Correo del Maestro Núm. 34 - Marzo de 1999 by EDILAR

Investigando la superficie lunar Rosa M. Ros

ISSN 1405-3616

La lógica simbólica: su enseñanza y aprendizaje

¡Manos al papel! Nora Brie

Juan Manuel Campos Benítez

Cómo fomentar el pensamiento abstracto del alumno en clase de matemáticas César Delgado Zielinski

La rotación de la Tierra y el péndulo de Foucault Julieta Fierro

El libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado Mariana Sáiz

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El libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado Lydia López Amador México D. F. Marzo 1999. Año 3 Número 34.

Revista mensual, Año 3 Núm. 34, Marzo 1999.

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección María Jesús Arbiza Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre María Teresa Yurén Santos Arbiza Julieta Fierro Gerardo Cirianni Ramón Mier Mario Aguirre Beltrán María de Lourdes Santiago Josefina Tomé Méndez Colaboradores Héctor Delgado Jacqueline Rocha Luci Cruz Stella Araújo Maya Sáenz Nora Brie Alejandra González Verónica Bunge María Isabel Carles Norma Oviedo Concepción Ruiz Consuelo Doddoli Leticia Chávez Citlalli Álvarez Ana María Sánchez Alejandra Alvarado Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores. Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas. Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos. Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor. Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 82, Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/ 12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor, SEP 003396/95. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Seri Editores y Distribuidores, S.A. de C.V. Carretera al Ajusco 710, Col. Héroes de Padierna, D. F., C.P. 14200. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Sexta reimpresión febrero 2006: 1,500 ejemplares Pressur Corporation, S.A., C. Suiza, R.O.U., 34060206.

Circulación certificada por el Instituto Verificador de Medios. Registro No. 282/04.

Correo del Maestro. Núm. 34, marzo 1999.

Editorial

Una gran parte de nuestro quehacer educativo como profesores de enseñanza básica consiste —entre otras cosas y sin importar el grado en que nos desempeñemos o la materia que impartamos— en enseñar a nuestros alumnos a pensar. Este número del Correo contiene diversas propuestas que pueden ayudarnos mucho en tal sentido. Sin embargo, debemos tener presente que, todas las formas de pensamiento que podamos considerar y todas las habilidades que éstas implican, tienen —todas ellas— una misma finalidad: el pensar para la vida, para ser más humanos, para ordenar nuestras ideas, para ser más claros y precisos, para reflexionar y discernir, para entender —los puntos de vista propios y de los otros—, para dialogar, para establecer relaciones: entre palabras, circunstancias, contextos, espacios, tiempos, historias...

Virginia Ferrari

Correo del Maestro. Núm. 34, marzo 1999.

Entre nosotros

Cómo fomentar el pensamiento abstracto del alumno en clase de matemáticas. César Delgado Zielinski

Pág. 5

El libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado. Mariana Sáiz

Pág. 8

El libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado. Lydia López Amador

Pág.17

Antes del aula

Investigando la superficie lunar. Rosa M. Ros

Pág. 24

La rotación de la Tierra y el péndulo de Foucault. Julieta Fierro

Pág. 38

Certidumbres e incertidumbres

La lógica simbólica: su enseñanza y aprendizaje. Juan Manuel Campos Benítez

Pág. 43

Artistas y artesanos

¡Manos al papel! Nora Brie

Pág. 49

Sentidos y significados

De uno a diez. Louis Jean Calvet

Pág. 53

Problemas sin número

Otras cosas que contar. Juan Manuel Ruisánchez Serra y Concepción Ruiz Ruiz-Funes

Pág. 57

Abriendo libros

Aventura matemática. Laura Nakamura

Pág. 59

Portada: Lucía Echenique Álvarez, 7 años.“Bicicleteando en Xochitla”. Páginas centrales: Las fotografías son cortesía del Instituto de Astronomía, UNAM.

Correo del Maestro. Núm. 34, marzo 1999.

Entre nosotros

Cómo fomentar el pensamiento abstracto del alumno en clase de matemáticas César Delgado Zielinski

os estudiantes de los últimos años de primaria y de secundaria tienen la edad idónea para aprender a pensar en forma sofisticada, abstracta, formal. Pero no todos llegan a dominar esta forma de pensamiento. Evidentemente, es deseable llegar a pensar con la mayor sofisticación posible en este mundo contemporáneo tan competitivo, globalizado y enfocado a la información, su comprensión y su procesamiento. En este artículo presentamos una metodología para que el maestro de matemáticas de los últimos años de primaria y de secundaria ayude al estudiante a acostumbrarse a pensar formalmente. Jean Piaget (1896-1980), el famoso investigador suizo del aprendizaje y el desarrollo y fundador de la epistemología genética, planteó que el desarrollo cognoscitivo tiene cuatro etapas: la sensorio-motriz (0-2 años), la pre-operatoria (2-6 años), la de operaciones concretas (7-11) y la de operaciones formales o abstractas. En sus primeras obras postuló que la etapa de pensamiento formal o abstracto empieza, aproximadamente, a los 11 años y se consolida hacia los 15. En esa época Piaget consideraba inevitable llegar a esta etapa que se caracteriza por el pensamiento hipotético deductivo (método científico), la combinatoria, la lógica proposicional, la reversibilidad y las proporciones. El tipo de pensamiento característico en este estadio es el lógico, matemático y científico que los adultos manejan cotidianamente y que nuestros estudiantes deberían de poder consolidar hacia la edad mencionada. Sin embargo, en obras posteriores, Piaget llegó a reconocer que tal vez no todas las personas lle-

gan a la etapa de operaciones formales. Considerando las edades de los estudiantes de los lectores de esta revista, es de suma importancia comprender qué constituye el pensamiento formal y cómo fomentarlo en los últimos años de primaria y en secundaria. En este artículo abordaremos una porción pequeña del problema global de cómo ayudar al estudiante a pensar formalmente. Una característica fundamental de este tipo de pensamiento es que se examina el problema cuidadosamente con el fin de determinar todas las posibles soluciones y posteriormente se intenta descubrir de modo sistemático cuál de ellas es la adecuada. En otras palabras, el sujeto que piensa en forma abstracta parte de lo posible hacia lo real; en los estadios anteriores, el sujeto necesita apoyarse en lo real para llegar a la solución. Por ejemplo, al preguntársele cuántas permutaciones (arreglos) diferentes se pueden lograr apilando bloques de cuatro colores diferentes, el niño con pensamiento concreto atacará el problema apilando los bloques, mientras que el sujeto con pensamiento abstracto probablemente simbolice los cuatro colores por números y vea cuántas combinaciones son posibles, de forma sistemática y sin referirse a los bloques, logrando algo similar a esto: 1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2413 2431

3124 3142 3214 3241 3412 3421

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Cómo fomentar el pensamiento abstracto del alumno...

De hecho, algunos sujetos serán capaces de deducir que hay 24 permutaciones posibles después de haber enlistado los arreglos de la primera columna, que son seis, y percatarse que así como hay seis arreglos posibles empezando con el uno, habrá seis arreglos posibles empezando con el dos, seis empezando con el tres y seis con el cuatro. Se entiende que los sujetos no conocen el cálculo de probabilidad ni la fórmula para encontrar el número de permutaciones de n objetos, n! (n factorial). Examinar cuidadosamente el problema no es sólo no equivocarse al copiarlo de la tarea. Es definir qué es lo que se pide, encontrar la estrategia adecuada para atacar el problema y estimar el resultado. Yo he encontrado en mis estudiantes de primero de secundaria que son capaces de resolver mecánicamente el problema: 2/5 + 3/25 = 13/25 Pero que no tienen idea de qué significa el resultado 13/25. ¿Qué número es 13/25?, les pregunto. Generalmente me contestan: 0.2, 2, ó 0.02, pero nadie dice: “Aproximadamente un medio, o sea, 0.5”. ¿De qué sirve saber hacer la operación si no se entiende el resultado? Y, ¿cómo se va a entender el resultado si no se ha examinado el problema?. Las ideas concretas que propongo a continuación inducen al estudiante a examinar el problema detalladamente antes de empezar a resolverlo. La primera sugerencia es plantear el problema y pedir una respuesta aproximada sin dar tiempo a que ejecuten la operación. Por ejemplo: ¿Cuál es el promedio de los siguientes números: 13, 14, 14, 14, 14, 15? Si se examina el problema antes de empezar a sumar los números, se notará que todos los números se acercan al 14, por lo que el promedio debe ser “alrededor de 14”. Con un examen más cuidadoso, se puede notar que los

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dos números que no son 14 (13 y 15), se promedian a 14, por lo que el promedio será exactamente 14. La segunda sugerencia es plantear dos problemas, aparentemente muy parecidos, y pedir la solución a cualquiera de ellos. Uno es mucho más fácil de resolver que el otro, pero sólo el cuidadoso examen determinará cuál. Por ejemplo: Resuelve uno de los dos siguientes problemas: A (7/22)3

B (7/21)3

Obviamente, la opción B es muy fácil de resolver si se detecta que 7/21 es 1/3. Muchos estudiantes de secundaria, confrontados con este problema, se ponen a elevar 7 al cubo, y luego 21 o 22 al cubo. Claro que se puede llegar a la respuesta correcta por esta vía pero es más tardado y más difícil (simplificar 343/9261 es casi imposible). La tercera sugerencia es la de poner problemas largos pero que se pueden simplificar, como: Si x=2, entonces; ¿cuánto es: (2x-13) (x+3)(x-2)(x+8)? En vez de sustituir el valor de x, basta darse cuenta de que uno de los términos, (x-2), es igual a 0 por lo que todo equivale a 0. La cuarta sugerencia es poner problemas cuya respuesta no se puede determinar con la información proporcionada. Por ejemplo: Las casas de Juan, María y Pedro están sobre la misma calle, la cual es recta. Si Juan vive a 5 km de María y María a 6 km de Pedro ¿a cuántos km de distancia vive Juan de Pedro? Para este problema hay dos soluciones posibles, ilustradas a continuación: a) J M P - Juan vive a 11 km de Pedro. b) M J P - Juan vive a 1 km de Pedro.

cualquier trabajo, y la posibilidad de tansmitir información eficientemente parte de la comprensión correcta de la pregunta. Por otro lado, muchas pruebas de admisión a diferentes instituciones educativas piden que se lea cuidadosamente la pregunta, y que se escudriñen las respuestas de opción múltiple, para ver el grado de exactitud de la respuesta. Si en una prueba de este tipo las respuestas posibles que se ofrecen a la pregunta: ¿A qué equivale 13/25?, son las siguientes: a) 0.02 c) 0.52 b) 0.2 d) 2 No es necesario hacer la división, sólo percatarse de que 13/25 es aproximadamente un medio, por lo que la respuesta c debe ser la correcta. El poner problemas que necesitan examinarse cuidadosamente previo a su resolución se puede hacer en cualquier tema de matemáticas, ayuda a pensar y comunicarse en forma más precisa y contribuye a llegar al estadio de las operaciones formales, etapa culminante del desarrollo cognoscitivo.

No se propone cambiar el enfoque del curriculum de matemáticas de la SEP, ni los contenidos; sólo se propone que el formato de algunas preguntas o ejercicios utilizados para reforzar los temas oficiales obliguen al cuidadoso examen del problema. Se pueden formular ejercicios como los anteriores lo mismo para álgebra que para geometría, logaritmos, operaciones o cualquier otro tema de matemáticas. El hábito de examinar cuidadosamente un problema antes de abordarlo no sólo les servirá a nuestros alumnos en la asignatura de matemáticas. En nuestra vida cotidiana somos bombardeados por peticiones de información. Si podemos definir la esencia de lo que se nos pregunta, seremos compañía más agradable, empleados más eficientes o jefes más efectivos. ¿Quién no se ha desesperado con personas que, al preguntarles si les gustó la película de estreno, contestan con la historia de cómo fue que la grúa se llevó su coche al corralón por estacionarlo frente al cine? Evidentemente, la habilidad de comunicarse efectivamente ayuda en

la vasija REVISTA INDEPENDIENTE ESPECIALIZADA EN EDUCACION YCIENCIAS DEL HOMBRE

la vasija es una publicación cuatrimestral, independiente y respaldada por un directorio internacional, dirigida a los formadores de maestros, los maestros y los interesados en la educación, y que tiene como finalidad mantener un espacio de difusión e interlocución acerca de lo educativo y su relación con la cultura.

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Educación y cultura que impartirá la Dra. Valentina Cantón Arjona Viernes 21 de mayo, 17 a 18 hrs. Sala 4 EXHIBIMEX Av. Cuauhtémoc esq. Antonio M. Anza, Colonia Roma, México D.F.

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El libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado* Análisis de algunas lecciones Mariana Sáiz1

ste artículo es el tercero de la serie que inició en el número anterior de esta revista. La serie de artículos ha sido precedida por otro más titulado El texto gratuito de matemáticas en la educacion primaria. Un método de análisis para optimizar su uso, el cual apareció en ese mismo número de Correo del Maestro, y en el que se presentaba una metodología de análisis para los libros de texto gratuitos de matemáticas. Los primeros dos artículos se centraban en los libros de primero y segundo grados, el presente artículo está dedicado al texto del tercero. El libro de texto gratuito de matemáticas del tercer grado2 consta de 88 lecciones agrupadas en cinco bloques. Aparentemente, la intención de dividir así el libro es únicamente la de facilitar su uso, ya que en cada bloque aparecen lecciones que corresponden a todos los ejes temáticos de los programas de estudio. Cada grupo de lecciones tiene una portada; las del primero y segundo bloques son aprovechadas para presentar a los personajes protagonistas de las lecciones. La inclusión de estos protagonistas es un recurso en el que se apoyan los autores para dar estructura a las lecciones que forman el libro y es un elemento que no se presentaba en el libro de los grados anteriores. Las últimas páginas de cada uno de los bloques del primero al cuarto se titulan Juegos y Actividades y se utilizan para incluir tareas recreativas relacionadas con los diferentes ejes temáticos, no necesariamente tratados en el bloque respectivo. Al final del quinto bloque aparecen los personajes de las lecciones participando en una fiesta en un salón de clases. En el pizarrón puede leerse : “¡Felices vacaciones!”

Correo del Maestro. Núm. 34, marzo 1999.

