PE R CO R SI DIGITALI INTE R ATTIVI
MATEMATICA E CITTADINANZA COMPITI DI R EALTÀ
ATTIVITÀ DI ORIENTAMENTO STEM
Irene ha aperto un piccolo banchetto di street food che vende patatine fritte. Una porzione piccola di patatine costa 3 euro, una porzione maxi di patatine costa 5 euro. Al termine della giornata Irene è ormai certa di aver commesso qualche errore (nel dare i resti, probabilmente). Infatti ha incassato 416 euro e venduto 85 porzioni di patatine, tra piccole e maxi. Perché Irene è (giustamente) convinta di avere sbagliato, in qualche modo? Che cosa non torna?
Soluzione a pag. 261
Prima di iniziare è opportuno che tu conosca: gli insiemi numerici il calcolo letterale
Al termine sarai in grado di: individuare le strategie appropriate per risolvere problemi che hanno come modello equazioni di primo grado numeriche intere e saperle applicare in contesti reali
Percorso digitale organizzato in playlist con:
• video di teoria
• video di esercizi svolti
• esercizi autocorrettivi
• test di verifica
Le risorse digitali dell’unità Matematica nella storia
Con GeoGebra Video Esercizi interattivi
1
Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera
L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro dell’equazione, l’espressione a destra si chiama secondo membro dell’equazione.
• 3x + 2 = 4(2x 1) è un’equazione nell’incognita x.
• 2y 1 = y + 3 è un’equazione nell’incognita y.
• x = 1 2 x + 1 4 x + 1 7 x + 3
ESEMPI primo membro secondo membro
Oltre all’incognita (e a eventuali costanti), in un’equazione possono comparire altre lettere, dette parametri: i parametri sono lettere che rappresentano un valore che si suppone noto, ma che non viene specificato per dare al problema maggiore generalità.
Una equazione si dice... ... intera, se l’incognita non compare in alcun divisore (in particolare in alcun denominatore).
Esempi di equazioni numeriche intere:
letterale (o parametrica) se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, compare almeno un parametro.
Esempi di equazioni letterali intere nell’incognita x:
k(x 1) = x + k; 4x = x a 3
k è il parametro a è il parametro
... frazionaria, se non è intera.
di equazioni numeriche frazionarie:
Esempi di equazioni letterali frazionarie nell’incognita x: 1 = 1 kx x ; ax + 2 x 2 = 0
k è il parametro a è il parametro
In questa unità ci occuperemo di equazioni numeriche intere in una incognita e, salvo avviso contrario, indicheremo l’incognita con la lettera x; le equazioni frazionarie e letterali verranno invece trattate successivamente.
Le soluzioni di un’equazione
L’insieme S di tutte le soluzioni si dice insieme delle soluzioni (o insieme soluzione) dell’equazione.
Consideriamo l’equazione x 2 9 = 0.
• 3 è una sua soluzione perché, sostituendo 3 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza:
3 2 9 = 0 ⇒ 9 9 = 0 uguaglianza vera
• 2 non è una soluzione dell’equazione perché, sostituendo 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza:
2 2 9 = 0 ⇒ 5 = 0 uguaglianza falsa
L’insieme delle soluzioni dipende anche dall’insieme numerico in cui si cercano le soluzioni, detto dominio o insieme di definizione dell’equazione.
L’ equazione 2x = 1, se assumiamo come dominio R , ammette come soluzione x = 1 2
La stessa equazione non ammette soluzioni se assumiamo come dominio l’insieme N, perché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per 2, dà come risultato 1.
Salvo avviso contrario, risolveremo le equazioni assumendo come dominio l’insieme R dei numeri reali.
Le equazioni determinate, impossibili, indeterminate e le identità
Si può effettuare una classificazione delle equazioni in base alle caratteristiche dell’insieme delle soluzioni, come spiegato nella seguente tabella.
L’insieme delle soluzioni può essere...
L’equazione si dice... Esempi
finito propria o determinata • 2x = 4
L’unica soluzione dell’equazione è 2, quindi S = {2}.
S è un insieme finito.
• 3x 1 = 2
L’unica soluzione dell’equazione è 1, quindi S = {1}.
S è un insieme finito.
infinito indeterminata • 2(x + 3) = 2x + 6
In base alla proprietà distributiva, questa equazione è soddisfatta per ogni x ∈ R.
• 2x + 3x = 4x + x
Eseguendo le somme otteniamo 5x = 5x, che è soddisfatta per ogni x ∈ R
vuoto impossibile • x2 = 1
Ogni numero reale ha come quadrato un numero non negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.
• x = x + 1
Ogni numero reale non può essere uguale allo stesso numero aumentato di uno, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.
In questo e nel prossimo volume studieremo principalmente equazioni algebriche, cioè equazioni i cui due membri sono costituiti da espressioni algebriche (polinomi o espressioni frazionarie). In questo ambito, le equazioni indeterminate hanno una particolare caratteristica: risultano essere sempre delle identità
Una identità è una uguaglianza tra due espressioni, contenente una o più variabili, verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle variabili, con l’esclusione di quelli che fanno eventualmente perdere significato alle due espressioni.
Le equazioni equivalenti
A equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni si dà un nome particolare.
DEFINIZIONE Equazioni equivalenti
Due equazioni con lo stesso dominio si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
ESEMPIO
Le equazioni x 2 = 0 e 5x 10 = 0 sono equivalenti perché hanno entrambe come insieme delle soluzioni S = {2}
In questo paragrafo presentiamo delle regole che permettono di trasformare una data equazione in un’altra equazione, equivalente a quella originaria. Queste regole ci saranno utili, successivamente, per risolvere le equazioni.
Il primo principio di equivalenza e le relative conseguenze
Data la sua importanza, presentiamo il primo principio di equivalenza come teorema. Esso dipende sostanzialmente dalle proprietà dell’uguaglianza in relazione con le operazioni di addizione e sottrazione.
PRINCIPIO Primo principio di equivalenza per le equazioni
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione un numero o un’espressione algebrica definita per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPI
a. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 2x 3 = 5 il numero 3, si ottiene l’equazione equivalente 2x 3 + 3 = 5 + 3, ossia 2x = 8.
b. Sottraendo a entrambi i membri dell’equazione 2x + 3 = 5x l’espressione 2x (definita per ogni valore reale di x), si ottiene l’equazione equivalente 2x + 3 2x = 5x 2x, ossia 3 = 3x
c. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 3x 1 = 4 il numero 1 e sottraendo a entrambi i membri l’espressione x, si ottiene l’equazione equivalente 3x 1 + 1 x = 4 + 1 x, cioè 2x = 5 x.
Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del primo principio di equivalenza.
Conseguenze del 1o principio
Regola del trasporto: si può spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro di un’equazione pur di cambiargli segno.
Regola di cancellazione di termini uguali: se un certo termine compare come addendo sia in uno sia nell’altro membro di un’equazione, può essere soppresso.
Giustificazione Esempi
Ciò equivale a sottrarre quel termine a entrambi i membri dell’equazione.
L’equazione 3x = 1 + 2x
equivale a: 3x 2x = 1
Infatti, per il primo principio, 3x = 1 + 2x equivale a:
3x 2x = 1 + 2x 2x ossia a: 3x 2x = 1
Ciò equivale a sottrarre quel termine da entrambi i membri dell’equazione.
x2 + 3x = 7 + 3x equivale, sopprimendo +3x, a:
x2 = 7
Infatti, per il primo principio, l’equazione data equivale a:
x2 + 3x 3x = 7 + 3x 3x ossia a: x2 = 7
Con GeoGebra Principi di equivalenza delle equazioni e bilance
Il secondo principio di equivalenza e le relative conseguenze
PRINCIPIO Secondo principio di equivalenza per le equazioni
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per un numero diverso da 0, o per un’espressione algebrica definita e non nulla per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
a. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 3, si ottiene l’equazione equivalente 3 (4 x + 1) = 3 10x, cioè 12x + 3 = 30x.
b. Dividendo entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 2 , si ottiene l’equazione equivalente 4 x + 1 2 = 10x 2 , cioè 2x + 1 2 = 5x.
Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del secondo principio di equivalenza.
Conseguenze del 2o principio
Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo, si possono dividere i due membri per quel fattore.
Si possono cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione.
Si può trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in una equivalente a coefficienti interi.
Giustificazione Esempi
È una diretta applicazione del secondo principio.
4x + 6 = 12
è equivalente, dividendo tutti i termini per 2, all’equazione:
+ 6 2 = 12 2 , cioè
x + 3 = 6
Ciò equivale a moltiplicare entrambi i membri per 1.
Basta moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione.
x + 1 3 x = 4 m.c.m.(2, 3) = 6
è equivalente a:
6( 1 2 x + 1 3 x) = 6 4
ossia a:
3x + 2x = 24
La forma normale e il grado di un’equazione
Utilizzando la regola del trasporto è sempre possibile scrivere un’equazione nell’incognita x nella forma P(x) = 0
Se P(x) è un polinomio ridotto nella variabile x, l’equazione si dice algebrica e scritta in forma normale (o canonica). In tal caso il grado del polinomio P(x) si dice grado dell’equazione
a. L’equazione 4x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di primo grado
b. L’ equazione x 2 x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di secondo grado.
c. L’ equazione (x + 1)2 = x 2 + 2 non è in forma normale. Per determinare il grado dell’equazione, dobbiamo prima riscriverla in tale forma:
x 2 + 2x + 1 = x 2 + 2 Svolgendo i calcoli
x 2 + 2x + 1 x 2 2 = 0 Portando tutti i termini al primo membro
2x 1 = 0 Riducendo i termini simili
L’ equazione è quindi di primo grado.
