REVISTA DIGITAL DE MATEMÁTICAS

Es una expresión matemática en la que se combinan números y letras 3a+2 Los números se denominan coeficientes y las letras parte literal.

La letra a representa una incógnita, es decir una variable de la que desconocemos su valor y que hay que calcular. El número que acompaña a la letra la va multiplicando.

3ª=3xa Por ejemplo: Pedro tiene el doble de años que Juan. ¿Qué edad tiene pedro?

Edad de pedro =2a La ¨a¨ representa la edad de Juan; es una incógnita ya que por lo momento desconocemos su valor.

El coeficiente 2 quiere decir que Pedro; tiene el doble de edad que Juan.

Si alguien nos dice la edad de Juan, por ejemplo 7 años, sabremos el valor de la ¨a¨ a= 7 años Luego ya podemos calcular la edad de Pedro.

Edad de pedro= 2ª= 2 x 7 =14 años La expresión algebraica puede tener varios sumandos. Cada sumando se denomina término.

3ª +5b + 3c – 7ª 3ª es un término, 5b es otro término.

Cuando llego a conocer los valores de las letras (incógnitas) la expresión algebraica se transforma en una expresión numérica.

Por ejemplo, si en el ejemplo anterior el valor de las letras fuera: a=3 b=2 c=5 La expresión algebraica se transformaría: 3ª + 5b + 3c – 7ª= (3x3) + (5x2) + (3x5) – (7x3) = 13

1.

2.

3.

4.

Signo Literal Coefciente Grado

Finalmente, las expresiones algebraicas se dividen en dos: 1. Monomio 2. Polinomio En las expresiones algebraicas, las letras representan valores que no conocemos y permiten realizar fรณrmulas universales.

- El monomio se conforma de una expresiรณn algebraica (ฯ r2) o (6X2+32y4)

- Un polinomio se conforma por varios términos (6xy2 + 9c4 3c4) 1. Términos:  3a2b 5 + 7y2 - abc6  6x2 + 98y3 2.- Monomios:  9a3b4  19n291  17xy+5k2 3.

3.-Trinomios:  3n5y3 +23n5y8z3 – π2  3n - 22ª2 + 26n4  xy + 18n3 - 2x2 4.4-Polinomios (más de tres términos):  3n5y3 +23n5y8z3 – π2 3n - 22ª2 + 26n4  xy + 18n3 - 2x2 - 9a3b4 - 19n291+17xy+5k2  3a2b5 + 7y2 - abc6 + 6x2 + 98y3

Es una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes en forma matemática los números son constantes y a letras se les llama variable.

Ejemplo: Constantes: ( 1, 2, 3, 4, 6,982,0.325…)

Variables: ( x, y, z, a, b, c…)

Exponentes: es el grado que se eleva la variable 2x

Cuando sumamos polinomios agrupamos los términos semejantes y luego los sumamos.

ejemplo de polinomio este tiene 3 términos Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué son términos similares?

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2) son los mismos.

En otras palabras, términos que "se parecen".

Términos

7x

Por qué son "similares"

X

-2x

porque las variables son todas x

(1/3)xy2

-2xy2

6xy2

porque las variables son todas xy2

Dos pasos: • •

Pon juntos los términos similares Suma los términos similares Ejemplo: suma

2x2 + 6x + 5

y

Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 Suma los términos similares: (2+3) x2

3x2 - 2x - 1 +

6x - 2x

+ (6-2) x

+

5-1

+ (3-1)

= 5x2 + 4x + 4 Veamos algunos ejercicios que nos permiten sumar polinomios de tres términos con otro polinomio de tres términos

(5x2 + 3x – 6) + (4x2 + 6x +4) Para sumar debemos sacar los paréntesis Como aquí no indica que signo tiene se sobre entiende que es el signo + y cuando sabemos que hay un + delante de un signo de agrupación en este caso el paréntesis y todos los elementos que están en su interior quedan igual por lo tanto podemos sacar el paréntesis sin ningún problema.

5x2 + 3x – 6 Lo mismo hicimos con el otro paréntesis un signo + adelante es decir todo el polinomio que se encuentra en su interior permanece igual por lo tanto podemos sacar el paréntesis sin ningún problema.

4x2 + 6x + 4 Ahora para poder sumar debemos sacar termino semejantes.

(5x2 + 3x – 6) + (4x2 + 6x +4)

5x2 + 3x – 6 4x2 + 6x + 4

9 + 9- 2 Ahora operamos los coeficientes.

9x2 + 9x – 1 Y este será el resultado de la suma de estos dos polinomios

(5x2 + 3x – 6) + (4x2 + 6x +4) 5x2 + 3x – 6 4x2 + 6x + 4 9x2 + 9x – 1

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3

También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2

Q(x) = 6x3 + 8x +3

En la parte del minuendo tenemos un polinomio de tres términos y en la parte del sustraendo también tenemos un polinomio de tres términos.

(6X4 + Y2 +2Y2 + 5XY )

-

4 2 2 + 7XY 2Y ) (3X(34 YX2 +Y 7XY - 5-Y5 )

Como vemos encontramos un signo – lo que afectara a cada uno de los términos cambiándole el signo como vemos el 3X4 que estaba positivo pasa a negativo

( -3X4 Y2 - 7XY + 5Y2 ) Y este es el efecto que tiene el signo – (menos) al sacar el parÊntesis, ahora para seguir operando agrupamos signos diferentes y operamos los coeficientes.

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Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distinta.

Vamos a trabajar con el siguiente ejemplo: P(x)=2x2- 3

1.

Q(x) 2x3-3x2+4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x). Q(x)= (2x2- 3). (2x3-3x2+4x) 4x5- 6x4 +8x3 +9x2 -12x

2.

Se suman los monomios del mismo grado.

4x5 - 6x4 + 2x3 + 9x2 + 12x

3.

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio= P(x) + grado de Q(x)= 2+ 3= 5

División de monomios Para dividir dos monomios debemos seguir los siguientes pasos: (15x2) / (3x) = • •

Dividir los coeficientes. 15: 3=5 Dividir la parte literal (las letras que aparecen en los monomios).

De este modo, (15x2) / (5x) = 3x Ejemplos: 8 a / 2 a = (8/2). (a/a) = 4 15 ay /3a = (15/3) (a.y)/ a = 5 y 12 bxy / -2 bxy = (12/-2) (b.x.y) /(bxy.) = -6 -6 v2 . c. x/-3vc= (-6/-3) (v2 .c. x) /(v. c) = 2 v

División de un polinomio por un monomio La división de un polinomio por un monomio (sólo si es posible) se obtiene dividiendo cada término del polinomio por el monomio, obteniendo como resultado otro polinomio.

De este modo, llamamos exacta a la división cuando R(x) es igual a 0. Para realizar la división debemos actuar del mismo modo que la división entera de números naturales.

Vemos el siguiente ejemplo: Siendo: P(x)= 3x3+13x2-13x+2 V(x)= 3x-2

El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

Los factores son:

¿Cómo factorizar?

Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones: 1. Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes

términos.

2. Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades

de factorización.

3. Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de

expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.

4. Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.

Pasos para hallar el factor común de un polinomio Vamos a explicar paso a paso cómo encontrar el factor común para los términos en el siguiente polinomio:

Paso 1 Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.

Paso 2 Conseguimos los factores comunes de las variables, en este caso las variables comunes con la mayor potencia común. Las variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x6 y la mayor potencia común de y es y3.

Paso 3 Escribimos el factor común del polinomio como como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:

Vamos a factorizar el siguiente polinomio:

Paso 1 Determinamos el factor común del polinomio:

Paso 2 Reescribimos cada término del polinomio como un producto equivalente del factor común y el segundo factor:

Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.

Paso 3 Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común:

Paso 4 Revisamos los pasos realizados:

Factorización cuatro términos Podemos factorizar un polinomio de cuatro términos agrupándolos en pares. Veamos el siguiente ejemplo:

Paso 1 Re arreglamos los términos tal que los dos primeros tengan un factor común y los otros dos tengan también un factor común:

Paso 2 Factorizamos la x del primer término y la y como factor común del segundo término:

Paso 3 Usamos la propiedad distributiva para factorizar el término (a+b) de la expresión:

Factorizar una ecuación cuadrática Cuando tenemos un polinomio de tres términos, este puede ser un trinomio cuadrático de la forma ax2+bx+c. Esta expresión se obtiene de la multiplicación de dos binomios: Al factorizar una ecuación cuadrática como x2+9x+14, lo que queremos es conseguir los dos binomios que lo originaron: (x+7) (x+2).

1. (3x4 + x2 + 2) + (4x2 + 3) = 3x4 + 5x2 + 5

2. (5x2v+ 3x + 12) + (3x2 + 3x + 4) = 8x2 + 6x + 16

3. (3xy2 + 10x) + (8xy2 + 2x + 2) = 11xy2 + 12x + 2

1. (3x3 + 15x - 3) − (12x3 - 13x2 +3x) = -9x3 + 13x2 + 12x – 3

2. (6x4 + 5x2 + 6x + 2) – (5x3 + 8x +4) = 6x4 – 5x3 + 5x2 – 2x – 2

3. (3x5 + 2x3 - 5x2 + 6) – (8x3 + 3x2 - x – 4) = 3x5 – 6x3 – 8x2 + x + 10

1. (2x4 − 4x² + 2) · (3x² − x + 3) = 6x6 – 2x5 + 6x4 – 12x4 + 4x3 – 12x2 + 6x2 – 2x + 6 = 6x6 - 2x5 – 6x4 + 4x3 – 6x2 – 2x + 6

2. (x² − 2x) · (x³ + 2x² − x) = x5 + 2x4 – x3 – 2x4 – 4x3 + 2x2 = x5 - 5x3 + 2x2 3. (x² − 5x) · (6x² + 4x − 3) = 6x4 + 4x3 – 3x2 – 30x3 – 20x2 + 15x = 6x4 – 26x3 – 17x2 + 15x

1. X4 + X3 = x3(x + 1) CASO I 2. x² − 4 = (x – 2) (x + 2) CASO II

3. x2 + 2x +1 = (x + 1)2 CASO III