El libro inicia con un comentario general acerca de la versión actual de los textos gratuitos. En la siguiente página está el índice que señala el número y título de las lecciones separadas por bloques. En la mayoría de los casos, el título no da información acerca de los contenidos que se tratarán sino del contexto en el que se situarán. Las últimas páginas del libro son hojas de material recortable que se requiere para trabajar algunas de las lecciones. Cada lección se presenta en dos páginas encontradas y, por lo general, los contenidos abordados corresponden a un solo eje temático aunque existen algunas excepciones. Los dibujos y gráficas se insertan adecuadamente en el texto, esto es, no dificultan la lectura. Por el contrario, en su mayoría sirven para apoyar o sustituir al texto además de cumplir una función decorativa lo que resulta en una presentación agradable y atractiva para los niños. De cualquier manera, existen casos en que los dibujos causan confusiones o no son adecuados para las actividades planteadas. En los siguientes párrafos se usará la metodología descrita en el artículo ya mencionado para analizar algunas de las lecciones del libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado. La elección de las lecciones para ser analizadas con la metodología propuesta obedeció a la intención de presentar ejemplos que globalmente puedan considerarse como bien logrados, esto es, que responden a las preguntas planteadas para llevar a cabo el análisis de manera positiva. Esto es satisfecho por la mayoría

Lecciones del libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado

Páginas 26 y 27, lección: El aeropuerto.

Página 54 y 55, lección: La mariposa monarca.

Lecciones del libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado

Página 70 y 71, lección: ¡A formar números!

Página 90 y 91, lección: Los animales de la granja.

Página 54 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: La mariposa monarca.

de las lecciones con excepción de algunos detalles. También se trató de incluir el caso opuesto, esto es, de introducir algunas de las escasas lecciones que se pueden considerar como no bien logradas. La lección La mariposa monarca, que es la sexta del segundo bloque, se eligió por ser una que pudo ser bien lograda de no ser por el aspecto gráfico que, aunque muy agradable por tratarse de cientos de mariposas, no es adecuado para realizar las actividades propuestas. La decimocuarta lección del bloque 2, A formar números, se eligió por ser un buen ejemplo de cómo abordar diferentes contenidos de un mismo eje temático en un contexto que motiva a los niños, ya que se trata de un juego. Los animales de la granja, que es la quinta lección del bloque 3, es un ejemplo de una lección que integra contenidos de diferentes ejes temáticos en un contexto atractivo para los niños. Por último se incluye El aeropuerto, que es la décimo primera lección del bloque 1 y que es un ejemplo de una lección malograda por un tratamiento incorrecto de conceptos complejos y otras razones que se discuten en los siguientes párrafos en los que se hace el análisis detallado de las lecciones que se han mencionado.

Página 55 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: La mariposa monarca.

La mariposa monarca En esta lección (pág. 54) se trabaja con agrupamientos de 10 en 10 y de 100 en 100 para repasar el significado de los vocablos “decena”, “centena”, para introducir el “millar” y para que el niño los aplique a la estimación y al conteo de una colección de objetos. La lección inicia situando a los niños en un contexto que da unidad a la lección: los protagonistas del libro han ido al santuario de la mariposa monarca y han traído unos dibujos llenos de mariposas. En seguida plantea preguntas que permiten al niño recordar las definiciones de decena y centena, así como la relación entre estas nociones. El resto de la lección consiste en que los niños hagan agrupamientos con las mariposas en decenas y centenas, que ejerciten el conteo de 10 en 10 y de 100 en 100 y que lo relacionen con el millar. La situación problemática inicial, que es la presentación de las ilustraciones con las mariposas, sería muy adecuada de no ser porque el diseño gráfico echa a perder cualquier posibilidad de trabajo. Es cierto que los dibujos que se presentan son muy agradables y atractivos, pero pierden su encanto cuando se empiezan a hacer los agrupamientos. En principio es deseable que los niños

Correo del Maestro. Núm. 34, marzo 1999.

El libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado

busquen una estrategia eficiaz para hacer los agrupamientos, pero las mariposas son tan pequeñas y están tan amontonadas que ello resulta demasiado laborioso. Casi de cualquier manera que se empiece o se planee la tarea, al estar un rato trabajando sobre el dibujo, la vista se cansa y se incurrirá en errores de conteo. El maestro podría remediar esta situación utilizando ampliaciones de los dibujos de la lección y poniendo a los niños a trabajar en equipos desde el inicio. De esta manera se podría aprovechar la lección y explotarla proponiendo a los niños otras actividades similares. Los contenidos matemáticos no tienen errores de concepto y su uso está correctamente planteado. Tal como se dijo, el problema es el diseño gráfico, totalmente inadecuado para las actividades que se proponen, ya que acciones simples como observar y agrupar pueden resultar pesadas. Ésta es una lección que intenta poner en juego y desarrollar ciertas habilidades en el niño como el conteo por agrupamientos, la estimación de la cantidad de elementos que forman una colección, y la búsqueda de un patrón para completar una serie. Éstas son algunas de las que podrían trabajarse, a pesar del dibujo. Lo que no es posible es diseñar una buena estrategia de conteo.

Página 70 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: ¡A formar números!

Correo del Maestro. Núm. 34, marzo 1999.

Dentro del libro, la lección tiene como antecedentes otras dos en las que se ha trabajado con las decenas, las centenas como agrupamientos de decenas y el millar como agrupamiento de centenas. Sin embargo, es la primera vez que este concepto se va a usar para estimar y contar una colección grande de objetos. Posteriormente, hay otras dos lecciones en las que se hacen agrupamientos, y todas ellas son un antecedente para el trabajo con el valor posicional. Los ejercicios planteados son siempre del mismo tipo: realizar conteos con distintos agrupamientos. El problema es hacerlo en el dibujo para poder verificar su estimación, responder a las preguntas planteadas, y completar la serie que ya no es de 10 en 10, ni de 100 en 100 sino de 500 en 500. El hacer una buena estimación y verificarla es un reto para los niños, sin embargo éste se verá frustrado cuando los pequeños traten de comprobar su hipótesis debido a los problemas en el diseño gráfico que ya se han mencionado. Otro error que tiene esta lección es la pregunta 3, en la que se plantea: ¿cuántas mariposas hay en los 5 libros? Sin especificar a cuáles libros se refiere. Este error es particular de la edición que se revisó ya que en la primera impresión no aparece, pues antes de preguntar por las mari-

Página 71 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: ¡A formar números!

Página 90 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: Los animales de la granja.

Página 91 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: Los animales de la granja.

posas de los 5 libros, se le pide al niño que se reúna con 4 compañeros. Lo que aporta el tratamiento de la lección a la propuesta didáctica es el poner énfasis en los agrupamientos que preparan el terreno para posteriores actividades relacionadas con el valor posicional como la comparación de números de varias cifras y la presentación de los algoritmos de las operaciones elementales de una forma razonada y no mecánica o memorística.

que no se indica cómo hacer para ganar —por lo que el maestro puede plantear algunas modificaciones a las reglas del juego lo que hace explotable a la lección. Un caso interesante puede ser el de tratar de lograr un acuerdo acerca del uso del cero en la primera cifra. Aunque nunca se indica cuántas cifras debe tener el número formado es importante llegar a un acuerdo acerca de si se vale formar un número con el 0 al principio, en tal caso, conviene tener presente que el natural formado sería, en realidad, un número de tres cifras, no de cuatro. Las habilidades que se desarrollan tienen que ver con encontrar la estrategia para formar el número más grande. Es posible que algunos alumnos utilicen en un principio el camino de ensayo y error; más adelante la búsqueda de la estrategia ganadora los llevará a utilizar el valor posicional y así avanzar en la comprensión de éste. La lección tiene como antecedentes otras en las que se ha trabajado con agrupamientos hasta el orden de los millares y una lección en la que se usa el contador de cuatro cifras. Por otro lado, es un antecedente para lecciones posteriores en las que se trabaja el valor posicional de diferentes maneras, por ejemplo descomponiendo un número como suma de sus unidades, decenas, centenas y millares.

¡A formar números! En la lección ¡A formar números! (pág. 70) se trabaja con un solo contenido: el valor posicional y su aplicación en la comparación de números naturales. La realización de un juego que consiste en formar el número más grande posible con los dígitos escritos en cuatro tarjetas que se toman al azar de un montón de ellas, es el contexto unificador con el que se pretende motivar a los niños. Los contenidos están tratados con corrección y son puestos en juego por la situación problemática que consiste en el planteamiento de la actividad con las tarjetas que contienen los dígitos. Esta situación permite la búsqueda de estrategias ya

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El libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado

Los aspectos gráficos están bien utilizados y son un soporte para el trabajo que se propone en la lección. En primer lugar apoyan la explicación para entender el juego y sirven para presentar los ejemplos en un contexto de tipo afectivo. Sin embargo, se debe tener cuidado con otros aspectos gráficos, ya que por ejemplo, en una de las viñetas aparece un acento de más, ya que dice: “cuatrocíentos”. Al jugar con las tarjetas e intentar ganar, el niño realiza diferentes acciones que van desde la manipulación de las tarjetas —que debe de seguir algún orden para poder encontrar todas las combinaciones válidas— hasta la búsqueda de relaciones entre el dígito y su valor al cambiarlo de posición y la comparación para decidir cuál número es más grande. La lección propone sólo un tipo de problema: formar el número más grande posible. Sin embargo, el profesor puede enriquecerla, por ejemplo, pidiendo a los niños que formen números de más cifras, que busquen el menor número posible de cuatro cifras o el menor número posible sin importar el número de cifras y muchas otras. También puede resultar muy enriquecedor pedir a los niños que expliquen sus estrategias. El hecho de presentar un juego es una buena alternati-

va para interesar a los niños y ofrecerles un reto. El tratamiento de la lección es una aportación importante hacia una propuesta que pretende presentar los algoritmos de las operaciones elementales de una manera razonada, no mecánica, en la que las acciones como “pedir prestado” y “llevar” tengan sentido gracias al valor posicional.

Página 26 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: El aeropuerto.

Página 27 del libro de texto Matemáticas.Tercer grado. Lección: El aeropuerto.

Correo del Maestro. Núm. 34, marzo 1999.

Los animales de la granja La lección Los animales de la granja (pág. 90) es una de las pocas del libro de tercero que integra varios ejes temáticos: aritmética, medición y tratamiento de la información. El niño debe observar un dibujo que conjuga información gráfica y escrita para identificarla, interpretarla y usarla. Además, el niño debe hacer estimaciones de longitudes, usar la regla graduada en centímetros y registrar el resultado. Debe resolver problemas en los que la dificultad radica en que los datos deben identificarse en un dibujo en el que hay información que no se ve pero está dada en el texto, aunque se resuelven con sumas y restas muy sencillas. Un detalle que sería importante señalar es que a veces, en las escuelas urbanas, es posible que los niños no tengan a su alcance animales de granja

para medir, por lo que es necesario preparar el trabajo de la lección con anterioridad. Los animales de la granja son el contexto integrador de los distintos contenidos pertenecientes a los tres ejes que aborda la lección. Los contenidos de aritmética son la resolución de problemas con suma y resta de naturales, en uno de los cuales se debe plantear una suma en la que se desconoce un sumando; los contenidos de medición proponen medir longitudes con un intermediario y con regla graduada en centímetros, además de que se requiere hacer una estimación de longitud; en los de manejo y tratamiento de la información se pide obtener información de un dibujo, levantar una pequeña encuesta y registrar la información. En el tratamiento de los contenidos no hay errores de concepto, los problemas están bien planteados y la lección está bien estructurada para integrarlos. Además, existe una riqueza de habilidades que se desarrollan al trabajar esta lección. Por ejemplo, el niño debe ser capaz de obtener información, parte de la cual está en el texto y otra en el dibujo, lo que evita resolver los problemas por conteo. Así mismo, deberá realizar una estimación de longitud y usar para medir un instrumento de medición convencional como es la regla graduada. Obtener información de un dibujo es un contenido que sólo se tocará en dos o tres lecciones más del texto. El registro de información, en cambio, se irá presentando con más frecuencia en lecciones posteriores. La medición de longitudes con regla graduada en centímetros se ha tratado en 3 lecciones anteriores y se seguirá trabajando hasta usarla para construir algunos modelos para armar. Otro aspecto importante es que se introduce la simbología para representar los centímetros, esto es, la abreviatura “cm”. El manejo de los aspectos gráficos es adecuado para las actividades propuestas, aunque hay que cuidar los colores ya que los pollos cafés y los amarillos no se distinguen con claridad.

La situación problemática, que consiste en presentar la granja a través del texto y el dibujo, permite la búsqueda de estrategias para resolver los problemas de aritmética. La segunda parte inicia pidiendo una estimación y se permite al niño que busque el procedimiento que quiera para realizarla, lo mismo sucede cuando se le pide medir los animales. Además, esta situación realmente pone en juego los contenidos, se requiere resolver problemas usando sumas y restas, usar la regla para medir y crear una tabla para registrar su información. Por otro lado, la presentación de la granja y sus animales es fácilmente explotable ya que con el mismo dibujo se pueden proponer más problemas. La medición y el tratamiento de la información pueden seguirse trabajando de manera integrada midiendo otros objetos. Las acciones que debe realizar el niño al trabajar esta lección son variadas, ya que debe efectuar las operaciones para resolver un problema, plantear una hipótesis al estimar una longitud y posteriormente medir para verificarla, además debe registar información en una tabla. Para el niño es un problema plantear la operación adecuada para resolver los problemas propuestos, particularmente el de los conejos. Es un reto hacer una buena estimación para el pollito y medir los animales que se requieren, aunque ya se les ha dado la idea de hacerlo con un hilo; si esta parte se trabaja con anterioridad resultará más interesante.

El aeropuerto En la lección El aeropuerto (pág. 26) se pretende trabajar las posiciones relativas de los objetos así como los conceptos horizontal, vertical e inclinado. Sin embargo, el contexto puede resultar poco familiar a algunos niños y se plantean preguntas abiertas cuyas respuestas parecen no haberse planeado con cuidado ya que, por

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El libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado

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El aspecto gráfico se podría mejorar si realmente se usara una fotografía de aviones en un aeropuerto ya que al dibujo le falta perspectiva. Aunque las preguntas de la primera parte son abiertas, esta lección no permite la búsqueda de procedimientos, no hay ningún problema que resolver ni retos planteados. Quizás se pretenda que los niños observen que los objetos se ven más pequeños al alejarse, pero como las primeras preguntas están mal diseñadas, el texto tiene que expresar esto de manera explícita. La segunda parte es limitada y pone en juego los contenidos pero muy poco. A pesar de todo, el maestro puede sacarle provecho a la lección y profundizar en las nociones de horizontal, vertical e inclinado. Las acciones que el niño debe realizar son poco variadas: dibujar tres aviones en posiciones indicadas, dibujar tres líneas, dibujar objetos a su alrededor que estén en diferentes posiciones. El tratamiento de la lección no aporta mucho a la propuesta didáctica ya que, como se ha mencionado, se trata de una lección aislada cuyos contenidos no se vuelven a abordar en este grado.

