Vector 25

FEBRUARI 2026 - nummer 25

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

van

Met medewerking

Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade, Ars et Mathesis en Pythagoras

VECTOR

3 MAGISCHE AAPJES

HOEK VAN ZONSOPKOMST 9

16 LOGISCHE POORTEN IN DE HUISKAMER

INDEXWIJZIGINGEN 20

24 ARABISCHE, INDISCHE, ARABISCH-INDISCHE, ... CIJFERS?

MONT SOLAIRE EN WISKUNDE 30

38 DUBBELSCHAKEN

HISTORISCHE OEFENINGEN OVER DE STELLING VAN PYTHAGORAS 40

VORONOIDIAGRAMMEN 43

VECTOR

8e jaargang - nummer 25

REDACTIE Bart Delepierre, Daphné Depape, Anke Oderij, Karel Sierens, Esther Verhelst - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be

EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.

VECTOR is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.

VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge

REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

MAGISCHE AAPJES

KLAAS LAKEMAN

DE COMPUTERPRENT MAGISCHE AAPJES VAN DE VLAAMSE KUNSTENAAR PETER RAEDSCHELDERS IS EEN REGELMATIGE VLAKVERDELING MET VIER VERSCHILLEND GEKLEURDE CONGRUENTE AAPJES. ZE SCHUIVEN

ALS PUZZELSTUKJES IN ELKAAR EN KUNNEN HET HELE PLATTE VLAK OPVULLEN ZONDER DAT ER OOK MAAR ERGENS EEN OPENING ONTSTAAT. RAEDSCHELDERS HEEFT ZICH ECHTER BEPERKT TOT 64 VAN DIE AAPJES IN DE KLEUREN BRUIN, ANTRACIET, GRIJS EN ZWART, KEURIG OMSLOTEN DOOR EEN ZWART-WIT GEBLOKTE OMLIJSTING.

Nadere beschouwing leert dat vier verschillend gekleurde aapjes steeds in een groepjes van vier bij elkaar zitten (figuur 1). Dat zorgt ervoor dat de prent is te beschouwen als een 4 x 4-vierkant, met vier rijen en vier kolommen (figuur 2). In elk vakje van dat 4 x 4-vierkant zitten dus 4 verschillend gekleurde apen. Dat geeft de prent een mooi overzichtelijk, regelmatig aanzien.

EYE-OPENER

Niet voor niets is figuur 1 naar verhouding vrij groot weergegeven, want kijk eens naar de ogen van die vier aapjes. Sommige apen hebben hun ogen open en andere hun ogen gesloten. In figuur 1 hebben de

bruine en de zwarte aap hun ogen dicht en de antraciet gekleurde en grijze hebben de ogen open. Figuur 1 is het blokje van vier links boven in de prent. In de andere 15 groepjes van vier geldt hetzelfde: sommige apen hebben de ogen open en andere

de ogen dicht. Dat vraagt om nader onderzoek. Wat gaat er schuil achter die verdeling van ogen open, ogen dicht?

Bekijk nogmaals het vakje van figuur 1 en ken aan de vier aapjes daarin punten toe overeenkomstig het schema van figuur 3. Dus apen die slapen en hun ogen dicht hebben krijgen nul punten. Apen die hun ogen open hebben krijgen afhankelijk van hun kleur punten. Zo krijgen de aapjes in figuur 1 (het vakje links bovenin) de volgende score: zwart 0, grijs 4, antraciet 2 en bruin 0 punten. Bij elkaar opgeteld heeft het vakje linksboven 6 punten.

Ogen dicht Ogen open

Bruin 0 punten 1 punt

Antraciet 0 punten 2 punten

Grijs 0 punten 4 punten

Zwart 0 punten 8 punten Figuur 3: Puntentoekenning.

Zo kunnen aan de apen in de andere 15 vakjes ook punten worden toegekend. Het resultaat staat in figuur 4.

Figuur 2

Figuur 1: Het groepje van vier apen, linksboven.

Figuur 4: Magisch vierkant afgeleid uit de computerprent Magische Aapjes.

rijen, kolommen en de twee diagonalen zijn bij Dürer dan ook steeds 34 in plaats van 30 in het aapjes-vierkant van figuur 4.

DÜRER BIEDT MEER

BINAIRE NOTATIE

Ga in het vakje linksboven (figuur 1) beginnend bij het zwarte aapje, tegen de wijzers van de klok in de vier apen langs en noteer een 1 als de ogen open zijn en een nul indien die gesloten zijn (figuur 6). Dat levert 0110, de binaire notatie van het decimale getal 6. (Eigenlijk is dat 110, want de nul vooraf heeft geen betekenis en kan weggelaten worden.) Dit kan in elk vakje van vier apen worden uitgevoerd en dat levert voor elk getal in het magische vierkant van figuur 4 de binaire notatie, zoals weergegeven in het vierkant van figuur 7. 6 13 0 11 1 10 7 12 15 4 9 2 8 3 14 5

MAGISCH VIERKANT

Figuur 4 is een magisch vierkant, ook wel tovervierkant genoemd. Daarin leveren de getallen in elk van de vier rijen, in elk van de vier kolommen en in elk van de twee diagonalen dezelfde som op, hier 30. Die som wordt de magische constante of het karakteristieke getal genoemd. Gaat het om een vier-bij-vier vierkant zoals hier, dan spreken we van een magisch vierkant van orde 4. In het algemeen spreekt men bij een n x n-vierkant van een magisch vierkant van orde n. Het is gebruikelijk dat een magisch vierkant van orde n de natuurlijke getallen van 1 tot n2 bevat. Noodzakelijk is dat niet.

Het prototype en bekendste magisch vierkant (van orde 4) komt voor in de gravure Melencolia I van Albrecht Dürer uit 1514 (figuur 5). Dit vierkant bevat anders dan dat van figuur 4 wel netjes de natuurlijke getallen van 1 tot en met 16. Daarmee zijn de gebruikte getallen allemaal 1 hoger. De sommen van de getallen in de

In het magisch vierkant van Dürer hebben overigens niet alleen de getallen in de afzonderlijke rijen, kolommen en diagonalen dezelfde som 34. Ook de getallen in de vier afzonderlijke hoekpunten, de getallen in de blokken van 2 x 2 linksboven, rechtsboven, linksonder of rechtsonder en de getallen in het middelste 2 x 2-blok hebben som 34. Bovendien hebben onder meer de twee middelste getallen in de uiterst linkse en uiterst rechtse kolom respectievelijk in de bovenste en onderste rij som 34. Ook is in de twee middelste getallen van de onderste rij het jaartal van het ontstaan van de gravure verwerkt, namelijk 1514.

7: Binair magisch vierkant.

Figuur 5

Figuur 6

Figuur

GEBLOKTE OMLIJSTING

Afgezien van die op de hoeken bestaat de geblokte omlijsting uit dertien zwart wit geblokte 4 x 4-vierkantjes in de bovenrand, dertien in de rechterrand, dertien in de onderrand en dertien in de linkerrand. In totaal dus 52. In zo'n vierkant zijn telkens vier van de zestien hokjes zwart. Die vier zwarte vakjes geven aan dat de getallen in de betreffende hokjes in het magische vierkant van figuur 4 telkens som 30 leveren.

In figuur 8 staan twaalf van de dertien 4 x 4-vierkanten van de bovenrand, voor de duidelijkheid van elkaar losgeknipt. De eerste tien 4 x 4-vierkanten tonen dat de getallen in elk van de vier rijen, in elk van de vier kolommen en in elk van de twee diagonalen dezelfde som 30 hebben. Het elfde en twaalfde vierkant in figuur 8 geven aan dat de getallen in de zogenaamde gebroken diagonalen som 30 leveren. Bij het magische vierkant van Dürer uit figuur 5 gaat dat ook op, zij het dat de som daar zoals gezegd 34 is.

SUPER TOVERVIERKANT

Bij Dürer hebben de getallen in de blokken van 2 x 2 linksboven, rechtsboven, linksonder of rechtsonder en de getallen in het middelste 2 x 2-blok dezelfde som 34 (figuur 5). Bij de Magische Apen van Raedschelders hebben de getallen in alle blokken van 2 x 2 dezelfde som 30 zoals aangegeven in figuur 9 waarin de betreffende negen vierkanten uit de rechterrand zijn opgenomen. Met het tovervierkant van figuur 4 is dat eenvoudig te controleren. De 2 x

2-blokken waarvoor dat bij Dürer niet geldt zijn in figuur 10 weergegeven, wat met figuur 5 is te controleren.

Het tovervierkant dat verborgen is in de Magische Apen biedt veel meer dan het magische vierkant van Dürer. Dat van figuur 4 telt zelfs 52 manieren waarop de getallen in vier hokjes som 30 hebben, zoals aangeven in de rand van de Magische Apen. Daar kun je dan ook met recht spreken van een Super Tovervierkant! Zoals uit de figuren 8 en 9 al blijkt, vertonen een aantal van die 52 manieren onderling een zekere symmetrie als je alleen op de ordening van de zwarte hokjes let.

Om gemakkelijk na te kunnen gaan op welke manieren in het tovervierkant van Dürer de getallen in vier hokjes som 34 leveren en welke niet, zijn alle 4 x 4-vierkanten uit de rand van Magische Aapjes in figuur 11 vergroot weergegeven. Ter onderscheid is elk 4 x 4-vierkant daarin voorzien van iets dikkere zwarte lijnen. Ook kan figuur 11 dienen om te controleren of alle 52 manieren in het Super Tovervierkant inderdaad som 30 geven.

Figuur 8

Figuur 9

Figuur 10

HOEKEN VAN DE LIJST

Om de geblokte 4 x 4-vierkantjes in de hoekpunten zit een extra dikke zwarte rand. Deze vierkantjes geven namelijk iets anders aan dan de andere 52 in de omlijsting. De zwarte en witte blokjes in deze vierkanten geven aan waar apen van een bepaalde kleur hun ogen respectievelijk dicht of open hebben. Zoals op te maken uit figuur 12 geldt dat in het vierkant linksboven voor de zwarte apen, linksonder voor de grijze, rechtsonder voor de antraciet en tenslotte rechtsboven voor de bruine apen.

MEER SUPER MAGIE

Knip in het magische vierkant van figuur 4 de bovenste rij los en plak die onderaan weer vast. Dan ontstaat een ander magisch vierkant (figuur 13). Vervolgens kan daarin de uiterst linkse kolom worden losgeknipt en

uiterst rechts er weer aan worden vastgeplakt. Dat levert opnieuw een magisch vierkant (figuur 14).

Door het verplaatsen van de bovenste rij naar onder te herhalen, komt na vier keer het oorspronkelijke tovervierkant weer tevoorschijn. Door dit te

combineren met het verplaatsen van steeds maar een uiterst linkse kolom naar de uiterst rechtse kant, worden 16 magische vierkanten verkregen. Al die 16 magische vierkanten bezitten zelfs alle in figuur 11 schematisch aangegeven 52 manieren waarop de getallen in vier hokjes som 30

Figuur 11

Figuur 12

Figuur 13: Bovenste rij naar onderen.

hebben! Voor de vierkanten in de figuren 13 en 14 is dat met behulp van figuur 11 snel na te gaan.

Het zal duidelijk zijn dat dit van uiterst links naar uiterst rechts verplaatsen van kolommen en omgekeerd, gecombineerd met het van boven naar onder verplaatsen van rijen en omgekeerd, ook voor de rijen en kolommen met aapjes in figuur 2 opgaat. Oppervlakkig gezien verandert de prent Magische Aapjes daar niet door, zeker niet als je niet weet dat je erop moet letten of de aapjes ogen gesloten of open hebben.

Figuur 14: Uiterst linkse kolom naar uiterst rechts

HOEK VAN ZONSOPKOMST

H. HIETBRINK & J. TEN BÖHMER

EEN CURSIST STELDE EEN SIMPELE VRAAG. HIJ WILDE WETEN OF ER EEN

FORMULE IS VOOR DE HOEK VAN DE ZONSOPKOMST. DAT IS DE HOEK WAARMEE DE ZONNEBAAN BIJ ZONSOPKOMST DE HORIZON SNIJDT ALS FUNCTIE VAN DE GEOGRAFISCHE BREEDTE EN DE ZONSDECLINATIE. HET

ANTWOORD BLEEF UIT EN ZODOENDE WERD HET DE PUZZELVRAAG VAN ZON&TIJD 2024-3, HET PERIODIEK VAN DE ZONNEWIJZERKRING.

Zonsopkomst © Ayca Turan

BOLMEETKUNDE

Stuurlui op de grote vaart, machinisten, piloten, militairen en astronomen leerden bolmeetkunde om afstanden en koershoeken op de wereldbol te berekenen. Op middelbare scholen was het geen onderdeel van het wiskundeprogramma. Wel was het vroeger onderdeel van het wiskunde- programma voor aanstaande docenten. Soms krijgt bolmeetkunde aandacht tijdens een lerarenopleiding, maar een volwaardig vak lijkt het niet te zijn. In mijn kast staan enkele studieboeken en ze zijn allemaal van voor 1940. Bolmeetkunde leeft nog wel bij De Zonnewijzerkring, de Nederlandse en Vlaamse vereniging van mensen met belangstelling voor zonnewijzers.

Het verband tussen hoeken en zijden van driehoeken op de bol laat zich vangen in enkele formules die een aaneenschakeling zijn van som en product van sinussen, cosinussen en tangensen. In deze bijdrage gebruiken we twee formules om een heel concrete vraag op te lossen. We gaan ze niet bewijzen. We gebruiken vooral de regels uit de klassieke goniometrie.

ANTWOORD OP DE PUZZELVRAAG

In het volgende nummer verscheen als antwoord een verrassend eenvoudige formule, namelijk: cos(α)=sin(φ)/cos(δ) waarbij α de hoek is tussen de zonnebaan en de horizon bij zonsopkomst, δ de zonsdeclinatie op een bepaalde datum en φ de geografische breedte. Omdat de uitleg niet voor iedereen even duidelijk was, volgt hieronder een toelichting met bijbehorende illustratie uit het “Leerboek der Boldriehoeksmeting” van J.J. van Laar uit 1892, gratis beschikbaar op Google Books. In figuur 54 (blz. 83) is een belangrijke boldriehoek gearceerd, met hoekpunten P, N en S: respectievelijk de astronomische pool, de noordelijke richting op de horizon en het punt waar de zon opkomt. Ook handig is het boekje “Basis-wiskunde voor de Zonnewijzer”, geschreven door H.W. van der Wyck en verkrijgbaar bij De Zonnewijzerkring.

De figuren hierna zijn voor deze bijdrage opnieuw getekend, waarbij de relevante driehoeken gekleurd zijn om de structuur inzichtelijk te maken.

Figuur 54: Hemelboldriehoek bij van Laar

OPDRACHT 1: GEOGRAFISCHE BREEDTE

De geografische breedte geeft aan hoe ver een plaats ten noorden of ten zuiden van de evenaar ligt. Voor Turnhout is het bijvoorbeeld 51,3°. In figuur 54 is cirkel EWQAO de hemel-evenaar, punt P is de astronomische pool en punt N ligt op de horizon. Leg uit dat booghoek NP de geografische breedte is.

Je kunt de GeoGebra applet gebruiken om vertrouwd te raken met de begrippen geografische breedte, zenit en declinatie. Ook kun je de website van De Zonnewijzerkring raadplegen. Voor leden is de jaarlijkse cursus gratis.

Link: https://www.geogebra.org/m/ cgccmum4#material/wamxxv2t

OPDRACHT 2: REKENEN AAN DE HOEK VAN

ZONSOPKOMST

De formule cos(α) = sin(φ)/cos(δ) is gegeven voor de hoek α tussen de zonnebaan en de horizon bij zonsopkomst. Toon voor Antwerpen op geografische breedte φ = 51,1° met berekeningen of grafieken aan dat volgens deze formule de hoek α schommelt tussen 32°en 39°. Voor declinatie δ geldt dat sin δ = sin 23,4° · sin( ·360°) waarbij d het aantal dagen is dat verstreken is na 21 maart.

HOE KOM JE AAN DE FORMULE

Zoals vaak in de wiskunde geldt: zodra je het antwoord kent, lijkt de uitwerking vanzelfsprekend. De uitdaging is om tot dat antwoord te komen. Daarom opent deze bijdrage met een systematische zoektocht en een verkenning van het beschikbare wiskundige gereedschap.

Op Figuur 1 is punt T het zenit en punt P de astronomische pool. Punt S is het punt waar de zon opkomt terwijl in punt S' de zon hoog aan de hemel culmineert. Deze punten definiëren de zonnebaan ‘s morgens.

Op de horizon liggen de punten Z, w, N en o, respectievelijk voor Zuid, West, Noord en Oost. De equator is de cirkel door de punten E en Q en snijdt de horizon in de punten o en w. De cirkel door de astronomische polen en punt S snijdt de equator in punt A. De meridiaan is de cirkel ZES'TPNRQ

De zonsdeclinatie δ is de boog tussen de equator en de zonnebaan. In de figuren weergegeven als boog ES' maar ook de boog AS of de boog QR. De boog PS is het complement daarvan, de poolshoogte. De breedtegraad φ is de hoek tussen de horizon en de astronomische pool. In de figuren is dat boog PN, maar ook de boog ET. In de figuren is de gevraagde hoek α bij zonsopkomst de hoek tussen de horizon en de zonnebaan ( ZSS').

GROOTCIRKELS

De bolmeetkunde geeft formules voor boldriehoeken, dat zijn driehoeken die worden begrensd door drie grootcirkels. Een grootcirkel is een cirkel waarvan het middelpunt samenvalt met het middelpunt van de bol. Deze formules zijn niet toepasbaar op driehoeken waarvan een van de zijden géén grootcirkel is.

OPDRACHT 3: CIRKELS OP DE BOL

Op een mooie zomerdag staat de zon hoog aan de hemel. De declinatie is eind juni meer dan 20°. De zon beweegt die dag over de cirkel door de punten R, S en S' aan onze kant van de evenaar. Zie Figuur 2. Onderzoek of het middelpunt van deze cirkel op de poolas ligt. Toon aan dat de omtrek van deze cirkel korter is dan de omtrek van een grootcirkel.

Figuur 1: Hemelbol met horizon, equator en zonnebaan (�α is de gevraagde hoek)

GEEN BOLDRIEHOEK

De cirkel door de punten S en S' heeft weliswaar een middelpunt op de poolas, de lijn door de punten P en m, maar dit middelpunt valt niet samen met m, het midden van de bol. Bij een positieve zonsdeclinatie ligt het erboven, bij een negatieve eronder. De cirkel door de punten S en S' is dus geen grootcirkel, en daarom is driehoek SS'Z geen boldriehoek. De conclusie is dat we de formules van de bolmeetkunde niet mogen toepassen op deze driehoek.

OP ZOEK NAAR BOLDRIEHOEKEN

We gaan op zoek naar bruikbare boldriehoeken. Met zoveel punten op de bol zijn er talloze mogelijkheden. Om onze zoektocht te beperken, verkennen we eerst het beschikbare wiskundige gereedschap. We zoeken een driehoek waarvan alle zijden grootcirkelbogen zijn en die op een of andere manier verband houdt met de zonsdeclinatie en de geografische breedte.

FORMULES BOLDRIEHOEK

Figuur 2: Boldriehoek SS'Z (zijden horizon, zonnebaan en meridiaan richting Zuiden) en boldriehoek SNR (zijden horizon, zonnebaan en meridiaan richting Noorden)

Tegenover driehoek SS'Z ligt driehoek SNR waarbij boog NR het verschil is tussen boog PQ (90°) en de geografische breedte φ (boog PN) en de zonsdeclinatie δ (boog QR). Ook deze driehoek SNR is geen boldriehoek want cirkel SS'R is geen grootcirkel.

Figuur 3 toont een platte driehoek en een boldriehoek met hoekpunten A, B en C en met zijden c.q. bogen a, b en c, waarbij p + q = c. De illustratie is afkomstig uit “Platte en bolle meetkunde” van F. van der Blij. Zoals met een hoogtelijn de sinus- en cosinusregel in het platte vlak afgeleid kunnen worden, zo kan ook met twee rechthoekige boldriehoeken de sinus- en cosinusregel op de bol afgeleid worden.

Figuur 3: Platte driehoek en boldriehoek met hoekpunten, hoeken, zijden en hoogtelijnen

Voor iedere boldriehoek gelden twee basisformules:

• cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A

• = =

In deze formules is straks hoek A de gezochte hoek α.

OPDRACHT 4: FORMULES AFLEIDEN

Zou je deze formules zelf willen afleiden? Je kunt bij Smart op een klassieke manier de afleiding lezen, maar de uitleg bij het model van Van der Blij is meer inzichtelijk.

FORMULES GEBRUIKEN

De cosinusformule vertelt ons dat we de onbekende hoek A van zonsopkomst kunnen berekenen, mits we de lengtes van de drie bogen a, b en c kennen. Helaas beschikken we maar over twee, namelijk zonsdeclinatie δ en geografische breedte φ. Dit betekent dat we deze formule alleen kunnen gebruiken als de lengte van de derde boog 90° is, oftewel een kwart cirkel.

De sinusformule geeft aan dat we de onbekende hoek A kunnen berekenen als we de lengtes van de bogen a en b kennen, evenals de grootte van hoek B of als we de lengtes kennen van de bogen a en c en de grootte van hoek C Omdat we echter maar twee hoeken kennen, kunnen we deze formule alleen gebruiken als hoek B of hoek C een rechte hoek is. Preciezer gezegd, we zoeken een driehoek met een rechte hoek tegenover een bekende zijde en de gevraagde hoek tegenover een andere bekende zijde. Conclusie is dat we op zoek moeten gaan naar een boldriehoek met of een boog van 90° of een rechte hoek tussen de bogen.

OPDRACHT 5: VIND DE BOLDRIEHOEKEN

Nu je weet aan welke voorwaarden een geschikte boldriehoek moet voldoen, mag je zelf proberen om een handige boldriehoek te vinden. Tip is om te zoeken naar rechte hoeken en naar complementaire hoeken.

OP ZOEK NAAR EEN GESCHIKTE BOLDRIEHOEK

We gaan de hoek bij zonsopkomst uitdrukken in geografische breedte en zonsdeclinatie. De zonsdeclinatie wordt weergegeven door boog AS, terwijl het complement daarvan boog SP is, de poolshoogte. De geografische breedte komt overeen met boog NP en boog PT is het complement daarvan (Figuur 4). Daarnaast is boog ST (Figuur 5) een kwart boog. In deze configuratie komen verschillende rechte hoeken voor.

Zo staat de meridiaanboog NP loodrecht op horizon NS, evenals boog ST dat doet. Bovendien is boog ST een kwart cirkel. In de figuren zijn de bijbehorende boldriehoeken dik gekleurd.

Figuur 4: Boldriehoek NPS met punten Noorden (N) en Pool (P) en Zonsopkomst (S)

Figuur 5: Boldriehoek PST met punten Pool (P), Zonsopkomst (S) en Zenit (T)

De volgende stap is om de hoeken NSP en PST uit te drukken in de gevraagde hoek bij zonsopkomst ZSS'

DRIEHOEK NPS

Laten we beginnen met driehoek NPS. De zonsdeclinatieboog PS staat loodrecht op de zonnebaan, daarom is NSR = ZSS' het complement van NSP

In formuletaal: ZSN = 180° 'een gestrekte hoek' en PSS' = 90° 'een rechte hoek'.

Dus ZSP = 180° – NSP of ZSP = 90° + ZSS' en dus ZSS' = 90° – NSP.

