Δωρεάν Δείγμα Σημειώσεων ΔΕΟ 13 Eclass4U

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ «ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΔΕΟ13

ΟΜΟΣ……

ΤΟΜΟΣ Α- «Επιχειρησιακά Μαθηματικά» ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 2018-2019

Σελίδα 1 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ Ένα σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων (τα οποία είναι μέλη ή στοιχεία του συνόλου) .Εμείς ενδιαφερόμαστε για τα σύνολα των αριθμών Έτσι αξιωματικά τους αριθμούς 0,1,2,3,4…. Τους έχουμε ονομάσει φυσικούς αριθμούς και το σύνολο τους, το συμβολίζουμε με Ν Η εισαγωγή της έννοιας του αντίθετου -αρνητικού δημιούργησε το σύνολο των ακεραίων αριθμών και το σύνολο τους το συμβολίζουμε με Ζ .Οι ακέραιοι αριθμοί δεν είναι άλλοι από τους αριθμούς….-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…. Αναπόφευκτα γεννιέται - διαμορφώνεται και η διάταξη των αριθμών και το ερώτημα πότε «ενας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο», ή ενας αριθμός είναι «μικρότερος από έναν άλλο» Επομένως Σχηματίζοντας τη γραμμή των αριθμών -4 , -3 ,-2 ,-1,

,0 1, 2,

3,

4

Το -2 είναι ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ -3 ΤΟ -4 ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ΤΟΥ -2 Περαιτέρω, η ανάγκη να χωρίσουμε τη μονάδα π.χ σε πέντε μέρη και να πάρουμε τα τρία, δημιούργησε τους ρητούς αριθμούς που δεν είναι άλλοι από τα κλάσματα. Ένα κλάσμα εχει την μορφή

4 5

ή

−3 2

οι αριθμοί 4,-3 ονομάζονται αριθμητές ενώ οι αριθμοί 5,2

ονομάζονται παρανομαστές.

Σελίδα 2 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Ένα κλάσμα εχει τη μορφή

𝛼 𝛽

τότε θα πρέπει να θυμόμαστε

𝜊𝜋𝜊𝜐 𝛼 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜂𝜏𝜂𝜍 𝜅𝛼𝜄 𝛽 𝜊 𝜋𝛼𝜌𝛼𝜈𝜊𝜇𝛼𝜎𝜏𝜂𝜍 𝛼 𝛽

1

=𝛼∗𝛽 𝛼 =1 𝛼

𝜀𝜈𝛼 𝜅𝜆𝛼𝜎𝜇𝛼 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊 𝜇𝜀 𝜏𝜂 𝜇𝜊𝜈𝛼𝛿𝛼 𝜊𝜏𝛼𝜈 𝜊𝜄 𝜊𝜌𝜊𝜄 𝜏𝜊𝜐 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊𝜄 𝜅𝛼𝜄 0 =0 𝛼 𝜀𝜈𝛼 𝜅𝜆𝛼𝜎𝜇𝛼 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊 𝜇𝜀 𝜏𝜊 0 𝜊𝜏𝛼𝜈 𝜊 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜂𝜏𝜂𝜍 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊𝜍 𝜇𝜀 𝜏𝜊 0 𝛼 =𝛼 1 Κάθε αριθμός γράφεται ως κλάσμα με παρανομαστή τη μονάδα Οι αριθμοί που δεν εκφράζονται με κλάσματα ονομάζονται άρρητοι όπως ο αριθμός √𝟐 Όλοι μαζί οι αριθμοί ακέραιοι, κλάσματα ,ρίζες

αποτελούν τους πραγματικούς

αριθμούς και το σύνολο τους το συμβολίζουμε με το γράμμα R.