Conclusiones De esta manera terminamos los ejemplos para aplicar el método de análisis mencionado al principio de este artículo para el caso del libro de tercer grado. El análisis de lecciones de cuarto grado aparece en este mismo número de la revista y los correspondientes al quinto y sexto grado aparecerán en el siguiente número de Correo del Maestro, te invitamos a leerlos.

ejemplo, los niños pueden responder que no han visto nunca aviones despegando, o bien, es posible que no puedan imaginar cómo se ve lo que está en la tierra si se viaja en un avión. Estos aspectos hacen que esta lección no se logre. El aeropuerto es el contexto conductor que puede resultar muy lejano a algunos niños, es posible que quienes vivan en el campo hayan visto un avión a lo lejos pero difícilmente lo han visto despegando. Si bien los contenidos son pocos, el problema está en que éstos no son claros. En la segunda parte de la lección es evidente que se trata de trabajar con rectas verticales, horizontales e inclinadas, pero en la primera sólo existe la sospecha de que se trata de posiciones relativas. El tratamiento de los contenidos horizontal y vertical es correcto, pero se tocan conceptos complejos como el campo visual y los efectos ópticos de manera simplista. La pregunta 3 de la actividad 1 está mal planteada, podría referirse a la parte superior del avión, que puede verse desde algunos aeropuertos o edificios altos cuando el avión despega y no es visible cuando vuela más alto. Tal vez sólo se pretende que los niños piensen en las ruedas que se esconden o en el interior del avión. De cualquier forma, no todos los niños habrán visto un avión y los de juguete, a menudo, no son reproducciones fieles, por lo que no es conveniente que las preguntas con las que inicia la lección, y que pretenden abrir una discusión, sean contestadas con un “no”. Si bien el niño requiere imaginar cómo se ve desde arriba la tierra, no se está desarrollando ninguna otra habilidad. Se trata de una de las primeras lecciones del libro y sólo tiene un antecedente que es la lección Mi casa es así, donde se trabaja la ubicación espacial. Los contenidos vertical y horizontal no se volverán a tratar, al menos explícitamente, en el resto del libro a pesar de ser un contenido importante y difícil de adquirir.

* Las páginas de las lecciones analizadas en este artículo aparecen a color en las páginas 9 y 10. 1 Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco. Participante en el proyecto “Estudios sobre los procesos implicados en la enseñanza de matemáticas y estadística”. 2 AVILA STORER, Alicia, et al. Matemáticas.Tercer grado. SEP. México, primera edición 1993, tercera reimpresión 1996. 191 pp. Tiraje 3 138 000 ej.

El libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado* Análisis de algunas lecciones Lydia López Amador1

n este artículo, perteneciente a la serie El texto gratuito de matemáticas en la educación primaria. Un método de análisis para optimizar su uso se dará una breve descripción del libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado2 y se analizarán algunas lecciones seleccionadas para ejemplificar el uso de la metodología propuesta. El libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado tiene una estructura semejante a la del libro de tercero. Está formado por cinco bloques de entre quince y veintiuna lecciones de una o dos páginas cada una. Los primeros dos vienen precedidos por una página en la que se presenta a los personajes que protagonizarán las lecciones de dichos bloques y los otros tres vienen precedidos por una página en la que vuelven a aparecer, sin mencionar los nombres, los personajes que se han presentado en los primeros bloques. La penúltima lección de cada bloque es una lección de repaso de algunos de los contenidos vistos en él, y la última no es propiamente una lección sino una página en la que se presentan juegos y actividades. En cada una de las lecciones hay un margen de color que identifica al bloque al que pertenece la lección. En el índice aparecen las lecciones numeradas dentro de cada bloque con su nombre y el contenido o contenidos principales. Al final del libro viene un anexo con material recortable que se utiliza en algunas lecciones. El diseño gráfico, en general, es sencillo y agradable. Cabe señalar que en algunas lecciones aparecen recuadros en los que se recuerda algún concepto o definición. Estos recuadros casi siempre son de color amarillo aunque en una de ellas es de color morado que es

el color que se usa para algunos ejercicios de mecanizaciones, aunque a su vez uno de éstos aparece en un recuadro de color amarillo. En general, cada lección abarca uno o dos contenidos principales y algunos pocos contenidos integrados, lo que tiene la ventaja de no hacer tedioso ni confuso el material para el alumno, pero por otro lado algunas de las lecciones parecen quedar truncadas ya que, por no utilizar más espacio que el de dos páginas, no se puede profundizar en los contenidos y dan la impresión de estar inconclusas. En este trabajo se analizarán las siguientes lecciones: La ONU, que es la tercera lección del bloque 2, se eligió porque su contexto puede motivar e interesar al niño en el manejo de los contenidos que aborda. Además se puede relacionar con otras asignaturas como historia. La lección Galletas redondas es la número 18 del bloque 2. Ésta corresponde a un ejemplo de lección en la que se presenta un solo contenido principal: las fracciones como reparto; la manera de presentarlo permite, al visualizar la forma de realizar los repartos, favorecer la comprensión del concepto. La lección 17 del bloque 3, Hacemos recetas, se eligió debido a que, de manera sencilla —que también resulta útil y agradable— se manejan conceptos de variación proporcional. La lección El lugar del tesoro es la octava del bloque 4. Ésta es un ejemplo de una lección malograda debido principalmente al diseño gráfico ya que éste es impreciso. Por otro lado, los trazos que

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El libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado

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hay que realizar no quedan suficientemente explicitados y las instrucciones tampoco son claras. A continuación se analiza con más detalle cada una de las lecciones seleccionadas.

Como se ha mencionado, los contenidos principales de esta lección se refieren a unidades de tiempo mayores que el día (semana, mes, año, lustro y década), referentes al eje de medición. También se trabajan, aunque con menor énfasis, contenidos referentes a resolución de problemas a partir de enunciados con datos numéricos, lo que corresponde al eje de tratamiento de la información y a ubicación de años en la línea del tiempo, contenido relacionado con el orden numérico, que junto con la operatividad entre los números pertenecen al eje de aritmética. Como contenido implícito se puede señalar la transformación de unidades (años, lustros, décadas). Es pertinente hacer una observación en el sentido de que, al pedir al niño que se ordenen los años en la línea del tiempo, se advierte que las unidades no se han respetado, así el intervalo correspondiente al tiempo transcurrido entre 1910 y 1919 no es proporcional al tiempo transcurrido entre 1919 y 1938 ni a los otros periodos. Aunque esto no impide que el niño pueda realizar la actividad de ordenar las fechas, sí puede crear conflictos posteriores. A pesar de lo anterior se puede mencionar que en general el diseño es sencillo y agradable.

La ONU Esta lección (pág. 52 y 53) inicia presentando al niño un texto pequeño sobre la fundación de la ONU y planteándole preguntas acerca de lo que dice dicho texto. Después se le da información sobre unidades de tiempo como el lustro y la década y se le pide responder algunas preguntas utilizando estos conceptos. En la siguiente actividad se informa sobre algunas fechas históricas importantes y nuevamente se hacen preguntas acerca del tiempo transcurrido a partir de estas fechas y de su ubicación en la línea del tiempo. Por último se pide al alumno que mencione acontecimientos que hayan ocurrido hace una semana, un mes, un año, un lustro y una década. Las fechas entonces conforman el contexto unificador alrededor del contenido de unidades de tiempo a partir del cual se plantean y se resuelven los problemas.

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Por otra parte, en esta lección se propicia en el niño el desarrollo de habilidades como son las estrategias de acomodamiento de la información al tener que extraer del texto aquella que sea necesaria; la expresión escrita al tener que redactar los acontecimientos ocurridos; el hacer analogías como relacionar década con decena; y hacer generalizaciones al tener que calcular tiempos transcurridos, cumpleaños, aniversarios, etcétera. Además, el niño debe realizar diversas acciones como ordenar fechas y números y ubicarlos en una línea del tiempo, registrar información escrita en una tabla y hacer operaciones. Aunque todos los problemas planteados se refieren a fechas, hay variedad en el sentido de que algunas vienen incluidas en pequeños textos y el alumno debe distinguir la información relevante. Algunos problemas consisten en responder a preguntas acerca del tiempo transcurrido entre dos fechas determinadas, para lo cual debe buscarse una estrategia; otra actividad consiste en ordenar cronológicamente los acontecimientos y ubicar las fechas correspondientes en una línea del tiempo; por último el alumno debe escribir algunos hechos ocurridos hace determinado tiempo. Por lo anterior, la lección puede interesar al

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alumno, por ejemplo, para calcular el tiempo transcurrido a partir de fechas que le sean de interés y le plantea un reto al inducirlo a desarrollar la estrategia para llevar a cabo estos cálculos. Al tener que operar con las fechas y saber en determinado tiempo cuántos lustros o décadas han pasado, se está propiciando la búsqueda de un procedimiento y poniendo verdaderamente en juego el contenido; se da pie para que el maestro pueda explotar los problemas y a partir de ellos plantear otros similares: puede, por ejemplo, trabajar fechas relacionando el tema con la asignatura de historia, o se pueden trabajar más problemas de conversión de unidades y aprovechar las situaciones en las que aparezcan decimales. El contexto de la ONU ya se manejó previamente en el mismo bloque refiriéndose a otros contenidos, sin embargo, sólo en una lección anterior se han tratado unidades de tiempo pero principalmente menores que el año, y no se vuelven a tratar, a pesar de que en el libro del maestro3 (pág. 42) se menciona que el tiempo es una de las nociones más difíciles de adquirir. Es la única vez que se utiliza la línea del tiempo en este libro y, aunque sí se trabaja la recta numérica, no se maneja como línea del tiempo.

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El libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado

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Galletas redondas En la lección Galletas redondas (págs. 82 y 83) se presentan unos dibujos que muestran diferentes cantidades de galletas y de niños. La idea es que el alumno realice los repartos de galletas en la forma que considere más conveniente. Suponiendo que el reparto se hace de manera equitativa, a cada niño le tocan fracciones de galleta. Primero, la idea es tratar de “adivinar” en qué caso le tocarán más galletas a cada niño y después, verificar la respuesta, para lo cual es necesario diseñar de qué manera se hacen los repartos, ordenar las fracciones y poder contestar las preguntas que se plantean a continuación. Posteriormente, se presentan otros dibujos en los que nuevamente el alumno debe hacer tres repartos y responder preguntas similares a las anteriores. Finalmente, se le informa en qué caso toca más de una galleta, menos de una galleta o exactamente una galleta a cada niño y se le pide que ilustre cada una de estas situaciones. El diseño de esta lección es sencillo y los dibujos son agradables, además de que permiten visualizar fácilmente la situación. Contextos familiares como éste propician que la lección le interese al ni-

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ño, además de que la diversidad de acciones que tiene que realizar hacen que mantenga la atención. Para hacer los repartos el alumno tiene que relacionar a cada niño con la galleta o las fracciones de galleta; anticipar para determinar si a cada uno le tocará menos de una galleta, una galleta o más de una; diseñar la estrategia; verificar si su reparto ha sido correcto; explicar lo que hace; ordenar las fracciones y dibujar. Aquí se observa que a partir de un contexto conductor y unificador, los repartos de galletas, se trabajan de manera explícita los contenidos del eje de aritmética: fracciones como reparto y orden entre fracciones, además del uso del símbolo “<”. Estos contenidos, salvo porque debiera aclararse que los repartos se tienen que hacer de manera equitativa, están tratados en forma correcta. A lo largo del libro hay varias lecciones en las que se trabajan estos mismos contenidos. En el primer bloque se han trabajado previamente pero en fraccionamiento de longitudes y en este mismo bloque hay otras lecciones que tratan el contenido de fracciones, una de ellas, la número 9, también en situación de reparto pero sin hacer comparaciones. En el siguiente bloque vuelve a aparecer el mismo contexto con los mismos contenidos.

La forma en que inicia la lección permite la búsqueda de una estrategia para la repartición y comparación de fracciones, poniendo el contenido en juego y al mismo tiempo favoreciendo el desarrollo de habilidades en el niño que abarcan en cada actividad, el diseño de la estrategia para efectuar los repartos y poder responder a las preguntas, plantear hipótesis sobre sus resultados y explicar el porqué de sus respuestas. Además permite desarrollar las habilidades de hacer analogías con otro tipo de repartos y situaciones, y generalizar al observar qué fracción de galleta(s) toca para cierto número de niños. Aunque los problemas son todos del mismo tipo, algunos repartos son más sencillos; el maestro puede explotarlos y construir otros similares haciendo repartos en los que los objetos no puedan partirse y otros en los que sí se pueda, aunque aquí se recomienda el reparto de materiales que, a diferencia de las galletas, no se desmoronen fácilmente.

En la lección Hacemos recetas, (pág. 122 y 123) como su nombre lo indica, el contexto conductor

son recetas de cocina. Esta lección inicia dando las instrucciones de un paquete para elaborar gelatina para 6 personas; aquí se trabaja el análisis de información contenida en ilustraciones que corresponde al eje tratamiento de la información. A partir de estos datos se le pide al alumno que responda a ciertas preguntas y después que encuentre la cantidad de paquetes que se necesitan para hacer gelatina para un mayor número de personas, abordando el contenido de variación proporcional que corresponde al eje procesos de cambio. A continuación se le piden las cantidades necesarias de ingredientes para hacer más gelatinas. En las siguientes actividades se dan los ingredientes para preparar tortas y se pide al alumno que encuentre las cantidades necesarias de cada ingrediente para preparar un mayor número de tortas. Finalmente, a partir de los ingredientes que lleva un pan de naranja para 4 personas, el alumno debe proporcionar la cantidad necesaria de éstos para elaborar un pan para un número más reducido de personas. El principal desafío se presenta al niño en esta última parte, pues varios de los ingredientes se manejan en fracciones y debe encontrar cuánto se reducen éstas en cada caso.