Esercizi p. 266
Per risolvere un’equazione di primo grado (o lineare) nell’incognita x occorre procedere nel modo seguente.
Procedimento risolutivo per le equazioni di primo grado numeriche intere nell’incognita x
1o passo Si eseguono eventuali calcoli e, se l’equazione è a coefficienti frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.
2o passo Si trasportano i termini contenenti l’incognita x al primo membro e i termini numerici al secondo e si riducono gli eventuali termini simili.
3o passo L’equazione si presenta nella forma ax = b, con a e b numeri reali:
• se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a (secondo principio di equivalenza) e si ottiene così la soluzione dell’equazione, che quindi è determinata;
• se a = 0, allora
se b = 0, l’equazione è indeterminata; Qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0 se b ≠ 0, l’equazione è impossibile Nessun numero, moltiplicato per 0, può dare un risultato diverso da 0
Risolviamo le seguenti equazioni.
a. 2x (3x + 4) = 4 x (x 6)
1o passo 2x 3x 4 = 4 x x + 6 Togliendo le parentesi
2 o passo 2x 3x 4 x + x = + 6 + 4 Portando i termini in x al 1o membro e i termini numerici al 2o (1o principio) 4 x = + 10 Riducendo i termini simili
3o passo a = 4 ≠ 0 ⇒
4 x 4 = + 10 4 Dividendo entrambi i membri per 4 (2o principio)
x = + 10 4 = 5 2 Semplificando
Pertanto l’equazione è determinata e il suo insieme delle soluzioni è:
S = { 5 2 }
b. 5x 8 2x = 3x 8
1o passo Nessun calcolo da eseguire e nessun denominatore da eliminare.
2 o passo 5x 2x 3x = 8 + 8 ⇒ 0x = 0
3o passo a = 0 e b = 0
L’ equazione è indeterminata.
c. 3x + 1 3 4 = 1 2 + x
1o passo Poiché m.c.m.(3, 2) = 6 riscriviamo inizialmente i due membri con denominatore comune 6, quindi li moltiplichiamo entrambi per 6 in modo da ricondurci a una equazione intera.
6 ⋅ 2(3x + 1) 4 ⋅ 6 6 = 3 + 6x 6 ⋅ 6 ⇒ 6x + 2 24 = 3 + 6x
2 o passo 6x 6x = 3 2 + 24 ⇒ 0x = 25
3o passo a = 0 e b ≠ 0
L’ equazione è impossibile
NOTAZIONI
Spesso per indicare che un’equazione nell’incognita x è indeterminata si usa scrivere:
∀x ∈ R che significa «per ogni x appartenente a R». Un altro simbolo che incontrerai nel proseguimento dei tuoi studi è ∃, che significa «esiste».
I simboli ∀ e ∃ sono detti quantificatori.
Matematica nella storia Lo sviluppo dell’algebra e delle equazioni
Molti problemi hanno come modello algebrico un’equazione. Svolgeremo la risoluzione dei problemi di questo tipo secondo il seguente schema logico.
Schema logico per la risoluzione di un problema, utilizzando come modello un’equazione
1. Comprendere il problema
Si tratta di leggere attentamente il testo del problema e individuare i dati e l’obiettivo.
2. Costruire il modello algebrico
Questa è la fase più delicata. Si articola nelle seguenti tre sottofasi:
a. scegliere, fra gli elementi non noti, uno da indicare come incognita (la scelta dell’incognita, in generale, non è unica: uno stesso problema può essere risolto in modi diversi, a seconda dell’incognita fissata, e una scelta opportuna può semplificare i calcoli);
b. individuare il dominio dell’incognita (per esempio, se indichiamo con x la misura di un segmento, dovrà essere x > 0);
c. costruire l’equazione che costituisce il modello del problema (a seconda della scelta dell’incognita, si possono trovare equazioni differenti).
3. Risolvere l’equazione
4. Analizzare la soluzione e rispondere Si articola nelle seguenti due sottofasi:
a. stabilire se la soluzione dell’equazione è accettabile anche come soluzione del problema (per esempio, se indichiamo con x la misura di un segmento, dovrà essere x > 0: quindi se, risolvendo l’equazione, si trovasse una soluzione negativa, questa sarebbe da scartare perché non avrebbe senso in relazione al problema);
b. concludere, scrivendo la risposta.
PROBLEMA SVOLTO 1 Spesa al supermercato
Stefano deve andare a fare la spesa. Al supermercato sotto casa ha un buono del 10% sulla spesa totale. Utilizzando il buono spende, in totale, 153 euro. Quanto avrebbe speso Stefano senza utilizzare il buono?
COMPRENDIAMO IL PROBLEMA
Dati
• Sconto sul totale della spesa = 10%
Obiettivo
• Totale della spesa scontato = 153 euro
• Il prezzo originario della spesa senza utilizzare il buono
COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA
• Indichiamo con l’incognita x il prezzo originario che Stefano avrebbe pagato senza utilizzare il buono (ossia il nostro obiettivo).
• Osserviamo che deve essere x > 153 (perché il prezzo originario deve essere maggiore del prezzo scontato).
• Per determinare x, impostiamo un’equazione che tiene conto dei dati.
x 10 100 x = 153 ⇒ x 1 10 x = 153
il prezzo originario meno il 10% del prezzo originario è uguale al prezzo scontato
RISOLVIAMO L’EQUAZIONE
x 1 10 x = 153 10x x = 1530
Moltiplicando entrambi i membri per 10 9x = 1530 ⇒ x = 1530 9 = 170
ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO
• La soluzione trovata è accettabile (infatti è maggiore di 153).
• Concludiamo che il prezzo originario della spesa era di 170 euro.
Irene ha aperto un piccolo banchetto di street food che vende patatine fritte. Una porzione piccola di patatine costa 3 euro, una porzione maxi di patatine costa 5 euro. Al termine della giornata Irene è ormai certa di aver commesso qualche errore (nel dare i resti, probabilmente). Infatti ha incassato 416 euro e venduto 85 porzioni di patatine, tra piccole e maxi.
Perché Irene è (giustamente) convinta di avere sbagliato, in qualche modo? Che cosa non torna?
COMPRENDIAMO IL PROBLEMA
Dati
• In tutto le porzioni di patatine vendute sono 85
• Il prezzo di una porzione di patatine piccola è 3 euro, quello di una porzione maxi è 5 euro
• L’incasso ammonta a 416 euro
Obiettivo
• Trovare il numero di porzioni piccole di patatine vendute e il numero di porzioni maxi di patatine vendute che diano luogo a un incasso di 416 euro. Comprendere poi perché dati e risultati non sono compatibili.
COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA
• Indichiamo con x il numero di porzioni maxi di patatine vendute: resta così determinato, in funzione di x, il numero di porzioni piccole di patatine vendute, che sarà uguale a 85 x, dal momento che le porzioni vendute sono in tutto 85.
• Qual è il dominio di x?
Il numero x deve ovviamente essere un numero naturale, minore o uguale a 85. Eventuali soluzioni negative o frazionarie andranno scartate perché incompatibili con il problema proposto.
• Per scrivere l’equazione ci aiutiamo con la seguente tabella.
Numero di porzioni Tipo di porzioni Incasso corrispondente (in euro)
x Maxi 5x 85 x Piccole 3(85 x)
Per ottenere l’incasso complessivo di 416 euro, x dovrà soddisfare l’equazione:
5x + 3(85 x) = 416
RISOLVIAMO L’EQUAZIONE
5x + 3(85 x) = 416
5x + 255 3x = 416
5x 3x = 416 255
2x = 161
2x 2 = 161 2
x = 161 2 = 80,5
Proprietà distributiva
Applicando la regola del trasporto
Riducendo i termini simili
Dividendo entrambi i membri per 2
Ricavando l’incognita
ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO
• La soluzione trovata non è un numero naturale, per cui non è accettabile in relazione al problema proposto.
• Dobbiamo concludere che la situazione proposta è impossibile, ossia Irene non può avere realizzato un incasso di 416 euro vendendo 85 porzioni di patatine (piccole o maxi). Non disponendo di altre informazioni, possiamo solo presumere che Irene abbia sbagliato nel dare i resti, o nel conteggiare i piatti, o nel calcolare l’incasso.
Uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.
Data un’equazione scritta nella forma normale A(x) = 0, il grado di un’equazione algebrica è il grado del polinomio A(x).
ESEMPIO
5x2 3 = 0 è un’equazione di secondo grado.
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una espressione algebrica sempre definita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Applicazioni del primo principio
ESEMPI
• 5x = x + 2
è equivalente a
5x x = + 2
• x2 2x = 2x + 2
è equivalente a
x2 = 2
Puoi spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro pur di cambiargli il segno (regola del trasporto)
Se un termine ( 2 x) compare come addendo sia in un membro di un’equazione sia nell’altro, puoi eliderlo
Equazioni equivalenti
Equazioni con lo stesso dominio che hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione sempre definita e non nulla, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPI
• 6x = 3 + 9x
è equivalente a 2x = 1 + 3x
• x2 + 3x 4 = 10
è equivalente a
x2 3x + 4 = 10
• 1 2 x + 1 3 x = 4
è equivalente a
6 ( 1 2 x + 1 3 x) = 6 4
ossia a 3x + 2x = 24
Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo (3), puoi dividere i due membri per quel fattore
Puoi cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione
Puoi trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in un’equazione equivalente a coefficienti interi, moltiplicando i due membri per il m.c.m. dei denominatori
Le equazioni algebriche possono essere classificate in base al numero delle loro soluzioni. Un’equazione algebrica è detta:
• determinata, se l’insieme delle sue soluzioni è finito.
