FE26_EM2CA180_SPA_26A_FPBSELG8_M5_175829 by General

Grado 8 Módulo 5

Nombre

Módulo

Una historia de razones

Grado 8 ▸ Razones y linealidad

1 Notación científica, exponentes y números irracionales

2 Movimientos rígidos y figuras congruentes

3 Dilataciones y figuras semejantes

4 Ecuaciones lineales de una y dos variables

5 Sistemas de ecuaciones lineales

6 Funciones y estadísticas bivariadas

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¿Qué se incluye?

Bienvenido(a) a Aprender, el libro del estudiante que acompaña la instrucción que se presenta en Enseñar.

Este recurso contiene todas las páginas que el estudiante necesita, incluyendo páginas de trabajo en clase, glosarios y oportunidades de práctica.

En la Presentación del tema se usan contextos humorísticos para despertar interés y ayudar a los estudiantes a relacionarse con los conceptos que aprenden en el tema.

Las páginas de la Lección están identificadas por el número de la lección e incluyen los objetivos de aprendizaje. Las páginas que tienen una barra naranja están diseñadas para desprenderse del libro y usarse durante la clase.

Un Boleto de salida es una evaluación formativa breve del aprendizaje clave de la lección. En el reverso de cada Boleto de salida se incluye un espacio para que los estudiantes reflexionen sobre su comprensión del objetivo del día.

En Resumen se describe el aprendizaje clave de la lección y se proporcionan ejemplos con notas de apoyo.

En las páginas de Práctica se proporcionan grupos de problemas organizados de lo simple a lo complejo.

El Repaso en espiral refuerza las destrezas y conceptos a través de prácticas distribuidas e intercaladas.

En las hojas de Fluidez se proporciona práctica distribuida con material aprendido previamente. Estas prácticas preparan a los estudiantes para el nuevo aprendizaje, activando sus conocimientos previos y cerrando pequeñas brechas de aprendizaje.

Las secciones Estándares y Descripción general de la alineación relacionan cada lección con los estándares de contenido integrados, los Estándares para la práctica de las matemáticas y las ideas importantes de matemáticas en cada lección.

El lenguaje matemático es fundamental para ayudar a los estudiantes a comprender los conceptos matemáticos y a describir las matemáticas en el mundo a su alrededor. La Herramienta para la conversación, el recurso de Vocabulario y la Herramienta para el razonamiento pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar fluidez en el lenguaje matemático y brindan apoyo para el discurso y las habilidades metacognitivas.

Contenido

Sistemas de ecuaciones lineales

Tema A

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas

Lección 1

Resolver problemas mediante ecuaciones y sus gráficas

Lección 2

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

Lección 3

Identificar soluciones

Lección 4

Más de una solución

Lección 5

Estimar soluciones

Tema B

Resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera algebraica

Lección 6

Resolver sistemas de ecuaciones lineales sin representarlos gráficamente

Lección 7

El método de sustitución

Lección 8

103

Usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones (opcional)

Lección 9 117

Reescribir ecuaciones para resolver un sistema de ecuaciones

Lección 10 .

Elegir un método de resolución

Tema C

Escribir y resolver sistemas de ecuaciones lineales

Lección 11

Escribir y resolver sistemas de ecuaciones para problemas matemáticos

Lección 12

131

143

145

163

Resolver problemas históricos mediante sistemas de ecuaciones

Lección 13

177

Escribir y resolver sistemas de ecuaciones para problemas del mundo real

Lección 14

De regreso al plano de coordenadas

189

Recursos

Repaso en espiral 1

205

Repaso en espiral 2 209

Recursos de la sección Fluidez

Contemplar y luego calcular: Calcular la pendiente con coordenadas positivas y negativas

Contemplar y luego calcular: Identificar la pendiente

Contemplar y luego calcular: Identificar la intersección y

Contemplar y luego calcular: Resolver Ecuaciones de varios pasos

Vocabulario

Estándares

Descripción general de la alineación

Bibliografía

Créditos

Agradecimientos

217

221

MEDIANTE GRÁFICAS

Encontrémonos en la intersección

NADA EXTRAÑO

Encontrémonos en la intersección de la calle Mayor y la calle Principal.

Encontrémonos en la intersección de la Quinta Avenida y la Sexta Avenida. Hecho.

UN POCO EXTRAÑO

Eh... ¿cómo?

SÚPER EXTRAÑO

Encontrémonos en la intersección de la calle Mayor y la calle Mayor.

¡¿QUÉ SIGNIFICA ESO?!

En matemáticas, la palabra intersección tiene un significado especial: es la parte compartida que dos objetos tienen en común. Imagina la parte del medio de un diagrama de Venn y te darás una idea.

Entonces, ¿qué es la intersección de dos carreteras? Por lo general, es solo eso: es el lugar donde se encuentran.

¿Y las carreteras paralelas? No tienen ninguna intersección, porque nunca se cruzan.

¿Y cuál es la intersección de una carretera consigo misma? Bueno, es toda la carretera.

El próximo tema no trata de las intersecciones de carreteras, sino de la versión matemática: pares de rectas en el plano de coordenadas. Dado que cada recta tiene tantos nombres, hallar el punto de intersección de dos rectas, a veces, puede ser un asunto complicado. Pueden intersecarse una sola vez. O es posible que nunca se intersequen. También es posible que las dos rectas resulten ser la misma recta, pero disfrazada.

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo usar herramientas y estrategias matemáticas para responder una pregunta del mundo real.

California

CCSSee-M

8.EE.C.8.a–c

Resolver problemas mediante ecuaciones y sus gráficas

La carrera

Responde la pregunta de enfoque.

¿Qué información necesitamos?

Información

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo usar herramientas y estrategias matemáticas para responder una pregunta del mundo real.

Reflexiona sobre la lección.

California

CCSSee-M

8.EE.C.8.a–c

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo usar herramientas y estrategias matemáticas para responder una pregunta del mundo real.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre

PRÁCTICA

Practice

Fecha

Puedo usar herramientas y estrategias matemáticas para responder una pregunta del mundo real.

1. Liam y Pedro corren una carrera a lo largo del campo de futbol. Pedro da ventaja a Liam y comienza a correr 2 segundos después que él. Las tablas representan la relación entre la distancia, en yardas, que corre cada niño y la cantidad de tiempo, en segundos, desde que Liam comienza a correr. Imagina que los dos jóvenes corren a una velocidad constante.

Tiempo desde que Liam empezó a correr (segundos)

a. ¿Quién ganará la carrera si el campo de futbol tiene 130 yardas de largo?

b. ¿Cuántos segundos después de que Liam comienza a correr alcanza Pedro a Liam?

c. ¿Cuántas yardas ha recorrido cada uno cuando Pedro alcanza a Liam?

2. Dylan y Yu Yan manejan autos eléctricos. La batería de cada auto debe conectarse a una fuente de alimentación para recargarse. La gráfica representa la relación entre la carga de la batería de cada auto y la cantidad de tiempo que la batería lleva conectada a la fuente de alimentación.

Carga de las baterías (% de la capacidad)

x y Tiempo (minutos)

51015202530354045505560

a. ¿En cuántos minutos tendrán los autos de Dylan y Yu Yan la misma carga de las baterías?

b. ¿En qué porcentaje coincidirán las cargas de las baterías de los autos de Dylan y Yu Yan?

c. Si tanto Dylan como Yu Yan cargan las baterías de sus autos durante 30 minutos, ¿qué batería tendrá la mayor carga? Explica.

Auto de Yu Yan

Auto de Dylan

3. So-hee y Ava están ahorrando dinero. La ecuación y = 3x + 6 representa los ahorros de So-hee y la ecuación y = 4x + 2 representa los ahorros de Ava. La variable y representa la cantidad total de dinero en dólares que cada joven ahorra en x días.

a. ¿Qué día serán iguales los ahorros de So-hee y los ahorros de Ava?

b. ¿Cuánto dinero tendrá cada una el día que sus ahorros sean iguales?

c. Después de 30 días, ¿cuánto dinero habrá ahorrado So-hee y cuánto habrá ahorrado Ava?

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 4 y 5, halla el valor de x 4. 5(x + 4) = 60 + 3(x − 10) 5. 4(x − 6) + 2x = 8(x − 3) − 1

6. Escribe una ecuación de la recta representada gráficamente en el plano de coordenadas.

7. La tabla muestra la relación proporcional entre el costo total de boletos para el cine y el número de boletos comprados. Número de boletos para el cine

a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

b. ¿Cuál es el costo total de 10 boletos para el cine?

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones.

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

California CCSSee-M 8.EE.C.8.a

1. ¡Ha sido una semana fría! Da un ejemplo de temperaturas positivas que satisfacen cada restricción.

a. Restricción 1: La temperatura alta se triplica de un día para otro.

Primera temperatura: °F

Segunda temperatura: °F

b. Restricción 2: La temperatura alta de un día y la temperatura alta de otro día suman 14 °F.

Primera temperatura: °F

Segunda temperatura: °F

Resolver un sistema de ecuaciones

2. Dos números tienen una suma de −1 y una diferencia de 9.

a. Sea x un número y sea y el otro número. Escribe una ecuación para cada restricción.

b. Representa gráficamente las ecuaciones de la parte (a).

c. Según tu gráfica de la parte (b), ¿qué par ordenado parece satisfacer ambas restricciones? ¿Cómo lo sabes?

3. Considera el sistema de ecuaciones.

{y = −2x + 4 y = − 1 2 x + 7

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

¿Es una solución?

4. Considera el sistema de ecuaciones.

{x + y = 1

3x − y = −6

a. ¿Es (3, −2) una solución del sistema de ecuaciones? Explica.

b. Encierra en un círculo una de las opciones de respuesta del recuadro para que el enunciado sea verdadero.

El punto (3, −2) está en . solo la recta representada por x + y = 1 solo la recta representada por 3x − y = −6 ambas rectas ninguna recta

c. Explica tu razonamiento para tu elección de la parte (b).

d. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones. ¿Confirma tu gráfica tus respuestas para las partes (a) a (c)? Explica.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones.

Considera el sistema de ecuaciones que se muestra en la gráfica.

y = x − 1

x + y = 1

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

California

CCSSee-M

8.EE.C.8.a–c

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones.

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

En esta lección:

• representamos gráficamente un sistema de ecuaciones lineales para estimar la solución del sistema;

• determinamos si la estimación era la solución del sistema.

Ejemplo

Considera el sistema de ecuaciones.

y = 3 4 x y = 2 x + 5

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima el punto de intersección de las rectas.

Las rectas parecen intersectarse en (−4, −3).

(−4, −3)

California CCSSee-M

8.EE.C.8.a

Vocabulario

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. El siguiente ejemplo es un sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 15 3 x −7 y = −2

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales de dos variables es una par ordenado de números que es una solución de ambas ecuaciones. Por ejemplo, una solución para el siguiente sistema de ecuaciones lineales es el par ordenado (5, 1): {x + y = 6 x − y = 4

El par ordenado (5, 1) es una solución porque sustituir 5 en lugar de x y 1 en lugar de y da como resultado dos ecuaciones verdaderas: 5 + 1 = 6 y 5 1 = 4

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

Sustituye (−4, −3) en lugar de (x, y) en y = 3 4 x

Lado izquierdo: −3

Lado derecho: 3 4 (−4) = −3

Sustituye (−4, −3) en lugar de (x, y) en y = 2x + 5

Lado izquierdo: −3

Lado derecho: 2(−4) + 5 = −8 + 5 = −3

En cada lado de la ecuación, sustituye −4 en lugar de x y −3 en lugar de y

Como −3 = 3 4 (−4) y −3 = 2(−4) + 5, sé que (−4, −3) es la solución del sistema

El par ordenado debe ser una solución para ambas ecuaciones para que sea una solución del sistema de ecuaciones.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones.

1. Considera el sistema de ecuaciones que se muestra en la gráfica.

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

2. Considera el sistema de ecuaciones dado.

y = 2 3 x y = −x + 5

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

y x

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

3. Considera el sistema de ecuaciones dado.

{y = − 1 2 x − 1

3 x + y = 9

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

4. Considera el sistema de ecuaciones dado.

x = −2 x + 2 y = 4

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 5 y 6, halla el valor de x

5. 4 3 (x + 2) = 1 3 (x − 7) + 3

6. 3(2x + 3) = 2 + 3(2x + 3)

7. Escribe una ecuación para la recta con pendiente 1 2 que pase por el punto (−4, −1).

8. Cada una de las cuatro relaciones proporcionales diferentes está representada por una tabla, una ecuación y una situación dadas. Empareja cada tabla con la ecuación y la situación que representan la misma relación proporcional.

Ecuaciones

Situaciones

A. y = 0.75x 1. Una clase de educación física corre dando vueltas alrededor del perímetro del estacionamiento. Cada vuelta es 2 3 de una milla.

B. y = 1.5x 2. El club de animación vende bolsas de palomitas de maíz por $3.00 cada una en el partido de futbol americano.

