Bản đọc thử môn toán sách Đột phá 8+ kì thi THPT QG

Mục lục

Mục lục PHẦN 1: LỚP 12

7

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

8

Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

8

Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số

17

Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

31

Chuyên đề 4: Tiệm cận của đồ thị hàm số

38

Chuyên đề 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

45

Chuyên đề 6: Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

56

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

74

Chuyên đề 1: Lũy thừa và lôgarit

74

Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

86

Chuyên đề 3: Phương trình mũ

95

Chuyên đề 4: Phương trình lôgarit

104

Chuyên đề 5: Các bài toán lãi suất

113

Chuyên đề 6: Bất phương trình mũ và lôgarit

120

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

129

Chuyên đề 1: Nguyên hàm hàm cơ bản

129

Chuyên đề 2: Nguyên hàm các hàm thường gặp

142

Chuyên đề 3: Tích phân

153

Chuyên đề 4: Tích phân hàm ẩn

164

Chuyên đề 5: Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân

172

CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC

188

Chuyên đề 1: Các phép toán trên tập số phức

188

Chuyên đề 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức

199

Chuyên đề 3: Phương trình trên tập số phức

209

5

PHẦN 1: LỚP 12

7

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phần 1 LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên I, với I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Đồng biến

Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến trên I nếu:

∀x1,x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ).

Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến trên I nếu:

∀x1,x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được gọi chung là hàm số đơn điệu trên I.

Hàm số y = f ( x ) = x có f ' ( x ) = 1 > 0 , ∀x ∈  thì hàm số f ( x ) đồng biến trên .

Nghịch biến

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên I. Khi đó: Nếu hàm số y = f ( x )đồng biến trên I thì f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ I .

Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên I thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I.

8

y = -x

Hàm số y = f ( x ) = − x có f ' ( x ) = −1 < 0, ∀x ∈  thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên .

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó:

Xét các hàm số: y = f ( x ) = x 3 + x

y = g ( x ) = −2x + 5 y = h(x) = −

2 3

Các hàm số trên có đạo hàm trên  .

Ta có f ' ( x ) = 3x 2 + 1 > 0, ∀x ∈  nên hàm

Nếu f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng I.

số f ( x ) đồng biến trên  .

Nếu f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng I.

Ta có g' ( x ) = −2 < 0, ∀x ∈  nên hàm số g ( x ) nghịch biến trên  .

Nếu f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) không đổi trên khoảng I.

Ta có h' ( x ) = 0, ∀x ∈  nên hàm số h ( x ) không đổi trên .

Định lí: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I.

Hàm số y = f ( x ) = ( m − 1) x 2 + x + 5 xác định trên .

Hàm số có f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1.

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên I thì f '(x) ≤ ≥ 0, ∀x ∈ I và f ' ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm .

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên  khi

f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≥ 0, ∀x ∈  .

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên I thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I và f ' ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm .

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên  khi f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≤ 0, ∀x ∈  .

Chú ý:

Một số công thức tính đạo hàm

Ta có thể thay khoảng I thành một đoạn hoặc một nửa khoảng, khi đó ta cần bổ sung thêm giả thiết: “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

(u ± v ) ' = u'± v ' (ku ) ' = ku' (uv ) ' = u' v + uv '  u  ' u' v − uv ' v = v2  

( ) n

=

n −1

( ) = 2 1x

 ax + b  ' ad − bc  cx + d  = 2   ( cx + d)

9

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Phần 2

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 1. Phương pháp giải

Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x + 1.

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Tập xác định D =  .

Bước 2: Tìm f ' ( x ) . Tìm các điểm xi mà f ' ( xi ) = 0 và f ' ( xi ) không xác định.

Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 − 3 .

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

x = 1 f ' ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔   x = −1 Bảng biến thiên Thay nên

-

có dấu x

nên f ' ( x ) có dấu −

f '(x)

1

−1

−∞ +

−

0

0

+∞ +

f (x) Dấu +, mũi tên đi lên, hàm số đồng biến

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Dấu –, mũi tên đi xuống, hàm số nghịch biến

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1;+∞ ) .

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 1) .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1;+∞ ).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .

Hướng dẫn

Cách 1: Hàm số có tập xác định: D = .

Ta có

10

khi đó

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Bảng biến thiên

−∞

x

f '(x)

−1 −

0

+∞

1

+

+

−

f (x) Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) và (1;+∞ ) .

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS Nhập MODE 7, nhập f ( X ) = X 4 − 2X2 + 4 Start ? − 5 Khi đó ta nhận được bảng giá trị: f ( X)

X

−5 −4 −3 −2 −1

End ? 5 f ( X)

X

579 228 67 12 −3

Step ? 1

4 -3 12 67 228 579

0 1 2 3 4 5

Nhìn vào bảng giá trị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

Chọn C. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ như sau:

x

f '(x)

−2 0

+

1

0

−

5

+∞ −

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;2 ).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;5 ).

Hướng dẫn Nhìn vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;1), nghịch biến trên khoảng (1;5 ) và ( 5;+∞ ).

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ) .

Chọn B.

11

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Ví dụ 3: Hàm số y =

− x 2 + 2x − 4 đồng biến trên: x−2

A. ( 0;2 ) và ( 2;4 ).

B. ( 0;2 ) và ( 4;+∞ ).

C. ( −∞;0 ) và ( 4;+∞ ).

D. ( −∞;0 ) và ( 2;4 ).

Hướng dẫn

Tập xác định: D =  \ {2}.

Ta có

( −2x + 2 )( x − 2 ) − ( − x 2 + 2x − 4 ) − x 2 + 4x y' = = 2 2 ( x − 2) ( x − 2)

x = 0 . khi đó y ' = 0 ⇔ − x 2 + 4x = 0 ⇔  x = 4

Bảng biến thiên x

0

−∞

f '(x)

−

2

+

0

4

+

0

+∞ −

f (x)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) và ( 2;4 ).

Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID 30596) Cho hàm số y =

x +1 . Phát biểu nào sau đây đúng?

1− x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và (1;+∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) ∪ ∩ (1; +∞ ).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  .

Câu 2 (ID 30597) Cho hàm số y = x +

4 . Kết luận nào sau đây là đúng? x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;2 ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;2 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;2 ) .

Đáp án

12

1–B

2–B

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Dạng 2: Điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu 1. Phương pháp giải Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d Tập xác định: D =  .

Xét hàm số y = mx 3 + x + 1 Tập xác định: D =  .

y ' = 3ax 2 + 2bx + c

Để hàm số đồng biến trên  thì:

y ' = 3mx 2 + 1

Để hàm số đồng biến trên  thì:

⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈  .

.

a > 0 Khi đó:  ∆ ≤ 0

.

Để hàm số nghịch biến trên  thì: ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ .

⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ 3mx 2 + 1 ≤ 0, ∀x ∈  . a < 0 3m < 0 ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ ∅.

Khi đó: ∆ ≤ 0 ∆ = −12m ≤ 0

a < 0 Khi đó:  ∆ ≤ 0 Hàm số y =

Để hàm số nghịch biến trên  thì:

ax + b cx + d

Xét hàm số y =

 d Tập xác định: D =  \ −  .  c ad − bc y' = 2 ( cx + d)

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D ⇔ ⇔ ad − bc > 0.

x+m x −1

Tập xác định: D =  \ {1} ; −1 − m y' = 2 ( x − 1) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D

⇔

−1 − m

( x − 1)

2

> 0, ∀x ∈ D

⇔ −1 − m > 0 ⇔ m < −1.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔ ⇔ ad − bc < 0.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D

⇔

−1 − m

( x − 1)

< 0, ∀x ∈ D

⇔ −1 − m < 0 ⇔ m > −1

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm số y = biến trên .

A. −1 < m < 0.

2

B. −1 < m ≤ 0.

C. −1 ≤ m ≤ 0.

x3 + mx 2 − mx − m luôn đồng 3 D. −1 ≤ m < 0.

13

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Hướng dẫn 2

Tập xác định: D =  . Ta có y′ = x + 2mx − m .

Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi: .

Chọn C. Ví dụ 2: Giá trị của tham số m để hàm số y = là:

A. m < 2.

B. m ≥ 2.

x −m nghịch biến trên các khoảng xác định x−2

C. m > 2.

D. m ≤ 2.

Hướng dẫn −2 + m .

