Page 1

2 editie e

Alles over rekenen in één boek Van getallenlijn tot verhoudingstabel, van tafels tot procenten, van plattegrond tot staartdeling, van breuken tot deciliters. Alle rekenstof voor de referentieniveaus 1F, 2F en 3F. Duidelijk uitgelegd, met veel voorbeelden en illustraties. Het Grote Rekenboek Overzicht is het meest complete naslagwerk over rekenen. Het gaat uit van de stof voor de basisschool en breidt die uit tot de referentieniveaus voor vo en mbo. Maar wat voorafging staat er ook in samengevat. Alles staat per onderwerp bij elkaar. Zo vind je snel de uitleg die je nodig hebt.

getallen•optellen•aftrekken•vermenigvuldigen•delen•breuken kommagetallen•verhoudingen•procenten•tijd•geld grafieken en tabellen•meten en maten•meetkunde• voorrangsregels

Als je de rekenregels uit dit boek toepast, kun je echt elke som uitrekenen! Kijk voor het Oefenboek bij Het Grote Rekenboek en andere leuke en leerzame uitgaven op www.scalaleukerleren.nl

OVERZICHT

e

Het Grote Rekenboek maakt duidelijk onderscheid tussen hoofdrekenen en cijferen en tussen inzicht en techniek. Wat je uit het hoofd moet kunnen is steeds apart aangegeven. Berekeningen met pen en papier worden in stapjes uitgelegd, zodat je ook snapt wat je doet. Door het steeds op dezelfde manier te doen, krijg je de techniek onder de knie.

HET GROTE REKENBOEK 2 editie OVERZICHT

OVERZICHT

2 editie e

Alles over rekenen in één boek

ISBN 9789491263408

basisonderwijs · vo · mbo

HGR-Overzicht-2eEditie-v2-Cover-2014.indd 1

basisonderwijs · vo · mbo

18-12-14 14:13


OVERZICHT

2 editie e

Alles over rekenen in één boek basisonderwijs ∙ vo ∙ mbo samenstelling en redactie Marijke van der Mark Jolanda Kuiper

Scala leuker leren Groningen

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 3

17-12-14 14:39


Ontwerp omslag en binnenwerk: Hans Bastiaan Busking bno, Odoorn Illustraties schutbladen: Teun Berserik, ’s-Gravenhage

Deze online publicatie toont een aantal hoofstukken. Bestel het boek op www.scalaleukerleren.nl

0 1 2 3 4 5 / 20 19 18 17 16 15 © 2015 Scala leuker leren bv, Groningen, The Netherlands www.scalaleukerleren.nl Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without prior written permission of the publisher. ISBN 9789491263408 NUR 192

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 4

17-12-14 14:39


Woord vooraf Het Grote Rekenboek Overzicht is een compleet naslagwerk over rekenen. Het gaat uit van de stof voor de basisschool en breidt die uit tot de referentieniveaus voor vo en mbo. Je hoeft het niet van voren naar achteren te lezen. Het is vooral bedoeld om rekenregels in op te zoeken. Voor als je iets na wilt kijken wat je eerder hebt gehad, of voor als je nieuwsgierig bent of je al meer kunt. Of om gewoon te herhalen wat je moeilijk vindt. Alle basisstof staat er per rekenonderdeel in. Zo kun je gericht zoeken naar een bepaald onderwerp. In Het Grote Rekenboek Overzicht staan de rekenregels duidelijk uitgelegd. Stapje voor stapje aan de hand van voorbeeldsommen. Als je de regels toepast zoals ze in dit boek staan uitgelegd, kun je elke som maken. De uitleg houdt rekening met de manier waarop rekenen in de methodes op school gaat en is naast elke methode te gebruiken. Er is ook veel aandacht voor de techniek van het cijferen. Wil je extra oefenen? Dan is er het apart verkrijgbare Oefenboek met antwoorden. Per hoofdstuk van Het Grote Rekenboek Oefenboek vind je tientallen afwisselende opdrachten. In geen enkel ander boek staat rekenuitleg zo uitgebreid en helder op een rij. Dat maakt Het Grote Rekenboek Overzicht geschikt voor leerlingen (als steun voor thuis en voor de rekentoets), voor leerkrachten, rekencoรถrdinatoren, remedial teachers en intern begeleiders (als bron voor extra uitleg en oefening), voor ouders (als leidraad om hun kinderen te helpen), voor Pabostudenten (voor inzicht en overzicht). Het is kortom een onmisbare steun voor het onderwijs in dit belangrijke vak. Groningen, januari 2015 de uitgever

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 5

17-12-14 14:39


Inhoud 1 1 Getallen   12

Cijfers en getallen  12 Het tientallig stelsel  13 Romeinse cijfers  14 Tellen  15 Het telraam  15 De getallenstrook of het kralensnoer  17 De getallenlijn  17 Ordenen  18 Afronden  19 Even en oneven getallen  20 Priemgetallen  20 Negatieve getallen  20 Splitsen  21 Splitsen in tientallen en eenheden  22 Splitsen van grote getallen  22

2 2 Optellen   24

Optellen van twee getallen onder de 10  24 Over het tiental heen  25 Opteltabel  25 Optellen van meer getallen  26 Optellen van getallen van twee en meer cijfers  26 Optellen van ronde tientallen  26 Optellen van ronde honderdtallen  26 Optellen van ronde duizendtallen  26 Optellen van niet-ronde getallen  28 1 naast elkaar optellen (splitsen)  28 2 het eerste getal blijft heel (rijgen)  29 Handig optellen  29 Schattend optellen  30 Compenserend schatten  30 Kolomrekenen  31 Onder elkaar optellen in één keer, met onthouden  31 Negatieve getallen optellen  34

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 6

17-12-14 14:39


3 3 Aftrekken  35

Aftrekken onder de 20  35 Aftrektabel  36 Door het tiental heen  37 Aftrekken van getallen van twee en meer cijfers  37 Aftrekken van ronde tientallen  40 Aftrekken van ronde honderdtallen  40 Aftrekken van ronde duizendtallen  40 Aftrekken van niet-ronde getallen  40 1 naast elkaar aftrekken (splitsen)  41 2 het eerste getal blijft heel (rijgen)  42 Handig aftrekken (met een rond getal)  42 Schattend aftrekken  43 Compenserend schatten  43 Kolomrekenen  44 Onder elkaar aftrekken in één keer, met onthouden  45 Negatieve getallen aftrekken  48

4 4 Vermenigvuldigen   49

Tafels  50 Veelvoud  52 Kleinste gemene veelvoud  52 Handig vermenigvuldigen  53 Schattend vermenigvudigen  55 Compenserend schatten  55 Vermenigvuldigen onder elkaar  56 Negatieve getallen vermenigvuldigen  60

5 5 Delen   61

Delen met rest  62 Handig delen  64 Schattend delen  64 Compenserend schatten  64 Staartdeling  65 Rest in de staart  67 Rest in de uitkomst  68 Staartdeling met grote getallen  70 Staartdeling met nullen in het antwoord  72

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 7

17-12-14 14:39


De hapmethode  73 Met negatieve getallen delen  73 Deelbaarheid  74 Gemiddelde  75 Grootste gemene deler  75

6 6 Breuken   77

Vergelijken en ordenen van breuken  79 Rekenen met breuken  82 Breuken gelijknamig maken  82 Vereenvoudigen van breuken  82 Breuken optellen en aftrekken  83 Breuken vermenigvuldigen  87 Breuken delen  88 Deel - geheel  89

7 7 Kommagetallen   90

Opbouw van kommagetallen  90 Rekenen met kommagetallen  92 Optellen  92 Meer getallen achter de komma  93 Ongelijk aantal cijfers achter de komma  93 Aftrekken  93 Meer getallen achter de komma  94 Ongelijk aantal cijfers achter de komma  94 Vermenigvuldigen  95 Een geheel getal keer een kommagetal  95 Een kommagetal keer een kommagetal  96 Vermenigvuldigen met 10, 100 en 1.000  97 Delen  98 Delen door een geheel getal   98 Delen door een kommagetal  100 Delen door 10, 100 en 1.000  101 Procenten  102 Afronden  102 afronden op helen  102 afronden op decimalen  103 Gemiddelde berekenen  103

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 8

17-12-14 14:39


8 8 Verhoudingen   104

Kruisproducten  108 Schaal  108 Rekenen in een verhoudingstabel  108 Optellen en aftrekken  108 Vermenigvuldigen  109 Delen  109

9 9 Procenten   110

Van aantal naar procenten  110 1 met een breuksom  110 2 met een verhoudingstabel  112 Van procenten naar aantallen  113 1 met een breuksom  113 2 met een verhoudingstabel  114 3 eerst 1 procent  114 Handige procenten  115 Rekenen met procenten  115 Percentages optellen  117 Percentages aftrekken  120 Procentuele toename en afname  122 van rentepercentage naar rentebedrag  122 van rentebedrag naar rentepercentage  123 Percentages vermenigvuldigen  123 Percentages delen  124  Verhoudingen, breuken, kommagetallen en procenten  126

10 Geld  127

De euro  127 Betalen  128 Rekenen met geld  130 Optellen  130 Aftrekken  132 Vermenigvuldigen  132 Delen  133 Korting  133 Vergelijken van prijzen  134

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 9

17-12-14 14:39


Rente  135 Winst en verlies  136 Wisselkoers  136

11 Meten en maten   138

Lengte  139 Omtrek  140 Oppervlakte  142 Inhoud   147 Gewicht   150 Temperatuur   151 Tijd/snelheid   152 Computer   153 Rekenen met maten   153

12 Tijd   156

Klokkijken   156 Kalender en datum   160 Rekenen met de klok   161 Optellen en aftrekken  161 Vermenigvuldigen en delen  164 Rekenen met de kalender  165 Zon en schaduw  166 Internationale tijdzones  166

13 Meetkunde  167

Perspectief  167 Kijklijn en kijkhoek  168 Schaduwen  169 Spiegelen en symmetrie  169 Draaien  170 Plattegronden en kaarten  171 Schaal  172 Coördinaten  173 Positie en richting  174 Vergroten en verkleinen  174 Lijnen  177 Hoeken  177

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 10

17-12-14 14:39


Ruimtelijke figuren  180 Doorsnede  184

14 Tabellen, diagrammen en grafieken   186 Tabellen  185 Diagrammen en grafieken  187 Beelddiagram  187 Cirkeldiagram  187 Staafdiagram  189 Puntdiagram  190 Lijngrafiek  191

15 Extra  193

Machtsverheffen  193 Worteltrekken  194 Ontbinden in factoren  196 Formules  197

16 Voorrangsregels  199

Haakjes  199 Voorrangsregels voor bewerkingen  199 Volgorde van links naar rechts  200

Rekenmachine  201 17

Punten en komma’s  201 Negatieve getallen  201 Haakjes zetten  201 Procenten  202 Breuken  202 Rest bij delen  202

Het honderdveld   203 Register

HGB-BW-Herziening-VW-C7-2014.indd 11

17-12-14 14:40


2Optellen Bij een aantal iets erbij doen heet optellen. Je telt een getal op bij een ander getal. Een som waarbij je moet optellen, heet een optelling. Het teken voor optellen is +, ook wel het plusteken genoemd, want plus betekent ‘tel er bij’. Bij een optelling bereken je de som van twee getallen. De uitkomst van een optelling heet daarom ook wel de som. Optelsommen tot 100 moet je uit het hoofd kunnen doen. Dat geldt ook voor sommen met grote getallen die rond zijn. Voor sommen met niet-ronde grote getallen kun je beter pen en papier gebruiken.

Optellen van twee getallen onder de 10 Bij optellen tel je twee aantallen bij elkaar.   +  

  =   ­

2 blokjes en 4 blokjes zijn samen 6 blokjes, dus 2 + 4 = 6 Je kunt dit ook tekenen op de getallenlijn. +4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Een rekenrek is handig om sommen te ‘zien’.

Je schuift op de bovenste rij 2 kralen naar links. Je schuift op de tweede rij 4 kralen naar links. Het antwoord zie je meteen: alle kralen die naar links staan. Dat zijn er 6. 6 is gelijk aan 2 plus 4. Of: 6 is evenveel als 2 plus 4.

24 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 24

22-10-14 18:20


Alle sommen met getallen onder de 10 moet je snel uit je hoofd kunnen doen. Dat is nodig om te kunnen rekenen met grotere getallen. 1 + 8 = 9 3 + 8 = 11 3 + 4 = 7 8 + 4 = 12 5 + 5 = 10 5 + 7 = 12

Over het tiental heen Bij het tweede rijtje sommen hierboven gaat de uitkomst over de 10 heen. Je kunt handig over het tiental heen tellen door te splitsen. 3 + 8 kun je zien als: 3 + 7 + 1 = 10 + 1 = 11 8 + 4 kun je zien als: 8 + 2 + 2 = 10 + 2 = 12 5 + 7 kun je zien als: 5 + 5 + 2 = 10 + 2 = 12 Opteltabel In deze opteltabel zie je alle mogelijke uitkomsten van sommen met twee getallen onder de 10. Je ziet meteen de uitkomst van de som 2 + 4 = 6.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8 7 8 9 8 9 10 9 10 11 10 11 12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 10 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

25 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 25

22-10-14 18:20


Optellen van meer getallen Om snel onder elkaar te kunnen optellen (zie pagina 32), is het belangrijk dat je ook langere optellingen van getallen van één cijfer uit je hoofd kunt. Bij 4 + 5 + 8 + 9 = ? doe je 4 plus 5 is 9, plus 8 is 17, plus 9 is 26. Of zo: 4 + 5 + 8 + 9 = (4 + 5) + 8 + 9 = 9 + 8 + 9 = (9 + 8) + 9 = 17 + 9 = 26 Wat tussen haakjes staat, hoort bij elkaar en reken je eerst uit.

