Calculo integral by EAD UNIFACS

CÁLCULO INTEGRAL

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Adriana Trigolo Revisor Técnico

Diniz Alves de Sant’Ana Silva Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO CARTA AO ALUNO................................................................................................................ 6 AULA 1 - INTEGRAL INDEFINIDA.......................................................................................... 7 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 7 OBJETIVOS................................................................................................................ 8 1.1 Integral Indefinida............................................................................................ 8 1.2 Algumas Técnicas de Integração.................................................................... 21 1.2.1 Integração por Substituição (ou por Mudança de Variável)................... 23 CONCLUSÃO........................................................................................................... 28 AULA 2 - MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES............................................................... 29 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 29 OBJETIVOS.............................................................................................................. 30 2.1 Integração por partes..................................................................................... 30 CONCLUSÃO........................................................................................................... 44 AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA............................................................................................ 45 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 45 OBJETIVOS.............................................................................................................. 46 3.1 Integral Definida............................................................................................. 46 3.1.1 Somatória................................................................................................ 46 3.1.2 Regiões delimitadas por curvas.............................................................. 50 3.2 A Integral Definida, ou Integral de Riemann................................................. 58 3.2.1 Propriedades da Integral Definida.......................................................... 64 3.2.2 Teorema do Valor Médio para Integrais ................................................ 69 3.3 Teoremas Fundamentais do Cálculo .............................................................. 73 CONCLUSÃO........................................................................................................... 76 AULA 4 - CÁLCULO DE ÁREAS............................................................................................ 77 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 77 OBJETIVOS.............................................................................................................. 78 4.1 Cálculo de áreas............................................................................................. 78 4.2 Integração Numérica...................................................................................... 93 4.2.1 Regra do Trapézio .................................................................................. 93 4.2.2 Regra de Simpson .................................................................................. 99 CONCLUSÃO......................................................................................................... 106

AULA 5 - APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL................................................................. 107 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 107 OBJETIVO.............................................................................................................. 108 5.1 Comprimento de Arco................................................................................... 108 5.1.1 Comprimentos de curvas paramétricas................................................ 122 CONCLUSÃO......................................................................................................... 125 AULA 6 - CÁLCULO DE VOLUME....................................................................................... 127 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 127 OBJETIVOS............................................................................................................ 128 6.1 Volumes........................................................................................................ 128 6.1.1 Volume por fatiamento......................................................................... 129 6.1.2 Sólidos de revolução ........................................................................... 136 6.1.3 Volume por discos perpendiculares aos eixos x e y............................ 137 6.1.4 Volume por arruelas perpendiculares aos eixos x e y......................... 140 6.1.5 Volume de sólidos por cascas cilíndricas.............................................. 145 CONCLUSÃO......................................................................................................... 152 AULA 7 - INTEGRAL DUPLA.............................................................................................. 153 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 153 OBJETIVOS............................................................................................................ 154 7.1 A Integral Dupla............................................................................................ 154 7.1.1 Cálculo de Integrais Duplas.................................................................. 159 7.1.2 Integrais Iteradas.................................................................................. 160 7.2 Propriedades das Integrais Duplas............................................................... 166 7.3 Aplicações da Integral Dupla........................................................................ 171 CONCLUSÃO......................................................................................................... 178

AULA 8 - INTEGRAL TRIPLA.............................................................................................. 179 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 179 OBJETIVOS............................................................................................................ 180 8.1 A Integral Tripla............................................................................................ 180 8.2 Propriedades das Integrais Triplas................................................................ 181 8.3 Cálculo de Integrais Triplas em Caixas Retangulares................................... 182 8.3.1 Cálculo de integrais triplas em regiões mais gerais ........................... 184 8.4 Aplicações da Integral Tripla........................................................................ 188 CONCLUSÃO......................................................................................................... 191 REFERÊNCIAS................................................................................................................... 193

CONTABILIDADE SOCIETÁRIA

CARTA AO ALUNO Caro estudante, seja bem-vindo! Cálculo Integral é uma disciplina que reúne conceitos muito importantes e necessários à Engenharia. Você utilizará o conteúdo estudado aqui em várias situações reais. Uma das aplicações do Cálculo Integral é na determinação do centro de massa de uma estrutura de concreto, algo fundamental para construir estruturas resistentes. Você também poderá usar o que aprender ao longo deste material para determinar o momento de uma força em relação a um eixo ou o momento da inércia. Também, se optar por ser um engenheiro de produção, terá subsídios para medir a satisfação das pessoas com a aquisição de um produto, calculando o excedente de consumo. O profissional da Engenharia trabalha, muitas vezes, com aproximações de resultados e, por isso, também precisa estimar os erros apresentados. Você aprenderá a identificar e calcular esses erros. Isso será útil, por exemplo, na estimativa do custo da construção de uma estrada reta e nivelada, fazendo um corte através de um morro. Para isso, os engenheiros precisam conhecer o volume de terra que deve ser removido do local onde será construída a estrada. Leia com atenção suas aulas e busque sempre que necessário apoio no referencial bibliográfico disponibilizado ao longo da disciplina, para que você possa, cada vez mais, solidificar os saberes proporcionados pelo Cálculo Integral. Não se esqueça de praticar o que aprendeu com a resolução de exercícios, pois são eles que permitem que você desenvolva habilidades específicas da área e fazem com que você fixe os conceitos envolvidos. Bom estudo!

AULA 1 Integral Indefinida

INTRODUÇÃO Cálculo Diferencial e Integral são ferramentas muito importantes para diversas áreas do conhecimento, entre elas os cursos de Engenharia, por possibilitarem o estudo e a modelagem de situações-problema reais. A integração surgiu, historicamente, da necessidade de se calcular áreas de figuras cujos contornos não são figuras planas, como quadrados, triângulos e outras. Mas o Cálculo Integral não se restringe apenas a isso. Ele tem inúmeras aplicações, entre elas o cálculo do volume de sólidos por cortes e de discos e anéis circulares; do comprimento do arco de uma curva; do centro de massa de uma partícula; da massa total de uma barra; do centroide de uma região plana; do trabalho para esticar uma mola; da pressão líquida e da taxa de crescimento de uma comunidade proporcional à população em determinado instante. Os dois principais conceitos do Cálculo, derivado e integral, são desenvolvidos a partir de ideias geométricas relativas a curvas. A derivada resulta da construção das tangentes a determinada curva. Já a integral provém do cálculo da área de uma região limitada por uma curva.

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Como engenheiro, você utilizará a integral no estudo e dimensionamento de vigas. Outra aplicação é o desenvolvimento de um modelo matemático aplicado ao controle do processo de esterilização de alimentos enlatados. Você também poderá usar os conhecimentos que obterá a partir de agora para medir a velocidade e a aceleração, por exemplo, de um foguete de água e ar comprimido, utilizando a integral de funções baseada em informações como variação de tempo, distância e velocidade. Nesta aula, você estudará a integral indefinida e as técnicas de integração, que serão muito úteis para você compreender a integral definida, que será o assunto de aulas posteriores.

OBJETIVOS » » Reconhecer a importância da integral indefinida como subsídio para a integral definida. » » Compreender as propriedades da integral indefinida na resolução de exercícios. » » Compreender as regras da integral indefinida aplicando os conceitos matemáticos básicos. » » Aplicar o Cálculo Diferencial para a resolução de alguns casos de integral indefinida.

1.1 INTEGRAL INDEFINIDA Ao estudar Matemática, você já deve ter se habituado a trabalhar com operações inversas: a subtração inversa da adição, a divisão inversa da multiplicação e radiciação e logaritmação como inversas da potenciação, por exemplo. Agora, é hora de aprender a integração (antidiferenciação ou antiderivação) como inversa da derivação (diferenciação). Quando você estudou diferenciação, viu situações em que havia uma função e era preciso obter, a partir dela, outra função, que chamamos de derivada. Agora, você fará o inverso. Isto é, é dada a derivada e será necessário encontrar a função original, que chamaremos de primitiva. Para isso, é importante conhecer as regras de derivação e as derivadas de várias funções. Veja a seguir a ilustração de algumas primitivas da função f(x) = 2.

Figura 1 – Representação de algumas curvas da família y = x2 + c. Fonte: Costa (2014).

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Você pode criar os seus próprios gráficos. Busque pela ferramenta Geogebra, um software livre para fins didáticos, no site <www.geogebra.org.>.

Uma função F, que é a primitiva de uma função f(x) em um intervalo I, será chamada de integral ou antiderivada de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x), para todo x em I. Para compreender melhor esse conceito, analise o seguinte exemplo. Se F for definida por F(x) = 4x³ + x² + 5, então F’(x) = 12x² + 2x. Desse modo, se f for a função definida por f(x) = 12x² + 2x, afirmamos que f é a derivada de F, F é integral de f, e F é a primitiva de f(x). Da mesma forma, se G for a função definida por G(x) = 4x³ + x² – 17, então G também será uma integral de f, pois G’(x) = 12x² + 2x. Com isso, toda função dada por 4x³ + x² + c, com c uma constante qualquer, é uma integral de f. Para afirmar que qualquer integral particular de f em um intervalo I será dada por F(x) + c, em que c é uma constante arbitrária, chamada de constante de integração, é necessário utilizar dois teoremas. » » Teorema 1: Se f e g forem duas funções, tais que f’(x) = g’(x) para todo x no intervalo I, então haverá uma constante k, tal que f(x) = g(x) + k , para todo x em I. » » Teorema 2: Se F for uma integral particular de f em um intervalo I, então toda integral de f em I será dada por F(x) + c (1), em que c é uma constante arbitrária e todas a as integrais de f em I poderão ser obtidas de (1), atribuindo-se certos valores a c. Logo, integração ou antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as integrais de uma dada função. O símbolo ∫ denota a operação: ∫ f(x)dx = F(x) + c, em que F’(x) = f(x) e d(F(x)) = f(x)dx

Integral indefinida é uma família de antiderivadas de uma dada função.

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Foi o matemático e filósofo alemão Gottfried Leibniz quem introduziu a convenção de escrever a diferencial de uma função após o símbolo de integração. Ele viveu entre 1646 e 1716 e foi um gênio universal, um dos fundadores da ciência moderna (TENT, 2012).

Como a integração é a operação inversa da derivação, os teoremas sobre integração podem ser obtidos dos teoremas sobre derivação. Assim, são válidos os seguintes teoremas: » » Teorema 3: ∫ dx = F(x) + c . Quando você derivar x + c, ou seja, d(x + c), obterá dx. Logo, ∫ dx = F(x) + c. » » Teorema 4: ∫ af (x)dx = a ∫ f(x)dx, em que a é uma constante. Ou seja, para determinarmos uma integral do produto entre uma constante e uma função, achamos primeiro uma integral da função, multiplicando-a, em seguida, pela constante. Veja a seguir um exemplo de aplicação desses dois teoremas. Exemplo 1

2x + c » » Teorema 5: Se f1 e f2 estão definidas no mesmo intervalo, então ∫ [f1(x) + f2(x)]dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2(x)dx. Em outras palavras, a integral da soma de funções é a soma das integrais dessas funções. Ou seja, para encontrar a integral da soma de funções, você deve primeiro encontrar a integral de cada uma das funções separadamente e, então, somar os resultados, ficando subentendido que ambas funções estão definidas no mesmo intervalo. Tal teorema pode ser estendido a um número finito de funções. Exemplo 2

O segundo termo da soma de integrais você já sabe calcular utilizando o teorema 4. Porém, você ainda não aprendeu como resolver a primeira integral dessa soma. Não se preocupe: em breve, você poderá resolver por completo o exemplo 2.

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Combinando os teoremas 4 e 5, temos o seguinte: Teorema 6: Se f1 , f2, ..., fn estão definidas no mesmo intervalo, ∫ [c1f1(x) + c2f2(x) + c3f3(x) + ... + cnfn(x)]dx = c1 ∫ f1(x)dx + c2 ∫ f2(x)dx + ... + cn ∫ fn(x)dx, em que c1, c2, ... , cn são constantes. Exemplo 3

» » Teorema 7: Se n for um número racional,

, com n ≠ –1

Exemplo 4

Figura 2 – Representação da função f(x) = x2 e da ∫ x2 dx Fonte: Costa (2014).

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Agora, é hora de retomar o exemplo 2. Agora que você já aprendeu o Teorema 7, podemos concluir a resolução dele. Você chegou até o seguinte passo da resolução:

Vamos prosseguir utilizando o Teorema 7 no primeiro termo da soma de integrais. Na segunda parte, é só usar o Teorema 3.

Como c1 e c2 são constantes arbitrárias, podemos escrever a expressão da seguinte forma: x² + 5x + c » » Teorema 8: ∫ senx dx = – cosx + c.

Figura 3 – Representação gráfica do Teorema 8. Fonte: Costa (2014).

» » Teorema 9: ∫ cosx dx = senx + c. » » Teorema 10: ∫ sec2x dx = tgx + c.

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Figura 4 – Representação gráfica do Teorema 10. Fonte: Costa (2014).

» » Teorema 11: ∫ cosec2x dx = –cotgx + c. » » Teorema 12: ∫ secx tgx dx = secx + c. » » Teorema 13: ∫ cosecx cotgx dx = –cosecx + c. Exemplo 5 ∫ (3secx tgx – 5cosec2x)dx Resolução Aplicando os Teoremas 12 e 11, temos:

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Figura 5 – Representação gráfica do exemplo 5. Fonte: Costa (2014).

É importante relembrar algumas importantes identidades trigonométricas, pois estas são muito usadas quando calculamos integrais envolvendo funções trigonométricas. Destacamos as descritas a seguir como bastante importantes:

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Exemplo 6

Na sua vida como engenheiro, você poderá enfrentar situações nas quais, por exemplo, você conhece a função da velocidade escalar v em um movimento e precisa encontrar a função horária (ou função de posição) s. Você sabe como fazer isso? Será preciso tomar a derivada

para, a partir dela,

encontrar uma função s, cuja derivada é dada. Considerando v(t) = 2t, você terá de achar s tal que

Outra situação seria encontrar uma função f, conhecendo, em cada x do seu domínio, a inclinação da reta tangente ao gráfico em determinado ponto. Ou seja, queremos encontrar f, conhecendo f’. Por exemplo, sendo

, queremos achar f.

As integrais são usadas até mesmo na Economia, quando é dada a função custo marginal e você precisa encontrar a função custo total. Para resolver problemas como esses, você terá de encontrar uma integral específica que satisfaça determinadas condições – chamadas inicial ou lateral – conforme elas ocorram no ponto inicial ou para os extremos do intervalo de definição da variável. Acompanhe os exemplos. Exemplo 7 A velocidade escalar em um movimento é dada por v(t) = t2⁄3. Ache a função horária do movimento, sabendo que essa função vale 1 no instante t = 0. Resolução Temos:

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Ou seja:

Sabemos que s(0) = 1. Fazendo t = 0 na equação anterior, resulta em s(0) = c, ou seja, 1 = c. Substituindo na expressão s(t), obtemos:

que é a função horária do movimento, sabendo que ela vale 1 no instante t = 0.

Figura 6 – Representação gráfica do exemplo 7. Fonte: Costa (2014).

Exemplo 8 a) O custo marginal para produção de uma quantidade x de um bem é dado por Sabendo que o custo fixo é 40, determine a função custo.

b) O custo médio marginal relativo à produção de um bem é dado por Calcule o custo total, sabendo que o custo para produzir uma unidade (x = 1) é 79. Resolução a) A definição geral do conceito marginal em Economia refere-se à derivada das funções receita, lucro e custo médio, acrescidas do índice inferior mg. Tomando

, logo:

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Ou seja:

O custo fixo é obtido considerando x = 0 na expressão anterior, então, C(0) = c. Sabemos que o custo fixo é 40, logo, c = 40. Assim, substituindo na expressão de C(x), obtemos:

Figura 7 – Representação gráfica do exemplo 8 (a). Fonte:Costa (2014).

b) Temos:

Logo:

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Nesse caso, não foi dada uma condição inicial para Cm, ou seja, não foi adiantado nenhum valor dessa função. Se isso fosse feito, permitiria a determinação da constante c. Isso não é relevante, pois foi informada uma condição inicial para C. Como

, de modo que C(x) = x Cm(x):

Usando a informação de que C(1) = 79 e substituindo na expressão: C(x) = x3 – 12x2 + 30 + cx, temos:

Portanto: C(x) = x3 – 12x2 + 30 + 60 18

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Figura 8 – Representação gráfica do exemplo 8 (b). Fonte: Costa (2014).

Exemplo 9 Em qualquer ponto (x,y) de determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x – 5. Considere f(x) ⊂ IR. Se a curva contém o ponto (3,7), encontre sua equação. Resolução Como a inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x,y) é o valor da derivada nesse ponto, temos:

A equação y = 2x2 – 5x + c representa uma família de curvas. Mas objetivamos encontrar a curva dessa família que contém o ponto (3,7) e, para tanto, devemos substituir x por 3 e y por 7, obtendo: 7 = 2(9) – 5(3) + c 7 = 18 – 15 + c c=4

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Ao substituir c por 4 na equação y = 2x2 – 5x + c, obteremos a equação da curva pedida, que é: y = 2x2 – 5x + 4

Figura 9 – Representação de algumas curvas da família y = 2x2 – 5x + c , da curva y = 2x2 – 5x + c e da reta com inclinação y = 4x – 5. Fonte: Costa (2014).

O gráfico anteriormente representado foi construído com auxílio da ferramenta ZGrapher, que é um software livre, disponível para download em <http://download.cnet.com/ZGrapher/3000-2053_4-10350845. html>. Você mesmo pode criar seus gráficos com ele!

No gráfico, podemos observar que as parábolas coloridas representam parte da família de curvas y = 2x2 – 5x + c. A curva em vermelho é a curva da família y = 2x2 – 5x + c que contém o ponto (3,7). Muitas integrais não podem ser calculadas de forma imediata utilizando os teoremas que você viu até aqui. Portanto, é preciso aprender algumas técnicas que o auxiliarão na resolução dessas integrais. Para facilitar o trabalho na aplicação dessas técnicas, veja a seguir uma tabela básica de primitivas. Tabela 1 - Tabela básica de primitivas

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Fonte: Boulos (1999).

Você pode encontrar outras tabelas de integrais mais completas nos livros que constam nas referências desta aula.

1.2 ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Mesmo com as técnicas de integração, encontrar a primitiva de uma função nem sempre é uma tarefa fácil. É muito grande a quantidade de situações em que artifícios matemáticos específicos devem ser utilizados, os quais têm base nos métodos que você verá a seguir. » » Teorema 14: a regra da cadeia (ou encadeamento) para a antidiferenciação Considere ɡ uma função diferenciável, e o intervalo I é a imagem de ɡ. Suponha que f seja uma função definida em I e que F seja uma antiderivada de f em I. Então:

Como um caso particular do teorema 14, a partir do teorema 7, temos a fórmula da potência generalizada para a integral a seguir, que é o próximo Teorema. Teorema 15: se ɡ for uma função diferenciável e se n for um número racional

Exemplo 10 Calcule

Resolução

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Temos que ɡ(x) = 3x + 4 então ɡ’(x)dx = 3dx. Assim, precisamos de um fator de 3 que acompanhe dx para dar ɡ’(x)dx . Assim, escrevemos:

Do teorema 15, com ɡ(x) = 3x + 4 e ɡ’(x)dx = 3dx, temos:

Exemplo 11 Encontre fx2(5 + 2x3)8 dx. Resolução Note que, se ɡ(x) = 5 + 2x3, então e ɡ’(x)dx = 6x dx. Como fx2(5 + 2x3)8 dx = f (5 + 2x3)8 (x2)dx, precisamos de um fator 6 que acompanhe x dx para obtermos ɡ’(x)dx. Dessa forma, escrevemos:

Aplicando o teorema 15, com ɡ(x) = 5 + 2x e ɡ’(x)dx = 6x dx, obtemos:

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Exemplo 12 Calcule ∫ x cos2x dx. Resolução Tomando ɡ(x) = 2x2 então ɡ’(x)dx = 2x dx. Como ∫ x cos2x dx = ∫(cosx2) (x dx), precisamos de um fator 2 acompanhando x dx para obtermos ɡ’(x)dx. Assim, escrevemos:

Segundo o teorema 14:

Se, nessa fórmula, ∫ for a função cosseno, então F será a função seno, e teremos:

Sempre que você quiser conferir se o resultado de sua integração está correto, basta derivá-lo. Se você encontrar o integrando, ou seja, o termo que aparece após o símbolo de integração, então você integrou a função corretamente.

