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Matemática Compreensão e Prática Professor, esta amostra apresenta alguns capítulos da coleção Matemática - Compreensão e Prática. Nela, você poderá conhecer a estrutura e o conteúdo programático desenvolvido para proporcionar aulas mais dinâmicas e completas.

Ensino Fundamental II

Matemática Compreensão e Prática Ênio silveira • Cláudio marques

matemática compreensão e prática

O conteúdo da obra é enriquecido com textos que falam da evolução da Matemática, bem como sua aplicação em outras disciplinas. Essa abordagem estimula o desenvolvimento de uma visão global integradora da matéria. Recursos como fotos, ilustrações e curiosidades favorecem o aprendizado e aproximam os conceitos estudados da universo do aluno.

material para degustação do professor

amostra

15301350

Nossos consultores estão à sua disposição para fornecer mais informações sobre esta obra.

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0800 17 2002

confira: • Sumário da obra • Um capítulo por volume da coleção


MateMática coMpreensão e prática

Ênio silveira cláudio Marques

2a edição

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Ênio silveira Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará – UFC Engenheiro elétrico pela Universidade de Fortaleza – Unifor Diretor pedagógico do Sistema ATS de Ensino Professor de Matemática e Física em escolas particulares do estado do Ceará Autor da obra Matemática (1o ao 5o ano do Ensino Fundamental), publicada pela Editora Moderna

cláudio Marques Supervisor pedagógico do Sistema ATS de Ensino Professor e assessor de Matemática em escolas particulares de Ensino Fundamental do estado do Ceará Autor da obra Matemática (1o ao 5o ano do Ensino Fundamental), publicada pela Editora Moderna

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APRESENTAÇÃO Caro aluno, Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem um sentido maior quando encontram aplicação no dia a dia. A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas sim como solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos. Ela está para você, estudante, assim como a bússola está para o navegante. Este livro pretende instigá-lo, caro leitor, a buscar novas respostas para antigas indagações, a simplificar o complexo, a trazer o pensamento abstrato para o universo real. Enfim, ele o convida a projetar o mundo futuro, a partir de experiências do passado. Em cada página estudada, tarefa resolvida ou exercício solucionado, você perceberá que a Matemática é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a desvendar os enigmas que a vida propõe. Na educação, as informações são o meio, e a formação, o fim. Nosso objetivo ao escrever Matemática: compreensão e prática foi contribuir com o desenvolvimento das suas potencialidades, e não, simplesmente, inundar sua mente com fórmulas matemáticas. Desse modo, acreditamos que chegaremos juntos ao saber científico, que não se esgota em si mesmo, mas nos impulsiona para novas descobertas. Os autores

Aos nossos pais, Isaías, Maria Amélia (in memoriam) (Ênio) José Maria (in memoriam), Juranita (Cláudio)

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ESTRUTURA DE CAPÍTULO Cada volume está dividido em 12 capítulos, organizados de acordo com esta estrutura: PÁGINAS DE ABERTURA O conteúdo do capítulo é explorado inicialmente em duas páginas de abertura, compostas de: • uma imagem motivadora; • questões do “É hora de observar e discutir”; • uma situação no “Trocando ideias”. É HORA DE OBSERVAR E DISCUTIR Questões que exploram a imagem da abertura e resgatam o conteúdo já visto em capítulos ou anos anteriores. TROCANDO IDEIAS Situação introdutória sobre o conteúdo abordado no capítulo.

APRESENTAÇÃO DOS CONTEÚDOS O conteúdo é apresentado de forma clara e direta.

LENDO E APRENDENDO Texto que enriquece e explica o conteúdo principal.

CURIOSIDADE Informações que ilustram o conteúdo abordado no capítulo.

UM POUCO DE HISTÓRIA Contextualização do conteúdo na história da Matemática.

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EXERCÍCIOS Essa seção segue a apresentação do conteúdo e traz atividades em nível de dificuldade crescente. Alguns exercícios abordam o cálculo mental, o raciocínio lógico e o trabalho com a calculadora. BIOGRAFIA Traz dados sobre a vida de um matemático importante e relaciona sua obra ao conteúdo do capítulo. Uma linha do tempo ajuda o aluno a localizar o momento histórico em que esse matemático viveu.

TRABALHANDO COM A CALCULADORA Ensina a manusear e a trabalhar com a calculadora. Apresenta atividades simples, relacionadas ao conteúdo. CONTEÚDO DIGITAL Ícone com indicação de conteúdo digital, como animações, vídeos e atividades interativas. TRABALHANDO EM EQUIPE Fecha cada capítulo, convidando a uma atividade integradora, para ser feita em duplas. TRABALHANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS Seção de exercícios que, no final de cada capítulo, aborda todo o conteúdo apresentado. Cada ficha explora uma parte do conteúdo com exercícios em nível de dificuldade crescente, incluindo um exercício "desafio"; algumas apresentam questões do Enem.

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SUMÁRIO DO 6o ANO CAPÍTULO

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Números naturais e sistemas de numeração 1. Sistemas de numeração 2. Sistema de numeração egípcio 3. Sistema de numeração romano 4. Os números naturais 5. Igualdade e desigualdade 6. A reta numérica e os números naturais 7. Base de um sistema de numeração 8. Sistema de numeração decimal 9. Leitura e escrita de um número natural Trabalhando os conhecimentos adquiridos

CAPÍTULO

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CAPÍTULO

3

Operações com números naturais 1. Adição com números naturais 2. Algumas propriedades da adição 3. Subtração com números naturais 4. Relação fundamental da subtração 5. Expressões numéricas com adições e subtrações 6. Multiplicação com números naturais 7. Algumas propriedades da multiplicação 8. Divisão de números naturais 9. Divisão exata 10. Expressões numéricas com as quatro operações 11. Divisão não exata 12. Potenciação de números naturais 13. Propriedades da potenciação 14. Radiciação de números naturais 15. Expressões numéricas com números naturais Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Figuras geométricas espaciais 1. Sólidos geométricos 2. Poliedros 3. Corpos redondos 4. Planificação de sólidos geométricos 5. Visão espacial Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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Múltiplos e divisores 1. Múltiplos de um número natural 2. Divisores de um número natural 3. Critérios de divisibilidade 4. Número 1, números primos e números compostos 5. Decomposição em fatores primos 6. Determinação dos divisores de um número 7. Fatores, múltiplos e divisores de um número natural 8. Máximo divisor comum (mdc) 9. Mínimo múltiplo comum (mmc) 10. Relação entre o mdc e o mmc de dois números 11. Exercícios envolvendo mdc e mmc Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Frações 1. A ideia de número fracionário 2. Leitura de uma fração 3. Tipos de fração 4. Número misto 5. Frações equivalentes 6. Simplificação de frações 7. Redução de frações a um mesmo denominador 8. Comparação de frações 9. Adição de frações 10. Subtração de frações 11. Multiplicação de frações 12. Divisão de frações 13. Potenciação e radiciação de frações 14. Expressões numéricas 15. Problemas envolvendo frações Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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Números decimais 1. Números decimais 2. Leitura dos números decimais 3. Transformações entre números decimais e frações decimais 4. Decimais equivalentes 5. Comparação de números decimais 6. Adição e subtração de números decimais 7. Multiplicação de números decimais 8. Divisão de números decimais 9. Decimais exatos e dízimas periódicas 10. Potenciação e radiciação de números decimais 11. Expressões numéricas com números decimais 12. Problemas envolvendo números decimais Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Porcentagem 1. Porcentagem 2. Problemas envolvendo porcentagem Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Possibilidades e Estatística 1. Quais são as possibilidades? 2. Estatística Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Figuras geométricas planas 1. Representando o ponto, a reta e o plano 2. Posições relativas de duas retas em um plano 3. Semirreta e segmento de reta 4. Ângulos 5. Polígonos 6. Triângulos 7. Quadriláteros 8. Circunferência e círculo Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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Medidas de comprimento e de tempo 1. Metro 2. Leitura das medidas de comprimento 3. Transformação de unidades de medida de comprimento 4. Perímetro de um polígono 5. Comprimento da circunferência 6. Segundo Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Medidas de superfície e de volume 1. Metro quadrado 2. Leitura das medidas de superfície 3. Transformação de unidades de medida de superfície 4. Medidas agrárias 5. Área das principais figuras planas 6. Metro cúbico 7. Leitura das medidas de volume 8. Transformação de unidades de medida de volume 9. Medida do volume do paralelepípedo retângulo e do cubo Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Medidas de capacidade e de massa 1. Litro 2. Leitura das medidas de capacidade 3. Transformação de unidades de medida de capacidade 4. Quilograma 5. Leitura das medidas de massa 6. Transformação de unidades de medida de massa Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Apêndice Testes, vestibulares e concursos Respostas Sugestões de leitura Bibliografia Lista de siglas 9

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SUMÁRIO DO 7o ANO CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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Números inteiros 1. Números inteiros 2. Representação geométrica dos números inteiros 3. Números inteiros opostos ou simétricos 4. Módulo de um número inteiro 5. Comparação de números inteiros 6. Adição de números inteiros 7. Subtração de números inteiros 8. Multiplicação de números inteiros 9. Divisão de números inteiros 10. Potenciação de números inteiros 11. Raiz quadrada exata de números inteiros 12. Expressões numéricas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Números racionais 1. Conjunto dos números racionais (B) 2. Representação dos números racionais na reta numérica 3. Oposto de um número racional 4. Módulo de um número racional 5. Comparação de números racionais 6. Adição algébrica de números racionais 7. Multiplicação de números racionais 8. Divisão de números racionais 9. Potenciação de números racionais 10. Raiz quadrada de números racionais 11. Expressões numéricas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Introdução ao cálculo algébrico 1. Sentenças matemáticas 2. Expressões algébricas 3. Valor numérico de uma expressão algébrica 4. Termos algébricos 5. Adição algébrica e multiplicação de termos algébricos Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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6

Equações do 1o grau com uma incógnita 1. Equações 2. Raízes de uma equação 3. Equações equivalentes 4. Aplicação dos princípios de equivalência 5. Resolução de uma equação 6. Resolução de problemas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Equações do 1o grau com duas incógnitas 1. Par ordenado 2. Equações do 1o grau com duas incógnitas 3. Sistemas de equações com duas incógnitas 4. Resolução de problemas que envolvem duas incógnitas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Inequações do 1o grau com uma incógnita 1. Inequação 2. Inequação do 1o grau com uma incógnita 3. Inequações equivalentes 4. Resolução de uma inequação Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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Probabilidade e Estatística 1. O que é probabilidade? 2. Cálculo de probabilidades 3. Estatística 4. Medidas estatísticas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Razões 1. Razão 2. Razões inversas 3. Razões equivalentes 4. Razão entre grandezas da mesma espécie 5. Razão entre grandezas de espécies diferentes Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Proporção 1. Proporção 2. Propriedade fundamental das proporções e suas aplicações 3. Proporção contínua 4. Propriedades das proporções 5. Proporção múltipla 6. Números diretamente proporcionais 7. Números inversamente proporcionais Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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Grandezas proporcionais e regra de três 1. Grandezas proporcionais 2. Regra de três simples 3. Regra de três composta Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Porcentagem e juros 1. Porcentagem 2. Calculando aumento ou redução com porcentagem 3. Juros simples 4. Juros compostos Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Ângulos 1. O ângulo e seus elementos 2. Medida de um ângulo 3. Transformação de unidades de medida de ângulo 4. Operações com medidas de ângulos 5. Ângulos congruentes 6. Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes 7. Bissetriz de um ângulo 8. Ângulos agudo, obtuso e reto 9. Ângulos complementares 10. Ângulos suplementares 11. Ângulos opostos pelo vértice Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Apêndice Testes, vestibulares e concursos Respostas Sugestões de leitura Bibliografia Lista de siglas

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SUMÁRIO DO 8o ANO CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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Números reais 1. Números naturais, números inteiros e números racionais 2. Números irracionais 3. Números reais Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Potenciação e radiciação de números reais 1. Potenciação 2. Radiciação Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Cálculo algébrico 1. Expressões algébricas ou literais 2. Monômio ou termo algébrico 3. Adição algébrica de monômios 4. Multiplicação de monômios 5. Divisão de monômios 6. Potenciação de monômios 7. Raiz quadrada de um monômio 8. Polinômio 9. Adição de polinômios 10. Subtração de polinômios 11. Multiplicação de polinômios 12. Divisão de polinômios Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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Produtos notáveis e fatoração 1. Produtos notáveis 2. Fatoração Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Frações algébricas, equações fracionárias e literais 1. Frações algébricas 2. Simplificação de frações algébricas 3. O mdc e o mmc de monômios e polinômios 4. Redução de frações algébricas ao mesmo denominador 5. Adição e subtração de frações algébricas 6. Multiplicação de frações algébricas 7. Divisão de frações algébricas 8. Potenciação de frações algébricas 9. Equações fracionárias 10. Equações literais Trabalhando os conhecimentos adquiridos

CAPÍTULO

6

Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas 1. 2. 3. 4.

Sistema de equações com duas incógnitas Sistemas de equações fracionárias Solução gráfica de uma equação do 1o grau com duas incógnitas Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas 5. Solução de problemas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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Estatística e Probabilidade 1. Estatística 2. Gráficos de segmentos, de colunas e de barras 3. Gráfico de setores 4. Cartograma e pictograma 5. Probabilidade Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Retas e ângulos 1. Reta e semirreta 2. Segmento de reta 3. Posições relativas de duas retas em um plano 4. Ângulo 5. Posições relativas de dois ângulos 6. Ângulos complementares e ângulos suplementares 7. Postulados e teoremas 8. Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal 9. Propriedade fundamental do paralelismo 10. Ângulos alternos e ângulos colaterais 11. Outras propriedades das retas paralelas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Polígonos 1. Polígonos 2. Elementos e classificação dos polígonos 3. Diagonais de um polígono 4. Ângulos internos e ângulos externos de um polígono 5. Ângulo central de um polígono regular 6. Simetria axial e central Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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Triângulos 1. Triângulo 2. Classificação dos triângulos 3. Cevianas notáveis 4. Congruência de triângulos 5. Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo 6. Propriedades dos triângulos isósceles 7. Propriedades dos triângulos retângulos 8. Relações de desigualdade entre lados e ângulos Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Quadriláteros 1. 2.

Quadriláteros Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo 3. Paralelogramos 4. Trapézios Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Circunferência e círculo 1. Circunferência e círculo 2. Posições de um ponto em relação a uma circunferência 3. Posições de uma reta em relação a uma circunferência 4. Posições relativas de duas circunferências 5. Segmentos tangentes 6. Arco de circunferência e ângulo central 7. Ângulo inscrito e arco capaz 8. Ângulo de segmento 9. Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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SUMÁRIO DO 9o ANO CAPÍTULO

1

CAPÍTULO

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3

Potenciação e radicais 1. Potência de um número real com expoente inteiro 2. Raiz de um número real 3. Simplificação de radicais 4. Comparação de radicais 5. Radicais semelhantes 6. Adição e subtração de radicais 7. Multiplicação de radicais 8. Divisão de radicais 9. Potenciação de radicais Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Equações do 2o grau 1. Equação do 2o grau 2. Resolução de equações do 2o grau 3. Equações literais 4. Relações entre os coeficientes e as raízes 5. Equações biquadradas 6. Equações irracionais 7. Sistemas de equações do 2o grau 8. Problemas envolvendo equações do 2o grau Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Funções e inequações do 1o grau 1. Funções 2. Domínio, contradomínio, conjunto imagem e valor de uma função 3. Função afim 4. Inequação do 1o grau Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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Funções quadráticas 1. Função quadrática 2. Gráfico da função quadrática 3. Valor mínimo e valor máximo da função quadrática 4. Estudo do sinal da função quadrática 5. Inequações do 2o grau Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Estatística e Probabilidade 1. Processo estatístico 2. Elaboração de gráficos 3. Determinação de parâmetros 4. Probabilidade Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Segmentos proporcionais e semelhança 1. Razão entre segmentos e segmentos proporcionais 2. Teorema de Tales 3. Teorema da bissetriz 4. Semelhança 5. Teorema fundamental da semelhança 6. Casos de semelhança de triângulos 7. Homotetia Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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Relações métricas em um triângulo retângulo e razões trigonométricas 1. Projeções ortogonais e média geométrica 2. Elementos de um triângulo retângulo 3. Relações métricas no triângulo retângulo 4. Teorema de Pitágoras e aplicações 5. Trigonometria 6. Seno, cosseno e tangente 7. As razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° 8. Tabela de razões trigonométricas 9. Problemas Trabalhando os conhecimentos adquiridos

CAPÍTULO

8

CAPÍTULO

9

Relações em um triângulo qualquer 1. Triângulos 2. Lei dos senos 3. Lei dos cossenos Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Circunferência, arcos e relações métricas 1. O comprimento da circunferência 2. Medida de um arco de circunferência 3. Relações métricas na circunferência Trabalhando os conhecimentos adquiridos

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CAPÍTULO

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CAPÍTULO

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Polígonos regulares 1. Polígonos 2. Polígonos regulares 3. Relações entre dois polígonos semelhantes 4. Relações métricas nos polígonos regulares Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Área de figuras planas 1. O metro quadrado 2. Área do retângulo, do quadrado e do paralelogramo 3. Área do triângulo 4. Área do trapézio e do losango 5. Área de um polígono regular 6. Razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes 7. Área do círculo Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Matemática Comercial e Financeira 1. Operações sobre mercadorias 2. Juros simples 3. Juros compostos 4. Inflação Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Apêndice Testes, vestibulares e concursos Respostas Sugestões de leitura Bibliografia Lista de siglas

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MateMática coMpreensão e prática

6

º

ano

capítulo 1

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É HORA DE OBSERVAR E DISCUTIR O hotel Water Discus, em Dubai, Emirados Árabes Unidos, será o 1o  hotel composto de dois discos – um submarino e um acima da água. As duas partes da estrutura serão ligadas por cinco pernas sólidas e um eixo vertical que conterá um elevador e uma escada. A parte submersa será composta de 21 quartos e possuirá uma área de aproximadamente 1 000 metros quadrados.

UNIVERSAL IMAGES GROUP/DIOMEDIA

CAPÍTULO

1

NÚMEROS NATURAIS E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

No texto acima, qual dos números expressa: • uma medida? • uma quantidade? • uma posição ou ordem? Qual é a utilidade dos números ordinais? O que representa o número 112 na lateral do helicóptero?

Projeto do hotel subaquático em Dubai.

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UNIVERSAL IMAGES GROUP/DIOMEDIA

TROCANDO IDEIAS Os números estão presentes em várias situações do nosso dia a dia. Eles servem para contar, ordenar, codificar e expressar medidas. Observe alguns exemplos:

Um jogo de xadrez é composto de

32

peças.

AFRICA STUDIO/ SHUTTERSTOCK

• Contagem

A tenista russa Maria Sharapova obteve o

1o

lugar no torneio Aberto da França de 2012.

PETRICK KOVARIK/AFP

• Ordem

O veículo de número

59

SPLASH/DEEP OCEAN TECHNOLOGY

venceu a competição.

FERENC SZELEPCSENYI/ SHUTTERSTOCK

• Código

A massa da Terra é de aproximadamente

5 980 000 000 000 000 000 000 de toneladas.

Conteúdo digital • Animação: Números naturais e operações

MARCEL CLEMENS/ SHUTTERSTOCK

• Medida

Os números acima são chamados de números naturais. Pense em outras situações nas quais os números são utilizados e verifique se elas se enquadram em uma dessas categorias. Troque ideias com um colega. Neste capítulo, vamos estudar as aplicações e as formas de escrita e leitura dos números naturais. Além disso, vamos conhecer alguns dos sistemas de numeração utilizados por diferentes povos e aprender a usar o sistema de numeração decimal.

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1 Sistemas de numeração UM POUCO DE HISTÓRIA

Há mais de 30 mil anos, o homem morava em grutas e cavernas para se proteger dos animais selvagens, da chuva e do frio. Originários dessa época, foram encontrados, em escavações arqueológicas, ossos, pedras e madeiras com marcas — evidências das primeiras indicações de quantidade. Por exemplo, para registrar a caça de um animal, o homem fazia uma marca em uma vara ou um risco em um osso. Dessa forma, representava o animal capturado, estabelecendo a correspondência um a um (noção de equivalência).

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A origem dos números

De acordo com alguns estudos, além de objetos (pedras, cordas, ossos etc.), os dedos das mãos e diversas partes do corpo foram usados para contar pequenas quantidades. Assim, o conceito de número começou a ser construído por meio da contagem de objetos com base em outros objetos.

Há milhares de anos, para registrar pequenas quantidades, o homem fazia marcas ou riscos em pedras, ossos e madeira. Com o passar do tempo, surgiu a necessidade de registrar quantidades cada vez maiores. Os povos passaram então a agrupar os objetos, e criaram símbolos e regras para facilitar a representação desses agrupamentos. Ao conjunto de símbolos e regras utilizados para representar quantidades dá-se o nome de sistema de numeração. Diversas civilizações, como a egípcia, a romana e a babilônica, elaboraram sistemas de numeração. 26

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Curiosidade Curiosidade

Conteúdo digital • Animação: Sistemas de numeração

A escrita numérica dos povos antigos

Observe, no quadro abaixo, como alguns povos registravam a escrita dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 100. Egípcios

Babilônios

Maias

Chineses

Gregos

1 2 3 4

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 6 7 8 9 10 100

O código de barras é uma representação gráfica de dados numéricos ou alfanuméricos. A decoLink para a página Código de principal da Editora barras padrão dificação, ou seja, a leitura dos dados é realizada Moderna em composto de por um tipo de scanner, o leitor de código de barcódigo QR. 13 dígitos. ras. Os dados capturados nessa leitura óptica são compreendidos pelo computador, que por sua vez os converte em letras ou números. O código de barras evoluiu muito nestes anos e ganhou uma segunda dimensão. O código de barras bidimensional, conhecido como Código  QR, pode ser facilmente escaneado usando celulares modernos equipados com câmera.

YULIA GLAM/ SHUTTERSTOCK

Código de barras

REPRODUÇÃO

Lendo e aprendendo

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2 Sistema de numeração egípcio Vamos conhecer um pouco sobre o sistema de numeração egípcio. Os egípcios registravam quantidades utilizando sete símbolos:

Cairo R i o Nil

o

EGITO

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Para representar os números, usavam o processo aditivo, ou seja, o valor do número correspondia à soma dos valores de cada símbolo.

A civilização egípcia teve início por volta de 3200 a.C., no nordeste da África, às margens do rio Nilo.

Veja: 5

32 (30 1 2)

123 (100 1 20 1 3)

Vale lembrar que: cada símbolo podia ser repetido até nove vezes; 9

1 325 (1 000 1 300 1 20 1 5)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

220 km

90

os valores correspondentes a cada símbolo eram sempre adicionados, não importando a ordem em que os símbolos estavam escritos. ou ou

345

13

ou ou

28

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EXERCÍCIOS Escreva, no caderno, três situações do dia a dia em que você utiliza os números.

2

Os números têm quatro importantes funções: • (C) contar • (M) medir • (O) ordenar • (Cd) codificar Leia o texto a seguir e classifique em C, M, O ou Cd os números selecionados, de acordo com as suas funções.

6

O rio Nilo, que corta o nordeste do continente africano, nasce ao sul da linha do Equador e deságua no mar Mediterrâneo, apresentando um comprimento de 6 650 quilômetros.

O suíço Roger Federer iniciou sua jornada em Wimbledon 2012 derrotando na quadra 1 o espanhol Albert Ramos. Após vencer todas as etapas do mais tradicional torneio de tênis, chegou à final e, em 204  minutos de partida, conquistou seu 17o Grand Slam vencendo o escocês Andy Murray. Federer, agora, possui 7 títulos em Wimbledon.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

No texto a seguir, localize os números e represente-os no sistema de numeração egípcio.

BZZUSPAJK/SHUTTERSTOCK

1

Grand Slam

1 204 17o 7

Roger Federer, vencedor de Wimbledon 2012.

3

Utilizando símbolos egípcios, represente o número de alunos da sua turma.

4

Sobre o sistema de numeração egípcio, responda: a) Quantos símbolos eram utilizados? b) Quantas vezes os símbolos podiam ser repetidos? c) Havia símbolo para o zero?