Optellen van getallen van twee en meer cijfers Als je optelsommen met getallen onder de 10 goed kunt, kun je eigenlijk alle optellingen met hele tientallen, honderdtallen enz. ook goed oplossen. Ze lijken namelijk erg op elkaar. Optellen van ronde tientallen Het optellen van tientallen gaat net zoals bij getallen onder de 10. Er komt steeds één nul bij. 1 + 8 = ­­9 dus   10 + 80 = 90 3 + 4 = 7 dus   30 + 40 = 70 5 + 5 = 10 dus   50 + 50 = 100 Optellen van ronde honderdtallen Optellen met honderdtallen gaat op dezelfde manier. Er komen steeds twee nullen bij. 1 + 8 = ­­9 dus   100 + 800 = 900 3 + 4 = 7 dus   300 + 400 = 700 5 + 5 = 10 dus   500 + 500 = 1.000 Optellen van ronde duizendtallen Optellen met duizendtallen gaat op dezelfde manier. Er komen steeds drie nullen bij. 1 + 8 = 9 dus   1.000 + 8.000 = 9.000 3 + 4 = 7 dus   3.000 + 4.000 = 7.000 5 + 5 = 10 dus   5.000 + 5.000 = 10.000

26 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 26

22-10-14 18:20


uit het hoofd 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 0 + 2 = 2 0 + 3 = 3 0 + 4 = 4 0 + 5 = 5 0 + 6 = 6 0 + 7 = 7 0 + 8 = 8 0 + 9 = 9 0 + 10 = 10 6 + 0 = 6 6 + 1 = 7 6 + 2 = 8 6 + 3 = 9 6 + 4 = 10 6 + 5 = 11 6 + 6 = 12 6 + 7 = 13 6 + 8 = 14 6 + 9 = 15 6 + 10 = 16

1 + 0 = 1 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 1 + 3 = 4 1 + 4 = 5 1 + 5 = 6 1 + 6 = 7 1 + 7 = 8 1 + 8 = 9 1 + 9 = 10 1 + 10 = 11

2 + 0 = 2 2 + 1 = 3 2 + 2 = 4 2 + 3 = 5 2 + 4 = 6 2 + 5 = 7 2 + 6 = 8 2 + 7 = 9 2 + 8 = 10 2 + 9 = 11 2 + 10 = 12

7 + 0 = 7 7 + 1 = 8 7 + 2 = 9 7 + 3 = 10 7 + 4 = 11 7 + 5 = 12 7 + 6 = 13 7 + 7 = 14 7 + 8 = 15 7 + 9 = 16 7 + 10 = 17

3 + 0 = 3 3 + 1 = 4 3 + 2 = 5 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 3 + 5 = 8 3 + 6 = 9 3 + 7 = 10 3 + 8 = 11 3 + 9 = 12 3 + 10 = 13

8 + 0 = 8 8 + 1 = 9 8 + 2 = 10 8 + 3 = 11 8 + 4 = 12 8 + 5 = 13 8 + 6 = 14 8 + 7 = 15 8 + 8 = 16 8 + 9 = 17 8 + 10 = 18

4 + 0 = 4 4 + 1 = 5 4 + 2 = 6 4 + 3 = 7 4 + 4 = 8 4 + 5 = 9 4 + 6 = 10 4 + 7 = 11 4 + 8 = 12 4 + 9 = 13 4 + 10 = 14

5 + 0 = 5 5 + 1 = 6 5 + 2 = 7 5 + 3 = 8 5 + 4 = 9 5 + 5 = 10 5 + 6 = 11 5 + 7 = 12 5 + 8 = 13 5 + 9 = 14 5 + 10 = 15 10 + 0 = 10 10 + 1 = 11 10 + 2 = 12 10 + 3 = 13 10 + 4 = 14 10 + 5 = 15 10 + 6 = 16 10 + 7 = 17 10 + 8 = 18 10 + 9 = 19 10 + 10 = 20

9 + 0 = 9 9 + 1 = 10 9 + 2 = 11 9 + 3 = 12 9 + 4 = 13 9 + 5 = 14 9 + 6 = 15 9 + 7 = 16 9 + 8 = 17 9 + 9 = 18 9 + 10 = 19

3+4=7 30 + 40 = 70 300 + 400 = 700 3.000 + 4.000 = 7.000 30.000 + 40.000 = 70.000 300.000 + 400.000 = 700.000 3.000.000 + 4.000.000 = 7.000.000

27 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 27

22-10-14 18:20


Optellen van niet-ronde getallen Optellen van getallen van meer dan één cijfer die niet op nullen eindigen, doe je in stapjes. Er zijn verschillende manieren.

1

naast elkaar optellen (splitsen) 47 + 6 kun je zien als: 47 + 3 + 3 = 50 + 3 = 53 47 + 26 kun je uitrekenen door eerst de tientallen en dan de eenheden op te tellen. 40 + 20 = 60 en 7 + 6 = 13 samen 60 + 13 = 60 + 10 + 3 = 73 + 20 40

+ 10

50

60

+ 3­ 70

73

80

469 + 218 kun je uitrekenen door eerst de honderdtallen, dan de tientallen, dan de eenheden op te tellen. 400 + 200 = 600 en 60 + 10 = 70 en 9 + 8 = 17 samen 600 + 70 + 17 = 600 + 70 + 10 + 7 = 687 + 200 400

500

+ 70 600

+ 10

+7

670 680 700 687

Je kunt de tussenstapjes ook tussen streepjes zetten, zodat honderdtallen, tientallen en eenheden duidelijk gescheiden worden. 469 + 218 = │ 600│70│17│ 17 is geen ´eenheden´ en moet nog weer een 10 ‘geven’ aan 70. │600│80│7│ = 687

28 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 28

22-10-14 18:20


2

het eerste getal blijft heel (rijgen) Je laat het eerste getal ‘heel’ en splitst het tweede getal in tientallen en eenheden. 47 + 26 = 47 + 20 + 6 = 67 + 6 = 73 De laatste stap kun je nog weer splitsen in 67 + 3 + 3 = 70 + 3 = 73

40

47

+ 6­­ + 3­­ + 3­

+ 20

50

60

70

67

73 73

80

463 + 218 wordt dan 463 + 200 = 663 + 10 = 673 + 8 = 681 (of 673 + 7 = 680 + 1 = 681) + 200 400

463

+ 10 + 8­ 681 600 663 681 673

500

700

800

7.468 + 2.728 wordt dan 7.468 + 2.000 = 9.468 + 700 = 10.168   + 20 = 10.188   + 8 = 10.196 + 2.000

7.000

7.468

8.000

+ 700 + 20 + 8

9.000

9.468

10.000 10.196 10.168 10.188

Handig optellen Bij hoofdrekenen is het handig om een hulpsom te maken waarbij je één of meer van de getallen rond maakt. 43 + 19 = 43 + 20 – 1 = 63 – 1 = 62 1.297 + 1.496 = 1.300 + 1.500 – 3 – 4 = 2.800 – 7 = 2.793

29 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 29

22-10-14 18:20


Als je meer dan één getal moet optellen, kijk dan welke getallen bij elkaar passen. Kijk daarbij naar de laatste cijfers. 412 + 329 + 288 + 511 =

412 + 288 = 700 en 329 + 511 = 840. Samen 700 + 840 = 1.540 Schattend optellen Bij schatten rond je af op ronde getallen, zoals tientallen, honderdtallen of duizendtallen. Als je schat, gebruik je niet het =-teken, maar het ≈-teken. Dat betekent ‘is ongeveer’. 38 + 129 ≈ 40 + 130 = 170 12.340 + 23.650 ≈ 12.000 + 24.000 = 36.000 Compenserend schatten Als je álle getallen naar boven afrondt, valt je schatting te hoog uit. 761 + 275 ≈ 800 + 300 = 1.100 Het precieze antwoord is 1.036. Dat ligt dichter bij 1.000. Om zo precies mogelijk te schatten, moet je evenwichtig afronden. Bij naar boven afronden, tel je er iets bij. Probeer wat je bij het ene getal bijtelt, bij het andere getal juist af te trekken. Dan moet je soms tegen de afrondingsregels ingaan. 761 + 275 ≈ 700 + 300 = 1.000 Als je álle getallen naar beneden afrondt, valt je schatting te laag uit. 731 + 235 ≈ 700 + 200 = 900 Het precieze antwoord is 966. Dat ligt dichter bij 1.000. 731 + 235 ≈ 700 + 300 = 1.000

30 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 30

22-10-14 18:20


Kolomrekenen Als je met pen en papier rekent, kun je het beste onder elkaar optellen. Het is belangrijk dat je de eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen goed onder elkaar schrijft. Veel lesmethoden leren kolomrekenen. Dat kan op twee manieren. Bij beide manieren tel je de eenheden, tientallen en duizendtallen in afzonderlijke stapjes op. Daarna tel je de tussenuitkomsten op.

1 van links naar rechts

2 van rechts naar links

7.416 1.577 +

7.416 1.577 +

8.000 900 80 13

13 80 900 8.000

8.993 Tel eerst de duizendtallen bij elkaar. Tel dan de honderdtallen, dan de tientallen en dan de eenheden. Tel daarna deze weer bij elkaar op.

8.993 Tel eerst de eenheden bij elkaar. Tel dan de tientallen, dan de honderdtallen en dan de duizendtallen. Tel daarna deze weer bij elkaar op.

Het nadeel van kolomrekenen is dat je meer tussenuitkomsten krijgt, waardoor de kans op fouten groter is. Onder elkaar optellen in ĂŠĂŠn keer, met onthouden Dit is de snelste manier om met grote getallen te rekenen. Om het goed te leren, begin je met sommen met kleine getallen die je ook uit het hoofd kunt. Schrijf de eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen precies onder elkaar. Tel vervolgens op wat recht onder elkaar staat. Je telt van rechts naar links.

31 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 31

22-10-14 18:20


23 + 4 = 23 4 + 27

 el eerst de eenheden (3 + 4) bij elkaar op. T Het antwoord 7 schrijf je op onder de streep, recht onder de 3 en de 4. Tel daarna de tientallen (2 + niks) bij elkaar. Het antwoord 2 schrijf je op onder de streep, recht onder de 2.

31 + 24 = 31 24 +

 el eerst de eenheden (1 + 4) bij elkaar. T Tel daarna de tientallen (3 + 2) bij elkaar.

55 Als de eenheden over het tiental gaan, komt er een 1 bij in de kolom van de tientallen. 46 + 27 = 1

46 27 + 73

 el eerst de eenheden (6 + 7) bij elkaar. Het antwoord T is 13, de 3 schrijf je op, recht onder de 6 en de 7. De 1 (staat voor 10) van de 13 tel je mee met de tientallen. Schrijf een 1 boven de tientallen als geheugensteuntje (dat noem je ‘1 onthouden’). Tel daarna de tientallen (1 + 4 + 2) bij elkaar. Schrijf het antwoord 7 onder de streep, onder de 4 en de 2.

Als er precies 10 uitkomt, komt er een 0 in het antwoord. 1

15 25 + 40

 el eerst de eenheden op (5 + 5). Schrijf van het T antwoord 10 de 0 op onder de streep. Tel de 1 (staat voor 10) mee met de tientallen. Schrijf een 1 boven de tientallen. Tel daarna de tientallen op (1 + 1 + 2). Het antwoord 4 schrijf je onder de streep bij de tientallen.

32 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 32

22-10-14 18:20


Als je optelling over de 100 heengaat, werkt het net zo. Het honderdtal in het antwoord onder de streep schrijf je één positie verder naar links. Daar stond boven de streep niets.  el eerst de eenheden op (5 + 4). Schrijf het T antwoord 9 op in het antwoord onder de streep. Tel dan de tientallen op (7 + 5). Het antwoord is 12 (tientallen). Schrijf de 2 (voor de tientallen) in het antwoord onder de streep en schrijf een 1 (staat voor 100) boven de lege kolom van de honderdtallen. Tel dan de honderdtallen op. Er komt niets bij, dus schrijf onder de streep een 1 in het antwoord op de positie van de honderdtallen.

1

75 54 + 129

 el eerst de eenheden op (9 + 3). Schrijf van het T antwoord 12 de 2 op in het antwoord onder de streep. Tel de 1 (staat voor 10) mee met de tientallen. Tel dan tientallen op (1 + 8 + 4). Het antwoord is 13 (tientallen). Schrijf de 3 op in het antwoord onder de streep. Schrijf een 1 (voor honderd) boven de lege kolom van de honderdtallen. Tel dan de honderdtallen op. Er komt niets bij, dus schrijf onder de streep een 1 in het antwoord op de positie van de honderdtallen.

1 1

89 43 + 132

 el eerst de eenheden op (2 + 7). Schrijf het antwoord 9 op. T Tel dan de tientallen op (3 + 4). Schrijf het antwoord 7 op. Tel dan honderdtallen op (5 + 3). Schrijf het antwoord 8 op.

532 347 + 879

Ook nog grotere getallen kun je op deze manier gemakkelijk optellen. 1

1

7.378.152  12.539 + 7.390.691

33 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 33

22-10-14 18:20


Op deze manier kun je ook 3 of meer getallen bij elkaar optellen. 1 11

328 152 545 +

8 + 2 + 5 = 15 1 + 2 + 5 + 4 = 12 1 + 3 + 1 + 5 = 10

1.025 Optellen onder elkaar Tel eerst de eenheden op. 6 + 7 = 13. Je gaat over het tiental heen. Noteer alleen de eenheden, dus de 3. Tel de 1 (staat voor 10) van de 13 mee met de tientallen. 1 Schrijf als geheugensteuntje een 1 boven de tientallen (‘1 onthouden’). 7.416 Tel dan de tientallen op. 1 + 1 + 7 = 9. Noteer de 9, je hoeft 1.577 + niets te onthouden, want je gaat niet over een tiental heen. Tel dan de honderdtallen op. 4 + 5 = 9. Noteer de 9, je hoeft 8.993 niets te onthouden, want je gaat niet over een tiental heen. Tel daarna de duizendtallen op. 7 + 1 = 8. Noteer de 8. Klaar!