Às vezes, é possível calcular integrais fazendo uma mudança de variável, recurso muito útil quando você tem o produto de funções em que uma delas é a derivada da outra. Esse artifício facilita a visualização da integral que você tem a resolver. A seguir, você conhecerá um método de integração, que advém do método que você acabou de aprender.

1.2.1 Integração por Substituição (ou por Mudança de Variável) A integração por substituição (ou por mudança de variável) é baseada na Regra da Cadeia. Assim, poderíamos utilizá-la para resolver os exemplos 10, 11 e 12. A ideia de usar a Integração por Substituição é substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples. Para isso, basta mudar a variável x por uma nova variável u, que é uma função de x. O maior desafio desse método de integração é descobrir uma substituição apropriada. Você deve tentar escolher u como uma função cuja derivada também faça parte do integrando. E, se isso não der certo, tente escolher u como uma parte complicada do integrando.

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É comum cometer erros na escolha da substituição e, por isso, se algo der errado na primeira tentativa, tente outra alteração.

Agora, veja como ficariam as resoluções dos exemplos 10, 11 e 12 utilizando a Integração por Substituição. Exemplo 13 Calcule

Resolução

Como u = 3x + 4, temos:

Exemplo 14 Encontre fx2(5 + 2x3)8 dx Resolução

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Como u = 5 + 2x2, temos:

Exemplo 15 Calcule ∫ x cos2x dx. Resolução

Como u = x2, então:

Você percebeu que utilizar o método da substituição simplificou o uso do método da Regra da Cadeia? Você também poderia ter resolvido esse exemplo de outra forma. Observe:

Assim:

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Como

, temos:

Veja agora outro exemplo. Exemplo 16 Determine Resolução Seja u = 1 + x

x = u – 1

du = dx

Temos:

Ao aplicar o quadrado da diferença, temos:

Multiplicando tudo que está entre parênteses por u1/2, obtemos:

Como u = 1 + x, temos:

AULA 1 – INTEGRAL INDEFINIDA

Em ɡ(x), se você considerar c = 0, obterá a seguinte representação gráfica:

Figura 10 – Representação gráfica do exemplo 14. Fonte:Costa (2014).

Exemplo 17 Calcule ∫ sen x cos x dx. Resolução Note que o fator cos x é a derivada de sen x, então fazemos u = sen x. Logo, du = cos x dx . Substituindo em ∫ sen x cos x dx, temos:

Figura 11 – Representação gráfica do exemplo 14. Fonte: Costa (2014).

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O que você acabou de conhecer sobre integral indefinida e as técnicas de integração será extremamente importante e necessário para que você avance no estudo do Cálculo Integral. É um conteúdo fundamental para que você entenda a integral indefinida, ou seja, o valor numérico da variação da primitiva de uma função contínua em um intervalo [a, b], nesse intervalo. Em outras palavras, conhecendo ∫ f(x)dx, você pode encontrar o valor numérico dessa integral em um intervalo . [a, b], que é

Toda técnica de integração é limitada, ou seja, pode resolver algumas integrais, mas não todas.

Você aprenderá como resolver integrais indefinidas na aula 3. Por enquanto, o que você precisa saber é que o conceito de integral indefinida, bem como seus teoremas e suas técnicas de integração, é muito importante para que você possa aprender integral definida e avançar no estudo do Cálculo Integral.

CONCLUSÃO O Cálculo Diferencial e Integral será uma ferramenta muito útil para sua formação profissional. Nesta aula, você aprendeu algumas regras e conceitos básicos que você utilizará para resolver problemas futuros, que você verá em aulas mais à frente. Você viu algumas aplicações do Cálculo Diferencial e, mais especificamente, da Integral. Estudou a definição de integral indefinida e as visualizou como uma família de antiderivadas de determinada função. A partir daí, você estudou diversos teoremas que permitem encontrar as primitivas das funções conhecendo sua derivada, bem como as técnicas de integração. Assim, você deu um grande passo para aprender sobre a Integral Definida, que está diretamente ligada ao cálculo da área de regiões curvilíneas. Com isso, você deve ter percebido que a integral é muito importante na construção de modelos matemáticos que permitirão resolver situações-problema do cotidiano de seu ambiente de trabalho. Na próxima aula, você conhecerá mais um método de integração. Até lá!

AULA 2 Método de Integração por Partes

INTRODUÇÃO Na aula 1, você aprendeu sobre a integral indefinida e conheceu duas técnicas de integração para encontrar integrais não imediatas: a Regra da Cadeia para a Antidiferenciação e a Integração por Substituição (ou Mudança de Variável). Agora, é hora de estudar a Integração por partes. Assim como os métodos de integração estudados anteriormente, consiste em calcular integrais não imediatas. Essa técnica, no entanto, deve ser utilizada para determinar a integral do produto de duas funções diferenciáveis, em que uma não é a derivada da outra. Você utilizará a Integração por partes, por exemplo, quando você precisar encontrar a distância percorrida por uma partícula, em função do tempo, quando você já conhecer a velocidade. Isso é válido para os casos em que a velocidade for expressa pelo produto entre duas funções (uma não derivada da outra) e a integração de uma delas não for trivial. Consegue perceber que nem a integração direta nem os métodos de integração que você aprendeu até agora o ajudarão a solucionar esse problema? Para que você consiga soluções para situações como essa, você aprenderá o método da Integração por partes.

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OBJETIVOS » » Compreender que nem sempre é possível aplicar as regras de integração diretas para resolver um exercício. » » Aplicar os conceitos de derivada para calcular exercícios e problemas que envolvem Integração por partes.

2.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES Você vai aprender agora uma técnica empregada na integração do produto de duas funções em que uma é facilmente integrável e a outra pode ser simplificada quando derivada. É a Integração por partes. Ela é diferente da Integração por Substituição, usada quando você precisa integrar, por vezes, o produto de duas funções quando uma é a derivada da outra. Na Integração por Substituição, as funções não têm as mesmas características, isto é, um termo do produto no integrando não é a derivada do outro. Você já sabe que para cada regra de derivação existe uma regra correspondente para a integração. Logo, a Integração por partes corresponde à Regra do Produto para a derivação. Assim, o método de Integração por Partes é obtido da fórmula da derivada do produto de duas funções diferenciáveis. Então, considerando ʃ(x) e ɡ(x) funções diferenciáveis, temos: Quando integramos ambos os membros da expressão anterior, obtemos:

Assim, obtemos a primeira fórmula de integração por partes: (2.1) Para facilitar os cálculos, é mais conveniente escrever a fórmula que você acabou de conhecer, considerando: u = ʃ(x) v = ɡ(x) Então: du = ʃ’(x) dx dv = ɡ’(x) dx Substituindo esses novos elementos em (2.1), a fórmula de integração por partes passa a ser: ʃ u dv = uv – ʃ v du (2.2) O objetivo de se usar a integração por partes é obter uma integral mais simples de calcular do que a inicial.

AULA 2 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

O primeiro passo é selecionar, entre os fatores do produto, o que será integrado e o que será derivado. Mas essa escolha nem sempre é fácil. Ao eleger quem será u e quem será dv, geralmente, u deve ser a função que se torna mais fácil quando derivada. Assim, você obterá du. Por sua vez, dv deve ser uma função que seja prontamente integrada para fornecer v. Para entender melhor, observe o exemplo. Exemplo 1 Calcule ʃ x lnx dx. Resolução Qual função você chamará de u e qual chamará de dv? É importante saber que, para encontrar v, precisamos saber integrar dv. Por isso, é melhor considerar: dv = x dx u = lnx Essa é a melhor opção, pois a ʃ x lnx dx é mais complicada que ʃ x dx. Lembre-se de que, para usar a fórmula da Integração por partes, você deve derivar u a fim de obter du e integrar dv para conhecer v. Concorda que é mais conveniente derivar lnx do que integrá-la? Então:

e se: u = lnx, então:

Da expressão (2.2), decorre que:

CÁLCULO INTEGRAL

Note que os termos em destaque são simétricos e, por isso, se anulam.

Como c1 e c2 são constantes arbitrárias, você pode escrever a solução do exemplo 1 da seguinte forma:

Colocando

em evidência, você obterá:

Figura 11 –Representação gráfica de algumas primitivas da ʃ x lnx dx. Fonte: Costa (2014).

AULA 2 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exemplo 2 Calcule

Resolução Para facilitar sua visualização para a escolha de dv e u, você deve reescrever a integral como . Usando esse artifício, você deve escolher:

Então:

Para resolver a integral anterior, você deve usar o método da substituição. Assim: u = x2 e du = 2x dx Desse modo, precisamos de um fator 2 que acompanhe x dx. Daí, temos:

Agora você já tem todos os termos necessários para substituir na fórmula da Integração por partes (2.2):

Então, temos:

CÁLCULO INTEGRAL

Substituindo o termo em destaque pelo resultado que encontramos para essa integral anteriormente, obtemos:

Figura 13 – Representação gráfica de algumas primitivas da Fonte: Costa (2014).

Exemplo 3 Ache ∫ x cos xdx. Resolução Considere: u=x dv = cos x dx Assim, temos:

Logo:

AULA 2 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

v = sen x Substituindo na fórmula da integração por partes, obtemos:

Figura 14 – Representação gráfica de algumas primitivas da ∫ x cos xdx. Fonte: Costa (2014).

Quer ver como é importante fazer as escolhas certas para facilitar o cálculo? Observe o que aconteceria se tivéssemos resolvido o exemplo de outra forma, considerando: u = cosx dv = x dx Daí, teríamos:

CÁLCULO INTEGRAL

Substituindo na fórmula da Integração por partes (2.2), ficaria:

Como você dever ter notado, a integral do segundo termo é bem mais complicada do que a que tínhamos inicialmente em:

Isso indica que as escolhas feitas para u e dv não foram boas, pois, em vez de facilitar seu trabalho na integração, acabou dificultando a operação.

Caso você não faça, inicialmente, a decisão correta ou mais conveniente na hora de obter u e dv, inverta a escolha e recomece o trabalho!

Para o cálculo de algumas integrais, às vezes é necessário utilizar a fórmula da integração por partes mais de uma vez. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 4 Calcule ʃ x2 ex dx.

AULA 2 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Resolução Seja: u = x2 dv = ex dx Então:

Assim: v = ex

Observe que suprimimos a constante de integração c em v. Isso pôde ser feito porque todas as constantes que aparecem no desenvolvimento da integração por partes podem ser substituídas por uma única, que pode ser acrescida no final do processo de integração.

Substituindo os dados obtidos na fórmula da integração por partes, temos:

Aplicando a integração por partes no segundo termo, temos:

Então:

CÁLCULO INTEGRAL

Voltando ao problema inicial, você terá:

Figura 15 – Representação de algumas primitivas da ʃ x2 ex dx. Fonte: Costa (2014).

Frequentemente, você também vai usar a Integral por partes quando o integrando for logaritmo e funções trigonométricas inversas. Acompanhe. Exemplo 5 Determine a ʃ tg-1 x dx. Resolução Neste caso, você deverá tomar: u = tg-1 x dv = dx Como tg-1 x = arctg x (ou seja, a função inversa da tg), então: , então v = x Substituindo os dados na fórmula da Integração por partes (2.2), temos:

Você deve usar o método da substituição para resolver a integral que aparece ao usar a fórmula da Integração por partes. Assim, tomando u = 1 + x2, então du = 2x dx. Logo, quando você substituir os dados anteriores em

, obterá:

AULA 2 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Retomando, então, a resolução, você terá:

Figura 16 – Representação gráfica de algumas primitivas da ʃ tg-1 x dx. Fonte: Costa (2014).

Você percebeu que os métodos de integração não são utilizados sempre de forma isolada? Você pôde ver, nos exemplos anteriores, que utilizamos o método da substituição (ou mudança de variável) porque a integral gerada na aplicação da fórmula de Integração por partes não pôde ser resolvida de forma direta. Portanto, fique atento!

CÁLCULO INTEGRAL

Agora que você já aprendeu a usar o método da Integração por partes, está pronto para observar como ele se aplica em situações reais. Exemplo 6 A taxa estimada de produção de petróleo de certo poço em t anos após o início da produção é dada por: R(t) = 100 t e–0,1t milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a produção total de petróleo ao final do ano t. Resolução: Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano t (t ≥ 0). Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de petróleo por ano. Logo:

Assim:

Você utilizará o método da Integração por partes para resolver esse problema. Então, você deve escolher: u=t dv = e–0,1 dt Logo:

Para encontrar v, você deverá usar o método da substituição, ou seja, você resolverá a ʃ e–0,1 dt usando essa técnica. Então:

AULA 2 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Você precisa de um fator

que acompanhe dt. Portanto, terá:

Assim, temos: v = – 10e–0,1t Voltando à resolução de: T(t) = 100 ʃ t e–0,1t dt, você utilizará a fórmula da Integração por partes (2.2). Relembrando:

Colocando – 1000e–0,1t em evidência, reduzimos a expressão para: T(t) = – 1000e–0,1t (t + 10) + c, que é a expressão que descreve a produção total de petróleo ao final do ano. Exemplo 7 Após t segundos, um objeto se move a uma velocidade te –t/2 m/s. Expresse a distância s que o objeto percorre como função do tempo t. Resolução Como a velocidade é o quociente da distância (s) pelo tempo (t), temos:

CÁLCULO INTEGRAL

Como você quer saber s em função de t, deve então integrar os dois lados de (1). Desse modo:

Logo:

Como no produto das funções do integrando uma função não é derivada da outra, você não pode usar o método da substituição. Portanto, deve utilizar o método da Integração por partes. Logo, você deve escolher de forma conveniente quem vai ser u e quem vai ser dv. Como e –t/2 é uma função mais complicada de integrar, você deve escolhê-la para ser dv. Logo, você terá: dv = e –t/2 dt u=t Você deve encontrar du derivando u e v e integrando dv. Assim, você obterá os elementos necessários para usar a Integração por partes. Veja: u=t du = dt e

A ʃ e–/2 dt você resolverá usando o método da substituição. Então:

Assim:

AULA 2 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Então:

Voltando à resolução do exemplo e aplicando a fórmula da Integração por partes, temos:

Logo:

Você não pode se esquecer de somar a constante arbitrária c na expressão final. Dessa forma:

é a expressão da distância do objeto em função do tempo.

CÁLCULO INTEGRAL

CONCLUSÃO Nesta aula, você aprendeu mais uma técnica de integração: a Integração por partes. Ela permite que você calcule integrais não imediatas que têm como integrando o produto de duas funções em que uma não é derivada da outra. Você aprendeu que utilizar este método requer cuidado no momento de escolher a função mais difícil de integrar e a função mais simples de encontrar sua derivada. Só com a opção certa é que você deixará o cálculo da integral mais fácil. Durante a resolução dos exemplos abordados nesta aula, você observou que, por vezes, a aplicação desse método não é direta. Em alguns casos, você precisará usar a técnica da substituição para resolver a integral, que é o segundo termo da fórmula de integração por partes. Em outras situações, você terá de usar mais de uma vez o método de integração por partes para conseguir resolver a integral. Ao conhecer as técnicas de integração, você deve ter compreendido que elas são de fundamental importância para a resolução de muitas integrais indefinidas. Mas sua importância não para por aí. As técnicas de integração serão muito úteis no cálculo de integrais definidas, que é o assunto da nossa próxima aula. Até lá!

AULA 3 Integral Definida

INTRODUÇÃO Você aprendeu nas aulas anteriores que a integração está diretamente relacionada ao cálculo da área de regiões limitadas por curvas. Mas o uso da integração também é útil na resolução de problemas relativos a volumes, comprimentos de arcos, distância percorrida por um objeto, centros de massa e em muitas outras situações. Você também compreendeu que a Integral Indefinida é uma família de antiderivadas (primitivas) de uma dada função. Assim, pôde perceber a importância da Integral Indefinida como pré-requisito ao aprendizado da Integral Definida, que é o assunto desta aula. A Integral Definida relaciona o conceito de área a outros conceitos importantes como comprimento, volume, densidade, probabilidade e trabalho. Você já tem uma ideia intuitiva do que se entende por área de certas figuras geométricas. Já conhece modelos matemáticos que lhe permitem calcular a área de alguns polígonos, por exemplo, o retângulo. Você deve se lembrar de que é possível definir a área de um polígono pela soma das áreas dos triângulos que o compõem.

CÁLCULO INTEGRAL

Porém, como definir a área de uma região limitada por uma curva? É isso que você vai aprender nesta aula. E, a partir desse esclarecimento, é que você aprenderá a definição de Integral Definida.

OBJETIVOS » » Compreender que a Integral Definida está associada à formalização matemática dos problemas de área e problemas que envolvem a Física. » » Compreender as propriedades da Integral Definida na resolução de exercícios.

3.1 INTEGRAL DEFINIDA Se você dividir um polígono em triângulos e calcular a área de cada um deles, conseguirá determinar a área total desse polígono.

Figura 16 – Decomposição de um polígono em triângulos. Fonte: Costa (2014).

Agora, como definir a área de uma região se ela for delimitada por uma curva? Para conseguir resolver problemas como esse, antes de tudo você precisa aprender a fazer somas com muitas parcelas. Para facilitar essa atividade, você utilizará a notação chamada somatória.

3.1.1 Somatória A somatória é representada por ∑, a letra sigma maiúscula do alfabeto grego e é descrita, genericamente, da seguinte forma:

em que m e n são inteiros e m ≤ n. O número m é chamado limite inferior da somatória e n é o limite superior. O índice da somatória é comumente representado pela letra ∑, mas qualquer outra pode ser usada com o mesmo propósito. Para que você se familiarize com a notação de somatória, seguem alguns exemplos.

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Conheça agora alguns teoremas úteis envolvendo somatória. Teorema 1:

em que c é qualquer constante. Esse teorema é simples. Significa que a soma de termos iguais pode ser expressa como o produto desse termo (c) pelo número de vezes que ele é somado a si mesmo (n).

CÁLCULO INTEGRAL

Teorema 2:

em que c é uma constante qualquer. Neste teorema, você deve considerar que há uma constante que multiplica cada termo em uma soma de várias parcelas. Ou seja, cada termo da soma é multiplicado pela constante c. Coloque a constante em evidência para observá-la multiplicando a soma. Observe:

Teorema 3:

Você deve considerar F(i) e G(i), no primeiro termo da igualdade, como funções distintas que estão sendo somadas. Assim, você terá:

Por tratar-se de soma, você pode reescrevê-la da seguinte forma:

Logo, você obterá:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Teorema 4:

Em (1), quando você soma uma constante c aos limites inferior e superior, deve diminuí-la na função. Teorema 5:

Teorema 6: Se n for um inteiro positivo, então:

Essas quatro fórmulas são úteis ao cálculo com somatórias e estão numeradas para referências futuras. Exemplo 4 Calcule:

Resolução

CÁLCULO INTEGRAL

Pelo teorema 3, você terá:

Pelo teorema 2, você obterá:

Pelas fórmulas 2 e 1 do teorema 6, você escreverá as somatórias como:

Simplificando o primeiro termo, você terá:

Agora que você já se familiarizou com a notação de somatória, é hora de entender como definir a área de uma região se ela for delimitada por uma curva.