5

Indique qual alternativa está correta. a) 153 p b) 99 p c) 1 695 p d) 100 000 p

ERIC GEVAERT/SHUTTERSTOCK

a) b) c) d)

Já a Riviera do Mar Vermelho, localizada no Egito, se estende por 1 609 quilômetros ao longo da costa leste do Mar Vermelho. Suas areias são abraçadas pelas águas cristalinas e mornas, e seus visitantes podem aproveitar o sol durante o ano todo.

DYLAN MARTINEZ/REUTERS/LATINSTOCK

Eventos mais importantes de tênis do ano. São eles: o Australian Open (Austrália), o torneio de Roland-Garros (França), Wimbledon (Inglaterra) e o US Open (EUA).

7

Utilize os símbolos egípcios para representar os números a seguir. a) 136 b) 2 345 c) 10 234 d) 10 111 e) 100 010 f) 1 000 100

29

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3 Sistema de numeração romano

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O sistema de numeração romano foi utilizado na Europa por mais de mil anos, em consequência da extensão do Império Romano. Com as grandes navegações e a expansão do comércio, por volta do século XIII os símbolos romanos foram substituídos pelos símbolos que conhecemos hoje — os indo-arábicos, que vamos estudar mais adiante.

Bizâncio Pérgamo

/GLOW IMAGES

Atenas

IMAGEBROKER/ALAMY

Extensão máxima do Império Romano, em 117 d.C.

O sistema de numeração romano ainda hoje é utilizado: • nos mostradores de alguns relógios;

N RE K

OC

ST

ER

TT

HU /S

CH

A RO

• na designação, em ordem cronológica, de papas e reis de mesmo nome;

nha.

KA

• na designação de séculos;

seus de Berlim, Alema

HUTTERSTOC V/S K V&

• na indicação de capítulos e volumes de livros;

Fachada de um dos mu

• na numeração de títulos, capítulos, seções e incisos de leis. 30

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No sistema de numeração romano são usadas sete letras do alfabeto. Observe:

Quatro fundamentais Três secundárias

I

X

C

M

1

10

100

1 000

V

L

D

5

50

500

Justapondo essas letras, é possível escrever números. Para isso deve-se obedecer a estas regras:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Não existe símbolo correspondente ao zero. Os símbolos fundamentais podem ser repetidos até três vezes, e seus valores são adicionados. I51

X 5 10

C 5 100

M 5 1 000

II 5 2

XX 5 20

CC 5 200

MM 5 2 000

III 5 3

XXX 5 30

CCC 5 300

MMM 5 3 000

Uma letra colocada à esquerda de outra de maior valor indica a subtração dos respectivos valores. IV 5 5 2 1 5 4

XL 5 50 2 10 5 40

CD 5 500 2 100 5 400

IX 5 10 2 1 5 9

XC 5 100 2 10 5 90

CM 5 1 000 2 100 5 900

Porém, só podemos escrever: • I antes de V e X; • X antes de L e C; • C antes de D e M. Uma letra colocada à direita de outra de valor igual ou maior indica a soma de seus valores. VII 5 5 1 2 5 7 XXVIII 5 20 1 5 1 3 5 28 CLXXVI 5 100 1 50 1 20 1 5 1 15 176 CCLXV 5 200 1 50 1 10 1 5 5 265 MMMDCCL 5 3 000 1 500 1 200 1 50 5 3 750 Um traço horizontal colocado sobre um número equivale a multiplicar o seu valor por mil. Dois traços equivalem a multiplicar o seu valor por um milhão, e assim sucessivamente. V 5 5 # 1 000 5 5 000 LX 5 60 # 1 000 5 60 000 XXXV 5 35 # 1 000 000 5 35 000 000 XIX CD 5 19 # 1 000 000 1 400 # 1 000 5 19 400 000 31

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Qual foi o sistema de numeração mais utilizado na Europa até o século XIII?

9

Quais eram os símbolos empregados pelos romanos para escrever os números?

10

Quais são os símbolos que podem ser repetidos seguidamente no sistema de numeração romano?

11

Represente os números a seguir de acordo com o sistema de numeração romano. a) 146 g) 1 047 b) 523 h) 2 673 c) 652 i) 4 536 d) 796 j) 5 689 e) 869 k) 10 499 f) 973 l) 3 000 000

12

No sistema de numeração romano havia algum símbolo para representar o número zero?

13

Passe os números a seguir do sistema de numeração romano para o sistema de numeração indo-arábico. Observe que, nestes casos, sempre aparece o zero na representação indo-arábica. a) XXX b) CVIII c) DCV d) MCC

14

Reescreva os itens a seguir no seu caderno, usando o sistema de numeração romano. a) Luís Quinze b) Ano 34 c) Capítulo 20 d) Século vinte e um e) Papa Pio Doze f) Dom Pedro Segundo g) Papa Bento Dezesseis h) Dom João Sexto i) Papa João Paulo Segundo

15

Jorge Amado (Itabuna, 1912-Salvador, 2001) foi um dos mais famosos escritores brasileiros de todos os tempos e ocupou a cadeira 23 da Academia Brasileira de Letras. Sua obra foi editada em 55 países e vertida para 49  idiomas e dialetos. Escreva, no seu caderno, o ano do nascimento de Jorge Amado utilizando o sistema de numeração romano.

16

Represente os números a seguir de acordo com o sistema de numeração indo-arábico. a) LXXXIX g) MCDLII b) CDLXI h) MMDCXXX c) DLXXXV i) CCXXIV d) DCCXLIX j) XICXXXVI e) DCCCLXXVI k) IVCVII f) CMXIX l) CMXLIV

17

Utilizando algarismos indo-arábicos, reescreva no seu caderno o placar deste jogo:

18

Para realizar esta atividade, forme dupla com um colega e procedam desta maneira: a) Primeiro, cada um copia no seu caderno estas frases: • Carlos possui 75 carrinhos em sua coleção. • Ana leu um livro de 169 páginas. • A caixa-d’água comporta 2 650 litros. Depois, um dos colegas substitui os números por símbolos romanos, e o outro, por símbolos egípcios. b) Agora, escrevam as principais vantagens de um sistema em relação ao outro.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

8

ARTUR IKISHIMA/ABRIL COMUNICAÇÕES S/A

EXERCÍCIOS

32

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Curiosidade Curiosidade Declaração Universal dos Direitos da Criança

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

PRINCÍPIO I — A criança gozará todos os direitos enunciados nesta Declaração. Todas as crianças, absolutamente sem qualquer exceção, serão credoras destes direitos, sem distinção ou discriminação por motivo de raça, cor, sexo, língua, religião, opinião política ou de outra natureza, origem nacional ou social, riqueza, nascimento ou qualquer outra condição, quer sua ou de sua família. […] PRINCÍPIO III — Desde o nascimento, toda criança terá direito a um nome e a uma nacionalidade. [...]

REPRODUÇÃO

No dia 20 de novembro de 1959, por aprovação unânime, a Assembleia Geral das Nações Unidas proclamou a Declaração Universal dos Direitos da Criança. Observe que a numeração dos 10 princípios é indicada por símbolos romanos.

O Fundo das Nações Unidas para a Infância (em inglês United Nations Children’s Fund — Unicef ) é uma agência da Organização das Nações Unidas (ONU) cujo principal objetivo é promover a defesa dos direitos das crianças.

Disponível em: <www.unicef.org>. Acesso em: 17 set. 2012.

4 Os números naturais André estava lendo a seção de esportes do jornal, quando viu a foto de uma regata.

Quantos barcos você acha que tem nessa foto, papai?

Regata Corrida em que duas ou mais embarcações competem para atingir certa meta, disputando o prêmio de velocidade.

Hum... Acho que há uns 10 barcos aí.

O número 10, que representa o resultado da contagem dos barcos, é chamado de número natural. 33

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Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos a sequência dos números naturais:

Os números naturais dessa sequência formam o conjunto de números denominado conjunto dos números naturais, que pode ser assim representado: v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} Observando a sequência dos números naturais, verificamos que: Todo número natural tem um sucessor, pois a sequência dos números naturais é infinita. Exemplos

• O sucessor de 0 é 1, pois: 0 1 1 5 1 • O sucessor de 99 é 100, pois: 99 1 1 5 100 De modo geral, dado um número natural n, seu sucessor é (n 1 1). Por ser o menor dos números naturais, o zero não é sucessor de nenhum outro número natural. Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. Para obter o antecessor de um número, subtraímos dele uma unidade.

A letra n representa um número qualquer do conjunto dos números naturais. Por isso, podemos dizer que a regra para encontrar o sucessor de um número natural é válida para todos os números desse conjunto.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O sucessor de um número natural é o resultado da soma desse número com o número 1.

Exemplos

• O antecessor de 10 é 9, pois: 10 2 1 5 9 • O antecessor de 50 é 49, pois: 50 2 1 5 49 De modo geral, dado um número natural n, com n % 0, seu antecessor é (n 2 1). Na sucessão dos números naturais, dois ou mais números em sequência imediata são chamados de números consecutivos. Exemplos

• 25 e 26 são números consecutivos. • 75, 76 e 77 são números consecutivos. • 15 e 17 são números ímpares consecutivos. • 100, 102 e 104 são números pares consecutivos. 34

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Observações

1 As palavras sucessivo e consecutivo têm o mesmo significado que “sucessor”. Assim: • o sucessivo de 89 é 90; • o consecutivo de 1 175 é 1 176. 2 As palavras precedente e antecedente têm o mesmo significado que “antecessor”. Assim: • o precedente de 32 é 31; • o antecedente de 101 é 100.

Lendo e aprendendo Número é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. Numeral é toda representação de um número, seja ela escrita, falada ou digitada. Para representar um mesmo número podemos utilizar diferentes numerais. O número de rodas do robô Curiosity, por exemplo, pode ser representado de várias maneiras. Por meio de palavras denominadas numerais: • seis (numeral da língua portuguesa); • six (numeral da língua inglesa); • sechs (numeral da língua alemã). Por meio de símbolos também chamados de numerais: • 6 (numeral indo-arábico); • VI (numeral romano); •

(numeral egípcio).

Observe que a um só número podem corresponder diversos numerais. No entanto, na linguagem usual, costumamos usar a palavra número no lugar de numeral. É preciso ter cuidado para não confundir número, numeral e algarismo (qualquer símbolo usado para representar um número). Observe alguns exemplos: • O numeral 4 567 representa uma quantidade (número) e é escrito com os algarismos 4, 5, 6 e 7. • Minha senha bancária tem quatro algarismos, e não quatro números.

JPL-CALTECH/NASA

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Número e numeral

O jipe-robô Curiosity pousou na superfície de Marte em agosto de 2012, após uma viagem de 567 milhões de quilômetros e quase nove meses.

Senha Cadeia de caracteres que autoriza o acesso a um conjunto de operações em um sistema de computadores ou em equipamentos computadorizados.

35

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EXERCÍCIOS 19

20

21

Responda às questões. a) Qual é o menor número natural? b) Qual é o sucessor do zero? c) Todo número natural tem sucessor? d) O número 2 000 é sucessor de que número? Escreva, no seu caderno, o sucessor e o antecessor dos números naturais a seguir. a) 18 f ) 8 020 b) 59 g) 9 999 c) 199 h) 11 003 d) 600 i) 16 999 e) 1 001 j) 50 000 Escreva, no seu caderno, três números naturais, consecutivos, sabendo que o maior deles é: a) 16 b) 100 c) 699

22

Um número natural é representado por y 1 3. Como podemos representar seu antecessor?

23

Um número natural é representado por k 1 7. Como podemos representar seu sucessor?

24

Qual é o precedente do maior número natural par de três algarismos?

25

Qual é o sucessivo do menor número natural ímpar de cinco algarismos?

26

Qual é o sucessor ímpar de 79? E o precedente par de 100?

27

Observe a sequência abaixo e responda. 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ... Qual é o próximo número dessa sequência?

28

Escreva, no seu caderno, três números naturais ímpares consecutivos, entre os quais o menor seja a.

REPRODUÇÃO

Os jogos olímpicos foram criados com o intuito de incentivar uma maior integração entre os povos, por meio de diferentes modalidades esportivas. Os primeiros jogos aconteceram em 1896, em Atenas, Grécia. Em 2012, os jogos foram realizados em Londres, Inglaterra.

BEN STANSALL/AFP

5 Igualdade e desigualdade

Conteúdo digital • Atividade interativa 1

A tabela abaixo apresenta os cinco países que mais conquistaram medalhas nos Jogos Olímpicos de Londres. País

Ouro

Prata

Bronze

Total

Estados Unidos

46

29

29

104

China

38

27

23

88

Grã-Bretanha

29

17

19

65*

Rússia

24

26

32

82

Coreia do Sul

13

8

7

28

Cerimônia de abertura das Olimpíadas de Londres, em 2012. * O primeiro critério utilizado para classificação ou desempate é o maior número de medalhas de ouro conquistadas por determinado país.

Dados obtidos em: <www.london2012.com>. Acesso em: 18 set. 2012. 36

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Observe que o total de medalhas conquistadas pela Coreia do Sul é menor que o obtido pelos Estados Unidos. País Coreia do Sul Estados Unidos

Total 28 104

Assim: 28 , 104 Sendo a e b dois números naturais quaisquer, com a % b (lê-se: “a é diferente de b ”), podemos concluir que:

Note que os símbolos . e , assemelham-se à extremidade de um a seta e apontam sempre para o número menor.

a , b (lê-se: “a é menor que b ”) ou a . b (lê-se: “a é maior que b ”). As relações a , b e a . b são relações de desigualdade.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observação

Utilizando os símbolos < (lê-se: “menor ou igual a”) e > (lê-se: “maior ou igual a”), podemos combinar as relações de igualdade e desigualdade. Veja: • Sendo n um número natural com n > 9, os possíveis valores para n são 9, 10, 11, 12, ... • Sendo x um número natural com x < 5, os possíveis valores para x são 5, 4, 3, 2, 1 ou 0.

EXERCÍCIOS 29

Utilizando o sinal , (menor que), escreva, no seu caderno, os números em ordem crescente. a) 76, 54, 82 b) 32, 26, 18 c) 14, 9, 7

30

Utilizando o sinal . (maior que), escreva, no seu caderno, os números em ordem decrescente. a) 49, 78, 18 b) 34, 49, 13 c) 98, 103, 42

31

Se a 5 b e b % c, qual relação podemos estabelecer entre a e c ?

32

Escreva, no seu caderno, como são lidas as relações abaixo. a) 5 . 3 c) 7 5 7 e) a < b b) 8 % 10 d) 15 , 20 f) m > n

33

Maurício, Carlos e Paulo são jogadores de basquete. Carlos é mais alto que Maurício, e Paulo é mais baixo que Maurício. Qual deles é o mais baixo?

34

Sendo n um número natural, determine os possíveis valores de n quando: a) n . 5 b) n > 8 c) n , 3 d) n < 6

37

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6 A reta numérica e os números naturais

Para visualizar melhor a sequência dos números naturais, vamos representá-la em uma linha chamada de reta numérica. Observe: Traçamos uma reta e marcamos o ponto O (origem). O

À direita de O, marcamos segmentos consecutivos com a mesma medida, determinando os pontos A, B, C, D, … A

B

C

D...

Aos pontos O, A, B, C, D, …, fazemos corresponder os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, ..., respectivamente. O

A

B

C

D...

0

1

2

3

4…

Observe que existe uma correspondência entre os números naturais e os pontos marcados na reta. Representando os números naturais 0, 2, 5 e 6 na reta numérica natural, temos: 0

2

5

6

A reta numérica nos permite afirmar que: Um número é maior que (.) outro número quando vem à direita deste. Exemplo

5.2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O

Um número é menor que (,) outro quando vem à esquerda deste. Exemplo

2,6 Observação

Em uma régua graduada, podemos observar uma reta numérica natural em que a medida dos segmentos entre dois números consecutivos é 1 centímetro.

38

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EXERCÍCIOS 35

Desenhe, no seu caderno, uma reta numérica e registre os números 0, 3, 5 e 7.

36

Observe a reta numérica e responda. O

R

S

38

A

T

a

0

Observe a reta numérica e responda. O

A

B

C

D

39

E

0 Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6

B

C

b

c

Determine quais afirmações são verdadeiras. a) a . 6 d) c . b b) b . 6 e) c , a c) 6 , c f) b . a

Qual é o número natural que corresponde ao ponto: a) R ? b) S ? c) T ? 37

Observe a reta numérica em que a, b e c representam números naturais correspondentes aos pontos A, B e C.

Localize os números naturais p, q e r na reta numérica abaixo seguindo as dicas. 0

Que ponto representa: a) o número 9? c) o número 4? b) o número 12? d) o número 15?

1) p e r são pares 3) q . 4 e r . 4 2) p , 3 4) r , 7 e q , 6

Quantidade de números naturais e algarismos em uma sequência numérica Com o auxílio da reta numérica, podemos determinar a quantidade de números naturais: de um número natural até outro número natural; entre dois números naturais. Observe os exemplos a seguir. • Quantos números naturais existem de 3 até 8? 0

1

2

4

3

5

6

7

8

Podemos verificar, por meio de uma contagem, que existem seis números naturais de 3 a 8. Para responder à pergunta, também poderíamos proceder desta maneira: (8 2 3) 1 1 5 6 3

4

5

6

7

Adicionamos uma unidade para compensar o fato de que, na subtração (8 2 3), o número 3 foi eliminado na contagem.

8

• Quantos números naturais existem entre 3 e 13? 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 39

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Verificamos, por meio de uma contagem, que existem nove números naturais entre 3 e 13. Para responder à pergunta, também poderíamos proceder desta maneira: (13 2 3) 2 1 5 9 3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

Subtraímos uma unidade para compensar o fato de que, na subtração (13 2 3), o número 13 foi incluído na contagem.

• Para escrever de 1 até 250, quantos algarismos utilizamos? Observe que, na sequência 1, 2, 3, …, 249, 250, temos: • números de um algarismo: 1, 2, 3 …, 9 • números de dois algarismos: 10, 11, 12, 13, …, 99 • números de três algarismos: 100, 101, 102, …, 250

Quantidade de números De 1 a 9 De 10 a 99 De 100 a 250 Total

Quantidade de algarismos

(9 2 1) 1 1 5 9

9#159

(99 2 10) 1 1 5 90

90 # 2 5 180

(250 2 100) 1 1 5 151

151 # 3 5 453

250

642

Portanto, utilizamos 642 algarismos para escrever de 1 até 250.

EXERCÍCIOS 40

Quantos números naturais existem de 25 até 50?

41

Quantos números naturais existem entre 30 e 48?

42

Para numerar de 5 até 50: a) quantos números naturais escrevemos? b) quantos algarismos escrevemos?

43

Quantos números naturais de dois algarismos existem?

44

Quantos números naturais de três algarismos existem?

45

Paulo assumiu um novo projeto na sua empresa e passou a trabalhar duas horas extras por dia. O projeto teve início no dia 12 e foi até o dia 25 do mesmo mês. Quantas horas extras Paulo trabalhou nesse projeto?

46

Observe a sequência abaixo e responda. 9, 16, 25, 36, ... Qual é o próximo número dessa sequência?

47

Quantos algarismos escrevemos para representar todos os números de 35 até 186?

48

Quantos algarismos são necessários para numerar as 500 páginas de um livro?

49

Para escrever de 200 até 1 002, quantos algarismos são necessários?

50

Fazendo uma pesquisa na internet sobre aquecimento global, Luís encontrou uma reportagem completa sobre o assunto, com mais de 200 páginas. Dessa pesquisa, ele imprimiu da página 35 até a 178. Quantas páginas foram impressas?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Assim, podemos verificar que:

40

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Conteúdo digital

Conteúdo digital

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7 Base de um sistema de numeração

Existem infinitos números naturais. Para ler e escrever cada um deles, devemos utilizar palavras e símbolos, de acordo com determinadas regras. O conjunto de tais regras constitui um sistema de numeração. Hoje usamos o sistema de numeração decimal. De acordo com esse sistema, a contagem é feita agrupando os objetos de 10 em 10. Porém, existem situações em que recorremos a agrupamentos diferentes de 10 para contar. Por exemplo:

JULIA IVANTSOVA/SHUTTERSTOCK

• em grupos de 60

G KAN MT

/SHUTTERSTO CK

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• em dúzias

Bananas, ovos, laranjas etc. são agrupados de 12 em 12 (em dúzias).

A contagem do tempo, desde os antigos babilônios, é feita de 60 em 60 (60 segundos correspondem a 1 minuto, e 60 minutos correspondem a 1 hora).

Em uma contagem, o número de elementos do agrupamento denomina-se base. Assim, na contagem de bananas, ovos e laranjas utilizamos a base 12; já na contagem do tempo é utilizada a base 60. Os computadores digitais operam no sistema binário (base 2), isto é, todas as informações armazenadas ou processadas no computador usam apenas os algarismos 0 e 1.

EXERCÍCIOS 51

Para facilitar a contagem de uma grande quantidade de ovos, eles foram separados em grupos de meia dúzia. Qual foi a base utilizada nessa contagem?

52

Quando contamos as garrafas de refrigerante em caixas com duas dúzias, em qual base fazemos essa contagem?

53

Quando contamos folhas de papel em pacotes de 100 unidades, em qual base fazemos essa contagem?

54

Na contagem do tempo (segundos, minutos e horas), qual é a base utilizada?

55

As décadas são contadas em agrupamentos de 10 anos. Assim, 36 anos correspondem a três décadas e seis anos. Escreva, no seu caderno, de forma semelhante, o correspondente a: a) 22 anos b) 50 anos c) 69 anos

41

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Indique, em cada figura, a base de contagem que foi utilizada. a)

d)

57

b)

c)

As semanas são contadas em agrupamentos de sete dias. Assim, 20 dias correspondem a duas semanas e seis dias. Escreva, de forma semelhante, o correspondente a: a) 15 dias b) 56 dias c) 217 dias

Lendo e aprendendo Sistema de numeração binário O sistema de numeração binário (base 2), empregado principalmente em computadores, utiliza apenas os algarismos 0 e 1. Um computador possui circuitos eletrônicos comandados por “chaves”, que podem estar fechadas (permitindo a passagem da corrente elétrica) ou abertas (não permitindo a passagem da corrente elétrica). O símbolo 1 do sistema binário significa “passagem de corrente elétrica no circuito", e o símbolo 0, "ausência de corrente elétrica”. Assim, temos:

circuito fechado

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

56

circuito aberto

Ao utilizar o computador, fornecemos números em sistema decimal, que são automaticamente transformados em sistema binário. Por fim, os resultados são novamente transformados em sistema decimal. No sistema binário, as ordens são formadas a partir de grupos de 2, ou seja, cada ordem, a partir da 2a, vale duas vezes a anterior. Veja: 6a ordem

5a ordem

4a ordem

3a ordem

2a ordem

1a ordem

Grupos de 32

Grupos de 16

Grupos de 8

Grupos de 4

Grupos de 2

Grupos de 1

42

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É possível transformar facilmente um número escrito do sistema binário para o sistema decimal, e vice-versa. Observe os exemplos abaixo. (1011)2 • Transformando (1011)2 para o sistema decimal Representação no sistema de numeração de base 2.

1011 1a ordem 1 unidade

51#15 1

2a ordem 1 grupo de 2 5 1 # 2 5 2 3a ordem 0 grupo de 4 5 0 # 4 5 0

1

4a ordem 1 grupo de 8 5 1 # 8 5 8 11

Assim, o numeral 1011 corresponde, no sistema decimal, ao número 11. • Transformando o número 42 para o sistema binário 42

5 32 6a ordem

1

8

2

1

4a ordem

2a ordem

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Representação no quadro de ordens do sistema binário 6a ordem 5a ordem 4a ordem 3a ordem 2a ordem 1a ordem 1 0 1 0 1 0 O zero indica a ausência de unidades nessas ordens.

Assim, o número 42 corresponde, na base 2, ao numeral 101010, que se lê: um, zero, um, zero, um, zero.

8 Sistema de numeração decimal O sistema indo-arábico A palavra algarismo tem origem no nome do matemático árabe Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, conhecido como o Pai da Álgebra. Ele foi responsável pela introdução do atual sistema de numeração e pelos estudos iniciais da Álgebra. O sistema de numeração que utiliza os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e suas regras foi inventado pelos hindus e levado para a Europa pelos árabes, no século XIII. Daí o nome “indo-arábico”. O sistema de numeração mais utilizado atualmente é o sistema indo-arábico, que se caracteriza por ser decimal; por isso o chamamos de sistema de numeração decimal. No sistema de numeração decimal, em que a contagem é realizada na base dez, ou seja, os agrupamentos são sempre feitos de dez em dez, utilizamos os algarismos indo-arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, o Pai da Álgebra.

