Equazioni di primo grado
Che cos’è un’equazione?
DEFINIZIONE Equazione
Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.
• 3x + 2 = 4(2x − 1) è un’equazione nell’incognita x.
• 2y 1 = y + 3 è un’equazione nell’incognita y
L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro dell’equazione, l’espressione a destra si chiama secondo membro dell’equazione. Oltre all’incognita (e a eventuali costanti), in un’equazione possono comparire altre lettere, dette parametri: i parametri sono lettere che rappresentano un valore che si suppone noto, ma che non viene specificato per dare al problema maggiore generalità .
Una equazione si dice... intera, se l’incognita non compare in alcun divisore (in particolare in alcun denominatore).
... numerica se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, non compaiono parametri.
... letterale (o parametrica) se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, compare almeno un parametro.
Esempi di equazioni numeriche intere:
frazionaria, se non è intera.
Esempi di equazioni numeriche frazionarie: x
Esempi di equazioni letterali intere nell’incognita x:
k(x 1) = x + k; 4x = x a 3
k è il parametro a è il parametro
Esempi di equazioni letterali frazionarie nell’incognita x: 1 = 1 kx x ; ax + 2 x 2 = 0
k è il parametro a è il parametro
Risolvere un’equazione nell’incognita x significa determinare, se esistono, i valori di x che, sostituiti all’incognita, rendono l’equazione un’uguaglianza vera: questi numeri si chiamano soluzioni (o radici) dell’equazione.
L’insieme S di tutte le soluzioni si dice insieme delle soluzioni (o insieme soluzione) dell’equazione.
Consideriamo l’equazione x 2 9 = 0:
• 3 è una sua soluzione perché, sostituendo 3 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza 32 9 = 0, cioè 9 9 = 0, che è vera;
• 2 non è una soluzione dell’equazione perché, sostituendo 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza 22 9 = 0, cioè 5 = 0, che è falsa.
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In questa unità ci occuperemo di equazioni numeriche intere in una incognita e, salvo avviso contrario, indicheremo l’incognita con la lettera x; le equazioni frazionarie e letterali verranno invece trattate successivamente.
L’insieme delle soluzioni dipende anche dall’insieme numerico in cui si cercano le soluzioni, detto dominio o insieme di definizione dell’equazione.
L’ equazione 2x = 1, se assumiamo come dominio R , ammette come soluzione x = 1 2
La stessa equazione non ammette soluzioni se assumiamo come dominio l’insieme N, perché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per 2, dà come risultato 1.
Salvo avviso contrario, risolveremo le equazioni assumendo come dominio l’insieme R dei numeri reali.
Le equazioni determinate, impossibili, indeterminate e le identitÃ
Si può effettuare una classificazione delle equazioni in base alle caratteristiche dell’insieme delle soluzioni, come spiegato nella seguente tabella.
L’insieme delle soluzioni può essere...
L’equazione si dice... Esempi
finito propria o determinata • 2x = 4
L’unica soluzione dell’equazione è 2, quindi S = {2}.
S è un insieme finito.
• 3x 1 = 2
L’unica soluzione dell’equazione è 1, quindi S = {1}.
S è un insieme finito.
infinito indeterminata • 2(x + 3) = 2x + 6
In base alla proprietà distributiva, questa equazione è soddisfatta per ogni x ∈ R.
• 2x + 3x = 4x + x
Eseguendo le somme otteniamo 5x = 5x, che è soddisfatta per ogni x ∈ R
vuoto impossibile • x2 = 1
Ogni numero reale ha come quadrato un numero non negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.
• x = x + 1
Ogni numero reale non può essere uguale allo stesso numero aumentato di uno, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.
In questo e nel prossimo volume studieremo principalmente equazioni algebriche, cioè equazioni i cui due membri sono costituiti da espressioni algebriche (polinomi o espressioni frazionarie). In questo ambito, le equazioni indeterminate hanno una particolare caratteristica: risultano essere sempre delle identitÃ
Una identità è una uguaglianza tra due espressioni, contenente una o più variabili, verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle variabili, con l’esclusione di quelli che fanno eventualmente perdere significato alle due espressioni.
un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈
{1}, essendo x = 1 l’unico valore per cui perde significato
Le equazioni equivalenti
A equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni si dà un nome particolare.
DEFINIZIONE Equazioni equivalenti
Due equazioni con lo stesso dominio si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
ESEMPIO
Le equazioni x 2 = 0 e 5x 10 = 0 sono equivalenti perché hanno entrambe come insieme delle soluzioni S = {2}
In questo paragrafo presentiamo delle regole che permettono di trasformare una data equazione in un’altra equazione, equivalente a quella originaria. Queste regole ci saranno utili, successivamente, per risolvere le equazioni.
Il primo principio di equivalenza e le relative conseguenze
Data la sua importanza, presentiamo il primo principio di equivalenza come teorema. Esso dipende sostanzialmente dalle proprietà dell’uguaglianza in relazione con le operazioni di addizione e sottrazione.
PRINCIPIO Primo principio di equivalenza per le equazioni
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione un numero o un’espressione algebrica definita per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPI
a. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 2x 3 = 5 il numero 3, si ottiene l’equazione equivalente 2x 3 + 3 = 5 + 3, ossia 2x = 8
b. Sottraendo a entrambi i membri dell’equazione 2x + 3 = 5x l’espressione 2x (definita per ogni valore reale di x), si ottiene l’equazione equivalente 2x + 3 2x = 5x 2x, ossia 3 = 3x.
c. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 3x 1 = 4 il numero 1 e sottraendo a entrambi i membri l’espressione x, si ottiene l’equazione equivalente 3x 1 + 1 x = 4 + 1 x, cioè 2x = 5 x.
Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del primo principio di equivalenza.
Conseguenze del primo principio
Regola del trasporto: si può spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro di un’equazione pur di cambiargli segno.
Regola di cancellazione di termini uguali: se un certo termine compare come addendo sia in uno sia nell’altro membro di un’equazione, può essere soppresso.
Ciò equivale a sottrarre quel termine a entrambi i membri dell’equazione.
Esempi
L’equazione 3x = 1 + 2x
equivale a: 3x 2x = 1
Infatti, per il primo principio, 3x = 1 + 2x equivale a:
3x 2x = 1 + 2x 2x ossia a: 3x 2x = 1
Ciò equivale a sottrarre quel termine da entrambi i membri dell’equazione.
x2 + 3x = 7 + 3x equivale, sopprimendo +3x, a:
x2 = 7
Infatti, per il primo principio, l’equazione data equivale a:
x2 + 3x 3x = 7 + 3x 3x ossia a: x2 = 7
Con GeoGebra Principi di equivalenza delle equazioni e bilance
Il secondo principio di equivalenza e le relative conseguenze
PRINCIPIO Secondo principio di equivalenza per le equazioni
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per un numero diverso da 0, o per un’espressione algebrica definita e non nulla per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
a. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 3, si ottiene l’equazione equivalente 3 (4 x + 1) = 3 10x, cioè 12x + 3 = 30x.
b. Dividendo entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 2 , si ottiene l’equazione equivalente 4 x + 1 2 = 10x 2 , cioè 2x + 1 2 = 5x .
Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del secondo principio di equivalenza.
Conseguenze del secondo principio
Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo, si possono dividere i due membri per quel fattore.
Si possono cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione.
Si può trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in una equivalente a coefficienti interi.
Giustificazione Esempi
È una diretta applicazione del secondo principio.
x + 6 = 12
è equivalente, dividendo tutti i termini per 2, all’equazione:
+ 6 2 = 12 2 , cioè
x + 3 = 6
Ciò equivale a moltiplicare entrambi i membri per 1.
Basta moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione.
x + 1 3 x = 4 m.c.m.(2, 3) = 6
è equivalente a:
6( 1 2 x + 1 3 x) = 6 4
ossia a:
3x + 2x = 24
La forma normale e il grado di un’equazione
Utilizzando la regola del trasporto è sempre possibile scrivere un’equazione nell’incognita x nella forma P(x) = 0.
Se P(x) è un polinomio ridotto nella variabile x, l’equazione si dice algebrica e scritta in forma normale (o canonica). In tal caso il grado del polinomio P(x) si dice grado dell’equazione
a. L’equazione 4x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di primo grado
b. L’ equazione x 2 x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di secondo grado.
c. L’ equazione (x + 1)2 = x 2 + 2 non è in forma normale. Per determinare il grado dell’equazione, dobbiamo prima riscriverla in tale forma:
x 2 + 2x + 1 = x 2 + 2 Svolgendo i calcoli
x 2 + 2x + 1 x 2 2 = 0
Esercizi p. 300
Portando tutti i termini al primo membro
2x 1 = 0 Riducendo i termini simili
L’equazione è quindi di primo grado.
Per risolvere un’equazione di primo grado (o lineare) nell’incognita x occorre procedere nel modo seguente.
Procedimento risolutivo per le equazioni di primo grado numeriche intere nell’incognita x
1o passo Si eseguono eventuali calcoli e, se l’equazione è a coefficienti frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.
2o passo Si trasportano i termini contenenti l’incognita x al primo membro e i termini numerici al secondo e si riducono gli eventuali termini simili.
3o passo L’equazione si presenta nella forma ax = b, con a e b numeri reali:
• se a ≠0 si dividono entrambi i membri per a (secondo principio di equivalenza) e si ottiene così la soluzione dell’equazione, che quindi è determinata;
• se a = 0, allora
se b = 0, l’equazione è indeterminata; Qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0 se b ≠0, l’equazione è impossibile Nessun numero, moltiplicato per 0, può dare un risultato diverso da 0
Risolviamo le seguenti equazioni.
a. 2x (3x + 4) = 4 x (x 6)
1o passo 2x 3x 4 = 4 x x + 6 Togliendo le parentesi
2 o passo 2x 3x 4 x + x = + 6 + 4 Portando i termini in x al 1o membro e i termini numerici al 2o (1o principio)
4 x = + 10 Riducendo i termini simili
3o passo a = 4 ≠0 ⇒
4 x 4 = + 10 4 Dividendo entrambi i membri per 4 (2o principio)
x = + 10
4 = 5 2 Semplificando
Pertanto l’equazione è determinata e il suo insieme delle soluzioni è:
S = { 5 2 }
b. 5x 8 2x = 3x 8
1o passo Nessun calcolo da eseguire e nessun denominatore da eliminare.
