Stata를 이용한 계량경제분석 Econometric Analysis with Stata
김동일 홍익대학교
Philosophy & Art
Stata를 이용한 계량경제분석 저자 | 김동일 발행인 | 이미애 발행처 | Philosophy & Art 출판등록 | 2008년 1월 8일 제152호 주소 | 대전시 유성구 도룡동 380-39 홈페이지 | http://philosophyart.com c 2011, 김동일
값 18,000원 ISBN 978-89-961425-6-0 93320 2011년 2월 21일 1판 1쇄 발행
머리말 이 책은 고급수준의 계량경제학을 배우려는 학부생, 행렬과 외계어로 쓰 여진 고급계량경제학책에 풀이죽은 대학원생, 이전에는 계량경제학을 잘 알 았지만 지금은 잘 기억이 나지 않는 대학과 연구소의 전문가들을 위한 계량경 제분석의 책이다. 이 책은 고급수준의 계량경제학의 다양한 주제를 간결하게 기술하였지만 해당 주제의 데이터에 Stata 프로그램을 응용하는 실전적 내용 을 담고 있어 계량경제학을 배우려는 학생들뿐 아니라 연구자들에게 요긴하게 사용될 수 있을 것이다. 이 책을 비롯하여, 계량경제분석 시리즈로 R을 이용한 계량경제분석, EViews 를 이용한 계령경제분석, SAS를 이용한 계량경제분석이 함께 출판되는데, 서로 다른 통계프로그램으로 같은 주제의 분석기법과 데이터를 다루는 이 시리즈의 책들은 서로 다른 통계프로그램에 익숙한 연구자들의 학문적 소통을 돕는데도 기여하리라고 생각한다. 이 책의 모든 데이터와 데이터에 대한 설명은 http://philosophyart.com에 서 얻을 수 있으며, 책에서 발견되는 오류들에 대한 정오표 역시 같은 곳에서 제공될 예정이다.
김동일 2011년 2월
차례 차례
vii
표 차례
xiv
그림 차례 제1장 1.1
1.2
1.3
xv Stata
1
Stata의 실행 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Stata의 소개 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Stata의 실행방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Stata의 프로그램파일의 실행 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Stata 명령문의 문장규칙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
데이터와 변수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
텍스트데이터 불러오기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
데이터의 조작 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Stata 데이터의 저장과 불러오기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
변수의 조작 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
시계열데이터의 시계열변수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
행렬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
통계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
요약통계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
vii
viii
차례
제2장 2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
제3장
표와 그래프 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
확률계산과 확률표본의 추출 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
시뮬레이션 프로그래밍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
고전적 선형회귀모형과 OLS 추정
21
고전적 선형회귀모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
선형회귀모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
강외생성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
식별성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
구형교란 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
고전적 선형회귀모형의 변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
OLS 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
잔차제곱합과 OLS 추정량의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
정규방정식과 OLS 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
적합도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
OLS 추정량의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
비편향성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Gauss-Markov정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
분산의 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
정규분포의 가정과 가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
정규분포의 가정와 OLS 추정량의 분포 . . . . . . . . . . . . . . . .
36
신뢰구간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
대표본에서의 OLS 추정량의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
일치성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
점근분포와 점근분산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Melanoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
ML 추정
53
차례 3.1
3.2
3.3
ML 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
ML 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
ML 추정량의 일치성과 점근분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
LR 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Wald 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
LM 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
모형의 비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
AIC와 BIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2
3.4
3.5
제4장 4.1
4.2
4.3
제5장 5.1
McFadden의 pseudo-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
고전적 선형회귀모형의 ML 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
ML 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
AIC와 BIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Melanoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
회귀모형의 선택과 비교
65
모형의 선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
누락변수와 부적합한 변수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
모형의 선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
모형의 비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 조정된 결정계수 R
69
AIC와 BIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Melanoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
비구형교란과 OLS 추정
75
비구형교란과 선형회귀모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
에르고딕 강안정성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
외생성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
식별성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
69
ix
x
차례
5.2
5.3
5.4
제6장 6.1
6.2
6.3
마팅게일차분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
OLS 추정량의 일치성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
OLS 추정량의 점근분포와 가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
이분산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
이분산의 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
자기상관 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
시계열 데이터의 자기상관 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
자기상관의 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Melanoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Cigar1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Cigar1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
내생성과 GMM 추정
93
내생성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
내생성의 문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
누락변수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
측정오차 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
연립방정식 모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
시차종속변수와 자기상관 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
도구변수와 선형회귀모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
도구변수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
선형회귀모형의 가정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
도구변수의 수와 식별의 조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
GMM 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
MM 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
GMM 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
차례 효율적 GMM 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 구형교란과 2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 비구형교란과 효율적 GMM 추정의 실행 . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.4
도구변수와 독립변수에 대한 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 도구변수의 외생성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 도구변수의 적절성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
제7장 7.1
제한종속변수
117
이항선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 선형확률모형과 이항선택모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 이항선택모형의 ML 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Porbit모형과 Logit모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2
중도절단 데이터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 표준 Tobit모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 표준 Tobit모형의 ML 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Participation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Affairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
제8장 8.1
시계열데이터 분석
131
안정적 ARMA과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 안정적 시계열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ARMA과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ARMA과정의 가역성과 안정성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2
단위근의 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 단위근과 ARIMA과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 단위근의 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.3
ARMA모형의 추정과 선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ARMA모형 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
xi
xii
차례 ARMA모형의 선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 ARMA모형의 진단 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4
VAR과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 VAR과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Granger-인과관계 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.5
공적분과 VEC모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 공적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 VEC모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
공적분과 Granger-인과관계 검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.6
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 USmacro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
제9장 9.1
패널데이터 분석
163
패널데이터와 패널데이터모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 패널데이터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 패널데이터모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.2
패널데이터모형의 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 OLS 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 FE 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 FD 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 RE 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2SLS 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
추정량의 선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.3
AR 패널데이터모형의 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 AR 패널데이터모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 GMM 추정량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.4
계량경제분석의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Cigar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Wages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
부록 A
벡터와 행렬과 다변량 확률변수
189
차례 A.1
벡터와 행렬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 정사각형행렬과 대칭행렬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 선형형태와 이차형태 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 양의 정부호와 양의 준정부호 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 선형형태와 이차형태의 벡터미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.2
다변량 확률변수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 다변량 확률변수의 평균과 분산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 통계학이론
부록 B B.1
195
분포이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 다변량정규분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 카이제곱분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 t-분포와 F -분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
B.2
대표본이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 확률수렴과 분포수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 큰 수의 법칙과 중심극한정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
참고 문헌
203
용어 찾아보기
207
인명 찾아보기
215
xiii
제1장
Stata 1.1
Stata의 실행
Stata의 소개 Stata는 다음과 같이 간단히 소개할 수 있다. • Stata는 1985년 StataCorp.가 개발한 통계프로그램이다. • Stata는 Windows, Mac, Unix 등 다양한 플랫폼에서 실행될 수 있으며, 현
재 버젼 11.1은 2010년 6월에 출시되었다. • Stata에 대한 보다 자세한 설명은 http://www.stata.com/에서 확인할 수
있다. • Stata를 실행하면 그림 1.1과 같은 창이 열린다. Stata의 창은 위에 제목칸 (title bar), 메뉴(menu), 툴바(tool bar), 아래에 상태줄(status line)이 있으
며, 가운데 왼쪽에 Review와 Variables의 창이 열리며, 오른쪽에 Results와 Command의 창이 열린다.
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1. STATA
그림 1.1: Stata의 창
• Command 창에 명령문을 실행하면, Results 창에 결과가 표시된다. Review 창에는 이전에 실행한 명령문이 표시되고, Variables 창에는 변수의
정보가 표시된다.