43

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Esse sistema é posicional. Com apenas 10 símbolos podemos representar qualquer número natural, o que não ocorre com o sistema egípcio, em que, por exemplo, para representar 100 000 000 é preciso repetir 100 vezes o símbolo de 1 000 000 ( ) ou criar um novo símbolo. O sistema de numeração decimal obedece a algumas regras e orientações. A contagem de grupos com menos de 10 elementos é feita associando o número de elementos de determinado grupo a um algarismo indo-arábico. Observe:

OLEKSIY MAKSYMENKO PHOTOGRAPHY/ ALAMY/GLOW IMAGES

3 telefones celulares.

representação do número 3 no ábaco

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

m de 2ª

or

or 1ª

NITO/SHUTTERSTOCK

10 canetas para tablet.

de

m

de

Podemos representar um grupo de 10 elementos assim:

m

representação do número 9 no ábaco

9 morangos.

or

NATTIKA/SHUTTERSTOCK

1

0 0 unidade simples 1 dezena simples

Observe que 10 unidades de 1a ordem correspondem a 1 unidade de 2a ordem. Ou seja, 1 dezena corresponde a 10 unidades. A contagem de grupos com mais de 10 e menos de 100 elementos é feita associando-se o número de elementos de determinado grupo a um número de dois algarismos, por meio da notação posicional. Observe:

2 # 10 1 6 5 26

2

6

6 # 10 1 3 5 63

6

6 unidades simples 2 dezenas simples

3

3 unidades simples 6 dezenas simples

44

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É importante destacar o valor posicional do algarismo 6 nos dois números estudados: 26

O valor posicional do algarismo 6 é 6.

63

O valor posicional do algarismo 6 é 60.

Curiosidade Curiosidade O ábaco

TI S

ANT

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

99+1

1 0 0 1 centena simples 0 dezena simples 0 unidade simples

Observe que 10 unidades de 2a ordem correspondem a 1 unidade de 3a ordem. Ou seja, 1 centena corresponde a 10 dezenas. A contagem de grupos com mais de 100 e menos de 1 000 elementos é feita associando-se o número de elementos de determinado grupo a um número de três algarismos, por meio da notação posicional. Observe:

3

2

5

6 5 unidades simples 2 dezenas simples 3 centenas simples

3 # 100 1 2 # 10 1 5 5 325

I/SH

UTT

ERS

TOC

K

O ábaco era um instrumento de cálculo muito utilizado pelos antigos gregos e romanos. Posteriormente, ele foi aperfeiçoado pelos chineses e japoneses. O ábaco é chamado de suan-pan na China e soroban no Japão. Ao longo da história, diferentes tipos de ábaco foram inventados. Um dos modelos mais simples é aquele em que a correspondência é feita com contas móveis dispostas em fileiras paralelas, que representam as unidades, as dezenas, as centenas etc. O ábaco facilita tanto o registro dos objetos quanto a leitura das contagens.

3a o 2 a rde o m 1 a rde or m de m

2a or de m

1a or de m

Como 100 5 9 # 10 1 9 1 1, podemos representar um grupo com 100 elementos assim:

4

2 2 unidades simples 4 dezenas simples 6 centenas simples

6 # 100 1 4 # 10 1 2 5 642 45

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Acompanhe na tabela: Número

Algarismo 5 2 3 2 4 6

325

642

Valor posicional 5 20 300 2 40 600

Lembre-se de que nosso sistema de numeração é posicional, ou seja, um mesmo algarismo representa quantidades diferentes, dependendo da posição que ele ocupa no número.

6a 5a 4a 2a classe (milhares)

unid sim ades ples

dez e sim nas ples

cen t sim enas ples

unid de m ades ilha r

dez e de m nas ilha r

cen t de m enas ilha r

unid de m ades ilhã o

dez e de m nas ilhã o

9a 8a 7a 3a classe (milhões)

3a 2a 1a 1a classe (unidades simples)

Exemplos

• 5 478

É formado por cinco unidades de milhar, quatro centenas, sete dezenas e oito unidades.

5 478 5 5 000 1 400 1 70 1 8 ou 5 478 5 5 # 1 000 1 4 # 100 1 7 # 10 1 8

a

4 5

• 63 042

Observe o valor posicional de cada algarismo.

Quadro de valor lugar 3a 2a 1a 4 7 8

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

12a 11a 10a 4a classe (bilhões)

cen t de m enas ilhã o

unid de b ades ilhã o

dez e de b nas ilhã o

cen t de b enas ilhã o

Na contagem de grupos com 1 000 ou mais elementos, devemos agrupar as unidades correspondentes às diversas ordens em classes de três, iniciando pela direita do número. A última classe, situada à esquerda, pode ser formada por uma, duas ou três ordens. Observe:

É formado por seis dezenas de milhar, três unidades de milhar, quatro dezenas e duas unidades.

63 042 5 60 000 1 3 000 1 40 1 2 ou 63 042 5 6 # 10 000 1 3 # 1 000 1 4 # 10 1 2

a

5 6

Quadro de valor lugar 4a 3a 2a 3 0 4

Observe o valor posicional de cada algarismo.

1a 2

Observação

Após a classe dos bilhões vem a dos trilhões, quatrilhões, quintilhões, sextilhões etc.

46

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UM POUCO DE HISTĂ&#x201C;RIA

Por mais de 15 sĂŠculos os matemĂĄticos babilĂ´nicos ignoraram o zero. Isso porque, quando se aplica o princĂ­pio de posição, ĂŠ necessĂĄrio um sĂ­mbolo grĂĄfico especial para representar as unidades que faltam. Por exemplo, os babilĂ´nios nĂŁo tinham como diferenciar os nĂşmeros 5 230, 52 300 e 523 000. Pouco a pouco, eles foram percebendo que esse â&#x20AC;&#x153;nadaâ&#x20AC;? deveria ser representado por â&#x20AC;&#x153;alguma coisaâ&#x20AC;? â&#x20AC;&#x201D; um sĂ­mbolo â&#x20AC;&#x201D;, para evitar confusĂŁo nas representaçþes numĂŠricas. O sĂ­mbolo, que serviria graficamente para marcar a ausĂŞncia das unidades de certa ordem, viria a ser o zero. Finalmente, no sĂŠculo III a.C., nasceu o zero babilĂ´nico, o mais antigo da histĂłria. Entretanto, o zero nĂŁo foi concebido pelos matemĂĄticos da BabilĂ´nia como quantidade, isto ĂŠ, como â&#x20AC;&#x153;nĂşmero nuloâ&#x20AC;?. Entre os sĂŠculos III e IV d.C., os maias fizeram a mesma descoberta ( ), mas, assim como o babilĂ´nico, o zero maia era imprĂłprio Ă  prĂĄtica de operaçþes aritmĂŠticas e nunca pĂ´de dar origem a desenvolvimentos matemĂĄticos. AtĂŠ o final do sĂŠculo VI, o zero hindu tinha por Ăşnica função preencher os â&#x20AC;&#x153;vaziosâ&#x20AC;? provocados pelas unidades em falta nas representaçþes numĂŠricas, orais ou escritas. No entanto, os matemĂĄticos da Ă?ndia conseguiram mudar essa situação rapidamente, pois, em menos de meio sĂŠculo, esse conceito jĂĄ significava indistintamente â&#x20AC;&#x153;vazioâ&#x20AC;? ou â&#x20AC;&#x153;nadaâ&#x20AC;?, incorporando o sentido que atribuĂ­mos hoje Ă  â&#x20AC;&#x153;quantidade nulaâ&#x20AC;? ou ao â&#x20AC;&#x153;nĂşmero zeroâ&#x20AC;?.

Trabalhando com a calculadora

ON CE ou AC

Liga

Calcula a raiz quadrada

ON

AC do CE ou % visor Apaga valores

OFF Desliga

%

Calcula a porcentagem

OFF





Indica o resultado



Adiciona



M+

M+

MemĂłria mais



Subtrai



Mâ&#x20AC;&#x201C;

Mâ&#x20AC;&#x201C;

MemĂłria menos



Multiplica

 MRC



Divide



â&#x20AC;˘

UTTERSTOCK

A calculadora, cujo precursor Ê o åbaco, Ê um instrumento que realiza operaçþes aritmÊticas. A primeira måquina de somar foi inventada por Blaise Pascal. Posteriormente, em 1694, Gottfried Leibniz projetou um aparelho que multiplicava por adiçþes repetidas. Em 1822, Charles Babbage construiu uma pequena måquina de somar e, em 1833, concebeu uma måquina de subtração, precursora do computador digital. Na maioria das calculadoras modernas, encontramos estas teclas:

SERGIGN/SH

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A origem do zero

MRC Leitura da memĂłria â&#x20AC;˘

Representa a vĂ­rgula

47

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EXERCÍCIOS Identifique, em cada item, o número representado no ábaco. a)

b)

62

d)

9 678

e)

a) Quantas ordens tem esse número? b) Qual é o algarismo da quarta ordem? c) Qual é o algarismo que representa a ordem das centenas? d) Qual é o algarismo que representa a maior ordem? e) Quantas classes tem esse número? 63

c)

59

Observe o número abaixo e responda.

f)

Escreva, no seu caderno, o número formado por: a) sete centenas mais cinco dezenas mais três unidades b) oito unidades de milhar mais cinco centenas mais seis dezenas c) uma dezena de milhar mais sete dezenas d) duas unidades de milhão mais seis centenas de milhar mais nove dezenas mais oito unidades e) três dezenas de milhão mais quatro centenas de milhar mais sete centenas mais três dezenas

60

Usando os algarismos 2, 6 e 8, sem repeti-los, escreva, no seu caderno, seis diferentes números de três algarismos.

61

Determine o número formado por: a) (5 # 100) 1 (7 # 10) 1 8 b) (7 # 1 000) 1 (8 # 100) 1 (9 # 10) 1 5 c) (2 # 10 000) 1 (5 # 1 000) 1 1 (4 # 100) 1 (3 # 10) 1 8 d) (5 # 100 000) 1 (8 # 1 000) 1 1 (5 # 100) 1 3 e) (3 # 1 000 000) 1 (4 # 10 000) 1 (5 # 10)

O feirante Luís resolveu contar os limões que havia em cima da mesa. Para cada grupo de 10 limões, ele fez um traço. Terminada a contagem, sobraram seis limões em cima da mesa e estas marcas no papel:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

58

Qual era o total de limões? 64

Em um campeonato de lançamento de dardos, Pedro lançou 21 dardos, atingindo o disco conforme a figura abaixo.

Quantos pontos Pedro obteve?

48

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65

Utilizando uma calculadora simples, responda. a) Quantos algarismos cabem no visor da sua calculadora? b) Qual é o maior número natural com algarismos diferentes que sua calculadora comporta? 2 0 0 0  5 0

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

66

ON

1

0

c)

ON

1



3

5



d)

ON

7

2



9



0

0



9

9

7

1

0



0



Decompondo o número 2 548, obtemos: 2 000 1 500 1 40 1 8 Com uma calculadora, conferimos a decomposição do número 2 548. Se digitarmos: 2

0

0

4

0



0 8

 

5

0

0



4



0

8



o visor mostrará:

Use uma calculadora para efetuar as operações abaixo. a) ON 4 5  3 2  b)

67

Agora repita o mesmo procedimento com os números abaixo, conferindo a decomposição. a) 8 957 b) 68 005



Biografia GE

RID

EB

TH

Blaise Pascal (1623-1662)

BRANDS OF THE WORLD

NE

TO

YS

La pascaline (1642).

O astronômo, físico e matemático holandês Huygens utilizou o mecanismo dos pêndulos para regular relógios

1644

1662

1643 Nascimento de Newton e morte de Galileu

KE

1636

Y/ AR

1642

IBR

1623

Na França, Luís XIV sobe ao trono

TL AR

Fundação da Universidade de Harvard

N

Publicou Essay pour les coniques, em que expôs o célebre teorema de Pascal. Especializou-se em cálculos infinitesimais e criou uma máquina de somar, a La pascaline (1642), considerada a primeira calculadora manual que se conhece. Sua invenção encontra-se no Conservatório de Artes e Medidas de Paris.

MA

Pascal, filho de Etienne Pascal (matemático) e de Antoinette Begon, nasceu em Clermont-Ferrand, na França, e foi um extraordinário filósofo e matemático. Com a transferência do pai para Rouen, Pascal, que o acompanhou, realizou as primeiras pesquisas no campo da Física, chegando à dedução de 32 proposições de geometria estabelecidas por Euclides.

1658 Descoberta do barômetro de Torricelli

Fundação da Royal Society, destinada à promoção das ciências

49

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9 Leitura e escrita de um número natural

Saber ler e escrever números pode ser muito útil na vida prática, como na hora de preencher cheques, reconhecer e distinguir valores etc. Para ler um número, procedemos deste modo: 1o) dividimos o número em classes; 2o) lemos cada classe seguida do seu nome, da esquerda para a direita. Exemplos

• 6 034 270 200 1 70 (duzentos e setenta) 30 1 4 (trinta e quatro) mil

Lê-se: "seis milhões, trinta e quatro mil, duzentos e setenta". • 1 019 316 017 10 1 7 (dezessete) 300 1 10 1 6 (trezentos e dezesseis) mil 10 1 9 (dezenove) milhões 1 (um) bilhão

Lê-se: "um bilhão, dezenove milhões, trezentos e dezesseis mil e dezessete". Observação

Quando todas as ordens de uma classe são representadas por zero, não lemos essa classe. Observe um exemplo: 8 000 321

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6 (seis) milhões

300 1 20 1 1 (trezentos e vinte e um) 8 (oito) milhões

Lê-se: "oito milhões, trezentos e vinte e um".

De modo inverso, se for conhecida a leitura de um número, podemos escrevê-lo usando algarismos. Observe: • setenta e três mil, seiscentos e oitenta e dois Milhares 7 3

Unidades simples 6 8 2

73 682

• dois bilhões, treze milhões, quinhentos e seis Bilhões 2

0

Milhões 1

3

0

Milhares 0

0

Unidades simples 5 0 6

2 013 000 506

50

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Um número natural pode ser representado de várias maneiras. Vamos considerar, por exemplo, o número 8 547 403, que corresponde, aproximadamente, à superfície do Brasil em quilômetro quadrado. Podemos representá-lo: • com algarismos: 8 547 403 • com palavras: oito milhões, quinhentos e quarenta e sete mil, quatrocentos e três • com algarismos e palavras: 8 milhões, 547 mil e 403 • por meio da decomposição: 8 000 000 1 500 000 1 40 000 1 7 000 1 400 1 3 ou

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

8 # 1 000 000 1 5 # 100 000 1 4 # 10 000 1 7 # 1 000 1 4 # 100 1 0 # 10 1 3

1.250 km

Observações

1 Para facilitar a leitura de números naturais grandes, a mídia costuma apresentá-los de forma abreviada, usando uma vírgula. Veja:

Mídia O conjunto dos meios de comunicação de massa.

No final de 2012, a população do planeta Terra atingiu aproximadamente 7,1 bilhões de pessoas. 7,1 bilhões correspondem a sete bilhões e cem milhões ou 7 100 000 000. 2 Em alguns textos a palavra milhão é substituída por mi, e a palavra bilhão, por bi. Observe:

A população do Brasil atingiu a marca de 192 mi de pessoas em julho de 2011. 192 mi correspondem a cento e noventa e dois milhões ou 192 000 000.

De acordo com estimativas da ONU, na Terra haverá 9,3 bi de pessoas no ano de 2050.

Estimativa Cálculo feito para obter um resultado aproximado.

9,3 bi correspondem a nove bilhões e trezentos milhões ou 9 300 000 000.

51

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O que é um cheque?

a

R$ e centavos acima ou à sua ordem de

, de Cheque é uma ordem de pagamento. Pode ser recebido na agência em que o emitente mantém conta ou depositado em outra agência, para ser compensado e creditado na conta do correntista. Segundo a Federação Brasileira de Bancos (Febraban), as formas de emissão de cheque são:

• ao portador: o cheque só pode ser emitido ao portador (sem indicação do beneficiário) até o valor de R$ 100,00. • nominal: a partir de R$ 100,00, o emitente é obrigado a indicar o nome do beneficiário (pessoa ou empresa a quem está efetuando o pagamento). O cheque nominal  só  poderá ser pago pelo banco mediante identificação do beneficiário ou de pessoa por ele indicada no verso do cheque (endosso), ou ainda através do sistema de compensação, caso seja depositado. • cruzado: tanto o cheque ao portador quanto o nominal podem ser cruzados, com a colocação de dois traços paralelos, em sentido diagonal, na frente do documento. Nesse caso, só será pago através de depósito em conta corrente. • administrativo: é o cheque emitido pelo próprio banco. Pode ser comprado pelo cliente em qualquer agência bancária. O banco o emite em nome de quem o cliente efetuará o pagamento. • especial: assim denominado porque o banco concedeu um limite de crédito para saque quando não dispuser de fundos. O cheque especial é concedido ao cliente mediante contrato firmado previamente. • cheque pré-datado: pela lei, um cheque é pagável quando for apresentado ao banco, mesmo que tenha sido emitido com data posterior. Assim, se um cheque pré-datado for apresentado para pagamento antes do dia previsto, o banco terá de pagá-lo ou devolvê-lo por falta de fundos. Caso isso ocorra, o correntista poderá ser prejudicado. [...] • cheque sem fundos: o cheque poderá ser devolvido quando o emitente não tiver fundos suficientes para seu pagamento. [...]

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Pague por este cheque a quantia de

REPRODUÇÃO

Lendo e aprendendo

Disponível em: <www.febraban.org.br>. Acesso em: 19 set. 2012.

EXERCÍCIOS 68

Escreva, no seu caderno, como se leem os números abaixo. a) 345 d) 15 167 g) 5 050 000 b) 1 679 e) 815 200 h) 18 540 035 c) 8 950 f) 3 437 008 i) 95 013 600

69

Escreva os números a seguir no seu caderno, usando algarismos indo-arábicos. a) doze mil, cento e seis

b) c) d) e) f) g) h)

quinhentos e trinta mil e oitenta novecentos e doze mil e trezentos um milhão, dez mil e treze sete milhões, trezentos mil e quinze noventa milhões, dezesseis mil e oito dois bilhões, doze milhões e cem mil cem bilhões, duzentos e cinquenta milhões e cinquenta

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HUCHEE P/SHUTTE RSTOCK

71

No caderno, escreva por extenso as quantias a seguir, conforme o modelo: R$ 3 250,00 p Três mil, duzentos e cinquenta reais a) R$ 125,00 b) R$ 40,00 c) R$ 500,00 d) R$ 915,00 e) R$ 8 500,00 f) R$ 54 680,00 PANACHAI

72

73

Desenhe, no seu caderno, um cheque como o do modelo do boxe "Lendo e aprendendo" da página 38. Em seguida, preencha-o observando estas exigências: deverá ser um cheque cruzado e nominal a sua escola, no valor de R$ 176,00.

74

Escreva, no seu caderno, os números destacados nas frases abaixo usando mi para milhões e bi para bilhões. a) Os Jogos Olímpicos de Londres 2012 foram transmitidos em 3-D com uma audiência de 5 000 000 000 de espectadores. b) No Brasil, aproximadamente 42 000 000 de pessoas assistiram à final entre Brasil e Espanha na Copa das Confederações da FIFA 2013.

CHERDC

Escreva, no seu caderno, como se lê o número que aparece no visor da calculadora ao lado.

O Tiranossauro Rex habitou a América do Norte há 145 000 000 de anos. Escreva, no seu caderno, esse número por extenso.

VANDERLEI ALMEIDA/AFP

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

70

O Brasil tornou-se campeão da Copa das Confederações da FIFA 2013 ao vencer, na final, a Espanha por 3 a 0.

Trabalhando em equipe 1 Nesta atividade, forme dupla com um colega e sigam as instruções. a) Cada um deverá escrever uma senha com três letras e quatro algarismos ou dígitos. b) Justifiquem um para o outro a razão da escolha da senha. Daqui a uma semana, vocês seriam capazes de se lembrar da senha que escolheram? c) Pesquisem e escrevam um pequeno texto sobre o uso de senhas e os cuidados necessários em sua aplicação.

Dígito Qualquer dos algarismos indo-arábicos de 0 a 9.

2 Com o auxílio de uma calculadora, responda às questões a seguir. a) Quantos anos você já viveu? c) Quantos dias? b) Quantos meses? d) Quantas horas? Junte-se a um colega e comparem os resultados obtidos.

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Trabalhando os conhecimentos adquiridos 1

SCULPIES/SHUTTERSTOCK

As três mais importantes pirâmides do Egito são Quéops, Quéfren e Miquerinos, cujas alturas são, respectivamente,  146  metros, 143 metros e 62 metros.

4

Usando os algarismos 8, 1 e 6, escreva, no seu caderno, todos os números possíveis de dois algarismos diferentes.

5

Desenhe, no seu caderno, uma reta numérica e indique os seis primeiros números ímpares.

6

Considere o número natural 1 234. Efetuando todas as trocas possíveis de seus algarismos, pode-se formar certa quantidade de números naturais de quatro algarismos, como, por exemplo, 2 341 e 1 342. Coloque todos esses números em ordem crescente e responda às questões. a) Qual é o primeiro número? b) Qual é o último número? c) Qual é o total de números?

7

Quantos números naturais existem de 135 a 198, incluídos esses números?

8

Quantos números naturais existem de 123 a 987, excluídos esses números?

9

Um artista foi contratado para numerar as 185 páginas de uma coleção de selos postais, recebendo R$ 2,00 por algarismo desenhado. Quanto ele deverá receber pelo trabalho?

Utilizando símbolos egípcios, escreva, no seu caderno, a representação dos números correspondentes à altura de cada pirâmide. 2 JUSTIN SULLIVAN/GETTY IMAGES

Você conhece este homem?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Steve Jobs, o gênio da tecnologia responsável por revolucionar ao menos três segmentos da indústria (computação pessoal, música e telefonia) e inovar outra (animação para filmes), nasceu em 1955 e faleceu em 2011. Escreva no seu caderno, em algarismos romanos, os anos de nascimento e de morte desse grande visionário. 3

Dê o que se pede em cada item. a) sucessor de 25 b) precedente de 1 500 c) antecedente de 95 d) antecedente de 409 e) consecutivo ímpar de 479 f) antecessor de 799

Filatelia é uma coleção de selos postais, do grego Fila (amigos) e Telos (selo).

DESAFIO

Para numerar as páginas de um livro, foram usados 816 algarismos. Determine quantas páginas tem esse livro.

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2 Quantas vezes usamos o algarismo 2 para escrever todos os números de: a) 1 a 50? c) 1 a 200? b) 1 a 100? d) 1 a 300?

2

Quantos algarismos são necessários para numerar as 180 páginas de um livro?

3

Determine o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 57 a 1 130.

4

Escreva, no seu caderno, o número formado por: a) uma dezena de milhar mais cinco centenas mais três unidades; b) sete unidades de milhão mais sete dezenas mais uma unidade.

5

Em 2012 o governo brasileiro recebeu o novo helicóptero francês batizado de VH-36 Caracal, utilizado pela Presidência da República, com capacidade para 13 pessoas, 2 turbinas, autonomia de 857  quilômetros, ao preço de aproximadamente 75 000 000 de reais. ALAN MARQUES/FOLHAPRESS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

6

Leia o texto a seguir.

1

O monte Everest, localizado na cordilheira do Himalaia, no Nepal, é a montanha mais alta do mundo, com 8 848 metros em relação ao nível do mar. O pico da Neblina, localizado na serra do Imeri, no Amazonas, é o ponto mais alto do  Brasil, com 3 014 metros acima do nível do mar.

Agora, responda às questões. a) No número 8 848, qual é o valor posicional: • do algarismo da 3a ordem? • do algarismo da 4a ordem? b) No número 3 014, qual é o valor posicional: • do algarismo da 3a ordem? • do algarismo da 4a ordem? 7

Que número é este? • Está situado entre 300 000 e 400 000. • Seus quatro últimos algarismos são zeros. • A soma dos seus algarismos é 7.