2 o passo 5x 2x 3x = 8 + 8 ⇒ 0x = 0
3o passo a = 0 e b = 0
L’ equazione è indeterminata
c. 3x + 1 3 4 = 1 2 + x
1o passo Poiché m.c.m.(3, 2) = 6 riscriviamo inizialmente i due membri con denominatore comune 6, quindi li moltiplichiamo entrambi per 6 in modo da ricondurci a una equazione intera.
6 2(3x + 1) 4 ⋅ 6 6 = 3 + 6x 6 ⋅ 6 ⇒ 6x + 2 24 = 3 + 6x
2 o passo 6x 6x = 3 2 + 24 ⇒ 0x = 25
3o passo a = 0 e b ≠0
L’ equazione è impossibile.
Comprendere adeguatamente quanto si legge è una capacità fondamentale in qualsivoglia contesto, molto al di là , dunque, del solo ambito matematico. Ne abbiamo più volte avuto la riprova: solo afferrando in pieno il testo di un problema, riconoscendone chiaramente i dati e gli obiettivi, è possibile formalizzarlo matematicamente in modo corretto. In questa scheda ci proponiamo di insistere sulle «sfumature» di carattere linguistico che solo una lettura particolarmente attenta può cogliere. Noteremo come la scelta dei tempi verbali, dei generi e perfino della punteggiatura può… deviare il corso della risoluzione di un problema.
Determiniamo un numero con la proprietà seguente: la metà del numero, sommata a 10, è uguale alla metà del numero sommato a 10.
A prima vista, si direbbe che tutti i numeri reali soddisfino tale proprietà , e che la sua formalizzazione matematica conduca a una banale identità numerica. Una lettura meno superficiale, però, permette di riconoscere (grazie all’opportuna scelta del genere e della punteggiatura) che la corrispondente equazione è tutt’altro che indeterminata. Infatti, indicando con x il numero incognito, l’esatta trasposizione del quesito in equazione è la seguente: x 2 + 10 = x + 10 2 ⇒ x + 20 = x + 10
Quest’ultima equazione non ha soluzioni: non esiste nessun numero che soddisfa la proprietà richiesta.
a. Il grande matematico Diofanto di Alessandria, noto principalmente per il suo importante contributo alla teoria delle equazioni, è considerato da alcuni storici l’ultimo matematico del periodo ellenistico. Assai curioso l’epitaffio che Diofanto volle per sé:
«L’infanzia occupò un sesto della sua vita, un dodicesimo si aggiunse affinché le sue guance si coprissero della peluria degli adolescenti. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. Questi, sfortunato, morì improvvisamente quando raggiunse la metà degli anni che il padre visse. Il genitore gli sopravvisse per quattro anni prima di giungere al termine della propria vita.» Quanti anni visse Diofanto?
L’equazione che formalizza quanto scritto nell’epitaffio è la seguente: x
= x 6 + x 12 + x 7 + 5
durata della vita di Diofanto
+ x 2
anni vissuti da Diofanto prima della nascita del figlio
anni vissuti da Diofanto con il figlio in vita
+ 4
anni successivi alla morte del figlio
Lasciamo a te la sua risoluzione, riportandone solo il risultato: x = 84.
b. Ora, immaginiamo che l’epitaffio di Diofanto si presenti, per un errore di interpretazione, in forma leggermente modificata (la variazione è indicata in corsivo):
«L’infanzia occupò un sesto della sua vita, un dodicesimo si aggiunse affinché le sue guance si coprissero della peluria degli adolescenti. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. Questi, sfortunato, morì improvvisamente quando raggiunse la metà degli anni che il padre aveva vissuto fino a quel momento. Il genitore gli sopravvisse per quattro anni prima di giungere al termine della propria vita.»
Quanti anni visse Diofanto?
Stando al nuovo testo, il figlio di Diofanto visse tanti anni quanti ne visse Diofanto prima della sua nascita. Questa volta l’esatta trasposizione è perciò: x
= ( x 6 + x 12 + x 7 + 5)
durata della vita di Diofanto
+ ( x 6 + x 12 + x 7 + 5)
anni vissuti da Diofanto prima della nascita del figlio
anni vissuti da Diofanto con il figlio in vita
+ 4
anni successivi alla morte del figlio
La soluzione di questa equazione è x = 65,3 anni, vale a dire 65 anni e 4 mesi: ben diversa, quindi, dalla prima.
PROVA TU
Il quadrato della differenza tra un numero e 5 è uguale alla differenza tra il quadrato del numero e 5. Di quale numero si tratta? Imposta la relativa equazione e trovalo.
Uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.
Data un’equazione scritta nella forma normale A(x) = 0, il grado di un’equazione algebrica è il grado del polinomio A(x).
ESEMPIO
5x2 3 = 0 è un’equazione di secondo grado.
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una espressione algebrica sempre definita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Applicazioni del primo principio
ESEMPI
• 5x = x + 2
è equivalente a
5x x = + 2
• x2 2x = 2x + 2
è equivalente a
x2 = 2
Puoi spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro pur di cambiargli il segno (regola del trasporto)
Se un termine ( 2 x) compare come addendo sia in un membro di un’equazione sia nell’altro, puoi eliderlo
Equazioni equivalenti
Equazioni con lo stesso dominio che hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione sempre definita e non nulla, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPI
• 6x = 3 + 9x
è equivalente a 2x = 1 + 3x
• x2 + 3x 4 = 10
è equivalente a
x2 3x + 4 = 10
• 1 2 x + 1 3 x = 4
è equivalente a
6 ( 1 2 x + 1 3 x) = 6 4
ossia a 3x + 2x = 24
Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo (3), puoi dividere i due membri per quel fattore
Puoi cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione
Puoi trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in un’equazione equivalente a coefficienti interi, moltiplicando i due membri per il m.c.m. dei denominatori
Le equazioni algebriche possono essere classificate in base al numero delle loro soluzioni. Un’equazione algebrica è detta:
• determinata, se l’insieme delle sue soluzioni è finito.
ESEMPIO 3x = 6, S = {2}
• indeterminata, se l’insieme delle sue soluzioni è infinito.
ESEMPIO 2(x + 5) = 2x + 10, S = R
• impossibile, se l’insieme delle sue soluzioni è vuoto.
ESEMPIO x2 = 3, S = ∅
Equazioni di primo grado numeriche intere
Indicando l’incognita con x, sono le equazioni riconducibili alla forma ax = b.
Procedimento risolutivo
Metodo generale per risolvere equazioni di primo grado numeriche intere.
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione 1 3 x + x + 1 2 = 4 x
2x + 3(x + 1) 6 = 4 x
6 2x + 3(x + 1) 6 = 6 (4 x)
2x + 3x + 3 = 24 6x
2x + 3x + 6x = 24 3
11x = 21
x = 21 11
Svolgi le eventuali operazioni. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, moltiplica entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori, in modo da ricondurti a un’equazione a coefficienti interi
Trasporta tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo, riducendo gli eventuali termini simili
Risolvi l’equazione del tipo ax = b a cui sei giunto
In VeriMat PLUS altri esercizi per le tue attività in classe
Esercizi introduttivi
Classifica le seguenti equazioni nella sola incognita x. Stabilisci, cioè, se sono numeriche (intere o frazionarie) o letterali (intere o frazionarie).
7
delle seguenti equazioni nell’incognita x è letterale e frazionaria?
8
delle
equazioni nell’incognita x è intera e letterale?
Indica con x un numero naturale e scrivi, in ciascun caso, l’equazione che traduce le seguenti frasi.
10 Aggiungendo al doppio di un numero il suo precedente si ottiene 35.
11 La differenza fra il triplo di un numero e il suo successivo è 11.
12 Moltiplicando un numero per 4 si ottiene il quadrato della sua metà .
13 Dividendo un numero per 6 si ottiene la quarta parte del precedente del numero stesso.
14 Aggiungendo al triplo di un numero il quadrato del successivo del numero stesso si ottiene il quadruplo del numero.
15 ESERCIZIO GUIDATO
Stabilisci se 1 è una soluzione dell’equazione:
x 2 + 2x 3 = 4x 4
Sostituisci 1 al posto di x nei due membri dell’equazione.
Al primo membro ottieni:
1 2 + 2 1 3 = 0
Al secondo membro ottieni:
4 1 4 = 0
I due membri risultano uguali, perciò possiamo concludere che 1 è una soluzione dell’equazione.
16 Associazione. Associa con una freccia a ogni equazione posta nella prima colonna la sua soluzione posta nella seconda.
a. 3x 12 = 3
b. 1 2 x
x = 1
Per ogni equazione stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione.
26 Test. Se un’equazione nell’incognita x ha infinite soluzioni allora:
A è impossibile C è certamente un’identità , soddisfatta per ogni x ∈ R
B è indeterminata D nessuna delle precedenti risposte è corretta
Semplifichiamo le due espressioni al primo e al secondo membro.
momento che i due membri sono uguali, l’equazione è un’identità . Stabilisci se le seguenti equazioni sono identità .