Tập xác định: D =  \ {2} . Ta có y ' = 2 ( x − 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔

Chọn A.

−2 + m

( x − 2)

2

< 0, ∀x ∈ D .

⇒ −2 + m < 0 ⇔ m < 2 ⇔

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = các khoảng xác định.

A. −2 < m ≤ 2.

B. −2 ≤ m ≤ −1.

C. −2 ≤ m ≤ 2.

mx + 4 giảm trên x+m

D. −2 < m < 2.

Hướng dẫn Tập xác định: D =  \ {−m} . Ta có y′ =

m2 − 4

( x + m)

2

.

Hàm số giảm trên các khoảng xác định khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Khi đó: ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 .

Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 30604) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = giảm trên các khoảng mà nó xác định.

A. m < −3.

B. m ≤ −3.

14

C. m ≤ 1.

D. m < 1.

x −m+ 2 x +1

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 2 (ID: 30605) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 1 y = − x 3 − mx 2 + (2m − 3)x − m + 2 luôn nghịch biến trên  .

3 A. −3 ≤ m ≤ 1.

B. m ≤ 1.

C. −3 < m < 1.

D. m ≤ −3;m ≥ 1.

Câu 3 (ID: 30606) Tìm giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2x 3 − 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x − 3m + 5 luôn đồng biến trên  .

A. 0. Đáp án

Phần 3

B. –1.

1–D

2–A

C. 2.

D. 1.

3–A

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 (ID: 30612) Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên .

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1;+∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ) .

D. Hàm số luôn đồng biến trên  .

Câu 2 (ID: 30613) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y = biến trên các khoảng xác định của nó.

A. m = −1.

B. m = −2

C. m = 0

(m + 3)x − 2 luôn nghịch x+m

D. Không có m

Câu 3 (ID: 30614) Hàm số y = − x 4 + 4x 2 + 20 đồng biến trên khoảng nào?

( C. ( −

) 2;0 ) ; (

A. −∞; − 2 .

B.

)

(

)

D.

2; +∞ .

. .

3 5 x − 3x 4 + 4x 3 − 2 đồng biến trên khoảng nào?

5 B. .

C. ( 0;2 ).

D. ( 2;+∞ ) .

Câu 4 (ID: 30615) Hàm số y = A. ( −∞;0 ).

Câu 5 (ID: 30620) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = − x 3 + 3 ( 3 − m ) x 2 − 2mx + 2 nghịch biến trên tập xác định.

A. −3 < m < 3.

B. m ∈ ∅.

C. −3 < m < 0.

D. m > 3.

15

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Câu 6 (ID: 30616) Giá trị của m để hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m + 1) + 7 đồng biến trên  là: m < −1 C.  . m > 0

B. −1 < m < 0 .

A. −1 ≤ m ≤ 0.

m ≤ −1 D.  . m ≥ 0

Câu 7 (ID: 30617) Cho hàm số y = 3x 2 − x 3 . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞

)

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞

và (

) và

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;3 ) .

Câu 8 (ID: 30618) Hàm số y = A.

và và

C.

.

x2 đồng biến trên trên các khoảng nào? x −1 .

B. và D.

.

và

.

Câu 9 (ID: 30619) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = trên các khoảng xác định.

A. −3 < m < 3.

B. m < −3.

C. −3 < m < 0.

Câu 10 (ID:30621) Tìm m để hàm số y = A. m ≤ 1.