Regel 

Negatieve getallen optellen Als je een positief getal ergens bij optelt, ga je naar rechts. 2+3=5 Als je een negatief getal ergens bij optelt, ga je naar links. 2 + –3 = –1 Een negatief getal optellen, is hetzelfde als het tegengestelde (positieve) getal aftrekken. 2 + –3 = 2 – 3 = –1 + –3

-5

0

+3

5

Je kunt ook een positief getal bij een negatief getal optellen. –3 + 4 = 1 +4

-5

0

Regel

5

+ – = –

34 HGB-BW-Herziening-H2-C3-2014.indd 34

22-10-14 18:20


4 Vermenigvuldigen Hetzelfde getal een aantal keren achter elkaar optellen, heet vermenigvuldigen. Een som waarin je moet vermenigvuldigen heet vermenigvuldiging of keersom. Het teken voor keer is x, ook wel het maalteken genoemd, want keer en maal betekent hetzelfde. De uitkomst van een vermenigvuldiging heet product.   +   +

2

2

  +   +

2

  +   +

2

  = 8 =8

4 keer 2 optellen is 2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2

3

  +   +

3

  +   +

3

  = 9 =9

3 keer 3 optellen is 3 + 3 + 3 = 3 x 3 = 9   +  

      4 +

  +  

      4 +

  +  

  +  

      4 +

      4 +

= 20 4 = 20

5 keer 4 optellen is 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 x 4 = 20 Het maakt niet uit of je 5 x 4 doet of 4 x 5. Dat is allebei hetzelfde. 4 rijtjes van 5 ballen is evenveel als 5 rijtjes van 4 ballen.         =                    

­­­ ­­­ ­­­

49 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 49

22-10-14 17:12


Tafels Vermenigvuldigingen van getallen onder de 10 moet je uit je hoofd kunnen. Je leert ze in rijtjes waarin ĂŠĂŠn getal steeds hetzelfde is. Die rijtjes heten tafels. Het vermenigvuldigen van grotere getallen doe je met pen en papier. Daarbij gebruik je de tafels van 1 tot en met 10 uit je hoofd. uit het hoofd Tafels 1 1 x 1 = 1 2 x 1 = 2 3 x 1 = 3 4 x 1 = 4 5 x 1 = 5 6 x 1 = 6 7 x 1 = 7 8 x 1 = 8 9 x 1 = 9 10 x 1 = 10

2 1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10 6 x 2 = 12 7 x 2 = 14 8 x 2 = 16 9 x 2 = 18 10 x 2 = 20

3 1 x 3 = 3 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30

4 1 x 4 = 4 2 x 4 = 8 3 x 4 = 12 4 x 4 = 16 5 x 4 = 20 6 x 4 = 24 7 x 4 = 28 8 x 4 = 32 9 x 4 = 36 10 x 4 = 40

5 1 x 5 = 5 2 x 5 = 10 3 x 5 = 15 4 x 5 = 20 5 x 5 = 25 6 x 5 = 30 7 x 5 = 35 8 x 5 = 40 9 x 5 = 45 10 x 5 = 50

Tafels 6 1 x 6 = 6 2 x 6 = 12 3 x 6 = 18 4 x 6 = 24 5 x 6 = 30 6 x 6 = 36 7 x 6 = 42 8 x 6 = 48 9 x 6 = 54 10 x 6 = 60

7 1 x 7 = 7 2 x 7 = 14 3 x 7 = 21 4 x 7 = 28 5 x 7 = 35 6 x 7 = 42 7 x 7 = 49 8 x 7 = 56 9 x 7 = 63 10 x 7 = 70

8 1 x 8 = 8 2 x 8 = 16 3 x 8 = 24 4 x 8 = 32 5 x 8 = 40 6 x 8 = 48 7 x 8 = 56 8 x 8 = 64 9 x 8 = 72 10 x 8 = 80

9 1 x 9 = 9 2 x 9 = 18 3 x 9 = 27 4 x 9 = 36 5 x 9 = 45 6 x 9 = 54 7 x 9 = 63 8 x 9 = 72 9 x 9 = 81 10 x 9 = 90

10 1 x 10 = 10 2 x 10 = 20 3 x 10 = 30 4 x 10 = 40 5 x 10 = 50 6 x 10 = 60 7 x 10 = 70 8 x 10 = 80 9 x 10 = 90 10 x 10 = 100

Om de tafels te leren, kun je gebruik maken van handigheidjes. De eerste tafels die je leert, zijn die van 1, 2 , 5 en 10. Je kunt de tafels uitzetten op de getallenlijn.

50 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 50

22-10-14 17:12


Dan zie je dat de tafel van 4 makkelijker is als je die van 2 al goed kent: je verdubbelt de sprong.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

24

20

Dan leer je de tafel van 3. De tafel van 6 is ook weer makkelijker als je ziet dat het om 2 keer zo grote sprongen gaat als bij de tafel van 3.

0

3

6

9

10

12

15

18

21 20

24

27

30

33

36

39 42 40

De tafel van 9 is minder moeilijk als je ziet dat het tiental steeds eentje hoger wordt en de eenheden steeds eentje lager. Samen zijn beide cijfers altijd 9! +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

–1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1

De vermenigvuldigingstabel is de verkorte weergave van alle tafels tot en met 10. Alle producten van getallen tot en met 10 staan erin. Zo zie je ook snel dat je alle vermenigvuldigingen om kunt draaien. 7 x 8 = 8 x 7 = 56

51 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 51

22-10-14 17:12


x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

0 0 9 10 18 20 27 30 36 40 45 50 54 60 63 70 72 80 81 90 90 100

Veelvoud De getallen in de tabel heten ook wel veelvouden. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 en 40 zijn de veelvouden van 4 oftewel de vier vouden. En 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 en 70 zijn de veelvouden van 7, oftewel de zeven vouden. Het zevenvoudige van een getal is 7 x dat getal. Het zesvoud van 3 is 6 x 3 = 18. Kleinste gemene veelvoud Het kleinste gemene veelvoud, afgekort tot kgv, van twee getallen is het kleinste getal dat een veelvoud is van beide getallen. Gemene is een ouderwets woord voor gemeenschappelijk. Getallen kunnen gemeenschappelijke veelvouden hebben. Dat betekent dat zo’n veelvoud in meer dan één tafel voorkomt. 24 bijvoorbeeld is een veelvoud van 3, van 4, van 6 en van 8. Maar de getallen 3 en 4 hebben een kleiner gemeenschappelijk veelvoud: 12. Want 12 komt in beide tafels voor. Er is geen kleiner getal dat in beide tafels voorkomt. Daarom is 12 het kgv van 3 en 4. Gemeenschappelijke veelvouden zoek je dus door de tafels te vergelijken en te kijken waar dezelfde getallen staan.

52 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 52

22-10-14 17:12


Zoek je het kgv van 3, 4 en 6, dan kijk je naar de tafels van 3, 4 en 6. 12 is het kleinste getal dat in alle drie tafels voorkomt, dus is 12 het kgv van 3, 4 en 6. 1 x 3 = 3 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30

1 x 4 = 4 2 x 4 = 8 3 x 4 = 12 4 x 4 = 16 5 x 4 = 20 6 x 4 = 24 7 x 4 = 28 8 x 4 = 32 9 x 4 = 36 10 x 4 = 40

1 x 6 = 6 2 x 6 = 12 3 x 6 = 18 4 x 6 = 24 5 x 6 = 30 6 x 6 = 36 7 x 6 = 42 8 x 6 = 48 9 x 6 = 54 10 x 6 = 60

Handig vermenigvuldigen Je mag vermenigvuldigingen splitsen. 3 x 8 = (3 x 4) + (3 x 4) = 12 + 12 = 24 7 x 9 = (7 x 10) – (7 x 1) = 70 – 7 = 63 8 x 6 = (8 x 5) + (8 x 1) = 40 + 8 = 48 De haakjes staan er omdat je eerst de keersommen moet uitrekenen voordat je mag optellen of aftrekken. 3 x 16 = (3 x 10) + (3 x 6) = 48

+

3 x 16

+

=

+

=

= (3 x 10) + (3 x 6) =

48

53 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 53

22-10-14 17:12


Omdat 16 gelijk is aan 10 + 6, is 3 x 16 hetzelfde als (3 x 10) + (3 x 6). Vermenigvuldigen met ronde tientallen, honderdtallen en duizendtallen is niet moeilijk als je de tafels goed kent. Er komt steeds een nul bij, maar de rekensom blijft dezelfde. 3 x 4 = 12 3 x 40 = 120 3 x 400 = 1.200 3 x 4.000 = 12.000 Je vermenigvuldigt een getal met 10 door 0 achter het getal zetten. Je vermenigvuldigt een getal met 100 door 00 achter het getal zetten. Je vermenigvuldigt een getal met 1.000 door 000 achter het getal zetten. Let op bij vermenigvuldigingen als 30 x 40, 20 x 50, 60 x 70. 30 x 40 = 3 x 10 x 40 = 3 x 400 = 1.200 of 3 x 4 x 100 20 x 50 = 2 x 10 x 50 = 2 x 500 = 1.000 of 2 x 5 x 100 Als je hele tientallen met elkaar vermenigvuldigt, staan er twee nullen in de uitkomst. En bij hele honderdtallen staan er 4 nullen in de uitkomst. In het product staan net zoveel nullen als in de getallen samen. 30 x 400 = 12.000 (= 12 plus 3 nullen) 200 x 300 = 60.000 (= 6 plus 4 nullen) Maar let op als de uitkomst van de vermenigvuldiging van de eerste 2 cijfers ook een nul bevat! 20 x 50 = 1.000 Er staan 3 nullen in de uitkomst. EĂŠn nul komt van de uitkomst van 2 x 5 (=10) en de andere twee omdat je twee tientallen vermenigvuldigt. Keersommen met grotere getallen kun je ook weer splitsen. 7 x 428 = (7 x 400) + (7 x 20) + (7 x 8) = 2.800 + 140 + 56 = 2.996 Bij een keersom mag je het ene getal halveren als je het andere verdubbelt. Zo kun je een makkelijker som maken. 12 x 40 = 6 x 80 = 480

54 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 54

22-10-14 17:12


.

n.

Om keersommen goed uit je hoofd te kunnen, moet je de tafels van ‘mooie’ getallen zoals 25 ook kennen. En die van 11 en 12. De tafel van 11 is niet moeilijk te leren. Kijk maar naar de reeks uitkomsten. uit het hoofd 1 x 11 = 11 2 x 11 = 22 3 x 11 = 33 4 x 11 = 44 5 x 11 = 55 6 x 11 = 66 7 x 11 = 77 8 x 11 = 88 9 x 11 = 99 10 x 11 = 110

1 x 12 = 12 2 x 12 = 24 3 x 12 = 36 4 x 12 = 48 5 x 12 = 60 6 x 12 = 72 7 x 12 = 84 8 x 12 = 96 9 x 12 = 108 10 x 12 = 120

1 x 25 = 25 2 x 25 = 50 3 x 25 = 75 4 x 25 = 100 5 x 25 = 125 6 x 25 = 150 7 x 25 = 175 8 x 25 = 200 9 x 25 = 225 10 x 25 = 250

Schattend vermenigvuldigen Bij schatten rond je af op ronde getallen, zoals tientallen, honderdtallen of duizendtallen. Als je schat, gebruik je niet het =-teken, maar het ≈-teken. Dat betekent ‘is ongeveer’. 38 x 63 ≈ 40 x 60 = 2.400 416 x 788 ≈ 400 x 800 = 320.000 Compenserend schatten Als je álle getallen naar boven afrondt, valt je schatting veel te hoog uit. 351 x 467 ≈ 400 x 500 = 200.000 Het precieze antwoord is 163.917. Rond dan het ‘kleinste’ getal volgens de afrondingsregels af en rond het ‘grootste’ getal in tegenovergestelde richting af. 351 x 467 ≈ 400 x 400 = 160.000 Als je álle getallen naar beneden afrondt, valt je schatting veel te laag uit.

55 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 55

22-10-14 17:12


645 x 235 ≈ 600 x 200 = 120.000 Het precieze antwoord is 151.575. Rond het kleinste getal volgens de afrondingsregels af en rond het grootste getal in tegenovergestelde richting af. 645 x 235 ≈ 700 x 200 = 140.000

Vermenigvuldigen onder elkaar Vermenigvuldigingen met getallen van meer dan één cijfer doe je met pen en papier als het niet handig uit het hoofd kan. Schrijf ze dan onder elkaar. Als je 7 × 428 moet uitrekenen, kun je dat in drie stappen doen. 7 × 8 = 56, 7 x 20 = 140, 7 × 400 = 2.800 Tel daarna alles bij elkaar op. 56 +140 + 2.800 = 2.996 428 7 x (7 x 8) (7 x 20) (7 x 400)

56 140 2.800 + 2.996

 oe eerst 7 x 8 = 56. Schrijf de 6 onder de D streep, recht onder de eenheden en de 5 recht onder de tientallen. Doe dan 7 x 20 = 140 en schrijf de 0 onder de streep, recht onder de 6 bij de eenheden, de 4 recht onder de 5 bij de tientallen en zet de 1 op de plek van de honderdtallen. Doe dan 7 x 400 = 2.800 en let ook hier goed op de plaats voor de eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen. Tel tot slot de drie tussenuitkomsten bij elkaar op.

Het kan ook in één keer. 15

428 7 x 2.996

7 × 8 = 56  Schrijf de 6 bij de eenheden onder de streep. Onthoud de 5 en schrijf die op boven de tientallen. 7 × 2 = 14  Tel bij deze 14 nog de 5 die je hebt onthouden: 14 + 5 = 19. Schrijf daarvan de 9 op en onthoud de 1. Die schrijf je op boven de honderdtallen. 7 × 4 = 28  Tel bij deze 28 nog de 1 op die je hebt onthouden: 28 + 1 = 29. Schrijf 29 ineens onder de streep, links van de cijfers die er al stonden.

56 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 56

22-10-14 17:12


Schrijf de getallen netjes met de eenheden, tientallen en honderdtallen precies onder elkaar en schrijf de uitkomst onder de streep netjes van rechts naar links. Zo lukt het altijd om een getal te vermenigvuldigen met een getal van één cijfer. Bij keersommen met een rond tiental gaat het net zo. Maar eerst schrijf je onder de streep de 0 op die er bijkomt omdat je met een tiental vermenigvuldigt.

34 20 x

680 Je schrijft van rechts naar links eerst de 0, dan de uitkomst van 2 x 4 en dan de uitkomst van 2 x 3. Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met de eenheden van het onderste getal boven de streep. De tweede rij staat voor het vermenigvuldigen met de tientallen, vandaar de eerste gekleurde nul. De derde rij staat voor het vermenigvuldigen met de honderdtallen, vandaar de twee gekleurde nullen. Is één van de cijfers waarmee je moet vermenigvuldigen een 0 en krijg je dus een rijtje nullen, dan mag je die rij bij het opschrijven overslaan. Schrijf wel het juiste aantal nullen op de volgende rij! 5.327 703 x

5.327 703 x

2.160 3.007 x

2.160 3.007 x

15.981 0 000 3.728.900 +

15.981 3.728.900 +

15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 +

15.120 6.480.000 +

3.744.881

3.744.881

6.495.120

6.495.120

57 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 57

22-10-14 17:12


  Vermenigvuldigen onder elkaar Let goed op de gekleurde nullen. EÊn nul op het eind staat voor het tiental waarmee je vermenigvuldigt, twee nullen op het eind 2.376 staan voor het honderdtal waarmee je 1.423 x vermenigvuldigt, enz. 1 32 11 1 21

1 121

7.128 47.520 950.400 2.376.000 +

3 x 2.376 20 x 2.376 400 x 2.376 1.000 x 2.376

3.381.048  Vermenigvuldig eerst met de eenheden 3 x 6 = 18  Schrijf de 8 op bij de eenheden onder de streep. Onthoud de 1 en schrijf die boven de tientallen. 3 x 7 = 21 Tel bij 21 de 1 op die je hebt onthouden (21 + 1 = 22). Schrijf de 2 op bij de tientallen onder de streep. Onthoud de 2 en schrijf die boven de honderdtallen. 3 x 3 = 9 Tel bij de 9 de 2 op die je hebt onthouden (9 + 2 = 11). Schrijf de 1 op bij de honderdtallen onder de streep. Onthoud de 1 en schrijf die boven de duizendtallen. 3 x 2 = 6 Tel bij de 6 de 1 op die je hebt onthouden (6 + 1 = 7). Schrijf de 7 op bij de duizendtallen onder de streep.  Vermenigvuldig dan met de tientallen  Schrijf op de tweede rij onder de streep op de plaats van de eenheden een 0. Streep de hulpcijfers die je bij de vorige stap hebt gezet door. 2 x 6 = 12 Schrijf de 2 op bij de tientallen onder de eerste tussenuitkomst. Onthoud de 1 en schrijf die boven de tientallen. 2 x 7 = 14 Tel bij 14 de 1 op die je hebt onthouden (14 +1 = 15). Schrijf de 5 op bij de honderdtallen onder de eerste tussenuitkomst. Onthoud de 1 en schrijf die boven de honderdtallen. 2 x 3 = 6 Tel bij de 6 de 1 op die je hebt onthouden (6 + 1 = 7). Schrijf de 7 op bij de duizendtallen onder de eerste tussenuitkomst. Je gaat niet over het tiental, dus je hoeft niets te onthouden.

58 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 58

22-10-14 17:12


2 x 2 = 4 Schrijf de 4 op bij de tienduizendtallen onder de eerste tussenuikomst. 4 x 2 = 8 Tel bij 8 de 1 op die je hebt onthouden (8 + 1 = 9). Schrijf de 9 op bij de honderdduizendtallen onder de tweede tussenuitkomst.

 Vermenigvuldig dan met de honderdtallen  Schrijf op de derde rij onder de streep op de plaatsen van de eenheden en de tientallen een 0. Streep de hulpcijfers die je bij de vorige stap hebt gezet door. 4 x 6 = 24 Schrijf de 4 op bij de honderdtallen onder de tweede tussenuitkomst. Onthoud de 2 en schrijf die boven de tientallen. 4 x 7 = 28 Tel bij 28 de 2 op die je hebt onthouden (28 + 2 = 30). Schrijf de 0 op bij de duizendtallen onder de tweede tussenuitkomst. Onthoud de 3 en schrijf die boven de honderdtallen. 4 x 3 = 12 Tel bij 12 de 3 op die je hebt onthouden (12 + 3 = 15). Schrijf de 5 op bij de tienduizendtallen onder de tweede tussenuitkomst. Onthoud de 1 en schrijf die boven de duizendtallen. 4 x 2 = 8 Tel bij 8 de 1 op die je hebt onthouden (8 + 1 = 9). Schrijf de 9 op bij de honderdduizendtallen onder de tweede tussenuitkomst.  Vermenigvuldig dan met de duizendtallen Schrijf op de vierde rij onder de streep op de plaatsen van de eenheden, de tientallen en de honderdtallen een 0. Streep de hulpcijfers die je bij de vorige stap hebt gezet door. 1 x 6 = 6 Schrijf de 6 op bij de duizendtallen onder de derde tussenuitkomst. 1 x 7 = 7 Schrijf de 7 op bij de tienduizendtallen onder de derde tussenuitkomst. 1 x 3 = 3 Schrijf de 3 op bij de honderdduizendtallen onder de derde tussenuitkomst. 1 x 2 = 2 Schrijf de 2 op bij de miljoenen onder de derde tussenuitkomst.  Tel nu de getallen van de vier rijen bij elkaar op Voor de optelling moet je ook onthouden. Schrijf de hulpcijfers boven de eerste rij van de tussenuitkomsten, net onder de streep.

59 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 59

22-10-14 17:12


Negatieve getallen vermenigvuldigen Vermenigvuldigen is steeds hetzelfde getal optellen. 3 x 3 = 9 want 0 + 3 + 3 + 3 = 9 3 x –3 –10

–9

–8

2 x –3

–7

–6

–5

1 x –3 –3

–4

–2

–1

0

3 x –3 = –9 en –3 x 3 = –9 want 0 + –3 + –3 + –3 = –9 Regel

+ x – = – en – x + = –

Als je met de tafel van –3 doorgaat rechts van de nul, dan wordt uitkomst positief. –2 x –3 = 6 1 x –3 –3

–2

Regel

–1 x –3 –1

0

1

–2 x –3 2

3

4

5

6

7

–x–=+

60 HGB-BW-Herziening-H4-C5-2014.indd 60

22-10-14 17:12


6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo’n stuk is dan een halve 1 meloen, 2 meloen.

1 meloen

1 2

meloen

Zo kun je ook een taart in stukken snijden. Als je 1 taart verdeelt in 6 gelijke stukken, dan is elk stuk (spreek uit één zesde) taart.

1 6

Een breuk is dus eigenlijk een gebroken getal. Breuken ontstaan als een deling niet uitkomt op een geheel getal. Als je 5 meloenen door 2 wilt delen, krijg je 2, rest 1. Wil je die rest ook nog delen door 2 dan krijg je 1 gedeeld door 2. Dat is 12 . 1 1 6 is 1 gedeeld door 6 = 1 : 6 = 6 . Een breuk bestaat uit een teller en een noemer. De teller staat boven de breukstreep en de noemer er onder. 1 → teller – 6 → noemer Het breukstreepje wordt schuin op je toetsenbord geschreven. Dus 1/6 is hetzelfde als 16 .

77 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 77

22-10-14 18:07


De teller geeft aan hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de naam is van die stukken: 56 taart geeft dus aan dat de taart in 6 stukken is verdeeld en dat je 5 stukjes telt die allemaal 1 6 groot zijn.

1 6

2 6

één zesde twee zesde

3 6

drie zesde

4 6

vier zesde

5 6

vijf zesde

6 6

zes zesde

De taart is in 6 stukken verdeeld. Eén stuk is dus 16 en vijf stukken is 56 . Zes stukken taart is 66 en dat is hetzelfde als 1 hele. Als de teller en noemer gelijk zijn, dan is dat hetzelfde als 1. Je kunt een hele in net zoveel gelijke stukjes verdelen als je zelf wilt, bijvoorbeeld: 2 stukjes van

1 2

(één tweede, we noemen dat meestal een half)

3 stukjes van

1 3

(één derde)

4 stukjes van

1 4

(één vierde, we noemen dat vaak een kwart)

5 stukjes van

1 5

(één vijfde)

6 stukjes van

1 6

(één zesde)

7 stukjes van

1 7

(één zevende)

8 stukjes van

1 8

(één achtste)

9 stukjes van

1 9

(één negende)

10 stukjes van

1 10

100 stukjes van

(één tiende)

1 100

1000 stukjes van

(één honderdste)

1 1000

(één duizendste)

Je kunt ook meer helen in stukken verdelen.   1 hele is

6 6

  2 helen is 12 stukjes

2=

12 6

78 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 78

22-10-14 18:07


Vergelijken en ordenen van breuken Hoe groter de noemer is, hoe kleiner het stuk is. Want als je een taart in 8 stukjes snijdt, is elk stukje kleiner dan wanneer je de taart in 6 stukjes snijdt en die stukjes zijn weer kleiner dan wanneer je taart in 3 stukken snijdt.

Dus

1 8

0

is kleiner dan 1 1 8 6

1 5

1 4

1 3

1 6

en

1 6

is kleiner dan 13 . 1 2

1

Anders wordt het als de teller groter is dan 1. Als je een taart in 4 stukken snijdt en een andere taart in 2 stukken, dan is één stuk van de eerste taart kleiner dan één stuk van de tweede taart.

1 ­ 2 Maar twee stukjes van de eerste taart is samen evenveel als één stukje van de tweede taart: 2 1 4 is dus hetzelfde als 2 .

2 4

De breuk met de grootste noemer kan dus evenveel of zelfs groter zijn dan de breuk met de kleinste noemer als de teller van de eerste breuk groter is dan die van de tweede breuk. 3 1 4 is groter dan 2 .

79 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 79

22-10-14 18:07


2 4

2 3

Eén stukje van de eerste taart is kleiner dan één stukje van de tweede taart. Ook twee stukjes van de eerste taart is samen kleiner dan twee stukjes van de tweede taart: 2 2 4 is dus kleiner dan 3 Dus als de teller van beide breuken gelijk is, kun je aan de noemer zien welk getal groter is. 2 4

0

1 4

1 4

1 3

2 3

3 4

1

1 2

Re

3

2

            4             4           

4 4

2

1

Als je bij 4 teller en noemer allebei door 2 deelt, krijg je 2 : 2 → gedeeld door 2 = 1 – – 4 → gedeeld door 2 = 2

2 6

=

1 3

3 6

=

1 2

4 6

=

2 3

Ook hier deel je teller en noemer allebei door hetzelfde getal: 2 1 gedeeld door 2 – = – 6 3 gedeeld door 2

80 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 80

22-10-14 18:07


3 1 – = – 6 2

gedeeld door 3

4 2 – = – 6 3

gedeeld door 2

gedeeld door 3

gedeeld door 2

Andersom, dus teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen, mag ook:

Regel

1 2 – = – 3 6

keer 2

1 3 – = – 2 6

keer 3

2 4 – = – 3 6

keer 2

keer 2

keer 3

keer 2

Je mag teller en noemer altijd delen of vermenigvuldigen met hetzelfde getal. De waarde van de breuk blijft hetzelfde.

1(11) 1 2

1 2

1 4

1 4

1 8

1 8

1 4

1 8

1 8

1 3 1 6

1 7

1 8

1 9

1 9

1 6

1 9

1 9

1 5 1 10

1 10 1 7

1 6 1 9

1 7

1 10

1 9

1 5 1 10

1 7

1 6

1 9

1 5 1 10

1 8 1 3

1 6

1 5 1 10

1 8

1 3

1 6 1 9

1 8

1 4

1 10 1 7

1 9 1 5

1 10

1 10 1 7

1 10 1 7

81 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 81

22-10-14 18:07


Rekenen met breuken Om te kunnen rekenen met breuken, moet je twee dingen kunnen: breuken gelijknamig maken en breuken vereenvoudigen. Breuken gelijknamig maken Twee of meer breuken gelijknamig maken, betekent dat je de noemer van de breuken hetzelfde maakt. Bij het gelijknamig maken van breuken zoek je naar het kgv, het kleinste gemene (gemeenschappelijke) veelvoud. Tel de breuken 14 en 16 bij elkaar op. Maak deze breuken eerst gelijkwaardig. Neem de tafel van de kleinste noemer, in dit geval 4, totdat je bij het getal komt dat ook in de tafel van de grootste noemer staat. 1x4=4 2x4=8 3 x 4 = 12 en 2 x 6 = 12

Het getal 12 is het kgv en wordt de nieuwe noemer. Om van 4 het getal 12 te maken, doe je dit keer 3. Teller en noemer mag je met hetzelfde getal vermenigvuldigen, dus doe dan ook de teller keer 3. En om van 6 het getal 12 te maken, doe je keer 2. Dan moet je dus ook de teller keer 2 doen. 1 3 teller vermenigvuldigen met 3 – = – 4 12 noemer vermenigvuldigen met 3 1 2 teller vermenigvuldigen met 2 – = – 6 12 noemer vermenigvuldigen met 2 Vereenvoudigen van breuken Een breuk moet altijd zo klein mogelijk worden opgeschreven. Dit heet vereenvoudigen. Om een breuk te vereenvoudigen, heb je de ggd, de grootste gemene (gemeenschappelijke) deler nodig.

82 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 82

22-10-14 18:07

Re


Vereenvoudig 12 18 . Neem de grootste tafel waarin 12 en 18 in de antwoorden staan, 12 en 18 zitten in de tafels van 2, 3 en 6. 1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10 6 x 2 = 12 7 x 2 = 14 8 x 2 = 16 9 x 2 = 18

1 x 3 = 3 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18

1x6=6 2 x 6 = 12 3 x 6 = 18

De tafel van 6 is de grootste tafel waarin beide getallen voorkomen. Dus 6 is de ggd. Deel teller en noemer nu allebei door 6. 12    2 gedeeld door 6 ––   = – Dus 18     3 gedeeld door 6

12 18

=

2 3

Breuken optellen en aftrekken Je kunt breuken, net als hele getallen bij elkaar optellen. Regel  Bij breuken met gelijke noemers hoef je, om ze op te tellen, alleen de tellers bij elkaar op te tellen. 1 4

+

2 4

=

Beide noemers zijn 4, dus deze breuk kun je optellen. Het aantal stukken tel je bij elkaar. De naam van de stukken blijft gelijk. Je telt dus alleen de tellers bij elkaar op. 1 4

+

2 4

=

3 4

83 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 83

22-10-14 18:07


Dus ook: 3 1 2 2 5 + 5 = 5      5 +

2 5

= 45      25 +

3 5

=

5 5

en dat is hetzelfde als 1

2 18 + 1 38 Hier is het handiger eerst te splitsen. Tel eerst de helen bij elkaar: 2+1=3 +

3 8

=

3+

4 8

= 3 48

Tel dan de breuken bij elkaar: Tel daarna alles bij elkaar:

1 8

Vereenvoudig tot slot de breuk: 4 6

+

3 6

=

4 8

4 8

= 12 , dus de uitkomst is 3 12 .

