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Consumption, Production, Equilibrium, Efficiency and Market Failure

제2판

미시경제학

Microeconomics

김동일

Philosophy & Art


제2판

미시경제학 Microeconomics 2nd Edition

김동일 홍익대학교

Philosophy & Art


미시경제학 제2판 저자 | 김동일 발행인 | 이미애 발행처 | Philosophy & Art 출판등록 | 2008년 1월 8일 제152호 주소 | 대전시 유성구 도룡동 380-39 홈페이지 | http://philosophyart.com c 2010, 김동일

값 30,000원 ISBN 978-89-961425-4-6 93320 2009년 4월 10일 1판 1쇄 발행 2010년 2월 10일 2판 1쇄 발행


제2판 머리말 제2판은 제1판의 수많은 오타를 교정하였고, 글과 수식을 알기 쉽게 가다듬었 으며, 연습문제의 해답을 부록에 추가하였다. 이 책에서 발견되는 오류들에 대한 정오표와 강의용 프리젠테이션 파일은 http://philosophyart.com에서 제공될 예정 이다.

김동일 2010년 2월


제1판 머리말 이 책은 학부 미시경제학의 모든 주제를 타협 없이 다룬다. 이 책에서 다루는 미 시경제학의 수준은 학부에서 다룰 수 있는 가장 높은 수준이며, 세계 어느 대학의 학부에서도 통할 수 있는 수준이다. 이 책은 학부의 쉬운 미시경제학과 대학원의 난 해한 미시경제학을 이어주는 징검다리 역할을 할 수 있을 것이다. 미시경제학은 잘 발달된 사회과학의 학문으로, 다른 과학의 학문들과 마찬가지로 수학적 논리성이 그 뼈대를 이루고 있다. 많은 미시경제학 책들이 되도록 수학을 사용하지 않는다 고 하지만, 결국은 수학을 사용할 수밖에 없는 것도 이런 이유에서이다. 이 책은 미시경제학에서 필요한 수학을 사용하는 것에 주저하지 않는다. 이 책은 의도적 으로 간결하게 서술되었다. 설명과 부연을 되풀이하는 대신, 정의, 정리, 그림을 분명하게 제시하여 미시경제학의 복잡한 내용들이 명쾌하게 정리되도록 하였다. 이 책은 또한 대부분의 주제에 대해 예제와 풀이를 제공하여, 미시경제학의 내용 을 구체적으로 응용하는데 도움이 되도록 하였다. 이 책에서 발견되는 오류들에 대한 정오표와 강의용 프레젠테이션 파일은 http://philosophy-art.com에서 제공될 예정이다. 이 책의 조판과정에 많은 도움을 주신 KTUG(Korean TeX Users Group)의 모든 분 들에게 깊은 감사를 드린다. 그리고 이 책의 교정작업에 많은 도움을 준 서울대학교 의 윤일로, 홍익대학교의 고창희, 김정훈, 이진희, 상명대학교의 함승현 학생에게도 따뜻한 감사의 마음을 전하고 싶다.

김동일 2009년 4월


차례 차례

viii

그림 차례

xvi

제 I 편 소비

1

제1장

선호와 예산집합

3

소비묶음과 선호관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

소비묶음과 소비집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

선호관계와 선호 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

무차별곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

선호와 효용함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

선호의 완비성, 이행성, 연속성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1

1.2

한계효용과 한계대체율 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 선호의 단조성과 볼록성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 선호와 효용함수의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3

예산집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 예산집합과 예산선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 예산선과 예산집합의 변화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

viii


차례 제2장 2.1

소비자선택

31

소비자선택과 수요 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 소비자선택과 효용극대화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 수요함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 소득과 가격의 변화와 수요의 변화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 시장수요함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2

가격변화와 후생변화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 대체효과와 소득효과 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 지출극소화와 보상수요함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 슬러츠키방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 후생변화의 화폐측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3

소비자이론의 추가주제들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 현시선호이론과 가격지수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 시장수요함수와 대표소비자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

제3장 3.1

소비자이론의 확장

93

소비자이론의 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 부존자원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 시점간 소비자선택과 자본의 수요공급 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 여가에 대한 수요와 노동의 공급 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.2

불확실성 하에서의 소비자선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 조건부상품과 위험에 대한 선호 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 기대효용이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 보험 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ix


x

차례

제 II 편 생산 제4장 4.1

생산기술

117 119

생산함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 생산함수와 등량선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 한계생산과 한계기술대체율 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 생산기술과 생산함수의 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2

생산기술과 산출량변화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 단기의 산출량변화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 장기의 산출량변화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 생산기술의 혁신 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 제5장 5.1

생산비용

133

비용함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 비용극소화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 조건부요소수요함수와 비용함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 산출량과 요소가격의 변화와 조건부요소수요의 변화 . . . . . . . . . . 139 단기생산비용과 장기생산비용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2

생산기술과 생산비용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 규모의 경제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 범위의 경제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

제 III 편시장균형 제6장 6.1

경쟁시장

155 157

경쟁시장의 특성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 경쟁시장의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157


차례 경쟁시장의 의미 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.2

경쟁기업의 공급 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 기업의 수입과 한계수입 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 경쟁기업의 수입과 한계수입 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 단기공급 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 장기공급 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 생산자잉여 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3

경쟁시장의 균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 단기시장균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 장기시장균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.4

효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 경쟁시장의 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 물품세와 경쟁시장의 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 제7장 7.1

독점

185

독점의 특성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 독점의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 독점의 의미 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.2

독점의 균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 독점기업의 수입과 한계수입 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 독점기업의 공급과 독점의 균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3

효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 독점과 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 가격설정과 독점의 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 물품세와 독점의 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.4

가격차별 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 가격차별의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 2급가격차별 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

xi


xii

차례 3급가격차별 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 1급가격차별 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

가격차별과 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 제8장 8.1

과점

205

과점의 특성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 과점의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 과점의 의미 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.2

비협조적 게임이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 게임의 종류와 요약방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 내쉬균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 부분게임 완전균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.3

산출량경쟁 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 꾸르노모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 스타켈버그모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.4

가격경쟁 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 베르뜨랑모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 가격선도모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.5

담합과 경쟁 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 담합과 경쟁의 딜레마 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 되풀이되는 게임에서의 담합과 경쟁 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 제9장 9.1

요소시장

227

경쟁시장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 요소수요 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 시장요소수요 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 경쟁시장의 균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233


차례 9.2

수요독점과 쌍방독점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 한계요소비용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 수요독점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 쌍방독점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

제 IV 편 시장의 효율성과 시장실패 제 10 장 일반경쟁균형과 시장의 효율성

241 243

10.1 일반경쟁균형과 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

일반경쟁균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 순수교환경제의 일반경쟁균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 일반경쟁균형의 존재 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 일반경쟁균형의 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.2 자원배분의 효율성과 사회후생함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

자원배분의 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 일반경쟁균형과 자원배분의 효율성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 사회후생함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 제 11 장 비대칭정보와 시장실패

265

11.1 감추어진 특성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

감추어진 특성과 역선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 신호 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 선별 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 11.2 감추어진 행동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

감추어진 행동과 도덕적해이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 유인설계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

xiii


xiv

차례 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 제 12 장 외부효과와 시장실패

275

12.1 최적오염배출과 오염감소의 최적배분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

오염감소의 비용효율적 배분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 최적오염배출과 오염감소의 최적배분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 외부효과와 시장실패 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 12.2 환경정책 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

직접규제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 배출부과금과 감소보조금 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 배출거래 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 환경정책의 선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 연습문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 부록 A A.1

