Vademecum
Wiskunde met pit
Inhoud
1 Wiskundetaal
2 Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde
3 Bewerkingen met verzamelingen
4 Rekenen met gehele getallen
5 Breuken
6 Rekenen met breuken
7 Machten en vierkantswortels
8 Volgorde van bewerkingen
9 Eigenschappen van de bewerkingen
10 Vergelijkingen
11 Gemiddelde en mediaan
12 Numerieke en categorische data
13 Coördinaten en grafieken
14 Schaal en evenredigheidsfactor
15 Enkele meetkundige begrippen
16 Hoeken
17 Driehoeken
18 Vierhoeken
19 Omgaan met eenheden
20 Cirkels
21 Omtrek en oppervlakte
22 Ruimtefiguren
23 Problemen oplossen met heuristieken
1 Nando 1
1 Wiskundetaal
1.1 Symbolen en begrippen
∈ is een element van
∉ is geen element van
⊂ is een deelverzameling van
⊄ is geen deelverzameling van
Δ driehoek
| is een deler van
p omtrek
A oppervlakte
V volume
∀ voor alle
: geldt
= is gelijk aan
≠ is niet gelijk aan
< is kleiner dan
⩽ is kleiner dan of gelijk aan
> is groter dan
⩾ is groter dan of gelijk aan
≈ is ongeveer gelijk aan
⟹ hieruit volgt, als … dan …
⟺ is gelijkwaardig met, als en slechts als
⫽ is evenwijdig
⫽ ∖ snijdt
⊥ staat loodrecht op
2
= {0,1,2,3, ...}
deverzamelingvandenatuurlijkegetallen
2 = {0,2,4,6, } deverzamelingvandenatuurlijkeveelvoudenvantwee del16 = {1,2,4,8,16} deverzamelingvandedelersvanzestien
= {... , 3, 2, 1,0,1,2,3, ...} deverzamelingvandegehelegetallen
+ = {0,1,2,3,4, } deverzamelingvandepositievegehelegetallen
= {0, 1, 2, 3, } deverzamelingvandenegatievegehelegetallen
= a b ∣ a ∈ en b ∈ 0 deverzamelingvanderationalegetallen
0 = a b ∣ a ∈ 0 en b ∈ 0 deverzamelingvanderationalegetallenzondernul
∅ = {}
een priemgetal
ontbinden in priemfactoren
opgaande deling
niet-opgaande deling
delegeverzameling
een natuurlijk getal met exact twee verschillende delers: één en zichzelf
het noteren van een getal (dat geen priemgetal is) als een product van priemgetallen
een deling waarbij de rest nul is
een deling waarbij de rest groter dan nul is en kleiner dan de deler
grootste gemeenschappelijke deler is het grootste natuurlijke getal dat een deler is van twee getallen
kleinste gemeenschappelijk veelvoud is het kleinste natuurlijk getal dat een veelvoud is van twee getallen
gedurige som is een som waarbij je meer dan twee getallen bij elkaar optelt
gedurig product is een product waarbij je meer dan twee getallen met elkaar vermenigvuldigt
3
1.2 Basisbegrippen getallenleer
bewerking voorbeeld algemeen begrippen resultaat
optelling
1 + 1
3 + 5 a + b a en b zijn termen som
aftrekking 9 - 11 a - b
vermenigvuldiging
a is een term (aftrektal)
b is een term (aftrekker) verschil
2 · 5 a · b a is een factor
deling 4:5 = 4 5 a : b ( b ≠ 0)
machtsverheffing 32 ab ( a ≠ 0, b ≠ 0)
b is een factor product
a is een factor (deeltal of teller)
b is een factor (deler of noemer) quotiënt
a is het grondtal
b is de exponent macht
worteltrekking √16 √a (a ⩾ 0) wortel
1.3 Basisbegrippen meetkunde
vlak
het vlak π
π
het punt A
punt
rechte
halfrechte
lijnstuk
hoek
de rechte a de rechte AB
de halfrechte [ AB A is het grenspunt
het lijnstuk [ AB] de grenspunten zijn A en B
dehoek A
dehoekBACofCAB
dehoek α (alfa) Aishethoekpunt [ABen [ACzijndebenen.