C. y = 2 3 x 3. En un partido de futbol, un puesto de comida cobra $0.75 por una botella de agua.

D. y = 3x 4. Lily usa 1 1 2 yardas de cinta por cada lazo para el cabello que hace.

Ecuación

Situación

Tabla P

Tabla Q

Tabla R

Tabla S

Tabla P Tabla Q

Tabla R Tabla S

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones no tiene solución.

Identificar soluciones

Puntos de intersección

En los problemas 1 a 4, estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas que representan el sistema de ecuaciones. Comprueba si tu estimación es la solución del sistema.

{ y = 2x y = 2x + 4

¿Tiene o no tiene solución?

En los problemas 5 a 10, determina con el método de inspección si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica cómo lo sabes.

y = 1 4 x + 3

= 1 4 x − 2

y = 1 _ 2 x + 1

x + y = 1

{ y = −3x

= − 1 _ 3 x

8. {y = 7 x = 7

9. { x + y = 6 x + y = −3

10. { x = −2 x = 5

Analizar sistemas de ecuaciones

En los problemas 11 y 12, determina si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica cómo lo sabes.

11. { y = − 4 _ 5 x + 2 8x − 10y = 60

12. {2x − y = 7 8 x − 4y = 12

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones no tiene solución.

Determina con el método de inspección si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica cómo lo sabes.

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo determinar si un sistema de ecuaciones no tiene solución.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda. Puedo hacerlo por mi cuenta. Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones no tiene solución.

Identificar soluciones

En esta lección:

California

CCSSee-M

8.EE.C.8.a, 8.EE.C.8.b

• aprendimos que un sistema de ecuaciones que representa rectas paralelas no tiene solución;

• determinamos con el método de inspección si un sistema de ecuaciones tiene una solución.

Ejemplo

Considera el sistema de ecuaciones.

y = 4 3 x + 5

4x − 3y = 8

a. Sin representarlo gráficamente, determina si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica cómo lo sabes.

Reescribe la ecuación

4x − 3y = 8 en la forma pendiente-intersección.

Reescribe el sistema de ecuaciones.

4 x − 3y = 8 −3y = −4x + 8 y = 4 _ 3 x − 8 _ 3 {y = 4 3 x + 5 y = 4 3 x − 8 3

Compara las pendientes y las intersecciones con el eje y.

El sistema no tiene solución. Las rectas representadas por las ecuaciones tienen la misma pendiente, 4 3 , pero diferentes intersecciones con el eje y, 5 y 8 _ 3 . Entonces, las rectas son paralelas y nunca se intersecan.

b. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones para confirmar tu respuesta de la parte (a). Si el sistema tiene una solución, estima el punto de intersección de las dos rectas. Luego, comprueba si tu estimación es la solución del sistema.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones no tiene solución.

1. Considera el sistema de ecuaciones.

a. Sin representarlo gráficamente, determina si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica cómo lo sabes.

b. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones para confirmar tu respuesta de la parte (a). Si el sistema tiene una solución, estima las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. Luego, comprueba si tu estimación es la solución del sistema.

2. Considera un sistema de ecuaciones sin solución. ¿Qué enunciados acerca de las rectas representadas por este sistema son verdaderos? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Las rectas se intersecan.

B. Las rectas son paralelas.

C. Las rectas tienen diferentes pendientes.

D. Las rectas no tienen puntos en común.

E. Las rectas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones con el eje y

En los problemas 3 a 6, determina con el método de inspección si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica cómo lo sabes.

= −4

En los problemas 7 y 8, determina si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica cómo lo sabes.

y = − 6 5 x − 4 4x + 5y = −10 8. { 2 x + 3y = −3 4x + 6 y = 12

9. Completa los recuadros con dígitos del 1 al 9 para crear un sistema de ecuaciones que no tenga solución. Cada dígito puede usarse una sola vez. x − y = 10 y = x −

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 10 y 11, halla el valor de x

10. −4x − 45 − 6x = −8(2x + 3) − 9x 11. 2(6x − 2) = −4(3x + 1)

12. Representa gráficamente la ecuación 3y − 2x = 6. Luego, describe cómo creaste la gráfica.

13. Nora camina 3 4 de milla en 1 4 de hora. A esta tasa, ¿qué distancia camina Nora por hora?

A. 3 16 de milla

B. 1 3 de milla

C. 1 milla

D. 3 millas

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

Más de una solución

8.EE.C.8.a, 8.EE.C.8.b

1. Noor separó sistemas de ecuaciones en dos grupos, como se muestra en la tabla.

Grupo A

x + 2y = 3

x + 2y = −4

x − y = 6

x − y = 4

3x − 3y = 15

4x − 4y = 40

Grupo B

x + 2y = 3 x + 3y = 4

x − y = 6

x + y = 4

3x − 3y = 15

4x − 3y = 40

Le queda un último sistema de ecuaciones para separar en grupos. ¿Qué grupo es la mejor opción para su último sistema? Explica.

x + y = 3

2 x + 2y = 6

¿Cuántas soluciones tiene?

En los problemas 2 a 4, determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes.

2. { x + y = 3

2 x + 2 y = 10

3. { x + y = 3

2 x + y = 6

4. {y − 1 2 x = 3

2y − x = 6

El problema de los dos puntos

5. ¿Puede un sistema de ecuaciones lineales tener exactamente dos soluciones? Explica.

Construir un sistema

6. Sigue los pasos para completar la tabla.

• Separa las tarjetas en grupos para crear un sistema de ecuaciones para cada número de soluciones. Cada tarjeta puede usarse una sola vez.

• Registra las ecuaciones en la tabla.

• Representa gráficamente el sistema de ecuaciones para confirmar el número de soluciones.

Sistema

Gráfica

Tiene infinitas soluciones

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

Determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes.

1. {x − 2 y = 3 x − 2 y = 7

2. {y = 2 3 x − 8 3y − 2 x = − 24

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo determinar si un sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta. Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

Más de una solución

En esta lección:

• descubrimos que un sistema de ecuaciones que representa dos rectas que son la misma recta tiene infinitas soluciones;

• determinamos que las soluciones posibles de un sistema de ecuaciones lineales consisten en que tenga una única solución, que no tenga solución o que tenga infinitas soluciones.

Ejemplos

1. Considera el sistema de ecuaciones.

a. Sin representarlo gráficamente, determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes. 3x + 4y = 4

−3x + 4

Reescribo el sistema de ecuaciones lineales:

El sistema tiene infinitas soluciones. Las rectas representadas por las ecuaciones tienen la misma pendiente, 3 4 , y la misma intersección con el eje y, 1. Entonces, las rectas representadas por las ecuaciones son iguales y se intersecan en todos los puntos de la recta.

b. Representa gráficamente el sistema para confirmar tu respuesta de la parte (a). Si el sistema tiene una única solución, estima el punto de intersección de las dos rectas. Luego, comprueba si tu estimación es la solución del sistema.

2. Determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes.

{y = 4x + 3

4x + y = 6

4 x + y = 6

y = −4x + 6

Reescribo el sistema de ecuaciones: {y = 4 x + 3

y = −4 x + 6

Reescribe la segunda ecuación en la forma pendiente-intersección para comparar las pendientes y las intersecciones con el eje y

El sistema tiene una única solución. Las rectas representadas por las ecuaciones tienen pendientes diferentes, 4 y −4. Entonces, las rectas se intersecan en un solo punto.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo determinar si un sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

1. ¿Qué frase describe el número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones?

12x + 15y = 9

4x + 5y = 3

A. No tiene solución

B. Una única solución

C. Solo dos soluciones

D. Infinitas soluciones

2. Considera el sistema de ecuaciones. { y = 5 6 x − 2

6y = 5x − 12

a. Sin representarlo gráficamente, determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes.

b. Representa gráficamente el sistema para confirmar tu respuesta de la parte (a). Si el sistema tiene una única solución, estima las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. Luego, comprueba si tu estimación es la solución del sistema.

En los problemas 3 a 8, determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes. 3. { x + y = −4

x + 4y = −16

5. { x + y = 5 5x + 5y = −25

6. { 2 x + y = 3 y − 2 x = 3

7. {5 x − 4y = 8 4 y −5 x = −8

8. { y + 4 = 5(x − 5) 4 + y = 5x

9. Kabir dice que el siguiente sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones porque las rectas representadas por las ecuaciones tienen la misma pendiente. ¿Estás de acuerdo con Kabir? Explica.

10. Una ecuación en un sistema de ecuaciones es 1 2 x − 5y = 20. Escribe una segunda ecuación posible tal que el sistema de ecuaciones tenga el número de soluciones dado.

a. Una única solución b. No tiene solución c. Infinitas soluciones

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 11 y 12, halla el valor de x.

13. Considera el sistema de ecuaciones.

{ y = x + 6 x + 2y = 10

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema de ecuaciones.

14. ¿Cuánto es 8,472,519 redondeado al 1,000,000 más cercano?

A. 8 × 105

B. 8 × 106

C. 9 × 105

D. 9 × 106

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo representar gráficamente para estimar soluciones de sistemas de ecuaciones.

Estimar soluciones

1. Considera la gráfica del sistema de ecuaciones lineales.

− 3y = 9

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

¿Dónde está la solución?

2. Considera la gráfica del sistema de ecuaciones.

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Describe cómo hiciste tu estimación.

c. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

3. Considera la gráfica del sistema de ecuaciones.

{ y = 3 4 x − 9

3y = 10x + 4

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Describe cómo hiciste tu estimación.

c. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

4. Considera la gráfica del sistema de ecuaciones. {2y − x = 18 10y − 9 2 x = 40

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Describe cómo hiciste tu estimación.

c. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

Página de trabajo por relevos

Ronda 2: Determina si la estimación registrada en la ronda 1 es la solución del sistema. Si es la solución, da vuelta a la página y déjala a un lado. Si no es la solución, registra una nueva estimación.

Problema : {

Ronda 1: Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima el punto de intersección de las rectas.

Removable

Nueva estimación:

Ronda 4: Determina si la estimación registrada en la ronda 3 es la solución del sistema. Si es la solución, da vuelta a la página y déjala a un lado. Si no es la solución, registra una nueva estimación.

Estimación: Ronda 3: Determina si la estimación registrada en la ronda 2 es la solución del sistema. Si es la solución, da vuelta a la página y déjala a un lado. Si no es la solución, registra una nueva estimación.

Nueva estimación:

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo representar gráficamente para estimar soluciones de sistemas de ecuaciones.

Considera el sistema de ecuaciones.

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. ¿Es tu estimación de la parte (a) la solución del sistema de ecuaciones? ¿Por qué?

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo representar gráficamente para estimar soluciones de sistemas de ecuaciones.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta. Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo representar gráficamente para estimar soluciones de sistemas de ecuaciones.

Estimar soluciones

En esta lección:

• usamos una representación gráfica para estimar el punto de intersección de dos rectas;

• determinamos si la estimación era la solución del sistema de ecuaciones.

Ejemplos

1. Considera el sistema de ecuaciones.

y = 3 4 x − 1 y = 2x + 3

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones y estima el punto de intersección de las rectas.

Ejemplo:

Estima que el punto de intersección es

Sustituye las coordenadas de x e y en cada ecuación. Si esto da como resultado dos ecuaciones verdaderas, el par ordenado es la solución del sistema.

b. ¿Es tu estimación de la parte (a) la solución del sistema? ¿Por qué?

Sustituye (−3 1 4 , −3 1 2 ) en lugar de (x, y) en y = 3 4 x − 1.

Lado izquierdo: −3 1 2

Si se sustituye −3 1 4 en lugar de x y −3 1 2 en lugar de y se obtiene una ecuación que no es cierta. Entonces, (−3 1 4 , −3 1 2 ) no es la solución del sistema de ecuaciones.

No. Como −3 1 _ 2 ≠ 3 _ 4 (−3 1 _ 4 ) − 1, sé que (−3 1 _ 4 , −3 1 _ 2 ) no es la solución del sistema.

2. Considera la gráfica del sistema de ecuaciones.

x = 2y 4y = x − 11

Las rectas se intersecan apenas por fuera de la gráfica proporcionada. Estima que el punto de intersección es (−11, −5 1 2 )

a. Estima el punto de intersección de las rectas.

Ejemplo: (−11, −5 1 2 )

b. Explica cómo hiciste tu estimación.

Ejemplo: Hice una tabla de valores para las dos ecuaciones y hallé un punto en común, que representa el punto de intersección.

x = 2y

4y = x − 11

c. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

Sustituye (−11, −5 1 2 ) en lugar de (x, y) en x = 2y.

Lado izquierdo: −11

Lado derecho: 2(−5 1 2 ) = −11

Sustituye (−11, −5 1 2 ) en lugar de (x, y) en 4y = x − 11.

Lado izquierdo: 4(−5 1 2 ) = −22

Lado derecho: −11 − 11 = −22

Sustituir −11 en lugar de x y −5 1 2 en lugar de y da como resultado dos ecuaciones verdaderas. Entonces, (−11, −5 1 2 ) es la solución del sistema de ecuaciones.

Como −11 = 2(−5 1 2 ) y 4(−5 1 2 ) = −11 − 11, sé que (−11, −5 1 2 ) es la solución del sistema.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo representar gráficamente para estimar soluciones de sistemas de ecuaciones.

1. Considera el sistema de ecuaciones.

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. ¿Es tu estimación de la parte (a) la solución del sistema? ¿Por qué?

2. Considera el sistema de ecuaciones. { 5 x + 4 y = 20 y = 5 2 x − 4

a. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. ¿Es tu estimación de la parte (a) la solución del sistema? ¿Por qué?

3. Considera la gráfica del sistema de ecuaciones.

{ y = 4 5 x + 6 13x − 10y = 40

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Describe cómo hiciste tu estimación.

c. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

4. Considera la gráfica del sistema de ecuaciones.

y = − 2 3 x + 4 2y = − 1 2 x − 2

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Describe cómo hiciste tu estimación.

c. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 5 a 8, halla el valor de x

5. x 2 = 25 6. x 2 = 2500

7. x 2 = 0.25 8. x 2 = 1 4

9. Sin representarlo gráficamente, determina si el sistema de ecuaciones tiene una solución. Explica.

10. La figura A′B′C′D′E′ es la imagen de la figura ABCDE cuando se le aplica una secuencia de movimientos rígidos. La medida del ∠B es 30°. ¿Cuál es la medida del ∠B′? Explica.

RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES DE MANERA

ALGEBRAICA

Cuando las gráficas se quedan cortas

y = 7x + 3 y = 10x - 5

Mmmmm.

¿Puedes hallar dónde se intersecan estas rectas? ¿Has pensado en usar el álgebra? ¡Fácil! ¡Haré una gráfica! Mmm.

Grrr.

¡Aaaaj!

B

¡Bah! ¿Tú confías en el álgebra? ¡Yo solo confío en lo que ven mis ojos!

En el último tema, aprendiste cómo hallar dónde se intersecan dos rectas representándolas gráficamente. Es un muy buen método y, a menudo, el correcto.

Sin embargo, decir a menudo no es lo mismo que decir siempre.

Si dos rectas se intersecan, digamos, en el punto (2, 3), entonces no es tan difícil representarlas gráficamente para hallar la intersección. Pero, ¿qué sucede si las rectas se intersecan en el punto (2, 21)? ¿O peor aún, en el punto (2.67, 21.67)? Un punto así será casi imposible de hallar en una gráfica dibujada a mano. Esto significa que necesitaremos usar otros métodos.

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo resolver un sistema de ecuaciones escribiendo el sistema como una sola ecuación de una variable.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales sin representarlos gráficamente

1. Considera la gráfica que representa un sistema de ecuaciones.

a. Estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. Determina si tu estimación de la parte (a) es la solución del sistema.

Conexiones entre las ecuaciones

2. Completa los dos problemas de la tabla.

Problema A

Representa gráficamente el sistema de ecuaciones. Estima la solución.

Instrucciones

Solución

Comprobación

y = −3x + 2 y = 8

Problema B

Resuelve la ecuación.

8 = −3x + 2

3. Considera el sistema de ecuaciones del problema 1. { y = 7x − 8 y = 3

a. Escribe una ecuación de una variable para representar el sistema de ecuaciones.

b. Usa tu ecuación para resolver el sistema. Comprueba tu solución.

El método de sustitución

En los problemas 4 y 5, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

4. { y = x + 10 y = 3x

5. { 1 2 x − 12 = y y = 2 x − 3

Sustituir expresiones

En los problemas 6 a 9, determina el número de soluciones para el sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene una única solución, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución y comprueba tu solución.

6. {3x = 3y − 6 3x = 2y

7. { 2x + 3 = y + 2 y + 2 = 4x

8. { 1 3 x = 5y − 1 2 + 5y = 1 3 x

{5(−2 + 3y) = x 15y − 10 = 2x

© Great Minds

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo resolver un sistema de ecuaciones escribiendo el sistema como una sola ecuación de una variable.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

{3y − 12 = 2x y + 8 = 2x

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo resolver un sistema de ecuaciones escribiendo el sistema como una sola ecuación de una variable.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo resolver un sistema de ecuaciones escribiendo el sistema como una sola ecuación de una variable.

California CCSSee-M

8.EE.C.8.b

Resolver sistemas de ecuaciones lineales sin representarlos gráficamente

En esta lección:

• usamos el método de sustitución para escribir un sistema de ecuaciones de una variable;

• resolvimos un sistema de ecuaciones lineales usando el método de sustitución.

Ejemplos

Determina el número de soluciones para el sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene una única solución, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución y comprueba tu solución.

1. ⎰ ⎱ y = 5x − 2 y = −2x + 5

Dado que y = 5x − 2, sustituye

5x − 2 en lugar de y en la ecuación y = −2x + 5.

y = −2x + 5

5x − 2 = −2x + 5

7x − 2 = 5

7x = 7 x = 1

Para hallar el valor de y, sustituyo 1 en lugar de x en cualquiera de las ecuaciones.

y = 5(1) − 2 = 3

El sistema tiene una única solución, (1, 3).

Para comprobar, sustituye por los valores de x y y en ambas ecuaciones.

Comprobación:

Sustituye (1, 3) en lugar de (x, y) en y = 5x − 2.

Lado izquierdo: 3

Lado derecho: 5(1) − 2 = 3

Sustituye (1, 3) en lugar de (x, y) en y = −2x + 5.

Lado izquierdo: 3

Lado derecho: −2(1) + 5 = 3

Dado que 3 = 5(1) − 2 y 3 = −2(1) + 5, sé que (1, 3) es la solución del sistema.

2. {

15y − 60 = 3x y − 12 = 3x

Ambas ecuaciones tienen 3x; entonces, podemos sustituir y − 12 en lugar de 3x en 15y − 60 = 3x.

15y − 60 = 3x

15y − 60 = −y − 12

16y − 60 = −12

16y = 48 y = 3

Para hallar el valor de x, sustituyo 3 en lugar de y en cualquiera de las ecuaciones.

−3 − 12 = 3x −15 = 3x −5 = x

El sistema tiene una única solución, (−5, 3).

Comprobación:

Sustituye (−5, 3) en lugar de (x, y) en 15y − 60 = 3x.

Lado izquierdo: 15(3) − 60 = −15

Lado derecho: 3(−5) = −15

Sustituye (−5, 3) en lugar de (x, y) en y − 12 = 3x.

Lado izquierdo: −3 − 12 = −15

Lado derecho: 3(−5) = −15

Como 15(3) − 60 = 3(−5) y −3 − 12 = 3(−5), sé que (−5, 3) es la solución del sistema. 3. {1 3 (6x + 3) = 3y 2x + 3 = 3y

Para que los valores de x y y sean una solución del sistema de ecuaciones, los valores deben hacer que ambas ecuaciones sean verdaderas.

El sistema no tiene solución.

3 (6x + 3) = 3y

3 (6x + 3) = 2x + 3 2x + 1 = 2x + 3 1 = 3

Como 1 = 3 no es una ecuación verdadera, la ecuación 1 3 (6x + 3) = 2x + 3 no tiene solución. Entonces, si no hay valores de x que hagan que la ecuación sea verdadera, no existe ningún par ordenado que sea la solución del sistema de ecuaciones.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo resolver un sistema de ecuaciones escribiendo el sistema como una sola ecuación de una variable.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

En los problemas 1 a 8, determina el número de soluciones del sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene una única solución, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución y comprueba tu solución.

1. { y = 1 2 x + 5 y = 9

2. {y = 2x − 8 y = − 8x − 3

3. {90 = x 10y − 50 = x 4. {y = 0.2x − 1 x + 7.4 = y

{ y = 1 4 x − 2 y = 4 + 1 4 x 6. { 2 3 x − 7 = 3y 4x − 21 = 3y

7. {y + 14 = 4(x − 5) 2(x + 6) = y + 14

{ 6y = 3 2 (2 − 6x) 6y = − 9x + 3

9. Jonás resolvió el sistema de ecuaciones {x = 2y − 9

8y + 3 = x como se muestra, pero cometió un error en su trabajo. Describe el error que cometió Jonás.

x = 2y − 9

8y + 3 = 2y − 9

6y + 3 = −9

6y = −12 y = −2

8y + 3 = x

8(−2) + 3 = x

−16 + 3 = x −13 = x

La solución es (−2, −13).

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 10 a 13, halla el valor de x.

10. x 2 = 36

x 2 = 3600 12. x 2 = 0.36

x 2 = 9 25

14. Determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes.

15. ¿Qué secuencia de transformaciones asigna el paralelogramo ABCD al paralelogramo A

A. Una traslación de 9 unidades hacia abajo y 6 unidades hacia la izquierda

B. Una reflexión sobre el eje x y una traslación de 10 unidades hacia la izquierda

C. Una reflexión sobre el eje y y una traslación de 9 unidades hacia abajo

D. Una rotación de 180° alrededor del origen en sentido contrario a las manecillas del reloj y una traslación de 3 unidades hacia abajo

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo usar el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.

El método de sustitución

En los problemas 1 y 2, usa el diagrama de cinta para hallar los valores de x y y.

5 7 x y x

2 10 xy y x

Diagramas de cinta y sistemas

3. Considera el diagrama de cinta y el sistema de ecuaciones.

xy y x { x + y = 10 y = x + 2

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.

De una forma u otra

4. Halla una expresión equivalente a x. Luego, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

{x + 2y = 2

5x + y = 10

5. Halla una expresión equivalente a y. Luego, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

{x + 2y = 2

5x + y = 10

Hallar una manera de sustituir

6. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

2x + 6y = −2

4x = 2y + 10

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo usar el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

{3y − 21 = 2 x y − 4 x = 2

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo usar el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo usar el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.

El método de sustitución

En esta lección:

• usamos diagramas de cinta para hallar los valores de x y y;

• usamos el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones;

• aplicamos las propiedades de igualdad para reescribir una ecuación del sistema de ecuaciones antes de usar el método de sustitución para resolverlo.

Ejemplos

1. Usa el diagrama de cinta para hallar los valores de x y y

Esta cinta muestra que x + x + y = 17

Escribir las dos cintas como un único diagrama de cinta puede ser útil para hallar el valor de x

El diagrama de cinta muestra que 5 más que las tres x es igual a 17

x = 4

Halla el valor de y.

El valor de x es 4 y el valor de y es 9.

+ 5 = y 9 = y

Esta cinta muestra que x + 5 = y

En los problemas 2 y 3, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.

2. { x = 2y − 10

y = 5x − 4

Dado que x = 2y − 10, sustituye

2y − 10 en lugar de x. Luego, halla el valor de y

Halla el valor de x.

La solución es (2, 6).

y = 5x − 4

y = 5(2y − 10) − 4

y = 10y − 50 − 4

y = 10y − 54

−9y = −54

y = 6

x = 2(6) − 10 = 12 − 10 = 2

Dado que 2 = 2(6) − 10 y 6 = 5(2) − 4, sé que (2, 6) es una solución del sistema.

3. {6x = 3 − 11y 3x = 10y + 48

Sustituye 20y + 96 en lugar de 6x en la primera ecuación. Luego, halla el valor de y

Halla el valor de x.

3x = 10y + 48

2(3x) = 2(10y + 48)

6x = 20y + 96

6x = 3 − 11y

20y + 96 = 3 − 11y

31y + 96 = 3

31y = −93 y = −3

6x = 3 − 11y

6x = 3 − 11(−3)

6x = 3 + 33

6x = 36 x = 6

Multiplica ambos lados de la segunda ecuación por 2 de manera que cada ecuación tenga el término 6x en común.

La solución es (6, −3).

Dado que 6(6) = 3 − 11(−3) y 3(6) = 10(−3) + 48, sé que (6, −3) es la solución del sistema.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo usar el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.

En los problemas 1 y 2, usa el diagrama de cinta para hallar los valores de x y y.

En los problemas 3 a 6, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

{x = − 4 y + 4 y = 2 x − 1

{ x + y = 4 3x + 2y = 7

2y = − 9x + 3 4y = 2x − 4

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 7 a 10, resuelve la ecuación.

4x − 3y = 7 12y = 8x + 4

7. x 2 =

11. Considera el sistema de ecuaciones.

{y = − 3 5 x + 5 y = 2x − 1

a. Representa gráficamente el sistema y estima las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

b. ¿Es tu estimación una solución del sistema? Explica.

12. La suma de tres números pares consecutivos es −108. Halla los tres números.

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

Usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones (opcional)

1. Empareja cada diagrama de cinta con el sistema de ecuaciones que representa.

Sistema de ecuaciones A

x + y = 10 y = 2 x + 3

Sistema de ecuaciones B

x + y = 10 y = x + 3

Diagrama de cinta 1 10 xy 3 xx y

Sistema de ecuaciones

Diagrama de cinta 3 y x x 3 y 10

Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuaciones C { x + y + 3 = 10 y = 2 x

Sistema de ecuaciones D

2 x + y = 10 x = y + 3

Diagrama de cinta 2 10 xy 3 xx y

Sistema de ecuaciones

Diagrama de cinta 4 10 y y xx 3 x

Sistema de ecuaciones

Resolver sistemas con diagramas de cinta

2. Usa el diagrama de cinta del problema 1 para resolver el sistema de ecuaciones. Luego, comprueba tu respuesta.

2 x + y = 10 x = y + 3

3. Dibuja un diagrama de cinta y úsalo para resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Luego, comprueba tu respuesta.

{ y = 5 x + 3 x + y = 75

Una perspectiva diferente

4. Dibuja un diagrama de cinta y úsalo para resolver el sistema de ecuaciones.

+ 3 y = 10 3 x + 8 y = 28

Pedro dibujó los siguientes diagramas de cinta para resolver el sistema de ecuaciones.

Primer diagrama de cinta:

Segundo diagrama de cinta:

Tercer diagrama de cinta:

a. Explica el trabajo de Pedro.

b. Usa el tercer diagrama de cinta de Pedro para resolver el sistema de ecuaciones.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones.

Considera el sistema de ecuaciones.

a. Dibuja un diagrama de cinta para representar el sistema de ecuaciones.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

b. Usa tu diagrama de cinta de la parte (a) para resolver el sistema de ecuaciones.

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones.

Usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones (opcional)

En esta lección:

• creamos diagramas de cinta para representar y resolver sistemas de ecuaciones;

• hallamos la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando un diagrama de cinta.

Ejemplo

Resuelve el sistema de ecuaciones usando un diagrama de cinta o el método de sustitución. Comprueba tu solución.

Esta cinta representa y = 2x + 1

Esta cinta representa

2 x + y = 13

Este diagrama de cinta representa la ecuación

2 x + 2x + 1 = 13

x = 3

Halla el valor de y.

y = 2x + 1

y = 2(3) + 1

y = 7

La solución del sistema es (3, 7).

Para escribir las dos cintas como un único diagrama de cinta, sustituye y por x + x + 1

Escribe una ecuación a partir del diagrama de cinta y halla el valor de x

Dado que 7 = 2(3) + 1 y 2(3) + 7 = 13, sé que (3, 7) es la solución del sistema.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo usar diagramas de cinta para resolver sistemas de ecuaciones.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

En los problemas 1 a 4, resuelve el sistema de ecuaciones usando un diagrama de cinta o el método de sustitución. Luego, comprueba la solución.

1. ⎰ ⎱ x + y = 58 y = 4 x + 13

2. ⎰ ⎱ x = y + 2 3 y + x = 50

3. {2 x + 4 y = 84

2 x − 2 = y

2 x + 4 y = 24

3 x + 5 y = 31

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 5 a 8, halla el valor de x

5. x 3 = 8

x 3 = 0.008

6. x 3 = 8000

8. x 3 = 1 _ 8

9. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

4 y − 16 = 6 x y − 13 = 6 x

10. Un tren viaja a una velocidad constante. En la tabla, se muestra el tiempo en horas y la distancia en millas que recorre el tren.

a. Representa gráficamente la relación entre el tiempo y la distancia.

Distancia (millas)

Tiempo (horas)

b. ¿Cuánto tiempo tardará el tren en recorrer una distancia de 550 millas?

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo reescribir un sistema de ecuaciones antes de sustituir para resolver.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

Reescribir ecuaciones para resolver un sistema de ecuaciones

1. Considera el sistema de ecuaciones.

2 x = 5 y + 1

5 x = 3 y + 12

Lily, Vic y Shawn reescriben el sistema de maneras diferentes.

Sistema de Lily

5 x = 25 2 y + 5 2 5 x = 3 y + 12

Sistema de Vic

2 x = 5 y + 1 2 x = 6 5 y + 24 5

a. ¿Cuál de los sistemas usarías para hallar la solución?

Sistema de Shawn

b. ¿Qué hizo esta persona para reescribir la ecuación del sistema que elegiste?

Lirio Vic Shawn

c. Usa el sistema que elegiste para hallar la solución del sistema de ecuaciones original.

Duplicar la multiplicación

2. Abdul reescribe el sistema de ecuaciones del problema 1 de la siguiente manera:

10 x = 25 y + 5

10 x = 6 y + 24

a. ¿Qué hizo Abdul para reescribir el sistema?

b. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el sistema reescrito que elegiste. Comprueba tu solución.

Volver a elegir

3. Considera el sistema de ecuaciones.

8 x + 2 y = 4 4 x − 4 y = −18

Lily, Vic y Shawn reescriben el sistema de maneras diferentes.

Sistema de Lily

8 x + 2 y = 4

8 x = −36 + 8 y

Sistema de Vic

4 x = 2 − y 4 x − 4 y = −18

a. ¿Cuál de los sistemas usarías para hallar la solución?

Sistema de Shawn

−4 y = −8 + 16 x 4 x − 4 y = −18

b. ¿Qué hizo esta persona para reescribir la ecuación del sistema que elegiste?

Lirio Vic Shawn

c. Usa el sistema que elegiste para hallar la solución del sistema original. Comprueba tu solución.

Sustituir y resolver

En los problemas 4 y 5, determina el número de soluciones del sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene una única solución, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución y comprueba tu respuesta.

4. {6 x − 4 y = 12

3 x + 8 y = 36

5. {6 x − 12 y = 15

8 x − 16 y = 20

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo reescribir un sistema de ecuaciones antes de sustituir para resolver.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Comprueba tu solución.

4 x + 2 y = 8 2 x − 4 y = 9

Self ReflectionPuedo reescribir un sistema de ecuaciones antes de sustituir para resolver. Autorreflexión

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo reescribir un sistema de ecuaciones antes de sustituir para resolver.

CCSSee-M

8.EE.C.8.b

Reescribir ecuaciones para resolver un sistema de ecuaciones

En esta lección:

• usamos el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones lineales;

• aplicamos la propiedad de igualdad de la multiplicación y la propiedad de igualdad de la suma para reescribir una o ambas ecuaciones del sistema de ecuaciones antes de usar el método de sustitución para resolverlo.

Ejemplos

1. {

4 y − 4 x = 12

3 x = 8 y + 16

Multiplica ambos lados de la primera ecuación por 2 de manera que cada ecuación tenga el término 8y

Halla el valor de y.

4y − 4x = 12

2(4y − 4x) = 2(12)

8y − 8x = 24

8y = 8x + 24

3x = 8y + 16

3x = (8x + 24) + 16

3x = 8x + 40

−5 x = 40

x = −8

4y − 4x = 12

4 y − 4(−8) = 12

4y + 32 = 12

4y = −20 y = −5

La primera ecuación muestra 8y = 8x + 24, entonces, sustituye 8x+ 24 en lugar de 8y en la segunda ecuación y halla el valor de x

El sistema tiene una única solución, (−8, −5)

Como 4(−5) − 4(−8) = 12 y 3(−8) = 8(−5) + 16, sé que (−8, −5) es la solución del sistema.

5 x + 3 y = −2 2 x − 3 5 y = 1

Multiplica ambos lados de la primera ecuación por 2. Multiplica ambos lados de la segunda ecuación por 5. Ahora, ambas ecuaciones tienen el término 10x

La primera ecuación muestra 10x = −4 − 6y; entonces, sustituye 10x en lugar de −4 − 6y en la segunda ecuación y halla el valor de y

Halla el valor de x

5 x + 3y = −2

2(5x + 3y) = 2(−2) 10x + 6y = −4 10x = −4 − 6y 2x − 3 _ 5 y = 1 5(2 x − 3 5 y) = 5(1)

x − 3y = 5

− 6y) − 3y = 5

− 9y = 5 −9y = 9 y = −1

5x + 3y = −2 5x + 3(−1) = −2 5x − 3 = −2 5x = 1 x = 1 5

El sistema tiene una única solución, ( 1 5 , −1).

Como 5( 1 5 ) + 3(−1) = −2 y 2 ( 1 5 ) − 3 5 (−1) = 1, sé que ( 1 5 , −1) es la solución del sistema. Usa la propiedad de igualdad de la suma para despejar 10x en la primera ecuación.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo reescribir un sistema de ecuaciones antes de sustituir para resolver.

California CCSSee-M 8.EE.C.8.b

En los problemas 1 a 5, determina el número de soluciones para el sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene una única solución, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución y comprueba tu solución.

1. {8 x = 3 y + 6

2 x = −6 y + 42

2. {2 x = −6 y − 22

3 x = 5 y − 5

9 x + 6 y = 15 15 x + 10 y = 30

8 y + 3 x = 12 3 y − 2 x = −8

5. {9 x − 10 y = 10 15 y + 3 x = −4

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 6 a 9, halla el valor de x. 6. x 3 =

10. Considera el sistema de ecuaciones.

{2 y + 24 = −8 x y − 2 x = 9

¿Qué par ordenado es la solución del sistema de ecuaciones?

A. (2, −7 2 )

B. ( 7 2 , 2)

C. ( 5 2 , −2)

D. (−2, −5 2 )

11. ¿Cuál es la longitud del BC ?

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson

Puedo usar diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Elegir un método de resolución

Resolver el sistema de ecuaciones

En los problemas 1 a 5, indica el método que usarías para resolver cada sistema de ecuaciones.

Sistema de ecuaciones Método

1. {y = 1 2 (x − 8) y = 1 2 x + 4

2. {x = 4y y = 1 2 x + 3

3. {y = 1 4 x + 2 3x − 2y = 6

4. {3y = − 2x + 6 3y − 3 = − 2 (x + 1)

5. {2x + 5y = 10 3x + 10y = 30

Paseo por la galería

¿Qué observas acerca de los métodos que eligieron otras parejas de la clase?

¿Qué comentarios se hicieron acerca de tu trabajo? ¿Estás o no estás de acuerdo con esos comentarios? Explica.

Sistema de paseo por la galería

Removable

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo usar diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Considera el sistema de ecuaciones.

a. Resuelve el sistema de ecuaciones usando cualquier método. Comprueba tu solución.

b. Explica por qué elegiste tu método.

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo usar diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo usar diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Elegir un método de resolución

En esta lección:

California CCSSee-M 8.EE.C.8.a, 8.EE.C.8.b

• determinamos el método de resolución más eficiente para un sistema de ecuaciones;

• analizamos los métodos usados por diferentes estudiantes para hallar la solución de un sistema de ecuaciones.

Ejemplos

Resuelve el sistema de ecuaciones dado usando cualquier método.

y = 2x − 3 y − 3 = 2 3 (x + 3)

Esta ecuación está en la forma punto-pendiente.

x y = 2x – 3 y – 3 = (x + 3) 2 3

La representación gráfica es una buena estrategia porque las ecuaciones están dadas en las formas pendiente-intersección y punto-pendiente.

Esta ecuación está en la forma pendienteintersección.

La solución es (6, 9)

Dado que 9 = 2(6) 3 y 9 − 3 = 2 3 (6 + 3), sé que (6, 9) es la solución del sistema.

2. {3x + 4y = 10 2x + 6y = − 3

Representar gráficamente estas ecuaciones es difícil porque las intersecciones con los ejes x y y no son enteros.

2x y 3x comparten un múltiplo común de 6x. Multiplica ambos lados de la primera ecuación por 2 para obtener 6x

3x + 4y = 10

2(3x + 4y) = 2(10) 6x + 8y = 20 2x + 6y = 3

3(2x + 6y) = 3( 3) 6x + 18y = 9 6x = 9 18y 6x + 8y = 20 ( 9 18y) + 8y = 20

Multiplica ambos lados de la segunda ecuación por 3 para obtener 6x. Luego, usa la propiedad de igualdad de la suma para despejar 6x

Sustituye −9 − 18y en lugar de 6x en la primera ecuación y resuelve y

Halla el valor de x 3x + 4y = 10 3x + 4(−2.9) = 10 3x 11.6 = 10 3x = 21.6 x = 7.2

La solución es (7.2, 2.9)

Como 3(7.2) + 4( 2.9) = 10 y 2(7.2) + 6( 2.9) = 3, sé que (7.2, 2.9) es la solución del sistema.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo usar diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

En los problemas 1 a 5, determina el número de soluciones para el sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene una única solución, resuelve el sistema de ecuaciones representando gráficamente o usando el método de sustitución y comprueba tu respuesta. Si quieres resolver el sistema mediante la representación gráfica, usa las gráficas proporcionadas al final del problema 5.

1. {y = 2 3 x + 6 y = 2 3 (x + 6)

{y = − 2 3 x 4 x + 2y = 6

3. { 2x + 5y = 10 3x + 10y = 30

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 6 a 9, halla el valor de x

6. x2 = 45 7. x2 = 98

8. x2 = 48 9. x2 = 200

10. Determina si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Explica cómo lo sabes.

4x + 20 = 2y y + 2x = 6

11. Considera los siguientes números: 1. 8, √ 5, 3 4 , 1 2 π, √ 1, 1 3 10 .

a. Marca y rotula la ubicación aproximada de cada número en la recta numérica.

b. Ordena cada número como racional o irracional.

ESCRIBIR Y RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Dos rectas que se cruzan a lo lejos

¡Ja! ¡Voy más rápido que tú!

¡Eso significa que te alcanzaré!

0.029 mi/h

Veamos... serían... espera, ¿621 horas? Eso es más de 3 semanas...

1 metro

0.028999 mi/h

Claro, pero ¿calculaste cuándo?

Pensándolo bien, tal vez me vaya a casa.

Me lo imaginaba...

Un par de rectas en el mismo plano, mientras no sean paralelas, tarde o temprano se intersecarán.

Pero, a veces, sucede mucho más tarde.

Observa que las dos rectas que representan la ubicación de los caracoles tienen pendientes muy semejantes. Entonces, aunque el caracol rezagado se desplaza con mayor velocidad, pasará mucho tiempo antes de que su recta se interseque con la del otro caracol.

¿Cuánto tiempo exactamente? Nuestros métodos gráficos y algebraicos nos ayudan a responder perfectamente este tipo de preguntas.

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas matemáticos.

Escribir y resolver sistemas de ecuaciones para problemas matemáticos

1. Shawn cuenta un acertijo.

Estoy pensando en dos números.

La suma de los dos números es 164

La diferencia entre los dos números es 358.

¿Cuáles son mis números?

Resolver problemas numéricos

2. Usa la rutina Lee-Representa-Resuelve-Resume para escribir y resolver un sistema de ecuaciones a fin de hallar los números de Shawn. Comprueba tu solución.

Lee

Representa

Resolver

Resumir

3. Un número es 6 menos que 2 multiplicado por otro número. La suma de los dos números es 6 ¿Cuáles son los números?

Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar los dos números.

4. Escribe tu propio acertijo usando “Estoy pensando en dos números”.

a. Elige dos enteros entre −100 y 100. y

b. Escribe un acertijo que incluya dos pistas que puedan usarse para hallar los números de la parte (a).

c. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para poner a prueba tu acertijo. Comprueba tu solución.

d. Intercambia acertijos con un compañero o una compañera. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para responder el acertijo de tu compañero(a). Comprueba tu solución.

Resolver problemas de geometría

En los problemas 5 a 7, escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para la situación. Comprueba tu solución.

5. En el diagrama, una transversal corta las rectas paralelas �� y ��. Halla los valores de x y de y

6. Dos ángulos son complementarios. La medida de un ángulo es 10° más que dos tercios de la medida del otro ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo más grande?

7. La longitud de un rectángulo es 4 veces su ancho. El perímetro del rectángulo es 45 pulgadas. ¿Cuál es el área del rectángulo en pulgadas cuadradas?

Removable

La representación en Una historia de razones

Lee

Lee el problema completo. Pregúntate:

• ¿Qué me pide hallar el problema?

Luego, vuelve a leer una parte a la vez. Mientras relees, pregúntate:

• ¿Qué sé?

Representa la situación usando herramientas como tablas, gráficas, diagramas y ecuaciones.

Representa

Representa el problema usando el modelo que hayas elegido. Pregúntate:

• ¿Qué rótulos uso en la tabla, la gráfica o el diagrama?

• ¿Cómo defino las variables?

• ¿Están claros en el modelo lo conocido y lo desconocido?

Agrega lo que falte a tu modelo o corrígelo según sea necesario.

Resolver

Resuelve el problema para determinar si tu resultado responde la pregunta. Pregúntate:

• ¿Tiene sentido mi respuesta?

• ¿Responde mi resultado a la pregunta?

Si la respuesta es negativa, corrige el modelo o crea uno nuevo. Luego, vuelve a hacerte estas preguntas usando el nuevo resultado.

Resumir

Resume tu resultado y prepárate para justificar tu razonamiento.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas matemáticos.

Un número es 8 menos que 3 multiplicado por otro número. La suma de los dos números es 20

Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar los dos números. Comprueba tu respuesta.

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas matemáticos.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas matemáticos.

Escribir y resolver sistemas de ecuaciones para problemas matemáticos

En esta lección:

• escribimos sistemas de ecuaciones para problemas matemáticos;

• resolvimos sistemas de ecuaciones para problemas matemáticos.

Ejemplos

Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para la situación. Comprueba tu solución.

1. Dos ángulos son suplementarios. La medida de un ángulo es 12° más que 13 veces la medida del otro ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo más pequeño?

Sea x la medida de un ángulo en grados y sea y la medida del otro ángulo en grados.

x + y = 180

x = 12 + 13y

x + y = 180

(12 + 13y) + y = 180

12 + 14y = 180

Sustituye 12 + 13y en lugar de x y halla el valor de y

Las medidas de los ángulos suplementarios suman 180°

14y = 168 y = 12

x = 12 + 13y

x = 12 + 13(12)

x = 12 + 156

x = 168

Comprobación:

Sustituye (168, 12) en lugar de (x, y)

en x + y = 180

Lado izquierdo: 168 + 12 = 180

Lado derecho: 180

Sustituye (168, 12) en lugar de (x, y)

en x = 12 + 13y

Lado izquierdo: 168

Lado derecho: 12 + 13(12) = 12 + 156 = 168

Dado que 168 + 12 = 180 y 168 = 12 + 13(12), sé que (168, 12) es la solución del sistema.

La medida del ángulo más pequeño es 12°.

2. La suma de dos números es 22 y la diferencia de los dos números es 90. ¿Cuáles son los números?

Sea x un número, y sea y el otro número.

x + y = 22

En la pregunta, se pide hallar la medida del ángulo más pequeño.

La solución del sistema es (168, 12); entonces, la respuesta a la pregunta es 12°

Elige una ecuación y despeja una de las variables.

x − y = 90

x = 90 + y

x + y = 22

(90 + y) + y = 22

90 + 2y = 22

2y = −68 y = −34

x + y = 22

x + (−34) = 22

x − 34 = 22

x = 56

La primera ecuación representa la suma. La segunda ecuación representa la diferencia.

Comprobación:

Sustituye (56, −34) en lugar de (x, y) en x + y = 22.

Lado izquierdo: 56 + (−34) = 56 − 34 = 22

Lado derecho: 22

Sustituye −34 en lugar de y en alguna de las ecuaciones para hallar el valor de x

Sustituye (56, −34) en lugar de (x, y) en x − y = 90.

Lado izquierdo: 56 − (−34) = 56 + 34 = 90

Lado derecho: 90

Dado que 56 + (−34) = 22 y 56 − (−34) = 90, sé que (56, −34) es la solución del sistema.

Los dos números son −34 y 56.

Asegúrate de responder la pregunta.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas matemáticos.

1. Lily cuenta un acertijo.

8.EE.C.8.c

Estoy pensando en dos números. Un número es 5 más que dos veces el otro número. La suma de los dos números es 56. ¿Cuáles son mis números?

¿Qué sistema de ecuaciones puedes resolver para hallar los números de Lily?

A. {x = y + 5 x + y = 56

x = 5y + 2 x + y = 56

C. {x = 2y + 5 x − y = 56 D. {x = 2y + 5 x + y = 56

En los problemas 2 a 7, escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para la situación. Comprueba tu solución.

2. Halla los valores de x y de y. ( y – 14)°

3. Un número es 13 menos que 4 multiplicado por otro número. La suma de los dos números es 32. ¿Cuáles son los dos números?

4. Dos ángulos son suplementarios. La medida de un ángulo es 6° más que 2 veces la medida del otro ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo más pequeño?

5. La suma de dos números es 13. La diferencia entre los dos números es 87. ¿Cuáles son los dos números?

6. Un número es 2 3 de otro número. Un tercio de la suma de los dos números es 5 6 . ¿Cuáles son los dos números?

7. El ancho de un rectángulo es 5 más que 1 4 de su longitud. El perímetro del rectángulo es 70 unidades. ¿Cuál es el área del rectángulo?

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 8 a 11, calcula el área aproximada del círculo con el radio r dado, medido en pulgadas. Usa 3.14 para π. Redondea tu respuesta al centésimo de pulgada cuadrada más cercano.

12. Resuelve el sistema de ecuaciones usando la sustitución. Comprueba tu solución. {10x − 8y = 14 5x + 20y = 55

13. La longitud de un prisma rectangular recto es 3 1 3 pies. El ancho del prisma es 1 1 4 pies. El volumen del prisma es 16 2 3 pies cúbicos. ¿Cuál es la altura del prisma?

8. r = 4 9. r = 7

10. r = 4.2 11. r = 0.5

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas históricos.

Resolver problemas históricos mediante sistemas de ecuaciones

Aves en equilibrio

1. Usa un sistema de ecuaciones para hallar el peso de 1 golondrina y de 1 gorrión en jin.

1 Jin × 5 × 5

Golondrina Gorrión

a. Define las variables de esta situación. La variable x se ha definido para ti.

Sea x el peso de 1 golondrina en jin.

Sea y

b. Escribe una ecuación que represente cada balanza.

c. Resuelve el sistema de ecuaciones para determinar el peso de 1 golondrina y de 1 gorrión en jin.

Dinero a cambio de ganado

2. Usa un sistema de ecuaciones para hallar el valor de 1 buey y de 1 oveja en liang de plata.

a. Define las variables de esta situación.

b. Escribe una ecuación que represente cada intercambio.

c. Resuelve el sistema de ecuaciones para determinar el valor de 1 buey y de 1 oveja en liang de plata.

3. El problema 2 se basa en un problema de un antiguo texto matemático chino titulado Nueve capítulos sobre el arte matemático. Aquí está una traducción al inglés de ese problema:

"Ahora, hay 5 vacas [y] 2 ovejas que cuestan 10 liang de plata, mientras que 2 vacas [y] 5 ovejas cuestan 8 liang de plata. Di: ¿Cuál es el costo de una vaca y una oveja, respectivamente?"1

a. Traza una imagen para representar esta situación.

1 Lui Hui, traducido de Nine Chapters of the Mathematical Art, 408. ©

b. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar el costo de 1 vaca y de 1 oveja en liang de plata.

© Great Minds PBC

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas históricos.

El costo total de 9 bueyes y 5 ovejas es 93 liang de plata. Dados 6 bueyes y 3 ovejas, el costo total es 60 liang de plata.

¿Cuál es el costo de 1 buey? ¿Cuál es el costo de 1 oveja? Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar cada costo.

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas históricos.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas históricos.

Resolver

problemas históricos mediante sistemas de ecuaciones

En esta lección:

• citamos problemas del texto Nueve capítulos sobre el arte matemático (Nine Chapters on the Mathematical Art);

• usamos sistemas de ecuaciones para resolver problemas históricos.

Ejemplos

1. Hay 2 caballos militares y 3 caballos comunes. En conjunto, 1 caballo militar y 1 caballo común pueden transportar 23 dan de suministros. El grupo completo de caballos puede transportar 52 dan de suministros. Un dan es una unidad de masa.

¿Cuántos dan de suministros puede transportar 1 caballo militar? ¿Cuántos dan de suministros puede transportar 1 caballo común?

Sea m la cantidad que puede transportar 1 caballo militar en dan y sea r la cantidad que puede transportar 1 caballo común en dan.

1 caballo militar y 1 caballo común pueden transportar 23 dan de suministros.

Comprobación:

{m + r = 23

2 m + 3 r = 52

m + r = 23

r = 23 − m

2m + 3r = 52

2m + 3(23 − m) = 52

2m + 69 − 3m = 52

69 − m = 52

17 = m

m + r = 23

17 + r = 23

r = 6

Sustituye (17, 6) en lugar de (m, r) en m + r = 23.

Lado izquierdo: 17 + 6 = 23

Lado derecho: 23

Usa la pregunta del planteamiento como ayuda para determinar los valores desconocidos.

2 caballos militares y 3 caballos comunes pueden transportar 52 dan de suministros.

Sustituye (17, 6) en lugar de (m, r) en 2m + 3r = 52.

Lado izquierdo: 2(17) + 3(6) = 34 + 18 = 52

Lado derecho: 52

Dado que 17 + 6 = 23 y 2(17) + 3(6) = 52, sé que (17, 6) es la solución del sistema.

1 caballo militar puede transportar 17 dan de suministros y 1 caballo común puede transportar 6 dan de suministros.

2. Se necesita una cuerda nueva para dos pozos de agua a fin de amarrar una cubeta y sacar agua. Una cuerda con una longitud de 11 zhang se corta en dos trozos. El primer trozo es 4 zhang más largo que el segundo. Un zhang es una unidad de longitud.

¿Cuánto mide cada trozo de cuerda de largo?

Sea x la longitud del primer trozo de cuerda en zhang y sea y la longitud del segundo trozo de cuerda en zhang.

Usa la pregunta del planteamiento como ayuda para determinar los valores desconocidos.

x + y = 11

x = y + 4

x + y = 11

( y + 4) + y = 11

2y + 4 = 11

2y = 7 y = 7 2

y = 3.5

x + y = 11

x + 3.5 = 11

x = 7.5

La cuerda mide 11 zhang de largo y se corta en dos trozos.

El primer trozo de cuerda es 4 zhang más largo que el segundo trozo de cuerda.

Comprobación:

Sustituye (7.5, 3.5) en lugar de (x, y) en x = y + 4

Lado izquierdo: 7.5

Lado derecho: 3.5 + 4 = 7.5

Sustituye (7.5, 3.5) en lugar de (x, y)

en x + y = 11

Lado izquierdo: 7.5 + 3.5 = 11

Lado derecho: 11

Dado que 7.5 = 3.5 + 4 y 7.5 + 3.5 = 11, sé que (7.5, 3.5) es la solución del sistema.

La longitud del primer trozo de cuerda es 7.5 zhang y la longitud del segundo trozo de cuerda es 3.5 zhang.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo escribir y resolver sistemas de ecuaciones que representan problemas históricos.

En los problemas 1 a 3, escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para responder la pregunta. Luego, comprueba la solución.

1. Hay 1 vaca y 3 caballos. En conjunto, su costo es igual al costo de 1 caballo y 25 liang de plata. El costo de 2 vacas y 1 caballo es igual al costo de 2 caballos.

¿Cuál es el costo de cada vaca y cada caballo?

2. Hay 3 caballos militares y 4 caballos comunes. En conjunto, 1 caballo militar y 1 caballo común pueden transportar 40 dan de suministros. El grupo completo de caballos puede transportar 137 dan de suministros. Un dan es una unidad de masa.

¿Cuántos suministros puede transportar 1 caballo común? ¿Cuántos suministros puede transportar 1 caballo militar?

3. En dos pozos de agua se necesita una cuerda nueva para amarrar un balde y sacar agua. Una cuerda con una longitud de 7 zhang se corta en dos trozos. El primer trozo de cuerda es 2 zhang más largo que el segundo trozo de cuerda. ¿Cuánto mide cada trozo de cuerda de largo? Un zhang es una unidad de longitud.

4. Lee el siguiente problema extraído de la traducción del texto Nueve capítulos sobre el arte matemático.

Ahora, hay 5 gorriones [y] 6 golondrinas. Peso. Los gorriones son pesados y las golondrinas son livianas. Intercambia 1 gorrión y 1 golondrina. Los pesos quedan exactamente equilibrados. Las golondrinas y los gorriones juntos pesan 16 liang. Di: 1 golondrina [y] 1 gorrión. ¿Cuánto pesa cada uno? 1

Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar los pesos de un gorrión y una golondrina en liang. Usa el diagrama como ayuda para escribir tu sistema de ecuaciones.

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 5 a 8, calcula el área del círculo con el radio r dado, medido en pies.

9. Considera el sistema de ecuaciones.

r = 0.6

7 x + 13 = 4 y 7 x = 2 3 y − 8

a. ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones? Usa cualquier método de resolución para resolver el sistema.

b. Explica por qué elegiste tu método de resolución.

10. Halla el perímetro aproximado del semicírculo usando 3.14 para π. 18 in

5. r = 2

r = 2.2

7. r = 6

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson Puedo escribir y resolver ecuaciones que representan problemas del mundo real.

Escribir y resolver sistemas de ecuaciones para problemas del mundo real

1. La clase de octavo grado va de excursión de fin de clases a un parque de diversiones. En el parque, se cobra $18 cada boleto para personas adultas y $13 cada boleto para estudiantes. La presidenta de la clase calcula un costo de $2660 por todos los boletos para personas adultas y estudiantes.

¿Qué número de personas adultas y qué número de estudiantes van al parque de diversiones?

Visitantes de un parque

2. Un total de 190 personas van de excursión de fin de clases a un parque de diversiones. En el parque, se cobra $18 cada boleto para personas adultas y $13 cada boleto para estudiantes. La presidenta de la clase calcula un costo de $2660 por todos los boletos para personas adultas y estudiantes.

¿Qué número de personas adultas y qué número de estudiantes van al parque de diversiones?

La sala de videojuegos

3. So-hee y Ethan están en la sala de videojuegos del parque de diversiones. Participan de un juego en el que ganan puntos al juntar monedas y gemas. So-hee junta 3 monedas y 5 gemas, que equivalen a un total de 70 puntos. Ethan junta 6 monedas y 2 gemas, que equivalen a un total de 52 puntos.

¿Cuántos puntos vale 1 moneda? ¿Cuántos puntos vale 1 gema?

El patio de comidas

4. La presidenta de la clase perdió el recibo del almuerzo. Sabe que 21 estudiantes almorzaron y el costo total fue $117.27. Cada estudiante pidió un menú de sándwich de $4.99 o un menú de pizza de $5.95. El menú de sándwich incluía un sándwich, una porción pequeña de papas fritas y una bebida mediana. El menú de pizza incluía dos porciones de pizza y una bebida mediana.

¿Cuántos menús de cada uno se pidieron?

Analizar el error

5. Dos personas que manejan los autobuses de la excursión toman la misma ruta. El maestro Jacobs maneja a una velocidad constante de 52 millas por hora y la Sra. Kondo maneja a una velocidad constante de 50 millas por hora. El Sr. Jacobs comienza a manejar 3 minutos después que la Sra. Kondo.

¿Cuántas horas después de que la Sra. Kondo comienza a manejar la alcanza el Sr. Jacobs?

¿Cuánto habrán manejado cuando se encuentren?

Se muestra el trabajo de Noor. Identifica el error que comete Noor. Luego, corrige el error que identificaste.

Sea x el número de horas que la Sra. Kondo maneja y sea y el número de millas recorridas.

y = 52(x − 3) y = 50 x

y = 52(x − 3)

50x = 52(x − 3)

50x = 52x − 156

−2x = −156

x = 78

y = 50x

y = 50(78)

y = 3900

El Sr. Jacobs alcanza a la Sra. Kondo 78 horas después de que ella comienza a manejar.

Cada uno habrá manejado 3900 millas cuando se encuentren.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo escribir y resolver ecuaciones que representan problemas del mundo real.

Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para responder la pregunta. Comprueba tu solución.

En un patio de comidas, Pedro y sus amigas compran 3 pretzels y 2 bebidas por un costo total de $5.97. Regresan al mismo patio de comidas y compran 12 pretzels más y 6 bebidas más por un costo total de $20.88

¿Cuál es el costo de 1 pretzel y cuál es el costo de 1 bebida?

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo escribir y resolver ecuaciones que representan problemas del mundo real.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo escribir y resolver ecuaciones que representan problemas del mundo real.

Escribir y resolver sistemas de ecuaciones para problemas del mundo real

En esta lección:

• escribimos sistemas de ecuaciones para representar situaciones del mundo real;

• usamos sistemas de ecuaciones para responder preguntas sobre situaciones del mundo real.

Ejemplo

Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para responder la pregunta. Comprueba la solución.

Un total de 300 personas van de excursión a un parque de diversiones. Van al parque en 4 autobuses y 2 camionetas. No hay asientos vacíos ni en los autobuses ni en las camionetas. En conjunto, en 1 autobús y en 1 camioneta caben 80 personas en total.

¿Cuántas personas caben en 1 autobús y cuántas personas caben en 1 camioneta?

Sea x el número de personas que caben en 1 autobús y sea y el número de personas que caben en 1 camioneta.

En 1 autobús y en 1 camioneta caben 80 personas.

Sustituye 160 − 2x en lugar de 2y en la primera ecuación. Luego, halla el valor de x

{

4 x + 2 y = 300

x + y = 80

2(x + y) = 2(80)

2x + 2y = 160

2y = 160 − 2x

4x + 2y = 300

4x + (160 − 2x) = 300

160 + 2x = 300

2x = 140 x = 70

x + y = 80

70 + y = 80 y = 10

En 4 autobuses y en 2 camionetas caben 300 personas.

Multiplica ambos lados de la segunda ecuación por 2 de manera que ambas ecuaciones tengan 2 y en común. Para despejar 2 y , resta 2 x de ambos lados.

Comprobación:

Sustituye (70, 10) en lugar de (x, y)

en 4x + 2y = 300

Lado izquierdo: 4(70) + 2(10) = 280 + 20 = 300

Lado derecho: 300

Sustituye (70, 10) en lugar de (x, y) en x + y = 80

Lado izquierdo: 70 + 10 = 80

Lado derecho: 80

Como 4(70) + 2(10) = 300 y 70 + 10 = 80, sé que (70, 10) es la solución del sistema.

En 1 autobús caben 70 personas y en 1 camioneta caben 10 personas.

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo escribir y resolver ecuaciones que representan problemas del mundo real.

En los problemas 1 a 4, escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para responder la pregunta. Comprueba tu solución.

1. Logan y Henry participan de un juego en el que ganan puntos por juntar tarjetas. Logan junta 8 tarjetas azules y 4 tarjetas rojas, que equivalen a un total de 68 puntos. Henry junta 4 tarjetas azules y 11 tarjetas rojas, que equivalen a un total de 61 puntos.

¿Cuántos puntos vale 1 tarjeta azul? ¿Cuántos puntos vale 1 tarjeta roja?

2. La maestra Hassan necesita materiales para su salón de clases. Compra 4 calculadoras y 7 transportadores por un costo total de $48.20. Una semana después, compra 5 calculadoras más del mismo tipo y 2 transportadores más del mismo tipo por un costo total de $48.10. Ahora, tiene 9 calculadoras nuevas y 9 transportadores nuevos para agregar a sus materiales.

¿Cuál es el costo de cada objeto?

3. Pedro intenta decidir qué plan de telefonía usar. En el plan A, se cobran $35 mensuales más $5.20 por cada gigabyte de datos usado. En el plan B, se cobran $20 mensuales más $10 por cada gigabyte de datos usado. Ambos planes incluyen llamadas y mensajes de texto ilimitados.

¿Cuántos gigabytes de datos necesitaría usar Pedro en un mes para que los planes cuesten lo mismo?

4. Ava y Nora corren a velocidades constantes. Ava corre 1 milla en 8 minutos y Nora corre 3 millas en 33 minutos. Ava comienza a correr 10 minutos después de que comienza Nora.

Supón que las dos corren por el mismo camino. ¿Cuántos minutos después de que Nora comienza a correr la alcanza Ava?

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 5 a 8, calcula el área del círculo con el radio r dado, medido en metros.

5. r = 7 3

r = 2 5

r = 1 8

9. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para responder el acertijo.

Un número es 12 menos que 2 multiplicado por otro número. La suma de los dos números es 39. ¿Cuáles son los números?

10. Un electricista tiene 140 pies de cable eléctrico. El cable se corta en 3 trozos. El primer trozo es 1 2 de la longitud del segundo trozo de cable. El tercer trozo es 15 pies más largo que el segundo trozo de cable. ¿Cuánto mide cada trozo de cable de largo?

Nombre Fecha

LECCIÓN

Lesson Puedo usar la información sobre las rectas para escribir y resolver sistemas de ecuaciones.

De regreso al plano de coordenadas

1. Una recta pasa por los puntos (−16, −6) y (20, 3). Otra recta pasa por los puntos (12, 14) y (−4, 6). ¿Se intersecan las dos rectas? Explica.

Escribir una ecuación

2. La recta �� cruza el eje y en 5 y tiene pendiente −1. La ecuación 8x + 2y = −14 representa la recta ��.

a. ¿Cuál es una ecuación para la recta ��?

b. ¿Qué pares ordenados, si hay alguno, satisfacen las ecuaciones para las rectas �� y ��?

3. Las rectas �� y �� se intersecan. La ecuación y = 2x + 9 representa la recta ��. La recta �� pasa por los puntos (5, 1) y (−1, 1)

a. ¿Cuál es una ecuación para la recta ��?

b. ¿En qué punto se intersecan las rectas �� y ��?

En los problemas 4 a 6, se da la ecuación de una recta. Da vuelta una tarjeta para mostrar la información sobre una segunda recta. Registra la información en la tabla. Luego, resuelve el problema sobre las dos rectas.

4. Recta ��

Ecuación: y = 1 2 x − 6

Recta

Información de la tarjeta:

¿En qué puntos, si hay alguno, se intersecan las dos rectas?

5. Recta ��

Ecuación:

y + 4 = −3(x + 2)

Recta

Información de la tarjeta:

¿Qué pares ordenados, si hay alguno, satisfacen las ecuaciones de ambas rectas?

Ecuación:

−4x + 2y = 12

Recta

Información de la tarjeta:

Halla la solución, si existe, del sistema de ecuaciones que representa las dos rectas.

6. Recta ��

Escribir dos ecuaciones

7. La recta �� tiene una intersección con el eje y en 5 y pendiente 4 3 . La recta �� pasa por los puntos (−14, −17) y (8, −6). Halla la solución, si existe, del sistema de ecuaciones que representa las rectas �� y ��.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Exit Ticket

Puedo usar la información sobre las rectas para escribir y resolver sistemas de ecuaciones.

Las rectas ℓ y �� se intersecan. La ecuación y = 4x − 3 representa la recta ℓ. La recta �� tiene pendiente 2 y pasa por el punto (1, −2).

¿En qué punto se intersecan las rectas ℓ y ��?

Autorreflexión

Self ReflectionPuedo usar la información sobre las rectas para escribir y resolver sistemas de ecuaciones.

No estoy seguro(a) de que pueda hacerlo todavía.

Puedo hacerlo con ayuda.

Puedo hacerlo por mi cuenta.

Puedo ayudar a los demás.

Nombre Fecha

RESUMEN

Puedo usar la información sobre las rectas para escribir y resolver sistemas de ecuaciones.

De regreso al plano de coordenadas

En esta lección:

• escribimos sistemas de ecuaciones a partir de la información sobre las rectas que representan;

• resolvimos sistemas de ecuaciones para identificar los puntos de intersección de rectas.

Ejemplos

1. La recta �� tiene una intersección con el eje y 9 y pendiente 3 2 . La ecuación y = − 7 2 x − 1 representa la recta ��

¿Qué pares ordenados, si hay alguno, satisfacen las ecuaciones de las rectas �� y ��?

Ecuación de la recta ��:

Escribe una ecuación para la recta en la forma pendienteintersección, y = mx + b.

y = 3 2 x + 9

y = − 7 2 x − 1 y = 3 2 x + 9 7 2 x − 1 = 3 2 x + 9

−1 = 5x + 9

−10 = 5x

−2 = x y = 3 2 x + 9 y = 3 2 (−2) + 9

y = −3 + 9 y = 6

El par ordenado que satisface las ecuaciones de ambas rectas es la solución del sistema de ecuaciones.

Comprobación:

Sustituye (−2, 6) en lugar de (x, y) en y = 3 2 x + 9.

Lado izquierdo: 6

Lado derecho: 3 2 (−2) + 9 = 6

Sustituye (−2, 6) en lugar de (x, y) en y = − 7 2 x − 1. Lado izquierdo: 6

Lado derecho: 7 2 (−2) − 1 = 6

Como 6 = 3 2 (−2) + 9 y 6 = − 7 2 (−2) − 1, sé que (−2, 6) es la solución del sistema.

El par ordenado (−2, 6) satisface las ecuaciones de las rectas �� y ��

2. La ecuación 2x − 5y = 25 representa la recta ��. La recta �� pasa por los puntos (−5, −1) y (10, −4). Halla la solución, si existe, del sistema de ecuaciones que representa las rectas �� y ��

Pendiente de la recta ��:

Halla la pendiente usando los dos puntos.

Ecuación de la recta ��:

− (−1) = −1

(x − (−5))

+ 1 = −1

(x + 5)

2x − 5y = 25

2(5) − 5y = 25 10 − 5y = 25

−5y = 15 y = −3

Ninguno de los puntos es la intersección con el eje y, así que use la forma puntopendiente de la recta, y − y1 = m(x − x1)

Comprobación:

Sustituye (5, −3) en lugar de (x, y) en 2x − 5y = 25.

Lado izquierdo: 2(5) − 5(−3) = 10 + 15 = 25

Lado derecho: 25

Sustituye (5, −3) en lugar de (x, y) en y + 1 = 1 5 (x + 5).

Lado izquierdo: −3 + 1 = −2

Lado derecho: 1 5 (5 + 5) = − 1 5 (10) = −2

Como 2(5) − 5(−3) = 25 y −3 + 1 = − 1 5 (5 + 5), sé que (5, −3) es la solución del sistema.

La solución del sistema es (5, −3).

Nombre Fecha

PRÁCTICA

Practice

Puedo usar la información sobre las rectas para escribir y resolver sistemas de ecuaciones.

CCSSee-M

8.EE.C.8.a, 8.EE.C.8.b

1. La recta �� tiene pendiente 4 y una intersección con el eje y 3. La recta �� pasa por los puntos (6, 3) y (12, 7). ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones representa las dos rectas?

y = 4x − 3 y = 2 3 x − 1

y = 4x − 3 y = 3 2 x − 1

y = 4x + 3 y − 3 = 2 3 (x − 6)

y = 4x + 3 y − 7 = 3 2 (x − 12)

2. Las rectas �� y �� se intersecan. La ecuación y = 3x − 2 representa la recta ��. La recta �� tiene una intersección y 6 y pendiente −1

a. ¿Cuál es una ecuación para la recta ��?

b. ¿En qué punto se intersecan las rectas �� y ��?

3. La recta �� tiene el punto de intersección con el eje y (0, −5) y pendiente 1 2 . La ecuación y = − 9 4 x + 6 representa la recta ��. ¿Qué pares ordenados, si hay alguno, satisfacen las ecuaciones de las rectas �� y ��?

4. La ecuación x − 2y = −2 representa la recta ��. La recta �� pasa por los puntos (−2, −3) y (14, 5). Halla la solución, si existe, del sistema de ecuaciones que representa las rectas �� y ��

5. La ecuación y − 6 = 2 3 (x + 3) representa la recta ��. La recta �� pasa por el punto (−4, −2) con una pendiente indefinida. Halla la solución, si existe, del sistema de ecuaciones que representa las rectas �� y ��.

6. La recta �� tiene una intersección con el eje y en −10 y pendiente 4 9 . La recta �� tiene una intersección con el eje x en −18 y una intersección con el eje y en −4. ¿Qué pares ordenados, si hay alguno, satisfacen las ecuaciones de las rectas �� y ��?

REPASO EN ESPIRAL

En los problemas 7 a 10, calcula la circunferencia aproximada del círculo con el radio r dado, medido en pulgadas. Usa 3.14 para π. Redondea tu respuesta al centésimo de pulgada cuadrada más cercano.

11. Resuelve el siguiente problema adaptado del texto Nueve capítulos sobre el arte matemático. Dados 4 dou de maíz y 12 dou de sésamo, el costo total es 72 monedas. Dados 10 dou de sésamo y 5 dou de maíz, el costo total es 75 monedas. Dice: ¿Cuál es el costo de 1 dou de maíz y el costo de 1 dou de sésamo?

12. Halla la longitud del lado de un cubo que tiene un volumen de 216 pulgadas cúbicas.

7. r = 3 8. r = 7.1

9. r = 8 10. r = 0.6

REPASO EN ESPIRAL

Spiral Review

Nombre Fecha

1. Jonás revuelve fichas cuadradas de colores dentro de una caja, saca una, registra su color y la devuelve a la caja. Saca 5 fichas rojas, 4 naranjas, 6 amarillas, 4 verdes, 3 azules y 3 de color marrón claro.

a. ¿Cuál es la probabilidad empírica de que la próxima ficha cuadrada que saque Jonás sea roja?

b. Si en la caja hay 500 fichas cuadradas de colores, aproximadamente, ¿cuántas fichas cuadradas verdes hay?

2. Una rueda giratoria se divide en dos secciones. La sección A es 3 5 de la rueda giratoria y la sección B es 2 5 de la rueda giratoria.

a. Dibuja la rueda giratoria que se describe.

b. Maya hace girar la flecha de la rueda 200 veces. ¿Esperaría Maya que la flecha se detuviera en la sección B con una frecuencia relativa de 0.75? Explica.

3. Considera la ecuación (2 3) 2 ⋅ 2 4 2n = 210. ¿Cuál es el valor de n?

4. ¿Qué número representa 5,432,751 redondeado al millón más cercano?

A. 6 × 106

B. 5 × 105

C. 5 × 106

D. 6 × 107

5. Por una manguera fluye agua a una tasa constante de 14 galones por minuto.

a. Escribe una ecuación que represente el número de galones, g, que fluyen por la manguera para cualquier intervalo de tiempo, t, en minutos.

b. Completa la tabla.

Tiempo, t (minutos) Número de galones, g 0 5 7 10

c. Representa gráficamente los datos de la tabla en el plano de coordenadas.

Número de galones

Tiempo (minutos)

d. ¿Cuánto tiempo llevaría llenar una bañera de 80 galones con la manguera? Redondea tu respuesta al décimo de minuto más cercano.

En los problemas 6 a 9, determina el número de soluciones de la ecuación. Si la ecuación tiene una única solución, resuelve la ecuación.

6. 5 = 1 3 x + 1 2 (2x + 8) 7. 2x = 1 4 (12x + 8)

8. 2(3x 4) = 1 4 (24x 32)

REPASO EN ESPIRAL

Spiral Review

Nombre Fecha

En los problemas 1 y 2, resuelve la ecuación.

1. 8 x = 1 2 (4x + 6)

2. 1 2 x + 6 = 1 4 (2x + 6)

3. Halla la longitud del RS  . Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

4. La longitud de un cateto de un triángulo es9 cm y la longitud de la hipotenusa de 15 cm. Halla la longitud del otro cateto del triángulo.

5. Muestra dos cálculos diferentes para hallar la pendiente de la recta usando, por lo menos, un punto diferente en cada cálculo.

6. Liam dice que, para hallar la pendiente de la recta, necesita usar los puntos de coordenadas (0, 2) y (−4, 0). Ethan dice que necesita usar los puntos de coordenadas (−6, −1) y (4, 4)

a. ¿Quién está en lo correcto? Explica.

b. Halla la pendiente de la recta.

7. Considera la ⟷ AB  y la ⟷ CD .

• La ⟷ AʹBʹ es la imagen de la ⟷ AB  cuando se le aplica una reflexión sobre el eje y.

• La pendiente de la ⟷ AʹBʹ es 4 3 .

• La ⟷ CʹDʹ es la imagen de la ⟷ CD  cuando se le aplica una reflexión sobre el eje y.

• La ⟷ AB  es paralela a la ⟷ CD .

¿Cuál es la pendiente de la ⟷ CʹDʹ ? Explica.

8. ¿Qué secuencias de transformaciones muestran que el △ ABC es semejante al △ DEF? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Solo una traslación

B. Solo una dilatación

C. Una traslación seguida de una dilatación

D. Una dilatación seguida de una traslación

E. Una reflexión seguida de una dilatación

F. Una dilatación seguida de una reflexión

PRÁCTICA DE FLUIDEZ

Contemplar y luego calcular

Calcular la pendiente con coordenadas positivas y negativas |

HOJA DE FLUIDEZ 1

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.

1. (0, 0) y (2, 2)

2. (0, 0) y (2, −2)

3. (0, 0) y (−2, 2)

4. (0, 0) y (−2, −2)

5. (0, 0) y (3, 1)

6. (0, 0) y (3, −1)

7. (0, 0) y (−3, 1)

8. (0, 0) y (−3, −1)

9. (0, −5) y (2, 3)

10. (0, −5) y (−2, 3)

11. (0, −5) y (2, −3)

12. (0, −5) y (−2, −3)

13. (−6, 0) y (4, 1)

14. (−6, 0) y (4, −1)

15. (−6, 0) y (−4, 1)

16. (−6, 0) y (−4, −1)

17. (1, 1) y (5, −6)

18. (1, −1) y (5, 6)

19. (−1, 1) y (5, 6)

20. (1, 1) y (−5, 6)

21. (1, −1) y (5, −6)

22. (−1, 1) y (−5, 6)

23. (1, −1) y (−5, 6)

24. (−1, 1) y (5, −6)

25. (1, −1) y (−5, −6)

26. (−1, 1) y (−5, −6)

27. (−1, −1) y (−5, 6)

28. (−1, −1) y (5, −6)

29. (−1, −1) y (−5, −6)

30. (2, 3) y (−5, −6)

31. (−2, −3) y (5, 6)

32. (2, −3) y (−5, 6)

Contemplar y luego calcular

Calcular la pendiente con coordenadas positivas y negativas | HOJA DE FLUIDEZ 2

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.

1. (0, 0) y (1, 1)

2. (0, 0) y (−1, −1)

3. (0, 0) y (−1, 1)

4. (0, 0) y (1, −1)

5. (0, 0) y (4, 1)

6. (0, 0) y (−4, 1)

7. (0, 0) y (−4, −1)

8. (0, 0) y (4, −1)

9. (0, −7) y (2, 3)

10. (0, −7) y (−2, 3)

11. (0, −7) y (2, −3)

12. (0, −7) y (−2, −3)

13. (−10, 0) y (6, 1)

14. (−10, 0) y (6, −1)

15. (−10, 0) y (−6, 1)

16. (−10, 0) y (−6, −1)

17. (1, 1) y (3, −4)

18. (1, −1) y (3, 4)

19. (−1, 1) y (3, 4)

20. (1, 1) y (−3, 4)

21. (1, −1) y (3, −4)

22. (−1, 1) y (−3, 4)

23. (1, −1) y (−3, 4)

24. (−1, 1) y (3, −4)

25. (1, −1) y (−3, −4)

26. (−1, 1) y (−3, −4)

27. (−1, −1) y (−3, 4)

28. (−1, −1) y (3, −4)

29. (−1, −1) y (−3, −4)

30. (2, 3) y (−3, −4)

31. (−2, −3) y (3, 4)

32. (2, −3) y (−3, 4)

PRÁCTICA DE FLUIDEZ

Contemplar y luego calcular

Identificar la pendiente | HOJA DE FLUIDEZ 1

Identifica la pendiente en la gráfica de la ecuación lineal.

1. y = 3x + 2

y = x− 9

2. y = 3x− 2

3. y = 6x + 4

x−

19. 2y = 4x + 10

20. 1 2 y = 4x + 10

21. 2y = x + 10

22. 2y−x = 10

23. x + y = 8

24. x−y = 8

25. x + 3y = 14

26. 3x + y = 14

27. 3x−y = 14 28. 4x− 6y = 1

4x− 6y = 1

4y + 6x = 1 31. 9x− 3y− 12 = 0

32. 0 = 3x− 12 + 9y

33. 1 4 ( y− 2) = 2(x− 1)

34. 6(x + 5) = 12( y− 4) 35. 15 2y = 10y− 60x 36. 9y− 5x = 7x− 6y

Contemplar y luego calcular

Identificar la pendiente | HOJA DE FLUIDEZ 2

Identifica la pendiente en la gráfica de la ecuación lineal.

1. y = 5x + 1

2. y = 5x − 1

3. y = 4x − 6

4. y = −4x + 6

5. y = 1 3 x + 8

6. y = − 1 3 x − 8

10. y = 1 − x

11. y = x − 1

12. −1 + x = y 13. y = 1 14. 4x + 16 = y − 10

y − 10 = −4(x + 4)

19. 3y = 6x + 8

20. 1 3 y = −6x + 8

21. 3y = x + 8

22. 3y − x = 8

23. x − y = 2

24. x + y = 2

25. x + 5y = 11

26. 5x + y = 11

27. 5x − y = 11 28. 8x − 3y = −4 29. −8x − 3y = −4

8y + 3x = −4

8x − 4y − 24 = 0 32. 0 = 4x − 24 + 8y 33. 1 3 ( y − 6) = 2(x − 4)

34. 4(x + 6) = −12( y − 5)

35. 10 − 4y = 12y − 32x 36. 8y − 3x = 9x − 2y

PRÁCTICA DE FLUIDEZ

Contemplar y luego calcular

Identificar la intersección con el eje y | HOJA DE FLUIDEZ 1

Identifica la intersección con el eje y en la gráfica de la ecuación lineal. 10. x + 9 = y 11. x− 9 = y

1. y = 3x + 2

2. y = 3 x− 2

3. y = 6 x + 4 4. y = 6x− 4

19. 2x + 2 y = 6

20. 2x + 2 y = 8

21. 2y = 12

22. 2x−y = 8

23. 3x−y = 8

24. 3x− 2y = 8

25. 3x− 2y = 12

26. 2x− 3y = 12

27. 3y− 2x = 12 28. 5x + 2y = 15 29. 5x− 15 = 2y

5y− 15 = 2x

3x− 3y− 9 = 0 32. 7x + 4y + 13 = 0

4x = 7y− 13 34. 4x− 3y + 6 = 2y− 4 35. 1 − 5x = 5 + 2 x− 8 y 36. 2(x + y) = 6x− 9 − 4y

Contemplar y luego calcular

Identificar la intersección con el eje y | HOJA DE FLUIDEZ 2

Identifica la intersección con el eje y en la gráfica de la ecuación lineal. 10. x + 8 = y 11. x − 8 = y 12. y = 8

1. y = −7x + 1

2. y = 7x − 1

3. y = 9x − 5

4. y = −9x + 5

5. y = 1 3 x + 7

19. 3x + 3y = 6

20. 3x + 3y = 18

21. 6y = 18

22. 3x − y = 9

23. 4x − y = 9

24. 4x − 3y = 9

25. 4x − 3y = 24

26. 3x − 4y = 24

27. 4y − 3x = 24

5x + 6y + 11 = 0

6x = 5y − 11

8x − 7y + 3 = 3y − 7

2 − 3x = 3 + 4x − 9y

4(x + y) = 8x − 12 − 6y

Contemplar y luego calcular

Resolver ecuaciones de varios pasos | HOJA DE FLUIDEZ 1

Resuelve la ecuación.

19. 3x + 10 = 4x + 1

20. 3x + 10 = 4x + 2

21. 3x + 10 = 4x − 1

22. 3x + 10 = 4x − 2

23. 5x + 10 = 6x − 5

24. 5x − 10 = 6x − 5 25. 5x + 15 = 6x − 5 26. 5x − 15 = 6x + 10 27. 5x − 20 = 6x − 20

2x + 3x − 5 = 15

2x + 3x + 5 = 15

2x + 3x − 5 = 15

2x + 3x + 5 = 15

5 = 2x − 15 + 3x

5 = 3x + 15 + 2x

Contemplar y luego calcular

Resolver ecuaciones de varios pasos | HOJA DE FLUIDEZ 2

Resuelve la ecuación.

1. x + x = 18

2. 2x + x = 18

3. 5x + x = 18

4. 8x + x = 18

5. 2x + 4x = 18

6. 5x − 2x = 18 7. 8x − 2x = 18 8. 11x − 2x = 18 9. 20x − 2x = 18

19. 3x + 8 = 4x + 1

20. 3x + 8 = 4x + 2

21. 3x + 8 = 4x − 1

22. 3x + 8 = 4x − 2

23. 5x + 8 = 6x − 5

24. 5x − 8 = 6x − 5 25. 5x + 12 = 6x − 6 26. 5x − 12 = 6x + 10

5x − 15 = 6x − 15

3x + 4x − 7 = 21

3x + 4x + 7 = 21

3x + 4x − 7 = 21

3x + 4x + 7 = 21

7 = 3x − 21 + 4x

7 = 4x + 21 + 3x

Vocabulario

Estos son los términos que se presentan en el módulo. Usa el espacio en blanco para tomar notas y hacer dibujos.

sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. El siguiente ejemplo es un sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 15      3x 7y = 2

(Lección 2)

solución de un sistema de ecuaciones lineales

Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales de dos variables es un par ordenado de números que constituye una solución para ambas ecuaciones. Por ejemplo, una solución para el siguiente sistema de ecuaciones lineales es el par ordenado (5, 1):

x + y = 6

x y = 4

El par ordenado (5, 1) es una solución porque al sustituir 5 en lugar de x y 1 en lugar de y da como resultado dos ecuaciones verdaderas:

5 + 1 = 6 y 5 1 = 4

(Lección 2)

Estándares

Estándares de contenido del módulo

Analizan y resuelven ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas

8.EE.C.8 Analizan y resuelven parejas de ecuaciones lineales simultáneas.

a. Entienden que las soluciones a un sistema de dos ecuaciones lineales de dos variables corresponden a los puntos de intersección de sus gráficas, puesto que los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.

b. Resuelven sistemas de dos ecuaciones lineales de dos variables algebraicamente y estiman las soluciones al graficar las ecuaciones. Resuelven casos simples con el método de inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no puede ser simultáneamente 5 and 6.

c. Resuelven problemas del mundo real y matemáticos que producen dos ecuaciones lineales de dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas para dos parejas de puntos, determinan si la recta a lo largo del primer par de puntos interseca la recta a lo largo del segundo par.

Estándares para la práctica de las matemáticas

SMP.1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

SMP.2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

SMP.3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de los demás.

SMP.4 Representan a través de las matemáticas.

SMP.5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

SMP.6 Prestan atención a la precisión.

SMP.7 Reconocen y utilizan estructuras.

SMP.8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

Descripción general de la alineación

En esta tabla se identifican los estándares de contenido, los Estándares del módulo para la práctica de las matemáticas (SMP) y las Ideas importantes para cada lección del módulo.

Bibliografía

California Department of Education. California Common Core State Standards: Mathematics. Sacramento, CA: California Department of Education, 2014.

California Department of Education. Mathematics Framework for California Public Schools: Kindergarten Through Grade Twelve. Sacramento, CA: California Department of Education, 2023.

Créditos

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Agradecimientos

Adriana Akers, Amanda Aleksiak, Tiah Alphonso, Kate Austin, Lisa Babcock, Christopher Barbee, Beth Barnes, Reshma P. Bell, Chris Black, Erik Brandon, Beth Brown, Dawn Burns, Amanda H. Carter, Leah Childers, Mary Christensen-Cooper, Nicole Conforti, Cameron Cuevas, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Mary Drayer, Karen Eckberg, Dane Ehlert, Samantha Falkner, Scott Farrar, Kelli Ferko, Krysta Gibbs, Winnie Gilbert, Danielle Goedel, January Gordon, Julie Grove, Ryan Grover, Marvin E. Harrell, Stefanie Hassan, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, David Kantor Choukalas, Kathy Kehrli, Raena King, Emily Koesters, Liz Krisher, Marie Libassi-Behr, Alonso Llerena, Bobbe Maier, Gabrielle Mathiesen, Maureen McNamara Jones, Pia Mohsen, Dave Morris, Bruce Myers, Marya Myers, Lauren Nelson, Kati O’Neill, Ben Orlin, Brian Petras, April Picard, Rebecca A. Ratti, John Reynolds, Bonnie Sanders, Aly Schooley, Erika Silva, Hester Sofranko, Bridget Soumeillan, Ashley Spencer, Paul Spicer, Danielle Stantoznik, Tara Stewart, Mike Street, James Tanton, Cathy Terwilliger, Cody Waters, Valerie Weage, Jamie Wells Schneider, Allison Witcraft, Caroline Yang

Ana Alvarez, Lynne Askin-Roush, Stephanie Bandrowsky, Mariel Bard, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Rebecca Blaho, Charles Blake, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Cindy Carlone, Gina Castillo, Ming Chan, Tatyana Chapin, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Brandon Dawley, Cherry dela Victoria, Timothy Delaney, Delsena Draper, Erin DuRant, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Sagal Hassan, Kristen Hayes, Tim Heppner, Marcela Hernandez, Sary Hernandez, Abbi Hoerst, Elizabeth Jacobsen, Ashley Kelley, Sonia Khaleel, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Jenny Loomis, Stephanie Maldonado, Christina Martire, Siena Mazero, Thomas McNeely, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Sara Miller, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Tara O’Hare, Max Oosterbaan, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Toy Parrish, Katie Prince, Neha Priya, Jeff Robinson, Nate Robinson, Gilbert Rodriguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Aaron Shields, Madhu Singh, Leigh Sterten, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Tracy Vigliotti, Bruce Vogel, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Samantha Wofford, Howard Yaffe, Dani Zamora

HERRAMIENTA PARA LA CONVERSACIÓN

Compartir tu razonamiento

Estar de acuerdo o en desacuerdo

Preguntar sobre el razonamiento

Decirlo otra vez

Sé que...

Lo hice de esta forma porque...

La respuesta es porque...

En mi dibujo, se ve...

Estoy de acuerdo porque...

Eso es verdadero porque...

No estoy de acuerdo porque...

Eso no es verdadero porque...

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con ? ¿Por qué?

¿Por qué has...?

¿Puedes explicar...?

¿Qué podemos hacer primero?

¿Cómo se relacionan y ?

Te escuché decir que... dijo que...

Otra manera de decir lo mismo es...

¿Qué significa eso?

HERRAMIENTA PARA EL RAZONAMIENTO

Cuando resuelvo un problema o hago una tarea, me pregunto...

Antes

¿He hecho algo parecido a esto antes?

¿Qué estrategia voy a usar?

¿Necesito alguna herramienta?

Durante

¿Está funcionando mi estrategia?

¿Debería intentarlo de otra manera?

¿Tiene sentido esto?

Después

Al final de cada clase, me pregunto...

¿Qué funcionó bien?

¿Qué haría de otra manera la próxima vez?

¿Qué aprendí?

¿Sobre qué tengo dudas?

Grado 8 | Módulos 1–6

Módulo 1

Notación científica, exponentes y números irracionales

Módulo 2

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Módulo 3

Dilataciones y figuras semejantes

Módulo 4

Ecuaciones lineales de una y dos variables

Módulo 5

Sistemas de ecuaciones lineales

Módulo 6

Funciones y estadísticas bivariadas

LAS MATEMÁTICAS ESTÁN EN TODAS PARTES

¿Quieres saber qué tan rápido puedes correr en comparación con tus amigos?

¿Quieres estimar cuántas abejas hay en una colmena?

¿Quieres calcular tu promedio de bateo?

Las matemáticas están detrás de muchas de las maravillas, los misterios y los planes que hacemos en la vida.

Desde la antigüedad hasta nuestros días, hemos usado las matemáticas para levantar pirámides, navegar los mares, construir rascacielos y hasta para enviar naves espaciales a Marte.

Con el poder de las matemáticas y tu curiosidad por comprender el mundo podrás llegar tan lejos como quieras.

¿Todo listo para emprender tu viaje?

EN LA PORTADA

Instituto Salk de Estudios Biológicos, San Diego, California

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