3.1.2 Regiões delimitadas por curvas Você já domina os cálculos de polígonos formados por linhas retas, certo? Mas haverá situações nas quais você terá de lidar com áreas delimitadas por curvas. Observe a imagem a seguir.

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Figura 17 – Representação de uma região limitada por uma curva. Fonte: Costa (2014).

A figura mostra uma região R, no plano, limitada pelo eixo x, pelas retas x= a e x = b e pela curva de equação y= f (x), em que a função f é contínua no intervalo fechado [a,b]. Para facilitar a compreensão, considere f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,b]. Objetiva-se atribuir à medida da área de R um número A, usando um processo de limite semelhante ao utilizado para definir a área de um círculo.

A área do círculo é definida como o limite das áreas dos polígonos regulares inscritos quando o número de lados cresce indefinidamente. Ou seja, quanto maior o número de lados do polígono inscrito no círculo, mais a área do polígono se aproximará da área do círculo (Método da Exaustão de Arquimedes).

Dessa forma, qualquer que seja o número escolhido para representar A, esse número deve ser tão grande quanto a medida da área de qualquer região poligonal contida em R e não deverá ser maior do que a área de qualquer região poligonal que contém R. É preciso, então, definir primeiramente uma região poligonal contida em R. Comece dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos e considere que cada uma desses subintervalos tem o mesmo comprimento, que será chamado ∆x. Logo, Denote os extremos desses subintervalos por x 0, x 1, x 2, ... , x n-1, x n, em que:

Seja [xi-1, xi] o i-ésimo subintervalo. Como f é contínua no intervalo fechado [a,b], também é contínua em cada um dos subintervalos. O teorema do valor extremo diz que se uma função f for contínua no intervalo fechado [a,b], então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [a,b]. Assim, existe um número em cada subintervalo para o qual f tem um valor mínimo absoluto. No i-ésimo subintervalo, considerando ci esse número, f (ci) será o valor mínimo absoluto de f no subintervalo [xi-1, xi]. 51

CÁLCULO INTEGRAL

A interpretação da derivada como a inclinação de uma reta tangente nos dá informações sobre o comportamento das funções e, por isso, é usada em técnicas de gráficos de funções.

Figura 18 – Região R dividida em n retângulos inscritos de comprimento ∆x unidades e altura f (ci) . Fonte: Costa (2014).

Seja Sn unidades quadradas à soma das áreas desses n retângulos, então:

Ou seja, representando como somatória:

que dá a área dos n retângulos inscritos em R. Assim, não importa como A seja definido, mas ele deve ser tal que A ≥ Sn. Quanto menores forem os retângulos inscritos em R mais você se aproxima do número que A deseja encontrar para representar a medida da área da região R. Ou, seja, enquanto n cresce, os valores de Sn aumentam e diferem um do outro por quantidades arbitrariamente pequenas, tendendo a um limite. Esse limite é que será tomado como a definição da medida da área da região R.

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Definição 1: Para obter a área sob uma curva, suponha que a função f seja contínua no intervalo fechado [a,b] com f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,b] e R é a região limitada pela curva y= f (x), o eixo x e as retas x = a e x = b. Divida o intervalo [a,b] em n subintervalos, cada um com comprimento

e denote o i-ésimo subintervalo por [xi-1, xi]. Então, se f (ci) for o valor

funcional mínimo absoluto no i-ésimo subintervalo, a medida da área da região R será dada por:

Essa igualdade significa que, para todo ε > 0, existe um número N > 0 tal que, se n for um inteiro positivo e se n > N então:

Você poderia ter considerado retângulos circunscritos ao invés de retângulos inscritos, como mostra a próxima figura. Nesse caso, você tomaria como medida das alturas dos retângulos o valor máximo absoluto de f em cada subintervalo.

Figura 19 – Região R dividida em n retângulos circunscritos de comprimento ∆x unidades e altura f (ci) . Fonte: Costa (2014).

Exemplo 5 Ache a área da região limitada pela curva y = x2, o eixo x e a reta x = 3, tomando retângulos inscritos.

CÁLCULO INTEGRAL

Figura 20 – Representação gráfica do i-ésimo retângulo inscrito do Exemplo 8. Fonte: Costa (2014).

Resolução A figura mostra, na região da qual você deve encontrar a área, o i-ésimo retângulo inscrito. Aplique a definição, dividindo o intervalo fechado [0,3] em subintervalos, cada um com comprimento

Sendo:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

e, também, como f é crescente em [0,3], o valor mínimo absoluto de f no i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] é f (xi 1 ) . Logo, da definição:

Como xi-1 = (i -1) ∆x e f (x) = x2, você terá:

Logo:

Como:

Então:

CÁLCULO INTEGRAL

Ao utilizar as fórmulas (4) e (3) do teorema 6, você obterá:

Então, da definição, você obterá:

Assim, você pode concluir que a área da região é de 9 unidades quadradas.

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Imagine agora um problema de Física. Você precisa achar a distância percorrida por um objeto durante certo período de tempo, conhecendo a velocidade do objeto em todos os instantes. Lembre-se de que, se a velocidade é constante, o problema é facilmente resolvido pela fórmula: distância = velocidade x tempo Se a velocidade variar, entretanto, o problema deixa de ser tão trivial. Veja como resolvê-lo. Exemplo 9 Suponha que você queira estimar a distância percorrida por um carro durante um intervalo de tempo de 30 segundos e que, a cada 5 segundos, a leitura do velocímetro é registrada. TEMPO (SEGUNDOS)

VELOCIDADE (M/S)

7,5

9,4

10,6

12,8

14,2

13,9

12,5

Figura 21 – Representação gráfica do Exemplo 9. Fonte: Stewart (2011).

Resolução Quando você traça os retângulos cujas alturas são as velocidades iniciais para cada intervalo de tempo, tem que a área do primeiro retângulo é 5 × 7.5 = 37.5, que corresponde ao cálculo da distância percorrida nos primeiros 5 segundos. Como a velocidade do automóvel não é constante, você deve supor que ele se move com velocidade v = f (t), em que a ≤ t ≤ b e f (t) ≥ 0 . Como o veículo se move sempre no sentido positivo, considere o registro das velocidades nos instantes t0 (=a), t1, t2, ... , tn (=b), de forma que a velocidade seja aproximadamente constante em cada subintervalo. Nesse caso, considere, também, os tempos igualmente espaçados e obterá duas leituras consecutivas como o período de tempo ∆t = (b - a)/n. Durante o primeiro intervalo de tempo, a velocidade é, aproximadamente, f (t0), e a distância percorrida é de f (t0)∆t. Da mesma forma, a distância percorrida no segundo intervalo é, aproximadamente, f (t1)∆t e a distância total percorrida no intervalo [a,b] é de:

Quanto maior a frequência com que você mede a velocidade, mais precisa será sua estimativa. Logo, parece pertinente que a distância exata percorrida pelo carro seja o limite da expressão anterior. Assim, você obterá:

CÁLCULO INTEGRAL

Agora que você já viu alguns exemplos para compreender os conceitos básicos desta aula, é hora de conhecer a Integral de Riemann.

3.2 A INTEGRAL DEFINIDA, OU INTEGRAL DE RIEMANN Considerea função f definida no intervalo fechado [a,b]. Divida esse intervalo em n subintervalos, escolhendo qualquer dos (n -1) pontos intermediários entre a e b. Os pontos intermediários são de tal forma que

Os pontos

não são necessariamente equidistantes. O comprimento do

primeiro subintervalo é ∆1x , de tal forma que subintervalo, tal que

é o comprimento do segundo

. E assim por diante, de forma que o comprimento do i-ésimo

subintervalo é O conjunto de todos esses subintervalos do intervalo [a,b] é uma partição do intervalo [a,b], representada por ∆, e com n subintervalos. Um desses subintervalos é o maior, chamado de norma . da partição, e é denotado por Agora você deve escolher um ponto em cada subintervalo da partição ∆: c1 é o ponto escolhido em de modo que . Considere c2 o ponto escolhido em , de maneira e assim por diante. Ou seja, ci é o ponto escolhido em e que .

Figura 22 – Representação gráfica das áreas parciais dos retângulos sob a curva Fonte: Costa (2014).

y = f (x) .

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Forma-se, então, a soma:

ou:

Essa é a soma de Riemann.

O matemático Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 1826 em Breselenz, na Alemanha. Ele tornou claro o conceito de integrabilidade de uma função por meio do que chamamos hoje de Integral de Riemann, ou Integral Definida. Em 1859, publicou seu único trabalho em Teoria dos Números: um artigo dedicado ao Teorema dos Números Primos. Riemann morreu de tuberculose em 1866, em Selasca, na Itália (ANTON; DAVIS, 2007).

Generalizando a definição de área sob uma curva, para permitir subintervalos de comprimentos diferentes, você deve substituir o comprimento constante ∆x pelos comprimentos variáveis ∆ix. Assim:

é substituída por:

Você também deve trocar a expressão por outra que garanta que os comprimentos de . todos os intervalos tendam a zero. Para isso, você utilizará Observação Se:

CÁLCULO INTEGRAL

então:

A razão para:

é que b > a e ∆x tende a zero através dos valores positivos, pois ∆x > 0. Desses limites, conclui-se que ∆x → 0 é equivalente a n → +∞. Dessa afirmativa, decorre que:

Pelo conceito intuitivo de área, espera-se que a área sob a curva y - f(x) no intervalo [a,b] satisfaça a equação:

Definição 2: Considere uma função f cujo domínio inclui o intervalo fechado [a,b]. Então, f será integrável em [a,b] se existir um número L que satisfaça a seguinte condição: para todo ∈> 0, existe um δ > 0 tal que, em toda partição ∆ para a qual ||∆|| < δ, com ci no intervalo fechado , i = 1, 2, ..., n tem-se:

Nessas condições, escreve-se:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Essa definição estabelece que, para uma dada função f definida no intervalo fechado [a,b], você pode tornar os valores das somas de Riemann tão próximos de L quanto desejar, considerando as normas ||∆|| de todas as partições ∆ de [a,b] suficientemente pequenas para todas as escolhas possíveis dos números ci para os quais Agora, você já tem subsídios para compreender o conceito de integral definida. Definição 3: Se f for uma função definida no intervalo [a,b], então a integral definida de f de a até

b, denotada por

, se o limite existir, será dada por:

A afirmação “a função f é integrável no intervalo fechado [a,b]“ é sinônima da de “a integral definida de f de a até b existe”.

Você sabe dizer sob que condições uma função é integrável? Você saberá a resposta ao compreender o próximo teorema. Teorema 7: Se uma função for contínua no intervalo fechado [a,b], então ela será integrável em [a,b]. Você se lembra da figura que ilustra a área sob uma curva? A partir dela, você terá a próxima definição.

Figura 23 – Representação de uma região limitada por uma curva. Fonte: Costa (2014).

Definição 4: Seja uma função f contínua em [a,b] e f (x) ≥ 0 para todo x em [a,b]. R é a região limitada pela curva y = f (x) , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b. Então, a medida A da área da região R é dada por:

CÁLCULO INTEGRAL

Essa definição estabelece que, se f (x) ≥ 0 para todo x em [a,b], com a < b, a integral definida poderá ser interpretada geometricamente como a medida da área da região R mostrada na imagem. Considere que, no intervalo em que f é contínua, você tenha a> b. Então:

existir.

Definição 5: Agora, suponha que f(a) existe. Então:

Exemplo 10 Ache o valor exato da integral definida

. Interprete, geometricamente, o resultado.

Resolução Considere uma partição regular do intervalo fechado [1,3] em n subintervalos. Então:

Escolha ci como o extremo direito de cada subintervalo, e você obterá:

Como

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Logo, usando o item (1) da observação e aplicando os teoremas da somatória e a definição da área sob uma curva, você terá:

Interpretando geometricamente o resultado, como x ≥ 0 para todo x em [1,3], a região limitada pela curva y = x2, pelo x e pelas retas x = 1 e x = 3 tem 26/3 unidades quadradas de área, como mostra a próxima figura.

CÁLCULO INTEGRAL

Figura 24 – Representação gráfica do Exemplo 10. Fonte: Costa (2014).

3.2.1 Propriedades da Integral Definida O cálculo de uma Integral Definida a partir da definição é muito trabalhoso e, por vezes, impossível. Para que se estabeleça um método mais simples, você precisa conhecer algumas propriedades da integral definida. Primeiramente, você precisa estudar os teoremas sobre as somas de Riemann. Teorema 8: Se ∆ for qualquer partição do intervalo fechado [a,b], então:

Teorema 9: Se f for definida no intervalo [a,b], e se existe:

em que ∆ é qualquer partição de [a,b], então se k for uma constante qualquer:

Teorema 10: Se k for uma constante qualquer, então:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Observe a figura a seguir.

Figura 25 – Representação gráfica do Teorema 9. Fonte: Costa (2014).

De acordo com a imagem, se k > 0, a Integral Definida

dará a medida da área da região

sombreada, que é um retângulo cujas dimensões são k unidades e (b - a) unidades. Exemplo 11 Calcule

Resolução Aplicando o teorema 10, você tem:

Teorema 11: Se a função f for integrável no intervalo fechado [a,b] e se k for uma constante qualquer, então:

Como f é integrável em [a,b]:

Então, pelo teorema 9:

CÁLCULO INTEGRAL

Logo:

Teorema 12: Se as funções f e g forem integráveis em [a,b], então f + g será integrável em [a,b] e:

Exemplo 12 Use o resultado do exemplo 10 e o fato de que

para calcular

Resolução No exemplo 10, Das propriedades da Integral Definida, você terá:

Teorema 13: Se a função f for integrável nos intervalos fechados [a,b], [a,d] e [d,b], então:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

em que a < d < b. Teorema 14: Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os números a, b e d, então:

não importando a ordem de a, b e d. Teorema 15: Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a,b] e se f (x) ≥ 0 g (x) para todo x em [a,b] , então:

A figura a seguir representa a interpretação geométrica do teorema 15, quando f (x) e g (x) são não negativas em [a,b].

Figura 26 – Representação gráfica do Teorema 14. Fonte: Leithold (2002).

Observe na figura que f (x) ≥ g (x) ≥ 0 para todo x em [a,b]. A integral definida

dá

a medida a área da região limitada pela curva y = f (x) , pelo x e pelas retas x =a e x = b. Já dá a medida da área da região limitada pela curva y = g(x), pelo eixo x e pelas retas

x= a e x = b (região sombreada). Teorema 16: Suponha que a função seja contínua no intervalo fechado . Se e forem, respectivamente, os valores mínimo e máximo absolutos de em , ou seja:

para a ≤ x ≤ b, então:

CÁLCULO INTEGRAL

Figura 27 – Representação gráfica do Teorema 15. Fonte: Leithold (2002).

Na imagem f (x) ≥ 0 para todo x em [a,b]. Além disso, m e M são, respectivamente, os valores mínimo e máximo absolutos de f em [a,b]. A integral

dá a medida da área da região

limitada pela curva y = f (x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b. Essa área é maior do que a do retângulo, cujas dimensões são m e (b - a) e menor que a do retângulo cujas dimensões são M e (b - a). Exemplo 13 Aplique o teorema 16 para determinar um intervalo fechado que contenha o valor da Integral Definida . Considere que f tem um valor mínimo relativo de 1 em x = 3 e um valor máximo relativo de 5 em x = 1 . Resolução Segundo o enunciado, sabemos que o valor mínimo de f em [½,4] é 1 e o valor máximo é 5. Tome m = 1 e M = 5 no teorema 15:

Logo, o intervalo fechado

contém os valores da Integral Definida.

Exemplo 14 Aplique o teorema 16 para encontrar o intervalo fechado contendo o valor da Resolução Se:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Para

Como f’ (x) > 0 quando

quando

valor máximo relativo em

Além disso,

, segue que f tem um

. Assim, em

o valor mínimo

absoluto de f é 0,841 e o valor máximo absoluto é 1. Dessa forma, com m = 0,841 e M = 1, no teorema 15, você tem:

Logo, o valor da Integral Definida está no intervalo fechado [1,32 , 1,57] . Existe, também, outra propriedade importante: o Teorema do Valor Médio para Integrais. Você precisará compreendê-lo para entender o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que será apresentado mais adiante.

3.2.2 Teorema do Valor Médio para Integrais Veja a ilustração a seguir para fazer a interpretação geométrica do teorema do valor médio para integrais.

Figura 28 – Representação gráfica do Teorema do Valor Médio para Integrais. Fonte: Leithold (2002).

CÁLCULO INTEGRAL

Considere f (x) ≥ 0 para todos os valores de x em [a,b]. Então,

dá a medida da área

da região limitada pela curva de equação y = f (x) , pelo eixo x e pelas retas x= a e x = b. O teorema do valor médio para integrais estabelece que existe um número x em [a,b] tal que a área do retângulo AEFB com altura f (x) unidades e comprimento (b - a) unidades seja igual à área da região ADCB. Teorema 17 (Teorema do valor médio para integrais): Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], existe um número x em [a,b] tal que:

Exemplo 15 Ache o valor de x tal que que

. Use o resultado do exemplo 10, em

Resolução Segundo o exemplo 10, Isto é,

Logo, você quer encontrar x tal que

Então

Ou seja, você tem Você deve rejeitar

, pois esse valor não está no intervalo [1, 3]. Assim, você tem:

O valor f (x) dado pelo teorema do valor médio para integrais é chamado de valor médio (ou valor intermediário) de f no intervalo [a,b]. É considerado uma generalização da média aritmética de um for um conjunto de n conjunto finito de números. Ou seja, se números, então a média aritmética será dada por:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Generalizando essa definição, considere uma partição regular do intervalo fechado [a,b], que será dividido em n subintervalos de igual comprimento

. Se ci for qualquer ponto no

i-ésimo subintervalo, você tem a soma:

Esse quociente corresponde à média aritmética de n números. Como

, você tem:

Substituindo (2) em (1), você obtém:

Considere o limite quando n → +∞ (ou ∆x → 0). Se o limite existir, você tem:

o que leva você à definição a seguir. Definição 6: Se a função f for integrável no intervalo fechado [a,b], o valor médio de f em [a,b] será:

Exemplo 16 Considere novamente o resultado do exemplo 10, em que

Se f (x) = x2, ache o valor

médio de f no intervalo [1, 3] e, em seguida, interprete geometricamente o resultado. Resolução No exemplo 10, você obteve:

CÁLCULO INTEGRAL

Assim, se V. M. for o valor médio de f em [1, 3], você tem:

No exemplo 15, você encontrou para a função

pois .

Isso significa que

é o número em [a,b] tal que

Dessa forma, o valor médio da função f ocorre em

A figura a seguir mostra um esboço do gráfico de f em [1, 3] e o segmento de reta do ponto sobre o eixo x, ao ponto

. A área do retângulo AGHB tendo com

altura 13/3 e comprimento 2, é igual à área da região ACDB. Consequentemente, a área da região sombreada CGF é igual à área da região sombreada FDH.

Figura 29 – Representação gráfica do Exemplo 16. Fonte: Leithold (2002).

