الاستدلال البييزى للتوزيع الاسى by Tharwat Abdelmonem

‫اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟﺑﯾﯾزى ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ‬ ‫ﺗﺣت اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺣﯾﺎه‬

‫‪١‬‬

‫)‪ (١‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻛﺳﻰ ﻛﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ ﻣ ن‬ ‫اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Shalaby (1990‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (yi )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪L(y | )  L ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫) ‪1 ( i ) ( r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ e  ][e  ]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫] ‪yi  (n  r ) yr‬‬ ‫‪n! 1 ( [ ‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪u  [ yi  (n  r)y r ].‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﻘﺪر اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ ‪ MLE‬ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫وﻳﺘﻢ ﺑﺎﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ln L‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪  r ln   ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln L  r u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫‪r u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆ ˆ 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ (n  r)y r‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪i‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪ ˆ  ‬‬ ‫‪r‬‬

: ‫ ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‬ ‫واذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ () 

 g 1 –g  /   e (g  1)

; g  1 , ,   0.

: ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬ 

n!  –(rg-1)  1(u) g1 e d 0 ()L(y | )d  (g 1) (n  r)! 0 

n! g1  . (r  g 1) (u )(r g-1) . (g 1) (n  r)!

( y)  

()L(y | )

 ( u)

 ()L(y | )d 0

(u )(r g1) (rg)   e (r  g 1)

(u ) 

,r  g  1 ; ,   0.

:‫ﻫﻲ‬



‫اﻟﻌﺰوم ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

 S

E( u)   S ( | u) d 0

(u   ) (r  g 1)   (r  g  1)





 (r  g  s 1)

 (u  ) 

d

(u   ) (r  g 1)  (u   )  (r  g s 1)  (r  g  s  1)  (r  g  1)  (r  g  s  1)  (u   )s ; r  g  1, s  1, 2,....  (r  g  1) ‫( ﻳﺘﻢ اﻟﺘﻮﺻﻞ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬s=1) ‫ ﻓﺒﻮﺿﻊ‬، ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﺰوم ﻏﲑ اﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﻮﺻﻞ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ وﺗﺒﺎﻳﻨﻪ‬ : ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬

‫)‪ (r  g  2‬‬ ‫) ‪(u  ‬‬ ‫)‪(r  g  1‬‬ ‫) ‪(u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪rg2‬‬

‫‪1*  E( u) ‬‬

‫‪; r  g  2.‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﺰم اﻟﺜﺎﱐ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﱃ ﺗﺒﺎﻳﻦ اﳌﻘﺪر ‪ ‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Var(1* )  E( 2 u)   E( u) ‬‬ ‫‪(u   ) 2‬‬ ‫‪(u   ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (r  g  3) ‬‬ ‫)‪ (r  g  2‬‬ ‫‪(r  g  2) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ (u   ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫)‪(r  g  2)(r  g  3‬‬ ‫‪(r  g  2) 2‬‬ ‫‪(u   ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(r  g  2) 2 (r  g  3‬‬

‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ *2‬وﳝﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻪ ﺑﺎﺗﺒﺎع اﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫أوﻻً ‪ :‬إﳚﺎد اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ‪:‬‬

‫‪ (u )(r g1) ‬‬ ‫)‪(u  ‬‬ ‫‪ln [( u)]  ln ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  (r  g)ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (r  g 1) ‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق ﻃﺮﰱ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫)‪ ln [f( u)] (r  g) (u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺛﺎﻟﺜﺎً ‪ :‬ﲟﺴﺎواة اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ وﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻳﻜﻮن اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي ‪:‬‬

‫‪٤‬‬

‫) ‪(u  ‬‬ ‫‪rg‬‬

‫‪; r  g  0.‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬

‫‪*2 ‬‬

‫ﻳﺘﻢ اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪*2‬‬

‫أوﻻً ‪ :‬ﻳﺼﺎغ اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫) ‪(u  ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪rg‬‬ ‫‪rg rg‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ,  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪rg‬‬ ‫‪rg‬‬

‫‪*2 ‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪u  (r  g) ( *2   ).‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎَ ‪ :‬ﲟﺎ أن اﻹﺣﺼﺎء ‪ U‬ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺘﲔ )‪ ( r,θ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪, u  0.‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪h (u |  ) ‬‬ ‫‪u r 1 e‬‬ ‫) ‪ (r‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪du  (r  g) d *2 .‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي ‪ *2‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ U‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪(r  g‬‬ ‫‪ *2    0.‬‬

‫) ‪ ( r  g ) (  *2  ‬‬ ‫‪‬‬

‫;‬

‫اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬

‫) ‪ ( r  g ) (  *2  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪h1 ( ) ‬‬ ‫‪(r  g ) r 1 (  *2   ) r 1 e‬‬ ‫) ‪ (r‬‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬

‫‪*2‬‬

‫‪d  *2 .‬‬

‫‪1‬‬ ‫* ‪rg r‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪) (  2   ) r 1 e‬‬ ‫)‪ (r‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻳﺘﻢ إﳚﺎدﻩ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫) ‪ ( r  g ) (  *2  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪r 1‬‬

‫*‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪(  ‬‬

‫*‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪1 rg‬‬ ‫‪E ( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (r )   ‬‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬

* : ‫ ﻳﺘﻢ ﺣﻞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬z  (  2   ) ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬

r   (rg )z  1 rg  r 1  E ( )  (z   )z e dz      (r)     0  * 2

r   (rg)z  (rg)z  1 rg  r r 1    z e dz   z e dz     0  (r )     0  r  ( r  1) r 1 rg  rg rg     (r)      (r  1)     (r )           r    rg r   . rg

  

.  ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬*2 ‫وﻳﺘﻀﺢ ﳑﺎ ﺳﺒﻖ ان اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ : *2 ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ :‫ ﻓﺈن‬θ ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬*2 ‫ﲟﺎ أن اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ M S E (  *2 )  V ar (  *2 ) .

: *2 ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ M S E (  *2 )  E (  *2   ) 2  E  (  *2 ) 2   2  E (  *2 )   2 . :‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬E[ (  *2 ) 2 ] ً‫وﳊﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻳﺘﻢ إﳚﺎد أوﻻ‬

1 rg E[(  ) ]     (r)    * 2

r 

   * 2

* 2

(   )

r 1

 ( r  g ) (  *2   ) 

d  *2



: ‫ ﻳﺘﻢ ﺣﻞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬z  (  *2   ) ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ ٦

r   (r  g)z  1 rg  2 r 1 E[ (  ) ]    (z  ) z e  dz    (r)     0  r     (r  g)z  (r  g)z  (r  g)z  1  r  g   r 1 r 2 r 1    dz   2z e dz    z e  dz    z e (r)     0 0 0  r  (r  2)  (r 1) r 1 rg  rg rg rg  2   2 (r  1)     (r)   (r  2)       (r)               * 2

   r  r(r  1)   2 .   2 rg rg * 2 :‫ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬*2 ‫ ﰲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬E[ (  2 ) ] ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻘﻴﻤﺔ‬

M SE (  *2 )  E[ (  *2 ) 2 ]  2  E (  *2 )   2 2

    r   r  r(r  1)    2  2    2 rg rg  rg r 2  ( g   ) 2  . 2 r  g  

 2  

 ‫ﻓﱰات اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

: ‫ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ‬ ‫ اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬100(1-  )% ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﱰات اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ‬ t1

 0



  ( u ) d   2

  ( u ) d 

 . 2

:‫ أي أن‬، t 2 ‫ واﳊﺪ اﻷﻋﻠﻰ‬t1 ‫ﻟﻠﺤﺪ اﻷدﱏ‬ P(t1    t 2 )  1   .

‫ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ‬ ‫ وﲟﺎ ان‬،  ‫ اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬100(1-  )% ‫ ( ﻫﻲ ﻓﱰة اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ‬t1 , t 2 ) ‫اﻟﻔﱰة‬ : ‫ﻓﺈن‬

(   u, r  g  1)

2(  u)   22(r  g 1)  *  2 (r  g) 2   22(r  g 1)  

: ‫ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬P(t1    t 2 )  1   ‫أي أن‬ ٧

‫‪‬‬ ‫‪2(r  g )  *2‬‬ ‫‪P  2  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 2  1  ‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ P 2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫*‬ ‫‪ 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2(r  g )  *2 ‬‬ ‫‪ 2( r  g )  *2‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  1  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫اى ان ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 2(r  g )  *2 2(r  g )  *2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻳﻤﺜﻼن اﻟﺤﺪﻳﻦ اﻻدﻧﻰ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻔﺘﺮة اﻟﺜﻘﺔ ﻟـ ‪ ‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2  , 2‬ﺗﺴﺘﺨﺮﺟﺎن ﻣﻦ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎى ﻣﻦ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪ (٥‬ﻋﻨﺪ درﺟﺎت ﺣﺮ ﻳﺔ )‪. 2(r  g  1‬‬ ‫ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ‪:‬‬ ‫أوﻻً ‪:‬ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻘﺪر اﳌﻜﺎن اﻻﻛﱪ ˆ‪) ‬اﳌﻘﺪر ﻏﲑ اﳌﺘﺤﻴﺰ ﺑﺄﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪: ( ‬‬ ‫ﲟﺎ أن ˆ‪ ‬ﻣﻘﺪﻳﺮ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪M S E (  )  V ar (  ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻘﺪر اﳌﻜﺎن اﻻﻛﱪ ˆ‪ ‬ﻫﻮ ‪:‬‬

‫‪٨‬‬



r ( ˆ ) 

 M SE ( ˆ )  (  ) d  0





 0

 g 1  (g  3)  -(g  3 )   r  (g  1)

 

2  g 1  – g e  /  d r  (g  1)

2 r (g  2)(g  3)

;

g  3 , r  0.

: 1* ‫ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي‬: ً‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬ : ‫ ﻓﺈن‬ ‫ ﻣﻘﺪﻳﺮ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬1* ‫ﲟﺎ أن‬ M S E (  1* )  V ar (  1* ).

1* 

:‫ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬U ‫ ﻓﻴﺠﺐ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻟﻺﺣﺼﺎء‬، U ‫داﻟﺔ ﰲ اﻹﺣﺼﺎء‬

(u   ) ‫وﺣﻴﺚ أن‬ rg2



g (u ) 

 h (u

 )  (  ) d



u   r   g  r 1 g 1    u e   e   d  (r) 0     (g  1) 

 u r 1  g 1   ( r  g 1)      (r  g  1)  (u   )   (r)  (g  1)   u r 1  g 1   ( r  g  1)   .  (u   )   (r, g  1) 

: ‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬1* ‫وﻣﻨﻪ ﳝﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي‬  * 1

r ( ) 

 V ar ( 

* 1

) g (u ) du

0 



 0

   u r 1  g 1 (u   )  ( r  g 1) (u   ) 2   2  (r, g  1)  (r  g  2 ) (r  g  3)  

    ( r  g  3)  g 1    2  (r  g  2) (r  g  3)   (r, g  1) ٩



 0

(1 

  du 

u  ( r g 3) ) du. 

: ‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬1* ‫ ﻳﺘﻢ ﺣﻞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ وإﳚﺎد ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي‬z 

u , ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ 

      (r 2) r  (r  g  3) r 1 r(1* )   z dz     (1  z) 2 (r  g  2) (r  g  3)  (r, g  1)    0    (r, g  3)  2      2  (r  g  2) (r  g  3)   (r, g  1)  

2 (r  g  2)(g  2)(g  3)

;

rg 3 .

: *2 ‫ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻨﻮال‬: ً‫ﺛﺎﻟﺜﺎ‬  * 2

r( )   MSE(*2 ) () d 0 

r2  (g )2 g1 –g  /    e d 2  (g  1) (r  g) 0 



g1  r 2–g e /  d  g22–g e/  d   2g1–g e/  d   2–g e/  d 2  (r  g) (g 1) 0 0 0 0 g1  r(g  3)-(g3)  g2(g  3)-(g3)  2g(g  2)-(g2) 2(g 1)-(g1)   2 (r  g) (g 1) 2 (r  g  6)  (r  g)2 (g  2)(g  3)

;

(r  g)  3.

: ‫ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬*2 ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻘﺪر‬1* ‫اﻻن ﻳﺘﻢ ﺣﺴﺎب ﻧﺴﺒﺔ ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر‬ r( 1* , ˆ ) 

r( 1* ) 2 r(g  2)(g  3) r   , * 2 r( 2 ) (g  2)(g  3)(r  g  2)  (r  g  2)

r(*2 )  2 (r  g  6) r(g  2)(g  3) r(r  g  6) r( *2 , ˆ )    , 2 2 (r  g) 2 r(ˆ ) (r  g) (g  3)(g  3)

: ‫اى ان‬  r(1* , ˆ )  r(*2 , ˆ )  r(1* )  r( ˆ )  r( *2 ).

١٠

‫وﻫﺬا ﻳﻌﲎ ان اﻓﻀﻞ ﻣﻘﺪر ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻫﻮ *‪. 1‬‬ ‫ﻟﻠﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ وﺑﻮﺿﻊ ‪ r  n‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﲣﺺ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (٢‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﺗﺣت ﻓرض اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬

‫اﻟﻔﺗرة )‪(, ‬‬

‫ﻛﺗوزﯾ ﻊ ﻗﺑﻠ ﻰ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ‬

‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Bhattacharya (1967‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (yi )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪L(y | ) ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫) ‪1 ( i ) ( r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ e  ][e  ]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫] ‪yi  (n  r ) yr‬‬ ‫‪n! 1 (  [ ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪u  [ yi  (n  r)y r ],‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وإذاﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة )‪ (, ‬اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪; 0 .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪(a  1)() a 1‬‬ ‫‪a 1  a 1‬‬

‫‪() ‬‬

( y)  

()L(y | )

 ( u)

 ()L(y | )d 0 u









(a 1)()a 1 –a n!   –r  e  a1 a 1 (n  r)! u (a 1)()a1 –a n!   –r  e  d a 1 a1 (n  r)! 

 –(a  r) e   – r

 







–(a  r)



u 

,     .

–r

e  d

: ‫اﻻن‬









–(a  r )

  

u 



–r

–(a  r)

e  d    0

let w= 



u 



–r

e  d   

–(a  r)



u 

e  – r d

u u u  =  d   2 dz  z z

–(a  r )



u 

u  0

–r

e  d  

u   w

 (a  r )

w

u u u   d     2  0 w w

–(a  r )

u  w e d w2

u  u  (a  r 1) 1  w    u e dw   w (a  r 1) 1e w dw  .  0 w 0   u u   (r    1, )   (r    1, )    (a  r 1)

where  (n,x)=  e-t t (n 1)dt. 0



  ( u )  u

– ( a  r  1)



u 

,     . u u  (r    1, )   (r    1, )   : ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

 ( a  r  1)

١٢



u  

–(a  r  2)







  E( u) 



 (a  r 1)

–(a  r  2)



u 

e d

u u  (r    1, )   (r    1, )  

,     .

u 

u u e d  u  (a  r  2)  (r    1, )   (r    1, )   

 u u  u   (r    2, )   (r    2, )     *   . u u  (r    1, )   (r    1, )   : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬



E(2 u) 





 (a  r 1)



–(a  r 3) e  d

u u  (r    1, )   (r    1, )  

u 2  * (r    3, u) * y y  * ,  (n, y)   (n, )   (n, ).  (r    1, u)  

: ‫اذن‬ * u 2  * (r    3, u) 2   (r    2, u)  Var( )  * u  *   (r    1, u)   (r    2, u) 





u 2  * (r    3, u)    * (r    2, u)  *

[  (r    1, u)]

.

‫ ﲤﺜﻞ زﻣﻦ‬t 0 ‫ﰱ ﺣﺎﻟﺔ اﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻻول ﻓﺈن‬. u   x i ‫ و‬r  n ‫ﰱ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺑﻮﺿﻊ‬ i 1

‫ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ‬. ‫ ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺘﻐﲑا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ‬r ‫اﻧﺘﻬﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ واﶈﺪد ﻣﺴﺒﻘﺎ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ اﻟﺒﺎﺣﺚ وﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻓﺈن‬ : ‫ﻛﺎﻵﰐ‬ r

L(x1 , x 2 ,..., x n | )   f (x i )[1  F(t 0 )]n  r i 1

1  [ e i 1 

x ( i ) 

t [(  0 )]nr 

][e

]

u



1 (  ) e r r

where u  

x

 (n  r)t 0 .

i 1

١٣

‫)‪ (٣‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﺗﺣت ﻓرض اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬

‫‪‬‬

‫ﻛﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠ ﻰ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ‬

‫‪L(y | ) ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪r‬‬ ‫) ‪( r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ exp( i )][e  ]n  r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫] ‪yi  (n  r) yr‬‬ ‫‪n! 1  [‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬

‫‪r‬‬

‫‪u  [ yi  (n  r)y r ].‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وإذاﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, 0    ;   0 .‬‬

‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪١٤‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪()  e ‬‬ ‫‪‬‬

( y)  

()L(y | )

 ()L(y | )d 0

1  n! –r   e  e  (n  r)!







 1  e



( u) u 

n! –r  e d (n  r)! 

   u          

– re







   u     – r      

 e

. d

: ‫اﻻن‬

١٥





  b   ax    x    

x e

a dx  2   b

1 2



K 1 2 ab



1 let a= ,   r 

–r



 e e

( u) 

2 (u)

r 1



u 

r 1 2

   u         

 u K r 1  2   

   u     – r     

(u)  e  u 2K r 1  2   

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬    u 

    (u) r 1 1–r         E( u)   e d  u  0 2K r 1  2    *

(u) r 1   u 2K r 1  2  

 1  2   u   

 K r2  2   u  K r 1  2 

(r  2) 2

 u K r  2  2    

u   .  u   : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬

١٦

   u 

    (u) r 1 2–r       E( u)   e d.  u  0 2K r 1  2     1 let a= ,   r, b  u,  2

r 1

E( 2 u) 

(u)  1  2  u   u  2K r 1  2    

 K r 3  2   u  K r 1  2 

(r 3) 2

 u K r 3  2   

u   . u   : ‫اذن‬

  u  K r 3  2  K r 2  2      u   Var(* )  u   K r 1 2 u  K r 1  2  





u     u     

2   u  u  u   K r 3  2   2    K r 1  2    K r 2  2    .    u           K r 1  2      

u

R(t) ‫ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬

‫اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى‬ : ‫ﲟﺎ ان‬

t 

R(t)  e , : ‫وﺑﺈﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ ١٧

 *

R (t )  E[R(t)]   R(t) ( | u) d 0

   u  t     

   (u) r 1 – r      e  u  0 2K r 1  2    1 let a= ,   r, b  u  t,  r 1

d.

(u)  1  2  u   (u  t)  2K r 1  2      ut  r 1 K r 1  2  2  u        u ut K r 1  2     ut   (r 1) K  r 1  2  t 2   .  1    u  u K r 1  2   

 R * (t) 

(r  2) 2

 ut  K r 2  2    

: ‫اﻳﻀﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

١٨

Var  R * (t)   E  R 2 (t) u    E(R(t ) u)  , 

E[R 2 (t )]   R 2 (t ) ( | u) d  0

   u 2 t     

   ( u) r 1  – r e     u 0 2K r 1  2    1 let a= ,   r, b  u  2t, 

( u) r 1  E[R (t)]   u 2K r 1  2   2

2t    1   u  

 ( r 1) 2

d.

 u  2t 2K r 1  2     

 u  2t K r 1  2    u K r 1  2   

 ( r 1)     (u  t)  2 

  .

 Var  R * (t)   E  R 2 (t ) u    E(R (t) u) 

2t    1   u  

 (r 1) 2

 u  2t    u  t   (r 1) K r 1  2 K r 1  2         t 2     1   . u      u u  K r 1  2 K r 1  2          

2t    Var  R * (t )   1  2  u    u   K 2  r 1       

 ( r 1) 2

 u  2t K r 1  2  

  u   u  t   K r 1  2    K r 1  2  .         

‫ ﻛﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ‬prior quasi-density ‫( ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﺗﺣت ﻓرض‬٤) ‫ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ : ‫ وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬Bhattacharya (1967) ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ‬ ‫ اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬r ‫ ﻫﻰ ال‬y1  y 2    y r ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان‬ ‫ واﳌﻄﻠﻮب‬y  y1 , y 2 , , y r ‫ و‬r  n ‫ ﺣﻴﺚ‬ ‫ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ‬n ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ‬ : ‫ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ‬.  ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة‬ ١٩

r n!  f (yi )[1  F(yr )]n r (n  r)! i 1

L(y | ) 



r ( r ) n! 1 y [ exp( i )][e  ]n r (n  r)! i 1   r

yi  (n  r ) yr ] n! 1 (  [  i 1  e . (n  r)! r

: ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ r

u  [ yi  (n  r)y r ] i 1

: ‫ ﻫﻮ‬ ‫ﲢﺖ ﻓﺮض ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ل‬       a ,0    . : ‫ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬.Bhattacharya (1967 )‫واﳌﺎﺧﻮذ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‬

( x)  

() L(y | )

 ( u)

 ()L(y | )d 0

n! –r     e (n  r)!  u  n! –r   –a 0  (n  r)!  e d –a









–(a  r)



–(  r)

u   

d u



  1 u ( )(a  r ) e    u  (a  r  1) 

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

٢٠

u   (u) (a  r ) –(a  r) 1   E( u)   e  d .  0  (r)  (a  r  1)) u u u let w=   =  d  2 dw.  w w (a  r ) 1  (u)  u  *  u  (a  r ) 1 w (a  r) 1e  w  2  dw   (a  r  1) 0 w  *

*  

 ( a  r 1)1 u w e  w dw  0 (a  r  1)

(u) u  (a  r  2)  , r    2.  (a  r  1) ar2 : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬ ( a  r 1)1

 ( a  r ) 2 (a  r )  2 u u E( u)  u w e  w 2 dw   (a  r  1) 0 w 2

 ( a  r 3)1 u2  w e  w dw   (a  r  1) 0

u2 u2   (a  r  3)  .  (a  r  1) (a  r  2)(a  r  3) : ‫اذن‬ 2

 u  u2 Var( )    (a  r  2)(a  r  3)  a  r  2  u2 u2  . a  r  2  a  r  3  (r    2)(r    3) (r    2) 2 (r    3) *

‫( ﺗﻘ دﯾرات ﺑﯾﯾزﯾ ﺔ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟﺛ ﺎﻧﻰ ﺗﺣ ت ﻓ رض اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻘﺑﻠ ﻰ‬٥) ‫اﻟﻣراﻓق‬ : ‫ وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬Bhattacharya (1967 ) ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‬

٢١

‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (yi )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬

‫‪L(y1 , y 2 ,..., y n | ) ‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[ exp( i )][exp( r )]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n! 1‬‬ ‫‪1 r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪exp( [ yi  (n  r)y r ].‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬ ‫‪ i 1‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫] ‪u  [ yi  (n  r)y r‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻻﺧﺘﻴﺎر اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻮم ان داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻻﺑﺪ ان ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪a (  )  b( x )  c(  )d (x )]‬‬

‫‪f (x | )  e‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d ( x i )]‬‬ ‫) ‪ na (  ))  c( ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪L(y | )  L  e‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪1a (  ) 1c(  )]‬‬

‫‪ ( )  e ‬‬

‫واﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪,  2  1  n,  2  1   d(x i ).‬‬

‫‪ 2 a (  )  2 c(  )]‬‬

‫‪( | x)  e‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ﲢﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﻓﺈن ‪ L‬ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x i ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ a()   ln , c( )  ‬‬

‫‪i1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  r ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x i ‬‬ ‫‪ i 1 ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L re‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1 ln   ]‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ ( )  e‬‬

‫اى ان ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫] ‪‬‬ ‫‪ 1   ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪  ( )  ‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ln   ]‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اى ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪ ( )  e‬‬

1   ( )     (  )   

 1

      ]

,0<    , ,   0.

: ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬ ()L(y | )

( y)  

 ( | u)

 ()L(y | )d 0 –r





 e 

–(  r 1)



let w=

u    –r  –(1) 



u    –(1) 

 e 





–(   r 1)

e d

 u       

. d

u u u   d   2 dw.  w w

: ‫اذن‬





 –( r 1) e

 u      w 

 u       

d  

 u    w   



–(  r)





(  r ) 1   w 

–(  r 1)

 w 

u   dw     w 

u dw w2

–(  r )

(  r).

: ‫اذن‬ ) (u )(r ) –(r1)  (u  ( u)   e (r  ) (r 1)

 u       



(u )

e  . (u )(r )

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

٢٣

(u  ) (r  )   E( u)   (r   ) *

(u  ) (r  )    (r   ) *

*  











 u  w   

–(r  )

 (r  )



u  

d

 u e  w  2  dw  w 

(T  )  ( r1)1  w w e dw  (r   ) 0

(u  ) (u  )  (r    1)  , r    1.  (r   ) (r    1) : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬

(u  ) (r  ) E( u)   (r   ) 2

(u  ) (r  )   (r   )









 u  w   



–(a  r ) 1

 (r  ) 1



u  

d

u e  w  2  dw  w 

(u  ) 2  ( r2 )1  w  w e dw  (r   ) 0 

(u  ) 2 (u  ) 2  (r    2)  .  (r   ) (r    1)(r    2) : ‫اذن‬ 2

 (u  )  (u  )2   (r    1)(r    2)  (r    1)  (u  )2 (u  ) 2  .  r    1  r    2  (r    1)2 (r    2) (r    1) 2 (r    2) Var(* ) 

‫اﻟﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ :‫ﲟﺎ ان ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻰ‬

t 

R(t )  e , : ‫ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

٢٤

 *

R (t )  E[R(t)]   R(t ) ( | u) d 0

(u  )(r  )  (r  ) (u  )(r  )  (r   )











–(r 1)



( t  u  ) 

 t u     w 

(u  )(r  ) (t  u  )  (r   )

d

 (r 1)

 t u  e w   dw 2 w  

 ( r  )





( r  ) 1

e  w dw

( r  )

 ( r  ) (u  )  (r   )(t  u  ) (r   )

 t  u   u   

 (r  )

 t   1    u 

 (r  )

: ‫اﻳﻀﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ 2

Var  R * (t)   E  R 2 (t) u    E(R (t) | u)   2

E[R (t)]   R 2 (t ) ( | u) d 0

(u  )(r  )  (r  ) (u  )(r  )  (r  )











–(r 1)



(2t  u  ) 

 2t  u      w  

(u  )(r  ) (2t  u  )  (r  )

d

 (r 1)

 2t  u    e w   dw 2 w  

 ( r  )





( r  ) 1

( r  )

 ( r  ) (u  )  (r   )(2t  u  ) (r   )

 2t  u       u 

 (r  )

 2t   1    u  ٢٥

 (r  )

e  w dw

‫‪2‬‬

‫‪Var  R * (t)   E  R 2 (t u)    E(R (t | u) ‬‬ ‫) ‪2(r ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪ (r ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2t ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪ (٦‬اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزى ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘص اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ‪ ‬ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ yi   n  r  yr  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪i1‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪n!  1 ‬‬ ‫‪L  y1 , y 2 ,..., y r   ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ n  r !   ‬‬

‫‪ :‬اﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪرات ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻷﺳﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪u   yi   n  r  y r .‬‬

‫‪let‬‬

‫‪i 1‬‬

‫وﺑﻔﺮض ان ‪:‬‬ ‫‪n!   r 1  u ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e d‬‬ ‫‪ n  r ! 0‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u  r r.‬‬ ‫!‪ n  r ‬‬

‫ﲢﺖ ﻓﺮض ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ل ‪ ‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪g    .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل ‪ ‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪u r r‬‬

‫ﲟﺎ ان داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﻫﻰ ‪:‬‬

‫‪u ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪  r 1‬‬

‫‪ u   ‬‬

‫‪u ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u e .‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪R(t)  e‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪٢٦‬‬

‫‪R * (t)  E  R(t) x ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  R(t)   x  d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1  u   u ‬‬ ‫‪  e d‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ e‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪u r   r 1  1u  t ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪r 0‬‬ ‫‪u  t‬‬ ‫‪ut‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪r‬‬ ‫*‬ ‫‪ R (t)   u  t   r 1e d‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ t  u r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬ ‫‪ R (t)  1   .‬‬ ‫‪ u‬‬

‫‪ut‬‬ ‫‪‬‬

‫‪let  ‬‬

‫)‪ (٧‬اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزى ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﯾﺎة وداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺳ ﻰ ذو اﻟﺑﺗ ر اﻟﻣ زدوج‬ ‫ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Shalaby (1994‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X‬ﳍﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬و ﻗﺪ ﰎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﱰ ﻣﺰدوج ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳍﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪ t2‬‬ ‫‪1 x t1‬‬ ‫‪f(x| t1 <X< t 2 ) = e (e  e  ) 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪> 0 , 0 <t1  t 2   ; t1  x  t 2 .‬‬

‫داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻋﻈﻢ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ذو اﻟﺒﱰ اﳌﺰدوج ﺗﻜﻮن ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‪:‬‬

‫‪٢٧‬‬

L(x1 , x 2 ,..., x n ; , t1 , t 2 )  L   f (x i ) i 1



 xi i 1

e  1 =  . n t t 1 2         e  e     t  2    t1 n = e  e  e     

u 

n

 t 2  t1   t1    n = e  e   1  e      

= n e = n e



u 



(T nt1 ) 



G 

n

(t  t )  2 1    1  e  .  

R     1  e   

n

where G = u-nt1

, R= t 2  t1

,u =  x i i=1

: ‫ ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ h  h 1  ()   e  (  1)

; h, > 0 .

 > 1 ‫ ﻫﻲ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ و‬(  1) ‫ﺣﻴﺚ أن‬ .  ‫ﺳﻮف ﻧﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﰱ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ 

(m  1, a)   y m e  y dy a

aj =(m  1)e  , m = 0,1,2, ... j0 j! m

a

٢٨

: ‫ ﻳﻜﻮن‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ ( | x) 

L(x | )() 

 L(x | )() d 0



f (x)   L(x | ) () d 0



(h+G) R h  -1 -( +n)  =  e (1-e  ) -n d  ( -1) 0 

(h+G)  jR h  -1  n  j1  -  -( +n)  =  e   j e d ( -1) 0  j=0  

(h+G+jR)  -1  n  j1  h -( +n) =   e  d.   j  ( -1) 0 j=0  h+G+jR h+G+jR (h+G+jR) let w =  =  d = dw,  w w2 if =0  w= , if =  w=0, 

٢٩

 -1  h+G+jR   n  j1  h f (x) =      w  j  (-1)   j=0  

-( +n)

 (h+G+jR)  e-w  dw 2 w  



 -1 1-( +n)  n  j1  h  n 2 -w = w h+G+jR e dw     j  (  -1)  j=0  0 

 -1 1-( +n)  n  j1  h =  h+G+jR (  n  1)    j  ( -1) j=0  

1-( +n)

 -1  n  j1  h (  n  1)  ( n )1  h+jR  =  G  1+  j (-1) h    j=0  

 n 1 h  -1   n  j1  A j =   j  n 1 (  n  1) ( -1) j=0  G

h  -1 = K 1 , ( -1) -1

where

 n 1

  h+jR   n j1  A j -1 A j = 1+  , K    j  n 1 (  n  1) h  G  j=0 

G n 1 K   n  j1  n 1 (  n  1)  Aj j  j=0  R h  -1 -( +n) - (h+G)  e  (1-e  )-n (-1) ( | u)  h  -1 K 1 , ( -1)

 K

-( +n)

(h+G) 

R  -n

(1-e )

; >0 .

: ‫ ﻫﻮ‬U=u ‫ ﺑﺸﺮط‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬m ‫اﻟﻌﺰم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰي ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬  ` m

 ( | u)  E( )   m ( | u) d, m  1, 2,... 0

٣٠



=K  

-( +n-m)

(h+G) 

(h+G)  

R  -n

(1-e ) d



=K  

-( +n-m)



 n  j1  -    j e d  j=0 

 n j1  -( +n-m) =K   e   j 0 j=0 

(h+G+Rj) 

d



 n  j1  =K   ( +n-m-1) (G+h+Rj)1-( +n-m)  j  j=0  

h+Rj -( +n-m-1)  n  j1  1-( +n-m) =K   G  (  +n-m-1) (1+ )  j G  j=0  

 n  j1  1-( +n-m) =K   G (+n-m-1) A j +n-m-1  j  j=0  

G =

 n 1

 n  j1   +n-m-1 1-( +n-m) G ( +n-m-1)   j Aj   j=0   n  j1   +n-1 ( +n-1)  Aj j  j=0  

 n  j1   +n-m-1   A j G m ( +n-m-1) j=0  j  = .  n j1 where , m = 1,2,... ( +n-1)    +n-1   j Aj  j=0  . m ‫و ﳝﻜﻦ إﳚﺎد اﳌﺘﻮﺳﻂ و اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬

R(t ) ‫ وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻤﺔ‬ : ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة ﳌﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻫﻮ‬* ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى‬

٣١



 n  j1   +n-1-1   j Aj G( +n-1-1) j=0   *  E()  1` ( | u)  .  n  j1 ( +n-1)    +n-1   j Aj  j=0  

 n  j1   +n-2   j Aj G( +n-2)   = . j=0 ,  n  j1 ( +n-2)( +n-2)    +n-1   j Aj  j=0  

*

 n  j1   +n-2   j Aj G   = . j=0 .  n  j1 ( +n-2)    +n-1   j Aj  j=0  

 n  j1   +n-3   j Aj 2 G ( +n-3) j=0   E(2 )  `2 ( | u)  .  n  j1 ( +n-1)    +n-1   j Aj  j=0  

 n  j1   +n-3   j Aj G2  j=0   .  n  j1 . ( +n-2)( +n-3)    +n-1   j Aj  j=0  : ( ‫و ﻣﻨﻬﺎ ﻳﻜﻮن اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ اﻟﺒﻌﺪي ) اﳌﺨﺎﻃﺮة اﻟﺒﻌﺪﻳﻪ‬

Var(* )  E(2 )   E    

2    n  j1   +n-3    n  j1   +n-2     Aj  j  Aj   j G2 (  +n-3)    j=0   j=0   . =    n  j  1 n  j  1 ( +n-2)( +n-3)     +n-1 ( +n-2)     +n-1   A   j  j   j  A j     j=0     j=0    

٣٢

 ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ : ‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي‬ -( +n)

(h+G) 

R  -n

( | u)  K e (1-e ) d( | u)  d R R  - (h+G)  -n -(  +n)-1    -n -( +n) e (1-e ) -(  +n)   (1-e )        R  K (h+G) (h+G)  R  (h+G)  n( R)e   -n-1    2 e   -( +n) e   (1-e ) 2            (h+G) R R   -( +n+1)   -n  -n -( +n+2) -(  +n)  e (1-e )  (h+G)(1-e )    K  (h+G) (h+G+R) R  e   nR-( +n-2) e  (1-e  )-(n+1)  R (h+G) R R -  (h+G) nR -( +n+1)   -n   -1  =K(1-e ) e   (1-e ) e  -( +n)+    

d( | u) 0 d R R (h+G) nR  -1   -( +n)+  (1-e ) e  0   -

R R  -1 

 -( +n)+(h+G)  nR(1-e ) e  0. R R - -  1   -1      (h+G)  nR(1-e ) e  , ( +n)    

R -  1    (h+G)  nRe  . ( +n)  

. ‫و ﻳﺘﻢ إﳚﺎد اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻏﲑ اﳋﻄﻴﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ٣٣

ˆ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ‬

L(x | )   n e



G 

n

R     1  e  ,  

G R n G R n           G  n n 1e  1  e     n 2 e  1  e          dL    R R  n 1  d   n  G     R         e  n( e ) 1  e      2        

  n e



G 

R     1  e   

n

R 1   n G nR  R       2  2 e  1  e           1

R   dL  n G nR  R  0   2  2 e 1  e    0 d     

n  G  nRe



R 

R     1  e   

1

R R   ˆ  1 (G  nRe ˆ 1  e ˆ  ) n    1  Rˆ  1  (G  nR  e  1 ) n   R  ˆ  1 (G  nRe ˆ ) . n ‫وةةة‬

‫ااﻻﻟﻠﻜﻤﻢ‬

٣٤

‫ﺗﻘﺪﻳﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ : ‫ﺣﻴﺚ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻰ‬ R(t) 

t 

 t2 

 t1 

t2 

e e

e e ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻟﺪاﻟﺔ‬. ‫وان اى داﻟﺔ ﰱ ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻫﻰ ﻣﻘﺪر اﳌﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﳍﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ‬

: ‫اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻮ‬

t ˆ

t2 ˆ

ˆ )  e e . R(t  t1  t2 ˆ e  e ˆ

‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ t1  t 0  t 2 ‫ ﺣﯾث‬R(t 0 ) ‫ر اﯾﺎﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ‬ : ‫ ﺣﻴﺚ‬R * (t) ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة ﳌﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد‬

R * (t)  E  R(t )  

=  R(t ) (|u) d 0



= 0

t 

 t2 

 t1 

t2 

(e  e (e

e



=K  

-( +n)

t   t1 

)

K

(1  e



 (t  t1 ) -( +n) 

(1  e

 ( t 2  t1 ) 

-( +n)

R 

(h+G) 

R  -n

(1-e ) d

(1  e

 (R R ` ) 

(1  e

)

(h+G) 

R 

R  -n

(1-e ) d

)

 (t 2  t1 (t  t1 )) 

(1  e



 (t 2  t ) 

(1  e

=K  

)

=K  

-( +n)

R 

)

(h+G) 

R  -n

(1-e ) d

) e

(h+G) 

)

R  t 2  t1 , R `  t  t1 ٣٥

R  -n

(1-e ) d



=K  

 R` -( +n) 

(1  e

 (R  R ` ) 

) e

(h+G) 

(h+G)  

R  -(n+1)

(1-e )

d



=K  

 R` -( +n) 

(1  e

 (R  R ` ) 

) e



=K  -( +n) 0



 

=K   0

j=0



-( +n)



n+j

   j=0 

n+j j

 e 

(jR+R ` h  G) 

(jR+R `  h G ) 

(1  e

 n+j  -    j  e d  j=0 

 (R  R ` ) 

) d



d  K  



-( +n)

 n+j    je  j=0 

((1+j)R  h G ) 

  (jR+R  h G ) ((1+j)R  h G )   n+j   -( +n) -( +n)   =K       e d    e d  j   0 j=0   0 



 n+j  =K    (  n  1) j  j=0   (jR+R `  h  G) ( n 1)  ((1+j)R  h  G) ( n 1)  

 n+j  =K    (  n  1)G  ( n 1) j  j=0   jR+R `  h (1+j)R  h  (  n 1)  (  n 1)  (  1)  (  1)   G G   

 n+j  ( n 1)  A j1( n 1)    j  Bj  j=0  =   n+j-1  ( n 1)   j Aj  j=0  jR+R `  h (1+j)R  h where B j  (  1) 1 , A j1  (  1) 1 G G

٣٦

d

‫ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪‬‬

‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ‪ (t1 , t 2 ) HBD‬ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬واﻟﱴ ﳚﺐ ان ﲢﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﲔ اﻟﺘﺎﻟﻴﲔ ‪: :‬‬ ‫) ‪(1)   ( t 1 u )   ( t 2 u‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪f ( u ) d  1  .‬‬

‫‪‬‬

‫‪( 2) ‬‬

‫‪t1‬‬

‫وﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻔﱰة ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪) -n‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪(1 -e‬‬

‫) ‪(h+ G‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪e‬‬

‫) ‪-(  +n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ Kt2‬‬

‫‪-n‬‬

‫)‬

‫‪R‬‬ ‫‬‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 1 -e 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬‫‪ 1-e t 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪R‬‬ ‫‬‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 1 -e 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬‫‪ 1 -e t 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪t1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪(1 -e‬‬ ‫‪1‬‬

‫) ‪(h +G‬‬ ‫‪t1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪e‬‬

‫)‪-(  + n‬‬

‫‪(1) K t 1‬‬

‫‪1‬‬

‫]) ‪t 1  ( + n) [-(h +G )( t1 - t 2‬‬ ‫) ( ‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪1‬‬

‫]) ‪t 1  ( + n) (h+ G )[ t1 t 2 )(t 2  t 1‬‬ ‫) ( ‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪t2‬‬

‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود اﻟﺜﻘﺔ وذﻟﻚ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺘﲔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ‪.‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ اﳊﺎﻻت اﳋﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪:‬‬ ‫)ا( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ t 2  ‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺒﱰ ﻣﻦ اﻟﻴﺴﺎر ‪.‬‬ ‫)ب( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ t1  0‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺒﱰ ﻣﻦ اﻟﻴﻤﲔ ‪.‬‬ ‫)ج( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ t1  0, t 2  ‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (٨‬اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾ زى ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﺣﯾ ﺎة وداﻟ ﺔ اﻟﺻ ﻼﺣﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺳ ﻰ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‬ ‫اﻟﻣراﻗﺑﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺟﮭﺗﯾن‬ ‫‪ ٤‬ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Shalaby (1990‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪٣٧‬‬

‫ﺑﻔﺮض ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬وﺿﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﻛﺎﻧﺖ‬ ‫اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﻴﻨﻪ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻫﻰ ‪ Yn1 1 ,Yn1  2 ,...,Yn n 2‬وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن ‪ y n1 1  yn1  2  ...  y n n 2‬ﰎ‬ ‫اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺣﻴﺚ ‪ n1‬ﰎ ﲢﺪﻳﺪﻫﺎ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻓﺈن ‪ n1‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات زﻣﻦ ﻓﺸﻠﻬﻤﺎ اﻗﻞ ﻣﻦ ‪. y n1 1‬اﻳﻀﺎ ‪ n 2‬ﰎ‬ ‫ﲢﺪﻳﺪﻫﺎ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻓﺈن ‪ n 2‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﺻﺎﳊﺔ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺑﻌﺪ اﻟﺰﻣﻦ ‪ . y n n 2‬اى ان ) ‪ (n  n1  n 2‬ﺣﺴﺒﺖ‬

‫ازﻣﻨﺔ ﻓﺸﻠﻬﺎ ‪.‬اﳌﻄﻠﻮب ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ . ‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪n! n n 2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪f (yi ) P(X  y n11 ) n1 P(X  y n n 2 ) n 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2 in11‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪y n  n2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n1‬‬

‫ ‪‬‬‫‪e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪yn1 1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪- i‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -  ‬‬ ‫‪1- e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t1*  1‬‬ ‫‪-  i  ‬‬ ‫‬‫‪‬‬ ‫‪-ne in11  1- e  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫*‬

‫‪ - t2‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n n 2‬‬

‫‪n! ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪n1 n 2  in11 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪ - t1 ‬‬ ‫‪-n -s‬‬ ‫‪  e  1- e  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫*‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪t‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪  t1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= e  e  e   ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ n 2 t *2 , n =n-n 1 -n 2 . :‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪‬‬

‫=‬

‫‪n n2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪y‬‬

‫‪‬‬

‫*‬ ‫‪2‬‬

‫*‬ ‫‪1‬‬

‫‪t  y n1 1 , t  y n  n 2 ,s ‬‬

‫‪i  n1 1‬‬

‫اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱏ ﻣﻦ ﺟﺎﻧﺐ واﺣﺪ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻮﺿﻊ ‪n1  0 or n 2  0‬‬

‫ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪:‬‬

‫‪; h, > 0 .‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪() ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫)‪(  1‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل ﻫﻮ ‪: ‬‬

‫‪٣٨‬‬

( | x) 

L(x | )() 

( | s).

 L(x | )() d 0



f (x)   L(x | ) () d 0



(s+h) t -1 n! h  -1 -( +n)   n1 =  e (1-e ) d n1 n 2 (-1) 0 *



(s+h+jt1 ) n1 n! h  -1  j  -( +n) = (1)     e  d  n1 n 2 (-1) j=0  j 0 n1 h+jt1* n! h  -1  j  -(n-1) = (1)  (n-1)s (1  ),n = +n .  j n1 n 2 (-1) j=0 s  

: ‫ ﻫﻮ‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬  ( | s)  k 

-n

(s+h) 

t1* 

(1-e ) n1

n1 h+jt1*  ( n-1   -(n-1) (k )   ( 1)   (n -1)s (1  ) ) j s   j=0 1

 n1     ( 1)   (n -1)s -(n -1) D (nj -1) ,  j j=0 j

h+jt1* 1 where D j  (1  ) . s

: ‫ ﻫﻮ‬s ‫ ﺑﺸﺮط‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬m ‫اﻟﻌﺰم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰي ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬

٣٩

 ` m

 ( | s)  E( )   m ( | s) d 0



 k  

-(n-m)

(s+h) 

t1*  n1

(1-e ) d

 n1  =k (1) j  (n-m-1)s -(n-m-1) D(nj -m-1)  j j=0 n1

 n1  (n-m-1)  (1)  j  D j (n -m-1) m j=0  s n1 , n1 (n -1) j   (n-1) (1)   D j   j j=0 m  1,2,... . m ‫و ﳝﻜﻦ إﳚﺎد اﳌﺘﻮﺳﻂ و اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ R(t ) ‫ وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻤﺔ‬ j

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة ﳌﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻫﻮ‬* ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى‬ n1

 n1  (n-2) (1)   D j   s  (n -2)  j j=0 * `   E( | s)  1 ( | s)  , n1 (n-1) n1 j   (n-1) (1)   D j   j j=0 n1

 n1  (n-3) (1)   D j  2  s  (n -3)  j j=0 E(2 )  `2 ( | s)  . n1 (n -1) n1   (1) j   D(nj -1)   j j=0

٤٠

Var()  n1

n1 n1  n1 j   (n-3) j   (n-2)  (1)  j  D j   (1)  j  D j s 2 (n -3) j=0 s2    j=0 . n1  n1 n1 (n-1) ((n -1))2  n1 j   n-1) j   (n-1) (1)   D j    (1)  j  D j j     j=0  j=0

     

2 n1 n1  n1   n1 j   (n-3) j   (n-2)    (1)   D j   (1)  j  D j   j  s2 (n -3)  j=0      j=0      . n1 n1 n1    (n -2)(n-3)  n1 (n -2)       (1) j   D(nj -1) (1) j   D(nj -1)       j=0  j  j  j=0   

 ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ : ‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي‬ ( | s)  k-n e ( | s)  k 

-n

(s+h) 

t1*  n1

(1-e )

t1*

(1-e  )n1 .

d( | s)  d t* (h+s)    -1  - (h+s)  -(n+1) -n (h+s)  n1   (-n ) e  (1-e )  e   2        k   (h+s) t1* t1*  *   t1  -n    n1 -1   e (n (1-e ) e ) .   1   2    

٤١

(s  h ) t t  n  s  h n1 t1*  t1    1 1 d( | s)  n   n1   1 0 e (1  e )   2  2 e (1  e )   0 d      * 1 1

  n   s  h  n t (e



t1* 

 1) 1  0

t   1 1  * 1    s  h  n t (e  1)   1 1 n    *

t  1  1  *   s  h  n 1 t1 e   . n   

 ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي‬ . ‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ‬ R(t) ‫اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬

: ‫ﲟﺎ ان‬

t 

R(t)  e , t1* < t<t *2

: ‫ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

٤٢

 *

R (t 0 )  E[R (t)]   R(t )( | s) d 0



 k  

-n

(t+s+h) 

t1*  n1

(1-e ) d

(t+s+h+jt * )



n1 1 j  -n  k  (1)     e d j  0 j=0 n1 n1 k j  = (1)  (t +s+h+jt1* )-(n-1)  (n -1) j=0  j -(n -1)



* 1

k t+h+jt  j   -(n -1)  (  1) s 1    j    (n-1) j=0 s   n1

 n1  n-1 (1)   E j 1   t+h+jt1*   j j=0  n1 ,E j   1   . n1 s     (1) j   D nj -1   j j=0 j

: ‫اﻳﻀﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

Var  R(t)   E(R(t) s)  (E(R (t) s)) 2 .

٤٣

 2

E[R (t)]   R 2 (t)( | s) d 0



 k  -n  e

(2t+s+h) 

t1* 

(1-e ) n1 d



  -n  k  ( 1) j     e  j 0 j=0

(2t+s+h+jt1* ) 

t1* 

(1-e ) n1 d

n1 n1 k (2t+h+jt 1* )  j   -(n-1)    ( 1)  j  s 1  s   (n -1) j=0  

n1 2t+h+jt 1*  j   -(n -1)  ( 1)   s  1   s k  j j=0    n1 n1  (n -1) j  ( 1)   D (nj -1)   j j=0 n1

-(n -1)

 n1  n-1 ( 1)   H j  * 1 * 1 j     t+h+jt 2t +h+jt   j=0 1 1  n1 ,E  1  , H  1  j   j   . n1 s s j  n -1     ( 1)   D j  j   j=0 j

Var  R(t )   E(R (t) s)  (E(R (t) s)) 2 2

n1 n1  n1 j  n-1 j   n-1  (1)   H j    (1)  j  E j  j      j=0  .  j=0  n1 n n1 n1 1  j   n-1 j   n-1  (  1) D (  1)   j j  j Dj       j=0 j=0  

٤٤

‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ‪, ‬‬

‫)‪ (٩‬ﺗﻘ دﯾرات اﻻﻣﻛ ﺎن اﻻﻛﺑ ر‬ ‫اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬

‫ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺳ ﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‬

‫ﺑﻔـﺮض ان ‪ X   X1 ,X 2 ,..., X n ‬ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ ‪ n‬ﻣــﻦ اﻟﻮﺣــﺪات ﳐﺘــﺎرة ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل‬ ‫اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬واﻟﱴ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪, x  ,‬‬

‫‪  x   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 1 e‬‬

‫)‪f (x; , ‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن ‪ y1  y 2    y n‬ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺣﻴﺚ ‪ y  y1 , y 2 , , y n‬واﳌﻄﻠﻮب ﺗﻘﺪﻳﺮ اﳌﻌﺎﱂ ‪ . , ‬ﳝﻜﻦ‬ ‫اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫‪yi  ,‬‬

‫‪ 1 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( y i ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪L‬‬

‫ﺑﻔــﺮض ان اﳌﻌﻠﻤــﺔ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻮﻣــﺔ ﲝﻴــﺚ ان ‪   0‬واﳌ ـﺮاد ﺗﻌﻈــﻴﻢ داﻟــﺔ اﻻﻣﻜــﺎن ‪.‬ﻳــﺘﻢ ذﻟــﻚ ﺑﺘﺼــﻐﲑ )‪ ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻟـ ‪ ‬أﻛﱪ ﻗﻴﻤﺔ وﺣﻴﺚ إن‪:‬‬ ‫‪  y1 , y 2 , , y n .‬‬

‫وﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈن اﳌﻘﺪر ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪ˆ  M in(X1 ,X 2 , ,X n )  Y1 .‬‬ ‫وﻫﺬا ﻳﻌﲎ ان ˆ‪ ‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ‪ 0‬وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻋﻦ ‪. ‬‬

‫اﻻن داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن ﺗﺼﺒﺢ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪1    ( yi  y1 ) ‬‬ ‫‪L  n e  i 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﻘﺪر اﻹﻣﻜﺎن ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫وذﻟ ــﻚ‬

‫‪then :‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ y1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ln L = - n ln  -‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪(yi  y1‬‬ ‫‪ ln L  n ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ln L‬‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ‪ 0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫) ‪n  (yi  y1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ y1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ˆ 2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ y1‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ ˆ ‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻓﺈن ﻣﻘﺪرات اﻻﻣﻜﺎن ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬ﳘﺎ ‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ˆ  Y1 , ˆ   (Yi  Y1 )  X  Y1.‬‬ ‫‪n i 1‬‬

‫اﳌﻘﺪرﻳﻦ ˆ‪ ˆ , ‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻻن ˆ‪ , ‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ اى ان اﻟﺘﻐﺎﻳﺮ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎوى ﺻﻔﺮ اى ان ‪. Cov(ˆ , ˆ )  0‬‬ ‫اﻻن ﻳﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﻀﺒﻮط ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻘﺪرﻳﻦ‪.‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫) ‪g(y1 , y 2 ,..., y n )  n!f (y1 )f (y 2 )f (y n‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪( yi ) ‬‬ ‫‪n!    ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ne‬‬ ‫‪. ;   y1  y 2    y n  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﻌﺘﱪ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻷﺣﺎدﻳﺔ‪:‬‬ ‫‪Z1  n (Y1  Y0 ),Y0  ,‬‬

‫) ‪Z2  (n  1)(Y2  Y1‬‬ ‫) ‪Z3  (n  2)(Y3  Y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Zi  (n  i  1)(Yi  Yi1 ) , i  1,2,...,n , Y0  0‬‬ ‫واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪٤٦‬‬

Yi 

Z1 Z Zi  2  ...    , i  1,2,,n, n n 1 n  i 1 :‫وﻣﻨﻬﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬

y1 z1

y1 z 2



y1 z n

y 2 J  z1 

y 2 z 2



y 2 z n

y n z1

y n z 2



1 n 1  n  1 n

 y n z n



 0

1  0 1  . n 1 n!   1  1 n 1 : ‫ﺳﻮف ﻧﺜﺒﺖ ان‬

 Z   (Y  ). i

i 1

: ‫ﲟﺎ ان‬ Z1  n(Y1  )  nY1  n

(٣-٥) : ‫اﻻن‬ n

 (Y  )   Y  n. i

i 1

: ‫( ﻓﺈن‬٣-٥) ‫ ﺑﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﰱ‬n ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﺋﺾ ﻋﻦ‬ n

 (Y  )   Y  Z i

i 1

 nY1   Yi  nY1  Z1

i 1

  (Yi  Y1 )  Z1   (Yi  Y1 )  Z1   Zi  Z1   Zi . i 1

i2

i 2

i 1

:‫( ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬i  1,2,,n) ‫ و‬Z i ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟـ‬ n

 zi

1 [  i 1 ] e n n  1 [  zi ]    e  i 1   

h(z1 ,z 2 ,...,z n ) 

, 0  z i  ,

0 , e.w. .  ‫ ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ‬Z i ‫ﳑﺎ ﻳﻌﲏ إن اﳌﺘﻐﲑات‬

٤٧

‫ﲟﺎ إن ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ Z  Y  (n  1)Y   (Y  Y ),‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 2‬‬

‫‪i2‬‬

‫اى ان ‪:‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ˆ   (Yi  Y1 )   (Yi  Y1 )   Zi .‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫‪n i2‬‬ ‫‪n i2‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻼﺣﺼﺎء ˆ‪ ‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫)‪t  (n 1‬‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪(t)  (1 ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪Zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i=2‬‬

‫‪Mˆ (t)  M‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫واﻟﱴ ﲤﺜﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﺎﱂ )‪ . ( , n  1‬وذﻟﻚ ﻻن ‪:‬‬ ‫اﳌﺘﻐﲑات ‪ Zi ,i  1,2,...n  1‬ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫‪n‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻠﻤﻘﺪر ‪  Zi‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪i2‬‬

‫‪.‬‬

‫اى ان ﺗﻮزﻳﻊ‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪i2‬‬

‫)‪ (n 1‬‬

‫)‪M n (t)  (1  t‬‬ ‫‪Zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i=2‬‬

‫ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ )‪. ,(n  1‬‬

‫وذﻟﻚ ﻻن اﳌﺘﻐﲑات ‪ Zi ,i  1,2,...n  1‬ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫اﻻن ‪:‬‬ ‫‪ˆ  Y1‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ Y1‬اﻟﱰﺗﻴﺐ اﻻﺣﺼﺎء اﻻﺻﻐﺮوﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪n f (y1 ) 1  F(y1 )n 1 , 0  y1  ,‬‬ ‫‪g1 (y1 )  ‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫اى ان ‪ Y1‬ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪. , ‬‬ ‫اﻻن ‪:‬‬ ‫‪Z1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ )  E(Z1 )     .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪٤٨‬‬

‫(‪E(ˆ )  E‬‬

: ‫اﻳﻀﺎ‬.  ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ˆ ‫اى ان‬ Z1 1 2  )  2 Var(Z1 )    2 . n n n n n 1 1 n 1 E(ˆ )  E(  Zi )   E(Zi )  . n i 2 n i 2 n

Var(ˆ )  Var(

: ‫اﻳﻀﺎ‬.  ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ˆ ‫اى ان‬ Var(ˆ )  Var(

1 n 1 Zi )  2  n i 2 n

 Var(Z )  i

i2

n 1 2 . n2

: ‫ ﻣﻘﺪرﻳﻦ ﻣﺘﺤﻴﺰﻳﻦ ﻓﻴﻤﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪرﻳﻦ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﻳﻦ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ˆ , ˆ ‫ﲟﺎ ان اﳌﻘﺪران‬ n ˆ n  1 n    (Y  Y1 ),   ˆ   Y1  { [ (Y  Y1 )]} n 1 n 1 n 1 n n 1 1 nY  Y  Y1  [ (Y  Y1 )]  1 . n 1 n 1

: ‫اى ان‬

n nY  Y   (Y  Y1 ),   1 . n 1 n 1 E( )  

n n n 1 n2 n 1 E( )  .   , Var( )  . 2 2 2 n 1 n 1 n (n  1) n

2 , n 1

1   E( )  E(ˆ )  E( )      , n n n 1 2 1 2 2 1  Var( )  Var(ˆ )  2 Var()  2  2  2 (1  ). n n n n 1 n n 1

: ‫اﻻن ﻻﺛﺒﺎت ﻫﻞ اﳌﻘﺪرﻳﻦ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ام ﻻ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬

ˆ nˆ ˆ nˆ Cov( ,  )  Cov(ˆ  , )  Cov( , ) n 1 n 1 n 1 n 1 n n  n (n  1)2 ˆ ˆ ˆ  Cov(, )  Var()  . (n  1)2 (n  1)2 (n  1) 2 n2 2  . n(n  1)

. ‫ ﻏﲑ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ‬ˆ , ˆ ‫اى ان اﳌﻘﺪران‬

٤٩

‫‪n‬‬

‫اﻻن ﺳﻮف ﻧﺜﺒﺖ ان }‪ { (Yi  Y1 ), Y1‬اﺣﺼﺎءات ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ ) ˆ‪. (ˆ , ‬ﻧﻔﺮض ان ‪:‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪. U  Y1 , V   (Yi  Y1‬وﲟﺎ ان ) ˆ‪ (ˆ , ‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻓﺈن اى دوال ﻓﻴﻬﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ‪.‬اى ان )‪ (U, V‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ اﻳﻀﺎ ‪.‬ﲟﺎ‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪‬‬ ‫ان ‪ U  Y1‬ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪, ‬‬ ‫‪n‬‬

‫ﺣﻴﺚ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪ n  u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, u  ,‬‬

‫‪ n e‬‬

‫)‪g1 (u; , ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, e.w.‬‬ ‫وﲟﺎ ان ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪V   (Yi  Y1 )  Zi‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪i 2‬‬

‫اى ان ‪ V‬ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ ، , n  1‬ﺣﻴﺚ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪g 2 (v ;)= n-1‬‬ ‫‪v e ‬‬ ‫)‪ (n  1‬‬

‫‪, v > 0.‬‬

‫اى ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﺸﱰك ﻟﻠﻤﺘﻐﲑﻳﻦ )‪ (V, U‬ﻫﻮ ‪:‬‬

‫‪, v > 0,u>.‬‬

‫‪ n  u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪v e ‬‬ ‫)‪n-1(n  1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬

‫‪g (u,v)  e‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪( yi ) ‬‬ ‫‪1    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v n  2e ‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫)‪ (n  1‬‬

‫‪ n  u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫‪‬‬ ‫‪e‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪L(y; ‬‬ ‫)‪g(u, v‬‬

‫‪h(y, u, v) ‬‬

n

 e



 1 n  ( yi  )     i 1 



 v  n  u     

 n  n v n 2 e  (n  1)

(n  1)  e n vn2

  (     



 yi v n nu  n)     



n   ( yi v  nu)    (n  1)   exp   i 1 n vn2       N  ( yi v  ny1 )   ( n  2)  (n  1)v   exp   i 1 n     

 n  [ (yi  y1 )  v]   ( n  2)  (n  1)v   exp   i  2 n      n  n  [ (y  y )  (yi  y1 )]     ( n  2) i 1  (n  1)v i2  exp   i 1 n      (n  1)v ( n  2)  . n n

‫{ اﺣﺼﺎءات ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻣﺸﱰﻛﺔ‬ (Yi  Y1 ), Y1} ‫اى ان‬. ‫ ﺑﻞ داﻟﺔ ﻓﻘﻂ ﰱ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬,  ‫وﻫﺬﻩ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﻻ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ‬ i 2

. ,  ‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ‬ : ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪر ﳌﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬ : ‫ﲟﺎ ان‬ nˆ ˆ ˆ   ,   ˆ  ,   Y  Y1 , ˆ  Y1 , n 1 n 1

: ‫وﲟﺎ ان‬ E(X)    ,

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻋﻈﻢ ﳌﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻫﻮ‬ ˆ  ˆ  Y1  Y  Y1  Y. ٥١

‫اﳌﻘﺪر ﳌﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻐﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫ˆ‪n‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪    ˆ    ˆ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ˆ ‬‬ ‫‪(n  1)  ˆ  ˆ  Y.‬‬ ‫‪n 1 n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ‪ R(t)  exp  (t  )  , t  ‬ﻓﺈن اﳌﻘﺪر اﻟﺬى ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪرات اﳌﻜﺎن اﻻﻋﻈﻢ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t  Y1 ‬‬ ‫‪R(t)  exp ‬‬ ‫‪ , t  Y1.‬‬ ‫‪ Y  Y1 ‬‬

‫)‪ (١٠‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﻟﻣﻌﺎﻟم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن وداﻟ ﺔ اﻟﺻ ﻼﺣﯾﺔ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‪:‬‬

‫‪, x  ,‬‬

‫‪  x   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 1 e‬‬

‫)‪f (x; , ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, e.w.‬‬

‫وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ان ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ واﳌﻄﻠﻮب اﳚﺎد ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﱂ ‪ . , ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬

‫‪ :‬اﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪرات ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ 1 ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪n!  1      y  n  r  y  ‬‬ ‫‪ L y ,  ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ n  r !  ‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪r‬‬

‫‪i 1‬‬

‫اﻻن ‪:‬‬

‫‪٥٢‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

 y i 1

    n  r  y r     y i  r   n  r  y r  n  r i i 1

  yi  n   n  r  y r [ry1  ry1  ny1 i 1

 ny1 ] r    y i  ry1     n  r  y r   n  r  y1   i 1    ny1  n  r

   y i  y1    n  r  y r  y1   n  y1   . i 1

let s    yi  y1    n  r  y r  y1 

;k 

i 1

n!  n  r !

k  1s n y   L y ,   r e .  : ,  ‫ﲢﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﻟﺘﺎﱃ ل‬



g  ,   

1 a



;a,   0 , y1    .

: ‫ ﻫﻮ‬,  ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬

  ,  y  

k y1 

k  

 a  r 

 1    s  n  y1      

 1     s  n  y1     

. dd

 0

: ‫ﺣﻴﺚ‬

٥٣

y1 

1



 1   a  r   exp  0     s  n  y1      dd y1



 s  n  y

   1

  a  r 1

a  r  1 d



 a  r  1   s  n  y1   

  a  r 1

d



y  a  r  2  a  r 1 s  n y   .     1  n  a  r  2 1



a  r  1   a  r  2 a  r  2  k

1

a r2  ns a  r  2

   ,  x   k  

ns a  r  2 k  ar2 

  a  r 

 1     s  n  y1   

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬ The marginal posterior of  :  ‫ﻟـ‬ 



1   y      ,  y  d 0

 

 k 

 a  r 

 1     s  n  y1   

d

 k   s  n  y1   

  a  r 1

a  r 1

 a  r 1 ns a  r  2   s  n  y1     a  r  2  a  r  2 ar2 n  a  r  2  s  a  r 2    a  r 1 .  s  n  y1   

  E        y  d 

 n  a  r  2s

 a  r  2

  s  n  y



٥٤

  

  a  r 1

d.

let u   du  d

dv   s  n  y1     v

  a  r 1

 a  r  2  1 s  n  y1      n a  r  2

y   a  r 2      n  a  r  2  sa  r  2  s  n  y1        n  a  r  2 y  a  r  2  1   s  n  y1        n  a  r  2   1

  1  sa  r 2 s a  r 2 y1  s   a  r 3   n  a  r  3   s  y1  . n  a  r  3 

The Marginal  y1

   y      ,  y  d  

k 

 a  r 

e

 1     s  n  y1   

d



1



k 

 a  r 

   s n y   e n



k  a  r 1  ns   e n s a  r 2 a  r 1  ns    e ar2 

s a  r  2   a  r  2  s    e d  ar20 s  a  r  2    a  r 3  s a r3 ar2 a r3 s  s . ar2  a  r  2 

٥٥

,   0.

‫دى ﻟـ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬ :

s , n  a  r  3 s   . a r3

  y1 

٥٦

٥٧

‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ‬

‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪o‬‬

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‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٢‬أﻣﯾر ﺣﻧﺎ ﻫرﻣز ‪ ، (١٩٩٠) ،‬اﻹﺣﺻﺎء اﻟرﯾﺎﺿﻲ – ﻣدﯾرﯾﺔ دار اﻟﻛﺗب ﻟﻠطﺑﺎﻋﺔ واﻟﻧﺷر –‬ ‫اﻟﺟﻣﻬورﯾﺔ اﻟﻌراﻗﯾﺔ – اﻟﻣوﺻل ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٣‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠٠٠) ،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪ -‬ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻣﺗﻧﺑﻰ‬ ‫– اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٤‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠٠٨) ،‬ﻣدﺧل ﺣدﯾث ﻟﻺﺣﺻﺎء واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٥‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠٠٩) ،‬اﻟﻣدﺧل اﻟﺣدﯾث ﻟﻺﺣﺻﺎء واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻣﻊ اﻟﺣﻠول ل‬

‫– ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻌﺑﯾﻛﺎن – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪ ٧٠٨‬ﻣﺳﺎﻟﺔ‪ -‬اﻟطﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ– ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻣﺗﻧﺑﻰ‪ -‬اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٦‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠١٠) ،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻣﻊ اﻟﺣﻠول ﻟﺣواﻟﻰ ‪١٠٣٥‬‬ ‫ﻣﺳﺎﻟﺔ– اﻟطﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ‪ -‬ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻣﺗﻧﺑﻲ – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٦‬ﺟﻼل اﻟﺻﯾﺎد ‪ ، (١٩٨٨) ،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ – دار اﻟﺷروق – ﺟدة –‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

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‫اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫اﻟرﯾﺎض– اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪٥٨‬‬

‫‪o‬‬

‫‪ -٨‬ﺳﻠﯾم ذﯾﺎب اﻟﺳﻌدي ‪ ، (١٩٨٣) ،‬طرق اﻹﺣﺻﺎء – اﻟﺟﻣﻬورﯾﺔ اﻟﻌراﻗﯾﺔ – و ازرة اﻟﺗﻌﻠﯾم‬ ‫اﻟﻌﺎﻟﻲ واﻟﺑﺣث اﻟﻌﻠﻣﻲ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

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‫‪ -١٠ o‬ﻋﺒﺪ اﻟﺤﻔﯿﻆ ﻣﺤﻤﺪ ﻓﻮزي ﻣﺼﻄﻔﻰ ‘)‪٢٠٠٠‬أ ( ‪ ،‬اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻲ )‪ ( ١‬ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ‬ ‫‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﯿﻞ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ‪ -‬اﻟﻘﺎھﺮة – ﻣﺪﯾﻨﺔ ﻧﺼﺮ ‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ -١١ o‬ﻋﺒﺪ اﻟﺤﻔﯿﻆ ﻣﺤﻤﺪ ﻓﻮزي ﻣﺼﻄﻔﻰ ‪٢٠٠٠) ،‬ب (‪ ،‬اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻲ )‪ ( ٢‬ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ‬ ‫‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﯿﻞ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ‪ -‬اﻟﻘﺎھﺮة – ﻣﺪﯾﻨﺔ ﻧﺼﺮ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -١٢‬ﻣﺣﻣد إﺑراﻫﯾم ﻋﻘﯾل و ﻋﺑد اﻟرﺣﻣن ﻣﺣﻣد أﺑو ﻋﻣﻪ ‪ ، (٢٠٠٠)،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت و‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎﺗﻬﺎ – اﻟﻧﺷر اﻟﻌﻠﻣﻲ و اﻟﻣطﺎﺑﻊ – ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻣﻠك ﺳﻌود – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ اﻷﺟﻨﺒﯿﺔ ‪:‬‬

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