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Hacemos recetas

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La multiplicación y división con enteros o de una fracción por un entero, contenidos que corresponden al eje de aritmética, están en juego a lo largo de toda la lección exigiendo al alumno buscar los procedimientos para resolver los problemas. Aunque éstos son todos del mismo tipo, en el sentido de que tratan de modificar cantidades en las recetas, en algunos casos hay que aumentar dichas cantidades con respecto a la receta original y en otros hay que reducirlas; además se trabaja con fracciones, lo que da a la lección riqueza y potencial de interés. En la segunda lección del libro se empieza a trabajar con tablas sencillas de variación proporcional; no es sino hasta el último bloque que se vuelven a trabajar tanto con números naturales como con fracciones y pidiendo que se aumenten o se disminuyan las cantidades. El diseño gráfico es adecuado, sin embargo, hay que marcar que a la palabra “kermés” no se le puso el acento. Por otra parte, se eliminaron las unidades: cucharadas, rebanadas, gramos, etcétera, en las recetas que se tienen que completar para determinado número de personas. Esta situación puede ser aprovechada por el maestro para trabajar el contenido de unidades de medición convencionales y no convencionales, puesto que los problemas son explotables e incluso se pueden realizar experimentos relacionados con ciencias naturales o con alguna otra asignatura. El contexto y la diversidad de acciones que el alumno debe realizar ayudan a mantener su interés. Estas acciones abarcan: interpretar la información contenida en ilustraciones, diseñar la estrategia para adecuar la receta a un número mayor o menor de personas, operar con las cantidades de ingredientes de las recetas y comparar cantidades; también se propicia en el niño el desarrollo de habilidades como las de hacer analogías y generalizaciones y la reversibilidad de procesos para poder aumentar y disminuir las cantidades en las recetas.

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El lugar del tesoro El lugar del tesoro (págs. 142 y 143) es la lección elegida como ejemplo de una lección malograda. Inicia proponiéndole al alumno una actividad que consiste en localizar el lugar en donde está enterrado un tesoro, para lo cual tiene que trazar círculos con el compás a cierta distancia de una fuente, un monumento, un pozo y un árbol, los cuales de acuerdo con su correspondiente escala en centímetros, tienen alturas de: la fuente 4.4 metros, el monumento 5.2 metros, el pozo 3.3 metros y el árbol 3.6 metros. Esto plantea algo irreal pues, por ejemplo, un pozo de ese tamaño no es común, y por otra parte hay errores de proporcionalidad en estos dibujos, como el de que el monumento es demasiado alto para el diámetro de la base que lo sostiene. Por otra parte, la perspectiva de los dibujos sugiere que al trazar un círculo alrededor de esas figuras, éste debería verse como una elipse. Después se pide al alumno que dibuje una fuente con ciertas características, pero no se aclara, al igual que en la actividad anterior, que la perspectiva que se quiere es desde arriba. En el siguiente problema se pide que se tracen círculos sobre una línea y en otra hay que reproducir una figura. Por último se pide a los alumnos que tracen círculos en el patio como se muestra en el dibujo. Uno de los problemas principales de esta lección es su diseño gráfico. Además de que hay errores en las escalas de los dibujos de la primera actividad, en cada uno de ellos se marca una cruz que prácticamente no se distingue y que supuestamente es el centro de los círculos a trazar. En la actividad 3, por la forma en que están dispuestos los círculos sobre la línea, no se puede saber cómo deben trazarse los círculos subsecuentes y el trazo de la figura de la actividad 4 es bastante complicado. Por otro lado, los espacios son incómodos para el trazo pues son los

el lugar en el que deben trazarse. Por lo anterior el contenido no se pone verdaderamente en juego. Como todos los problemas se refieren al trazo de círculos, ya sea que tengan su centro en un punto dado o que el alumno tenga que decidir en qué lugar reproducir la figura, el maestro no puede explotar los problemas. Como ya se mencionó, salvo en la primera actividad en que se plantea la búsqueda de un tesoro, las demás actividades no parece que puedan despertar mayor interés en el alumno. Tal vez el trazo de la figura que debe reproducirse en la actividad 4 puede plantear un reto pero no así las demás actividades. Por otra parte, el salir al patio a trazar círculos con los procedimientos ejemplificados en el dibujo puede no tener sentido si no se han logrado los propósitos planteados con las actividades del aula.

Conclusiones Esperamos que el ejemplo de metodología de análisis le sea de utilidad y pueda servirle de apoyo en sus clases. Asimismo, lo invitamos a leer, en el siguiente número de esta revista, los artículos correspondientes a quinto y sexto grados con los que concluimos la serie.

interiores de las páginas. Otro de los problemas es la poca claridad en las instrucciones a seguir. Aunque supuestamente hay un contexto conductor y unificador —los documentos del rey— que podría ser interesante para el niño, éste resulta forzado y es un mero pretexto para el trazado de círculos, además de que es absurdo que en un documento “muy antiguo” se hable de metros. Los contenidos corresponden al eje de geometría (concepto y trazo de círculos con procedimientos informales y usando el compás, reproducción de figuras y elaboración de figuras a escala); sin embargo hay dificultades en su tratamiento pues se pide que se tracen círculos con una perspectiva que no corresponde y a cierta escala que, como se mencionó anteriormente, no se respeta en los dibujos que apoyan la actividad. Es difícil saber cómo reproducir las figuras de las actividades 3 y 4, aunque esto podría verse como una ventaja si el niño lo toma como un reto. Es la única lección del libro en la que se utiliza el compás y se trazan circunferencias, aunque ya se ha pedido la reproducción de figuras y el trazo de figuras sencillas a escala. Las acciones que supuestamente debería realizar el alumno son diseñar la estrategia, medir, trazar, localizar y discutir los procedimientos seguidos, y las habilidades que se pretende desarrollar son la coordinación motriz, el seguimiento de instrucciones para la ubicación del lugar donde deben trazarse los círculos, la estimación de resultados de disposición espacial, la percepción de formas, posiciones relativas y perspectivas. A pesar de la variedad de acciones, y de que se pretende desarrollar diversas habilidades, no se logran los propósitos de la lección y el niño puede perder el interés al sentir que no puede entender o realizar las actividades propuestas. Aunque puede establecerse que el alumno debe buscar un procedimiento, éste no es para el trazo de los círculos en sí, sino para determinar

* Las páginas de las lecciones analizadas en este artículo aparecen a color en las páginas 51 y 52. 1 Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco. Participante en el proyecto “Estudios sobre los procesos implicados en la enseñanza de matemáticas y estadística”. 2 ÁVILA, Alicia et. al. Matemáticas. Cuarto grado, SEP, México, primera edición, 1994, segunda reimpresión revisada 1995, 189 págs.Tiraje: 2 665 000 ej. 3 Libro del maestro. Matemáticas. Cuarto grado, SEP, México, primera edición, 1994.

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Antes del aula

Investigando la superficie lunar Rosa M. Ros

Una posible solución para conseguir este objetivo es la colaboración con alguna asociación de astrónomos aficionados. Éstos son personas siempre abiertas a promover su afición entre otras y especialmente entre la gente joven. (En México, en casi todos los planetarios hay grupos de astrónomos aficionados asociados). Se puede organizar conjuntamente con ellos una observación a través de sus telescopios en el propio centro escolar o en otro lugar más apropiado. También es importante contar con la información necesaria por parte de la asociación, para La Luna, el único satélite natural de la Tierra, es un cuerpo peculiar en seleccionar el día y la hora para realizar el Sistema Solar, entre otras cosas por el gran tamaño que tiene en la observación. relación con su planeta. Los contenidos de este artículo responIntroducción den a una lista de diferentes actividades para hacer con los alumnos antes, durante y después En general, los centros de primaria y secundaria de la observación. Básicamente, estas actividano disponen de un telescopio para observar. No des consisten en realizar un mapa sencillo de la es necesario el uso de este instrumento para ensuperficie de la Luna, situando las principales señar astronomía, pero siempre resulta interecaracterísticas (mares, cráteres, montañas...), losante ofrecer a los estudiantes la posibilidad de calizarlas sobre la superficie en directo, tomar observar a través de uno de ellos. Para aquellos fotografías de ellas y finalmente calcular las dique lo hemos hecho, está claro que es una excimensiones de alguna característica de la supertante experiencia mirar la Luna con un telescoficie lunar, resultando todo ello apropiado para pio. Es una sensación que no tiene nada que ver llevarlo a cabo en primaria o secundaria. Para con mirar una fotografía o ver una cinta de visimplificar la última actividad que se propone, deo. La observación real es insuperable. Si es es conveniente tomar fotografías de la Luna posible, todo enseñante debe promover que sus cuando está en cuarto creciente o menguante. alumnos disfruten de ello. A lo largo de su vida En estos casos, la solución matemática es más olvidarán muchas cosas, pero nunca la primera sencilla que en el caso general y es posible desavez que vieron la Luna por un telescopio. rrollarla en una escuela de secundaria.

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Realización del mapa Unos cuantos días antes de realizar la observación es conveniente prepararla en el aula. Para ello hay que iniciar el proceso familiarizando a los alumnos con los principales accidentes de la superficie lunar. Es bueno empezar usando mapas no demasiado detallados de nuestro satélite. Es mejor comenzar por el manejo de mapas esquemáticos que por su claridad y sencillez permitan a los estudiantes situarse rápidamente desde el inicio de la observación. Un buen camino para conseguir dicho material es la confección del mismo en el aula por parte de los propios alumnos. Así, a partir de un mapa mudo, como el de la figura 1, se van incluyendo los nombres de los mares, algunas cordilleras y unos pocos cráteres seleccionados por sus particularidades (a modo de ejemplo véase la tabla 1). Todo ello se hace a partir de consultar varios mapas de diferentes publicaciones.

Figura 1. Mapa mudo de la superficie lunar.

Mares

Cordilleras

Cráteres

Mar de la Tranquilidad

Apeninos

Clavio

Mar de la Crisis

Cárpatos

Tycho

Mar de los Humores

Alpes

Arzachel

Mar de las Nubes

Cáucaso

Alfonsus

Mar de las Lluvias

Muro Recto

Tolomeo

Mar de los Fríos

Aristóteles

Mar de la Serenidad

Platón

Océano de las Tempestades

Petavius

Mar de la Fecundidad

Arquímedes

Mar del Néctar

Copérnico

Tabla 1.Algunos accidentes de la superficie lunar.

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Investigando la superficie lunar

Una vez acabado este mapa y antes de dar por terminada esta etapa de familiarización del estudiante con el nuevo medio, puede resultar interesante proponer como ejercicio de clase que sitúen los distintos puntos de alunizaje del programa Apolo (tabla 2). Se trata de un ejercicio sencillo que les despierta gran interés y que, a la vez que les obliga a manejar distintos mapas de la superficie lunar, amplía sus conocimientos y refuerza los ya adquiridos.

Ingenio

Lugar

Apolo 11

Mar de la Tranquilidad

Apolo 12

Océano de las Tempestades

Apolo 14

Cráter de Fra Mauro

Apolo 15

Cordillera de los Apeninos

Apolo 16

Cráter de Descartes

Apolo 17

Región Taurus - Littorow

Observacion telescópica Tabla 2: Puntos de alunizaje del programa Apolo.

Con la ayuda de la asociación de astrónomos amateurs se puede realizar la observación de la superficie de nuestro satélite. Es bueno empezar usando en primer lugar un ocular con poco aumento, lo que permite una visión total de la Luna y una localización de los distintos mares que sean visibles. Después se puede seguir con oculares más potentes para conseguir mayores detalles, especialmente en la zona del terminator (línea que separa la zona iluminada de la sombreada) donde se da, de forma más marcada, mayor contraste de luces y sombras. Si es posible, resulta interesante tomar alguna fotografía de aquello que los alumnos están observando. Seguro que sacar “su” fotografía de la Luna significará para los estudiantes una experiencia inolvidable. Para efectuar los ejercicios que se proponen en los apartados siguientes, es necesario disponer de fotografías de la superficie lunar donde sea posible medir el diámetro de la totalidad del disco. En particular, es conveniente tomar fotos de la Luna en el instante del cuarto creciente y menguante. Si es posible, se trabajará con las fotografías realizadas durante la observación, pero si esto no es posible, también se pueden usar otras como las que se publican en las páginas centrales de esta revista (fotos 1 y 2)

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—las cuales fueron realizadas con un telescopio ecuatorial de 100 mm de diámetro y 1000 mm de distancia focal, utilizando una película para diapositivas color de 100 ASA. No pasamos seguidamente a dar unas pautas para la realización de las fotografías porque éstas dependenden de las características del telescopio, lo que hace difícil dar esta información de forma general. Además, es seguro que en toda asociación de astrónomos aficionados hay miembros que realizan de forma asidua fotografía astronómica y en particular fotografías de nuestro satélite, y ellos podrán asesorar al maestro para cada caso particular.

Determinación de longitudes Para efectuar esta experiencia sólo es necesario disponer de una fotografía de la Luna donde sea posible medir el diámetro de nuestro satélite sobre la fotografía (foto 1 de págs. centrales), por tanto, el radio lunar lo obtenemos en cm. Como los alumnos conocen el radio real de la Luna en km, cuando ellos miden la longitud de algún accidente lunar (por ejemplo el diámetro de un

cráter) sobre la Luna en cm, es muy fácil calcular su longitud real en km, usando la proporción siguiente: R X x r donde: • X: longitud real del accidente sobre la Luna, en km.

• R: radio real de la Luna, en km. • r: radio de la Luna sobre la fotografía, en cm. • x: longitud del accidente sobre la fotografía de la Luna, en cm. En las tablas 3 y 4 aparecen los valores obtenidos para distintos accidentes.

Cuarto creciente

Cuarto menguante

r radio lunar, en cm.

6.9

6.7

d distancia al terminator, en cm.

0.7

1.0

valores obtenidos

l sombra, en cm.

0.15

0.10

x diámetro del cráter, en cm.

0.30

0.28

H altura real del borde , en m.

3825

3863

X diámetro real, en m.

75.5

72.5

a partir de fotografías

resultados calculados

Tabla 3. Altura del borde y diámetro del cráter de Werner.

Cuarto creciente

r radio lunar, en cm.

6.9

Cuarto menguante

6.7 valores

d distancia al terminator, en cm.

0.7

1.1

obtenidos

l sombra, en cm.

0.19

0.10

a partir de

x diámetro del cráter, en cm.

0.55

0.50

H altura real del borde , en m.

4202

4588

139

130

fotografías

X diámetro real, en m.

resultados calculados

Tabla 4. Altura del borde y diámetro del cráter de Albategnius.