7 6

De teller (7) is groter dan de noemer (6). Dus in het getal een hele. De noemer is 6, dus de hele is 66 . Dan houd je nog 16 over.  76 schrijf je daarom als 1 16 .

7 6

zit

1 46 + 2 36 = 1+2=3 4 6

+

3 6

=

7 6

= 1 16

3 + 1 16 = 4 16 Als de noemers niet gelijk zijn, zoek dan een nieuwe noemer om de breuken gelijkwaardig te maken. Regel  Breuken met ongelijke noemers moet je eerst gelijknamig maken om ze op te kunnen tellen. 1 3

+

1 4

=

Zoek het kgv. Neem de tafel van de kleinste noemer, in dit geval 3, totdat je bij het getal komt dat ook in de tafel van de grootste noemer staat.

84 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 84

22-10-14 18:07


1x3=3 2x3=6 3x3=9 4 x 3 = 12 → en 3 x 4 = 12

Het getal 12 wordt de nieuwe noemer. Om van 3 het getal 12 te maken, vermenigvuldig je met 4 en om van 4 het getal 12 te maken, vermenigvuldig je met 3. 1 4 teller x 4 – = – 3 12 noemer x 4 1 3 teller x 3 – = – 4 12 noemer x 3 3 1 1 4 7 3 + 4 = 12 + 12 = 12 Hetzelfde doe je bij breuken met helen erin. 1 34 + 2 45 = Je zoekt eerst de nieuwe noemer. Dat wordt 20, want 5 x 4 = 20 en 4 x 5 = 20. 3 15 teller x 5 1 – = 1 –– 4 20 noemer x 5 4 16 teller x 4 2 – = 2 –– 5 20 noemer x 4 16 31 11 1 34 + 2 45 = 1 15 20 + 2 20 = 3 20 = 4 20 ­­­­

Ook voor aftrekken met breuken geldt: Regel  Bij breuken met gelijke noemers hoef je, om ze af te trekken, alleen de tellers van elkaar af te trekken 2 4

1 4

=

85 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 85

22-10-14 18:07


Beide noemers zijn 4, dus deze breuk kun je aftrekken. Het aantal stukken trek je van elkaar af. De naam van de stukken blijft gelijk. Je trekt alleen de tellers van elkaar af. 2 4

1 4

=

1 4

Dus ook: 4 2 2 5 – 5 = 5 2 38 – 1 28

Trek eerst de helen van elkaar af. 2 – 1 = 1 Trek de breuken af. 38 – 28 = 18 Tel dan alles bij elkaar. 1 + 18 = 1 18 3–

5 6

=

Je moet 1 lenen van de 3 om 56 te kunnen aftrekken. 1 is hetzelfde als 66 dus  2 66 – 56 = 2 16 Als de noemers niet gelijk zijn, moet je de breuken gelijknamig maken. Zoek nieuwe noemers. 5 8

2 6

=

Zoek het kgv. Neem de tafel van de kleinste noemer, in dit geval 6, totdat je bij het getal komt dat ook in de tafel van de grootste noemer staat. 1x6= 6 2 x 6 = 12 3 x 6 = 18 4 x 6 = 24 → en 3 x 8 = 24

Het getal 24 wordt de nieuwe noemer. Om van 6 het getal 24 te maken, doe je keer 4 en om van 8 het getal 24 te maken, doe je keer 3. Vermenigvuldig dus ook de teller van 26 met 4 en de teller van 58 met 3. 5 8

2 6

=

15 24

8 24

=

7 24

86 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 86

22-10-14 18:08


2 58 – 2 14 Neem de tafel van 4. Het getal 8 wordt de nieuwe noemer. Om van 4 het getal 8 te maken, doe je keer 2 en om van 8 het getal 8 te maken, doe je keer 1. Teller en noemer van 58 blijven dus gelijk. 2 58 – 2 14 = 2 58 – 2 28 =

3 8

3 15 – 2 13 Neem de tafel van 3. Het getal 15 wordt de nieuwe noemer. Om van 5 het getal 15 te maken, doe je keer 3 en om van 3 het getal 15 te maken, doe je keer 5. 3 15 – 2 13 = 3 153 – 2 155 = Je moet lenen van de 3 om Schrijf 3 als 2 15 15 en tel daar 5 2 18 15 – 2 15 =

5 15

3 15

te kunnen aftrekken. bij. Trek dan af.

13 15

Breuken vermenigvuldigen Stel je bij het vermenigvuldigen van een breuk weer de taart voor. Bij een vermenigvuldiging van een breuk, bijvoorbeeld 16 , met een heel getal tel je net zoveel stukjes als het hele getal aangeeft bij elkaar op. 5x

1 6

=

1 6

+

1 6

+

1 6

+

1 6

+

1 6

=

5 6

dus 5 x

1 6

=

5 6

Je vermenigvuldigt de teller met het hele getal. 3x

2 7

=

2 7

+

2 7

+

2 7

=

6 7

dus 3 x

2 7

=

6 7

Je kunt 2 breuken ook met elkaar vermenigvuldigen. 1 2

x

1 3

= Hier staat dus: hoeveel is de helft van

1 3

?

1 3

De helft van 1 stukje is 16 , er gaan nu 6 stukjes in de hele strook. 1 1 1 – x – = – 2 3 6

de tellers met elkaar vermenigvuldigen de noemers met elkaar vermenigvuldigen

87 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 87

22-10-14 18:08


Regel

 Om twee breuken te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar. 4 5

x

5 6

20 30

=

=

2 3

Bij breuken groter dan 1 maak je er eerst een echte breuk van, door van de helen ook een breuk te maken. 2 x1 = 1 4

9 4

1 3

x

4 3

=

36 12

9 4

=

x 3 1

Re

4 3

=3

Je kunt ook vereenvoudigen vóór het vermenigvuldigen. Dit heet wegstrepen. Regel  Je mag teller en noemer door hetzelfde getal delen. Bij het vermenigvuldigen van breuken pas je deze regel kruiselings toe. De teller van de eerste breuk en de noemer van de tweede breuk deel je door hetzelfde getal. De teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk deel je door hetzelfde getal. 3

1

1

1

9/ 4/ 3 9 en 3 delen door 3 – x – = – = 3 4/ 3/ 1 4 en 4 delen door 4

Breuken delen Bij het delen van een breuk door een heel getal, verdeel je het aantal stukken. 4 5

:2= 2 5

4 5

88 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 88

22-10-14 18:08


Je hebt 4 stukken van 5. Ieder krijgt 2 stukken van 5. Je deelt de teller door het hele getal. 4 5

:2=

2 5

Je kunt een breuk ook delen door een breuk. Regel

5 8

Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. :

1 4

=

5 8

x

4 1

=

20 8

= 2 48 = 2 12

Je kunt ook meteen wegstrepen. 5 8

:

1 4

=

5 8/ 2

x

1 4/ 1

=

5 2

= 2 12

Als er helen in de breuk zitten, maak je daar eerst een breuk van.

3 23 : 2 61 =

11 3

:

13 6

=

11 3/ 1

x

2 6/ 13

=

22 13

= 1 139

Deel - geheel Welke breuk is 5 cm? 5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

De balk is 20 cm, verdeeld in 4 stukken van 5 cm. Elk stuk is 14 van 20 cm. Je kunt ook zeggen. De balk is 20 cm lang, dan is 20 de noemer. Elke cm is 201 deel van de balk. Een stuk van 5 cm is dus 5 1 20 = 4 van de balk. Als je weet hoeveel de breuk is, kun je uitrekenen hoeveel de hele is. 3 4

deel is € 15,00. Hoeveel is dan het hele bedrag?

1 4

deel is € 15,00 : 3 = € 5,00. Dus

4 4

deel = 4 x € 5,00 = € 20,00

89 HGB-BW-Herziening-H6-C2-2014.indd 89

22-10-14 18:08


7Kommagetallen Een kommagetal is een getal dat niet heel is. Het is een breuk. Voor de komma staan de helen, achter de komma staat de breuk. De cijfers achter de komma staan voor de tienden, honderdsten, duizendsten, enz. Een breuk kun je schrijven als een kommagetal. De breuk is dan herleid tot tienden, honderdsten, duizendsten. 3,5 is 3 plus 105 . Kommagetallen worden ook wel decimale getallen genoemd. Kommagetallen gebruik je veel bij geld en maten: een kamer van 4,65 meter en een boek van ₏ 6,95. De komma is de scheiding tussen hele euro’s (6) en het deel dat kleiner is dan een hele euro (95), de eurocenten. Spreek uit als zes komma vijfennegentig. Alles wat 1 of groter is, staat voor de komma. Alles wat kleiner is dan 1, staat achter de komma.

Opbouw van kommagetallen

Deze reep is in 10 stukken verdeeld. Elk stukje is 101 deel, een tiende deel. Als je 101 schrijft als kommagetal, schrijf je 0,10. De laatste 0 laat je weg 0,1. Twee stukjes is 102 deel. Als kommagetal schrijf je 0,20 of 0,2. In 102 is 2 de teller en 10 de noemer van de breuk. De teller vind je terug in het kommagetal. De noemer bepaalt de plaats achter de komma. Tienden zijn het eerste getal achter de komma. + 0,2 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

1 hele is verdeeld in 10 gelijke stukken van 0,1. Je ziet dat 0,1 kleiner is dan 1. En dat 0,5 + 0,2 gelijk is aan 0,7.

90 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 90

22-10-14 18:05


Regel

Als het laatste cijfer achter de komma een 0 is -zoals in 0,10- laat je de 0 weg. Als het getal achter de komma alleen een 0 is -zoals in 1,0- laat je de komma en de 0 weg.

Een tiende kun je ook weer in tien stukjes verdelen. 0,0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

Het stukje van 0,0 naar 0,1 is verdeeld in 10 stukjes. Elk stukje van 0,01 is een honderdste. Bij honderdsten zijn er twee cijfers na de komma. Geld is daarvan een goed voorbeeld. 1 euro = 100 eurocenten 1 eurocent = 1100 euro = € 0,01

10 eurocent = 45 eurocent =

1 10 45 100

euro = € 0,10 = € 0,45

Een stukje zoals dat van 0,01 naar 0,02 kun je ook weer in 10 stukjes verdelen. 0,010

0,011

0,012

0,013

0,014

0,015

0,016

0,017

0,018

0,019

0,020

Elk stukje van 0,001 is een duizendste. Bij duizendsten zijn er drie cijfers na de komma. Dit zie je terug bij maten. 1 meter 1 decimeter 1 centimeter 1 millimeter 1 hele

10 10

= 100 centimeter = 10 centimeter = 101 meter = 0,1 meter = 1100 meter = 0,01 meter = 1.0100 meter = 0,001 meter 100 100

1.000 1.000

Hoe verder een cijfer achter de komma staat, hoe minder het waard is. Tel het aantal nullen in de breuk om de plaats van de komma te bepalen.

91 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 91

22-10-14 18:05


1 plaats achter de komma 2 plaatsen achter de komma

0,1

1 10

1 tiende

1 nul

0,01

1 100

1 honderdste

2 nullen

0,001

1 1.000

1 duizendste

3 nullen

3 plaatsen achter de komma

0,0001

1 10.000

1 tienduizendste

4 nullen

4 plaatsen achter de komma

In het getal 67,437 is de 4 meer waard dan de 7: • de 4 is 0,400, 4 tienden waard • de 3 is 0,030, 3 honderdsten waard • de 7 is 0,007, 7 duizendsten waard Het verschil tussen 0,400 en 0,007 is 0,393. De 4 is 0,393 meer waard dan de 7.

Rekenen met kommagetallen Optellen Gemakkelijke sommen doe je uit je hoofd. 1 + 0,3 = 1,3 3,6 + 1,3 = Splits eerst in helen en getallen achter de komma. 3 + 0,6 en 1 + 0,3 Tel eerst de helen en dan de getallen achter de komma. 3 + 1 = 4 en 0,6 + 0,3 = 0,9 4 + 0,9 = 4,9 Net als bij hele getallen, kun je onder elkaar optellen. Zie ook pagina 32 en verder. 2,7 3,2 + 5,9

2,7 + 3,2 = Schrijf eerst de getallen goed onder elkaar. Zet de komma’s precies onder elkaar. Tel van rechts naar links.

92 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 92

22-10-14 18:05


Over de hele heen gaat net als over het tiental heen.  1

11

2,7 3,8 +

19,6 2,5 +

6,5

22,1

Meer getallen achter de komma 3,71 4,16 +

25,21 2,73 +

7,87

27,94

Ongelijk aantal cijfers achter de komma Maak eerst de getallen achter de komma even lang: 25 is hetzelfde als 25,0 Schrijf de getallen en de komma’s recht onder elkaar. 25 + 2,7 = 235,19 + 17,125 = 1

1

25,0 2,7 +

235,190 17,125 +

27,7

252,315

Regel  

Je mag achter de cijfers na de komma een 0 toevoegen of weglaten. Een tussennul mag je niet toevoegen of weglaten.

Aftrekken Gemakkelijke aftreksommen doe je uit je hoofd. 6,4 – 2,2 = Splits eerst in helen en getallen achter de komma 6 + 0,4 en 2 + 0,2 Trek eerst de helen af en dan de getallen achter de komma. Tel ze daarna bij elkaar op.

93 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 93

22-10-14 18:05


6 – 2 = 4  en  0,4 – 0,2 = 0,2 4 + 0,2 = 4,2 Ga je door de hele heen, dan moet je lenen. 6,1 – 0,2 = Leen eerst 1 van de 6. De 6 wordt een 5. De geleende 1 is hetzelfde als 10 tienden, 10 10 . Tel daar de 0,1 van 6,1 bij. Dat is 11 10 of 1,1. 2 Trek van de 1,1 ( 11 10 ) de 0,2 ( 10 ) af. 9 11 2 10 – 10 = 10 of 0,9 Tel daarna de 5 en de 0,9 bij elkaar op. 5 + 0,9 = 5,9 Net als bij hele getallen, kun je onder elkaar aftrekken. Zie ook pagina 45 en verder. 5

2

3/ 2,3 6/ ,1 Door het tiental heen 6,2 – 0,2 – 26,1

5,9

Meer getallen achter de komma 5,45 2,32 – 3,13

5,45 – 2,32 =  chrijf eerst de getallen recht onder elkaar. S Zet de komma’s precies onder elkaar.

