John Dee - Parallaticae Commentationis Praxeosque Nucleus quidam (Latin), 1573

PARALLATICAE ft Commentationis

Praxeofq^-

Nucleus quidam. jfutbore Joanne (Dee 3 Londinenfi.

L O N D I N I Apud Johannem (DayumTypo* graphHm. tsfn.

i

5

7

3.

»

‘<R&

r.

\

4

<J

.

*

&

•t

•

:

i

,v

iv'7-v \ "

'•

• •

'

r

:•'

1

.

h'

'

-

•

V-

,

•

.

.

\

r-

•

- v

-

.

'•'

Pll

>*

.

I V.

,

.i

I

C1

tUf

O J

*'£

V,

•

.*

,,r

^i5w

-<V' i

«fc

•

.

r

:.

•

t

*

‘ .

-L

•

1-

..

-

v.i

:

*

—

.

,

M

iâ&#x20AC;&#x201D; ^Sc

Thomas

Diggfeus,Beneuolo Lc&ori. S.

Hcorcmt, cuius, in^Proamio, mentionem fece* ram, 'a charifimo met amico Parente altero Mathematico, D. io. Dee, iamdudum receperam, cum libellus tjle mcut,Tjpograpko commiffus,pars fnofy ilUut no modica imprejfafuijfet Nucleus Sero ab Au.

thore appellatur fcu quod duri imas dt(rumpere plu-

f

rimarum difficillimarum demonfl rationum te flat coaliusfuifiet priuf quam adeam tam breuem tamq; perfsicuam penetrare potutfet : feu quod aliquarum fuarum Vigiliarum frulium, Sere Nucleum, emmbui nudatum corticibus tuo efut Sfutqj paratum exhibeat Me autem ift t meo opufculo anne lier e, (ÂŁ tn lucem Jimul emittere, Sarta impulere t

.

,

caufa . Prima,ne chariffimus mihl.iUius Author( Sir tn omni dolirsnarum genere celeberrimus, tum in abdit ifimis Philofophia mjflerijt ad-

mirandus )debtt afua mu en t itui tpriuaretur laude : cum nonnulli,fortafufpo/iea ederetur fufftcan pofiut.a meis Methodis deriuatumfnijje. Fateor equidem , adeo late mea feft extendere fundamina, St tum

m

tfliufmodi Jum plurimi ettam atq nuclei( A/lronomorum Sfui primis mecejfarq jinde excerpi poflent: quemadmodum Correllanum illudfecu-

dum.Problemat it Undecim t: quod equidem, licet mamfeffe Rideatur ex ipfo Sndecimo Problemate , Regumontam propofitione ibidem citata pendere, tamen mihiin

mentem non fenerar, priufquam cum eo, de eiufmods ftnuu proportionibus contuhfem. illudiatur, illius, non meu eIfr: Theorema tflud', ex propnjt illius , non meis, enucleatum fmffe

&

corticibus ,

certum

efl

.

Alia q uoq^caufa fuit , non admodum inefficax!

fctltcet ,St pofiertspmemtria noflra animorum eouiunlhonii

confue-

maneat :qua quidem, nihilmtbi m Sita contigit melVoftrema, St harum fcitntiaru candidat qutbut non datum efl t(

tudinis, diuturna litius

.

/reprijs S iribus abdita difficihaq. eruere

Problemata ) poterint nihilo-

mmui, hinc edolii, ex noflrit exhaurire fonttbut

: (f exantlare qua rt.quemadmoditm non Suito curfu , Satio tn : neq omnibui eadem palatu ptaf ceant obfonia : fic etiam dmerfa &Sarsa fluduforum ingenia, eifdem nen perinde Metbodu contenta dl-

fibt Sfutforent

.

occano, feruntur nauigra '

.

uerfat etiam ,

.

Sariatfibi propofitas habeant

procedendi jcmttxisy quajibi magisart rideant, Sfum adhibeant : feturo tandem tranfallo curfu, ad

m

\.

*

Seritatis traqutllum pofimt

atri

pertingere portum.

-XI i

A.ij.

k

)

Optimarum vere ftudiofis,

I

Artium

veritatis

oankes Dee,

LONDINENSIS, S,

D. I\

On mc latet, varias eflfe vias

,

ad Parallaxcs

rcru in Sublimi apparentium intelligedas: vci iim, pauciflimas cfle

1

certum

clt

(quales

j

nosexcogitauimus aliquot

3i

)

qua; vel folo

intuitu,vel abfq; aliquo Logiftices auxilio,

nobis exaCc veritatem referre queant Neque habent Mathematici omnes,eam, qua habuit Ptolemarus,loci opportunitatem ( circa maximam luna; latitudine eliciendam ) vt verticibus, pene, Phaenomena femper immineant Maxima igitur Parallaticarum obfcr.uatio.nu noftrarum parte, vel duas diucrfornm fupra noftrum horizonte locorum, recipimus firfitd vniras Parallaxcs: & deinde, ratiocinando, feparamus artiheioft : Vel cx duarum diuerfarum Parailaxium (artealiqua) eruta differentia ad integras feparatim cognofccndas. Mathematice nofmet accingimus Iftas duas vias (aliafq; aliquot ) diligenter, ingeniofeq; (Tuo quidem & proprio modo ) nuperrime traftauit, ehanftmms mihi Iuuctiis, Marhematicufq; incus dignifrimus haeres, ThomasDiggfeus Atcx ifto noftro Theoremate tertio, ne hilum quidem recepit auxili/. Cum ante vlrimam diem,l : ebruarij praeteriti , prorfus illi incognitum & inauditumerat Licet antea quidem, tum fuafponte, tiim a me accerfitus, aliquoties mihi adfuiifct: dum dc toto hoc noftro ( veritatis cliciendx amore, fufccpto dillercremus negotio : &de optimis obferuandi moRegiomontani dis nouas inire ftatueremus rationes .

.

*.

.

.

.

.

enim Methodum, ftatim deprehendit, huieprarfenti innoftro,haud fatis fideliter inferuire potuiffe.