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Investigando la superficie lunar

Determinación de alturas Cuando la Luna está en cuarto creciente o en cuarto menguante, los rayos solares forman un ángulo recto con el terminator. Aprovechando esta propiedad se pueden calcular alturas sobre la superficie lunar a partir de las longitudes de las sombras. Consideremos, a modo de ejemplo pero sin perder generalidad, que queremos averiguar la altura de una montaña cuyo pico es A, midiendo la longitud de la sombra AB que produce. Comenzaremos por considerar esta montaña proyectada sobre el borde lunar, con el único objetivo de visualizar de forma más clara la geometría del problema. La montaña proyectada es A’ y su correspondiente sombra A’B’, donde A’B’ es igual a AB (figura 2). La altura de la montaña, el resultado que queremos obtener es AC, que evidentemente es igual a A’C’. Si aproximamos el arco C’B’ al segmento C’B’, es posible considerar los triángulos rectángulos A’C’B’ y A’D’L que son semejantes (figura 3), en consecuencia se verifica la relación siguiente: A’B’ A’C’ A’L A’D’

Accidente proyectado

Accidente real

donde: • A’B’= AB: sombra de la montaña sobre la fotografía, en cm (en adelante le llamaremos d). • A’C’= AC: altura de la montaña que se desea calcular, en cm (en adelante le llamaremos h). • A’L = AL: distancia desde el centro de la Luna a la cima de la montaña, en cm (en adelante le llamaremos h + r). • A’D’= AD:distancia desde el terminator a la cima de la montaña en la fotografía, en cm (en adelante le llamaremos d). Entonces, la relación anterior puede expresarse con esta nueva notación más sencilla para manejar: l h h+r d donde todas las variables son conocidas salvo h, que queremos calcular. Extrayendo denominadores se obtiene la ecuación de segundo grado en h: h2 + rh - ld 0 que los alumnos saben resolver, obteniendo:

Sol

Figura 2.Accidente real y accidente proyectado.

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Figura 3. A’C’B’ y A’D’L son triángulos semejantes.

2h + r =

r2 + 4ld

es una longitud, y por tanto no puede ser negativa. Hay que destacar que la altura h calculada es la que corresponde a las dimensiones de la Luna en la fotografía. Si realizáramos una maqueta de la Luna del tamaño de la fotografía debería ser h la altura de esa montaña, pero como lo que deseamos es conocer su altura real, lo que habrá que hacer es considerar una proporción de forma análoga a lo expuesto en el apartado anterior relativo a determinación de longitudes. Así, la altura real de la montaña es: H

R r

donde: •H: altura real de la montaña, en m. •R: radio real de la Luna, en m. •r: radio de la Luna en la fotografía, en cm. •h: altura de la montaña en la fotografía, en cm. Está claro que aunque para fijar ideas, durante todo este razonamiento hemos hablado de estimar la altura de una montaña, se puede usar el mismo procedimiento para otro tipo de acciden-

tes, y así se ha hecho para calcular la altura de los bordes de los cráteres lunares. En las tablas 3 y 4 figuran los resultados conseguidos para algunos de ellos.

Conclusiones Hay que ser honestos y reconocer que los resultados obtenidos siguiendo este proceso son orientativos, aunque no muy precisos. A este nivel lo menos importante es la precisión de los resultados obtenidos, realmente sólo se busca un orden de magnitud, ya que al proceso usado no se le puede pedir más. La principal dificultad que entraña todo lo expuesto está en determinar la recta del terminator y en consecuencia en medir la distancia al mismo, debido a que éste en las fotografías no aparece como una línea definida sino como una zona difusa. Sin embargo, esto no debe ser una objeción para realizar la actividad. Nuestro objetivo no es emular a la NASA, sino que es animar a los alumnos a usar su inteligencia y los conocimientos que ya tienen para resolver problemas que inicialmente les parecen fuera de su alcance. La idea no es introducir nuevos contenidos matemáticos o conceptos astronómicos muy elaborados hasta conseguir aburrir a los alumnos, sino que es utilizar lo que ellos ya saben a la vez que manejar ideas, cuanto más sencillas y claras mejor.

-r + r2 + 4ld 2 donde ya hemos resuelto la ambigüedad del signo de la raíz cuadrada tomando sólo la determinación positiva. Está claro que h

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La rotación de la Tierra y el péndulo de Foucault Julieta Fierro

Vista de la Tierra observada desde la Luna.

no de los momentos cruciales del desarrollo de las ideas de la humanidad fue cuando pensadores como Copérnico y Galileo se dieron cuenta de que era más fácil explicar las observaciones astronómicas si la Tierra no estaba quieta en el centro del universo. La idea de que la Tierra se mueve es difícil de aceptar ya que nuestro sentido común nos señala que está inmóvil, que lo máximo que llegamos a percibir son sacudidas temporales durante los temblores. El presente artículo muestra la manera de construir un aparato que simula un péndulo de Foucault con el que se pudo comprobar la rotación de nuestro planeta. En latitudes cercanas al Ecuador, como las de México, los péndulos de Foucault “giran” muy lentamente, menos de una vuelta completa en 24 horas, por consiguiente le cuesta mucho trabajo al observador entender de qué modo este

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instrumento muestra la rotación de la Tierra. Con la demostración descrita en este texto se ayuda a comprender su funcionamiento.

Movimientos relativos Probablemente el lector habrá observado el movimiento de nubes tenues por delante de la superficie de la Luna. Da la impresión de que las nubes están quietas y que es la Luna la que se desplaza. Solamente si se observa con cuidado y se usa alguna referencia terrestre, como algún poste, se constatará que son las nubes las que se mueven y que la Luna no tiene movimiento aparente importante a lo largo de unos cuantos minutos. Cuando uno viaja dentro de un avión a altura considerable, no se siente su movimiento; es más, al mirar por la ventanilla se tiene la sensación que lo que se mueve es lo que está en torno del avión.

Estos dos experimentos muestran los movimientos relativos. Indican la dificultad que tiene un observador para conocer qué es lo que se desplaza y qué lo que está fijo cuando los movimientos de los cuerpos son suaves. De allí la complejidad de entender si lo que se mueve es la Tierra o es el resto de los astros en torno a ella. Es más fácil describir el movimiento de los astros si se considera que la Tierra está en movimiento; de hecho, gracias a esto se descubrió su desplazamiento. La tierra gira en torno a un eje imaginario cada 24 horas. Su movimiento de rotación es de Oeste a Este, y ésta es la razón por la cual el Sol y las estrellas parecen trasladarse de Este a Oeste durante el día y la noche. El profesor puede explicar el movimiento de rotación de la Tierra con un globo terráqueo iluminado por un costado con una lámpara brillante. Deberá hacer girar el globo para mostrar cómo se iluminan su diferentes caras. (También podrá construir un acetato como el descrito en el Correo del Maestro, Núm. 2, pág. 37, 1996).

Polo Norte

eje de rotación

Un profesor puede construir un péndulo. Si lo hace oscilar encima del Polo Norte de un globo terráqueo notará que la dirección de giro no cambia respecto del salón de clases. Pero si hace girar el globo notará que un observador en su Polo Norte observaría que el péndulo cambia de dirección.

El maestro puede volver a tomar el globo terráqueo y mostrar cómo un péndulo oscilando encima de su ecuador no participaría del movimiento de rotación terrestre.

El péndulo de Foucault El péndulo Un péndulo es un instrumento sumamente útil. Galileo lo empleó para medir periodos temporales. El docente puede constuir un péndulo amarrando un objeto pesado en el extremo de un cordón, por ejemplo unas llaves. Podrá comprobar que entre más largo es el cordón mayor será el periodo de oscilación del péndulo y de ahí su utilidad en la construcción de relojes. El docente mostrará a los niños cómo si se pone en movimiento un péndulo siempre oscilará en el mismo sentido, por ejemplo respecto de una mesa. Si el profesor hace rodar un carrito o una canica debajo del péndulo no alterará el sentido de su movimiento.

Un péndulo de Foucault es un instrumento que permite constatar la rotación de la Tierra. Debido a que nuestro planeta gira en torno a un eje imaginario que pasa por sus polos, si construimos un instrumento suspendido sobre la superficie terrestre, se notará el movimiento de uno respecto de la otra. Si colocamos un péndulo suspendido en el centro de una barra colocada entre dos columnas en el Polo Norte de la Tierra, conforme la Tierra gira el péndulo que siempre oscila en la misma dirección respecto de los astros, recorrerá distintos sitios de la superficie. Puesto que a la Tierra le toma 24 horas completar un giro, el péndulo parecerá completar un giro en sentido contrario durante ese lapso.

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La rotación de la Tierra y el péndulo de Foucault

En algunos países, los péndulos de Foucault oscilan sobre superficies con marcas; conforme transcurre el día uno nota cómo la dirección del péndulo parece cambiar, debido a la rotación de la Tierra.

tración de la rotación de la Tierrra, aun cuando los miren durante varias horas.

Los péndulos de Foucault de latitudes ecuatoriales Como podrá comprender el lector, un péndulo de Foucault colocado sobre el ecuador no mostrará el movimiento de la Tierra. Los péndulos de Foucault colocados en regiones cercanas al polo parecen dar una vuelta completa en 24 horas, en cambio los que están más alejados “van dando vueltas más despacio” hasta que en el ecuador no muestran moviento de rotación. Por consiguiente, cuando se construyen péndulos de Foucault en países cercanos al ecuador, como es el caso de México, es muy difícil para los observadores constatar que son una demos-

ecuador peso del péndulo

Si el docente hace oscilar el péndulo encima del ecuador de un globo terráqueo y gira al mundo, notará que un observador ecuatoriano no advertirá ningún cambio en el sentido de giro del péndulo, a diferencia del observador del Polo Norte.

Simulador de un péndulo de Foucault (sencillo y barato) Se necesita el siguiente material: • Una coladera lo más plana posible. • Dos agujas de tejer. • Un candado (u otro objeto pesado y un objeto plano). • Un cordón de unos 60 cm de largo.

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Construcción: Amarre un extremo del cordón a la llave del candado. Colóquela en el centro de la coladera y haga pasar el cordón por uno de los orificios centrales. Amarre el candado al otro extremo del cordón. Haga pasar las agujas de tejer por dos orificios opuestos de la coladera.

Observación: Aunque la coladera gire, el péndulo permanecerá oscilando en la misma dirección. Las agujas de tejer sirven de referencia (como si fueran las columnas). De manera análoga, conforme rota la Tierra el péndulo de Foucault mantiene la misma dirección.

Procedimiento: Sostenga la orilla de la coladera con ambas manos y haga oscilar el péndulo formado por el candado; mientras lo hace, haga girar lentamente la coladera.

Conclusión

Simulador de un péndulo de Foucault fabricado con materiales muy sencillos.

En varios centros de ciencia de la República Mexicana se han instalado péndulos de Foucault. Para algunos visitantes resulta muy difícil comprender cómo funcionan, ya que en latitudes cercanas al Ecuador el efecto es casi imperceptible. El instrumento sencillo descrito en este texto ayudará a los visitantes a comprender su funcionamiento. Si algún docente explica a sus estudiantes la existencia del péndulo de Foucault, estos podrán demostrar la manera en que funciona utilizando este simulador.

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Invita Al Taller de Dirección Coral que impartirá la maestra Ma. Felicia Pérez de Cuba, del 19 al 26 de Mayo de 1999, dirigido a cantores, maestros de música y directores de coro. 19 de Mayo Registro en la escuela Nacional de Música de la UNAM 18:00 hrs. a 19:45 hrs. 19 de Mayo Ensayo de 20:00 hrs. a 22:00 hrs. 20 de Mayo Ensayo de 20:00 a 22:00 hrs. (Escuela Nacional de Música) 21 de Mayo Ensayo de 20:00 a 22:00 hrs. (Escuela Nacional de Música) 22 de Mayo Mesa redonda de 10:00 a 13:30 hrs. (Sala Carlos Chávez del CCU) 22 de Mayo Taller de técnica de dirección coral de 16:00 a 19:00 hrs. Universidad de Comunicación (Zacatecas No. 120, Col. Roma) 23 de Mayo Concierto de clausura (podrán participar aquellos que hayan asistido a los ensayos previos), a las 12:00 hrs. en el Anfiteatro Simón Bolívar. (Justo Sierra No. 16, Centro Histórico).

El taller está dirigido a directores de coros y músicos interesados en esta actividad, así como a coralistas o cantantes que deseen participar activamente en el coro. La única actividad restringida a cupo será la del sábado 23 de mayo por la tarde ya que ahí se abordará la dirección coral desde el punto de vista técnico. Cuota de recuperación: $100.00 (antes del 10 de mayo). $120.00 (después del 10 de mayo). $140.00 (el día de registro).

Informes e inscripciones al 56 71 61 62 , fax 56 79 57 00

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Certidumbres e incertidumbres

La lógica simbólica: su enseñanza y aprendizaje Juan Manuel Campos Benítez 0. Introducción En este artículo trataré de señalar algunos problemas suscitados en la enseñanza y en el aprendizaje de la lógica simbólica. También señalaré algunos beneficios de su aprendizaje.

sado la materia, de manera autodidacta, digamos. Cuando esto ocurre podemos decir que ha habido un aprendizaje que no ha sido paralelo a la enseñanza y que este fenómeno no se circunscribe por completo al aula sino que la rebasa .