4
A C B α
A A A A B B B a
2 Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde
2.1 Absolute waarde van een rationaal getal
definitie De absolute waarde van een rationaal getal is dat getal zonder zijn toestandsteken.
notatie a
b (Ditleesjeals:deabsolutewaardevan a b )
2.2 Het tegengestelde van een rationaal getal
definitie Het tegengestelde van een getal is het getal met dezelfde absolute waarde als het gegeven getal, maar met een verschillend toestandsteken.
notatie -q (Dit lees je als : het tegengestelde van q)
Voorbeelden 4 3 ishettegengesteldevan 4 3 3,24ishettegengesteldevan3,24
eigenschap De som van twee tegengestelde rationale getallen is nul.
2.3 Het omgekeerde van een rationaal getal
definitie Het omgekeerde vaneenrationaalgetal a b (met a, b ∈ 0 )ishetrationaalgetal b a .
notatie q -1 (Dit lees je als : het omgekeerde van q)
Voorbeelden
eigenschap Het product van een rationaal getal, dat niet 0 is, met zijn omgekeerde is 1.
3 Bewerkingen met verzamelingen
De verzameling van de elementen die tot A of tot B behoren.
De verzameling van de elementen die tot A en tot B behoren.
De verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.
5
2 3
2 3 1 7 = 1 7 ∣
Voorbeelden
=
3,42 ∣ = 3,42
Hetomgekeerdevan4is 1 4 of4 1 = 1 4 Hetomgekeerdevan1,5is 2 3 of1,5 1 = 3 2 1 = 2 3
A ∩ B A ∪ B A \ B doorsnede
verschil A B A B A B
unie
4 Rekenen met gehele getallen
Om de som te bepalen van twee gehele getallen met hetzelfde teken :
methode STAP 1 : Behoud het toestandsteken.
STAP 2 : Tel de absolute waarden van de getallen bij elkaar op.
Om de som te bepalen van twee gehele getallen met een verschillend teken :
methode STAP 1 : Behoud het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.
STAP 2 : Trek het getal met de kleinste absolute waarde af van het getal met de grootste absolute waarde.
Om het verschil te bepalen van twee gehele getallen :
methode Om een geheel getal af te trekken van een ander geheel getal tellen we zijn tegengestelde op bij dat geheel getal.
TIP
Twee mintekens achter elkaar mag je vervangen door een plusteken. Een plusteken gevolgd door een minteken (of omgekeerd) mag je vervangen door een minteken.
Voorbeelden
8 - ( -5) = 8 + 5
7 + ( -4) = 7 - 4
Om het product te bepalen van twee gehele getallen met hetzelfde teken :
methode Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken te vermenigvuldigen, bereken je het product van de absolute waarde van de factoren.
Om het product te bepalen van twee gehele getallen met een verschillend teken :
methode Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken te vermenigvuldigen, neem je het tegengestelde van het product van de absolute waarde van de factoren.
Om het quotiënt te bepalen van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet nul is :
methode Om twee gehele getallen door elkaar te delen, bepaal je het toestandsteken en deel je de absolute waarden door elkaar.
6
5 Breuken
Om breuken te vereenvoudigen :
methode Om een breuk te vereenvoudigen, deel je teller en noemer van de breuk door hetzelfde getal. Is dit getal de grootste gemene deler (ggd) van teller en noemer, dan krijg je een onvereenvoudigbare breuk.
Voorbeeld 24 36 = 24:12 36:12 = 2 3
Om breuken gelijknamig te maken :
TIP
• De ggd van twee getallen is het grootste natuurlijk getal dat een deler is van beide getallen.
• Het kgv van twee getallen is het kleinste, van nul verschillend natuurlijk getal dat een veelvoud is van beide getallen.
methode Je maakt breuken gelijknamig door de breuken te herleiden op een noemer die het kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv) is van de oorspronkelijke noemers.
Voorbeeld Maak 5 6 en 3 8 gelijknamig.
kgv (6,8)= 24
Om breuken te ordenen, maak je ze eerst gelijknamig en je ordent ze dan volgens hun teller. Voorbeeld
Je kunt van een breuk de decimale schrijfwijze vinden door de teller te delen door de noemer.
Voorbeeld
7 4 = 7:4 = 1,75
5 11 = 5:11 = 0,4545 ...
Ook verhoudingen kan je als breuk noteren.
Voorbeeld Voor 1 kg koffie betaal je 12 euro.
Voor 2 kg koffie betaal je dan 24 euro. 1 verhoudt zich tot 12 zoals 2 tot 24 of 1 12 = 2 24 .
In een verhoudingstabel :
7
en
5 ⋅ 4 6 ⋅ 4 = 20 24 en 3 8 = 3 ⋅ 3 8 ⋅ 3 = 9 24
5 6 =
2 3 < 3 4
2 3 < 8 12 < 9 12 = 3 4
want
aantal kg koffie 1 2 3 0,5 prijs in euro 12 24 36 6
6 Rekenen met breuken
Om de som te bepalen van twee breuken : Om het verschil te bepalen van twee breuken :
methode STAP 1 : Vereenvoudig (indien mogelijk) elke breuk.
STAP 2 : Maak de breuken gelijknamig.
STAP 3 : Behoud de noemer en tel de tellers op.
STAP 4 : Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat.
STAP 1 : Vereenvoudig (indien mogelijk) elke breuk.
STAP 2 : Maak de breuken gelijknamig.
STAP 3 : Behoud de noemer en trek de tellers van elkaar af.
STAP 4 : Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat.
Om het product van twee breuken te Om het quotiënt van twee breuken te bepalen : bepalen waarbij de tweede breuk niet 0 is :
methode STAP 1 : Bepaal het toestandsteken.
STAP 2 : Noteer een grote breukstreep met in de teller het product van de tellers en in de noemer het product van de noemers (zonder uit te werken).
STAP 3 : Vereenvoudig (indien mogelijk).
STAP 4 : Vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar.
STAP 1 : Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
STAP 2 : Volg de werkwijze van de vermenigvuldiging.
Een breuk van een getal nemen, betekent hetzelfde als deze breuk vermenigvuldigen met dat getal.
Rekenen met procenten komt neer op rekenen met breuken met noemer 100.
Voorbeeld
23 % van1600 wordt:
8
Voorbeelden 1 3 + 20 16 = 1 3 + 5 4 = 4 12 + 15 12 = 19 12 15 20 2 3 = 3 4 2 3 = 9 12 8 12 = 1 12
Voorbeelden 16 9 ⋅ 27 20 = 4 ❩ ❩ 16 ✚ ✚ 27 3 1 ✁ 9 ⋅ ❩❩ 20 5 = 4 3 1 5 = 12 5 15 4 : 5 8 = 15 4 ⋅ 8 5 = 3 ✟✟ 15 ❆ 82 1 ❆ 4 ✁ 5 1 = 6
23 100
= 23 ✘✘ ✘1600 16 1 ✟✟ 100 = 368
1600
7 Machten en vierkantswortels
an = a · a · a · · a (n factoren met n > 1)
a1 = a
a0 = 1 ( a ≠ 0)
Voorbeeld 53 = 5 · 5 · 5 = 125
Hoe bereken je de macht van een negatief getal ?
methode Bereken de macht van de absolute waarde van dit getal. Is de exponent even, dan is de macht positief. Is de exponent oneven, dan is de macht negatief.
Voorbeelden ( -5) 2 = 25 ( -5) 3 = -125
Hoe bereken je de macht van een breuk ?
methode Om een breuk tot een macht te verheffen, moet je teller en noemer van die breuk tot de macht verheffen.
Voorbeeld 3 4 2 = 32 42 = 9 16
Vierkantswortel
Voorbeeld √81 = 9omdat92 = 81enhetresultaatpositiefmoetzijn.
De vierkantswortel van een negatief getal bestaat niet.
8 Volgorde van bewerkingen
Hoe voer je de volgorde van bewerkingen uit ?
methode STAP 1 : Indien er haakjes zijn, reken je eerst alles uit binnen de haakjes :
a) machtsverheffingen en vierkantsworteltrekkingen
b) vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts
c) optellingen en aftrekkingen van links naar rechts
STAP 2 : Indien er geen haakjes zijn of nadat de haakjes zijn weggewerkt :
a) machtsverheffingen en vierkantsworteltrekkingen
b) vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts
c) optellingen en aftrekkingen van links naar rechts
Voorbeeld
9 + 54:3 2 √
= 9 + 54:3
= 9 + 54:3
= 9 + 18
2 10
2 10
= 9 + 36 2 10
= 9 + 72 10
= 81 10
= 71
9
4 +
4 (
6)
⋅
⋅ √4
2
10
⋅
⋅
2
⋅ 2 ⋅
Start Haakjes ( ) en : ( ) + en - ( ) n en √
eigenschap
9 Eigenschapen van de bewerkingen
COMMUTATIVITEIT
in woorden
De optelling in q is commutatief. in symbolen
∀ a, b ∈ q : a + b = b + a in woorden
De vermenigvuldiging in q is commutatief. in symbolen
∀ a, b ∈ q : a · b = b · a
ASSOCIATIVITEIT
in woorden
De optelling in q is associatief. in symbolen
eigenschap
eigenschap
∀ a, b, c ∈ q : ( a + b) + c = a + ( b + c) = a + b + c in woorden
De vermenigvuldiging in q is associatief. in symbolen
∀ a, b, c ∈ q : ( a · b) · c = a · ( b · c) = a · b · c
DE ROL VAN 0 IN z
in woorden
Nul is het neutraal element bij de optelling in q .
in symbolen
0 ∈ q , ∀ a ∈ q : a + 0 = a = 0 + a
in woorden
Nul is het opslorpend element bij de vermenigvuldiging in q in symbolen
0 ∈ q , ∀ a ∈ q : a · 0 = 0 = 0 · a
DE ROL VAN 1 IN z
in woorden
eigenschap
eigenschap
Één is het neutraal element bij de vermenigvuldiging in q in symbolen
1 ∈ q , ∀ a ∈ q : a · 1 = a = 1 · a
DISTRIBUTIVITEIT
in woorden
De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in q . in symbolen
∀ a, b, c ∈ q : a · ( b + c) = a · b + a · c
in woorden
De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking in q in symbolen
∀ a, b, c ∈ q : a · ( b - c) = a · b - a · c
10
10 Vergelijkingen
Hoe los je een vergelijking op ?
methode STAP 1 : Door bij beide leden eenzelfde getal op te tellen of van beide leden eenzelfde getal af te trekken, breng je alle termen waarin de onbekende voorkomt samen in één lid en alle overige termen in het andere lid.
STAP 2 : Schrijf beide leden eenvoudiger door de optellingen en/of aftrekkingen uit te voeren.
STAP 3 : Door beide leden met eenzelfde getal, verschillend van nul, te vermenigvuldigen of beide leden door eenzelfde getal, verschillend van nul, te delen, zonder je de onbekende af.
11 Gemiddelde en mediaan
definitie Het rekenkundig gemiddelde van een aantal getallen is het quotiënt van de som van deze getallen en hun aantal.
notatie : x
Hoe bereken je het gemiddelde van een aantal getallen ?
methode STAP 1 : Maak de som van de getallen.
STAP 2 : Deel deze som door het aantal getallen.
Hoe bereken je de mediaan van een reeks getallen ?
methode STAP 1 : Rangschik de getallen van klein naar groot.
STAP 2 : Bij een oneven aantal getallen : de mediaan is het middelste getal. Bij een even aantal getallen : de mediaan is het gemiddelde van de twee middelste getallen.
12 Numerieke en categorische data
Numerieke data zijn data waarbij het zinvol is om te rekenen.
Voorbeelden lengte, afstand, tijd, aantal apps op je smartphone,
Categorische data zijn data waarmee niet gerekend wordt of waarbij het niet zinvol is om te rekenen.
Voorbeelden
naam, bloedgroep, kleur van je gsm-hoes, …
11
13 Coördinaten en grafieken
Een assenstelsel wordt gevormd door 2 getallenassen (de horizontale x-as en de verticale y-as) die loodrecht op elkaar staan. Met elk punt komt een coördinaat overeen. De coördinaat bestaat uit twee getallen die de ‘plaats’ van dat punt aanduiden. Het eerste getal lees je af op de x-as, het tweede getal op de y-as.
Bij een lijndiagram gaat men een aantal punten in een assenstelsel verbinden door een lijn (rechte, gebroken of kromme lijn).
Bij een staafdiagram gaat men in een assenstelsel ‘hoeveelheden’ voorstellen door staafjes.
Bij een dotplot plaats je horizontaal de gegevens. Telkens een gegeven voorkomt wordt een bolletje geplaatst.
Temperatuur op een winterdag
Lijndiagram Staafdiagram Dotplot
14 Schaal en evenredigheidsfactor
Om over te gaan van de afmeting van een tekening op schaal naar een werkelijke afmeting, kun je de volgende werkwijze toepassen.
De evenredigheidsfactor
12
y-as b 1 0 1 a P(a, b) S(4, 3) x-as
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 10 11 12 13 14 15 16 17 18 temperatuur (°C) tijdstip (u.) 0 2 4 6 8 10 12 zilver spacegrijs goud andere kleur aantal 7 11 5 2 80 81 82 83 84 85 86 Lengte peuters (cm) Favoriete kleur voor een smartphone
schaal op tekening in werkelijkheid 1 250000 7 cm 7 cm · 250 000 = 1 750 000 cm = 17,5 km 1 : 50 000 1000000cm 50000 = 20cm 10 km = 1 000 000 cm
schaal wordt als volgt weergegeven : 0 2 km 1 : 50 000 1 50000
of
15 Enkele meetkundige begrippen
Veel gebruikte notaties :
[ AB] lijnstuk A punt
AB rechte
[ AB halfrechte | AB | lengte van het lijnstuk a rechte
Evenwijdige rechten zijn rechten die in eenzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben of samenvallen. of
k = l k l
Kruisende rechten zijn rechten die niet in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben. Het punt S noemen we het snijpunt van de rechten k en l.
AB is de loodlijn uit B op AC. A is het voetpunt van de loodlijn uit B op AC.
Twee rechten staan loodrecht op elkaar als en slechts als ze een hoek van 90° vormen.
AB ⊥ AC ⟺ CAB = 90°
De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van dit lijnstuk gaat en loodrecht staat op dat lijnstuk.
De middelloodlijn teken je met behulp van je geodriehoek.
De bissectrice van een hoek (ook deellijn genoemd) is de rechte die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt.
De deellijn van een hoek teken je met behulp van je geodriehoek.
13
C
m A O A
B
k l S
A B
d d c c d B
16 Hoeken
notatie in woorden
één graad = 60 minuten in symbolen
1 ° = 60′
definitie Een nulhoek is een hoek van 0 °.
A
notatie in woorden één minuut = 60 seconden in symbolen 1′ = 60″
A = 0°
definitie Een scherpe hoek is een hoek waarvan de hoekgrootte tussen 0 ° en 90 ° ligt.
0° < A < 90°
A
definitie Een rechte hoek is een hoek van 90 °.
A
A = 90°
Symbool : Gebruik het symbool ∟ om de loodrechte stand aan te duiden.
definitie Een stompe hoek is een hoek waarvan de hoekgrootte tussen 90 ° en 180 ° ligt. A
90° < A < 180°
definitie Een gestrekte hoek is een hoek van 180 °.
A
definitie Een volle hoek is een hoek van 360 °.
A
A = 180°
A = 360°
14
definitie Overstaande hoeken zijn twee hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. A 2 1
eigenschap Overstaande hoeken zijn even groot.
Merk op
Opgelet: in de vierhoek ABCD noemen we bijvoorbeeld
∣ AB ∣ = ∣ AC ∣
B = C
 en Ĉ ook overstaande hoeken, maar deze zijn niet noodzakelijk even groot.
A + B = 60° + 30° = 90°
A isdetophoek.
definitie Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90 ° is.
[AB] en [AC] zijndebenen.
[BC] isdebasis.
Ben Czijndebasishoeken.
30 ° A
60 °
B
A + B = 60° + 30° = 90°
definitie Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 180 ° is.
A B
40 °
140 °
A + B = 140° + 40° = 180°
definitie Aanliggende hoeken zijn twee hoeken met een gemeenschappelijk been waarbij de andere benen langs beide zijden van het gemeenschappelijk been liggen. 1 2
Merk op
∣ AB ∣ = ∣ AC ∣
B = C
A + B = 60° + 30° = 90°
Opgelet: in de driehoek ABC noemen we bijvoorbeeld Ĉ en Ĉ ook de aanliggende hoeken van [BC].
definitie Nevenhoeken zijn twee hoeken die aanliggend en supplementair zijn.
A isdetophoek. [AB] en [AC] zijndebenen.
[BC] isdebasis.
Ben Czijndebasishoeken.
2 A
15
1 2 A A
1
A B C D A B C
17 Driehoeken
Een driehoek is een vlakke figuur die wordt gevormd door drie zijden en drie hoeken.
Een hoogtelijn van een driehoek is de loodlijn uit een hoekpunt op de drager van de overstaande zijde.
h z
Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
De som van de drie hoeken van een driehoek is steeds gelijk aan 180°. Driehoeken ingedeeld volgens de zijden :
A
∣ AB ∣≠∣ AC ∣
∣ AB ∣≠∣ BC ∣
∣ AC ∣≠∣ BC ∣
C
gelijkbenige driehoek
A C
gelijkzijdige
driehoek A C B
B
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan minstens twee zijden even lang zijn.
∣ AB ∣ = ∣ AC ∣
B = C
A isdetophoek.
[AB] en [AC] zijndebenen. [BC] isdebasis.
Ben Czijndebasishoeken.
∣ AB ∣ = ∣ BC ∣ = ∣ CA ∣
A = B = C = 60°
16
tekening terminologie
naam
ongelijkbenige driehoek B
Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden een verschillende lengte hebben.
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn.
Driehoeken ingedeeld volgens de hoeken :
A
scherphoekige driehoek
B Een scherphoekige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijn.
A < 90°
B < 90°
C < 90°
C
A
stomphoekige driehoek
B
C
rechthoekige driehoek
Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek.
B > 90°
Ineendriehoekkanmaximaal éénhoekstompzijn.
B Een rechthoekige driehoek is een driehoek met een rechte hoek.
C = 90°
[AC] en [BC] zijnderechthoekszijden.
C
A
[AB] isdeschuinezijdeof dehypotenusa.
Ineendriehoekkanmaximaal éénhoekrechtzijn.
17
naam tekening terminologie
18 Vierhoeken
Een vierhoek is een vlakke figuur die gevormd wordt door vier zijden en vier hoeken. De som van de hoeken in een vierhoek is steeds 360°.
Soorten vierhoeken :
naam
trapezium
gelijkbenig trapezium
definitie en eigenschappen
Een trapezium is een vierhoek met ten minste één paar evenwijdige zijden.
Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de opstaande zijden even lang en niet evenwijdig zijn. In een gelijkbenig trapezium zijn de basishoeken even groot.
rechthoekig trapezium Een rechthoekig trapezium is een trapezium met precies twee rechte hoeken.
parallellogram
rechthoek
ruit
vierkant
Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.
In een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang, de overstaande hoeken even groot en de diagonalen delen elkaar middendoor.
Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken.
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang en delen ze elkaar middendoor.
Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor.
Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken
In een vierkant staan de diagonalen loodrecht op elkaar, delen ze elkaar middendoor en zijn ze even lang.
19 Omgaan met eenheden
18
Lengte-eenheden 1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm 1000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Oppervlakte-eenheden 1 km2 1 hm2 of 1 ha 1 dam2 of 1 a 1 m2 of 1 ca 1 dm2 1 cm2 1 mm2 1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 Volume-eenheden m3 dm3 cm3 hl dal l dl cl ml
20 Cirkels
c is een cirkel met middelpunt M en straal 1,5 cm.
definitie Een cirkel is een verzameling van punten die op dezelfde afstand liggen van een gegeven punt, het middelpunt.
| MT| noemen we een straal van de getekende cirkel.
definitie Een straal van een cirkel is de afstand bepaald door het middelpunt en een punt op de cirkel.
PQ is een middellijn van de getekende cirkel.
definitie Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van die cirkel.
| PQ| noemen we een diameter van de cirkel.
definitie Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee verschillende punten van de cirkel verbindt.
[ AB] is een koorde van de getekende cirkel.
definitie De diameter van een cirkel is de lengte van een koorde die door het middelpunt gaat.
α en β zijn middelpuntshoeken van de getekende cirkel. Het hoekpunt valt immers samen met het middelpunt van de cirkel.
definitie Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt het middelpunt van de cirkel.
19
A B P M Q T c
F E 1,5 cm M c D β α A B C D c F E
21 Omtrek en oppervlakte
20
naam formule omtrek formule oppervlakte voorstelling driehoek p = som der zijden A = b ⋅ h 2 h b rechthoek p = 2 ( l + b) A = l b h b vierkant p = 4 · z A = z2 z parallellogram p = 2 ( b + s) A = b h h b ruit p = 4 · z A = D ⋅ d 2 d D trapezium p = som der zijden A = (B + b) h 2 h B b cirkel p = 2 · π · r A = π · r2 ( π = 3,14 ) r
22 Ruimtefiguren
Een ontwikkeling van een lichaam is een vlakke figuur dat je door te vouwen tot dat lichaam kunt vormen.
Bij het cavalièreperspectief teken je het voorvlak op ware grootte. De vlakken die daar loodrecht op staan, teken je onder een hoek van 45°. De afmetingen in deze vlakken halveer je op de tekening.
21
naam oppervlakte inhoud of volume voorstelling kubus A = 6 · z 2 V = z 3 l b h h z z z r balk A = 2 ( lb + bh + lh) V = l b h l
z z z r cilinder A = 2π · r · h + 2π · r 2 V = π · r 2 · h l
h z z z r
b h h
b h
45 °
ware grootte
halve grootte
Problemen oplossen met heuristieken
Om problemen op te lossen kan je gebruik maken van alle wiskundekennis die je bezit. Soms is het echter niet onmiddellijk duidelijk welke eigenschap je kan gebruiken of welke formule je moet toepassen om tot de oplossing te komen. Dan kan je terugvallen op één van de volgende heuristieken.
a Het gegeven en het gevraagde verduidelijken
Je vertelt het probleem met je eigen woorden en noteert het gegeven en het gevraagde op een schematische manier.
b Het verzamelen van de nodige informatie
Je zoekt alle informatie die je nodig hebt om een probleem op te lossen : een formule, een extra gegeven,…
c Het maken van een figuur, een schema, een lijst, een grafiek, een tabel, een diagram,...
Je kan nieuwe inzichten krijgen door informatie grafisch weer te geven. Het helpt om meetkundige relaties via een schets voor te stellen of informatie in grafieken en tabellen te visualiseren.
Zie : Vademecum, 13 Coördinaten en grafieken
d Het gegeven en gevraagde aanduiden op een figuur
Je kan op een figuur de gekende gegevens aanduiden om te zien welke je nog moet zoeken.
Telkens je iets nieuws vindt, kan je dat op de figuur aanduiden.
e Patronen en regelmaat herkennen
Je kan zowel bij figuren, samenstellingen van figuren als bij getallen patronen en regelmaat opmerken. Een patroon kan je soms herkennen of regelmaat zien door het volgende element in een reeks te bepalen. Let op dat je niet te vlug veralgemeent.
f Een rekenregel, eigenschap of een formule gebruiken
Bij sommige oefeningen moet je een rekenregel of eigenschap toepassen. Je doet er goed aan om de formule eerst te noteren. Vul daarna de waarde van de gekende letters in. Vorm tot slot de formule om naar de onbekende(n).
Zie : Vademecum, 21 Omtrek en oppervlakte en 22 Ruimtefiguren
g Het probleem oplossen door een vergelijking of een formule op te stellen
Bij het opstellen van een vergelijking stel je de onbekende gelijk aan de letter x. Een verband kan je uitdrukken met een woordformule. De woordformule kan je vervolgens verkort weergeven door gebruik te maken van letters. Eens je de vergelijking hebt, kan je die oplossen.
Zie : Vademecum, 10 Vergelijkingen
22
h Concrete gevallen onderzoeken, bijzondere gevallen onderzoeken
Je kan een probleem oplossen door van een werkelijke situatie uit te gaan. Vanuit die concrete situatie kan je op zoek gaan naar de oplossing.
In wiskunde zijn er bijzondere getallen en figuren. Als je deze getallen en figuren onderzoekt, dan ontdek je soms iets bijzonders. Let op : veralgemenen vanuit bijzondere gevallen is niet altijd aan te raden. Zo hebben bijzondere figuren soms eigenschappen die niet gelden voor willekeurige figuren.
Voorbeeld
Bijzondere getallen : 0 en 1, bijvoorbeeld bij bewerkingen Bijzondere figuren : gelijkzijdige driehoek, vierkant …
i Vergelijken met gelijkaardige problemen
Soms lijkt een probleem op iets dat je al oploste en is die oplossing een eerste stap in de goede richting.
Voorbeeld
Je bepaalde de lengte van een rechthoek doordat je de breedte en de oppervlakte van die rechthoek kende. Op gelijkaardige wijze kan je de breedte en de omtrek van een rechthoek te weten komen.
j Het probleem vervangen door een eenvoudiger probleem
Je kan een probleem vervangen door een eenvoudiger probleem. Werk bijvoorbeeld eerst met kleinere getallen om tot een oplossing te komen. Je kan ook eerst een minder complexe figuur bestuderen voor je met een meer ingewikkelde figuur aan de slag gaat.
k Het probleem oplossen door simulatie (met ICT)
Je kan ook proefondervindelijk te werk gaan. Als je bijvoorbeeld een probleem rond kansen en dobbelstenen voorgeschoteld krijgt, kan je ook daadwerkelijk met een dobbelsteen gooien.
ICT kan een nuttig hulpmiddel zijn. Zo kan je met ICT een vlakke figuur tekenen en die manipuleren om te zien wat er in een bepaalde situatie gebeurt. Met ICT kan je ook bepaalde informatie bij benadering aflezen die je in de juiste richting helpt.
l Alle mogelijkheden opschrijven en dan elimineren
Soms kan je alle situaties uitproberen en kijken wat uiteindelijk de oplossing van een probleem is. Bij een meerkeuzevraag kan je ook kijken welke antwoorden zeker geen oplossing zijn. Het schrappen van mogelijkheden brengt je dichter bij de juiste oplossing.
23
© Copyright by die Keure, Brugge Verantwoordelijke uitgever : N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3 – 8000 Brugge – België RPR 0405 108 325
Vademecum
Auteurs Björn Carreyn, Filip Geeurickx en Roger Van Nieuwenhuyze
Met medewerking van Anneleen Bradt
Herdruk 2022/1428 - Bestelnummer 65 900 0359
NUR 126
Die Keure wil het milieu beschermen. Daarom kiezen wij bewust voor papier dat het keurmerk van de Forest Stewardship Council® (FSC®) draagt. Dit product is gemaakt van materiaal afkomstig uit goed beheerde, FSC®-gecertificeerde bossen en andere gecontroleerde bronnen.
24