Mdqac enixiftimp hortatus eft,accuratius,quam noftri dum interim ipfe fecerintmaiores,dciftismcditari dctifdem,fuasfeorfimconfulcrct Mufas . Vndc praefticuto

:

dica

dida Februari; die, humaniter me & perofficiofe inuileiis, fuasohendit ,quas (interim ) deParallaxibus cquas etiam ad prarlurn laborauit dcmonftrationcs Typographicum, prope, paratas habebat : adiccitqj, editionis fuse haud minimam e fle caufam , rt ea me liberaret (huiufmodi feribendi ) molcllia iliaque promitteret, quo, preflius a me feriptis (de iltis, flnulibufue rebus ) lucem aliquam , hac fiia adferrent in:

:

duftria : ik quo piares , interea, inftruerentur , redipli, docderenturq; telles , maiori fide digni : ciim tioribus & Mathematicis oculis, iftud artificiofeobferuare docerentur ,quod ccelo adhuc fulget, rarilfi-

&

mum

Spedaculum

Quodeius inftitutum

.

tum illi

,

honorincuai (ex Mathematici fui ingeni/, tam illuedito acuminis fpccimine ) tum mihi gratum (ob tam propenfam eius erga me hanc animi kcncuolcntiam ) tiun ftudiofis optabile ( ex tot, tam opportune, tamq; expedite, publicatis Philofophir coeleitis documentis ) non potui, non approbare, laudare amare, vcritatifq;inudHgatoribus,faullum & fcelixfore,tiim optare, tum fperare Ht ne ipfe, laudator foliim, videri poftim, laborum, quos nobis communicant ali/: & noarque facilismeorumaliquotcrogatorlnucntorum, quo multum, hac tempcftatc,ad mirabilis veritatis agnitionem, & illuftrationem facere queant: Noftro proinde diutius inclufa crgaftulo (vbi nuper nata fuut ) hoc nolui detinere Theoremata fcd cx -quodam noliro ( nondum abfoluto)feleda libro, acitri

,

.

:

tutum potius, in publicum emittere

:

vt

frudum haud

parumn Mathematicis reportent

donec alia noftra , (inhosPhilofophandi genere ) feripta, tempore funt Quod & co lubentius feci,quum .ad manus llluflriflrmi illius Herois, hunc.noilrum libellum, flarim peruenturum intcllcxiflem , cui Primus proditura oportuno.

aperui , huius in. ccelo fulgentis Oftenti , annotauiq, admirabilitatem . Cui etiam, ime meririffimo, illos noflros quantofcunqjin hoc Portento confiderando, examinandoq; labores exantlatos, iuftoq; aliquando A, ii/. volumine

volumine explicatos

,

dicari debere

propter multa , magnaq; erga

agnofco

,

tum

:

mc ciufdcm mcrita(quat

homine ingratum immcmoremue contuliflc,haud videbitur ) tum ob maiores alias , iuftiffimafq; caufas.

Quoniam denique res Parallaticx(vt fuprddixi) maxima ex parte ad hunc fcopum reduci folent, vt vel in

,

,

compolitx, feparentur, in luas partes : vel Parallaxium data differentia, vtrafq; reddat notas Quantum (prxter plurimos eiufdcm alios vfus) in vtramq; iftius Parallatici negotij' partem, hoc noftrum valeat 1 hcorenu tertium, preffetq; fubfidij,omnes facillime intelligant. Vnde, ciim circa hoc Theorema breuiflimum, tam frequens verfetur,Parallaxium difcurfus:prarmitrantur vero, quar & laboris & difficultatis habeant nonihil ( tum ex obferuationibus cautiflimis , tum ex ratiocinationibus Mathematicis) quibus fu perati s,tan-' quam Nucis fractis tcftis, ad Nucleum fruftuofum, finemq; laborum iam peruenimus : in ipfius videlicet Theorematis noffri, debita applicatione vel adParallaxium compofitarum feparationem vel ex differentia data , ad datas quoque ipfas reddendas ' Parallaxes Igitur, Nuclei cuiufdam in:

:

:

:

Aar.hunc haudabfurde cenferipoflc libellum, fatis iam offendimus e-

,

uidenter. Eodem itaque vtamini fruaminiq; , Amici inei, veritati fq; feru-

tatores in-

du ftrij.

'

'

,

.

MortUcenfibui nothis atinuentibut Mufis.

J-

*•

J

%,

VUi

» V«r

X

Aftrtij $. .

,

,

Tarallaticus U\(ucleus.

*

Theorema.

Inter duas

quafcunq

,

;

i.

&

eafdem omnino,

homogeneas magnitudines, vnafolum exiftrt ratio.

Famquam comuni omniumfere hominum indicio ^s^Jjocficfe habere indicetur: tamen ,vt vel qmbufda clarius illuHr are hanc veram fententiam : vel ali);, contra cande cantilandi occa/ion e omne rari pere pofiimtts: p no inutile cenferi debet , fi exemplari quada demon siratione, rem tum clariore, tum firmiori aliquo reddamus modo.Breuinfculas iHas primum confideremus deferiptiones.

.

,

Eafdem dicimtu magnitudines, quaru quantitates gentur;vel imminuuntur

.

nimus , nomine effentiaq} fi'miles ciesfuperficiebus

nitudines,

rationem

:

V eluti lineas

.

corpora corporibus

omnino eadem,

vnamfolitm efie

one, quxejl ipfius

p ad D

.

,

C, ad

ipftus

:

ratione, qua esi noflrx

lineis

Sint igitur

homogentx,

quis adiierfari velit, dr exhibere

dem

D

efl duarum

dico

eadem

rati-

& E ad F, in

ea-

C

A K

C

F : Nos con-

:

B y

>

D

magnitudinum, homogenearum, Hia qua

dum earum quantitate, habitudo

.ÂŤ

Si ver o nobis

.

A ad B, in

Prxterea

: fuperfi-

dux mag-

C& D

ad D : (fr afferere denique, non eandem effe rationem , ipfius A

ad B dr illius Ead

nthi/ vel au-

Homogeneas ejfe magnitudines defi-

fecun-

refpetlus mutuus,fiue -xfai f

:

vt Crxci Mathematici loquuntur Sed, ex hjpothefi, no.

A.iiii,

Urarum

, -

Tarallatictis J^ucleus.

Uraru duaru magnitudini*, C,

& D,homogtn

e artiRadent

A

manent, quantitates, nullo fcili licet , vel autta, vel imminuta

modo rit

:

Q

quare, ali a, alia.fr non e-

B

£>

illarum quantitatum mutuo

comparatarum refultans habitudo- fed vna, eadem j,. Proinde etiam, cum fecundum comparationem quantitatis C,ad quantitatem D, refultans habitudo , inueniatur eadem in ,

(iuxta aduerfarium) Similiter feyt, cum B, collatu cundum comparationem quantitatis C, ad quantitate D refultans habitudo inueniatur eadem, ex quantitate E, ad ‘

,

F, comparata ( vt aduerfarius tpfe concedit ) Necejfa B deprehenditur , tfl eadem omrio CT illa qua inter nino habitudo illi, qua inuenitur inter E cr F : nullo .

;

A&

,

modo, diuerfa .Inter duas igitur quafcunq; eafdem omnino.Sc Quod honf&geneas magnitudines, vna folum exiftit ratio .•

fic vel illuflrajfe,vel demonjlraffe oportuit .

Aliter.

Praterea: Ji quis nojlrum hoc Theorema, velfu(pechabere vellet , vel labefactare conaretur: pari ratione, Euclidis , velm dufy •undecimam quinti Elementorum bium vocare, vel tanqua falfam euertere, moliatur : Qua. rationes , ad inuicem eaedem funt rationi, eidem hac efi, Qux

ti*

&

Diorifmus eiufdem propoad H, verbatim . Sint enim, fient C,ad D, (ic E ad F : Dico, quod e SI fient fic C ad D : fic ut vero igitur Caueat Euclides: F quidem Sic ad B, fic E ad funt cardem

.

Ecthefisvero,

A

Jitionis ,ficfe habent,

A

.

qtiicunj. nofier aduerfarius

••

& veritatis

fl udiofus

,

ipfi

interim Euclidis T heonifue adharcat demonffrationi.

•

.

Theorema.

Tarallaticus 3\[ucleus.

Theorema.

2.

Omnium duoru,eiufHcm circuli arcuu , finus

redii,

eandem inter fe rationem habent: quam aliorum duorum, hijs fimilium, arcuum, finus redii, inter fe

habent: fiue in aequali, fiuc maiori,fiue minori,

acceptorum circulo.

C ^ ab B X,

Int duo arcus,

fit retia

XT,& XV

,

eiufelem circuli i vcluti,

femidiametro, deferipti Et .

ipfitti

arcus

X Mfinus rctius: & arcus X V, habeatfinit

XT

fUUm

relhtfetiam X L.lam vero,arcusXTft ftmilis, alius ar. cus>Al. Et arcui X Vfitfmilis A K.Defcriptis vtrifi a femsdsametro B A. Et finus rctlus, arcus noflri Jfit rtctaAO: atque arcus abeat A N, profinu fuo retlo. l

A

A Kf

BJ,

Dico

allaticus Zh(ucleus.

A 0,ad AN. Cum enim, ex bypothefi, arcus X T,dr A Ijtnt Similes arLiande habere ratione ,qua

cus: per Similiu arcuit definitione, angulus

X B T, aqualis

M

ABI. Sed dr noti/fimum efl, angulum X B y aqualem, immo eundem ejje, angulo : dr fimiliter angulum A BO, aqualem, eundem ne efie, angulo ABI.

eFl angulo

XBT

Et anguli adpunita

nis hypothefim

.

lis

OA

i cjr

O, fiunt refti

Jugare, per

CT reliquus angulus est reliquo

M

M X B,

:

per confirutfio -

32 .primi, Elementorum t triangulo B X) aqua-

M

( in

B,in triangulo

BOA.

M X, dr B O A

aquianguli igi-

latera B X , , dr B A,fiunt omologa: ( nimirit ipfiefiemidiametri nofirorum circulorum. ) Et X M,dr A O ( videlicetfimus reEli) - omologa erunt . Et B ,dr B O (finusfieenndi ) etiam

tur funt trianguli

B

.

Vnde

M

â&#x20AC;˘

omologa.

,

!

Tarallaticus 3\(ucleus.

&

omologa Eritfrvt BXadX Mfic B A,ad A O . Vndt permutatim (per decimamfextam Euclidis ) vt BX,ad .

B A: fic X M,ad A 0. Simili argumento conuincemus,vt B Xfe habet ad B A ,Jic X L,fe habere ad A N ex triangulis B L X,dr B N A,aquiangulis.Cum igitur, tum X ad A O : & X L,ad A Npandem ratione inter fe habent, :

M

quam B X,ad B A : per pramifam, Elementoru Euclidis, eadem

&

ejl ratio

vndecima quinti,

X M,& A O

inter

,

quxefl inter X L,& A N. Quamobrem permutatim iper decimamfextam quinti Elementorum Euclidis ) vt X adX Lftc A O ad . Sed per Conjfruffionem

&

M

&

AN

X Af,drX L funt fnus reclt,X T,& X V arcuum fimihter dr A O, (jr A N, re(la,finujfunt recli, AI &AK y

,

:

arcuum, illis ftmilium ( Siue autem B A, maior fit quam B X,vel minor , vel illi aqualis ,idem erit demonjlrationis .

(jr eadem veritas . ) Icitur Omnium duorum, eiufde Circuli arcuum, finus refli.eandcm inter fe ratione habcnr,quam

ordo,

aliorum duorum, hijs fimilium bent

:

,

arcuum , Unus

fiue in arquali,fiue maiori,fiue

refti, inter le

ha-

minori acceptorum circulo.

ÂŁuod demon ftrajfe oportuit.

Torifma.

/.

Hinc manifeftu fit, omnium duoru Similiumarcuum finusrc&os primos , fecundofq; , eandem inter fe

rationem habere, quam ipfirfemidiamerri

culoru, ex quibus

ipfi

fimiles

Torifma.

cir-

defumuntur arcus.

2.

aEque etiam clarum,reddi poteft ex iftis Omniu fimilium arcuum,eam inter fe rationem effc,qua? eft femidiametrorum rcfpondentium,fiue finuum fuorum redtoru priraorum/ccundorumue, inter fe. :

B.ij.

'

Tiam

.

-,

TaraUaticus ^(ucleus, Tiam, per Archimedis dem onfra ta , Omnium Circulorum circumferentias , adfuas femidjametros , vnicam

eandcm% habere rationem, demontfrari poteft

:

rationa-

lem illam quidem vel irrationalem: ( vt vulgari Logistapermutatim , vt Circumfequare rentia ad circumferentiam, fic femtdumet er adfemidtametrii

&

rum vtamur phrafi )

Sint ergo duafemidi.tmetri,

A& C

:

circumferentia

&F

: E autem circulorum, ab illis defcriptorumfint E, quidem, ab A:(jrE,a C. Sit etiam B, arcus, ex E,defump

us -(-r

D arcus,

arcus,

tmilis, nimirum '

illi fi'mitis,

ex F,receptus. Sit etiam ipfius huic

fnas reti us, G retia linea : & arcus alterius,

D

,fit

x

H retiafinus retius.Cum vero,B aon

<

â&#x20AC;˘

.

r-.-^rV

c Para1laticus SSQicIetis. (quia B& D funt arcus fmiles, ex hypotheft) Ergo permutatim,B, ad

ad E, eandem habet rationem, quam D,ad F:

D, eandem habet rationem quam E ad F. Sed quam habet

E ad F, eandem habet AadC (vt dem o nitra u imus : per ) â&#x20AC;˘undecimam, igitur, quinti Euclidis, eadem erit ratio B ad

D (fimilium arcuum inter fe) qua est A, ad C :femidiametrorum fcilicet, inter fe

Sicq. prima Qujeftt pars conPorifma pracedens,G,fmus relitu ipftus li, ad 11, Jinttm rectum ipjitts ,ejl fu ut A ad C.SimiUq. ratione fe .

stat. Per

D

habet fnsts rectusfecundi**, ipftus Ii, adfnnm reltum fecundum, ipftus D,per idem Porifma. Sedper priorem tam dcmonftratam partem, vt A ad C,fc B ad D-.ergo per undecimam quinti Elementorum ,vt G ad H,fue Jinus fecundus ipfus B adfnu mfecundum ipfus D,fc B ad D ,

Omnium proinde fimilium arcuum, eadem cll iotcr fc ratio, qu* femidiametroru refpondentiu, flue finuum fuoru redtoru primorum, vel fccundorum,inter Ce. .

Quod dcmonstrajfc oportuit.

Theorema.

In duabus quibufcunq; diuerfis eiufdcm , milifuc

Stella? (i-

Phaenomeni, Parallaxibus (modointeT otius foliim ferri concipiatur motu)

rca,diurno

eadem

ratio eri^finus redi, maioris Parallaxeos,

ad (Inum redum minoris: qua? eftfinus redi, maad minoris ditantia? apparentis, (inum redum.

ioris a vertice diftanria? apparentis,

C // rerrte Phyfica centri* A. Spectatoris oculus, B. Dulcatur inter A cr B, recta linea A B. Qu.t in conttnunm (f direCtum, verfus partes B, extendatur. In qua acci,

piatur punitum

pro illo quod dicitur Zenitb nostrum

cale Ite. Tit centro

B,& intervallo B

A,defcnbatur q:ur-

ta circuli pars : cusus circumferentia notetur literis .

Bdij.

A G U.

Ducfjfc

j

)

Tarallaticus J^ucleus.

Duflarp fit refla B H, angulum cum A B linea, coprehendensreflum.Sit vero Phaenomeni* aliquod, quod in Subli-

mi (pcclatur

:

& in duobus dtuerfis

locis, vt

in

C quidem ,

longiori a vertice dislaqtia Apparente: (jr in D,(pacio

parente verticali minori

:

Ap-

ita vt per nullum interea , pra-

ipfum admittamus P hxnometer T , num. Centro A,interuallo autem A C,vel A D(tnjpb<tra, otius

motum

agitari

terreno orbi concentricaiexfolius diurni motus hypotbefi)

deferibatur circuli portio

T C DE: lineam A ufua fecans

circumferentia, in punflo E

Ita quodpunfla A,B,E, in vna eadem { fatuantur refla linea : in illa fcilicet, qux refla extenditur ab A, ad illudpunflum â&#x20AC;&#x153; : quod Zenith vulgariter appellatur: quod J'cmper( adperpendiculum .

&

Jp eflantis imminet vertici: Polufj; Uoriz,ontisanonnuL lia

* -

t

f

Tarallaticus !J\(ucleus .

Ad A,dr B, ducatur recta C A,C B: & D A, CB,& D B, vitra B, procurrant donec in circumferentiam A G H, alicubi incidant : vbi vera incidunt, fint I, K puncta Sintfy C B1,DB K linea retia.'' fraterea centro C,& interuallo C A portio circuli dejeribatSr. Cuius circuferent/a, occurrat CB1 retia, in puntto lis

vocatur.

DB

.

Verum

:

.

,

R

.

Similiter centro

D,

& intercapedine D A,

alia circuli

portio deferibatur: cuius circumferentia, linea

uia ft in puntto

S.lam vero, a puntto

D B K,ob-

A (per duodecimam

primi Euclidis )ducantur perpendiculares: A 0 fuper B l:

& AN, fuper B K. Notifimiim lus maioris drjlantia verticalis

efi,

quod C B E,Jit angu-

Apparentis:^

D B E, mi-

noris. Similiter, quod Vera difantta a vertice, angulus ft

C A E, maioris : & D A E, minoris Cum, vero illa qua .

eft

Vera

& Ajjetlabilis

,

k vertice, dijlantia,

angulorum

fue ( Graco n omine) E arallaxis: eandem hic contineri confatjn C quidem , 4 lineis A C,dr B C,in puntto C,concurrcnttbus:& in D , 4 lineis A E>,& B D,in puntto Dfefc inter[ecantibus. Et differentia, AJpettus dicitur diuerfitas

horii anguloru

Parallaticor ii, ad C,(jr

:

D (tanq centra) ita

R&

AS ( angulos ad C,& D , fue arcuit A reficientium ) Sinus rettos ejfe, retias ipfts A0,& A N, constitutorii,

( tum per confruilionc,tiirn per vigefima propoftione pri-

mi libri 1 omnis Regi omont ani de Triangulis ) manifestis efi: Nimirum A 0,quide(in triangulo C A 0 ,rettangulo) ipfius

ACO,

anguli rarallaxeos, Jinnm retium ejje

:

Et

A 7f( in trigono reti'angulo D A N ) ipfius anguli Pa raltareos A D N, ejft fnnm rettii. dico igitur ratione ipfius A 0,ad A N, eandem ejfe, qua efi fimis rclh maioris Apparentis dijlantia vfrticahs (fci licet ipfo

Pbxnome

no in Cypofito) ad finum minoris dijlantia verticalis Apparentis:

^

k

dum Phanomenum efi in D.Nam (f in trigono B.iitj.

ABO

,

-

t

Tarallaticus U\(ucleus. '

ABO, conflare potest (per conflrutiionem,(jr ditiam vi O,retiam,fl) ^A

geflmam, Regiomontani de Triangulis

num retium,ejfe arcus A 1: flue anguli A B 0,cui (per if. primi Elementoru ) ecqualis est contrapofltus, C B E: Apparentis

nimirum maioris

deflantia verticalis, angulus.

Quare arcus illius diflantise verticalis maioris , fimilis erit arcui AI :per conuerflonem deflnit sonis } Stmiltum ar-

cuum Et Kyi .

certum

efl,

N (flmili argumento

ipflus

^AK arcus

contrapofltum,efle ecqualem

:

)

fsnum retium ejfe,

A B N, anguli: huicjT nimirum D B E : angulum : flue

minoris diflantsaapparentis a vertice, fligare,per conuer-

flone deflr.it ion is Similium arcuum, ticalis,

&

illa diflantia

ver-

arcum habet, flmilcm ip[i A K arcui . Itaque (per

pretmijfam )

quam rationem habet Sinus retius arcus apparentia

K

m

'Paralia dens 3\(ucleus, parentis

miioris dtflanti* verticalis,adfletum redii iflius

arcus , minoris verticalis diflanti* Apparentis

O

habebit

reclum,

(flnutreE/us,A 1 arcus ) arcus

.

ad

:

eandem

N, fluit

Sed crfuperius oslendimus, eandem

omnino lineam o</ 0,flnum reclum eflfle maioris noflr* Parallaxeos, ad C procreat t : eandem lineam 4N, flnum rettum efle , minoris noflra Parallaxeos , ad Dprouenientis Quare ( per primum Theorema noflrum, vndecimam quinti Elementorum ) Eandem omnino ha-

o

&

&

-’

bebit rationem flnus reEtus Parallaxeos matoris^adflnum

reclum Parallaxeos minorts,quam habetflnus reEtus maioris diflanti* verticalis

Apparentis

,

adflnum

rcttu mi-

rromde. In duabus quibufcunq diueriis,eiufdem StcHi,fimilifuc Phamomcni Parallaxibus (modo interca diurno Totius folum ferri concipiatur motu) eadem ratio erit iimu redti maioris Parallaxeos, ad linum rcQum minoris , quz cll finus redii maioris a vertice diiUntiz Apparentis, ad mmoris dillanttx Apparentis , linum redhim.

noris ^Apparentis diHantix ;

Quod demonflrajfe oportuit.

Admonitio.

.

.

‘Prudens Mathematicus facillime aduertet , demonflrationis noltrx nihil impediri cur/um

i

(iue 'Tbtnomenum nos videre

contingat, in eodem Circulo veri icali.diuerfu ift.u distantias vertice Apparentes babere:( ficfy

tsi

D S & Stilor es ATI I,cr :

d 0- Sellares vtrof^.A CR,& %/ffl K, m eodem contineri

plano cotinget: )Siue in duobus diucrfls Circulis verticalibus:^ tunc hac quidem in vno plano, femper erunt : Scitor R,cr

AC

SeUor ATI l,dr (mea (fr

APE. Sedtn alio plano, SeUor A D S,

ATI K SeUor, & lutea reltu tA B E

omnibus

erit planis,

quod <sA B E,

in

per \ enith nostrum tran/euntibus.

Porifma.

Hinc manifcftum redditur ujn

Ita

j. :

Si

duarum

vcrticali-

Apparendum diftatiarumalicuius Phamomcni

'

'

•

'

C.j.

'

(ita,

.

T*arallati: us lA(ucleas,

&

fuppofuimus, delati) cognofcantur arcus , flnuum rationem quoqj redarum inter (cuplarum Parallaxium, in illis diucrfis diftantijs prouenientir um,vna fieri cognitam. (ita,vt

Erit enim eadem ( per preemiffam ) qux elt finitum iti qui funt ipftrum dtclantiarum Appa.

lorum rettorum

,

rentiumproprij.

Torifma.

2

.

Clarum etiam hinc fit. Si bina: fupradidx laxes componantur,dentur^;tanquam vna

Paral-

cognitis tamen Apparentium diftantiarum arcubus ( lin:

gulis Parallaxibus fcorfim debitis) facillime ipfas particulares difiungi polle Parallaxcs.

Hoc autem demon (Ir ari

potefi , auxi liante Ptolcmai

Lemmat 10 fecundo quod in eiufdem Epitome ,Furb ac bi< .

us

&

Regiomontanus , in duodecimam primi libri propofi-

tionem traduxerunt. Quam, etiam, Regiomontanm,infuo

de

T riangulii libro quarto,hifce habet verbis. <Propof. xxj.

Si quis arcus notus, minor fcmiarciimferentia,m

duos diuidatur, quorum linus proportionem habeant datam,vtcrque eorum notus

erit.

Red,ne, vel Typographi r.eghgentia, vel Autographi nandi ahfolat;, immatura editio, aliquam (htdiofis parere pofjitmo/c/fh

am dum ipfiu vigefiniam prim,tm,Cr vige/imam ftalndSFEri* •

po fit tones

Rjgiomontam ( propter hac notha ) nttelhgere vel me gramm faci urum extUtmaui , fi <£• tuxta ipfius AuthorU inttitutum , eafdem hic

exercere vellent , rem tlhs debito nitori ,

fubiungerem reShtutat.

1

-

'

.*

Sit arcua

vi

.

»r*.

A 6 $ datus^minorfe?hkhtitrrifer«niia i dtutjus

.

-.ÂŤ-i*'

Tarallaticus !A(udetis fus in duos arcus

it i

AG,& G B.Sitj proportiofinus arcus {

G B,data Dico quod vterq, arcuum A G,(jrG B, datus habetur .Subtendatur enim arcui A G B, Chordafua,A B. Ducatur. per punctum G %

'A G,ad finum arcus

.

partialium

t

& centrum AB

,

circuli ,

in puntlo D.

Z, diameter circuli

.-fecans

Chordam

Ex puntfis autem A,& B (arcum A B

terminantibus ) dux retlxdefcendant, perpendiculares ad

B H Titurii vtramfy conqux fint A E fiat ejfe ftnnm retium arcusfibi conterminatis A E quidem, arcus AG : B H, arcus B G Educatur etiamfemt dume ter Z L orthogonaliterfecans chordam A B,in diametrum

&

:

.

.

&

.

â&#x20AC;˘*

puntlo

K

St igitur proportio finuum data,fuerit pro-

.

portio <eqttalitatis ,

erunt

duoarcusA-

d E,

G,dr

quales

x-

Per

.

communem fcientia

.

Si-

nubus fuis

ae-

qualibus exilientibus.

Cumj; '

arcus

totus

AG B,

fit notus, erit

fr vterfy ar-

cuum A G,et

GB,

notus:

s....

ex if. primi huius

.

Si vero proportio ditiorum finuum

,

nonfuerit

proportio aequalitatis, erit alter eorum, altero maior

itaque

A E, 'maiorfinu B H\-

vnde

>

Sit

& ***** A G, maior C.j.

erit

,

-

,

Tarallaticus JA(ucleusc erit

arcu

G B Cum autem proportio A E ad B Hfit nota, .

eam in terminis

oportet

notis reperiri

•

per definitionem

Et ideo,per quintam primi huius , in numeris notis : quifint,R,(fi S R quidem, maior (fi S, minor Ita,vtfit proportiofimus A E, adfinum B Hficut

proportionis datje

.

•

.

.

BH D

A

Rad S. Cum auteduo trianguli E D,(fi rehanguli Ju os angulos apud contrapofitos, (fi ( Per ja.primiElementorum) duos reliquos habeant de quales, erunt ip(i sequianguli Et ideo, per -ffiexti, proportio A E, ad B 'H,fi.

cut

AD ,ad D B

ad

DB,

Proportio autem A E, ad B H,erat t unquam numeri R,ad numerum S: quare (fi proportio A D, veluti S.

.

ett

R ad

Et coiunc-

tim,

A B,ad

B D, ficu t R S, adS. Tres

aute

harum

qualitatum

notx fiunt.

Primum , R S,

quidem

propter duos

numeros R, (fiS (ex qui-

bus compofiius ett ) no-

numerus v autem S,ex eis qu<e fiupradiflafiunt, notus ett . Chorda de* mque A B,nota efl,propter arcum A G B,notum ; interce tos:

• -

>

,

depte tabula Sinuum, auf chordarum. JHugrta igitur, ficilicct linea B D,nota ventat per i?, primi huius „ Ettau•

\.m

tem

..Vi' .

\

Tarallaticus U\(Ucleu5 t temB K,nqta

(medietas chorda

deducia igitur B

AB) per

tertiam

tertij:

D,ex B K t relii}ua Dfrjiota enulduc-

Z A, erit triangulutiZ AE.reclr angulus cuius duo Utera Z A, & A K, nota fnnt : vnde 2 & fer 6.primi huius linia ZK, nota prodibit. Triangulus itaque Z D K, reclangulus, duo latera, Z K, cr K, habens cognita, angulum IX Z Kjggnitum afferet,per 27 Ia infuper femi diametro :

J?.

primi huius

Qui quidem ad

.

quatuor reciqs , eam habet

quam arcus GL,ad totam Circumferentiam .-quemadmodum ex vltimafexti trahitur Arcus igitur G L notus habebatur Qucm.fi arcui A L ( dimidio

proportionem, -S>w

.

,

fcilicet arcus

AG na-

AGP) addideris

tus. Jpfe demum,

^efuitabit arcus ex eodem arcu dtmidio,fiu( ex arcu

B L,

G B, cognitum. Vtcr% igitur arcuum partialium notus habebitur. Quodpollicebatur noablatus, relinquet arcum

&

Urum Theorema ea qu e demonPoffumus autem jlrautmus, applicare ad arcumfenucirCumferen iia mata,

re

&

.Vtfi arcus

A T B, notus, dividatur in duos arcus A T,

TB : quorumfimus, proportione habeant notam. Dum tamen vter^ arcuii partialium,fuerit minorfemicircumferentia. Sic enim neceffe efi diametrum

circuli,per punc-

tum T tranfiuntem, quafit T G,fecare chordam AB, arcus A T B : Qji<t (jr arcui A G B, communis. Vyde &fe.

A G B, minorem femicircumferentia : cr difi Unguet ex eo, duos particulares arcus,fcilicet A G,dr G B: Jjuoru finus ypropot tioni habebunt datam Qupniam , hmufmodtfinus, communes fiunt duobtu ar cubui B. cabit arcum

,

AT^&T

&

&

Vtrumql igitur arcuum 4 G x G B, exfupradiclis cognitum, fubtrahemus a femicircumferentia, relinquetur

&

Jocius fuus arcus 1 videlicet in finu fecum participans. £La°dfi arcus AG B fueritfemicircumferentia : dividatur in duos arcus A G,<y G B (vf contingit) tametfi

&

‘

i

G-if

fuerit

j

*%

U

,:-

'PnraUaticus OJ\(iicleuu fuerit djtaproportio,finusi/lius, adfinam ijlius (quam oportet ejje proportionem qualitatis, per communem fcfralter eorum necejfario dabitur Infi) non tamen enim modis, pofejl diuidi arcus ille , qui ejl femichr-

entium nitis

cum Vrtceft**** m

.

j.

.

ferent ia,proportionefinnum (

ticulares )

non mutaU

.

quos habent arcus par-

f[ Operatione hoc paSoperficies.

Si proportiofinultm dita, fuerit etqualitatis ; arcum datum, dimidiabis, (fi habebis duos particulares arcus cogSi verofuerit inaqua litat is : duos terminos eius

nitos.

congregabis

:

coHeclumj pro primofiatuas numere Midatae, profecundo: .

norem autem terminum proportionis (fi

numerum

chordae , Orcus dati , pro tertio

agitur fecundum per tertium

(fi

,

.

Multiplica

produftum diuideper

primum , quodj. exibit, a dimidia chorda arcua dati , auferas : (firefiduum cuji odi. is . Deinde, femidiametrocirculi, in fe multiplicata,

ircus dati

:

aufer quadratum dimidiae chorda

Quod autem relinquetur, quadrato eius quod

cuflodiri praecepimus, conjunge

.

Et

colleUi radicem elice

quadratam. Cufl oditu denique, perftnum totum extende radicem elicitam 'difiribuasiexibit enim (fi produtfttm in datum, (fi finus differentia, qua ejl inter dimidium arcum

vtrumq. arcuum quoji torum. Qqam ex tabula finus iti uentam , minue ex dimidio arcu dito , (fi relinquetur arcus minor quofitus : aut eidem adde, vt refultet arcus maB 40.graduum. Et In exemplo: Ponatur arciiS ior .

AC

proportiofinus, arcus

A G, maioris, ad finii arcus C B, mi-

nit, noris : ficut 7 .ad 4. colligo 7 .(fi 4 fiunt 1 1 ,pro primo mero 4. autem, accipiam pro fecundo, (fi 41 °4 2 (fellitet per Multiplico 41 4. dati )protertio\ 042. chordam arcus producuntur 16416 i. QUodiuidopcr tr, exeunt 1492*. hic curiofius tradar c non efi necefii"] [ C~: quam forticulam, linea videlicet D B : quam fabtrahi a medietate chord .

-

,i

.

:j

ÂŁvidelicet

,

f

L

‘ParalUticus 3\(nclcUti [videlicet 'B A']

remanebit yjpj^ftrc custodienda ,pro D K . Item femidiamtter [Z- ] flue Sinus totus [ex eifdtm tabidis] 60000. qua duco 'in fe producuntur

4

Imea

,

4 quo aufero quadratum dimidu il>orA$ [fiimiium A] quodefi' 42311 1441 » manebunt o quaty drato linea Z A] 3 i jHi&SS $$£ , IIoc addo quadrat olinect;

3600000000

.

A

{

D K (fci/icct 3 1326409 ) refultant 32102143)6$, Hhius est, fere $6659 [Irnea D ZJ quam feruo.

Deinde ( per 27 primi fuius ) multiplico numerum linet

radix quadrata,

DK

,

perjinumtotuM^produeunfur 335820000 ; qua dt~ nimirum lineam D J

nido, per radicem feruatam G

Z

*

exeunt 39 27,ipfeJiuus, arcus nostri

dem tabulis)

G£

Huius (in

.

ctf-

arcus est, graduum s

40 [fecundorum 10

]

f rupulorit primorum quem deme f.y dimidio anu dato, fit

licetgrad/bun%9xw»xnt gradus i^fcrupula prima 19. [fecundo 5 o.]arcusfcilicet minor, B. Item eidem [dimidio arcui dato] tpfam[G L, arcum] addo, •veniunt gradus 2$. .

,

G

fcrupula prima 40 .{fecunda 10. ]&ftc reliquus habebitur arcus G. * lUh r ii y

A

‘

1

i

tPorifma. 3.

Si

duarum predidtarum Parailajtium diffcrchitiiffa. lum <ir data,cognitaue, & duarum diftantfarlrm£ vertice Apparentium arcus,etiam cognitiYPirafIaxes hic lingulas pofle exhiberi integras 'jdirtinp* tafque,illaruui diflantiarum proprias, fa(is cft

nifeftum.

ma-

“^ WjUV

...

,

M»

r

'v> _ Xt~' j J ropoftuo A rgiomontam 2,2 Ctufqj dcmonstrqtio d? optratio, huius veritatem praxim, commonStrare potefl: quam hic adsurtgere.e rejludtoforumfote arbitratus funi .

V \iW .^v .

.

.

& •

.

&

i

’

i

\

.

Twpof*

jSKjffli

Si datafaeritdiffeteaciaduoriuui

,

r

v. ..\

arcuum cv.m pro-

C.iiii.

portjpnc

•

q

,

J^uclem.

‘Pnrattaticus

portione finuum fuorum,vterque eorum cogni*

.

tus habebitur.

•

Duo arcua A G,&GB, conterminales intelligan tjki ejl G B pars maioris A G.Quoru dtjfe{ rcntia,Jit data arcua videlicet A B Eorum f fimus, ha-

tur

:

minor

,

,

.

:

beant datam proportionem. Dico quod vterfy eorum notus reddetur Incedat enim per G germinum communem ar.

cuum dictorum,dr centrum Circuit ,Z, linea re£la:vtrinqs indefinita

:

diametrum tamen

circuli

GT

t

complectens.

Z M fecans chordam A B, orthogonaliter ,in punfio L. A punftis A efi B (chorda A B, Educatunfi femidiameter

:

terminantibus ) duce perpendiculares

A D,& B E, ad di-

ametrum deficendant Quas confiat efie duosfinus,arcuii .

A G,dr G B .Si itaque

ipftfuerint aquales

:

hoc efi, pro-

portiofinuum data,fuerit proportio aequalitatis : erit,per

commun ?

;

arcus

G B,

m

•

fidentiam i Uuv

'

•

aqualis arcui

A 7*.

(SfflAl !*ifc

M»«t

»i

m)

t"hf>(uv£i ni... , *

fiemicircu -

>

ferentia nota .refidui medietas^arcus ficilicet B G, minor, cognitus erit CuffidrctdhA B, 'notum, adiecens prodi.

bit arcus

:

A Gjmaior, cognitus .

Si vero alterfinuum

maior rehquo extiterit . fit (verbi gratia) arcusmaioris, G,fimus, maiorfinu drcUs mitioris )B G. Abfcindaturtfi

A

3ilQino< >1

a.D

B Ke

-

'Parallaticus

^(uclms.

B K : qux,per 3 3 -primi Elementorum, eequidifiabit linU E D. Vr.de (per 34 .primi Elementoru ) angulus E B K,

&

angulo

retius habebitur

ideo angulus

ABE

,

EDK, redo

cxiftentc

.

Et

retium fuperabit, erit

% obtufus. Pro

dutia autem linea ab A, per B, indefinita ex parte puncti B : erit reliquas angulus apud B, acutus ( ex altera parte linea B E,confiitutus.)

Cum j, fit

angulus

B E G, retius.

A

B , fatis porretia , concurret cum linea G, oportune prolongata (per s-pofialati*: quod fiat puntio ) Linea ditia

H

T

m

.

Quoniam igitur,proportio

A D,adB E, data efi

;

in

numeris eam reperiemus per Corollarium quinta primi : huius: qui fint R,(fi S.R quidem, maior numero S. Quo-

rum dijfcrentiafit X EU autem per fecundam gr quar( tam fexti, gr 16. quinti Elementorum proportio A D,ad ) B E (drtdeo B,adS ) tanquam A H,adHB Quarejif.

D.i.

luntiirh.

Tarallaticus J\(ucleus,

R&

iunclim, A B,ad B H,ficut differentia numerorum (

S ) videlicet X,ad ipfum minore numerum ,S Cum f tres .

harum quantitatum proportionalium fnt data, nimirum numerus X y numerus S : Chorda A Bl quam arcus

&

&

fuus notsjicat,per Tabulafinuii, aut Chordaru. Duplican-

do enim (ini* rettu medietatis ipftus arcus,producttur tota

Chorda integri arcus ]

cet linea

B H,nota

cognita veniet

.

s

& quarta proportionahu,fcili-

AH

per r 9 .primi huius . Et ideo tota B, nota, non B L y medtet,as linea

A

Item

erit incognita. Vnde

igitur fub

erit

&

linea

AH, & HB

t

H L,data c oparabttur.

continetur Parallelogrammum

aurettangulum (per 16.primi huius ) notum erit. Ipfum priper )6.tertij , te aquatur ei quodfub :

&

HG

TH

mam communem animi conceptionem, fhiamobrem quod [ubTfl,&HG continetur notum erit Cuifi quadratu ,

.

an-r

--

.

>1*8 *

7

?

Tarallaticus J\(ucleus.

*>l

Z G, nota,adiecerimus,refuitabit ( per fex tam fecundi) quadratum linea H Z, notum. Vnde cr tpfa H Z linea cognofcetur, per fecundam primi huius T nanguli ergo Z H L,retlanguh duo latera Z H,& H L,nota funt quare (per 27 .primi huius ) angulus eius, H Z L,

femidiametri

.

,

:

G M, notum Ad quem,fi arcum M A(medietatemfcilicet arcus habebis. ltem^ arcum G, notum A A B,dati ) adiunxeris: f ex eodem arcu G M, dimidium arcum datum, reieceris, arcus B G, notus relinquetur Quod haclenus expetlaui mus Quodfi maior duorum finuum, minorisfuerit notus erit .Cuius denique numerus, arcum

s

.

faciet.

.

.

arcus

:

B T, ad non aliter, quam

vtfi quis offerat proportionem finus arcus

finum arcus

A T, cum arcu A B noto

nuperrime, peragendum

erit

:

:

done $ elicietur arcus

BG

cognitus. Quo dempto ex femicircumferentia,relinquetur

arcus B

T notus : cuifi arcum AB

fubtraxeris,arcu minorem ratio

.

(ex hjpothefi notum)

A T, notum relinques

Si data proportio finuum, fuerit

,

.

Opeaqualitatis :Jub- p rateptum

&

trahe arcum datum exfcm(fircumferent ia, refidui dimidium, erit arcus minor quafitus Cui arcum datum .

adieceris refultabit arcus maior. tio inaequalitatis,

fi

St verofuerit propor-

&finus maioris arcus

,

maior, finu ar-

cus minoris, differentiam terminorum proportionis data,

primum numerum : terminum autem minore, Chordam arcus dati ( qui esi differentia : arcuum qu defit orum ) pro tertio Multiplica igitur fecunconflitue

profecundo

&

.

dum per tertium, & produHum dinide

per primum

:

& &

quod exibit , addas Chorda dimidia arcus dati: colleflumqueferua. idem quoq{ adde toti Chorda, arcus dati : collettum multiplica per id quod Chorda toti, eius medietati addtdisii .Eique quod producitur quadratum fe,

&

midiametri

(fcilicetfinus totius) adqcias.

JD.if.

Huius demum aggte-

Jt

,-

Tarallaticus 3\(ucleus.

.

,

dggngat/, radicem elice quadratam Deinde quodfuprk feruat um iri infimus,per ftnum totum multiplica: pro ducium diuide in radtcem iam elicitam : ab exeunt iftfr .

&

arcu, dimidium arcum cus minor quafitus

Ex emf lum

.

.

datum minue :

tur proportio finus arcus

ad

1 $. ptq{

relinquetur ar.

Quem & eidem ,fi addideris : ma-

iorem arcum quaptum numerabis .

20.

(jr

In exemplo. Pona.

AG,ad pnum

arcus

BG,pcut

lAB~\ dijferentia arcuum \jtA G,

& B G}

40. graduum . Huius Chorda, efi 41042. Differentia 20 adi 3, esi 7. Multiplico igitur 41 042 , per 13 , producuntur s 3 3S4 S q<** diuido per 7 . exeunt 7622 1 fere: linea, B H. Huic addo medietatem Chorda A B,fcilicet -

fc/ licet

Item [5 L] 20321 ,refultant 96742, linea (a licet L H H~\ 76221 , cr t-d #] 41042, veniunt 117263 : colligo .

H ] qua multiplico per 76221 CB H~\ procreantur S 9 37 90 3 123. quibus addo quadratum (G Z} (Sinus Toquod esi 3600000000 : colliguntur 12337 903123.

Huius radix quadrata, est 197 3, fere Itpfi Z lutra ] quam feruo Deinde multiplico IH H] 96742. per 60000 producuntur $$04320000. qua diuido per tu 97 3 tius )

itr Ii'. â&#x20AC;˘

t

H

u

.

exeunt 31839, fere, pnusfcilicet arcus

MG

WQ

:

per 27. pri-

mi huius . Qui (in eifdem Tabulis)erit graduum 39. fcrj primorum 46. a quo arcu, aufero arcum B M ,20.graduu: manebit arcus B G gr?3 p.fcr:46. Itemadde M A gr: 20. arcui G ( nuper tnuento) graduum 39 fer: 46, veniunt

M

gradus 79 fer: 46.

Zttrjj igitur arcus

& tantus computabitur arcus

G.

A G,& B Gjam cognitus habetur feorfim.

Tori/ma.

4.

Manifeftum etiam ex iftis eft,ParaIlaxium Canones facillime componi, vel a magnis quibufdam Mathematicis compofitos j corrigi pofle : Maxima, vel

.

*

V

bil

,

no <**•

Sin\ lix*, vel <

intuenti ,j

prabebur,

fafreque.

praxim \ Compendt tam effert, culo ’ horum b. .

t* 'ifj

excitationem, in ver,,

/eruat ii Par nllaxibu).

%

‘Vlts

> \

>

di—

tpoflutm .Loca, longe •

hi -

0

ilO if ^ Tfc 1

•

ir,

N

'

.

tfjr.

.•y^

rsi.

rjm, Amici mei, .adiofi Philofophi*.

^O.T>£6 , i * i

.

6*

•

.

o

nd V* .

~

t*

t\\i.