43 Scrivi un’equazione impossibile in N ma non in Z .
44 Scrivi un’equazione indeterminata in R .
45 Scrivi un’equazione impossibile in Z , ma non in Q
46 Scrivi un’identità in R
47 Scrivi un’equazione impossibile in Q, ma non in R
50 Vero o falso?
a. l’equazione x 2 + 5 = 0 è impossibile in R
48 Completa le seguenti equazioni in modo che risultino identità .
a. (x + 1) 3 (x 1) 3 = 2( 3x 2 + 1 )
b. (x 1) (x 3) (x 1) 2 = 2( 1 x )
49 Completa l’equazione x 2 + 2x = 3x + in modo che:
a. risulti frazionaria;
b. risulti letterale intera, dove x è l’incognita e a è il parametro;
c. abbia come soluzione x = 1;
d. abbia come soluzione x = 2;
e. sia un’identità . [a. 1 x ; b. a ; c. 2; d. 2; e. x 2 x]
b. se l’insieme delle soluzioni di un’equazione è R , l’equazione è un’identitÃ
c. l’equazione (x + 1) 2 (x 1) 2 = 4 x è un’identitÃ
d. se un’equazione è impossibile in N, allora è impossibile anche in Z
e. se un’equazione è impossibile in Z , allora è impossibile anche in N
f. se un’equazione ha infinite soluzioni, allora è un’identitÃ
g. se un’equazione è un’identità , allora ha infinite soluzioni
vere e 2 false]
51 Vero o falso?
a. se due equazioni hanno una soluzione in comune, allora sono equivalenti
b. se due equazioni sono impossibili, allora sono equivalenti
c. se due equazioni sono indeterminate, allora sono equivalenti
d. se due equazioni nell’incognita x sono identità valide per ogni x ∈ R , allora sono equivalenti
e. l’equazione A(x) = B(x) è equivalente all’equazione A(x) + 2 = B(x) + 2
f. le due equazioni A(x) = B(x) e A(x) 2 = B(x) 2 sono equivalenti in base al primo principio di equivalenza V F [3 affermazioni vere e 3 false]
52 Argomentare I seguenti due enunciati dei principi di equivalenza non sono corretti. Spiega perché.
a. Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, si ottiene un’equazione equivalente.
b. Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero, si ottiene un’equazione equivalente. [Soluzione p. DOC 15]
53 Caccia all’errore. Esamina ciascuno dei seguenti passaggi e stabilisci se è corretto: in caso affermativo, specifica quale principio di equivalenza lo giustifica; in caso contrario, correggilo.
a. 3x 4 x 1 = 5x 2 ⇒ 3x + 4 x + 1 = 5x 2
b. 7x + 4 = 6x 2 ⇒ 7x 6x = 4 2
c. 3 2 x = 4 ⇒ 3x = 8 3x = 8
d. 5x = 0 ⇒ x = +5 x = 0
e. x 2 x 2 3 = 1 ⇒ 3x 2x 4 = 6
f. 11x = 1 + 5 ⇒ 11x = 4
g. 3(x + 1) = 9x 12 ⇒ x + 1 = 3x + 4
h. 2x (4 x) = 2 > 2x 4 4 x = 2
54 Completa le seguenti proposizioni (il primo caso è svolto come esempio).
a. x 2 + 1 = 2x è equivalente a x 2 2x + 1 = 0 in base al 1° principio; infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima sottraendo ai due membri 2x :
x 2 + 1 = 2x equivale a x 2 + 1 2x = 2x 2x ossia a x 2 2x + 1 = 0
b. x 2 + x = 1 è equivalente a x 2 x = 1 in base al 2° principio : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima moltiplicando entrambi i membri per 1
c. 1 2 + x 3 = 1 6 è equivalente a 3 + 2x = 1 in base al 2° principio : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima moltiplicando entrambi i membri per 6
d. 15x + 9x 2 = 1 + 15x + x 3 è equivalente a 9x 2 = 1 + x 3 in base al 1° principio : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima sottraendo ai due membri 15x
e. 15x + 100 = 20x 2 + 5x 3 è equivalente a 3x + 20 = 4x 2 + x 3 in base al 2° principio : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima dividendo entrambi i membri per 5
55 ESERCIZIO SVOLTO
Scriviamo un’equazione equivalente a 1 4 x + 3 = 1 6 + 5 12 x che abbia tutti i coefficienti interi.
Moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione (2o principio):
m.c.m.(4, 6, 12) = 12
Otteniamo l’equazione: 12( 1 4 x + 3) = 12( 1 6 + 5 12 x)
Svolgendo i calcoli otteniamo l’equazione equivalente:
3x + 36 = 2 + 5x
equazione scritta è la forma normale dell’equazione; dal momento che al primo membro c’è un polinomio di secondo grado, il grado dell’equazione è 2.
Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e individuane il grado.
85 Completa l’equazione (x + 1) 2 = x 2 + 3x + 5 con il minimo numero possibile di termini in modo che risulti di primo grado.
86 Completa l’equazione (3x 3) 3 = 27x 3 + (2x 1) 2 con il minimo numero possibile di termini in modo che risulti di secondo grado
1 Vero o falso?
a. l’equazione 5x + 4 = 1 non ha soluzioni nell’insieme Z
b. le due equazioni 2x + 3 = 1 e x + 15 = 17 sono equivalenti
c. l’equazione (x + 2) 2 = x 2 + 4 x + 4 è un’identitÃ
d. 1 è una soluzione dell’equazione 1 + 2x = 3
e. l’equazione (x + 2) 2 = x 2 + 3x + 1 ha grado 2
2 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è intera e letterale?
3 Individua l’equazione nell’incognita n che corrisponde al modello algebrico del seguente problema: «La somma di un numero naturale n con il doppio del suo successivo è uguale al quadruplo del precedente di n».
7 x 5 4 x 4 5 = 1 2 (x + 4) x 1 10 23 20
8 Oggi il negozio di abbigliamento di Monica ha incassato 1380 euro. Sapendo che l’incasso di oggi è stato il 15% in più dell’incasso medio del negozio, qual è l’incasso medio? Rispondi impostando e risolvendo un’equazione.
9 Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 4 cm il lato del quadrato mentre l’altezza del rettangolo è i 2 3 del lato del quadrato. Stabilisci il perimetro del quadrato (del rettangolo) e le aree dei due quadrilateri.
1 È data l’equazione (3k 6) x 5k + 2 = 0, in cui x è l’incognita e k è un numero reale. La soluzione dell’equazione è 0 per k = (Prova Invalsi 2012)
2 Individua, fra i seguenti problemi, quello che può essere risolto dall’equazione 1 2 (x 20) = 200.
A La differenza tra un numero x e 10 è uguale a 200. Calcola x
B In un negozio ho acquistato un articolo che costava x euro. Calcola x sapendo che nel portafoglio avevo 200 euro e me ne sono rimasti 20.
C A scuola una mattina sono assenti 20 studenti. Il 50% dei presenti è uguale a 200. calcola il numero totale x di alunni della scuola.
D La differenza tra un numero x e 20 è uguale a 100. Calcola x. (Esempio di prova CBT, livello 10)
3 Anna ha speso presso un’edicola un quinto del denaro con cui è uscita da casa; poi ha speso in cartoleria la metà del denaro rimanente. Dopo i due acquisti le sono rimasti 20 €. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la quantità di denaro x con cui Anna è uscita da casa?
A 1 5 + 1 2 + 20 = x B
Esempio di prova CBT, livello 10)
4 Per l’acquisto di un computer sono stati spesi 300 euro. Il prezzo è composto dal costo base più l’IVA, pari al 20% del costo base. Quanto è stato pagato di IVA?
Risposta: 50 euro (Prova Invalsi 2011)
5 In un test con 28 domande si assegnano 5 punti per ogni risposta esatta, si tolgono 2 punti per ogni risposta errata e si assegna un punto per ogni risposta non data. Marco risponde a tutte le domande e ottiene in totale 0 punti. Quante risposte errate ha dato?
Risposta: 20 (Prova Invalsi 2016)
6 La stampante laser L in un minuto stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quando L e D lavorano contemporaneamente stampano in tutto 24 pagine al minuto. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stampante complessivamente in un minuto?
(Prova Invalsi 2013)
7 A una conferenza sono presenti 90 persone. Le donne sono 14 più degli uomini. Quanti sono gli uomini?
59
31
76 (Prova Invalsi 2017)
8 Ai soci di un supermercato un detersivo è venduto, con lo sconto del 20%, al prezzo di 1,40 euro. Quanto costa quel detersivo ai clienti che non sono soci del supermercato e che pertanto non hanno diritto allo sconto?
A 1,68 euro B 1,75 euro
2,80 euro
1,12 euro (Prova Invalsi 2017)
9 Una casa editrice propone all’autore di un libro di scegliere uno tra due diversi tipi di contratto relativi al suo compenso.
• Contratto forfettario: compenso di 50 000 €, indipendentemente dal numero di copie vendute.
• Contratto a partecipazione: compenso di 5000 € a cui si aggiunge il 10% del prezzo di copertina per ogni copia venduta.
Il prezzo di copertina del libro è di 30 €. Qual è il numero di copie che devono essere vendute perché il compenso ottenuto con il contratto a partecipazione sia uguale a quello ottenuto con il contratto forfettario?
Risposta: 15 000 copie. (Modificato da prova Invalsi 2017)
Laura vuole approfittare delle promozioni in corso nei tre supermercati del suo paese per rifornirsi di confezioni di acqua minerale.
Supermercato A
Compri 3 e paghi 2
Supermercato B
Per ogni articolo acquistato, il secondo lo paghi la metÃ
Supermercato C Sconto del 20% su una serie di articoli scelti
Supponi che la marca di acqua che Laura intende acquistare rientri tra gli articoli scontati nel supermercato C e che il prezzo non scontato, diciamo x, di una confezione di bottiglie di acqua sia lo stesso in tutti e tre i supermercati.
1 Esprimi, in funzione di x, il totale che Laura pagherà per l’acquisto di 2 confezioni di acqua rispettivamente nel supermercato A, nel supermercato B e nel supermercato C. Se Laura intende acquistare 2 confezioni di acqua, in quale supermercato le conviene effettuare l’acquisto?