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

3.3 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO Você sabia que, historicamente, os conceitos básicos da Integral Definida foram usados pelos antigos gregos, principalmente por Arquimedes (287-212 a.C.), bem antes do Cálculo Diferencial? Mas foi somente no século XVII que Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz mostraram como o Cálculo poderia ser usado para determinar a área de uma região limitada por uma curva ou um conjunto de curvas. Trata-se da Integral Definida por Antidiferenciação, um procedimento que envolve o que é conhecido como os Teoremas Fundamentais do Cálculo. Teorema 18 (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo): Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e seja x qualquer número em [a,b]. Se F for a função definida por:

então:

Se x =a, a derivada F’(x) pode ser a derivada à direita e se x = b, a derivada F’(x) pode ser a derivada à esquerda. Considere que f seja uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Portanto, o valor da integral definida

depende apenas da função f e dos números a e b.

Se f for contínua no intervalo fechado [a,b], então, pelo teorema 7, a integral definida existe. Primeiramente, você deve estabelecer que, se uma integral definida existir, então ela terá, como valor, um único número inteiro. Caso x seja um único número em [a,b], então f será contínua existe e é um número cujo em [a,x]., já que é contínua em [a,b]. Consequentemente, valor depende de x. Assim, define uma função F que tem como domínio todos os números no intervalo fechado [a,b] e cujo valor funcional em qualquer número x de [a,b] e é dado por:

Conforme a convenção notacional, se os limites de uma integral definida forem variáveis, deverão ser usados símbolos diferentes para os limites e para a variável independente no integrando. Logo, em (1), sendo x o limite superior, foi usada a letra t como variável independente no integrando. Se em (1), f (t) ≥ 0 para todos os valores de em [a,b], então os valores funcionais de F(x) podem ser interpretados geometricamente como a medida da região limitada pela curva y = f (t) , pelo eixo t e pelas retas t= a e t = b como mostra a figura adiante.

CÁLCULO INTEGRAL

Figura 30 – Representação gráfica do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Fonte: Leithold (2002).

Você também deve saber que a expressão F’(x) = f (x) pode ser escrita da seguinte forma, substituindo F’(x) por

Exemplo 17 Calcule as seguintes derivadas: a)

Resolução a) De (2) com

, você tem:

b) Use a regra da cadeia com u=x2, e você tem:

De (2) com

e como

, você obtém:

AULA 3 - INTEGRAL DEFINIDA

Teorema 19 (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo): Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e seja g uma função tal que g’(x) = f(x) para todo x em [a,b]. Então:

Se x = a, a derivada g’(x) = f(x) pode ser uma derivada à direita, e se x=b, a derivada g’(x) = f(x) pode ser uma derivada à esquerda. Agora, você pode encontrar o valor exato de uma integral definida, aplicando o teorema 19. Você Ou seja: usará a notação

Exemplo 18 Use o segundo teorema fundamental do Cálculo para determinar

Resolução Nesse caso,

. Uma antiderivada de

. Escolhendo

, do teorema 19:

CÁLCULO INTEGRAL

CONCLUSÃO Nesta aula, você compreendeu que a Integral Definida está relacionada ao problema da área e a algumas situações da Física, como o cálculo de distâncias em situações com velocidade variada. Para compreender o assunto, primeiro você precisou se apropriar do conceito de somatória e relacionálo com o cálculo de áreas de regiões delimitadas por curvas. Depois, você estudou, por meio de teoremas e exemplos, o que é Integral Definida e suas propriedades. Para facilitar os cálculos das integrais definidas, você foi apresentado aos Teoremas Fundamentais do Cálculo. Você também observou a conexão entre integrais definidas e indefinidas e, por conseguinte, a diferença entre elas. Você deve ter notado que a Integral Indefinida, ∫ f (x) dx, é uma função cuja derivada resulta em f (x). Já a Integral Definida é um número cujo valor depende da função f e dos números a e b, definida como o limite de uma soma de Riemann. Na próxima aula, você fará uso do que aprendeu nesta aula para resolver problemas práticos. Até lá!

AULA 4 Cálculo de Áreas

INTRODUÇÃO Na aula anterior, você aprendeu que existe uma relação surpreendente entre integrais definidas e o conceito geométrico de área. Foi quando você aprendeu a utilizar a integral definida para calcular áreas delimitadas por curvas. A partir de agora, com tudo o que aprendeu até aqui, você fará uso da integral definida e suas propriedades na solução de problemas. Você verá exemplos de problemas nos quais você precisará identificar áreas graficamente e utilizar a integral definida para calculá-las. Imagine que você está avaliando a situação econômica de uma empresa. Suponha que existem dois investimentos, cada um com uma taxa de geração de lucros diferente. Por quantos anos o índice de rentabilidade de um investimento vai permanecer maior que o do outro? Qual será o excesso líquido de lucro para esse período? Esses são alguns exemplos do que você poderá descobrir ao utilizar a integral definida para o cálculo de áreas. Vamos lá?

CÁLCULO INTEGRAL

OBJETIVOS » » Compreender o uso da integral definida e suas aplicações específicas como auxílio na resolução de problemas. » » Realizar cálculo de áreas por meio da integral definida. » » Localizar graficamente a área procurada para aplicar a integral definida como método de resolução.

4.1 CÁLCULO DE ÁREAS A partir de agora, você verá várias situações-problema que envolvem o cálculo de áreas, não só de regiões limitadas por uma curva, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, mas também de regiões limitadas por duas curvas, e por uma curva e uma reta. Você aprendeu na aula 3 a calcular a área de uma região limitada pela curva y = f(x) não negativa, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b. Suponha, agora, que f(x) < 0 para todo x em [a, b]. Assim, cada f(ci) é um número negativo. Então, você definirá o número de unidades quadradas da região limitada por y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b como:

Exemplo 1 Ache a área da região limitada pela curva y = x²– 4x, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 3. -1

x=1

0 0

x=3 2

-1

y= x 2 - 4x

-2

-3

-4

Figura 31 – Representação gráfica da região descrita no exemplo 1. Fonte: Costa (2014).

Resolução A figura ilustra a região da qual você deve calcular a área. Considere uma partição do intervalo [1,3]; o comprimento do i-ésimo retângulo é ∆ix. Como a área que você deseja calcular está abaixo do eixo x em [1,3], a altura do i-ésimo retângulo é –((ci)2 – 4ci). Logo:

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Então, a área da região é

unidades quadradas.

Você também pode resolver esse problema de outra forma, tomando a área da região como . Veja:

CÁLCULO INTEGRAL

Exemplo 2 Ache a área da região limitada pela curva y = x³ – 2x² – 5x + 6, pelo eixo x e pelas retas x = –1 e x = 2. Resolução Observe na figura a seguir que f(x) ≥ 0 quando x ∈ [–1,1] e f(x) ≤ 0 quando x ∈ [1,2]. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3

-2

-1

-1 -2 -3 -4

Figura 32 – Representação gráfica da região descrita no exemplo 2. Fonte: Costa (2014).

Então, temos

Como você deve encontrar a área da região sombreada, então terá A=A1+A2.

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

CÁLCULO INTEGRAL

A área da região sombreada é, portanto,

unidades de área.

Veja outra situação envolvendo o cálculo de áreas. Agora você tem de calcular a área de uma região limitada por duas curvas. Exemplo 3 Ache a área da região limitada pelas curvas y = x² e y= –x²+4x. (2.4)

4 2 3 4 0 -2

-1

Figura 33 – Representação gráfica da região descrita no exemplo 3. Fonte: Costa (2014).

Resolução Observe com atenção a figura. Perceba que você precisa encontrar os pontos de intersecção das duas curvas a fim de obter os limites de integração. Considere f(x)= –x²+4x e g(x) = x². Igualando as duas equações, você obtém:

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Assim, a região entre as curvas f e g está compreendida no intervalo [0,2]. Como a curva f(x) = –x² + 4x está acima da curva g(x) = x², a área da região será:

Então, a área da região sombreada é

unidades de área.

Agora, você verá como encontrar a área de uma região limitada por uma curva e uma reta. Exemplo 4 Ache a região limitada pela parábola y² = 2x – 2 e pela reta y = x – 5.

CÁLCULO INTEGRAL

y= g(x)

(9, 4)

f1(x)

3 2 1

0 -1

-1 -2

(3, -2)

-3

f2(x)

Figura 34 – Representação gráfica da região descrita no exemplo 4. Fonte: Costa (2014).

Resolução Como você pode ver no gráfico, a curva e a reta interceptam-se nos pontos (3, –2) e (9, 4). e A equação y² = 2x – 2 é equivalente às equações você obtém a metade superior da parábola e, da segunda, resulta a outra metade. As raízes são, para ambas as equações, x = 1, pois para

E para

, você obterá:

, você terá:

. Da primeira,

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Considere:

Resolvendo este problema usando elementos verticais e retangulares de área, a região deve ser dividida como mostra a figura que você viu anteriormente, em que R1 é limitada pelas curvas f1(x) e f2(x) e pela reta x = 3 e R2 é a região limitada pelas curvas f1(x) e g(x) e a reta x = 3. Sendo A1 a área da região R1, você pode notar, pelo gráfico, que f1(x) ≥ f2(x). Logo:

Aplique o método da mudança de variável que você viu na aula 1, e considere u = 2x – 2. Assim, você terá:

Então:

Assim:

CÁLCULO INTEGRAL

Veja novamente o gráfico. Perceba que sendo A2 a área da região R2 , f1(x) ≥ g(x). Logo:

Aplique o método da mudança de variável na primeira integral e considere u = 2x – 2. Dessa forma, você terá:

Então:

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Logo, a área total da região sombreada é:

A área de toda a região é 18 unidades quadradas. Exemplo 5 Ache a região limitada pela parábola y² = 2x – 2 e pela reta y = x – 5, tomando elementos de área retangulares horizontais. Resolução Observe que este é o exemplo 4, porém, agora você vai tomar elementos de área retangulares horizontais, como mostra a próxima imagem.

CÁLCULO INTEGRAL

x=y+5 (9, 4)

x = 1 (y2 + 2) 2

3 2 1 0 0

-1 -2

(3, -2)

Figura 35 – Representação gráfica da região descrita no exemplo 5. Fonte: Costa (2014).

Resolva em x as equações da parábola e da reta e obterá: ex=y+5 Ao isolarmos o x, ficamos com duas funções em y:

intervalo a ser considerado no eixo y é o intervalo fechado [–2, 4]. Como λ e ϕ são contínuas em [–2, 4], então λ – ϕ também será, e a área da região sombreada será dada por:

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Assim, concluímos que a área da região sombreada é 18 unidades quadradas.

Vamos comparar as resoluções dos exemplos 4 e 5. Perceba que no primeiro caso você teve de calcular duas integrais definidas, enquanto no segundo, somente uma.

Exemplo 6 Ache a área da região limitada pelas curvas y = x³ – 6x² + 8x e g(x) = x² – 4x. 3

y = g(x)

y = f(x)

0 0

-1 -2 -3

R2 (3, -3)

-4

Figura 36 – Representação gráfica da região descrita no exemplo 6. Fonte: Costa (2014).

CÁLCULO INTEGRAL

Resolução Igualando as duas equações, você obtém os pontos de intersecção das duas curvas. Veja:

Colocando x em evidência, você terá:

Assim, uma das raízes é x = 0. Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação x2 – 7x + 12 = 0, você obterá como raízes x = 3 e x = 4. Logo, os pontos de intersecção das duas curvas são (0,0), (3,–3) e (4,0), como você pode observar no gráfico. No intervalo [0,3], a curva está acima da curva y = g(x). Já no intervalo [3,4], a curva y = g(x) está acima da curva y = f(x). Dessa forma, a região delimitada pelas duas curvas precisa ser dividida em duas regiões, nomeadas R1 e R2. R1 é a região limitada pelas curvas no intervalo [0,3]. R2 é a região limitada pelas curvas no intervalo [3,4]. Considere A1 a área de R1 e A2 a área de R2. Assim:

Então, a área total da região limitada pelas duas curvas é A = A1 + A2.

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Então, a área pedida é

unidades quadradas.

Agora, vamos resolver um problema prático. Você lembra que falamos, na Introdução, do lucro líquido de uma empresa? Suponha que daqui a t anos, dois planos de investimentos estejam apresentando lucros L1(t) e L2(t), respectivamente. Seus índices de rentabilidade previstos, L’1(t) e L’2(t), satisfazem a desigualdade L’2(t) ≥ L’1(t) nos próximos n anos, ou seja, no período 0 ≤ t ≤ n. Nesse caso, E(t) = L2(t) – L1(t) representa o excesso de lucro do plano 2 em relação ao plano 1, no instante t. O excesso líquido de lucro EL = E(n) – E(0) no intervalo 0 ≤ t ≤ n é dado pela integral definida:

De que forma você interpretará, geometricamente, essa integral? 91

CÁLCULO INTEGRAL

A resposta está relacionada ao cálculo de áreas, que você estudou nos exemplos apresentados até aqui. Nesse caso, é a área entre as curvas de rentabilidade y = L’1(t) e y = L’2(t), como mostra a figura a seguir. y (reais por ano) y = L'2 ( )

excesso líquido de lucro

y = L'1( )

(anos)

Figura 37 – Representação geométrica da integral Fonte: Hoffman (1990).

Em uma situação mais específica relacionada ao excesso líquido de lucro, suponha que daqui a t anos um investimento gere lucro a uma taxa de L’1(t) = 50 + t2 centenas de reais por ano. Um segundo investimento gera o lucro a uma taxa L’2(t) = 200 + 5t. Durante quantos anos o índice de rentabilidade do segundo investimento permanecerá maior que o do primeiro? Qual é o excesso líquido de lucro para o período calculado? Para responder à primeira pergunta, você deve encontrar o ponto de equilíbrio entre as duas funções, ou seja, L’1(t) = L’2(t). L’1(t) = L’2(t) 50 + t2 = 200+5t t² – 5t – 150 = 0 Resolvendo a equação do 2o grau, você obterá as raízes t = 15 e t = –10. Como t = –10 não serve - afinal, não podemos usar tempo negativo - concluímos que o segundo investimento será maior do que o primeiro durante 15 anos. Assim, o excesso líquido de lucro do plano 2 em relação ao plano 1 é calculado no período 0 ≤ t ≤ 15, usando a integral definida para responder à segunda questão:

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

= 1.687,50 centenas de reais. Para descobrir o resultado final, é só multiplicar esse valor por 100. Então, o excesso líquido de lucro é de R$ 168.750,00. Até aqui, você conseguiu encontrar os valores exatos das integrais definidas. No entanto, nem sempre isso é possível. Existem situações nas quais você precisará encontrar valores aproximados. Você já conhece métodos para isso, como o limite das somas de Riemann e o Valor Médio para integrais. Agora, você aprenderá outros métodos para integrais definidas em geral que, frequentemente, fornecem maior precisão com menos cálculo.

4.2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Existem algumas funções para as quais uma integral definida não pode ser calculada com exatidão, se forem usadas funções elementares. Exemplos desse tipo de função incluem funções polinomiais de primeiro e segundo graus, funções racionais, função modular, funções logarítmicas e exponenciais e funções trigonométricas. Imagine a seguinte situação: um gráfico mostra o tráfego de dados através de uma linha direta conectando os Estados Unidos a SWITCH (rede acadêmica e de pesquisa da Suíça) em determinado dia. O eixo y fornece os dados em processamento, medidos em megabits por segundo (Mb/s) e o eixo x expressa o tempo em horas. Para você encontrar a quantidade total de dados transmitidos através dessa linha até determinada hora daquele dia, você precisará calcular a área abaixo da curva representada no gráfico. Normalmente, em situações como essa, os dados representados no gráfico são obtidos por funções elementares cuja primitiva não pode ser determinada ou são fornecidos por coleta de dados. Daí, a área sob a curva é expressa por uma integral definida cujo cálculo só pode ser obtido de forma aproximada. Você aprenderá agora dois métodos para calcular um valor aproximado de uma integral definida de uma função que é contínua em um intervalo fechado. Esses métodos dão uma precisão considerada boa e variações deles são utilizadas para o cálculo de integrais definidas em computadores e calculadoras programáveis.

4.2.1 Regra do Trapézio Considere uma função contínua em um intervalo fechado [a,b]. A integral definida limite de uma soma de Riemann, isto é:

éo

Você aprendeu na aula 3 a interpretação geométrica da soma de Riemann, que é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x mais o negativo da medida das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo x. Para aproximar a medida da área de uma região, você usará trapézios em vez de retângulos. Usará, também, partições regulares e valores funcionais em pontos igualmente espaçados.

CÁLCULO INTEGRAL

, divida o intervalo [a,b] em n subintervalos, cada um com

Assim, para a integral definida

. Você obterá, então, os seguintes pontos (n + 1): x0 = a,x1 = a + ∆x,x2

comprimento

= a + 2∆x, …, xi = a+i∆x, …, xn – 1 = a + (n – 1)∆x,xn = b . Dessa forma, a integral definida pode ser expressa como a soma de n integrais definidas da seguinte maneira:

Observe a figura a seguir para interpretar geometricamente (1), em que f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b].

(1) é válida para toda função contínua em [a,b].

y P1

P2 P3

a = x0

Pi − 1

xi − 1

Pn − 1 Pn − 2

xn − 2 xn − 1

Pn y = ƒ(x)

x xn = b

Figura 38 – Representação geométrica de (1). Fonte: Leithold (2002).

Logo, a integral é a medida da área da região limitada pelo eixo x, pelas retas x = a e x = x1 e pela parte da curva de P0 a P1. Essa integral pode ser aproximada pela medida da área do trapézio formado pelas retas x = a, x = x1, P0 P1 e pelo eixo x. A área do trapézio é igual a:

Daí, a área do trapézio em questão é:

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Da mesma forma, as demais integrais do segundo membro de (1) podem ser aproximadas pela mesma área de um trapézio. Para a i-ésima integral:

Ao aplicar essa mesma expressão para cada umas das integrais do segundo membro de (1), você terá:

Daí, obterá:

Essa fórmula é conhecida como a regra do trapézio. » » Teorema 1 – A Regra do Trapézio: Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b] e os números a = x0, x1, x2,…, xn = b formarem uma partição regular de [a,b], então:

Exemplo 7 Encontre uma aproximação para com três casas decimais.

, usando a regra do trapézio com n = 6. Expresse o resultado

Resolução Como [a,b] = [0,3] e n = 6:

CÁLCULO INTEGRAL

Logo:

em que

A tabela a seguir mostra os valores de: , de e da somatória:

Veja: Tabela 1 - Soma entre colchetes em (1)

i 0 1 2 3 4 5 6

xi 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

f(xi) 0,0625 0,0615 0,0588 0,0548 0,0500 0,0450 0,0400

ki 1 2 2 2 2 2 1

Fonte: Leithold (2002).

Assim:

ki . f(xi) 0,0625 0,1230 0,1176 0,1096 0,1000 0,0900 0,0400

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Como a regra do trapézio dá apenas uma aproximação do valor da integral definida, você deve ter em mente dois tipos de erros: » » erro de truncamento: ocorre quando se aproxima o gráfico função por segmentos de retas. Ele pode ser reduzido aumentando o número de subintervalos n em [a,b], o que incrementa a precisão na aproximação da área da região por áreas de trapézios, mas, consequentemente, acarreta um aumento no erro de arredondamento; » » erro de arredondamento: é inevitável e surge porque números com finitas casas decimais são usados para aproximar números reais. A fim de tornar a diferença entre o valor aproximado da integral definida e o valor exato da integral definida tão pequeno quanto você desejar – tornando n suficientemente grande e, por conseguinte, ∆x suficientemente pequeno –, você conhecerá o teorema que fornece um método para estimar o erro de truncamento (ϵT) cometido quando se usa a regra do trapézio. » » Teorema 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], f’ e f” ambas existentes em [a,b]. Se:

em que T é o valor aproximado de número η em [a,b] tal que:

encontrado pela regra do trapézio, então existe algum

(2) Exemplo 8 Ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento no resultado da aproximação para usando a regra do trapézio com n = 6

Resolução Primeiramente, você deve encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de fη(x) em [0,3].