8

Responda às questões abaixo. a) Qual é o 10o mês do ano? b) Qual é o 7o dia da semana?

DESAFIO

Em relação ao número 75 000 000, responda. a) Quantas ordens tem esse número? b) Quantas classes tem esse número? c) Qual é o algarismo que representa a 7a ordem? d) Qual é o valor absoluto do algarismo da 8a ordem? e) Qual é o valor posicional do algarismo 5 nesse número?

Leia atentamente a questão e determine a única alternativa correta. O algarismo das unidades de um número de dois algarismos é m, e o algarismo das dezenas é n. Colocando um algarismo p à direita desse número, obtém-se um novo número, que é: a) 100n 1 100m 1 p b) n 1 m 1 p c) 10n 1 m 1 p d) 1 000n 1 100m 1 p e) 100n 1 10m 1 p

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3 Escreva, no seu caderno, como se leem os números destacados a seguir. a) A região Sudeste do Brasil tem 924 511 quilômetros quadrados de área. b) O Homo sapiens viveu há 160 000 anos.

5

Escreva no seu caderno, com algarismos indo-arábicos, o número dezessete bilhões, cinco milhões e noventa.

6

Determine o valor correspondente a 40 meias centenas.

7

Copie, no seu caderno, os ábacos abaixo e pinte as contas para representar o número sugerido. a) c) 1895

c) Em 2012, a população total do Brasil era de 193 380 000 habitantes. d) Um ano-luz corresponde a 9 460 800 000 000 quilômetros. e) O Guinness Book of Records [Livro dos Recordes] já vendeu mais de 100 000 000 de exemplares. 2

O número 327 940 000 corresponde, em quilômetro, à distância média de Marte ao Sol. Responda às questões. a) Quantas ordens tem esse número? b) Quantas classes tem esse número? c) Qual é o algarismo que representa a ordem das centenas de milhar? d) Qual é o valor posicional do algarismo 7? e) Qual é o valor absoluto do algarismo 4? f) Qual é o algarismo de maior valor posicional?

3

Quantas centenas existem em meio milhão?

4

Escreva, no seu caderno, como se lê o número que aparece na lousa abaixo.

b)

d)

2 009

8

1984

2 010

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Ao lançar um dado cinco vezes, Júlio obteve estes resultados: Lançamento 1o 2o 3o 4o 5o

Número de pontos 1 3 4 6 2

Com os números obtidos e sem repetir nenhum deles, escreva: a) o maior número possível; b) o menor número possível; c) o maior número que tenha o algarismo 1 na ordem das centenas; d) um número maior que 43 200 que tenha 6 como algarismo das unidades.

O robô ao lado recebeu como identificação o número 101001 no sistema binário de numeração. Qual é a representação desse número no sistema decimal?

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CATWALKER/SHUTTERSTOCK

DESAFIO

Conteúdo digital • Atividade interativa 4

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4 (Enem) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critério de desempate o número  de medalhas  de prata seguido do número de  medalhas de bronze conquistadas. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.

1

Classificação

País

8o

Itália Coreia do sul Grã-Bretanha Cuba Ucrânia Hungria

o

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9

10o o

11 12o 13o

(Obmep) Vovô Eduardo comemorou todos os seus aniversários a partir dos 40 anos colocando, no bolo, velinhas em forma de algarismos de 0 a 9 para indicar sua idade. Primeiro ele comprou as velinhas de números 0 e 4. Ele sempre guardou as velinhas para usar nos próximos aniversários, comprando uma nova somente quando não era possível indicar sua idade com as guardadas. Hoje vovô Eduardo tem 85  anos. Quantas velinhas ele comprou até hoje? a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 16

3

Medalhas Medalhas Medalhas Total de de ouro de prata de bronze medalhas 10 11 11 32 9

12

9

30

9

9

12

30

9 9 8

7 5 6

11 9 3

27 23 17

Disponível em: <http://www.quadroademedalhas.com.br.>. Acesso em: 5 abr. 2010 (adaptado).

Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? a) 13o b) 12o c) 11o d) 10o e) 9o 2

(Enem) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de: a) centena b) dezena de milhar c) centena de milhar d) milhão e) centena de milhão

DESAFIO

(Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por "relógio de luz", é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura: MILHAR 1

0

CENTENA

9

2 3

9 8 7

4

5

6

0

1

8 7

1 2 3

6

5

DEZENA

4

0

UNIDADE

9

2 3

9 8 7

4

5

6

0

1

8 7

2 3 6

5

4

Disponível em: <http://www.enersul.com.br.>. Acesso em: 26 abr. 2010.

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é: a) 2 614 c) 2 715 e) 4 162 b) 3 624 d) 3 725

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MateMática coMpreensão e prática

7

º

ano

capítulo 7

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BRUNO VEIGA/TYBA

CAPÍTULO

7

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

É HORA DE OBSERVAR E DISCUTIR O Grande Prêmio Brasil é a principal prova de turfe no país, disputado no Hipódromo da Gávea (RJ), para cavalos da raça puro-sangue inglês. Na fotografia desta página, vemos a largada de uma corrida com vários jóqueis. Quais desses jóqueis podem vencer a prova? Podemos dizer que essa disputa é um experimento aleatório? Por quê?

Experimento aleatório

É um experimento que, mesmo repetido várias vezes sob condições semelhantes, apresenta resultado imprevisível.  O  resultado final depende do acaso.

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TROCANDO IDEIAS Diariamente, tentamos prever acontecimentos que podem interferir de alguma forma em nossa vida. Em alguns casos, essas previsões são meramente intuitivas, mas, em outros casos, podemos calcular matematicamente as chances de um evento ou fenômeno ocorrerem. Esse estudo é chamado de Probabilidade. Observe as situações a seguir e tente responder às questões:

Será menino ou menina?

Será que vai fazer sol amanhã?

A chance de a bolinha cair no recipiente A é maior?

A ciência que tem por objetivo estudar a ocorrência de fenômenos, buscando regras que expliquem sua frequência, é chamada de Estatística. Para esse estudo, a Estatística coleta, organiza, analisa e expõe dados em tabelas e gráficos. Neste capítulo, vamos ampliar nossos conhecimentos sobre Probabilidade e Estatística.

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1 O que é probabilidade? Você já deve ter feito algum experimento cujo resultado conseguiu prever. Veja estes exemplos: • Um objeto lançado para cima atinge uma altura máxima e, depois, inicia um movimento de queda. • Um bloco impulsionado sobre uma superfície plana se desloca e, depois, para. Há também experimentos para os quais não conseguimos prever resultados. Observe: • Ao lançar um dado, que número sairá? No lançamento de um dado, podemos obter 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Ao lançar uma moeda, podemos obter cara ou coroa. Mesmo que esses experimentos sejam repetidos várias vezes, não poderemos prever os resultados. Um experimento cujo resultado é imprevisível chama-se aleatório. Por não podermos prever o resultado de um experimento aleatório, procuramos determinar as chances, ou seja, as probabilidades de determinado resultado ocorrer. A teoria da probabilidade é um ramo da Matemática que estabelece “a chance” de determinado resultado ocorrer em um experimento aleatório.

EXERCÍCIOS 1

2

Indique quais das experiências a seguir são aleatórias. a) Lançar um dado e verificar se o número obtido é ímpar. b) Atirar um ovo ao chão e verificar se ele quebra ou não. c) Tirar uma carta de um baralho completo e verificar qual é o naipe. d) Observar o Sol durante 24 horas para verificar se ele se põe ou não. e) Determinar o número de pessoas que ganharão na loteria. Cite três experiências aleatórias e três não aleatórias.

3

Observe os saquinhos A, B e C. Luís vai tirar uma bola qualquer de um deles. De qual desses saquinhos é mais provável que Luís tire uma bola vermelha? De qual é menos provável? A

4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Ao lançar uma moeda, obteremos cara ou coroa?

B

C

Se retirarmos uma bola do saco ao lado, poderemos afirmar seguramente que ela será verde? Por quê?

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5

Identifique cada item a seguir como certo, provável ou impossível. a) Ao lançar um dado, podemos obter o número 7. b) Não haverá empate na partida de futebol. c) O cigarro prejudica a saúde. d) Ao lançar dois dados, vamos obter dois números diferentes.

6

Observe as roletas e indique qual valor é mais provável de se obter ao girar a flecha. a) c) 1 1 11

b)

2 2 22

44 4 4

3 3 33

77 7 7

88 8 8

10 10 10 10

9 9 99

55 5 5

66 6 6

d)

11 11 11 11 12 12 12 12

13 13 13 13

Conteúdo digital • Vídeo: Probabilidade

Observe a situação a seguir.

EVGENY KARANDAEV/SHUTTERSTOCK

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 Cálculo de probabilidades Um tablet será sorteado entre os 1 000 alunos de um colégio. Há 50 alunos nos terceiros anos e 80 alunos nos sextos anos. Podemos calcular a probabilidade de o ganhador ser do 3o ano e a probabilidade de o ganhador ser do 6o ano. 50 A probabilidade de que o aluno sorteado seja do 3o ano é _____ , 1 000 80 e a probabilidade de que o aluno sorteado seja do 6o ano é _____. 1 000 Probabilidade é um número, dado na forma de fração ou de  porcentagem, que expressa a chance de ocorrência de uma possibilidade em um experimento aleatório.

Tablet é um dispositivo pessoal em formato de prancheta que pode ser usado para acesso à internet, organização pessoal, visualização de fotos, vídeos, leitura de livros, jornais e revistas e para entretenimento com jogos.

Observe a seguir outros exemplos de cálculo de probabilidade. • Qual é a probabilidade de obtermos 5? No lançamento de um dado, os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Como a probabilidade é a mesma de sair qualquer um dos seis resultados possíveis, dizemos que a probabilidade de sair a face 5 é de 1 1 em 6. Ela pode ser expressa pela fração: __ . 6 • Qual é a probabilidade de obtermos um número par?

RUI PERUQUETTI/KINO

Ao lançar um dado:

Nesse caso, há três resultados favoráveis (2, 4 ou 6) entre os seis resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). 3 1 Portanto, a probabilidade é __ 5 __. 6 2 63

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Ao lançar moedas:

BA

Então, nesse caso, temos um resultado favorável (sair a face cara) entre dois resultados possíveis (face cara ou face coroa). 1 O RV A probabilidade é de 1 em 2 e pode ser expressa pela fração __. A CE 2 • Qual é a probabilidade de obtermos duas caras no lançamento de duas moedas?

O NC O CENTRAL D

B

IL

As chances de sair a face cara ou a face coroa são as mesmas.

RA S

• Qual é a probabilidade de obtermos a face cara no lançamento de uma moeda?

No lançamento de duas moedas, os resultados possíveis são: B

A CE

O RV

A CE

O RV

Temos um resultado favorável (obter duas caras) entre quatro resultados possíveis 1 (cara/cara, cara/coroa, coroa/cara, coroa/coroa). Portanto, a probabilidade é __. 4

Ao girarmos a roleta ao lado, qual é a probabilidade de a flecha: a) parar na cor amarela? b) parar na cor verde? c) parar na cor verde ou na amarela?

9

No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de sair uma cara e uma coroa?

10

Qual é a probabilidade de uma bola vermelha ser retirada deste saquinho?

No lançamento do dado tetraédrico (dado de quatro faces, cujo formato lembra uma pirâmide) abaixo, qual é a probabilidade:

a) de obtermos um número par? b) de obtermos um número menor que 4? 12

Qual é a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, sair um “dois”? (Lembre-se de que em um baralho há 4 “dois” — espadas, copas, paus e ouros.) ID

8

11

ANZI/C

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade: a) de sair um número ímpar? b) de sair um número maior que 4? c) de sair o número 8?

PAULO M

7

BILDERBOX/ AGB PHOTO

EXERCÍCIOS

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

coroa

O NC O CENTRAL D

coroa

BA

cara

B

coroa

O NC O CENTRAL D

coroa

BA

cara

IL

cara

RA S

cara

IL

2a moeda

RA S

1a moeda

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3 Estatística A Estatística é o ramo da Matemática que se encarrega de coletar dados sobre determinado assunto, organizá-los e expô-los na forma de tabelas ou gráficos. O objetivo é analisar com detalhes situações diversas, detectar problemas, estudar suas causas e sugerir soluções. Boa parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação provém de pesquisas e estudos estatísticos. Podemos representar os dados estatísticos por meio de gráficos, que constituem um importante instrumento de análise e interpretação de dados. Em assuntos tão variados quanto política, turismo, informática, economia, educação, saúde, esporte e agronomia, as representações gráficas podem facilitar a compreensão de determinados aspectos ou particularidades dos objetos em estudo.

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A seguir, vamos conhecer alguns tipos de gráfico.

Gráfico de segmentos O gráfico de segmentos a seguir apresenta o volume de milho exportado pelo Brasil, em milhões de toneladas, de 2007 a 2012. É possível verificar diversos segmentos ligando os pontos que representam a exportação de milho do Brasil. EXPORTAÇÃO DE MILHO NO BRASIL (volume de janeiro a outubro, em milhões de toneladas) 13,1 8,7 4,2

2007

2008

5,4

2009

7,0

2010

7,7

2011

2012

Fonte: Secex. Extraído de: Folha de S.Paulo, São Paulo, 14 nov. 2012.

Gráfico de colunas Cada coluna do gráfico ao lado representa a porcentagem correspondente às cores preferidas de carro pelo consumidor em 2012; por isso o nome gráfico de colunas.

Fonte: PPG. Disponível em: <carplace.virgula.uol.com.br>. Acesso em: 4 jan. 2013.

CORES PREFERIDAS DE CARROS NO MUNDO EM 2012 (em porcentagem) 22%

20%

19% 12%

Branca

Prata

Preta

18% 9%

Cinza Vermelha Outras

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Gráfico de barras

ÁREA DESMATADA DA MATA ATLÂNTICA ÁREA DESMATADA DA MATA ATLÂNTICA ENTRE 2010 E 2011 ENTRE 2010 E 2011 (em hectare) (em hectare) Minas Gerais Minas Gerais

6339 6339

Bahia Bahia

4493 4493

Mato Grosso do Sul Mato Grosso do Sul

588 588

Santa Catarina Santa Catarina

568 568

Espírito Santo Espírito Santo

364 364

São Paulo São Paulo

216 216

Rio Grande do Sul Rio Grande do Sul

111 111

Rio de Janeiro Rio de Janeiro

Foto de 2010 da Mata Atlântica na zona rural de Nova Palma, RS. Dados do Inpe mostram que só resta 7,9% da cobertura original desse ecossistema no Brasil.

92 92

Paraná 71 Paraná 71 Goiás 33 Goiás 33

Ecossistema

Fonte: Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), Fundação SOS Mata Atlântica. Disponível em: <veja.abril.com.br>. Acesso em: 4 jan. 2013.

É o conjunto formado por todas as comunidades que vivem e interagem em determinada região e pelos fatores ambientais que atuam sobre essas comunidades.

UM POUCO DE HISTÓRIA A história da Estatística A palavra “estatística” vem do latim status. Na Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes e de nascimentos, faziam estimativas das riquezas, distribuíam equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e até realizavam inquéritos quantitativos por meio de processos que, hoje, chamaríamos de “estatísticas”. Na Idade Média, colhiam-se informações, geralmente, com a finalidade de cobrar tributos ou quantificar armas e cavaleiros para a guerra. A partir do século XVI, surgiram as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas,

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GERSON GERLOFF/PULSAR IMAGENS

Cada barra do gráfico abaixo informa a área desmatada em cada um dos estados apresentados; daí o nome gráfico de barras.

tabelas e números relativos. No século XVIII, o estudo desses fatos ganhou, aos poucos, feição verdadeiramente científica. As tabelas se tornaram mais completas, foram criadas as representações gráficas e o cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados numéricos coletivos.

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4 Medidas estatísticas Muitas vezes, em uma pesquisa que envolve vários dados, precisamos sintetizar as informações em um só parâmetro que possa caracterizá-las. Esse parâmetro pode ser a média aritmética, a média ponderada, a mediana ou a moda de uma sequência de dados.

Média aritmética ,0 Alessandra: 8 ,0 6 : ia ar M Ana 0 5, : to er Alb C ássio: 6,5 Daniel: 7,0 Fernanda: 6,2 Tatiana: 9,6 Henrique: 7,6 Igor: 9,4 Manuela: 6,8 Rober ta: 6,2 Samuel: 8,1

Observe a situação a seguir:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Na sala de Roberta, os alunos obtiveram, na primeira prova de Matemática do bimestre, as notas ao lado. Que nota representaria da melhor forma o desempenho da turma de Roberta? A média aritmética de todas as notas obtidas é um parâmetro eficiente para representar o desempenho dessa turma e pode ser obtida deste modo:

8,0 1 6,0 1 5,0 1 6,5 1 7,0 1 6,2 1 9,6 1 7,6 1 9,4 1 6,8 1 6,2 1 8,1 ________________________________________________________ 12

86,4 5 _____ 5 7,2 12

número de alunos

Média aritmética de dois ou mais números é o quociente da soma desses números pelo número de parcelas. Na situação acima, o número 7,2 é a média aritmética dos números 8,0; 6,0; 5,0; 6,5; 7,0; 6,2; 9,6; 7,6; 9,4; 6,8; 6,2 e 8,1, e representa o desempenho médio da turma de Roberta. Observe outro exemplo: • O Brasil mantém uma base permanente de pesquisa na Antártida, a Estação Comandante Ferraz. Em certo dia, foram registradas, nessa estação, a temperatura máxima de 220 °C e a temperatura mínima de 235 °C. Determine a média entre essas temperaturas. 220 1 (235) ___________ 2

Ilhas Rei George

Estação Comandante Ferraz (Brasil)

255 5 227,5 5 ____ 2

A temperatura de 227,5 °C representa a média das duas temperaturas registradas na Estação Comandante Ferraz, nesse dia. 67

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EXERCÍCIOS Calcule a média aritmética dos números. a) 4, 6 e 8 d) 7, 8, 9, 10 e 11 b) 214, 0 e 18 e) 2,4; 3,6; 4 e 6 3 f) 5; 9; 7,4 e 3,2 c) 5 e __ 4 Uma loja de carros vendeu o número de veículos indicado na tabela abaixo.

14

Mês Janeiro Fevereiro Março Abril

Número de veículos 22 14 30 18

15

A tabela abaixo traz dados das quatro últimas partidas de um time de futebol. Partidas Primeira Segunda Terceira Quarta

Público 20 358 3 454 68 112 35 208

Dados obtidos pelo time de futebol.

Calcule a média de público. 16

Dados obtidos pela loja de carros.

Determine o número médio de automóveis vendidos: a) nos dois primeiros meses do ano; b) nos três primeiros meses do ano; c) nesse quadrimestre.

A tabela abaixo indica os números referentes à exportação de suco de laranja, em tonelada, de 2009 a 2013. Ano 2009 2010 2011 2012 2013

Exportação de suco (em tonelada) 959 000 1 045 000 900 000 1 105 000 1 080 000 Dados obtidos pela exportadora.

Determine, em tonelada, a média de exportação de suco nesse período. Conteúdo digital • Atividade interativa 2

Média aritmética ponderada Acompanhe esta situação: • Em uma livraria, trabalham 16 pessoas. São nove no atendimento, quatro nos caixas, uma na gerência e duas no controle de estoque. Observe a distribuição dos salários na tabela abaixo. Setor de trabalho Atendimento Caixa Gerência Controle de estoque

Salário R$ 900,00 R$ 1 000,00 R$ 2 200,00 R$ 950,00

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

13

Número de funcionários 9 4 1 2 Dados obtidos pela livraria.

Qual é a média salarial dos funcionários da livraria? Podemos obter essa média desta forma: salário

número de funcionários

900,00 8 9 1 1 000,00 8 4 1 2 200,00 8 1 1 950,00 8 2 __________________________________________ 9141112

16 200,00 5 _________ 5 1 012,50 16

total de funcionários

Portanto, a média salarial dos funcionários dessa livraria é R$ 1 012,50. Essa média é conhecida como média aritmética ponderada, e o número de vezes em que cada salário se repete é denominado peso. 68

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Média aritmética ponderada de dois ou mais valores é o valor obtido somando os produtos de cada valor pelo seu respectivo peso e dividindo em seguida o resultado pela soma dos pesos. Veja estes exemplos: • Determine a média ponderada de 25, 35, 40 e 50 com pesos 6, 4, 3 e 2, respectivamente. 25 8 6 1 35 8 4 1 40 8 3 1 50 8 2 ________________________ 6141312

510 5 ____ 5 34 15

• Observando a distribuição das idades dos seus alunos, Rita montou a tabela abaixo. Número de alunos

Idade

5

8 anos

8

9 anos

11

10 anos

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dados obtidos por Rita.

Qual é a média de idade dos alunos de Rita? 8 8 5 1 9 8 8 1 10 8 11 _________________ 5 1 8 1 11

222 5 ____ 5 9,25 24

EXERCÍCIOS 17

Em cada item, calcule a média aritmética ponderada dos números com seus respectivos pesos. a) Números 7 5 4 6 Pesos

2

3

4

b) Números 10 8

4 2

8 2

Pesos

1 1

2

6 3

18

Calcule a média ponderada de 2,5; 6 e 7,5, com pesos 4, 2 e 4, respectivamente.

19

O departamento de esportes de um colégio comprou seis bolas de futebol, dez bolas de basquete e nove bolas de vôlei. Observe os preços indicados na tabela abaixo e determine o preço médio de uma bola nessa compra. Bola Vôlei Basquete Futebol

20

Preço R$ 45,00 R$ 70,00 R$ 60,00

Dados obtidos pelo departamento de esportes.

21

Observe o quadro abaixo e descubra a nota mínima que Diego deve tirar no quarto bimestre para atingir média final igual a 5,0. Bimestre

Peso

Nota

Primeiro

1

6,0

Segundo

2

4,5

Terceiro

3

3,0

Quarto

4

Com o auxílio de uma calculadora, calcule a média ponderada da altura de um grupo de 40 alunos indicado na tabela abaixo. Altura (em metro)

Número de alunos

1,51

2

1,56

5

1,61

11

1,66

14

1,71

5

1,76

3

69

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ANDRÉ CHACO/FOTOARENA/ FOLHAPRESS

Mediana Acompanhe a situação a seguir. • Os 11 jogadores titulares do time do Corinthians, de São Paulo, que conquistou o Mundial de Clubes, em 2012, tinham, na época, estas idades: 28

31

24

29

27

25

33

30

33

34

28

Colocando esses dados em ordem crescente, temos: 24

25

27

28

28

29

30

O Corinthians sagrou-se campeão do Mundial de Clubes, no Japão, em 2012, ao vencer o Chelsea, da Inglaterra.

31

33

33

34

5 dados

5 dados mediana

Mediana é o valor que ocupa exatamente o meio de uma série, quando seus valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. Mas, se a distribuição tiver um número par de dados, haverá dois valores centrais. Nesse caso, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. Por exemplo: 20

22

22

3 dados

24

26

28

28

30

3 dados

24 1 26 mediana 5 _______ 5 25 2

Observe que, nesse caso, a mediana não é um elemento da distribuição.

Moda

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O valor central da distribuição acima é 29 e é chamado de mediana.

Acompanhe a situação a seguir. • Os amigos de Rui têm estas idades:

12

11

12

11

13

11

11

12

13

13

14

12

13

12

15

12

12

11

14

12

11

12

12

14

Contando o número de amigos que têm 11, 12, 13, 14 e 15 anos, obtemos a tabela ao lado.

Idade

Número de alunos

Observe que 12 é a idade que aparece o maior número de vezes. Dizemos que 12 é a moda dessa série de números.

11

6

12

10

13

4

14

3

15

1

Moda é o valor que mais se repete em uma série estatística.

Dados obtidos por Rui.

70

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Observação

O conjunto de valores de certo número de dados pode ter uma só moda, duas modas, três modas etc., ou não ter nenhuma moda (série amodal). Observe os exemplos no quadro ao lado.

