)(١اﺧﺗﺑﺎر Mann – Whitney – Wilcoxon ﯾﺷ ﺗرط ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر tاﻟ ذي ﯾﺧ ص اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ،اﻟ ذي ﺗﻧﺎوﻟﻧ ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎدس ،أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن اﻟﻠذﯾن اﺧﺗرﻧﺎ ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﯾﺗﺑﻌ ﺎن ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً .ﻋﻧ دﻣﺎ ﻻ ﯾﺗوﻓر ھذا اﻟﺷرط ﻓﺈن اﺧﺗﺑﺎر Mann-Whitneyﯾﻛون اﻟﺑدﯾل . ﺗﺗﻛون اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺗﺣﻠﯾل ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n1ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات x1, x 2 ,..., x nﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول اﻟﻣﺗﺻ ل .أﯾﺿ ﺎ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ أﺧ رى ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n 2ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات y1, y 2 ,..., y n 2ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل وﯾﺷ ﺗرط أن ﺗﻛ ون اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن .ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺳوف ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : : H 0اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻟﮭﻣﺎ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ . : H1ﻗﯾم xsﺗﺗﺟﮫ ﻷن ﺗﻛون أﺻﻐر ﻣن ﻗﯾم . ys ﻹﺟ راء اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻧﻘ وم ﺑ دﻣﺞ ﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻣﻌ ﺎ ﻓ ﻲ ﻋﯾﻧ ﺔ واﺣ دة ﺛ م ﻧﻘ وم ﺑﺗرﺗﯾ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ً ﻓﻧﻌط ﻲ اﻟرﺗﺑ ﺔ 1ﻷﺻ ﻐر ﻣﺷ ﺎھدة واﻟرﺗﺑ ﺔ 2ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدة اﻟﺗ ﻲ ﺗﻠﯾﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ وھﻛذا ﺣﺗﻰ اﻟﻣﺷ ﺎھدة اﻷﺧﯾ رة واﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل أﻛﺑ ر ﻗﯾﻣ ﺔ ﺣﯾ ث ﺗﻌط ﻰ اﻟرﺗﺑ ﺔ . n1 n 2إذا ظﮭرت ﻣﺷﺎھدات ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ) ﺗ داﺧﻼت ( ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧرﺗ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻛﻣ ﺎ ﻟ و أﻧﮭ ﺎ ﻟﯾﺳ ت ﻓﯾﮭ ﺎ ﻣﺷ ﺎھدات ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺛ م ﻧﺣﺳ ب اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻟرﺗ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ وﻧﻌﺗﺑر اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ رﺗﺑ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻔﺋ ﺔ .ﻧﺣﺳ ب اﻟﻘﯾﻣﺔ : )n (n 1 w s 1 1 , 2 ﺣﯾ ث sﺗﻣﺛ ل ﻣﺟﻣ وع اﻟرﺗ ب ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول و wﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء W وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن H 0ﺻﺣﯾﺢ .ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻓﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض W w ﺣﯾ ث w ھﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء Wوﺗﺳﺗﺧرج ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻲ اﻟﻣﻠﺣق اﻟﺧ ﺎص ﻋﻧ د n1 , n 2وﻣﺳ ﺗوﯾﺎت ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ .ﻟﻠﻔ رض اﻟﺑ دﯾل : H 0ﻗ ﯾم xsﺗﺗﺟ ﮫ ﻷن ﺗﻛ ون أﻛﺑ ر ﻣ ن ﻗ ﯾم ysﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض W w1ﺣﯾث w1ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : w1 n1n 2 w , ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل : H1اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎن ﯾﺧﺗﻠﻔ ﺎن ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻠﻣوﻗ ﻊ ،ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض W w 2
1
أو W w ﺣﯾث : 2
n1n 2 w . 2
2
1
w