ESEMPIO 3x = 6, S = {2}
• indeterminata, se l’insieme delle sue soluzioni è infinito.
ESEMPIO 2(x + 5) = 2x + 10, S = R
• impossibile, se l’insieme delle sue soluzioni è vuoto.
ESEMPIO x2 = 3, S = ∅
Equazioni di primo grado numeriche intere
Indicando l’incognita con x, sono le equazioni riconducibili alla forma ax = b.
Procedimento risolutivo
Metodo generale per risolvere equazioni di primo grado numeriche intere.
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione 1 3 x + x + 1 2 = 4 x
2x + 3(x + 1) 6 = 4 x
6 2x + 3(x + 1) 6 = 6 (4 x)
2x + 3x + 3 = 24 6x
2x + 3x + 6x = 24 3
11x = 21
x = 21 11
Svolgi le eventuali operazioni. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, moltiplica entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori, in modo da ricondurti a un’equazione a coefficienti interi
Trasporta tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo, riducendo gli eventuali termini simili
Risolvi l’equazione del tipo ax = b a cui sei giunto
Classifica le seguenti equazioni nella sola incognita x. Stabilisci, cioè, se sono numeriche (intere o frazionarie) o letterali (intere o frazionarie).
delle seguenti equazioni nell’incognita x è letterale e frazionaria?
Indica con x un numero naturale e scrivi, in ciascun caso, l’equazione che traduce le seguenti frasi.
10 Aggiungendo al doppio di un numero il suo precedente si ottiene 35.
11 La differenza fra il triplo di un numero e il suo successivo è 11.
12 Moltiplicando un numero per 4 si ottiene il quadrato della sua metà.
13 Dividendo un numero per 6 si ottiene la quarta parte del precedente del numero stesso.
14 Aggiungendo al triplo di un numero il quadrato del successivo del numero stesso si ottiene il quadruplo del numero.
15 ESERCIZIO GUIDATO
Stabilisci se 1 è una soluzione dell’equazione:
x 2 + 2x 3 = 4x 4
Sostituisci 1 al posto di x nei due membri dell’equazione.
Al primo membro ottieni:
1 2 + 2 1 3 =
Al secondo membro ottieni: =
I due membri risultano uguali, perciò possiamo concludere che 1 è una dell’equazione.
16 Associazione. Associa con una freccia a ogni equazione posta nella prima colonna la sua soluzione posta nella seconda. a.
Per ogni equazione stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione.
25 Completa le seguenti equazioni con il numero opportuno in modo che il valore di x indicato a fianco sia una sua soluzione.
26 Test. Se un’equazione nell’incognita x ha infinite soluzioni allora:
A è impossibile C è certamente un’identità, soddisfatta per ogni x ∈ R B è indeterminata D nessuna delle precedenti risposte è corretta
27 ESERCIZIO SVOLTO
un’identità. Semplifichiamo le due espressioni al primo e al secondo membro.
che i due membri sono uguali, l’equazione è un’identità.
se le seguenti equazioni sono identità.
un’equazione impossibile in N ma non in Z .
44 Scrivi un’equazione indeterminata in R
45 Scrivi un’equazione impossibile in Z , ma non in Q.
46 Scrivi un’identità in R .
47 Scrivi un’equazione impossibile in Q, ma non in R
50 Vero o falso?
a. l’equazione x 2 + 5 = 0 è impossibile in R
48 Completa le seguenti equazioni in modo che risultino identità.
a. (x + 1) 3 (x 1) 3 = 2( )
b. (x 1) (x 3) (x 1) 2 = 2( )
49 Completa l’equazione x 2 + 2x = 3x + in modo che:
a. risulti frazionaria;
b. risulti letterale intera, dove x è l’incognita e a è il parametro;
c. abbia come soluzione x = 1;
d. abbia come soluzione x = 2;
e. sia un’identità.
b. se l’insieme delle soluzioni di un’equazione è R , l’equazione è un’identità
c. l’equazione (x + 1) 2 (x 1) 2 = 4 x è un’identità
d. se un’equazione è impossibile in N, allora è impossibile anche in Z
e. se un’equazione è impossibile in Z , allora è impossibile anche in N
f. se un’equazione ha infinite soluzioni, allora è un’identità
g. se un’equazione è un’identità, allora ha infinite soluzioni
368 Andrea entra in un negozio con la somma di denaro esatta per comprare una caramella per ciascuno dei suoi compagni di classe, al prezzo di tredici centesimi l’una.
Il prezzo delle caramelle però è sceso a dieci centesimi l’una e Andrea compra sei caramelle in più del previsto, finendo il denaro che aveva.
Quanti sono i compagni di classe di Andrea? [20]
369 Un test è costituito da 25 quesiti a risposta multipla. Ogni quesito risolto correttamente fa guadagnare 3 punti, ogni risposta sbagliata fa perdere 2 punti e ogni risposta non data non fa né perdere né guadagnare alcun punto. Paolo risponde a tutte le domande del test ma, dopo aver visto la correzione, si rende conto di non avere totalizzato alcun punto. A quanti quesiti ha risposto correttamente Paolo? [10]
370 Un gruppo di compagni di classe sta progettando una gita. Se ognuno contribuisse alle spese di viaggio con 14 euro, essi avrebbero 4 euro meno del necessario; se invece ognuno di essi contribuisse con 16 euro, avanzerebbero 6 euro. Quale deve essere il contributo di ciascuno per raccogliere esattamente la cifra necessaria per il viaggio? [14,80 euro]
371 Le tariffe dei taxi a Parigi e Berlino sono le seguenti:
a. a Parigi: tariffa iniziale di 2,60 euro più 0,96 euro per ogni kilometro percorso;
b. a Berlino: 2 euro per ogni kilometro fino a un massimo di 7 km e 1,50 euro per ogni kilometro successivo. Determina la lunghezza percorsa per cui il costo della corsa a Parigi è uguale al costo della corsa a Berlino. [2,5 km]
372 ESERCIZIO SVOLTO
Un’auto 1 parte da una località A verso una località B distante 325 km, alla velocità di 60 km/h. Dopo mezz’ora parte un’auto 2 alla velocità di 80 km/h e diretta anch’essa alla località B. Dopo quanto tempo l’auto 2 raggiunge l’auto 1?
Dalla relazione spazio = velocità tempo deduciamo, innanzitutto, che dopo mezz’ora l’auto 1 ha percorso:
60 km/h ⋅ 1 2 h = 30 km
Indichiamo con t il tempo incognito, espresso in ore, necessario all’auto 2 per raggiungere l’auto 1.
Dopo il tempo t si ha che:
distanza in kilometri dell’auto 1 da A = 30 + 60t
distanza in kilometri dell’auto 2 da A = 80t
Dovendo essere: distanza da A dell’auto 1 = distanza da A dell’auto 2, otteniamo l’equazione:
Concludiamo che l’auto 2 raggiunge l’auto 1 in 3 2 h, quindi in un’ora e mezza.
373 Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A a un certo istante, verso il casello B che dista 280 km da A; dopo 10 minuti, dal casello B parte una seconda auto in verso opposto, cioè verso il casello A. Le due auto viaggiano a una velocità mediamente costante e uguale a 130 km all’ora per la prima auto e di 120 km all’ora per la seconda. Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima automobile incontrerà la seconda? [1 ora e 12 min]
374 Paolo, uscito da scuola, cammina verso casa a una velocità, che si può considerare approssimativamente costante, di 1,5 m/s. Barbara, uscita da scuola, si ferma a chiacchierare con le amiche; parte perciò da scuola 10 minuti dopo Paolo e percorre la sua stessa strada, muovendosi in bicicletta, a una velocità, che si può considerare approssimativamente costante, di 9 m/s. Dopo quanto tempo dalla partenza di Paolo Barbara lo raggiunge? Esprimi il risultato in minuti. [2 min]
375 Un poliziotto parte all’inseguimento di un ladro che scappa a una velocità di 18 km/h e che lo precede di 400 m. Se egli corresse a 20 km/h, in quanto tempo lo raggiungerebbe? Quanti kilometri avrebbe percorso? [In 12 min; 4 km]
376 Due amici partono dalle loro abitazioni, distanti 1600 m, per incontrarsi. Se il primo percorre 90 m in un minuto e il secondo 110 m in un minuto, dopo quanto tempo si incontreranno? [8 min]
377 Lorenza e Paola abitano nella stessa via, la prima a 1200 m dalla scuola e la seconda a 900 m, ed entrambe percorrono 100 m in un minuto. Un giorno Lorenza esce 2 minuti prima di Paola e procede alla velocità di 120 m/min perché vuole raggiungere la sua compagna prima di giungere a scuola. Riesce nel suo intento? Se sì, quanti metri le due ragazze percorrono insieme? [Sì; 600 m]
378 ESERCIZIO GUIDATO
Alle ore 12.00 le lancette dei minuti e delle ore di un orologio analogico sono perfettamente sovrapposte. Quando saranno ancora esattamente sovrapposte per la prima volta? Arrotonda il risultato ai millesimi di secondo.
• La lancetta dei minuti compie un giro completo (360°) in un’ora (60 minuti), quindi in un minuto copre un angolo di 6°. Similmente la lancetta delle ore fa un giro completo in 12 ore (720 minuti), perciò copre solo 0,5° in un minuto.