Ongelijk aantal cijfers achter de komma 30 – 3,2 =

2 9

3/ 0/ ,0 3,2 – 26,8

Maak eerst de getallen achter de komma even lang. 30 is hetzelfde als 30,0 Schrijf de getallen en komma’s recht onder elkaar.

94 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 94

22-10-14 18:05


49 99

150 – 0,625 =

15/ 0/ ,0/ 0/0 0,625 – 149,375

Vermenigvuldigen Een geheel getal keer een kommagetal Gemakkelijke sommen doe je uit je hoofd. 5 x 1,7 = Haal eerst de komma eruit. 5 x 17 = 85 Zet de komma er weer in. 8,5

12 x 2,5 = Splits eerst in helen (2) en cijfers achter de komma (0,5) Vermenigvuldig eerst met de helen, dan met het cijfer achter de komma. 12 x 2 = 24 + 12 x 0,5 = 6 Tel de uitkomst daarna bij elkaar. 24 + 6 = 30 8 x 4,25 = 8 x 4 = 32 + 8 x 0,25 = 2 32 + 2 = 34 Lastiger sommen zet je onder elkaar. Zie ook pagina 56 en verder. 23 x 3,164 = Zet het getal met de meeste cijfers bovenaan. Je hoeft geen nullen toe te voegen. Vermenigvuldig van rechts naar links net zoals bij het vermenigvuldigen van hele getallen.

95 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 95

22-10-14 18:05


1 11

3,164 23 x

komma staat 3 plaatsen van rechts geen komma, komma staat 0 plaatsen van rechts

9492 63280 + 72,772 komma komt 3 + 0 = 3 plaatsen van rechts Een kommagetal keer een kommagetal 2,2 x 5,4 = 2,2 5,4 x

→ komma staat 1 plaats van rechts → komma staat 1 plaats van rechts

88 1100 + → komma komt 1 + 1 = 2 plaatsen van rechts

11,88

7,25 x 2,154 = 2,154 7,25 x

→ komma staat 3 plaatsen van rechts → komma staat 2 plaatsen van rechts

10770 43080 1507800 + 15,61650

→ komma staat 3 + 2 = 5 plaatsen van rechts De laatste 0 mag je wegstrepen: 15,6165

Regel  

Re

In het antwoord komt de komma net zoveel plaatsen van rechts als het totaal aantal cijfers achter de komma van de getallen waarmee je vermenigvuldigt.

96 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 96

22-10-14 18:05


Vermenigvuldigen met 10, 100 en 1.000 Als je met 10, 100 of 1.000 vermenigvuldigt, hoef je alleen de komma te verplaatsen. 10 x 3,15 = 31,5 Controleer maar: 3,15 10 x = 31,5 De 0 laat je weg. 31,50 10 x 3,1 = 31,0 = 31 De 0 en de komma laat je weg. De komma is 1 plaats naar rechts geschoven. 100 x 3,15 = 315 Komma 2 plaatsen naar rechts. 100 x 3,1 = 310 Komma 1 plaats naar rechts, 0 erbij. 100 x 0,45 = 45  De nul voor de komma vervalt. De komma schuift 2 plaatsen naar rechts. Als de komma maar 1 plaats naar rechts kan, komt er een nul bij. 1.000 x 3,156 = 3.156 Komma 3 plaatsen naar rechts. 1.000 x 3,1 = 3.100 Komma 1 plaats naar rechts, 2 nullen erbij. 1.000 x 0,45 = 450 Komma 2 plaatsen naar rechts, 0 erbij. 1.000 x 0,045 ­= 45 ­­­­De nullen vervallen. De komma schuift 3 plaatsen naar rechts. Als de komma maar 2 plaatsen naar rechts kan, komt er een nul bij. Als de komma maar 1 plaats naar rechts kan, komen er twee nullen bij. Regel   Als je een kommagetal vermenigvuldigt met   10 schuift de komma 1 plaats naar rechts   100 schuift de komma 2 plaatsen naar rechts  1.000 schuift de komma 3 plaatsen naar rechts   Ezelsbruggetje: vermenigvuldigen komma naar rechts

97 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 97

22-10-14 18:05


Delen Gemakkelijke sommen doe je uit je hoofd. Splitsen 20,8 : 4 = Splits eerst in 20 en 0,8. 20 : 4 = 5 Deel beide door 4. 0,8 : 4 = 0,2 5 + 0,2 = 5,2 Tel daarna beide getallen op. Vereenvoudigen (komma’s eruit halen) 36 : 0,6 = Schuif de komma’s naar rechts. In 36 zit geen komma, schrijf er een 0 bij. 360 : 6 = 60 Let op 0,72 : 9 = 0,08 en niet 0,8. Moeilijker sommen doe je met een staartdeling. Zie ook pagina 65 en verder. Delen door een geheel getal met antwoorden groter dan 1 1,2 x 24 = 28,8

24­ Zodra je bij de komma komt, zet je deze / 28,8\ 1,2 24 eerst in het antwoord.  Deel daarna verder. 4 8 4 8 28,8 : 24 = 1,2 0 met rest (7,2 x 8) + 0,6 = 58,2

8­ Zodra je bij de komma komt, zet je deze / 58,2\ 7,2 r.0,6 56 eerst in het antwoord. Deel daarna verder. 2 2 1 6 Deze deling heeft een rest. De waarde is 0,6, want het rest getal komt 1 plaats 6 achter de komma vandaan. 58,2 : 8 = 7,2 rest 0,6

98 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 98

22-10-14 18:05


met antwoorden kleiner dan 1 0,61 x 12 = 7,32

12 / 7,32\ 0,61 0 7 3 72 12 12 0

0,04755 x 20 = 0,951

20 / 0,951\ 0,04755 0 0 9 0 95 80 151 140 110 100 100 100 0

 e deler is groter dan het deeltal, dan D weet je dat het antwoord kleiner is dan 1. Deel eerst op het getal v贸贸r de komma, 12 op de 7 gaat 0 keer. Schrijf de 0 in het antwoord. Als je bij de komma komt, zet je deze eerst in het antwoord. Deel daarna verder.

 e deler is groter dan het deeltal, dan D weet je dat het antwoord kleiner is dan 1. Deel eerst op het getal v贸贸r de komma, 20 op de 0 gaat 0 keer. Schrijf de 0 in het antwoord. Als je bij de komma komt, zet je deze eerst in het antwoord. Haal de 9 aan. 20 op 9 gaat 0 keer. Schrijf de 0 in het antwoord. Daarna deel je verder. Na de uitkomst 11 kun je stoppen. Je hebt dan een uitkomst met rest. Je kunt ook nog extra nullen aanhalen en verder delen. Je mag immers altijd een nul achter het laatste cijfer achter de komma zetten

99 HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 99

22-10-14 18:05


Delen door een kommagetal 0,8 / 76,56 \ 95,7 x 8 = 756,6

8 / 765,6\ 95,7 72 45 40 56 56 0

Haal eerst de komma uit de deler. Deel nooit door een getal met een komma. Om de komma uit de deler te halen, moet de komma 1 plaats naar rechts in de deler en het deeltal. Schrijf de som opnieuw op. Maak de staartdeling.

0,015 /496,5\ 33100 x 15 = 496500

15 / 496500 \ 33100 Haal eerst de komma uit de deler. 45 Om de komma uit de deler te halen, moet de komma 3 plaatsen naar rechts 46 in de deler en het deeltal. 45  In het deeltal kan de komma maar 1 15 plaats naar rechts. Zet daarom 2 nullen 15 achter het getal. 00 Schrijf de som opnieuw op. 0 Maak de staartdeling. 00 0 0

100

HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 100

22-10-14 18:05


Delen door 10, 100 en 1.000 Als je door 10, 100 of 1.000 deelt, hoef je alleen de komma te verplaatsen. 45,6 : 10 = 4,56 Controleer maar: 10 / 45,6\ 4,56 40 56 50 60 60 0 De komma is 1 plaats naar links geschoven. 6,3 : 10 = Zet voor de 6 een nul. Schuif de komma 1 plaats naar links 6,3 : 10 = 0,63 .443,2 : 100 = 34,432 3 443,2 : 100 = 4,432 45,6 : 100 = 0,456 6,3 : 100 = 0,063 De komma schuift 2 plaatsen naar links. Als de komma maar 1 plaats naar links kan, komt er een nul bij. .443,2 : 1.000 = 3,4432 3 443,2 : 1.000 = 0,4432 45,6 : 1.000 = 0,0456 6,3 : 1.000 = 0,0063 De komma schuift 3 plaatsen naar links. Als de komma maar 2 plaatsen naar links kan, komt er een nul bij. Als de komma maar 1 plaats naar links kan, komen er 2 nullen bij.

101

HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 101

22-10-14 18:05


  Regel

Als je een kommagetal deelt door 10 schuift de komma 1 plaats naar links 100 schuift de komma 2 plaatsen naar links 1.000 ­schuift de komma 3 plaatsen naar links Voor elke plaats die de komma niet kan opschuiven, schrijf je een 0 bij. Ezelsbruggetje: delen komma naar links

Procenten Een procent is een honderdste deel. Het honderdste deel -delen door 100- krijg je door de komma 2 plaatsen naar links te plaatsen. 1% van 344 = 3,44 1% van 3443,2 = 34,432 4% van 466 = eerst 1% nemen: 4,66 daarna vermenigvuldigen met 4 4,66 x 4 = 18,64 Meer over procenten komt in het hoofdstuk Procenten.

Afronden Als er getallen achter de komma staan, is het vaak handig af te ronden. Je vermindert dan het aantal cijfers. Volgt op het laatste getal dat blijft staan een 0, 1, 2, 3 of 4, dan blijft het laatste getal onveranderd staan. Volgt op het laatste getal dat blijft staan een 5, 6, 7, 8 of 9, dan wordt het laatste getal dat blijft staan, verhoogd met 1. afronden op helen 3,2 wordt 3 3,6 wordt 4

102

HGB-BW-Herziening-H7-C4-2014.indd 102

22-10-14 18:05


8 Verhoudingen Verhoudingen worden gebruikt om dingen met elkaar te vergelijken. Het vierkant A is 4 keer zo groot als vierkant B. Als iets 4 x zo groot is als iets anders, zeg je dat de verhouding 4 : 1 (vier staat tot één) is.

B A

1

Een breuk geeft ook een verhouding aan. 3 , of 1: 3 spreek je uit als één derde of 1 gedeeld door 3. Als je de verhouding bedoelt, zeg je ‘1 staat tot 3’, of ‘1 op de 3’. Verhoudingen zeggen iets over de hoeveelheid van iets in vergelijking met de hoeveelheid van iets anders. Als 1 op de 3 leerlingen naar de havo gaat, betekent dit dat een derde deel van de leerlingen naar de havo gaat. Van elke 3 leerlingen gaat er één naar de havo. Als er 30 leerlingen zijn, gaan er 10 naar de havo. 10 : 30 is dezelfde verhouding als 1 : 3. Je kunt de verhouding 1 : 3 voor elk aantal leerlingen uitrekenen dat je maar wilt. Dan zet je die aantallen in een verhoudingstabel.   aantal leerlingen   naar de havo

3 1

30 10

15 5

21 7

60 20

De volgende strook is onderverdeeld in 5 vakjes, waarvan er drie gekleurd zijn. De verhouding van het aantal oranje vakjes tot het 3 totale aantal vakjes is dan 3 : 5. Het aantal oranje blokjes is 5 van de hele strook. Zo zie je dat verhoudingen met breuken te maken hebben.

Je kunt de verhouding 3 : 5 voor elk getal uitrekenen. Dan zet je die getallen in een verhoudingstabel.

104

HGB-BW-Herziening-H8-C3-2014.indd 104

29-09-14 18:25


2x

  aantal blauwe vakken   aantal oranje vakken

3 5

6 10 2x

  Regel

3x

9 15 3x

4x

12 20 4x

In een verhoudingstabel mag je, net als bij een breuk, de getallen boven en onder de horizontale streep delen door of vermenigvuldigen met hetzelfde getal.

In het voorbeeld hierboven is in de tweede kolom 2 x 3 = 6 boven de streep, daarom 2 x 5 = 10 onder de streep. En in de derde kolom 3 x 3 = 9 boven de streep, dus 3 x 5 = 15 onder de streep. En in de laatste kolom 4 x 3 = 12 boven de streep, dus 4 x 5 = 20. In een rol beschuit zitten 18 beschuiten. Hoeveel beschuiten zitten er in een grootverpakking van 12 rollen? En hoeveel rollen zijn 72 beschuiten? 3x 2x

  aantal rollen   aantal beschuiten

1 18

2 36

x…

3 54

… 72

12 … x…­

2x 3x

x…

x…

De stap van 3 naar 12 is x 4, dus onder de 12 moet 4 x 54 = 216 komen te staan. Je kunt ook in één keer 12 x 18 doen. De stap van 36 naar 72 is x 2, dus boven de 72 moet 2 x 2 = 4 komen te staan. Je mag ook in één keer 72 : 18 doen. De getallen in een verhoudingstabel, zoals hierboven 118 , 362 , 543 , heten verhoudingsgetallen. Het zijn alleen verhoudingsgetallen als alle getallen in een vaste verhouding staan.

105

HGB-BW-Herziening-H8-C3-2014.indd 105

29-09-14 18:25


Bedrijf A

 loon   aantal folders

  5 cent per folder € 0,05 € 1,1 20

€ 5,100

€ 25,500

  Bedrijf B   € 2,50 vast + 3 cent per folder  loon € 2,53 € 3,10 € 5,50 € 17,50   aantal folders 1 20 100 500 Bij bedrijf A krijg je voor bezorgen 5 cent per folder. Bij bedrijf B krijg je € 2,50 vast loon + 3 cent per folder. Tabel A is een verhoudingstabel met verhoudingsgetallen, tabel B niet. Dat komt door het vaste bedrag van € 2,50 dat er in tabel B bijkomt. Daardoor zijn de sprongen boven de streep niet meer dezelfde vermenigvuldigingen als onder de streep. De getallen in tabel B zijn geen verhoudingsgetallen. Regel  

De verhouding in de tabel is tussen alle verhoudings­­­­ getallen hetzelfde, maar je geeft de verhouding aan met de kleinste gehele getallen in de tabel.

