تحليل التباين الاحادى

‫ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻻﺣﺎدى‬ ‫ﻣﻘدﻣــﺔ‪:‬‬

‫‪Introduction‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬واﻟذي ﯾﺧص اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن وذﻟك ﺗﺣت ﺷروط ﻣﻌﯾﻧﮫ‪ .‬ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن‬ ‫اﻷﺣﯾﺎن ﯾﺣﺗﺎج اﻟﺑﺎﺣث إﻟﻰ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻓﺄﻛﺛر‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ أرﺑﻊ طرق ﻟﻠﺗﻌﻠﯾم ‪ A , B , C , D‬ﯾﺣوي اﻟواﺣد ﻣﻧﮭﺎ ﻛل اﻷطﻔﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗﻠﻘون ﺗﻌﻠﯾﻣﮭم‬ ‫ﺑﺈﺣدى ھذه اﻟطرق واﻟﻣطﻠوب ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﻛﺗﺳﺑﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻣن اﻟطرق اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻟﻛل زوج ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻷرﺑﻌﺔ ‪ ،‬أي‬ ‫اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟطرﯾﻘﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟطرﯾﻘﺔ ‪ B‬ﺛم اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻣرة أﺧري ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟطرﯾﻘﺔ ‪A‬‬ ‫ﺑﺎﻟطرﯾﻘﺔ ‪ C‬وھﻛذا ‪ ،‬إﻻ أن ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻟﮭﺎ ﻣﺷﺎﻛل ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﮭﺎ ‪:‬‬ ‫)أ( ﻏﯾر ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺣﯾث ﯾزداد ﻋدد اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت ﺑﺳرﻋﺔ ﻛﻠﻣﺎ زاد ﻋدد اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻓﻣﺛﻼ ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل‬ ‫!‪ 4  4‬‬ ‫‪ .   ‬ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﮫ ﻋدد‬ ‫اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺣﺗﺎج ﻹﺟراء اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﺳﺗﺔ ﻣرات ﻷن ‪ 6‬‬ ‫!‪ 2  2!2‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟزوﺟﯾﺔ ﻟﻌدد ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﯾﺳﺎوى‬ ‫‪r  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2!(k‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪2‬‬ ‫‪ ‬‬

‫)ب( زﯾﺎدة اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧ وع اﻷول أي رﻓ ض ﻓ رض اﻟﻌ دم وھ و ﺻ ﺣﯾﺢ وذﻟ ك‬ ‫ﻷن ﻋ دد اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟزوﺟﯾ ﺔ وﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﯾرﺗﺑط ﺎن ﺑﺎﺣﺗﻣ ﺎل اﻟوﻗ وع ﻓ ﻲ ﺧط ﺄ ﻣ ن‬ ‫اﻟﻧوع اﻷول ﻣن ﺧﻼل اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪ 1  (1   )r : :‬ﺣﯾث ‪ r‬ھ ﻲ ﻋ دد اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟزوﺟﯾ ﺔ‬ ‫و ‪ ‬ﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ واﻟ ذي ﺳ وف ﯾﺣ دد ﻋﻧ د أﺟ راء ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ واﺣ دة ﻓﻘ ط ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك إذا‬ ‫ﻛﺎﻧت ‪ r = 6‬وﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،  = 0.05‬واﻟذي ﯾﺣدد ﻟﻛل ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ زوﺟﯾ ﺔ ‪ ،‬ﻓ ﺈن اﺣﺗﻣ ﺎل‬ ‫اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول ھو‪:‬‬ ‫‪1(1) r  1  0.956  1  0.73509  0.26491 .‬‬

‫أي ﻣﺎ ﯾﻘرب ﻣن ﺧﻣﺳﺔ أﻣﺛﺎل ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬واﻟ ذي ﺳ وف ﯾﺣ دد ﻋﻧ د ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ‬ ‫واﺣدة ﻓﻘط ﻟﻠﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﺳﺗﺔ ﻓﻲ آن واﺣد‪ .‬ﻟﺣﺳن اﻟﺣظ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻐﻠب ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺷ ﺎﻛل اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ‪،‬‬ ‫وﻣﺷ ﺎﻛل أﺧ رى‪ ،‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام اﺧﺗﺑ ﺎر إﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﯾﺳ ﻣﻰ ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن واﻟ ذي ﯾﻌﺗﺑ ر واﺣ د ﻣ ن أﻛﺛ ر‬ ‫اﻟط رق اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ اﺳ ﺗﺧداﻣﺎ‪ .‬ﺳ وف ﻧوﺿ ﺢ أﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﺑﺎﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﺗ ﺎﻟﻲ‪ .‬إذا أﺟرﯾ ت‬ ‫ﺗﺟرﺑﺔ زراﻋﯾﺔ ﻟدراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر اﻷوﻗﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟﻠزراﻋ ﺔ ) ﻓﺑراﯾ ر – ﻣ ﺎرس – ﻧ وﻓﻣﺑر – أﻛﺗ وﺑر(‬ ‫ﻋﻠ ﻰ إﻧﺗﺎﺟﯾ ﮫ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب وإذا ﻛ ﺎن اھﺗﻣﺎﻣﻧ ﺎ ھ و اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب واﺣ د ﻟﻸوﻗ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﯾﻌﺗﻣ د أﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‪ ،‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‪ ،‬ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺗﺟزﺋ ﺔ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات إﻟ ﻰ ﻣﻛ وﻧﯾن ﻟﮭﻣ ﺎ ﻣﻌﻧ ﻲ ﯾﺳ ﺗﺧدﻣﺎن ﻓ ﻲ ﻗﯾ ﺎس اﻟﻣﺻ ﺎدر‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻼﺧﺗﻼف‪ .‬اﻟﻣﻛون اﻷول ﯾﻘﯾس اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟ ذي ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ واﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﯾﻘ ﯾس‬ ‫اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟ ذي ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟ ذي ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ أوﻗ ﺎت‬ ‫اﻟزراﻋﺎت اﻷرﺑﻌﺔ‪ .‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻓ رض اﻟﻌ دم ﺻ ﺣﯾﺢ‪ ،‬أي أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب‬ ‫واﺣدة ﻟﻸوﻗﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﻛﻼ ﻣن اﻟﻣﻛوﻧﯾن ﺳ وف ﯾﻣ دوﻧﻧﺎ ﺑﺗﻘ دﯾرﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن ﻟﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ‪،‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻌﺗﻣد اﺧﺗﺑﺎرﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﻛوﻧﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ‪.F‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓ ﻲ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب ﻋﻧ د أوﻗ ﺎت‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟﻠزراﻋ ﺔ وﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺛﻼﺛ ﺔ ط رق ﻟﻠزراﻋ ﺔ )‪ .( 1, 2, 3‬اھﺗﻣﺎﻣﻧ ﺎ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺳ وف‬ ‫ﯾﻛ ون ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن اﻻﺧ ﺗﻼف ﻓ ﻲ إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ اﻟﻔ روق ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣواﻋﯾد اﻟزراﻋﺔ أو اﻟﻔروق ﻓﻲ طرق اﻟزراﻋﺔ أو رﺑﻣﺎ اﻟﻔروق ﻓﻲ ﻛﻼھﻣ ﺎ‪ .‬ﯾﻌﺗﻣ د ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫‪١‬‬