• Ne segue che, trascorso un tempo t (in minuti) dalle 12, le due lancette dei minuti e delle ore avranno descritto un angolo la cui ampiezza (in gradi) è rispettivamente 6t e 0,5t. Le due lancette si sovrapporranno nuovamente, dopo le 12, quando la lancetta dei minuti (che è la più veloce) avrà percorso esattamente un giro (360°) in più rispetto a quella delle ore. Il tempo t cercato deve perciò soddisfare l’equazione:
6t = 0,5t + 360
• Risolvi questa equazione per trovare la risposta alla domanda. [Dopo 1 ora, 5 minuti, 27 secondi, 273 millesimi]
379 A una miscela di 120 litri di acqua e sciroppo viene aggiunta una seconda miscela, composta da acqua e sciroppo in parti uguali, ottenendo 180 litri di bevanda. Dopo questa operazione la percentuale di acqua presente nella bevanda è uguale a 11 12 della percentuale di acqua presente nella miscela iniziale. Quanti litri di sciroppo sono contenuti nella bevanda finale? [70 litri]
380 Risolvi i seguenti tre problemi, apparentemente simili.
a. Paolo spende prima un terzo e poi la metà di ciò che ha nel portafoglio, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio?
b. Paolo spende prima un terzo di ciò che ha nel portafoglio e poi la metà di ciò che gli rimane, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio?
c. Paolo spende prima un terzo di ciò che ha nel portafoglio e poi la metà di ciò che ha speso inizialmente, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? [a. 24 euro; b. 12 euro; c. 8 euro]
381 Risolvi i seguenti tre problemi, apparentemente simili.
a. Un’urna contiene delle palline. Dopo che è stato estratto prima un quarto e poi un terzo di quelle inizialmente contenute nell’urna, ne restano 30. Quante palline erano contenute inizialmente nell’urna?
b. Un’urna contiene delle palline. Dopo che è stato estratto prima un quarto di quelle contenute nell’urna e poi un terzo di quelle restanti, ne restano 30. Quante palline erano contenute inizialmente nell’urna?
c. Un’urna contiene delle palline. Dopo che è stato estratto prima un quarto di quelle contenute nell’urna e poi un terzo di quelle inizialmente estratte, ne restano 30. Quante palline erano contenute inizialmente nell’urna? [a. 72; b. 60; c. 45]
382 Matematica nella storia Ecco un problema tratto dal Liber Abaci di Fibonacci del 1202.
«Un tino pieno di acqua ha quattro rubinetti d’uscita. Usando il primo rubinetto, il tino può essere svuotato in 1 giorno, usando il secondo in 2 giorni, usando il terzo in 3 giorni e usando il quarto in 4 giorni. In quante ore può essere svuotato il tino, se si aprono contemporaneamente i quattro rubinetti?»
Qual è la soluzione del problema?
383 ESERCIZIO GUIDATO
Il prezzo di un paio di pantaloni, dopo avere subito un rialzo del 10%, è di 121 euro. Qual era il prezzo dei pantaloni prima dell’aumento?
• Indica con x il prezzo dei pantaloni, prima dell’aumento del prezzo.
• Puoi scrivere l’equazione: x + 10 100 x = prezzo aumento del iniziale prezzo del 10% Risolvi l’equazione e concludi.
In un altro modo Osservando che il prezzo dei pantaloni, dopo il rialzo, risulta il 110% del prezzo iniziale si sarebbe potuto tradurre direttamente il problema nell’equazione 110 100 x =
384 Il prezzo di un capo di abbigliamento, dopo avere subito uno sconto del 12%, è di 44 euro. Qual era il prezzo originario? [50 euro]
385 Il signor Rossi preleva dal suo conto in due tempi successivi prima la somma di 2000 euro e poi il 20% di ciò che gli rimane sul conto. Effettuati i due prelievi, sul conto restano 10 400 euro. Quanto aveva sul conto il signor Rossi? [15 000 euro]
386 In una elezione come rappresentante di istituto, il vincitore riceve il 30% in più dei voti del suo avversario. I voti totali sono stati 92. Quanti voti ha ricevuto ciascuno di essi? [40; 52]
387 Una libreria, in occasione delle feste natalizie, vende il 30% dei libri che ha; dall’inventario fatto alla chiusura, risulta che in negozio rimangono ancora 420 libri. Quanti libri erano presenti inizialmente nella libreria? [600]
388 Video Un agente di commercio vende porta a porta un unico prodotto, un robot da cucina, a 700 euro. La sua provvigione sulle vendite ammonta al 20%. L’anno scorso, al netto dei costi fissi pari a 12 000 euro, ha guadagnato 16 000 euro. Quanti pezzi ha venduto? [40 pezzi]
389 Scienza degli alimenti La cosiddetta «forza» di una farina è legata al quantitativo di proteine che contiene. Le farine si distinguono in varie categoria di «forza»: debole, media, forte e molto forte. A seconda della categoria della farina, cambiano il tipo di utilizzo e il metodo di lavorazione. Supponi di avere a disposizione (in qualsivoglia quantità) della farina di tipo 00 (una farina debole), che contiene una percentuale di proteine pari al 9%, e della farina di Manitoba (una farina forte), che contiene una percentuale di proteine pari al 14%. Vuoi mescolare le due farine, in modo da ottenere 800 g di miscela di forza media, contenente il 12% di proteine. Quanta farina di tipo 00 e quanta farina di Manitoba devi utilizzare? [320 g di farina 00 e 480 g di farina di Manitoba]
390 Servizi di sala e di vendita In un locale molto frequentato, in una serata, viene preparata la stessa quantità di cuba libre, di daiquiri e di mojito e vengono utilizzati complessivamente 2,8 litri di rum bianco. Le percentuali dei vari ingredienti contenute in questi cocktail sono quelle riportate in tabella.
Cocktail Ingredienti
Cuba libre Rum bianco (40%), cola (60%)
Daiquiri Rum bianco (60%), succo di lime (30%), sciroppo di zucchero (10%)
Mojito Succo di lime (20%), rum bianco (40%), soda water (40%)
Quanti litri di ciascuno dei tre cocktail sono stati preparati? Quanti litri di cola sono serviti per preparare i cuba libre? Quanti litri di succo di lime sono serviti per preparare i daiquiri e i mojito? [2 L; 1,2 L di cola e 1 L di succo di lime]
403 ESERCIZIO GUIDATO
Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 5 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato. Qual è il perimetro del quadrato?
• Indica con x la misura incognita (in centimetri) del lato del quadrato.
• In base ai dati del problema, le misure (in centimetri) della base e dell’altezza del rettangolo sono rispettivamente x + e x . Poiché quadrato e rettangolo devono avere lo stesso perimetro, puoi scrivere l’equazione: 4x = 2 (x + ) + 2 x perimetro perimetro del quadrato del rettangolo Risolvi l’equazione e concludi.
404 I due rettangoli in figura hanno lo stesso perimetro. Determina x
405 I due rettangoli in figura hanno la stessa area. Determina x
406 Il quadrato e il rettangolo in figura hanno lo stesso perimetro. Determina l’area di entrambi.
407 In un rettangolo un lato è il doppio dell’altro e il perimetro è di 42 cm. Determina la lunghezza della base e quella dell’altezza. [7 cm; 14 cm]
408 Dividi un segmento di 24 cm in tre parti, in modo che la seconda parte superi di 1 cm i 2 5 della prima e la terza sia 2 cm in meno dei 5 4 della seconda. [12,5 cm; 6 cm; 5,5 cm]
409 Determina la lunghezza di due segmenti sapendo che il primo supera il secondo di 26 cm ed è 3 4 della loro somma. [39 cm; 13 cm]
410 Quanto sono lunghi due segmenti se la loro somma è 86 cm e i 3 7 del primo hanno la stessa lunghezza dei 4 5 del secondo? [56 cm; 30 cm]
411 In un triangolo isoscele, la lunghezza della base è 3 2 della lunghezza dei lati congruenti. Sapendo che il perimetro del triangolo è di 21 cm, determina le lunghezze dei lati. [6 cm; 6 cm; 9 cm]
412 Un quadrilatero ABCD è tale che la lunghezza di AB supera di 2 cm quella di BC, la lunghezza di CD è 2 3 di quella di BC e la lunghezza di AD è 1 4 di quella di AB. Sapendo che il perimetro del quadrilatero è 20 cm, determina le lunghezze dei suoi lati. [AB = 8 cm; BC = 6 cm; CD = 4 cm; AD = 2 cm]
413 Determina il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che il lato obliquo è 4 5 della base e che questa lo supera di 12 cm. [156 cm]
414 Dividi un segmento di 21 cm in tre parti, in modo che la seconda sia 1 cm in più della prima e la terza sia 1 5 della seconda. [9 cm; 10 cm; 2 cm]
415 In un triangolo ABC, il lato AB supera di 1 cm il lato BC, il quale a sua volta è 5 2 del lato AC. Sapendo che il perimetro del triangolo è 25 cm, determina le lunghezze dei lati. [4 cm; 10 cm; 11 cm]
416 Nella figura, l’area del quadrato arancione supera di 45 cm 2 l’area del quadrato azzurro. Quali sono le lunghezze dei lati dei due quadrati? [6 cm; 9 cm]
417 In un trapezio rettangolo ABCD:
• la base minore CD è lunga 3 cm in meno della base maggiore AB;
• il lato obliquo BC è lungo 1 cm in più dell’altezza AD;
• l’altezza AD è 2 3 della base minore CD
Sapendo che il perimetro del trapezio è 24 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio e la sua area. [AB = 9 cm; CD = 6 cm; AD = 4 cm; BC = 5 cm; Area = 30 cm 2]
418 Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato. Qual è il perimetro del quadrato? [48 cm]
419 Un quadrato e un rettangolo hanno la stessa area. La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è 2 cm in meno del lato del quadrato. Qual è l’area del quadrato? [9 cm 2]
420 Determina la lunghezza dei lati di un triangolo sapendo che il perimetro è lungo 42 cm e che le misure dei lati sono tre numeri consecutivi. [13 cm; 14 cm; 15 cm]
421 Con GeoGebra Dato un segmento AB lungo 12 cm, determina su di esso un punto P in modo che il quadrato costruito su PB abbia perimetro che supera di 23 cm i 3 4 del perimetro del triangolo equilatero costruito su AP. [PB = 8 cm]
422 Con GeoGebra Dato un rettangolo ABCD, in cui AB è lungo 9 cm e BC è lungo 4 cm, determina sul lato CD la posizione di un punto P, in modo che l’area del trapezio ABPD sia il quadruplo dell’area del triangolo BCP. [DP = 5,4 cm]
423 In un rettangolo, un lato è la metà dell’altro. Diminuendo di 1 cm le lunghezze di tutti i lati del rettangolo, l’area diminuisce di 8 cm 2. Quanto sono lunghi i lati del rettangolo? [6 cm; 3 cm]
424 Una piastrella è formata da un quadrato interno bianco attorno al quale è stato creato un bordo con quattro rettangoli identici di colore grigio, come mostrato in figura. Determina l’area della piastrella sapendo che il suo perimetro è 7 5 di quello del quadrato bianco. Che percentuale dell’area del quadrato bianco rappresenta quella di ciascun rettangolo grigio? [441 cm 2 ; 24%]
425 Considera un quadrato ABCD di lato 10 cm e indica con M il punto medio di CD. Determina un punto P, sul lato AB , tale che l’area del trapezio APMD sia 10 cm 2 in più di 1 3 dell’area del trapezio PBCM. [AP = 1,5 cm]
(x + 15) cm
è un’identità?