2. La enseñanza en el aula 1. El proceso enseñanza-aprendizaje Es frecuente considerar a la enseñanza y al aprendizaje como procesos paralelos y simultáneos; esta manera de verlos se expresa en la manera de presentarlos, con un guión entre ambas palabras para indicar así su estrecha relación. El primer problema consiste en saber si estos procesos son completamente paralelos y, si no lo son, detectar algunas dificultades que puede suscitar en la educación el considerarlos como tales. Si no son paralelos, tampoco podremos decir que son simultáneos. Al preguntarnos si es lo mismo enseñanza que aprendizaje, cuando esto ocurre en el aula, debemos también preguntarnos por los criterios para establecer esto. Los medios usuales son las evaluaciones. Ahora bien, supongamos que en las evaluaciones algunos alumnos fracasan. Esto nos hace suponer que el proceso no es enteramente paralelo, a menos que queramos negar que ha habido enseñanza. Pero no podemos hacer esto puesto que algunos alumnos sí han aprendido. Por otra parte, es muy posible que algunos estudiantes aprendan la materia en cuestión no del profesor sino de la ayuda de sus propios compañeros. O que la aprendan después de haber cur-

Pero nos quedaremos en el aula. La enseñanza de la lógica en el salón de clases tiene características peculiares. Una de ellas consiste en su manera práctica de aprenderse, a base de ejercicios y repetición, como cuando se aprende otra lengua. En efecto, la lógica consta de reglas y una buena parte del éxito en su aprendizaje consiste precisamente en la interiorización de dichas reglas. 2.1. Una actitud frente al aula Sin embargo, a veces los estudiantes esperan todo un discurso por parte del profesor, como ocurre en otras clases con otras materias; esperan, además, comprender el asunto escuchándolo y tomando notas solamente. Hay un momento fatal que hace peligrar todo el proceso: cuando el estudiante tiene la ilusión de haber aprendido lógica porque ha puesto toda su atención y ha seguido paso a paso toda la explicación del profesor. Entonces considera que debe esperar la clase siguiente para continuar aprendiendo y se olvida de realizar la tarea. Aquí comienza el fracaso del estudiante en su aprendizaje de lógica. El uso de las reglas garantiza su apropiación, pero

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La lógica simbólica: su enseñanza y aprendizaje

usar las reglas quiere decir aplicarlas continuamente en ejercicios diseñados especialmente para ellas, para que poco a poco se vayan interiorizando y se conviertan así en hábitos de pensamiento. Pero si no se realizan los ejercicios, el fracaso en el aprendizaje de la lógica es inminente. 2.2. La actitud fuera del aula Ahora bien, el primer problema consiste en persuadir al estudiante para que realice los ejercicios que se le asignan. Este problema presenta un grado de complejidad que no es perceptible a primera vista. Pueden ocurrir varias situaciones. Primera: El estudiante está acostumbrado a seguir instrucciones y obedece simplemente, pero no va más allá de prepararse para aprobar el curso y olvidarse después de la materia. Segunda: el estudiante no está acostumbrado a seguir instrucciones en actividades fuera del aula o lo hace solamente cuando está persuadido de que debe hacerlo, como cuando tiene que leer para aprobar un examen. En ese caso, la razón para leer es obvia, pero realizar ejercicios desde el primer día de clases y sin examen a la vista parece una pérdida de tiempo. Tercera: el estudiante ha comprendido las reglas expuestas en el aula y decide ocupar su tiempo en una actividad más productiva. Éste es el caso más común, pero los otros dos nos muestran también varias cosas. Muchas veces la disposición a realizar las tareas escolares está influida por el tipo de escuela a la que se asiste: pública, privada o semiprivada, como empieza ya a haberlas. No abordaremos este asunto, sólo diremos que afecta en alguna medida la respuesta del estudiante hacia ciertos problemas que se presentan en su aprendizaje de la lógica.

mo puede parecerlo. Involucra varias cosas. El estudiante que no esté convencido de los beneficios que acarrea hacer la tarea escolar difícilmente la llevará a cabo, y para persuadirse necesita probar algunos de sus frutos aunque acceder a ellos requiera haber realizado la tarea. Nos encontramos ante un círculo vicioso. Por otra parte, realizar los ejercicios es una actividad que no tiene que ver con la adquisición de información ni con la verdad o falsedad de algunas proposiciones supuestamente relativas a la materia. Sin embargo, a veces se asocia indiscriminadamente aprendizaje con contenidos proposicionales y entonces el estudiante puede confundirse, pues espera que lo que aprenda sea verdadero; se encuentra que no puede aplicar estas categorías y minimiza entonces la tarea escolar, pues realmente “no hay mucho que aprender” o memorizar. Así pues, la enseñanza de la lógica en el aula requiere que el estudiante realice los ejercicios fuera del aula. Esto no excluye la realización de los mismos en el aula para mostrar las posibles soluciones y las vías más adecuadas para acceder a las mismas, pero son inútiles si no hay trabajo previo por parte del estudiante. Las preguntas en el aula son muy importantes en cuanto muestran una duda, una vacilación ante dos o más opciones, o bien pueden reflejar una duda con respecto a qué regla aplicar ante un problema específico cuya solución no salta a la vista; en ambos casos reflejan en gran medida el avance del estudiante. En este sentido, es posible darse cuenta del grado de asimilación por medio de las preguntas e incluso por los gestos y expresiones que están a la vista del profesor.

2.2.1. Hacer la tarea fuera del aula

3. La enseñanza y el aprendizaje fuera del aula

Quizá sea tiempo ya de mostrar que “realizar los ejercicios” no es una actividad tan simple co-

Casi suena a paradoja hablar de la enseñanza fuera del aula. En el contexto del presente ensa-

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yo el trabajo fuera del aula consiste en realizar cierta rutina, y esto garantiza en gran medida el éxito en el aprendizaje de la lógica. Pero fuera del aula se da aprendizaje, no enseñanza de la lógica. La razón es muy sencilla: la enseñanza es una relación ternaria que incluye al enseñante, al enseñado y a lo enseñado. No puede haber enseñanza si falta uno de ellos; el aprendizaje puede ser una relación binaria, como cuando aprendemos a nadar o a andar en bicicleta sin que alguien nos lo haya enseñado. Aquí tenemos otra razón para pensar que la enseñanza y el aprendizaje no son procesos paralelos ni mucho menos equivalentes. 3.1. Aprender ejercitando Sin embargo, el problema real consiste en persuadir al estudiante de que realice los ejercicios asignados. Conviene detenernos un poco en la palabra “ejercicios”. Aplicados a la lógica, su sentido es casi literal, físico; así como ejercitamos los músculos podemos ejercitar también la mente, el pensamiento simbólico y abstracto. La repetición no es entonces obsoleta y tiene una finalidad específica: adiestrar, preparar al estudiante a que realice algo que exige capacitación, esfuerzo, preparación, así como se le exige cuando se prepara para una competencia en el terreno deportivo; la máxima que dice “mente sana en cuerpo sano“expresa una gran verdad y una gran analogía: ejercita tu mente así como ejercitas tu cuerpo. Pero no hay problema para convencer en cuanto al cuerpo; lo hay con respecto a lo otro. 3.2. Aprender para algo El primer problema: ¿para qué me sirve esto? Entre los profesores he escuchado el siguiente slogan: “el aprendizaje debe ser significativo”. Pero no es muy claro lo que quiere decir esto,

aparte de los problemas filosóficos que involucra la noción de significado. A primera vista parece cuestionarse la utilidad de realizar ciertos ejercicios que no son “fáciles” y cuya finalidad es difícil establecer. Las nociones clave aquí son utilidad y finalidad, pero no deben desviarnos del asunto. Queremos que el estudiante aprenda lógica, ¿para qué?, ¿de qué le va a servir ese aprendizaje? Problemas paralelos a esto lo constituyen los medios: ¿Cómo vamos a enseñarles? La respuesta obvia a este último problema parece ser la práctica misma de la lógica al momento de enseñarla: enseñamos a pensar precisamente pensando. Pero es demasiado fácil esta solución y realmente no soluciona nada; si el pensamiento claro y riguroso fuera cosa obvia no necesitaría de aprendizaje, ni de enseñanza. En el fondo del asunto hay un aspecto metodológico: cómo voy de aquí a allá, cómo paso de las premisas a la conclusión. Ese camino a seguir requiere reglas elementales que nos permitan seguir el camino de la manera más fácil posible. La lógica proporciona esa metodología. Pero nos queda el problema de cómo persuadir al estudiante de la conveniencia de aprender lógica. 3.2.1. El aprendizaje y la vida Por otra parte, es un hecho que el estudiante es un ser pensante, pues se enfrenta a múltiples problemas en su vida diaria, en sus relaciones con sus compañeros, con sus maestros, con sus padres, con sus amigos. Está envuelto en una atmósfera que le exige razonamiento continuo e intercambio de razones para justificar o tratar de rectificar conductas que no le parecen adecuadas, ya sea que provengan de sus compañeros o de personas que se suponen son razonables. Todas estas situaciones involucran contenidos, a veces con una fuerte carga emocional, y el estudio de la lógica formal, tan abstracta como es, le parece completamente desvinculada de sus rela-

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La lógica simbólica: su enseñanza y aprendizaje

ciones cotidianas. Rechazar algo tan alejado casi se presenta como un imperativo, sin contar que le exige un esfuerzo cuyos frutos están muy lejos de ser evidentes. Y no obstante, sigue aprendiendo algo nuevo cada día, aunque no sea en el aula. Aprender lógica no quiere decir aprender unas técnicas con las cuales pueda refutarse a cualquier contrincante sobre cualquier punto de vista, y nada más. Exige primero aprender a pensar sobre aquello que uno mismo piensa, y esto quiere decir reflexión, pensar para sí mismo antes de expresar cualquier opinión. En el contexto en el que nos movemos quiere decir que las reglas lógicas interiorizadas son aplicables a nuestros propios pensamientos. Pero esto presupone la interiorización de esas reglas, y este es el problema que nos ocupa. Con todo, no excluimos el que podamos aprender de lo que los demás nos digan, analizando sus opiniones, pero esto presupone cierta “lógica” por nuestra parte. Las reglas con las que “juguemos” deben ser comunes y cualquier violación a ellas debe ser constatable por ambas partes. No serán reglas privadas que valgan para sólo uno de los dialogantes.

para conseguir alguna utilidad inmediata. Puede entenderse como la adquisición de una herramienta con múltiples aplicaciones, o en un lenguaje más didáctico, como la adquisición de habilidades de pensamiento que son indispensables para el desarrollo de las capacidades críticas y cognoscitivas del estudiante. Es muy importante distinguir entre la mera adquisición de una herramienta (que en cualquier momento puede dejarse a un lado) y la formación de un pensamiento claro y metódico que proporciona criterios de análisis y de (auto) crítica que pueden constituirse en rasgos de la persona que los sustenta. En este sentido el aprendizaje está estrechamente vinculado con la vida de la persona y a su desarrollo como entidad racional; no está de ninguna manera excluida la vida afectiva y emocional del estudiante, pero se sugiere cierta guía por parte del pensamiento. Por eso, al considerar la lógica como herramienta debemos pensarla como una herramienta sui generis, una herramienta necesaria incluso en el caso que decidamos abandonarla cuando tengamos buenas razones.

3.2.2. Una función del aprendizaje 4. La utilidad de la lógica Con todo esto, no podemos sino pensar que la enseñanza debe tener una función en la vida del estudiante. Es decir, que la enseñanza debe tener unos objetivos que no son necesariamente la utilidad inmediata ni una aplicación utilitaria en beneficio del que aprende. Cabe decir que se puede aprender para aprender, aplicando ese aprendizaje a muchas situaciones, incluyendo aquellas que involucran la enseñanza; esto quiere decir que podemos aprender incluso en situaciones que no tienen que ver con nuestro propio beneficio sino con el de otros, aquellos a quienes enseñamos. Aprender para algo quiere decir que el aprendizaje es algo mayor que aprender

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Mostrar la utilidad de la lógica no es tarea sencilla. Diremos primero que es útil cuando se sabe usar. Quizá no estamos diciendo nada nuevo con esto, pues utilizarla presupone su manejo. Pero hemos sugerido algunas cosas: se aprenderá su manejo usándola, poniendo en práctica los ejercicios asignados. En este nivel no podemos preguntarnos por su utilidad, cuando todavía estamos aprendiéndola. Conviene aquí poner entre paréntesis esta pregunta, hasta que adquiramos cierta maestría en su manejo. Supongamos que se ha adquirido ya esa maestría.

4.1. El dominio de una técnica Hemos dado ya el primer paso, conocemos la técnica y somos capaces de analizar oraciones, probar argumentos y mostrar si una fórmula dada es o no teorema de cierto sistema lógico. El problema ahora consiste en interiorizar esa técnica de tal manera que su aplicación en las situaciones pertinentes sea automática e “inconsciente”, sin la connotación psicológica del término. Esto sugiere que su utilidad, cuando es interiorizada, deja de ser “utilitaria”, en el sentido peyorativo de la palabra; de alguna manera al apropiarse uno de cierta técnica deja de ser un fin en sí misma para convertirse en un medio de desarrollo personal, de formación intelectual. Si se llega a este nivel, podremos enfrentar mejor el problema de su utilidad. Uno de los aspectos que se olvidan fácilmente cuando se aprende lógica simbólica es que la simbolización comienza con el lenguaje ordinario, cotidiano. En efecto, los primeros ejercicios consisten en formalizar oraciones que provienen de nuestra lengua natural y de las cuáles queremos exhibir su forma lógica; luego procedemos a trabajar casi exclusivamente con símbolos. No obstante, los símbolos son solamente un paso intermedio entre el estudio de la lógica y su interiorización. Supongamos ahora que la lógica se ha interiorizado. 4.2. La aplicación de una técnica La palabra “técnica”, como la palabra “herramienta” y “utilidad” adquieren, en nuestro contexto, un matiz que no tenían al comienzo de nuestro ensayo. Generalmente son palabras asociadas con sus congéneres semánticos: “tecnología”, “utilitarismo”, etcétera. Pero hemos visto que pueden adquirir otras connotaciones asociadas a la enseñanza y al aprendizaje y por esto adquieren un mayor grado de generalidad. La

adquisición de una lengua puede considerarse como el dominio y maestría en cierta técnica asociada al uso de reglas que se aplican a situaciones diversas. Pero hablar una lengua es más que dominar una técnica, por lo menos en el sentido en que una técnica siempre es una aplicación concreta de ciertas reglas; es una aplicación que rebasa los límites que le fueron impuestos al inicio. El hablante encontrará situaciones nuevas que no estaban previstas al inicio de su aprendizaje, y no obstante podrá desenvolverse exitosamente si tiene dominio de la técnica inicial. Con la lógica ocurre algo parecido. La relación de la lógica con la lengua natural es evidente al no perderse de vista que la formalización es siempre formalización de algo. Ese algo tiene que ver con el lenguaje ordinario, y es ahí donde una utilidad de la lógica cobra especial importancia. Es en el lenguaje ordinario donde enfrentamos una buena parte de nuestros encuentros con el mundo y con nuestros semejantes; ahí debatimos sobre algunos puntos, enfrentamos y ponemos objeciones, dialogamos y discurrimos, debatimos y establecemos nuestros puntos de vista. Hacer todo esto de manera ordenada, coherente, clara y precisa nos facilita nuestro entendimiento con los demás; nos ayuda a encontrar los puntos de discrepancia y a disipar malentendidos, a encontrar posibles vías de solución o alternativas a la solución de nuestros problemas. Nos ayuda, para decirlo en pocas palabras, a ser más humanos. Al entender mejor nuestro argumentos, y los de los otros, al establecer su validez o invalidez, estamos en mejores condiciones de juzgarnos a nosotros mismos y a los demás. Es esta mejor comprensión y capacidad de crítica lo que precisamente nos proporciona, entre otras cosas, la lógica, a pesar (o mejor: a través) de todos esos ejercicios que a primera vista nos parecen inútiles y fuera de lugar. Esos ejercicios, al ser tan abstractos o carentes de contenido, nos capacitan para apli-

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La lógica simbólica: su enseñanza y aprendizaje

4.3. La restricción de la aplicación El lenguaje ordinario nos sirve para tantas cosas, y hacemos tantas cosas en él, que no es posible describirlas ni enumerarlas todas. Es casi como una atmósfera en la que está envuelta toda nuestra vida: los aspectos emotivos, afectivos, imperativos, expresivos, nuestra vida privada incluso encuentra ahí su mejor articulación así como nuestra valoración ante los encuentros con nuestros semejantes. Ante este panorama, la argumentación se nos presenta como un área restringida y de poco alcance, considerada la totalidad de nuestra vida. De hecho, es poco el tiempo de nuestras vidas que dedicamos a la argumentación. Pero también es poco el tiempo que dedicamos al pensamiento; esto no tiene que ser así, también nuestra razón puede guiar nuestras vidas; las decisiones que tomemos ante situaciones importantes bien pueden ser decisiones meditadas, sopesadas, medidas antes que precipitadas, y todo esto involucra el pensamiento y la claridad ante lo que debemos hacer, o dejar de hacer. Es cierto que no somos razonables en todas nuestras decisiones de la vida cotidiana; no tenemos que serlo, pues no somos máquinas que calculan cada movimiento. Nuestros gustos y nuestra sensibilidad son también parte importante de nosotros mismos. Pero también la sensibilidad, como la razón, puede ser educada, aunque por otros medios diferentes de la lógica. Dejemos a la lógica su ámbito de

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aplicación, sin restringirla cuando ella tenga algo que decir.