DRIEHOEK PST

In driehoek PST staat boog ST loodrecht op de horizon. Dat maakt dat ZSP = 90° + PST. Aangezien we net vastgesteld hebben dat ZSP = 90° + ZSS' kunnen we concluderen dat ZSS' = PST

Anders uitgelegd:

PSR = 90°, dus NSR is het complement van PSN

NSR = ZSS' (overstaande hoeken).

TSN = 90°, dus PST is het complement van PSN.

Dus: NSR = PST = ZSS' = α, de gevraagde hoek.

Kortom, we hebben twee boldriehoeken gevonden die ons beide de gevraagde hoek van de zon bij zonsopkomst kunnen vertellen.

OPDRACHT 6: PAS DE SINUSREGEL TOE OP

BOLDRIEHOEK .

Nu je driehoek NPS kent, kun je met de sinusregel de gevraagde hoek ZSS' uitdrukken in de geografische breedte φ en declinatie δ

SINUSREGEL

De sinusregel luidt = en zegt ons dat in een driehoek met een bekende hoek tegenover een bekende zijde we de gevraagde hoek kunnen vinden tegenover die andere bekende zijde.

Dat is het geval in boldriehoek NPS

De poolshoogte PS staat tegenover de rechte hoek in N en de geografische breedte φ = NP staat tegenover NSP

Invullen geeft =

Tot slot passen we de regels uit de goniometrie toe: sin(90° – ϑ) = cos ϑ. Nu is sin 90° = 1 en sin NSP = sin (90° – ZSS') = cos ZSS'. Van de poolshoogte schakelen we om naar het complement, de zonsdeclinatie AS: sin PS = sin(90° – AS) = cos AS = cos δ. Kruislingsvermenigvuldigen en invullen geeft de gezochte formule: cos ZSS' = .

OPDRACHT 7: PAS DE COSINUSREGEL TOE OP BOLDRIEHOEK

.

Nu je driehoek PST kent, kun je met de cosinusregel de gevraagde hoek ZSS' op een tweede manier uitdrukken in φ en δ. Uiteraard is de uitkomst gelijk.

COSINUSREGEL

De cosinusregel luidt cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Die gaan we gebruiken bij driehoek PST. Invullen geeft:

cos PT = cos ST cos PS + sin ST sin PS cos PST

Omdat boog ST een kwart boog is (90°), geldt cos ST = 0 en sin ST = 1, zodat we krijgen cos PT = sin PS cos PST

Boog PT is het complement van de breedtegraad PN en dus is cos PT = sin PN = sin φ

Omdat ZSS' = PST en sin PS = (90° – δ) = cos δ, is daarom sin φ = cos δ cos ZSS'. Kruislingsvermenigvuldigen geeft de gezochte formule: cos ZSS' = .

SAMENVATTING

Eerst hebben we op een bol alle bekende punten geplaatst. Daarna hebben we goed gekeken naar de opbouw van de boldriehoeksformules. We ontdekten dat we moesten zoeken naar een boldriehoek met ofwel een rechte hoek dan wel een kwart boog. Toen we de juiste driehoeken gevonden hadden hebben we alles ingevuld. Vervolgens moesten we nog wat goniometrische relaties herleiden. Zodoende zijn we uitgekomen op de compacte formule voor de hoek bij zonsopkomst:

cos α =

LITERATUUR

F. van der Blij, Platte en bolle meetkunde https://fransvanschooten.nl/zon/Blij_PlatteEnBolleMeetkunde. pdf

A. Goddijn, college dictaat Concrete Meetkunde https://fransvanschooten.nl/zon/ConcreteMeetkunde5.pdf

J.J. van Laar, Leerboek der Boldriehoeksmeting https://books.google.nl/books?id=7C9nAAAAcAAJ

F. Maes, Zonnewijzers - zien en begrijpen https://www.dezonnewijzerkring.nl/51-zw-boek.php

W.M. Smart, Spherical Astronomy https://archive.org/details/dli.ernet.240942

H.W. van der Wyck, Basis-wiskunde voor de Zonnewijzer

TWEE LINKS NAAR GEOGEBRA

Begrippen in de Gnomonica : https://www.geogebra. org/m/cgccmum4#material/wamxxv2t Hoek bij Zonsopkomst: https://www.geogebra.org/m/ cgccmum4#material/vgubm4nt

OVER DE AUTEURS

Henk Hietbrink was docent wiskunde, en is lid van de Zonnewijzerkring, cursusdocent van de gratis cursus, en beheerder van de website www.fransvanschooten.nl. Hij is veilingmeester bij veiling.wereldwiskundefonds.nl, een initiatief van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. E-mailadres: hietbrink.h@planet.nl

Jan ten Böhmer was werktuigbouwkundig constructeur en is al vele jaren lid van De Zonnewijzerkring Nederland. Naarmate hij meer te weten kwam over de zonnewijzerkunde (gnomonica), verdiepte hij zich ook in de wiskunde, om daarmee vaardigheden te ontwikkelen die de zonnewijzerkunde en haar formules begrijpelijk maken. E-mailadres: jan.tbohmer@upcmail.nl

OVER DE ZONNEWIJZERKRING

De Zonnewijzerkring is de Nederlandse en Vlaamse vereniging ter bevordering van het ontwikkelen en delen van kennis over de werking en het ontwerpen van zonnewijzers, bijvoorbeeld door het geven van een gratis cursus zonnewijzerkunde aan haar leden. De vereniging houdt een register bij van alle bijzondere zonnewijzers in Nederland, zowel historische als nieuwe. Vier keer per jaar verschijnt het tijdschrift Zon & Tijd. Ieder jaar zijn er drie bijeenkomsten en een excursie.

UITWISKELING

LOGISCHE POORTEN IN DE HUISKAMER EN ONDER DE MOTORKAP

LUC VAN DEN BROECK

IN DE LOEP VAN UITWISKELING 37/3 OVER LOGICA IN DE TWEEDE GRAAD WERDEN ER PRAKTISCHE VOORBEELDEN GEGEVEN VAN ELEMENTAIRE LOGISCHE POORTEN. DE AND-POORT ILLUSTREERDEN WE MET DE HAAGSCHAAR, DIE ALLEEN WERKT ALS ER TWEE SCHAKELAARS TEGELIJKERTIJD WORDEN INGEDRUKT, EENTJE MET DE LINKERHAND EN EENTJE MET DE RECHTERHAND. ZOWEL DE LINKER- ALS DE RECHTERHAND GEBRUIKEN, IS EEN VEILIGHEIDSMANOEUVRE OM GEEN HANDEN TUSSEN DE SNOEITANDEN VAN DE SCHAAR TE LATEN BELANDEN. DE OR-POORT VONDEN WE TERUG OP DE LIJNBUS. OM DE BUS TE LATEN STOPPEN, MOET MINSTENS EEN VAN DE STOPKNOPPEN VAN DE BUS INGEDRUKT WORDEN. EN DE NOT-POORT KWAM VOOR BIJ DE NOODVERLICHTING IN GEBOUWEN. ALS DE NORMALE STROOMTOEVOER ER NIET MEER IS, GAAT ER EEN NOODVERLICHTING OP RESERVEBATTERIJEN AAN.

DE

THERMOSTAAT

VOOR DE VERWARMING IN DE HUISKAMER

In vele situaties echter is het niet meteen duidelijk welke poorten er gebruikt worden en hoe deze poorten geschakeld worden. In deze bijdrage werken we twee praktische toepassingen uit waarbij de verschillende booleaanse variabelen gegeven zijn, maar waarbij de leerlingen moeten beslissen hoe ze aan elkaar geschakeld kunnen worden met ANDs, ORs en NOTs.

Als je aan je leerlingen vraagt wanneer de verwarming in hun huiskamer aanspringt, zullen ze wellicht een kort

en ongenuanceerd antwoord geven zoals ´overdag’ of ´als het koud genoeg is’. Leerlingen die thuis geen programmeerbare thermostaat hebben, antwoorden misschien ´als we aan de knop draaien’.

Een mooie opgave bestaat er in om een logische schakeling uit te

schrijven voor de programmatuur van de thermostaat wanneer alle relevante booleaanse variabelen gegeven zijn. De booleaanse variabelen hebben betrekking op het uur van de dag, op de buitentemperatuur en of het al dan niet weekend is. Het aanbod van deze variabelen zou bijvoorbeeld het volgende kunnen zijn:

• TGD6: de tijd is groter dan 6 uur

• TKD22: de tijd is kleiner dan 22 uur

• TGD8: de tijd is groter dan 8 uur

• TKD23: de tijd is kleiner dan 23 uur

• BLD10: de buitentemperatuur is lager dan 10°C

• BHD20: de buitentemperatuur is hoger dan 20°C

• WD: het is een weekdag

Er zijn verschillende manieren om een bepaalde temperatuurwens in logische taal om te zetten. Hierbij is het van belang dat je de natuurlijke volgorde van de bewerkingen kent.

Als je van deze natuurlijke volgorde af wilt afwijken, zet je haakjes.

De natuurlijke volgorde is:

• eerst de negatie (¬)

• daarna de conjunctie (∧)

• daarna de disjunctie (∨)

• vervolgens de implicatie (⇒)

• en tot slot de equivalentie (⇔).

Opsplitsen in deelproblemen kan een methode zijn om je redenering op orde te krijgen. Stel dat je eerst naar de situatie tijdens de week kijkt. Je ontwaakt iets na zes uur, liefst in een warm huis, je doet aan telewerk en wil dat de verwarming pas rond tien uur ’s avonds uitgeschakeld wordt. Als de buitentemperatuur hoger is dan 20°C hoeft het huis uiteraard overdag niet extra verwarmd te worden. ’s Nachts mag de verwarming uitgeschakeld blijven, tenzij de buitentemperatuur daalt tot minder dan 10°C.

Een manier om deze wens te programmeren is:

TGD6 ∧ TKD22 ∧ ¬BHD20 ∨ BLD10.

Er komen geen haakjes in deze formule voor. De ∧-poorten hebben dus voorrang op de ∨-poort. De eerste drie booleans horen samen en betekenen: het is overdag en het is niet al te warm buiten.

Daarna pas lezen we de ∨-poort. Deze ∨-poort zorgt ervoor dat ook ’s nachts de verwarming kan aanspringen. Dat doet ze alleen als het te koud zou worden voor de kamerplanten en voor de Russische dwerghamster die een minimumtemperatuur van 10°C opeist.

De ∨-poort in deze uitdrukking kan inclusief geïnterpreteerd worden. Het kan zijn dat de temperatuur overdag lager is dan 20°C en dat hij eveneens

lager is dan 5°C. In dat geval moet de verwarming natuurlijk aanspringen. Tijdens het weekend sta je later op en ga je meestal later naar bed. De logische code voor de temperatuurwens zou de volgende kunnen zijn:

TGD8 ∧ TKD23 ∧ ¬BHD20 ∨ BLD10.

Programmeerbare thermostaten herkennen doorgaans een cyclus van een hele week. Als ze weekdagen van weekenddagen kunnen onderscheiden, kunnen de vorige logische uitdrukkingen gecombineerd worden tot de finale uitdrukking:

WD ∧ (TGD6 ∧ TKD22 ∧ ¬BHD20 ∨ BLD10) ∨ ¬WD ∧ (TGD8 ∧ TKD23 ∧ ¬BHD20 ∨ BLD10).

De ∨ in het midden van deze uitdrukking kan alleen exclusief geïnterpreteerd worden. Het kan immers niet tegelijk een weekdag en een weekenddag zijn.

HET VERKLIKKINGSSIGNAAL VOOR DE VEILIGHEIDSGORDELS IN DE AUTO

Op het dashboard van mijn wagen staat een verklikkerlichtje dat me alarmeert als een van de inzittenden zijn veiligheidsgordel tijdens de rit vergat te sluiten. De hoge pieptoon van het veiligheidssysteem is zo enerverend dat de inzittenden niet anders kunnen dan de gordel meteen dicht te snoeren. Er is gelukkig geen mogelijkheid om deze pieptoon met een knop aan het stuurwiel te onderdrukken.