mx + 3 nghịch biến 3x + m

D. m > 3.

x −m+ 2 nghịch biến trên các khoảng xác định. x +1

B. m < 1.

C. m ≤ 3.

D. m < 3.

Đáp án 1–A

16

2–D

3–D

4–B

5 -B

6–A

7–B

8–B

9–A

10 – B

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia PHẦN 2: LỚP 11 VÀ LỚP 10

217

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ

218

Chuyên đề 1: Mệnh đề, tập hợp

218

Chuyên đề 2: Đại cương về hàm số

228

Chuyên đề 3: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai

237

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

253

Chuyên đề 1: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

253

Chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất và bậc hai hai ẩn

271

Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

283

Chuyên đề 4: Bất phương trình và hệ bất phương trình

287

Chuyên đề 5: Một số bất phương trình thường gặp

298

CHƯƠNG 3: LƯỢNG GIÁC

303

Chuyên đề 1: Cung và góc, công thức lượng giác

303

Chuyên đề 2: Hàm số lượng giác

313

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

327

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP, XÁC SUẤT

347

Chuyên đề 1: Hai quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

347

Chuyên đề 2: Nhị thức Niu-tơn

364

Chuyên đề 3: Xác suất

378

CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM

389

Chuyên đề 1: Dãy số. Giới hạn của dãy số

389

Chuyên đề 2: Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục

401

Chuyên đề 3: Cấp số cộng, cấp số nhân

413

Chuyên đề 4: Đạo hàm

424

Chuyên đề 5: Phương trình tiếp tuyến

438

6

Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN Phần 1

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đại cương về phương trình Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f ( x ) = g ( x ).

Trong đó:

(1)

f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của x.

x gọi là ẩn.

Nếu có số thực x 0 sao cho f ( x 0 ) = g ( x 0 ) là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Ta nói: f ( x ) là vế trái của phương trình (1), g ( x ) là vế phải của phương trình (1).

Ta có: f ( x ) và g ( x ) xác định lần lượt trên Df và Dg . Khi đó D = Df ∩ Dg gọi là tập xác định của phương trình.

Tập hợp chứa tất cả các nghiệm của phương trình (1) được gọi là tập nghiệm của phương trình (1).

Phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 3x − 4y + 5 = 9x − 1: Phương trình 2 ẩn x và y.

4x 2 − y + z = 6 : Phương trình 3 ẩn x; y; z.

Phương trình chứa tham số Ví dụ: 5x + m − 1 = 0 : Phương trình một ẩn x, tham số m.

4x 2 − y 3 + 2 = m : Phương trình hai ẩn x và y, tham số m.

Chú ý: Tham số trong phương trình đóng vai trò như một hằng số.

253

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f ( x ) = g ( x ) tương đương với phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) thì ta viết

f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x ) .

Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) xác định trên D và h ( x ) xác định trên D. Khi đó, ta có: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + h ( x ) và

với

.

Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) đều là nghiệm của phương trình

f1 ( x ) = g1 ( x ) thì phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f ( x ) = g ( x ) . Ta viết f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ) .

Ta có f(x) = g(x) ⇒ [ f(x)] = [g(x)] .

2

2

Chú ý: Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được một phương trình tương đương.

Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm.

2. Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng:

.

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ).

Ta có ∆ = b2 − 4ac và ∆ ' = ( b' ) − ac , trong đó b ' = 2

b .

2

Định lí Vi-ét: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm

thì:

b  S = x1 + x 2 = − a  P = x .x = c 1 2  a u + v = S thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0.

Nếu u và v có  uv = P 3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Phương trình chứa dấu căn.

254

Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Phương trình bậc ba.

Phương trình bậc bốn trùng phương.

Phần 2

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình 1. Phương pháp giải Một số cách xác định điều kiện: Đa thức xác định với mọi giá trị thuộc  .

Phân thức Căn thức Phân thức

Phân thức

f (x)

g( x)

xác định khi g ( x ) ≠ 0.

f ( x ) xác định khi f ( x ) ≥ 0. f (x)

xác định khi g ( x ) > 0.

g( x)

f (x) g( x)

2

xác định khi g ( x ) ≠ 0.

Chú ý: Ta cần phân biệt điều kiện xác định và tập xác định. Điều kiện xác định là điều kiện nào đó của ẩn.

Tập xác định là tập hợp.

Ví dụ: Phương trình

x = 0 có điều kiện xác định là x ≥ 0 , có tập xác định là D = [0; +∞ ) .

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tập xác định của phương trình A.  \ {2;0}.

B. [ 2;+∞ ).

x−2 1 2 là: − = x + 2 x x(x − 2) C. ( −∞; −2 [.