Σελίδα 3 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

ΠΡΑΞΕΙΣ Είναι σημαντικό με τους αριθμούς να μπορούμε να εκτελέσουμε τις γνωστές πράξεις, πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/σμο, διαίρεση. Έτσι θα πρέπει να ορίσουμε την έννοια των ομόσημων και ετερόσημων αριθμών. Ομόσημοι, λέγονται δυο ή περισσότεροι αριθμοί αν εχουν το ίδιο πρόσημο ,δηλαδή αν είναι όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί. Π.χ οι αριθμοί 2,8,0,1, αριθμοί ,-12, -1, −

2 3

είναι ομοσημοι όπως και οι

2 3

Όταν οι ακέραιοι αριθμοί εχουν το ίδιο πρόσημό τότε αυτοί οι αριθμοί λέγονται ομόσημοι Όταν εχουν διαφορετικά πρόσημά τότε λέγονται ετερόσημοι. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Παρατήρηση 1 •

Όταν έχω ετερόσημους αριθμούς κρατάω το πρόσημό του μεγαλύτερου και αφαιρώ στη περίπτωση που θέλω να προσθέσω

•

Όταν έχω ομόσημους κρατάω το κοινό πρόσημό και προσθέτω

Παραδείγματα πρόσθεσης (+10)+(-2)=+8 , 3-7=-4 , -3+1=-2 (-10)+(+2)=-8

-3+(-5)=-8

, -3-5=-8

,

(+8)+(+2)=+10

(-8)+(-2)=-10 , 3+5-7-8-6=8-21=-13

Προσοχή το άθροισμα 2 αντίθετων αριθμών είναι ίσο με 0 (+10)+(-10)=0 ➢ Συνήθως θα έχουμε να αθροίσουμε περισσοτέρους από 2 αριθμούς Παράδειγμα :

Σελίδα 4 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

(-2)+(+10)+(+4)+(-5)=+(14)+(-7)=+7 προσθέτουμε ξεχωριστά τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς και μετα προσθέτω τα αθροίσματα κρατώντας το πρόσημο του μεγαλύτερου . Παράδειγμα : (+4)+(+12)+(+1)+(-2)+(-8)+(-3)=(=17)+(-21)=-4 ➢ Απλούστερη γραφή αθροίσματός Το άθροισμα

(-2)+(+3)+(-8)+(-2)+(+6) μπορούμε να το γράψουμε απλουστέρα

παραλείποντας τις παρενθέσεις (-2)+(+3)+(-8)+(-2)+(+6)= -2+3-8+6 Παραδείγματα αφαίρεσης προσοχή στις παρενθέσεις (+5)-(+2)=+3, (+5)-(-2)=5+2=7, (-5)-(+2)=-7, 0-(-2)=2

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ α+β=β+α

Αντιμεταθετική ιδιότητα

α+(β+γ)=(α+β)+γ

Προσεταιριστική ιδιότητα

α+0=0+α=α α+(-α)=0

Το άθροισμα δυο αντιθέτων είναι 0

Προσοχή στον κανόνα απαλοιφής Θα το συναντάμε σε αλγεβρικές παρενθέσεων δηλαδή –(α+β)=-α-β

παραστάσεις

Σελίδα 5 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να έχω υπόψιν ότι τον εξής κανόνα : Θα πολλαπλασιάζω τους αριθμούς και στο γινόμενο θα βάζω το πρόσημο + αν είναι ομοσημοι και το – αν είναι ετερόσημοι . + *+

αποτέλεσμα

+ θετικό

- *-

αποτέλεσμα

+ θετικό

+*-

αποτέλεσμα

- Αρνητικό

-* +

αποτέλεσμα

+*+ και -*- το αποτελεσμα θα είναι θετικό + και οι αριθμοί θα είναι ομοσημοι Ενώ όταν έχω πράξη +*- και -*+ το αποτελεσμα είναι αρνητικό – και οι αριθμοί είναι ετερόσημοι . Επομένως (-1)*α=-α