수학

303

선형대수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 벡터의 스케일러 곱과 벡터의 합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 벡터의 선형결합과 볼록결합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 벡터공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

A.2

함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 함수와 역함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 강증가함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 합성함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

A.3

해석학 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 열린집합과 닫힌집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 수렴과 연속함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

A.4

볼록성과 오목성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 볼록집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 볼록함수와 오목함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314


차례 A.5

미적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 일변수함수와 도함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 다변수함수와 편도함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 미분과 전미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

A.6

최적화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 일변수함수의 극대화와 극소화 문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 다변수함수의 극대화와 극소화 문제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

A.7

제약하의 최적화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 등식 제약하의 극대화와 극소화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 등식과 비음부등식 제약하의 극대화와 극소화 . . . . . . . . . . . . . . 327

부록 B

연습문제 해답

329

B.1

제1장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

B.2

제2장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

B.3

제3장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

B.4

제4장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

B.5

제5장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

B.6

제6장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

B.7

제7장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

B.8

제8장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

B.9

제9장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

B.10 제10장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 B.11 제11장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 B.12 제12장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

용어 찾아보기

377

인명 찾아보기

393

xv


제I편 소비

1


제2장 소비자선택 2.1 소비자선택과 수요 소비자선택과 효용극대화

정의 2.1. (소비자선택) 소비자가 예산집합에서 가장 선호하는 소비묶음을 선택하는 것을 소비자선택(consumer choice)이라고 한다.

이 책에서는 특별한 언급이 없으면 선호가 단조성을 가지는 것으로 가정한다. 그런데, 선호가 단조성을 가지면 소비자가 선택하는 소비묶음은 반드시 예산선 위 의 점이어야 하므로, 소비자선택은 다음과 같이 다시 정의될 수 있다. 정의 2.2. (소비자선택) 소비자가 예산선에서 가장 선호하는 소비묶음을 선택 하는 것을 소비자선택이라고 한다.

31


32

2. 소비자선택 정의 2.3. (효용극대화) 소비자의 효용극대화(utility maximization)의 문제는 다음과 같이 주어진다. max

u(x)

s.t.

p1 x 1 + p2 x 2 = I

x 1 ,x 2

(2.1)

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

정리 2.1. (소비자선택과 효용극대화) 예산선에서 가장 선호하는 소비묶음을 선택하는 소비자선택의 문제와 예산선에서 효용을 극대화하는 소비묶음을 정하는 효용극대화의 문제는 동등하다.

가장 선호하는 소비묶음을 선택하는 것과 소비묶음의 효용을 극대화하는 것은 동 등하며, 따라서 소비자선택의 문제와 효용극대화의 문제는 동등하다. 정의 2.4. (효용극대화의 내부해와 모서리해) 소비묶음 x ? = (x 1? , x 2? )가 효용 극대화의 해(solution)인 경우, 만약 다음이 성립하면, x 1? > 0, x 2? > 0

(2.2)

x ? 를 내부해(interior solution)라고 하고, 만약 다음이 성립하면, x 1? = 0, x 2? > 0

또는

x 1? > 0, x 2? = 0

(2.3)

x ? 를 모서리해(corner solution) 또는 경계해(boundary solution)라고 한다.

만약 효용함수가 미분가능(continuously differentiable)하고 따라서 한계대체율 이 언제나 잘 정의되면, 소비묶음 x ? 가 효용극대화의 내부해가 되기 위한 필요조건 (necessary conditions)은 다음과 같다.


2.1. 소비자선택과 수요

33

정리 2.2. (효용극대화의 내부해의 필요조건) 효용함수가 미분가능하면, 소비 묶음 x ? 가 효용극대화의 내부해가 되기 위한 필요조건은 다음과 같다. M RS12 (x ? ) =

p1

(2.4)

p2

p1 x 1? + p2 x 2? = I

(2.5)

증명 내부해를 가지면, 효용극대화 문제의 라그랑즈 함수(Lagrange function) L (x 1 , x 2 , λ) 는 다음과 같이 주어진다. L (x 1 , x 2 , λ) = u(x) + λ(I − p1 x 1 − p2 x 2 )

극대화의 1차필요조건(first order necessary conditions)은 다음이고, L x 1 = u1 (x ? ) − λp1

=0

L x 2 = u2 (x ? ) − λp2

=0

Lλ = I − p1 x 1? − p2 x 2? = 0

따라서 p1 x 1? + p2 x 2? = I, 그리고 다음이 성립한다.1 ?

M RS12 (x ) =

u1 (x ? ) u2 (x ? )

=

λp1 λp2

=

p1 p2 „

효용극대화의 해는 반드시 예산선 위의 점이다. 그리고 만약 효용함수가 미분가 능하고 x ? 가 효용극대화의 내부해이면, 그 점에서 한계대체율은 상대가격과 일치 한다. 또한 이 책에서는 특별한 언급이 없으면 선호가 단조성과 볼록성을 가지는 1

등식 제약하의 최적화 문제의 라그랑즈 함수와 최적화의 1차필요조건에 대해서는 부록 A의 정의 A.37과 정리 A.8을 참조.


34

2. 소비자선택 것으로 가정하는데, 이 경우 효용극대화의 내부해의 필요조건이 만족되면 충분조 건 역시 만족된다. 예제 2.1 (효용극대화의 내부해의 예) 그림 2.1은 효용함수가 미분가능한 경우 효 용극대화의 내부해의 예이다. 선호가 강볼록성을 가지면 그림 (a)처럼 효용극대화

그림 2.1: 효용극대화의 내부해의 예 x2

x2

x

x?

?

0

x?

x1

(a)

(b)

00

x1

의 점은 유일하고, 선호가 강볼록성을 가지지 않으면 그림 (b)처럼 효용극대화의 점은 무수하게 많을 수도 있지만, 어떤 경우에서도 효용극대화의 내부해인 점에서 는 한계대체율이 상대가격과 일치한다. 그림 (a)에서는, x ? 위의 예산선에서는 재 화 1의 상대가치인 한계대체율이 재화 1의 상대가격보다 크기 때문에(M RS12 >

p1 ) p2

재화 1의 소비를 늘리고, x ? 아래의 예산선에서는 한계대체율이 상대가격보다 작 기 때문에(M RS12 < ?

p1 ) p2

재화 1의 소비를 줄이고, 따라서 무차별곡선과 예산선이 0

접점을 이루는 x 에서 효용이 극대화된다. 마찬가지로 그림 (b)에서는, x ? 위의 예산선에서는 재화 1의 한계대체율이 상대가격보다 크기 때문에 재화 1의 소비를 00

늘리고, x ? 아래의 예산선에서는 한계대체율이 상대가격보다 작기 때문에 재화 1 0

00

의 소비를 줄이고, 따라서 x ? 와 x ? 사이의 예산선의 점에서 효용이 극대화된다. 예제 2.2 (콥-더글러스 효용함수의 효용극대화) 재화 1의 가격이 2, 재화 2의 가격 이 3, 소득이 24, 효용함수가 u(x) = log x 1 +log x 2 인 소비자의 효용극대화의 문제는


2.1. 소비자선택과 수요 다음과 같이 요약된다. max

log x 1 + log x 2

s.t.

