اختبارات تخص متوسطى مجتمعين

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﺗﺧص ﺗﺑﺎﯾﻧﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن‬ ‫‪Tests Concerning Two Populations Variances‬‬ ‫ﺑﻔ رض أن ﻟ دﯾﻧﺎ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ‪ :‬اﻷول ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ﻣﺗوﺳ طﺔ ‪ 1‬وﺗﺑﺎﯾﻧ ﮫ ‪ 12‬واﻟﺛ ﺎﻧﻲ‪:‬‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً ﻣﺗوﺳطﺔ ‪ 2‬وﺗﺑﺎﯾﻧﮫ ‪  22‬واﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ھل اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻟﮭﻣ ﺎ ﻧﻔ س اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫؟ أي ھل ‪ 12   22‬أم ﻻ ؟ ﻓ ﺈذا ﻛﺎﻧ ت ‪ 12   22‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن ھﻧ ﺎك ﺗﺟ ﺎﻧس ﺑ ﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ‪.‬‬ ‫إن اﻟﺗﺄﻛ د ﻣ ن ﺻ ﺣﺔ اﻟﻔ رض ‪ 12   22‬ﺿ روري ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن )‬ ‫اﺧﺗﺑ ﺎر ‪ . ( t‬أﯾﺿ ﺎ ھﻧ ﺎك اﻟﻌدﯾ د ﻣ ن اﻷﺑﺣ ﺎث اﻟﺗ ﻲ ﯾﻛ ون ھ دﻓﮭﺎ اﻟرﺋﯾﺳ ﻲ ھ و ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ‪ 12‬ﻣ ﻊ‬ ‫‪  22‬ﻣﺛل دراﺳﺎت ﺟودة اﻟﺑﺿﺎﺋﻊ اﻟﻣﺳﺗﮭﻠﻛﺔ ﺣﯾث ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗﺑﺎﯾن أھم ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺟودة‪.‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 12   22‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H1 :   ‬‬

‫ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ n1‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول وﻟ ﯾﻛن ﻣﺗوﺳ طﮭﺎ اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ‪ x 1‬وﺗﺑﺎﯾﻧﮭ ﺎ ‪s12‬‬ ‫وﺗﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧرى ﺣﺟﻣﮭﺎ ‪ n 2‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ وﻟﯾﻛن ﻣﺗوﺳطﮭﺎ ‪ x 2‬وﺗﺑﺎﯾﻧﮭ ﺎ ‪s 22‬‬

‫‪٠‬‬ ‫) اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻰ ( ‪ .‬ﺑﺎﻓﺗراض ﺻﺣﺔ ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪s12‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪s 22‬‬

‫‪f‬‬

‫ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ F‬ﻟ ﮫ ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪1  n1  1,  2  n 2  1‬‬ ‫‪ ٠‬ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ، ‬ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺗ ﯾن ﺣ رﺟﺗﯾن ) ‪ f  (1 ,  2‬و ) ‪ . f  (1 ,  2‬وﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪2‬‬

‫ذﻟ ك ﻓ ﺈن ) ‪ F  f  (1 ,  2‬أو ) ‪(1 ,  2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ F  f‬ﺗﻣ ﺛﻼن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‪ .‬ﺣﺟ م ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‬

‫ﯾﺳﺎوى اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‪ .‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ F‬ﻓ ﻲ اﻟط رف اﻷﯾﺳ ر ﯾﻣﻛ ن‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫إذا وﻗﻌت ‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪f  ( 2 , 1‬‬

‫‪(1 ,  2 ) ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪١‬‬

‫‪f‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H0 :   ‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪H1 :   ‬‬

‫ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ ،‬ﺑﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ، ‬ﺳوف ﺗﻛون ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﺳ ر ﻣ ن اﻟﺗوزﯾ ﻊ )اﻟ ذﯾل‬ ‫اﻷﯾﺳ ر ( ‪ .‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺗﻣﺛ ل ﻛ ل ﻗ ﯾم ‪ F‬ﺑﺣﯾ ث ) ‪ . F  f1 (1 ,  2‬وأﺧﯾ را‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 12   22‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H1 :   ‬‬