Stata의 실행방법 Stata는 다음과 같이 상호작용을 하는식으로(interactively) 실행할 수 있다. • Command 창에 명령문을 입력하고 Enter키를 치면 명령문이 실행되고,
실행된 명령문은 Results 창에 Stata 명령문 프롬프트(command prompt) 인 마침표(.) 뒤에 표시되고, 필요한 경우 명령문의 결과가 출력된다. 실 행된 명령문은 또한 Review 창에도 표시된다. • Command 창에서 scalar x="Hello World!"를 입력하고 Enter키를 치고, 다
시 display x를 입력하고 Enter키를 치면, 그림 1.2와 같이 Stata 명령문이
1.1. STATA의 실행
그림 1.2: Command 창을 통한 Stata의 실행
실행된다. • scalar x="Hello World!"라는 명령문을 실행하면 x란 스칼라(scalar) 오브
젝트(object)가 생성되고 "Hello World!"란 변수값을 가지게 되고, display x라는 명령문을 실행하면 Results 창에 x의 변수값이 출력된다.
Stata의 프로그램파일의 실행 Stata는 다음과 같이 프로그램파일을 일괄처리하는 식으로 실행할 수도 있다. • 그림 1.3과 같이, 텍스트 에디터로 일련의 명령문으로 이루어진 프로그
램파일을 작성하고 hello.do로 저장한다. • Stata 프로그램파일의 명령문은 다음과 같이 명령문 do로 실행한다. Command 창에서 다음과 같이 실행하면,
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1. STATA
그림 1.3: 프로그램파일
do "c:/work/hello"
다음과 같은 결과를 얻는다.
. do hello . scalar x="Hello World!" Hello World! . end of do-file • 명령문 log로 프로그램파일의 실행결과를 저장할 수 있다. Stata 프로그
램파일에 다음과 같이 입력하고 실행하면
log using hello, replace scalar x="Hello World!" display x log close hello.smlc라는 파일이 생성되며, Stata 프로그램파일의 실행결과가 기
록된다. 명령문 log using hello는 프로그램파일의 실행결과를 기록하고 hello.smcl에 저장하도록 하고, 쉼표(,) 뒤에 명령문 do의 옵션인 replace
는 기존의 파일이 있을 경우 새로 교체할 것을 지정한다. 명령문 log close 는 실행결과의 기록의 저장을 중지하도록 한다.
제6장
내생성과 GMM 추정 6.1 내생성 내생성의 문제 정의 6.1. (내생성) 선형회귀모형에서 E(x i "i ) 6= 0이면, 독립변수는 내생 성을 가진다고 한다.
독립변수의 내생성은 다음과 같은 의미를 가진다. • 독립변수가 내생성을 가지면, OLS 추정량은 일치추정량이 아니다. b=β+
N 1 X
N
i=1
x i x i0
N −1 1 X
N
−1 p x i "i −→ β + E(x i x i0 ) E(x i "i ) 6= β
i=1
• 독립변수의 내생성은 다음에 설명하는 누락변수, 측정오차, 연립방정식
모형, 시차종속변수, 등의 경우에 발생한다.
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6. 내생성과 GMM 추정
누락변수
정의 6.2. (누락변수) 정의 4.1에서 설명되었지만, 편의를 위해서 다시 되 풀이하면, 식 (6.1)의 회귀모형이 참이지만 식 (6.2)의 회귀모형을 추정하 는 경우, yi = x i0 β + zi0 γ + νi
(6.1)
yi = x i0 β + "i
(6.2)
누락변수(ommitted variables)의 문제가 발생한다고 한다.
누락변수가 있는 경우 OLS 추정은 다음과 같은 문제점을 가진다.