‫‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺗﺟزﺋﺔ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻹﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب إﻟ ﻰ ﺛﻼﺛ ﺔ ﻣﻛوﻧ ﺎت ‪،‬‬ ‫اﻷول ﯾﻘﯾس ﺧطﺄ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﻘط واﻟﺛﺎﻧﻲ ﯾﻘﯾس ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ أي اﺧ ﺗﻼف ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ‬ ‫ﻣواﻋﯾ د اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ‪ ،‬واﻟﺛﺎﻟ ث ﯾﻘ ﯾس ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ أي اﺧ ﺗﻼف ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ‬ ‫ط رق اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﻣﻛ ون اﻷول ﺑﺎﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﺳ وف ﯾﻣ دﻧﺎ ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫اﻟﻔرض أن ﻣﺗوﺳط إﻧﺗﺎﺟﯾﺔ ﻣﺣﺻول اﻟﻘﺻب واﺣدة ﻋﻧد ﻣواﻋﯾ د اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل‬ ‫ﯾﻣﻛ ن اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب واﺣ د ﻟط رق اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻋ ن‬ ‫طرﯾق ﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﻣﻛون اﻷول ﺑﺎﻟﺛﺎﻟث‪.‬‬ ‫إذا ﺻ ﻧﻔت اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻓﻘ ﺎ ً ﻟﺻ ﻔﺔ )ﺧﺎﺻ ﯾﺔ( واﺣ دة ﻣﺛ ل اﻻﺧ ﺗﻼف ﻓ ﻲ ط رق اﻟزراﻋ ﺔ أو‬ ‫اﻟﺟ ﻧس أو اﻟﻌﻣ ر‪ ...‬اﻟ ﺦ ﻓﺳ وف ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ ﺗﺻ ﻧﯾف أﺣ ﺎدي ‪ . one-way classification‬أﻣ ﺎ‬ ‫إذا ﺻ ﻧﻔت اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻓﻘ ﺎ ﻟﺻ ﻔﺗﯾن ﻣﺛ ل أﺻ ﻧﺎف اﻟﻘﻣ ﺢ وأﻧ واع اﻷﺳ ﻣدة ﻓﺳ وف ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ‬ ‫ﺗﺻﻧﯾف ﺛﻧﺎﺋﻲ ‪two-way classification‬‬

‫اﻟﺗﺻﻧﯾف اﻷﺣﺎدي‪:‬‬

‫‪One-way Classification‬‬

‫ﺑﻔرض أن ﻋﯾﻧﺎت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‪ .‬ﺳوف ﻧﻔﺗرض‬ ‫أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ ﺑﻣﺗوﺳطﺎت ‪μ1,μ 2 ,,μ K‬‬ ‫وﺗﺑﺎﯾن ﻣﺷﺗرك ‪ . 2‬اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1  2  ...   k‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ xij‬ﺗرﻣز ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ j‬اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ رﻗ م ‪ i‬وأن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗ م ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ‪ Ti .‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺟﻣوع ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ رﻗ م‬ ‫‪ i‬و ‪ x i .‬ﺗرﻣ ز ﻟﻣﺗوﺳ ط ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ i‬و ‪ T..‬ﺗرﻣ ز‬ ‫ﻟﻣﺟﻣوع ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ nk‬و ‪ x ..‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺗوﺳ ط ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪nk‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‬ ‫…‪2‬‬ ‫…‪i‬‬ ‫‪x 21.... x i1...‬‬

‫‪x11‬‬

‫‪x 22 .... x i2 ... x k2‬‬

‫‪x12‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪x k1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 2n .... x in ... x kn‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x1n‬‬

‫‪T..‬‬

‫‪Tk.‬‬

‫‪T2....‬‬

‫‪T1.‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪x ..‬‬

‫‪x 2.... x i.... x k.‬‬

‫‪x 1.‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫‪Ti....‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن ﻛل ﻣﺷﺎھدة وﻓﻘﺎ ً ﻟﻠﻧﻣوذج اﻟرﯾﺎﺿﻲ اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x ij  i  ij ,‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺣﯾ ث ‪ ij‬ﯾﻘ ﯾس اﻧﺣ راف اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م ‪ j‬ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ رﻗ م ‪ i‬ﻋ ن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م‬

‫‪.i‬‬

‫وﺑوﺿﻊ ‪ i    i‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪ i‬‬

‫‪  i 1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﻧﻣوذج أﻋﻼه ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x ij     i  ij‬‬ ‫‪k‬‬

‫ﺗﺣ ت ﺷ رط أن ‪   i  0‬ﺣﯾ ث ‪ i‬ﺗﻌﺑ ر ﻋ ن ﺗ ﺄﺛﯾر اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ . i‬وﺑﺎﺳ ﺗﻌﻣﺎل اﻟﻧﻣ وذج‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻷﺧﯾر ﯾﺻﺑﺢ ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 : 1  2  ...   k‬‬ ‫ﻣﻛﺎﻓﺊ ﻟﻠﻔرض‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2  ...   k  0‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﻻ ﯾﺳﺎوى ﺻﻔرا ً ‪H1 :‬‬ ‫اﺧﺗﺑﺎرﻧﺎ ﺳوف ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺗﻘدﯾرﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن ﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ . 2‬ﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺗﻘ دﯾرﯾن ﺑﺗﺟزﺋ ﮫ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات إﻟ ﻰ ﻣﻛ وﻧﯾن ‪ .‬ﻣ ن اﻟﻣﻌ روف أن اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻛ ل‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﺟﺗﻣﻌﮫ ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ nk‬ﯾﻌطﻰ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪k n‬‬

‫) ‪  (x ij  x..‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪nk  1‬‬ ‫اﻟﺑﺳ ط ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻛﻠ ﻲ ‪ total sum of squares‬واﻟ ذي‬ ‫ﯾﻘﯾس اﻻﺧﺗﻼف اﻟﻛﻠﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪k n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  (x ij  x .. )  n  (x i.  x.. ) ‬‬ ‫‪k n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪  (x ij  x i. ) .‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﺣدود ﻓﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟرﻣوز ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪SSTO = SSC + SSE‬‬ ‫ﺣﯾث ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﻛﻠﻲ ھو ‪:‬‬ ‫‪k n‬‬