‫ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ ،‬ﺑﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ، ‬ﺳوف ﺗﻛون ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن اﻟﺗوزﯾ ﻊ )اﻟ ذﯾل‬ ‫اﻷﯾﻣن( ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﻣﺛل ﻛل ﻗﯾم ‪ F‬ﺑﺣﯾث ) ‪. F  f  (1 ,  2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﺧﺗﺑر اﻟﺗﺟﺎﻧس ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪  0.1‬‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ‬

‫اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬

‫‪40.5‬‬

‫‪50.7‬‬

‫‪si2‬‬

‫‪31‬‬

‫‪41‬‬

‫‪ni‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H0 :    ,‬‬

‫‪H1 : 12   22 .‬‬

‫‪  0.1 .‬‬ ‫‪ f.05 40, 30   1.79‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪F‬‬

‫‪ . 1  40,  2  30‬أﻣﺎ ‪ f 0.95 40, 30‬ﻓﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.575.‬‬ ‫‪f 0.05 (30,40) 1.74‬‬

‫‪f 0.95 (40,30) ‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ F  1.79‬أو ‪F  0.575‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر‬ ‫‪50.7‬‬ ‫‪ 1.252.‬‬ ‫‪40.5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬

‫=‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر‬ ‫ﻧﻘﺑل ‪ H 0‬ﻷن ‪ f‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ‪.‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪f‬‬

‫ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ‬

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﺗﺧص اﻟﻣﺗوﺳطﺎت‬

‫‪Tests Concerning Means‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺎﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﺗﺧص ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن‪.‬‬ ‫أي أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم أن اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ‪ ، 1  2 ،‬ﯾﺳﺎوى‬ ‫ﺻﻔر أي ‪ 1  2‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ 1   2  0‬أي ‪ 1  2‬أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪ 1   2  0‬أي ‪ 1   2‬أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ 1   2  0‬أي ‪ . 1   2‬ﺗﻌﺗﻣد اﻟطرﯾﻘﺔ‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ وﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻲ ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺎﻻت‪.‬‬ ‫اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ‪ :‬ﻋﻧ د اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ H 0‬أن اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ‪، 1  2 ،‬‬ ‫ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر وذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ ﻛل ﻣن ‪ 12 , 22‬ﻣﻌﻠوﻣﺗ ﺎن وﺗﺣ ت ﻓ رض أن ﻛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ﮫ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً‬ ‫طﺑﯾﻌﯾﺎ ً أو ﺗﻘرﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ ً‪ .‬أﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻛﺑﯾ رة وإذا ﻛﺎﻧ ت ‪ 22 , 12‬ﻣﺟﮭوﻟﺗ ﺎن ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن‬ ‫ﺗﻘدﯾرھﻣﺎ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺑﺣﺳﺎب ‪ . s12 , s 22‬ﯾﻌﺗﻣ د ﻗرارﻧ ﺎ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ )‬ ‫اﻹﺣﺻ ﺎء ( ‪ . X1  X 2‬أوﻻ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n1‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول وﻧﺣﺳ ب‬ ‫ﻣﻧﮭﺎ ‪ x 1‬وﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧرى ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n 2‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ )ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋ ن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‬ ‫اﻷوﻟﻰ ( وﻧﺣﺳب ﻣﻧﮭﺎ ‪ x 2‬ﺛم ﻧﺣﺳب اﻟﻔرق ‪ ، x1  x 2 ،‬ﻟﻣﺗوﺳطﻲ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ‪ ٠‬ﻧﻌﻠم أن ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪( x1  x 2 )  0‬‬ ‫‪12  22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ Z‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺣﺎ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾﯾن وﻋﻧد‬ ‫ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺗﺣدد ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪ Z  z ‬أو ‪ . Z  z ‬أﻣﺎ ﻓﻲ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎر ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ﺣﯾث اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ 1   2‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ ،‬ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪ ، ‬ﺳوف ﺗﻛون ‪ . Z  z ‬وأﺧﯾرا ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ‪ 1   2‬ﻓﺈن‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ، ‬ﺳوف ﺗﻛون ‪. Z  z ‬‬

