedad y profundidad. Los maestros de la educación básica o media encontrarán un capítulo dedicado a la enseñanza de la disciplina y exposiciones sencillas sobre sistemas de numeración y los números en la recta. Las personas más preocupadas por cuestiones antropológicas o psicológicas tendrán visiones (quizá muy polémicas) sobre la matemática como producto cultural y la formación de los conceptos abstractos. La comunidad científica en general podrá satisfacer su curiosidad por conocer aspectos matemáticos de la teoría del caos

* Reseña del libro La dimensión humana de la matemática. Ensayos sobre matemática y cultura, de Roberto Markarian. Editado por Correo del Maestro y Ediciones la Vasija, México, 2003. 1 Roberto Markarian: La dimensión humana de la matemática, Correo del Maestro-Ediciones La Vasija, México, 2003, pág. 17.

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y las relaciones con otras disciplinas científicas. Se incluyen, incluso, dos apéndices, redactados por experimentados matemáticos –David Ruelle y José Luis Massera, este último fallecido recientemente—con enfoques más sutiles y globales sobre los fundamentos de la matemática. El libro está dedicado a la memoria del último de los nombrados, “maestro de varias generaciones de matemáticos y latinoamericanos”, de quien el autor fuera discípulo, compañero de trabajo y de otras muchas experiencias de vida. José Luis Massera recibió en 1997 el Premio México de Ciencia y Tecnología del gobierno de México. La inclusión de una notas biográficas sobre Massera hacen referencia al título del libro, donde la matemática y sus hombres ocupan un lugar primordial. El autor señala que el título del libro puede sonar un tanto excesivo y abarcador pero se justifica de manera por demás elocuente: Al avanzar en la elaboración de estos capítulos, escritos a lo largo de cuatro años, me encontré con que el tema central no era sólo la matemática, sino más bien la matemática como elaboración humana, como una de las partes de la cultura humana. Y también percibí que iban tomando su lugar, su verdadera dimensión, los seres humanos que hacemos la matemática. Los hombres que contamos con los dedos, los que sacamos raíces cuadradas, los que estudiamos geometría o la teoría del caos. El título del libro responde a esta constatación. Me pareció un tanto grandilocuente al principio, pero lo cierto es que el elemento común a todos los capítulos y el aliento principal es ése: la dimensión humana de la matemática.2

Semejante constatación parece haber sorprendido al propio Markarian, quien claramente gusta de escribir sobre temas tan poco tratados o sobre una disciplina que es vista con muchos prejuicios y temores por gran parte del público lector. Por ello

es que no se sabe si algunos de los recursos “pedagógicos” o de atracción que utiliza son resultado de un fino aprendizaje de técnicas de comunicación social o una sincera manifestación de una manera muy global de encarar las construcciones intelectuales de la humanidad. Veamos: el primer capítulo (“La ciencia matemática. Lo específico y lo general”) comienza con una sección sobre Una mente brillante, la comentada película sobre la biografía del matemático John F. Nash, Premio Nobel de Economía; en el capítulo 5 (“La matemática del caos y otros caos”) explica cómo su abuela elaboraba el exquisito postre oriental denominado pajlavá; citas de Marx y Freud se alternan con otras de San Agustín y Piaget; el Apéndice A lleva por título “Conversaciones sobre matemática con un visitante del espacio exterior”. En el Prólogo, redactado por José Antonio de la Peña, presidente de la Academia Mexicana de Ciencias (AMC), se destacan los méritos matemáticos y las preocupaciones culturales del autor, así como sus intereses por el análisis de problemas de la educación básica. Precisamente, la elaboración de enfoques desde el ámbito universitario sobre problemas de la educación básica fueron algunas de las razones que incrementaron los vínculos del autor con diversos ambientes interesados por la enseñanza de la matemática en México. Si bien desde hace varios años mantiene vínculos académicos con el Instituto de Matemáticas de la UNAM y con el CIMAT de Guanajuato, más recientemente comenzó a trabajar con profesores y maestros que promueven la interlocución entre académicos y profesores de educación básica, así como a colaborar con publicaciones latinoamericanas que atienden las necesidades de divulgación y enseñanza de las ciencias. Estos tránsitos entre el cuerpo de maestros y de investigadores en matemática, y la urgencia por fomentar el trabajo conjunto, impregna

2 Roberto Markarian: La dimensión humana de la matemática, Correo del Maestro-Ediciones La Vasija, México, 2003, págs. 21, 22.