CÁLCULO INTEGRAL

Como f’’’(x) > 0 para todo x no intervalo aberto (0,3), então f”(x) é crescente no intervalo aberto (0,3). Assim, o valor mínimo absoluto de f” em [0,3] é f”(0), e o valor máximo absoluto de f” em [0,3] é f”(3).

AULA 4 â&#x20AC;&#x201C; CĂ LCULO DE Ă REAS

Considere đ?&#x153;&#x201A; = 0 no segundo membro de (2):

Considere, agora, đ?&#x153;&#x201A; = 3 no segundo membro de (2) e vocĂŞ terĂĄ:

Logo, sendo ĎľT o erro de truncamento no resultado do exemplo 7, vocĂŞ encontrarĂĄ:

4.2.2 Regra de Simpson Outro mĂŠtodo para aproximar o valor de uma integral definida ĂŠ a regra de Simpson (ou regra parabĂłlica), em homenagem ao matemĂĄtico britĂ˘nico Thomas Simpson. Thomas Simpson (1710-1761) aprendeu MatemĂĄtica sozinho. Saiu de sua cidade natal, Market Bosworth, para assumir um cargo como professor em Nuneaton, onde lecionou matemĂĄtica desde os 15 anos atĂŠ 1733. A partir de 1736, vivendo em Londres, foi um dos 49 primeiros membros da Sociedade de MatemĂĄtica Spitafields. Ele investigava problemas de Engenharia, mas ĂŠ mais lembrado por seu trabalho sobre interpolaĂ§ĂŁo e mĂŠtodos numĂŠricos de integraĂ§ĂŁo. O mĂŠtodo numĂŠrico conhecido como regra de Simpson foi algo que Thomas Simpson aprendeu de Newton (mĂŠtodo de Newton-Raphson).

Para uma dada partiĂ§ĂŁo do intervalo fechado [a,b], a regra de Simpson dĂĄ uma melhor aproximaĂ§ĂŁo do que a regra do trapĂŠzio. Na regra do trapĂŠzio, pontos sucessivos no grĂĄfico de y = f(x) sĂŁo conectados por segmentos de reta, enquanto na regra de Simpson os pontos sĂŁo conectados por segmentos de parĂĄbolas. O teorema a seguir ĂŠ necessĂĄrio para que vocĂŞ compreenda a regra de Simpson. Âť Âť Teorema 3: Se P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2) forem trĂŞs pontos nĂŁo colineares sobre a parĂĄbola com equaĂ§ĂŁo y = AxÂ˛ + Bx + C, em que y0 â&#x2030;Ľ 0, y1 â&#x2030;Ľ 0 e y2 â&#x2030;Ľ 0, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h, entĂŁo a medida da ĂĄrea da regiĂŁo limitada pela parĂĄbola, pelo eixo x e pelas retas x = x0 e x = x2 serĂĄ dada por:

CÁLCULO INTEGRAL

(x2, y2)

(x1, y1)

(x0, y0)

Figura 39 – Ilustração do enunciado do Teorema 3. Fonte: Leithold (2002).

Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b]. Considere uma partição regular do intervalo [a,b] com n subintervalos, sendo que n é par. O comprimento de cada intervalo é dado por

Denote os pontos sobre a curva y = f(x), cujas abscissas são os pontos da partição P0(x0,y0),P1(x1,y1 ),…, Pn(xn,yn) , conforme a próxima figura, em que f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b]. y P6 P1 P0

a = x0 x1

P2 P3

Pn – 1

P4 P5

Pn – 2 y = ƒ(x)

xn – 2 x n – 1

Figura 40 – Ilustração dos pontos sobre a curva y = f(x). Fonte: Leithold (2002).

Aproxime o segmento da curva y = f(x) de P0 a P2 pelo segmento da parábola com o eixo vertical e passando pelos pontos P0, P1 e P2. Pelo teorema 3, a medida da área da região limitada por essa parábola, pelo eixo x e pelas retas x = x0 e x = x2 com h = ∆x, será dada por:

100

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

ou:

De forma análoga, aproximando o segmento da curva y = f(x) de P2 a P1 pelo segmento da parábola com o eixo vertical e passando pelos pontos P2, P3 e P1, pelo teorema 3, a medida da área da região limitada por essa parábola, pelo eixo x e pelas retas x = x2 e x = x0 com h = ∆x será:

ou:

Esse processo continua até que você obtenha região seja dada por:

de tais regiões e que a medida da área da última

ou:

A soma das medidas das áreas dessas regiões aproxima a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b. A medida da área dessa região . Assim, você tem uma aproximação da integral definida. é dada pela integral definida

Logo:

em que

101

CÁLCULO INTEGRAL

Essa fórmula é conhecida como a regra de Simpson. » » Teorema 4 – Regra de Simpson: Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], n for um inteiro par e os números a = x0, x1, x2, …, x(n-1), xn = b formarem uma partição regular de [a,b], então:

Exemplo 9 Use a regra de Simpson com n = 4 para aproximar o valor de

Resolução Aplique a regra de Simpson com n = 4 e obtenha:

Então, se

Tabela 2 - Resultados da expressão entre colchetes em (1)

f(xi)

1,00000

0,25

0,80000

3,20000

0,5

0,66667

1,33334

0,75

0,57143

2,28572

0,50000

Fonte: Leithold (2002).

102

ki . f(xi)

AULA 4 â&#x20AC;&#x201C; CĂ LCULO DE Ă REAS

Logo:

Aproximando o resultado para quatro casas decimais, vocĂŞ obterĂĄ:

Na regra de Simpson, quanto maior o valor de n, menor serĂĄ o valor de â&#x2C6;&#x2020;x e, com isso, menor serĂĄ o erro de truncamento da aproximaĂ§ĂŁo, pois a parĂĄbola, passando por trĂŞs pontos de uma curva que estĂŁo prĂłximos um do outro, estĂĄ prĂłxima da curva em todo o subintervalo de comprimento 2â&#x2C6;&#x2020;x. O teorema a seguir apresenta um mĂŠtodo para determinar o erro de truncamento (ĎľT) ao aplicar a regra de Simpson. Âť Âť Teorema 5: Seja f uma funĂ§ĂŁo contĂnua no intervalo fechado [a,b] e fâ&#x20AC;&#x2122;, fâ&#x20AC;?, fâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; e f(iv) todas existentes em [a,b]. Se:

em que S ĂŠ o valor aproximado de algum nĂşmero đ?&#x153;&#x201A; em [a,b] tal que:

encontrado pela regra de Simpson, entĂŁo existe

(2)

Exemplo 10 Ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximaĂ§ĂŁo do valor da integral ao aplicar a regra de Simpson. ResoluĂ§ĂŁo

103

CĂ LCULO INTEGRAL

Como f(v)(x) < 0 para todo x em [0,1], f(iv) ĂŠ decrescente em [0,1]. EntĂŁo, o valor mĂnimo absoluto de f(iv) estĂĄ no extremo direito 1, e o valor mĂĄximo absoluto de f(iv) estĂĄ no extremo esquerdo 0. e Substituindo no segundo membro de (2) đ?&#x153;&#x201A; por 0, vocĂŞ terĂĄ:

Substituindo, no segundo membro de (2), đ?&#x153;&#x201A; por 1, vocĂŞ terĂĄ:

Logo:

A regra de Simpson dĂĄ um resultado exato para um polinĂ´mio de terceiro grau ou menor. Os mĂŠtodos numĂŠricos podem ser aplicados para aproximar

, mesmo que vocĂŞ nĂŁo conheĂ§a uma fĂłrmula

para f(x), desde que vocĂŞ tenha acesso a alguns valores de funĂ§ĂŁo, que, muitas vezes, sĂŁo obtidos experimentalmente.

Exemplo 11 Uma partĂcula que se move ao longo de uma reta horizontal tem uma velocidade de v(t) m/s em t s. A tabela a seguir apresenta valores de v(t) para intervalos de

s, em um perĂodo de 4s. Use esses

valores e a regra de Simpson para determinar a distĂ˘ncia aproximada que a partĂcula percorre durante 4 segundos. 104

AULA 4 – CÁLCULO DE ÁREAS

Tabela 3 - Valores de v(t)

t v(t)

0 0

0,5 0,15

1 0,35

1,5 0,55

2 0,78

2,5 1,02

3 1,27

3,5 1,57

4 1,90

Fonte: Leithold (2002).

Resolução A distância percorrida pela partícula durante 4 s é

Da regra de Simpson, vamos considerar n = 8, já que n tem de ser par e o intervalo tem 9 partições, das quais a primeira é desprezível. Assim, você terá:

Então, a partícula percorre, aproximadamente, 3,31 metros em 4 segundos.

105

CÁLCULO INTEGRAL

CONCLUSÃO Nesta aula, você aplicou o que aprendeu até a aula anterior na solução de problemas que envolviam o cálculo de áreas, não só de regiões limitadas por uma curva, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, mas também de regiões limitadas por duas curvas e outras regiões limitadas por uma curva e uma reta. Durante a resolução dos problemas propostos, você conseguiu identificar, graficamente, a região que desejava calcular a área, a fim de visualizar os limites de integração e a diferença entre as curvas que comporia o integrando. Assim, você pôde identificar se era possível realizar o cálculo da área com apenas uma integral, revertendo os papéis de x e y. Você também aprendeu que existem algumas funções para as quais uma integral definida não pode ser calculada com exatidão. Nesses casos, é preciso utilizar uma integração numérica que utiliza métodos para calcular um valor aproximado de uma integral definida de uma função contínua em um intervalo fechado: as regras do Trapézio e de Simpson. Na próxima aula, você conhecerá as possibilidades de aplicações do Cálculo Integral na resolução de problemas que envolvem funções ainda não estudadas. Até lá!

106

AULA 5 Aplicações do Cálculo Integral

INTRODUÇÃO Na aula anterior, você aprendeu a utilizar a integral definida, como o limite de somas de Riemann, para encontrar áreas. Porém, esse conteúdo tem aplicações que se estendem muito além desse tipo de situação. Você utilizará o Cálculo Integral em problemas envolvendo volumes, trabalho e valores médios. Isso só para citar alguns exemplos. É por isso que, nesta aula, você ampliará seus conhecimentos sobre as aplicações dos conceitos estudados nesta disciplina. Você estudará como calcular o comprimento de uma curva plana, ou, como também é chamado, o comprimento de arco. Você também reconhecerá a importância do Cálculo Integral na solução de problemas que envolvem funções, como a trigonométrica e a logarítmica. Vamos lá?

CÁLCULO INTEGRAL

OBJETIVO » » Identificar a importância do Cálculo Integral na resolução de problemas que envolvem funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e na forma paramétrica para a determinação do comprimento do arco na qual está inserida.

5.1 COMPRIMENTO DE ARCO O que se quer dizer com o comprimento de uma curva? Você poderia pensar em colocar um pedaço de barbante sobre a curva, como na figura a seguir, e então medir a extensão dele com uma régua. Isso pode ser muito difícil de ser feito com precisão caso a curva seja muito complicada.

Figura 41 – Representação de uma curva cujo comprimento pode ser calculado. Fonte: Stewart (2011).

Então, você precisa de uma definição exata para o comprimento de um arco de uma curva da mesma forma como você aprendeu para o conceito de área. Se a curva é uma poligonal, você pode encontrar seu comprimento total somando os comprimentos de cada segmento de reta que forma a poligonal. Para isso, você pode usar a fórmula da distância entre dois pontos que, neste caso, são as extremidades de cada segmento. Ou seja, se o arco for um segmento de reta do ponto (x1,y1) ao ponto (x2,y2), o seu comprimento será dado por:

Assim, o comprimento de uma curva geral será definido aproximando-a a uma poligonal e, então, tomando o limite quando o número de segmentos da poligonal aumenta. É parecido com o que acontece em um círculo, no qual a circunferência é o limite dos comprimentos dos polígonos inscritos.

Figura 42 – Representação do comprimento da circunferência. Fonte: Stewart (2011).

108

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

Suponha que uma curva AB seja definida pela equação y = f(x), em que f é contínua e a ≤ x ≤ b. Você obterá uma poligonal de aproximação para AB dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos com extremidades x0, x1,…, xn e com larguras iguais a ∆x. Se yi = f(xi), então o ponto Pi (xi,yi) está em AB e a poligonal com vértices P0, P1,…, Pn, ilustrada na imagem adiante, é uma aproximação para AB. y P1 A

y = f(x) Pi-1

Pn=B

Xi-1

Figura 43 – Representação da poligonal de aproximação para AB. Fonte: Stewart (2011).

O comprimento L de AB é, aproximadamente, o mesmo dessa poligonal, e a aproximação fica melhor quando n aumenta. Veja a próxima figura, em que o arco da curva em Pi – 1 e Pi foi ampliado e as aproximações, com sucessivos valores menores para ∆x, são mostradas. Pi Pi Pi-1 Pi-1

Pi Pi

Pi-1 Pi-1 Figura 44 – Representação da aproximação para o comprimento do segmento Fonte: Stewart (2011).

Assim, o comprimento L da curva AB com equação y = f(x), a ≤ x ≤ b é definido como o limite dos comprimentos dessas poligonais inscritas, se o limite existir:

Você se lembra de que, para definir áreas delimitadas por curvas, era preciso dividi-las em partes menores? O procedimento para o cálculo do comprimento de arco é muito parecido: primeiro, você deve segmentar a curva em um grande número de partes pequenas. Depois, você encontra os comprimentos aproximados das partes pequenas e os soma. Finalmente, você tem o limite quando n → ∞. O comprimento do segmento de reta de Pi – 1 a Pi é denotado por |

|, e dado pela fórmula:

109

CÁLCULO INTEGRAL

A soma dos comprimentos desses segmentos de reta é: , (1) que pode ser escrita como:

Parece aceitável que, se n for suficientemente grande, a soma em (1) estará próxima do que, intuitivamente, você pensa ser o comprimento do arco AB. Assim, você pode definir o comprimento do arco como o limite da soma (1) quando a norma de ∆ tende a zero e, nesse caso, n cresce sem limitação.

Lembre-se do que você viu na aula 3: ∆ é uma partição do intervalo [a,b] com n subintervalos. A norma de ∆ é o maior subintervalo da partição, denotada por ||∆||.

Você tem, então, a definição a seguir. Definição 1: Suponha que a função f seja contínua no intervalo fechado [a,b]. Além disso, admita que existe um número L com a propriedade a seguir. Para todo ϵ > 0, existe um δ > 0 tal que, para toda partição ∆ do intervalo [a,b] seja verdade que: se ||∆|| < δ então Assim, você escreverá: (2)

L é chamado de comprimento do arco da curva y = f(x) do ponto A(a,f(a)) ao ponto B(b,f(b)). Se o limite em (2) existir, você pode dizer que o arco é retificável.

110

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

Um arco é retificável quando seu comprimento pode ser definido como o limite superior dos comprimentos de todas as linhas poligonais nele inscritas.

Para deduzir uma fórmula para encontrar o comprimento L de um arco retificável, é necessário que a derivada de f seja contínua em [a,b]. Dessa forma, tal função é suave em [a,b]. Veja a figura a seguir. Considere que Pi – 1 tem coordenadas (xi – 1, yi – 1) e Pi, (xi,yi). (xi , yi)

Pi-1 (xy - yi-1 - ∆ ,y (xi-1 , yi-1)

Pi-1

(xi - xi-1 - ∆,x

Figura 45 – Representação do cálculo do comprimento da corda Pi – 1 Pi. Fonte: Leithold (2002).

Considerando e

você tem:

ou, equivalentemente, como ∆ix ≠ 0 então, o comprimento da corda Pi – 1 Pi será dado pela fórmula: (3)

Como é exigido que f’ seja contínua em [a,b], as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas.

111

CÁLCULO INTEGRAL

Vamos relembrar o teorema do valor médio: se f é uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b), então . existe um número c em (a,b), tal que

Assim, existe um número zi no intervalo aberto (xi – 1, xi) tal que:

f(xi) – f(xi – 1) = f’(zi)(xi – 1, xi) Como: ∆iy = f(xi) – f(xi – 1) e ∆ix = xi – xi – 1, da equação anterior, você tem:

Substituindo essa equação em (3), você obterá:

Para cada i de 1 até n, existe uma expressão como a da forma anterior, tal que:

Considerando o limite de ambos os membros dessa expressão quando ||∆|| tende a 0, você terá: (4)

se o limite existir. Para mostrar que o limite do segundo membro de (4) existe, considere F a função definida por:

Por imposição, f’ é contínua em [a,b], F será contínua em [a,b]. Como xi – 1 < zi < xi, para i = 1, 2, ..., n, no lado direito de (4) você tem o limite da soma de Riemann, que é uma integral definida. Logo, em (4): 112

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

De (2), o primeiro membro é L, então:

Dessa forma, você provou o teorema a seguir. » » Teorema 1 – Se a função f e sua derivada f’ forem contínuas no intervalo fechado [a,b], então o comprimento do arco da curva y = f(x) do ponto A(a,f(a)) ao ponto B(b,f(b)) será dado por:

O próximo teorema dá o comprimento do arco de uma curva quando x é expressa como uma função de y. » » Teorema 2 – Se a função ɡ e sua derivada ɡ’ forem contínuas no intervalo fechado [c,d], então o comprimento do arco da curva x = ɡ(y) do ponto (ɡ(c), c) ao ponto (ɡ(d), d) será dado por:

Observe alguns exemplos de cálculo do comprimento do arco de uma curva. Exemplo 1 Ache o comprimento do arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4), usando o teorema 1. Resolução 5

y =x

(2⁄3)

8 (8,4)

i 3 2

(1,1)

0 0

Figura 46 – Representação gráfica do exemplo 1. Fonte: Costa (2014).

113

CÁLCULO INTEGRAL

Como:

f(x) = x2⁄3, então:

Do teorema 1:

Para resolver essa integral, você deve usar o método da mudança de variável. Veja:

Quando você aplica o método da mudança de variável, deve rever os limites de integração.

Quando x = 1, u = 13 e quando x = 8, u = 40. Logo:

114

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

Exemplo 2 Ache o comprimento do arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4), usando o teorema 2. Resolução Como y = x2/3 e x > 0, você resolverá da seguinte forma:

Então:

Você vai integrar em função de y, logo os limites de integração são os correspondentes às ordenadas dos pontos extremos da curva.

115

CÁLCULO INTEGRAL

Pelo teorema 2:

Para resolver essa integral, você deve usar o método da mudança de variável. Veja:

u = 4 + 9y du = 9dy Quando y = 1, u = 13 e quando y = 4, u = 40. Logo:

116

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

Exemplo 3 Calcule o comprimento de arco da parábola y2 = x, de (0,0) a (1,1). Resolução Como x = y2, você tem

Do teorema 2:

Para a resolução desse exemplo, você precisa fazer uso de uma substituição trigonométrica. Veja a tabela a seguir.

Tabela 4 – Tabela de substituições trigonométricas. Fonte: Stewart (2011).