‫ﻣﺛﺎل(‬ ‫أﺟرى اﺧﺗﺑﺎر ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘﺎوﻣﺔ ﻟﻠﺷد ‪ tensile strength‬ﻟﻧوﻋﯾن ﻣن اﻟﺳﻠك ‪ .‬اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ‬

‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ‬

‫ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ‬

‫اﻟﻧوع‬

‫‪s1  1.3‬‬

‫‪x1  107.6‬‬

‫‪n1  129‬‬

‫‪A‬‬

‫‪s 2  2.0‬‬

‫‪x 2  123.6‬‬

‫‪n 2  129‬‬

‫‪B‬‬

‫‪٣‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ھل ھﻧﺎك ﻓرﻗﺎ ﻣﻌﻧوﯾﺎ ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن اﻟﻣﺳﺣوﺑﺗﯾن ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ؟ )‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.(   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث أن ‪ n1  30‬و ‪ n 2  30‬ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2 ,‬‬ ‫‪H1 : 1   2 .‬‬

‫‪  0.05 .‬‬

‫‪ z 0.025  1.96‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪.‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ Z  1.96‬أو ‪Z  1.96‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪( x1  x 2 )  0‬‬ ‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪z‬‬

‫‪107.6  123.6‬‬

‫‪ 76.183.‬‬ ‫‪1.32 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪129 129‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫طﺑ ق اﺧﺗﺑ ﺎر ﻟﻠﻌﺻ ﺎﺑﯾﮫ ﻋﻠ ﻰ ﻣﺟﻣ وﻋﺗﯾن ‪ ،‬اﻷوﻟ ﻰ ﻣ ن اﻟ ذﻛور وﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ 35‬واﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻣ ن اﻹﻧ ﺎث‬ ‫وﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ 40‬ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﺻ ﺎﺑﯾﺔ ﻟ دي اﻟ ذﻛور ‪ 21.3‬ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 4.6‬وﻣﺗوﺳ ط‬ ‫اﻟﻌﺻ ﺎﺑﯾﺔ ﻟ دى اﻹﻧ ﺎث ‪ 24.2‬ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 3.9‬ﺗﺣﻘ ق ﻣ ن ﺻ ﺣﺔ اﻟﻔ رض اﻟﻘﺎﺋ ل أن‬ ‫‪ H 0 : 1   2‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 : 1   2‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث أن ‪ n1  30‬و ‪ n 2  30‬ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2 ,‬‬ ‫‪H1 : 1   2 .‬‬

‫‪  0.05 .‬‬

‫‪ z 0.025  1.96‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪.‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ Z  1.96‬أو ‪Z  1.96‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪( x1  x 2 )  0‬‬ ‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪z‬‬

‫‪21.3  24.2‬‬

‫‪ 2.92.‬‬ ‫‪4.62 3.92‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪40‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ‪ :‬ﺑﻔ رض أن ‪ 12 , 22‬ﻣﺟﮭوﻟﺗ ﺎن وﺣﺟ م ﻛ ﻼ ﻣ ن اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﺻ ﻐﯾر‪ .‬ﯾﻌﺗﻣ د اﻟﻘ رار‬ ‫اﻟ ذي ﻧﺗﺧ ذه ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم ﻋﻠ ﻰ ﺗوزﯾ ﻊ ‪ t‬وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض‬ ‫‪ ) 12  22  2‬ھﻧﺎك ﺗﺟﺎﻧس ( وأن ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟ ﮫ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً‪ .‬أوﻻ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n1‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻷول وﺗﺣﺳب ﻣﻧﮭﺎ ‪ s12 , x 1‬وﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧرى ﻣ ن اﻟﺣﺟ م‬ ‫‪ n 2‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ) ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋ ن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻷوﻟ ﻲ ( وﻧﺣﺳ ب ﻣﻧﮭ ﺎ ‪ . s12 , x 2‬اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ‪ pooled variance‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪(n1  1)s12  (n 2  1)s 22‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬

‫‪s 2p ‬‬

‫وﺗﺣت ﻓرض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺣﺎ ً ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﻠم أن‬ ‫‪.‬‬

‫‪( x1  x 2 )  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t‬‬

‫‪sp‬‬

‫ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ T‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ٠   n1  n 2  2‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﺧﺗﺑ ﺎر ذي‬ ‫ﺟﺎﻧﺑﯾن وﻋﻧد ﻣﺳﺗوي ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳ وف ﺗﻛ ون ‪ T  t ‬أو ‪ . T   t ‬ﻟﻠﺑ دﯾل‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ‪ 1   2‬ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﺳ وف ﺗﻛ ون ‪ . T   t ‬وأﺧﯾ را ﻟﻠﺑ دﯾل ‪1   2‬‬

‫ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون ‪. T  t ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓ ﻲ إﺣ دى ﻣراﻛ ز رﻋﺎﯾ ﺔ اﻟطﻔ ل ﺳ ﺟﻠت اﻷوزان ) ﺑﺎﻟرط ل ( ﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﺗﯾن ﻣ ن اﻷطﻔ ﺎل‬ ‫ﺣدﯾﺛﻲ اﻟوﻻدة ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ ﯾﺗﻛون ﻣن ﺧﻣﺳﺔ أطﻔﺎل ﻓﻛﺎﻧت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪8, 6, 6, 5, 7‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷوﻟﻲ‬ ‫‪8, 7, 8, 5, 6‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ‪ -‬اﺧﺗﺑر اﻟﻔرض اﻟﻘﺎﺋل أن ‪ 1   2‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ 1   2‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪ .   0.02‬ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ H 0 : 1   2‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 : 1   2‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪.   0.1‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪n1  5, x1  6.4,‬‬

‫‪s1  1.140‬‬

‫‪n 2  5, x 2  6.8,‬‬

‫‪s 2  1.304‬‬

‫أوﻻ ﯾﺟب اﻟﺗﺄﻛد ﻣن أن ‪    22‬أي اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H 0 : 12   22‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H1 :    .‬‬ ‫‪  0.02 .‬‬

‫‪٥‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر‬ ‫‪(1.304) 2‬‬ ‫‪ 1.3084.‬‬ ‫‪(1.140) 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬

‫=‬

‫‪f‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر‬ ‫‪ f.01 4, 4  15.98‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪1  4,  2  4‬‬ ‫أﻣﺎ ‪ f.99 4, 4 ‬ﻓﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.062578.‬‬ ‫‪f0.01 (4, 4) 15.98‬‬

‫‪f 0.99 (4,4) ‬‬

‫‪ F  15.98‬أو ‪F  0.062578‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪ f‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم أن ‪.   ‬‬ ‫اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2 ,‬‬ ‫‪H1 : 1   2 .‬‬ ‫‪  0.1.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪s12 (n1  1)  s 22 (n 2  1‬‬ ‫‪sp ‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬ ‫)‪(1.14) 2 (4)  (1.304) 2 (4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪552‬‬

‫‪ 1.2247.‬‬ ‫‪(x1  x 2 )  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t‬‬

‫‪6.4  6.8‬‬ ‫‪ 0.5164.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1.2247 ‬‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪‬‬

‫‪ t 0.05  1.860‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.   8‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ T  1.860‬أو ‪ . T  1.860‬وﺑﻣﺎ أن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾرﻏب ﻣﺳﺋول ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﻻﻧﺗﺎج ﻣﻌﺟون ﻟﻸﺳﻧﺎن ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر إﺿ ﺎﻓﺔ ﻣ ﺎدة ﻛﯾﻣﺎﺋﯾ ﺔ ﻣﻌﯾﻧ ﺔ‬ ‫إﻟﻰ ﻣﻌﺟون ﻟﺗﺣﺳﯾن ﻣﻔﻌوﻟﮫ‪ .‬اﺧﺗﺑرت ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻛل ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن ‪ 10‬أﺷ ﺧﺎص اﺳ ﺗﺧدﻣت‬ ‫أﻓ راد اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻷوﻟ ﻲ اﻟﻣﻌﺟ ون ﻣﺿ ﺎف إﻟﯾ ﮫ اﻟﻣ ﺎدة اﻟﻛﯾﻣﺎﺋﯾ ﺔ ﺑﯾﻧﻣ ﺎ اﺳ ﺗﺧدﻣت أﻓ راد اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﻌﺟون ﺑدون إﺿﺎﻓﺔ اﻟﻣﺎدة اﻟﻛﯾﻣﺎﺋﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﻘﯾﺎس ﺧﺎص ﺗ م اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻰ ) أﺿﯾﻔت اﻟﻣﺎدة اﻟﻛﯾﻣﺎﺋﯾﺔ ( ‪x1  8, s1  3‬‬