2x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

효용극대화의 내부해의 필요조건은 다음과 같고, M RS12 = =

M U1 M U2 p1 p2

=

=

1 x1 1 x2

=

x2 x1

2 3

2x 1 + 3x 2 = 24

따라서 x ? = (6, 4)에서 효용이 극대화된다. 콥-더글러스 효용함수에서는 x 1 = 0 이면 M RS12 = ∞이므로 재화 1의 소비를 늘리고, x 2 = 0이면 M RS21 = ∞이므로 재화 2의 소비를 늘리며, 따라서 모서리해는 발생하지 않는다. 그림 2.2는 효용극대

그림 2.2: 콥-더글러스 효용함수의 효용극대화 x2

8 4

x? - 23 6

12

x1

화의 결과를 보여준다. 예제 2.3 (준선형 선호의 효용극대화) 재화 1의 가격이 2, 재화 2의 가격이 3, 소 득이 24, 효용함수가 u(x) = x 1 + 3 log x 2 인 소비자의 효용극대화의 문제는 다음과

35


36

2. 소비자선택 같이 요약된다. max

x 1 + 3 log x 2

s.t.

2x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

효용극대화의 내부해의 필요조건은 다음과 같고, M RS12 = =

M U1 M U2 p1 p2

=

=

1 3 x2

=

x2 3

2 3

2x 1 + 3x 2 = 24

따라서 x ? = (9, 2)에서 효용이 극대화된다. 그림 2.3은 효용극대화의 결과를 보여

그림 2.3: 준선형 선호의 효용극대화 x2

8

- 23

2

x? 9

12

x1

준다.

내부해와 모서리해의 경우를 모두 포함하여, 소비묶음 x ? 가 효용극대화의 해가 되기 위한 필요조건은 다음과 같다.


2.1. 소비자선택과 수요

37

정리 2.3. (효용극대화의 필요조건) 효용함수가 미분가능하면, 소비묶음 x ? 가 효용극대화의 해가 되기 위한 필요조건은 다음과 같다. M RS12 (x ? ) ≥ M RS21 (x ? ) ≥

p1 p2 p2 p1

만약 x 1? > 0이면

(2.6)

만약 x 2? > 0이면

(2.7)

p1 x 1? + p2 x 2? = I

(2.8)

증명 내부해와 모서리해의 경우를 포함하며, 등식과 비음부등식 제약하의 효용극 대화의 1차필요조건은 쿤-터커 조건(Kuhn-Tucker conditions)이라고 부른다.2 효용 극대화 문제의 라그랑즈 함수 L (x 1 , x 2 , λ, µ1 , µ2 )는 다음과 같이 주어진다.3 L (x 1 , x 2 , λ, µ1 , µ2 ) = u(x) + λ(I − p1 x 1 − p2 x 2 ) + µ1 x 1 + µ2 x 2

극대화의 1차필요조건인 쿤-터커 조건은 다음과,

Harold W. Kuhn (1925-) 수학자

L x 1 = u1 (x ? ) − λp1 + µ1 = 0 L x 2 = u2 (x ? ) − λp2 + µ2 = 0 Lλ = I − p1 x 1? − p2 x 2?

=0

다음이고,

2

µ1 x 1? = 0, µ1 ≥ 0,

x 1? ≥ 0

µ2 x 2? = 0, µ2 ≥ 0,

x 2? ≥ 0

쿤-터커 조건에 대해서는 부록 A의 정리 A.10을 참조. 등식과 비음부등식 제약하의 최적화 문제의 라그랑즈 함수와 최적화의 1차필요조 건인 쿤-터커 조건에 대해서는 부록 A의 정의 A.40과 정리 A.10을 참조. 3

Albert W. Tucker (1905–1995) 수학자


38

2. 소비자선택 따라서 p1 x 1? + p2 x 2? = I, 그리고 다음이 성립한다. M RS12 (x ? ) =

u1 (x ? ) u2

(x ? )

=

λp1 − µ1 λp2 − µ2

만약 x 1? > 0이면 µ1 = 0이고, 다음이 성립하고, M RS12 (x ? ) =

λp1 λp2 − µ2

p1 p2

만약 x 2? > 0이면 µ2 = 0이고, 다음이 성립한다. M RS12 (x ? ) =

λp1 − µ1 λp2

p1 p2 „

효용극대화의 해는 반드시 예산선 위의 점이다. 그리고 만약 효용함수가 미분가능 하고, 효용극대화의 점 (x ? )에서 재화 1을 소비하면(x 1? > 0이면) M RS12 (x ? ) ≥ 재화 2를 소비하면(x 2? > 0이면) M RS21 (x ? ) ≥ ?

를 모두 소비하면 M RS21 (x ) =

p2 이며, p1

p2 이 p1

p1 , p2

성립한다. 만약 재화 1과 재화 2

정리 2.3의 필요조건은 정리 2.2의 내부해의

필요조건과 일치한다. 예제 2.4 (효용극대화의 모서리해의 예) 그림 2.4는 효용함수가 미분가능한 경우 효용극대화의 모서리해의 예이다. 그림 (a)에서는, 예산선의 모든 점에서 재화 1 의 한계대체율이 상대가격보다 크기 때문에 모든 소득을 재화 1의 소비에 지출하 는 x ? 에서 효용이 극대화된다. 반면 그림 (b)에서는, 예산선의 모든 점에서 재화 1 의 한계대체율이 상대가격보다 작기 때문에 재화 1을 전혀 소비하지 않는 x ? 에서 효용이 극대화된다. 예제 2.5 (완전대체재의 효용극대화) 재화 1의 가격이 2, 재화 2의 가격이 3, 소득 이 24, 효용함수가 u(x) = x 1 + x 2 인 소비자의 효용극대화의 문제는 다음과 같이


2.1. 소비자선택과 수요

그림 2.4: 효용극대화의 모서리해의 예 x2

x2 x?

x? x1

(a)

(b)

x1

요약된다. max

x1 + x2

s.t.

2x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 M U1 M U2

=

1 1

p1 p2

p

= 32 이고, M RS12 > p1 이 언제나 성립하므로, 모든 2   소득을 재화 1에 지출하는 x ? = pI , 0 = 24 , 0 = (12, 0)에서 효용이 극대화된다. 2

그런데 M RS12 =

= 1,

1

그림 2.5는 효용극대화의 결과를 보여준다.

그림 2.5: 완전대체재의 효용극대화 x2

8

-2 x? 3 x1 12

예제 2.6 (준선형 선호의 효용극대화의 모서리해) 준선형 선호에서는 경우에 따 라 모서리해가 발생할 수 있다. 재화 1의 가격이 12, 재화 2의 가격이 3, 소득이

39


40

2. 소비자선택 24, 효용함수가 u(x) = x 1 + 3 log x 2 인 소비자의 효용극대화의 문제는 다음과 같이

요약된다. max

x 1 + 3 log x 2

s.t.

12x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 I p2

=

24 3

= 8, M RS12 =

x2 3

≤ 83 ,

p1 p2

=

p

12 3

= 4이고, M RS12 < p1 이 언제나   2 성립하므로, 모든 소득을 재화 2에 지출하는 x ? = 0, pI = 0, 24 = (0, 8)에서 3

그런데 x 2 ≤

2

효용이 극대화 된다.4 그림 2.6은 효용극대화의 결과를 보여준다.

그림 2.6: 준선형 선호의 효용극대화의 모서리해 x2

8 x?