Você pode encontrar outras substituições trigonométricas nos livros indicados nas referências bibliográficas ao final da disciplina

Como

faça a substituição trigonométrica

, que resulta em

117

CÁLCULO INTEGRAL

Quando y = 0, tanθ = 13, logo θ = 0. Quando y = 1, tanθ = 2, assim θ = tan-1 2 =α. Então:

Encontre a integral indefinida de ∫ sec³θ dθ usando o método da integração por partes:

Então, aplicando a fórmula da integração por partes, você terá:

Somando a integral ∫ sec³θ dθ aos dois termos da equação e usando a integral da tabela para ∫ secθ dθ, você obterá:

118

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

Logo:

Como tanθ = 2 = tan α, você tem sec²α = 1 + tan²α = 1 + 2² = 5. Então,

Exemplo 4 Ache o comprimento da curva y = ln (sec x) com

Resolução f(x) = ln (secx) Então:

119

CÁLCULO INTEGRAL

Aplique o teorema 1 e terá:

Exemplo 5 Ache o comprimento da curva Resolução

Aplique o teorema 1 e obterá:

120

com 1 ≤ x ≤ 2.

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

Calcule:

Então:

121

CÁLCULO INTEGRAL

5.1.1 Comprimentos de curvas paramétricas Nas representações não paramétricas, a posição em y é dada como uma função de x e vice-versa. Essa representação se divide em implícita e explícita. Na primeira, quando se tem explicitamente uma das posições, pode-se obter um único valor para a outra posição. Ou seja, dado o valor de y, conseguimos um valor para x. Um exemplo é a equação da reta y = 2x – 1. Na forma implícita, cada valor de y pode gerar mais de um valor para x. É o caso, por exemplo, de um círculo de raio r cuja equação é dada por x2 + y2 – r2 = 0. As formas não paramétricas são dependentes do sistema de coordenadas, e o aumento do numero de dimensões compromete a facilidade de seu uso. Devido a essas limitações, é comum a utilização de representações paramétricas, nas quais as coordenadas dos pontos são definidas utilizando-se um parâmetro. A equação da reta citada anteriormente poderia ser escrita utilizando um parâmetro t. Veja:

A equação y = 2x – 1 escrita na forma paramétrica, é:

As equações de outras curvas, como a do círculo, da elipse e outras, são, muitas vezes, dadas por equações paramétricas contínuas como:

tais que:

t1 ≠ t2 ⇒ (x(t1),y(t1)) ≠ (x(t2),y(t2)) Se nenhum segmento da curva representada pelas equações paramétricas for traçado mais de uma e forem funções contínuas em a ≤ t ≤ b, então o vez quando t cresce de a para b e se comprimento de arco L da curva é dado por:

122

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

Para você compreender a definição do comprimento L dessa curva, considere números t0, t1,…, tn tais que a = t0 < t1 < ... < tn = b e pontos sobre a curva Pi = (x(ti),y(ti)), para i = 1, ..., n. Veja a figura adiante. Pn

Pn-1

P2 P1 P0

Figura 47 – Representação de uma curva dada por equações paramétricas. Fonte: Costa (2014).

O comprimento da linha poligonal é uma estimativa para L. Considerando pontos Pi cada vez mais próximos uns dos outros, espera-se que esse comprimento se aproxime cada vez mais de L. Isto é, indicando a distância entre Pi – 1 e Pi por d( Pi – 1, Pi), você terá:

Da geometria analítica, você obterá:

Suponha que, pelo teorema do valor médio, cada uma das funções y(t) e x(t) tenha derivada contínua em cada intervalo [ti-1,ti]Então, existem os números αi,βi ∈ [ti-1,ti], tais que:

em que Δti = ti – ti-1. Daí, você obterá:

Então:

123

CÁLCULO INTEGRAL

Como y’(t) e x’(t) são contínuas, logo:

Exemplo 6 Use a integral para calcular o comprimento do círculo que tem as equações paramétricas:

Resolução x’ = – 4sen t dt y’ = 4cos t dt

124

AULA 5 – APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

O cálculo do comprimento do arco de uma curva na forma paramétrica também é utilizado, por exemplo, para calcular o comprimento de uma ciclóide, de uma astróide (também conhecida como hipociclóide de quatro cúspides) ou de elipses.

CONCLUSÃO Nesta aula, você aprendeu a calcular o comprimento do arco de uma curva como uma aplicação do Cálculo Integral. Para tanto, você utilizou os conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores, como integral indefinida, somas de Riemann, integral definida e técnicas de integração. Você também revisou conteúdos da sua formação básica, assim como os conceitos adquiridos em outras disciplinas do curso, como as funções e identidades trigonométricas e derivadas. Você também pôde perceber a importância das funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e na forma paramétrica para a determinação do comprimento do arco no qual estão inseridas. O que você aprendeu nesta aula é usado em situações reais, como o cálculo da deflexão em uma viga e também para determinar a distância percorrida por uma bola de golfe desde a tacada até que a grama a pare, observando sua trajetória. Além disso, esse conteúdo será muito útil para as próximas aulas, por exemplo, no cálculo da área de uma superfície de revolução. Até lá!

125

AULA 6 Cálculo de Volume

INTRODUÇÃO Você já aprendeu a utilizar o Cálculo Integral para determinar a área de uma região plana. Agora, você usará um processo semelhante para obter volumes de determinados tipos de sólidos. Você aprenderá o que são sólidos de revolução e calculará o seu volume utilizando a integral definida. Você vai aprender que é possível determinar o volume de um sólido usando técnicas distintas, como: fatiamento, discos e arruelas perpendiculares aos eixos x e y, e camadas cilíndricas (ou cascas cilíndricas, ou ainda invólucros cilíndricos) e suas variações. Você também conhecerá aplicações do cálculo de volumes por integração na Engenharia Mecânica, Civil e de Produção. Mas isso não esgota as possibilidades. O cálculo de volume por integração é utilizado em muitas áreas do conhecimento, como Física, Química, Arquitetura e outras. Vamos lá!

CÁLCULO INTEGRAL

OBJETIVOS » » Identificar por meio da rotação de um segmento de reta e algumas curvas o sólido gerado. » » Aplicar a Integral Definida para determinar o volume do sólido encontrado na rotação.

6.1 VOLUMES Para que você chegue à definição exata de volume, poderá utilizar um processo semelhante ao empregado para obter volumes de determinados tipos de sólidos. Um deles é o cilindro reto, denominado dessa forma quando está limitado por duas regiões planas congruentes R1 e R2, situadas em planos paralelos, e por uma superfície lateral gerada por um segmento de reta, com seus extremos sobre os limites de R1 e R2 que se move de modo que seja sempre perpendicular a eles. Em outras palavras, são sólidos gerados quando uma região plana é transladada ao longo de uma reta ou um eixo que é perpendicular a ela, como mostra a imagem a seguir.

Figura 48 – Alguns cilindros retos. Fonte: Anton (2007).

A próxima figura mostra um cilindro reto cuja base é R1 ou R2 e altura é a distância perpendicular entre esses planos. Caso a base seja uma região encerrada por um retângulo, você terá um paralelepípedo retangular. Se for uma região encerrada por um círculo, você terá um cilindro circular reto. Veja as figuras.

R2 Figura 49 – Cilindro reto. Fonte: Leithold (2002).

Figura 50 – Paralelepípedo retangular. Fonte: Leithold (2002).

128

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

Figura 51 – Cilindro circular reto. Fonte: Leithold (2002).

Com base na geometria dos sólidos, sabe-se que, considerando A unidades quadradas como a área da base de um cilindro reto, h unidades como a altura e V unidades cúbicas como o volume, então:

V = Ah (área da base x altura) A seguir, você conhecerá algumas formas para determinar o volume de um sólido.

6.1.1 Volume por fatiamento Você viu na aula 5 que o princípio básico para encontrar a área de uma região plana é dividi-la em fatias finas, aproximar a área de cada fatia pela área de um retângulo, somar as aproximações para formar uma soma de Riemann e passar ao limite para produzir uma integral para a área. Levando em conta algumas condições, como ser possível calcular os raios internos e externos de uma arruela ou determinar a área de uma seção transversal constante, a mesma estratégia para encontrar a área de uma região plana pode ser usada para encontrar o volume de um sólido. Divida o sólido em fatias finas, aproxime o volume de cada fatia, some as aproximações para formar uma soma de Riemann e passe ao limite para produzir uma integral para o volume. Veja a figura a seguir.

Figura 52 – Fatiamento de alguns sólidos. Fonte: Anton (2007).

Este método funciona porque uma fatia fina tem seções transversais que não variam muito nem em tamanho nem em forma, o que facilita a aproximação de seus volumes, como você pode ver na imagem adiante.

Figura 53 – Seções transversais em uma fatia fina. Fonte: Anton (2007).

129

CÁLCULO INTEGRAL

Quanto mais fina a fatia, menor é a variação em suas seções transversais e melhor a aproximação. Dessa forma, uma vez aproximados os volumes das fatias, você pode formar uma soma de Riemann cujo limite é o volume de todo o sólido. Veja como encontrar o volume de um sólido cujas seções transversais não variam nem em tamanho nem em forma, ou seja, são congruentes. Trata-se de um caso especial de uma fórmula mais geral que você deve aplicar aos cilindros retos. O volume gerado pela translação de uma região de área A ao longo de uma distância h (altura) é dado por V = Ah , como mostra a figura adiante. Área A

h Figura 54 – V = Ah . Fonte: Anton (2007).

Considere o cilindro circular reto de raio r. Todas as secções transversais tomadas perpendiculares ao eixo central são regiões circulares de raio r. O volume V de um cilindro circular de raio e altura desse cilindro pode ser dado em termos da altura e da área de uma seção transversal como:

V = πr² h

Lembre-se de que é a área do círculo.

Agora você dispõe de todas as ferramentas para obter um método para calcular a medida do volume de um sólido, para o qual a área de qualquer seção transversal perpendicular a um eixo seja uma função da distância perpendicular da seção transversal de um ponto fixo sobre o eixo. A figura a seguir mostra um sólido S que está situado entre dois planos perpendiculares ao eixo x em [a,b]. Considere A(x) unidades quadradas a área da seção transversal de S, que é perpendicular ao eixo x em [a,b]. Tome Δ como uma partição do intervalo [a,b], dada por a =x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Existem, então, n subintervalos da forma [xi-1,xi], em que i = 1,2,…,n, sendo ∆i x = xi – xi – 1 o comprimento do i-ésimo subintervalo. Você deve escolher qualquer ci com xi-1 ≤ ci ≤ xi, em cada subintervalo, e construir os cilindros retos com ∆i x unidades de altura e a área das seções transversais iguais a A(ci) unidades quadradas.

130

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

∆i x A (b) A (a) a

A(c i ) Figura 55 – Sólido S. Fonte: Leithold (2002).

Agora, veja o i-ésimo cilindro reto, que será chamado de elemento de volume. ∆i x

A(c i )

Figura 56 – i-ésimo cilindro reto. Fonte: Leithold (2002).

Caso ∆iV unidades cúbicas for o volume do i-ésimo elemento, então:

∆i V =A (ci) ∆ix, (1) que é a soma de Riemann, ou seja, uma aproximação do que intuitivamente você deve pensar ser o número de unidades cúbicas no volume do sólido. Quanto menor for a norma ||∆|| da partição, maior será n e mais perto você estará da aproximação do número V que quer designar para a medida do volume. Portanto, você definirá V como o limite da soma de Riemann em (1) quando ||∆|| se aproximar de zero. Esse limite existe porque A é contínua em [a,b]. Logo, você terá a seguinte definição. » » Definição 1: Seja S um sólido que esteja entre planos perpendiculares ao eixo x em x = a e x = b. Se a medida da área da seção transversal de S no plano perpendicular ao eixo x for dada por A(x), em que A é contínua em [a,b], então a medida do volume de S será dada por:

, (2) desde que A(x) seja integrável. De forma análoga, se a seção transversal for perpendicular ao eixo y, você terá a próxima definição. 131

CÁLCULO INTEGRAL

» » Definição 2: Seja S um sólido que esteja entre planos perpendiculares ao eixo y em y = a e y = b. Se a medida da área da seção transversal de no plano perpendicular ao eixo y for dada por, em que A é contínua em [c,d], então a medida do volume de S será dada por:

, (3) desde que A(y) seja integrável.

Em resumo, as fórmulas que você acabou de ver afirmam que o volume de um sólido pode ser obtido integrando a área da seção transversal de um extremo ao outro do sólido.

Exemplo 1 Determine a fórmula para o volume de uma pirâmide reta com altura h cuja base é um quadrado com lados de comprimento a. Resolução Conforme ilustra a figura a seguir, podemos introduzir um sistema retangular de coordenadas no qual o eixo y passa pelo ápice e é perpendicular à base, e o eixo x passa pela base e é paralelo a um lado dela. eixo y B(0,h)

s eixo x _ a, 0) C(1 2

0 (a) B h-y h

1 _s 2

y 0

1 _a C 2 (b)

Figura 57 – Ilustração do exemplo 1. Fonte: Anton (2007).

132

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

Em qualquer ponto y de [0,h] sobre o eixo y, a seção transversal perpendicular ao eixo é um quadrado. Se x for o comprimento de um lado desse quadrado, então, por semelhança de triângulos, você terá:

E, utilizando a fórmula (3), o volume é:

O resultado significa que o volume da pirâmide reta de base quadrada é

da área da base (a2) vezes a altura (h).

133

CÁLCULO INTEGRAL

Exemplo 2 Uma cunha é cortada de um cilindro circular de raio 4 por dois planos, como você pode ver na próxima imagem. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro intercepta o primeiro com um ângulo de 30° ao longo de um diâmetro do cilindro. Determine o volume da cunha.

C 0

y A

16 - x 2

Figura 58 – Ilustração do exemplo 2. Fonte: Stewart (2011).

Resolução Se você colocar o eixo x ao longo do diâmetro em que os planos se encontram, então a base do sólido , no intervalo –4 ≤ x ≤ 4. Uma seção transversal é um semicírculo com a equação perpendicular ao eixo x a uma distância x da origem é um triângulo ABC cuja base é . Então, a área da seção transversal é: e com altura

E o volume da cunha é:

134

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

Agora, você verá um exemplo de cálculo do volume de um sólido por fatiamento. Exemplo 3 A figura a seguir mostra os cilindros de um motor de quatro cilindros a quatro tempos. Em laranja, você tem o volume correspondente à cilindrada durante um ciclo completo. Calcule as cilindradas desse motor, considerando que cada cilindro tem 71,1 mm de diâmetro e 62,9 mm de curso, que, no caso do nosso exemplo, é a altura.

Figura 59 – Cilindros 4 tempos. Fonte: Adaptado de Castro (2009).

135

CÁLCULO INTEGRAL

Cilindrada é o volume de deslocamento do motor que resulta do produto da cilindrada unitária pelo número de cilindros do motor.

Resolução Para o cálculo da cilindrada unitária, você determinará o volume do cilindro gerado pelo movimento do pistão que está representado pela cor laranja na figura. Como o diâmetro é 71,1 mm, então r = 35,55 mm. Considerando que o curso se dá no eixo y e você tem como base o círculo com diâmetro no eixo x, o volume será dado por:

Então a cilindrada unitária é de, aproximadamente, 250 cm3. Como o motor tem 4 cilindros, você deve multiplicar o resultado por 4. Assim, o volume de deslocamento é de, aproximadamente, 1.000 cm3, ou seja, 1.000 cilindradas.

6.1.2 Sólidos de revolução Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de um eixo. Muitos sólidos conhecidos são desse tipo. Por exemplo, se a região limitada por um semicírculo e seu diâmetro for girada em torno do diâmetro, uma esfera será descrita. Um cone circular reto é gerado se a região limitada por um triângulo retângulo for girada em torno de um de seus catetos. Observe as figuras a seguir.

136

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

eixo de revolução

Figura 60 – Alguns sólidos de revolução elementares. Fonte: Anton (2007).

Agora que você já sabe o que é um sólido de revolução, pode, então, conhecer como se dá o cálculo de volume por discos perpendiculares ao eixo x.

6.1.3 Volume por discos perpendiculares aos eixos x e y Considere f contínua e não negativa em [a,b] e R a região que é limitada acima por y = f(x), abaixo pelo eixo x e nas laterais pelas retas x = a e x = b. Precisamos encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo x. Para compreender melhor o problema, visualize o sólido gerado na imagem a seguir. y

y y = f(x) f(x)

x a

x b

(b)

(a)

Figura 61 – Ilustração do problema. Fonte: Anton (2007).

O problema pode ser resolvido por fatiamento. Para isso, você deve observar que a seção transversal do sólido tomada perpendicularmente ao eixo x no ponto x é um disco de raio f(x). Logo, a área dessa região é:

A(x) = π[f(x)]2 Assim, pela definição 1, o volume do sólido é:

Como as seções transversais têm a forma de disco, a aplicação dessa fórmula é chamada de método dos discos. De forma análoga, o volume por discos perpendiculares ao eixo y é dado por:

137

CÁLCULO INTEGRAL

Exemplo 4 Encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva é girada em torno do eixo x, como mostra a figura a seguir.

e acima do intervalo [1,4]

y y=

Figura 62 – Ilustração do exemplo 4. Fonte: Anton (2007).

Resolução A partir da fórmula (4), o volume é:

Exemplo 5 Uma das estruturas de determinada igreja deve ser construída na forma de uma cúpula hemisférica gerada pela parábola y = –x² + 4, girando em torno do eixo y, no intervalo [0,4]. Determine seu volume pelo método dos discos, utilizando o m3 como unidade.

138

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

y 4

4 y = -x² + 4

x=( 0

4-y )

2 (a)

(b) Figura 63 – Ilustração do exemplo 5. Fonte: Costa (2014).

A figura (b) representa o sólido gerado pela parábola de revolução .

Resolução Como a parábola gira em torno do eixo y, você deve ter x em função de y. Assim:

Logo, o volume da cúpula será dado por:

139

CÁLCULO INTEGRAL

Agora, você aprenderá outro método para o cálculo de volumes, utilizando arruelas perpendiculares aos eixos.

6.1.4 Volume por arruelas perpendiculares aos eixos x e y Nem todo sólido de revolução tem interior totalmente preenchido. Alguns possuem buracos ou canais que criam superfícies interiores, como mostra a imagem adiante.

Figura 64 – Cilindro de revolução com superfície interior. Fonte: Anton (2007).

Sejam f e g contínuas e não negativas em [a,b] e suponha que f(x) ≥ g(x) para todo x em [a,b]. Seja R a região que é limitada acima por , abaixo por e nas laterais pelas retas x = a e x = b, como na figura a seguir. Como encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo x? y

f(x)

y = f(x) R x

y = g(x) a

(a) (b) Figura 65 – Região (a) e sólido gerado pela rotação da região (b). Fonte: Anton (2007).

140

g(x) b

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

Esse problema poderia ser resolvido por fatiamento. Para tanto, você deve observar que a seção transversal do sólido perpendicular ao eixo é a região anular ou “em forma de arruela” com raio interior g(x) e raio exterior f(x). Logo, sua área é:

Assim, pela definição 1, o volume do sólido é:

Como as seções transversais têm forma de arruelas, a aplicação dessa fórmula é chamada de método das arruelas. De forma análoga, se a região R girar em torno do eixo y, o volume do sólido gerado será:

Exemplo 6 Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y = x e y = x² quando é girada em torno da reta y = 2. y 4

y=2

2-x

2 - x2 y=x2

y=x 0

x2 x

Figura 66 – Ilustração do exemplo 6. Fonte: Stewart (2011).

Resolução Observe o sólido e a seção transversal na figura. A seção transversal é uma arruela com raio interno 2 – x e raio externo 2 – x².