ﻣﺛﺎل ﯾﻌط ﻰ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ أزﻣﻧ ﺔ اﻟﻔﺷ ل ﻟﻧ وﻋﯾن ﻣ ن اﻷﺟﮭ زة اﻹﻟﻛﺗروﻧﯾ ﺔ واﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم : H 0اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ﻟﮭﻣ ﺎ ﻧﻔ س اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل : H1اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ﻟﯾس ﻟﮭﻣﺎ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ ) ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ .( 0.05 7 120 14 62 47 225 71 246 21 x 23 261 87 y 55 320 56 104 220 239 47 246 176 182 33
اﻟﺣــل: ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻣﺟﻣوع اﻟرﺗب ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ وھﻲ . s 124 x 87 12
x 71 11 y 320 23
x 62 10 x 261 22
y Y 55 56 8 9 x Y 246 246 20.5 20.5
x 47 6.5 y 239 19
y 47 6.5 x 225 18
x 23 4 y 182 16
y 33 5 y 220 17
x 21 3 y 176 15
x 14 2 x 120 14
x 7 1 y 104 13
اﻟرﺗب اﻟرﺗب
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن :
)n1 (n1 1 2 )12(12 1 124 2 124 78 46. w s
ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻲ اﻟﺧﺎص ﺑﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓﺈن w 0.025 34ﻋﻧد n 2 11, n1 12وﺑﻣﺎ أن : w n1n 2 w , 2
2
1
ﻓﺈن : w 0.975 (12)(11) 34 98 . ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض W 98أو W 34وﺑﻣ ﺎ أن w 46ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟﻘﺑ ول ﻧﻘﺑ ل . H 0 ﻋﻧدﻣﺎ n 2 ,n1أﻛﺑ ر ﻣ ن 20ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻻ ﻧﺳ ﺗطﯾﻊ اﺳ ﺗﺧدام اﻟﺟ دول ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق وﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾﻣﺔ : nn w 1 2 2 z . (n1n 2 )(n1 n 2 1) /12
واﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ Zوھ و ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ً ﯾﺗﺑ ﻊ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳ ﻲ وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓرض أن H 0ﺻﺣﯾﺢ . ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗداﺧﻼت واﻟﺗﻲ ﻗد ﺗﺣدث داﺧل ﻛل ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ أو ﺑ ﯾن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺟﻣ وﻋﺗﯾن ﻓﻘ د ﺗ م إﺛﺑ ﺎت أن اﻟﺗ داﺧﻼت داﺧ ل اﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻟ ﯾس ﻟﮭ ﺎ ﺗ ﺄﺛﯾر ﻋﻠ ﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ اﻹﺣﺻ ﺎء وﻟﻛ ن وﺟ ود ﺗداﺧﻼت ﺑﯾن اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن ﯾؤﺛر ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ .ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻻ ﺑ د ﻣ ن ﻋﻣ ل ﺗﺻ ﺣﯾﺢ ﻟﻘﯾﻣ ﺔ z ﺑﻔرض أن uﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﺗداﺧﻼت ﻟرﺗب ﻣﻌط ﺎة ﻓ ﺈن ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺻ ﺣﯾﺢ ﻟﻠﺗ داﺧﻼت ﯾﺣﺳ ب ﻣ ن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : )n1n 2 (u 3 u , )12(n1 n 2 )(n1 n 2 1 واﻟﺗﻲ ﺗطرح ﻣن اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ zﺗﺣت اﻟﺟذر .وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ zﯾﺻﺑﺢ :
)(n1n 2 )(n1 n 2 1 )n1n 2 (u 3 u . 12 )12(n1 n 2 )(n1 n 2 1
) (٢اﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻟوﻣﺟروف ﺳﻣﯾر ﻧوف ﻟﻌﯾﻧﺗﯾن The Kolmogorov-Smirnov Two-sample Test ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻟوﻣﺟروف ﺳﻣﯾر ﻧوف ﺣﺳﺎﺳﯾﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻷي اﺧﺗﻼف ﺑﯾن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ، ﻓﮭو ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن ان ﻧﻌرف أن ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺗﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﺎ أم ﻻ ،وﯾرﻣز ﻟﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺑﺎﻟرﻣز K Sوذﻟك ﻟﻼﺧﺗﺻﺎر .