2 Esprimi, in funzione di x, il totale che Laura pagherà per l’acquisto di 3 confezioni di acqua rispettivamente nel supermercato A, nel supermercato B e nel supermercato C. Se Laura intende acquistare 3 confezioni di acqua, in quale supermercato le conviene effettuare l’acquisto?
Laura ha acquistato 2 confezioni di acqua nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta. Maria ha invece acquistato 3 confezioni di acqua dello stesso tipo, sempre nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta.
3 Completa gli scontrini di Laura e Maria:
Scontrino Laura
Acqua x 2 ..........
Sconto
Totale 5,70
Scontrino Maria
Acqua x 3 ..........
Sconto
Totale
Successivamente Laura e Maria acquistano rispettivamente 2 bottiglie di olio e 3 bottiglie di olio, nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta. Supponi che le bottiglie di olio acquistate siano dello stesso tipo, che il prezzo non scontato di una bottiglia sia lo stesso in tutti e tre i supermercati e che le bottiglie di olio siano in promozione anche nel supermercato C.
4 Laura possiede una carta fedeltà del supermercato dove effettua gli acquisti, che le dà diritto a un ulteriore sconto di 1 euro sul prezzo originario non scontato di una bottiglia di olio, cui si applicheranno successivamente le altre promozioni. Anche Maria possiede una carta fedeltà del supermercato dove effettua gli acquisti, che le dà diritto a un ulteriore sconto di 1 euro sul totale scontato da pagare per l’acquisto delle 3 bottiglie. Maria, per l’acquisto delle 3 bottiglie di olio, ha pagato 2 euro e 50 centesimi in più di quanto Laura ha pagato per l’acquisto di 2 bottiglie. Qual è il costo, non scontato, di una bottiglia di olio?
5 Come cambierebbe la risposta al quesito precedente, se lo sconto al quale dà diritto la carta fedeltà fosse del 20% sul totale scontato, sia per la carta di Laura sia per quella di Maria?
From a container full of oil, Anne pours 2 5 of its total amount and then 42 liters. The container remains full for 4 9 of its capacity. What is the capacity of the container?
Solution
Let C be the capacity of the container: the domain restriction on C is C > 0.
If Anne pours 2 5 of the total amount of oil and then 42 liters, the quantity of oil which is still in the container can be written as C 2 5 C 42.
You know that this quantity of oil amounts to 4 9 of the capacity of the container, so you get:
C 2 5 C 42 = 4 9 C
Let’s solve this linear equation. Subtracting 4 9 C and adding 42 to both members, you can write:
C 2 5 C 4 9 C = 42
Performing algebraic sums on the left side of the equation, you get:
45C 18C 20C 45 = 42 → 7C 45 = 42
Finally multiply each member by 45
7 :
C = 45 45
7 = 6 45 = 270
which is an acceptable solution. The container has a capacity of 270 liters.
Domain restriction condizioni di accettabilitÃ
Linear equation equazione lineare (in una o più incognite)
The left and the right members il membro sinistro e destro (di un’equazione)
Acceptable solution soluzione accettabile
x
have the same solution. What is the value of k?
3 The equation x (x + 2)2 = x 3 + (2x + 1)2 has no solution. You are asked to verify this.
4 I am now four years younger than twice what my age was five years ago. How old am I now? [14]
5 Joe has a total of $ 200 in his two pockets. He takes one fourth of the money in his left pocket and puts it in his right pocket. He then takes $ 20 from his left pocket and puts it in his right pocket. If he now has an equal amount of money in each pocket, how much money did he originally have in his left pocket?
(High school math contest 2006) [$ 160]
La terminologia relativa ai triangoli
Abbiamo visto che un triangolo è un poligono avente tre lati e tre angoli. Prima di procedere è bene precisare il significato di alcuni termini.
Un lato di un triangolo si dice opposto all’angolo il cui vertice non appartiene al lato e adiacente agli altri due angoli.
Un angolo di un triangolo si dice opposto al lato che non contiene il suo vertice e adiacente agli altri due lati.
Un angolo si dice compreso tra due lati di un triangolo se questi ultimi appartengono ai lati dell’angolo.
AB è opposto a γ e adiacente ad α e β
α è opposto a BC e adiacente ad AB e AC γ è compreso tra i lati AC e BC
Nel seguito, un triangolo di vertici A, B, C verrà indicato con il simbolo ABC
Gli angoli (interni) di vertici A, B, C verranno indicati rispettivamente con le lettere greche α , β, γ, mentre i lati a essi opposti verranno indicati con le lettere a, b, c.
Un triangolo si può classificare in base alle caratteristiche dei suoi lati.
Un triangolo si dice:
• equilatero se tutti e tre i suoi lati sono congruenti;
• isoscele se almeno due suoi lati sono congruenti;
• scaleno se i suoi lati sono a due a due non congruenti.
triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno
Una diversa classificazione viene effettuata in base agli angoli. Un triangolo si dice:
• acutangolo se ha tutti gli angoli acuti;
• rettangolo se ha un angolo retto;
• ottusangolo se ha un angolo ottuso.
In un triangolo rettangolo il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa del triangolo, mentre i lati adiacenti all’angolo retto si chiamano cateti.
tre angoli acuti
un angolo retto
catet o
tr iangolo acut angolo
tr iangolo rettangolo catet o
un angolo ottuso
tr iangolo ottusangolo
Con GeoGebra Classificazione dei triangoli equilateri isosceli scaleni
triangoli
acutangoli
triangoli
rettangoli ottusangoli
ATTENZIONE!
Dato un triangolo, si possono tracciare alcuni segmenti di particolare importanza, ai quali si danno dei nomi particolari. Precisamente:
• si chiama bisettrice di un angolo interno di un triangolo il segmento costituito dai punti della bisettrice di quell’angolo che appartengono al triangolo;
• si chiama mediana il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto;
A
• si chiama altezza relativa a un lato il segmento avente un estremo nel vertice opposto a quel lato e l’altro estremo sul lato stesso (o sul suo prolungamento), che forma con quest’ultimo due angoli retti.
bisettr ice di A
B
Il termine «ordinatamente» significa che a ogni elemento del primo triangolo corrisponde un elemento a esso congruente nel secondo e le coppie di elementi congruenti sono disposte in modo che angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa.
Con GeoGebra
Primo criterio di congruenza per i triangoli
Con GeoGebra
Secondo criterio di congruenza per i triangoli
Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati e i tre angoli. Gli angoli opposti a lati congruenti e i lati opposti ad angoli congruenti di due triangoli congruenti si dicono corrispondenti (oppure omologhi).
Per verificare se due triangoli sono congruenti basta verificare che abbiano ordinatamente congruenti solo tre dei sei elementi fondamentali, dei quali almeno uno deve essere un lato. Questo risultato è frutto dei criteri di congruenza dei triangoli.
ASSIOMA 1 Primo criterio di congruenza per i triangoli
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso sono congruenti.
TEOREMA 1 Secondo criterio di congruenza per i triangoli
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti sono congruenti.
C B α
Con GeoGebra
Terzo criterio di congruenza per i triangoli B
Esercizi p. 480
TEOREMA 2 Terzo criterio di congruenza per i triangoli
A'
A C' B' α' '
Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti sono congruenti.
A'
A B' C'
C
I criteri di congruenza sono strumenti che consentono di effettuare molte dimostrazioni. Per eseguire una dimostrazione è utile tenere presente il seguente schema logico, che ne riassume le fasi fondamentali.
Schema logico per dimostrare un teorema di geometria
1° passo Leggere attentamente l’enunciato del teorema da dimostrare.
2° passo Individuare l’ipotesi e la tesi; ossia ciò che viene supposto inizialmente e la conclusione cui si vuole giungere.
3° passo Costruire un disegno che corrisponda al teorema geometrico proposto, evitando di rappresentare casi particolari.
4° passo Individure la «strategia» della dimostrazione: questa fase di solito si fa mentalmente ma nel prossimo esempio la espliciteremo.
5° passo Mettere ordine nei vari passaggi logici e passare alla stesura della dimostrazione, formulando una sequenza di passaggi, con relative giustificazioni, che partendo dalle ipotesi conducano alla tesi.
ESEMPIO Dimostrazione mediante i criteri di congruenza
In un triangolo ABC, sia AK la bisettrice uscente da A . Consideriamo, sui due lati AB e AC, rispettivamente, due punti P e Q tali che P ˆ K A ≅ Q ˆ K A e dimostriamo che AP ≅ AQ
1° passo L’enunciato Leggiamo attentamente l’enunciato del teorema che vogliamo dimostrare.
2° passo Il disegno Facciamo un disegno che rappresenti il teorema, contrassegnando con uno stesso simbolo gli elementi che, per ipotesi, sappiamo essere congruenti (Fig. 3). In questa fase bisogna fare attenzione a evitare figure che rappresentino casi particolari. Per esempio, se nell’enunciato del problema si parla di «triangolo», senza ipotesi aggiuntive, non dovremo disegnare un triangolo isoscele o equilatero.
3° passo Individuare ipotesi e tesi
Individuiamo con chiarezza le ipotesi e la tesi del teorema.
IPOTESI B ˆ A K ≅ C ˆ A K, P ∈ AB, Q ∈ AC, P ˆ K A ≅ Q ˆ K A
TESI AP ≅ AQ
4° passo Individuare una «strategia» per effettuare la dimostrazione Dobbiamo dimostrare che AP ≅ AQ. Ma AP e AQ sono lati dei triangoli APK e AQK, che, dalla figura, sembrano congruenti. Se riusciamo a dimostrare che APK ≅ AQK, potremo dedurre che AP ≅ AQ
5° passo La dimostrazione
In questa fase prestiamo attenzione a giustificare ogni passaggio in base alle ipotesi, agli assiomi o ai teoremi precedentemente dimostrati.