431 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% e poi il 20% di ciò che ho inizialmente nel portafoglio, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).
A x 0,1 0,2 = 10
D x 0,1x 0,2x = 10
B x 0,1x 0,2 0,1x = 10 E Nessuna delle precedenti risposte
C x 0,1x 0,2(x 0,1x) = 10
432 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di ciò che ho inizialmente nel portafoglio e poi il 20% della cifra rimanente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).
A x 0,1 0,2 = 10 D x 0,1x 0,2x = 10
B x 0,1x 0,2 0,1x = 10
C x 0,1x 0,2(x 0,1x) = 10
E Nessuna delle precedenti risposte
433 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di ciò che ho nel portafoglio e poi il 20% di ciò che ho speso inizialmente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).
A x 0,1 0,2 = 10
B x 0,1x 0,2 0,1x = 10
C x 0,1x 0,2(x 0,1x) = 10
Servizi di sala e di vendita
D x 0,1x 0,2x = 10
E Nessuna delle precedenti risposte
434 Devi suddividere 30 bignè in due vassoi. I due vassoi hanno grandezze diverse e il più grande contiene 6 bignè in più dell’altro. Quanti bignè conterrà il vassoio più piccolo?
A 8 B 10
C 12
D Non è possibile eseguire la suddivisione richiesta
435 Francesca deve preparare un determinato numero di cornetti salati per una colazione di lavoro. Dopo aver farcito i tre quinti dei cornetti richiesti, le rimangono da farcire ancora 60 cornetti. Quanti cornetti sono stati ordinati e quanti ne ha già farciti?
A ordinati 150; già farciti 90
B ordinati 50; già farciti 30
C ordinati 75; già farciti 45
D Nessuna delle precedenti risposte è esatta
1 Vero o falso?
a. l’equazione 5x + 4 = 1 non ha soluzioni nell’insieme Z
b. le due equazioni 2x + 3 = 1 e x + 15 = 17 sono equivalenti
c. l’equazione (x + 2) 2 = x 2 + 4 x + 4 è un’identità
d. 1 è una soluzione dell’equazione 1 + 2x = 3
e. l’equazione (x + 2) 2 = x 2 + 3x + 1 ha grado 2
Test
2 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è intera e letterale?
3 Individua l’equazione nell’incognita n che corrisponde al modello algebrico del seguente problema: «La somma di un numero naturale n con il doppio del suo successivo è uguale al quadruplo del precedente di n».
A n + 2n + 1 = 4n 1
B n + 2(n + 1) = 4(n 1)
C n + 2 + (n + 1) = 4 + (n 1)
D Nessuna delle precedenti
Risolvi le seguenti equazioni.
7 x 5 4 x 4 5 = 1 2 (x + 4) x 1 10 23 20
8 Servizi di sala e di vendita Oggi la pasticceria di Monica ha incassato 1380 euro. Sapendo che l’incasso di oggi è stato il 15% in più dell’incasso medio della pasticceria, qual è l’incasso medio? Rispondi impostando e risolvendo un’equazione.
1 È data l’equazione (3k 6) x 5k + 2 = 0, in cui x è l’incognita e k è un numero reale. La soluzione dell’equazione è 0 per k = (Prova Invalsi 2012)
2 Individua, fra i seguenti problemi, quello che può essere risolto dall’equazione 1 2 (x 20) = 200.
A La differenza tra un numero x e 10 è uguale a 200. Calcola x
B In un negozio ho acquistato un articolo che costava x euro. Calcola x sapendo che nel portafoglio avevo 200 euro e me ne sono rimasti 20.
C A scuola una mattina sono assenti 20 studenti. Il 50% dei presenti è uguale a 200. calcola il numero totale x di alunni della scuola.
D La differenza tra un numero x e 20 è uguale a 100. Calcola x. (Esempio di prova CBT, livello 10)
3 Anna ha speso presso un’edicola un quinto del denaro con cui è uscita da casa; poi ha speso in cartoleria la metà del denaro rimanente. Dopo i due acquisti le sono rimasti 20 €. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la quantità di denaro x con cui Anna è uscita da casa?
A 1 5 + 1 2 + 20 = x B
di prova CBT, livello 10)
4 Per l’acquisto di un computer sono stati spesi 300 euro. Il prezzo è composto dal costo base più l’IVA, pari al 20% del costo base. Quanto è stato pagato di IVA?
Risposta: (Prova Invalsi 2011)
5 In un test con 28 domande si assegnano 5 punti per ogni risposta esatta, si tolgono 2 punti per ogni risposta errata e si assegna un punto per ogni risposta non data. Marco risponde a tutte le domande e ottiene in totale 0 punti. Quante risposte errate ha dato?
Risposta: (Prova Invalsi 2016)
6 La stampante laser L in un minuto stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quando L e D lavorano contemporaneamente stampano in tutto 24 pagine al minuto. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stampante complessivamente in un minuto?
(Prova Invalsi 2013)
7 A una conferenza sono presenti 90 persone. Le donne sono 14 più degli uomini. Quanti sono gli uomini?
38
(Prova Invalsi 2017)
8 Ai soci di un supermercato un detersivo è venduto, con lo sconto del 20%, al prezzo di 1,40 euro. Quanto costa quel detersivo ai clienti che non sono soci del supermercato e che pertanto non hanno diritto allo sconto? A 1,68 euro B 1,75 euro C 2,80 euro D 1,12 euro (Prova Invalsi 2017)
9 Una casa editrice propone all’autore di un libro di scegliere uno tra due diversi tipi di contratto relativi al suo compenso.
• Contratto forfettario: compenso di 50 000 €, indipendentemente dal numero di copie vendute.
• Contratto a partecipazione: compenso di 5000 € a cui si aggiunge il 10% del prezzo di copertina per ogni copia venduta.
Il prezzo di copertina del libro è di 30 €. Qual è il numero di copie che devono essere vendute perché il compenso ottenuto con il contratto a partecipazione sia uguale a quello ottenuto con il contratto forfettario?
Risposta: copie. (Modificato da prova Invalsi 2017)
Alla festa del primo compleanno di Martino, i genitori Caterina e Francesco distribuiranno sacchetti contenenti confetti alla mandorla oppure ripieni di cioccolato. Hanno a disposizione 71 confetti alla mandorla e 94 confetti ripieni di cioccolato.
1 Caterina propone di preparare sacchetti dello stesso tipo, precisamente ciascuno con 3 confetti alla mandorla e 2 confetti ripieni di cioccolato. Quanti potranno confezionarne al massimo? E quanti confetti avanzeranno complessivamente?
2 Francesco obietta che, dovendo preparare sacchetti uguali con esattamente 5 confetti, è preferibile invertire le proporzioni indicate da Caterina. Così facendo, afferma, si realizza un maggior numero di sacchetti e se ne avanzano meno. Verifica che Francesco ha ragione.
3 Caterina rilancia, proponendo un’idea che le sembra ancora migliore: «Portando a 7 il numero di confetti per sacchetto, sempre rispettando l’obbligo di preparare sacchetti della stessa composizione, è possibile ridurre il numero di confetti avanzati a 4!». Caterina ha ragione? Secondo quali proporzioni pensa di distribuire i confetti? E quanti sacchetti è possibile realizzare, così facendo?
4 Francesco si chiede se è possibile formare sacchetti uguali (composti non importa da quanti e quali confetti) con l’impiego di tutti i confetti disponibili, ma Caterina obietta che ciò è impossibile. Spiega perché Caterina ha ragione.
5 Caterina chiude la questione brillantemente: «Possiamo offrire ai nostri ospiti ben 33 sacchetti con 5 confetti ciascuno, senza quindi avanzarne nessuno (difatti: 71 + 94 = 33 5)! Ci basterà preparare confezioni di due tipi: alcune contenenti 3 confetti alla mandorla e 2 ripieni, tutte le altre contenenti 2 confetti alla mandorla e 3 ripieni». Per procedere come suggerisce Caterina quanti sacchetti contenenti 3 confetti alla mandorla occorre preparare? E quanti contenenti soltanto 2 confetti alla mandorla?