-4 2

x1

정리 2.3의 효용극대화의 필요조건은 효용함수가 미분가능할 때 적용되며, 완 전보완재의 경우와 같이 효용함수가 미분가능하지 않을 때는 적용되지 않는다. 그 림 2.7은 완전보완재인 경우 효용극대화의 예이다. 소비묶음 x ? 위의 예산선에서는 한계대체율이 ∞이고 상대가격보다 크기 때문에 재화 1의 소비를 늘리고, x ? 아래 의 예산선에서는 한계대체율이 0이고 상대가격보다 작기 때문에 재화 1의 소비를 줄이고, 따라서 x ? 에서 효용이 극대화된다. 그러나 무차별곡선이 꺾이는 x ? 에서 효용함수는 미분가능하지 않고, 한계대체율도 올바르게 정의되지 않으며, 따라서 정리 2.3이 성립하지 않는다. x

p

효용극대화의 내부해의 필요조건은 M RS12 = 32 = p1 = 4, 2x 1 + 3x 2 = 24이지만, 2 내부해의 필요조건을 만족하는 소비묶음 x = (−6, 12)는 내부해가 아니다. 4


2.1. 소비자선택과 수요

그림 2.7: 완전보완재의 효용극대화 x2

x?

x1

예제 2.7 (완전보완재의 효용극대화) 재화 1의 가격이 2, 재화 2의 가격이 3, 소득 이 24, 효용함수가 u(x) = min{2x 1 , 3x 2 }인 소비자의 효용극대화의 문제는 다음과 같이 요약된다. max

min{2x 1 , 3x 2 }

s.t.

2x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

효용극대화의 점은 예산선 위의 점이므로 2x 1 + 3x 2 = 24이고, 재화 1과 재화 2를 1 : 32 의 비율로 소비하면 2x 1 = 3x 2 이며, 따라서 x ? = (6, 4)에서 효용이 극대화된다.

그림 2.8은 효용극대화의 결과를 보여준다.

그림 2.8: 완전보완재의 효용극대화 x2

8 4

x? - 23 6

12

x1

41


42

2. 소비자선택

수요함수 정의 2.5. (수요함수) 효용극대화 문제의 해로, 재화 1과 재화 2의 소비가 다음 과 같이 가격과 소득의 함수로 주어지는 것을 수요함수(demand function)라고 한다. x 1 (p1 , p2 , I),

x 2 (p1 , p2 , I)

(2.9)

예제 2.8 (콥-더글러스 효용함수의 수요함수) 다음의 효용극대화의 문제에서, max

log x 1 + log x 2

s.t.

p1 x 1 + p2 x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

효용극대화의 필요조건은 다음과 같고, M RS12 =

x2 x1

=

p1 p2

p1 x 1 + p2 x 2 = I

재화 1과 재화 2의 수요함수는 다음과 같이 주어진다. x 1 (p1 , p2 , I) =

I , 2p1

x 2 (p1 , p2 , I) =

I 2p2

예제 2.9 (완전보완재의 수요함수) 다음의 효용극대화의 문제에서, max

min{2x 1 , 3x 2 }

s.t.

p1 x 1 + p2 x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0


2.1. 소비자선택과 수요 효용극대화의 필요조건은 다음과 같고, 2x 1 = 3x 2 p1 x 1 + p2 x 2 = I

재화 1과 재화 2의 수요함수는 다음과 같이 주어진다. x 1 (p1 , p2 , I) =

I , p1 + 32 p2

x 2 (p1 , p2 , I) =

I 3 p +p2 2 1

예제 2.10 (완전대체재의 수요함수) 다음의 효용극대화의 문제에서, max

x1 + x2

s.t.

p1 x 1 + p2 x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

만약 M RS12 = 1 < I , p1

p1 이면 p2

x 1 = 0, x 2 =

I 이고, p2

만약 M RS12 = 1 >

p1 이면 p2

x1 =

x 2 = 0이다. 따라서 재화 1과 재화 2의 수요함수는 다음과 같이 주어지며, 

 x 1 (p1 , p2 , I) =

0 

여기서 만약

p1 p2

I p1

만약 만약

p1 p2 p1 p2

> 1이면 < 1이면

,

x 2 (p1 , p2 , I) =

I p2

 0

만약 만약

p2 p1 p2 p1

= 1이면 수요함수의 값은 유일하게 정의되지 않는다.

예제 2.11 (준선형 선호의 수요함수) 다음의 효용극대화의 문제에서, max

x 1 + 3 log x 2

s.t.

p1 x 1 + p2 x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

< 1이면 > 1이면

43


44

2. 소비자선택 효용극대화의 내부해의 필요조건은 다음과 같고, M RS12 =

x2 3

=

p1 p2

p1 x 1 + p2 x 2 = I p

만약 내부해가 존재하면 x 2 = 3 p1 , x 1 = 2

I−p2 x 2 p1

=

I p1

− 3이고, 내부해이므로 x 1 > 0,

따라서 I > 3p1 이어야 한다. 만약 I ≤ 3p1 이면, x 2 ≤

I p2

p

≤ 3 p1 이고, M RS12 = 2

x2 3

p1 p2

이 항상 성립하므로, 효용극대화는 모서리해를 가지고 모든 소득을 재화 2에 지 출하며, x 1 = 0, x 2 =

I 이다. p2

따라서 재화 1과 재화 2의 수요함수는 다음과 같이

주어진다.  x 1 (p1 , p2 , I) =

I p1

−3

만약 I ≤ 3p1 이면

 0  x 2 (p1 , p2 , I) =

3 p1 p 2

I p2

만약 I > 3p1 이면

만약 I > 3p1 이면 만약 I ≤ 3p1 이면

정의 2.6. (간접효용함수) 효용극대화 문제의 해인 수요함수로, 극대화된 효 용이 다음과 같이 가격과 소득의 함수로 주어지는 것을 간접효용함수(indirect utility function)라고 한다. v(p1 , p2 , I) = max x 1 ,x 2

s.t.

u(x) p1 x 1 + p2 x 2 = I

(2.10)

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0  = u x 1 (p1 , p2 , I), x 2 (p1 , p2 , I)

René Roy (1894–1977) 경제학자

간접효용함수가 미분가능하면, 다음의 로이항등식(Roy’s identity)가 성립한다.


2.1. 소비자선택과 수요 정리 2.4. (로이항등식) 선호가 강볼록성을 가지고 간접효용함수가 미분가능 하면, 다음이 성립한다. ∂ v(p1 ,p2 ,I) ∂ p1

x 1 (p1 , p2 , I) = − ∂ v(p

(2.11)

1 ,p2 ,I)

∂I

증명 효용극대화 문제의 라그랑즈 함수는 L (x 1 , x 2 , λ) = u(x) + λ(I − p1 x 1 − p2 x 2 ) 이고, 포락(包絡)정리(envelope theorem)에 따라, ∂ v(p1 ,p2 ,I) ∂I

=

∂ L (x 1 ,x 2 ,λ) ∂I

∂ v(p1 ,p2 ,I) ∂ p1

=

= λ가 성립하고, 따라서 x 1 (p1 , p2 , I) = −

∂ L (x 1 ,x 2 ,λ) ∂ p1 ∂ v(p1 ,p2 ,I) ∂ p1 ∂ v(p1 ,p2 ,I) ∂I

= −λx 1 ,

이다.5

„

예제 2.12 (콥-더글러스 효용함수의 간접효용함수) 다음의 효용극대화의 문제에 서, max

log x 1 + log x 2

s.t.

p1 x 1 + p2 x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

재화 1과 재화 2의 수요함수는 x 1 (p1 , p2 , I) =

I , 2p1

x 2 (p1 , p2 , I) =

I 이고(예제 2p2

간접효용함수는 다음과 같이 주어지며,  v(p1 , p2 , I) = 2 log I − log p1 + log p2 − 2 log 2

다음과 같이 로이항등식이 성립한다. ∂ v(p1 ,p2 ,I) ∂ p1

− ∂ v(p

1 ,p2 ,I) ∂I

=−

− p1

1

2 I

=

I 2p1

= x 1 (p1 , p2 , I)

2.8),

45


46

2. 소비자선택

소득과 가격의 변화와 수요의 변화 정의 2.7. (소득소비곡선과 엥겔곡선) 소득변화에 따른 수요변화를 보여주는 선을 소득소비곡선(income-consumption curve)이라고 하고, 소득변화에 따른 재화 1의 수요변화를 보여주는 선을 재화 1의 엥겔곡선(Engel curve)이라고 한다. Ernst Engel (1821–1896) 통계학자

소득소비곡선은 소득확장경로(income expansion path)라고도 한다. 그림 2.9는 소득변화에 따른 수요변화를 보여준다. 그림 (b)에서, 소득이 I 0 →

x2

x2

x 20 x 200x 2000

x 2000 x 200 x 20

I 000 I 00 I0

I

그림 2.9: 소득소비곡선과 엥겔곡선

(a)

x0

x 00

x 000

x 10 x 100 x 1000 (b)

x1

x 10 x 100 x 1000 (c)

x1

I I 000 I 00 I0

I 00 → I 000 로 변함에 따라 수요는 x 0 → x 00 → x 000 로 변하며, 소득변화에 따른 수요변화

인 x 0 , x 00 , x 000 을 잇는 선을 소득소비곡선이라고 한다. 그림 (c)는 소득변화와 재화 1 5

포락정리에 대해서는 부록 A의 정리 A.9를 참조.