Consideriamo i triangoli APK e AQK; essi hanno:
• AK in comune
• P ˆ A K ≅ Q ˆ A K perché AK è la bisettrice dell’angolo ˆ A
• P ˆ K A ≅ Q ˆ K A per ipotesi
Dunque, i triangoli APK e AQK sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. In particolare: AP ≅ AQ in quanto elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
RIFLETTI
Avere dimostrato che i due triangoli APK e AQK sono congruenti, oltre a permetterci di dedurre che AP ≅ AQ (la tesi) ci dice anche che PK ≅ QK e che A ˆ P K ≅ A ˆ Q K: quindi un teorema analogo a quello dell’esempio, ma con tesi diversa, PK ≅ QK o A ˆ P K ≅ A ˆ Q K, avrebbe avuto la stessa dimostrazione. È questa una caratteristica delle dimostrazioni che utilizzano i criteri di congruenza: in genere si dimostra «più di ciò che è richiesto».
Esercizi p. 483
C angolo al vertice
A base B
Ricordiamo che, in un triangolo isoscele:
• i lati congruenti si dicono lati obliqui e il punto che hanno in comune si dice vertice del triangolo;
• l’angolo individuato dai lati congruenti si dice angolo al vertice;
angoli alla base
Con GeoGebra
Teorema del triangolo isoscele
• il lato opposto al vertice si chiama base e gli angoli a questo adiacenti si dicono angoli alla base.
TEOREMA 3 Congruenza degli angoli alla base di un triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti (gli angoli alla base).
IPOTESI AC ≅ BC (Fig. 4)
TESI C ˆ A B ≅ C ˆ B A
DIMOSTRAZIONE
COSTRUZIONE PRELIMINARE
Tracciamo la bisettrice CH dell’angolo A ˆ C B del triangolo (Fig. 5).
A B
C Figura 4
C Figura 5
Il triangolo AHC e il triangolo BHC hanno: AC ≅ BC per ipotesi, CH in comune, A ˆ C H ≅ B ˆ C H per costruzione (CH è la bisettrice di A ˆ C B). Dunque AHC e BHC sono congruenti per il primo criterio. In particolare: C ˆ A H ≅ C ˆ B H perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Dalla congruenza dei triangoli AHC e BHC dimostrata nel teorema precedente (Fig. 5), possiamo dedurre anche che:
• AH ≅ HB, quindi CH è anche mediana relativa alla base;
• A ˆ H C ≅ B ˆ H C, quindi A ˆ H C e B ˆ H C, supplementari perché A, H e B sono allineati, sono retti.
A H B
Con GeoGebra
Costruzione della bisettrice di un angolo
MODI DI DIRE
Si chiama corollario un teorema che si deduce immediatamente da un teorema precedente.
Pertanto CH è anche altezza relativa alla base. Vale perciò il teorema seguente.
TEOREMA 4 Proprietà del triangolo isoscele
In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa alla base.
La bisettrice dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele è unica (ciò segue dall’unicità della semiretta bisettrice di un angolo). Inoltre si potrebbe dimostrare che sono uniche anche la mediana e l’altezza relative alla base. Il Teorema 4 ci dice dunque che in un triangolo isoscele questi tre segmenti notevoli coincidono.
COROLLARIO 1
In un triangolo isoscele:
a. la mediana relativa alla base è anche altezza relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice;
b. l’altezza relativa alla base è anche mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice.
Sussiste anche il teorema inverso del Teorema 3
Con GeoGebra
Inverso del teorema del triangolo isoscele
Esercizi p. 489
TEOREMA 5 Inverso del Teorema 3
Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.
I due Teoremi 3 e 5 possono fondersi dicendo che: «un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti».
In questo paragrafo studieremo ancora alcune proprietà dei triangoli ma, invece di considerare problemi di congruenza, enunceremo alcune proprietà che esprimono disuguaglianze fra gli elementi del triangolo.
Il primo teorema che enunciamo è un teorema fondamentale, non tanto per il risultato che esprime (che sarà migliorato nell’ Unità 15), quanto per il fatto che è uno strumento essenziale per dimostrare molti importanti teoremi.
TEOREMA 6 Primo teorema dell’angolo esterno
In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti a esso.
IPOTESI ABC è un triangolo
A  CD è un angolo esterno del triangolo ABC (Fig. 6)
TESI A  CD > B  AC e A  CD > A  BC
Dimostriamo che A  CD > B  AC. In modo del tutto analogo si può dimostrare che
A  CD > A  BC.
DIMOSTRAZIONE
COSTRUZIONE PRELIMINARE
Detto M il punto medio del lato AC, prolunghiamo BM, dalla parte di M, di un segmento
ME ≅ BM e congiungiamo E con C (Fig. 7).
Poiché E è interno all’angolo A  CD, anche la semiretta CE è interna all’angolo
A  CD, quindi, per come abbiamo definito il confronto tra due angoli (Unità 13), possiamo affermare che:
A  CD > A  CE
Per dimostrare la tesi basta allora dimostrare che B  AC ≅ A  CE.
Consideriamo i due triangoli AMB e CME (Fig. 8); essi hanno:
• AM ≅ MC per costruzione
• BM ≅ ME per costruzione
• A  MB ≅ C  ME perché opposti al vertice
Dunque AMB e CME sono congruenti per il primo criterio di congruenza; in particolare B  AM ≅ M  CE e quindi:
B  AC ≅ A  CE
Per quanto osservato all’inizio, ciò conclude la dimostrazione.
Ecco alcuni corollari del teorema dell’angolo esterno.
Con GeoGebra
Primo teorema dell’angolo esterno
RIFLETTI
La classificazione dei triangoli in base agli angoli in Fig. 2 è una conseguenza del Corollario 2.
COROLLARIO 2 Corollari del primo teorema dell’angolo esterno
1. La somma di due qualsiasi angoli interni di un triangolo è sempre minore di un angolo piatto.
2. Un triangolo non può avere più di un angolo retto o di un angolo ottuso, né un angolo retto e uno ottuso.
3. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
Giustifichiamo il punto 1 del corollario. Facciamo riferimento alla figura. Per il primo teorema dell’angolo esterno, sappiamo che α < δ.
Se sommiamo γ a entrambi i membri di questa disuguaglianza, la disuguaglianza si conserva nello stesso verso, quindi α + γ < δ + γ. Inoltre δ + γ ≅ π , quindi α + γ < π Lasciamo a te giustificare, come esercizio, i punti 2 e 3 del Corollario 2
Le disuguaglianze tra i lati e gli angoli di un triangolo
TEOREMA 7 Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Se in un triangolo due lati non sono congruenti, allora anche gli angoli opposti non sono congruenti e al lato maggiore sta opposto l’angolo maggiore. Viceversa, se in un triangolo due angoli non sono congruenti, allora anche i lati a essi opposti non sono congruenti, e all’angolo maggiore sta opposto il lato maggiore
COROLLARIO 3 Corollari del Teorema 7
1. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti.
2. In un triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati.
La disuguaglianza triangolare È piuttosto intuitivo che il percorso più breve che congiunge due punti B e C è il segmento BC. Questa proprietà si può rileggere nel seguente modo: dato un triangolo ABC, risulta BC < AB + AC (Fig. 9). Abbiamo così scoperto una delle cosiddette disuguaglianze triangolari, espresse nel prossimo teorema.
TEOREMA 8 Disuguaglianza triangolare
Con GeoGebra
Disuguaglianza triangolare
Con GeoGebra
Costruzione di un triangolo di lati assegnati
Approfondimento
Esercizi p. 491
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (calcolando la differenza fra il lato maggiore e il lato minore).
ESEMPIO
Nel triangolo ABC:
• AB AC < BC < AB + AC
• BC AB < AC < BC + AB
• BC AC < AB < BC + AC
Una diretta conseguenza del Teorema 8 è che, dati tre numeri reali positivi a, b, c, affinché possa esistere un triangolo i cui lati hanno quelle misure, i tre numeri devono soddisfare le disuguaglianze:
a < b + c b < a + c c < a + b
Queste condizioni, oltre che necessarie, sono anche sufficienti per garantire l’esistenza di un triangolo i cui lati misurano a, b e c.
Abbiamo già visto che un teorema è una proposizione vera, da dimostrare Quando si legge l’enunciato e la dimostrazione di un teorema, è importante:
• riconoscere ed esplicitare chiaramente le ipotesi e la tesi del teorema;
• comprendere in quali passaggi dimostrativi viene richiamata ciascuna delle ipotesi del teorema, e in che senso nessuna di esse è superflua;
• riflettere su quali eventuali teoremi precedentemente dimostrati vengono utilizzati;
• cercare di comprendere qual è l’idea alla base del ragionamento che guida i vari passaggi.
Analizziamo il primo teorema dell’angolo esterno.
In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti a esso.
Per mettere in evidenza qual è l’ipotesi e qual è la tesi, può essere utile riscrivere l’enunciato del teorema sotto forma di implicazione: «se …, allora …». Riscrivendo l’enunciato in questa forma, le ipotesi sono descritte nella parte che precede «allora», mentre la tesi è espressa nella parte che segue «allora»:
In un triangolo, se un angolo è esterno, allora è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti a esso
tesi ipotesi
Analizziamo la dimostrazione del teorema.
IPOTESI ABC è un triangolo
A  CD è un angolo esterno del triangolo ABC
TESI A  CD > B  AC
A  CD > A  BC
DIMOSTRAZIONE
COSTRUZIONE PRELIMINARE
Detto M il punto medio del lato AC, prolunghiamo BM, dalla parte di M, di un segmento ME ≅ BM e congiungiamo E con C.