(Suggerimento: indica con x il numero dei sacchetti con esattamente 3 confetti alla mandorla e imposta una opportuna equazione.)
6 Controlla il risultato che hai ottenuto al punto 5, impostando un foglio elettronico del tipo indicato qui sotto e analizzandolo. Nelle colonne A e B sono rappresentati tutti i possibili modi di suddividere i 33 sacchetti. Nelle colonne C e D sono riportati, in corrispondenza di ogni riga, rispettivamente il numero totale di confetti alla mandorla e il numero totale di confetti ripieni contenuti nei 33 sacchetti. La soluzione cercata corrisponde al caso in cui il numero totale di confetti alla mandorla risulta 71 e il numero totale di confetti ripieni risulta 94.
(Suggerimento: nella colonna A devi inserire tutti i numeri naturali da 1 a 33; nella cella B2 dovrai inserire la formula “= 33-A2” e copiarla nelle righe sottostanti; quali formule devi inserire in C2 e D2 e poi copiare nelle celle sottostanti?)
Problema: Stampi triangolari
Si vogliono realizzare degli stampi per la pasta il cui profilo di base è a forma di triangolo isoscele. Si vuole che i lati obliqui di tale triangolo misurino 6 cm e che la misura della base del triangolo sia almeno 4 cm e sia espressa, in centimetri, da un numero intero.
In quanti modi è possibile realizzare lo stampo (supposta fissata la misura della sua altezza)?
Esercizio a pag. 432
Prima di iniziare è opportuno che tu conosca: gli enti fondamentali della geometria euclidea il concetto di congruenza e il concetto di misura
Al termine sarai in grado di: rappresentare, confrontare e analizzare figure geometriche del piano, individuandone reciproche relazioni
ragionare correttamente e sviluppare semplici dimostrazioni
Le risorse digitali dell’unità Approfondimenti
Con GeoGebra
La terminologia relativa ai triangoli
Abbiamo visto che un triangolo è un poligono avente tre lati e tre angoli. Prima di procedere è bene precisare il significato di alcuni termini.
Un lato di un triangolo si dice opposto all’angolo il cui vertice non appartiene al lato e adiacente agli altri due angoli.
Un angolo di un triangolo si dice opposto al lato che non contiene il suo vertice e adiacente agli altri due lati.
Un angolo si dice compreso tra due lati di un triangolo se questi ultimi appartengono ai lati dell’angolo.
Nel seguito, un triangolo di vertici A, B, C verrà indicato con il simbolo ABC. Gli angoli (interni) di vertici A, B, C verranno indicati rispettivamente con le lettere greche α , β, γ, mentre i lati a essi opposti verranno indicati con le lettere a, b, c.
Un triangolo si può classificare in base alle caratteristiche dei suoi lati. Un triangolo si dice:
• equilatero se tutti e tre i suoi lati sono congruenti;
• isoscele se almeno due suoi lati sono congruenti;
• scaleno se i suoi lati sono a due a due non congruenti.
triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno
Nella Fig. 1 è data una rappresentazione, tramite diagramma di Venn, dell’insieme dei triangoli classificati in base ai lati.
Una diversa classificazione viene effettuata in base agli angoli. Un triangolo si dice:
• acutangolo se ha tutti gli angoli acuti;
• rettangolo se ha un angolo retto;
• ottusangolo se ha un angolo ottuso.
In un triangolo rettangolo il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa del triangolo, mentre i lati adiacenti all’angolo retto si chiamano cateti.
tre angoli acuti
un angolo retto
ipotenusa catet o
tr iangolo acut angolo tr iangolo rettangolo catet o
un angolo ottuso
Con GeoGebra Classificazione dei triangoli
RIFLETTI
Un triangolo equilatero è un particolare triangolo isoscele.
triangoli
equilateri isosceli scaleni
Figura 1
acutangoli
tr iangolo ottusangolo
Nella Fig. 2 è data una rappresentazione, tramite diagramma di Venn, dell’insieme dei triangoli classificati in base agli angoli.
triangoli
rettangoli ottusangoli
Figura 2
ATTENZIONE!
L’altezza di un triangolo può cadere esternamente al triangolo, come nel caso dell’altezza AH relativa al lato BC del triangolo ABC rappresentato in figura.
Dato un triangolo, si possono tracciare alcuni segmenti di particolare importanza, ai quali si danno dei nomi particolari. Precisamente:
• si chiama bisettrice di un angolo interno di un triangolo il segmento costituito dai punti della bisettrice di quell’angolo che appartengono al triangolo;
• si chiama mediana il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto;
• si chiama altezza relativa a un lato il segmento avente un estremo nel vertice opposto a quel lato e l’altro estremo sul lato stesso (o sul suo prolungamento), che forma con quest’ultimo due angoli retti.
bisettr ice di AA
mediana relativa a BC A
A
altezza relativa a BC
ATTENZIONE!
Il termine «ordinatamente» significa che a ogni elemento del primo triangolo corrisponde un elemento a esso congruente nel secondo e le coppie di elementi congruenti sono disposte in modo che angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa.
Con GeoGebra
Primo criterio di congruenza per i triangoli
Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati e i tre angoli. Gli angoli opposti a lati congruenti e i lati opposti ad angoli congruenti di due triangoli congruenti si dicono corrispondenti (oppure omologhi).
Per verificare se due triangoli sono congruenti basta verificare che abbiano ordinatamente congruenti solo tre dei sei elementi fondamentali, dei quali almeno uno deve essere un lato. Questo risultato è frutto dei criteri di congruenza dei triangoli.
Con GeoGebra
Secondo criterio di congruenza per i triangoli
Con GeoGebra
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso sono congruenti.
ASSIOMA 1 Primo criterio di congruenza per i triangoli C
A BC'
A' B'
TEOREMA 1 Secondo criterio di congruenza per i triangoli
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti sono congruenti.
BC α
A BC' ' α' '
TEOREMA 2 Terzo criterio di congruenza per i triangoli
A'
Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti sono congruenti.
A
Terzo criterio di congruenza per i triangoli BC
Esercizi p. 422
I criteri di congruenza sono strumenti che consentono di effettuare molte dimostrazioni. Per eseguire una dimostrazione è utile tenere presente il seguente schema logico, che ne riassume le fasi fondamentali.
Schema logico per dimostrare un teorema di geometria
1° passo Leggere attentamente l’enunciato del teorema da dimostrare.
2° passo Individuare l’ipotesi e la tesi; ossia ciò che viene supposto inizialmente e la conclusione cui si vuole giungere.
3° passo Costruire un disegno che corrisponda al teorema geometrico proposto, evitando di rappresentare casi particolari.
4° passo Individure la «strategia» della dimostrazione: questa fase di solito si fa mentalmente ma nel prossimo esempio la espliciteremo.
5° passo Mettere ordine nei vari passaggi logici e passare alla stesura della dimostrazione, formulando una sequenza di passaggi, con relative giustificazioni, che partendo dalle ipotesi conducano alla tesi.
ESEMPIO Dimostrazione mediante i criteri di congruenza
In un triangolo ABC, sia AK la bisettrice uscente da A . Consideriamo, sui due lati AB e AC, rispettivamente, due punti P e Q tali che P ˆ K A ≅ Q ˆ K A e dimostriamo che AP ≅ AQ.
1° passo L’enunciato Leggiamo attentamente l’enunciato del teorema che vogliamo dimostrare.
2° passo Il disegno Facciamo un disegno che rappresenti il teorema, contrassegnando con uno stesso simbolo gli elementi che, per ipotesi, sappiamo essere congruenti (Fig. 3). In questa fase bisogna fare attenzione a evitare figure che rappresentino casi particolari. Per esempio, se nell’enunciato del problema si parla di «triangolo», senza ipotesi aggiuntive, non dovremo disegnare un triangolo isoscele o equilatero.
3° passo Individuare ipotesi e tesi Individuiamo con chiarezza le ipotesi e la tesi del teorema.
IPOTESI B ˆ A K ≅ C ˆ A K, P ∈ AB, Q ∈ AC, P ˆ K A ≅ Q ˆ K A
TESI AP ≅ AQ
4° passo Individuare una «strategia» per effettuare la dimostrazione Dobbiamo dimostrare che AP ≅ AQ. Ma AP e AQ sono lati dei triangoli APK e AQK, che, dalla figura, sembrano congruenti. Se riusciamo a dimostrare che APK ≅ AQK, potremo dedurre che AP ≅ AQ
5° passo La dimostrazione
In questa fase prestiamo attenzione a giustificare ogni passaggio in base alle ipotesi, agli assiomi o ai teoremi precedentemente dimostrati.
Consideriamo i triangoli APK e AQK; essi hanno:
• AK in comune
• P ˆ A K ≅ Q ˆ A K perché AK è la bisettrice dell’angolo ˆ A
• P ˆ K A ≅ Q ˆ K A per ipotesi
Dunque, i triangoli APK e AQK sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. In particolare:
AP
≅ AQ in quanto elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
RIFLETTI
Avere dimostrato che i due triangoli APK e AQK sono congruenti, oltre a permetterci di dedurre che AP ≅ AQ (la tesi) ci dice anche che PK ≅ QK e che A ˆ P K ≅ A ˆ Q K: quindi un teorema analogo a quello dell’esempio, ma con tesi diversa, PK ≅ QK o A ˆ P K ≅ A ˆ Q K, avrebbe avuto la stessa dimostrazione. È questa una caratteristica delle dimostrazioni che utilizzano i criteri di congruenza: in genere si dimostra «più di ciò che è richiesto».