‫‪SSTO    (x ij  x.. )2 ,‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة ‪ sum of squares for columns means‬ھو ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪SSC  n  (x i.  x.. ) 2 ,‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﺧطﺄ ‪ error sum of squares‬ھو ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SSE    (x ij  x i. ) 2 ,‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫أﯾﺿﺎ ﺗﺟزئ درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪nk-1= k-1 + k (n-1).‬‬ ‫ﻋ ﺎدة ﯾﺷ ﺎر ﻟﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت ﻟﻣﺗوﺳ طﺎت اﻷﻋﻣ دة ﻣ ن ﻗﺑ ل ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﻣ ؤﻟﻔﯾن ﺑﻣﺟﻣ وع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ‪ . treatment sum of squares‬وھ ذه اﻟﺗﺳ ﻣﯾﺔ ﺗرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘ ﺔ أن ‪k‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻏﺎﻟﺑﺎ ً ﻣﺎ ﺗﺻﻧف ﺗﺑﻌﺎ ً ﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وﻋﻠ ﻲ ذﻟ ك ﻓ ﺈن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪xij‬‬ ‫)‪ ;(j = 1,2,…,n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺔ رﻗ م ‪ . i‬اﻵن ﻛﻠﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﺗﺳ ﺗﺧدم‬ ‫أﻛﺛر ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﺗﺻﻧﯾﻔﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺳ واء أﺳ ﻣدة ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أو ﻣﺻ ﺎﻧﻊ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أو ﻣﻧ ﺎطق ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣدﯾﻧﺔ ﻣﺎ أو ﻣﺣﻠﻠﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن‪.‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر اﻷول ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ، 2‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ ‪ k-1‬درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ،‬وﯾﻌطﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ‪:‬‬ ‫‪SSC‬‬ ‫‪MSC ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺛﺎﻧﻲ اﻟﻣﺳﺗﻘل ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ 2‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ )‪ k(n-1‬درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ وﯾﻌطﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ‪:‬‬

‫‪SSE‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪k (n  1‬‬

‫‪MSE ‬‬

‫ﻧﻌرف ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أن اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻛل ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ‪ ،‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ، nk-1‬ھو ‪:‬‬

‫‪SSTO‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪nk  1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫اﻟﻧﺳﺑﺔ‪:‬‬

‫‪MSC‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ F‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ )‪ 1  k  1,  2  k(n  1‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪ H 0‬ﺻ ﺣﯾﺢ‪ .‬ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ) ‪ F  f  (1,  2‬ﺣﯾ ث ) ‪f (1,  2‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻋﻧ د ‪  = 0.05‬أو ﻋﻧ د ‪ . = 0.01‬إذا وﻗﻌ ت ‪ f‬ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ‬ ‫اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺎ ً ﯾﺗم أوﻻ ً ﺣﺳﺎب ‪ SSTO , SSC‬ﺛم ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻲ ‪ SSE‬ﺑطرح ‪ SSC‬ﻣن ‪ SSTO‬أي أن‪:‬‬ ‫‪SSE = SSTO – SSC.‬‬ ‫ﺑﺈﻣﻛﺎﻧﻧ ﺎ ﺣﺳ ﺎب اﻟﺻ ﯾﻎ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ واﻟﻣﻌرﻓ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣ ن ‪ SSTO‬و ‪ SSC‬ﺑطرﯾﻘ ﺔ ﺣﺳ ﺎﺑﯾﺔ ﻣﺑﺳ طﺔ‬ ‫)ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻶﻟﺔ اﻟﺣﺎﺳﺑﺔ ( ﻋﻠﻲ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SSTO    x ij2  CF ،‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪T..2‬‬ ‫‪ CF ‬ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺻﺣﯾﺢ ‪ .correction factor‬أﯾﺿﺎ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫‪nk‬‬

‫‪ CF .‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ Ti.‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪SSC ‬‬

‫ﻋﺎدةً اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﺗﻠﺧ ص ﻓ ﻲ ﺟ دول ﯾﺳ ﻣﻲ ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪Analysis of‬‬ ‫‪ ) Variance‬ﻋﺎدة ﯾﺳﻣﻰ ‪ ( ANOVA‬واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪f‬‬ ‫اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬

‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬

‫‪MSC‬‬ ‫‪MSE‬‬

‫‪SSC‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪MSE ‬‬ ‫)‪k ( n  1‬‬ ‫‪MSC ‬‬

‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪SSC‬‬

‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫‪k-1‬‬

‫ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة‬

‫‪SSE‬‬

‫)‪k(n-1‬‬

‫‪SSTO‬‬

‫‪nk-1‬‬

‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛل اﻟطول ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر ( ﻟﻧﺑﺎﺗﺎت ﺗم زراﻋﺗﮭﺎ ﻓﻲ ﺛﻼﺛ ﺔ أوﺳ ﺎط‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ 5 ) A, B, C‬ﻧﺑﺎﺗﺎت ﻓﻲ ﻛل وﺳط (‪ .‬أوﺟد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن وأﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫أن ‪ 1   2   3‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوي ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.=0.05‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫اﻷوﺳﺎط‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬

‫‪H 0 : 1   2   3‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻲ اﻷﻗل ﻣن ‪  i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪  0.05  .‬‬ ‫‪ f.05‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت‬ ‫)‪(2,12‬‬ ‫=‬ ‫‪3.89‬‬ ‫ﺣرﯾﺔ ‪ . 1  2,  2  12‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪. F > 3.89‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SSTO    x ij2  CF‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪(216) 2‬‬ ‫‪ 10  14  ...  10  13 ‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 3304  3110.4  193.6,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪2‬‬

‫‪k‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ Ti‬‬

‫‪SSC  i 1‬‬

‫‪ CF‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪692  892  582 (216)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 3209.2  3110.4  98.8.‬‬ ‫ﺗﻠﺧص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬

‫ﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪49.4‬‬ ‫‪7.9‬‬

‫*‪6.25316‬‬

‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪98.8‬‬ ‫‪94.8‬‬ ‫‪193.6‬‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫درﺟﺎت‬ ‫اﻟﺣرﯾﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬

‫ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة‬ ‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫وﺑﻣ ﺎ أن ‪ (6.25316) f‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧ رﻓض ‪ H 0‬وﻧﻌﺗﺑ ر أن ھﻧ ﺎك ﻓروﻗ ﺎ ً‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷوﺳﺎط اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬اﻟﻧﺟﻣﺔ * ﺗﻌﻧﻲ أن اﻟﻔرق ﻣﻌﻧوي ﻋﻧد ‪.   0.05‬‬

‫اﻵن ﺑﻔ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ k‬ذات أﺣﺟ ﺎم ‪) n1, n2, …,nK‬ﻋ دم ﺗﺳ ﺎوى ﺣﺟ وم‬ ‫‪k‬‬

‫اﻟﻌﯾﻧﺎت( ﺣﯾث ‪. N   n i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﺳ وف ﺗﺻ ﺑﺢ )‪ (N-1‬ﻟﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ‪ SSTO‬و )‪ (k-1‬ﻟﻣﺟﻣ وع‬ ‫ﻣرﺑﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة ‪ SSC‬و ‪ N-1-(k-1) = N-k‬ﻟﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢‬‬ ‫أﺟرﯾ ت ﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر أرﺑﻌ ﺔ أﻧ واع ﻣ ن اﻷدوﯾ ﺔ ‪ A, B, C, D‬ﻋﻠ ﻰ اﻟﺷ ﻔﺎء ﻣ ن ﻣ رض‬ ‫ﻣﻌﯾن‪ .‬اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻷﯾﺎم اﻟﻼزﻣ ﺔ ﻟﻠﺷ ﻔﺎء ‪ .‬اﺳ ﺗﺧدم طرﯾﻘ ﺔ‬ ‫ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ھﻧ ﺎك ﻓ رق ﻣﻌﻧ وي ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪.   0.05‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫أﻧواع اﻷدوﯾﺔ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬

‫‪H 0 : 1   2  3  4‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪  i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪  0.05 ‬‬ ‫‪ f.05(3,20)=3.1‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ . 1  3,  2  20‬ﻣﻧطﻘ ﺔ‬ ‫اﻟرﻓض ‪. F > 3.1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SSTO    x ij2  CF ,‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪(134) 2‬‬ ‫‪ 3  4  ...  10  9 ‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ 1030  748.17  281.83 ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Ti2.‬‬ ‫‪ CF‬‬ ‫‪ni‬‬

‫‪2‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪SSC‬‬

‫‪152 352 182 662 (134) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪964.04  748.17  215.87 ,‬‬ ‫‪SSE  281.83 - 215.87  65.96 .‬‬ ‫ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻲ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬ ‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫ﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪215.87‬‬ ‫‪71.9567‬‬ ‫*‪21.818‬‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻷﻋﻣدة‬ ‫‪20‬‬ ‫‪65.96‬‬ ‫‪3.298‬‬ ‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫‪23‬‬ ‫‪281.83‬‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬ ‫وﺣﯾث أن ‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ )‪ (21.818‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪ . H 0‬أي أن ھﻧ ﺎك ﻓ رق‬ ‫ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت‪.‬‬ ‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﺗﺟﺎﻧس ﻋدة ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ‪:‬‬ ‫‪Test for the Equality of Several Variances‬‬ ‫)أ( اﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻛران ‪Cochran:‬‬ ‫ھﻧﺎك اﻓﺗراﺿﺎت أﺳﺎﺳﯾﺔ وﺿرورﯾﺔ ﻹﺟراء ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن وھم ‪ :‬أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ‬ ‫‪ k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ ﺑﻣﺗوﺳطﺎت ‪ 1,  2 ,...,  k‬وﺗﺑﺎﯾن ﻣﺷﺗرك ‪. 2‬‬ ‫ھﻧﺎك اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟطرق اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪H 0 : σ12  σ 22  ...  σ k2‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫اﻗﺗرح ‪ [ Winer et al (1991)] Cochran‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫أﻛﺒﺮ ‪s 2‬‬ ‫‪s1.2‬‬

‫‪c‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ C‬وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺢ‪ .‬اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟ ﺔ ) ‪c  (1 ,  2‬‬ ‫ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ C‬ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول ‪ Cochran‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ 1  k ,  2  n  1‬وذﻟ ك‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ =0.05‬أو ‪ . =0.01‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ) ‪ . C  c  (1 ,  2‬إذا وﻗﻌ ت‬ ‫‪ c‬ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫ﺑﻔ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ k‬ذات أﺣﺟ ﺎم ‪) n1, n2, … ,nk‬ﻋ دم ﺗﺳ ﺎوى ﺣﺟ وم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت (‬ ‫وإذا ﻛﺎﻧ ت اﻷﺣﺟ ﺎم ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﻓ ﯾﻣﻛن اﺳ ﺗﺧدام أﻛﺑ ر ‪ni‬ﺑ دﻻ ً ﻣ ن ‪ n‬ﻓ ﻲ ﺣﺳ ﺎب درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﻼزﻣﺔ ﻹﯾﺟﺎد ) ‪. c  (1 ,  2‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٣‬‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل )‪ (٢‬أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 12  22  32  42‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. =0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻲ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ وﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5.9524‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1.0714‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5.0000‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5.9524‬‬ ‫‪12.9405‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0.9167‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪s‬‬

‫‪ni‬‬

‫أﻛﺒﺮ ‪s 2‬‬

‫‪c k‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ si‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪= 0.459982.‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ 4‬ذات أﺣﺟ ﺎم ﻏﯾ ر ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓﺳ وف ﻧﺄﺧ ذ ‪ n = 8‬ﺣﯾ ث ‪ 8‬ھ ﻲ ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ رﻗ م ‪ ) 3‬أﻛﺑ ر ‪ ( ni‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ 1  4,  2  8  1  7‬و‬ ‫‪ . c.05 (4,7)  0.5365‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪ .C > 0.5365‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪ c= 0.459982‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬ ‫)ب( اﺧﺗﺑﺎر ھﺎرﺗﻠﻰ‪Hartlry :‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‪:‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪H 0 : 12  22  ...   k2 .‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪H1:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫وذﻟ ك ﻋﻧ دﻣﺎ ‪ n‬ﺛﺎﺑﺗ ﮫ ﻟﻛ ل اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ )أى ﺗﺳ ﺎوى ﺣﺟ وم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ اﻟﺗﻰ ﻋددھﺎ ‪ (k‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻹﺣﺻﺎء اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪S2l arg est‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ssmallest‬‬

‫‪Fmax ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ Ssmallest‬ھ و أﺻ ﻐر ﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫ﺣﯾ ث ‪ Sl2arg est‬ھ و اﻛﺑ ر ﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻌ دد ‪ k‬ﻣ ن ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت و‬

‫ﻟﻌ دد ‪ k‬ﻣ ن ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت‪ .‬ﺗﺣ ت اﻟﻔ رض ‪ 12   22  ...   2k‬ﻓ ﺈن اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻰ‬ ‫ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ]‪) Fmax,  [ k, n  1‬ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻣﺳ ﺗﻘﻠﮫ وﺗ م ﺳ ﺣﺑﮭﺎ ﻣ ن‬ ‫ﺗوزﯾﻌ ﺎت طﺑﯾﻌﯾ ﺔ( ﻣﻌط ﻰ ﻓ ﻲ ﺟ دول‪ .‬اﻟﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ﻟﮭ ذا اﻟﺗوزﯾ ﻊ ھﻣ ﺎ ﻋ دد اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ‪ k‬وﻋ دد‬ ‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ﻟﺗﺑﺎﯾن ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ )‪ .(n-1‬ﻧرﻓض ‪ H0‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗزﯾ د ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻋ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫اﻟﺟدوﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫] ‪Fmax,  [ k, n - 1‬‬ ‫ﺣﯾ ث ] ‪ Fmax,  [ k, n - 1‬ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ .Fmax‬ﯾﻣﻛ ن ﺗوﺿ ﯾﺢ ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤‬‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﺻﻧﺎﻋﯾﺔ اھﺗم اﺣد اﻟﻣﮭﻧدﺳﯾن ﺑﻣﻌدل اﻣﺗﺻﺎص اﻟرطوﺑﺔ ﻓﻲ اﻻﺳﻣﻧت ﻟﺧﻣس ﻛﺗل‬ ‫اﺳﻣﻧﺗﯾﮫ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬ﻋرﺿت اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻰ اﻟرطوﺑﺔ ﻟﻣدة )‪ (48‬ﺳﺎﻋﺔو ﻗرر اﻟﺑﺎﺣث ﻓﺣص ﺳت‬ ‫ﻋﯾﻧﺎت ﻟﻛل ﻛﺗﻠﺔ واﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﻣطﻠوب اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ھﺎرﺗﻠﻰ ﻻﺧﺗﺑﺎر‬ ‫اﻟﻔرض ‪ ،‬ﻋﻧد ‪ ،   0.01‬أن ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻟﻼﻧواع اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻟﻛﺗل اﻻﺳﻣﻧﺗﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﻌﻧوﯾﺔ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪563‬‬ ‫‪631‬‬ ‫‪522‬‬ ‫‪613‬‬ ‫‪656‬‬ ‫‪679‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪417‬‬ ‫‪449‬‬ ‫‪517‬‬ ‫‪438‬‬ ‫‪415‬‬ ‫‪555‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪639‬‬ ‫‪615‬‬ ‫‪511‬‬ ‫‪573‬‬ ‫‪648‬‬ ‫‪677‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪551‬‬ ‫‪457‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪731‬‬ ‫‪499‬‬ ‫‪632‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪580‬‬ ‫‪508‬‬ ‫‪583‬‬ ‫‪633‬‬ ‫‪517‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‬ ‫‪2‬‬