D.  \ {−2;0;2}.

Hướng dẫn

x + 2 ≠ 0  x ≠ −2   ⇔ x ≠ 0 Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định:  x ≠ 0 x − 2 ≠ 0 x ≠ 2   Vậy phương trình có tập xác định là  \ {−2;0;2} .

255

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thử các đáp án: Thay x = 2 vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x = 2 không thuộc tập xác định. Nên loại đáp án B. Thay x = −2 vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x = −2 không thuộc tập xác định. Nên loại ch đáp án A và C. Chọn D. Ví dụ 2: Tập xác định của phương trình 4 A.  \  . 3 

3x − 2 + 4 − 3x = 1 là:

2 4 B.  ;  . 3 3

2 4 C.  ;  . 3 3 

Hướng dẫn

  x ≥ 3x 2 0 − ≥  Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định:  ⇔ 4 − 3x ≥ 0 x ≤  Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

2 4  D.  \  ; . 3 3 

2 2 4 3 ⇔ x∈ ; .

4 3 3  3

Thử các đáp án:

Chọn C. Ví dụ 3: Tìm tập xác định của phương trình A. D = .

B. D =  \ {−2}.

3x −1 . −4= 2 x +2 3x + 5 2

C. D =  \ {3}.

D. D =  \ {−5}.

Hướng dẫn  x 2 + 2 ≠ 0 Phương trình có điều kiện xác định:  2 (luôn đúng). 3x + 5 ≠ 0 Vậy tập xác định của phương trình là D =  .

Chọn A. Ví dụ 4: Cho phương trình phương trình trên là:

A. ( 4;+∞ ).

256

2x − 1 −7x 6x − 4 , tập xác định của + 2 =− 2 x − 5x + 6 x − 6x + 8 x − 7x + 12 2

B.  \ {2;3;4}.

C. .

D.  \ {4}.

Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Hướng dẫn

 x 2 − 5x + 6 ≠ 0 x ≠ 2  2  Phương trình có điều kiện xác định:  x − 6x + 8 ≠ 0 ⇔  x ≠ 3  2 x ≠ 4   x − 7x + 12 ≠ 0 Vậy tập xác định của phương trình trên là  \ {2;3;4} .

Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 31923) Tập xác định của phương trình A. ( 2;+∞ ) .

1 3 4 là: − = 2 x+2 x−2 x −4

C. [ 2;+∞ ) .

B.  \ {−2;2}.

Câu 2 (ID: 31924) Tập xác định của phương trình

D. .

2x 1 6 − 5x là: + = 3 − x 2x − 1 3x − 2

1 3 1 2 C.  \  ;3; .

D.  \  ;3; . 2 2 2 3  1 Câu 3 (ID: 31925) Điều kiện xác định của phương trình + x 2 − 1 = 0 là: x A. ( 3;+∞ ) .

B. [3;+∞ ) .

A. x ≥ 0.

B. x > 0.

Đáp án

1–B

2–C

C. x > 0 ; x 2 − 1 ≥ 0. D. x ≥ 0 ; x 2 − 1 > 0.

3–C

Dạng 2: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chọn khẳng đị

g trong các khẳng định sau:

A. 3x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3x = x 2.

B.

C. 3x + x − 2 = x 2 ⇔ 3x = x 2 − x − 2.

D. Cả A, B, C đều sai.

.

Hướng dẫn Đáp án A và B: Ta thấy 2 phương trình này không có cùng tập nghiệm. Từ đó suy ra hai phương trình chúng không tương đương với nhau. Đáp án C: Ta chuyển vế các hạng tử của phương trình thì ta được phương trình tương đương.

Chọn C.

257

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Ví dụ 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. C.

B. x = 2 ⇔ x = 2.

x − 3 = 2 ⇒ x − 3 = 4. x(x − 2) = 2 ⇒ x = 2. x−2

D.

x − 2 = 3 2 − x ⇔ x − 2 = 0.

Hướng dẫn Đáp án A: Ta bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả. Đáp án B : Vì x = 2 ⇔ x = ±2 . Nên đáp án B sai.

Chọn B. Ví dụ 3 : Phương trình ( x − 4 ) = x − 2 là phương trình hệ quả của phương trình nào ?

2

A.

x − 2 = x − 4.

B.

x − 4 = x − 2.