Esercizi p. 423
Equazione
Uguaglianza contenente almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.
ESEMPIO
2x – 1 = x + 2 è un’equazione nell’incognita x 1° membro 2° membro
Classificazione rispetto alle espressioni algebriche nei due membri
Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare in alcun denominatore; altrimenti si dice frazionaria (o fratta).
ESEMPI
Sono equazioni intere: Sono equazioni frazionarie: x 2 – 3x = 1 x –3 2 x = 1 3 x
Ai denominatori ci sono numeri, mai l’incognita
Equazione in forma normale
Equazione della forma A(x) = 0, dove il polinomio A(x) è in forma normale.
ESEMPI È in forma Non è in forma normale normale
x 2 – 3x + 5 = 0 x 2 – 3x = 5
Soluzione di un’equazione in una incognita
equivale a 1 x
Grado di un’equazione
Il grado del polinomio A(x), una volta che l'equazione è nella forma normale A(x) = 0.
ESEMPIO
x 2 + 2x + 1 = x 2
forma normale
2x + 1 = 0 equazione di 1° grado
Numero che, sostituito nell’equazione al posto dell’incognita, la trasforma in una uguaglianza vera.
ESEMPI –1 è una soluzione dell’equazione + 2 non è una soluzione dell’equazione x 2
1 = 0 perché, sostituendo –1 x 2 – 1 = 0 perché, sostituendo + 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza al posto di x, si ottiene l’uguaglianza vera: (– 1) 2 – 1 = 0, ossia 0 = 0. falsa: (+ 2) 2 – 1 = 0, ossia 3 = 0.
Equazioni equivalenti
Equazioni che hanno le stesse soluzioni.
ESEMPIO
2x = 2 e 3x = 3 sono equivalenti perché hanno entrambe soluzione x = 1.
Classificazione in base alle soluzioni
Un’equazione di primo grado si dice:
• determinata se ammette una sola soluzione;
• impossibile se non ammette alcuna soluzione;
• indeterminata se ammette infinite soluzioni.
ESEMPI
• 2x = 2 è determinata perché ha l’unica soluzione x = 1.
• 0x = 2 è impossibile perché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0, non 2.
• 2x = 2x è indeterminata perché è verificata per ogni valore reale di x.
Si può aggiungere o sottrarre a entrambi i membri di un’equazione uno stesso termine (primo principio di equivalenza).
Si può trasportare un termine che compare come addendo da un membro all’altro di un’equazione cambiandogli il segno.
Se in un’equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, questi si possono «sopprimere».
Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, purché questo sia diverso da zero (secondo principio di equivalenza).
METODO
x 1) 4x 12 = 3(x + 1) 12
12 m.c.m.(2, 3, 4)
6(2x – 1) – 4x = 3(1 + x)
12x – 6 – 4x = 3 + 3x
12x – 4x – 3x = 6 + 3
5x = 9 x = 9 5
1. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, si riconducono i due membri al minimo comune denominatore, poi si moltiplicano per il denominatore comune per ricondursi a una equazione a coefficienti interi.
2. Si svolgono eventuali calcoli.
3. Si portano tutti i termini con la x al primo membro e quelli numerici al secondo.
4. Si risolve l’equazione del tipo ax = b a cui si giunge.
1 Completa la seguente tabella, seguendo l’esempio. Equazione Sostituisci al posto di x il numero ...
Ottieni l’uguaglianza... L’uguaglianza ottenuta è vera o falsa?
Il numero sostituito al posto di x è una soluzione dell’equazione?
2 Completa la tabella, seguendo i passi indicati nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda.
3 Caccia all’errore. Nella prima colonna della seguente tabella sono riportate le risoluzioni di alcune equazioni. Nel risolvere le equazioni sono stati commessi, però, vari errori. Individuali e correggili.
Problemi e modelli
4 Completa la risoluzione dei seguenti problemi.
Passi Problema 1 Problema 2
Testo del problema In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 104 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?
1. Individuare dati e obiettivo Dati:
• 30 veicoli (auto o moto)
• in tutto ci sono ........ ruote
Obiettivo: n° di auto e n° di moto
2. Formalizzare il problema
Sia x il numero di auto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale. Possiamo scrivere l’equazione: 4 x + 2 ( ) = 104 numero di ruote delle auto numero di ruote delle moto
In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 99 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?
Dati:
• 30 veicoli (auto o moto)
• in tutto ci sono ........ ruote
Obiettivo: n° di auto e n° di moto
Sia x il numero di moto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale. Possiamo scrivere l’equazione:
4 (30 x) + = 99
3. Risolvere l’equazione Risolviamo l’equazione: x = ........ Risolviamo l’equazione: x = ........
4. Interpretare la soluzione e concludere
La soluzione trovata (numero di auto) è accettabile in quanto è un numero naturale. Concludiamo che, nel parcheggio, ci sono: auto e 30 = moto
La soluzione trovata (numero di moto) non è accettabile in quanto non è un numero Concludiamo che la situazione descritta nel problema è impossibile.
5 A fianco di ciascun problema è indicata l’equazione che lo formalizza, in cui x indica il numero di risposte non date. Completa l’equazione, risolvila e concludi la risoluzione del problema.
Problema 1. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 2 punti per ogni risposta esatta, 0 punti per ogni risposta non data e toglie un punto per ogni risposta sbagliata. Il punteggio totale ottenuto è stato 16 e le risposte sbagliate sono state uguali a quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
Problema 2. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 28 e le risposte sbagliate sono state tante quante quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
Problema 3. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 20 e le risposte sbagliate sono state il quadruplo di quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
2(20 .....) + 0 x 1 x = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio relativo alle risposte non date
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate
punteggio totale
.....(20 .....) 1 ..... = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date
punteggio totale
.....(20 .....) 1 5x = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date
punteggio totale
1 L’equazione 1 2 + 2x = x 3 + 1 nell’incognita x è:
A numerica intera
B numerica frazionaria
2 L’equazione 1 x = a 2 + x nell’incognita x è:
A numerica intera
B numerica frazionaria
3 L’equazione 5x = 0 è:
A determinata
B indeterminata, ma non un’identità
4 L’equazione 0x = 100 è:
A determinata
B indeterminata, ma non un’identità
C letterale intera
D letterale frazionaria
C letterale intera
D letterale frazionaria
C impossibile
D un’identità
C impossibile
D un’identità
Scrivi le seguenti equazioni in forma normale e stabiliscine il grado.
5 (x 1)2 = (x + 1)2 + x2
x(x
x
x 3
x
Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione. 9 (x 3)2 = 1 x = 2
(2 x 3)2 = 9 x = 3
35 Completa l’equazione x + 2 = 2 x + in modo che abbia come soluzione 0.
36 Completa l’equazione 3x 2 = 5x ….. ….. in modo che risulti indeterminata.
37 Completa l’equazione 3x 2 = 5x + in modo che risulti impossibile.
Invalsi
38 Una sorgente di montagna alimenta continuamente un serbatoio con 5 m3 di acqua ogni settimana. Oggi il serbatoio contiene 100 m3 di acqua e un villaggio inizia a prelevare 7 m3 di acqua alla settimana.
a. Completa la seguente tabella relativa al numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane a partire da oggi.
t (settimane) 0 1 2 3 4
n (m3) 100
b. Scrivi un’espressione che rappresenti il numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane.
c. Dopo quante settimane il serbatoio sarà vuoto?
A 20 settimane C 98 settimane
B 50 settimane D 102 settimane
39 Un palo verticale è piantato in uno stagno. Un quinto del palo è interrato nel fondale, un sesto è immerso in acqua e la parte del palo che esce dall’acqua è lunga 8,9 metri.
a. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la lunghezza totale x del palo?
A 1 5 + 1 6 + 8, 9 = x B 1 5
b. Qual è la lunghezza totale x del palo? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e poi riporta il risultato arrotondato alla seconda cifra decimale: ..................................................................
Risultato: m [b. 14,05 m] (Prova Invalsi 2015)
Problemi e modelli
40 Un paio di pantaloni, dopo uno sconto del 15%, viene venduto al prezzo di 34 euro. Qual era il prezzo originario dei pantaloni? [40 euro]
41 Un appartamento viene acquistato in tre rate: prima si paga il 10%, poi il 50% della cifra rimanente e infine si salda il conto versando 36000 euro. Quanto costa l’appartamento?
[80000 euro]
42 Si vuole formare la somma di 10 euro utilizzando 18 monete, alcune da 1 euro e altre da 50 centesimi. Quante monete da 1 euro e quante da 50 centesimi sono necessarie?
[2 monete da 1 euro e 16 da 50 centesimi]
43 Un padre, che ha 36 anni, ha un figlio di 14 anni. Fra quanti anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio? [Fra 8 anni]
44 Determina due numeri naturali consecutivi in modo che la loro somma, diminuita di 18, uguagli il triplo della differenza fra il maggiore e il doppio del minore. [4 e 5]
45 In un trapezio isoscele la base maggiore supera di 9 cm la metà della base minore, mentre i lati obliqui superano di 1 cm i 2 3 della base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio. [12 cm, 6 cm, 5 cm, 5 cm]
46 Mirko ha notato che il giardino sotto casa è di forma quadrata, e che riducendone i lati di un metro soltanto, la sua area diminuirebbe di 65 metri quadrati. Qual è l’area del giardino, in metri quadrati? [1089 m2]
47 Su una nave da crociera ci sono 700 passeggeri. Quelli che viaggiano in classe lusso sono
1
4 di quelli di prima classe, e i passeggeri di seconda classe sono i 7 3 della somma delle altre due. Sapendo che tutti i passeggeri sono o in prima classe o in seconda classe o in classe lusso, quanti passeggeri ci sono in ogni classe?