141

CÁLCULO INTEGRAL

A área da seção transversal é:

A(x) = π(2 – x2)2 – π(2 – x)² Assim, o volume do sólido será:

Exemplo 7 Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = –4, da região limitada pelas parábolas x = y – y² e x = y² – 3.

142

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

Resolução x = -4

y 3 3 -_ _ 4 , 2

x = f(y)

x = g(y)

(b) ( -2, -1 ) (a)

Figura 67 – Ilustração do exemplo 7. Fonte: Leithold (2002).

Considere f(y) = y – y² e g(y) = y² – 3. Assim:

143

CÁLCULO INTEGRAL

Observe que as curvas se interceptam nos pontos (–2,–1) e

Exemplo 8 Calcule o volume do duto de concreto armado mostrado na figura a seguir, utilizando o método das arruelas. A unidade de volume é o cm3. diâmetro interno = 300mm comprimento = 1500mm

diâmetro externo = 327mm

Figura 68 – Duto de concreto armado. Fonte: Costa (2014).

Resolução Como o duto tem a forma de um cilindro reto, você deve considerar f(x) o comprimento do cilindro externo e o comprimento do cilindro interno. Assim, f(x) ≥ g(x) e f(x) = R e g(x) = r. Sendo D = 327 mm, então R = 163,5 mm. Como d = 300 mm, então r = 150 mm.. Logo, o volume do duto será dado por:

144

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

Alguns problemas de volume são difíceis de resolver pelos métodos que você aprendeu até agora. Por isso, é preciso que você conheça mais uma técnica.

6.1.5 Volume de sólidos por cascas cilíndricas Considere que você precise encontrar o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por y = 2x² – x³ e y = 0 , como na próxima figura.Caso você decida fatiar a região perpendicularmente ao eixo y, obterá uma arruela. Mas para calcular os raios interno e externo da arruela, você terá de resolver a equação cúbica y = 2x² – x³, para x em termos de y. Essa não será uma tarefa fácil. y y = 2x² - x³ 1 xL = ?

xR = ?

Figura 69 – Ilustração da região limitada por y = 2x² – x³ e y = 0. Fonte: Stewart (2011).

Para facilitar os cálculos em situações como a exposta, você aprenderá agora o método das cascas cilíndricas. A figura a seguir mostra uma casca cilíndrica de raio interno r1, raio externo r2 e altura h.

145

CÁLCULO INTEGRAL

∆r r2 h

Figura 70 – Ilustração de casca cilíndrica. Fonte: Stewart (2011).

Seu volume V é calculado pela subtração do volume V1 do cilindro interno e do volume V2 do cilindro externo. Assim:

Multiplicando e dividindo por 2 a expressão anterior, você terá:

Considerando ∆r = r2 – r1 (a espessura da casca) e o volume da casca cilíndrica passa a ser:

(o raio médio da casca), então

V = 2πh∆r (5) Considere agora o sólido S obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por y = f(x) [em que f(x) ≥ 0], y = 0, x = a e x = b, em que b > a ≥ 0. Observe a imagem. y

y y = f(x)

y = f(x)

Figura 71 – Ilustração do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y. Fonte: Stewart (2011).

Divida o intervalo [a,b] em n subintervalos [xi-1,xi] de mesma largura ∆ix e considere o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Se o retângulo com base [xi-1,xi] e altura f( ) for girado em torno do eixo , vai resultar em uma casca cilíndrica com raio médio , altura f( ) e espessura ∆ix. Observe a figura a seguir. 146

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

y y = f(x)

a xi - 1

b xi

y y = f(x)

Figura 72 – Divisão do intervalo [a,b] em n subintervalos. Fonte: Stewart (2011).

Assim, pela fórmula (5), o volume da i-ésima casca é dado por:

Então, uma aproximação para o volume V do sólido S é dada pela soma dos volumes dessas n cascas, que é uma soma de Riemann:

O limite dessa soma quando ||∆|| se aproxima de zero existe, pois se f for contínua em [a,b], então a função com valores 2πxf(x) também será. O limite é a integral definida:

e dá o volume do sólido de revolução. Esse resultado é resumido no teorema a seguir. » » Teorema 1: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], em que a ≥ 0. Suponha que f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b]. Se R for a região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, se S for o sólido de revolução obtido pela sua rotação R em torno do eixo y e se V unidades cúbicas for o volume de S, então:

147

CÁLCULO INTEGRAL

Você pode se lembrar facilmente da fórmula para a medida do volume da , e ∆ix são os números que dão, casca cilíndrica. Note que respectivamente, as medidas: da circunferência do círculo que tem por raio a média entre os raios interno e externo da casca, a altura e a espessura da casca. Assim, o volume da casca é: 2π(raio médio)(altura)(espessura).

Exemplo 9 Ache o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por y = 2x² – x³ e y = 0. y

2x2 - x3 x

(a)

2 x (b)

Figura 73 – Ilustração do exemplo 9. Fonte: Stewart (2011).

Resolução Na figura, você pode ver que uma casca tem raio x, circunferência 2πx e altura f(x) = 2x² – x³. Então, pelo método das cascas cilíndricas, o volume é:

148

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

Exemplo 10 A instalação de parques eólicos tem se expandido nos últimos anos. Esses locais são repletos de torres cujas bases são fabricadas em concreto armado. Calcule o volume da base da torre que é gerada pela rotação em torno do eixo y da região R delimitada por

e pelas retas x=2,2361 e x=10 . A

unidade de comprimento é o m e a unidade de volume é o m3. 4

0 0

Figura 74 – Ilustração do exemplo 10. Fonte: Costa (2014).

Resolução Como

, x = 2,2361, x = 10 e sabendo que o volume por cascas cilíndricas é:

149

CÁLCULO INTEGRAL

você terá:

Exemplo 11 Use camadas cilíndricas para encontrar o volume, em dm3, de uma bacia metálica gerada pela rotação e do primeiro quadrante, como em torno do eixo y da região R delimitada por y = x e mostra a figura a seguir. y

(20, 20) y=x x 1 x=- _ x² 20

1 y= _ x² 20

1 _ x² 20

x x

20 Este sólido tem o formato de uma bacia com o interior em forma de cone

Figura 75 – Ilustração do exemplo 10. Fonte: Anton (2007).

Resolução Observe na imagem que, em cada x de [0,20], a seção transversal de R paralela ao eixo y gera uma e raio x. Como a área dessa superfície é , superfície cilíndrica de altura o volume da bacia metálica é:

150

AULA 6 – CÁLCULO DE VOLUME

151

CÁLCULO INTEGRAL

CONCLUSÃO Nesta aula, você aprendeu como aplicar o Cálculo Integral para calcular o volume de sólidos. Para tanto, você usou um processo semelhante ao utilizado no cálculo de áreas, além dos conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores, como integral indefinida, somas de Riemann e integral definida. Você viu que o sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de um eixo. Com isso, percebeu que muitos elementos cotidianos constituem sólidos de revolução e, portanto, o cálculo do volume desses sólidos é aplicado em situações reais de diversas áreas do conhecimento. Você conheceu métodos distintos para o cálculo do volume de sólidos, utilizando fatiamento, discos, arruelas e cascas cilíndricas. Para cada um, você conheceu aplicações na engenharia mecânica ou na engenharia civil. O cálculo do volume de sólidos é importante para que o engenheiro possa estimar, com o máximo de precisão, as necessidades de utilização de espaços físicos, de materiais empregados nas construções, de produção de objetos, utensílios e equipamentos, para a elaboração de projetos arquitetônicos, estruturais, elétricos, hidráulicos e execução dos projetos. Na próxima aula, você aprenderá outra aplicação do Cálculo Integral. Você fará uso da integração múltipla para o cálculo de áreas e volumes. Até lá!

152

AULA 7 Integral dupla

INTRODUÇÃO Você já aprendeu a utilizar a integral definida para uma única variável para determinar uma área delimitada por uma curva. Agora, é hora de estudar como aplicar as integrais de funções de duas variáveis para encontrar volumes sob curvas. Nesta aula, será apresentada a você a definição de integral dupla de duas variáveis em uma região retangular fechada em R2. Depois, você aplicará o conceito de integral dupla de uma função para uma região plana mais geral. Também será mostrado o que são as integrais iteradas, que são usadas para avaliar as integrais duplas. Aí, então, você aprenderá como aplicar todo esse conhecimento para encontrar o volume de sólidos. Você também conhecerá algumas aplicações da integral dupla nas Engenharias. Mas saiba que essas são apenas algumas das possibilidades, já que esse conteúdo é amplamente utilizado em muitas áreas do conhecimento, como Física, Química, Arquitetura e outras. Vamos lá!

CÁLCULO INTEGRAL

OBJETIVOS » » Compreender a aplicação da Integral Dupla que envolve várias variáveis. » » Conceituar por Integral Definida o valor da Integral Dupla.

7.1 A INTEGRAL DUPLA Para diferenciar a integral de uma função de uma única variável de uma integral múltipla, você deverá denominá-la integral simples. Quando você estudou a integral simples, foi preciso definir a função em um intervalo fechado [a, b], no conjunto R dos números reais. Agora, para a integral dupla de uma função de duas variáveis, será exigido que a função seja definida numa região fechada em R2.

Considere como região fechada aquela que inclui sua fronteira. Quando o texto fizer referência a uma região, entenda, implicitamente, que ela é fechada.

Comece com um tipo mais simples de região fechada em R2, que é retangular. b2

∆,x (b1,b2) (ξ i,b i) ∆,y

(a1,a2) a2 Figura 76 - Região D. Fonte: Leithold (2002).

Denote por D toda a região fechada da figura, que pode ser considerada uma região de integração, e considere f uma função definida em D. Para tanto, defina uma partição ∆ de D. Trace linhas paralelas aos eixos coordenados e obtenha uma malha de sub-regiões retangulares que cobrem a região. A norma dessa partição, denotada por ||∆||, é determinada pelo comprimento da maior diagonal de uma sub-região retangular da partição. Enumere, então, as sub-regiões de uma forma arbitrária e considere n o seu total. Denote a largura da i-ésima região por ∆ix e sua altura por ∆iy unidades de comprimento. Então, se ∆iA unidades de área forem a área da i-ésima sub-região retangular, ∆iA = ∆ix ∆iy.

154

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Sejam (Ԑi,ϒi) um ponto arbitrário da i-ésima sub-região e seja f(Ԑi,ϒi) o valor funcional nele. Considere o produto f(Ԑi,ϒi) ∆iA. Em cada uma das n sub-regiões existe esse produto, e sua soma é:

Existem muitas somas da forma (1), pois a norma da partição pode ser qualquer número positivo, e cada ponto (Ԑi,ϒi) pode ser qualquer ponto na i-ésima sub-região. Se você puder aproximar arbitrariamente todas essas somas de um número L, ao tomar partições com normas suficientemente pequenas, então L será definido como o limite dessas somas quando a norma da partição de D tender a zero. Daí, segue a seguinte definição. Definição 1: Considere f uma função definida em uma região retangular fechada D. O número L será o limite das somas da forma se L satisfizer a seguinte condição: para todo ∈ > 0 existe um δ > 0, tal que para toda partição ∆, para a qual ||∆|| < δ, e para todas as possíveis seleções do ponto (Ԑi,ϒi) no i-ésimo retângulo i = 1,2,...,n:

Se o número L existir, você escreverá:

Se existir um número L que satisfaça a definição 1, então ele é único e você pode recorrer à prova do teorema da unicidade do limite de uma função para demonstrar essa afirmação. Definição 2: Uma função f de duas variáveis será dita integrável em uma região retangular fechada D se f estiver definida em D e o número L da definição 1 existir. Esse número L será chamado de integral dupla de f em D, e você escreverá:

O teorema a seguir dá uma condição suficiente para que uma função de duas variáveis seja integrável. Teorema 1: Se uma função de duas variáveis for contínua numa região retangular fechada D, então D será integrável em D. Veja o exemplo a seguir para compreender melhor o que foi exposto até aqui. Exemplo 1 Determine um valor aproximado da integral dupla:

155

CÁLCULO INTEGRAL

em que D é a região retangular com vértices (–1,1) e (2,3). Considere uma partição de D formada pelas retas x = 0, x = 1 e y = 2 e que (Ԑi,ϒi) é o centro da i-ésima sub-região. Resolução Observe a figura. Ela mostra a região D dividida em seis sub-regiões, as quais são quadrados com lados de comprimento unitário. (-1,3)

(2,3)

(-0,5, 2,5) (0,5, 2,5) (1,5, 2,5)

(-0,5, 1,5) (0,5, 1,5) (1,5, 1,5)

(-1,1)

(2,1) X 0 Figura 77 - Região D. Fonte: Leithold (2002).

Para cada i, ΔiA = 1. Em cada uma das sub-regiões, o ponto (Ԑi,ϒi) será o centro do quadrado. Com f(x,y) = 3y – 2x2, uma aproximação da integral dupla será dada por:

Até aqui, você viu situações que envolvem regiões fechadas retangulares. Mas e se essas regiões estiverem limitadas por curvas? Considere D uma região fechada, cuja fronteira consiste em um número finito de arcos de curvas suaves, unidos para formar uma curva fechada. Da mesma forma como você procedeu para uma região retangular, trace linhas paralelas aos eixos coordenados, obtendo uma partição retangular da região D. Descarte as sub-regiões contendo pontos que não estão em D e considere somente as que estão totalmente em D, que aparecem sombreadas na imagem adiante. z Z

z=f(x,y)

f(ξ i,y i)

∆i V 0

a2 0

a1 Figura 78 - Região D.

∆i y

∆i x (ξ i,y i)

Figura 79 - Sólido S.

Figura 78 - Região D. Fonte: Leithold (2002).

156

1 3 x Figura 80 - Ilustração do exemplo 2.

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Tome n como o número dessas regiões sombreadas. Agora, aplique as definições 1 e 2 à região D que você acabou de ver. Intuitivamente, você pode imaginar que se a norma da partição tender a zero, n crescerá ilimitadamente, e a área da região omitida, ou seja, os retângulos descartados, tenderá a zero. Assim, se uma função for integrável em uma região D, o limite das somas aproximadas do tipo (1) será o mesmo, independentemente da forma como D for subdividida, desde que cada sub-região tenha uma forma para a qual se possa atribuir uma área. Você lembra que a integral de uma função de uma única variável é interpretada geometricamente em temos da área de uma região plana. Então, como interpretar a integral dupla? Isso deve ser feito em termos do volume de um sólido tridimensional. Suponha que a função f seja contínua em uma região fechada D em R2. E mais: considere que f(x,y) é não negativa em D. O gráfico da equação z = f(x,y) é uma superfície que está acima do plano xy, como mostra a figura a seguir: z Z

z=f(x,y)

f(ξ i,y i)

∆i V 0

a2 0

1 a1

∆i y

∆i x (ξ i,y i)

Figura 79 - Sólido S.

3 x Figura 80 - Ilustração do exemplo 2.

Figura 79 - Sólido S. Fonte: Adaptado de Leithold (2002).

A imagem mostra uma sub-região retangular particular de D com dimensões de medida ∆ix e ∆iy. A figura também mostra um sólido retangular tendo essa sub-região como base e f(Ԑi,ϒi) como medida da altura, em que (Ԑi,ϒi) é um ponto na i-ésima sub-região. O volume do sólido retangular é determinado por:

∆iV = f(Ԑi,ϒi)∆iA = f(Ԑi,ϒi)∆ix∆iy O número ∆iV é a medida do volume do sólido retangular delgado que aparece na figura. Assim, a soma dada em (1) é a soma das medidas dos volumes de n desses sólidos, que aproxima a medida do volume total. O sólido é limitado acima pelo gráfico de f e abaixo pela região D no plano xy. A soma em (1) também aproxima o número dado pela integral dupla:

Pelo teorema a seguir, você pode considerar que o volume do sólido tridimensional é o valor da integral dupla.

157

CÁLCULO INTEGRAL

Teorema 2: Seja f uma função de duas variáveis, contínua em uma região fechada D, no plano xy e f(x,y) ≥ 0 para todo (x,y) em D. Se V for a medida do volume do sólido S com a região D como base e com uma altura cuja medida é f(x,y) no ponto (x,y) em D, então:

Exemplo 2 Obtenha uma aproximação do volume do sólido limitado pela superfície:

pelos planos x = 3, y = 2 e pelos três planos coordenados. Para encontrar um valor aproximado da integral dupla, você deve fazer uma partição da região no plano xy, traçando as retas x = 1, x = 2 e y = 1, e tomar (Ԑi,ϒi) no centro da i-ésima sub-região. Resolução Observe a figura. z 4

1 2 3 x Figura 80 - Ilustração do exemplo 2. Fonte: Leithold (2002).

A região retangular D é o retângulo no plano xy limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x = 3 e y = 2. Do teorema 2, se V unidades cúbicas é o volume do sólido, então:

158

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Perceba que a imagem mostra D dividida em seis sub-regiões, que são quadrados com lados de comprimento unitário. Logo, para cada i, ΔiA = 1, o ponto (Ԑi,ϒi) em cada sub-região é o centro do quadrado. Então, uma aproximação de V é dada pela aproximação da integral dupla. Logo:

Assim, o volume do sólido é aproximadamente 21,59 unidades de volume.

7.1.1 Cálculo de Integrais Duplas Até agora, você viu os casos mais simples. Eles podem ser resolvidos tranquilamente pelo limite dado pelo teorema 2, mas, para situações mais complexas, é impraticável usar esse método. Então, o que fazer? Você pode calcular integrais duplas através do cálculo de duas integrais simples sucessivas, conhecidas como integrais iteradas. Antes, porém, é preciso que você saiba o que são e como calcular integrais definidas parciais. As derivadas parciais de uma função f(x,y) são calculadas mantendo fixa uma das variáveis e diferenciando-a em relação a outra. O inverso desse processo é a integração parcial. Veja dois exemplos:

A primeira é chamada de integral definida parcial em relação a x, e é calculada mantendo y fixo e integrando em relação a x. A segunda é uma integral definida parcial em relação a y, calculada mantendo x fixo e integrando em relação a y. Simplificando, a integral definida parcial em relação a x é uma função de y e a integral definida parcial em relação a y é uma função de x. Veja a seguir exemplos de como calcular integrais definidas parciais. Exemplo 3 Calcule:

159

CÁLCULO INTEGRAL

Resolução

Exemplo 4 Calcule:

Resolução

Você compreendeu que uma integral definida parcial em relação a x é uma função de y e, portanto, pode ser integrada em relação a y? De modo análogo, uma integral definida parcial em relação a y pode ser integrada em relação a x. Esse processo de integração em dois momentos é chamado integração iterada (ou repetida).

7.1.2 Integrais Iteradas As integrais iteradas são muito úteis no cálculo de volumes. Observe a seguinte notação:

160

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

As integrais (2) e (3) são chamadas integrais iteradas. Acompanhe a seguir um exemplo de cálculo de uma integral iterada. Exemplo 5 Calcule:

Resolução

161

CÁLCULO INTEGRAL

Caso você tivesse que calcular , encontraria o mesmo resultado do exemplo, pois o teorema 2 é válido. Observe: considere o sólido S limitado acima pela superfície z = 40 – 2xy e abaixo pelo retângulo D definido por 1 ≤ x ≤ 3 e 2 ≤ y ≤ 4. Assim, você terá o volume de S dado por:

em que A(y) é a área da seção transversal vertical de S tomada perpendicularmente ao eixo y, como mostra a figura a seguir. Logo, . Então, o volume do sólido S é dado por:

A(Y) = 80 - 8y

z z = 40 - 2xy

1 3 x Figura 81 - Sólido S. Fonte: Anton (2007).