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La matemática: entre números y filosofía

una parte muy importante de la actividad del autor y está reflejada fuertemente en el libro que comentamos. La preocupación común por el avance en la formación con calidad de los profesores de todos los niveles de la enseñanza ha permitido la realización de diversas acciones del autor con Correo del Maestro. Organizó diversas actividades que promueven el incremento de los enfoques desde la ciencia matemática de los problemas de aprendizaje de la disciplina. En febrero de este año participó en el taller sobre “La enseñanza de las matemáticas en las escuelas de nivel básico y medio en Latinoamérica”, convocado por la AMC y la Unión Matemática de América Latina y el Caribe (UMALCA). La importancia de estas actividades no escapa a quienes perciben el estado actual de crisis de enseñanza de la disciplina y, más aún, de incomprensión de las finalidades e importancia del tipo de formación que se adquiere con el saber matemático. Dice Roberto Markarian en la introducción del libro: En el fondo, la mayoría de la gente considera que la matemática es importante pero, a veces, parece haber olvidado porqué. O da más peso a las dificultades de su aprendizaje y comprensión que a las ventajas e impacto de la disciplina. [...] La matemática ocupa un lugar prominente en la curricula escolar en todos los países. El papel de la matemática en la sociedad es sutil y a veces difícil de percibir; incluso permanece totalmente escondido en los aparatos, herramientas y utensilios de uso diario. Las aptitudes para calcular y para organizar la información (relacionadas con el poder de la tecnología y el mejoramiento de la organización económica y social), así como la comprensión geométrica del espacio-tiempo (esto es el mundo físico y sus modelos), son dos aspectos que muestran el papel cultural y científico de la disci-

plina. Dado que la matemática ocupa un lugar preeminente en diversos sectores de la sociedad y de la civilización como un todo, los matemáticos y los profesores debemos preocuparnos de explicar y clarificar su rol, estructura, etcétera. La matemática es excitante para muchos pero más bien es considerada difícil y, para la mayoría, inaccesible. Se expresa en un lenguaje muy técnico. Si se toma un libro de matemática de cualquier biblioteca y se abre al azar en cualquier página, lo más probable es que no se entienda casi nada de lo que está escrito y que haya que ir hacia atrás y quizás hasta las primeras páginas para ver el significado de muchos de los símbolos y palabras usadas. En este libro he tratado de evitar estas situaciones; pero que lo haya tratado no significa que lo haya logrado: puede que haya trozos en que la necesidad de explicar aspectos más sutiles o la de ejemplificar o el haber introducido una cita que he tratado de no parcializar, me ha llevado a cuestiones técnicas que el lector común puede no entender en su totalidad. Les ofrezco disculpas y como consuelo les recuerdo que frecuentemente los mismos matemáticos no entendemos el discurso de matemáticos de nuestra propia subárea. La necesidad de especializarse mucho para llegar a las fronteras del conocimiento y la alta técnica que la caracteriza lleva a esta peculiar situación, que comparte con otras ciencias.3

Roberto Markarian ofrece disculpas por aquello que el lector común quizá no alcance a comprender. Bien podría reprochársele al autor este descuido, y el lector podría, en efecto, abandonar el texto sin remordimiento alguno. No obstante, son pocas ya las obras que llegan a mano del posible lector (común o especializado) y no sólo exigen de éste más que su simple atención, sino que despiertan su natural curiosidad. En este aspecto, los ensayos incluidos en La dimensión humana de la matemática pueden presumir –con toda humildad– de poseer esta noble y notable cualidad.

3 Roberto Markarian: La dimensión humana de la matemática, Correo del Maestro-Ediciones La Vasija, México, 2003, págs. 18, 19.

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