(+2)*(+3)=+6,

(-α)*β=-αβ

(-2)*(+3)=-6

(+2)*(-3)= -6 , (-2)*(-3)=+6 0*(-2)=0

0*(+2)=0

-α*(-β)=αβ

Ιδιότητα

Πρόσθεση

πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική

α+β=β+α

α*β=β*α

Προσεταιριστική

α+(β+γ)=(α+β)+γ

α*(β*γ)=(α*β)*γ

Επιμεριστική

α*(β+γ)=αβ+αγ α*(β-γ)=αβ-αγ

Ουδέτερο Στοιχείο

α=0=α

α*1=α

α+(-α)=0

α*1/α=1 με α≠0

Σελίδα 6 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

Παρατήρηση ❖ α*0=0 δηλαδή αν πολ/ζω έναν αριθμό έστω 5*0=0 1

❖ όταν ένα πολλαπλασιασμό όπως 2 ∗ 2 = 1 το γινόμενο αυτό κάνει πάντα 1 και οι 1

αριθμοί 2 Και 2 λέγονται αντίστροφοι ❖ στην περίπτωση όπου α*β=0 τότε α=0 ή β=0 και αν α*β≠0 τότε α≠0 και β≠0 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

𝜶 𝜷

Στην περίπτωση της διαίρεσης ενός ρητού αριθμού, έστω α και ενός μη μηδενικού αριθμού β θα πρέπει να έχω υπόψιν ότι τον εξής κανόνα : Αν οι αριθμοί α,β είναι ομοσημοι τότε το αποτελεσμα είναι θετικό + Αν οι αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι τότε το αποτελεσμα είναι αρνητικό – Παραδείγματα +8 −2

−10

= −4 ,

−5

−3

= +2,

−6

3

1

6

2

= =

Παρατήρηση Αν α=0 τότε

𝛼 𝛽

0

0

𝛽

−10

= 0, = 0 𝜋. 𝜒

=0

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΟΤΑΝ θα πρέπει να προσθέσω ή να αφαιρέσω ομώνυμα κλάσματα δηλαδή κλάσματα που εχουν τον ίδιο παρανομαστή τότε προσθέτω η αφαιρώ τους αριθμητές 𝛼 𝛽 𝛼±𝛽 ± = 𝜇𝜀 𝛾 ≠ 0 𝛾 𝛾 𝛾

Σελίδα 7 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

ΟΤΑΝ τα κλάσματα είναι ετερώνυμα Τότε θα πρέπει να τα κάνω ομώνυμα με τη χρήση του ΕΚΠ(ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) βάζω καπελάκια ,,,, 1

Έστω

2

2

3

4

7

3

6

6

6

+ = + =

Ελάχιστο Κ.Π(2,3)= 6 2,4,6 3,6.9.12

3 4 3∗3 4∗2 9 8 1 − = + = − = 2 3 2∗3 3∗2 6 6 6 Έστω

•

1

•

−2

•

−5

2

1

1

3

12

+ −

3

3

+

−

5 −4

1 −2

=

6+4−1 12

=

9 12

=

3 4

2

5

2

5

8

3

4

3

4

12

5

1

5

1

10

3

2

3

2

6

= − + (− ) = − − = −

= − − (− ) = − + = −

−

15 12

=−

23 12

3

7

6

6

+ =−

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Έστω α ενας ρητός αριθμός (θετικός ή αρνητικός ή 0) και ν ενας θετικός φυσικός αριθμός αν ν>1 το γινόμενο α*α*α*α*α…. συμβολίζεται 𝛼 𝜈 = 𝛼 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼 … ( 𝜈 𝜋𝛼𝜌𝛼𝛾𝜊𝜈𝜏𝜀𝜍 ) Παράδειγμα 𝛼2 = 𝛼 ∗ 𝛼 . 𝛼3 = 𝛼 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼 Σελίδα 8 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

όπου α ονομάζεται βάση και ν είναι ο εκθέτης Πρόσημο δύναμης Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι Παράδειγμα : (+2)3=2*2*2=8

θετικός αριθμός Δύναμη

με βάση αρνητικό αριθμό Παράδειγμα :

και εκθέτη άρτιο (ζυγό) είναι θετικός (-3)4 =(-3)*(-3)*(-3)*(-3)=+81 αριθμός Δύναμη με βάση και εκθέτη