Muitas vezes, para simplificar, denota-se o retângulo {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} por [a, b]X[c, d].

162

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Portanto, o volume do sólido S, nesse caso, será calculado como:

Desse modo, chegamos ao próximo teorema desta aula. Teorema 3 (Teorema de Fubini): Seja D o retângulo definido pelas desigualdades a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d. Se f(x,y) for contínua em D, então:

O teorema permite calcular uma integral dupla em um retângulo, convertendo-a para uma integral iterada que resulta no mesmo valor. Acompanhe um exemplo.

163

CÁLCULO INTEGRAL

Exemplo 6 Use uma integral dupla para determinar o volume do sólido S delimitado acima pelo plano z = 4 – x – y e abaixo pelo retângulo D = [0,1]X[0,2]. z

4 z=4-x-y

2 1 x

(1,2) Figura 82 - Sólido S. Fonte: Anton (2007).

Resolução O volume é a integral dupla de z = 4 – x – y em D. Usando o teorema 3, você obtém o volume a partir de qualquer uma das integrais iteradas a seguir:

164

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Logo, o volume de S será:

165

CÁLCULO INTEGRAL

Ou:

Esse exemplo mostra que os valores encontrados nas duas integrais iteradas são iguais. Assim, você consegue verificar a validade do teorema 3. Agora, é hora de conhecer algumas propriedades das integrais duplas.

7.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS As integrais duplas, assim como as simples, são definidas como limites, herdando muitas de suas propriedades. Por conseguinte, várias propriedades das integrais duplas são análogas às da integral simples. Veja algumas delas. Propriedade 1: Se c for uma constante e a função f for integrável em uma região fechada D, então cf será integrável em D e:

166

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Propriedade 2: Se as funções f e g forem integráveis em uma região fechada D, então as funções f + g e f – g serão integráveis em D e:

Essa propriedade pode ser aplicada a qualquer número finito de funções integráveis. Propriedade 3: Se as funções f e g forem integráveis em uma região fechada D e, além disso, f(x,y) ≥ g(x,y) para todo (x,y) em D, então:

Propriedade 4: Considere a função f integrável em uma região fechada D e suponha que m e M sejam dois números tais que m ≤ f(x,y) ≤ M para todo (x,y) em D. Então, se A for a medida da área da região D:

Propriedade 5: Suponha que a função f seja contínua em uma região fechada D e que a região D seja composta de duas sub-regiões D1 e D2 que não têm pontos em comum, com exceção de pontos em partes de suas fronteiras. Então:

Figura 83 - Região D formada a partir de duas sub-regiões D1 e D2. Fonte: Anton (2007).

167

CÁLCULO INTEGRAL

O volume do sólido inteiro é a soma dos volumes dos sólidos D1 e D2.

Propriedade 6: Se você integrar a função constante f(x,y) = 1 sobre uma região D, obterá a área de D. Então:

z z=1

0 D

x Figura 84 - Área da região . Fonte: Stewart (2011).

Exemplo 7 Utilize a propriedade 4 para estimar a integral na origem e raio 2. Resolução Como:

–1 ≤ sen x ≤ 1 –1 ≤ cos x ≤ 1, você tem:

–1 ≤ sen x cos y ≤ 1 e, portanto:

e–1 ≤ esen x cos y ≤ e1 = e.

168

, em que D é o disco com centro

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Considerando

, M = e, e A(D) = π(2)2 pela propriedade 4, você obtém:

Exemplo 8 Ache, por integração dupla, a área da região no plano xy, limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x – x2. Resolução Observe a região descrita na figura a seguir.

Figura 85 - Região descrita no exemplo 8. Fonte: Leithold (2002).

169

CÁLCULO INTEGRAL

Da propriedade 6, você terá:

Logo, a área da região é 8 unidades.

Você pode estar se perguntando: em quais situações, especificamente, você, como engenheiro, precisará utilizar a integral dupla? Saiba que esse assunto não se limita ao cálculo de áreas e volumes. Prossiga a leitura para acompanhar alguns exemplos práticos que serão muito úteis na sua formação.

170

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

7.3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA As integrais duplas podem ser utilizadas para além do cálculo de volumes e áreas. Você pode empregálas no cálculo do centro de massa, momento de massa, momento de inércia, da massa de um corpo, carga elétrica total ou transferência de calor. Na Engenharia Mecânica, você também pode utilizar a integral dupla para determinar a força resultante de uma carga sobre uma superfície, o momento de uma força em relação a um eixo e poderá medir a distribuição da massa de um corpo em relação a um eixo calculando o momento de inércia. Na Engenharia Civil, você pode usar a integração dupla para calcular o volume de uma estrutura a fim de obter, por integração simples, a energia de deformação interna total dessa estrutura. Na Engenharia de Produção, você pode aplicar o que aprendeu aqui na otimização da produção de determinado produto. Veja, agora, alguns exemplos práticos. Exemplo 9 Uma lâmina tem a forma de um retângulo cujos vértices são (0,0), (4,0), (0,2) e (4,2). Determine a massa da lâmina em gramas, sabendo que a densidade de massa por área no ponto P é δ(x,y) = 3xy. Resolução Para calcular a massa dessa lâmina, você deve usar a integral dupla. Observe que a lâmina tem a forma de um retângulo, logo você pode representar a região de integração D. Veja:

Figura 86 - Região descrita no exemplo 9. Fonte: Filho (2009).

171

CÁLCULO INTEGRAL

Sendo assim, você tem que D = {(x,y) ∈ R2:0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 2}, e a massa total é:

172

AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Exemplo 10 Calcule o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), sabendo que em a função densidade é δ(x,y) = 1 + 3x + y. Considere que o centro de massa é o ponto que e , Mx e My são os momentos de massa, e m é a massa da lâmina.

Figura 87 - Região descrita no exemplo 10. Fonte: Stewart (2011).

Resolução A equação da reta que passa pelos pontos (1,0) e (0,2) pode ser obtida a partir do termo geral da função afim y = ax + b. Logo, você terá:

Então, a + 2 = 0 e a = –2. Assim a equação da reta é:

y = –2x + 2 ou:

y = 2 – 2x Dessa forma, a região D é formada pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x. Você pode expressá-la por:

D = {(x,y) ∈ R2:0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 – 2x}

173

CÁLCULO INTEGRAL

Assim, a massa da lâmina é:

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AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Os momentos de massa são:

175

CÁLCULO INTEGRAL

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AULA 7 – INTEGRAL DUPLA

Então, como:

você terá:

Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto

que está indicado na figura a seguir:

Figura 88 - Centro de massa. Fonte: Filho (2009).

177

CÁLCULO INTEGRAL

CONCLUSÃO Nesta aula, você aprendeu, a partir da representação geométrica, que a integral dupla é uma integral definida que determina volumes sob curvas, embora também possa ser utilizada no cálculo de áreas. Você compreendeu o que são integrais iteradas e, a partir delas, aprendeu como calcular o valor de uma integral dupla aplicando o conceito de integral definida. Por fim, você viu algumas aplicações da integral dupla voltadas à Engenharia. Mas lembre-se: são várias as áreas do conhecimento que utilizam esse conteúdo. Na próxima aula, você aprenderá que a extensão da integral dupla é análoga para a integral tripla. Até lá!

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AULA 8 Integral tripla

INTRODUÇÃO Você já aprendeu a calcular as integrais duplas a partir das integrais iteradas, aplicando o conceito de integral definida. De forma análoga, a integral tripla é uma extensão da integral dupla. E é esse o assunto desta aula. Assim como foram definidas integrais unidimensionais para funções de uma única variável, e duplas para funções com duas variáveis, você aprenderá que as integrais triplas são definidas para funções de três variáveis. Depois, você aplicará esse conceito para uma região tridimensional mais geral. Você deve lembrar que a integral simples determina áreas sob curvas e que as integrais duplas determinam, entre outras aplicações, o volume sob curvas. Agora, você estudará como aplicar a integral tripla para encontrar volumes de regiões tridimensionais, a partir da soma dos volumes dos paralelepípedos retangulares obtidos pela divisão dessas regiões por planos paralelos aos planos coordenados. Por fim, você conhecerá algumas das aplicações das integrais triplas nas Engenharias. Vamos lá!

CÁLCULO INTEGRAL

OBJETIVOS » » Compreender a aplicação da Integral Tripla que envolve várias variáveis. » » Conceituar por Integral Definida o valor da Integral Tripla.

8.1 A INTEGRAL TRIPLA A integral tripla é uma extensão da integral dupla, que você aprendeu na Aula 7. Acompanhe: o tipo mais simples de região em R3 é um paralelepípedo retangular, limitado por 6 planos: x = a1, x = a2, y = b1, y = b2, z = c1, z = c2, com a1 < a2, b1 < b2 e c1 < c2. Considere f uma função de três variáveis, contínua acima da região G. Uma partição de G é formada ao dividi-la em caixas retangulares através de planos paralelos aos planos coordenados. Denote tal partição por Δ e suponha que n seja o número de caixas. A medida do volume da i-ésima caixa é ΔiV, em que devemos escolher um ponto arbitrário (ξi, γi,μi). Assim, formamos a soma:

Observe a figura a seguir, que mostra o paralelepípedo junto com a i-ésima caixa. z

∆ ix (a2, b2, c2)

∆ iz ∆ iy

(ξ1, γ1, μ1)

(a1, b1, c1)

S y

x Figura 89 - Sólido G. Fonte: Leithold (2002).

A norma ||Δ|| da partição é o comprimento da maior diagonal das caixas. Se as somas da forma (1) tendem a um limite quando ||Δ|| tende a zero para qualquer escolha dos pontos (ξi, γi,μi), então você pode chamar esse limite de integral tripla de f em G:

180

AULA 8 – INTEGRAL TRIPLA

Uma condição suficiente para a existência da integral tripla de f em G é que f seja contínua em G.

Mas como calcular as integrais triplas nesse tipo de sólido? Antes de entrar em detalhes, é preciso que você conheça as suas propriedades.

8.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS TRIPLAS As integrais triplas têm as mesmas propriedades das integrais simples e duplas. São elas:

Além disso, se a região G for subdividida em duas sub-regiões G1 e G2, como mostra a figura adiante, então:

G Figura 90 - Sólido G dividido em duas sub-regiões G1 e G2. Fonte: Anton (2007).

Agora que você compreendeu os conceitos e as propriedades básicas, é hora de estudar como efetuar o cálculo de integrais triplas em caixas retangulares. 181

CÁLCULO INTEGRAL

8.3 CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS EM CAIXAS RETANGULARES Da mesma forma que uma integral dupla é igual a uma integral iterada duas vezes, a integral tripla é o mesmo que uma integral iterada três vezes. Quando G for o paralelepípedo que você viu anteriormente e f for contínua em G, então:

Para entender melhor o assunto, acompanhe o próximo exemplo. Exemplo 1 Calcule a integral tripla:

sendo G o paralelepípedo retangular limitado pelos planos x = π, coordenados. Resolução

Para a integração em z, você usará o método da substituição. Assim, você terá:

u = yz du = y dz Logo, a primeira integral iterada será:

Use o método da substituição para integrar em y. Assim, você obterá:

182

e pelos planos

AULA 8 – INTEGRAL TRIPLA

Logo, a segunda integral iterada será:

A terceira integral iterada resulta em:

Para as integrais iteradas usadas no cálculo de integrais triplas, existem 6 ordens de integração possíveis: dx dy dz; dx dz dy; dy dz dx; dz dy dx; dz dx dy e dy dx dz.

183

CÁLCULO INTEGRAL

Você acabou de observar o cálculo de uma integral tripla no caso específico de um paralelepípedo. No tópico a seguir, você aprenderá como expandir seus conhecimentos e aplicá-los a regiões mais gerais.

8.3.1 Cálculo de integrais triplas em regiões mais gerais Veja, agora, a integral tripla de uma função contínua de três variáveis em uma região G em R3 que não é um paralelepípedo retangular. Seja G a região tridimensional fechada, limitada pelos planos x = a e x = b, pelos cilindros y = ϕ1(x) e ϕ2(x) e pelas superfícies z = F1(x,y) e z = F2(x,y), em que as funções ϕ1 e ϕ2, e F1 e F2 são suaves, isto é, têm derivadas ou derivadas parciais contínuas. Observe a imagem. z

z = F2(x, y)

z = F1(x, y) (ξ1, γ1, μ1)

∆ iz

{ ∆ iy

{

a ∆ ix x

{

b y = Φ1(x)

y = Φ2(x)

Figura 91 - Sólido G. Fonte: Leithold (2002).

Construindo planos paralelos aos planos coordenados, é possível formar um conjunto de paralelepípedos que cobrem completamente G. Esses sólidos, quando inteiramente dentro de G ou sobre a sua fronteira, formam uma partição Δ de G. Numerando-os de 1 até n, a norma ||Δ|| dessa partição é o comprimento da maior diagonal de qualquer paralelepípedo pertencente à partição. Considere ΔiV a medida do volume do i-ésimo paralelepípedo, f a função contínua em G de três variáveis e (ξi, γi,μi) um ponto arbitrário no i-ésimo paralelepípedo. Então, forme a soma:

Caso essa soma tenha um limite quando ||Δ|| tender a zero, e esse limite for independente da escolha dos planos da partição e dos pontos arbitrários em cada paralelepípedo, então ele será uma integral tripla de f em G:

184

AULA 8 – INTEGRAL TRIPLA

Sabendo que uma condição suficiente para a existência do limite em (2) é que f seja contínua em G e sob as condições impostas às funções ϕ1, ϕ2, F1 e F2, segundo as quais elas devem ser suaves, a integral tripla pode ser calculada pela integral iterada:

Da mesma forma que a integral dupla pode ser interpretada como a medida da área de uma região plana quando f(x,y) = 1 em R, a integral tripla pode ser entendida como a medida do volume de uma região tridimensional. Se F(x,y,z) = 1 em G, então (2) passa a ser:

e a integral tripla é, então, a medida do volume da região G. A maior dificuldade no cálculo de uma integral tripla é escrever uma expressão para a região de integração. Lembre-se: os limites de integração da integral de dentro contêm, no máximo, duas variáveis; os limites de integração da integral do meio contêm, no máximo, uma variável; e os limites de integração de fora precisam ser constantes.

Acompanhe um exemplo para entender melhor como utilizar a integral tripla em uma região mais geral. Neste caso, vamos utilizar um tetraedro. Exemplo 2 Ache por integração tripla o volume do sólido G, que é o tetraedro delimitado pelos quatro planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1. Resolução Observe o sólido do problema nas próximas figuras. Para que você escreva a integral tripla, é recomendável desenhar dois diagramas: um para a região sólida G e outro para sua projeção D no plano xy.

185

CÁLCULO INTEGRAL

z (0, 0, 1) z=1–x–y

G 0

(0, 1, 0)

(1, 0, 0) z=0

Figura 92 - Sólido G. Fonte: Stewart (2011).

1 y=1–x

y=0

Figura 93 - Projeção do sólido G no plano . Fonte: Stewart (2011).

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AULA 8 – INTEGRAL TRIPLA

A fronteira inferior do tetraedro é o plano z = 0 e a superior é o plano x + y + z = 1 (ou z = 1 – x – y). Observe que os planos x + y + z = 1 e z = 0 se interceptam na reta x + y = 1 (ou y = 1 – x) no plano xy. Logo, a projeção de G é a região triangular representada na figura, e você terá:

187

CÁLCULO INTEGRAL

A maioria dos sistemas algébricos computacionais possui uma capacidade integrada para calcular integrais triplas iteradas. Caso você disponha de um CAS (um software para facilitar cálculos matemáticos), instrua-se sobre ele e utilize-o para conferir os resultados dos exemplos aqui abordados.

Você pode estar se perguntando: em quais situações, você, como engenheiro, precisará utilizar a integral tripla? Saiba que esse assunto não se limita ao cálculo de volumes. Prossiga a leitura para acompanhar um exemplo prático e outras possibilidades de aplicação da integral tripla, que serão muito úteis na sua formação.

8.4 APLICAÇÕES DA INTEGRAL TRIPLA As integrais triplas podem ser empregadas para além do cálculo de volumes. Você pode utilizá-las para calcular diversas características de um sólido, como o centro de gravidade e o centroide, o momento de inércia ou a carga elétrica total sobre ele. Algumas integrais triplas são mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas ou esféricas do que em coordenadas retangulares, fazendo a substituição x = rcos θ, y = rsen θ, z = z ou x = ρsenϕ cosθ, y = ρsen ϕ sen θ, z = ρcos ϕ. Nesses casos, você também deve determinar os limites de integração. Você pode aprofundar seu estudo sobre a conversão de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas ou esféricas nas referências bibliográficas indicadas ao final desta aula.

Veja, agora, um exemplo prático.

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AULA 8 – INTEGRAL TRIPLA

Exemplo 3 Calcule a massa do sólido G delimitado por 2x + y + z = 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P(x, y, z) é proporcional à distância até o plano xy. z 1

P y 1

1 x

2 Figura 94 - Sólido G. Fonte: Flemming (2007).

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CÁLCULO INTEGRAL

Resolução A densidade de massa é dada por δ(x, y, z) = kz, em que k é uma constante de proporcionalidade. Você encontrará a massa total desse sólido usando:

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AULA 8 – INTEGRAL TRIPLA

Vimos aqui como calcular a massa de um sólido. Quanto mais distribuída a massa nas proximidades do eixo, mais difícil fica rotacionar o sólido ao redor de si mesmo. Tendo isso em mente, você pode empregar o que aprendeu aqui para determinar o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo, em problemas de Engenharia Mecânica. Na Engenharia de Produção, as integrais triplas servem para estudar a otimização da produção de determinado produto, de forma análoga à aplicação da integral dupla. Na Engenharia Civil, os conteúdos aprendidos nesta aula serão úteis em cálculos estruturais de, por exemplo, uma gridshell – que é uma cúpula de forma livre que tem curvatura e curvatura inversa na mesma estrutura –, do volume de colunas delimitadas por planos e sólidos ou dos momentos em relação aos três planos coordenados.

CONCLUSÃO Nesta aula, você aprendeu, a partir da representação geométrica, que a integral tripla é uma integral definida que determina volumes de regiões fechadas em um sistema de coordenadas xyz. Você aplicou o que já sabia sobre integrais iteradas e, a partir delas, aprendeu como calcular o valor de uma integral tripla empregando o conceito de integral definida. Para tanto, você relembrou métodos de integração, propriedades de integrais simples e duplas, além de cálculos algébricos aprendidos na sua formação básica. Por fim, você viu algumas aplicações da integral tripla voltadas à Engenharia. Você pode utilizá-la, por exemplo, para calcular o centro de gravidade, o centroide e o momento de inércia de um sólido, efetuar os cálculos estruturais de uma gridshell e encontrar o volume de colunas delimitadas por planos e sólidos. Nossas aulas terminam por aqui, mas as possibilidades de aprofundamento do que você aprendeu não se esgotam. Nas referências disponibilizadas, existem várias oportunidades de ampliação de seu conhecimento. Siga em frente!

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REFERÊNCIAS

ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo, 8 ed., Porto Alegre: Bookman, 2007. FILHO, S. M. da S. Integrais Duplas e Aplicações. Monografia (Licenciatura em Matemática) – Unidade Universitária de Jussara. Jussara: Universidade Estadual de Goiás, 2009. FLEMMING, D., GONÇALVES, M. Cálculo B, 2 ed., São Paulo: Pearson Education, 2007. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. vol. 2. STEWART, J. Cálculo. 6. ed., São Paulo: Cengage Learning, 2011. vol. 2.