‫‪s i2‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬

‫) ‪ (x ij  x i.‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪si2 ‬‬

‫‪, i  1, 2, 3, 4, 5,‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪s12  12134 , s 22  2303 , s 32  3594 , s 24  3319, s 52  3455.‬‬ ‫‪٩‬‬

‫وﺑﻘﺳﻣﮫ اﻛﺑر ﺗﺑﺎﯾن ﻋﻠﻰ أﺻﻐر ﺗﺑﺎﯾن ﻓﺈن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌددﯾﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ Fmax‬ھﻲ‪:‬‬ ‫‪12134‬‬ ‫‪Fmax ‬‬ ‫‪ 5.269.‬‬ ‫‪2303‬‬ ‫ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ Fmax‬ﻓ ﺈن ‪ Fmax,0.01 [5,5]  33.0‬وﺑﻣ ﺎ أن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪Fmax‬‬ ‫اﺻ ﻐر ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪   0.01‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل ﺗﺳ ﺎوى ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‪.‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎر ﻧﯾوﻣن‪-‬ﻛﻠز ﻟﻠﻣدى اﻟﻣﺗﻌدد‪:‬‬ ‫‪Multiple Range Test‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻏﯾر ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﻔ روق ﺑ ﯾن‬ ‫ﻣﺗوﺳ طﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻟﯾﺳ ت ﻓ روق ﺣﻘﯾﻘﯾ ﺔ وإﻧﻣ ﺎ ﺗﻌ زى ﻟﻣﺟ رد اﻟﺻ دﻓﺔ ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل‬ ‫ﻓرض اﻟﻌ دم ‪ . H 0 : 1   2  ...   k‬إذا ﻛﺎﻧ ت ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ f‬ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻓﮭ ذا ﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن ﺑﻌ ض‬ ‫اﻟﻔروق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت أو ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،‬وﻟﻛن ھذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻻ ﯾوﺿ ﺢ ﻟﻧ ﺎ أي ﻣ ن ھ ذه‬ ‫اﻟﻔروق ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،‬وﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟﺑﺎﺣث ﻻ ﺑد أن ﯾﺟري ﻋدة ﻣﻘﺎرﻧ ﺎت ﺑ ﯾن ھ ذه اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت وھ ذا ﻣ ﺎ‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟﻣﺗﻌددة‪ .‬ھﻧ ﺎك ﻋ دة ط رق ﺗﺳ ﺗﺧدم ﻟﮭ ذا اﻟﻐ رض ‪ .‬ﺳ وف ﺗﻘﺗﺻ ر دراﺳ ﺗﻧﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫ھذا اﻟﺑﻧد ﻋﻠﻰ اﺧﺗﺑﺎر ﻧﯾ وﻣن ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟﻣﺗﻌ ددة ‪ .‬ﯾ ﺗﻠﺧص اﺧﺗﺑ ﺎر ﻧﯾ وﻣن ﻓ ﻲ إﯾﺟ ﺎد ﻋ دة ﻓ روق‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ذات ﻗﯾم ﻣﺗزاﯾدة واﻟﺗﻲ ﺗﺗوﻗف ﺣﺟﻣﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﻣدي اﻟﺑﻌد ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺑﻌد ﺗرﺗﯾﺑﮭﺎ‪.‬‬ ‫وﺗﺗﻠﺧص ﺧطوات ﺗﻧﻔﯾذھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)أ( ﻧرﺗب ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً‪.‬‬

‫‪MSE‬‬ ‫)ب( ﻧوﺟ د اﻟﺧط ﺄ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪n‬‬

‫‪ s x ‬ﺣﯾ ث ‪ MSE‬ھ و ﻣﺗوﺳ ط ﻣﺟﻣ وع‬

‫ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ واﻟذي ﯾﻌﺗﺑر ﺗﻘ دﯾر ﻟﻠﺗﺑ ﺎﯾن ‪ ، 2‬وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪ .‬وإذا‬ ‫ﻛﺎﻧت أﺣﺟ ﺎم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻏﯾ ر ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓ ﺈن اﺧﺗﺑ ﺎر ﻧﯾ وﻣن ﯾﺳ ﻣﺢ ﺑﺎﺳ ﺗﺑدال ‪ n‬ﻓ ﻲ ﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫‪ s x‬ﺑﺎﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻟﻠﻘﯾم ‪ n1, n2, …, nk‬ﺣﯾث اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ‪:‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ... ‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪nk‬‬

‫~‬ ‫‪n‬‬

‫ﺗﺣ ت ﺷ رط أن أﺣﺟ ﺎم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ﺗﻛ ون ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﻣ ن ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ‪ .‬ھ ذا وﯾﻣﻛ ن اﺳ ﺗﺑدال ‪ n‬ﻓ ﻲ ﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫‪ s x‬ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ n.‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪n (1) n (k‬‬

‫‪n. ‬‬

‫و أن ‪:‬‬ ‫)‪ = n(1‬ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻷﺻﻐر ﻣﺗوﺳط ﻋﯾﻧﺔ ‪.‬‬ ‫)‪ = n(k‬ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻷﻛﺑر ﻣﺗوﺳط ﻋﯾﻧﺔ ‪.‬‬