Jullie gaan op kamp. Voor de lunch rekenen jullie op een kwart stokbrood per persoon. Welke verhouding is dat? Hoeveel broden moeten jullie kopen als je met z’n dertigen bent?  stokbroden

1 2

1 4

 personen

2

1

30

De verhouding druk je uit met hele getallen. Om van 12 boven de streep een geheel getal te maken, vermenigvuldig je met 2 (2 x 12 =1). Doe dat dan ook met de 2 onder de streep. De verhouding is dus 1 : 4. Je mag ook in één keer 4 x 14 doen. Voor 30 personen zijn 30 : 4 = 7 rest 2, dus 7 24 brood nodig. Dan kopen jullie er 8.

106

HGB-BW-Herziening-H8-C3-2014.indd 106

29-09-14 18:25


Regel

Als je de verhouding kent, kun je de getallen boven de streep het snelst uitrekenen door het getal onder de streep met het verhoudingsgetal te vermenigvuldigen. De getallen onder de streep reken je uit door het getal boven de streep te delen door het verhoudingsgetal. En dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde.

In het voorbeeld hierboven heb je voor 120 mensen 120 x 14 = 30 broden nodig. En 10 broden zijn genoeg voor 10 : 14 = 10 x 41 = 40 mensen. In de hal liggen zwarte en witte tegels. De verhouding in onderstaande tabel is 5 : 9.  zwart  wit 15 =

5 9

5 9

15 27

x 27 en 45 = 25 :

25 45 5 9

50 90 = 25 x

9 5

Verhoudingstabellen gebruik je als hulpmiddel bij allerlei berekeningen. Bijvoorbeeld: Chris heeft zijn benzinetank van 40 liter volgetankt. Na 600 kilometer is de benzine weer op. Maar hij moet nog 150 kilometer rijden. Hoeveel liter benzine moet hij tenminste bijtanken? En als hij nog 60 km moet? Zet alles wat je weet in een verhoudingstabel: :10

  aantal liters   aantal kilometers

40 10 600 150

1 15

… 60 x4

Voor 150 kilometer heeft Chris dus nog 10 liter benzine nodig. De verhouding in deze tabel is 1:15. Als Chris nog 60 km moet rijden, heeft hij 4 liter benzine nodig (60 : 15 of 4 x 1).

107

HGB-BW-Herziening-H8-C3-2014.indd 107

29-09-14 18:25


Kruisproducten In een verhoudingstabel kun je de getallen in kolommen die naast elkaar staan kruislings vermenigvuldigen. De uitkomst van een vermenigvuldiging heet een product, die van een kruislingse vermenigvuldiging een kruisproduct. In een verhoudingstabel zijn de kruisproducten altijd aan elkaar gelijk. x3

zwart wit

3 7

9 21

9 x 7 = 63 3 x 21 = 63

2 3

4 6

6 9

2 x 6 = 3 x 4 = 12 4 x 9 = 6 x 6 = 36

x3

Schaal Werkelijke afmetingen van een stuk land worden met behulp van een schaal ook wel omgezet in afmetingen op een kaart of tekening. Staat bij een tekening dat = 1 m, dan betekent dat dus dat 1 cm op de tekening in werkelijkheid 1 meter is. De schaal (de verhouding) is dan 1 : 100, dat betekent dat 1 centimeter op de tekening in werkelijkheid 100 centimeter (1 meter) is.

Rekenen in een verhoudingstabel Optellen en aftrekken Je mag twee getallen in een verhoudingstabel bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken boven en onder de streep. + –

 aantal   prijs in euro’s

1 2,80

2 5,60

0,5 1,40

1,5 4,20

3,5 9,80

– +

Controleer maar: 2 + 1,5 = 3,5 en 5,60 + 4,20 = 9,80 en dat is hetzelfde als 3,5 x 2,80. En 2 – 0,5 = 1,5 en 5,60 – 1,40 = 4,20 en dat is hetzelfde als 1,5 x 2,80. 108

HGB-BW-Herziening-H8-C3-2014.indd 108

29-09-14 18:25


Vermenigvuldigen Vermenigvuldigen met hetzelfde getal boven en onder de streep mag, dus verdubbelen ook. x2

 aantal prijs in euro’s

1 1,90

2 3,80 x2

Of vermenigvuldigen met 10, 100: x 100 x 10

 aantal prijs in euro’s

1 2,80

x 10

10 28,-

100 280,-

x 10

5 14,-

50 140,x 10

x 100

Delen Delen door hetzelfde getal boven en onder de streep mag, dus halveren ook. :2  aantal prijs in euro’s

1 3,40

0,5 1,70 :2

Of delen door 10, 100: : 100 : 10

 aantal prijs in euro’s

50 120,-

5 12,-

0,5 1,20

: 10 : 100

109

HGB-BW-Herziening-H8-C3-2014.indd 109

29-09-14 18:25


11Meten en maten Om te meten, gebruik je maten. Er zijn standaardmaten voor lengte, oppervlakte, inhoud en gewicht. Deze standaardmaten heten het metrieke stelsel.   lengte   oppervlakte   inhoud

  Hoe lang is het?   Hoe groot is het?  Hoe groot is het?

  meter   vierkante meter  kubieke meter

  gewicht

  Hoe zwaar is het?

  gram

Hoeveel gaat er in?

liter

Van de standaardmaten kun je grotere en kleinere maten afleiden. Die bestaan uit de standaardmaat plus een voorvoegsel. Kilometer (km) bestaat uit kilo en meter. Kilo betekent 1.000, een kilometer is 1.000 meter. De maten met deze voorvoegsels moet je uit je hoofd kennen. uit het hoofd

  kilo   hecto   deca   deci   centi   milli

=   1.000 =   100 =   10 =   =  

1 10

=  

1 1.000

1 100

deel of 0,1 deel of 0,01 deel of 0,001

Er zijn nog meer maten. Die gebruik je minder vaak.   tera   giga   mega   micro   nano   pico

  biljoen   miljard  miljoen   miljoenste   miljardste   biljoenste

  1.000.000.000.000   1.000.000.000  1.000.000   0,000001   0,000000001   0,000000000001

138

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 138

29-09-14 18:07


Lengte De standaard lengtemaat is de meter. De andere lengtematen zijn daarvan afgeleid.   millimeter   centimeter   decimeter   meter   decameter   hectometer   kilometer km 10

hm 10

  mm   cm  dm  m   dam   hm   km

dam 10

m 10

  1 mm   1 cm   1 dm  1m   1 dam   1 hm   1 km

dm 10

= = = = = = =

cm 10

  0,001 m   0,01 m   0,1 m  1m   10 m   100 m   1.000 m

 1m  1m  1m  1m  1m  1m  1m

= = = = = = =

  1.000 mm   100 cm   10 dm  1m   0,1 dam   0,01 hm   0,001 km

mm

1 nul erbij of de komma 1 plaats naar rechts 1 nul eraf of de komma 1 plaats naar links

Van km naar hm is 1 stap naar rechts, dus 1 nul erbij. 6 km = 60 hm Van km naar m is 3 stappen naar rechts, dus 3 nullen erbij. 6 km = 6.000 m Van m naar km is 3 stappen naar links, dus de komma 3 plaatsen naar links. 6 m = 0,006 km Je moet weten wanneer je welke maat gebruikt. De lengte van een plank meet je in meters of centimeters, de breedte in centimeters en de dikte in millimeters. Een brug meet je in meters of zelfs kilometers.

139 HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 139

29-09-14 18:07


Om rechte lijnen te meten, gebruik je meestal een liniaal of een rolmaat. 1 mm

1 cm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Een meetlint is buigzaam. Die kun je gebruiken voor ronde of bolle vormen of voor het meten van lichaamsmaten, zoals bovenwijdte en taille.

Omtrek Voor de omtrek meet je alle zijden van een figuur of voorwerp en die tel je bij elkaar op. van a naar b is 2 van b naar c is 3 van c naar d is 2 van d naar a is 3 Samen 2 + 3 + 2 + 3 = 10 cm

b

3

2

a

c

2

3

d

De langste zijde noem je de lengte (l). De kortste zijde noem je de breedte (b).

140

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 140

29-09-14 18:07


Een rechthoek heeft 4 zijden, 2 keer de lengte en 2 keer de breedte. De omtrek is de optelsom van alle zijden. lengte + lengte + breedte + breedte = 3 + 3 + 2 + 2 = 10

l=3

b=2

of: 2 x de lengte + 2 x de breedte = 2 x 3 + 2 x 2 = 6 + 4 = 10

Regel  

omtrek rechthoek = l + l + b + b of 2 x l + 2 x b

Een vierkant is een bijzonder soort rechthoek. Alle vier zijden zijn even lang. Je kunt de omtrek snel uitrekenen. 4 x de zijde = 4 x 2 = 8

2

omtrek vierkant = 4 x de zijde

c= 5

Een driehoek heeft 3 zijden. De omtrek is zijde a + zijde b + zijde c. 4 + 3 + 5 = 12

a=4

  Regel

2

b=3

  Regel

omtrek driehoek = a + b + c

141

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 141

29-09-14 18:07


2

2

2

2

Bij een regelmatige veelhoek zijn alle zijden even lang. De omtrek is de optelsom van de lengte van alle zijden: 5 zijden 5 x 2 = 10

2

Regel  

omtrek regelmatige veelhoek = aantal zijden x de lengte.

Voor de omtrek van een cirkel meet je de middellijn. Dat is de lijn die de cirkel in tweeën verdeelt en door het middelpunt d=6 van de cirkel loopt. De middellijn wordt doorsnede of diameter genoemd (d). De omtrek is ongeveer het getal 3,14 keer de lengte van de diameter. Dit getal is een afronding van 3,14159... en wordt voorgesteld door de Griekse letter π (spreek uit: pi). De diameter is 6 cm, de omtrek is: π x 6 ≈ 3,14 x 6 = 18,84   Regel

omtrek cirkel = π x d ≈ 3,14 x diameter

Oppervlakte Bij oppervlakte meet je hoe groot een figuur of voorwerp is, bijvoorbeeld een kamer of een tuin. De oppervlakte druk je uit in vierkante meters. Dat schrijf je als een klein tweetje, net iets boven de m: m². Je vermenigvuldigt 2 maten: lengte en breedte. m x m = m². Dit heet een vierkantsmaat of kwadraatmeter. Een vierkant van 1 m lang en 1 m breed is 1 m². Een vierkant van 1 cm lang en 1 cm breed is 1 cm². Het vierkant op de volgende pagina meet 1 dm bij 1 dm, het vierkant is dan 1 dm². Een decimeter is gelijk aan 10 cm. Hoeveel vierkante cm gaan er in 1 vierkante dm? 142

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 142

29-09-14 18:07


In de lengte past een rij van 10 stukjes van 1 cm². Daarboven past weer een rij van 10 stukjes. In totaal passen er 10 rijen van 10 stukjes. 10 x 10 = 100 cm² Dus: 1 dm = 10 cm 1 dm² = 100 cm² l=3

De oppervlakte is de lengte x de breedte. 3x2=6

  Regel

b=2

oppervlakte rechthoek = l x b 2

Van een vierkant zijn alle 4 zijden even lang. De oppervlakte is zijde x zijde: 2 x 2 = 4 (= 2²)

oppervlakte vierkant = zijde x zijde

Een rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek. De oppervlakte is daarom ook de helft van de oppervlakte van een rechthoek: de lengte x de breedte gedeeld door 2.

lange zijde = 3

  Regel

2

korte zijde = 2

143

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 143

29-09-14 18:07


Bij een driehoek noem je dat lange zijde en korte zijde: (lange zijde x korte zijde) : 2 = (3 x 2) : 2 6:2=3

Deze driehoek bestaat eigenlijk uit twee rechthoekige driehoeken. Je kunt van beide driehoeken de oppervlakte berekenen en deze optellen. driehoek a: (2 x 1) : 2 = 1 driehoek b: (2 x 2) : 2 = 2 1+2=3

a 1

hoogte = 2

Regel   oppervlakte rechthoekige driehoek = (lange zijde x korte zijde) : 2

b

basis = 3

2

Sneller is het om de basis en de hoogte te vermenigvuldigen. (basis x hoogte) : 2 = (3 x 2) : 2 = 3 De basis is de lijn waarop de driehoek ligt. De hoogte is de lijn vanuit de top, loodrecht op de basis. Regel   oppervlakte driehoek = (basis x hoogte) : 2

Voor de oppervlakte van een cirkel meet je de straal, r (van Latijn: radius). Dat is de helft van de diameter. De oppervlakte van de cirkel is ongeveer het getal 3,14 keer de lengte van de straal keer de straal. De straal is 3 cm, de oppervlakte is: π x 3 x 3 ≈ 3,14 x 9 = 28,26

r=3

Regel   oppervlakte cirkel = π x r x r ≈ 3,14 x straal x straal

144

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 144

29-09-14 18:07


Als een voorwerp een afwijkende vorm heeft, reken je de oppervlakte handig uit. Elk hokje is 1 cm². Je kunt op twee manieren de oppervlakte uitrekenen. 1 Bereken eerst de oppervlakte van de grote rechthoek. 11 x 8 = 88 cm² Daarna die van het kleine vierkant: 3 x 3 = 9 cm². Trek deze 9 af van 88. 88 – 9 = 79 cm²

2

Verdeel de rechthoek in twee rechthoeken. De rechthoek  links is 8 x 8 = 64 cm². De rechthoek rechts is 5 x 3 = 15 cm². Tel deze twee bij elkaar op. 64 + 15 = 79 cm²

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. De andere oppervlaktematen zijn daarvan afgeleid.   1 mm²   1 cm²   1 dm²   1 m² = centiare   1 dam² = are   1 hm² = hectare   1 km²

= = = = = = =

  0,000001 m²   0,0001 m²   0,01 m²   1 m²   100 m²   10.000 m²   1.000.000 m²

  1 m²   1 m²   1 m²   1 m²   1 m²   1 m²   1 m²

= = = = = = =

  1.000.000 mm²   10.000 cm²   100 dm²   1 m²   0,01 dam²   0,0001 hm²   0,000001 km²

145

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 145

29-09-14 18:07


km2 100

hm2 100

dam2 100

m2 100

dm2 100

cm2 100

mm2­­­­

2 nullen erbij of de komma 2 plaatsen naar rechts 2 nullen eraf of de komma 2 plaatsen naar links

In 1 m² gaan dus 10.000 cm²: 100 cm in de lengte en 100 in de breedte. 100 x 100 = 10.000 Van m² naar cm² is 2 stappen naar rechts, dus 2 x 2 = 4 nullen erbij. 4 m² = 40.000 cm² Van km² naar hm² is 1 stap naar rechts, dus 2 nullen erbij. 4 km² = 400 hm² Van m² naar km² is 3 stappen naar links, dus de komma 3 x 2 = 6 plaatsen naar links. 4 m² = 0,000004 km² Voor bijvoorbeeld een raam gebruik je de maat m². Voor de oppervlakte van land worden vrijwel altijd de maten hectare, are en centiare gebruikt.   1 m²   1 dam²   100 m²   1 hm²   10.000 m²

=   1 centiare (ca) =   1 are =   1 hectare

Een tuin van 40 meter lang en 15 meter breed is 600 m², of 6 are. Een weiland van 150 meter lang en 75 meter breed is 11.250 m². Dat is 1,125 hectare.