• E(x i νi ) = 0이라고 가정하면, 식 (6.2)의 회귀모형에서 E(x i "i ) = E(x i zi0 )γ
이다. 식 (6.1)의 회귀모형이 참이면 γ 6= 0이므로, 식 (6.2)의 회귀모형에 서 독립변수의 내생성은 결국 변수 x i 와 zi 의 상관관계에 달려있다.
• 일반적으로 같은 관측치의 독립변수들은 상관관계를 가질 확률이 매우
높다. 누락변수가 존재하고, 독립변수가 누락변수와 상관관계를 가지면, 독립변수는 내생성을 가지고, OLS 추정량은 일치추정량이 아니다.
6.1. 내생성
측정오차 ? 정의 6.3. (측정오차) 식 (6.3)의 회귀모형이 참이지만, 독립변수 x i2 가직
접 관찰되지 않고, 식 (6.4)에서와 같이 측정오차 ui 를 가진 변수 x i2 로 관 찰되고, 식 (6.5)의 회귀모형을 추정하는 경우, ? + νi yi = x 10 β1 + β2 x i2 ? + ui x i2 = x i2
yi =
0 β1 x i1
+ β2 x i2 + "i
(6.3) (6.4) (6.5)
측정오차(measurement error) 또는 변수내오차(errors in variables)의 문제 가 발생한다고 한다.
측정오차가 있는 경우 OLS 추정은 다음과 같은 문제점을 가진다. ? • 식 (6.5)의 회귀모형에서 E(x i2 "i ) = E (x i2 + ui )(νi − β2 ui ) 6= 0이고, 따
라서 측정오차를 가진 독립변수 x i2 는 내생성을 가지고, OLS 추정량은 일치추정량이 아니다.
연립방정식 모형 정의 6.4. (연립방정식모형) 다음의 두 회귀모형에서 yi1 , yi2 는 종속변수, x i1 , x i2 는 독립변수, "i1 , "i2 는 오차항이며, 종속변수 yi1 , yi2 는 두 연립방정
식을 통해 동시에 결정된다. 0 yi1 = β11 yi2 + x i1 β12 + "i1
(6.6)
0 yi2 = β21 yi1 + x i2 β22 + "i2
(6.7)
이와 같이, 여러 종속변수가 연립방정식을 통해 동시에 결정되는 회귀모 형을 연립방정식모형(simultaneous equations model)이라고 한다.
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6. 내생성과 GMM 추정
6.5 계량경제분석의 예 Klein • Klein.csv는 미국의 거시경제에 대한 1921년-1941년의 연간 시계열데이
터이고, Klein(1950)의 미국경제의 계량경제모형의 데이터이다. 다음과 같이, Klein.csv를 불러오고, 명령문 describe로 데이터의 내용을 살펴보면 11개 변수에 대해 21개의 관측치가 있음을 알 수 있다.
. insheet using "Klein/Klein.csv", clear (11 vars, 21 obs) . describe, simple year c p plag wp i klag elag wg g t
여기서 year은 연도, c는 소비(consumption), p는 민간이윤(private profit), plag는 p t−1 , wp는 민간임금(private wages), i는 순투자(net investment), k는 자본금(capital stock)이고 klag는 k t−1 , e는 민간생산(private product)
이고 elag는 e t−1 , wg는 정부임금(government wages), g는 정부의 비임금 지출(government non-wage spending), t는 간접세금(indirect taxes)이다. • Klein(1950)의 소비함수의 모형은 다음과 같다. c t = β1 + β2 p t + β3 plag t + β4 (wp t + wg t ) + " t
(6.44)
Klein은 식 (6.44)에서 변수 p t 와 wp t (따라서 변수 wp t + wg t )는 연립방
정식 모형에서 함께 정해지기 때문에 내생성을 가지고, 상수항과 p t−1 , 그리고 year t , g t , t t , wg t , k t−1 , e t−1 은 외생성을 가진다고 가정했다. • 상수항, p t−1 , year t , g t , t t , wg t , k t−1 , e t−1 를 도구변수로 하는 식 (6.44)의
회귀모형의 2SLS 추정은 명령문 ivregress 2sls로 다음과 같이 실행할 수 있다.