αρνητικό αριθμό Παράδειγμα

περιττό (μόνο)αριθμό (-2)3=(-2)*(-2)*(-2)=-8

είναι αρνητικός αριθμός ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Στο τυπολόγιο σας εμφανίζονται οι παρακάτω ιδιότητες

Σελίδα 9 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

Ας τις εξετάσουμε • •

a 0 = 1 παράδειγμα 30=1 a1 = a παράδειγμα 31 =3 παρατήρηση χ1=χ και για αυτό δεν το γράφω χ1

•

a n a m = a n + m παράδειγμα

23 ∗ 25 = 23+5 = 28

Ας δούμε μια εφαρμογή με μεταβλητή 𝜒(𝜒 2 − 𝜒 3 ) = 𝜒 3 − 𝜒 4

70

•

3 an n−m , για α  0 παράδειγμα = a 368 am

= 370−68 = 32 = 9

Ας δούμε μια εφαρμογή με μεταβλητή

3𝜒 2 − 5𝜒 + 6 3𝜒 2 5𝜒 6 6 = − + = 3𝜒 − 5 + 𝜒 𝜒 𝜒 𝜒 𝜒 •

a nb n = (ab) n παράδειγμα (2 ∗ 10)3 = 23 ∗ 103 = 8 ∗ 1000 = 8000

•

Παράδειγμα με μεταβλητή

•

(𝜒 2 ∗ 𝑦 3 )4 = (𝑥 2 )4 ∗ (𝑦 3 )4 κάνοντας χρήση της ιδιότητας (a n ) m = a nm είναι

𝝌𝟖 ∗ 𝒚𝟏𝟐 n

•

5 2 an  a  , για α, b  0 παράδειγμα ( ) =   3 bn  b 

• a−n = Παράδειγμα

52

= 32 =

25 9

1 , για α  0 αυτή τη ιδιότητα θα την χρησιμοποιούμε συχνά an

1

1

1

1

5−2 = 52 ,(−2)−3 = (−2)3 = −8 = − 8 Σελίδα 10 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr

Παράδειγμα με μεταβλητή που θα την συναντάμε συχνά 𝜒 −2 = Παράδειγμα 𝛼 −1

=

1 𝜒2

1 𝛼

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η n-οστή ρίζα ( όπου n θετικός αριθμός) ενός μη αρνητικού αριθμού α είναι ο θετικός εκείνος αριθμός που όταν υψωθεί στη n θα δίνει τιμή α Παράδειγμα √9 = 3 𝛿𝜄𝜊𝜏𝜄 32 = 9 ή √16 = 4 𝛿𝜄ό𝜏𝜄 42 = 16 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ Στο τυπολόγιο σας εμφανίζονται οι ιδιότητες των ρίζων Οι βασικότερες είναι οι εξής διότι χρησιμοποιούνται σε πολλες ασκήσεις του Α τόμου και τις αγαπούν πολύ στο ΕΑΠ.

•

Κάθε αριθμός άρα και μεταβλητή κλάσματος

που εχει υψωθεί σε δύναμη με τη μορφή

μπορεί να πάρει τη μορφή a

n

m

= m an

Επομένως •

a

1

2

1

= a παράδειγμα 3 2 = √3 = 1,7320 εμείς θα το βλέπουμε την ιδιότητα αυτή 1

συνήθως σε σχέση με μια μεταβλητή έστω χ. Έτσι 𝜒 2 = √𝜒 •

a

1

3

1

= 3 a ομοίως σε σχέση με μια μεταβλητή 𝜒 3 = 3√𝜒

Συνήθως θα πρέπει να υπολογίζω μια αριθμητική παράσταση ακολουθώντας την ακόλουθη σειρά για την εκτέλεση των πράξεων • • • •

Παρενθέσεις και αγκύλες Δυνάμεις και ρίζες Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις Προσθέσεις &αφαιρέσεις Σελίδα 11 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr