طرق معالجة الارتباط الذاتى by Tharwat Abdelmonem

‫ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻲ أھم اﻟطرق ﻟﻠﺗﺧﻠص ﻣن وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻻﺧطﺎء ﻓﻛﻣ ﺎ ھ و‬ ‫ﻣﻌروف ان وﺟود اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ﯾرﺟ ﻊ اﻟ ﻰ ﻋ دة ﻋواﻣ ل ﻣﻧﮭ ﺎ اﻟداﻟ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ‬ ‫وإﻏﻔ ﺎل ﺑﻌ ض اﻟﻣﺗﻐﯾ رات وﺳ ﻧﺣﺎول اﻟﺗﺄﻛ د ﻣ ن ذﻟ ك ﻣ ن ﺧ ﻼل اﺳ ﺗﺧدام اﻟط رق‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﺗﺧﻠص ﻣن اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‪.‬‬ ‫وﯾﺟ ب ان ﻧﻧ وه ھﻧ ﺎ أن ﺑﻌ ض اﻟط رق اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ ﺳ وف ﺗﻘ دم ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار‬ ‫اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط وذﻟك ﻟﻠﺗﺳ ﮭﯾل وﯾﻣﻛ ن ﺗﻌﻣ ﯾم ﺗﻠ ك اﻟط رق ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ‬ ‫اﻟﻣﺗﻌدد ‪.‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫ﻏﺎﻟﺑﺎ ﯾﻠﺟﺄ اﻻﻗﺗﺻ ﺎدﯾون ﻟﺗﺳ ﮭﯾل اﻷﻣ ور ﺑﺈدﺧ ﺎل اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ﻛﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل‬ ‫ﺑﻣﻌﻧ ﻲ آﺧ ر إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﺳﻠﺳ ﻠﺔ ﺗﺑ دأ ﻣ ن ‪ 1992‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ .‬وﻛ ذﻟك اﻟﻣﺗﻐﯾ رات‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﮫ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن إدﺧﺎل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻟﻌﺎم ‪ 1991‬ﻣﻘﺎﺑل اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻟﻌ ﺎم‬ ‫‪ 1992‬وﺗﺳﻣﻰ ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ‪ lagged variable‬أى ﻣﺗﻐﯾر اﺑطﺎء‪ .‬وﻟﻛن ﻻﺗﺗواﻓر ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻌظم اﻷﺣﯾﺎن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋن ﻋﺎم ﺳﺎﺑق ﻟﻠﺳﻠﺳ ﻠﺔ اﻟزﻣﻧﯾ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ‪ .‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫ﯾﻣﻛ ن اﻟﺗﺿ ﺣﯾﺔ ﺑﻣﺷ ﺎھدة واﺣ دة ﻧظﯾ ر اﻟ ﺗﺧﻠص ﻣ ن أﺛ ر اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ وﯾوﺻ ف‬ ‫اﻟﻧﻣوذج ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Yi   0  1 x i   2 Yi1   i .‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌط ﻰ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻋ ن دوﻟ ﺔ اﻟﻛوﯾ ت ﻟﻸﻋ ـوام ﺧ ﻼل اﻟﻔ ـﺗرة‬ ‫)‪ (1986-1962‬ﻣﺗﺿﻣﻧﺔ ‪:‬‬ ‫‪= x‬اﻟدﺧل اﻟﻣﺗﺎح أو اﻟدﺧل اﻟذي ﯾﻣﻛن اﻟﺗﺻرف ﺑﮫ‪.‬‬ ‫‪ = y‬اﻻﺳﺗﮭﻼك اﻟﺧﺎص‪.‬‬

‫‪-١-‬‬

‫واﻟﻣطﻠوب ‪ :‬ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﺑﺳﯾط ﻣﻊ إﺟراء اﺧﺗﺑﺎر وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن‬ ‫اﻷﺧط ﺎء ﺛ م اﺳ ﺗﺧدام اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻻوﻟ ﻰ ﻟﻠ ﺗﺧﻠص ﻣ ن وﺟ ود اﻻرﺗﺑ ﺎط‬ ‫اﻟذاﺗﻰ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء‬ ‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1962‬‬

‫‪188.0‬‬

‫‪460.0‬‬

‫‪1963‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪486.0‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪561.0‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪553.0‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪682.0‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪1010.0‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪793.0‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪840.0‬‬

‫‪1970‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪851.0‬‬

‫‪1971‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪1117.0‬‬

‫‪1972‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪1102.0‬‬

‫‪1973‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪1262.0‬‬

‫‪1974‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪3532.0‬‬

‫‪1975‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪3711.0‬‬

‫‪1976‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪4281.0‬‬

‫‪1977‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪4563.0‬‬

‫‪1978‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪4977.0‬‬

‫‪1979‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪7597.0‬‬

‫‪1980‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪8757.0‬‬

‫‪1981‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪8875.0‬‬

‫‪1982‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪7612.0‬‬

‫‪1983‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪7789.0‬‬

‫‪1984‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪7893.0‬‬

‫‪1985‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪7322.0‬‬

‫‪1986‬‬

‫‪2575.0‬‬

‫‪7164.0‬‬

‫اﻟﺣــل‬ ‫ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ دارﺑ ن – واﺗﺳ ون ‪ DW‬ﺑﺈﺳ ﺗﺧدام ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ ‪ SPSS‬ﺣﯾ ث‬ ‫‪ DW =0.86467‬وﻻﺟ راء اﺧﺗﺑ ﺎر درﺑ ن _ واﺗﺳ ون ﯾﺟ ب اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻗ ﯾم‬ ‫‪ d L , d U‬اﻟﻣﻧ ﺎظرة ﻟﻣﺗﻐﯾ ر واﺣ د ) ‪ ( k  1‬وﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪ n = 25‬وﻣﺳ ﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬ﺣﯾث ‪ d U  1.45 , d L  1.20‬وﻣﻧﮫ ﻧﺟد أن‪:‬‬ ‫‪0  DW  d L‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪0  0.86467 1.20‬‬

‫وﺑذﻟك ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H0 :   0‬‬

‫وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪H1 :   0‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ˆ‪ ‬ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪DW‬‬ ‫‪ 1.0  0.86467/ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0.56767‬‬

‫‪ˆ  1 ‬‬

‫وذﻟك ﯾﻌﻧﻲ أن ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء ﯾﺳﺎوي ‪ 0.56767‬ﻟذا ﻻﯾﻣﻛ ن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﻲ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة‪:‬‬ ‫‪yˆ  30.43725  0.32233x .‬‬

‫وﻻ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻟﻠﺗﻧﺑ ؤ ﻗﺑ ل ﺗﺧﻠﯾﺻ ﮭﺎ ﻣ ن وﺟ ود اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ﺑ ﯾن اﻷﺧط ﺎء‪.‬‬ ‫اﻵن ﻟﻠﺗﺧﻠص ﻣن وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻰ‪.‬‬

‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺳ وف ﻧﺳ ﺗﺧدم ﻣﺗﻐﯾ ر اﺑط ﺎء ﻟﻠ ﺗﺧﻠص ﻣ ن وﺟ ود‬ ‫اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﻣﻊ اﻟﺗﺣﻘق ﻣن ذﻟك ﺑ ﺈﺟراء اﺧﺗﺑ ﺎر درﺑ ن _ واﺗﺳ ون ﻋﻠ ﻰ اﻷﺧط ﺎء‬ ‫اﻟﻣﻘدره طﺑﻘﺎ ﻟﻠﻧﻣوذج اﻟﺟدﯾد‪.‬‬

‫اﻟﺳﻧﮫ‬

‫‪( z) y i 1‬‬

‫‪yi‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪1962‬‬

‫‪-‬‬

‫‪188.0‬‬

‫‪460.0‬‬

‫‪1963‬‬

‫‪188.0‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪486.0‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪561.0‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪553.0‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪682.0‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪1010.0‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪793.0‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪840.0‬‬

‫‪1970‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪851.0‬‬

‫‪1971‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪1117.0‬‬

‫‪1972‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪1102.0‬‬

‫‪1973‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪1262.0‬‬

‫‪1974‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪3532.0‬‬

‫‪1975‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪3711.0‬‬

‫‪1976‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪4281.0‬‬

‫‪1977‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪4563.0‬‬

‫‪1978‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪4977.0‬‬

‫‪1979‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪7597.0‬‬

‫‪1980‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪8757.0‬‬

‫‪1981‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪8875.0‬‬

‫‪1982‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪7612.0‬‬

‫‪1983‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪7789.0‬‬

‫‪1984‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪7893.0‬‬

‫‪1985‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪7322.0‬‬

‫‪1986‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪2575.0‬‬

‫‪7164.0‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدره ﺳوف ﺗﻛون‬ ‫‪yˆ  4.2508  0.11354 x  0.69095z‬‬

‫ﺣﯾ ث ‪ z‬ھ و ﻣﺗﻐﯾ ر إﺑط ﺎء‪ .‬ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ھ ﻲ ‪ 2.23556‬وﻗ ﯾم ‪ d U , d L‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪   0.05 , n  24‬وﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ھﻣﺎ)ﺗﻘرﯾﺑﺎ(‪ d L  1.2 , d U  1.45 :‬و‬ ‫) ‪2  DW  (4  d U‬‬

‫‪2<2.23556<2.55‬‬ ‫وﺑذﻟك ﻧﺿﻣن ﻋدم وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء وﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 :   0‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ pˆ  1  DW / 2  0.117‬اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ وھو ارﺗﺑﺎط ﺿﻌﯾف ﺑﯾن اﻷﺧط ﺎء ﻣﻣ ﺎ‬

‫ﯾؤﻛد اﻟﻘرار‪.‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫أن أھﻣﺎل اﺣد اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻗد ﯾؤدي إﻟـﻰ وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‪ .‬ﻓﻲ ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ‬ ‫ﯾﺗم ﺗوﺻﯾف اﻟداﻟﮫ وإدﺧﺎل ﻣﺗﻐﯾرات ﺛم إھﻣﺎﻟﮭﺎ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق وﻟﻣ ﺎ ﻛﺎﻧ ت اﻟﻔﺗ رة‬ ‫‪ 1986-1982‬ﺗﺗﺻ ف ﺑﺗراﺟ ﻊ اﻟ دﺧل ﻣ ﻊ زﯾ ﺎدة اﻻﺳ ﺗﮭﻼك ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﻟﻌواﻣ ل ﺧﺎرﺟﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﻧﮭ ﺎ اﻧﺧﻔ ﺎض اﺳ ﻌﺎر اﻟ ﻧﻔط اﻟﺧ ﺎم وآﺛ ﺎر أزﻣ ﺔ "ﺳ وق اﻟﻣﻧ ﺎخ" ﻓ ﯾﻣﻛن إدﺧ ﺎل ﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﺻوري ‪ w‬ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺳﺎوﯾﺔ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﺧﻼل اﻟﻔﺗرة ‪ 1986-1982‬وﻣﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﺻﻔر ﻓﯾﻣﺎ ﻋدا ذﻟك واﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻼزﻣ ﺔ ﻻﯾﺟ ﺎد ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﺟدﯾ دة ﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫‪w‬‬

‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1962‬‬

‫‪188.0‬‬

‫‪460.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1963‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪486.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪561.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪553.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪682.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪1010.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪793.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪840.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1970‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪851.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1971‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪1117.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1972‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪1102.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1973‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪1262.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1974‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪3532.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1975‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪3711.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1976‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪4281.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1977‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪4563.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1978‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪4977.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1979‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪7597.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1980‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪8757.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1981‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪8875.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1982‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪7612.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1983‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪7789.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1984‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪7893.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1985‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪7322.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1986‬‬

‫‪2575.0‬‬

‫‪7164.0‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدره ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪y  61.131  0.24375x  1016.102 w‬‬

‫ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ھ ﻲ ‪ d L  1.21 , d U  1.55 , 1.36727‬وذﻟ‬ ‫‪ n  25 , k  2 ,   0.05‬وﺑﻧﺎء ﻋﻠﯾﮫ ﻧﺟد أن‪:‬‬

‫ك ﻋﻧ‬

‫د‬

‫‪d L  DW  d U‬‬ ‫‪1.21  DW  1.55‬‬ ‫‪1.21  1.36727  1.55‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻻ ﯾوﺟد ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء وﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم ‪. H 0 :   0‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ‬ ‫اﺗﺿ ﺢ ﻣ ن اﻟط رﯾﻘﺗﯾن اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺗﯾن ان ﺗﺟﺎھ ل أو إﻏﻔ ﺎل ﺑﻌ ض اﻟﻣﺗﻐﯾ رات ﻓ ﻲ‬ ‫ﺗوﺻﯾف اﻟﻧﻣوذج ادى ﺑدوره إﻟﻰ وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ ﻟﻠﺑ واﻗﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻧﻣ وذج اﻷﺻ ﻠﻲ‬ ‫وﺑﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ اﻟﻧﻣ وذج ﻟﻠ ﺗﺧﻠص ﻣ ن اﻹرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ وﺟ د أن ﻛﻠﺗ ﺎ اﻟط رﯾﻘﺗﯾن أدت إﻟ ﻰ‬ ‫ﺗﺣﺳ ﯾن ‪ DW‬ﻟﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ ﻗﺑ ول ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ . H 0 :   0‬واﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم ﻣﺎﯾطﻠق ﻋﻠﯾﮫ اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى‪ .‬وﺗﻌﺗﻣد ھذه اﻟطرﯾﻘ ﺔ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺗﺣوﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻷﺻﻠﯾﺔ إﻟﻲ اﻟﺻ ورة اﻟﺗ ﻰ ﺗﻣﻛﻧﻧ ﺎ ﻣ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻧﻣ وذج ﯾﻛ ون‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻓﯾﮫ ﺧﺎﺿﻊ ﻟﻔروض طرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم‪.‬‬ ‫ﺑﻔرض اﻟﻧﻣوذج‪:‬‬ ‫)‪(٣‬‬

‫‪Yi   0  1 x i   i ,‬‬

‫‪ 1‬‬

‫و ‪ i   i 1  u i‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪u i ~ N(0,  2u ) , E(u i u j )  0 , i  j‬‬

‫ﺛم ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﻧﻣوذج اﻟﺳﺎﺑق ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎھدة‪ i-1‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫)‪(٤‬‬

‫‪Yi1   0  1 x i 1   i1 ,‬‬

‫وﺑﺿرب طرﻓﻲ )‪ (٤‬ﻓﻲ ‪ ‬واﻟطرح ﻣن )‪ (٣‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﻣوذج اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Yi*   0 (1  )  1 x *i  u i ,‬‬

‫)‪(٥‬‬ ‫ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪Yi*  Yi  Yi 1 ,‬‬

‫)‪(٦‬‬

‫‪x *i  x i  x i 1 ,‬‬ ‫‪u i   i   i 1‬‬

‫)‪(٧‬‬

‫اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول)‪ (٥‬ﯾﺻﺑﺢ ‪:‬‬ ‫‪Yi  0  1 x i  u i‬‬

‫)‪(٨‬‬

‫ﺣﯾث ‪ 0   0 (1  ) , 1  1 :‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪ 0   0 /(1  ‬‬

‫وﺑ ذﻟك أﻣﻛ ن ﺗﺣوﯾ ل اﻟﻧﻣ وذج اﻟ ذي ﯾﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ إﻟ ﻰ ﻧﻣ وذج‬ ‫ﻻﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ إرﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻟﺑ واﻗﻲ وﺑ ذﻟك ﯾﻣﻛ ن اﺳ ﺗﺧدام طرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت‬ ‫اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ ﻻﺷ ﺗﻘﺎق ﺗﻘ دﯾرات اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وھ ﻲ ﻧﻔ س ﻣﻌ ﺎﻟم اﻟﻧﻣ وذج اﻷﺻ ﻠﻲ‬ ‫ﻣﺎﻋدا اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ )‪ .  0   0 (1  ‬وﯾﺟب ﻣﻼﺣظ ﺔ أن ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻣﺣوﻟ ﺔ‬ ‫اﻟداﺧﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺗﻘدﯾر ھﻲ ‪ n-1‬وأن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ ui‬ﻏﯾر ﻣرﺗﺑط ذاﺗﯾﺎ وﻧﻼﺣظ‬ ‫أن ھ ذه اﻟطرﯾﻘ ﺔ ﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌرﻓ ﺔ ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪ ‬وﻧ ﺎدر ﻣ ﺎ‬ ‫ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ﻣﻌﻠوﻣ ﺔ ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻧﺣﺗ ﺎج ﻟﺗﻘ دﯾرھﺎ‪ .‬وﻟﺣﺳ ن‬ ‫اﻟﺣظ ﯾوﺟد ﻋدد ﻣ ن اﻟط رق اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ ﻟﺗﻘ دﯾر ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪‬‬

‫وﺳوف ﻧﺗﻧﺎوﻟﮭﺎ ﻻﺣﻘﺎ ‪.‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺑﻌد اﺧﺗﺑﺎر وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟـ ‪ ‬ﯾﺗم‬ ‫ﺗطﺑﯾق طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌـﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻌـﺎدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺟﻣوع اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺣـوﻟﺔ‬ ‫‪ y *i , x *i‬ﺣﯾث ﺗطرح ﻣن اﻟﻣﺷـﺎھدات اﻷﺻـﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻧﻘطﺔ زﻣﻧﯾﺔ ﺣﺎﺻل‬ ‫ﺿرب ˆ‪ ‬ﻓﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻲ اﻟﻔﺗرات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪y *i  y i  y i 1 ,‬‬ ‫‪x *i  x i  x i 1‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫* ‪yˆ*  b *0  b1 x‬‬

‫ﺣﯾث ) ˆ‪ b 0  b 0 /(1  ‬و ‪. b1  b1‬‬

‫طرق ﺗﻘدﯾر ‪‬‬ ‫‪ -١‬طرﯾﻘﺔ درﺑن _ واﺗﺳون ﻟﺗﻘدﯾر ‪‬‬

‫وھذه اﻟطرﯾﻘ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗطﺑﯾﻘﮭ ﺎ ﻻي درﺟ ﮫ ﻣ ن اﻻﻧﺣ دار وﺗ ﺗم ھ ذه اﻟطرﯾﻘ ﮫ‬ ‫ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﻧﺑدأ ﺑﺎﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول )‪ (٨‬ﺣﯾث ﯾﻛﺗب ﺑﺗﻔﺻﯾل ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪(٩‬‬

‫‪Yi  Yi 1   0 (1  )  1 ( x i  x i 1 )  u i‬‬

‫وﺑﺈﻋﺎدة ﺗﻧظﯾم )‪ (٩‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫)‪Yi   0 (1  )  1 ( x i  x i1 )  Yi1  u i , i  1,2,3..., n (١٠‬‬

‫وﺑﺈﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻟﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم ھذا اﻟﻧﻣوذج ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر‬ ‫ﻟـ ‪ ، ‬أي ˆ‪ ، ‬واﻟذى ﯾﺳﺎوى ﻣﻌﺎﻣل اﻟﻣﺗﺑﺎطﺊ ‪. Yi 1‬‬

‫‪ -٢‬طرﯾﻘﺔ ﻛوﻛران اورﻛت) ‪(Cochrane – Orcult‬‬ ‫وذﻟك ﺑﺎﻟﻧظر اﻟﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪  i   i 1  u i‬واﻟﻣﻔروﺿﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﻣوذج‬ ‫‪Yi   0  1 x i   i‬‬

‫ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ إﻧﺣدار ﻋﺑر ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل أي أن ‪:‬‬ ‫‪ i   i 1  u i‬‬

‫ﺣﯾ ث ‪  i‬ھ و اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪  i1 ،‬ھ و اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ‪ u i ،‬ﺣ د اﻟﺧط ﺄ و ‪‬‬ ‫ﻣﯾل اﻟﺧط ﻋﺑر ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل‪ .‬وﺑﻣﺎ أن ‪  i ,  i 1‬ﻏﯾرﻣﻌروﻓﯾن ﻓﻧﺳﺗﺧدم ‪e i , e i 1‬‬

‫اﻟﺗﻰ ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ ﻛﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل وﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﺗ ﺎﺑﻊ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗرﺗﯾ ب وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﻟ ـ ‪ ‬ﺑﺗﻘ دﯾر ﺧ ط ﻣﺳ ﺗﻘﯾم ﻋﺑ ر ﻧﻘط ﺔ‬ ‫اﻷﺻل ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ e i 1e i‬‬ ‫‪i 2‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ e i1‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫‪ -٣‬طرﯾﻘﺔ ھﯾﻠدرﯾث‪-‬ﻟ ُو‬ ‫ھﻧ ﺎك طرﯾﻘ ﺔ ھﯾﻠ درﯾث –ﻟ ُ و ﻟﺗﻘ دﯾر ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ‪ ‬وذﻟ ك ﺑﮭ دف‬ ‫اﺳ ﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺗﺣ وﯾﻼت )‪ (٦‬و )‪ (٧‬واﻟﺗ ﻰ ﺗﺗﺧ ذ ﻧﻔ س اﻹﺳ ﻠوب اﻟ ذي ﺗﺗﺧ ذه‬ ‫طرﯾﻘ ﺔ ﺑ وﻛس – ﻛ وﻛس ﻟﺗﻘ دﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ ‬ﻓ ﻲ ﺗﺣوﯾ ل اﻟﻘ وى ‪ Y‬ﺑﻐﯾ ﮫ ﺗﺣﺳ ﯾن‬ ‫ﺻﻼﺣﯾﺔ ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار‪ .‬إذ ﻧﺧﺗﺎر ﻓﻲ طرﯾﻘﺔ ھﯾﻠدرﯾث ‪ -‬ﻟو ﺗﻠك اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ ‬اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺗﺟﻌل ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ ﻟﻠﺑواﻗﻲ ﻟﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﺣ ول )‪ (٨‬اﺻ ﻐر ﻣ ﺎ‬ ‫ﯾﻣﻛن‪:‬‬ ‫‪SSE   ( y *i  yˆ *i ) 2  ( y *i  b *0  b1* x *i ) 2 .‬‬

‫وﺗﺗ واﻓر ﺑ راﻣﺞ ﺣﺎﺳ ب ﻹﯾﺟ ﺎد ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ ‬اﻟﺗ ﻰ ﺗﺟﻌ ل ‪ SSE‬أﺻ ﻐر ﻣ ﺎﯾﻣﻛن‪.‬‬ ‫وﺑﺻورة ﺑدﯾﻠﺔ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ أن ﻧﺑﺣث ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ ﺑﺗﺷﻐﯾل اﻧﺣدارات ﻣﺗﻛررة ﻣﻊ ﻗﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‬ ‫ﻟ ـ ‪ ‬ﻓ ﻲ ﻛ ل إﻧﺣ دار وذﻟ ك ﻻﺳ ﺗطﻼع اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾ ﺔ ﻟ ـ ‪ ‬اﻟﺗ ﻰ ﺗﺟﻌ ل ‪SSE‬‬ ‫أﺻ ﻐر ﻣ ﺎﯾﻣﻛن‪ .‬وﻋﻧ د ﻣﻌرﻓ ﺔ اﻟﻔﺗ رة اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘ ﻊ ﻓﯾﮭ ﺎ ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ ‬اﻟﺗ ﻲ ﺗﺟﻌ ل ‪SSE‬‬ ‫أﺻ ﻐر ﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن ‪ ،‬ﯾﻣﻛ ن اﻟﺑﺣ ث ﺿ ﻣن ھ ذه اﻟﻔﺗ رة ﻋﻠ ﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ اﻛﺛ ر دﻗ ﺔ ﻟ ـ ‪. ‬‬ ‫وﺑﻣﺟرد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ ‬اﻟﺗ ﻰ ﺗﺟﻌ ل ‪ SSE‬أﺻ ﻐر ﻣ ﺎﯾﻣﻛن ﯾﻣﻛﻧﻧ ﺎ ﺗﺣدﯾ د‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﺗﻠك اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻟـ ‪. ‬‬ ‫وﺑﻣ ﺎ أن ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪ ‬ھ ﻲ ﻗﯾﻣ ﺔ ﻛﺑﯾ رة ﻓ ﻲ اﻟﻐﺎﻟ ب وأن‬ ‫‪ SSE‬ﻛداﻟﺔ ﻓﻲ ‪ ‬ﺗﻛون ﻣﺳﺗﻘرة ﺗﻣﺎﻣﺎ ﻣن أﺟ ل ﻗ ﯾم ﻛﺑﯾ رة ﻟ ـ ‪ ‬ﺣﺗ ﻰ ‪ 1.0‬ﻓﻘ د‬

‫اﻗﺗرح ﺑﻌض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﯾن اﺳﺗﺧدام ‪   1.0‬ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول )‪ (٨‬وإذا ﻛﺎﻧت‬ ‫‪   1‬ﻓﺈن ‪  0   0 (1  )  0‬ﻓﯾﺻﺑﺢ اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول )‪ (٨‬ﻛﻣﺎﯾﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪Yi  1 x i  u i‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫)‪(١١‬‬ ‫)‪(١٢‬‬

‫‪Yi  Yi  Yi 1‬‬ ‫‪x i  x i  x i 1‬‬

‫وھﻛذا ﻧﺟد ﻣرة أﺧ رى أﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻘ دﯾر ﻣﻌ ﺎﻟم ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﻣﺑﺎﺷ رة ﺑطرﯾﻘ ﺔ‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى وﺗرﺗﻛز ھذه اﻟﻣرة ﻋﻠ ﻰ إﻧﺣ دار ﻋﺑ ر ﻧﻘط ﺔ اﻷﺻ ل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون‪:‬‬ ‫‪yˆ   b1 x ‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﺣوﯾﻠﮭﺎ واﻟﻌودة ﻣرة أﺧرى إﻟﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻷﺻﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪yˆ  b 0  b1 x‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b 0  y  b1 x‬‬ ‫‪b1  b1 .‬‬

‫‪-٤‬إﺳﺗﺧدام ﺻﯾﻎ اﺧرى ‪:‬‬ ‫*‪ -‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺳﺑق أن ﺗﻧﺎوﻟﻧﺎھﺎ وھﻰ‪ˆ  1  DW / 2. :‬‬

‫*‪ -‬ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ‪ ‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ e i e i 1‬‬ ‫‪i 2‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟواردات واﻟﻧﺎﺗﺞ اﻟﻘوﻣﻲ ﺑ ﺎﻟﻣﻠﯾون ﺟﻧﯾ ﮫ ﻓ ﻲ ﺑﻠ د ﻣ ﺎ‬ ‫واﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ وﻣﻌﺎﻟﺟﺗﮫ‪.‬‬ ‫اﻟواردات‬

‫اﻟﻧﺎﺗﺞ‬ ‫اﻟﻘوﻣﻲ ‪x i‬‬

‫‪1950‬‬

‫‪3748‬‬

‫‪21777‬‬

‫‪3615.5‬‬

‫‪1951‬‬

‫‪4010‬‬

‫‪22418‬‬

‫‪3795.2‬‬

‫‪214.73‬‬

‫‪1952‬‬

‫‪3711‬‬

‫‪22308‬‬

‫‪3764.4‬‬

‫‪-53.42‬‬

‫‪-268.16‬‬

‫‪1953‬‬

‫‪4004‬‬

‫‪23319‬‬

‫‪4047.8‬‬

‫‪-43.84‬‬

‫‪9.58‬‬

‫‪1954‬‬

‫‪4151‬‬

‫‪24180‬‬

‫‪4289.2‬‬

‫‪-138.2‬‬

‫‪-94.37‬‬

‫‪1955‬‬

‫‪4469‬‬

‫‪24893‬‬

‫‪4489.08‬‬

‫‪-20.08‬‬

‫‪118.12‬‬

‫‪1956‬‬

‫‪4582‬‬

‫‪25310‬‬

‫‪4605.9‬‬

‫‪-23.98‬‬

‫‪-3.90‬‬

‫‪1957‬‬

‫‪4697‬‬

‫‪25799‬‬

‫‪4743.07‬‬

‫‪-46.07‬‬

‫‪-22.08‬‬

‫‪1958‬‬

‫‪4753‬‬

‫‪25886‬‬

‫‪4767.4‬‬

‫‪-14.46‬‬

‫‪31.61‬‬

‫‪1959‬‬

‫‪5062‬‬

‫‪26868‬‬

‫‪5042.7‬‬

‫‪19.25‬‬

‫‪33.71‬‬

‫‪1960‬‬

‫‪5669‬‬

‫‪28134‬‬

‫‪5397.6‬‬

‫‪271.35‬‬

‫‪252.10‬‬

‫‪1961‬‬

‫‪5628‬‬

‫‪29091‬‬

‫‪5665.9‬‬

‫‪-37.92‬‬

‫‪-309.28‬‬

‫‪1962‬‬

‫‪5736‬‬

‫‪29450‬‬

‫‪5766.5‬‬

‫‪-30.56‬‬

‫‪7.36‬‬

‫‪1963‬‬

‫‪5946‬‬

‫‪30705‬‬

‫‪6118.3‬‬

‫‪-172.38‬‬

‫‪-141.82‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪6501‬‬

‫‪32372‬‬

‫‪6585.7‬‬

‫‪-84.70‬‬

‫‪87.68‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪6549‬‬

‫‪33152‬‬

‫‪6804.3‬‬

‫‪-255.36‬‬

‫‪-170.66‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪6705‬‬

‫‪33764‬‬

‫‪6975.9‬‬

‫‪-270.92‬‬

‫‪-15.56‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪7104‬‬

‫‪34411‬‬

‫‪7157.3‬‬

‫‪-53.30‬‬

‫‪217.62‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪7609‬‬

‫‪35429‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪8100‬‬

‫‪36200‬‬

‫‪7442.6‬‬ ‫‪7658.8‬‬

‫‪166.31‬‬

‫‪219.62‬‬

‫‪441.18‬‬

‫‪274.86‬‬

‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪yi‬‬

‫‪yˆ i‬‬

‫‪y i  yˆ i‬‬

‫‪ei ei1‬‬

‫‪132.42‬‬

‫‬‫‪82.3‬‬

‫ﺑﺈﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻌﺎدﯾﺔ ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻹﻧﺣدار اﻟﻣﻘدره ھﻲ ‪:‬‬

‫‪yˆ  2489.25  0.28x‬‬

‫وإذا ﻛﺎن‪:‬‬ ‫‪e i2  567861‬‬

‫‪‬‬

‫‪(e i  e i 1 ) 2  491847‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑﺗطﺑﯾق اﺧﺗﺑﺎر درﺑن_ واﺗﺳون ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪491847‬‬ ‫‪ 0.866‬‬ ‫‪567861‬‬

‫‪(e i  e i 1 ) 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪n 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪DW ‬‬

‫وﺑ ﺎﻟرﺟوع ﻟﻠﺟ دول دارﺑ ن – واﺗﺳ ون ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪   0.05‬وﻋ دد‬ ‫ﻣﺷ ﺎھدات ‪ 20‬وﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل واﺣ د )‪ (k=1‬ﻓ ﺈن ‪ d L  1.2 , d U  1.41‬وﻟﻣ ﺎ‬ ‫ﻛﺎﻧ ت ‪ DW < dL‬ﻓﻣ ن اﻟواﺿ ﺢ وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ ﻣوﺟ ب وﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ اﻻرﺗﺑ ﺎط‬ ‫اﻟذاﺗﻲ ﻧﺣﺳب أوﻻ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪215848‬‬ ‫‪ 0.380107‬‬ ‫‪567861‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ e i e i 1‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫وﺑﺗطﺑﯾق اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪y *i  y i  0.380107 y i 1‬‬ ‫‪x *i  x i  0.380107 x i 1‬‬

‫وﺑﺈﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺣوﻟﺔ ﻛﺎﻧت اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ‪:‬‬ ‫‪yˆ*  1727.4  0.290662x ‬‬

‫وﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW =1.315‬وﻧﻼﺣ ظ أن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ﺗﻘ ﻊ ﺑ ﯾن ‪ d U‬و ‪ d L‬أي ﺑ ﯾن ‪1.41‬‬ ‫و ‪ 1.20‬واﻟﺗﻲ ﺗﻌﻧﻲ ﻋدم وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫‪ x ,‬واﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر اﻻرﺗﺑ ﺎط‬

‫ﯾﻌط ﻰ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن ‪Y‬‬ ‫اﻟذاﺗﻲ وﻣﻌﺎﻟﺟﺗﮫ‪.‬‬ ‫)‪(5‬‬

‫)‪(4‬‬

‫)‪(3‬‬

‫)‪(2‬‬

‫)‪(1‬‬

‫اﻟﻔﺗرة‬

‫‪e i2‬‬

‫‪e i e i 1‬‬

‫‪ei‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪yi‬‬

‫‪i‬‬

‫‪0.0791‬‬

‫‪-‬‬

‫‪0.2812‬‬

‫‪0.97‬‬

‫‪3.63‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.1335‬‬

‫‪0.1028‬‬

‫‪0.3654‬‬

‫‪0.95‬‬

‫‪4.20‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.2181‬‬

‫‪0.1706‬‬

‫‪0.4670‬‬

‫‪0.99‬‬

‫‪3.33‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0.0709‬‬

‫‪-0.1243‬‬

‫‪-0.2662‬‬

‫‪0.91‬‬

‫‪4.54‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0.0466‬‬

‫‪0.0575‬‬

‫‪-0.2159‬‬

‫‪0.98‬‬

‫‪2.89‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0.0321‬‬

‫‪0.0387‬‬

‫‪-0.1791‬‬

‫‪0.90‬‬

‫‪4.87‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0.1537‬‬

‫‪0.0702‬‬

‫‪-0.3920‬‬

‫‪0.89‬‬

‫‪4.90‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0.5339‬‬

‫‪0.2864‬‬

‫‪-0.7307‬‬

‫‪0.86‬‬

‫‪5.29‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0.0070‬‬

‫‪0.0611‬‬

‫‪-0.0836‬‬

‫‪0.85‬‬

‫‪6.18‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0.0431‬‬

‫‪-0.0174‬‬

‫‪0.2077‬‬

‫‪0.82‬‬

‫‪7.20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0.2218‬‬

‫‪-0.0978‬‬

‫‪-0.4710‬‬

‫‪0.79‬‬

‫‪7.25‬‬

‫‪11‬‬

‫‪0.4348‬‬

‫‪0.3106‬‬

‫‪-0.6594‬‬

‫‪0.83‬‬

‫‪6.09‬‬

‫‪12‬‬

‫‪0.1894‬‬

‫‪0.2870‬‬

‫‪-0.4352‬‬

‫‪0.81‬‬

‫‪6.80‬‬

‫‪13‬‬

‫‪0.1964‬‬

‫‪-0.1929‬‬

‫‪0.4432‬‬

‫‪0.77‬‬

‫‪8.65‬‬

‫‪14‬‬

‫‪0.0004‬‬

‫‪-0.0087‬‬

‫‪-0.0197‬‬

‫‪0.76‬‬

‫‪8.43‬‬

‫‪15‬‬

‫‪0.6592‬‬

‫‪-0.0160‬‬

‫‪0.8119‬‬

‫‪0.80‬‬

‫‪8.29‬‬

‫‪16‬‬

‫‪0.1854‬‬

‫‪0.3496‬‬

‫‪0.4306‬‬

‫‪0.83‬‬

‫‪7.18‬‬

‫‪17‬‬

‫‪0.0320‬‬

‫‪0.0771‬‬

‫‪0.1790‬‬

‫‪0.79‬‬

‫‪7.90‬‬

‫‪18‬‬

‫‪0.0000‬‬

‫‪0.0001‬‬

‫‪0.0003‬‬

‫‪0.76‬‬

‫‪8.45‬‬

‫‪19‬‬

‫‪0.0708‬‬

‫‪0.0001‬‬

‫‪0.2661‬‬

‫‪0.78‬‬

‫‪8.23‬‬

‫‪20‬‬

‫‪ 3.3082‬‬

‫‪20 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ 1.3547‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪ e i e i 1‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫اﻟﺣــل‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرﻩ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪yˆ  26.90989  24.28977 x‬‬

‫اﻟﻌﻣود ‪ 3‬ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾوﺿﺢ اﻟﺑواﻗﻰ ﻟﻬذا اﻟﻧﻣوذج وﻋﻠﻰ ذﻟـك ﻓـﺈن ﻗﯾﻣـﺔ ‪DW‬‬

‫ﻫـﻲ ‪ 1.14‬واﻟﺗـﻰ ﻋﻧـد ﻣﻘﺎرﻧﺗﻬـﺎ ﻣـﻊ اﻟﻘـﯾم اﻟﺣرﺟـﺔ ﻋﻧـد ‪   0.05‬و ‪ n = 20‬ﺣﯾـث‬ ‫‪ d L  1.2 , d U  1.41‬ﺗوﺿـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺢ أن ﻫﻧـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎك ارﺗﺑـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎط ذاﺗـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻣوﺟـ ـ ـ ـ ـ ـ ــب ﻹن‬ ‫‪ . 0  1.14  d L‬اﻟﺗﻘدﯾر ﻟﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪1.3547‬‬ ‫‪ 0.409.‬‬ ‫‪3.3082‬‬

‫) ‪(e i e i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i2‬‬

‫‪20 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺣوﻟﺔ ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x *i  x i  0.409x i 1 , y *i  y i  0.409y i 1‬‬

‫ﺣﯾـث ‪ . i = 1, 2, …,20‬ﻫــذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﻣﺣوﻟــﺔ ﻣوﺿــﺣﻪ ﻓـﻲ اﻟﺟــدول اﻟﺗــﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرﻩ ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﺳوف ﺗﻛون‪:‬‬

‫‪yˆ   15.85043  24.19991x ‬‬

‫)‪(3‬‬

‫)‪(2‬‬

‫)‪(1‬‬

‫‪e *i‬‬

‫‪y *i‬‬

‫‪x *i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪0.2504‬‬

‫‪2.715‬‬

‫‪0.553‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.3176‬‬

‫‪1.612‬‬

‫‪0.601‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-0.4572‬‬

‫‪3.178‬‬

‫‪0.505‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-0.1070‬‬

‫‪1.033‬‬

‫‪0.608‬‬

‫‪5‬‬

‫‪-0.0908‬‬

‫‪3.688‬‬

‫‪0.499‬‬

‫‪6‬‬

‫‪-0.3187‬‬

‫‪2.908‬‬

‫‪0.522‬‬

‫‪7‬‬

‫‪-0.5704‬‬

‫‪3.286‬‬

‫‪0.496‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0.2153‬‬

‫‪4.016‬‬

‫‪0.498‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0.2419‬‬

‫‪4.672‬‬

‫‪0.472‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-0.5559‬‬

‫‪4.305‬‬

‫‪0.455‬‬

‫‪11‬‬

‫‪-0.4668‬‬

‫‪3.125‬‬

‫‪0.507‬‬

‫‪12‬‬

‫‪-0.1655‬‬

‫‪4.309‬‬

‫‪0.471‬‬

‫‪13‬‬

‫‪0.6212‬‬

‫‪5.869‬‬

‫‪0.439‬‬

‫‪14‬‬

‫‪-0.2010‬‬

‫‪4.892‬‬

‫‪0.445‬‬

‫‪15‬‬

‫‪0.8200‬‬

‫‪4.842‬‬

‫‪0.489‬‬

‫‪16‬‬

‫‪0.0985‬‬

‫‪3.789‬‬

‫‪0.503‬‬

‫‪17‬‬

‫‪0.0029‬‬

‫‪4.963‬‬

‫‪0.451‬‬

‫‪18‬‬

‫‪-0.0729‬‬

‫‪5.219‬‬

‫‪0.437‬‬

‫‪19‬‬

‫‪0.2660‬‬

‫‪4.774‬‬

‫‪0.469‬‬

‫‪20‬‬

‫ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ‪ DW‬ﻟﻠﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول ھو ‪ .DW = 1.94‬وﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ ھ ذه اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ﻋﻧ د‬ ‫‪   0.05‬و ‪ n = 19‬و ‪) d U  1.41 , d L  1.20,‬ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ( وﺑﻣ ﺎ أن‬

‫‪ d U  1.94  2‬أي ‪ . 1.41  1.94  2‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺗﻧﺗﺞ أن اﻷﺧط ﺎء ﻟﻠﻧﻣ وذج‬ ‫اﻟﻣﺣول ﻏﯾر ﻣرﺗﺑطﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ اﺧﺗزﻟت ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‪.‬‬ ‫وﯾﺟب أن ﻧﻧوه ھﻧﺎ إﻟﻰ أن ‪ 1‬ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول ﺗﺳ ﺎوي ‪ 1‬واﻟﻣوﺟ ودة ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻧﻣوذج اﻻﺻﻠﻲ ‪ Yi   0  1 x i   i‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟذى‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻻﺻﻠﯾﺔ واﻟﺟدول اﻟذى ﯾﻠﯾﮫ واﻟذى ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﺣوﻟ ﺔ‬ ‫ﻧﺟد أن ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ادت اﻟﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﯾل ﯾﺧﺗﻠف ﻗﻠﯾﻼ ﻋن اﻟذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ‬ ‫ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام طرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى ‪ .‬ﺑﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻷﺧط ﺎء اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾ ﺔ ﻟﻠﺗﻘ دﯾرات ﻣ ن‬ ‫اﻟﺟـدوﻟﯾن ﻧﺟد أن ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﯾل ﻣن اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛ ﺔ ﻟ ﮫ ﺧط ﺄ ﻣﻌﯾ ﺎري أﻛﺑ ر ﻣ ن ﺗﻘ دﯾر‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ‪ .‬ﺑدﻻﻟ ﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻻﺻ ﻠﯾﺔ ﻓ ﺈن اﻟﺟ زء اﻟﻣﻘط وع ﻣ ن‬ ‫ﻣﺣور اﻟﺻﺎدات وﺧطﺄه اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو‪:‬‬ ‫‪b 0‬‬ ‫‪15.85043‬‬ ‫‪b0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   1  0.409‬‬ ‫‪ 26.81968 ,‬‬

‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﮫ ھو‪:‬‬ ‫) ‪s.e(B 0‬‬ ‫‪0.9471‬‬ ‫‪s.e( B 0 ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.6025.‬‬ ‫ˆ‪1  ‬‬ ‫‪1  0.409‬‬

‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻣﻼت‬

‫‪1.1099‬‬

‫‪26.90989‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1.2978‬‬

‫‪-24.28977‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2 = 0.95‬‬

‫‪MSE = 0.1838‬‬

‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻣﻼت‬

‫‪0.9471‬‬

‫‪15.85043‬‬

‫‪ 0‬‬

‫‪1.9015‬‬

‫‪-24.19991‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2 = 0.91‬‬

‫‪MSE = 0.1547‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟراﺑﻌﺔ‬ ‫ﻗﺑل ﺗﻧﺎول ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﺧواص ﺣدود اﻟﺧطﺄ‪.‬‬ ‫ﺧواص ﺣدود اﻟﺧطﺄ‬ ‫ﻋﻠﻣﻧﺎ ﻣﻣ ﺎ ﺳ ﺑق ان اﻟﺧط ﺄ اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ﻟﻛ ل ﻓﺗ رة زﻣﻧﯾ ﺔ ﯾﻌﺗﻣ د ﺑﺷ ﻛل ﺧط ﻰ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻟﻠﻔﺗرات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﮭﺎ إي أن ‪:‬‬ ‫‪ i   i 1  u i ,‬‬

‫وﻣن اﻟﻧﻣوذج ‪ Yi   0  1 x i   i‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪ i 1   i 2  u i 1 ,‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪ i  ( i 2  u i 1 )  u i   2  i 2  u i 1  u i ,‬‬

‫واﻵن ﺑوﺿﻊ ‪  i 3  u i 2‬ﻣﻛﺎن ‪  i2‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪ i   3  i 3   2  i  2  u i1  u i ,‬‬

‫وﺑﺎﻹﺳﺗﻣرار ﺑﮭذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫)‪(١٣‬‬

‫‪‬‬

‫‪ i  u i  u i 1   2 u i 2   3 u i 3  ...    s u i s ,‬‬ ‫‪s 0‬‬

‫أى ان اﻟﺧط ﺄ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺗ رة ‪ i‬ﯾﻣﺛ ل ﺗرﻛﯾﺑ ﮫ ﺧطﯾ ﺔ ﻣ ن ﺣ د اﻻﺿ طراب اﻟ راھن ‪u i‬‬

‫واﻟﺣدود اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﮫ ‪ .‬وﻋﻧدﻣﺎ ‪ 0 <  < 1‬ﻓﺈن )‪ (١٣‬ﺗﺷﯾر إﻟﻰ أن ﻛﻠﻣﺎ ﺑﻌ دت اﻟﻔﺗ رة‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺎﺿﻰ ﻛﻠﻣﺎ ﻛﺎن ﻟﺣد اﻻﺿطراب وزن أﻗل ﻓ ﻲ ﺗﺣدﯾ د ﻗﯾﻣ ﺔ ‪.  i‬وﯾﻣﻛ ن اﺛﺑ ﺎت‬ ‫أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻟـ ‪  i‬ﻓﻲ ﻧﻣوذج ﺧط اﻻﻧﺣدار اﻟذاﺗﻲ ﻣن اﻟرﺗـﺑﮫ اﻷوﻟـﻰ‬ ‫‪ i   i 1  u i ,‬‬

‫ھﻲ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪E ( i )  0‬‬

‫وذﻟك ﺑﺄﺧذ ﺗوﻗﻊ ‪  i‬ﻓﻲ )‪.(١٣‬‬

:‫ﺗﺑﺎﯾن اﻷﺧطﺎء اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﯾﻛون ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ E ( i2 )  E(u i2 )   2 E( u i 1 ) 2   4 E (u i 2 ) 2  ...

: ‫وﺑﻣﺎ أن‬ E (u i2 )   2u , E(u i u j )  0 , i  j

: ‫أذن‬  2   2u   2  2u   4  2u  ....

: ‫أي أن‬  2   2u (1   2   4  ...)   2u /(1   2 )

(١٤)

‫أﻣ ﺎ اﻟﺗﻐ ﺎﯾر ﺑ ﯾن اﻷﺧط ﺎء ﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻟﻠﻧﻣ وذج اﻟﺧط ﻲ اﻟﻣ دروس ﯾﻣﻛ ن اﻟوﺻ ول اﻟﯾ ﮫ‬ :‫ﺑﺎﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‬  i  u i  u i 1   2 u i  2  ...

:‫وﻛذﻟك‬  i 1  u i 1  u i 2   2 u i3  ...

:‫أذن‬ E ( i  i 1 )  E[(u i  u i 1   2 u i 2  ...) (u i 1  u i  2   2 u i 3  ...)]  E{[ u i  (u i1  u i 2  ...)][u i 1  (u i 2  u i3  ...)]}

:‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ E ( i  i 1 )  E( u i 1  u i 2  ...) 2   [E ( u i21 )   2 E( u i22 )  ...]   [ 2u   2  2u  ...]

:‫أذن‬ E ( i  i 1 )   2u (1   2   4  ...)