Figuur 1: Een programmeerbare thermostaat

Stel dat er slechts twee inzittenden kunnen zijn in mijn sportwagen: de bestuurder en de bijzitter. Welke logische sequenties kunnen er dan geprogrammeerd worden om het scherpe piepsignaal op het gepaste tijdstip te laten afgaan?

In deze context hoeven de leerlingen niet zoveel bijkomende uitleg te krijgen. De werking van het verklikkersysteem voor het dragen van de veiligheidsgordel ligt waarschijnlijk meer in hun leefwereld dan de werking van een thermostaat. Misschien moet er enkel opgemerkt worden dat er nog steeds elektronische activiteit in de wagen is wanneer de contactsleutel niet is omgedraaid. Het antidiefstalsysteem doet dan nog zijn werk.

Ziehier de booleaanse variabelen die bij deze opdracht kunnen gebruikt worden:

• CS: de contactsleutel is omgedraaid

• DZ1: er wordt een druk waargenomen in de sensor van zetel 1

• DZ2: er wordt een druk waargenomen in de sensor van zetel 2

• CR1: er wordt een contact waargenomen in de sluiting van riem 1

• CR2: er wordt een contact waargenomen in de sluiting van riem 2

Laat deze opgave helemaal aan de leerlingen over. Er kunnen twee antwoorden verwacht worden. Een logische schakeling met haakjes zou de volgende kunnen zijn:

(DZ1

Een schakeling zonder haakjes is de volgende:

∧ DZ1 ∧ ¬CR1 ∨ CS ∧ DZ2 ∧ ¬CR2.

Wie zich wat beter verdiept heeft in booleaanse algebra zal in de equivalentie van beide uitdrukkingen meteen de distributiviteit van ∧ ten opzichte van ∨ herkennen.

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 37/4. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

CS ∧

∧ ¬CR1 ∨ DZ2 ∧ ¬CR2).

CS

Figuur 2: Het verklikkerlichtje voor de veiligheidsgordel

OEFENING 1

Ballerina Bieke schrijft het getal 683 op een raam. Aan de andere kant van het raam hangt clown Camiel ondersteboven aan zijn trapeze. Wat ziet hij?

OEFENING 2

In het spel Mathromantik legt Pieter zeshoekige tegels. Op de zijden van elke tegel staat een aantal stippen. Pieter legt de tegels altijd zo dat zijden die tegen elkaar liggen evenveel stippen hebben.

Met welk van de onderstaande paren kan Pieter het midden van de figuur nog opvullen?

VAN INDEX 100 TOT KOOPKRACHT: WAAROM DE CONSUMPTIEPRIJSINDEX

EEN IDEAAL WISKUNDIG

LESVOORBEELD IS

WAT BETEKENT HET EIGENLIJK WANNEER EEN INDEX “100” WORDT, WAAROM TELT HET ENE PRODUCT ZWAARDER MEE DAN HET ANDERE, EN HOE KAN EEN LOUTER WISKUNDIGE HERBEREKENING VOELBARE

GEVOLGEN HEBBEN VOOR LONEN EN UITKERINGEN? DE GEPLANDE AANPASSINGEN AAN DE CONSUMPTIEPRIJSINDEX VANAF 2026 MAKEN

VAN INFLATIE GEEN VER-VAN-MIJN-BEDSHOW, MAAR EEN CONCREET EN ACTUEEL KLASVOORBEELD. VOOR WISKUNDELEERKRACHTEN BIEDT DIT ARTIKEL EEN UITGELEZEN KANS OM ABSTRACTE BEGRIPPEN ZOALS

GEWOGEN GEMIDDELDEN, REFERENTIESCHALEN EN STATISTISCHE

CLASSIFICATIES TE KOPPELEN AAN DE LEEFWERELD VAN LEERLINGEN

EN TE TONEN HOE WISKUNDIGE MODELLEN MEE VORM GEVEN AAN

ECONOMISCHE EN MAATSCHAPPELIJKE REALITEIT.

Statbel, het Belgische statistiekbureau, berekent elke maand de Belgische consumptieprijsindex (CPI) en de Europese variant ervan, de geharmoniseerde consumptieprijsindex (HICP). Deze indexen meten beide de evoluties van de gemiddelde prijs van goederen en diensten die door Belgische huishoudens worden geconsumeerd. De HICP volgt een methodologie die voor de gehele Europese Unie is gestandaardiseerd, terwijl de CPI rekening houdt met enkele specifieke Belgische kenmerken. Een concreet voorbeeld hiervan zijn de gewichten die toegewezen worden aan productcategorieën. Bij de berekening van de CPI worden gewichten rechtstreeks afgeleid uit het Huishoudbudgetonderzoek (HBO), terwijl deze voor de HICP aan de hand van de nationale rekeningen worden toegewezen.

Statbel berekent naast deze twee indexen ook de gezondheidsindex (GI) en de afgevlakte gezondheidsindex, die de basis vormen van het indexeringsmechanisme. Zodra de afgevlakte gezondheidsindex een bepaalde drempelwaarde overschrijdt, de zogenaamde spilindex, worden lonen en uitkeringen geïndexeerd. De gezondheidsindex is identiek aan de CPI, met het verschil dat de korf van goederen en diensten die worden meegenomen in de berekening bepaalde producten uitsluit. Alcohol, tabak en motorbrandstoffen worden niet meegenomen in de berekening van de gezondheidsindex. De afgevlakte gezondheidsindex is een gemiddelde van de gezondheidsindex van de

laatste vier maanden, waarvan het resultaat wordt vermenigvuldigd met 0,98 om de indexsprong van 2% toe te passen (voorzien door de wet van 23 april 2015 tot verbetering van de werkgelegenheid).

Met de CPI kan Statbel ook elke maand de inflatie meten, d.w.z. de evolutie in prijs tussen 2 bepaalde periodes. Inflatie wordt over het algemeen gebruikt om de jaarlijkse evolutie van de CPI te beschrijven, bijvoorbeeld de verandering tussen de CPI van oktober 2024 en de CPI van oktober 2025. Naast de lonen en uitkeringen wordt de CPI ook gebruikt als basis voor het bepalen van het indexeringspercentage van de huurgelden, alimentatie en andere geldbedragen, volgens specifieke regels. De berekeningsmethode voor deze index staat dus centraal en kan veel praktische implicaties hebben voor het leven van Belgische burgers en ondernemingen.

VERANDERINGEN

Vanaf januari 2026 worden belangrijke wijzigingen doorgevoerd in de berekening van de CPI en de HICP in België.

NIEUW BASISJAAR

Het basisjaar van enerzijds de CPI (2013 = 100) en anderzijds de HICP (2015 = 100), wijzigt naar 2025 = 100). Deze update van het basisjaar vindt geregeld plaats, vorige basisjaren zijn bijvoorbeeld 2013 = 100 (gehanteerd t.e.m. december 2025), 2004, 1996, …

Om de maandelijkse verandering in indexcijfer te meten, moeten we kunnen verwijzen naar een basiswaarde waarmee wordt vergeleken. Die waarde wordt het basisjaar genoemd. Het nieuwe basisjaar voor zowel de CPI als HICP wordt 2025. De waarde waarmee wordt vergeleken om het maandelijks indexcijfer te bekomen, is het gemiddelde van de twaalf maandelijkse indexcijfers voor 2025. Deze waarde wordt gedefinieerd als het ‘100’-niveau van de index. Dus als prijzen met bijvoorbeeld 5% stijgen ten opzichte van het basisjaar, bedraagt de index 105 (basisindex van 100 + 5%).

De waarde van het indexcijfer zegt op zich weinig, het belang van indexcijfers kan gevonden worden in de evolutie van de index doorheen de tijd. De wijziging van het basisjaar is zichtbaar in de waarde van het indexcijfer, maar heeft geen impact op de evolutie van het gemiddelde prijsniveau. Ondanks het basisjaar, blijft de inflatiemeting identiek. Het is echter belangrijk om op te merken dat bij het vergelijken van indexen om hun evolutie in de tijd te meten, het absoluut noodzakelijk is om waarden met hetzelfde basisjaar als referentie te gebruiken.

Deze wijziging wordt niet alleen in België doorgevoerd, maar ook in andere Europese landen. Op deze manier wordt het gemeenschappelijk referentiekader op Europees niveau gegarandeerd.

VERNIEUWD CLASSIFICATIESCHEMA VOOR GOEDEREN EN DIENSTEN

De tweede wijziging heeft betrekking op de classificatie van de korf van goederen en diensten die worden meegenomen in de berekening van de indexen. De huidige indeling, genaamd ECOICOP v1, zal veranderen met de overgang naar ECOICOP v2, om nieuwe consumptiegewoonten beter weer te geven.

Het doel van deze korf is om de prijzen van identieke of vergelijkbare goederen en diensten van maand tot maand te vergelijken om hun evolutie te volgen. Het is daarom noodzakelijk om de artikelen in deze mand te classificeren om vergelijkbare producten te kunnen vergelijken. De ECOICOPnomenclatuur1 (European Classification of Individual Consumption According to Purpose), gebaseerd op de COICOP-indeling ontwikkeld door de Verenigde Naties2, wordt op Europees niveau gehanteerd om de berekening van CPIs/HICPs te standaardiseren, rekening houdend met unieke kenmerken van de lidstaten. Ten gevolge van die standaardisering wordt ook het vergelijken van de indexcijfers hierdoor mogelijk. Het classificatieschema heeft

een hiërarchische structuur, waarvan v1 bestaat uit twaalf hoofdcategorieën, elk onderverdeeld in meerdere subcategorieën, die op hun beurt verder zijn onderverdeeld tot op een vijfde precisieniveau. Hoe hoger het ECOICOP-niveau, hoe specifieker de categorie.

De hiërarchische structuur met detailniveaus kan als volgt worden geïllustreerd Appels bevinden zich in het detailniveau ‘Vers fruit’. Dit detailniveau bevindt zich binnen de groep ‘Fruit’, wat op zijn beurt binnen de groep ‘Voeding’ kan worden geclassificeerd. De categorie ‘Voeding’ bevindt zich uiteindelijk binnen de hoofdgroep ‘Voeding en alcoholvrije dranken’.

Niveau 1 Totale uitgaven

Niveau 2 Voeding en alcoholvrije dranken

Niveau 3 Voeding

Niveau 4 Fruit

Niveau 5 Vers fruit

De update naar v2 introduceert een dertiende hoofdgroep en verfijnt tal van categorieën (bijvoorbeeld fruit, groenten, communicatie, georganiseerde reizen).

1 Zie de webpagina op het dataportaal van de Europese Unie omtrent de ECOICOP-classificatie: https://data.europa.eu/data/datasets/ecoicop?locale=en

2 Zie de webpagina van de Statistiek-afdeling van de Verenigde Naties omtrent de COICOP-classificatie: https://unstats.un.org/unsd/classifications/coicop

De hoofdgroepen in ECOICOP v2 zijn de volgende:

Huisvesting, water, elektriciteit, gas en andere brandstoffen

05 Meubelen, huishoudelijke apparaten en normaal onderhoud van de woning

06 Gezondheid

07 Vervoer

08 Communicatie

09 Recreatie en cultuur

10 Onderwijs

11 Hotels, restaurants en cafés

12 Verzekeringen en financiële diensten

13 Diverse goederen en diensten

RELEVANTIE VOOR DE WISKUNDELES

Voor wiskundeleerkrachten biedt deze update van de consumptieprijsindex vooral didactisch kapitaal. Ze toont hoe abstracte begrippen uit het leerplan (zoals indexcijfers, procentuele veranderingen, gewogen gemiddelden, referentieschalen en classificaties) in de echte wereld worden toegepast en waarom keuzes in een wiskundig model ertoe doen.

De overgang naar een nieuw basisjaar is een ideaal aanknopingspunt om met leerlingen te bespreken waarom een schaalverandering geen invloed heeft op evoluties, maar wel op absolute waarden.

De herziening van de ECOICOPclassificatie maakt zichtbaar hoe data worden gestructureerd, hoe granulariteit analyse verfijnt en waarom vergelijkbaarheid expliciete afspraken vereist. Met actuele, Belgische en maatschappelijk relevante data kunnen leerkrachten niet alleen rekenvaardigheden inoefenen, maar ook statistisch denken, modelkritiek en contextbegrip versterken, precies daar waar wiskunde ophoudt een abstract vak te zijn en een instrument wordt om de wereld te begrijpen.

MEER INFO?

Alle informatie (persberichten, (historische) data en documentatie zijn te vinden op de website van Statbel.

Net als bij de wijziging van het basisjaar zullen de gegevens op basis van de vorige versie van de classificatie (ECOICOP v1) ook op de website worden gepubliceerd, naast de indexcijfers volgens de nieuwe ECOICOP v2-classificatie. Voor de CPI gaan deze gegevens terug tot 2006, en voor de HICP tot 1996 tot niveau 4 of tot niveau 5 vanaf 2005. De algemene CPI, de GI en de HICP blijven ongewijzigd in alle achterliggende gegevens. Deze wijzigingen zullen voor het eerst van toepassing zijn bij de publicatie van de CPI van januari 2026.

Heb je nog vragen? Stuur een mail via statliteracy@economie.fgov.be

ARABISCHE, INDISCHE, ARABISCH-INDISCHE, … CIJFERS?

ERWIN SMET, PAUL LEVRIE, CHRISTOPHE VANDE VELDE

JE KOMT HET NIET FREQUENT TEGEN, EEN REKENSCHUIF MET ARABISCHE CIJFERS (ZIE AFBEELDING 1). NOG NIET ZO LANG GELEDEN ECHTER HAD IK DE KANS OM ER ÉÉN AAN TE SCHAFFEN. TERECHT KAN JE NATUURLIJK

OPMERKEN DAT DE MEESTE REKENSCHUIFJES, ZOALS BIJVOORBEELD DEZE IN AFBEELDING 2 DIE GEPRODUCEERD WERD DOOR DE DUITSE FIRMA

ADDIATOR, 'BEDRUKT' ZIJN MET ARABISCHE CIJFERS.  REKENSCHUIFJES

DIENEN IN PRINCIPE OM VLOT TE KUNNEN OPTELLEN EN AFTREKKEN.

GETALLEN WORDEN IN HET UITLEESVENSTER ZICHTBAAR DOOR

GETANDE LATTEN ('SCHUIVEN') MET BEHULP VAN EEN METALEN PEN TE VERPLAATSEN. HET UITLEESVENSTER BESTAAT UIT EEN AANTAL RONDE UITSPARINGEN IN DE BEHUIZING WAAR VOOR ELKE POSITIE WAARUIT EEN GETAL OPGEBOUWD IS, EEN BEPAALD SYMBOOL VERSCHIJNT.

Al naargelang de toepassing kan een schuif verschoven worden over een bepaalde afstand. De afstand wordt op de behuizing aangegeven met de ons bekende Arabische cijfers 0, 1, 2, …, 9 (zie afbeelding 2).   Zowel in afbeelding 1 als 2 kan men met behulp van de hendel bovenaan, alle cijfers in het uitleesvenster op nul zetten ('resetten'). Door de pen in de uitsparing van de getande lat naast

een cijfer te plaatsen en de lat zo ver mogelijk naar beneden te schuiven, tel je dat cijfer bij die positie op (zie ook bijlage). Vermits we werken met het tiendelig talstelsel, hebben we voor elke positie in een getal tien mogelijke symbolen. Bij een getal zonder decimalen, worden in de meest rechtse kolom de eenheden weergegeven, de kolom links ervan de tientallen, enz. De gebruiker is

natuurlijk vrij, als het voor zijn berekening nodig is, een decimaalteken op een bepaalde plaats te beschouwen. Er zijn ook rekenschuifjes waarbij niet alle schuiven tien cijfers nodig hebben. Voor het rekenen in minuten bij de “ADD-A-TIME” heeft o.a. één van de kolommen slechts zes posities. De meest rechtse schuif van de rekenschuif in afbeelding 1 heeft ook maar acht posities (fracties van de

Afbeelding 1: ADDIATOR ELSARIE met Arabische tekens

[Collectie ES item 435]

eenheid: 0, 1/8, 1/4, …, 7/8). Bij andere uitvoeringen zijn er dan weer meer dan tien nodig. De HEXADAT, voor het rekenen met hexadecimale getallen, gebruikt naast de ons vertrouwde Arabische cijfers 0 tot en met 9 ook nog de letters A tot en met F.

Toen ik een collega vol enthousiasme sprak over mijn aankoop van het rekenschuifje met Arabische cijfers, keek hij me verbaasd aan. Hij kende immers de andere rekenschuifjes uit mijn verzameling en voor hem stonden daar ook Arabische cijfers op. Hij had natuurlijk gelijk en ik had het nauwkeuriger moeten formuleren. De cijfers die we o.a. in de Westerse wereld gewoon zijn te gebruiken

Afbeelding 2: Supra rekenschuif van ADDIATOR

[Collectie ES item 28]

(zoals in afbeelding 2), worden meestal omschreven als Arabische cijfers. Daarnaast worden de cijfers uit de afbeelding 1 wel eens als Arabisch-Indisch aangeduid. Hiermee wordt de oorsprong van deze cijfers al iets duidelijker. Omdat deze echter voor beide versies dezelfde is, ben ik op zoek gegaan naar een correctere (duidelijkere) benaming.

De Arabische cijfers, ongeacht of het nu gaat om deze uit afbeelding 1 of 2, vinden ongeveer 300 jaar voor Christus in India hun oorsprong, in de Brahmi cijfers. De Brahmi cijfers vormen een tiendelig talstelsel, maar het is geen positietalstelsel. Ze maakten geen gebruik van een sym-

bool voor de nul. Daarom voegden ze op een bepaald moment aparte symbolen toe voor 10, 20, …, 100, 200, …, 1000, … (zie afbeelding 3).

Het getal 1234 werd geschreven door de symbolen voor 1000, 200, 30 en 4 achter elkaar te plaatsen. Met deze zgn. Brahmi cijfers wordt dit getal dus als volgt voorgesteld:

Rond 500 na Chr. introduceerde een Indische geleerde de nul. Het is niet erg duidelijk of dit overgenomen is van de oude Chinezen of oude Grieken. De Arabieren namen de Indische cijfers over. De opkomst van het Arabische rijk vanaf de tweede helft van de zevende eeuw zorgde ervoor dat Bagdad heel belangrijk werd. De wiskundige AlChwarizmi (780-845), de grootvader van de algebra (in zijn boek Al-Jabr) en van de informatica (het woord `algoritme’ is afgeleid van zijn naam), studeerde er in het Huis van de Wijsheid, het intellectuele centrum van Bagdad. Hij is mee verantwoordelijk voor het feit dat de Arabische cijfers in de wiskunde gebruikt werden.

Contacten (handel, wetenschap, …) van Europa met de Arabische wereld zorgden ervoor dat het tientallig stelsel en de Indische cijfers ook stilaan door de Westerse wereld werden overgenomen. Op te merken valt dat een groot deel van Spanje vanaf 711 Islamitisch was. De eerste vermelding van geschreven Arabische cijfers in het Westen is dan ook terug te vinden op het Iberisch schiereiland

Afbeelding 3: Brahmi cijfers uit de 2de eeuw ([10], CC-BY-SA 3.0)

Afbeelding 4: Eerste vermelding van “Arabische” cijfers in het Westen in de Codex Vigilanus uit 976 ([6], Public Domain)

Afbeelding 5: De Arabische cijfers in het Liber Abaci van Fibonacci uit 1202 [13]

Afbeelding 6: “De Thiende” van Simon Stevin uit 1585 ([15], Public Domain)

in de Codex Vigilanus, een verluchte compilatie van verschillende historische documenten, die vernoemd is naar één van de drie monniken die het heeft samengesteld (zie afbeelding 4).

De Fransman Gerbert d’Aurillac (945-1003), ook gekend onder de naam paus Sylvester II (wat hij overigens slechts iets meer dan vier jaar was), trachtte de Arabische cijfers in Europa te introduceren nadat hij hiermee in Cordoba en Sevilla in contact kwam. Zijn inspanningen hadden jammer genoeg weinig succes.

De Italiaan Leonardo van Pisa (11701250), ook genaamd Fibonacci, publiceerde in 1202 het boek Liber Abaci, waarin hij voorstelde om met Arabische cijfers te rekenen in plaats van met de Romeinse.

Toen rond 1450 de boekdrukkunst in West-Europa ontstond, kreeg het tientallig stelsel en het gebruik van de Arabische cijfers een belangrijke stimulans. De Vlaamse ingenieur Simon Stevin (1548-1620) ijverde eveneens voor het invoeren van het tientallig stelsel. Zijn boek “De Thiende” uit 1585 schreef hij in het Nederlands en niet in het Latijn zoals toen voor wetenschappelijke werken gebruikelijk was.

Voorgaande paragrafen beschrijven enkele stadia die geleid hebben tot de West-Arabische, Westerse, Europese of Hindoe-Arabische cijfers waar we nu dagelijks mee aan de slag gaan en die we kennen als Arabische cijfers. Parallel met de evolutie die deze cijfers doormaakte, ontwikkelde zich de Oost-Arabische of Arabisch-Indische cijfers. Het zijn die cijfers die op dit moment nog steeds in bepaalde Arabische landen gebruikt worden en die ook in het rekenschuifje van afbeelding 1 te zien zijn.

Afbeelding 7 illustreert eveneens hoe parallel naast elkaar de verschillende versies van de Arabische cijfers uit de Brahmi cijfers gegroeid zijn.

Toen ik enkele jaren geleden met mijn oudste zoon een roadtrip door Oman maakte, kwam ik daar

Afbeelding 7: Evolutie van de Indische tot de hedendaagse cijfers (gebaseerd op [11], [12] en [14])

verkeersborden met snelheidsbeperkingen tegen waarop onder elkaar de moderne Oost-Arabische en WestArabische cijfers gebruikt werden (zie afbeelding 8). Op een pakje koekjes dat ik vorig jaar in Ethiopië kocht en dat geproduceerd was in de Verenigde Arabische Emiraten, werd het gewicht zowel in moderne Oost- als West-Arabische cijfers vermeld (afbeelding 9). Op het etiket van een blik worstjes herken je heel duidelijk de Oost-Arabische cijfers die het jaartal geven waarin de firma Zwanenberg opgericht werd.

Aangezien beide varianten van de Arabische cijfers dezelfde wortels hebben, is het niet verwonderlijk dat de benamingen voor verwarring

Afbeelding 8: Verkeersbord met snelheidsbeperking in Oman

kunnen zorgen. De West-Arabische cijfers zijn even sterk verbonden met de Indische voorlopers als de Arabisch-Indische of Oost-Arabische.

De Oost-Arabische cijfers hebben net zoals de Hindoe-Arabische (West-Arabische) een link met de Hindoe-voorloper. De aankoop van het rekenschuifje uit figuur 1, was de aanleiding om eens dieper in te gaan op de terminologie en geschiedenis van de Arabische cijfers. Ik kijk al uit naar de volgende aankoop van een rekenhulpmiddel met 'exotische' cijfers.

BIJLAGE: OPTELLEN MET EEN REKENSCHUIFJE

In afbeelding 10 zijn in het uitleesvenster van het linkse rekenschuifje alle cijfers gelijk aan nul. We plaatsen de pen in de tweede kolom (de eenheden) in de opening van de tandlat rechts naast het Arabische symbool voor 4 (٤), en schuiven met behulp van de pen de tandlat zo ver mogelijk naar beneden. In de tweede uitsparing van rechts van het uitleesvenster, verschijnt het Arabische symbool voor 4 (٤). We hebben bij 0 ( ) dus 4,0 (٤, ) opgeteld. Om hierbij 8,0 op te tellen, plaatst men de pen rechts naast het Arabische symbool voor 8 ( ) in de tweede kolom van rechts. De rode kleur van de tandlat geeft aan dat we nu niet naar beneden moeten

schuiven, maar via de boog aan de bovenzijde een overdracht moeten uitvoeren. Het resultaat van de bewerking verschijnt in het uitleesvenster: 12,0 ( , ). De plaats van het decimaalteken op het rekenschuifje moet je er zelf bij denken. Merk op dat hiervoor in de Engelstalige landen een punt gebruikt wordt, op het Europese vasteland en in heel wat Arabische landen een komma.

Het Arabische decimaalteken (unicode teken U+066B: ) verschilt strikt genomen van het teken gebruikt in Europa (unicode teken U+002C: ).

Afbeelding 10: Optellen met de Supra rekenschuif van ADDIATOR [Collectie ES item 435]

Afbeelding 9: Arabische cijfers op een pak koekjes en een conservenblik

BRONNEN:

1 Yasmin K., “Arabische cijfers”, https://preply.com/nl/blog/arabische-cijfers/ (03/01/2025).

2 …, “Zijn onze Arabische cijfers wel echt Arabisch?”, https://taalfluisteraar.be/2018/09/20/zijn-onze-arabische-cijfers-wel-echtarabisch/ (03/01/2025).

3 …, “Indiase/Arabische cijfers”, https://www.math4all.nl/informatie/indiase-arabische-cijfers (03/01/2025).

4 Historyworld, “Counting systems and Numerals“, https://www.historyworld.net/history/Countingsystemsandnumerals/169 (04/01/2025)

5 Ridderinkhof, R., “De wiskundige die paus werd”, https://historiek.net/paus-sylvester-ii-wiskundige/148240/ (05/01/2025).

6 “Codex Vigilanus”, https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Codex_Vigilanus#/media/File:Codex_Vigilanus-f12v_(RBME_d-I-2)n%C3%BAmeros_ar%C3%A1bigos.jpg (05/01/2025).

7 Onbekende auteur, “Códice Vigilano o Albeldense, https://rbme.patrimonionacional.es/s/rbme/item/13432 (05/01/2025).

8 Team Taaladvies Vlaanderen, “Decimale getallen (notatie, decimaalteken, komma, punt)”, https://www.vlaanderen.be/teamtaaladvies/taaladviezen/decimale-getallen-notatie-decimaalteken-komma-punt (07/01/2025).

9 Arabic Decimal Separator, https://www.compart.com/en/unicode/U+066B (07/01/2025).

10 Lieberknecht, O., “Brahmi numerals signs of the 2nd century CE”, https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmi_numerals#/media/ File:Brahmi_numeral_signs.svg (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ) ( 09/01/2025).

11 Geestkunde, https://www.geestkunde.net/viereenheid-quaterniteit/grondvorm-cijfer-vier.shtml (16/01/2025).

12 Tobus, “Evolution of Indian numerals into Arabic numerals and their adoption in Europe”, https://en.wikipedia.org/wiki/Arabic_ numerals#/media/File:The_Brahmi_numeral_system_and_its_descendants.png (09/01/2025).

13 Liber Abaci (Museo Galileo & Biblioteca Nazionale Centrale of Florence), https://www2.museogalileo.it/en/news-archive/149-newsarchive-2020/2031-leonardo-fibonacci-liber-abbaci-on-line.html (11/01/2025).

14 Ramasamy, K., “Arabic Numbers: How to Write and Pronounce Numbers in Arabic”, https://welcome2jordan.com/arabic-numbers/ (16/01/2025).

15 Stevin, S., “De Thiende”, https://nl.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin#/media/Bestand:Stevin-Thiende-page13.jpg (18/12/2025).

WISKUNDIG

MONT SOLAIRE EN MEETKUNDE

HANS SCHIPPER

MONT SAINT MICHEL IS EEN GRANIETEN GETIJDENEILAND OMRINGD DOOR SCHORREN VOOR DE KUST VAN NORMANDIË, ONGEVEER OP DE GRENS MET BRETAGNE. OP VAKANTIE IN FRANKRIJK REDEN WE ER LANGS, ZODAT DE HIERNAAST STAANDE FOTO KON WORDEN GEMAAKT. VOOR EEN BEZOEK WAS GEEN TIJD, MAAR GELUKKIG IS ER INTERNET. AL SPEURENDE VOND IK ARTIKELEN OVER EEN REUSACHTIGE ZONNEWIJZER DIE LANG

GELEDEN MET BEHULP VAN HET EILAND WAS GECONSTRUEERD. DEZE ZONNEWIJZER ROEPT EEN VRAAG OP, WAARVAN HET ANTWOORD EEN STEVIG APPEL DOET OP HET WISKUNDIG VOORSTELLINGSVERMOGEN.

Het was in 1988 dat het eiland onder de naam Le Mont Solaire tijdelijk als zonnewijzer fungeerde. De torenspits met daarop het gouden beeld van Sint Michael deed dienst als schaduwwerper en dat geeft een idee van de afmetingen, want de heilige troont op meer dan 150 meter hoogte. Het installeren van een zonnewijzer op de Mont-Saint-Michel was het geesteskind van Fanchon en Laurent Maget. Dit, op zijn zachtst gezegd originele idee, ontstond tijdens het beklimmen van de klokkentoren van de abdij. De schaduw van de Mont was te zien op het wad. De vorm van de berg, en dus van zijn schaduw, vonden ze ideaal geschikt voor een zonnewijzersteel en bovendien vormde de lichte en homogene modder, die de berg omgeeft, een uitstekend projectievlak.

Om redenen die te maken hebben met zowel het weer als het aantal bezoekers van de Mont, was het in eerste instantie vanzelfsprekend om de Mont Solaire in de zomer

1

Figuur

te laten functioneren. Maar de ontwerpers werden al snel met de neus op de feiten gedrukt: de schaduw om 12h00 zonnetijd in de zomer (= 14h08 kloktijd) bereikt het strand niet.

OPGAVE 1

a) Open het programma www.suncalc.org.

b) Vul als locatie in: Mont Saint-Michel France

c) Zoek het eiland en schakel over op Esri Satellite modus (rechtsboven in beeld)..

d) Zoom zodanig in dat de namen van gebouwen te lezen zijn.

d) Zet het rode oogje midden op de torenspits.

e) Vul als datum in: 21 juni 1988. Eerst jaartal veranderen, dan op 21 juni zetten en vervolgens afsluiten met 'DONE''.

f) Bij culminatie (hoogste stand van de zon) staat: 14h08. Stel de tijd, m.b.v. de schuiver op de tijdbalk hierop in.

f) Vul als hoogte van de schaduwwerper in: 150.

g) Controleer de laatste zin boven opgave 1.

h) Beweeg de schuiver op de tijdbalk en zie hoe de schaduw langer wordt zowel naar links als naar rechts. De eindpunten van de schaduw liggen op een vloeiende curve. In dit artikel gaan we onderzoeken wat voor een curve het is.

Toen kwamen ze op het idee om de zonnewijzer niet op 21 juni (de zonnewende) maar op de lente-equinox (21 maart) of de herfstequinox (23 september) te installeren. Uiteindelijk is er vanwege het weer gekozen voor de herfst. Er was in september 44% kans op zonneschijn, vergeleken met 39% in maart. De lengte van de schaduw om 12h00 zonnetijd op 23 september 1988 is 171,87 meter.

OPGAVE 2

a) Controleer dit met Suncalc.

b) Controleer met Suncalc dat rond 23 september de uurpunten redelijk op een rechte lijn liggen. Dat is ook echt zo en op het waarom daarvan wordt verderop in dit artikel ingegaan.

DE UITVOERING

De installatie vergde dagen van berekeningen en tests ter plaatse. Het werd al snel duidelijk dat een zeer sterke constructie moest worden gemaakt.

Vrijwilligers van het Franse leger werd ingezet om op een oost-west lijn ten noorden van het eiland honderden aluminium platen van 1 m² zó te verankeren, dat een tijdschaal van Romeinse cijfers ontstond.

Voor deze verankering werden lange ijzeren buizen de bodem van de baai ingeslagen. Op deze buizen bevestigde men de aluminium platen. De opstelling moest kunnen standhouden tegen de altijd krachtige getijdewerking en de soms forse golven in de baai.

De wijzerplaat mat 23 m x 1125 m. Hij bestond uit 7 Romeinse cijfers, van IX tot III en stippen bij de halve uren.

Rond de herfstequinox van 1988 trok bij zonnig weer de schaduw van Sint Michael in een min of meer rechte lijn langs de romeinse cijfers. De reflectie, samen met het schaduwspel van de wolken schijnt een prachtig gezicht geweest te zijn. Met de uitvoering, die zo’n driekwart jaar duurde, hielpen zo’n 80 vrijwilligers. Eind september is alles weer keurig opgeruimd en wat ons rest zijn de beschrijvingen en videofragmenten op internet.

Figuur 2

WAAROM LIGT DE TIJDSCHAAL OP ZO’N KEURIGE RECHTE?

Om deze vraag te beantwoorden biedt onderzoek uitkomst: we bekijken de beweging van de zon in de loop van een dag. We doen net of de zon beweegt over een grote bol met onbepaalde straal, de hemelbol. Een doorzichtig dopje op een Michelin atlas geeft een aardig beeld van een hemelbol, gezien vanuit Mont Saint Michel.

De beweging kan worden ontleed in twee bewegingen: een horizontale draaiing over een hoek die we azimut noemen en een verticale draaiing over een hoek die we zonshoogte noemen

Figuur 3

Figuur 4

Figuur 5

OPGAVE 3

a) Open www.suncalc.org.

b) Neem als datum de dag van vandaag.

c) Verplaats het schuifje in de tijdbalk bovenin van links naar rechts.

d) Herhaal dit enkele malen en zie hoe azimut en altitude (=zonshoogte) in de loop van een dag veranderen.

Om duidelijke tekeningen te kunnen maken, versimpelen we de Mont Saint Michel tot een grote spijker. (Laat ze het daar maar niet horen!). Aan de niet-zon-zijde van de spijker bevindt zich een driehoekig schaduwvlak dat met de zon meedraait en langer of korter wordt afhankelijk van de zonshoogte.

Als je, verspreid over het jaar en met mooi weer, de beweging van de zon over de hemelbol zou volgen, zou je het volgende opvallen:

• de zon volgt elke dag een baan, die de vorm heeft van een cirkelboog (het gedeelte onder de horizon zien we niet!); alle zonnebanen zijn evenwijdig;

• de punten van opkomst en ondergang veranderen van dag tot dag;

• de hoogste stand van de zon verandert van dag tot dag.

8: Hemel met zonnebanen

Dit combinerend met een plaatje van de hemelbol geeft Figuur 7:

In Figuur 8 zijn drie verschillende dagbanen van de zon over de hemelbol getekend. Als we deze afbeelding vanuit Mont Saint Michel bekijken, vinden we het verloop van de schaduw-eindpunten.

Uit Figuur 8 lichten we een dagbaan C en het horizontale vlak H. Loodrecht op dit horizonvlak staat de spijker (met top T), die voor de nodige schaduwen zorgt.

T blijkt de top van een kegel te zijn met C als zogenaamde richtkromme.

De mantel van de kegel wordt gevormd door die zonnestralen, die nog juist de spijker passeren (zie “zonnestraal” in de afb. “schaduwdriehoek”).

Figuur 6: Schaduwdriehoek

Figuur 7

Figuur

9

De volgende grafiek geeft de curves weer die op vier speciale dagen in het jaar door de eindpunten van de schaduwen zouden kunnen worden getrokken als Le Mont Solaire de hele dag beschenen werd door de zon.

De kegel wordt gesneden door het horizontaal vlak H, dat is dus het wad bij Le Mont Saint Michel. De snijkromme blijkt een kegelsnede te zijn. Daarvan zijn vier hoofdtypen: (1) cirkel, (2) ellips, (3) parabool, (4) hyperbool

Op het wad voor de Mont Saint Michel vormen de eindpunten van de schaduwen zo’n snijkromme. Bij opkomst en ondergang van de zon zijn de zonnestralen, die op het kegeloppervlak liggen, evenwijdig met het wad en veroorzaken op die momenten dus “oneindig” lange schaduwen. Dan moet er wel sprake zijn van een hyperbool. Dat is bijna het hele jaar zo. Maar er is (theoretisch gesproken) tweemaal per jaar een uitzondering. Dat is het geval wanneer de dagbaan van de zon samenvalt met de hemelequator (zie: “Hemelbol met zonnebanen”).

Dat doet zich steeds opnieuw voor op 21 maart en 23 september. Het topje van Saint Michel ligt dan namelijk in het vlak van de ‘zonnebaan’. Er is dan geen sprake meer van een kegel, maar van een cirkel waarvan de muts van Saint Michel het middelpunt is. De schaduweindpunten liggen dan min of meer evenwijdig met de middellijn van die cirkel. (Figuur 9). Daarmee is de vraag beantwoord.

10

OPGAVE 4

a) Welke data horen bij equinox?

b) Op welke plaats op aarde vormen de schaduweindpunten een cirkel? Denk aan Figuur 10.

c) Zelfde vraag voor ellips.

d) Zelfde vraag voor parabool.

Figuur

Figuur

ZELF AAN DE SLAG

Je kunt met behulp van deze theorie een heel leuke zonnewijzer voor het schoolplein maken: een gnomon met datumlijnen.

Op de website van Pythagoras kun je een uitgebreide instructie vinden voor het construeren hiervan. Zo’n datum zonnewijzer is uitermate geschikt om op een schoolplein aan te leggen. Je kunt de datumlijnen van winter- en zomerzonnewendes en van de equinoxen er in opnemen, maar bijvoorbeeld ook de geboortedatum van een bekend persoon.

De tekst is mede gebaseerd op een artikel van Leen Streefland in Pythagoras 18-5

Figuur 12: Gnomon

Figuur 11

Figuur 13

Wiskundetijdschrift voor jongeren

Duik in de wereld van wiskunde!

Pythagoras brengt de sChoonheid van getallen tot leven!

Pythagoras, het wiskundetijdschrift voor jongeren en iedereen die jong van geest is, maakt wiskunde leuk, uitdagend en verrassend. Al sinds 1961 inspireren we havisten, vwo’ers en wiskundeliefhebbers met boeiende artikelen, breinbrekende puzzels en fascinerende weetjes.

Van cryptologie tot de wiskunde achter verkiezingen: Pythagoras brengt de schoonheid van getallen tot leven!

Waarom abonneren op Pythagoras?

• Ontdek verrassende toepassingen van wiskunde in het dagelijks leven.

• Doe mee aan de Pythagoras Olympiade en test je vaardigheden!

• Perfect voor leerlingen, docenten en iedereen die houdt van een uitdaging.

Abonnementsprijzen

• Individueel abonnement: vanaf €37,50 per jaar – ontvang Pythagoras thuis en laat je inspireren!

• Groepsabonnement: vanaf €6 per persoon per jaar – ideaal voor in de klas

Bestel nu en laat wiskunde je verrassen!

Bezoek www.pyth.eu/abonnementen voor meer informatie en meld je aan voor een abonnement.

Zes keer! per jaar een nieuwe editie vol wiskundige avonturen.

OEFENING 3

In een rechthoek met lengte 2 en breedte 1 zijn delen van cirkels met straal getekend 1 2 zoals in de figuur. Wat is de totale oppervlakte van het gekleurde deel?

OEFENING 4

Op de planeet Pluralia kan men maar tot 3 tellen; een aantal hoger dan 3 noemen ze ‘veel’. Pluraliërs Pauline en Paulette gaan elk met 3 kinderen naar Plupsaland. Pauline gaat met ‘veel’ kinderen op de ‘veel’-baan. Hoeveel kinderen blijven er maximaal bij Paulette?

OEFENING 5

Hoeveel van de volgende uitspraken zijn waar?

• Een lijnstuk kan een driehoek in twee driehoeken verdelen. Een lijnstuk kan een parallellogram in twee parallellogrammen verdelen.

• Een lijnstuk kan een ruit in twee ruiten verdelen.

• Een lijnstuk kan een regelmatige vijfhoek in twee vijfhoeken verdelen.

• Een lijnstuk kan een regelmatige zeshoek in twee zeshoeken verdelen. kinderen blijven er maximaal bij Paulette?

DUBBEL SCHAKEN

IN 2018 WAS LEEUWARDEN CULTURELE HOOFDSTAD VAN EUROPA. LEEUWARDEN IS OOK DE GEBOORTESTAD VAN M.C. ESCHER. NAAST EEN TENTOONSTELLING MET ZIJN WERK WERD IN HET NOORDEN VAN FRIESLAND MET ACHT GROOTSCHALIGE GRAANTEKENINGEN EEN EERBETOON AAN ESCHER GEBRACHT. EEN VAN DIE GRAANTEKENINGEN

WAS HET CONFORME SCHAAKBORD VAN HANS KUIPER. IN DE NUMMERS 20 (MEI 2024) EN 21 (OKTOBER 2024) VAN VECTOR IS VEEL AANDACHT BESTEED AAN DE WISKUNDE ACHTER DAT CONFORME SCHAAKBORD. DAAROP GEBASEERD ONTWIKKELDE WALT VAN BALLEGOOIJEN HET SPEL DUBBEL SCHAKEN. HIJ VROEG ZICH NAMELIJK AF OF DAT BORD GESCHIKT WAS VOOR EEN SCHAAKSPEL VOOR VIER PERSONEN. HIJ MAAKTE EEN 3D-GEPRINTE VERSIE OM DAT MET EEN AANTAL PERSONEN UIT TE PROBEREN. DAT WAS TOT IEDERS GENOEGEN.

KLAAS LAKEMAN

AANGEPASTE SPELREGELS

Het blijkt een spel met een heel extra dynamiek vergeleken met een gewoon schaakspel. Er zijn wel wat extra regels nodig. Gekozen is om met twee teams met elk twee spelers te spelen. Naast regels voor bewegingen door het centrum, zijn er ook regels nodig om te bepalen wie wanneer wint. Zo mag een speler wiens koning is geslagen doorspelen totdat ook de koning van zijn maat geslagen is. Een team is dus pas verslagen nadat beide spelers hun koning hebben verloren. Dat maakt het spel extra leuk. Net als bij het normale schaken zijn de 128 velden ook voorzien van codes, zodat achtereenvolgende zetten overzichtelijk genoteerd kunnen worden. Deze codes zijn op een apart inlegvel aangegeven (figuur 1).

ZELF PRINTEN

Kant en klaar beschikbaar zijn het schaakbord (dat past binnen een vierkant van 35 X 35 cm), de stuk-

ken in vier kleuren en eventuele opbergsystemen (Figuur 2). Ben je geen schaakliefhebber dan is zo’n Conform Schaakbord alleen al een fraai wiskunstig object.

Naast kant en klare benodigdheden kunnen de 3D- bestanden gratis worden gedownload om eventueel zelf te 3D-printen. Je moet dan wel meerdere kleuren door elkaar kunnen printen, en je printer moet de maat van een 35x35 cm vierkant aankunnen.

Beschik je niet over een 3D-printer dan is er nog een low-budget oplossing: een in viervoud printbare pdf van een kwart bord (Figuur3). Na uitprinten kunnen de vier delen eventueel op karton of hout worden geplakt. Daar moeten dan vier verschillend gekleurde schaakstukken bij gevonden of twee sets schaakstukken overschilderd worden. Net als de 3D-bestanden is de pdf van het kwart schaakbord gratis te downloaden.

BELANGSTELLING?

Wie interesse heeft in dit spel, kan voor prijzen en links naar de gratis downloads terecht op https:// www.arsetmathesis.nl/prijzenartikelen-dubbel-schaken/ of de onderstaande QR-code scannen. Voor bestellingen kan contact worden opgenomen met Walt van Ballegooijen door een mail naar dubbelschaken@kpnmail.nl .

Figuur 2: De kant en klare artikelen

Figuur 1: Schaakbord met inlegvel

Figuur 3: Kwart schaakbord, vier keer geprint.

UITWISKELING

HISTORISCHE OEFENINGEN OVER DE STELLING VAN PYTHAGORAS

MICHEL ROELENS, LUC VAN DEN BROECK, ELS VANLOMMEL

EEN IDEE-FIXE BIJ VELE MENSEN IS DAT DE WISKUNDE ALTIJD AL GEWEEST IS WAT ZE NU IS, DAT ZE AL EEUWENLANG QUASI ONVERANDERLIJK WERD DOORGEGEVEN, NET ZOALS DE BIJBEL. HET BESCHRIJVEN VAN DE SOMS MOEIZAME EVOLUTIE VAN DE WISKUNDE DOORHEEN VERSCHILLENDE

TIJDEN EN CULTUREN IS BELANGRIJK OM TE KUNNEN BEGRIJPEN WAAR WE NU MEE BEZIG ZIJN.

We schreven in Uitwiskeling een uitgebreid artikel bestaande uit negen historische fragmenten uit de geschiedenis van de wiskunde die passen bij bepaalde leerstofonderdelen. Sommige fragmenten kun je de avond voor de les nog snel even lezen. Andere geschiedkundige tussendoortjes vragen wat meer voorbereidingstijd. Je kunt korte, geselecteerde stukjes van het artikel gebruiken naargelang de gelegenheid en de interesse van de leerlingen zich voordoet. In elk van de negen fragmenten vermelden we duidelijk waarom we voor dat fragment kiezen en bij welke leerstof en in welke graad de uitweiding past.

In Vector 24 belichtten we al het fragment over Gauss en de regelmatige veelhoeken. Nu is het de beurt aan het stukje met historische oefeningen over de stelling van Pythagoras.

WAAROM DEZE KEUZE?

We hadden een fragment kunnen voorzien over Pythagoras, zijn ‘school’ de pythagoreeërs, hun wereldbeeld en waarom hun ‘stelling van Pythagoras’ dit wereldbeeld aan het wankelen bracht. Bij de aanbreng van de stelling van Pythagoras in de tweede graad is het zeker goed om hier wat meer over te vertellen. Maar daar gaat het hier niet over.

Wat we wel willen laten zien, is dat er oefeningen zijn uit verschillende periodes en culturen, die met de stelling van Pythagoras kunnen worden opgelost. We denken dat de historische herkomst deze oefeningen extra boeiend kunnen maken. Bovendien geven ze de gelegenheid om iets te vertellen over Chinese en Japanse wiskunde

BIJ WELKE GELEGENHEID?

In de tweede graad lossen de leerlingen vraagstukken op met de stelling van Pythagoras. Voor mooie oefeningen kunnen we historische inspiratie vinden in het verre Oosten. We bespreken hier een Chinese en een Japanse opgave.

Het Chinese bamboeprobleem

De oorspronkelijke hoogte van de stengel was 10 meter. De top van de stengel is neergekomen op 3 meter afstand van de voet van de stengel. Op welke hoogte is de stengel geknakt?

HET CHINESE BAMBOEPROBLEEM

Het wiskundige standaardwerk van het Oude China is de Jiˇuzh¯ang Suànshù (10de tot 2de eeuw v.C.), de Negen Hoofdstukken van de Rekenkunde. Het bevatte algemene oplossingsmethodes voor heel diverse problemen. Het grote verschil met de Griekse traditie is dat er geen bewijzen bij staan. Vele eeuwen later (3de eeuw n.C.) schreef Liú Huı¯ commentaren bij de Negen Hoofdstukken, met verklaringen en bewijzen.