‫‪١٠‬‬

‫)ج( ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻗ ﯾم ) ‪ ) q( p, ‬ﺗﺳ ﻣﻰ أﻗ ل ﻣ دي ﻣﻌﻧ وي ﻗﯾﺎﺳ ﻲ ‪least significant‬‬ ‫‪ (studentized range‬ﻣن ﺟدول ﻧﯾوﻣن ﻟﻠﻣدى اﻟﻣﻌﻧوي ﺣﯾ ث ‪ p = 2, 3,…, k‬و‬ ‫‪ ‬ھﻲ ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ و ‪ ‬ھﻲ درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.MSE‬‬ ‫)د( ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ أﻗل ﻣدى ﻣﻌﻧوي ‪ Rp least significant range‬وذﻟك ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛل = ‪p‬‬ ‫‪ 2,3, …, k‬ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪R p  q  ( p, )s x , p  2,3,..., k.‬‬ ‫)ھ ـ( ﻧﻘ ﺎرن اﻟﻔ روق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت وﻧﺑ دأ ﺑﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن أﻛﺑ ر ﻣﺗوﺳ ط وأﻗ ل‬ ‫ﻣﺗوﺳط ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ Rk‬ﺛ م ﻧﻘ ﺎرن اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن أﻛﺑ ر ﻣﺗوﺳ ط وﺛ ﺎﻧﻲ أﺻ ﻐر ﻣﺗوﺳ ط ﺑﺎﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪Rk-1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫وﻧواﺻل ھذه اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ وإﻟﻰ أن ﺗﺗم ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻛل اﻷزواج وﻋ ددھﺎ ‪ .    k(k  1) / 2‬إذا‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻛﺎن اﻟﻔرق اﻟﻣﺣﺳوب ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﯾن ﯾﺳﺎوى أو أﻋﻠﻰ ﻣن ‪ Rp‬ﻓﯾﻛون ذﻟك اﻟﻔرق ﻣﻌﻧوﯾﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻠﺧ ص ﻧﺗ ﺎﺋﺞ اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺑوﺿ ﻊ ﺧط وط ﻣﺷ ﺗرﻛﺔ ﺗﺣ ت اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻟ م ﺗﻛ ن ﻓروﻗﮭ ﺎ‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،‬ﻣﻊ اﻹﺑﻘﺎء ﻋﻠﻰ ﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥‬‬ ‫ﻟﺗوﺿﯾﺢ طرﯾﻘﺔ ﻧﯾوﻣن ﻟﻠﻣدى اﻟﻣﺗﻌدد ﻓﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺛﺎل )‪ ( ٢‬وﻧﺗﺑﻊ‬ ‫اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧرﺗب ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪7.00‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪9.43‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫)ب( ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﺧ ﺎص ﺑﻣﺛ ﺎل )‪ (٢‬ﻓ ﺈن ‪ MSE = 3.298‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ‬

‫‪MSE‬‬ ‫‪ .   20‬ﻧوﺟ د اﻟﺧط ﺄ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪n‬‬

‫‪ s x ‬وﺑﻣ ﺎ أن أﺣﺟ ﺎم اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻏﯾ ر‬

‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻟﻠﻘﯾم ‪ n1, n2, …, nk‬ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2 n 3 n 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5.5721 ,‬‬ ‫‪1 1 1 1 .7178571‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪4 5 8 7‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫‪3.298‬‬ ‫‪MSE  3.298,SX ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.7693.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5.5721‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻟﻠﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ﻗﯾم )‪ q 0.05 (p,20‬ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن‬ ‫ﺟدول ﻧﯾوﻣن‪-‬ﻛﻠز ﺣﯾث ‪. p  2,3,4,   20‬‬ ‫اﻟﻘﯾم )‪ R p , q 0.05 ( p, 20‬ﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪3.96‬‬ ‫‪3.05‬‬

‫‪3.58‬‬ ‫‪2.75‬‬

‫‪2.95‬‬ ‫‪2.27‬‬

‫)‪q 0.05 (p, 20‬‬ ‫‪Rp‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻧﺣو اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪Rp‬‬

‫‪p‬‬

‫‪3.05‬‬ ‫‪2.75‬‬ ‫‪2.27‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3.75‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪7.00‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪9.43‬‬

‫*‪7.18‬‬ ‫*‪4.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪-‬‬

‫*‪5.68‬‬ ‫*‪3.25‬‬ ‫‪-‬‬

‫*‪2.43‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫اﻟﺗرﺗﯾب‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬ ‫‪9.43‬‬ ‫‪7.00‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫ﺣﯾ ث وﺿ ﻌت ﻛ ل اﻟﻔ روق اﻟﻣﻣﻛﻧ ﮫ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت داﺧ ل اﻟﺟ دول وﺗﻣ ت ﻣﻘﺎرﻧﺗﮭ ﺎ ﺑﻘ ﯾم ‪R p‬‬ ‫اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ‪ .‬ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق أن اﻟﻔ روق ﻋﻠ ﻰ ﻛ ل ﻗط ر ﻗﯾﻣ ﮫ ﻣ ن اﻋﻠ ﻰ اﻟﯾﺳ ﺎر إﻟ ﻰ اﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﯾﻣﯾن ﻟﮭﺎ ﻧﻔس ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ . p‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﻔ روق ‪ 2.43 , 3.25 , 1.5‬ﺗﻘ ﻊ ﻋﻠ ﻰ ﻗط ر واﺣ د‬ ‫وﻟﮭ ﺎ ‪ . p  2‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﮫ ﻟﮭ ذه اﻟﻔ روق ھ ﻰ أﺧ ر ﻗﯾﻣ ﺔ ﻓ ﻰ اﻟﻌﻣ ود اﻷﺧﯾ ر )‪ . (2.27‬اﯾﺿ ﺎ‬ ‫اﻟﻔروق ‪ 5.68 , 4.75‬ﺗﻘﻌﻊ ﻋﻠﻰ ﻗطر واﺣد وﻟﮭ ﺎ ‪ p  3‬وﺗﻘ ﺎرن ﺑﺎﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪) 2.75‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺛﺎﺑﺗ ﺔ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر( ‪ .‬أﺧﯾرا اﻟﻔرق ‪ 7.18‬ﯾﻘﺎرن ﻋﻧد ‪ p  4‬ﺑﺎﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﺔ ‪ 3.05‬وھ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫اﻻوﻟ ﻰ ﻓ ﻰ اﻟﻌﻣ ود اﻻﺧﯾ ر‪ .‬اﻟﻧﺟﻣ ﺔ * ﻓ ﻰ اﻟﺟ دول ﺗ دل ﻋﻠ ﻰ ﻓ رق ﻣﻌﻧ وى وذﻟ ك ﻋﻧ د اﺳ ﺗﺧدام‬ ‫‪ .   0.05‬ﻟﻠﺳﮭوﻟﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص ﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‪ .‬ﻧﻼﺣ ظ أﻧﻧ ﺎ‬ ‫ﻟم ﻧرﺻد ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن أي اﻟﻣﺗوﺳطﯾن ﻣوﺿﻊ اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻛﻣﺎ ﻛﻧ ﺎ ﻧﻔﻌ ل ﻣ ن ﻗﺑ ل ﺑ ل رﺻ دﻧﺎ ﻓﻘ ط‬ ‫ﻧﺟﻣﺔ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ أﻓﺿل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻻﺑد أن ﯾﺧطط ﻟﮭﺎ ﻗﺑل اﺟراﺋﮭﺎ ‪ .‬وھذا‬ ‫ھو ﻣﺎ ﯾﻌرف ﺑﺗﺻﻣﯾم اﻟﺗﺟﺎرب ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺑﻧد اﻟﺗﺎﻟﻲ اﻟﺗﺻﻣﯾم اﻟﺗﺎم ﻟﻠﺗﻌﺷﯾﺔ‪.‬‬