ﻻﺟراء ذﻟك ﯾﺷﺗرط اﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻗﯾﻣﮭﺎ x1 ,..., x nو y1 ,..., y mﺣﺟﻣﮭﻣﺎ nو mﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ .. )(١ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن.. )(٢ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺧﺎﺻﺗﯾن ﺑﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﻘﺎﺳﯾن ﺑوﺣدة ﺗرﺗﯾﺑﯾﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل.. )(٣ ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ﻧﻔرض أن ) F(x )1, F2 ( xھﻣﺎ دوال اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣﻧﮭﺎ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ .ﯾﻣﻛن اﺧﺗﺑﺎر ﻓروض ﻣن طرﻓﯾن وﻣن طرف واﺣد ﻛﺎﻷﺗﻲ: اﻟﻔرض ) :(Aاﻟﻌدﻣﻲ ، F(x )1 F2 (x ) : H 0واﻟﺑدﯾل F(x )1 F2 (x ) : H1 اﻟﻔرض ):(Bاﻟﻌدﻣﻲ ، F( x )2 F1 ( x ) : H 0واﻟﺑدﯾل F( x )2 F1 ( x ) : H1 اﻟﻔرض ):(Cاﻟﻌدﻣﻲ ، F( x )2 F1 ( x ) : H 0واﻟﺑدﯾل ) H1 : F( x )2 F1 ( x اﻟﻔرض اﻟﻌدﻣﻲ ﻓﻲ اﻟﻔروض اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺣﺎ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم xواﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺣﺎ ﻟﻘﯾﻣﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾر xﻋﻠﻰ اﻷﻗل. ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻲ ﻟﻛل ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن y , xوﺳﻧرﻣز ﻟﮭﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﺑﺎﻟرﻣز S2 x ,S1 x وﯾﻛون إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻟﻠﻔروض اﻟﻣذﻛورة ﻛﺎﻷﺗﻲ: ) . D max imum S1 ( x ) S2 ( x ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻔرض Aﯾﻛون . D max imum S1 (x ) S2 ( x ) ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻔرض Bﯾﻛون . D max imum S2 ( x ) S1 (x ) وﻛذﻟك ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻔرض Cﻛﺎﻷﺗﻲ وأﺧﯾرا ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺧﺎص ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﺟدوﻟﯾﮫ ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ وﻗﯾم ﻛل ﻣن . m , n وﯾﺳﺗﺧدم اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﻋﻧد ﺗﺳﺎوي m , nوﻋﻧد ﻋدم ﺗﺳﺎوﯾﮭﻣﺎ وﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻣن طرف وﻣن طرﻓﯾن.
ﻣﺛﺎل ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻌﯾﯾﻧﺗﯾن اﻵﺗﯾﯾن: y 236 209 278 276 252 251 206 238 224 257 230 x اﻟﻣطــﻠوب :ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻧرﯾد اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض اﻟﻌدﻣﻲ واﻟﺑدﯾل اﻻﺗﯾﯾن: H 0 : F1 (x) F2 (x) ، H1 : F1 (x) F2 (x).
اﻟﺣــل: ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔروض اﻟﻣذﻛورة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ) S1(x),S2 (xواﻟﻔرق اﻟﻣطﻠق ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ )وﺳﻧرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز Dﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : )S1 (x) S2 (x y )S1 (x )S2 (x x 6/30 1/30 7/30 13/30 8/30 14/30 9/30 4/30 10/30 5/30 0
0 1/6 1/6 1/6 2/6 2/6 3/6 4/6 4/6 5/6 6/6
1/5 1/5 2/5 3/5 3/5 4/5 4/5 4/5 5/5 5/5 5/5
206 209 224 230 236 238 251 252 257 276 278
ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺟد أن ﻗﯾﻣﺔ إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر واﻟذى ﯾﺄﺧذ أﻗﺻﻰ ﻓرق ﻣﻣﻛن وھو: 14 D 0.47 30 ﻧدﺧل اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﺑﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻋﻧد 0.05ﻣن طرﻓﯾن ﻧﺟد m 5 , n = 8وﺑﻣﺎ أن 0.47أﺻﻐر ﻣن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ 2 / 3 0.66ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم .