VBTL 1 - Leerboek Getallen, algebra, data en onzekerheid - inkijk methode

LEERBOEK

Getallen i Algebra Data en onzekerheid

Björn Carreyn

Filip Geeurickx

Roger Van Nieuwenhuyze

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL ?

Dit boek bevat zes hoofdstukken vol getallen, algebra, data en onzekerheid. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting. Leerstof in verband met verdiepende doelen herken je aan het fijne groene streepje.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

1 * 2

De nummers van de oefeningen hebben een kleur : geel (basis) of groen (verdieping). Een sterretje duidt op een extra uitdaging. De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof.

2 Om een macht van een negatief getal te zoeken, gebruiken we de volgende rekenregel Machtsverheffing van negatieve getallen Om de macht van een negatief getal te berekenen Is de exponent een even getal, dan is het resultaat positief Is de exponent een

V oneven getal, dan is het resultaat negatief (dat is dus het teken van het grondtal). Voorbeelden – – –– – –Opmerking staat. Als dit een haakje is, dan slaat de exponent op alles wat tussen de haakjes staat. Voorbeelden – – – – – – ––– – – – – –– –Als je met machten gaat rekenen, krijg je al snel heel grote getallen zoals je zult merken. Toen de koning van Perzië zich verveelde, schreef hij een wedstrijd uit om het prettigste gezelschapsspel te ontwerpen. wat hij vroeg. De sluwe geleerde vroeg met grote bescheidenheid het volgende graankorrel voor het eerste vakje van het schaakbord graankorrels voor het volgende vakje graankorrels voor het daaropvolgende vakje, enzovoort op het volgende vakje steeds het dubbel aantal graankorrels van het vorige. recht had. Toen Sessa de volgende dag terug in het paleis aankwam, waren de hofgeleerden nog niet klaar met hun berekeningen. Sessa gaf dan maar zelf het antwoord. Op het eerste vakje lag korrel, of op het tweede vakje korrels, op het derde vakje enz. Op het 64e of laatste vakje zouden dus of 223 372 036 854 775 808 korrels liggen, of alles Sessa berekende dat heel het land van de koning bedekt zou moeten worden met een laag graan van verschillende centimeters dik om aan deze gevraagde hoeveelheid te voldoen. Hoe het verder met Sessa uit deze legende is

7cm

Als ICT een ideaal hulpmiddel is, zie je dit icoontje. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Vaardigheden

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid extra in de kijker gezet.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. In de eerste kolom vind je de verwijzing naar de taxonomie van Bloom : Onthouden, Begrijpen, Toepassen, Analyseren, Evalueren of Creëren. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Herhalingsoefeningen

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.

Welkom in de wondere wereld van de wiskunde.

Als je dit boek doorbladert, dan merk je dat we echt ons best hebben gedaan om er een aantrekkelijk en prettig boek van te maken.

Je zult veel tekeningen en foto’s tegenkomen, en ook jij moet tekeningen maken. Zoek al maar een geodriehoek. En ook een rekenmachine mag best in de buurt liggen.

Vergelijk jezelf gerust met deze atleten : dankzij een goede voorbereiding ben je helemaal klaar om te knallen.

Getallen I Algebra I Data en onzekerheid

Getallen rondom ons 1

Waarom tellen we ? Ooit moet er toch wel iemand mee gestart zijn ?

Vele tientallen eeuwen geleden, toen de mens overschakelde van de jacht naar de landbouw, was er een schaapherder met een probleem.

’s Ochtends stuurde hij zijn kudde naar buiten, maar als hij ze ’s avonds weer in de stal liet, wist hij nooit of ze er allemaal waren. Op een nacht kreeg hij een idee. Toen hij de volgende ochtend zijn schapen liet vertrekken, legde hij voor elk schaap dat hem passeerde een kiezelsteentje opzij. ’s Avonds nam hij voor elk schaap dat de stal binnenkwam een steentje van de stapel af. Zo wist hij wanneer er schapen ontbraken.

Of dit verhaal helemaal waar is, weten we niet. Wel is zeker dat het Latijnse woord calculus zowel ‘tellen’ als ‘steentje’ betekent.

Getallen rondom ons

1.1

Ons talstelsel

1 Ons tiendelig stelsel

In de basisschool hebben we geleerd om vlot te rekenen met getallen. Zowel het hoofdrekenen als het cijferrekenen kwam veelvuldig aan bod.

Om onze getallen te vormen maken we gebruik van de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Zo bestaat het getal 12,43 uit vier cijfers.

Deze cijfers worden Arabische cijfers genoemd omdat het de Arabieren waren die ons talstelsel bekendgemaakt hebben.

Omdat we gebruikmaken van tien symbolen in ons talstelsel noemen we het een tiendelig talstelsel

Het wordt ook een positiestelsel genoemd, omdat de plaats van de cijfers in het getal zeer belangrijk is. In het getal 121 gebruiken we tweemaal het cijfer 1, telkens met een andere betekenis.

In het dagelijkse leven gebruiken we ook veel kommagetallen.

Hoe verder naar links een cijfer in een getal staat, hoe groter de waarde van het cijfer wordt.

0,05 5 honderdsten

0,5 5 tienden

5 5 eenheden

50 5 tientallen

500 5 honderdtallen

5000 5 duizendtallen

Er geldt ook :

Hoe verder naar rechts een cijfer in een getal staat, hoe kleiner de waarde van het cijfer wordt.

5000 5 duizendtallen

500 5 honderdtallen

50 5 tientallen

5 5 eenheden

0,5 5 tienden

0,05 5 honderdsten

Tien tienden vormen een eenheid. 10 t = 1 E

Tien honderdsten vormen een tiende. 10 h = 1 t

Tien duizendsten vormen een honderdste. 10 d = 1 h

Tien tienduizendsten vormen een duizendste. 10 td = 1 d

In onderstaande tabel wordt het cijfer 5 een aantal keren genoteerd. Bespreek telkens de betekenis van het cijfer 5.

2 Grote getallen

Sommige getallen zijn wel heel groot.

– Ons melkwegstelsel telt zo’n

400 000 000 000 sterren.

– De snelheid van het licht bedraagt

299 792 458 meter per seconde.

– De rijkste persoon ter wereld was in 2018 Jeff Bezos (Amazon). Hij bezat toen ongeveer

150 000 000 000 dollar.

– Toen Pinterest op de beurs kwam, was het bedrijf meteen 12 600 000 000 dollar waard.

– Als je op een lottoformulier 6 van de 45 getallen aankruist, dan heb je één kans op 8 145 060 op de winnende combinatie.

– Volgens wetenschappers is de aarde zo’n 4 560 000 000 jaar geleden ontstaan.

Aan sommige grote getallen geven we speciale namen :

1 miljoen 1 000 000 Deze naam komt van ‘mille’ maal ‘mille’, of 1000 × 1000.

1 miljard 1 000 000 000

1 biljoen

1 000 000 000 000 Het voorvoegsel ‘bi’ duidt op 2 : miljoen × miljoen. 1 biljard 1 000 000 000 000 000

1 triljoen 1 000 000 000 000 000 000 Het voorvoegsel ‘tri’ duidt op 3 : miljoen × miljoen × miljoen.

Opgelet ! Niet iedereen volgt deze indeling. In Amerika bestaat een biljoen uit 1000 miljoenen, een triljoen uit 1000 biljoenen, enz.

Googol

Een googol werd zo genoemd door de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner, die aan zijn negenjarig neefje Milton een naam vroeg voor een getal met honderd nullen. De neef koos voor ‘googol’. Hij vond zelfs een naam voor een 1, gevolgd door één googol nullen. Dit noemde hij een ‘googolplex’. Dit getal is zo groot dat je het nauwelijks gebruikt. Het heelal is zelfs te klein om er een googolplex zandkorreltjes in op te bergen !

De oprichter van de internetzoekmachine Google was een fan van wiskunde. In zijn zoektocht naar een naam kwam hij al vlug bij ‘googol’ : alle info ter wereld voor iedereen bereikbaar maken.

Uiteindelijk maakte medeoprichtster Sean Anderson een spelfout toen ze het merk registreerde.

3 Oorsprong van onze getallen

Cijfers en namen voor getallen hebben niet altijd bestaan. Maar toch kon de mens al lang tellen voor hij cijfers bedacht. We overlopen enkele bekende talstelsels.

a De Egyptenaren

De schrijfwijze bij de Egyptenaren is eenvoudig. Ze gebruikten hiërogliefen.

1 = 10 = 10 000 =

100 = 100 000 = 1000 = 1 000 000 =

Het systeem had als basis 10 en had geen symbool voor 0. Om een getal te lezen, maak je gewoon de som van de tekens. Daarom is dit een voorbeeld van een additief stelsel : je krijgt het getal door de waarde van alle symbolen op te tellen. De plaats van het symbool is dus van geen belang.

Voorbeelden :

= 234

= 32 348

b De Maya’s

De Maya’s leefden in Yucatan, in Midden-Amerika. Ze waren hoofdzakelijk maïskwekers en hun beschaving stond op een uitzonderlijk hoog peil. Hun talstelsel had als basis 20, wellicht omdat een mens in totaal 20 vingers en tenen heeft. Overblijfselen van dit systeem vinden we terug in de Franse taal. Zo heeft het Franse woord voor 20 (vingt) helemaal niets te maken met 2 (deux), terwijl dat wel zo was voor 3 en 30 (trois, trente), 4 en 40 enz.

= 11 = 14 =

De Maya’s hadden (wat merkwaardig was) een symbool voor nul. Ze schreven ook alles onder elkaar. Het onderste symbool geeft de eenheden aan, daarboven staan de twintigtallen gevolgd door de 360-tallen. Niet echt logisch, je zou hier 400 verwachten, maar de Maya’s dachten dat één jaar bestond uit 360 ‘positieve’ dagen. Voorbeelden :

vanaf 3100 voor Christus

van 200 tot 900 na Christus

c De Grieken

Bij dit Attische systeem werden de getallen met volgende herodiaanse cijfers (genoemd naar de Griekse geschiedenisschrijver Herodianus) voorgesteld :

1 = 50 = 1000 =

5 = 100 = 5000 =

10 = 500 = 10 000 =

Voorbeelden : = 2336 = 60

Ook dit systeem is geen positiestelsel.

Later werden de letters van het Griekse alfabet gebruikt om de cijfers voor te stellen :

1 = a (alfa) 20 = k (kappa)

2 = b (bèta) 100 = r (rho)

3 = g (gamma) 200 = z (zèta)

d De Romeinen

Deze symbolen zul je misschien wel kennen :

1 = I 50 = L 1000 = M

5 = V 100 = C 5000 = V

10 = X 500 = D 5 000 000 = V

Staat er voor een symbool een symbool met een kleinere waarde, dan moet je die kleinere waarde van de andere aftrekken.

Een streepje boven het symbool betekent dat je met 1000 moet vermenigvuldigen. Een dubbele streep erboven betekent maal een miljoen enzovoort.

Een groot nadeel aan de Romeinse cijfers was dat ze erg onhandig waren om mee te rekenen. Probeer maar eens CCLXVII te vermenigvuldigen met DCCXXXIII zonder de getallen eerst om te zetten naar ons talstelsel. Ze gebruikten daarom voor hun rekenwerk een telraam (abacus), dat bestond uit staafjes met kralen erop. In oosterse landen wordt dit nu nog steeds gebruikt en zijn er mensen die er sneller mee kunnen rekenen dan met een rekenmachine !

Voorbeelden :

LXIV = 64 V MMDXXIX = 7529

CXXXVI = 136 XII = 12 000

Romeinse cijfers

De herkomst van C en M in het Romeins talstelsel ligt bij de eerste letters van de woorden ‘centum’ (100) en ‘mille’ (1000). Bij de andere symbolen is dat helemaal niet zo zeker. Waarschijnlijk zijn ze overblijfselen van het gebruik van de kerfstok bij herders.

vanaf 200 voor Christus

e ‘Onze’ cijfers

Met veel goede wil kun je onze cijfers herkennen in het Indië van de 5e eeuw. Vandaar kwamen ze naar Arabië, waar zich twee types gingen ontwikkelen : de Oost-Arabische en de West-Arabische. Bij ons worden de West-Arabische cijfers gebruikt. De cijfers waren er al vanaf de 10e eeuw, maar zouden pas 700 jaar later de Romeinse cijfers verdringen. Ondanks het feit dat de Indiase wiskundige Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) al een symbool had voor nul, is het cijfer 0 er maar helemaal op het laatst bijgekomen.

Indisch :

Oost-Arabisch :

West-Arabisch :

Onze cijfers stammen af van de West-Arabische cijfers. Vooral het gebruik van de boekdrukkunst heeft die Indisch-Arabische cijfers aan populariteit doen winnen. Dankzij deze cijfers brak de renaissance aan : het tijdperk van de vernieuwing.

f Simon Stevin

Deze Vlaamse natuurkundige, wiskundige en ingenieur was raadsman van prins Maurits van Oranje, voor wie hij in 1601 een zeilwagen ontwierp. Hij voerde het tiendelige stelsel in, stelde intresttabellen op en verbeterde de werking van sluizen en molens.

Ook voor de wiskundige woordenschat was Simon belangrijk. Hij vond woorden uit zoals wiskunde, driehoek, delen, omtrek, middellijn en wortel. Deze woorden hebben het echter niet gehaald: brantse (voor parabool), uytbreng (voor product) en teerlincxwortel (voor derdemachtswortel). Je vindt zijn standbeeld op het Simon Stevinplein in Brugge. Zijn belangrijkste werk was De Thiende (1586), waarin hij decimale breuken invoerde. Dat zijn breuken met als noemer een macht van 10. Stevin gebruikte nog niet de notatie met een decimaal punt of komma, maar een notatie waar achter elk cijfer een macht van 10 kwam te staan. Wat wij nu als 4,58 schrijven, schreef hij als 4(0)5(1)8(2).

4 Het binair of tweetallig talstelsel

Je werkt waarschijnlijk af en toe met een rekenmachine of een computer. Die denken in nog een ander talstelsel, met heel veel bits en bytes. Ze maken gebruik van het binair stelsel of het tweetallig stelsel. Enkel de cijfers 0 en 1 mogen meespelen. Elk cijfertje is één bit.

Stel je even voor dat je alle getallen moet opbouwen door enkel de cijfers 0 en 1 te gebruiken. Een binair getal is dus opgebouwd uit alleen maar nullen en enen. Hoe het opgebouwd is, merk je in de tabel hiernaast. Probeer je te achterhalen wanneer er bij een binair getal een cijfer bijkomt ?

a Hoe een getal omzetten van tientallig naar binair ?

Voorbeeld :

Zet het getal 172 om naar het binair stelsel.

Werkwijze : Je noteert :

1 Plaats het getal rechts en deel altijd door 2. Het quotiënt schrijf je links van dit getal.

2 De rest (die altijd I of 0 is) schrijf je onder het getal dat je deelt.

3 Doe dit telkens opnieuw tot je als quotiënt 1 krijgt. Een laatste keer delen door 2 geeft als resultaat nul en (voor de laatste keer) noteer je een rest één.

4 Het binair getal lees je in de ‘restrij’ van links naar rechts.

b Hoe een getal omzetten van binair naar tientallig ?

Voorbeeld :

Zet het getal I000III0I om van het binair naar het tientallig stelsel.

Werkwijze :

1 Plaats de cijfers van het binair getal van rechts naar links onder elkaar.

2 Vermenigvuldig het eerste cijfer met 1, het tweede met 2, het derde met 4 en de daaropvolgende met 8, met 16, met 32 … (telkens maal 2).

3 Werk deze makkelijke producten uit.

4 Tel alle producten op. De som die je bekomt is het oorspronkelijke getal in het binair stelsel.

Je noteert :

5 Samenvatting

• Je kent de tien symbolen in ons talstelsel.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die worden cijfers genoemd.

• Je kent het verschil tussen een cijfer en een getal. 90,36 is een getal dat bestaat uit vier cijfers.

• Je weet dat de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats in dat getal. In het getal 90,36 staat 9 voor de tientallen (9 T) en staat 3 voor de tienden (3 t).

• Je kent de overgangen in ons tiendelig systeem.

1 D = 10 H = 100 T = 1000 E

1 E = 10 t = 100 h = 1000 d

• Je kent voorbeelden van talstelsels en je kunt de evolutie ervan schetsen in de geschiedenis.

• Je kunt getallen omzetten van en naar een ander talstelsel.

Cijfers

Het woord ‘cijfer’ komt, net als ons talstelsel, uit de Arabische wereld. Het is afgeleid van het woord sifr (ﺮﻔﺻ ), wat ‘leeg’ betekent. Het werd oorspronkelijk gebruikt om het symbool nul aan te duiden. Later werd dit woord de algemene term voor alle symbolen.

6 Oefeningen

Vul de tekst aan.

In het getal 5678 is : a 5 het cijfer dat het aantal weergeeft.

b 6 het cijfer dat het aantal … weergeeft.

c 8 het cijfer dat het aantal weergeeft.

d 7 het cijfer dat het aantal weergeeft.

Cijfers en getallen.

a Welk cijfer geeft de honderdsten weer in 37,823 ?

b Welk cijfer geeft de tienden weer in 7,92 ?

c Welk cijfer geeft de duizendsten weer in 8,7654 ?

Plaats de onderstaande getallen in de tabel.

a 735

b 4915

c 101

d 4057,2

e 358,09

f 11,023

Bereken :

a 3 H + 7 H = D

b 5 T + 8 T = … E

c 14 H + 9 H = T

d 182 h + 13 t = td

e 17 t + 30 h = … E

f 100 h + 20 t = E

Wordt het nieuwe getal groter of kleiner dan het oorspronkelijke getal ?

a Verwissel in 4549 het cijfer van de honderdtallen en het cijfer van de tientallen van plaats.

b Laat in het getal 2108 de nul weg.

c Verwissel in 6059 het cijfer van de honderdtallen met het cijfer van de eenheden.

d Verwissel in 1436 de twee even cijfers van plaats.

Schrijf het grootste getal op dat je kunt vormen door elk cijfer één keer te gebruiken.

Uit hoeveel cijfers bestaat dat getal ?

a Noteer het grootste en het kleinste getal zonder komma dat je met drie cijfers kunt vormen.

b Hoeveel getallen zonder komma van drie cijfers zijn er ?

c Hoeveel getallen zonder komma van vier cijfers zijn er ?

Schrijf het getal dat hieronder in woorden weergegeven is.

a vierduizend achthonderdentwee

b zevenhonderdeenentachtigduizend vierhonderdtweeënveertig

c twaalf miljoen zestigduizend achthonderdzestien

d drie miljard achthonderdentweeduizend zevenhonderdenvier

Welk getal zoeken we ?

a We zoeken een getal dat kleiner is dan 1000. Het cijfer van de honderdtallen is het dubbele van het cijfer van de tientallen. Het cijfer van de eenheden is 5. Als je alle cijfers optelt, heb je 17. Over welk getal hebben we het ?

b We zoeken een getal van vier cijfers, opgebouwd met de vier grootste oneven cijfers. Het cijfer van de eenheden is 4 kleiner dan dat van de honderdtallen. Het cijfer van de duizendtallen is 3. Over welk getal hebben we het ?

Noteer steeds het gevraagde getal. Gebruik geen komma’s of breukstrepen.

Getal Notatie

a Het kleinste getal dat uit twee verschillende cijfers bestaat.

b Het grootste getal met drie verschillende cijfers.

c Het grootste even getal dat uit twee cijfers bestaat.

d Het grootste oneven getal dat uit twee cijfers bestaat.

e Het kleinste getal met drie verschillende cijfers.

f Het kleinste getal dat alleen uit de cijfers 9, 2 en 8 bestaat.

Het Romeinse talstelsel. Vul in.

Op een kerk vinden we het jaartal terug waarin ze gebouwd werd. Welk jaar is dit ?

Welk getal in het Romeinse talstelsel komt net

a … voor XI ?

b … voor XIX ?

c … voor XV ?

d … voor XX ?

e … voor CL ?

f … voor LXV ?

g … na XV ?

h … na LXIV ?

i … na XXIX ?

j … na XIII ?

k … na CXV ?

l … na LVIII ?

Op een reis door Mexico kom je een mooie Mayatempel tegen. Je ziet volgende symbolen in de muren gekrast. Kun je ze ontcijferen ? Noteer je antwoord.

Welk getal in het binair talstelsel komt net …

a … voor II ?

b … voor I00I ?

c … voor I0I0 ?

d … voor I0 ?

e … voor I00 ?

f … voor II00 ?

Waar of vals ?

a In het binair stelsel is I0 + I0 = I00

g … na II ?

h … na I0I0 ?

i … na I0II ?

j … na I0 ?

k … na I0I ?

l … na III ?

b In het binair stelsel is I00 + I00 = I000 .

c In het binair stelsel zijn er acht verschillende getallen met vier cijfers.

Zet deze binaire getallen om naar het tiendelig stelsel.

a I0II

b I000I c III0 d I00III e I000II000

Zet deze getallen om naar het binair stelsel. a

1.2 Getalverzamelingen

1 Natuurlijke getallen

Sofie zit in het eerste jaar secundair onderwijs en heeft van 10 verschillende leerkrachten les. In haar klas zitten in totaal 25 leerlingen. Sofie is 12 jaar en heeft nog 3 broers. Ze woont op 800 m van de school.

Sofie is bezeten van rollercoasters. Ze zou dolgraag eens meerijden in een supersnelle achtbaan : de ‘Kingda Ka’. Daarvoor moet ze naar Six Flags Great Adventure in New Jersey. Het bouwwerk heeft $ 25 000 000 gekost en is niet actief bij regenweer of bij wind.

Het spectaculaire aan deze achtbaan is de topsnelheid van 206 km/h die je al na 4 seconden hebt bereikt ! Bovendien is de attractie 138 m hoog. Dat kun je vergelijken met een flatgebouw van 45 verdiepingen. Op die top blijft het wagentje met 18 passagiers 1 seconde in rusttoestand om dan pijlsnel verticaal naar beneden te rijden. Na slechts 30 seconden is het ritje gedaan.

Alle getallen die in deze tekst voorkomen, noemen we natuurlijke getallen.

natuurlijk getal

Een natuurlijk getal is het resultaat van een telling van een eindig aantal dingen.

De verzameling van de natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5 … noteren we als N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

De verzameling van de natuurlijke getallen zonder het getal nul stellen we voor als N0 (lees : N zonder nul).

N0 = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Voorgesteld in een venndiagram :

2 Gehele getallen

– Is er leven op Mars ? De NASA-wetenschappers zijn het er (nog) niet over eens. Maar als er leven zou zijn, hebben ze wel warme kledij nodig : de gemiddelde temperatuur is er – 60 °C. Dat maatgetal is negatief.

– Op sommige plaatsen in ons zonnestelsel is het erg koud. Op de dwergplaneet Pluto kan het – 233 °C worden.

toestandsteken

–Op een bankrekening kan je rekeningsaldo negatief zijn. Als je vader slechts 40 euro op zijn bankrekening heeft en hij betaalt aan de kassa van de supermarkt 60 euro, dan zal op zijn rekeninguittreksel – 20 euro als saldo staan. Helaas zal hij op een negatief saldo intrest moeten betalen.

– In het jaar – 200 (dus 200 voor Christus) was Aristarchos de eerste wiskundige die probeerde de afstand van de aarde tot de zon te bepalen. Op een tijdlijn kan het dus ook handig zijn om negatieve getallen te gebruiken.

We gebruiken volgende toestandstekens: – (min) het getal is negatief nul is het enige getal dat zowel positief als negatief is + (plus) het getal is positief dit teken wordt meestal niet geplaatst

geheel getal

Een geheel getal is een natuurlijk getal voorzien van een toestandsteken.

0, 1, 2, 3, 4, 5, … zijn positieve gehele getallen (of natuurlijke getallen).

0, –1, –2, –3, –4, –5, … zijn negatieve gehele getallen. Je merkt dus dat het getal 0 zowel positief is als negatief !

–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … zijn gehele getallen

De verzameling van de gehele getallen noteren we als Z

Z = { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

De verzameling van de positieve gehele getallen stellen we voor als Z+

Z+ = { 0, 1, 2, 3, …}

De verzameling van de negatieve gehele getallen stellen we voor als Z–

Z–= { …, –3, –2, –1, 0}

De verzameling van de gehele getallen zonder het getal nul stellen we voor als Z0 (lees : Z zonder nul).

Z0 = { …, –3, –2, –1, 1, 2, 3, …}

Voorgesteld in een venndiagram :

3 Rationale getallen

Breuken en kommagetallen komen we overal tegen in het dagelijkse leven. Kommagetallen noemen we ook decimale vormen.

recepten kans of verdeling

Om chocoladepudding te maken :

Gebruiksaanwijzing

Neem van 3/4 liter koude melk een kopje (10 eetlepels) af en los daar de inhoud van het pakje zorgvuldig in op, zodat er geen klonters blijven.

Voeg 75 g (5 afgestreken eetlepels) suiker bij de rest van de melk en breng die aan het koken.

Neem de pan van het vuur en giet er, onder voortdurend roeren, de oplossing van melk en poeder in.

Laat de bereiding nog 1 min doorkoken, terwijl u blijft roeren.

Giet de warme pudding in een met water omgespoelde vorm en laat hem koud worden.

Dien op met karamel-, chocolade- of vruchtensaus, fruitsla, slagroom, hagelslag enz.

Wilt u een stevigere pudding verkrijgen, dan gebruikt u slecht 1/2 liter melk. Voor een lichtere crème gebruikt u naar smaak 1 liter melk of meer.

schaal en afstand

Gemengde getallen

In het basisonderwijs maakte je misschien kennis met gemengde getallen. Een vorm zoals 2 3 4 duidt op twee gehelen en drie vierden. Wij noteren dat als 11 4

grafieken prijzen

3 8 , 1 2 , 3 4 ... worden breuken genoemd.

Ze duiden een deel van een geheel aan.

3 8

> teller

> breukstreep

> noemer

Breuken worden onder andere gebruikt : – als andere schrijfwijze van een deling ; – om verhoudingen aan te duiden.

• 0,2 ; 44,5 en 1,122 zijn begrensde decimale vormen of decimale getallen

We kunnen die getallen ook in breukvorm noteren. Let wel, deze breuken kun je nog vereenvoudigen.

0,2 = 2 10 44,5 = 445 10 1,122 = 1122 1000

• 0,33…; 0,1515… en –2,83535… zijn onbegrensde decimale vormen met een periode. Die periode is een groepje cijfers dat steeds blijft weerkeren. We noteren de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes. Ook die getallen zal je later omzetten in een breuk.

De verzameling van alle getallen die als breuk genoteerd kunnen worden, noemen we rationale getallen We noteren de verzameling als Q

rationale getallen

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet nul is.

Q = a b met a ∈ Z en b ∈ Z0

Niet alle getallen zijn rationale getallen. Sommige getallen kunnen niet als breuk geschreven worden. Die getallen zijn onbegrensd en hebben geen periode. We noemen ze irrationale getallen

Voorbeelden:

13,842567…

–1,234567…

Voorgesteld in een venndiagram :

De verzameling van de positieve rationale getallen stellen we voor als Q+

De verzameling van de negatieve rationale getallen stellen we voor als Q –

De verzameling van de rationale getallen zonder het getal nul stellen we voor als Q0

4 Symbolen in de wiskunde

Wiskundige symbolen worden gebruikt om bepaalde relaties kort en makkelijk weer te geven. Zo ken je al een + voor het optellen en een : voor het delen. In dit boek maak je kennis met enkele (universele) nieuwe symbolen die het wiskundig leven een stuk makkelijker zullen maken.

∈ ∉ IN SYMBOLEN BETEKENIS

3 ∈ N 3 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen. Lees : 3 is een natuurlijk getal.

5 ∉ N

5 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen. Lees : –5 is geen natuurlijk getal.

3 4 ∈ Q 3 4 is een element van de verzameling van de rationale getallen. Lees : 3 4 is een rationaal getal. p ∉ Q p is geen element van de verzameling van de rationale getallen. Lees : p is geen rationaal getal.

Z ⊂ Q

De verzameling van de natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen. Lees : alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen.

De verzameling van de gehele getallen is een deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen. Lees : alle gehele getallen zijn rationale getallen.

De verzameling van de gehele getallen is geen deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen. Lees : niet alle gehele getallen zijn ook natuurlijke getallen.

⟹ IN SYMBOLEN BETEKENIS

Als a een element is van N, dan is a ook een element van Z. Lees : elk natuurlijk getal is een geheel getal.

Als a een element is van Z, dan is a ook een element van Q Lees : elk geheel getal is een rationaal getal.

5 Samenvatting

• Je weet dat een natuurlijk getal het resultaat is van een telling van een eindig aantal dingen. De verzameling van de natuurlijke getallen wordt voorgesteld als N

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

N0 = { 1, 2, 3, 4, 5, … }

• Je weet dat een geheel getal een natuurlijk getal is, voorzien van een toestandsteken. De verzameling van de gehele getallen wordt voorgesteld als Z

Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … }

Z0 = { … , –3, –2, –1, 1, 2, 3, … }

Z+ = { 0, 1, 2, 3, … }

Z–= { … , –3, –2, –1, 0 }

• Je weet dat een rationaal getal genoteerd kan worden als een breuk of een decimale vorm.

Q : de verzameling van de rationale getallen

Q0 : de verzameling van de rationale getallen zonder nul

Q+ : de verzameling van de positieve rationale getallen

Q– : de verzameling van de negatieve rationale getallen

• Je kent de betekenis van de symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄ en ⟹

12 ∈ N 12 is een natuurlijk getal

4 ∉ N

4 is geen natuurlijk getal

N ⊂ Z alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen

Q ⊄ Z niet alle rationale getallen zijn ook gehele getallen

a ∈ N ⟹ a ∈ Z een natuurlijk getal is ook een geheel getal

Negatieve getallen

Negatieve getallen werden lange tijd argwanend bekeken. De Grieken probeerden ze te vermijden, of bestempelden ze als ‘illusie’. De hindoewiskundigen uit India aanvaardden wel negatieve oplossingen, maar vonden het toch griezelig.

De Chinezen hadden het gebruik van negatieve getallen bij het tellen ontdekt. Rond de twaalfde eeuw gebruikten ze rode telstaafjes voor positieve getallen en zwarte telstaafjes voor negatieve getallen.

Zelfs in de 15e en de 16e eeuw waren de wiskundigen nog sceptisch. Pascal en Descartes spraken nog van ‘absurde’ of ‘denkbeeldige’ getallen onder nul, verkregen door getallen van nul af te trekken.

6 Oefeningen

Welke van de aangeduide getallen zijn natuurlijke getallen ?

a Jakob tankte 54 l diesel voor een prijs van 1,423 euro per liter. Hiermee kan hij meer dan 850 km rijden. Jakob is geen hardrijder. Op autosnelwegen rijdt hij meestal 110 km/h. Zijn auto verbruikt dan 6,2 liter per 100 km

b Net na Nieuwjaar is het weer tijd voor solden. Terwijl mama op zoek gaat naar kledij met een etiket – 25 %, ga ik op zoek naar games die afgeprijsd zijn. Sommige spelletjes worden aangeboden als ‘2 + 1 gratis’.

c 2010 was een recordjaar voor het aantal baby’s in Vlaanderen : er werden er toen meer dan 70 000 geboren. Sindsdien is dat aantal steeds kleiner geworden en zaten we in 2017 aan 64 500 geboortes. 51,1 % hiervan waren jongetjes. 19 drielingen werden geboren.

Noteer het gevraagde getal.

a Noteer een rationaal getal waarbij de teller de helft is van de noemer.

b Noteer de decimale vorm van 3 4

c Noteer een breuk die hetzelfde rationaal getal voorstelt als 1,5.

d Noteer het getal dat zowel positief als negatief is.

Waar of niet waar ? Als dat wat in het vak staat WAAR is, dan kleur je het vak rood.

Wat betekenen de woorden positief en negatief in de volgende zinnen ?

a De voetbalclub AA Gent eindigde de competitie met een positief doelsaldo.

b De tegenstandster van bokskampioene Delfine Persoon kwam na de nederlaag vrij snel bij haar positieven.

c Dat is een leerling met een negatieve ingesteldheid.

d Het voorstel van de leerlingen om op woensdag een fruitdag te organiseren, werd positief onthaald bij de directie.

e De heer Vandersmissen heeft een negatief saldo op zijn bankrekening.

Vul de tekst aan met positief, negatief of nul.

a Als het niet vriest, dan is de temperatuur …

b Van plaatsen die boven het zeeniveau liggen, wordt de hoogte aangegeven met een … getal.

c Lotte heeft 110 euro op haar spaarrekening. Dat is een … saldo.

d Het is 5 graden onder nul. De thermometer geeft een … getal aan.

e Het enige getal dat zowel positief als negatief is, is …

f Plaatsen onder de zeespiegel worden aangeduid met een … getal.

g Als het vriest, dan is de temperatuur …

h Is het glas halfleeg of halfvol ? Wie … in het leven staat, kiest steevast voor ‘halfvol’.

i Het enige getal dat zowel tot Z+ als tot Z– behoort, is …

Welk deel van het geheel is ingekleurd ?

Kleur het passende deel van het geheel in.

Noteer in symbolen.

a De verzameling van de negatieve gehele getallen.

b 5 is een natuurlijk getal.

c De verzameling van de positieve rationale getallen.

d De verzameling van de gehele getallen is een deel van de verzameling van de rationale getallen.

e –2,1 is geen element van de verzameling van de gehele getallen.

f Als a een geheel getal is, dan is a ook een rationaal getal.

g –1 is een negatief rationaal getal.

1.3 Deelbaarheid

1 Opgaande en niet-opgaande deling

Tijdens een sportdag worden er activiteiten georganiseerd voor alle leerlingen van het eerste jaar. In totaal zijn er 144 leerlingen. De sportleraren beslissen om de leerlingen in groepjes te verdelen.

De heer De Wolf wil de leerlingen onderverdelen in groepjes van 10 leerlingen.

Hij berekent uit zijn hoofd de deling 144 : 10. Er kunnen 14 groepjes gevormd worden, maar dan zijn er nog 4 leerlingen over.

Hierbij is 144 het deeltal ( D ) 10 de deler ( d )

14 het quotiënt ( q ) 4 de rest ( r )

Als je 144 deelt door 10 is de rest niet nul.

Daarom spreken we van een niet-opgaande deling.

Controle : 144 = 10 14 + 4

Mevrouw De Pauw wil de leerlingen verdelen in groepjes van 9 leerlingen.

Zij voert de deling uit en verkrijgt 144 : 9 = 16.

Bij deze deling is de rest nul. We noemen dit een opgaande deling

Controle : 144 = 9 16 + 0

Euclidische deling

deeltal = deler quotiënt + rest OF

D = d q + r

Euclidische deling

met een positieve rest r kleiner dan de deler d

De ‘euclidische deling’ is genoemd naar Euclides, een Griekse wiskundige die ongeveer 300 jaar voor Christus leefde. Hij schreef het boek ‘Elementen’, waarin hij veel wiskundige weetjes noteerde over cirkels, punten, rechten, kortom een flink stuk meetkunde. Toen koning Ptolemaeus na een lang bewijs aan zijn leerkracht Euclides vroeg of er geen gemakkelijkere methode bestond, antwoordde die : “Hoogheid, in de wiskunde bestaat er geen koninklijke methode.”

2 Delers en veelvouden

a Definitie

24 is een veelvoud van 8, want 24 = 8 · 3

We zeggen ook dat 24 deelbaar is door 8 of dat

8 een deler is van 24.

In symbolen : 8 | 24 lees : 8 is een deler van 24

Notatie :

del 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }

5 N = { 0, 5, 10, 15, …}

del a = de verzameling van de natuurlijke delers van a

a N = de verzameling van de natuurlijke veelvouden van a

b Merkwaardige veelvouden en delers

veelvouden

• Elk getal is een veelvoud van 1, want bv. 124 = 1 124

• Elk getal is een veelvoud van zichzelf, want bv. 73 = 73 · 1

• 0 is een veelvoud van elk getal, want bv. 0 = 18 0

c Eigenschappen

eigenschap 1

in woorden :

deler en veelvoud

a is een veelvoud van b

a is deelbaar door b

b is een deler van a

delers

• 1 is een deler van elk getal, want bv. 20 = 1 20

• Elk getal is een deler van zichzelf, want bv. 53 = 53 · 1

• 0 is nooit een deler van een getal zo is 0 geen deler van 7, want 0 x = 0

Een deler van twee getallen is ook een deler van hun som. in symbolen :

a | b en a | c ⟹ a | ( b + c )

eigenschap 2 in woorden : Een deler van een getal is ook een deler van elk veelvoud van dat getal.

3 Symbolen in de wiskunde

Je kent al de betekenis van ⟹.

Die pijl noemen we een implicatie en lees je als als … dan …

Als de pijl ook geldt in omgekeerde richting, dan maak je gebruik van ⟺.

Die pijl noemen we een equivalentie en lees je als … als en slechts als …

Voorbeeld 1 :

a is een deler van 8 ⟹ a is een deler van 24

Die uitspraak is waar omdat elke deler van 8 ook een deler is van 24. Het getal 24 is immers een veelvoud van 8.

Maar :

a is een deler van 24 ⨉ ⟹ a is een deler van 8

Hier geldt de implicatie niet, omdat je minstens één deler van 24 kunt vinden die geen deler is van 8, bijvoorbeeld 6.

Voorbeeld 2 :

ABCD is een vierkant ⟹ ABCD is een rechthoek

Die uitspraak is waar want elk vierkant is ook een rechthoek.

Maar :

ABCD is een rechthoek ⨉ ⟹ ABCD is een vierkant

Hier geldt de implicatie niet, omdat niet alle rechthoeken ook vierkanten zijn, zoals deze rechthoek :

Voorbeeld 3 : 2 + 9 = 11 ⟺ 9 = 11 – 2

Die uitspraak is waar.

⟹ 2 + 9 = 11 ⟹ 9 = 11 – 2

⟸ 9 = 11 – 2 ⟹ 2 + 9 = 11

Voorbeeld 4 : vandaag is het dinsdag ⟺ morgen is het woensdag

Die uitspraak is waar.

⟹ Als het vandaag dinsdag is, dan is het morgen woensdag.

⟸ Ook de omgekeerde uitspraak is correct. Als het morgen woensdag is, dan is het vandaag dinsdag.

Het symbool ∩ wordt gebruikt om de doorsnede van twee verzamelingen weer te geven.

Je bekomt de verzameling met de gemeenschappelijke elementen van beide verzamelingen.

Het symbool ∪ wordt gebruikt om de unie van twee verzamelingen weer te geven.

Je bekomt de verzameling met hierin de elementen die behoren tot de ene of de andere verzameling.

Het symbool \ wordt gebruikt om het verschil van twee verzamelingen weer te geven.

Je bekomt de verzameling van elementen die behoren tot de eerste verzameling, maar niet tot de tweede verzameling. Voorbeeld

In de doorsnede zitten getallen die een deler zijn van 36 en van 24.

In de unie zitten getallen die een deler zijn van 36 of van 24.

In dit verschil zitten de getallen die een deler zijn van 36, maar niet van 24.

In dit verschil zitten de getallen die een deler zijn van 24 maar niet van 36.

4 Kenmerken van deelbaarheid

We gaan op zoek naar kenmerken van getallen waarmee we snel (dus zonder de deling uit te voeren) kunnen bepalen of een getal deelbaar is door 2, door 3, door 4, door 5, door 9, door 10 en door 25.

a Deelbaarheid door 10

deelbaar door 10

Een getal is deelbaar door 10.

Het laatste cijfer van het getal is een 0.

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden en kijken naar het laatste cijfer.

210 = 200 + 10 7218 = 7200 + 93,5+2718

= tienvoud + tienvoud = tienvoud + tienvoud + 8

= tienvoud = tienvoud + 8

210 is dus deelbaar door 10 7218 is dus niet deelbaar door 10

We kunnen dit kenmerk ook uitbreiden naar 100, 1000, … Zo is een getal deelbaar door 100 als en slechts als de laatste twee cijfers van het getal nullen zijn. Om deelbaar te zijn door 1000 moeten de laatste drie cijfers nullen zijn.

Algemeen :

deelbaar door 100, 1000, ...

Een getal is deelbaar door 100, 1000, …

De laatste 2, 3, … cijfers van het getal zijn nullen.

b Deelbaarheid door 2 en door 5

deelbaar door 2 (door 5)

Een getal is deelbaar door 2 (of 5).

Het laatste cijfer van het getal is deelbaar door 2 (of 5).

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden en kijken naar het laatste cijfer.

136 = 130 + 6

= tweevoud + tweevoud

365 = 360 + 5

= vijfvoud + vijfvoud

= tweevoud = vijfvoud

136 is dus deelbaar door 2

477 = 470 + 7

= tweevoud + 6 + 1

= tweevoud + 1

477 is dus niet deelbaar door 2

365 is dus deelbaar door 5

639 = 630 + 9

= vijfvoud + 5 + 4

= vijfvoud + 4

639 is dus niet deelbaar door 5

c Deelbaarheid door 4 en door 25

deelbaar door 4 (door 25)

Een getal is deelbaar door 4 (of 25).

Het getal gevormd door de laatste twee cijfers is deelbaar door 4 (of 25).

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden en kijken naar de laatste cijfers.

1324 = 1300 + 24 8475 = 8400 + 75

= viervoud + 24 = 25-voud + 75

= viervoud + viervoud = 25-voud + 25-voud

= viervoud = 25-voud

1324 is dus deelbaar door 4 8475 is dus deelbaar door 25

1325 = 1300 + 25 3490 = 3400 + 90

= viervoud + 24 + 1 = 25-voud + 75 +

= viervoud + viervoud + 1 = 25-voud + 25-voud

voud 15 voud + 15

= viervoud + 1 = 25-voud + 15

1325 is dus niet deelbaar door 4 3490 is dus niet deelbaar door 25

We kunnen dit kenmerk ook uitbreiden naar 8 en 125. Zo is een getal deelbaar door 8 als en slechts als de laatste drie cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 8.

d Deelbaarheid door 3 en door 9

deelbaar door 3 (door 9)

Een getal is deelbaar door 3 (of 9).

De som van de cijfers van dat getal is deelbaar door 3 (of 9).

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden. Merk op dat elke macht van 10 geschreven kan worden als één meer dan een 9-voud.

+ 1 =

= 9-voud + 18

= 9-voud + 9-voud

= 9-voud 8631 is dus deelbaar door 9

Elk natuurlijk getal kun je schrijven als een negenvoud plus de som van zijn cijfers.

5 Samenvatting

• Je weet dat je voor elke twee natuurlijke getallen D en d ( d ≠ 0) een quotiënt q en een rest r kunt vinden zodat :

D = d q + r met 0 ⩽ r < d

• Je kunt voor twee natuurlijke getallen (waarvan het tweede niet nul is) het quotiënt en de rest bepalen.

• Je weet wat bedoeld wordt met opgaande en niet-opgaande deling.

Bij een opgaande deling is de rest nul.

Bij een niet-opgaande deling is de rest niet nul.

• Je kent de definitie van deler en veelvoud van een natuurlijk getal. Je kunt delers en veelvouden van een natuurlijk getal bepalen.

a is een veelvoud van b

⇕

a is deelbaar door b

⇕

b is een deler van a

• Je kunt volgende symbolen gebruiken : ∪, ∩ en \ .

A ∩ B (doorsnede) : de verzameling van de gemeenschappelijke elementen A en B.

A ∪ B (unie) : de verzameling van de elementen die behoren tot A of B.

A \ B (verschil) : de verzameling van de elementen die behoren tot A en niet tot B.

• Je kunt bepalen of een getal deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 9, 10 en 25.

• Je kunt de volgende kenmerken van deelbaarheid weergeven.

Een getal is deelbaar door 10 ⟺ Het laatste cijfer van het getal is een 0.

Een getal is deelbaar door 100, 1000 … ⟺ De laatste 2, 3 … cijfers van dit getal zijn nullen.

Een getal is deelbaar door 2 (of door 5) ⟺ Het laatste cijfer van dit getal is deelbaar door 2 (of door 5).

Een getal is deelbaar door 4 (of door 25) ⟺ Het getal gevormd door de laatste twee cijfers is deelbaar door 4 (of door 25).

Een getal is deelbaar door 3 (of door 9) ⟺ Het getal gevormd door de som van de cijfers is deelbaar door 3 (of door 9).

Verdieping

• Je kunt volgende eigenschappen onderzoeken, verwoorden en toepassen.

Een deler van twee getallen is ook een deler van hun som.

Een deler van een getal is ook een deler van elk veelvoud van dat getal.

• Je kunt de kenmerken van deelbaarheid verklaren door een getallenvoorbeeld.

i

6 Oefeningen

Bepaal uit het hoofd telkens het quotiënt en de rest van volgende delingen. Noteer ook of het om een opgaande of niet-opgaande deling gaat.

Welke resten kun je krijgen als je een natuurlijk getal deelt door :

Vul het meest passende symbool in. Kies tussen ⟹, ⟸ en

b

c

k a is een natuurlijk getal

Welke verzameling krijg je als resultaat ? De lege verzameling duid je aan als ∅ of { }

a del 8 ∩ del 4

g Q+ 0 ∪ Q–0

b del 8 ∪ del 4 h Q \ Q–

c del 8 \ del 4 i Q ∩ Q+

d del 4 \ del 8 j Q ∩ Z

e N ∪ Z k Z \ N

f Z ∪ N l N \ Z

Omschrijf wat er in de gevraagde verzameling zit.

A is de verzameling met …

B is de verzameling met …

Wat zit er in … Antwoord

a rode kubussen kubussen B \ A

b gelijkbenige driehoeken gelijkzijdige driehoeken A ∩ B

c worteltjes erwtjes A ∪ B

d Belgische stripalbums stripalbums van Kuifje A \ B

e namen van Vlaamse steden

namen van Vlaamse provincies A ∩ B

Waar of vals ?

a 8 is een deler van 16

b 72 is deelbaar door 9

i de rest van 14 gedeeld door 3 is 0

j 39 is deelbaar door 3

c 8 | 54 k 4205 is deelbaar door 5

d 9 is een deler van 63

e 23 is een veelvoud van 1

f 48 is een deler van 12

g 0 is een veelvoud van 15

l 1818 is deelbaar door 9

m 16 | 0

n 0 | 8

o 420 is deelbaar door 0

h 11 | 121 p 126 is een veelvoud van 9

Som op en gebruik enkel natuurlijke getallen.

a de delers van 48

b de delers van 36

c de delers van 100

d de veelvouden van 7

e de veelvouden van 11

f de veelvouden van 3 die een deler zijn van 72

Noteer een getal, bestaande uit 4 cijfers, dat

a deelbaar is door 9

b deelbaar is door 25

c deelbaar is door 3 en door 2

d deelbaar is door 4 en door 9

e deelbaar is door 100 en door 3

Een andere kijk op de tafel van 3 en 9.

De tafel van 3 ken je nog wel van in de lagere school : 0, 3, 6, 9, 12 …

Ook de tafel van 9 zit wellicht nog in je geheugen : 0, 9, 18, 27, 36, 45 …

We stellen de tafel van 3 op twee andere manieren voor. Herken je nu nog de tafel van drie ?

tafel van drie op het honderdveld tafel van drie in een cirkel

a Stel de tafel van 6 voor op het honderdveld en in een cirkel.

b Stel de tafel van 9 voor op het honderdveld en in een cirkel.

c Als je de tafel van 3 op het honderdveld vergelijkt met de tafel van 9 op het honderdveld, dan kun je iets zien. Merk jij wat het is ?

Duid op het honderdveld alle drievouden aan met een blauwe stip en alle negenvouden met een rode stip. Zijn alle negenvouden ook drievouden ? Of zijn alle drievouden negenvouden ? Hoe zie je dat op een honderdveld ?

Duid op het honderdveld alle getallen aan die deelbaar zijn door 2 met een groene stip en alle getallen die deelbaar zijn door 5 met een zwarte stip. Plaats een kruisje waar het getal deelbaar is door 2 en door 5. Wat kun je besluiten ?

Kruis aan wanneer het getal deelbaar is door het getal in de bovenste rij. Vul op de onderste rij links een getal in dat deelbaar is door alle getallen in de bovenste rij.

Door welk cijfer kun je x vervangen zodat het getal deelbaar wordt ? Geef steeds alle mogelijkheden.

Vervang in de volgende getallen elke letter door een cijfer zodat het verkregen getal deelbaar is …

a door 9 en 5 : 4x 57y c door 25 en 10 : 75 5xy

b door 4 en 3 : 20x 2y d door 3, 9 en 4 : 3x 7y

Je kunt weten of een jaartal een schrikkeljaar is als het getal deelbaar is door 4, tenzij het eindigt op twee nullen. Dan moet het getal deelbaar zijn door 400. Welke jaartallen zijn schrikkeljaren ?

a 1984

b 1200 c 1900 d 1998 e 1996 f 2000 g 2016 h 1780 i 1700 j 2100 k 2020 l 3000

Waar of niet waar ?

a Een getal dat een deler is van enkele getallen, is ook een deler van hun som.

b Als twee getallen niet deelbaar zijn door 3, dan is hun som of verschil wel deelbaar door 3.

c Van vijf opeenvolgende getallen is er altijd één dat deelbaar is door 6.

d Als een getal deelbaar is door 3 of door 2, dan is het ook deelbaar door 6.

e De som van drie opeenvolgende getallen is steeds deelbaar door drie.

Onderzoeksopdrachten. Noteer telkens de conclusie van je onderzoek.

a Vermenigvuldig je deeltal en deler van een deling met eenzelfde getal, wat gebeurt er dan met de rest ?

b Wat gebeurt er met het quotiënt en de rest van een deling als je deeltal en deler door eenzelfde getal deelt ?

c Hoe verandert het quotiënt van een opgaande deling als je alleen het deeltal vermenigvuldigt met 5 ?

Zoek een methode om met ICT het quotiënt en de rest van een deling terug te vinden. Zoek dan met je rekenmachine q en r van volgende delingen :

a 1303 : 45

Euclides

b 217 134 : 562

Over het leven van Euclides is niet echt veel bekend. Hij was actief in Alexandrië in de periode van 330 –300 voor Christus. Waarschijnlijk was hij een leerling van de school van Plato. Hoewel Plato zelf geen wiskundige was, had hij toch dit opschrift hangen boven de poort : ‘Geen toegang voor niet-wiskundigen’.

Het belangrijkste werk van Euclides is het boek ‘Elementen’. Dat omvat een uitgebreid overzicht van de meetkundige kennis vanaf het ontstaan van de mensheid tot dat ogenblik.

Euclides ontdekte dus eigenlijk niets nieuws. Maar dit ABC van de wiskunde werd na de Bijbel de grootste bestseller aller tijden.

In een nis van de dom van Firenze vind je deze afbeelding van Euclides.

1.4 Breuk, decimale vorm en procent

1 Gelijkwaardige breuken

1 2 = 2 4 = 4 8 zijn gelijkwaardige breuken, want ze stellen hetzelfde getal voor. 1

Als je teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) hetzelfde getal (verschillend van nul), dan krijg je een breuk die gelijkwaardig is aan de oorspronkelijke breuk.

Voorbeelden : 12 32 = 12:4 32:4 = 3 8 5 7 = 5 6 7 6 = 30 42

Tegenvoorbeeld : 2 3 = 4 9 want we kunnen teller en noemer van de eerste breuk niet vermenigvuldigen met of delen door eenzelfde getal zodat we de tweede breuk uitkomen.

eigenschap

Als je teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde getal verschillend van nul, krijg je een breuk die gelijkwaardig is met de oorspronkelijke breuk.

2 Breuken vereenvoudigen

We spreken af dat je bij het resultaat van een oefening steeds de meest eenvoudige schrijfwijze van een breuk noteert. Je zult je breuk dus (indien mogelijk) vereenvoudigen Dat betekent dat je de teller en noemer van deze breuk deelt door eenzelfde getal.

Voorbeeld :

3

6 = 3:3 6:3 = 1 2 Jehebttellerennoemergedeelddoor3.

8 12 = 8:4 12:4 = 2 3 Debreuk 2 3 isnietmeervereenvoudigbaar.

2

3 iseen onvereenvoudigbarebreuk

Bij grotere tellers en noemers is het gebruik van ICT aangeraden.

3 Breuken gelijknamig maken

Om later bewerkingen te kunnen uitvoeren met breuken, is het nodig dat je breuken gelijknamig kunt maken. Gelijknamige breuken zijn breuken met gelijke noemers.

Als breuken niet gelijknamig zijn, kun je ze als volgt gelijknamig maken :

Voorbeeld :

Maak 5 6 en 3 8 gelijknamig.

Vereenvoudig (zo nodig) de breuk

① Zoek een veelvoud van beide noemers. Maak het jezelf makkelijk door te kiezen voor het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van de noemers. 24 is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 6 en 8.

② Noteer dan elke breuk als een gelijkwaardige breuk met in de noemer het zojuist gevonden veelvoud van de noemers.

③ Noteerdegelijknamigebreuken 20 24 en 9 24 .

4 Omzetting breuken – kommagetallen

Van breuk naar kommagetal

• breuken met noemer 10, 100, …

• breuken waarvan de noemer tot 10, 100, … te herleiden is

• andere breuken zet je om met behulp van ICT, je deelt de teller door de noemer

Van kommagetal naar breuk

• van begrensd decimale vorm naar breuk

• om een onbegrensd decimale vorm om te zetten naar een breuk, gebruik je ICT

Van Egypte naar Brugge

Vroeger noteerden Egyptenaren een breuk als een getal met een streepje erboven. Alleen de noemer werd geschreven en dat kon omdat er enkel met stambreuken (een breuk waarvan de teller 1 is) gewerkt werd, maar soms ook met 2 3 Zo was 7 = 1 7 . Alle breuken werden genoteerd als een som van stambreuken.

Het streepje boven het getal zou wel eens aan de oorsprong kunnen liggen van onze breukstreep. De eerste kommagetallen komen voor in het boekje ‘De Thiende’ van Bruggeling Simon Stevin, die ook de term ‘wiskunde’ lanceerde. Hij wou met de invoering van deze schrijfwijze het rekenen vereenvoudigen. De komma zelf hebben we te danken aan de Schotse wiskundige John Napier.

5 Procenten

Boek nu en krijg 40 % korting.

VERBOUWPLANNEN?

+ 20 % GRATIS

Nu extra voordelig met 6 % btw-tarief *

-15 % op alle smartphonecovers*

Percentages komen overal voor :

– De arbeiders vragen 7 % opslag.

– De elektriciteitstarieven worden vanaf september met 3 % verhoogd.

– Het aantal werklozen in België steeg vorig jaar met 4 %

– Meer dan 25 % van alle mensen op de wereld gebruikt Facebook.

– Bij de aankoop van een brood betaal je 6 % btw.

– Bij de aankoop van een computer betaal je 21 % btw.

– De planeet Dubbes TrES-4, die zich buiten ons zonnestelsel bevindt, is 70 % groter dan Jupiter.

– We houden van T-shirts die bestaan uit 100 % biologisch katoen.

– Het stijgingspercentage van deze weg is 21 %

Procenten

‘Percent’ of ‘procent’ komt van het Latijnse ‘pro cento’ of ‘per centum’. Via de Franse taal komen we aan de vertaling : ‘per-cent’ of ‘pour-cent’ of ‘per honderd’ of ‘ten honderd’. Dit alles betekent steeds ‘op honderd’ en krijgt als symbool ‘%’. Het symbool ‘‰’ bestaat ook. Dat betekent ‘per duizend’ of ‘promille’ (denk maar aan het maximaal toegelaten alcoholgehalte dat een chauffeur in zijn bloed mag hebben).

a Een percentage aftrekken

Voorbeeld :

Tijdens de soldenperiode vind je nog een laatste doos van het spel Ticket to Ride : Rails & Sails, die 60 euro kost. Er hangt een sticker op de doos met hierop –15 %.

Hoeveel zul je moeten betalen ?

Het probleem begrijpen : 15 % korting betekent dat je voor elke 100 euro die je zou moeten betalen, 15 euro korting krijgt.

KostprijsKorting Te betalen

€ 100 € 15 € 85

Als we terugdenken aan het honderdveld uit de lagere school, kunnen we procenten als volgt voorstellen : kostprijs te betalen

Oplossing : 15%betekent 15 100 of0,15. of Alsje15%kortingkrijgt,moetje

0,15 · 60 = 9 nog85%vanhetbedragbetalen.

Jezalvoordedoosmoetenbetalen: 85%betekent 85 100 of0,85.

€ 60 € 9 = € 51

0,85 60 = 51

Antwoord : Als je rekening houdt met 15 % korting, zul je voor deze doos 51 euro betalen.

Controle : 15 100 60 = 9en9 + 51 = 60

b Een percentage bijtellen

Voorbeeld :

Als je een pakje in het buitenland aankoopt, let je maar beter goed op !

Op een Amerikaanse site zie je een tof paar sportschoenen voor (omgerekend) 64 euro.

Als de pakjesdienst het bij je thuis brengt, moet je er 21 % btw op betalen.

a Hoeveel bedraagt deze btw ?

b Hoeveel kosten de schoenen in totaal ?

Het probleem begrijpen : We zoeken 21 % van 64 euro. Daarna tellen we dit op met 64.

Oplossing :

21%betekent 21 100 of0,21. of Alsje21%btwmoetbijtellen,

0,21 64 = 13,44 moetjeeigenlijk121%van

Intotaalkostendesportschoenen: 64berekenen.

€ 64 + € 13,44 = € 77,44

Antwoord :

1,21 64 = 77,44

Je zult aan de pakjesdienst nog 13,44 euro btw moeten betalen. In totaal kosten de schoenen 77,44 euro.

6 Samenvatting

• Je kunt breuken vereenvoudigen en gelijknamig maken. Je weet wat gelijkwaardige breuken zijn. Gelijkwaardige breuken stellen hetzelfde getal voor : 3 4 = 6 8 = 75 100 = 0,75

Als je teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde getal verschillend van nul, dan krijg je een breuk die gelijkwaardig is met de oorspronkelijke breuk.

• Je kunt een breuk omzetten naar zijn decimale vorm en je kunt een kommagetal omzetten in een breuk.

• Je kent de betekenis van een procent en kunt een percentage berekenen van een bepaald geheel.

• Je kunt vraagstukken oplossen over procenten.

7 Oefeningen

Zet de volgende decimale vormen om naar een (onvereenvoudigbare) breuk. Controleer je antwoord met je rekenmachine.

Vereenvoudig deze breuken.

Vul aan zodat de breuken gelijkwaardig zijn.

Verbind de gelijkwaardige breuken met een lijntje.

Maak de volgende breuken gelijknamig.

d

e

Stel volgende percentages voor op een honderdveld.

a 25 %

b 17 %

c 82 %

Verbind de opgave bovenaan met het correcte percentage onderaan. de helfteen vierdehet dubbeldrie vierdeeen achtste anderhalf

a 75 % van 100 d 55 % van 950

b 15 % van 200 e 40 % van 27

c 12 % van 1800 f 24 % van 700

Wat betekenen de volgende uitspraken ?

a “Ik ben niet voor 100 % tevreden.”

b “Om te slagen moet je voor elk vak 50 % behalen.”

c “Mijn spelers hebben zich voor 200 % ingezet.”

d “In een gouden sieraad van 18 karaat zit 75 % goud verwerkt.”

e “In België werkt 3 % van de beroepsbevolking in de landbouwsector.”

f “Mijn spaarboekje brengt 1 % intrest op.”

Verbind de procenten uit de bovenste tabel met de bijbehorende getallen uit de onderste tabel.

Bereken met ICT:

a 35 % van 1700 leerlingen.

b 6 % btw op 39 700 euro.

c 21 % btw op een aankoop van 150 000 euro.

d 121 % van 115 000 euro kostprijs.

e 40 % van 368,25 euro.

f 12 % btw op 184 euro.

Los de volgende vraagstukjes op. Controleer met ICT.

a Klaartje is toe aan een nieuwe bureaustoel. De stoel kost normaal 110 euro. De handelaar geeft 5 % korting. Hoeveel bedraagt de korting ?

b Op een veiling koopt Paco een oude koffer voor 250 euro. Er moeten echter nog 22 % kosten en administratie betaald worden. Hoeveel zal Paco uiteindelijk betalen ?

c Een gsm kost aan inkoopprijs 130 euro. De verkoper wil verkopen met 50 % winst. Hoeveel zal de verkoopprijs zijn voor dit product ?

d Robbe en Kato laten herstellingswerken uitvoeren aan hun huis. De kostprijs zonder btw is 13 400 euro. Omdat hun huis al ouder is dan 10 jaar, moeten ze maar 6 % btw betalen. Hoeveel zullen Robbe en Kato moeten betalen ?

e De totale oppervlakte van een stuk grond is 1250 m2. Hiervan is 35 % bebouwd. Hoeveel m2 van het stuk grond is bebouwd ?

Vaardigheden | Schatten

Vooraleer te beginnen cijferen, of voordat je bepaalde vraagstukken oplost, kan het nuttig zijn om eerst te schatten. Nadien kun je het gevonden antwoord toetsen aan de eerder gemaakte schatting.

Voorbeeld 1 Bereken 285 47

schatting : 285 47 wordt 280 50 = 280 100 : 2 = 28 000 : 2 = 14 000

berekening : door te cijferen :

Conclusie : onze schatting 14 000 ligt mooi in de buurt van 13 395.

Voorbeeld 2 Een nieuwe auto kost 22 900 euro zonder btw. Je moet er nog 21 % btw bij optellen om aan het te betalen bedrag te komen. Wat zal de uiteindelijke kostprijs zijn ?

schatting : btw : 1 5 van 23 000 is 4600

schatting totaalprijs : € 23 000 + € 4600 = € 27 600

berekening : met de rekenmachine : € 22900 21 100 = € 4809

totaalprijs : € 22 900 + € 4809 = € 27 709

Conclusie : onze schatting van 27 600 euro ligt mooi in de buurt van 27 709 euro.

Voorbeeld 3 Voor het verven van de muren in ons huis hebben we zes potten primer nodig (grondlaag) van 9 euro per pot en elf potten verf met ‘woestijnzandkleur’, die elk 18,50 euro kosten. Als ik aan de kassa wil afrekenen, wil ik graag weten hoeveel alles mij ongeveer zal kosten. Hoeveel kosten alle potten samen ?

schatting : primer : 6 · € 9 wordt 5 · € 10

woestijnzandverf : 11 · € 18,50 wordt 10 · € 20

= € 50

= € 200 € 250

berekening : met de rekenmachine : 6 · € 9 + 11 · € 18,50 = € 257,50

Conclusie : onze schatting van 250 euro ligt mooi in de buurt van 257,50 euro.

Oefeningen

Zet de best passende schatting in fluo.

a Bij de aankoop van een nieuw huis vraagt de notaris 17 % kosten. Als het huis 186 000 euro kost, hoeveel kosten komen er dan nog bij ?

b In de verfwinkel koop je twee potten verf van elk 22 euro en drie potten van elk 11 euro. Op die eerste twee krijg je 20 % korting. Hoeveel zul je ongeveer moeten betalen ?

c Aan de kant van de weg zie je een bord ‘OOSTENDE 120’. Je rijdt aan 90 km/h. Hoelang ben je nog onderweg naar Oostende ?

d Een leerling van het eerste middelbaar is gemiddeld 1,58 meter groot. Hoe hoog is de kerk hiernaast in werkelijkheid ?

Schat het resultaat. Bereken nadien door te cijferen. Controleer ook met ICT.

a Een draagbare computer kost 749 euro. De winkelier geeft 10 % korting. Hoeveel moet je betalen voor deze computer ?

b Een iPhone kost 450 euro zonder btw. Wat betaal je voor een iPhone als de btw 21 % bedraagt ?

c Op een voetbalwedstrijd waren 7480 aanwezigen. Hiervan had 15 % een gratis toegangskaartje. Hoeveel toeschouwers kwamen gratis naar de wedstrijd kijken ?

Getallen rondom ons 1

Bloom dit moet ik leren

B ❒ Ik weet hoe ons talstelsel is opgebouwd.

B ❒ Ik weet wat bedoeld wordt met eenheden, tientallen, honderdtallen, honderdsten, …

B ❒ Ik ken de betekenis van een biljoen, biljard en triljoen.

B ❒ Ik kan een getal omzetten van en naar een ander talstelsel.

B ❒ Ik ken de opbouw van het binair stelsel en kan een getal omzetten van en naar het binair stelsel.

A ❒ Ik weet wat natuurlijke getallen zijn.

A ❒ Ik weet wat gehele getallen zijn.

A ❒ Ik weet wat rationale getallen zijn en dat ze voorgesteld kunnen worden als breuk of als decimaal getal.

T ❒ Ik ken de betekenis van de symbolen ∈, ∉, ⊂ en ⊄

A ❒ Ik ken de Euclidische deling en weet wat bedoeld wordt met een opgaande en een nietopgaande deling.

T ❒ Ik ken de definitie van delers en veelvouden.

A ❒ Ik weet dat een deler van twee getallen ook een deler is van hun som.

A ❒ Ik weet dat een deler van een getal ook een deler is van elk veelvoud van dat getal.

A ❒ Ik ken de betekenis van de symbolen ⟹ en ⟺.

T ❒ Ik ken de betekenis van de symbolen ∪, ∩ en \, en kan de doorsnede, unie en verschil van twee verzamelingen bepalen.

A ❒ Ik weet wanneer een getal deelbaar is door

T ❒ Ik weet wat gelijkwaardige breuken zijn en kan breuken vereenvoudigen.

T ❒ Ik kan breuken gelijknamig maken.

T ❒ Ik weet hoe ik een breuk omzet naar zijn decimale vorm en weet hoe ik een begrensd decimale vorm omzet in een breuk.

T ❒ Ik kan een procent berekenen van een getal.

T ❒ Ik ken de technieken om te schatten.

 

 

 

 

Getallen rondom ons

Getallen en cijfers. Welk getal zoeken we ?

a Vorm met de cijfers 2, 4, 6 en 8 het kleinst mogelijke kommagetal met twee cijfers na de komma.

b Noteer het grootste natuurlijke getal met vier verschillende cijfers.

c Hoeveel getallen bestaan er met twee cijfers ?

d 1 T minder dan 1 H is

Het binair talstelsel.

Mijn tablet heeft een opslagcapaciteit van 256 GB. Noteer dit getal binair.

WAAR of VALS : in het binair stelsel is I0 + I0 = I00

Hieronder zie je een aantal getallen.

Als een getal een natuurlijk getal is, kleur je een cirkelrand groen

Als een getal een geheel getal is, kleur je een cirkelrand rood.

Als een getal een rationaal getal is, kleur je een cirkelrand blauw

Let op ! Sommige getallen zullen verschillende kleuren rond zich hebben. Misschien blijft een getal kleurloos ?

Delers en veelvouden. WAAR of VALS ?

a Als een getal deelbaar is door 3, dan is het deelbaar door 9.

b Eén is een deler van elk natuurlijk getal.

c Nul is een veelvoud van elk natuurlijk getal.

d Elk getal (behalve nul) is een deler van zichzelf.

e 2 | 6 dus 2 | 12 en 2 | 18 en 2 | 24 …

f Nul is een deler van 100.

Kruis aan wanneer het getal deelbaar is door het getal in de bovenste rij.

/ 2

a Welk cijfer kan x zijn in 845x als

… 845x deelbaar is door 3 ?

/ 4

… 845x deelbaar is door 2 ?

… 845x deelbaar is door 2 en door 3 ?

b Het getal 22x 5y 4 is deelbaar door 4 en door 9. Welke waarden kunnen x en y dan aannemen ?

Welke uitdrukkingen zijn gelijkwaardig ?

In dit schema vind je drie verschillende getallen terug. Plaats de gelijke rationale getallen in eenzelfde kleur.

Noteer telkens met een onvereenvoudigbare breuk welk deel van de figuur ingekleurd is.

Vereenvoudig onderstaande breuken.

Na een ongeval besluit Kevin zijn bromfiets te verkopen met 30 % verlies. Hoeveel zal Kevin vragen als de bromfiets nieuw 2400 euro kostte ?

/

Welke schatting is het best passend ?

a 103 450 + 21 530 + 6650

b Met Kerstmis verstuur je 11 kaartjes. Elk kaartje kost 1,20 euro, maar je moet ook een postzegel voorzien van 0,95 euro.

Hoeveel betaal je in totaal ?

c Bij drie pakjes koffie krijg je een vierde pakje gratis.

Een pakje kost 2,48 euro.

Hoeveel betaal je voor dit promopakket ?

40 000130 000320 000

7 euro22 euro29 euro

6,50 euro7,50 euro10,00 euro