146

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 146

29-09-14 18:07


Inhoud Bij inhoud gaat het erom hoe groot iets is, of hoeveel erin past. Inhoud noem je ook wel volume. De inhoud van bijvoorbeeld een huis druk je uit in in kubieke meters. Dat schrijf je als een klein drietje, m³. Je vermenigvuldigt 3 maten: lengte, breedte en hoogte. m x m x m = m³. Dit heet een kubieke maat of derdemachtsmaat. Een bak van 1 meter lang,1 meter breed en 1 meter hoog is 1 m x 1 m x 1 m = 1 m³. Deze bak is 1 dm lang, breed en hoog. De inhoud is dan 1 dm³. 1 dm = 10 cm. Hoeveel blokjes van 1 kubieke cm gaan er in 1 kubieke dm? In elke laag passen 100 blokjes. Je kunt 10 lagen leggen van 100 blokjes. 10 x 100 = 1.000 cm³ Dus: 1 dm = 10 cm 1 dm² = 100 cm² 1 dm³ = 1.000 cm³   Regel

inhoud = l x b x h

De inhoud van dit aquarium is de lengte x breedte x hoogte. 50 cm x 20 cm x 30 cm = 30.000 cm³ Om te vereenvoudigen kun je er beter dm³ van maken. 5 dm x 2 dm x 3 dm = 30 dm³

30 cm

20 cm 50 cm

147

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 147

29-09-14 18:07


De standaard inhoudsmaat is de kubieke meter. De andere inhoudsmaten zijn daarvan afgeleid.   1 mm³   1 cm³   1 dm³   1 m³   1 dam³   1 hm³   1 km³

km3 1000

= = = = = = =

  0,000000001 m³   0,000001 m³   0,001 m³  m³   1.000 m³   1.000.000 m³   1.000.000.000 m³

hm3 1000

dam3 1000

m3kl 1 00

0

dm3l 1000

  1 m³   1 m³   1 m³   1 m³   1 m³   1 m³   1 m³

3 cmml

1000

= = = = = = =

1.000.000.000 mm³ 1.000.000 cm³ 1.000 dm³ 1 m³ 0,001 dam³ 0,000001 hm³ 0,000000001 km³

mm3­­­­

3 nullen erbij of de komma 3 plaatsen naar rechts 3 nullen eraf of de komma 3 plaatsen naar links

In 1 m³ gaan dus 1.000.000 cm³: 100 cm in de lengte, 100 in de breedte en 100 in de hoogte. 100 x 100 x 100 = 1.000.000 Van m³ naar cm³ is 2 stappen naar rechts, dus 6 nullen erbij. 4 m³ = 4.000.000 cm³ Van km³ naar hm³ is 1 stap naar rechts, dus 3 nullen erbij. 4 km³ = 4.000 hm³ Van m³ naar km³ is 3 stappen naar links, dus de komma 3 x 3 = 9 plaatsen naar links. 4 m³ = 0,000000004 km³

148

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 148

29-09-14 18:07


Als de inhoud vloeibaar of korrelig is, gebruik je de liter als standaardmaat. Bijvoorbeeld als je wilt weten hoeveel zand in een emmer of hoeveel melk in een pak past.   milliliter   centiliter   deciliter  liter   decaliter   hectoliter   kiloliter

  ml   cl  dl  l   dal   hl   kl

38 ml

Om het volume van vloeistoffen nauwkeurig te kunnen meten, wordt vaak een maatbeker gebruikt, bijvoorbeeld in de keuken of in een laboratorium. Op grote bekers staan deciliters en centiliters aangegeven. Op kleine staan centiliters en milliliters.   1 ml = cm³ =   0,001 l   1 cl =   0,01 l   1 dl =   0,1 l   1 l = dm³   1 dal =   10 l   1 hl =   100 l =   1.000 l   1 kl = m³

m3 kl

10

hl 10

dal 10

dm3

l 10

 1l  1l  1l  1l  1l  1l  1l

dl 10

= = = = = = =

cl 10

  1.000 ml   100 cl   10 dl  1l   0,1 dal   0,01 hl   0,001 kl

cm3

ml

1 nul erbij of de komma 1 plaats naar rechts 1 nul eraf of de k omma 1 plaats naar links

149

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 149

29-09-14 18:07


Als je hl omrekent naar l, zet je er 2 nullen bij. 6 hl = 600 l Als je l omrekent naar dl, zet je er 1 nul bij. 6 l = 60 dl Als je cl omrekent naar l, plaats je de komma 2 plaatsen naar links. 6 cl = 0,06 l Litermaten en kubieke meters worden allebei gebruikt als inhoudsmaten. Het zijn verschillende maten, die je naar elkaar om kunt rekenen. Het aquarium van hierboven was 30 dm³. Een dm³ is hetzelfde als 1 liter. Er past dus 30 liter water in.

Gewicht Bij gewicht gaat het erom hoe zwaar iets is. De standaard gewichtsmaat is de gram. De andere gewichtsmaten zijn daarvan afgeleid.   milligram   centigram   decigram  gram

  decagram   hectogram   kilogram

  mg   cg  dg  g   dag   hg   kg

  1 mg   1 cg   1 dg  1g   1 dag   1 hg   1 kg

=   0,001 g =   0,01 g =   0,1 g  1g =   10 g =   100 g =   1.000 g

 1g  1g  1g  1g  1g  1g  1g

= = = = = = =

1.000 mg 100 cg 10 dg 1g 0,1 dag 0,01 hg 0,001 kg

Om gewicht te meten gebruik je een weegschaal. Voor kleine gewichten gebruik je een keukenweegschaal of een brievenweger. Personen weeg je op een personenweegschaal en voor hele zware voorwerpen zoals een auto gebruik je een weegbrug. Er zijn drie bijzondere maten.   ons   100 g   pond   500 g   ton   1.000 kg 150

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 150

29-09-14 18:07


kg 10

hg 10

dag 10

g 10

dg 10

cg 10

mg

1 nul erbij of de komma 1 plaats naar rechts 1 nul eraf of de komma 1 plaats naar links

Als je kg omrekent naar g, zet je er 3 nullen bij. 6 kg = 6.000 g Als je g omrekent naar dg, zet er je er 1 nul bij. 6 g = 60 dg Als je cg omrekent naar g, plaats je de komma 2 plaatsen naar links. 6 cg = 0,06 g

Temperatuur Als je wilt weten hoe warm of koud iets is, meet je de temperatuur. De maat daarvoor is graad Celsius, 째C. Je kunt bijvoorbeeld de temperatuur meten van de buitenlucht, van water, van je lichaam. Je meet de temperatuur met een thermometer. Net als bij klokken heb je analoge en digitale thermometers.

151

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 151

29-09-14 18:07


Op een analoge thermometer lees je de temperatuur af aan de hoogte van de vloeistof, net als bij de lengte op een liniaal. Temperaturen onder 0°C noteer je met een minteken: –5°C. Als het 5 graden onder nul is, vriest het 5 graden. Getallen onder nul heten negatieve getallen. Om vast te stellen of je koorts hebt, gebruik je een koortsthermometer. De normale lichaamstemperatuur van een mens is 37°C. Als je 38,9°C hebt, heb je koorts. Een analoge koortsthermometer heeft een schaal die loopt van bijvoorbeeld 34°C tot 43°C.

Tijd/snelheid Als je snelheid wilt meten, meet je hoeveel tijd het iets of iemand kost om een bepaalde afstand af te leggen. In het verkeer gebruik je de standaard kilometer per uur, of km/u. Vaak wordt de snelheid aangegeven met km/h (de h staat voor hora, Latijn voor uur). Als je een afstand rijdt van 210 km en je doet er 3 uur over, dan rijd je gemiddeld 70 km per uur. 210 : 3 = 70 Een daarvan afgeleide standaard is de meter per seconde, of m/s. Bij sportwedstrijden zoals schaatsen of atletiek wordt nog nauwkeuriger gemeten. Het gaat dan om tienden of honderdsten van seconden. Bijvoorbeeld het record voor de 100 meter hardlopen is 9,69 seconden. Als het vorige record 9,72 seconden was, dan is het verschil slechts 0,03 (driehonderdste) seconde. Let op: een uur heeft 60 minuten en een minuut 60 seconden, maar de seconde wordt verder verdeeld in tienden, honderdsten en duizendsten. Een duizendste seconde is een milliseconde.

152

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 152

29-09-14 18:07


Computer Het geheugen van een computer wordt uitgedrukt in bytes. Een byte is de kleinste hoeveelheid die wordt gebruikt. De meest voorkomende voorvoegsels zijn kilo, mega en giga. Deze voorvoegsels komen niet precies overeen met de officiële maten, zie pagina 138. Een kilobyte (KB) is niet 1.000 bytes, maar 1.024 bytes. De andere maten zijn hiervan afgeleid.  KB  kilobyte =   1.024 bytes  MB  megabyte =   1.024 x 1.024 = 1.048.576  GB  gigabyte =   1.024 x 1.024 x 1.024 = 1.073.741.824

Een kilobyte is ongeveer een halve pagina tekst. Een megabyte is ongeveer de tekst van een dik boek. Een gigabyte is ongeveer 50 boekenplanken vol boeken. De omvang van een harde schijf van een computer wordt aangegeven in gigabyte. In de toekomst zal de omvang worden weergegeven in terabytes. Een harde schijf met een opslagcapaciteit van 1,2 terabyte is dan iets meer dan 1.200 gigabyte of 1.200.000 megabyte.

Rekenen met maten Rekenen met maten gaat net zoals met hele getallen of met kommagetallen. Voordat je gaat rekenen, kijk je eerst of de maten gelijk zijn.   Regel

Als de maten ongelijk zijn, maak ze dan eerst gelijk.

153

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 153

29-09-14 18:07


4 km + 2 hm + 200 cm + 50 dm =

4.000 m 200 m 2m 5 m +

4.207 m

Maak de maten gelijk, in dit geval meters. 4 km = 4.000 m 3 nullen erbij 2 hm = 200 m 2 nullen erbij 200 cm = 2 m 2 nullen eraf 50 dm = 5 m 1 nul eraf Zet de getallen recht onder elkaar

2,5 l – 2 cl – 3 dl = 4

2,5/0 l 0,02 l 0,30 l – 2,18 l

Maak de maten gelijk, in dit geval liters. 2,5 l = 2,5 l verandert niet 2 cl = 0,02 l komma 2 plaatsen naar links 3 dl = 0,3 l komma 1 plaats naar links Geef elk getal evenveel cijfers achter de komma. Zet de getallen recht onder elkaar.

1 m² grond kost € 100. Hoeveel kost 2 are en 5 ca? Maak de maten gelijk, in dit geval vierkante meters. 2 are = 200 m² 5 ca = 5 m² 200 + 5 = 205 x € 100 = € 20.500 Een pond druiven moet worden gedeeld door 4 personen. Een pond is 500 gram. 500 : 4 = 125 gram per persoon Je wilt 1,5 kilo bananen kopen. De prijs is € 1,75 per 500 gram. Maak de maten gelijk 500 gram = 0,5 kilo of 1,5 kilo = 1.500 gram 1,5 kilo is dus 3 keer zoveel als 500 gram. Vermenigvuldig de prijs met 3:  3 x € 1,75 = € 5,25

154

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 154

29-09-14 18:07


Een plank van 3 m en 20 cm wordt in 4 gelijke stukken gezaagd. Hoe lang is elk stuk? 3 m en 20 cm = 320 cm. 320 cm : 4 = 80 cm De opbrengst van de boer is 2 ton aardappelen. Hij houdt 14 deel zelf. De rest gaat naar de fabriek. Hij krijgt € 1,50 per kilo. Hoeveel geld krijgt de boer? 2 ton = 2.000 kilo De boer houdt 14 deel; 34 deel gaat naar de fabriek. 3 4 x 2.000 kilo = 1.500 kilo De boer krijgt 1.500 x € 1,50 = € 2.250. Vandaag is het 4°C, gisteren was het –3°C. Hoeveel graden is het warmer dan gisteren? –3 + … = 4 –3 + 7 = 4 of: 4 – –3 = 4+3=7 Regel  

– en – is hetzefde als +

Bert gaat naar Parijs. Hij doet er 5 uur over. Hij rijdt gemiddeld 120 km/u. Hoeveel km is het naar Parijs? 5 x 120 km = 600 km Zijn auto rijdt 1 : 15. Hoeveel liter benzine verbruikt hij? 600 : 15 = 40 liter

155

HGB-BW-Herziening-H11-C3-2014.indd 155

29-09-14 18:07


Het Grote Rekenboek - Overzicht  

Alle rekenonderdelen uitgelegd in begrijpelijke taal, met duidelijke voorbeelden en in overzichtelijke stappen. Veel aandacht voor basistech...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you