[Classe lusso: 42; prima classe: 168; seconda classe: 490]
Triangoli
Il lato AB è opposto all’angolo γ, adiacente ad α e β.
L’angolo α è opposto al lato BC, adiacente ad AB e AC L’angolo γ è compreso tra i lati AC e BC
Classificazione rispetto ai lati
Un triangolo si dice:
• isoscele se ha almeno due lati congruenti;
• equilatero se ha i tre lati congruenti;
• scaleno se non ha lati congruenti. triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno
Classificazione rispetto agli angoli
Un triangolo si dice:
• acutangolo se tutti i suoi angoli sono acuti;
• ottusangolo se ha un angolo ottuso;
• rettangolo se ha un angolo retto. triangolo acutangolo triangolo ottusangolo triangolo rettangolo
Segmenti notevoli
• Altezza relativa a un lato: il segmento che partendo dal vertice opposto incontra il lato stesso o il suo prolungamento formando due angoli retti.
• Bisettrice uscente da un vertice: il segmento costituito dai punti della bisettrice dell’angolo interno appartenenti al triangolo.
• Mediana relativa a un lato: il segmento che congiunge il vertice opposto con il punto medio del lato stesso. altezza relativa a BC mediana relativa a BC
A
Criterio di congruenza A parole
Primo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso
Secondo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli a esso adiacenti
Terzo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
Teorema A parole
Angoli alla base di un triangolo isoscele
In un triangolo isoscele (cioè avente due lati congruenti), gli angoli adiacenti alla base sono congruenti.
Teorema inverso del teorema precedente
Proprietà del triangolo isoscele
Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele e ha come base il lato adiacente agli angoli congruenti.
In un triangolo isoscele, l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice.
Teorema A parole In simboli
Primo teorema dell’angolo esterno
Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni a esso non adiacenti.
Corollari del teorema precedente
La somma di due qualsiasi angoli interni di un triangolo è sempre minore di un angolo piatto.
In ogni triangolo, almeno due degli angoli interni sono acuti.
Relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
In ogni triangolo a lato maggiore è opposto angolo maggiore.
Viceversa, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore.
Corollari del teorema precedente
In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti.
In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati.
Disuguaglianza triangolare
Ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (la differenza, naturalmente, va intesa sottraendo dal lato maggiore il lato minore).
Completa le seguenti tabelle, in cui ti guidiamo a dimostrare alcuni teoremi.
1 Passi Dato un angolo aO ! b , conduci la bisettrice r dell’angolo. Considera un punto P su r e traccia due semirette, aventi origine in P, e giacenti in semipiani opposti rispetto alla bisettrice, che formano con OP angoli congruenti. Indica con Q ed R, rispettivamente, i punti d’intersezione di tali semirette con a e b. Sia S un punto di OP; dimostra che RS ≅ QS.
Rappresenta la situazione descritta con un disegno.
Individua l’ipotesi. Individua la tesi. Completa la traccia di dimostrazione.
I due triangoli OPQ e .......... hanno:
• OP in comune
• ....... ≅ ....... per ipotesi
• ≅ per quindi sono congruenti per il In particolare, PQ ≅
I due triangoli PQS e .......... hanno:
• PS in comune
• ≅ per ipotesi
• PQ ≅ per la precedente dimostrazione Quindi sono congruenti per il In particolare RS ≅
2 Passi In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia le mediane AM e BN. Indica con P il loro punto d’intersezione e dimostra che il triangolo APB è isoscele sulla base AB.
Rappresenta la situazione descritta con un disegno.
Individua l’ipotesi. AC ≅ ....... AN ≅ ....... BM ≅ ....... {P} = AM ∩ .......
Individua la tesi. AP ≅
Completa la traccia di dimostrazione.
I due triangoli ABN e ABM hanno:
• AN ≅ BM in quanto ...........................
• AB in comune
• C A ! B ≅ C B ! A perché
Quindi i due triangoli sono per il
In particolare MA ! B ≅ Da quanto appena dimostrato, segue che PA ! B ≅ ............... Quindi il triangolo APB è
3 Passi Dato un triangolo ABC, sia P un punto interno al triangolo. Dimostra che AP ! B > AC ! B .
C
P
Rappresenta la situazione descritta con un disegno. A B
Individua l’ipotesi. Individua la tesi. .............................................................................................................
Completa la traccia di dimostrazione.
Prolunga AP dalla parte di P e indica con Q il punto d’intersezione del prolungamento con il lato BC. In base al teorema dell’angolo esterno, applicato al triangolo ......., puoi affermare che AP ! B > AQ ! B . In base al teorema dell’angolo esterno applicato al triangolo AQC, puoi dire che AQ ! B > Ne segue che .................................................................
4 Passi Sia ABC un triangolo in cui A ! < B ! e sia P un punto interno al triangolo. Dimostra che BC < PA + PC.
C
Rappresenta la situazione descritta con un disegno. A B P
Individua l’ipotesi. ............................................................................................................. Individua la tesi.
Completa la traccia di dimostrazione.
Dall’ipotesi C A ! B < AB ! C, puoi dedurre che BC < Per la disuguaglianza triangolare applicata al triangolo APC, puoi dedurre che AC < ....... Confrontando le due disuguaglianze, ottieni che BC < < Quindi ..................................................................................................
5 Problemi e modelli Completa la risoluzione del seguente problema.
Tre città A, B, C (non allineate) sono tali che la distanza tra A e B è 50 km, mentre la distanza tra A e C è 15 km. La distanza tra le due città B e C è espressa da un numero intero di kilometri ed è maggiore di 63 km. Qual è la distanza tra B e C?
Soluzione
• Indica con x la distanza incognita tra B e C; in base alla disuguaglianza triangolare deve essere:
50 ....... < x < 50 + .......
cioè: ....... < x < ....... [1]
• D’altra parte, in base ai dati deve essere anche: x > 63 [2]
Tenendo conto di entrambe le condizioni [1] e [2], puoi concludere che deve essere:
63 < x < ....... [3]
Ricorda ora che, in base a quanto affermato nell’enunciato del problema, la distanza tra B e C è espressa da un numero intero. L’unico numero intero che soddisfa la [3] è ......., perciò la distanza tra le due città B e C è ....... km.
1 Nei triangoli ABC e A′B ′C ′ in figura gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A I due triangoli sono congruenti in base al primo criterio di congruenza
B I due triangoli sono congruenti in base al secondo criterio di congruenza
C I due triangoli sono congruenti in base al terzo criterio di congruenza
D I due triangoli possono non essere congruenti
2 Nei triangoli ABC e A′B ′C ′ in figura gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A I due triangoli sono congruenti in base al primo criterio di congruenza
B I due triangoli sono congruenti in base al secondo criterio di congruenza
C I due triangoli sono congruenti in base al terzo criterio di congruenza
D I due triangoli possono non essere congruenti
3 Dato un triangolo ABC, sia AP la bisettrice di BA C. Siano Q ed R, rispettivamente, i punti appartenenti ad AB e ad AC, tali che AP Q ≅ AP R.
Dimostra che AQ ≅ AR.
4 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga AB, dalla parte di A, di un segmento AE, e AC, dalla parte di A, di un segmento AD, in modo che AD ≅ AE. Dimostra che BD ≅ EC.
5 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, disegna, esternamente al triangolo ABC, un triangolo ABD, isoscele sulla base AB. Considera un punto qualsiasi P sul segmento CD e dimostra che PA ≅ PB.
6 Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC. Prolunga il cateto AB, dalla parte di A, di un segmento AP ≅ AB e l’ipotenusa BC, dalla parte di C, di un segmento CQ ≅ BC.
Dimostra che CP Q ≅ PQ C.
7 Dimostra che, in due triangoli congruenti, le due bisettrici relative a due angoli congruenti sono congruenti.
11 Invalsi Osserva la figura.
8 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera un punto P su AC e un punto Q su BC, in modo che CP ≅ CQ. Detto R il punto d’intersezione di BP e di AQ, dimostra, nell’ordine che:
a. il triangolo ABR è isoscele sulla base AB;
b. i triangoli ACR e BCR sono congruenti;
c. la semiretta CR è la bisettrice di AC B
9 In riferimento alla figura, in cui il punto D appartiene al prolungamento di AB, rispondi alle seguenti domande.
a. Qual è l’ampiezza di AB C?
b. Quale dei tre lati del triangolo ABC ha lunghezza minima? Perché?
c. Quale dei tre lati del triangolo ABC ha lunghezza massima? Perché?
10 Può esistere un triangolo i cui lati sono lunghi 10 cm, 12 cm e 15 cm? E un triangolo i cui lati sono lunghi 7 cm, 11 cm e 3 cm? Giustifica le tue risposte.
Se AB ≠ AC e BH = HC, che cosa rappresenta il segmento AH nel triangolo ABC?
A Un’altezza B Una mediana C Una bisettrice D Un asse
(Prova Invalsi 2006)
12 Problemi e modelli Marco misura la lunghezza dei lati del parco giochi, di forma triangolare, del suo quartiere: 28 m, 30 m, 61 m. Si accorge tuttavia di avere commesso un errore nella misurazione. Perché? Sapendo che il perimetro del parco giochi è 97 m e che due delle tre misure precedenti sono corrette, stabilisci quale delle tre è errata e come correggerla.