Ipotesi e tesi sono sempre esplicitate: è importante che le distingui con chiarezza
La figura aiuta a visualizzare la situazione
In alcune dimostrazioni è presente una costruzione preliminare: essa è sempre chiaramente esplicitata e, per distinguerla dal resto della dimostrazione, in questo libro è conclusa da una barra in colore verde
Poiché E è interno all’angolo A ˆ C D, anche la semiretta CE è interna all’angolo A ˆ C D, quindi, per come abbiamo definito il confronto tra due angoli, possiamo affermare che:
A ˆ C D > A ˆ C E
Per dimostrare la tesi basta allora dimostrare che B ˆ A C ≅ A ˆ C E.
Consideriamo i due triangoli AMB e CME
Essi hanno:
• AM ≅ MC per costruzione
• BM ≅ ME per costruzione
• A ˆ M B ≅ C ˆ M E perché opposti al vertice
Dunque AMB e CME sono congruenti per il primo criterio di congruenza; in particolare B ˆ A M ≅ M ˆ C E, quindi: B ˆ A C ≅ A ˆ C E.
In modo del tutto analogo si dimostra che A ˆ C D > A ˆ B C.
In questo passaggio viene utilizzata l’ipotesi, cioè che l’angolo A ˆ CD è esterno: infatti senza questa ipotesi non sarebbe possibile affermare che la semiretta CE è interna all’angolo
In questi due passaggi vengono utilizzati due risultati che sono stati esposti in precedenza: la congruenza di angoli opposti al vertice e il primo criterio di congruenza dei triangoli
1. Dopo avere letto e compreso i vari passaggi di una dimostrazione, chiudi il libro e riscrivi la dimostrazione in modo completo su un foglio. Se non ricordi qualche passaggio, ricostruiscilo autonomamente con il ragionamento: sarà più facile se hai ben chiara qual è l’idea alla base della dimostrazione.
2. Cerca di organizzare la tua dimostrazione, specialmente se lunga, strutturandola in più punti: ne sarà facilitata la comprensione da parte del tuo insegnante o dei tuoi compagni.
Il lato AB è opposto all’angolo γ, adiacente ad α e β.
L’angolo α è opposto al lato BC, adiacente ad AB e AC L’angolo γ è compreso tra i lati AC e BC
Classificazione rispetto ai lati
triangolo equilatero triangolo isoscele triangolo scaleno
Classificazione rispetto agli angoli
tre angoli acuti un angolo retto tr iangolo acut angolo
angolo
un angolo ottuso
iangolo ottusangolo
Segmenti notevoli di un triangolo
Triangoli congruenti
Triangoli che hanno ordinatamente congruenti i tre lati e i tre angoli.
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso sono congruenti.
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti sono congruenti.
Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti sono congruenti.
Disuguaglianze che sussistono tra gli angoli di un triangolo, o tra i lati e gli angoli, o tra i lati.
Tra gli angoli: il primo teorema dell’angolo esterno
In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti a esso.
angoli
In un triangolo, a lato maggiore è opposto angolo maggiore.
Viceversa, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore.
Tra i lati: la disuguaglianza triangolare
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
1. Un triangolo può avere al massimo un angolo retto e al massimo un angolo ottuso.
2. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
C angolo al vertice lato obliquo lato obliquo angolo alla base angolo alla base
A base B
1. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti.
2. In un triangolo ottusangolo, il lato maggiore è quello opposto all’angolo ottuso.
1. Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.
2. In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa alla base.
Corollario
In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice, la mediana relativa alla base e l’altezza relativa alla base coincidono.
In VeriMat PLUS altri esercizi per le tue attività in classe
1 Vero o falso?
a. se un triangolo non è isoscele è scaleno
b. se un triangolo non è equilatero non è nemmeno isoscele
c. se un triangolo non è isoscele, allora certamente non è equilatero
d. l’insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei triangoli isosceli
e. se un triangolo è equilatero, non è isoscele
2 Completa la seguente tabella.
Misura in centimetri dei lati di un triangolo
F [3 affermazioni vere e 2 false]
3 Un triangolo equilatero, avente il lato di 25 cm, e un triangolo isoscele hanno lo stesso perimetro. Sapendo che la base del triangolo isoscele è lunga 31 cm, calcola la lunghezza dei due lati obliqui. [22 cm]
4 La somma di un lato obliquo e della base di un triangolo isoscele è lunga 38 dm e la loro differenza è lunga 6 dm. Calcola il perimetro del triangolo. [60 dm]
5 Il perimetro di un triangolo isoscele è di 72 cm e ciascun lato obliquo è doppio della base. Quali sono le lunghezze dei suoi lati? [14,4 cm; 28,8 cm]
6 Il perimetro di un triangolo isoscele è di 50,4 dm e ciascun lato obliquo è triplo della base. Calcola la lunghezza della base e quella del lato obliquo del triangolo. [7,2 dm; 21,6 dm]
7 Determina di quanto deve aumentare la lunghezza del lato di un triangolo equilatero, che è di 29 cm, affinché il perimetro sia di 111 cm. [8 cm]
8 Determina di quanto deve diminuire la lunghezza del lato di un triangolo equilatero, che è di 43 cm, affinché il perimetro sia di 96 cm. [11 cm]
9 I lati di un triangolo ABC sono rispettivamente AB = 19 cm, BC = 23 cm, CA = 25 cm. Calcola la lunghezza di ciascuno dei segmenti che devi sottrarre ai lati del triangolo per ottenere un triangolo equilatero avente il perimetro di 48 cm. [Devi sottrarre da AB un segmento di 3 cm, uno di 7 cm da BC e uno di 9 cm da CA]
10 Due lati di un triangolo sono rispettivamente 16 cm e 19 cm. Quale deve essere il perimetro del triangolo affinché quest’ultimo risulti isoscele? [Si hanno due soluzioni: 51 cm; 54 cm]
I segmenti notevoli di un triangolo
11 Disegna le altezze dei seguenti triangoli.
12 Disegna le altezze dei seguenti triangoli.
13 Disegna le mediane dei seguenti triangoli.
14 Disegna la bisettrice relativa all’angolo ˆ A dei seguenti triangoli.
15 Caccia all’errore. Tommy sostiene che le mediane, le bisettrici e le altezze di un triangolo qualsiasi cadono sempre internamente al triangolo stesso. Sara ribatte affermando che quanto sostenuto da Tommy vale solo per triangoli acutangoli. Chi ha ragione e chi è in errore? Fornisci controesempi a supporto della tua conclusione.
A
17 Completa la seguente tabella. Per ciascuna coppia di triangoli supponi di sapere unicamente che sono congruenti gli elementi indicati con lo stesso simbolo grafico. A A'
B
B' C C'
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al ......................... criterio No
A'
B B' C C'
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al primo criterio No
18 Vero o falso?
B B' C C'
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al secondo criterio No
A'
B B' C C'
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al ......................... criterio No
a. se due triangoli non sono congruenti, hanno almeno un angolo non congruente V F
b. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti tre angoli, allora sono congruenti V F
c. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati, ma non sono congruenti, gli angoli compresi tra i due lati non sono congruenti V F
d. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli adiacenti, allora anche gli angoli opposti ai lati congruenti sono congruenti V F
e. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e un angolo adiacente, allora anche gli angoli opposti ai lati congruenti sono congruenti V F [2 affermazioni vere e 3 false]
Dati i triangoli ABC e A′B′C′, considera le informazioni seguenti. Stabilisci se i triangoli sono congruenti e, in caso affermativo, indica per quale criterio.
23 Due triangoli isosceli hanno congruenti il perimetro e la base. I due triangoli sono congruenti? In caso affermativo indica per quale criterio. [Sono
per il 2° criterio]
24 Due triangoli equilateri hanno rispettivamente il lato di 4,56 dm e il perimetro di 13,68 dm. I due triangoli sono congruenti? In caso affermativo indica per quale criterio.
per il 3° criterio]
Dati i seguenti teoremi, disegna una figura che rappresenti l’enunciato e formula, in notazione simbolica, l’ipotesi e la tesi. Non tentare di effettuare la dimostrazione.
25 Il triangolo che ha come vertici i punti medi dei lati di un triangolo equilatero è equilatero.
26 In un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati obliqui sono congruenti.
27 In un triangolo in cui i tre angoli sono congruenti, anche i tre lati sono congruenti.
28 Siano P e Q due punti, appartenenti rispettivamente ai lati a e b dell’angolo a ˆ O b, tali che OP ≅ OQ. Se R è un punto appartenente alla bisettrice di a ˆ O b, allora RP ≅ RQ
29 Se in un triangolo ABC la bisettrice dell’angolo ˆ B è anche mediana, il triangolo è isoscele.
Nei seguenti esercizi sono riportati la figura che rappresenta un teorema, nonché l’ipotesi e la tesi del teorema. Scrivi l’enunciato del teorema corrispondente. [Soluzioni p. DOC 19]
30 A
31 A
32 A
M N
BC
E D
IPOTESI
AB ≅ AC, BD ≅ CE
A, B, D allineati A, C, E allineati
TESI
CD ≅ BE
B C E D
IPOTESI
AB ≅ AC, BD ≅ CE
B, C, E, D allineati
TESI
AD ≅ AE
C B
IPOTESI
M ∈ AB, N ∈ AC
AM ≅ MB, AN ≅ NC
TESI
MN ≅ 1 2 BC
Fai riferimento alla figura e supponi, per ipotesi, che gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo siano congruenti. Completa giustificando i passaggi.
33 Supponi che AC ∩ BD = {O}. Considera i triangoli AOD e BOC; essi hanno:
• AO ≅ CO per ipotesi
• DO ≅ BO per ipotesi
• A ˆ OD ≅ B ˆ OC perché angoli opposti al vertice
Quindi AOD ≅ BOC per il primo criterio di congruenza.