5. La lógica y la vida Vista de este modo, la lógica no se circunscribe al aula, aunque comience ahí su aprendizaje. Los estudiantes tarde o temprano tomarán algún curso. Con un poco de paciencia y disciplina saldrán airosos, aprobarán el curso pero solamente habrán dado el primer paso; el proceso continúa y la aplicación alcanza su máxima expresión no en el terreno cotidiano sino en el científico y filosófico. Y por supuesto que en el ámbito de la vida personal y del desarrollo intelectual, que no tiene que acabar al salir de la universidad. Antes de despedirme del lector, quisiera evitar un malentendido. He dicho que el aprendizaje de la lógica comienza en el aula. Esta afirmación debe entenderse en el contexto del presente ensayo, donde se habla precisamente de la enseñanza y el aprendizaje en el salón de clase. No he mencionado lo que algunos autores llaman “lógica natural” ni quiero implicar que todo aquel que no haya cursado lógica en la escuela no sabe razonar. Es un hecho que muchas personas lo hacen con gran rigor e intuición y sin haber pasado nunca por la escuela; no son mayoría, como tampoco lo son los artistas que han desarrollado su arte sin contacto con otros artistas o sin contactos con algunas escuelas. Se trata de un fenómeno muy importante y no sólo por sus implicaciones en el terreno de la investigación psicológica, sociológica, educativa, el reconstruir el proceso que ha llevado a un artista a producir ciertas obras de arte, al filósofo a construir o atacar ciertos argumentos, al científico a lograr tal o cual descubrimiento, al hombre de la calle cuando argumenta magistralmente sobre algún tema cotidiano sin que haya tenido previa formación lógica escolar. Es algo importante, pero rebasa el tema de nuestro ensayo.

car las reglas de la lógica a situaciones múltiples donde ocurren situaciones parecidas, donde ocurren conectivas y cuantificadores que tienen su expresión en frases tan cotidianas como: “siempre que” , “si alguna vez”, “pero”, “todos los que”, y tantas muchas otras que nos son tan familiares.

Artistas y artesanos

¡Manos al papel! Nora Brie

icen que los chinos inventaron el papel y dicen también que fueron ellos los primeros en reciclarlo. Al papel en desuso lo reducían a pulpa y con ella confeccionaban yelmos de guerra. Durante los siglos XVIII y XIX se multiplicaron las fábricas que construían objetos de papel. Por aquellos años se fabricaban con ese material charolas, cajas, artículos de escritorio, muebles y hasta cabinas de barco. El desarrollo industrial provocó que materiales sintéticos como los plásticos fueran desplazando al papel y aquellas enormes fábricas fueran desapareciendo. Hoy, la confección de objetos a partir de papel reciclado es nuevamente manual, como al principio, cuando los chinos construían sus yelmos. Son innumerables las cosas que podemos hacer reciclando papel y cartón, pero, ¿cómo hacerlas? En este artículo proponemos la fabricación de material didáctico.

Material necesario • Cartones de huevo • Pegamento blanco • Blanco de España • Cubeta o recipiente • Licuadora • Bolsa de mandado o tela • Lija • Pinturas (escolar, vinílica o de otro tipo)

La pulpa puede elaborarse con cartones contenedores de huevo.

Pulpa de papel Para la fabricación de objetos de papel reciclado primero que nada debemos preparar la pulpa. Casi todos preparan ésta a partir de papel periódico, pero hoy propondremos algo diferente: necesitamos conseguir ese cartón donde se ponen los huevos; puede ser gris, azul, rosa, no importa el color. Tomemos 2 ó 3 de esos cartones (en algunos lugares los llaman casilleros), cortémoslos en trozos pequeños y pongámoslos a remojar en una cubeta con agua. Es mejor dejarlo de un día para el otro, pero si tenemos prisa, o se nos olvidó ponerlo a remojar con tiempo, podemos usar agua bien caliente y enseguida nuestro cartón quedará humedecido.

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¡Manos al papel!

Cuando finalicemos con los procedimientos anteriores coloquemos la pulpa en un recipiente y agregémosle un poco de pegamento o cola blanca (resistol) con agua y luego pegamento puro (se puede utilizar engrudo, es más barato, pero la pasta nos durará menos tiempo, el acabado es un poco más blando y tarda un poco más en secar). Es necesario mezclar bien y cuando tengamos una pasta uniforme agreguemos un puño de blanco de España (éste se consigue en las tlapalerías y es muy Los niños pueden participar en la elaboración de objetos a partir de papel y barato). Amasemos bien, como si fuéracartón reciclado. mos a hacer un pay, hasta que la pasta quede homogénea, sin grumos. Si nos Pongamos ese cartón bien remojado en una queda muy seca debemos agregarle más pegalicuadora común y corriente, pero no todo mento, si está aguada se le agregará blanco de junto. Primero tenemos que poner agua (se España. La pasta debe quedar moldeable, no puede utilizar la de la cubeta donde se humequebradiza y así podremos trabajar con ella padeció el cartón) y luego se irá agregando el ra fabricar diferentes materiales didácticos, cocartón (no mucho para no forzar el motor de mo por ejemplo, un dominó de fracciones1, fila licuadora). Posteriormente debemos poner guras geométricas, rompecabezas, etcétera. la pulpa licuada en una bolsa de mandado (de Para dar forma a las piezas podemos auximalla) o una de tela, para quitarle el agua. liarnos de algunas herramientas como cucharitas o cuchilos desechables. Debemos procurar que la superficie quede lo más lisa posible. Al terminar se ponen a orear las piezas, de preferencia en un lugar ventilado y soleado, ya que tardan un poco en secar, a veces un día o dos. En época de lluvias pueden tardar hasta una semana; en este caso nos podemos ayudar con un ventilador o colocando las piezas cerca de algo caliente como la estufa. Cuando ya están completamente secas podemos quitar las rebabas con una lija. Luego, se pueden colorear con cualquier tipo de pintura (yo recomiendo la vinílica por su mayor resistencia). Para termiAlgunas piezas del dominó de fracciones elaborado con papel reciclado. nar, es posible aplicar sellador para impedir que la humedad y el uso decolore las piezas. 1

Dominó de fracciones y porcentajes. Artículo aparecido en Correo de Maestro, No. 12, Año I, pp. 15-18.

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Lecciones del libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado

Páginas 52 y 53, lección: La

ONU.

Páginas 82 y 83, lección: Galletas redondas.

Lecciones del libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado

Páginas 122 y 123, lección: Hacemos recetas.

Páginas 142 y 143, lección: El lugar del tesoro.

Sentidos y significados

De uno a diez* Louis-Jean Calvet

as cifras que nos sirven para contar se remontan, al menos en cuanto a su nombre, al árabe sifr, “cero”, y los números al indoeuropeo ★nem, “distribuir”, que ha dado también numerosos. Sin embargo, aunque los números son numerosos, sólo vamos a explorar aquí los que van del uno al diez1. 1. El universo es uno, y la cebolla también

La raíz indoeuropea ★oin,2 “único”, va a alimentar, por medio del latín unus, el conjunto de las lenguas románicas: uno, único, unidad, unión en español, un, unique, unité, union en francés, uno, único, unità, unione en italiano, uno, unico, unidade, união en portugués. La misma raíz indoeurpea da en gótico ains, de donde vienen el inglés one, el alemán ein, el neerlandés y el danés een. Este término tiene, en las lenguas germánicas, los mismos derivados que en las románicas, también ligados a la idea de unicidad. (ing. only, al. einig). Más interesantes son los términos universo, del latín universum, “lo vuelto hacia la unidad”, y uniforme, del latín uniformis, “que tiene una sola forma”. Y, más divertido, el término oignon, “cebolla”, que aparece tardíamente en francés, hacia el siglo XIII. Anteriormente, la palabra para designar este vegetal era cive, del latín cepa, con sus formas correspondientes en español, cebolla, en italiano, cipolla, y en portugués, cebola, así como en francés ciboule, ciboulette, civette... ¿Por qué la antigua cive se convirtió en oignon, y qué tiene que ver este oignon con el número uno? La explicación más común es que la cebolla se consideró como una planta de un solo tallo o de un solo bulbo; de ahí el latín unio, que es el origen de oignon. Pero, en indoeuropeo, la raíz que expresaba la cifra uno era ★sem. Aunque no se prolonga con este sentido en las lenguas indoeuropeas, eso no quiere decir que desapareciera. ˜ “uno”, homós, “semejante”, hemi-, Las formas griegas correspondientes, heıs, “que tiene un solo lado”, se prolongan en español con palabras del tipo de homónimo, homogéneo, hemiciclo. El latín semper, “de una vez por todas” , “siempre”, ha dado el español siempre, el italiano y portugués sempre, y ha desaparecido en francés moderno, mientras que similis da el español símil y similar, el francés semblable, el italiano y portugués símile, el español semejar (it. somigliare, port. semelhar), el francés sembler (it. sembrare, “parecer”) ressembler, “semejar, parecerse” y ensemble,

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De uno a diez

“juntos” (it. insieme). Con la forma simplex (de sem + plectere, “plegado de una sola vez”), la misma raíz ha dado simple (fr. simple, it. símplice, port. simples). Pero será en el latín singulus “aislado”, donde más nos detengamos. Encontramos este término, naturalmente, en la palabra española y portuguesa singular (fr. singulier, it. singolare), pero también, como ya hemos visto, en un nombre compuesto latino, singularis porcus, “cerdo solitario”, que se convertirá en sanglier en francés y cinghiale en italiano. *sem “uno”

griego

latín

gótico

homos “igual”

similis “semejante”

sama “mismo” inglés

similar ensamblar simple semejar

homónimo homogéneo

Historias de palabras** Nuestra lengua, el español, tiene en común con otras lenguas europeas —danés, italiano, francés, inglés, alemán, neerlandés, portugués, latín, griego— una historia, un origen: proceden todas de una lengua reconstruida, de la que no tenemos ninguna huella escrita, pero que los sabios han podido reconstituir en laboratorio: el indoeuropeo. Remontándonos en el tiempo, descubrimos la manera de pensar y de vivir de nuestros antepasados, leemos historias a veces paralelas y a veces divergentes, la historia de nuestras lenguas y de quienes las hablan. Porque la etimología es como la geología; las palabras son como los fósiles: nos dejan ver huellas del pasado, huellas estáticas, naturalmente, que sin embar-

same some

En lo que se refiere a las lenguas germánicas, nos queda por señalar el gótico sama, correspondiente a ★sem, que da el inglés same, “mismo”, y some “algunos” (dan. somme), el alemán samt, “con”, sammeln, “reunir”, sämtlich, “todos juntos”, y zusammen, “juntos”.

2. El dos y la duda El número dos (★dwi-duwo en indoeuropeo) toma muy pronto el sentido de repetición: dvih en sánscrito, dís en griego —y de ahí bis en latín— significan primero “dos veces”. Esta raíz latina se encuentra al principio de muchas palabras basadas en la idea de repetición: bisar, el francés biscuit, “cocido dos veces”, balanza, del latín bilanx, “que tiene dos platos” (fr. balance, it. bilancia, port. balança), bizaza, “alforja”, “que tiene dos bolsas” (fr. besace, it. bisaccia), y el francés brouette, “carretilla” (del latín birota, “que tiene dos ruedas”, que hay que relacionar con el italiano barroccio, “carreta de dos ruedas”). ´ “dos”, viene la forma latina duo, que se prolonga en el español Del griego dyo, dos, el francés deux, el italiano due, el portugués dous y, por supuesto, la palabra española y portuguesa doble (fr. double, it. doppio). Más inesperada es la historia del verbo

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go hablan, dan fe. Del mismo modo que la zoología estudia los fósiles para reconstruir la genealogía de diferentes grupos. O la geología fecha yacimientos gracias a la presencia de fósiles característicos, la lingüística histórica nos restituye la historia de nuestras lenguas y, a través de ella, nuestra historia. La etimología es, por lo tanto, una ciencia. Pero también es una invitación a la poesía; hace soñar o sonreír, divierte e instruye: nos lleva de viaje por el tiempo y las lenguas. Recogiendo palabras como quien hace un herbario, [podemos descubrir] algo de historia.Y esta mirada sobre la historia, al tiempo que nos mostrará nuestro pasado común, nos ayudará a comprender a los demás, a quienes, más allá de las fronteras, hablan lenguas diferentes y, sin embargo, cercanas.

latino dubitare “dudar”, es decir “estar dividido entre dos posibilidades” (fr. douter, it. dubbiare, port. duvidar), imagen que volvemos a encontrar en el alemán zweifeln, “dudar“. Señalemos que el verbo douter significó primero, en antiguo francés, “temer”; de ahí las formas redouter, “temer”, y redoutable, “temible”, de igual origen. Por parte germánica, la raíz ★dwi se convierte en gótico en ★twain, y de ahí el inglés two, el alemán zwei, el danés to y el neerlandés twee, así como los derivados del tipo de twelve , zwölf, tolv, twaalf, “doce”.