‫‪  2u‬‬

‫)‪(١٥‬‬

‫‪1 - 2‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ )‪ (١٥‬ﻣﻊ )‪ (١٤‬ﻧﺟد أن‬ ‫‪E ( i  i 1 )   2‬‬

‫)‪(١٦‬‬

‫وﻟﻠﺗﺳﮭﯾل ﺳوف ﻧﺿﻊ ‪ 2   2‬‬

‫واﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﻲ )‪ (١٦‬ﯾﻣﻛن أن ﺗوﺿﻊ ﺑﺷﻛل ﻋﺎم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪E ( i  i s )   s  2 , s  0,1,2,..., n - 1 .‬‬

‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻟو ﻛﺎﻧت ‪ s = 0‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪E ( i  i  0 )   2‬‬

‫وﻓﻰ ﺣﺎﻟﮫ ‪ s=1‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪E ( i  i 1 )   2‬‬

‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ‪ s = 2‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪E ( i  i  2 )   2  2‬‬

‫وأﺧﯾرا ً إذا ﻛﺎﻧت ‪ s = n-1‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪E ( i  i ( n 1) )   n 1 2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ﺣدود اﻷﺧطﺎء ھو‪:‬‬ ‫) ‪Cov( i ,  i 1‬‬ ‫‪ i  i 1‬‬

‫‪ .‬‬

‫‪ ii1 ‬‬

‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1  2 1  2‬‬

‫أي أن ﻣﻌﻠﻣ ﺔ اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪ ‬ھ ﻲ ﻧﻔﺳ ﮭﺎ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن ﺣ دود اﻷﺧط ﺎء‬ ‫اﻟﻣﺗﺟﺎورة ﺣﯾث ‪.  2   2u‬‬

‫وﺑﺟﻣ ﻊ ھ ذه اﻟﺣ دود ﻓ ﻲ ﻣﺻ ﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐ ﺎﯾر واﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻸﺧط ﺎء اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻟﻧﻣوذج اﻟﺧطﻲ اﻟﻣﺗﻌدد اﻟذي ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)‪( ١٧‬‬

‫‪Y  X  ‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪....  n 1 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪....  n 2  2 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪ 2 ‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ n 3  2‬‬

‫‪ n 2  2‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Cov ()   .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪ n 1 2‬‬ ‫‪‬‬

‫إي أن ‪:‬‬ ‫‪ 3 ....‬‬

‫‪ n 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ....  n 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ n 4 ....‬‬ ‫‪1 ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ n 3‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Cov ( )   2  .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪ n 1  n 2‬‬ ‫‪‬‬

‫إي أن اﻟﺧط ﺄ اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ﻟﻧﻣ وذج اﻹﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ اﻟﻣﺗﻌ دد )‪ (١٧‬ﺳ وف ﯾﺧﺿ ﻊ‬ ‫ﻟﻔرﺿﯾﺔ وﺟود إرﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ‪ .‬إي أن ‪:‬‬ ‫) ‪ ~ N(0,  2 ‬‬

‫وﻟﺗﻘ دﯾر ﻣﻌ ﺎﻟم ﻧﻣ وذج اﻹﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ )‪ (١٧‬ﺳ وف ﻧﺗﺑ ﻊ اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟراﺑﻌ ﺔ)طرﯾﻘ ﺔ‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻣرﺟﺣﺔ( واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗﻠف ﻋﻣ ﺎ أوﺿ ﺣﻧﺎه ﻓ ﻲ اﻟﻔﺻ ل اﻟراﺑ ﻊ ﻓﻘ ط‬ ‫ﻣ ن ﺣﯾ ث أن اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ ‪ ‬ﻟﯾﺳ ت ﻗطرﯾ ﺔ ‪ .‬وﻓ ﻲ ھ ذه اﻟطرﯾﻘ ﺔ ﻻﺑ د ﻣ ن إﯾﺟ ﺎد‬ ‫ﻣﻌﻛ وس اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ ‪ ‬وﯾﺟ ب أن ﺗﻛ ون رﺗﺑ ﺔ اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ ‪ ‬ﻣﺳ ﺎوﯾﺔ إﻟ ﻰ ﺣﺟ م‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺣت اﻟﺑﺣث ‪ .‬ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ n=2‬ﺗﻛون اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻲ‬ ‫‪:‬‬



1    1   

: ‫ ﻓﺈن‬n=3 ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ‬  1 1   2    1      2  1  

:‫ﺳوف ﯾﻛون‬



‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻣﻌﻛوس اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬

  1 1  1     1  2 (1   2 )   0 

: ‫ ﺳوف ﺗﻛون‬n ‫ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬



1

 0  1   1   2    0   1  2 1 1 W     (1   2 )    0 0 0  0 0  0

0     1 

‫وﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﻓﺈن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ 0

0...0



0...0

 0

   1  2

-

0 0  0   -   1

s 2 (X  1X ) 1 : ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺳوف ﺗﻛون‬

: ‫ﺣﯾث أن‬ y 1 y  b X  1 y s  n  k 1 2

‫اﻵن ﺳوف ﻧﺷرح اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻟﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم ﻧﻣوذج اﻹﻧﺣدار )‪ (١٧‬واﻟﻣﺳﻣﻰ‬ ‫ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻣرﺟﺣﺔ وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ذات ﺧﻣﺳ ﺔ ﻣﺷ ﺎھدات ‪ ،‬اﺧ ذ ﻓﯾﮭ ﺎ ﻛ ل ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ )‪(Y‬‬ ‫واﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ) ‪ ( x 2 ), ( x1‬اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪4,8,6,2,9‬‬

‫‪y:‬‬

‫‪x 1 : 2 , 5 , 2 , 1 , 10‬‬ ‫‪x2 : 1 , 3 , 7 , 2 , 1‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم اﻟﻧﻣوذج اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪Y   0  1 x 1   2 x 2  .‬‬

‫ﻣﺳﺗﺧدﻣﺎ ً‪:‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻋﻠﻣﺎ ﺑﺄن‪:‬‬ ‫)‪ ~ N (0,  2 ‬‬

‫وأن )‪ (‬ﯾﺗﺑﻊ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻊ )‪(ˆ  0.6‬‬

‫اﻟﺣـل‬ ‫اوﻻ‪:‬‬

b 0  b  b1   X' WX 1 X ' Wy b 2 

:‫ﻋﻠﻣﺎ ً ﺑﺎن‬ 1  -    1  W 0 2  1    0 0 

-

1  2

-

1  2

-

1  2

-

0   0    0    -  1 

:‫أذن‬ 1 - 0.6   1  W 0 0.64    0 0

- 0.6

 - 0.6 0 0     1.36 - 0.6 0    - 0.6 1.36 - 0.6 0 - 0.6 1 

1.36 - 0.6 0 0

: ‫أذن‬  1 1   1  X WX    2 5    1 3

1     1  10     0.64   1 

1 - 0.6  0  0 0

- 0.6 1.36 - 0.6 0 0

0 - 0.6

 1 0 0  1  1.36 0.6 0  1  - 0.6 1.36 - 0.6 1 0 - 0.6 1  1

1.28 6.08 2.72   0.64 6.08 106.4 3.76     2.72 3.76 38.32

2 1   5 3   2 7   1 2   10 1  

-1

1

:‫اﻣـﺎ‬  7.76     1  98.84 , X Wy  0.64      24.2 

b 0   1.28        b1   0.64 6.08        b 2   2.72

6.08 106.4 3.76

1

2.72  7.76       1     3.76   98 . 84  0 . 64        24.2  38.32

:‫أى أن‬  b0   0.981  b    0.856   1    b 2   0.478

:‫أذن‬ yˆ  0.981  0.856 x 1  0.478x 2 .