Dados 1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Moda(s) 3 2e4 não tem

1 moda 2 modas amodal

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

EXERCÍCIOS 22

Determine a mediana e a moda das sequências abaixo. a) 2, 2, 5, 7, 9, 11, 13 d) 2, 2, 3, 4, 10, 10, 17, 10, 15 b) 10, 15, 17, 18, 20, 25, 25, 31 e) 4, 5, 10, 25, 5 c) 8, 15, 1, 1, 4, 8, 9, 16, 12, 8, 5 f ) 18, 57, 18, 30, 42, 30

23

As notas abaixo foram obtidas pelos alunos de uma turma, na primeira prova de Matemática do bimestre. Calcule a média e determine a mediana e a moda dessa sequência de notas.

0,0 0,3 0,7 1,0 24

Prova de Matemática 1a etapa – Notas dos 32 alunos do 7o ano 1,0 2,3 3,7 5,3 5,7 7,7 1,3 2,7 3,7 5,7 6,8 8,3 1,7 3,6 5,0 5,7 7,0 8,7 2,0 3,7 5,3 5,7 7,7 8,7

Observe o gráfico de colunas ao lado e responda às questões. a) Qual é a classificação mundial do Brasil em faturamento com a venda de livros? b) Aproximadamente, quantas vezes os Estados Unidos da América faturaram mais que o Brasil na venda de livros em 2012? Fonte: International Publishers Association (IPA). Disponível em: <publishnews. wordpress.com>. Acesso em: 12 ago. 2013.

31000 31000

RANKING DE FATURAMENTO COM VENDAS DE AO FATURAMENTO COM RANKING DE LIVRO CONSUMIDOR EM VENDAS 2012 DE LIVRO AO CONSUMIDOR EM 2012 (No varejo, em milhões de euros) (No varejo, em milhões de euros)

10602 9734 10602 9734

EUA EUA

9,3 9,7 10,0 10,0

7129 7129

4587 4587

4080 4080

China Alemanha Japão França Reino China Alemanha Japão França Unido Reino Unido

3417 3417

2890 2890 Itália Espanha Itália Espanha

2 546 2 546 Brasil Brasil

2 500 2 500 Índia Índia

Trabalhando em equipe Forme dupla com um colega e resolvam a questão a seguir. Uma escola tem 1 000 alunos. O 1o ano tem 55 alunos e o 2o ano, 65. Se houver um sorteio entre todos os alunos da escola, qual será a probabilidade de: a) um aluno do 1o ano ser sorteado? c) um aluno do 1o ou do 2o ano ser sorteado? o b) um aluno do 2 ano ser sorteado? d) um aluno do 2o ano não ser sorteado?

71

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Trabalhando os conhecimentos adquiridos 1

Márcia construiu a máquina abaixo.

a) Se ela introduzir uma bolinha na máquina, em que recipiente é mais provável que a bolinha caia? Por quê? b) Qual é a probabilidade de uma bolinha cair no recipiente C? 2

3

De uma urna com seis bolas azuis, cinco verdes, quatro amarelas, três roxas e duas laranjas sacamos, aleatoriamente, uma bola. Qual é a probabilidade de que saia uma bola azul? E laranja?

4

Ao lançar três moedas, qual é a probabilidade de obtermos três caras?

5

Ao girar a seta da roleta abaixo, qual é a probabilidade de parar na cor rosa? E nas cores verde, azul ou laranja?

6

Se lançarmos dois dados e adicionarmos os resultados encontrados, que número será mais fácil obter: 11 ou 12? Por quê?

Em um saco há 25 bolas numeradas  de 1  a  25. Retirando ao acaso uma bola do saco:

10 11 23 1 24 19 21 16 20 12 5 15 4 6 25 17 7 2 14 8 18 9 22 13 3

a) é mais provável que saia um número ímpar ou um número par? b) qual é a probabilidade de sair um número par?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

28

DESAFIO

Em um baralho há 52 cartas, sendo 13  cartas de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas). Ao retirar uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de se obter: a) um ouro? b) um rei?

72

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29 1

Observe o gráfico abaixo e responda às questões. DAS MAIORES ECONOMIAS DO MUNDO EM 2012 (PIB em bilhões de dólares) 15684

8227 5963

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

EUA

China

3400

2608

Japão Alemanha França

Preço

Número de ingressos 62 000

Reino Unido

Brasil

Cadeiras superiores

R$ 90,00

9 000

Cadeiras inferiores

R$ 60,00

5 000

Preço R$ 1 200,00 R$ 1 500,00 R$ 1 800,00

Tonico resolveu determinar a média aritmética das massas de Tuco (o elefante) e Bimbo (o cavalo). Quanto obteve?

kg

Local

R$ 45,00

Determine o preço médio de um aparelho nessa compra. 3

Em um jogo do Campeonato Paulista de Futebol no estádio do Morumbi, foram vendidos 76 000 ingressos. Os preços variavam de acordo com o quadro abaixo.

Arquibancadas

Uma empresa comprou 40 telefones celulares para seus executivos, de acordo com o quadro abaixo. Quantidade 20 10 10

5

2395

a) Qual é a posição do Brasil entre as maiores economias mundiais em 2012? b) Em quantos bilhões de dólares o Brasil deveria superar o Reino Unido no ano seguinte para ultrapassá-lo?

Aparelho Tipo A Tipo B Tipo C

Determine a mediana e a moda da sequência: 5, 11, 15, 8, 7, 15, 20, 12

2440

Dados obtidos em: <www.terra.com.br>. Acesso em: 12 ago. 2013.

2

4

Qual foi o preço médio do ingresso nesse jogo?

DESAFIO

Perguntou-se a 40 estudantes do Ensino Médio de uma escola qual era o curso superior de sua preferência. Observe a seguir o quadro com as respostas. Direito

6

Engenharia

3

Medicina

4

Psicologia

6

Letras

8

Informática

6

Outros cursos

7

a) Represente, no caderno, esses resultados em um gráfico de barras. b) Qual é a moda? c) Qual é a porcentagem correspondente a cada um dos cursos? kg

Conteúdo digital • Atividade interativa 4

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73

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30 (Enem) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5a nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10a, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007. Investimentos bilaterais (em milhões de dólares) Ano

Brasil na França França no Brasil

2003

367

825

2004

357

485

2005

354

1 458

2006

539

744

2007

280

1 214

Disponível em: <www.cartacapital.com.br>. Acesso em: 7 jul. 2009.

Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor: a) inferior a 300 milhões de dólares. b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. e) superior a 600 milhões de dólares. 2

(Enem) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe: a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. DESAFIO

(Enem) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas. Produção Emissão de dióxido de carbono (em toneladas) (em partes por milhão – ppm) 1,1

2,14

1,2

2,30

1,3

2,46

1,4

2,64

1,5

2,83

1,6

3,03

1,7

3,25

1,8

3,48

1,9

3,73

2,0

4,00

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Fonte: Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: <www.gov.br>. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é: a) inferior a 0,18. b) superior a 0,18 e inferior a 0,50. c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. d) superior a 1,50 e inferior a 2,80. e) superior a 2,80.

74

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31 1

(Enem) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados. RANKING DO DESMATAMENTO (em km2)

2 c) __ 5

8º Tocantins 136

6º Acre

326

766

4º Amazonas

797

3º Rondônia Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 d) __7

549

5º Maranhão

a) __31 1 b) __ 5

9º Amapá 4

7º Roraima

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é:

5 e) ___ 14 3463

2º Pará

7293

1º Mato Grosso

10 416

Disponível em: <www.folhaonline.com.br>. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).

Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre: a) 100 km2 e 900 km2. b) 1 000 km2 e 2 700 km2. c) 2 800 km2 e 3 200 km2. d) 3 300 km2 e 4 000 km2. e) 4 100 km2 e 5 800 km2.

DESAFIO

(Enem) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. QUANTIDADE DE GOLS DOS ARTILHEIROS DAS COPAS DO MUNDO Gols 14 12 10 8 6

2

(Enem) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Tamanho dos calçados

Número de funcionárias

39,0

1

38,0

10

37,0

3

36,0

5

35,0

6

4 2 0 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Ano

Disponível em: <http://www.suapesquisa.com>. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7 gols d) 7,3 gols e) 8,5 gols

75

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32 (Enem) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Gols marcados Quantidades de partidas 0 5 1 3 2 4 3 3 4 2 5 2 7 1

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então: a) X 5 Y , Z d) Z , X , Y b) Z , X 5 Y e) Z , Y , X c) Y , Z , X 2

(Enem) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: Dia do mês 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Temperatura (em °C) 15,5 14 13,5 18 19,5 20 13,5 13,5 18 20 18,5 13,5 21,5 20 16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a: a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C 3

(Enem) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:

Região Norte Nordeste Centro-Oeste Sudeste Sul

2005 2% 18% 5% 55% 21%

2006 2% 19% 6% 61% 12%

2007 2008 2009 1% 2% 1% 21% 15% 19% 7% 8% 9% 58% 66% 60% 13% 9% 11%

Disponível em: <http://www.obmep.org.br>. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro na região Nordeste? a) 14,6% c) 18,4% e) 21,0% b) 18,2% d) 19,0% DESAFIO

(Enem) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o Caged, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

BRASIL - COMPORTAMENTO DO EMPREGO FORMAL NO PERÍODO DE JANEIRO A OUTUBRO DE 2010 – CAGED 400 000 266 415

300 000 200 000

Jan.

Fev.

Mar.

299 415

298 041 212 952

209 425

100 000 0

305 068

181 419

Abr. Maio Jun.

246 875 181 796 Jul.

Ago.

Set.

204 804

Out.

Disponível em: <www.mte.gov.br>. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado).

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é: a) 212 952 c) 240 621 e) 298 041 b) 229 913 d) 255 496

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33 1

(Enem) Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização "deve mudar", no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Campanha de vacinação contra gripe suína Datas da vacinação

Público-alvo

8 a 19 de março 22 de março a 2 de abril 5 a 23 de abril 24 de abril a 7 de maio 10 a 21 de maio

Trabalhadores da saúde e indígenas Portadores de doenças crônicas Adultos saudáveis entre 20 e 29 anos População com mais de 60 anos Adultos saudáveis entre 30 e 39 anos

Quantidade de pessoas vacinadas 42 22 56 30 50

Disponível em: <http://img.terra.com.br>. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é: a) 8% b) 9% c) 11% d) 12% e) 22% 2

(Enem) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.

2011 2010 2009 (em milhares (em milhares (em milhares de reais) de reais) de reais) Alfinetes V 200 220 240 Balas W 200 230 200 Chocolates X 250 210 215 Pizzaria Y 230 230 230 Tecelagem Z 160 210 245 ME

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula

a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são: a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfinetes V. d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V. DESAFIO

(Enem) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida). O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é: a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5  possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.

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MateMática coMpreensão e prática

8

º

ano

capítulo 9

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CAPÍTULO

9

POLÍGONOS

JONAS LINDSTRÖM/TRÄULLIT DEKOR

Peças hexagonais coloridas utilizadas como revestimento de parede.

É HORA DE OBSERVAR E DISCUTIR Um estúdio sueco criou um novo tipo de revestimento de parede, em forma de hexágono, que absorve ruídos. É feito de sobras de madeira, cimento e água. Observe atentamente a fotografia e responda: Que tipo de polígono é utilizado nesse revestimento? Existem outros polígonos utilizados em revestimentos de pisos e paredes porque se encaixam perfeitamente. Você poderia citar alguns deles?

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TROCANDO IDEIAS Neste capítulo, vamos ampliar o estudo das figuras geométricas planas, em especial, dos polígonos. A palavra polígono vem da palavra grega polygónón, em que poli significa “vários” e gonos quer dizer “ângulos“.

STUDIOSMART/SHUTTERSTOCK

Observe a foto abaixo.

Em uma colmeia, a abelha rainha deposita um ovo em cada alvéolo — local onde todo o desenvolvimento ocorre, até o surgimento de uma abelha adulta. O  alvéolo também é utilizado pelas abelhas para deposição de alimento (mel e pólen). Responda: Podemos dizer que a entrada da cavidade de um alvéolo tem a forma de que tipo de polígono? Conteúdo digital • Vídeo: Composição de polígonos

Quantos lados e quantos ângulos internos tem esse polígono?

81

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1 Polígonos Linha poligonal é uma figura plana formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares, dois a dois. Uma linha poligonal pode ser classificada em: Aberta ou fechada

Simples ou não simples

aberta

fechada

simples (os segmentos não se cruzam)

não simples (os segmentos cruzam-se)

Um polígono divide o plano em que se situa em duas regiões (a interna e a externa), sem pontos comuns. Exemplos

α

α região

região interna

interna

região externa

região externa

Observação

Neste livro, os polígonos serão representados com sua região interna.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Polígono é uma linha poligonal fechada simples.

Polígono convexo e polígono côncavo Se unirmos dois pontos quaisquer da região interna de um polígono e obtivermos um segmento integralmente contido nessa região, o polígono será convexo. Veja alguns exemplos: B

A

B

A

B

A

Caso contrário, o polígono será côncavo. Por exemplo:

A

B

A A B

B

82

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Observações

1 Quando não houver especificação do tipo, o polígono considerado é convexo. 2 Os polígonos que possuem todos os ângulos de mesma medida e todos os lados congruentes são chamados de polígonos regulares.

Perímetro de um polígono Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos lados de um polígono. É indicado por 2p. Exemplo

5

2p 5 3 1 4 1 5

3

2p 5 12 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4

O perímetro do triângulo é 12.

EXERCÍCIOS 1

O que é linha poligonal? Responda no caderno.

2

Observe as figuras e classifique-as em: 1. linha poligonal aberta simples; 2. linha poligonal aberta não simples; 3. linha poligonal fechada simples; 4. linha poligonal fechada não simples. a)

b)

4

b)

e)

c)

f)

d)

e) 5

c)

Entre as figuras abaixo, determine os polígonos. d) a)

f)

Classifique cada polígono em convexo ou côncavo. a) c)

b) 3

d)

Como podemos definir polígono? Responda no caderno.

83

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2 Elementos e classificação dos polígonos

Elementos de um polígono Lados — segmentos de reta que formam o polígono. ___ ___ ___ ___ ___

AB , BC , CD, DE , EA

Vértices — pontos de encontro de dois lados consecutivos. Diagonais — segmentos que unem dois vértices não consecutivos. ___ ___ ___ ___ ___

AC , AD, BD, BE , CE

^ b1

a^

E

^ d D

B

^ b

e^

e^1

A, B, C, D, E

A

a^1

^ d1

c^1

c^ C

Ângulos internos — ângulos formados por dois lados consecutivos.  a,  b, c,  d,  e

Ângulos externos — ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo.

Classificação dos polígonos

 a1,  b1, c1,  d1,  e1

Um polígono é classificado de acordo com o número de lados, que é igual ao número de ângulos. Observe o nome dos principais polígonos: Número de lados

Nome

3

Triângulo

4

Quadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Undecágono

12

Dodecágono

15

Pentadecágono

20

Icoságono

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Podemos identificar os seguintes elementos em um polígono:

Alguns polígonos não têm nomes especiais. Assim, dizemos: polígono de 14 lados, polígono de 23 lados etc. 84

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EXERCÍCIOS 6

8

Com uma régua, construa no caderno estes polígonos: a) pentágono ABCDE; b) octógono ABCDEFGH; c) quadrilátero ABCD.

9

Determine o perímetro de um hexágono regular com 12 cm de lado.

Observe a figura e responda às questões.

10

a) Quais são os ân^ A E e gulos internos do ^ a ^ ^ A E d^ polígono? ^ ^ D B B b) Quais são os ân- D ^ ^ C b gulos externos do ^ c C polígono?

Um polígono é eneágono. Responda: a) Quantos são os seus ângulos internos? b) Quantos são os seus vértices?

11

O ângulo formado por dois lados consecutivos de um octógono tem 135w. Qual é a soma de todos os ângulos internos desse octógono, sendo todos eles congruentes?

Nas figuras a seguir, nomeie o polígono e represente seus lados, vértices e diagonais. b) a) A B A

D

C

F

B

E

C D

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

7

Conteúdo digital • Atividade interativa 1

3 Diagonais de um polígono O segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono denomina-se diagonal. Veja os exemplos. A F

B ___ ___

___

A partir do vértice A, foram traçadas as diagonais AC , AD e AE . E

C D

Observe o número de diagonais traçadas a partir de um dos vértices dos polígonos convexos abaixo. A AA

D DD

A AA E EE

C CC

B BB

quatro lados e uma diagonal

F FF

A AA

D DD

B BB C CC

cinco lados e duas diagonais

A AA

E EE D DD

B BB C CC

seis lados e três diagonais

G GG

B BB

F FF

C CC E EE

D DD

sete lados e quatro diagonais

85

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Podemos notar que o número de diagonais traçadas a partir de um dos vértices é três unidades menor que o número de lados. Assim, se um polígono tem n lados, podemos traçar (n 2 3) diagonais por um vértice. Como o polígono possui n vértices, podemos traçar n 8 (n 2 3) diagonais por todos os vértices. ___

___

Como ele tem diagonais com extremidades em dois vértices (AD e DA, por exemplo), cada diagonal seria contada duas vezes. Logo, para determinar o número de diagonais (d ) de um polígono de n lados, podemos utilizar a fórmula: n(n 2 3) d 5 _______ 2 Observe os exemplos. Solução n 5 10 10 8 (10 2 3) d 5 __________ 5 35 2 Logo, o decágono possui 35 diagonais. • Determine o número de lados de um polígono que tem 20 diagonais. Solução n 8 (n 2 3) d 5 ________ 2 n 8 (n 2 3) 20 5 ________ 2 n2 2 3n 5 40

A H

B

G

n2 2 3n 2 40 5 0 (n 1 5) 8 (n 2 8) 5 0

C

F

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Determine o número de diagonais de um decágono.

D

Assim:

E

• n 1 5 5 0 ] n 5 2 5 (Não é solução, pois n deve ser um número natural.) • n2850 ] n58 Logo, o polígono é um octógono. Observação

Em um polígono regular, de número de lados (n) par, o número de diagonais que passam n pelo seu centro corresponde a __. 2

F

A

E

B

D

C

Em um hexágono, três diagonais passam pelo seu centro.

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EXERCÍCIOS

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

12

Determine o número de diagonais de um polígono convexo de: a) 5 lados; b) 9 lados; c) 15 lados; d) 20 lados.

13

Quantas diagonais tem o dodecágono?

14

Qual é o polígono que tem o número de diagonais igual ao número de lados?

15

Em um polígono, o número de diagonais é igual ao quádruplo do número de lados. Quantos lados tem o polígono?

16

Quantas diagonais tem o undecágono?

17

Qual é o polígono que tem 90 diagonais?

18

Quantos lados tem um polígono de 65 diagonais?

19

Quantas diagonais passam pelo centro de um dodecágono regular?

4 Ângulos internos e ângulos externos de um polígono

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono Observe o triângulo ABC, cujos ângulos internos medem a, b e c. ___

Traçamos uma reta s, paralela ao lado AB , passando pelo vértice C. C c2

a

c

s

c1

b

A

B

Nessa figura, podemos notar que: 1

c1 5 b

os ângulos são alternos internos

2

c2 5 a

os ângulos são alternos internos

3

c2 1 c1 1 c 5 180°

Substituindo 1 e 2 em 3 , temos: a 1 b 1 c 5 180° Então: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. 87

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Agora, observe as figuras abaixo, em que cada polígono foi decomposto em triângulos: A

F

A

A

4

E

B

1

3

E

1

1

2

C

5 lados e 3 triângulos

3

E

D

C

6 lados e 4 triângulos

B

5 2

F

2

D

G

B

3

4

C D

7 lados e 5 triângulos

Si 5 (n 2 2) 8 180° Observe os exemplos. • A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 900°. Qual é esse polígono?

• Determine a soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono.

Solução Si 5 900°

Solução n56 Si 5 (n 2 2) 8 180° Si 5 (6 2 2) 8 180° Si 5 4 8 180° Si 5 720° Logo, a soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é 720°.

Si 5 (n 2 2) 8 180° (n 2 2) 8 180° 5 900° 900° (n 2 2) 5 _____ 180° n2255 ]n57 Logo, o polígono é um heptágono.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Note que o número de triângulos é duas unidades menor que o número de lados. Como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é 180°, podemos afirmar que a soma das medidas dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados corresponde a:

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono Verifique que cada ângulo interno e o seu externo correspondente são adjacentes suplementares. Logo: a 1 a1 5 180° b 1 b1 5 180° c 1 c1 5 180° d 1 d1 5 180° e 1 e1 5 180° f 1 f1 5 180°

a1

A

B b1

b

a f1 F

c

f

C c1

d

e

e1 E

d1

D

88

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Efetuando a soma de todos os ângulos, temos: a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 a1 1 b1 1 c1 1 d1 1 e1 1 f1 5 n 8 180° soma das medidas dos ângulos internos (Si)

número de lados (no exemplo, n 5 6)

soma das medidas dos ângulos externos (Se)

Si 1 Se 5 n 8 180° Como Si 5 (n 2 2) 8 180°, temos: (n 2 2) 8 180° 1 Se 5 n 8 180° 180° 8 n 2 360° 1 Se 5 180° 8 n Se 5 180° 8 n 2 180° 8 n 1 360° Se 5 360° Assim:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Em qualquer polígono, a soma das medidas dos ângulos externos é 360º.

Curiosidade Curiosidade Soma das medidas dos ângulos externos Em uma folha de papel, desenhe um polígono ABCDE e indique seus ângulos externos  a1,  b1, c1,  d1 e  e1. Em seguida, recorte cada um dos ângulos, como na figura abaixo, e procure juntá-los em torno de um dos vértices, de modo que se tornem adjacentes dois a dois. A

E e^ D 1

C ^ d1

c^1 C

a^1

^ d1

^ b1

a^1

B

A

E

^ B b1 c^1

a^1

^ b1

e^1

D

c^1 e^1

^ d1

Observe que a soma das medidas dos seus ângulos externos é 360°.

Medida do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular Um polígono regular possui lados e ângulos congruentes entre si. Assim, em um polígono regular de n lados, representando a medida do ângulo interno por ai e a medida do ângulo externo por ae , temos: Si (n 2 2) 8 180° ___________ ai 5 __ n ou ai 5 n

Se 360° _____ ae 5 __ n ou ae 5 n 89

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Observe os exemplos. • Determine a medida do ângulo interno e a do ângulo externo do decágono regular. Solução Si ai 5 __ n (n 2 2) 8 180° ai 5 ___________ n (10 2 2) 8 180° ai 5 ____________ 5 144° 10 S 360° e _____ ae 5 __ n 5 10 5 36° Logo, a medida do ângulo interno é 144°, e a medida do ângulo externo é 36°. • Determine quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo interno mede 108°. Solução

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(n 2 2) 8 180° ai 5 ___________ n

(n 2 2) 8 180° 108° 5 ___________ n 108° 8 n 5 180° 8 n 2 360° 272° 8 n 5 2360° 72° 8 n 5 360° 360° n 5 _____ 5 5 72° Logo, o polígono tem 5 lados.

EXERCÍCIOS 20

Determine a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos abaixo. a) quadrilátero c) undecágono b) eneágono d) icoságono

21

Indique o nome dos polígonos cuja soma das medidas dos ângulos internos é: a) 1 080° c) 2 340° b) 1 980° d) 1 800°

22

Calcule o valor de x nas figuras abaixo. a) b) xx

Determine as medidas dos ângulos internos e externos dos polígonos abaixo. a) quadrilátero regular b) octógono regular c) eneágono regular d) icoságono regular

24

Determine o polígono que tem as medidas dos ângulos internos e externos iguais.

25

Em um polígono regular, a medida do ângulo externo é 40°. Quantos lados tem o polígono?

26

Em um polígono regular, ai 2 ae 5 60°. Qual é esse polígono?

xx

105° 105° 65° 65° xx

23

xx

xx xx

xx

90

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5 Ângulo central de um polígono regular

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Denominamos ângulo central de um polígono regular aquele cujo vértice é o centro da circunferência e cujos lados passam por dois vértices consecutivos do polígono. Observe: A

E

B

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O

ac é o ângulo central do pentágono regular ABCDE.

ac D

C

Sendo O o centro de um polígono regular, a soma das medidas de todos os ângulos centrais (Sc ) é 360° (uma volta completa). A

E

B

O

Sc 5 360°

ac D

C

Logo, em um polígono de n lados, a medida do ângulo central é: 360° ac 5 _____ n

EXERCÍCIO 27

Determine o valor do ângulo central de um: a) hexágono; b) decágono;

c) dodecágono;

d) icoságono.