34 Considera i triangoli ABC e ACD; essi hanno:
• AC in comune
• CD ≅ CB per ipotesi
• A ˆ C D ≅ A ˆ C B per ipotesi
Quindi ACB ≅ ACD per il primo criterio di congruenza.
35 Associazione. Fai riferimento alla figura e supponi, per ipotesi, che gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo grafico siano congruenti. A ogni congruenza nella prima colonna associa con una freccia la sua giustificazione, scelta fra quelle proposte nella seconda colonna. (Attenzione: fra le giustificazioni proposte ce ne sono alcune «intruse», cioè che non vanno utilizzate.)
a. AB ≅ CD A. Per ipotesi
b. B ˆ A D ≅ D ˆ C B B. Per il primo criterio di congruenza
c. A ˆ B D ≅ C ˆ D B C. Per il secondo criterio di congruenza
d. ABD ≅ CBD D. Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
e. A ˆ D B ≅ C ˆ B D E. Perché somme di angoli congruenti
f. A ˆ B C ≅ A ˆ D C F. Perché differenze di angoli congruenti
36 Test. Fai riferimento alla figura e supponi, per ipotesi, che gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo grafico siano congruenti e che i punti A, P, Q e B siano allineati.
a. I triangoli PDQ e PCQ sono:
A congruenti per il primo criterio B congruenti per il secondo criterio
C non congruenti
b. Gli angoli A ˆ P D e B ˆ Q C sono congruenti perché:
A opposti al vertice B supplementari di angoli congruenti C somme di angoli congruenti
c. I triangoli APD e BQC sono congruenti:
A per il primo criterio B per il secondo criterio C perché rettangoli
d. Gli angoli A ˆ D Q e P ˆ C B sono congruenti perché:
A opposti al vertice B supplementari di angoli congruenti C somme di angoli congruenti
37 ESERCIZIO SVOLTO
Dato un segmento AB e indicato con M il suo punto medio, tracciamo un segmento CD, il cui punto medio
ancora M. Dimostriamo che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.
1. Tracciamo un segmento AB
IPOTESI AM ≅ MB CM ≅ MD
2. Indichiamo con M il punto medio di AB
TESI AMC ≅ BMD
3. Tracciamo un segmento CD che abbia come punto medio M
DIMOSTRAZIONE
4. Congiungiamo C con A e D con B
Consideriamo i triangoli AMC e BMD; essi hanno:
• AM ≅ MB per ipotesi
• CM ≅ MD per ipotesi
5. Contrassegniamo gli elementi congruenti per costruzione
• A ˆ M C ≅ B ˆ M D perché angoli opposti al vertice Pertanto essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza
38 ESERCIZIO GUIDATO
In un triangolo ABC, sia CK la bisettrice dell’angolo A ˆ C B. Considera, sui lati AC e BC, rispettivamente, due punti P e Q tali che CP ≅ CQ. Dimostra che PK ≅ QK.
COSTRUISCI LA FIGURA, SEGUENDO LE INDICAZIONI
1. Disegna un triangolo ABC.
TESI
2. Traccia la bisettrice CK.
DIMOSTRAZIONE
4. Congiungi K con P e con Q.
Considera i triangoli CPK e CQK; essi hanno:
• CP ≅ CQ per ipotesi
• P ˆ C K ≅ perché CK è la bisettrice
• CK in comune
Pertanto essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare PK ≅ QK in quanto elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
39 Dato un triangolo ABC, traccia la mediana AM e prolungala, dalla parte di M, di un segmento MD ≅ AM Dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.
(Suggerimento: considera i triangoli AMC e BMD.)
40 Video Dimostra che le mediane relative a lati corrispondenti di due triangoli congruenti sono congruenti.
41 Disegna i triangoli ABC e A ′B ′C ′ tali che AB ≅ A ′B ′ , BC ≅ B ′C ′ e uno degli angoli esterni di vertice B sia congruente a uno degli angoli esterni di vertice B ′ . Dimostra che i triangoli ABC e A ′B ′C ′ sono congruenti. (Suggerimento: considera i triangoli ABC e A ′B ′C ′.)
42 Ragiona sul video Prolunga l’altezza AH del triangolo ABC di un segmento HK ≅ AH. Dimostra che il triangolo ABH è congruente al triangolo BKH e che il triangolo ABK è isoscele.
43 Dimostra che se in un triangolo ABC l’altezza AH relativa a BC è anche mediana dell’angolo ˆ A , allora il triangolo è isoscele.
44 Due triangoli ABC e A ′B ′C ′ sono tali che AC ≅ A ′C ′ , AB ≅ A ′B ′ e ˆ A ≅ ˆ A ′ . Dimostra che i due triangoli sono congruenti e che sono congruenti le mediane relative ai lati BC e B ′C ′
45 Esplora con GeoGebra Disegna un triangolo ABC, con AC < AB; fai in modo che sia evidente la differenza di lunghezza fra i due lati. Traccia la bisettrice dell’angolo B  AC; su tale bisettrice riporta i segmenti:
• AD congruente ad AC;
• AE congruente ad AB. Che cosa puoi dire dei segmenti CE e BD? Formula una tesi e dimostrala.
46 Con GeoGebra Sia ABC un triangolo in cui AB < BC e sia BD la bisettrice dell’angolo A ˆ B C del triangolo. Sia E il punto di BC tale che BE ≅ AB.
a. Dimostra che i segmenti AD e DE sono congruenti.
b. Considera un punto P sul segmento BD e dimostra che P ˆ E D ≅ P ˆ A D.
47 Sui lati a e b di un angolo a ˆ O b considera, rispettivamente, due punti A e B tali che OA ≅ OB. Dimostra che, comunque si prenda un punto P appartenente alla bisettrice di a ˆ O b, i due triangoli OPA e OPB sono congruenti. Considera poi due punti R ∈ a e S ∈ b tali che R ∉ OA, S ∉ OB e RA ≅ SB; dimostra che RP ≅ SP
48 Sia ABC un triangolo acutangolo. Sia AH l’altezza relativa al lato BC e BK l’altezza relativa al lato AC. Sul prolungamento di AH, dalla parte di H, considera il punto A ′ tale che AH ≅ A ′H. Sul prolungamento di BK, dalla parte di K, considera il punto B ′, tale che BK ≅ B ′K. Dimostra che A ′B ≅ AB ′. (Suggerimento: considera le coppie di triangoli AHB, A ′HB e BKA, B ′KA.)
49 ESERCIZIO SVOLTO
Sui lati a e b di un angolo a ˆ O b, consideriamo rispettivamente due punti A e B tali che OA ≅ OB. Consideriamo poi, sul lato a, un punto C ∉ OA e, sul lato b, un punto D ∉ OB tali che AC ≅ BD. Chiamiamo E il punto d’intersezione dei segmenti BC e AD. Dimostriamo che i triangoli ACE e BDE sono congruenti.
IPOTESI OA ≅ OB, AC ≅ BD
TESI ACE ≅ BDE
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo anzitutto i due triangoli OBC e OAD; essi hanno:
• OB ≅ OA per ipotesi
• OC ≅ OD perché somma di segmenti congruenti
• C ˆ O B ≅ D ˆ O A perché angolo in comune
Pertanto essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare
Consideriamo ora i triangoli ACE e BDE; essi hanno:
• AC ≅ BD per ipotesi
• C ˆ A E ≅ D ˆ B E perché supplementari degli angoli O ˆ A D e O ˆ B C, che sono congruenti per la precedente dimostrazione
• A ˆ C E ≅ E ˆ D B per la precedente dimostrazione
Pertanto essi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza.
QUADERNO DI INCLUSIONE E RECUPERO
Equazione
Uguaglianza contenente almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.
ESEMPIO
2x – 1 = x + 2 è un’equazione nell’incognita x 1° membro 2° membro
Classificazione rispetto alle espressioni algebriche nei due membri
Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare in alcun denominatore; altrimenti si dice frazionaria (o fratta).
ESEMPI
Sono equazioni intere: Sono equazioni frazionarie: x 2 – 3x = 1 x –3 2 x = 1 3 x
Ai denominatori ci sono numeri, mai l’incognita
Equazione in forma normale
Equazione della forma A(x) = 0, dove il polinomio A(x) è in forma normale.
ESEMPI È in forma Non è in forma normale normale
x 2 – 3x + 5 = 0 x 2 – 3x = 5
Soluzione di un’equazione in una incognita
equivale a 1 x
Grado di un’equazione
Il grado del polinomio A(x), una volta che l'equazione è nella forma normale A(x) = 0.
ESEMPIO
x 2 + 2x + 1 = x 2
forma normale
2x + 1 = 0 equazione di 1° grado
Numero che, sostituito nell’equazione al posto dell’incognita, la trasforma in una uguaglianza vera.
ESEMPI –1 è una soluzione dell’equazione + 2 non è una soluzione dell’equazione x 2
1 = 0 perché, sostituendo –1 x 2 – 1 = 0 perché, sostituendo + 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza al posto di x, si ottiene l’uguaglianza vera: (– 1) 2 – 1 = 0, ossia 0 = 0. falsa: (+ 2) 2 – 1 = 0, ossia 3 = 0.
Equazioni equivalenti
Equazioni che hanno le stesse soluzioni.
ESEMPIO
2x = 2 e 3x = 3 sono equivalenti perché hanno entrambe soluzione x = 1.
Classificazione in base alle soluzioni
Un’equazione di primo grado si dice:
• determinata se ammette una sola soluzione;
• impossibile se non ammette alcuna soluzione;
• indeterminata se ammette infinite soluzioni.
ESEMPI
• 2x = 2 è determinata perché ha l’unica soluzione x = 1.
• 0x = 2 è impossibile perché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0, non 2.
• 2x = 2x è indeterminata perché è verificata per ogni valore reale di x.
Si può aggiungere o sottrarre a entrambi i membri di un’equazione uno stesso termine (primo principio di equivalenza).