2.1. 소비자선택과 수요 의 수요변화만을 따로 표시하며, 이 선을 재화 1의 엥겔곡선이라고 한다. 그림 (a) 는 그림 (b)의 소득소비곡선에 대응하는 재화 2의 엥겔곡선이다. 예제 2.13 (콥-더글러스 효용함수의 소득소비곡선과 엥겔곡선) 소득 I 가 변하는 다음의 효용극대화의 문제에서, max

log x 1 + log x 2

s.t.

2x 1 + 3x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

효용극대화의 필요조건은 다음과 같고, M RS12 = =

x2 x1 p1 p2

=

2 3

2x 1 + 3x 2 = I

따라서 x 1 = 4I , x 2 = 6I 이다. 소득소비곡선은 x 2 = 23 x 1 , 재화 1의 엥겔곡선은 I = 4x 1 이며, 그림 2.10 (a)는 소득소비곡선, 그림 2.10 (b)는 엥겔곡선을 보여준다.

그림 2.10: 콥-더글러스 효용함수의 소득소비곡선과 엥겔곡선 x2

I

(a)

x1

(b)

x1

47


48

2. 소비자선택 예제 2.14 (완전보완재의 소득소비곡선과 엥겔곡선) 소득 I 가 변하는 다음의 효용 극대화의 문제에서, max

min{2x 1 , 3x 2 }

s.t.

2x 1 + 3x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

효용극대화의 필요조건은 다음과 같고, 2x 1 = 3x 2 2x 1 + 3x 2 = I x 1 = 4I , x 2 = 6I 이다. 따라서 소득소비곡선은 x 2 = 23 x 1 , 재화 1의 엥겔곡선은 I = 4x 1

이며 그림 2.11 (a)는 소득소비곡선, 그림 2.11 (b)는 엥겔곡선을 보여준다.

그림 2.11: 완전보완재의 소득소비곡선과 엥겔곡선 x2

I

x1

(a)

(b)

x1

예제 2.15 (완전대체재의 소득소비곡선과 엥겔곡선) 소득 I 가 변하는 다음의 효용 극대화의 문제에서, max

x1 + x2

s.t.

2x 1 + 3x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0


2.1. 소비자선택과 수요 M RS12 =

1 1

= 1,

p1 p2

에 지출하며, x 1 =

= 32 이고, M RS12 > I p1

=

I , 2

p1 이 p2

언제나 성립하므로, 모든 소득을 재화 1

x 2 = 0이다. 따라서 소득소비곡선은 x 2 = 0, 재화 1의

엥겔곡선은 I = 2x 1 이며 그림 2.12 (a)는 소득소비곡선, 그림 2.12 (b)는 엥겔곡선을

그림 2.12: 완전대체재의 소득소비곡선과 엥겔곡선 x2

I

x1

(a)

(b)

x1

보여준다.

예제 2.16 (동조적 선호와 소득소비곡선) 콥-더글러스 효용함수, 완전보완재, 완 전대체재의 선호는 모두 동조적이며, 원점으로부터의 같은 방사선 위의 모든 소비 묶음은 같은 한계대체율을 가진다. 상대가격의 변화 없이 소득이 변하면 소비자는 소득변화 이전의 소비묶음을 지나는 원점으로부터의 방사선과 예산선이 교차하는 점을 선택하고, 소득소비곡선은 원점으로부터의 방사선이 된다.

예제 2.17 (준선형 선호의 소득소비곡선과 엥겔곡선) 소득 I 가 변하는 다음의 효 용극대화의 문제에서, max

x 1 + 3 log x 2

s.t.

2x 1 + 3x 2 = I

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

49


50

2. 소비자선택 효용극대화의 내부해의 필요조건은 다음과 같고, M RS12 =

M U1

=

x2

M U2 3 2 p1 = = p2 3

2x 1 + 3x 2 = I

만약 내부해가 존재하면 x 2 = 2, x 1 =

I−p2 x 2 p1

=

I−6 2

=

0, 따라서 I > 6이어야 한다. 만약 I ≤ 6이면, x 2 ≤ 2 3

=

p1 이 p2

I 2

I p2

− 3이고, 내부해이므로 x 1 > =

I 3

≤ 2이고, M RS12 =

항상 성립하므로, 모든 소득을 재화 2에 지출하며, x 1 = 0, x 2 =

I p2

x2 3

=

≤ I 3

이다. 따라서 소득소비곡선은 x 1 = 0(0 ≤ x 2 < 2), x 2 = 2(x 1 ≥ 0), 재화 1의 엥겔 곡선은 x 1 = 0(0 ≤ I ≤ 6), I = 2x 1 + 6(I > 6)이며 그림 2.13 (a)는 소득소비곡선,

그림 2.13: 준선형 선호의 소득소비곡선과 엥겔곡선 x2

I

6 2 (a)

x1

(b)

x1

그림 2.13 (b)는 엥겔곡선을 보여준다. 정의 2.8. (정상재와 열등재, 필수재와 사치재) 소득이 증가할 때 재화의 수요 가 증가하면 정상재(normal goods), 감소하면 열등재(inferior goods)라고 하며, 정상재이며 수요증가율이 소득증가율보다 크면 사치재(luxury goods), 작으면 필수재(necessities goods)라고 한다.


2.1. 소비자선택과 수요 소득증가에 따른 수요의 변화율은

∂ x1 ∂x 이며, ∂ I1 ∂I

> 0이면 재화 1은 정상재,

∂ x1 ∂I

<0

이면 재화 1은 열등재이다. 정의 2.9. (수요의 소득탄력성) 수요의 소득탄력성(income elasticity of demand, ε I )은 소득의 상대적 변화에 대한 소비의 상대적 변화의 비율로, 다음과 같이

정의되고, εI =

∂ x1 x1 ∂I I

=

∂ x1 ∂I x1 I

=

∂ log x 1

(2.12)

∂ log I

소득변화에 대한 수요의 민감성을 나타낸다.

정상재와 열등재, 필수재와 사치재는 다음과 같이 소득탄력성으로 정의될 수 있다. 정의 2.10. (정상재와 열등재, 필수재와 사치재) 소득탄력성이 0보다 크면 정 상재, 0보다 작으면 열등재이며, 소득탄력성이 1보다 큰 정상재를 사치재, 1 보다 작은 정상재를 필수재라고 한다.

예제 2.18 (수요의 소득탄력성과 엥겔곡선) 엥겔곡선의 세로축에는 소득, 가로축 에는 재화의 소비를 표시하며, 엥겔곡선의 기울기는 소득증가에 따른 수요의 변 화율의 역수인

1

∂ x1 ∂I

이다. 그림 2.14 (a)에서, 만약 A가 엥겔곡선이면, 소득이 I 0 인

점에서 엥겔곡선의 기울기는 0보다 크지만 원점으로부터의 방사선의 기울기보다 작으므로(0 <

1

∂ x1 ∂I

<

I ), x1

수요의 소득탄력성은 1보다 크고 재화 1은 사치재이다.

만약 B 가 엥겔곡선이면, 소득이 I 0 인 점에서 엥겔곡선의 기울기는 0보다 크고 또한 원점으로부터의 방사선의 기울기보다 크므로( ∂ 1x1 > 0, ∂I

1

∂ x1 ∂I

>

I ), x1

수요의 소득탄

력성은 0보다 크고 1보다 작으며 재화 1은 필수재이다. 만약 C 가 엥겔곡선이면, 소득이 I 0 인 점에서 엥겔곡선의 기울기는 0보다 작으므로( ∂ 1x1 < 0), 수요의 소득탄 력성은 0보다 작고 재화 1은 열등재이다.

∂I

재화가 정상재, 열등재, 사치재, 또는 필수재인 지의 여부는 고정된 것이 아니라

51


52

2. 소비자선택

그림 2.14: 수요의 소득탄력성과 엥겔곡선 I

I B

C

A

I0

I 000

I 00 I0 (a)

x1

(b)

x1

소비자의 소득수준에 따라 달라진다. 예를 들어, 비즈니스석 비행기 표는 배낭여행 하는 학생에게는 사치재, 비즈니스 여행하는 사업가에게는 필수재, 자가용비행기 를 이용하는 GM의 CEO에게는 열등재일 수 있다. 그림 2.14 (b)는 소득이 I 0 미만일 때는 재화 1을 전혀 소비하지 않고, 소득이 I 0 이상 I 00 미만일 때는 재화 1을 사치재 로 소비하고, 소득이 I 00 이상 I 000 미만일 때는 재화 1을 필수재로 소비하고, 소득이 I 000 이상이면 재화 1을 열등재로 소비하는 소비자의 엥겔곡선을 나타낸다.

정의 2.11. (가격소비곡선과 수요곡선) 가격변화에 따른 수요변화를 보여주 는 선을 가격소비곡선(price-consumption curve)이라고 하고, 재화 1의 가격변 화에 따른 재화 1의 수요변화를 보여주는 선을 재화 1의 수요곡선(demand curve)이라고 한다.

가격소비곡선은 가격제시곡선(price offer curve)이라고도 한다. 그림 2.15는 재화 1의 가격변화에 따른 수요변화를 보여준다. 그림 (a)에서, 재 화 1의 가격이 p10 → p100 → p1000 로 변함에 따라 소비자선택은 x 0 → x 00 → x 000 로 변 하며, 가격변화에 따른 수요변화인 x 0 , x 00 , x 000 을 잇는 선을 가격소비곡선이라고 한 다. 그림 (b)는 재화 1의 가격변화와 재화 1의 수요변화만을 따로 표시하며, 이 선 을 재화 1의 수요곡선이라고 한다. 재화 2와 소득이 일정할 때, 재화 1의 수요함


2.1. 소비자선택과 수요

그림 2.15: 가격소비곡선과 수요곡선 x2

x 0 x 00

x 000

x 10 x 100

x 1000

x1

x 1000

x1

(a)

p1 p10 p100 p1000 x 10 x 100

(b)

수 x 1 (p1 , p2 , I)는 x 1 (p1 )이 되고, 수요함수의 역함수인 역수요함수(inverse demand function) p1 (x 1 )은 재화 1의 수요곡선이 된다.6

예제 2.19 (콥-더글러스 효용함수의 가격소비곡선과 수요곡선) 재화 1의 가격 p1 이 변하는 다음의 효용극대화의 문제에서, max

log x 1 + log x 2

s.t.

p1 x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

6

역함수에 대해서는 부록 A의 정의 A.10을 참조.

53


54

2. 소비자선택 효용극대화의 필요조건은 다음과 같고, M RS12 = =

x2 x1 p1 p2

=

p1 3

p1 x 1 + 3x 2 = 24

따라서 x 1 =

12 , p1

x 2 = 4이다. 가격소비곡선은 x 2 = 4, 재화 1의 수요곡선은 p1 =

12 x1

이며, 그림 2.16 (a)는 가격소비곡선, 그림 2.16 (b)는 수요곡선을 보여준다.

그림 2.16: 콥-더글러스 효용함수의 가격소비곡선과 수요곡선 p1

x2

8 4

x1

(a)

(b)

x1

예제 2.20 (완전보완재의 가격소비곡선과 수요곡선) 재화 1의 가격 p1 이 변하는 다음의 효용극대화의 문제에서, max

min{2x 1 , 3x 2 }

s.t.

p1 x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0


2.1. 소비자선택과 수요 효용극대화의 필요조건은 다음과 같고, 2x 1 = 3x 2 p1 x 1 + 3x 2 = 24 x1 = p1 =

24 , x 2 = p 16 이다. 따라서 가격소비곡선은 x 2 = 23 x 1 , 재화 1의 수요곡선은 p1 +2 1 +2 24 − 2이며 그림 2.17 (a)는 가격소비곡선, 그림 2.17 (b)는 수요곡선을 보여준 x1

그림 2.17: 완전보완재의 가격소비곡선과 수요곡선 p1

x2

8

12

x1

(a)

(b)

x1

다. 예제 2.21 (완전대체재의 가격소비곡선과 수요곡선) 재화 1의 가격 p1 이 변하는 다음의 효용극대화의 문제에서, max

x1 + x2

s.t.

p1 x 1 + 3x 2 = 24

x 1 ,x 2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 M RS12 =

1 1

= 1,

p1 p2

만약 p1 < 3이면

p1 p 이���, 만약 p1 > 3이면 M RS12 < p1 이며 x 1 = 0, x 2 = 8이고, 3 2 p M RS12 > p1 이며 x 1 = 24 , x = 0 이다 . 따라서 가격소비곡선은 2 p1 2

=

x = (0, 8)의 점과 x 2 = 0(x 1 ≥ 8)의 선이며, 재화 1의 수요곡선은 x 1 = 0(p1 > 3)

55


제 10 장 일반경쟁균형과 시장의 효율성

10.1 일반경쟁균형과 효율성

일반경쟁균형

이제까지의 시장균형의 분석은 개별 시장만을 대상으로 한 부분균형분석(partial equilibrium analysis)이었다. 부분균형분석은 한 시장의 균형의 변화가 다른 시장의

균형에 영향을 미치지 않는다는 가정 하에서 이루어진다. 부분균형분석과 달리 모 든 시장의 균형을 동시에 분석하는 것을 일반균형분석(general equilibrium analysis) 이라고 한다. 일반균형(general equilibrium)은 다음과 같이 정의된다.

243


244

10. 일반경쟁균형과 시장의 효율성 정의 10.1. (일반균형) 모든 시장이 경쟁시장이고, 다음의 조건이 만족되면 일반균형이 이루어진다. (1) 주어진 가격과 소득 하에서 소비자들은 효용극대화를 위해 재화의 수

요량과 생산요소의 공급량을 결정한다. (2) 주어진 가격 하에서 기업들은 이윤극대화를 위해 재화의 공급량과 생

산요소의 수요량을 결정한다. (3) 주어진 가격 하에서 모든 시장의 공급량과 수요량이 일치한다.

일반균형은 일반경쟁균형(general competitive equilibrium)이라고도 하며, 왈라스 균형(Walrasian equilibrium) 이라고도 한다.

순수교환경제의 일반경쟁균형 Léon Walras (1834-1910) 경제학자

순수교환경제(pure exchange economy)는 생산활동이 없고, 부존자원(endowment) 을 교환하고 소비하는 경제이다. 소비자 1과 소비자 2의 두 명의 소비자가 있으며, 소비자 1의 재화 1과 재화 2의 부존자원이 ω1 = (ω11 , ω12 ), 소비자 2의 부존자원이 ω2 = (ω21 , ω22 )이고, 재화 1의 가격이 p 재화 2의 가격이 1이고, 두 소비자가 재화 1

과 재화 2를 1 : p의 비율로 서로 교환하고, 소비자 1의 소비묶음이 x 1 = (x 11 , x 21 ), 소비자 2의 소비묶음이 x 2 = (x 12 , x 22 )인, 순수교환경제를 가정해보자.1 그림 10.1은 소비자 1과 소비자 2의 부존자원과 소비집합을 보여준다. 정의 10.2. (배분) 두 소비자의 소비묶음의 짝 x = (x 1 , x 2 )를 배분(allocation) 이라고 한다.

재화 1의 가격을 p1 , 재화 2의 가격을 p2 라고 하면, 예산식은 p1 x 1 + p2 x 2 = p1 ω1 + p p p2 ω2 이고, 양변을 p2 로 나누면, p1 x 1 + x 2 = p1 ω1 + ω2 이다. 이는 재화 2를 교환비율기준 1

2

(numeraire)로 하여, 재화 1의 가격을 p =

이며, 예산식은 변하지 않는다.

2

p1 , p2

재화 2의 가격을 1로 하는 것과 마찬가지


10.1. 일반경쟁균형과 효율성

그림 10.1: 부존자원 x 21

x 22

ω2

ω22 ω1

ω12

(a)

ω11

x 11

ω21

(b)

x 12

정의 10.3. (실현가능한 배분, 실현가능하고 낭비없는 배분) 재화 1과 재화 2 모두, 두 소비자의 소비의 합이 부존자원의 합을 초과하지 않는 배분을 실현 가능한 배분(feasible allocation)이라고 한다. x 11 + x 12 ≤ ω11 + ω21

(10.1)

x 21 + x 22 ≤ ω12 + ω22

(10.2)

실현가능한 배분 중에서, 소비의 합이 부존자원의 합과 일치하는 배분을 실현 가능하고 낭비없는 배분(feasible and nonwasteful allocation)이라고 한다.

순수교환경제의 실현가능하고 낭비없는 배분은 에지워스박스(Edgeworth box) 에 표시될 수 있다. 그림 10.2는 그림 10.1의 부존자원의 실현가능하고 낭비없는 배분을 보여주는 에지워스박스이다. 에지워스박스의 가로변의 길이는 재화 1의 부 존자원의 합(ω11 +ω21 )과 같고, 세로 변의 길이는 재화 2의 부존자원의 합(ω12 +ω22 )과 같다. 에지워스박스에서 소비자 1의 부존자원과 소비묶음은 왼쪽 아래의 꼭짓점을 원점(O1 )으로 하여 표시되고, 소비자 2의 부존자원과 소비묶음은 맞은편의 오른쪽 위의 꼭짓점을 원점(O2 )으로 하여 표시된다. 그림 (a)의 ω는 소비자 1과 소비자 2 의 부존자원을 나타내고, x 는 실현가능하고 낭비없는 배분의 한 예이다. 에지워스

245


10. 일반경쟁균형과 시장의 효율성

그림 10.2: 에지워스박스

}

x {z

ω x 11

}

|

{z

O1|

x 22

O2

}

O2

ω22

¥2 ¥1

|

| {z }

ω12

x 21

}

{z

{z x 12

| {z }

|

|

ω21

| {z }

246

{z ω11

O1

}

(b)

(a)

박스에는 그림 (b)처럼 소비자 1의 선호(¥1 )와 소비자 2의 선호(¥2 )를 표시할 수 있으며, 그림의 화살표는 두 소비자의 선호의 방향을 나타낸다. 두 소비자의 예산선은 부존자원의 점을 지나고 기울기가 −p인 직선이다. 그 림 10.3은 두 소비자의 가격소비곡선을 보여준다. 가격소비곡선은 반드시 부존자원

그림 10.3: 가격소비곡선 x 21

x 22

ω2

ω22 ω1

ω12

(a)

ω11

x 11

ω21

(b)

x 12

의 점을 지난다. 그림 (a)는 소비자 1의 부존자원의 점(ω1 )에서 시작하여 재화 1의 가격이 상승함에 따라 이루어지는 소비자 1의 가격소비곡선을 보여주고, 그림 (b) 는 소비자 2의 부존자원의 점(ω2 )에서 시작하여 재화 1의 가격이 하락함에 따라 이루어지는 소비자 2의 가격소비곡선을 보여준다.


10.1. 일반경쟁균형과 효율성 가격이 정해지면 재화에 대한 소비자의 수요량이 정해지며, 수요량에서 부존 자원량을 뺀 것을 순수요(net demand) 또는 초과수요(excess demand)라고 한다. 소비자 1의 재화 1과 재화 2의 수요함수를 x 11 (p), x 21 (p), 소비자 2의 수요함수를 x 12 (p), x 22 (p)라고 하면, 소비자 1의 재화 1과 재화 2의 초과수요함수 z11 (p), z21 (p),

소비자 2의 초과수요함수를 z12 (p), z22 (p)는 다음과 같이 주어진다. z11 (p) = x 11 (p) − ω11

z21 (p) = x 21 (p) − ω12

(10.3)

z12 (p) = x 12 (p) − ω21

z22 (p) = x 22 (p) − ω22

(10.4)

초과수요가 양이면 소비자는 순구매자 또는 순수요자(net demander)가 되고, 초과 수요가 음이면 순판매자 또는 순공급자(net supplier)가 된다. 두 소비자의 초과수요 를 더한 것을 총초과수요(aggregate excess demand)라고 한다. 재화 1의 총초과수요 z1 (p)와 재화 2의 총초과수요 z2 (p)는 다음과 같이 주어진다. z1 (p) = z11 (p) + z12 (p)

(10.5)

z2 (p) = z21 (p) + z22 (p)

(10.6)

순수교환경제의 일반경쟁균형은 다음과 같이 정의된다. 정의 10.4. (순수교환경제의 일반경쟁균형) 재화 1과 재화 2의 시장이 경쟁시 장이고, 다음의 조건이 만족되면 일반경쟁균형이 이루어진다. (1) 주어진 가격(p? )과 부존자원(ω1 , ω2 ) 하에서 소비자들은 효용극대화를

위해 재화의 초과수요를 결정한다. (2) 주어진 가격 하에서 재화 1과 재화 2의 총초과수요가 모두 0이다. z1 (p? ) = 0

(10.7)

z2 (p? ) = 0

(10.8)

247


10. 일반경쟁균형과 시장의 효율성 그림 10.4의 가격 하에서 소비자 1은, 재화 1의 초과수요는 음으로 재화 1의 순공

그림 10.4: 재화 1의 초과공급과 재화 2의 초과수요 z12

| {z } | | {z }

{z

z21

}

-z22

|

{z -z11

}

급자이고, 재화 2의 초과수요는 양으로 재화 2의 순수요자이다. 소비자 2는, 재화 1 의 초과수요는 양으로 재화 1의 순수요자이고, 재화 2의 초과수요는 음으로 재화 2 의 순공급자이다. 재화 1의 총초과수요는 음으로 재화 1은 초과공급 상태이고, 재 화 2의 총초과수요는 양으로 재화 2는 초과수요 상태이기 때문에 일반경쟁균형이 이루어지지 않는다. 그림 10.5의 가격 하에서는 재화 1과 재화 2의 총초과수요가 모두 0이고, 일반경

그림 10.5: 일반경쟁균형 z12

| {z } | {z }

| {z }

248

z21

-z22

| {z } -z11

쟁균형이 이루어진다. 일반경쟁균형은 두 소비자의 가격소비곡선이 만나는 점에서


부록 A 수학 A.1 선형대수 벡터의 스케일러 곱과 벡터의 합 정의 A.1. (벡터, 행벡터와 열벡터) 숫자열(array of numbers)을 벡터(vector) 라고 하고, 숫자열이 한 행으로 된 다음의 벡터를 행벡터(row vector), x = (x 1 , x 2 )

(A.1)

숫자열이 한 열로 된 다음의 벡터를 열벡터(column vector)라고 한다.  x =

x1

x2

(A.2)

일반적으로 벡터는 n개의 숫자열 x = (x 1 , . . . , x n )이지만, 이 책에서 특별한 언급이 없으면 벡터는 두 숫자열인 x = (x 1 , x 2 )을 의미한다. 그림 A.1은 x = (2, 3), x 0 = (4, 1)의 두 벡터를 보여주며, 벡터는 그림 (a)처럼 좌표(coordinates)로 표시하거나,

303


304

부록 A. 수학 그림 A.1: 벡터 x2

3

x2

x

x x0

1 2

4 (a)

x0 x1

(b)

x1

또는 그림 (b)처럼 방향(direction)과 크기(magnitude)를 가진 화살표로 표시할 수 있다.

정의 A.2. (벡터의 스케일러 곱) 벡터 x = (x 1 , x 2 )와 스케일러(scalar) a의 곱은 벡터의 모든 원소(elements)에 스케일러 곱으로, 다음과 같이 정의된다.  ax = a 

x1 x2

=

a x1

a x2

(A.3)

그림 A.2는 벡터 x = (2, 3)과 스케일러 2와 −1의 곱을 보여준다. 벡터 x = (2, 3) 과 스케일러 2의 곱은 벡터 2x = (4, 6)이다. 그림 (a)의 점선의 화살표는 벡터 2x 이 며, 벡터 x 에 스케일러 2를 곱하면 벡터의 방향은 변하지 않고 크기가 2배가 된다. 벡터 x = (2, 3)과 스케일러 −1의 곱은 벡터 (−)x = −x = (−2, −3)이다. 그림 (b)의 점선의 화살표는 벡터 −x = (−2, −3)이며, 벡터 x 에 스케일러 −1을 곱하면 벡터의 크기는 변하지 않고 방향은 정반대가 된다.


A.1. 선형대수

그림 A.2: 벡터의 스케일러 곱 x2

x2 x 2x x1

x -x x1

(a)

(b)

정의 A.3. (벡터의 합) 두 벡터 x = (x 1 , x 2 ), x 0 = (x 10 , x 20 )의 합은 서로 대응하는 원소의 합으로, 다음과 같이 정의된다.  0

x+x =

x1 x2

+

x 10 x 20

=

x 1 + x 10

x 2 + x 20

(A.4)

그림 A.3은 두 벡터 x = (2, 3), x 0 = (4, 1)의 합 x + x 0 = (6, 4)을 보여준다. 두 벡터의

그림 A.3: 벡터의 합 x2

4 3

x + x0 x x0

1 2

4

6

x1

합은 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형(parallelogram)의 대각선이 된다.

305


306

부록 A. 수학

벡터의 선형결합과 볼록결합 정의 A.4. (벡터의 선형결합) x, x 0 가 벡터이고, a, b가 스케일러면, 스케일러 a, b를 계수(coefficients)로 하는 벡터 x, x 0 의 선형결합(linear combination)은 다

음과 같이 주어진다. ax + bx0

(A.5)

정의 A.5. (벡터의 볼록결합) 모든 계수가 음이 아니고, 계수의 합이 1인 벡터 의 선형결합을 벡터의 볼록결합(convex combination)이라고 한다. x, x 0 가 벡터 이고, 0 ≤ α ≤ 1가 스케일러면, 스케일러 α, (1 − α)를 계수(coefficients)로 하는 벡터 x, x 0 의 볼록결합은 다음과 같이 주어진다. αx + (1 − α)x 0

(A.6)

그림 A.4는 두 벡터 x = (2, 3), x 0 = (4, 1)의 볼록결합인 x 00 = 14 x + 34 x 0 = ( 27 , 23 )

그림 A.4: 벡터의 볼록결합 x2

x

x 000 x 00 0 x x1

과 x 000 = 34 x + 41 x 0 = ( 25 , 52 )를 보여준다. 두 벡터의 볼록결합은 두 벡터를 잇는 선분 위의 한 점이며, 두 벡터와의 거리는 볼록결합에서 두 벡터의 계수의 크기에 반비 례한다. 볼록결합 x 00 은 x 의 계수가 작고 x 0 의 계수가 크기 때문에 x 에서 멀고 x 0 과


부록 B 연습문제 해답 B.1 제1장 문제 1.1

(1) u(w, b) = min{2w, b}

x2 6 4 2

(2) u(w, b) = max{2w, b}

1 2 3

x1

1 2 3

x1

x2 6 4 2

329


330

부록 B. 연습문제 해답 (3) u(w, b) = 2w + b

x2 6 4 2

-2 1 2 3

문제 1.2

x1

(1) (2, 7) ∼ (6, 1)이고, 선호가 강볼록성을 가지므로, 0.5(2, 7) + 0.5(6, 1) = (4, 4)  (2, 7)

강단조성을 가지므로, (4, 5)  (4, 4)

이행성을 가지므로 다음이 성립한다. (4, 5)  (4, 4), (4, 4)  (2, 7)

(4, 5)  (2, 7)

옳다. (2) 재화 1과 재화 2가 완전보완재이고, 재화 1과 재화 2를 언제나 1:2의

비율로 소비하는 선호의 효용함수는 다음과 같다. u(x) = min{2x 1 , x 2 }

그런데 다음이 성립하므로, u(2, 5) = min{2(2), 5} = 4 u(3, 4) = min{2(3), 4} = 4 u(2, 5) = u(3, 4)이고, (2, 5) ∼ (3, 4)이다. 옳다.


B.1. 제1장 문제 1.3

(1) u(x) =

p

2x 1 + x 2 의 한계대체율은 다음과 같다.

M RS12 =

M U1 M U2

=

1

1 (2x 1 2

+ x 2 )− 2 (2)

1 (2x 1 2

+ x 2 )− 2 (1)

1

=2

 f (U) = U 2 (U ≥ 0)은 강증가함수이므로, v(x) = f u(x) = 2x 1 + x 2

도 효용함수이다. v(x)의 한계대체율은 다음과 같고, M RS12 =

M U1 M U2

=

2 1

=2

u(x)와 v(x)의 한계대체율은 같다.

(2) u(x) = x 1 +

p

x 2 의 한계대체율은 다음과 같고, M RS12 =

M U1 M U2

=

1 − 12

1 x 2 2

p = 2 x2

재화 2가 일정하면, 재화 1이 증가하여도 한계대체율은 변하지 않는 다. (3) 효용이 u(x) = x 1 x 2 = k인 무차별곡선은 x 2 =

k 이고, x1

x2 6 4 2 1 2 3

k=9 k=4 x1

다음과 같다.

331


값 30000원 93320

9 788996 142546 ISBN 978-89-961425-4-6


Microeconomics, 2nd Edition