Het negende van de Negen Hoofdstukken gaat over wat wij de stelling van Pythagoras noemen. De Chinezen noemden die de g¯ougˇustelling, letterlijk: de stelling over de kortere en langere zijden van de rechthoekige driehoek. Eén van de problemen die in dat hoofdstuk opgelost worden, is het bamboeprobleem.

Je ziet hieronder een geknakte bamboestengel. In de tekst op de afbeelding wordt het probleem gesteld en opgelost. Voor wie moeite heeft met de Chinese tekst vermelden we de opgave ook in het Nederlands.

Noem de gevraagde hoogte x. De schuine zijde is 10 − x. De gõugŭstelling geeft: wat als oplossing geeft.

De Chinezen werkten niet met deze concrete afmetingen (10 meter en 3 meter). Ze gaven een oplossingsrecept in volzinnen om het probleem op te lossen voor willekeurige oorspronkelijke lengte van de stengel en willekeurige horizontale afstand tussen de top en de voet na afknakken:

Deel het kwadraat van de horizontale afstand door de lengte, trek dit af van de oorspronkelijk lengte en halveer.

We kunnen hier een formule van maken. Noem a de oorspronkelijke lengte van de stengel en d de horizontale afstand, dan is de hoogte x van wat er van de stengel nog recht staat, volgens dit recept gegeven door:

Je kunt controleren dat je hiermee inderdaad vindt als je a = 10 en d = 3 invult.

Hoe zijn ze van de stelling van Pythagoras/gõugŭ tot die formule gekomen? Misschien zo (van den Bogaart, 2020):

waar je vervolgens x uit kunt isoleren:

De Oude Chinezen noteerden dit natuurlijk niet met onze algebraïsche notaties, maar misschien kwam hun redenering op hetzelfde neer.

Figuur 1: Het Chinese bamboeprobleem

EEN SANGAKU

Sangaku’s zijn kleurrijke meetkundige puzzels op houten plankjes, die in Japanse tempels hangen. Ze zijn opgebouwd uit cirkels, driehoeken, vierkanten... die mooi in elkaar passen of elkaar raken. Vaak moet er aangetoond worden dat bepaalde figuren even groot zijn of moet een bepaalde verhouding worden berekend. De meeste sangaku’s dateren van de ‘Edo’-periode (1600-1868), toen Japan bijna volledig van de rest van de wereld afgesloten was. 817 sangaku’s zijn bewaard gebleven.

Wilden de wiskundigen de goden bedanken voor de inspiratie? Misschien. Maar waarschijnlijk was het ophangen van de meetkundige tabletten eerder een manier om resultaten te ‘publiceren’ en de bezoekers uit te dagen om de problemen op te lossen. Veel Japanse wiskundigen reisden van tempel naar tempel om kennis te nemen van elkaars sangaku’s.

We geven hier een voorbeeld van een eenvoudige sangaku die je kunt oplossen met de stelling van Pythagoras. We zijn niet zeker of die echt in een tempel hangt, maar het is in elk geval in de stijl van de sangaku’s. Je vindt nog veel meer sangaku’s in Huvent (2008) en in van Lint en Breeman (2015).

Zoals steeds bij sangaku’s, moet je de gegevens afleiden uit de figuur. De blauwe cirkel is ingeschreven in het midden van de groene halve cirkel. De rode cirkel raakt aan de middellijn, de groene halve cirkel en de blauwe cirkel.

Een sangaku

Wat is de verhouding van de stralen van de rode en de blauwe cirkel?

2: Sangaku

Om het probleem op te lossen, geven we namen aan de middelpunten en aan enkele raakpunten (zie figuur 3). De straal van de blauwe cirkel noemen we R en die van de rode cirkel r. De straal van de groene halve cirkel is dan 2R. De stippellijnen van figuur 3 drukken uit dat telkens als twee cirkels elkaar raken, het raakpunt en de twee middelpunten op één rechte liggen. Hierdoor weten we bv. dat |AC| = 2R − r (de straal van de groene halve cirkel min de straal van de kleine rode cirkel).

Figuur 3: Dezelfde figuur met stippellijnen en benamingen

Als we de stelling van Pythagoras in verschillende driehoeken toepassen, vinden we:

Uit de tweede en vierde gelijkheid elimineren we |AD| en vinden we R = 2r. De gevraagde verhouding r is dus 1 .

Dit artikel is een stuk uit een uitgebreid artikel met negen fragmenten uit de geschiedenis van de wiskunde, verschenen in Uitwiskeling 39/3. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

BRONNEN

Bogomolny, A. (2006). In the Wasan Spirit. Eigen website. https://https:// www.cut-the-knot.org/ pythagoras/ LikelySangaku.shtml

Huvent, G. (2008). Sangaku. Le mystère des énigmes géométriques japonaises. Paris: Dunod. (zie ook Uitwiskeling 26/3.)

van den Bogaart, D. (2020). Het bamboeprobleem. Euclides. Wortels van de wiskunde (themanummer). van Lint, H., Breeman, J. (2015). Sangaku’s. Schoonheid van de meetkunde zonder woorden. Epsilon Uitgaven. Zebrareeks (42).

Figuur

VORONOIDIAGRAMMEN

EEN VORONOIDIAGRAM IS EEN OPDELING VAN HET ‘PLATTE VLAK’ IN VEELHOEKEN. DIE OPDELING WORDT BEPAALD DOOR DE AFSTAND TOT EEN AANTAL GEGEVEN PUNTEN IN DAT VLAK. ELKE VEELHOEK ‘RONDOM’ ZO’N PUNT IS DAN HET GEBIED VAN PUNTEN DIE DE KORTSTE AFSTAND HEBBEN TOT DAT GEGEVEN PUNT. HET DIAGRAM IS VERNOEMD NAAR DE OEKRAÏENSE WISKUNDIGE GEORGY VORONOI (1816-1908). DE VEELHOEKEN IN EEN VORONOIDIAGRAM ZIJN ALTIJD CONVEX, DAT WIL ZEGGEN: ZONDER GATEN OF INSTULPINGEN. VORONOIDIAGRAMMEN WORDEN GEBRUIKT IN VELE UITEENLOPENDE GEBIEDEN, VAN INFORMATICA TOT BIOLOGIE, OF BIJ HET VINDEN VAN BIJVOORBEELD HET DICHTSTBIJZIJNDE BENZINESTATION OF ZIEKENHUIS. HIERONDER STAAT EEN VOORBEELD VAN EEN VORONOIDIAGRAM.

JAAP KLOUWEN

Ik geef u hieronder vijf punten.

OPDRACHT 1. Teken met deze vijf punten het Voronoidiagram.

050123 © de Volkskrant. Bron: Reuters

Het idee is nu als volgt: ik geef je hieronder drie gestileerde landen A, B en C, beter gezegd gestileerde ‘eilanden’. Daarmee moet jij de Voronoigebieden berekenen en is bijvoorbeeld ook het ‘equidistante punt’ van deze drie (ei)landen exact bepaald: het punt dat even ver van alle drie de eilanden ligt.

Maar hoe zit het met een Voronoidiagram als er landen in het spel zijn in plaats van punten? In januari 2023 kwam ik onderstaande illustratie in de Volkskrant tegenkwam, bij de zoveelste ruzie tussen een aantal landen rondom de Zuid-Chinese Zee (onder andere China, Taiwan, Maleisië en de Filipijnen). Dat leek me een mooie aanleiding om het te verwerken tot onderstaand stukje. Het zou het meest eerlijk zijn van elk punt in de ZuidChinese Zee te bepalen wat de kortste afstand is tot een van de betrokken landen. Tot dát land behoort dan het punt in een Voronoi-veelhoek. Alleen: omdat de landen geen punten zijn, worden de Voronoi-veelhoeken ‘Voronoigebieden’, niet noodzakelijkerwijs bestaand uit alleen maar rechte lijnen.

Hoe loopt bijvoorbeeld de ‘Voronoikromme’ tussen A en C? Drie punten daarvan zijn direct duidelijk: (2½, 1), (3, 2) en (4, 3). Maar deze drie punten liggen niet op een rechte lijn, zoals bij het Voronoidiagram.

OPDRACHT 2. Bepaal de exacte Voronoigebieden van A, B en C.

OPDRACHT 3. Geef de coördinaten van het equidistante punt van de drie eilanden?

Hieronder nog wat hulp bij het oplossen van de opdrachten 2 en 3. Voor een punt P = (x, y), op de Voronoikromme van A en C, tussen de eerste twee gegeven punten, dus voor 2½ ≤ x ≤ 3, moet gelden dat de afstand tussen A en X gelijk is aan die tussen C en X is, dus:

Links en rechts kwadrateren en vereenvoudigen levert

of, met y als functie van x geschreven:

Tussen de punten (2½, 1) en (3, 2) heeft de Voronoikromme van A en C dus een parabolisch verloop! Tussen de punten (3, 2) en (4, 3) is de Voronoikromme van A en C rechtlijnig. Hoe gaat dit verder?

Deze drie opdrachten zullen als twee puzzels worden gepubliceerd in Denkstof, New Scientist, najaar 2024

ANTWOORDEN

OPDRACHT 1

Neem de 30°-draaiing van de punten uit de hint. Bepaal/ teken van elk tweetal punten de middelloodlijn, de lijn van punten met gelijke afstand tot die twee punten. We krijgen dan de volgende figuur, met in principe tien middelloodlijnen; daarvan vallen er twee samen.

Als we de snijpunten van deze negen middelloodlijnen nagaan, resulteert dit in het volgende Voronoidiagram.

En met de 30-gradendraaiing:

OPDRACHT 2

De drie Voronoikrommen AB, AC en BC bestaan alle drie uit een afwisseling van lineaire en parabolische stukken.

Voor 2 ≤ x ≤ 2½ bijvoorbeeld geldt voor de Voronoikromme van A en C:

Links en rechts kwadrateren geeft

Dit oplossen voor y levert

(Let op: de ‘negatieve tak’ van de parabool nemen.)

Tussen het tweede en derde gegeven punt op de Voronoikromme van A en C, dus voor 3 ≤ x ≤ 4 is het eenvoudig. Daar is de kortste afstand tot beide eilanden alleen van één variabele afhankelijk:

x – 2 = y – 1

dus inderdaad de lineaire vorm

y = x – 1

Ook voor de andere twee Voronoikrommen gaat het op dezelfde manier: per interval moet bekeken worden of het een parabolisch dan wel lineair deel is. Uiteindelijk krijgen we de volgende figuur:

OPDRACHT 3

De drie Voronoikrommen AB, AC en BC gaan door één punt, bepaald door hun drie respectievelijke vormen in die ‘buurt’:

AB:

AC:

BC:

Deze vergelijkingen twee-aan-twee snijden levert het equidistante punt (6 − 2√2, 5 − 2√2) ≈ (3,17; 2,17) op. De uiteindelijke Voronoigebieden zijn getekend in de figuur hieronder. De Voronoikrommen zijn afwisselend parabolisch en lineair, maar uiteindelijk (‘ver genoeg weg’) lineair.

Hulpfiches

De hulpfiches zijn een handige en compacte tool voor (ex-)OKAN-leerlingen, maar ook voor leerlingen die baat hebben bij extra ondersteuning op het vlak van taal in de klascontext. De hulpfiches zijn geordend in vijf rubrieken rond taalvaardigheden, grammatica, tijd en frequentie, getallen en rekenen en methodieken.

Meer info:

Teamteaching in uitdagende klasgroepen

Prijs € 28,90

Teamteaching in uitdagende

klasgroepen

Sterk onderwijs in uitdagende klasgroepen vraagt meer dan goede wil. Het vraagt visie, voorbereiding, afstemming en vooral: volgehouden samenwerking. Wie lesgeeft aan jongeren in uitdagende klassen, weet dat kwetsbaarheid en groeipotentieel dicht bij elkaar liggen. Precies daarom geloven wij in teamteaching als hefboom voor kwaliteitsvol en verbindend onderwijs.

Geert Deboutte