‫ﺗﺻﻣﯾم و ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺟﺎرب ذات اﻟﻌﺎﻣل اﻟواﺣد ‪:‬اﻟﺗﺻﻣﯾم اﻟﺗﺎم ﻟﻠﺗﻌﺷﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪Design and Analysis of Single Factor Experiments:‬‬ ‫‪Completely Randomized Design‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗﺻ ﻣﯾم اﻟﺗ ﺎم ﻟﻠﺗﻌﺷ ﯾﺔ )اﻟﺗﺻ ﻣﯾم اﻟﻛﺎﻣ ل اﻟﻌﺷ واﺋﻲ( ﻣ ن اﺑﺳ ط اﻟﺗﺻ ﺎﻣﯾم اﻟﺗﺟرﯾﺑﯾ ﺔ ﻣ ن‬ ‫ﺣﯾ ث ﺗﻌﯾ ﯾن اﻟوﺣ دات اﻟﺗﺟرﯾﺑﯾ ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت‪ ،‬ﻣﺳ ﺗوﯾﺎت اﻟﻌﺎﻣ ل ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ‪ ،‬وﺗﺣﻠﯾ ل‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﺣﯾ ث ﯾﻌﺗﺑ ر اﻷﺳ ﺎس ﻟﺑﻧ ﺎء ﺗﺻ ﺎﻣﯾم ﺗﺟرﯾﺑﯾ ﺔ أﻛﺛ ر ﺗﻌﻘﯾ دا‪ .‬إن اﻟﮭ دف اﻷﺳﺎﺳ ﻲ ﻣ ن ھ ذا‬ ‫اﻟﺗﺻﻣﯾم ھ و اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت ﻣﺗوﺳ طﺎت ﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ أم ﻻ؟ وذﻟ ك ﻟﺗﺟرﺑ ﺔ‬ ‫‪١٢‬‬

‫ذات ﻋﺎﻣ ل واﺣ د‪ ،‬وﻟﮭ ﺎ ﻋ دة ﻣﺳ ﺗوﯾﺎت‪ .‬ﯾﺷ ﺗرط ﻓ ﻲ ھ ذا اﻟﺗﺻ ﻣﯾم أن ﺗﻛ ون اﻟوﺣ دات ﻣﺗﺟﺎﻧﺳ ﺔ‬ ‫ﺗﻣﺎﻣﺎ‪ ،‬وﯾﻧطﺑق ذﻟك ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺟﺎرب اﻟﻣﻌﻣﻠﯾﺔ ﻛﺗﺟﺎرب اﻟطﺑﯾﻌﺔ‪ ،‬واﻟﻛﯾﻣﯾﺎء ﺣﯾث ﺗﻘﺳم ﻛﻣﯾﺔ ﻣن ﻣ ﺎدة‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺑﻌد ﺧﻠطﮭﺎ ﺟﯾدا إﻟﻰ ﻋﯾﻧﺎت ﺻﻐﯾرة ﺗﺟرب ﻋﻠﯾﮭ ﺎ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬أﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺗﺟ ﺎرب‬ ‫اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ اﻟﻧواﺣﻲ اﻻﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ أو اﻟزراﻋﯾﺔ أو اﻟﺗﺟﺎرﯾﺔ ﻓﻼ ﯾﻼﺋﻣﮭﺎ ھذا اﻟﺗﺻﻣﯾم ﺣﯾث ﺗﻛ ون‬ ‫اﻟوﺣدات اﻟﺗﺟرﯾﺑﯾﺔ ﻏﯾر ﻣﺗﺟﺎﻧﺳ ﺔ )اﻟﺷ ﺧص أو اﻟﻌﺎﺋﻠ ﺔ أو اﻟﻣﺧ زون… اﻟ ﺦ (‪ ،‬وﺗﺳ ﺗﺧدم ﺗﺻ ﺎﻣﯾم‬ ‫أﺧرى‪.‬‬ ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻲ أﻣﺛﻠﺔ ﻟﺗﺟﺎرب اﺳﺗﺧدم ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺗﺻﻣﯾم اﻟﺗﺎم ﻟﻠﺗﻌﺷﯾﺔ‪:‬‬ ‫)أ( ﺗﺟرﺑﺔ ﻟدراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر ﺧﻣس أﻧواع ﻣن اﻟﺑﻧزﯾن ﻋﻠﻰ ﻛﻔﺎءة ﻋﻣل ﺳﯾﺎرة )‪.(mpg‬‬ ‫)ب( ﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر أرﺑﻌ ﺔ أﻧ واع ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺣﺎﻟﯾ ل اﻟﺳ ﻛرﯾﺔ )ﺟﻠوﻛ وز‪ ،‬ﻓرﻛﺗ وز‪،‬‬ ‫ﺳﻛروز‪ ،‬ﺧﻠﯾط ﻣن اﻟﺛﻼﺛﺔ ( ﻋﻠﻰ ﻧﻣو اﻟﺑﻛﺗﯾرﯾﺎ‪.‬‬ ‫)ج( ﺗﺟرﺑﺔ ﻟدراﺳﺔ اﻟﻛﻣﯾﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن دواء ﻣﮭدئ ﻋﻠﻰ ﺷﻔﺎء ﻣرﯾض ﯾﻌﺎﻧﻲ ﻣرض ﻧﻔﺳﻲ‪.‬‬ ‫)د( ﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر أرﺑﻌ ﺔ أﻧ واع ﻣ ن اﻟﺗﻐطﯾ ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘ وة اﻟﺗوﺻ ﯾﻠﯾﺔ ﻟﺻ ﻣﺎﻣﺎت‬ ‫اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾ ون‪.‬ﻓ ﻲ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ )أ( اﻟﻌﺎﻣ ل ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ ھ و اﻟﺑﻧ زﯾن‪ ،‬وﻟ ﮫ ﺧﻣﺳ ﺔ ﻣﺳ ﺗوﯾﺎت‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﻓ ﻲ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ )ب( اﻟﻌﺎﻣ ل ھ و اﻟﺳ ﻛر وﻟ ﮫ أرﺑ ﻊ ﻣﺳ ﺗوﯾﺎت ) أو ﺧﻣﺳ ﺔ وذﻟ ك ﻋﻧ د‬ ‫اﺳﺗﻌﻣﺎل ﻣﺣﻠول ﻣراﻗﺑﺔ ﻻ ﯾﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ أي ﺳ ﻛرﯾﺎت (‪ .‬ﻓ ﻲ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ )ج( ‪ ،‬ﻣ ﺛﻼ ‪ ،‬اﻟﻌﺎﻣ ل‬ ‫ﻛﻣﻰ واﻟﻣﺳﺗوﯾﺎت ﺗﺗﻣﺛل ﻓﻲ اﻟﺗﺻ ﻧﯾﻔﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻣ ن اﻟﻌﺎﻣ ل‪ .‬ﻓ ﻲ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ )د( اﻟﻌﺎﻣ ل ﯾﻣﺛ ل‬ ‫اﻷﻧواع اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻷﻏطﯾﺔ وھو ﻋﺎﻣل وﺻﻔﻰ‪.‬‬ ‫ﻣزاﯾﺎ اﻟﺗﺻﻣﯾم‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام أي ﻋدد ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺧﺗﻼف ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ إﻟﻰ أﺧرى‪.‬‬ ‫ﺳﮭوﻟﺔ اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﻻ ﯾﺳﺑب ﻓﻘدان أي ﻣﺷﺎھدة ﻣﺷﺎﻛل ﻓﻲ اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد ھذا اﻟﺗﺻﻣﯾم ﻋﻠﻰ ﻋدد ﻗﻠﯾل ﻣن اﻟﻔروض ﺑﺧﻼف اﻟﺗﺻﺎﻣﯾم اﻟﺗﺟرﯾﺑﯾﺔ اﻷﺧرى‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٧‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ أوزان ‪ 30‬ﺣﻣﻼ ً ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟوزن وأﻋطﯾت ﺧﻣس أﻧواع ﺗﻐذﯾﺔ ووزﻋت ﻋﻠﯾﮭﺎ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺎ وھﻲ ‪ . A, B, C, D, E‬اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺗﺑﯾن اﻟزﯾﺎدة ﻓﻲ وزن‬ ‫ﻛل ﺣﻣل )ﺑﺎﻟرطل(‪.‬‬ ‫أوﺟد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﮭذه اﻟﺗﺟرﺑﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪01‬‬ ‫؟‪.‬‬ ‫ھل ﺗوﺟد ﻓروق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻋﻧد‬ ‫‪E‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪353‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪317‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪248‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪280‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪225‬‬