3. Tercio, testimonio, testículos, protestante...

La forma indoeuropea de nombrar la trinidad, ★tre-tri, se encuentra muy naturalmente en el sánscrito trayah, el latín tres (esp. tres, fr. trois, it. tre, port. três) y el gótico threis (ing. three, al. drei, dan. tre, neerl. drie). Esta idea de trinidad nos lleva directamente al trébol, “que tiene tres hojas”, como muestra más claramente la palabra italiana, trefoglio (fr. trèfle, port. trevo), al tridente español, portugués e italiano (fr. trident), de etimología transparente, a la terna, al trabajo y al adjetivo trivial, cuya historia ya hemos contado, y por último a tercio (fr. tiers, it. terzo, port. terço). De tercio, “tercero”, “tercera parte”, viene el verbo terciar, “mediar para poner de acuerdo o reconciliar a dos personas”. Y este tercio (<lat. tertius) es el origen del latín testis, “testigo”, es decir, la tercera persona que puede terciar un conflicto (esp. testigo, fr. témoin, it. teste, port. testemunha), y también de testimonio (fr. témoignage, it. testimonio, port. testemunho). Este testis latino dio origen también al diminutivo testiculus, “testigo pequeño”: de ahí los testículos, de los que se consideraba que daban testimonio (¿de la virilidad de su propietario, quizá?). Dentro de la misma serie, queda el testamento del verbo testar (y del latín testis). El testamento se llama así porque se hacía ante un tercero, es decir un testigo. Atestar o testificar y contestar tienen, evidentemente, el mismo origen, ligado a la idea de testigo; y también, claro está, protestar, cuyo primer significado es “declarar”. De ahí los protestantes, que no protestan contra el catolicismo, como pretende la etimología popular, sino que dan testimonio de su fe. Y el círculo queda cerrado: testar, testigo, testificar, protestante... No estamos lejos de los testigos de Jehová. * Fragmento tomado del capítulo X “De uno a diez” del libro de Louis-Jean Calvet, Historias de palabras. Etimologías europeas. Versión española de Soledad García Mouton. Gredos, Madrid, 1996. pp. 95-98. ** Extractado de la “Introducción”, op. cit., pp. 7-9. 1 Nosotros hemos tomado, únicamente, del uno al tres. 2 El símbolo ★ delante de una forma indica que está reconstruida, es decir que, aunque no tenemos ninguna huella real, su existencia anterior ha quedado demostrada al comparar las distintas lenguas de la misma familia y al aplicar las leyes de la fonética histórica.

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Mayo ‘99 REVISTA PARA PROFESORES DE EDUCACIÓN BÁSICA

XXVIII Feria Metropolitana del Libro y Salón del Libro de Texto Del 15 al 23 de mayo de 1999 EXHIBIMEX Av. Cuauhtémoc esq. Antonio M. Anza, Colonia Roma, México D.F.

Conferencias y Mesas Redondas T E M A

C O N F E R E N C I S TA

F E C H A

Educación y cultura

Valentina Cantón Arjona

Viernes 21 17 a 18 hrs. Sala 4

Divulgación y enseñanza de la ciencia

Alejandra Alvarado Zinc y Alejandra González Dávila

Sábado 22 11 a 12 hrs. Sala 4

La lógica matemática en la educación básica ¿para qué?

Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Paz Álvarez Scheser

Sábado 22 12 a 13 hrs. Sala 2

Los talleres de astronomía Julieta Fierro en La revista Correo del Maestro

Sábado 22 16 a 17 hrs. Sala 5

Talleres TA L L E R

F E C H A

H O R A

S A L A

El laberinto y otros juegos

lunes 17 a viernes 21 Sábado 22

9:30 a 10:30 hrs. 11 a 12 hrs.

Sala 1 Sala 3

Las abejas y las matemáticas

lunes 17 a viernes 21

9:30 a 10:30 hrs.

Sala 2

Poliedroflexia

Domingo 16

11 a 12 hrs.

Sala 3

Sábado 22

11 a 12 hrs. 15 a 16 hrs.

Sala 1 Sala 4

Domingo 23

11 a 12 hrs. 15 a 16 hrs.

Sala 4 Sala 5

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Problemas sin número

Otras cosas que contar Juan Manuel Ruisánchez Serra Concepción Ruiz Ruiz-Funes Una cueva. En la pared, apenas iluminada, una pintura rupestre cuenta la hazaña de un cazador: un bisonte herido, de colores difuminados pero visibles aún, y a su lado, profundamente marcados en la piedra, aunque embotados, cuatro trazos, casi idénticos. Para ahorrar su fuerza de trabajo, el hombre primitivo ya se dio cuenta que le era más fácil representar su historia con un solo bisonte acompañado por “cuatro” trazos que con “cuatro” bisontes. Pasar de cuatro bisontes a cuatro requirió milenios. Trabajo de conceptualización que permitió pasar del “número de (bisontes)” al “número” a secas. La aventura del número consistió en romper la dependencia entre la cantidad y aquello de lo que es cantidad. Historia de los hombres, historia de los números. Historia de las civilizaciones, historia de sus numeraciones.* Denis Guedj** La actividad que proponemos en este artículo está dirigida a estudiantes de cuarto grado de primaria en adelante. Sugerimos que se trabaje en equipo.

Actividad: ¿De cuántas formas puedes llegar del punto A al punto B? La actividad consiste en encontrar todos los caminos posibles que unan el punto A con el punto B en el diagrama que se propone, cumpliendo las siguientes reglas: 1) Sólo puedes trazar líneas horizontales

y verticales .

2) Obviamente, debido a la regla 1, no se pueden usar líneas diagonales . 3) No se puede pasar dos veces por el mismo punto, es decir, nunca podrán quedar caminos con cuadritos, como en el siguiente ejemplo: Recomendamos que los alumnos dibujen cada camino en un diagrama distinto, pues así resultará más sencillo contarlos sin que se encimen unos con otros. ¡Ahora sí, a trabajar! * GUEDJ, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B. Barcelona, 1998. p. 1. ** Denis Guedj es ecritor y cineasta. Profesor de historia de las ciencias en la Universidad de París imparte matemáticas y cine.

VIII,

donde también

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Otras cosas que contar

Solución: Existen doce caminos distintos:

INSTITUTO MEXICANO DE LA AUDICIÓN Y EL LENGUAJE Hacia el cincuenta aniversario 1951 - 2000 El objetivo principal del Instituto Mexicano de la Audición y el Lenguaje desde su fundación, ha sido formar personal cabalmente especializado para atender desde el diagnóstico integral, hasta la etapa terapéutica rehabilitatoria o la educación especial de los problemas en la comunicación lingüística. LAS CARRERAS QUE EL IMAL OFRECE SON CUATRO: Informes en la Subdirección de Enseñanza del IMAL: 277 6444 • 277 6520 Lunes a viernes de 10:00 a 14:00 hrs.

2. Licenciatura en la terapia de la audición, la voz y el lenguaje oral y escrito. (8 semestres).

Exámenes de admisión: hasta el 30 de abril, previa cita.

3. Maestría en la patología de la audición y el lenguaje. (4 semestres).

Inicio de cursos: 1o. de septiembre de 1999.

1. Carrera profesional corta en audiometría y rehabilitación auditiva. (4 semestres).

4. Especialización en lingüística aplicada. (3 semestres).

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Abriendo libros

Aventura matemática Laura Nakamura

os pueblos árabes han ejercido siempre una extraña fascinación no sólo por la diversidad de sus costumbres, de sus ritos, de sus danzas, sino también por esa tradición milenaria de excelentes matemáticos. Lo mismo nos hemos sentido seducidos por uno de sus cuentos llenos de magia y misterio, que por las sorprendentes historias que nos hablan de esa cultura y sus aportaciones al mundo de la ciencia. El hombre que calculaba es un libro cautivador que conjuga estas dos facetas del pueblo árabe; transita por el mundo de la precisión matemática pero lo hace a través de la literatura. Quienes tenemos cierta resistencia hacia los cálculos matemáticos por considerarlos fríos, áridos y además aburridos, no tardamos mucho tiempo —una vez iniciada la lectura de este texto—, en quedar atrapados por la trama del cuento y sentir la necesidad de acompañar al protagonista en sus andanzas, como discípulos que quieren recoger sus enseñanzas y resolver, junto con él, los acertijos matemáticos que se le presentan y que, en muchas ocasiones, ayudarán a actuar con justicia en diversas situaciones de la vida. La historia de este libro transcurre en el Oriente y por medio de ella penetramos en una sociedad deslumbrante por sus riquezas y por la fastuosidad de sus palacios pero que, también es sorprendente, por las marcadas diferencias sociales. Beremiz Samir, el joven protagonista, es un viajero que en el trayecto de su camino resuelve algunos problemas de cálculo aparentemente sin solución, extendiéndose su fama por toda la región; pero sus enseñanzas no se limitan al terreno matemático, trascienden al terreno espiritual, por ello la simpatía y admiración que produce a los lectores es casi inmediata. El libro está organizado en breves capítulos que relatan las experiencias del hombre que calculaba y su acompañante —que narra la historia— y que dan marco a los diferentes problemas matemáticos que se plantean. Es importante resaltar que al resolver estos problemas de cálculo —que en un inicio parecen no tener solución posible— el joven calculador, además de dar la respuesta, explica aquellas leyes matemáticas que ha puesto en juego para su solución.

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Aventura matemática

Al final del libro, el autor ha incluido un apéndice con varias secciones para complementar la información que proporciona su obra: los datos de calculadores famosos, las aportaciones de los árabes a las matemáticas, algunos pensamientos elogiosos sobre esta materia, consideraciones sobre los problemas planteados, un lexicón, las voces e interjecciones árabes que aparecen en el texto y los datos de algunas naciones, ciudades, personajes históricos, matemáticos, etcétera. El hombre que calculaba es una obra eminentemente didáctica en la que se unen conocimientos matemáticos con una historia que realmente se disfruta.

TAHAN, Malba. El hombre que calculaba. México, SEP-Limusa, 1992. Libros del Rincón.

¡El mejor regalo para un maestro!

Obséquiele un volumen coleccionable (con 12 números) o una suscripción anual Un volumen contiene 12 números (incluye estuche).

Informes y suscripciones: (0155) 53 64 56 70 • 53 64 56 95 Lada sin costo 01 800 31 222 00

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Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales Durante el año lectivo 1997-1998 el Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales otorgará créditos por 120 millones de pesos en condiciones preferenciales para la adquisición de materiales que incrementen el acervo bibliográfico de los trabajadores de la educación.

AUTORIDADES DEL SISTEMA NACIONAL DE EDUCACIÓN PARTICIPANTES: INST. DE EDUC. DE AGUASCALIENTES, AGS. • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA DE BAJA CALIFORNIA SUR, B. C. S. • SRIA. DE EDUC. CULTURA Y DEPORTE DE CAMPECHE, CAM. • INST. DE SERV. EDUCATIVOS EN EL EDO., DE COAHUILA • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA DEL EDO. DE COAHUILA, COAH. • COORD. DE LOS SERV. EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COLIMA, COL. • SRIA. DE EDUC., CULTURAL Y DEPORTE, DURANGO GOB. DEL EDO. DE DURANGO, DGO. • SRIA. DE EDUC. DE GUANAJUATO, GTO. • UNIV. AUTÓNOMA DE GUANAJUATO, GTO. • INST. HIDALGUENSE DE EDUC., HGO. • SERV. EDUC. INTEGRADOS AL EDO. DE MÉXICO, MÉX. • SRIA. DE EDUC. Y CULTURA NAYARIT, GOBIERNO DEL EDO. DE NAYARIT, NAY. • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA DEL EDO., DE PUE. • SRIA. DE FINAZAS DEL EDO. DE PUEBLA, PUE. • UNIDAD DE SERV. PARA LA EDUC. BÁSICA EN EL EDO. DE QUERÉTARO, QRO. • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA Y CULTURA, SINALOA • SERV. DE EDUC. PÚBLICA DESCENTRALIZADA DEL EDO. DE SINALOA, SIN. • SRIA. DE EDUC. Y CULTURA, SONORA • SRIA. DE FINANZAS DEL EDO. DE SONORA, SON. • SRIA. DE EDUC. DEL EDO. DE TABASCO, TAB. • SERV. DE EDUC. CULTURA Y DEPORTE, TAMAULIPAS • UNIDAD DE SERV. EDUC. DE TLAXCALA, TLAX. • SRIA. DE EDUC. Y CULTURA DEL EDO. DE VERACRUZ, VER. • SRIA. DE EDUC. DEL GOBIERNO DEL EDO. DE YUCATÁN , YUC. • SECCIONES DEL SNTE PARTICIPANTES: SNTE SECCIÓN 1, AGUASCALIENTES • SNTE SECCIÓN 2, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 4, CAMPECHE • SNTE SECCIÓN 5, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 6, COLIMA • SNTE SECCIÓN 7, CHIAPAS • SNTE SECCIÓN 8, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 10, DISTRITO FEDERAL • SNTE SECCIÓN 11, DISTRITO FEDERAL • SNTE SECCIÓN 12, DURANGO • SNTE SECCIÓN 13, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 14, GUERRERO • SNTE SECCIÓN 15, HIDALGO • SNTE SECCIÓN 16, JALISCO • SNTE SECCIÓN 17, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 19, MORELOS • SNTE SECCIÓN 20, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 21, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 23, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 24, QUERETARO • SNTE SECCIÓN 25, QUINTANA ROO • SNTE SECCIÓN 26, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 27, SINALOA • SNTE SECCIÓN 28, SONORA • SNTE SECCIÓN 29, TABASCO • SNTE SECCIÓN 30, TAMAULIPAS • SNTE SECCIÓN 31, TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 32, VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 33, YUCATÁN • SNTE SECCIÓN 34, ZACATECAS • SNTE SECCIÓN 35, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 36, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 37, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 38, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 39, COLIMA • SNTE SECCIÓN 40, CHIAPAS • SNTE SECCIÓN 42, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 44, DURANGO • SNTE SECCIÓN 45, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 47, JALISCO • SNTE SECCIÓN 49, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 50, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 51, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 52, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 53, SINALOA • SNTE SECCIÓN 54, SONORA • SNTE SECCIÓN 55, TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 56, VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 57, YUCATÁN • GRUPOS EDITORIALES PARTICIPANTES: BRANDT & SINCLAIR, S.A DE C.V. • COMERCIALIZADORA PLANETA, S.A. DE C.V. • DISTRIBUIDORA DE OBRAS PEDAGÓGICAS, S.A. DE C.V. • EDICIONES LAROUSSE, S.A. DE C.V. • EDICIONES Y DISTRIBUCIONES GEO, S.A. DE C.V. • EDILAR, S.A. DE C.V. • EDITORES MEXICANOS UNIDOS, S.A. DE C.V. • HACHETTE LATINOAMÉRICA, S.A. DE C.V. • OXFORD UNIVERSITY PRESS HARLA MÉXICO, S.A. DE C.V. • PLAZA & JANES • URIBE Y FERRARI EDITORES, S.A. DE C.V.

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