‫اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ) ﺑدون إﺿﺎﻓﺔ (‬ ‫‪ H1 : 1   2‬ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى‬ ‫اﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ H 0 : 1   2‬ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ .   0.1‬ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ‪.‬‬ ‫‪x 2  9,‬‬

‫‪s2  4‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪s1  3‬‬ ‫‪s2  4‬‬

‫‪n1  10, x1  8,‬‬ ‫‪n 2  10, x 2  9,‬‬

‫أوﻻ ﯾﺟب اﻟﺗﺄﻛد ﻣن أن ‪   ‬أي اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H 0 : 12   22‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H1 :    .‬‬ ‫‪  0.1 .‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر‬ ‫‪(4) 2‬‬ ‫‪ 1.778.‬‬ ‫=‬ ‫‪(3)2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪f ‬‬ ‫‪s‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر‬ ‫‪ f.05 9, 9   3.18‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ 1  9,  2  9‬أﻣ ﺎ‬ ‫‪ f.95 9, 9 ‬ﻓﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.31447.‬‬ ‫‪f 0.05 (9,9) 3.18‬‬

‫‪f 0.95 (9,9) ‬‬

‫‪ F  3.18‬أو ‪F  0.31447‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪ f‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم أن ‪.   ‬‬ ‫اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪H 0 : 1   2 ,‬‬

‫‪H1 : 1   2 .‬‬ ‫‪  0.1 .‬‬ ‫)‪s12 (n1  1)  s 22 (n 2  1‬‬ ‫‪sp ‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪(3) 2 (9)  (4) 2 (9‬‬ ‫‪10  10  2‬‬ ‫‪ 3.5355.‬‬ ‫‪(x  x 2 )  0‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.63246.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3.5355‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10 10‬‬ ‫‪ t 0.05  1.734‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.   18‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ T  1.734‬أو ‪ . T  1.734‬وﺑﻣﺎ أن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ‪ :‬ﻋﻧد اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ H 0 : 1   2‬ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ‪ H1 : 1   2‬ﺗﺣ ت‬ ‫اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)أ( ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ) ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ (ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً ‪.‬‬ ‫)ب( ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ‪ ، 12   22 ،‬ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن ﻛﺛﯾرا‪.‬‬ ‫)ج( اﻟﻌﯾﻧﺗﺎن ﺻﻐﯾرﺗﺎن وإﺣﺟﺎﻣﮭﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺎن ‪.‬‬ ‫اﻟﻘرار اﻟذي ﻧﺗﺧذه ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻹﺣﺻﺎء ‪T ‬واﻟذي ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﺗﺣﺳب‬ ‫ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ s12 s 22 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ n1 n 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪  s2 2  s2  ‬‬ ‫‪ 2  ‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪  n1 ‬‬ ‫‪ n2  ‬‬ ‫‪ n  1  n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ n1‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول ﻛﻣ ﺎ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ‬

‫أﺧ رى ﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ n 2‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ) اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋ ن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻷوﻟ ﻲ (‪ .‬ﻧﺣﺳ ب‬ ‫‪ x1 , x 2 , s12 , s 22‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛون ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪(x 1  x 2 )  0‬‬ ‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t ‬‬

‫ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ T ‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺣﺎ ً‪ .‬ﻻﺧﺗﺑﺎر ذي ﺟ ﺎﻧﺑﯾن ‪ ،‬ﺑﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ، ‬ﻣﻧطﻘ ﺔ‬ ‫اﻟرﻓض ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﺗﻌطﻰ ﺣﯾ ث ‪ t‬أو ‪  t‬ھﻣ ﺎ اﻟﻘﯾﻣﺗ ﯾن اﻟﺣ رﺟﺗﯾن ﻟﺗوزﯾ ﻊ ‪ t‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫و ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛ ون‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ T'  t‬أو ‪ . T'   t‬ﻟﺑ دﯾل ﻣ ن ﺟﺎﻧ ب واﺣ د ‪ ، 1   2‬ﻓ ﺈن‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون ‪ T'   t ‬وﻟﻠﺑدﯾل ‪ 1   2‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون ‪T'  t ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫‪٨‬‬