91

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6 Simetria axial e central Simetria axial Reconhecemos a simetria axial pela presença de um eixo de simetria.

Axial Palavra derivada de axis, termo latino que significa “eixo”.

Vamos representar esse eixo pela reta r. Podemos determinar, em relação a esse eixo, a figura simétrica de um ponto, de um segmento de reta, de uma reta ou de uma figura plana.

Simetria de um segmento de reta

Dois pontos distintos A e A’ são simétricos em relação___ a uma reta r se esta divide o segmento AA’ perpendicularmente no seu ponto médio. A

A

r

B

N

r

M B’

A‘ é o ponto simétrico de A em relação à reta r.

M

A’

___

A’

____

A‘B‘ é o segmento___ de reta simétrico de AB em relação à reta r.

___

___

___

___

AM & A’M

___

BN & B’N

AM & A’M

Simetria de uma reta

Simetria de um círculo

Os pontos A, B e C estão alinhados, assim como seus simétricos A’, B’ e C’.

A O

A

B

C

N B’

___

A‘B‘ é a reta simétrica ___ de AB em relação à reta r.

A’ ___

___

___

___

AM & A’M BN & B’N

r

r

C’ M

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Simetria de um ponto

M

O’

N

A’

Os centros O e O‘ são simétricos, e os círculos têm o mesmo raio.

___

____

___

___

___

____

OM & O’M AN & A’N OA & O’A’

92

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Simetria de um polígono B

C

A D

M

O

O polígono A‘B‘C‘D‘E‘ é simétrico ao polígono ABCDE em relação à reta r.

D’

E’ C’

___

___

___

___

___

___

___

DP & D’P

EN & E’N

ABCDE & A’B’C’D’E’

B’

Curiosidade Curiosidade Uma imagem simétrica A superfície do lago funciona como um eixo de simetria ou eixo de reflexão. Observe que a imagem refletida tem a mesma forma e tamanho que a original, mas está invertida em relação a ela.

SERJIO74/ SHUTTERSTOCK

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A’

___

CQ & C’Q

Q

P

___

BO & B’O

E N

___

AM & A’M

r

eixo de reflexão

Simetria central A’ A

A simetria central é uma simetria de rotação de 180° em relação a um ponto. Duas figuras são simétricas em relação a um ponto se ficam superpostas após um giro de meia-volta em torno desse ponto.

O

A

O ponto O é o centro de simetria.

Simetria de um ponto O simétrico____ de um ponto M em relação a um ponto O é o ponto M ’ tal que O é o ponto médio do segmento MM' . M’

M

___

____

MO & M ’O O

M ’ é simétrico de M em relação ao ponto O.

93

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Simetria de um segmento de reta B A ____

A‘B‘ é o segmento ___ de reta simétrico a AB em relação ao ponto O.

O

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

AB & A’B’ AB // A’B’

A’ B’

Simetria de uma reta B

AO & A’O

O

s

BO & B’O CO & C’O

AB // A’B’

A’

B’

C’

A reta s é simétrica à reta r em relação ao ponto O.

Simetria de um círculo A C’ C

O A’

Os centros C e C‘ são simétricos em relação ao ponto O, e os círculos têm o mesmo raio.

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

___

CO & C’O

AO & A’O

Simetria de um polígono A E D

AO & A’O

B

BO & B’O O

C D’

C’

CO & C’O

DO & D’O EO & E’O

E’ B’

O polígono A‘B‘C‘D‘E‘ é simétrico ao polígono ABCDE em relação ao ponto O.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

r

C

A’

ABCDE & A’B’C’D’E’

A rotação preserva a forma e o tamanho do polígono. Assim, a imagem obtida pela rotação é um polígono congruente ao polígono original.

Trabalhando em equipe Forme dupla com um colega e tentem desenhar, em uma folha de papel, um octógono interno a uma circunferência de 4 cm de raio. Utilizem um transferidor e os conhecimentos sobre ângulo central.

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Trabalhando os conhecimentos adquiridos 34 1

Qual é o polígono que não tem diagonais?

2

Observe o polígono e, em seguida, determine: a^1 D

c^

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

C

Três polígonos convexos têm, respectivamente, n, n 1 1 e n 1 2 lados. A soma das medidas dos ângulos internos desses polígonos é 2 700°. Calcule n.

9

Quantos lados tem o polígono cujo número de diagonais excede em 42 o número de lados?

10

Determine o valor do ângulo a, sabendo que ABCDEF é um hexágono regular.

a^

^ d

^ d1

A

8

^ b1

^ b

A

B

c^1

a) b) c) d) e)

3

seus lados; seus vértices; os ângulos internos; os ângulos externos; o valor da soma das medidas dos ângulos a e a 1; f) o valor da soma das medidas dos ângulos  be b 1.

C

F

E 11

e

d

4

Determine, em centímetro, o perímetro do dodecágono regular cujo lado mede 80 m.

5

Determine o polígono no qual podemos traçar 12 diagonais a partir do mesmo vértice.

6

Calcule a medida do ângulo externo de um icoságono regular.

7

A razão entre as medidas dos ângulos ex__1 terno e interno de um polígono regular é 4 . Quantos lados tem esse polígono?

a

2m 36º 2m 2m

c

a

D

A figura abaixo descreve o movimento de um robô.

Na figura, calcule a soma das medidas dos cinco ângulos indicados pelas letras  a,  b, c,  d, e. b

B

36º

A

Partindo de A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 36° para a esquerda, até retornar ao ponto A, fechando a trajetória. Responda: a) Qual é o polígono regular que essa trajetória limita? b) Quantos metros esse robô caminhou na trajetória toda? DESAFIO

Quantos lados tem o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos, dos ângulos externos e dos ângulos centrais é 1 260°?

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1

Determine a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono.

2

Calcule quantas diagonais distintas podemos traçar no polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1 260°.

3

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é igual à soma das medidas de 12 ângulos retos. Calcule n.

4

O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. Determine a medida do ângulo interno do polígono que tem a medida do ângulo central menor.

5

9

A razão entre as medidas dos ângulos inter__3 nos de dois polígonos regulares é 4 , e um tem o dobro de lados do outro. Determine os polígonos.

10

Qual é o polígono regular em que de cada vértice partem cinco diagonais?

11

Quantos lados tem o polígono convexo em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quíntuplo da soma das medidas dos ângulos externos?

12

A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos é 26, e o primeiro tem quatro lados a mais que o segundo. Determine os polígonos.

13

Temos, na figura, parte de um polígono regular. Que polígono é esse? Qual é a soma das medidas dos seus ângulos internos?

Qual é o polígono regular convexo em que __7 a medida do ângulo interno é 2 da medida do seu ângulo externo?

162°

6

Na figura, ABCDE é um pentágono regular. Determine x e y.

162°

14

A

B

Qual é o polígono em que o número de diagonais distintas excede em 12 o número de lados?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

35

x E

y

C D

7

Qual é o polígono regular cuja medida do ___ 1 ângulo externo é 24 da soma das medidas dos ângulos internos?

DESAFIO

Calcule a medida do ângulo  y forma___ do ____ pelo prolongamento dos lados AB e DC de um pentágono regular ABCDE. Determine também a medida de x. D

C

E

x 8

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é 2 340°. Determine n.

x A

B

y

F

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36 1

2

Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo externo mede 15°?

3

Qual é a medida do ângulo interno de um polígono regular convexo cujo número de diagonais é igual ao número de lados?

4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 1 260°. Determine a medida do ângulo externo.

A medida do ângulo interno de um polígono regular convexo é o triplo da medida de seu ângulo externo. Quantos lados tem o polígono?

5

Quantas diagonais tem o polígono regular convexo no qual a diferença entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo é 36°?

6

Qual é a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 5 diagonais?

7

A razão entre as medidas dos ângulos externos de dois polígonos regulares convexos é 3, e a razão entre as medidas dos __3 seus ângulos internos é 5. Quantos lados tem cada um dos polígonos?

8

9

Qual é a medida do ângulo interno do polígono regular que tem 35 diagonais? Determine o polígono regular em que a me__ 4 dida do ângulo interno é igual a 3 da medida de um ângulo reto.

11

Determine o polígono cujo número de diagonais é seis vezes o número de lados.

12

Determine o valor de a, sabendo que os polígonos da figura abaixo são regulares.

a

13

Usando a calculadora, determine o número de diagonais de um polígono convexo de: a) 28 lados; b) 35 lados.

DESAFIO

Calcule a medida____ a do____ ângulo formado    pelas bissetrizes AM e CM de um pentágono regular convexo ABCDE. D

E

C M a

10

Do mesmo vértice de um polígono regular convexo de n lados são traçadas 12 diagonais. Calcule a medida do ângulo interno desse polígono.

A

B

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Nas questões 1 a 9, determine a única alternativa correta. 1

2

3

4

5

6

A diferença entre o número de lados de dois polígonos é 5, e a diferença entre os números de suas diagonais é 40. Qual é o polígono de maior número de lados? a) undecágono c) decágono b) icoságono d) dodecágono A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de k 1 2 lados é igual a: a) k 8 180° c) (k 1 2) 8 180° b) 360° d) k 8 720° O polígono convexo cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de lados é o: a) octógono; c) eneágono; b) heptágono; d) icoságono. A medida do ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede em 3 o número de lados é: a) 60° d) 150° b) 72° e) 120° c) 108° A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 18, e um deles tem três lados a mais que o outro. Esses polígonos são: a) octógono e pentágono; b) eneágono e hexágono; c) decágono e heptágono; d) undecágono e octógono. O ângulo interno de um polígono regular convexo mede 174°. O número de diagonais que passam pelo centro desse polígono é igual a: a) 48 d) 65 b) 42 e) 30 c) 54

7

Se o número n de lados de um polígono __2 é igual a 3 do número de diagonais, então n 1 2 é igual a: a) 6 d) 12 b) 7 e) 20 c) 8

8

De cada vértice do icoságono partem k diagonais, em que k é igual a: a) 17 c) 19 b) 18 d) 12

9

A medida do ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais é igual a: a) 162° d) 125° b) 80° e) 81° c) 170°

10

Na figura, temos a representação de seis cidades. Quantas estradas serão necessárias para ligá-las? B

A

F

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

37

C

E

D

DESAFIO

Um polígono é regular. As bissetrizes internas dos ângulos dos vértices A e C formam um ângulo de 72°. Quantos lados tem esse polígono?

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38 Utilize folhas de papel quadriculado para resolver as atividades a seguir. 1

4

Construa o polígono A’B’C’D’E’F’ simétrico ao polígono ABCDEF em relação ao ponto O.

Construa os pontos A’, B’ e C’ simétricos aos pontos A, B e C em relação à reta r. A

r

B

D

C E O

B

A

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

5

Construa uma figura simétrica à figura abaixo pelo ponto O.

Construa o simétrico de cada círculo em relação à reta r.

A B

C

C

G

r

C1

O D

3

Construa o simétrico do polígono ABCDE em relação à reta r.

DESAFIO

Faça uma figura de cor vermelha simétrica à figura de cor azul em relação ao ponto O.

B A E

C D

r O

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MateMática coMpreensão e pr��tica

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º

ano

capítulo 12

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O caixa eletrônico permite, entre outros serviços, que clientes de um banco retirem dinheiro e verifiquem o balanço de suas contas bancárias sem a presença de um funcionário do banco.

ANDRÉ LESSA/AGÊNCIA ESTADO

CAPÍTULO

12

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

É HORA DE OBSERVAR E DISCUTIR Carlos tinha um saldo de R$ 2 560,00 em sua conta bancária, quando foram lançados um crédito de R$ 1 500,00 e um débito de R$ 180,00. Ao consultar seu saldo no caixa eletrônico, que valor Carlos deverá encontrar? A quantos reais equivalem 2% desse saldo?

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TROCANDO IDEIAS No dia a dia, deparamos com perguntas como: Qual seria o preço desta televisão sem desconto?

Qual é a taxa de juros para empréstimos apresentada no painel abaixo?

Essas são perguntas relacionadas a um assunto de grande importância: a Matemática Comercial e Financeira. Neste capítulo, inicialmente vamos abordar as operações com mercadorias e problemas de vendas, com lucro e prejuízo. Em seguida, vamos estudar detalhadamente os juros simples e compostos, além de práticas diversas e uma abordagem clara do uso de cada um deles. Finalmente, vamos fazer uma análise sobre a inflação, sua definição, sua importância, suas medidas e aplicações práticas.

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1 Operações sobre mercadorias As operações sobre mercadorias, tão comuns na vida comercial, podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda do produto.

V5C1L Observe os exemplos a seguir. • Por quanto devo vender um relógio que comprei por R$ 370,00 se desejo lucrar 25% sobre o preço de compra? V5C1L V 5 370 1

SERGEJ RAZVODOVSKIJ/SHUTTERSTOCK

Solução 5

25 ____ 100

8 370

25% sobre o preço de compra

2

V 5 370 1 92,50 V 5 462,50 Logo, devo vender o relógio por R$ 462,50.

Solução V5C1L

10 V 5 2 880 1 ____ 8 V 100 V 5 2 880 1 0,10V

10% sobre o preço de venda

V 2 0,10V 5 2 880 0,90V 5 2 880 2 880 V 5 _____ 5 3 200 0,90 Deverei vender o telefone celular por R$ 3 200,00.

JOSEPH BRANSTON/APPLE BOOKAZINE/GETTY IMAGES

• Comprei um telefone celular por R$ 2 880,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse telefone celular?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Lembre-se de que, nas operações com lucro, o preço de venda (V ) de uma mercadoria é igual ao seu preço de custo (C ) mais o lucro (L), ou seja:

Nas operações com prejuízo, o preço de venda (V ) de uma mercadoria é igual ao seu preço de custo (C ) menos o prejuízo (P ), ou seja: V5C2P 104

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Observe os exemplos abaixo. • Um carro elétrico Renault Twizy custava R$ 22 000,00 e seis meses depois foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. ALEX RAMSAY/ALAMY/GLOW IMAGES

Solução V5C2P

10 V 5 22 000 2 ____ 8 V 100 V 5 22 000 2 0,1V

10% sobre o preço de venda

V 1 0,1V 5 22 000 1,1V 5 22 000 22 000 V 5 ______ 1,1

Twizy é um carro elétrico para dois ocupantes; o modelo tem 2,33 m de comprimento e 450 kg de massa.

V 5 20 000

• Uma televisão de 55 polegadas foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo. Se essa televisão custou R$ 6 000,00, qual foi o preço de venda? PIOTR ADAMOWICZ/ALAMY/ GLOW IMAGES

Solução V5C2P

20 V 5 6 000 2 ____ 8 6 000 100 V 5 6 000 2 1 200

20% sobre o preço de custo

V 5 4 800 O preço de venda foi R$ 4 800,00.

EXERCÍCIOS

2

3

Determine por quanto deve ser vendido um objeto comprado por R$ 700,00 para que se obtenha um lucro equivalente a 2,5% do preço de custo. Um produto cujo custo foi R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço de venda? Um aparelho de Blu-ray custou R$ 500,00 e foi vendido com prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Por quanto ele foi vendido?

Blu-ray Aparelho que substitui o DVD. Seu nome se origina da cor azul do raio laser utilizado para ler o disco.

4

Certa mercadoria foi vendida por R$ 1 584,00, com prejuízo de 12% sobre o seu preço de custo. Qual foi o preço de custo dessa mercadoria?

5

Valdênio vendeu um aparelho de ar condicionado com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo que ele tenha comprado o produto por R$ 1 113,00, qual foi o seu preço de venda?

6

Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 72 788,80, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo.

ALAMY/DIOMEDIA

1

TONY CORDOZA/GETTY IMAGES

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O preço de venda do automóvel foi R$ 20 000,00.

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2 Juros simples Quando emprestamos um capital a uma pessoa física ou jurídica, recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos juros. Quando o valor a ser pago por um empréstimo é calculado apenas sobre o capital inicial, que se mantém constante durante todo o período da transação, trabalhamos com juros simples. Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C ) aplicado a uma taxa (i ), por um período de tempo (t ).

Capital (C ) É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo.

Taxa de juros (i ) É a taxa percentual que representa o valor dos juros em relação ao capital, a ser pago ao final de um período de tempo. Exemplos

• taxa de juros de 10% a.a. — significa que o valor dos juros é igual a 10% do capital, por ano.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Assim:

• taxa de juros de 0,5% a.m. — significa que o valor dos juros é igual a 0,5% do capital, por mês. Tempo (t ) É o período de aplicação do capital.

Observações

1 Na determinação dos juros, a taxa e o tempo devem estar relacionados na mesma unidade. 2 Por convenção, o mês comercial tem 30 dias, e o ano comercial, 360 dias.

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Agora vamos resolver um problema de juros simples. Pedi R$ 3 600,00 de empréstimo a um banco. Vou pagar daqui a 6 meses, com taxa de juros de 2% ao mês. Quanto vou pagar de juros simples? Que valor total vou pagar ao final do empréstimo? Solução Temos: C 5 R$ 3 600,00 i 5 2% ao mês 5 0,02 ao mês t 5 6 meses Então: Juros por mês 5 3 600 8 0,02 5 72

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

capital

Total de juros 5 3 600 8 0,02 8 6 5 432

taxa

capital

taxa

tempo

Assim, um capital C, emprestado a uma taxa mensal i durante t meses, gera um total de juros j, que pode ser assim expresso: j5C8i8t O total a ser pago ao final do empréstimo é denominado montante (M ) e corresponde ao capital mais o total de juros. Ou seja:

M5C1j

No problema acima: M 5 3 600 1 432 5 4 032 capital montante

juros

Logo, vou pagar R$ 432,00 de juros simples e um montante de R$ 4 032,00 ao final do empréstimo. Observe a seguir outros exemplos. • Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 5 000,00 aplicado à taxa de 3% a.m., durante 1 ano e 6 meses. Solução Temos:

Então:

C 5 R$ 5 000,00

j5C8i8t

i 5 3% a.m. 5 0,03 a.m.

j 5 5 000 8 0,03 8 18

t 5 1 ano e 6 meses 5 18 meses

j 5 2 700

Os juros produzidos serão de R$ 2 700,00. 107

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• Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de 6% a.m., em uma operação de juros simples, 3 rende __ do seu valor? 4 Solução Temos: Então: 3 __ j5C8i8t j5 C 4 3 __ C 5 C 8 0,06 8 t i 5 6% a.m. 5 0,06 a.m. 4 t 5 12,5 O tempo necessário é de 12,5 meses ou 12 meses e meio ou 12 meses e 15 dias.

Solução Temos: C 5 R$ 4 000,00 i 5 1,5% a.m. 5 0,015 a.m. t 5 2 anos e 6 meses 5 30 meses O montante é de R$ 5 800,00.

Então: j5C8i8t j 5 4 000 8 0,015 8 30 5 1 800 Logo: M5C1j M 5 4 000 1 1 800 5 5 800

• Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 2 000,00 à taxa de 2% a.m., para que se obtenha R$ 800,00 de juros simples? Solução Temos: C 5 R$ 2 000,00 j 5 R$ 800,00 i 5 2% a.m. 5 0,02 a.m.

Então: j5C8i8t 800 5 2 000 8 0,02 8 t 800 t 5 __________ 2 000 8 0,02 t 5 20 São necessários 20 meses ou um ano e oito meses.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Calcule o montante de um capital de R$ 4 000,00 empregado durante dois anos e seis meses, à taxa de 1,5% a.m.

EXERCÍCIOS 7

Um capital de R$ 10 000,00, aplicado durante 3 meses a juros simples, rende R$ 300,00. Determine a taxa de juros cobrada.

11

8

Calcule os juros e o montante de uma aplicação de R$ 20 000,00 durante 8 meses, à taxa de juros simples de 0,8% a.m.

12

9

Em quanto tempo um capital aplicado à __3 taxa de 0,6% a.m. rende 5 do seu valor, em uma aplicação de juros simples?

10

Qual é a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.?

13

14

O capital de R$ 3 000,00, aplicado à taxa anual de 12% (juros simples), produzirá, no final de 200 dias, um montante de que valor? Qual é o capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., totalizará R$ 1 296,00 no fim de oito meses? Qual é o prazo necessário para que um capital aplicado à taxa de juros simples de 0,4% a.m. duplique de valor? Aplicar um capital à taxa de juros simples de 0,5% a.m., durante 10 meses, é equivalente a investir o mesmo capital, por 25 meses, a que taxa?

108

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3 Juros compostos Juros compostos são aqueles pagos sobre juros já vencidos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Os juros compostos são calculados sobre um montante cada vez maior. Isso ocorre porque eles incidem sobre um capital que já incorporou outros juros. Por esse motivo, seu resultado será sempre maior que o dos juros simples. Essa é a modalidade mais usada de juros. Observe os exemplos a seguir. • Acácia fez um depósito inicial de R$ 30 000,00 na poupança. Calcule o montante e os juros ao final dos três primeiros meses, sabendo que os rendimentos mensais foram de 0,6%, 1% e 0,7%, nessa ordem. Solução 1o mês: poupança rendeu 0,6% (i 5 0,006) j 5 C 8 i 8 t 5 30 000 8 0,006 8 1 5 180 1 mês

M 5 30 000 1 180 5 30 180 No final do primeiro mês, Acácia passou a ter um montante de R$ 30 180,00. 2o mês: poupança rendeu 1% (i 5 0,01) j 5 30 180 8 0,01 8 1 5 301,80 montante do 1o mês

M 5 30 180 1 301,80 5 30 481,80 Acácia passou a ter um montante de R$ 30 481,80. 3o mês: poupança rendeu 0,7% (i 5 0,007) j 5 30 481,80 8 0,007 8 1 7 213,37 montante do 2o mês

M 7 30 481,80 1 213,37 5 30 695,17 Logo, ao final do terceiro mês, Acácia passou a ter um montante de aproximadamente R$ 30 695,17. Assim: R$ 30 695,17 2 R$ 30 000,00 5 R$ 695,17 montante final

capital inicial

juros compostos

Logo, ao final de três meses, Acácia recebeu R$ 695,17 de juros. Observação

Outra forma prática de determinar o montante ao término dos três meses é efetuar esta multiplicação: 30 000,00 8 1,006 8 1,01 8 1,007 7 30 695,17 (1 1 0,006) rendimento de 0,6% a.m.

(1 1 0,01) rendimento de 1% a.m.

(1 1 0,007) rendimento de 0,7% a.m.

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• Um investidor fez uma aplicação de R$ 80 000,00, com juros compostos, a uma taxa de 20% a.a. Qual foi o montante disponível ao término de quatro anos? Qual foi o total dos juros da aplicação? Solução Aplicação inicial (R$)

Montante anterior (R$)

Juros a 20% a.a. (R$)

Montante (R$)

1o ano

80 000

80 000 8 0,20 8 1 5 16 000

80 000 1 16 000 5 96 000

2o ano

96 000

96 000 8 0,20 8 1 5 19 200

96 000 1 19 200 5 115 200

3o ano

115 200

115 200 8 0,20 8 1 5 23 040

115 200 1 23 040 5 138 240

4o ano

138 240

138 240 8 0,20 8 1 5 27 648

138 240 1 27 648 5 165 888

R$ 165 888,00 2 R$ 80 000,00 5 R$ 85 888,00 Observação

Outra forma prática de determinar o montante ao término de quatro anos é efetuar esta multiplicação: 80 000,00 8 1,20 8 1,20 8 1,20 8 1,20 5 165 888,00 (1 1 0,20) taxa de 20% a.a.

EXERCÍCIOS 15

Uma aplicação de R$ 10 000,00 à taxa de juros compostos de 0,8% a.m. gera, após três meses, que montante?

16

Bruna depositou R$ 20 000,00 em um banco, a juros compostos de 20% a.a., capitalizados anualmente. Ao final de dois anos, quanto Bruna obteve de juros?

17

Um capital de R$ 30 000,00 foi aplicado à taxa mensal de juros compostos de 1% a.m. Determine o valor dos juros dessa aplicação após três meses.

18

Um investidor aplicou R$ 100 000,00 a uma taxa mensal de 0,8% a.m. durante quatro meses. Responda: a) Qual foi o valor dos juros dessa aplicação, em regime de juros simples? b) Qual foi o valor dos juros dessa aplicação, em regime de juros compostos?