Si può trasportare un termine che compare come addendo da un membro all’altro di un’equazione cambiandogli il segno.
Se in un’equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, questi si possono «sopprimere».
Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, purché questo sia diverso da zero (secondo principio di equivalenza).
METODO
x 1) 4x 12 = 3(x + 1) 12
12 m.c.m.(2, 3, 4)
6(2x – 1) – 4x = 3(1 + x)
12x – 6 – 4x = 3 + 3x
12x – 4x – 3x = 6 + 3
5x = 9 x = 9 5
1. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, si riconducono i due membri al minimo comune denominatore, poi si moltiplicano per il denominatore comune per ricondursi a una equazione a coefficienti interi.
2. Si svolgono eventuali calcoli.
3. Si portano tutti i termini con la x al primo membro e quelli numerici al secondo.
4. Si risolve l’equazione del tipo ax = b a cui si giunge.
1 Completa la seguente tabella, seguendo l’esempio. Equazione Sostituisci al posto di x il numero ...
Ottieni l’uguaglianza... L’uguaglianza ottenuta è vera o falsa?
Il numero sostituito al posto di x è una soluzione dell’equazione?
2 Completa la tabella, seguendo i passi indicati nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda.
3 Caccia all’errore. Nella prima colonna della seguente tabella sono riportate le risoluzioni di alcune equazioni. Nel risolvere le equazioni sono stati commessi, però, vari errori. Individuali e correggili.
Problemi e modelli
4 Completa la risoluzione dei seguenti problemi.
Passi Problema 1 Problema 2
Testo del problema In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 104 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?
1. Individuare dati e obiettivo Dati:
• 30 veicoli (auto o moto)
• in tutto ci sono ........ ruote
Obiettivo: n° di auto e n° di moto
2. Formalizzare il problema
Sia x il numero di auto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale. Possiamo scrivere l’equazione: 4 x + 2 ( ) = 104 numero di ruote delle auto numero di ruote delle moto
In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 99 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?
Dati:
• 30 veicoli (auto o moto)
• in tutto ci sono ........ ruote
Obiettivo: n° di auto e n° di moto
Sia x il numero di moto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale. Possiamo scrivere l’equazione:
4 (30 x) + = 99
3. Risolvere l’equazione Risolviamo l’equazione: x = ........ Risolviamo l’equazione: x = ........
4. Interpretare la soluzione e concludere
La soluzione trovata (numero di auto) è accettabile in quanto è un numero naturale. Concludiamo che, nel parcheggio, ci sono: auto e 30 = moto
La soluzione trovata (numero di moto) non è accettabile in quanto non è un numero Concludiamo che la situazione descritta nel problema è impossibile.
5 A fianco di ciascun problema è indicata l’equazione che lo formalizza, in cui x indica il numero di risposte non date. Completa l’equazione, risolvila e concludi la risoluzione del problema.
Problema 1. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 2 punti per ogni risposta esatta, 0 punti per ogni risposta non data e toglie un punto per ogni risposta sbagliata. Il punteggio totale ottenuto è stato 16 e le risposte sbagliate sono state uguali a quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
Problema 2. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 28 e le risposte sbagliate sono state tante quante quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
Problema 3. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 20 e le risposte sbagliate sono state il quadruplo di quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
2(20 .....) + 0 x 1 x = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio relativo alle risposte non date
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate
punteggio totale
.....(20 .....) 1 ..... = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date
punteggio totale
.....(20 .....) 1 5x = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date
punteggio totale
1 L’equazione 1 2 + 2x = x 3 + 1 nell’incognita x è:
A numerica intera
B numerica frazionaria
2 L’equazione 1 x = a 2 + x nell’incognita x è:
A numerica intera
B numerica frazionaria
3 L’equazione 5x = 0 è:
A determinata
B indeterminata, ma non un’identitÃ
4 L’equazione 0x = 100 è:
A determinata
B indeterminata, ma non un’identitÃ
C letterale intera
D letterale frazionaria
C letterale intera
D letterale frazionaria
C impossibile
D un’identitÃ
C impossibile
D un’identitÃ
Scrivi le seguenti equazioni in forma normale e stabiliscine il grado.
5 (x 1)2 = (x + 1)2 + x2
6 x(x 1)(x 2) = x 3 3x 2
7 (x + 1)3 = (x 1)3 8 (x 1)(x + 1) = 1 + (x 2)2
Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione. 9 (x 3)2 = 1 x = 2
(2 x 3)2 = 9 x = 3
35 Completa l’equazione x + 2 = 2 x + in modo che abbia come soluzione 0.
36 Completa l’equazione 3x 2 = 5x ….. ….. in modo che risulti indeterminata.
37 Completa l’equazione 3x 2 = 5x + in modo che risulti impossibile.
Invalsi
38 Una sorgente di montagna alimenta continuamente un serbatoio con 5 m3 di acqua ogni settimana. Oggi il serbatoio contiene 100 m3 di acqua e un villaggio inizia a prelevare 7 m3 di acqua alla settimana.
a. Completa la seguente tabella relativa al numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane a partire da oggi.
t (settimane) 0 1 2 3 4
n (m3) 100
b. Scrivi un’espressione che rappresenti il numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane.
c. Dopo quante settimane il serbatoio sarà vuoto?
A 20 settimane C 98 settimane
B 50 settimane D 102 settimane
39 Un palo verticale è piantato in uno stagno. Un quinto del palo è interrato nel fondale, un sesto è immerso in acqua e la parte del palo che esce dall’acqua è lunga 8,9 metri.
a. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la lunghezza totale x del palo?
A 1 5 + 1 6 + 8, 9 = x B 1 5
b. Qual è la lunghezza totale x del palo? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e poi riporta il risultato arrotondato alla seconda cifra decimale: ..................................................................
Risultato: m [b. 14,05 m] (Prova Invalsi 2015)
Problemi e modelli
40 Un paio di pantaloni, dopo uno sconto del 15%, viene venduto al prezzo di 34 euro. Qual era il prezzo originario dei pantaloni? [40 euro]
41 Un appartamento viene acquistato in tre rate: prima si paga il 10%, poi il 50% della cifra rimanente e infine si salda il conto versando 36000 euro. Quanto costa l’appartamento?
[80000 euro]
42 Si vuole formare la somma di 10 euro utilizzando 18 monete, alcune da 1 euro e altre da 50 centesimi. Quante monete da 1 euro e quante da 50 centesimi sono necessarie?
[2 monete da 1 euro e 16 da 50 centesimi]
43 Un padre, che ha 36 anni, ha un figlio di 14 anni. Fra quanti anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio? [Fra 8 anni]
44 Determina due numeri naturali consecutivi in modo che la loro somma, diminuita di 18, uguagli il triplo della differenza fra il maggiore e il doppio del minore. [4 e 5]
45 In un trapezio isoscele la base maggiore supera di 9 cm la metà della base minore, mentre i lati obliqui superano di 1 cm i 2 3 della base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio. [12 cm, 6 cm, 5 cm, 5 cm]
46 Mirko ha notato che il giardino sotto casa è di forma quadrata, e che riducendone i lati di un metro soltanto, la sua area diminuirebbe di 65 metri quadrati. Qual è l’area del giardino, in metri quadrati? [1089 m2]
47 Su una nave da crociera ci sono 700 passeggeri. Quelli che viaggiano in classe lusso sono
1
4 di quelli di prima classe, e i passeggeri di seconda classe sono i 7 3 della somma delle altre due. Sapendo che tutti i passeggeri sono o in prima classe o in seconda classe o in classe lusso, quanti passeggeri ci sono in ogni classe?
[Classe lusso: 42; prima classe: 168; seconda classe: 490]
Triangoli
Il lato AB è opposto all’angolo γ, adiacente ad α e β.
L’angolo α è opposto al lato BC, adiacente ad AB e AC L’angolo γ è compreso tra i lati AC e BC
Classificazione rispetto ai lati
Un triangolo si dice:
• isoscele se ha almeno due lati congruenti;
• equilatero se ha i tre lati congruenti;
• scaleno se non ha lati congruenti. triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno
Classificazione rispetto agli angoli
Un triangolo si dice:
• acutangolo se tutti i suoi angoli sono acuti;
• ottusangolo se ha un angolo ottuso;
• rettangolo se ha un angolo retto. triangolo acutangolo triangolo ottusangolo triangolo rettangolo
Segmenti notevoli
• Altezza relativa a un lato: il segmento che partendo dal vertice opposto incontra il lato stesso o il suo prolungamento formando due angoli retti.
• Bisettrice uscente da un vertice: il segmento costituito dai punti della bisettrice dell’angolo interno appartenenti al triangolo.
• Mediana relativa a un lato: il segmento che congiunge il vertice opposto con il punto medio del lato stesso. altezza relativa a BC mediana relativa a BC
A
Criterio di congruenza A parole
Primo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso
Secondo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli a esso adiacenti
Terzo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
Teorema A parole
Angoli alla base di un triangolo isoscele
In un triangolo isoscele (cioè avente due lati congruenti), gli angoli adiacenti alla base sono congruenti.
Teorema inverso del teorema precedente
Proprietà del triangolo isoscele
Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele e ha come base il lato adiacente agli angoli congruenti.
In un triangolo isoscele, l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice.
Teorema A parole In simboli
Primo teorema dell’angolo esterno
Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni a esso non adiacenti.
Corollari del teorema precedente
La somma di due qualsiasi angoli interni di un triangolo è sempre minore di un angolo piatto.
In ogni triangolo, almeno due degli angoli interni sono acuti.
Relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
In ogni triangolo a lato maggiore è opposto angolo maggiore.
Viceversa, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore.
Corollari del teorema precedente
In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti.
In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati.
Disuguaglianza triangolare
Ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (la differenza, naturalmente, va intesa sottraendo dal lato maggiore il lato minore).