6.5. 계량경제분석의 예
. ivregress 2sls c plag (p wage=plag year g t wg klag elag) Instrumental variables (2SLS) regression Number of obs
=
21
Wald chi2(3)
=
837.28
Prob > chi2
=
0.0000
R-squared
=
0.9767
Root MSE
=
1.0218
c
Coef.
Std. Err.
z
P>|z|
p
.0173022
.1180494
0.15
0.883
wage
.8101827
.0402497
20.13
0.000
plag
.2162338
.107268
2.02
0.044
_cons
16.55476
1.320793
12.53
0.000
Instrumented: p wage Instruments: plag year g t wg klag elag
여기서 내성성을 가지는 변수는 괄호 안의 = 기호 왼쪽에, 도구변수는 괄호안의 = 기호 오른쪽에 각각 지정한다. • Hansen의 J-검정과 Sargan의 검정은 일치하며, 명령문 estat overid로 다
음과 같이 구할 수 있다.
. estat overid Tests of overidentifying restrictions: Sargan (score) chi2(4)
=
8.77151 (p = 0.0671)
Basmann chi2(4)
=
9.32492 (p = 0.0535)
상수항, p t−1 , year t , g t , t t , wg t , k t−1 , e t−1 가 외생성을 가진다는 귀무가설 은 유의수준 5%에서 기각할 수 없다.
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6. 내생성과 GMM 추정 • 상수항, p t−1 , year t , k t−1 , e t−1 의 변수의 외생성은 쉽게 예상되며, 다음과
같이 검정할 수 있다.
. quietly: ivregress 2sls c plag (p wage=plag year klag elag) . estat overid Tests of overidentifying restrictions: Sargan (score) chi2(1)
=
.284958 (p = 0.5935)
Basmann chi2(1)
=
.220097 (p = 0.6390)
상수항, p t−1 , year t , g t , t t , wg t , k t−1 , e t−1 가 외생성을 가진다는 가정 하에 서, 변수 g t , t t , wg t 가 외생성을 가지는지의 여부는 다음과 같이 검정한다.
. scalar Jdiff=8.77151-0.284958 . disp Jdiff 8.486552 . scalar Jdiffp=1-chi2(5-4,Jdiff) . disp Jdiffp .00357781
유의수준 5%에서 변수 g t , t t , wg t 가 외생성을 가진다는 귀무가설을 기각 할 수 있다. • 상수항, p t−1 , year t , g t , t t , wg t , k t−1 , e t−1 의 도구변수가 적절한 도구변수
인지, 또는 약한도구변수가 아닌지에 대한 검정은 다음과 같이 실행한다.
6.5. 계량경제분석의 예
. quietly: regress p plag year g t wg klag elag . test plag year g t wg klag elag ( 1)
plag = 0
( 2)
year = 0
( 3)
g = 0
( 4)
t = 0
( 5)
wg = 0
( 6)
klag = 0
( 7)
elag = 0
F( 7, 13)
=
8.82
Prob > F
=
0.0004
. quietly: regress wage plag year g t wg klag elag . test plag year g t wg klag elag ( 1)
plag = 0
( 2)
year = 0
( 3)
g = 0
( 4)
t = 0
( 5)
wg = 0
( 6)
klag = 0
( 7)
elag = 0
F( 7, 13)
=
51.15
Prob > F
=
0.0000
Stock and Watson(2007)에 따르면, 변수 p t 의 경우에는 F -통계의 값이 10
미만이므로 약한도구변수의 문제가 우려되며, 변수 wp t + wg t 의 경우에 는 약한도구변수의 문제가 우려되지 않는다고 할 수 있다. • 비구형교란을 가정하는, 식 (6.44)의 회귀모형의 효율적인 GMM 추정은
명령문 ivregress gmm으로 다음과 같이 실행할 수 있다.
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