19

Com auxílio de uma calculadora, determine o valor, após três meses, de uma aplicação na poupança de R$ 100 000,00, submetida a estes índices: Mês

Janeiro

Fevereiro

Março

Taxa (%)

0,99

0,91

0,88

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O montante disponível ao término de quatro anos foi de R$ 165 888,00, e os juros da aplicação correspondem a:

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4 Inflação Inflação é o aumento generalizado e contínuo no nível de preços. Ocorre inflação de demanda quando a procura por certos produtos é maior que a oferta, e inflação de custos quando observamos uma elevação dos custos de produção. A inflação pode ser medida por diversos índices. Vejamos alguns: As medidas da inflação O que mede

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Índice

Para que serve

Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) Responsável: IBGE

A variação de preços ao consumidor nas regiões metropolitanas do Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba, além do Distrito Federal e do município de Goiânia. O universo são famílias com renda entre um e 40 salários mínimos.

Para determinar a meta de inflação.

Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) Responsável: IBGE

A média do custo de vida nas 11 principais regiões metropolitanas do país para famílias com renda de um até oito salários mínimos.

Para ser usado como paradigma da reposição de salários.

Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M) Responsável: FGV

Principalmente os preços do atacado, mas também alguns preços ao consumidor e custos da construção civil. A coleta dos dados é nacional, com exceção dos preços ao consumidor, aferidos apenas no Rio de Janeiro e em São Paulo.

Para corrigir aluguéis e tarifas públicas, como energia elétrica.

Observe os índices anuais do IPCA, INPC e IGP-M nos anos de 2009 a 2012. IPCA

INPC

IGP-M

2009

4,31

4,11

21,71

2010

5,90

6,46

11,32

2011

6,50

6,07

5,09

2012

5,83

6,19

7,81

Veja agora um gráfico que apresenta a inflação medida pelo IGP-M de março de 2012 até fevereiro de 2013. Os preços do IGP-M são coletados entre os dias 21 do mês anterior e 20 do mês de referência. EVOLUÇÃO DO IGP-M (% a.m.) 1,34% 1,02% 0,85%

1,43% 0,97% 0,68%

0,43%

0,66%

0,34% 0,29% 0,02%

–0,03%

mar. abr. maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. 2012 2013

Dados obtidos em: FGV (Fundação Getúlio Vargas).

Nesse gráfico, podemos observar que: 1. a maior inflação medida pelo IGP-M no período foi em agosto de 2012; 2. de maio de 2012 a junho de 2012, de agosto de 2012 a novembro de 2012 e de dezembro de 2012 a fevereiro de 2013, a inflação decresceu; 3. em novembro de 2012, o índice inflacionário foi negativo, ou seja, houve deflação. 111

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Observação

A deflação é o oposto da inflação. Corresponde à queda persistente no nível de preços. Nesse caso, o índice inflacionário é negativo. Exemplo: 20,32%

Vamos resolver uma questão que envolve índices inflacionários. De janeiro de 2007 até dezembro de 2012, a inflação medida pelo IPCA foi de 37,72%. Observe no gráfico abaixo os índices percentuais acumulados no mesmo período, referentes a alguns produtos e serviços. ÍNDICES PERCENTUAIS ACUMULADOS DE ALGUNS PRODUTOS E SERVIÇOS (de janeiro de 2007 até dezembro de 2012) 99,62

recreação

42,57

42,54

inflação aluguel acumulada de e taxas 2007 a 2012

44,52

transporte panificados público

47,29

64,64

plano de alimentação saúde fora do domicílio

carne

Dados obtidos em: IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).

Com base nos valores do gráfico, responda: a) Se em janeiro de 2007 um plano de saúde custava R$ 200,00, qual era seu valor em dezembro de 2012? Solução Aumento dos planos de saúde, no período: 47,29% 47,29 Atualizando: 200,00 1 ______ 8 200,00 5 294,58 ou 100 47,29 200,00 8 1 1 _____ 5 200,00 8 1,4729 5 294,58 100 Em dezembro de 2012, o valor era R$ 294,58.

@

#

b) Se em janeiro de 2007 um quilograma de alcatra custava R$ 10,60, qual era seu valor em dezembro de 2012? Solução Aumento da carne, no período: 99,62% 99,62 Atualizando: 10,60 1 ______ 8 10,60 7 21,16 ou 100 99,62 10,60 8 1 1 _____ 5 10,60 8 1,9962 7 21,16 100 Em dezembro de 2012, o quilograma da alcatra custava cerca de R$ 21,16.

@

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

35,22

37,72

#

c) Se o aluguel de um imóvel em dezembro de 2012 custava R$ 1 000,00, qual era seu valor aproximado em janeiro de 2007? Solução Aumento do aluguel, no período: 42,54% Valor em janeiro de 2007: x Atualizando: 42,54 x 1 _____ 8 x 5 1 000,00 ] x(1 1 0,4254) 5 1 000,00 ] x 8 1,4254 5 1 000,00 ] 100 1 000,00 ] x 5 ________ 7 701,56 1,4254 Ou seja, o aluguel do imóvel custava, em janeiro de 2007, aproximadamente R$ 701,56. 112

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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

EXERCÍCIOS A Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) aprovou, em janeiro de 2013, tarifas que reduziram a conta de energia elétrica. O efeito médio de redução foi de 20,2%. Para os consumidores residenciais de uma cidade Alfa, a redução foi de 18%. Para os consumidores de alta tensão dessa cidade, o desconto foi de 32%. Agora, responda: a) Se o kWh de energia residencial da cidade Alfa custava R$ 0,35, qual passou a ser, aproximadamente, seu novo valor após a redução da tarifa? b) Se o kWh de energia de alta tensão da cidade Alfa passou a custar R$ 0,44 após a redução da tarifa, qual era, aproximadamente, seu valor?

21

Em um dos jornais de grande circulação no Ceará, em março de 2013, lemos a notícia ao lado. Responda: a) Um imóvel que, há três anos, custava R$ 900 000,00 e sofreu um reajuste de 51% passou a que valor? b) De quantos reais será o aumento no valor desse imóvel?

O POVO

20

Fonte: O Povo, Fortaleza, 15 mar. 2013. Conteúdo digital • Atividade interativa 4

Lendo e aprendendo Indicadores econômicos Você já deve ter ouvido falar sobre inflação/deflação, emprego/desemprego, crescimento/recessão e superávit/déficit fiscal. Leia atentamente as informações abaixo e entenda os reflexos desses indicadores econômicos em sua vida. Indicador

O que é? O maior risco da inflação é Inflação a corrosão da moeda. Na # deflação, o maior risco é uma Deflação depressão da economia. Outro indicador de atividade Emprego econômica. Quanto maior a # quantidade de empregos, mais Desemprego aquecida está a economia. É medido pela evolução do Crescimento Produto Interno Bruto (PIB). # Em fase de crescimento, o Recessão consumo aumenta; na recessão, o consumo diminui. Mede a diferença entre receitas e despesas do governo. Superávit Superávits em geral são bons # para a economia, porque Déficit fiscal significam receitas superiores a despesas.

Reflexos em sua vida Com inflação, você pode ter poder aquisitivo mesmo que o rendimento nominal em suas aplicações seja positivo. Na deflação, você corre o risco de perder o emprego. Economia aquecida é boa para os lucros da empresa e para investimentos em ações. Mas é preciso estar atento a esse aquecimento, observando se ele não compromete os níveis de inflação. Economia em crescimento favorece as aplicações de longo prazo em ações, porque a receita e o lucro das empresas aumentam. Se o governo gasta menos do que arrecada, tem um superávit fiscal, um bom indicador para a estabilidade econômica. Mas o governo não deve exagerar, ou seja, acumular sucessivos superávits, porque também precisa investir em serviços para o país, como educação, saúde etc. O ideal é manter as contas em equilíbrio. Superávit fiscal exagerado pode provocar recessão, desemprego e deflação.

Fonte: Mara Luquet. Guia Valor Econômico de finanças pessoais. São Paulo: Globo.

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Lendo e aprendendo Glossário do mercado financeiro Que tal conhecer melhor alguns termos muito utilizados no mercado financeiro? Leia atentamente o glossário abaixo.

GLOSSÁRIO Âncora cambial: Instrumento da política econômica utilizado para estabilizar o valor de uma moeda, fixando seu valor na taxa de câmbio. Balança comercial: Saldo das exportações menos as importações de um país. Bolsa de valores: Instituição onde são negociados as ações e os títulos e valores mobiliários. Câmbio: Taxa de conversão de uma moeda. Capital de giro: Dinheiro que uma empresa utiliza para viabilizar a fabricação de seu produto. Capital: Riqueza de uma família ou empresa. Deflação: É o oposto de inflação. Queda persistente do nível geral de preços. Dividendos: Parte do lucro de uma empresa que é distribuído aos acionistas. Especulação: Compra e venda de ativos com o objetivo de alcançar lucros rápidos. Fluxo de caixa: É a diferença entre o lucro proporcionado pela atividade de uma empresa (resultado bruto menos as despesas operacionais) e a variação de seu capital de giro. Inflação: Aumento persistente dos preços que resulta na perda do poder aquisitivo da moeda. Investir: Empregar dinheiro na compra de títulos, ações etc., a fim de obter retorno. Juro: Remuneração paga ao investidor na compra de um título de renda fixa.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Bovespa: Bolsa de Valores de São Paulo. Principal mercado de ações no Brasil.

Nasdaq: Mercado eletrônico de ações dos Estados Unidos. Nota promissória: Título de crédito em que a pessoa que o emite se compromete a pagar ao favorecido uma quantia determinada, em prazo determinado. Orçamento: Discriminação de receita e despesas. Performance: Desempenho. PIB: Produto Interno Bruto. É a soma de toda a riqueza produzida por um país. Recessão: Evolução do PIB com sinal negativo em dois trimestres consecutivos. Taxa pós-fixada: Taxa de juro que é conhecida apenas no vencimento do título. Taxa prefixada: Taxa previamente acordada entre emissor e comprador de um título. Taxa Selic: Índice pelo qual as taxas de juros cobradas pelo mercado se balizam no Brasil. A sigla Selic significa Sistema Especial de Liquidação e de Custódia. Variação cambial: Variação da taxa de conversão de determinada moeda. Fonte: Mara Luquet. Guia Valor Econômico de finanças pessoais. São Paulo: Globo.

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Orçamento é a discriminação e o cálculo das receitas e das despesas. Conhecer com exatidão a receita disponível e controlar as despesas mensais é necessário para que uma família possa viver de forma tranquila. A planilha abaixo é uma sugestão para o controle mensal de gastos de uma família. Observe:

BLEND IMAGES/GETTY IMAGES

Trabalhando em equipe

Controle de gastos Mês/ano: ............................... Receitas

Salários Outros

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Total de receitas (A) Aluguel/Prestação/Condomínio Empregados Prestação/Seguro do carro IPTU IPVA Gastos fixos (o mesmo valor todo mês) Plano de saúde Colégio/Faculdade/Cursos/Clube/Academia Plano de aposentadoria/Seguro de vida Internet/TV a cabo Outros

Gastos variáveis (contas que variam mês a mês)

Gastos arbitrários (gastos que nem sempre são feitos)

Alimentação Água/Energia/Gás Telefone fixo/celular Cartão de crédito Transporte/Combustível Manutenção de casa/carro Outros Cinema/Teatro Restaurante Roupas Jornais/Revistas Viagens Outros Total de despesas (B)

Saldo total

Receitas – Despesas (A 2 B)

REPRODUÇÃO

Forme dupla com um colega e, com ajuda do professor, discutam a tabela apresentada acima. Em seguida, a dupla fará uma nova tabela, semelhante à apresentada, de acordo com a realidade de suas famílias. Cada aluno deverá apresentar sua planilha aos pais, mostrando seus conhecimentos sobre orçamento doméstico. Com a ajuda deles vocês poderão até preenchê-las. Boa sorte! Sugestão de aplicativo no iPhone e iPad: ou no site <www.minhaseconomias.com.br>.

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Trabalhando os conhecimentos adquiridos 57

2

João vendeu uma máquina por R$ 650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, por quanto ele deveria ter vendido a máquina? Um objeto foi vendido por R$ 2 000,00 com um lucro de R$ 400,00. Calcule a porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo.

3

Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de dois bimestres, produziu o montante de R$ 16 320,00. Qual foi a taxa mensal dessa aplicação?

4

(Enem) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de: a) R$ 4 222,22 d) R$ 13 300,00 b) R$ 4 523,80 e) R$ 17 100,00 c) R$ 5 000,00

5

6

7

Rendimento mensal (%)

Se aplicarmos a quantia de R$ 50 000,00 durante quatro meses, teremos como remuneração desse capital a quantia de R$ 4 360,00. Qual é a taxa de juros simples ao mês dessa operação? Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização simples à taxa de 8% ao mês? (Enem) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

IR (imposto de renda)

Poupança

0,560

isento

CDB

0,876

4% (sobre o ganho)

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é: a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. 8

Qual é o valor inicial de uma aplicação a juros simples, por cinco anos, à taxa de juros de 14% ao ano, cujo valor de resgate único é igual a R$ 102 000,00? DESAFIO

Observe a tabela com a inflação (em %, ao mês) dos meses de março, abril e maio dos anos de 2011 e 2012, calculada pelo IGP-M. Mar.

Abr.

Maio

2011

0,62

0,45

0,43

2012

0,43

0,85

1,02

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Para calcular a inflação acumulada nos meses de março, abril e maio de 2011 podemos proceder assim: 1,0062 8 1,0045 8 1,0043 7 1,0151 Ou seja, a inflação acumulada nesses meses foi de aproximadamente 1,51%. Calcule a inflação acumulada nos meses de março, abril e maio de 2012, com auxílio da calculadora.

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58 1

Você fez um empréstimo de R$ 5 000,00 a uma taxa de juros simples de 12% ao ano a ser pago em dois anos. Que valor será pago?

2

Com auxílio da máquina de calcular, determine os juros compostos obtidos em uma aplicação de R$ 10 000,00, aplicados à taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral, durante um ano e meio.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

(Enem) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: Investimento A: 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades: n n

1,03

3

6

9

12

1,093

1,194

1,305

1,426

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá: a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

4

Um agente financeiro emprestou R$ 25 000,00 a serem pagos após quatro meses à taxa de juros de 3,5% ao mês. Qual é o juro recebido nessa operação, considerando o regime de capitalização composto?

5

(Enem) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: • Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55 000,00. • Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais uma prestação de R$ 26 000,00 para dali a 6 meses. • Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20 000,00, mais uma prestação de R$ 20 000,00 para dali a 6 meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da data da compra. • Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39 000,00. • Opção 5: Pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00. Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 DESAFIO

Observe os índices do IPCA do IBGE nos meses de janeiro, fevereiro e março de 2013. Mês IPCA

Janeiro 0,86

Fevereiro 0,60

Março 0,47

Com auxílio de uma calculadora, determine, aproximadamente, a inflação acumulada nesse trimestre.

117

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Números naturais e sistemas de numeração 1

(Uece) Dado um número de dois algarismos, forma-se um novo número de três algarismos colocando “1” à direita do número original. O novo número é: a) dez vezes o número original, mais um; b) cem vezes o número original, mais um; c) cem vezes o número original; d) o número original, mais um.

2

(Uece) O número de algarismos, contados com as repetições, necessários para numerar as 96 páginas de um livro é igual a: a) 180 b) 181 c) 182 d) 183

3

Leibniz, um eminente matemático do século XVII, foi um grande defensor do sistema de base dois, também chamado de sistema binário. É desse pensador a seguinte frase: ‘‘Um é o suficiente para derivar tudo do nada”. Qual das opções corresponde, no sistema binário, ao numeral 21? a) 11011 c) 11001 e) 10101 b) 10001 d) 11110 f) 11111

4

5

(CMF-CE) Seu Joaquim pediu para seu filho preencher um cheque e entregar a Manoel pela compra de três vacas. A primeira vaca custava dez mil e onze reais. A segunda vaca  custava mil cento e um reais. A terceira vaca custava mil e dez reais. O valor do cheque era: a) onze mil, duzentos e três reais; b) doze mil, cento e vinte dois reais; c) treze mil e um reais; d) trinta mil, trezentos e um reais. (CMF-CE) Para realizar uma visita ao parque botânico de Caucaia-CE, a escola “Viva Feliz” utilizou um ônibus escolar no qual viajaram cinquenta e oito alunos, dos quais vinte e dois eram do sexo masculino e quarenta e oito estavam sentados. Sabe-se que três alunos do sexo masculino viajaram em pé. Então, o número de alunos do sexo feminino que viajaram em pé foi: a) 10 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9

6o ANO

6

(CMF-CE) Estudando os numerais, observamos quanto é importante conhecermos as definições de valor absoluto e de valor relativo. Por exemplo, considere o numeral 243 506. A diferença entre o valor relativo do algarismo quatro e a sexta parte do valor relativo do algarismo seis, acrescido do valor absoluto do algarismo três é: a) 43 999 d) 40 001 b) 40 002 e) 43 502 c) 43 505

7

(CMF-CE) Na escola “Viva o Verde”, a brincadeira do momento é jogar Zoom na hora do intervalo das aulas. As peças do jogo possuem os seguintes nomes, valores e numerações: Nome

Peças

Valor

Numeração

Mega Zoom 5 pontos

80 até 99

Hiper Zoom 4 pontos

60 até 79

Super Zoom 3 pontos

40 até 59

Zoom

2 pontos

1 até 39

O aluno João Pedro, um grande jogador, coleciona apenas as peças cuja numeração é um múltiplo de 7. Como sua coleção está completa, ele acumulou: a) 52 pontos; d) 46 pontos; b) 50 pontos; e) 44 pontos. c) 48 pontos; 8

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

TESTES, VESTIBULARES E CONCURSOS

(FEI-SP) Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: A) século XIX; B) século XX; C) antes de 1980; D) depois de 1830; E) nenhuma das anteriores. Pode-se garantir que a resposta correta é: a) A d) D b) B e) E c) C

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9

Considerando o numeral 23 485, podemos afirmar que ele representa: a) 234 centenas e 85 dezenas; d) 234 centenas e 85 unidades; b) 23 milhares e 485 dezenas; e) 348 milhares. c) 3 485 milhares;

10

(Enem) O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006. O GASTO MILITAR DOS ESTADOS UNIDOS SUPERA O DO FIM DA GUERRA FRIA

600 500

Em bilhões de dólares 536,6 528,7 486,4 426,8

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

400

1 422,1

417,4 4 341,5

403,7 374,4 2 354,3

300

354,8

315,1

334,6

298,1

315,1

290,5 301,7

3 304,1

289,7

19

97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06

96

95

19

94

19

93

19

92

19

91

19

90

19

89

19

19

19

88

200

1 Queda do Muro de Berlim (fim da Guerra Fria)

3 Atentado de 11 de setembro: ação militar no Afeganistão

2 EUA entram na Guerra do Golfo

4 Início da guerra no Iraque

Almanaque Abril 2008. Editora Abril.

Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de: a) U$ 4.174.000,00 d) U$ 41.740.000.000,00 b) U$ 41.740.000,00 e) U$ 417.400.000.000,00 c) U$ 417.400.000,00

X

X

Suécia

EUA

Japão

Brasil

EUA

Brasil

(Obmep) A tabela apresenta as cinco seleções de futebol feminino mais bem classificadas no ano de 2010, segundo a FIFA. Cada X na tabela significa que a seleção na linha correspondente está mais bem classificada do que a seleção na coluna correspondente; por exemplo, a Alemanha está mais bem classificada do que o Brasil. Qual é a seleção que ocupa a quarta posição? a) Alemanha b) Brasil FIFA 2010 c) EUA Futebol feminino d) Japão e) Suécia Alemanha X X X Alemanha

11

X

X

X

X

Japão Suécia

X

119

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Probabilidade e Estatística 57

No campeonato brasileiro de futebol da série A, cada um dos 20 times disputantes joga contra todos os outros em partidas de ida e volta. O número total de jogos desse campeonato é: a) 64 c) 380 e) 96 b) 276 d) 164

58

O número da placa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: __ __1 4 e) 5 a) 5 c) 9 __1 b) 2

59

60

(FGV-SP) Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco variedades de bebidas e três sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? a) 120 c) 14 e) 12 b) 144 d) 60

61

Em uma urna há cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule a probabilidade de, em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V ) e depois uma bola branca (B ). 5 ___ ___ 4 d) 21 a) 21 ___ ___ 2 7 e) 21 b) 21 3 ___ c) 21

62

Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade de o número do cartão retirado ser primo. 5 ___ ___ 1 a) 10 e) 10 ___ ___ 4 2 d) 10 b) 10 3 ___ c) 10

63

Em uma festa todos os convidados se cumprimentaram. Houve 66 apertos de mão. Quantas pessoas havia na festa? a) 9 c) 11 e) 13 b) 10 d) 12

64

Os gastos de uma excursão totalizam R$  1 200,00. Se três pessoas que programaram viajar desistirem na última hora, a parcela de cada uma das demais pessoas aumentará R$ 90,00. Quantas pessoas planejam fazer essa viagem? a) 4 c) 6 e) 8 b) 5 d) 7

5 __ d) 9

(Acafe-SC) Num município foi pesquisado, durante um ano, o número de casos de certa doença, encontrando-se os dados representados no gráfico abaixo. Número de casos 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 J F M A M J

J A S O N D Meses

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que: a) O número de casos foi máximo no mês de dezembro. b) O número total de registros no 2o semestre é de 1 500 casos. c) A maior diferença do número de casos registrados ocorreu entre os meses de junho e julho. d) O número de casos foi mínimo no mês de janeiro. e) O número total de registros no 3o trimestre é de 1 700 casos.

7o ANO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

65

(UFC-CE) Considerando o espaço amostral constituído pelos números de três algarismos distintos, formados pelos algarismos 2, 3, 4 e 5, assinale a opção em que consta a probabilidade de que, ao escolhermos um destes números, aleatoriamente, este seja múltiplo de 3: __1 __ 2 d) 3 a) 3 3 __1 __ b) 4 e) 4 __1 c) 2

66

(Fuvest-SP) Num determinado país a população feminina representa 51% da população total. Sabendo-se que a idade média (média aritmética das idades) da população feminina é de 38 anos e a da masculina é de 36 anos. Qual é a idade média da população? a) 37,02 anos d) 36,60 anos b) 37,00 anos e) 37,05 anos c) 37,20 anos

68

(Enem) Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? a) Altura (cm) 180 171 148

51

0

67

(Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extrabranco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. Mês

Cotação

Ano

Outubro

R$ 83,00

2007

Novembro

R$ 73,10

2007

Dezembro

R$ 81,60

2007

Janeiro

R$ 82,00

2008

Fevereiro

R$ 85,30

2008

Março

R$ 84,00

2008

Abril

R$ 84,60

2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extrabranco nesse período era igual a: a) R$ 73,10 d) R$ 83,00 b) R$ 81,50 e) R$ 85,30 c) R$ 82,00

b)

10

17

Idade (anos)

10

17

Idade (anos)

10

17

Idade (anos)

Altura (cm) 180 171 148

51

0

c)

Altura (cm) 180 171 148

51

0

121

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dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.

Altura (cm) 180 171 148

51

Altura (cm)

Extensão de gelo marítimo 15

180 171

12

0

e)

10

17

Idade (anos)

148

1995 1998 2000 2005 2007

9 6 3

51

0

69

Junho

Julho

Agosto

Setembro

Disponível em: <http://sustentabilidade.allianz.com.br>. Acesso em: fev. 2012 (adaptado). 10

17

Idade (anos)

(Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados

Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em: a) 1995 c) 2000 e) 2007 b) 1998 d) 2005

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d)

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TESTES, VESTIBULARES E CONCURSOS

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Polígonos 71

(PUC-SP) O ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais é igual a: a) 80° d) 135° b) 170° e) 81° c) 162°

72

(UFRGS-RS) O número de diagonais de um polígono é o dobro de seu número n de lados. O valor de n é: a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

73

(F. Ruy Barbosa-BA) Sendo o número de diagonais de um octógono o quíntuplo do número de lados de um polígono, conclui-se que esse polígono é um: a) triângulo d) hexágono b) quadrilátero e) heptágono c) pentágono

74

75

(CMF-CE) Se um polígono convexo possui n lados, o número de diagonais que partem de cada um dos seus vértices é: a) n b) n 2 1 c) n 2 2 d) n 2 3 e) n 2 4

76

(UFRGS-RS) O polígono cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de lados é o: a) pentágono. b) eneágono. c) hexágono. d) heptágono.