‫أوﺿﺣت اﻟدراﺳﺔ أن زﯾﺎدة اﻟﻧﺗرات ‪ nitrate‬ﻓﻲ اﻻﺳﺗﮭﻼك اﻵدﻣ ﻲ ﻟ ﮫ ﺗ ﺄﺛﯾرات ﺿ ﺎرة ﻣﻧﮭ ﺎ ﻗﻠ ﺔ‬ ‫إﻧﺗﺎج اﻟﺛﯾروﻛﺳﯾن وﻗﻠﺔ إدرار اﻟﻠﺑن ﻋﻧد اﻟﺑﻘر‪ .‬اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻧﺗﯾﺟﺔ ﺗﺟرﺑﺔ ﻟﻘﯾﺎس اﻟﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾ ﺔ‬ ‫ﻟﻠزﯾﺎدة ﻓﻲ وزن ﻓﺋران ﺗﺟﺎرب ﺻﻐﯾرة اﻟﻌﻣر ﺗﻧﺎوﻟت وﺟﺑﺔ ﻗﯾﺎﺳﯾﺔ وﻓﺋران ﺗﻧﺎوﻟت ‪ppm 2000‬‬ ‫ﻧﺗرات ﻣن ﻣﯾﺎه اﻟﺷرب‪.‬‬ ‫اﻟﻧﺗرات‬ ‫‪12.7, 19.3, 20.5, 10.5, 14.0, 10.8, 16.6, 14.0, 17.2‬‬ ‫‪ 18.2, 32.9, 10.0, 14.3, 16.2, 27.6, 15.7‬اﻟﻣراﻗﺑﺔ ) اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ(‬ ‫ﺗﺣﻘق ﻣن ﺻﺣﺔ اﻟﻔرض اﻟﻘﺎﺋل ‪ :‬ﻻ ﯾوﺟد ﻓرق ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﺗرات وﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻣراﻗﺑ ﺔ‬ ‫وذﻟ ك ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ) .   0.1‬ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﺛ م اﺧﺗﯾﺎرھﻣ ﺎ ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن‬ ‫طﺑﯾﻌﯾﯾن (‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﯾﺟب ﻋﻠﯾﻧﺎ أوﻻ اﻟﺗﺣﻘق ﻣن ‪.   ‬‬ ‫‪ s1  3.558,‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ‪ f‬ھﻰ ‪:‬‬ ‫‪s 2  8.053‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر‬ ‫‪(8.053) 2‬‬ ‫‪ 5.1228.‬‬ ‫‪(3.558) 2‬‬

‫‪s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s12‬‬

‫=‬

‫‪f‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر‬ ‫‪ f.05 6, 8  3.58‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻋﻧد درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ . 1  6,  2  8‬أﻣ ﺎ‬ ‫‪ f.95 6, 8‬ﻓﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.241.‬‬ ‫‪f.05 (8,6) 4.15‬‬

‫‪f.95 (6,8) ‬‬

‫‪ F  3.58‬أو ‪F  0.241‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬ ‫وﺣﯾث أن ‪ f‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪ H 0‬وﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن ‪  ‬‬ ‫اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪H 0 : 1   2 ,‬‬

‫‪x 1  15.067‬‬

‫‪H1 : 1   2 .‬‬ ‫‪  0.1 .‬‬ ‫‪x 2  19.271 ,‬‬ ‫‪(x  x 2 )  0‬‬ ‫‪t' 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪ 1.2869.‬‬

‫‪15.067  19.271‬‬ ‫‪3.558 2 8.0532‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪‬‬

‫وﻋﻠﯾﻧﺎ أن ﻧﻘﺎرن ﻗﯾﻣﺔ ‪ t ‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺑﻘﯾﻣﺔ ‪ t‬اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ s12 s 22 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ n1 n 2 ‬‬

‫‪  s2 2  s2  ‬‬ ‫‪ 2  ‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪  n1 ‬‬ ‫‪ n2  ‬‬ ‫‪ n  1  n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 3.558 2 8.0532 ‬‬ ‫‪ 9  7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  3.558 2  2  8.0532  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 9    7  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪113.87‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 7.8  8.‬‬ ‫‪14.55‬‬ ‫‪ t 0.05  1.86‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪   8‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ‬

‫اﻟرﻓض ‪ T  1.86‬أو ‪ . T  1.86‬ﺑﻣﺎ أن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑ ل ‪ H 0‬وھ ذا ﯾﻌﻧ ﻰ‬ ‫ﻋدم وﺟود ﻓرق ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﺗرات وﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻣراﻗﺑ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪  0.1‬‬ ‫‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗ م ﺗﻘﺳ ﯾم ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷطﻔ ﺎل ﺣ دﯾﺛﻲ اﻟ وﻻدة ﻓ ﻲ ﻣﺳﺗﺷ ﻔﻰ إﻟ ﻰ ﻣﺟﻣ وﻋﺗﯾن ‪ ،‬ﻛ ل ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ‬ ‫اﺳ ﺗﺧدﻣت ﻧ وع ﻣ ن ﻟ ﺑن اﻷطﻔ ﺎل وﻗ د ﺗ م ﺗﺳ ﺟﯾل وزن اﻷطﻔ ﺎل ﻓ ﻲ ﻛ ل ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ وذﻟ ك ﺑﻌ د ‪6‬‬ ‫أﺳﺎﺑﯾﻊ ﻣن اﻟوﻻدة ‪ ،‬ﻛﺎﻧت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ﺑﺎﻟﻛﯾﻠو ‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ‪A‬‬ ‫‪3.0, 4.2, 4.5, 5.0, 5.2, 4.6, 6.1, 5.6‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ‪B‬‬ ‫‪4.2, 4.5, 4.4, 5.5, 5.8, 8.7, 8.6‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ﻣﻌرﻓﺔ ھل ھﻧﺎك ﻓرق ﻣﻌﻧ وي ﺑ ﯾن اﻟﻧ وﻋﯾن ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫ﻋﻠﻣﺎ ﺑﺄن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﯾﺟب ﻋﻠﯾﻧﺎ أوﻻ اﻟﺗﺣﻘق ﻣن ‪.   ‬‬ ‫‪ s1  0.94528,‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ‪ f‬ھﻰ ‪:‬‬ ‫‪s2  1.931‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر‬ ‫‪(1.931) 2‬‬ ‫‪ 4.17295.‬‬ ‫=‬ ‫‪(0.94528)2‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪f ‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪  0.1‬‬

‫‪ f.05 6, 7   3.87‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻓ ﻲ ﻣﻠﺣ ق ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ‬ ‫‪ . 1  6,  2  7‬أﻣﺎ ‪ f.95 6, 7 ‬ﻓﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.2375.‬‬ ‫‪f.05 (7,6) 4.21‬‬

‫‪f.95 (6,7) ‬‬

‫‪ F  3.87‬أو ‪F  0.2375‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬ ‫وﺣﯾث أن ‪ f‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪ H 0‬وﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن ‪  ‬‬ ‫اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪H 0 : 1   2 ,‬‬

‫‪H1 : 1   2 .‬‬ ‫‪  0.1 .‬‬ ‫‪x 2  5.9571 , x1  4.775‬‬ ‫‪(x  x 2 )  0‬‬ ‫‪t' 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪4.775  5.9571‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.47.‬‬ ‫‪0.9452 1.9312‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬

‫وﻋﻠﯾﻧﺎ أن ﻧﻘﺎرن ﻗﯾﻣﺔ ‪ t ‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺑﻘﯾﻣﺔ ‪ t‬اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ s12 s 22 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ n1 n 2 ‬‬

‫‪  s2 2  s2  ‬‬ ‫‪ 2  ‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ n2  ‬‬ ‫‪ n  1  n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 0.9452 1.9312 ‬‬ ‫‪ 8  7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  0.9452 ‬‬ ‫‪ 1.9312  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 8    7  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 8.5  9.‬‬ ‫‪ t 0.05  1.833‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ t‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪   9‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬

‫‪ T  1.833‬أو ‪ . T  1.833‬ﺑﻣﺎ أن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬

‫‪١١‬‬