C. x − 4 = x − 2.

D.

x − 4 = x − 2.

Hướng dẫn Đáp án A : Ta có

x−2 = x−4

Chọn A.

(

)

Ví dụ 4 : Cho phương trình x 2 + 3 ( x – 1)( x + 1) = 0 . Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

A. x + 1 = 0.

B. x 2 + 1 = 0.

D. ( x − 1)( x + 1) = 0.

C. x − 1 = 0.

Hướng dẫn

Phương trình đã cho có nghiệm x = 1 hoặc x = −1 . Đáp án A: Phương trình có nghiệm x = −1 . Loại đáp án A. Đáp án B: Phương trình vô nghiệm. Loại đáp án B. Đáp án C: Phương trình có nghiệm x = 1. Loại đáp án C. Đáp án D: Phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = −1 . Chọn đáp án D. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hai phương trình x 2 + x + 1 = 0 (1) và

1

định đúng nhất trong các khẳng định sau.

A. Phương trình (1) và ( 2 ) tương đương.

B. Phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả của phương trình (1) .

C. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình ( 2 ) .

D. Cả A, B, C đều đúng.

258

( 2) .

Chọn khẳng

Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Hướng dẫn Giải phương trình (1) , ta thấy phương trình (1) vô nghiệm. 2 − x ≥ 0 Giải phương trình ( 2 ) , ta có điều kiện  ⇔ x ∈ ∅ . Nên phương trình (2) vô nghiệm  Nên cả ba đáp án A, B, C đều đúng.

Chọn D. Ví dụ 6 : Tập nghiệm của phương trình A. T = {0}.

B. T = {0;5}.

x 2 − 5x = 5x − x 2 là: C. T =  \ {0;5}.

D. T = {5}.

Hướng dẫn  x 2 − 5x ≥ 0 Phương trình có điều kiện xác định :  ⇒ x 2 − 5x = 0 ⇔ 2 5x − x ≥ 0

x = 0 .  x = 5

Thay x = 0 và x = 5 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là T = {0;5} .

Chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 32) Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3x + 5 = 0 ?

A. 5x − 3 = 2x + 9

B. 4x − 7 = x − 8

C. 6x + 3 = 3x − 9

D. 7x + 9 = x − 1

Câu 2 (ID: 38) Phương trình 2x + 1 = 3x − 1 nhận phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả?

A. x 2 − 2x + 1 = 0

B. x 3 + 8 = 0

C. x 2 − 5x + 6 = 0

D. x + 2 = 0

Câu 3 (ID: 31) Hai phương trình 2x − 1 = 0 và (−2m + 4 ) x − 2m − 5 = 0 tương đương khi: A. m là số nguyên tố.

B. m > 0.

C. m = −1 .

D. m < 0.

Đáp án

1–D

2–C

3–C

259

Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn 1. Phương pháp giải Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

(1)

Trường hợp 1:

suy ra phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x.

Trường hợp 2:

suy ra phương trình (1) vô nghiệm. suy ra phương trình

(1) là phương trình bậc nhất một ẩn.

(1) có nghiệm duy nhất x = −

Chú ý:

b . a

a = 0 Phương trình (1) vô nghiệm khi  b ≠ 0

a = 0 Phương trình (1) có vô số nghiệm khi  b = 0 Phương trình (1) có nghiệm khi a ≠ 0.

Khi tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm (hoặc vô nghiệm), ta có thể tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm (hoặc có nghiệm), sau đó lấy kết quả ngược lại.

Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0

(2)

Trường hợp 1: a = 0 . Ta có: (2) ⇔ bx + c = 0 (Đưa về dạng trên).

Trường hợp 2: a ≠ 0 . Ta có: (2) là phương trình bậc hai một ẩn có ∆ = b2 − 4ac. , phương trình (2) vô nghiệm. , phương trình (2) có nghiệm kép x = −

b .

2a

, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = Chú ý: Phương trình (2) vô nghiệm khi

c

hoặc

.

a = 0 a ≠ 0 hoặc  .

Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi  b ≠ 0 ∆ = 0 a ≠ 0 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khi  . ∆ > 0

260

−b ± ∆ .

2a