‫‪Ti.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪T..2‬‬

‫)‪(1423‬‬ ‫‪ 67497.633‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪(2)   x ij2  69653‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(1) ‬‬

‫‪ Ti.2 415627‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 69271.167‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n  6 , k  5 , T..   Ti.  1423 .‬‬ ‫ﺗﺣﺳب ﻣﺟﺎﻣﯾﻊ اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﻛﻠﻲ ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪SSTO = (2) – (1) = 2155.367,‬‬ ‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪SSC = (3) – (1) = 1773.53,‬‬ ‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﺧطﺄ ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪SSE = SSO – SSC = 381.837.‬‬

‫‪(3) ‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﻌطﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪f (1,  2‬‬ ‫اﻟﻣﺣﺳوﺑﮫ‬ ‫‪29.030** f0.01 (4, 25)  4.18‬‬

‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬

‫‪MSC  443.38‬‬ ‫‪MSE  15.273‬‬

‫ﻣﺻدر‬ ‫درﺟﺎت‬ ‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫اﻻﺧﺗﻼف‬ ‫اﻟﺣرﯾﺔ‬ ‫‪SSC  1773.53‬‬ ‫‪ k-1= 4‬اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‬ ‫‪ k(n-1)=25 SSE  381.837‬اﻟﺧطﺄ‬ ‫‪k n-1=29‬‬ ‫‪2155.367‬‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫** ﻣﻌﻧوى ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ‪.   0.01‬‬ ‫ﻣ ن اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق وﺑﻣ ﺎ أن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ f‬اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺗزﯾ د ﻋ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪   0.01‬ﻟذﻟك ﻧرﻓض ‪ H 0‬ﻋﻧد ‪   0.01‬واﻟذى ﯾﻌﻧ ﻰ وﺟ ود ﻓ روق ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﺎت‬ ‫اﻟزﯾﺎدة ﻓﻲ اﻟوزن ﻟﻼﻧواع اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻟﺗﻐذﯾﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٨‬‬ ‫وﺿﻊ اﻣﺗﺣﺎن ﻟﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻣن ‪ 26‬طﺎﻟب ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟذﻛﺎء واﻟﻘدرة ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﻛﯾز ‪ .‬واﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣﻌطﺎة‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫)أ( أوﺟد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﮭذه اﻟﺗﺟرﺑﺔ‪.‬‬ ‫)ب( ھل ﺗوﺟد ﻓروق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻋﻧد ‪.   0.01‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪E‬‬ ‫‪94‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪120‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪119‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪109‬‬

‫‪96‬‬

‫‪109‬‬

‫‪97‬‬

‫‪121‬‬

‫‪١٤‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪119‬‬

‫‪112‬‬

‫‪128‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪114‬‬

‫‪113‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪130‬‬

‫‪138‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪2934‬‬ ‫‪337596‬‬

‫‪101‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪770‬‬ ‫‪74896‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪854‬‬ ‫‪105806‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪585‬‬ ‫‪68735‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪384‬‬ ‫‪49334‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪341‬‬ ‫‪38825‬‬

‫‪104188‬‬

‫‪68445‬‬

‫‪49152‬‬

‫‪334657.83‬‬

‫‪74112.5‬‬

‫‪38760.33‬‬

‫‪ni‬‬ ‫‪Ti.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x ij‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪Ti.2 / n i‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)ا( ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪(1)   T..2 / N = (2934)² / 26 = 331090.62‬‬ ‫‪(2)    x ij2 = 337596‬‬ ‫‪(3)   (Ti.2 / n i ) = 334657.83.‬‬ ‫ﺗﺣﺳب ﻣﺟﺎﻣﯾﻊ اﻟﻣرﺑﻌﺎت ‪ SST0, SSTC, SSE‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﻛﻠﻲ ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪SSTO = (2) - (1) = 6505.39 ,‬‬ ‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪SSC = (3) - (1) = 3567.22‬‬

‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﺧطﺄ ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪SSE = SSTO - SSC = 2938.17 .‬‬ ‫ﺗﻠﺧص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻓﻲ ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫) ‪f (1,  2‬‬

‫‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬

‫)‪= 4.37 f0.01 (4, 21‬‬

‫‪6.37 ‬‬

‫ﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪891.81‬‬ ‫‪139.91‬‬

‫‪SSC = 3567.22‬‬

‫درﺟﺎت‬ ‫اﻟﺣرﯾﺔ‬ ‫‪k-1 = 4‬‬

‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬

‫‪SSE = 2938.17‬‬ ‫‪SSTO = 6505.39‬‬

‫‪N-k= 21‬‬ ‫‪N-1 = 25‬‬

‫ﻣﺻدر‬ ‫اﻻﺧﺗﻼف‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‬

‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫)ب( ﻣ ن اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق وﺑﻣ ﺎ أن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺗزﯾ د ﻋ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾ ﮫ ‪   0.01‬ﻟ ذﻟك ﺗ رﻓض ‪ H 0‬ﻋﻧ د ‪   0.01‬وﻧﺳ ﺗﺧﻠص ﻣ ن ھ ذه اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ أن ھﻧ ﺎك‬ ‫ﻓروق ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟذﻛﺎء واﻟﻘدرة ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﻛﯾز ﺑﯾن اﻟﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫‪١٥‬‬

١٦