77

(Mackenzie-SP) O polígono regular que tem o mesmo número de lados e de diagonais é o: a) pentágono. b) hexágono. c) heptágono. d) decágono.

78

O polígono regular cujo ângulo externo mede 36° é o: a) quadrilátero. b) hexágono. c) decágono. d) undecágono.

79

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 2 340°. O número de diagonais desse polígono é: a) 80 c) 100 b) 90 d) 120

80

O ângulo externo do dodecágono regular mede: a) 30° c) 45° b) 36° d) 60°

(PUC-SP) A figura descreve o movimento de um robô: 2m

45°

2m A

45° 2m

Partindo de A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 45° para a esquerda. Quando esse robô retornar ao ponto A a trajetória percorrida terá sido: a) uma circunferência. b) um hexágono regular. c) um octógono regular. d) um decágono regular. e) um polígono não regular.

8o ANO

123

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Matemática Comercial e Financeira 97

98

(TRE) Em quanto tempo um capital de $ 6 000,00 renderá $ 720,00 à taxa de juros de 2% ao mês? a) 4 meses d) 10 meses b) 6 meses e) 12 meses c) 8 meses __ 2 (Banco do Brasil) 5 de um capital foi empregado a 6% ao mês, durante 3 meses; e o restante a 5% ao mês durante 3 meses. O  lucro recebido foi de $ 972,00. O capital empregado foi: a) $ 5 000,00 d) $ 8 000,00 b) $ 6 000,00 e) $ 9 000,00 c) $ 7 000,00

99

(Unifor-CE) Em dezembro de 2008, com a crise econômica mundial, uma empresa teve que demitir 75% dos seus empregados. Como, em 2009, suas vendas aumentaram bastante, os diretores decidiram reabrir as vagas, para a empresa voltar a ter o número de empregados que tinha antes da crise. Para isso, o número atual de empregados deverá ser aumentado em: a) 300% c) 100% e) 25% b) 200% d) 75%

100

(TST) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de $ 27 000,00, dispondo de $ 90 000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no final de 5 meses? a) 10% c) 6% e) 3% b) 9% d) 5%

101

(TTN) Se em 5 meses o capital de $ 250 000,00 rende $ 200 000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para ganhar os mesmos juros se a taxa fosse 160% ao ano? a) 6 meses c) 8 meses e) 10 meses b) 7 meses d) 9 meses

9o ANO

102

(TTN) Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em: a) 20% c) 40% e) 70% b) 60% d) 50%

103

(TRE) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa mensal de 2,5%. Após quanto tempo da aplicação esse capital triplicará o seu valor? a) 6 anos e 2 meses b) 6 anos e 4 meses c) 6 anos e 8 meses d) 7 anos e 1 mês e) 7 anos e 3 meses

(DNER) $ 800,00 aplicados, por 3 meses, a juros compostos de 5% ao mês, geram um montante de: a) $ 886,41 d) $ 926,10 b) $ 914,32 e) $ 928,40 c) $ 920,00 __1 105 (TTN) Carlos aplicou de seu capital a ju4 ros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu $ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de: a) $ 4 200,00 d) $ 4 600,00 b) $ 4 800,00 e) $ 4 400,00 c) $ 4 900,00 104

106

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

TESTES, VESTIBULARES E CONCURSOS

(TJCE) O capital de $ 3 000,00 foi colocado a juros simples, a uma taxa de 4% ao ano, durante 5 anos; o capital de $ 5 400,00 foi colocado a juros simples durante o mesmo tempo. Esses dois capitais, aumentados dos juros respectivos, dão números que estão entre si como 1 está para 3. A que taxa o capital de $ 5 400,00 esteve colocado? a) 25% c) 2,5% e) 20% b) 2% d) 3%

124

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RESPOSTAS 6o ANO 21 a) 14, 15 e 16

Capítulo 1 Página 29 2

a) Cd b) M

4

a) sete

5

alternativa a

b) até nove

c) não

o sistema de numeração romano

9

I, V, X, L, C, D e M

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

g) MXLVII h) MMDCLXXIII __ DXXXVI i) IV __ DCLXXXIX j) V __ CDXCIX k) X _____ l) MMM

12 não c) 605 d) 1 200

14 a) Luís XV

b) Ano XXXIV c) Capítulo XX d) Século XXI e) Papa Pio XII f) Dom Pedro II g) Papa Bento XVI h) Dom João VI i) Papa João Paulo II

15 MCMXII 16 a) 89

b) 461 c) 585 d) 749 e) 876 f) 919

g) 1 452 h) 2 630 i) 224 j) 11 136 k) 4 000 107 l) 944

17 Grécia 806 # 601 Roma Página 36 19 a) zero b) 1

20 a) 19 e 17

54 base 60

24 997

55 a) duas décadas e dois anos

25 10 002

b) cinco décadas c) seis décadas e nove anos

27 29

56 a) base 6

28 a, a 1 2, a 1 4

b) base 4 c) base 10 d) base 8

Página 37

10 I, X, C e M

b) 108

53 base 100

26 81; 98

8

13 a) 30

52 base 24

23 k 1 8

Página 32

b) DXXIII c) DCLII d) DCCXCVI e) DCCCLXIX f) CMLXXIII

51 base 6

22 y 1 2

c) O d) C

11 a) CXLVI

Página 41

b) 98, 99 e 100 c) 697, 698 e 699

57 a) duas semanas e um dia

29 a) 54 , 76 , 82

b) oito semanas c) 31 semanas

b) 18 , 26 , 32 c) 7 , 9 , 14

30 a) 78 . 49 . 18

Página 48

b) 49 . 34 . 13 c) 103 . 98 . 42

58 a) 36

31 a % c 32 a) Cinco é maior que três.

b) Oito é diferente de dez. c) Sete é igual a sete. d) Quinze é menor que vinte. e) a é menor ou igual a b. f) m é maior ou igual a n.

33 Paulo 34 a) 6, 7, 8, 9, ...

b) 8, 9, 10, 11, ... c) 0, 1, 2 d) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

b) 4

37 a) C

b) D

b) 60 e 58 c) 200 e 198 d) 601 e 599 e) 1 002 e 1 000 f) 8 021 e 8 019 g) 10 000 e 9 998 h) 11 004 e 11 002 i) 17 000 e 16 998 j) 50 001 e 49 999

c) 5 c) A d) E

38 alternativas b, c, d, f Página 40 41 17 números naturais 42 a) 46 números naturais b) 87 algarismos

43 90 números naturais 44 900 números naturais 45 28 horas extras 46 49 47 391 algarismos 48 1 392 algarismos 49 2 412 algarismos 50 144 páginas

b) 8 560 c) 10 070 d) 2 600 098 e) 30 400 730

61 a) 578

40 26 números naturais c) sim d) 1 999

59 a) 753

60 268, 286, 628, 682, 826 e 862

Página 39 36 a) 2

b) 257 c) 7 009 d) 284 e) 3 518 f) 2 910

b) 7 895 c) 25 438 d) 508 503 e) 3 040 050

62 a) quatro b) 9 c) 6

d) 9 e) duas

63 176 limões 64 498 pontos 66 a) 77 b) 3

c) 350 d) 8

67 a) 8 000 1 900 1 50 1 7 b) 60 000 1 8 000 1 5

Página 52 68 a) trezentos e quarenta e cinco

b) mil, seiscentos e setenta e nove c) oito mil, novecentos e cinquenta d) quinze mil, cento e sessenta e sete e) oitocentos e quinze mil e duzentos f) três milhões, quatrocentos e trinta e sete mil e oito

125

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16/08/13 14:48


69 a) 12 106 b) 530 080 c) 912 300 d) 1 010 013 e) 7 300 015 f) 90 016 008 g) 2 012 100 000 h) 100 250 000 050

70 oito milhões, seiscentos e noventa e dois mil, oitocentos e quarenta e dois

71 a) cento e vinte e cinco reais b) quarenta reais c) quinhentos reais d) novecentos e quinze reais e) oito mil e quinhentos reais f) cinquenta e quatro mil, seiscentos e oitenta reais

72 Cento e quarenta e cinco milhões 74 a) cinco bi b) quarenta e dois mi

Página 54 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 1 2

1955 5 MCMLV 2011 5 MMXI

3

a) 26 b) 1 499 c) 94

4

d) 408 e) 481 f) 798

16, 18, 61, 68, 81 e 86

6

a) 1 234 b) 4 321

7

64 números

8

863 números

9

R$ 894,00

c) 24

Desafio: 308 páginas Página 55 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 2 1

a) 15 b) 20

2

432 algarismos

3

3 310 algarismos

4

a) 10 503

b) 7 000 071

5

a) 8 b) 3 c) 5

d) 7 e) 5 000 000

6

a) 800; 8 000 b) 0; 3 000

7

340 000

8

a) outubro b) sábado

c) 41 d) 160

Desafio: alternativa e

2

a) 9 b) 3 c) 9

3

5 000

4

seiscentos e dezessete milhões, sessenta e cinco mil, trezentos e vinte

5

17 005 000 090

6

2 000

8

a) 64 321 b) 12 346

c) 64 132 d) 43 216

Desafio: 41 Página 57 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 4 1

alternativa b

2

alternativa c

3

alternativa d

Desafio: alternativa a

Testes, vestibulares e concursos 1

alternativa a

2

alternativa d

Página 56 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 3

3

alternativa e

4

alternativa b

1

5

alternativa d

a) novecentos e vinte e quatro mil, quinhentos e onze b) cento e sessenta mil c) cento e noventa e três milhões, trezentos e oitenta mil d) nove trilhões, quatrocentos e sessenta bilhões e oitocentos milhões e) cem milhões

d) 7 000 000 e) 4 f) 3

6

alternativa b

7

alternativa d

8

alternativa c

9

alternativa d

10 alternativa e 11 alternativa e

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

g) cinco milhões e cinquenta mil h) dezoito milhões, quinhentos e quarenta mil e trinta e cinco i) noventa e cinco milhões, treze mil e seiscentos

126

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13/08/13 12:18


RESPOSTAS 7o ANO Capítulo 7 Página 62

5

16 1 017 800 toneladas

Desafio: b) 6

alternativas a, c, e

3

mais provável: C; menos provável: B

17 a) 5,3

4

Sim, porque todas as bolas do saco são verdes.

18 5,2

5

a) impossível b) provável c) certo d) provável a) 1 b) Nenhum, pois as possibilidades são iguais. c) 4 d) 13

b) 6,8

19 R$ 58,60 20 6,5

3 1 a) __ 5 __ 6 2 2 1 b) __ 5 __ 6 3 c) 0 3 8 a) ___ 10 2 4 b) ___ 5 __ 10 5 7 c) ___ 10 2 __ 1 9 __ 5 4 2 6 3 10 ___ 5 __ 16 8 2 __ 1 11 a) __ 5 4 2 3 b) __ 4 4 1 12 ___ 5 ___ 52 13

Página 68 13 a) 6 4 b) __ 3 23 ___ c) 8 d) 9 e) 4 f) 6,15

14 a) 18 b) 22 c) 21

Página 74 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 30 1

alternativa d

2

alternativa d

21 1,64 m

Desafio: alternativa d

Página 71

Página 75 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 31

22 a) 7 e 2

b) 19 e 25 c) 8 e 8 d) 10 e 10 e) 5 e 5 f) mediana: 30; modas: 18 e 30

Página 64 7

aproximadamente R$ 51,32 c) 15%; 7,5%; 10%; 15%; 20%; 15%; 17,5%

Página 69

1

6

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

15 31 783

23 média: 5,0; mediana: 5,3; moda: 5,7 24 a) 9o colocado

b) aproximadamente 12 vezes

Página 72 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 28 1

2

1 a) recipiente A; probabilidade __ 2 1 b) __ 4 a) ímpar

12 b) ___ 25 6 3 2 1 ou ___; ___ ou ___ 3 ___ 20 10 20 10 1 4 __ 8 3 1 __ 5 __ ; 8 8 2 (5, 6) e (6, 5) 6 11; probabilidade ___ 36 13 __ 1 ___ Desafio: a) 52 5 4 1 4 b) ___ 5 ___ 52 13

Página 73 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 29

1

alternativa c

2

alternativa d

Desafio: alternativa b Página 76 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 32 1

alternativa e

2

alternativa b

3

alternativa c

Desafio: alternativa b Página 77 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 33 1

alternativa c

2

alternativa d

Desafio: alternativa c

Testes, vestibulares e concursos 57 alternativa c 58 alternativa e 59 alternativa e 60 alternativa a 61 alternativa a 62 alternativa c 63 alternativa d 64 alternativa e

1

a) 7 economia mundial b) valor superior a 45 bilhões de dólares

2

R$ 1 425,00

67 alternativa d

3

452,5 kg

68 alternativa a

4

11,5 e 15

69 alternativa e

a

65 alternativa c 66 alternativa a

127

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RESPOSTAS 8o ANO b) ai 5 135°; ae 5 45° c) ai 5 140°; ae 5 40° d) ai 5 162°; ae 5 18°

Página 83 1

É uma figura plana formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares dois a dois.

2

a) 3 b) 2

3

É uma linha poligonal fechada simples.

c) 2 d) 1

4

alternativas d, e

5

a) convexo b) convexo

e) 1 f) 4

6

7 9

___ ___

a) quadrilátero ABCD ; lados: AB, BC , ___ ___ CD, DA ; vértices: A, B, C, D; diago___ ___ nais: AC , BD ___ ___ b) hexágono ; lados: AB, BC , ___ ___ ___ABCDEF ___ CD, DE , EF , FA; ___ vértices: A,___ B, C,___ D, ___ ___ E, diagonais: ___ ___ AC , AD, AE , BD, BE , ___F ;___ BF , CE , CF , DF a)  A,  B,  C,  D,  E   a, b, c, d,  e b)  72 cm

10 a) 9

b) 9

Página 97 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 36 40°

26 hexágono

2

24 lados

3

108°

Página 91

4

8 lados

5

5 diagonais

6

72°

7

4 lados e 12 lados

27 a) ac 5 60°

c) ac 5 30° d) ac 5 18°

Página 95 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 34

8

144°

9

hexágono

1

triângulo

10 156°

2

a) AB, BC , CD, DA b) A, B, C, D a,  b, c,  d c)   b1,  c1,  d1 d) a1,  e) 180° f) 180°

11 pentadecágono

3

180°

4

96 000 cm

Página 98 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 37

5

pentadecágono

___ ___ ___ ___

11 1 080°

6

18°

Página 87

7

10 lados

8

n56

9

12 lados

12 a) 5 diagonais

Desafio: x 5 72°; y 5 36°

1

25 9 lados

b) ac 5 36°

c) côncavo d) côncavo

Página 85

24 quadrilátero

14 octógono

12 12° 13 a) 350 diagonais b) 560 diagonais

Desafio: 144°

1

alternativa d

2

alternativa a

3

alternativa b

4

alternativa e

5

alternativa b

6

alternativa e

7

alternativa c

8

alternativa a

Desafio: 5 lados

9

alternativa a

16 44 diagonais

Página 96 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 35

Desafio: 10 lados

17 pentadecágono

1

1 260°

18 13 lados

2

27 diagonais

19 6 diagonais

3

n58

Página 123

4

140°

5

eneágono

71 alternativa c

6

x 5 36°; y 5 108°

7

73 alternativa b

octógono

8

74 alternativa c

n 5 15

9

75 alternativa d

pentágono e decágono

76 alternativa b

b) 27 diagonais c) 90 diagonais d) 170 diagonais

10 a 5 120° 11 a) decágono regular b) 20 metros

13 54 diagonais 14 pentágono 15 11 lados

Página 90 20 a) 360°

b) 1 260° c) 1 620° d) 3 240°

21 a) octógono

b) polígono de 13 lados c) pentadecágono d) dodecágono

22 a) x 5 95°

b) x 5 108°

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

23 a) ai 5 90°; ae 5 90°

Capítulo 9

10 15 estradas

Testes, vestibulares e concursos

72 alternativa c

10 octógono

77 alternativa a

11 12 lados

78 alternativa c

12 hexágono e decágono

79 alternativa b

13 icoságono regular; 3 240°

80 alternativa a

128

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RESPOSTAS 9o ANO Capítulo 12 Página 105 1

R$ 717,50

2

R$ 320,00

3

R$ 425,00

4

R$ 1 800,00

5

R$ 1 050,00

6

R$ 2 251,20

16 R$ 8 800,00 17 R$ 909,03 18 a) R$ 3 200,00 b) R$ 3 238,61

19 R$ 102 805,81 Página 113 20 a) R$ 0,29 b) R$ 0,65

21 a) R$ 1 359 000,00 b) R$ 459 000,00

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Página 108

Página 117 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 58 1

R$ 6 200,00

2

R$ 1 261,62

3

alternativa c

4

R$ 3 688,07

5

alternativa d

Desafio: aproximadamente 1,94%

Testes, vestibulares e concursos

7

1% a.m. R$ 1 280,00 e R$ 21 280,00

Página 116 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos 57

Página 124

8 9

100 meses

1

R$ 812,50

98 alternativa b

10 2,5% ao trimestre

2

25%

99 alternativa a

11 R$ 3 200,00

3

2,2%

100 alternativa e

12 R$ 1 200,00

4

alternativa c

101 alternativa a

5

2,18%

102 alternativa d

14 0,2%

6

50 meses

103 alternativa c

Página 110

7

alternativa d

104 alternativa d

8

R$ 60 000,00

105 alternativa e

13 250 meses

15 R$ 10 241,93

Desafio: 2,32%

97 alternativa b

106 alternativa e

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Em busca dos números perdidos Michael Thomson São Paulo: Melhoramentos, 2011.

REPRODUÇÃO

SUGESTÕES DE LEITURA

Kjartan Poskitt São Paulo: Melhoramentos, 2006.

Matemática mortífera Kjartan Poskitt São Paulo: Melhoramentos, 2009.

REPRODUÇÃO

O autor utiliza uma linguagem diferente e bem-humorada para abordar os conteúdos matemáticos. Por meio de uma proposta criativa e instigante, que facilita a aprendizagem de assuntos vistos na escola e também fora dela, o leitor aprende e se diverte. Com esse jeito especial de explorar as ideias matemáticas, o autor apresenta medidas antigas e atuais, além de área, perímetro, volume, ângulos e figuras geométricas.

O homem que calculava Malba Tahan Rio de Janeiro: Record, 2001.

REPRODUÇÃO

Nessa obra, o autor, mais uma vez, explora o universo da Matemática de maneira divertida e irreverente. Os personagens Jimmy Dedão, Charlie Serra de Cadeia e seus amigos gângsteres vivem situações que mostram como a Matemática pode ser realmente mortífera. Lendo esse livro, você pode aprender muito sobre potenciação, semelhança de triângulos, simetria e muitos outros assuntos matemáticos. Vai conhecer ainda alguns matemáticos famosos que foram realmente durões.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Medidas desesperadas: comprimento, área e volume

REPRODUÇÃO

Onde estarão os números? Lendo essa história, e participando dela, você vai descobrir o que aconteceu com os números e quem foi o culpado pelo seu sumiço. Suspense, aventura e questões desafiadoras para o leitor solucionar prendem a atenção do início ao fim.

Malba Tahan era o pseudônimo usado pelo professor Júlio César de Mello e Souza, apaixonado por Matemática, autor de vários livros de contos e lendas orientais e criador do personagem Beremiz Samir, “o homem que calculava”. O livro narra as aventuras de Beremiz, vividas durante uma viagem a Bagdá, e suas habilidades matemáticas para resolver situações aparentemente sem solução, que, muitas vezes, livram o sábio e seu amigo da morte certa. Um livro fundamental e divertido para todos os leitores. 130

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BIBLIOGRAFIA ALMANAQUE Abril 2013: Brasil. São Paulo: Abril, 2013. Asger Aaboe. Episódios da história antiga da Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1984. Bernard H. Gundlach. Números e numerais. São Paulo: Atual, 2005. (Tópicos de História da Matemática para uso em sala). BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC; SEF, 1998. Brian Bolt. Actividades matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1991. Carl Benjamim Boyer. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher; Edusp, 2010. Constance Kamii. Reinventando a Aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1995.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Delia Lerner Zunino. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 2003. DICIONÁRIO Enciclopédico Tudo. São Paulo: Nova Cultural, 1979. Dione Lucchesi de Carvalho. Metodologia do ensino da Matemática. São Paulo: Cortez, 2009. Elon Lages Lima. Meu professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. Ernesto Rosa Neto. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 2010. George Polya. A arte de resolver problemas. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. Georges Ifrah. História universal dos algarismos. Trad. Alberto Munõz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. . Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1998. Howard Eves. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004. Luiz Márcio Imenes. A numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 1990. (Vivendo a Matemática). Luiz Roberto Dante. Didática da resolução de problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2002. Luzia Faraco Ramos. O que fazer primeiro? São Paulo: Ática, 2001. (A descoberta da Matemática). Malba Tahan. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987. . Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record, 2012. . O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2001. Maria Cristina S. Maranhão. Matemática. São Paulo: Cortez, 1994. (Magistério). Marilia Centurión. Conteúdo e metodologia da matemática: números e operações. São Paulo: Scipione, 1998. Martin Gardner. Matemática, magia e mistério. Trad. Jorge Lima. Lisboa: Gradiva, 1991. Milton Zaro. Matemática experimental. São Paulo: Ática, 1996. Oscar Guelli. Contando a história da Matemática. São Paulo: Ática, 1999. Paul Karlson. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961. Pierre Berloquin. 100 jogos geométricos. Lisboa: Gradiva, 2005. REVISTA do professor de Matemática. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática. Rômulo C. Lins; Joaquim Gimenez. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. 131

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LISTA DE SIGLAS Acafe-SC: Associação Catarinense das Fundações Educacionais Cefet-CE: Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará Cescea-SP: Centro de Seleção de Candidatos às Escolas de Economia e Administração Cesgranrio: Centro de Seleção de Candidatos ao Ensino Superior do Grande Rio CMF-CE: Colégio Militar de Fortaleza Enem: Exame Nacional do Ensino Médio EPCar-MG: Escola Preparatória de Cadetes do Ar Fatec-SP: Faculdade de Tecnologia de São Paulo FEI-SP: Faculdade de Engenharia Industrial FSA-SP: Fundação Santo André Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular Mackenzie-SP: Universidade Presbiteriana Mackenzie OBM: Olimpíada Brasileira de Matemática Obmep: Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas PUC-RJ: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC-RS: Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul PUC-SP: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Saresp: Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São Paulo UCPEL-RS: Universidade Católica de Pelotas Uece: Universidade Estadual do Ceará

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

FGV-SP: Fundação Getulio Vargas

UEFS-BA: Universidade Estadual de Feira de Santana UEL-PR: Universidade Estadual de Londrina Uema: Universidade Estadual do Maranhão UFC-CE: Universidade Federal do Ceará UFG-GO: Universidade Federal de Goiás UFJF-MG: Universidade Federal de Juiz de Fora Ufla-MG: Universidade Federal de Lavras UFMG: Universidade Federal de Minas Gerais UFPB: Universidade Federal da Paraíba UFPE: Universidade Federal de Pernambuco UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRJ: Universidade Federal do Rio de Janeiro

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UFRN: Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFS-SE: Universidade Federal de Sergipe UFSM-RS: Universidade Federal de Santa Maria UGF-RJ: Universidade Gama Filho Unaerp-SP: Universidade de Ribeirão Preto Unesp: Universidade Estadual Paulista Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas Unifor-CE: Universidade de Fortaleza Unirio-RJ: Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

UPE: Universidade de Pernambuco UPF-RS: Universidade de Passo Fundo Urca-CE: Universidade Regional do Cariri UVA-CE: Universidade Estadual Vale do Acaraú

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Matemática Compreensão e Prática Professor, esta amostra apresenta alguns capítulos da coleção Matemática - Compreensão e Prática. Nela, você poderá conhecer a estrutura e o conteúdo programático desenvolvido para proporcionar aulas mais dinâmicas e completas.

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Matemática Compreensão e Prática Ênio silveira • Cláudio marques

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