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Jaime Garrido P e r e z \


UTILES DE DIBUJO

instrumentación y sus prácticas E n esteprimer tema se indican losprincipales instrumentos que se utilizan en lapráctica del DIBUJO TECNICO, sus características, la forma correcta de manejarlos y cómo se deben de cuidar. S e trata de una serie de consejos sencillos que permiten tener estos instrumentos, de la mejor calidad posible, en perfecto estado de utilización.

1. EL P..IPE¿ DE DIBUJO: SL'S CLASES Y CARACTERISTICAS.

El papel de dibujo, como soporte de todo el trabajo, debe ser lo mejor posible; en papel malo, se dibuja mal. El papel es una lámina delgada hecha con pasta de fibras de origen vegetal, mineral o animal y a veces de naturaleza sintética, blanqueadas y desleidas en agua, que después se hace secar y endurecer por procedimientos especiales. El papel de dibujo se presenta-en rollos y en pliegos cortados. El espesor del papel está en relación del peso en gramos por metro cuadrado. En general, el papel debe aguantar las condiciones más o menos duras a que se le somete. La superficie puede ser rugosa o bien lisa y algo brillante (papel satinado). Se pueden utilizar papeles blancos y coloreados. En la práctica, en las oficinas técnicas, los planos se dibujan a lápiz sobre papel vegetal y se sacan las copias heliográficas sin pasar a tinta. El papel se puede dividir en dos grandes grupos: Papel opaco y papel transparente. -Papel opaco. Es blanco y a veces de color ligeramente amarillento; es también algo brillante; tiene estructura granujienta o con grano grueso. Se utiliza para dibujos que no van a ser reproducidos a la luz. Está compuesto principalmente de celulosa con adición de materias téxtiles (trapos, algodón, etc.). Este tipo de papel es fuerte y resistente a la acción de la humedad. El papel de calidad inferior está formado por celulosa y pasta de madera. El papel de tipo medio contiene solamente celulosa. Los papeles de calidad se fabrican con celulosa y trapos viejos o limpios (lino, algodón, cáñamo, etc.); estos papeles son los más resistentes a la rotura. A veces, para aumentar la resistencia, se pega un tejido en el reverso. El mejor papel para dibujar es el de doble encolado; para conocer este tipo de papel, se pone una gota de estearina en una cara y no debe ser visible por la otra.


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Un buen papel de dibujo debe poder soportar una línea de tinta china de 2 mm. de espesor, al aire sin correrse; debe admitir bien los colores a la acuarela y se debe poder borrar en él y luefo volver a dibujar en la zona borrada. Las características más sobresalientes de un buen papel son: tenacidad, resistencia al borrado y a la luz, ser lavable y no alterable con la humedad del medio ambiente, tanto en su anchura como en su longitud. En la dirección del movimiento del papel en la calandra, en la que están colocadas las fibras, el papel es más fuerte y no se encoge casi por la humedad o por el cambio de temperatura. En el sentido normal a las fibras, el papel es más flojo y se encoge con la variación de las condiciones atmosféricas. -Papel transparente. Este papel es de gran empleo, dado el aumento de los sistemas, cada día más perfectos, de reproducción heliográfica. De este tipo son el papel vegetal o papel cebolla y el papel tela. El papel vegetal es de color gris claro, o azulado, poco o nada aceitado, fuerte y no quebradizo. Se emplea para los dibujos originales de los que van a hacerse copias. Debe admitir la tinta, las pinturas y el borrado y, sobre todo, ser muy transparente, es decir, debe verse a su través el dibujo a lápiz colocado debajo para calcar. Para comprobar la transparencia de este papel, se mira la calidad del fondo de la copia; cuanto más claro es el fondo, más transparente es aquél. La transparencia se determina por el número de hojas que pueden superponerse hasta que no se vea el plano del dibujo colocado debajo. La humedad y los trazos muy gruesos le abarquillan y el aire caliente y seco le hace quebradizo. Este papel no debe doblarse, pues los dobleces son permanentes. Por lo dicho, debe protejerse del calor y de atmósferas demasiado secas; también de la humedad para que no le salgan bolsas. En la fabricación del papel vegetal, las propiedades citadas anteriormente son contrarias muchas veces unas a otras; así que si se mejora una, ha de ser a costa de otra u otras. En oposición están, sobre todo, la transparencia y la resistencia mecánica del papel. Se puede lograr una transparencia clarísima y exenta de velos, pero al precio de cierta merma de la resistencia a la rotura, y viceversa. Al examinar varias clases de papel vegetal en cuanto a su resistencia a la rotura, lo que se puede hacer rompiéndolas manualmente, deben tenerse en cuenta también e1 grado de transparencia, la uniformidad de la estructura y la diferencia de peso que pudiera haber; estas comparaciones deben hacerse en la misma dirección de la fibra del papel. Otra propiedad muy importante es la dureza del papel, que debe ser suficiente. Incluso cuando se dibuje con minas de lápiz dnrísimas, éstas no deben grabar surcos demasiado profundos en el papel. Cuando se borra, estos surcos no suelen percibirse a simple vista, pero sí aparecen luego en las copias heliográficas, lo que puede dar lugar a errores en la interpretación del dibujo. Estas líneas se suelen llamar "líneas fantasmas" o "ghost lines". En oposición a la dureza está la facultad del papel de poder colocarse perfectamente plano sobre el tablero de dibujo. En general, un papel blando se amolda mejor a la superficie plana del tablero. Existen también láminas o películas transparentes formadas por materiales celul6sicos o sintéticos, las cuales son tan transparentes como el vidrio y alisadas por ambas caras; son resistentes al borrado, a la humedad, al calor, a los aceites y a las grasas. Se emplean para diapositivas y para planos topográficos. -Otros tipos de papel. Papel Canson. Es un papel especial de dibujo, muy liso y resistente. (Se debe al industrial francés Canson, que fue el primero en fabricarlo en su factona de Annonay). Papel pergamino. Es un papel claro, muy alisado y de gran transparencia, impregnado en resinas artificiales. Se emplea para dibujos a tinta china. Papel-tela. Es transparente, de tono azulado o blanco. Se emplea para calcar. Se fabrica con materias primas textiles. Su uso está indicado en planos que deben tener mucha duración. Es resistente al borrado y a las rasgaduras y no está aceitado; su superficie es mate, algo brillante y no se contrae. Si un papel-tela o papel de calcar, no admite la tinta china, se le frota con bencina, tiza o goma de borrar o bien se raspa con una cuchilla de afeitar.


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Papel milirnetrado. Es un papel de dibujo, opaco o transparente, rayado horizontal y verticalmente con líneas espaciadas a escala milimétrica Qa distancia entre líneas es de 1 mm. o de 0,5 mm.). Se emplea para bocetos, croquis, trazado de curvas, gráficas, diagramas, etc. Si hay que sacar copias, para que no salgan las líneas de división milimétrica, éstas han de ser azules. Papel de lavado. Es un papel reestirable que se emplea para dar aguadas. Se humedece. el papel por ambos lados, bien al grifo o con una esponja; luego, puesto en el tablero con la cara hacia abajo, se quita el exceso de agua d.e los bordes con un secante y se extiende con un pincel goma arábiga por los bordes; se vuelve el papel y se presiona sobre el tableropor sus bordes, dejándole secar.

2. INSTRUMEN'I'OS DE DIBUJO. Se pasa ahora a describir los principales instmmentos de dibujo propiamente dichos. Todos deben estar en perfectas condiciones de empleo, por lo que la limpieza es la cualidad fundamental a tener en cuenta.

El tablero más simple puede ser un trozo de cartón grueso y duro, de 500 x 300 mm. más O menos. Si se puede disponer de un tablero, éste puede ser de madera contrachapeada de las medidas anteriores. Todavía mejor, y ello está en relación con los medios personales, es disponer de un tablero de dibujo, fabricado por casas especializadas y de los que se pueden encontrar diversos modelos en el mercado. Los tableros se fabrican de álamo o de tilo, sin grietas, o bien de fibra de madera. Los tamaños son los siguientes: (DIN3100).

El papel se debe sujetar a la mesa con cinta adhesiva, mejor que con grapas o chinchetas, que deterioran la superficie del tablero. Debe colocarse centrado y con los bordes paralelos a los lados del tablero.

La palabra lápiz es el nombre genérico de varias sustancias minerales que sirven para dibujar. Consiste en una barrita de grafito encerrada en un cilindro o prisma de madera. Es mejor emplear un portaminas que un lápiz propiamente dicho, no obstante, si se utiliza lápiz.


éste debe ser de muy buena calidad. de mina blanda o dura, según el caso. y se afilará con frecuencia con el raspador de lija o con una simple caja de cerillas: ia parte de mina cónica y puntiaguda. debe tener unos 8 mm. y el resto del cono de madera. unos 20 mm. Una vez afilado el lápiz, se limpia la mina con un trapo para quitar las partículas sueltas que mancharían el papel. El lápiz se debe dejar afilar sin romperse la mina y debe ser de dureza uniforme. Los lápices de colores deben dar su color sin esfuerzo y con trazos suaves; la mina no debe desmoronarse o quebrarse. La Fig. 1-representa un lápiz de gran calidad, en este caso de mina blanda HB. La Fig 2, muestra la forma de afilar el lápiz. Forma de afilar el lapiz

Fig. 2

Aunque se sigue dibujando con lápiz, de los que hay gran variedad y de muy buena calidad, conviene usar un portaminas; es más cómodo y de fácil manejo y evita el tener que "sacar mina" cada vez que hay que afilar el lápiz. Su sección debe ser hexagonal para que no ruede sobre la mesa; debe ir provisto de un trozo de mina dura, para dibujos a limpio, y de un trozo de mina blanda para hacer los croquis; para el afdado de la mina se puede usar un raspador o un afdador exprofeso. La Fig. 3 representa tres tipos de portaminas de la mejor calidad.

Fig.3

6. EL ESTUCHE PARA MINAS. Se utiliza para guardar las minas de diversas durezas. Las aplicaciones, según la dureza de la mina, son las siguientes:

3B-F -para 8B-H -para 8B-5H -para 8B-3H -para B-6H -para HB-6H -para H-7H -para 7H-10H -para

escribir, dibujar y estenografia. dibujar, esbozar y plumear. reproduccMn heliográfica. reproducción de microfhs. el dibujo técnico. folio de dibujo con superficie ligeramente áspera. dibujos topográficos. dibujar en piedra litográfica y superficies muy duras.


Las minas deben tener la debida resistencia a la rotura y hacer el trazo de color negro intenso

y nítido, fácil de borrar e insensible al difuminado. La mina debe encontrarse en el ángulo que forman el papel y el canto de la regla o plantilla. Las líneas se trazan de izquierda a derecha, inclinando el lápiz o el portaminas unos 60" en la dirección de trazado.

Fig. 4 La Fig 4 representa una serie de estuches para minas de diversa dureza. 7. EL RASPADOR PARA AFEAR MINAS.

Puede ser una simple pletina de cartón o de madera donde va adherido un trozo de lija fina. Conviene usarlo con frecuencia para mantener la mina afdada. La operación de afilado se hace girando la mina a la vez que se desliza sobre la lija; se debe procurar hacer la operación fuera del papel de dibujo para que no caiga sobre él, el polvo producido.

8. EL AFILADOR DE MINAS Y DEL LAPIZ. Para afdar la mina del portaminas existen diversos modelos y sistemas. Posiblemente el de mejor calidad y rendimiento por su sistema de fresa, es el que representa la Fig. 5. Para afilar el lápiz puede utilizarse uno de los afiladores de buena calidad que incluso pueden sujetarse al tablero de dibujo. En todo caso puede utilizarse un sacapuntas como el de la Fig. 6.

Es una regla con dos brazos en forma de T; el brazo más corto desliza sobre el canto del tablero de dibujo y el brazo más largo, llamado lengua, sirve de apoyo para las plantillas. Pueden ser de dos tipos: fijas o con el brazo articulado. Dada la facilidad de manejo de la escuadra y del cartabón, cada vez se emplea menos este instrumento.

El juego de escuadra y cartabón constituye el principal instrumento de trazado, no solo para lápiz, sino para la puesta a Limpio con tinta. Aunque aún existen plantillas de madera, se deben usar de plástico transparente; son más precisas, permiten ver el dibujo a través de ellas y se limpian con facilidad.


La escuadra es un triángulo rectángulo isósceies, el cartabón tiene la forma de un triángulo rectángulo cuvos ángulos agudos son de 30O y 60°, por lo que el cateto menor debe ser igual a la mitad de la hipotenusa. Pueden llevar la graduación en centímetros y miliinetros en un canto; existen también juegos de plantillas que tienen los bordes biselados o con un pequeño rebaje para facilitar el trazado a tinta a los principiantes. Se debe procurar no aplicar ningún objeto cortante a la escuadra y al cartabón para evitar que se deterioren los cantos. Como los dibujos a realizar, por el momento, son generalmente pequeños, conviene que estos instrumentos sean manejables, es decir, de tamaño medio. La Fig. 7 representa dos juegos de escuadra y cartabón. '

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Fig. 7

Fig. 8

11. LAS REGLAS GRADUADAS. Se utilizan para medir longitudes y llevar cotas en un plano. Conviene que sean de plástico y de la mejor calidad. En la Fig. 8 se representan un doble decímetro, una regla de 30 cms., un escalimetro y una regla larga de 60 cms. 17. LA GO3í.A DE BORRAR.

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Es una goma elistica a base de caucho, especialmente preparada para borrar los trazos de lápiz o de tinta. Hay gomas de borrar para lápiz de dibujo, lápiz de colores o lápiz de copiar, para tiza, carbón, tinta china y comente y para escritura a máquina. Hay también gomas para artistas, de migajón, para limpiar o aclarar. Los trazos de lápiz blando se borran con goma blanda y las líneas duras, con goma dura. La goma no debe manchar ni colorear; si la goma está sucia, se frota sobre un papel antes de usarla. Existen de varias formas, materiales y colores; conviene que sean blancas o incoloras O de color gris claro; lo importante es que no dejen coloreado el papel y al borrar suelten una viruta muy fina. En general, sólo hay que borrar líneas a lápiz, por lo que las gomas de más empleo son las blandas; no obstante, conviene disponer de una goma para tinta. Para borrar líneas de tinta hay lápices especiales (como el 520-60 Staedler-Rasor), que una vez pasado el papel con eilos, evitan de forma absoluta que se corra la tinta por la zona raspada. Este tipo de lápiz es un útil imprescindible en el trabajo. También hay máquinas eléctricas para borrar y existen plantillas de plástico o de metal con aberturas para proteger las lineas que no se deben borrar. Además del lápiz de borrar ya citado, hay borradores de fibra de cristal para borrar iíneas de tinta y son empleados por técnicos, diseñadores y artistas. La Fig.9 representa tres gomas de borrar de buena calidad entre otras muchas que existen en el mercado.


13. EL TRANSPORTADOR DE ANGC'LOS.

Puede tener la fonna de un círculo o de un semicírculo de plástico, donde van grabados los grados. El vértice del ángulo a construir se coloca en el centro del transportador, de forma que un lado del ángulo pase por el O", origen de ángulos; el otro lado del ángulo se marca con arreglo a su amplitud. La Fig. 10 representa un transportador de ángulos.

Fig. 1O

Fig. 9

14. LA CINTA ADHESWA.

Conviene disponer de un rollo de cinta adhesiva transparente para fijar el papel al tablero; basta colocar un trozo en cada esquina de papel.

15. EL ESTUCHE DE DIBUJO.

El estuche de dibujo no es preciso que tenga muchos instmmeutos; es preferible que sean pocos y buenos. El compás, la bigotera y el tiralíneas, con sus repuestos, van a ser instrumentos de empleo constante. De la calidad de los mismos y del trato que se les dé, dependerá que el trabajo sea u6a obra de mérito. En la Fig.11 se representa un estuche de dibujo Kem de gran calidad.

Fig 1I 19


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Consta de dos patas articuladas, una terminada en una aguja de acero y otra con el elemenio trazador, bien de lápiz o de tinta; la mina debe ser semidura y se afila en bisel hacia dentro y no en punta, con ayuda del raspador-afdador de minas. El accesorio para tinta debe estar siempre limpio; la limpieza no se hace raspando la tinta seca con una cuchilla, sino con un trapo húmedo.

Fig.12

Fig. 13

Fig. 14

El dibujante debe guiar con un dedo la aguja para "pinchar" en el punto exacto y luego coger el compás por la parte superior o mango. El trazador de tinta debe estar siempre vertical al papel de dibujo para que el trazo de Enea sea correcto. Hay que procurar que la articulación no esté muy floja ni excesivamente dura. La aguja de acero debe estar algo más saliente que la pata que tiene el elemento trazador. Las circunferencias se trazan en el sentido del movimiento de las agujas del reloj, empezando por la parte inferior. En circunferencias de gran radio se articula la alargadera y se conserva vertical el trazador de lápiz o de tinta. Conviene recordar que todo instrumento se carga de tinta fuera de los límites del plano de dibujo. La Fig. 12 representa un compás grande, la alargadera y sus accesorios.

Al compás se le puede acoplar las plumas de delineación por medio de un sencillo accesorio y con elio se consigue trazar desde circunferencias de gran radio hasta aquellas de 0,5 mm. de radio e incluso menores, dada la precisión de las punteras de este tipo de plumas. En las Figs. 13 y 14 se indica la disposición para el trazado con el compks y las punteras citadas.


17. EL COMPAS DE PUNTAS.

Se emplea para transportar medidas; conviene conservar las puntas y que el mecanismo de articulaci6n de las patas no esté excesivamente prieto. (Fig.15).

Fig.15

Consta de dos lengüetas de la misma longitud, de acero inoxidable y puntas templadas. La separación se gradúa por un tornillo de acero. Para Ias líneas gruesas, las lengüetas o patas son algo redondeadas y para las líneas finas son más puntiagudas. Debe estar siempre limpio, para lo que se emplea un trapo de gamuza. Los tiralíneas se dejan abiertos.

Fig.16 -Tiralíneas de fino. Se emplea para el trazado de líneas finas; sus patas son delgadas, pues no es preciso que alojen gran cantidad de tinta. Hay que cuidar mucho este instrumento. Si con el uso pierde su cualidad de "tirar fino", se puede afdar con una piedra especial de aceite; se utilizan las llamadas piedras de Arkansas, en las que se pone un poco de aceite y también piedras calcáreas pizanosas. humedecidas con agua. -Tiralíneas de grueso. Se le llama también "sueco o de lengua de vaca". Conviene que una de sus dos patas sea giratoria sobre la otra, para permitir su limpieza y afilado. Se emplea para trazar a tinta líneas gruesas o semigruesas con ayuda de la escuadra, de la regla o de las plantillas de curvas. Sus puntas son anchas para que puedan alojar mayor cantidad de tinta. En cualquier caso, no cargar excesivamente el tiralíneas para evitar malos ratos y trabajo perdido.


Los tiralineas, tanto de fino como de grueso, se cogen con los dedos indice y pulgar de la mano derecha y con la misma mano se gradua el espesor de la línea. El eje del tiralineas debe formar con el papel un ángulo próximo a los 75". Para su carga se utiliza el cuentagotas del tintero o e1 tubo de tinta. Hay tiralineas con una rueda graduada en la cabeza del tomillo que permite tener siempre el espesor deseado. La Fig. 16 representa un tiralineas de fino y otro de grueso de la mejor calidad.

Consta de un mango, dos brazos o patas, cuya separación se regula por una rueda moleteada, y los recambios para lápiz y tinta. Se emplea para trazar circunferencias de radio pequeño o muy pequeño. Conviene tener muy bien afdado el repuesto de tinta para que el trazo de línea sea correcto. Si se han de trazar vanas circunferencias concéntricas, hay que empezar por la de menor radio.

Consta, como la anterior, de dos patas; una de ellas es un eje terminado en aguja y la otra gira loca sobre la anterior. Se emplea para circunferencias de radio pequeño, pero en todo caso puede ser sustituida por la bigotera normal.

Fig.17

Fig.18

Fig. 19

21. LOS REPUESTOS NECESARIOS. (Fig. 19).

En el caso de disponer de un "estuche de dibujo", éste tiene una serie de repuestos, cuyo número estará en relación con el precio del mismo; es conveniente tener un estuche para trozos pequeños de minas, bn destornillador, una chincheta especial de tres patas con cabeza de plástico transparente, etc.


22. LA MESA DE DIBUJO. (Fig.20).

Fig.2i

Fig.20

La mesa de dibujo consta de un tablero grande montado sobre cabalietes. La altura e inclinación del tablero puede vafiarse a gusto del dibujante mediante dispositivos de manejo sencillo. Hay mesas que van provistas de una regla que se mueve paralelamente a si misma. La Fig. 20 representa uno de los muchos tipos dc mesa que existen en el mercado. En las oficinas técnicas se trabaja en mesas de dibujo provistas de tecnígrafo. En la Fig. 221 se indica la postura de trabajo con el tecnígrafo. 23. ILUMIXACiON. Es fundamental que el recinto donde se dibuja esté bien iluminado. Las salas de dibujo deben ser claras. La luz debe provenir de la izquierda y de enfrente o de amba, para que las líneas puedan trazarse con los cantos iluminados de las reglas, plantillas, etc., y no con los cantos que producen sombra. La luz no debe deslumbrar la vista y se debe acostumbrar a guardar la distancia prudencial entre el tablero de dibujo y los ojos. 24.

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?7i7\i:X,,\S, (Fi: '21.

Es conveniente disponer de un palillero pequeño y de una plumilla Fina para ciertos trabajos de retoque o para el dibujo de flechas y líneas a mano alzada. En el mercado existen unos juegos de plumas de rotular para diversos espesores de trazo, los cuales se colocan en un palillero mayor. En la actualidad, cada vez es mayor el empleo de plumas y plantillas para rotular.


Debe ser fluida y de color negro intenso. No debe correrse ni cuando se crucen líneas recién dibujadas o en zonas borradas; debe secar rápidamente y ser indeleble. Nunca se deben introducir los instrumentos en el tintero de tinta china para car:arlos. En la Fig. 23 se representan varios depósitos de tinta china de la mejor calidad. .>.

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Fig.23

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El tiralíneas es el instmmento de trazado por excelencia; con él se consiguen iíneas de trazo perfecto. No obstante esto, dada la excelente calidad de las plumas para delinear que existen en el mercado, éstas han sustituido virtualmente al tiralíneas. En la Fig. 24 se representa una modernísima caja de plumas Staedtler Marsmatic 700, con espesores de 022,0,3,0,4,0,5,0,6,0,8 y 1 mm., en la que no se seca la tinta enlas plumas. En la Fig. 25 se indica una disposición de la puntera para rotular con plantillas. También se puede rotular directamente sólo con la pluma. En las Figs. 26, 27 y 28, se representan estas plumas desmontadas con los accesonos correspondientes.

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Fig. 26

Fig. 2 7

Fig. 25

Fig. 28


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1 . 2 , 3 y 4 : Manejo de la b i g o t e r a p a r a t r a z a r

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c i r c u l o s peque帽os.

5 6 . 7 ~8 : Manejo del compbs de puntas secas (en la Operaci贸n no v a r i a r l a a b e r t u r a ) . 9.10.11y 12: Manejo del compds t r a z a d o r ( n o o p r e f a r lo aguja contra el p a p e l ) . ~.

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posición correcta del compás para ciininferenciar de radio medio y grande.

Forma de fijar la aguja del campis en el punto prenso.

Redondeamiento de las puntas del tiralineas (R entre 0.2 y 0,5 mm.)

~ , , ~ l i ~ a c i ócarrena n del tiralineas según la dirección del trazado.

En esta posici6n, la línea de tinta obtenida es defectuosa.

Forma de fijar la aguja d e la bigo-

Forma de sujetar la bigotera.

F a m a de abrir o cerrar la bigotera.

tera

La Unea de tinta se hace por el centra de la linea de liipir

Posición lateral correcta del tualimas.

El tiralineas se gradúa con los d e dos pulgar e índice de la mano derecha.


Los compases, bigoteras y tiralíneas deben estar en condiciones de perfecto delineado; el uso hace que sus puntas vayan perdiendo el afdado y por ello conviene afdarlas. La piedra especial de afdado se cubre de una capa de aceite para suavizar la operación. Desde luego, hay que tener cierta práctica en el afdado, pues se corre el riesgo de estropear más aún los instmmentos.

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el tiralinear en una piedra espenal de aceite ~

Fig.29 29. LA CUCHILLA. Se emplea para retocar los dibujos, como, por ejemplo, pequeñas k e a s que han rebasado su longitud. Se puede utilizar una simple cuchiUa de afeitar. 30. EL TRAPO DE LIMPIEZA.

Es un útil más que se debe tener siempre a mano para de esta forma no tener que Limpiar los instrumentos con papeles o, lo que es peor, con el pelo de la cabeza. Conviene que sea un trozo de paño. Los útiles de dibujo, una vez cargados de tinta, se deben probar en un trozo de papel igual al que se está dibujando y no sobre los dedos de la mano; esto es una práctica más de un mal

Fig. 30

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se emplean para el trazado de cuivas que no se pueden construir Con el compás. Conviene que sean de plástico y flexibles y, además, que tengan el mayor nYmero posible de CumX aura. de diversa curvatura, Enel comercio hay un juego de tres plantillas que es el que indica la fi,


Estas plantillas pueden ir sueltas o bien unidas en una sola; también las hay con graduación impresa. Los principiantes pueden usar estas plántillas con un bisel en los cantos. Para el trazado, se dibuja primero la curva a lápiz, bien a mano alzada o con la plantilla y luego se pasa a tinta con la plantilla, procurando que el empalme de los diversos trozos de iíneas sea correcto y que presente continuidad, es decir, sin puntos angulosos.

Existe en el mercado un elevado número de plantillas que ahorran mucho tiempo a los dibujantes, según su especialidad. Son láminas de celuloide perforadas con las formas de más frecuente uso y así se obtiene el perfd de estas formas con gran rapidez y perfección. Las formas o simbolos se agrupan en estas plantillas por especialidades y así, las hay para tuercas, tornillos, símbolos de trabajo, ehpses, símbolos eléctricos, para electrónica, arquitectura, telefonía, fontanería, simbolos sanitarios, etc.

Fig. 331

Fig. 32

Dada la gran variedad de estas plantillas, en las Figs. 31 y 32 se muestran, a título de ejemplo, cuatro plantillas de este tipo.


ROTULACION NORMALIZADA

La rotulación normalizada se refiere al empleo de leyendas en los Dibujos Técnicos. Esta rotulación ayuda de una forma muy importante a la claridad y estética del dibujo. Existen dos tipos de técnicas que se interesan en el estudio de la rotulación. La primera es la que se preocupa del empleo de palabras y números para inscribir una información clara sobre 10s dibujos, tal es el caso del Dibujo Técnico. La segunda es la que emplean los artistas, más preocupados por la belleza y por la estética. El dibujo de arquitectura podemos considerar que comprende las dos técnicas. En la rotulación se utilizan vanos estilos de letras, cada uno adecuado a un caso particular. Para la descripción completa del elemento a dibujar se necesita, primero, la parte gráfica, que define la forma y disposición y, segundo, la escritura para indicar las medidas, el material y en general, todo tipo de leyendas explicativas. La escritura de los planos industriales es rotulada y se puede hacer «a mano,, o «con plantillass. Tanto una como otra se puede hacer con el tipo de letra inclinada o con el tipo de letra vertical. La rotulación técnica o industrial está normalizada en la norma UNE 1034-75 que concuerda con la ISO 309U 1 (1974) y con la DIN 16. Los aspectos esenciales de la escritura utilizada en los dibujos técnicos son: - Legilibilidad. - Homogeneidad. - Aptitud para el microfilme y otros procedimientos de reproducción fotográfica. Con objeto de satisfacer las exigencias anteriores, hay que tener en cuenta las reglas siguientes: 1. Deben distinguirse claramente unos caracteres de otros para evitar cualquier confusión entre ellos, incluso en el caso de ligeras alteraciones. 2 El microfilme v los otros urocedimientos de reproducción fotográfica exigen que la distancia entre dos líneas contiguas o el espacio entre letras o cifras sea, como mínimo, igual al doble de la anchura de la línea. En el caso en que dos líneas contieuas tengan anchuras diferentes, el espacio deberá ser igual al doble de la anchura de la línea más ancha. (Ver Fig. 1y tabku 11). 3. Deberá emplearse la misma anchura de línea para las letras minúsculas y las mayusculas. ~-


En cuanto a las medidas de las letras y de las cifras, se tendrán en cuenta las siguientes normas: 1. La altura - h- de las mayúsculas se toma como medida nominal. (Ver tablas1 y 11). ESCRITURA ESTRECHA

TABLA 1 Valores en milímetros

Ercrirura A i d = h/ 141 Caracieristicas

Relación

I Altura de escritura Altura de las mayúscu:1 las h (14/14) h Altura de las minúscu- , ; las (sin trazos salientes) c (lO/l4) h

1

! Espacio

1

entre. carácte(2114) h

a

1

i o mínimo entre líneas de apoyo de la escritura (interlínea) b Espacio minimo entre e palabras

d

Anchura del trazo

Medidas

2,5

-

!

1

1

3,5

5

i

2,5

i

:

3,5

!

7

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1

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3

4,2

0,25

0,35

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(20114) h

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(6/14)h

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(1/14)h

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0,7

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1,4 14

2 20 6 1

Nora.- El espacio a entre dos carácteres podrá reducirse a la mitad si proporciona un mejor efecto visual. por ejemplo. LA. TV: le corresponderá cntanes una anchura de trazo d.

ESCRITURA CORRIENTE

TABLA 11 Escritura B (d = h/ 10)

I

Valores en milímetros

1

Caracrerísticas

Relación

1

Medidas

Altura de escritura

Altura de las mayúsculas h Altura de las minúsculas c (sin trazos salientes)

(10/10) h

2,5

3,5

5

7

(7/10)h

-

2,5

3,5

5

a Espacio entre carácteres Espacio minimo entre líneas de apoyo de la es1 critura (interlínea) b Espacio minimo entre palabras 1

(2/10) h

0,5

0,7

1

1,4

(14/10) h

3,5

5

7

(1/10) h

0,25

0,35

0,5

1

Anchura del trazo

d

10

0,7

Nota- El espacio a entre das caracteres podrá reducirse a la mitad si proporciona un mejor efecro visual, por ejemplo. LA. TV: le corresponderá entonces una anchura de trazo d.

30


2. La gama de alturas - h- normalizadas de escritura es la siguiente: 2,5 - 3,5 - 5 - 7- 10 - 14 - 20 mm. La razón fl de la gama de alturas de escritura se deriva de la progresión normalizada de las medidas de los formatos de papel. 3. Las alturas - h - y -c- no serán inferiores a 2,5 mm. Según esto, un texto que tenga una altura m & m a de escritura de 2,5 mm., solamente puede escribirse con letras mayúsculas. 4. Las dos relaciones normalizadas para d/h, 1/14 y 1/10, son las más económicas, pues corresponden a un número minimo de anchura de trazo, según se ve en las tablas 1y 11. Las relaciones recomendadas para la altura de las minúsculas (sin tener en cuenta los trazos salientes hacia amba y hacia abajo), para el espacio entre los carácteres, para el espacio mínimo entre las líneas de apoyo de la escritura (interlínea) y entre las palabras, se dan en las tablas 1 y 11. 5. La escritura puede ser cursiva (con una inclinación de 15' hacia la derecha respecto a la vertical), Figs. 2 y 4, o vertical, Figs. 3 y 5. -

~

Escritura A cursiva

Escritura A derecha

Fig. 2

Fig. 3

6. Las anchuras de trazos normalizados son: 0,18 -0,25 -0,35 - 0 , 5 -0,7-1-2mm. (Serie 1). 7. La serie 2 se incluye para poder aprovechar aparatos de escritura y de dibujo existentes durante un período transitorio (corresponde a la antigua serie de tamaños nominales de la norma). 0,l-0,2-0,3-0,4-0,5-0,6-0,s-1,2mm. Escritura B cursiva.

.

-

Escritura B derecha.

,, -<,-''. i ....- '"'\\, 4 >i;\-.yo. -. ..-.La soltura en la rotulación a mano requiere una práctica lenta y constante. Son importantes la postura, el tablero, el asiento, la luz (que siempre debe incidir de la izquierda para que no se produzcan sombras) e incluso la respiración y el cansancio influyen en la rotulación a mano. Debe tenerse en cuenta como norma más importante la uniformidad de las letras y su separación. Se emplean plumas llamadas de <<puntovuelto» o de ~~platillon. las cuales se cargan con el cuentagotas del tintero o con el '_ubo de tinta. La superficie del platillo, que constituye el , ;% .

.<J


que delimitan la altura de las letras; se Para rotiihi hay que trazar a lápiz ..lineas'de hacen a lápir de trazo fino, Hav plantillaspara el trazado de las líneas de guía para el rotulado. o de palo seco, es decir, el grueso de los palos y La letra q i ~ cse emplea es de trazo ganchos de 135 Ictras es unifome e igual a la anchura de la pluma.

Para la roiulación de 10s dibujos técnicos se usa con mucha frecuencia y en especial por 10s dibujantes que iienen el pulso POCO habituado, los «nomógrafosn (Flg. 61. Estos nornii)grafos son unas plantillas de ce]uloide, muy elásticas, que no se astillan. Llevan rotular perfectamente con tinta unas guías de metal que aumentan la estabilidad y china. Las plantillas llevan troqueladas las letra. del alfabeto, mayúsculas y min~sculas,10s números y algunos símbol~s.

Fig. 6 Si se estudia este tipo de escritura, se ve la ventaja de que los signos se componen únicamente de elementos geométricos sencillos, como lúieas y arcos de circunferencia, que se transforman, en función de la oblicuidad, en arcos de elipse. Las letras se trazan con plumas especiales de sistema tubular, teniendo cada plantilla, por el tamaño de la letra, la pluma correspondiente. En la Fig. 7, vemos un estuche de plumas para rotular. Con más detalle observamos en la Fig. 9 una pluma para rotular que tiene la punta totalmente plana. La Fig. 8 muestra el palillero común para todas las plumas. Este tipo de plumas son instrumentos de gran calidad y si se cuidan, su duración es indefinida. Tanto las plumas como las plantillas se deben lavar frecuentemente. Si la tinta estuviese muy seca, se dejan a remojo en agua tibia. Este tipo de rotulación también requiere una larga práctica para adquirir la soltura y seguridad precisas.

1 Fig. 7

Fig.8

Fig. 9


LINEAS NORMALIZADAS

1. CLASES DE LIYEAS E>IPLEADAS EX E L DIBC'JO TECXCO.

Para la representación gráfica de cualquier elemento nos servimos de la línea, la cuál, usada como simbolo, tiene un significado diferente según cómo se la dibuje, continua, a trazos o a trazos y puntos. La normalización unificó todo este tipo de posibilidades. Todo dibujo técnico no solamente tiene que proporcionar todas las indicaciones necesarias para su interpretación, sino que además ha de ser armónico en esa interpretación. Para lograr esto, las lineas empleadas en el dibujo técnico están normalizadas en la Norma UNE 1032-74, que concuerda con la ISO R 128 (1959) y con la DIN 15. En la tabla 1se indican los diversos tipos de líneas y algunas aplicaciones de las mismas. TABLA 1

i

N." de la lima I

i

1

11.

Clase de la linea

1

1 2

/

Contarnos y aristas visibles.

Continua fina

/ / ¡i

Contornos y aristas fictiñor. Lineas de cota y de referencia. Contornos de piezas vecinas. Rayados. Contornos de secciones abatidas sobre ci plana.

;;

Limite de vistas o correr parciales. si sste limite no es un eje.

I

:

3

-

5

2-

i

-

: A manoalrada

1 ~j Trazo y punto. fina

1 7

-.-.-.-.-

/

Trazo y punro. gruesa

l !

i

Ejes.

i Posiciones extremas de piezu móriler.

;

i

i

Empleo

Continua gruesa

i

j

l

Partes situadas delante del plano de corte.

1 Indicación de las supeficies que dcbsn sufrir u n

1

tratamiento complementario.

Vemos en dicha tabla 1 que en los dibujos técnicos se utilizan 7 tipos diferentes de liueas, indicados con los números 1 al 7, cada una de las cuales desarrolla su propia función o representa un dato diferehte Y a ella debe limitarse extrictameute su uso.


Las 7 clases de lineas de la tabla 1 son diferentes en cuanto a espesor, dependiendo éste del tamaño y clase del dibujo. Dentro de un mismo plano, los espesores de las lineas tienen que tener una relación constante entre sí. En los dibujos técnicos no debe haber más que tres anchuras de lineas: Gruesas, finas e intermedias (a trazos) y la relación será como mínimo de 2 a 1 entre la gruesa y la fina. Por ejemplo: 1.4-1 y 0,7 mm. (espesores aconsejables paraF1 microfilme) o bien, 0,7-0.5 y 0,25 mm. La anchura de las lineas se escogerá en función del tamaño y de la naturaleza del dibujo. Con la elección del espesor del trazo para la linea llena de trazo grueso, queda fijado el espesor del trazo de las restantes seis clases de lineas, dentro del mismo dibujo . y para la misma escala. Todos los espesores de lineas correspondientes entre sí forman un grupo de lineas A

A

Fig. 1 En la Fig. 1 tenemos un ejemplo de aplicación de los tipos de lineas recomendados; el tipo de cada linea está indicado con el correspondiente número. Examinando con detenimiento la Fig. 1 se podrá comprender fácilmente e1 campo de aplicación de cada una de ellas. Es importante también que el espaciamiento o separación mínima entre lineas paralelas no sea inferior a dos veces la anchura de la línea más gruesa. Se recomienda que esta separación no sea nunca inferior a 0,5 mm. Cuando en casos especiales (esquemas eléctricos o esquemas de tubenas, por ejemplo) se utilicen otros tipos de lineas, los convenios que se adopten deben, para cada dibujo, indicarse claramente en el pie o leyenda.


APLICACION DE LAS LINEAS NORMALIZADAS

1.- L铆nea continua gruesa Ejemplos

Aplicaciones

Aristas visibles de cuer POS

-

Signo superficial general

Limitacibn de rosca ( t m t i l l o y tuerca 1 Fig. 7

E n slmbolos p a r a roleran. cio de formo y posici贸n

S h b o l o s ( cordones de soldadura J

Signos de soldoduro


2.- L铆nea continua f i n a Ejemplos

Aplicaciones

Moleteodo

: '

i

Y////,

Rayado de superficie de corte. Moleteado. Puntos de centrado. Di谩metro del n贸cieo y exterior para rosca de tornillo y tuerca respectivamente.

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 7

Fig. 9

Fig. 10

Fig. 7 1

Secciones transversales ( son secciones hechos

por un plano perpendicolor a la s u p e r f m e del dibujo. y abatido .sobre el m w n o I

Contorno de portes contiguas poro indicar su relaci贸n. Fig. 10 Contorno de ejecuciones dlscrecionoles . Fig. 71'


-

Lineas de cota Y au-

nara indicaciones es,~ critas . Entalladuras. Cruz &agonal (caras planas). Aristas interiores a parentes. Idem. Exteriores. Lineas de curvatura ( p i e z a y a desarrollada)

Fig. 12

3.- Llneas a mano alzada Aplicaciones

Ejemplos

Lineas de rotura par a metales, materiales aisiantes, piedras, etc.

Fig. 16

Diferentes casos : Fig. 15 :Cuerpos huecos " Fig.19: ( d o s casos) Fio. 16: Cueroo

cilin-

COSO) F i g . 17: Tronco de pirdmide.

Fig. 17

Fig. 18

F i g . 19

Fig. 20

Lineas de rotura para maderas, ( z i g -zag) Secciones para madera.

u


Aris tos ocultas Dibmetro del agujero inten'or y exterior p o n rosco de tuerca oculto. Circulo del pie en rue dos dentados. crernolleros tornillos, y ruedos sinfin. seg煤n UNE 1.044.75 Se representa con /;neo continuo fino., f En general puede renunciorse o lo rep-esen toci贸n del p i e )

B

Fig. 21

Noto Nnportonte.- Evitar en lo posible este tipo de l i n e o s . P o r o ello d a r un corte porc i o l o uno seccidn p o r a SU m e j o r !nterpretocidn .

5.- Llnea de trazo y punto fina Ejemplos

--. -.-.-. -

Ejes, clrculos de ogujeros . Circunferencia primitiva p o r a ruedos dentados, cremolleros, ruedos y tornillo sinfin e t c . Portes que se encuen-

-tren delante del corte representado.

Fig. 23

Corte A B


En el dibujo de las piezas en bruto ( f u n dicidn, forja, etc.), la pieza y a terminado. Indicaci贸n de las demasias de mecanizado.

Fig. 25

Posiciones posibles de palancas, mangos, etc. Desarrollo de piezas ( p o r o indicar lo medida primitiva). Llneos de rotura en perfiles laminados [Fig. 7). Limitocih de un sector en piezos huecas [Fig 8 1

Fig. 27

1 Limitaci贸n de detalles dibujados a escala fuero del dibujo. .Limitaci贸n del espacio cuando no se conoce o no se desea el detaIlorlo.

Fig. 29

Fig. 2 8


_ Para indicar la zona donde van colocadas las caracterlsticas de u n mecanismo, o la razdn social etc., etc. Demasla para piezas forjadas o similares.

/

1 Fig. 3 0 Fig. 31

6.-LĂ­nea de trazo y punto ter-. -. -. -. -. minada por dos trazos gruesos =:=:Y:=:=:= Aplicaciones

Ejemplos

Corte AD Desarrollo del corte

Fig. 32

0

u 4

2- LĂ­nea de trazo y punto gruesa -.-.-.-.=:=:-.-e-

Aplicaciones

Ejemplos

Temple parcial

-.-.

\ Caracterizacidn de tratamiento de superficie. Indicacidn sobre lo superficie que nos in. terese el tratamiento t6rmico parcial o total.

U

'.

-.-.-

-.-.-.-

L.

Fig. 33


FORMATOS De acuerdo con las dimensiones y disposición de las vistas, elegiremos el tamaiio del papel. Tenemos que disponer de unas medidas normalizadas que sirvan de base para utilizar más tarde carpetas: archivadores, etc., para su ordenación. A los pliegos de papel cortados a unas medidas normalizadas se les iiama: FORMATOS. L. ORDENACION DE FORMATOS

Se parte de tres principios que se enuncian como reglas:

1. Regla de doblado. "Todo formato se obtiene partiendo en dos el inmediato superior. " La relación de sus superficies es, por tanto, l:2 (fig. 1). Ejemplos: a) Formato de lados: x e y. b) Formato de lados: x e y/2. c) Formato de lados: x/2 e y/2. El primer formato es doble que el segundo y éste doble que el tercero.

2. Regla de semejanza. "Todos losformatos son semejantes." De las reglas 1 y 2 se deduce, para los lados x e y de un formato, la ecuación:

Esto nos dice aue la relación entre los lados de un formato es la misma que i a del lado de un cuadrado y su diagonal (fig. 31.


---_--_..

.-

3. Regla de referencia.

.'.\\. ,

"

----7 ,' I. '\

'I

,

8

+

.

-~ .

I

*

/'

,'

Los formatos están referidos a1 sistema métrico." La superficie del formato origen es igual a la unidad métrica de superficie (m2), es decir: x.y = 1.

,'

~

..

....

. , ..

y::.,

,:

.

, ~'>:c:i[bi<,, .- .. . .

. > : ~ . ; ~ . J : ~ ~ . ~ :

De acuerdo con las tres reglas, tenemos:

G//'/

,

+,

x.y=l

$7

X ( X . ~ = I

;

x2 = -

x2 .*=1

;

x2 = -

I /'

y = x . q

/'

X

1

1

'F VT

=0,7071

2

Fig.3 x = 0,841 metros y =x

1,189 metros

Redondeando estas dos cantidades hasta los milímetros, nos quedan:

UNE 1-026-75

3. DIRCJOS TECXICOS: Formatos 1. Objeto.

II

1

Esta norma tiene por objeto indicar los formatos de los dibujos técnicos.

Hoja sin cormr L i m o de corte m el dibujo o r i g i ~ d CODIO cortodo

2. Formatos y medidas.

4A0

1662x2378

2410

1189x1682

1

20

i

1720x2420

;

15

123011720

:

ar>

Kl r ~ 5 T T 8 8 0 1 1 2 3 0 1

A1

594x841

A2

4 2 0 ~5

AJ

m z

A4

210x 297

A5

A6

1 1

m

10

'

J

i

;

1

i ;

9DD 900

660 1

660x900

900

660

1

450x PSO

l

1

&

:

T

450x 625

lZr45OI

- 5 r f f ; : W ~ ~ i o o

í

~

625x880

:

1250

T

1

5 f

l

-

,

250

~

l

4

120Xr65

;

2401 330

i

f

b

--

1 0 5 T i C 8 5

~

-

330r 450 ,

0

660

225x 330

660 6

6

F

P

p

1) Ancho de los rollos más adecuados para el corte de las hojas. 2) Si los formatos A2 a A4 han de ser obtenidos de la misma hoja en bruto, partiendo en dos sucesivamente, deberá conservarse con la máxima precisión el tamario de la hoja en bruto para el Al. Ambos anchos de papel exigen dicha exactitud. Se observarán exactamente, en cada caso, las condiciones de la impresión que se deducen para el A4.


4. SERIES.

Según la regla 1, los formatos de la serie A se deducen dividiendo o multiplicando sucesivamente por 2 el formato origen. Dichos formatos se designan siempre por la letra A, seguida de los números 0, 1, 2, etc., o bien anteponiendo un número par, 2, 4, 6, al formato AO. Ejemplo: 2AO,4AO, A l , A4, etc. Al formafo A0 se le llama "formato origen".

Los formatos cuyas medidas de sus lados son las respectivas medias geométricas entre los de la sene A, forman la sene B; los formatos obtenidos del m&mo modo entre los de las series A y B, forman la serie C. Ejemplo: Para la formación del formato BO se parte de las dimensiones del A0 y de su inmediato superior, 2A0.

Ejemplo: Para la formación del formato CO se parte de las dimensiones del A0 y BO.

Los demás formatos se obtienen siguiendo la regla de doblado. Estas series auxiliares se emplean para carpetas, sobres, etc., dependientes de la serie A.

6 . FORMATOS ALARGADOS. Se obtienen fonnatos alargados al partir longitudinalmente los formatos normales. Esta división se puede hacer por 2,4,8, etc.

r

Formato

1

Mitad alargada A4 ................... Cuarto alargado A4................... Octavo alargado A7.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Abreviatura 1/2 A4 1/4A4 1/8 A7

(

/

mm 105 x 297 52 x 297 9 x 105

Aplicación: Sobres, placas, billetes de trenes, recibos, etc. Excepciones: "Se recomienda evitar las excepciones". Observaciones: 1. Los formatos indicados se aplicarán a toda clase de dibujos técnicos, así como a esquemas, hojas de norma y planos impresos, y también a impresos para dibujos. Las hojas podrán utilizarse verticales o apaisadas. En los formatos pequeños podrá adoptarse, como normal, la disposición vertical.

2. En los dibujos pequeños se admitirá, para el archivado, un margen de 25 mm.,,quedando reducida en otro tanto la superficie útil de la hoja (UNE 4002). 3. Excepcionalmente podrán deducirse formatos alargados, colocan; ; do unos a continuación de otros, formatos iguales o consecutivos (véase ....'..........U la figura). Ancho de los rollos comerciales: para papeles de dibujo y transparentes: 1500 1560 de donde se deducen: 250 1250 660 900 para copias heliográficas: 650 900 1230 7

,

m


. ...

UNE 1-035-75

Generalidades. El espacio destinado a la rotulación y al despiezo se colocará en la parte inferior derecha del dibujo. En este cuadro deberá anotarse todo lo necesario para la fácil interpretación del dibujo. La lista de los clientes y de los planos, el sello y las licencias no están incluidos; se añadirán al rotulado segun las necesidades de cada caso. Las letras y los números se escribirán según la norma UNE-1-034-75, empleándose el mismo tipo en los impresos. La disposición del rotulado y del despiezo deberá sujetarse a los modelos propuestos. En especial, se seguirá el orden de las columnas "N.Ode piezas", "Denominación y observaciones", "Marca" y "Material". En lugar de las palabras entre paréntesis podrán colocarse otras adecuadas a cada caso. Así, por ejemplo, la columna de "Peso" podrá subdividirse en "Peso bruto" y "Peso neto", o en "Peso calculado" y "Peso en báscula". La columna "Marca" llevará el número correlativo de las piezas sucesivas. Podran suprimirse las columnas que no se necesiten. Si el objeto ha de ser fabricado en una sola forma, sólo se necesitará una casilla de ''N.Ode piezas" (modelos 2 y 6); si, por el contrario, puede tener varias disposiciones (tipos a, b, c, etc.), serán necesarias otras tantas casillas, que indicarán las piezas que deban ser fabricadas en cada disposición (modelos 1, 5 y 8). La casilla "Modificaciones" podrá suprimirse cuando las modificaciones llevadas a cabo no se consignen en el rotulado (modelos 4 y 8). Rotulación de los dibujos grandes (Hojas 2 y 3). Los modelos 1 a 4 se utilizarán para los siguientes dibujos de gran tamaño: A2 420x 594mm. Al 5 9 4 ~841mm. A0 8 4 1 ~ 1 1 8 9 m m .

Véase las normas UNE 1011 y 1027.

La rotulación y el despiezo se colocarán a 10 mm. del borde del papel cortado. Para la lista del despiezo se utilizará, a ser posible, la escritura de 3 mm. de altura. Rotulación de dibujos pequeños (Hoja 4). Los modelos 5 y 6 se utilizarán para los dibujos de los siguientes formatos: A6 105 x 148 mm. A5 1 4 8 ~ 2 1 0 m m . A4 210 x 297 mm.

Véanse las normas UNE 1011 y 1027

La rotulación y el despiezo se colocarán de 5 a 10 mm. del borde del papel cortado. El despiezo se escribirá, a ser posible, en letras de 2,5 milímetros de altura. El modelo 6 podrá simplificarse, transformándolo en los 3 y 4. El modelo 7 se empleará cuando no es necesario el despiezo y no se necesita consignar más que el material y los números del modelo y del almacén. En los dibujos de tamaño A6, 105- 148 y, en caso necesario, en el A5, 148x210 mm., se podrá reducir la lista, con arreglo al espacio disponible. Despiezo separado (Hoja 5) La lista del despiezo separado, modelo 8 (reducido), tiene las columnas de la lista del despiezo del dibuj0.y parte de la rotulación según los modelos 1 y 2. El tamaño es el A4, 210x297 mm. El espacio en blanco de 25 mm. a la izquierda es para margen de archivo; en los demás lados, 5 mm. La separación entre líneas será de 8,5 mm.


1

Dibujos

UNE

Roiulocidn y despiezo

1-035-75 h. 2


Dibujos Rotulación y despiezo ora dibujos grandes

MOdelo 2

I

Fecho Nombre Dibrrjodo Comprob. id.s.nor

( Razón Social)

( Firmas

Escolo

( Designación )

( (Número) 1

~ u s t i t u i d opor

í Modificaciones ) -55

1

---L

Fecho Nombre D~bupdo Comprob rd S nor

Escolo

(Razón S o c i a l ) (NcSmero) ( Designación) O> ~ u s t i t u y e o

Sustituido por .L20120 i - 2 5 4

Fecho Nombre

S '

Dib",odo Comprob Id S n o i

d (Razón Social)

Modelo 4

Escolo

2

( Designación )

1

8

0

(Número) o Sustituido por


I

i

UNE

Dibujos

i4

Rolulocidn y despiezo J

dibujos

pequeños

1-035-75h.4

Modelo 5

3 2 1

o

Orbup No Morm Almocln N'

Denominoción y observaciones

19

15

18

Mofend y dirnens,ones

Modelo

Peso

25 -

1

1 Fecho 1 Nombre 1

1 ( ~ a z d nS o c i a l )

:I 1 --

(Designación 1

Susbtuye a Sustituido por

L 5

5

1

,

1

6

54

S

Modelo 6

Denominacidn y observaciones

Fecho

1

Dibujo NO Moleriol y diMorco lAtrnocin N"lrnensiones en b.1

N D de

piczos

'122-

Peso

Nombre

(Razón S o c i a l )

Dibupdo

'(F/rrnos)

Comproboda

rd s nomor

Escola

(Ndmero)

( Designación )

m

l. -32 I

Moferiol

Escolo

i

'.4

! 2

,

'1

40

Modelo N' A l m a c h No

Y

~ o d e ( ó7

í,

Sust~tuye o

,r

Sust~tufdo por

' 1

~ibujodo

16

( ~esi~n%Ció"

4

2

0

,

/

180

,

1

(Razón Social)

Cornprobodo

18i.

5

( Ndmero ) 54 /


Dibujos

UNE

y

1-035-75 h.5

Rotulocidn lespiezo separado

despiezo Modelo 8

-

otosj

I

Ho'o N

I Modificaciones ) Fecho Nombre

Escrilo

c m r w I ~ r Sm m s

l F ~ r m o sl (Rozdn social y deportomentol f NĂşmero l

I


Notas aclaratorias. Las indicaciones entre ( ) sirven sólo de aclaración y no serán impresas. A) CASILLERO NORMAL. - Rotulación del dibujo Por "Razón social" se conocerá la empresa, escuela u organismo propietario del plano. Por "Número" se sabrá el plano que es, de acuerdo con una numeración ya establecida. En el recuadro "Escala" se indicará la escala o escalas que se han empleado. Si se han utilizado varias, la que se ha utilizado más, o escala principal, se rotulará más gruesa. Las auxiliares se anotarán debajo de ella, entre paréntesis (modelo 1). En los recuadros de "Sustituye a" y "Sustituído por" se anotarán el número del plano al que sustituye y el número del plano por el que ha sido sustituido, respectivamente. En "Dibujado" se anotará el nombre del delineante y la fecha de comienzo. En "Comprobado", la fecha y el nombre de la persona que lo ha comprobado. En "Id. s. normas" (comprobado según normas), la fecha de comprobación y el nombre de la norma que se ha adoptado en el plano. Según normas UNE 1-004-75 (ISO/R 2014), los elementos que representan una fecha bajo forma exclusivamente numérica, deben colocarse en el siguiente orden: Año-mes-día. Ejemplo: El primero de julio de 1977 debe rotularse de acuerdo con una de las formas siguientes (modelo 1):

a) 19770701 b) 1977-07-01 c ) 1977 07 01 En el recuadro de "Firmas" se rubricarán las del delineante y la de la persona que ha dado el visto bueno.

B) LISTA DE PIEZAS En la columna correspondiente a "Denominación y observaciones" se anotará en singular el nombre de la pieza. Debe coincidir con la del rotulado del dibujo respectivo. Se aprovecha el espacio libre para incluir indicaciones como tratamientos térmicos, etc., que no entran en las restantes columnas. Por la "Marca" se conocerá el número de la pieza. Por el "N,' depiezas" se sabrá la cantidad de piezas iguales a ella que hay en el mecanismo. En "Dibujo n.""se indicará el número del plano donde se encuentra dibujada la pieza. En "Almacén n.""se anotará un número que suele coincidir con el del dibujo. Por el "Marerial" sabremos el que tenemos que escoger para la fabricación de la pieza. En la columna de "Diinensiones"se rotularán las medidas en bruto de la pieza. Se anotará el número correspondiente al "Modelo" de la pieza para su fácil localización en los talleres de fundición. Suele coincidir con el número de la pieza. EnC'Peso"anotaremos el peso en bruto de la pieza. "Modifjcnciones": Se consignarán todas las modificaciones que se hayan hecho. aclarándolas siempre con las notas necesarias. Tanto el casillero de la "lista de piezas" como el de "modificaciones" se podrán suprimir si no son necesarios.

El plegado del dibujo se hará de forma que resulten pliegos del formato A4. en cuyo frente ha de figurar el cuadro de rotulacion. Para archivar los planos en carpetas A4 se procederá como sigue: l. La rotulación deberá quedar siempre en la parte anterior y ser perfectamente visible (Fig. 7). 2. Para el doblado de los formatos 2A0 a A2 se marcará, primero. la anchura de 210 mm. (doblez 1). preferentemente con el empleo de una plantilla 210x297. 3. A partir de c (forniaro 2 4 0 a A2), se doblará un trozo triangular hacia atrás. con objeto de que la parre superior del plano no sea agujereada y quede fija en la carpeta (ligs. 1 a 4 v 7).


ii0il-

Medidas en mm. Fin 1 Formato 2 A ; 7189x1682

Fig. 2 Formato AO= 841x 1189

Fig. 3 Formato A7=594x841

Fig. 4 Formato A 2 = 420 x594

Fig.5 Formato A3.297~420

Formato A0 plegado Fia. 6 Plegodo ó lo largo

Fig. 7 plegado-a lo alto

4. Comenzando por a, se continuará el plegado, con dobleces de 185 milímetros de ancho, preferentemente, por medio de una plantilla de 185 x297. El ancho final se plegará simplemente en dos, de tal manera que la rotulación quede en la parte anterior.

Los formatos UNE, alargados, se plegarán análogamente. 5. Las fajas así obtenidas se plegarán a lo alto, comenzando desde b (Figs. 1 a 4 y 7). Para reforzar el agujereado, se podrá pegar una tira de cartón A5 = 148 x 210 en el reverso de la parte del dibujo que se ha de taladrar. Siguiendo las instmcciones anteriores, se podrán plegar los dibujos de todos los tamaños. Cuando la parte que queda, después de hacer la primera doblez de 210 mm., no sea divisible por 185, con cociente par, se dividirá en dos partes iguales la faja final (Figs. 2 y 3). En general, no es recomendable archivar o coser en carpetas dibujos de tamaños mayores que el A l .


APLICACIONES DE LA GEOMETRIA EN EL DIBUJO TECNICO GZWRAL!D.\DES. Aunque prácticamente todos los problemas de Geometría que se presentan en el Dibujo Técnico pueden resolverse con los instrumentos estudiados en el Tema 1, las construcciones geométncas se utilizan constantemente en el Dibujo Técnico, pero como cada problema concreto puede resolverse por varios métodos, no vamos a estudiar aquí todos ellos, sino los que desde el punto de vista del delineante, así como de la exactitud y del tiempo, resulten más interesantes y prácticos.

1. TR.AZADO DE LA NEDIATRIZ DE UN S E G M E X T O . Sea el segmento. 7 Conncentro en A y B y un radio mayor que la mitad del segmento , dado, se traz-los arcos 1 y 2 que se cortan en C y D. La recta m que une estos puntos es la mediatriz de AB. (Fig 1).

a

2. TRAZADO DE LA PERPEl-DICULAR DESDE US P U N T O ,A Uh'A RECT.A. Sean la recta r y el punto P, los datos conocidos. Con centro en P se traza un arco cualquiera es la solución. (Fig. 2). que corta a la recta r en los puntos C y D. La mediatriz de

a,

3. T2.4Z.ADO DE L.', PSRPENDICLLAR .A U'IA R2CT.A EN U N P U X O DE ELL.A. Sean la recfar y el punto C los datos conocidos. Con centro en C se traza un arco de circunferenciaMN, de radio cualquiera, que fija los puntos M y N a igual distancia de C. La mediatriz de MN es la solución. (Fig 3).

- - --

Fig. 1

Fig. 2

Fix. 3


Sea 9 el vértice del ángulo formado por las semirrectas r y s. Con centro en V se traza un arco de radio cualquiera, con centro en los puntos A y B y con el mismo radio, se trazan los arcos fi n 1 y 2 que se cortan en el punto N. Este punto N es de la bisectriz y para obtenerla basta unir N con V. (Fig.4).

a,

.

.

~. .

, ,

.

~

~.

.

~

- ,

. ~. . . -

.,

A partir de la figura anterior pueden construirse con gran sencillez los ángulos citados y otros muchos por suma o diferencia de los mismos.

1

I Fig.4

Fig.5

6. TRAZ.AD0 DE UN ANGCLO DADO POR EL PvIETODO DE LA TAXGEZTE. ( F I ~6)..

La tangente trigonométnca de un áng lo cualquiera es la relación entre el cateto opuesto y el adyacente. Así: b/c = tg 3, o bien: = h. Para trazar el ángulo %, se toma el valor de la tangente en una tabla de tangentes naturales. Se toma un segmento arbitrario -c- y se multiplica - c- por el valor de la tangente, obteniendo el val% de otro segmento - b - . Con b y c se construye el ángulo recto de la figura y tenemos el ángulo B.

Supongamos que queremos dividir 333 en tres partes iguales. A partir de A se traza una recta s cualquiera y se llevan sobre eiia tres segmentos iguales de longitud arbitraria. El extremo 3 del Úitimo segmento llevado, se une con el extremo B y por las divisiones 1 y 2 se trazan paralelas a 3-B que dividen al segmento en las tres partes iguales.


8. TRAZAR POR UN PUNTO DADO LA RECTA P.IRALELA A OTRA DADA. (Fig.S).

Sea A el punto y r la recta dada. Con centro en A y un radio arbitrario

m, se traza el arco

ECon centro en B y el mismo radio, se traza el arco m,Con centro en B se lleva la cuerda sobre el arco de centro A y se obtiene el punto C, que unido con A nos da la recta paralela a la dada.

E

I

Fig. 8

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Fig. 9

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5

2 4

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j.-'i.i

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r i;\,c' , i . . i i. .: --. - i

r-,%,.,-(-r71 ~ i , : 2-..

!

Sea la recta r y d la distancia a la que hay que trazar la paralela. Con centro en dos puntos cualesquiera de r se trazan dos arcos de radio d. La recta S, tangente com煤n a estos dos arcos, es la soluci贸n.

10. OBTEXCIOY DEL SEGMEKTO CUARTA PROPORCIONAL A OTROS TRES SEGhIEXTOS DADOS. (Fis.10).

Sean a, b, y c los segmentos. Se llama cuarta proporcional de estos tres segmentos, al segmento -x- que cumple la proporci贸n siguiente: a/b = c/x. La construcci贸n se funda en el teorema de Thales. Sobre dos rectas concurrentes se llevan a, b y c, como indica la figura. Se une el extremo de c con el de a y por el extremo de b se traza la paralela, determinando sobre s el segmento x.

Fig. 1O


-

-

Fig.11a

Fig. l l b

La tercera proporcional -x- se expresa así: a/b = b/x. Según esto, la obtención del segmento x es como en el caso anterior en el que se repite el segmento b. (Fig.l l a ) . La media proporcional se expresa así: a/x = x/b, proporción en la que se desconoce el medio común, o lo que es igual: x2= a-b. Aplicamos el teorema de triángulos rectángulos que dice: Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Según esto, tomamos el segmento a y superpuesto con él, el segmento b; la semicircunferencia de diámetro a nos permite obtener el segmento x, media proporcional buscada. (Fig.I I b). 12. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO DADOS LOS TRES LADOS a. b I' c. (Flg.12).

-

Se coloca uno de los lados, P.e., el a = BC; con centro en B se traza el arco de radio c, y con centro en C se corta el anterior con un arco de radio b, obteniéndose el tercer vértice A.

Fig.12

Fig. 13

13. CONSTRUCCION DE U S TRiAKGULO DADOS LOS LADOS a Y b Y EL AXGULO COMPREKDIDO C. (Fig.13).

Se coloca uno de los lados, el a, y en un extremo se construye el ángulo C; se lleva sobre su lado el segmento b, con lo que se obtiene el vértice A, que unido con el B nos da el triángulo. 56


14. CONSTRCCCION DE UN TRIAXGULO CONOClENDO DOS LADOS a Y b

Y EL ASGULO A. OPLESTO A UNO DE ELLOS. (Fig.14). Se coloca el lado b y sobre un extremo se construye el ángulo A; con centro en C y radio el lado a se corta al lado c. Según la magnitud del lado a, el problema puede tener dos, una o ninguna solución; tendrá dos soluciones cuando el lado a sea mayor que la distancia d de C al lado c; una solución, cuando a = d y ninguna solución si con el lado a no conseguimos cortar al lado c.

Fig. 15

Fig.14

Se lleva el lado c y sobre un extremo de él se construye el ángulo 8;con centro en A y radio m,, se traza el arco que corta al lado a en el punto medio del mismo. Según la magnitud de m,, el problema puede tener dos, una o ninguna solución.

El circuncentro C, es el centro de la circunferencia circunscrita y por lo tanto es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo. (Fig. 16j. El incentro 1, es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo y por lo tanto es el punto de intersección de las bisectrices. (Fig. 17j. El baricentro B, o centro de gravedad del triángulo es el punto donde se cortan las medianas del mismo. (Fig. 18).

~-

Fig 16

-~

Fig. 17

---

- -~

Fig. 18


Resolvemos el problema por triangulación. Dado el polígono ABCDEF y una nueva posición E'D' de un lado, se construyen uno a uno los triángulos en que se ha descompuesto el poligono. .

_

_

--

Fig. 19

Fig. 20 Los lados son a y b. Se sitúa el lado a y sobre la perpendicular a él, en uno de sus extremos se lleva el lado b. Por los vértices B y D se trazan paralelas a los lados obtenidos y se completa el rectángulo.

19. CONSTRUCCION DE UN PENT.4GOXO REGULAR DADO EL RADIO DE L 4 CIRCCSFEREXCIA CIRCLXSCRITA O EILX EL LADO.

Supongamos que sea -r- el radio de la circunferencia circunscrita. Se trazan dos diámetros perpendiculares y se consideran los radios OM y oN. Se toma el punto ,punto A, y con centro en él y medio de O radio se traza el a r c o m . El segmento NB es el lado L, del pentágono convexo inscrito. (Fig. 21).

Fig. 21


m.

Supongamos que sea L,el lado del pentángono. (Fig. 22). Se lleva L5 = Se traza por B la pe endicula a y sobre eila se toma BTI = Con centro en C y r a d h m se traza el arco teniendo así el segmento que es la diagonal del polígono. Con AE como radio y centros en A y B, se trazan dos arcos que se cortan en el vértice 1; los vértices 2 y 3 se determinan y centros en A y B. cortando a los arcos anteriores con radio

a

%,

a, m

m.

Como el lado del hexágono es igual al radio de la circunferencia circunscrita a él, basta conocer uno de estos dos datos. Sobre la circunferencia se toman cuerdas iguales al radio y se unen los puntos de división.

A

Fig. 22 Fig. 23

t

Fig. 24

~

7

i

Fig. 25

Trazamos la circunferencia de radio dado. Se toma el punto medio M de un radio O A y por él se traza la perpendicular a dicho radio; la semicuerda MN es el lado del heptágono regular. * (Fig. 24). Sea ahora L, el lado conocido del heptágono. (Fig. 25). Por B se traza la perpendicular a TQ se construye el á n g u l o m d e 30"; con radio se determina el punto O en la mediatriz de AB y O es el centro de la circunferencia circunscrita, la cuál pasa por A y B. A


-

-

Dibujada la circunferencia, se trazan dos diámetros perpendiculares AE y CG y luego se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos rectos formados. (Fig. 26). Partiendo del lado del octógono LB,(Fig, 27) se construye el cuadrado ABCD, de lado y con centro en O,, centro de dicho cuadrado, se traza la circunferencia circunscrita a 61; esta El punto O es el centro de la circunferencia circunferencia corta en O a la mediatriz de circunscrita al polígono que se va a construir.

a

a.

Fig.26

Fig.2 7

23. CONSTRUCCION DE UN EXEAGONO REGULAR DADO EL RADIO DE LA CIRCUZFERENCIA CIRCUNSCRITA O BIEN EL L.L\DO DEL POLIGONO.

m

m

Dibujamos dos diámetros pe endiculares. Con centro en M se trazan los arcos y y con centro en P se traza el arco*; el segmento es el lado Le del eneágono inscrito. (Fig. 28). Supongamos que sea L9 el lado conocido del eneágono (F& 29). Se construye con como se traza la bisectriz del lado, el triángulo equilátero AOB; prolongamos los lados A 0 y á n g u l o m y tenemos el punto C, centro del triángulo, que está en la mediatrk de con radio se traza la circunferencia de centro O, obteniendo los puntos D y E; la r e c t a D ~corta a la mediatriz de en el punro O', centro de la circunferencia circunscrita al polígono de nueve lados que se quiere construir.

m

m;

m

a, a;


24, METODO GENERAL PARA CO-ISTRUIR UN POLlGONO REGULAR DE LADOS. COSOCIDO EL LADO. 1Fix. 30).

- N-

Sea por ejemplo, el polígono de 12 lados siendo A-B' su lado conocido. Se divide una circunferencia cualquiera en 12 partes iguales de la forma siguiente: Se trazan dos diámetros perpendiculares; e1 vertical E s e divide en 12 partes iguales; con centros en A y en C se trazan los a r c o s m y que se cortan en P. Se une P con la división 2, determinando el punto B en la circunferencia auxiliar. El segmento esel lado del polígono de 12 lados. Por semejanza se completa el problema, inscribiendo el lado A -B' en el ángulo El poligono pedido estará inscrito en la circunferencia de centro O y radio O-A' .

m,

m

25. OBTENCIOX DEL CEhTRO DE U N A CIRCbhFERENCIA.

- -

roma una cuerda cu~lqu~er;i m y se tralan las perpendiculdrts a ?IIa El1 y FG. Las rectas -Se-

tlF y EG son Jiimetroi y

Lonan en el centro hurclido. ( F l g . 311.

I

Fig. 30

Fig. 31

25. C O N S T R V C C I O S DE ESC.AL.AS C R . 4 F I C . S 'iDECIMAL D E TR.ASSI'ERS.ALES.

-

Recibe el nombre de escala la relación que existe entre el objeto dibujado y el objeto en la realidad. Se representa por un quebrado cuyo numerador es generalmente la unidad. Por ejemplo, la escala 1: 100. indica que el objeto real es 100 veces mayor que el objeto.dibujado. Clases de escalas. Las escalas pueden ser: De ampiiación, de reduccih y escala natural. Todas ellas están normalizadas y los valores adoptados universalmente para los dibu.jos industriales son: Escala natural: E. 1:1. Escalas de reducción: E. 1:2,5; 1:5; 1: O 1:20; : O 1:100. Escalas de ampliación: E. 2: 1; 5:l; 10:1. Esto no quiere decir que no se puedan emplear otras escalas, con arreglo al papel disponible, por ejemplo. 4/5, 3/4. 2/3, etc.


de la escala numérica. es decir. la regla para medir. La escala gráfica es la numérica 1/2. Este cociente vale 0,5, es decir, un decímetro real Ejemplo. E. 1/2. equivale a 0.5 decímetros en el papel, o sea a 5 centímetros. Según esto. se toman sobre una recta 5 cm.. equivalentes en esta escala a 1 dm. La contraescala se pone a la izquierda del cero u origen y se divide en diez partes; cada una valdrá 1 centímetro. (Fig. 32). Construcción de la escala decimal de transversaies. (Fig 33).

L

Fig. 33

E. 1:250. Se construye la escala gráfica y se toma sobre las perpendiculares trazadas a ella, una altura h de unos 50 mm. Se unen los puntos de división tal como indica la figura y se forman triángulos rectángulos, cuyas bases van aumentando en 1 décima de la unidad de la contraescala. En la figura se toma 1,64 Dm., es decir, 1.6 hasta la división 6 de la contraescala y 4 décimas sobre la horizontal que pasa por 4. También se representa 2,38 Dm = 23,8 m. = 238 dm.

Fig. 34

27. RECTIFIClCIOS DE U N A CURVA CU-ZLQCIERA. jFig. 34) Sobre la curva dada se toman cuerdas lo más pequeñas posible y se van llevando una a continuación de otra sobre una recta. De esta forma, al no tomar los arcos, el error es pequeño, por ser pequeñas las divisiones que se toman. La física enseña el manejo del curvimetro para medir la longitud de una curva.


-

7

Con centros en A y B se trazan los arcos OD y OC respectivamente. Con centro en B el arco y con centro en C el arco El segmento es la longitud .de un cuadrante de circunferencia de centro O y radio

s.

a,

m.

m

Fig.35 29. ZECTIFiC.3.CIO.-< DE t , A . Cil,C',.y;;E:<L>:C:.i,

Fig. 36

(e7, jhj,

El segmento m es la lon@tud de la circunferencia de centroO yradio O A= d/2. Se divide a en cinco partes iguales: BC = d/5;CD= 2d; BE = 2d/5; AC y EF son rectas paralelas.

La longitud de la semicircunferencia es igual a la suma de los lados del tri谩ngulo y del cuadrado inscritos en ella. Esto es lo que se hace en la figura al poner L,y L, uno a continuaci贸n del otro.

Fig. 3 7

Fig.38

(Dos soluciones). Los centros de las soluciones han de equidistar de la recta r y del puntoP; por ello. se traza la paralela a la recta r a la distancia R y la circunferencia de centro P y radio R; los puntos de intersecci贸n de ambas. 0, y O, son los centros de las soluciones. cuyos puntos de tangencia con r son T, y T,. 63


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O

(una soluciรณn),El centro O estarรก en la perpendicular a la recta r por T y en la mediatriz de: segmento TIp. ( ~ i39). ~ .

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-

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L~ tangente en un punto T a una circunferencia, es perpendicular al radio OT. (Fig. 40). \I/

Fig. 39

Fig. 40

31. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCI.4 DESDE LIS PUNTO EXTERIOR P. (Fif. 41). Se une el punto extenor P con el centro O y se traza la circunferencia de diรกmetro corta en T, y T2 a la dada. Las tangentes son las rectas PT, y PT2.

que

35. RECTAS TANGENTES COMUXES EXTERIORES .A 33s CIRCUKFERESCIAC. (Fig 121.

Las circunferencias dadas, de centros O y O, tienen de radios r y R respectivamente. Con centro en O, se traza la de radio E,y desde O se trazan las tangentes a ella, rectas m y O-T',;las rectas tangentes soluciones son paralelas a ellas; los puntos de tangencia T, , T', , T2 y T i se obtienen trazando por O y O, las perpendiculares a las tangentes auxiliares.

Fig. 41

Fig. 42


36. RECTAS T.iXGENTES C O M U N E S I N T E R I O R E S A D O S CIRCUNFEREXCIAS. (Fig.$31.

-

Este problema se resuelve como el anterior, pero trazando con centro en O la circunferencia auxiliar de radio R + r.

37. Cifif i'\FE:HEI'C1AS '!':i\(;!<' IES A !>OSIIECT.~Sr Y s Q C E S E C O R I I N CO.\O(~iIX) 2.R.-\DIC :? DE 1.i.S .S<,lLC~('!3YES. (F-ig. 41). Basta trazar rectas paralelas a las dadas a una distancia igual al radio R, las cuales se cortan en los Duntos 0, ,02,03 y 04, centros de las soluciones: En la figura se indican todos los puntos de tangencia con las rectรกs dadas

Fig. 43 Fig. 44

i

Fig. 45

ยกl

La circunferencia dato es la de centro O y radio r. Se traza la rectaparalela a la S,dada. a la distancia R y con centro en O. las circunferencias de radios R y R - R. Los centros de las soluciones son los puntos de intersecciรณn de la paralela y de las dos circunferencias auxiliares trazadas.


Este problema puede tener como máximo ocho soluciones, según la distancia de los centros de las circunferencias datos y el radio R. -Con centro en O se trazan dos circunferencias auxiliares de radios R + r y R - r; con centro en O' se construven otras dos circunferencias de radios R + r ' y R - r'. Estas cuatro circunferencias secortan como máximo en ocho puntos, centros de ias soluciones pedidas de radio R. En la figura están determinados todos los puntos de tangencia.

30. UNION DE DOS RECTAS P.AR.ALELAS POR iMEDIO DE DOS ARCOS DE . CIRCCNFEREXCIA. ( F I ~171. Las rectas dadas son s y v; los puntos de tangencia conocidos son R y T; en ellos se trazan las respectivas perpendiculares a las rectas. Si se quiere que los dos arcos tengan igual radio, se toma y si no han detener el mismo radio, otro punto cualquiera; el punto medio A del segmento en la figura se ha tomado A, que no es el medio de R-T. La mediatriz de T A nos da el centro M del arco CA uniendo ; M con A se tiene el otro centro N en la perpendicular por T a v.

m,

41. C N I O l DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCOS DE C1RCCXFERENCI.A CON CCRVATCRAS INVERTIDAS Y QUE PASEN POR U N PCKTO DADO DE UNA TERCERA RECTA QUE CORTA A LAS AXTERIORES. iFig. 17-01. Sean r, s y t las rectas y P el punto dado. Por el punto P trazamos la perpendicular a la recta s. Con centro en C y D, trazamos los arcos PA y PB, teniendo los puntos A y B de tangencia. Las perpendiculares por A y B a las rectas r y t, nos dan los centros O, y O, de las soluciones en la perpendiculp trazada en primer lugar.

--

Fig. 47

W Tv

Fiz. 47a


42. SECCIOSES CO&IC:\S.

La linea sección producida por un plano en una superficie cónica de revolución, depende de la posición de este plano. Las cuatro curvas obtenidas son las llamadas "curvas cónicas". ( F L ~480 S . y 48b). Si el plano es perpendicular al eje del cono, la linea es una circunferencia. Cuando el plano es oblicuo al eje, pero corta a todas las generatrices, la linea es una elipse. Si el plano es paralelo a dos ueeneratnces. la linea sección es una hipérbola, considerando las dos ramas de la superficie. Por fin, si el plano es paralelo a una generatriz, se obtiene unaparábola.

Circunferencia

Elipse

Fig.48a I

Parábola

Hipérbola

Fig. 48b


La elipse es una curva cerrada y plana cuyos puntos constituyen un lugar geométrico que tienc la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros dos, fijos, F y F', llamados focos, es constante e igual a 20, siendo 2a la longitud del eje mayor de la elipse. Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O; centro de la curva. El eje mayor se llama eje real y se representa por 2a. El eje menor se llama eje imaginario y se representa por 2b. Los focos están en el eje real. La distancia focal F-F' se representa por 2c. Entre a, b y c existe la relación: a 2 = b2 + c2. La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto. respecto del centro. Las rectas que unen un punto con los focos se llaman radios vectores r y r : y hemos indicado que para todos los puntos se verifica: r + r' = 2a. La circunferencia principal es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el LN 0 1 lugar geométrico de %ospies de las perpendicula,C' O res trazadas por los' focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro uno de los focos y radio 2a. La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco. Si tenemos un Ciámetro de Ia eIipse, el diámetro conjugado con éles el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero. Los ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circnnferencia todas las parejas de diámetros conjugados Fig. 49 son perpendiculares. 44. CONSTRCCCION DE LA ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES. i F i ~í O )

Los datos pueden ser a y b, a y c o bien b y c. Sabiendo la relación que existe entre a, b y c, dados dos de ellos se puede hallar el tercero. Supongamos, pues, que conocemos a y b. Se toma como punto L cualquiera en el eje mayor, y con radio ALse hace centro en F, con radio B¿ se hace centro en F' y los dos arcos trazados se cortan en el punto M de la elipse.\De esta forma la suma de las distancias deM a F y a F' es igual a = = 242. Repitiendo esta operación y tomando otros puntos en el eje mayor entre F y F' se van determinando los puntos de la curva.

Fig. 50


1;. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES Y l F ~ g51)

m.

-

Se construye el paralelogramo de lados OA y OC y se dividen sus lados en un mismo número de partes iguales. Uniendo C y D con los puntos de división se obtienen rayos de haces proyectivos que se cortan en puntos de la elipse.

46. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS DIAMETROS CONJUGADOS XB' Y C'D'. (Flg. 57).

*

La constnicción es la misma que a partir de los ejes, puesto que el rectángulo es ahora un romboide de lados paralelos a los diámetros conjugados.

Fig.52


-

-

La elipse de ejes AB y CD es afin de la circunferencia principal, de diámetro D, con una dirección de afinidad perpendicular al eje real y eje de afinidad AB, y también es afín de la circunferencia de diámetro m,con una dirección de afinidad perpendicular a CD y eje CD. Haciendo uso de estas dos afinidades, podemos construir la elipse por puntos. Se traza un radio cualquiera OR" y por los puntos R.y R" se trazan paralelas a los ejes, las cuales se cortan en el punto R de la elipse.

l

Fig.53

Fig.54

La tangente a la eIipse en un punto es la bisectriz exterior del ángulo de los radios vectores del punto. La normal es perpendicular a la tangente y, por lo tanto, bisectriz del ángulo adyacente al anterior. Puede utilizarse también la afinidad, tal como se ve en la Fig. 53, en que la tangente a la circunferencia en R" y la tangente a la elipse en R son afines y se cortan en el punto L del eje de afinidad AB. <\l. Tr.A.Z,!,:Po 1)L L.3.i; 7,!.5CL\?'ES r-7 ." i,r:c?z 7 , - .,<-i'g L t CLI: Si >i , c E.'~JERIORP. (Ti;:.

.'.

Fig. 55

7

A,-.

.-, \

L

Sabiendo que la circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes, tenemos que buscar un punto en ella que, unido con F', resulte ser una cuerda de la circunferencia de centro P y radio?P Según esto, se trazan la circunferencia focal de centro F y la de centro P y radio hasta el otro foco (no centro de la focal), que se cortan en los puntos F; y Fi ; unidos estos puntos con F' y trazamos las mediatrices que pasarán por P y serán las tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia se obtienen al unir f l y ficon el foco F,que es centro de la focal.


3.TX.IZADO CE L.A EL:PSE .i??OXI)!.-IDA

POR 2iE!3:0 DE C i i T X 3 C i X 2 0 5 'L PAXTIX DE LCS EJES .U3 1 CD. /F;$ 56). - Situados los ejes AB. y CD, con centro en C y D setrazan - circunferencias de radio las H a las -rectas CA,.CB, DB y DÁ respectivamente. Las cuales cortan en los puntos E& &y mediatrices de los segmentos AE, FB, BG y HA nos dan en h s ejes los centros 1, 2, 3 y 4 de los arcos que forman el óvalo. En la Fig. 57 se indica otro método que se utiliza para cuando el eje menor sea al menos igual a los dos tercios de la longitud del eje mayor. Se hace lo siguiecte:

a,

51. T X - \ Z M X DE L h ELIPSE .AP?.OXIMADA

POR ?.IEDiO CE DCXC CZ3TRQS. A

I I R T i X DE LOS EJES , ? E L E S . 1Fi.c. 59).

-

Sean AB y CD los ejes dados. Si se desea una mayor aproximación, se puede construir la elipse de ocho centros, cuya mitad superior se llama en albañilería "arco de cinco centros". Se construye el rectángulo AECO; se traza la diagonal A C l l a perpendicular por E a AC, la y con como cual corta a la prolongación del eje menor en 1. Se lleva OL, igual a diámetro, se traza la circunferencia que corta en G a la prolongación delAe menor. Se toma OH igual a Con centro en 1 y r a d h m , se traza el arco HI; Se toma kT = OG con ; K como centro y radio se corta al arco HI en 1. Los puntos K, 1y 1 son los centros para un cuarto de elipse. Este procedimiento se basa en el principio de que el radio de curvatura en el extremo del eje menor es la tercera proporcional de los semiejes mayor y menor.

m.

m;

Cualquier curva que no sea circular puede trazarse por medio de arcos de circunferencia tangentes, de la forma siguiente: Se toma un centro cualquiera a tanteo, punto 1; se traza la porción de arco que coincida con la curva; a continuación. cambiando el centro y el radio. se traza la siguiente porción de arco, recordando que siempre. si los arcos son tangentes. sus centros deben hallarse sobre la normal común en el punto de rangencia.


La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas: y se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia'de distancias a otros dos puntos fijos es constante e igual a 20, siendo 2a la longitud del eje mayor. Tiene dos ejes que se cortan en el punto medio y son ortogonales. Al igual que en la elipse se representan por 2a y 26, y la distancia focal por 2c. Es simétrica respecto de los ejes y del centro de la curva. Los conceptos de radios vectores, circunferencia principal y circunferencias focales son los mismos que para la elipse. La hipérbola también se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal del otro foco.

Los datos pueden ser: a y b, b y c, o bien c y a. Conocida la relación que existe entre los elementos de la hipérbola-a, b y c, que es aZ + b2 = c2, se puede obtener uno de ellos a partir de los otros dos, según los datos que indica el problema. - Se toma un punto N en -el eje real y con radios AN y BN, y centros en F y F' se obtiene el punto M. De esta forma MF-MFr = 2a = D. El resto de los puntos se obtiene de la misma forma

l Fig. 60

Fig. 61

La hipérbola equilátera tiene las asintotas perpendiculares. - - Sean OM y ON las asíntotas de la hipérbola y P un punto cualquiera de ella. Se trazan PA y PB. Tomamos puntos arbitrarios 1,2,3, sobre y por ellos se traza un haz de rectas paralelas a ON y un segundo haz cuyos rayos partan a O. Desde las intersecciones de este segundo haz con la prolongación de se trazan las perpendiculares a ON. Las intersecciones de estas perpendiculares con el primer haz son puntos de la hipérbola.

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m,


La parábola es una curva plana, abierta, de una rama; se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz. Tiene un vértice y un eje de simetria. La tangente en el vértice es perpendicular al eje y paralela a la directriz. El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco. Su distancia a cada uno de ellos esp/2, es decir, la mitad del semiparámetro. Se llama parámetro en la parábola, al igual que en la elipse y en la hipérbola, a la longitud de .la cuerda que es perpenaicular al eje real en el foco. La directriz de la curva es la circunferencia focal, en este caso, de radio infinito. Según esto, el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente a la curva, es la directriz. La tangente en el vértice hace de circunferencia principal y se define como en las otras cónicas. El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta corta al eje de la curva.

Fig. 62

Fig. 63

Sean F el foco y D la directriz. Trazamos por F la perpendicular a la directriz. Esta es el vértice V de la arábola. Por un perpendicular es el eje de la curva. El punto medio de como radio y punto cualquiera 1 del eje, se traza la paralela a la directriz; con el segmento i% con centro en el foco F, trazamos el arco que corta adicha paralela en los puntos 1' y l', que son de la curva. Estos puntos equidistan del foco y de la directriz.

m

Se dividen en partes iguales los lados del paralelogramo dibujado en la figura. Se une el vértice V con los puntos l', 2', ... y por los puntos 1,2.... se trazan paralelas al eje. La intersección de estos dos haces de rectas dan puntos de la curva.


Se conocen el eje, el vértice y un punto 5' de la curva. Los alejamientos varían en razón en cinco partes directa del cuadrado de las distancias de cadapunto al vértice. Si dividimos será igual a un veinticincoavo de 5-5'; 2-2' será igual a cuatro veinticincoavos de 5-5' iguales, y así sucesivamente. Este procedimiento se utiliza mucho en ingeniería civil.

Este 'procedimiento se emdea mucho en dibujo de máquinas para conseguir curvas de aspecto agradable. Se dividen OA y OB en el mismo número de partes iguales, ocho en la figura, y se numeran en sentido inverso; unimos los puntos numerados con el mismo número y la curva envolvente de todas las rectas es una porción de parábola.

1

Fig. 64

Fig. 65

CURVAS CICLICAS. ~

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La cicloide es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta. La recta se llama base, y la circunferencia recibe el nombre de ruleta. Supongamos la recta y la circunferencia de la figura, tangentes en el punto 12, que va a ser el punto generador en su posición incial. Para el trazado de la cicloide normal basta dividir la circunferencia en un número de partes iguales y rectificar estas partes sobre la recta (para ello se rectifica la circunferencia completa y se divide en e1 mismo número de paríes).Para el punto 1 de la curva, se traza la

Fig. 66 74


paralela a la base por el punto 1 de la circunferencia ruleta y se traza la posición de ésta con centro en O, ; el punto de intersección de estos dos líneas es el punto 1 de la cicloide; para el punto 2, circunferencia de centro 02y paralela por la división 2. Uniendo los puntos obtenidos, tenemos una arcada de cicloide normal. Si los puntos generadores fueran el 12' o el 12", obtendríamos la cicloide alargada y la cicloide acortada respectivamente. Para su construcción por puntos se opera del modo Para el punto4, por ejemplo, se une el punto 4 de la normal con O, y se lleva 4-4'=

.- .

A-A" = 17-17" 7 . A-

Las normales en los puntos 7, 7' y 7" pasan por el centro instantáneo de rotación, punto 7 de la base, que es el de tangencia con la base de la posición correspondiente de la circunferencia. Las tangentes respectivas son perpendiculares a las normales. 62. E?!CICLOIDL NORYíAL. AL.ARG.4D.A k ACDRT.4D.A. /Fi? 6 7 ) .

m.

La recta base del caso cicloide es ahora la circunferencia de centro O y radio La construcción es igual a la de la cicloide. En la figura se trazan las tangentes y las normales en un punto de cada una de las curvas.

.,... La hipocicloide normal está engendrada por el punto P de la circunferencia ruleta de centro 0, que rueda interiormente sin resbalar sobre la circunferencia base de centro O'. Se divide la ruleta en partes iguales y se llevan sobre la base, según los puntos l', 2',etc.: se unen éstos con O' y con centros en O , , O,, 0,: etc., se trazan las posiciones respectivas de la base que cortan en P,, P,, etcétera: a los arcos concéntricos con la base que pasan por las divisiones 1, 2: etc. La acortada y la alargada están engendradas por los puntos Q y R respectivamente: y los puntos se obtienen como en la cicloide. Las normales en P,, Q, y R, son las rectas que les unen con el punto 5'. centro instantáneo de rotación y las tangentes son las perpendiculares respectivas.

Fig. 68


La evolvente es una curva espiral descrita por un punto de una cuerda tirante que se desenrolla de un poligono o de una circunferencia. El punto generador es el punto P. La ruleta es la recta que girando en el sentido de las agujas del reloj, va ocupando la posiciOn sucesiva de 10s lados del hexágono. Para trazar la e v o l v e n t e ~ h a c ecentro en 1 y con radio se traza el arco fl;luego, con centro en 2, se traza el arco 1'-2' y así sucesivamente.

m

Fig. 69

Fig. 70

Es una espiral que se define como el lugar geométrico de las posiciones que va ocupando un punto de una recta que, siendo tangente a una circunferencia, rueda sin resbalar sobre ella. El punto generador es el P; la ruleta es la recta tangente en P y la circunferencia es la base. Para su trazado, se divide la circunferencia en un número cualquiera de partes iguales y se trazan las tangentes en los puntos de división. Haciendo centro en los puntos de intersección de cada dos tangentes consecutivas y con radio hasta el punto anterior obtenido, trazamos un arco de Ia curva evolvente. El segmentoP-16es la longitud de la circunferencia base de la evoivente.

La circunferencia base es la de centro O, y la ruleta, la de centro O'. Los puntos generadores son P, , Q, y R, de la normal, alargada y acortada respectivamente. Para obtener un punto de la normal, por ejemplo, el P,, se traza la posición de la ruleta con centro O, y radio hasta 4 y otra circunferencia de centro O que pasa por 4', punto correspondiente de las divisiones de Ia ruleta en su posición inicial. Para los puntos de la acortada y la alargada, se ileva, por ejemplo, para el punto P,, sobre la recta O, P,, la distancia P, R, para la acortada y obtenemos R, y P, Q, para la alargada y obtenemos Q,. La normal en P,es la recta 4-P,; en R,, es la recta 4-R,, y en Q,, la recta 4-4,. Las tangentes en estos puntos son perpendiculares a las respectivas normales.


Fig. 71

Es un tipo de voluta que estudia la analítica plana y que por su senciliez de trazado, la exponemos a continuación. Se toma el segmento llamado paso de la espiral, y se divide en un número de partes iguales. Se traza la circunferencia de radio OB y se divide a partir de B en el mismo número de partes iguales. Haciendo centro en O y con radio Ó1 trazamos un arco hasta que corte al radio - que - pasa - por 1. Igualmente, con radio 0 2 , 03; 0 4.... hasta 12 4 que corten a los radios que pasan por 2, 3, 4..... respectivamente. De esta forma se van 'obteniendo puntos de la espiral que se unen con una plantilla de curvas. Esta curva tiene en coordenadas polares una ecuación muy sencilla y se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al polo (módulo) es proporFig. 72 cional a su ángulo polar (argumento).

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La hélice cilíndrica es una cun.a alabeada cuya aplicación en mecánica y construcción es muy importante. Es una curva situada sobre la superficie de un cilindro de revolución cuya transformada es una recta (Fig. i 5 ) . Dicha transformada es. la diagonal del rectingulo que es el desarrollo del cilindro sobre el que está trazada. Según esto, la hélice es el camino más corto entre dos puntos de la superficie ciiindrica \ sus tangentes forman el mismo ángulo con las generatrices del cilindro: este ángnlotr es el que forma la diagonal con la base del rectingulo. La hélice está engendrada por un punto O que se mueve en la superficie del cilindro de forma que rxiite propi,rcionnlid;ici entre los giros y los desp1;izamientos lineales (ordenadas) del punto generador. Es. pues. 12 trayectoria del rno\.imiento helicoidal, c«mp«nente di. un


rno\:imient« circular y de otro rectilineo. ambos unif«rmrs. Poso de 10 hL;/ice es la 1oii;~itiid coiiiprendida entre dos pasos sucesivos de la h6lice por una niisnia generatriz del cilindro. Se llama c2.\i1ii.ii a la parte de la hélice comprendida en un paso. es decir. correspondiente a una vuelta completa de la curva.

Fig. 73 Figs. 73 y 74. Llamemos P al paso de la hélice. El eje e'-e" del cilindro es perpendicular al plano horizontal, y el punto generador de la curva es el punto 0 ' - O , situado en el plano horizontal. Según el sentido de giro del punto O alrededor del eje e'-e", la hélice será izquierda o sinistrorsurn, cuando el observador si~uadoen el eje y mirando al punto O? le vea ascender de izquierda a derecha, y la hélice será derecha o dextrorsum si el giro es al contrario. La proyección horizontal de la curva es la circunferencia base del cilindro. Para obtener la proyección vertical, que es una sinusoide, basta recordar la ley de generación de la curva. Al girar un arco, por ejemplo, de 360°/8, el punto asciende la octava parte del paso; según esto, se divide la base y el paso en el mismo número de partes iguales y se refieren a la proyección vertical por medio de paralelas al eje hasta que corten a las correspondientes paralelas a la base que pasan por los puntos de división del paso. Según esto, el plano osculador de cada punto, formado por la tangente t, y la normal n2, forma el mismo ángulo con el eje. El radio de cunatura p es también constante para todos los puntos de la curva y es el correspondiente al vértice del eje menor de la sección elíptica producida en el cilindro por el plano osculador. El lugar geométrico de los centros de curvatura es otra hélice, evoluta de la anterior, situada sobre el cilindro de radio siendo r el radio del cilindro de la hélice. El plano tangente principal del punto 2 está formado por la tangente t,y la binormal b, y es proyectante horizontal. La normal n,es horizontal por ser perpendicular al plano anterior, lo cual ocurre con todas las normales. La proyección horizontal de t, es tangente a la base en 2, ; la traza horizontal de esta


tangente es N ~ e conjunto l o lugar geométrico de todas las trazas de las tangentes a la hélice es la evolvente ON de la circunferencia-base. Según esto, para trazar la tangente en un punto 2 de la curva, se traza la evolvente de la base y se determina la tangente en 2,, uniendo luego el punto N con el 2. la Fi 74, la tangente en el punto 4', -4", de la hélice se obtiene uniendo T con 4"i, siendo O -T - m , es decir, la rectificación de la semicircunferencia, pues en este caso el punto generador ha recorrido 180". En la figura se indica la constmcción del radio de curvatura p .

4--

FIS 74

Fig. 75

1. Dado un segmento rectilíneo, hallar otro que sea un número cualquiera de veces mayor. 2. Dado un ángulo de 22" 30' construir otro igual que tenga por vértice un punto dado. 3. Dividir un ángulo en dos, cuatro, ocho, etc, partes iguales. 4. Construir un triángulo isósceles dadas la base y la altura. 5. Construir un triángulo conociendo la base, un ángulo adyacente y la altura. 6. Construir un cuadrado dada la diagonal. 7. Construir un rectángulo dada la diagonal y un lado. 8. Construir un rombo dado un lado y uno de sus ángulos. 9. Construir un trapecio conociendo las dos bases y los lados d-uales oblicuos. A 10. Construir un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo AC = 6 cms.; A = 60°, % A = 75" y BA : BC = 2. 11. Dividir gráficamente un trapecio en partes proporcionales a tres segmentos dados por medio de dos rectas paralelas a las bases. 12. Trazar una circunferencia que pase por dos puntos dados y corte ortogonalmente a otra circunferencia dada. 13. Dados los radios, describir las circunferencias que pasen por dos puntos también dados. 14. Construir un polígono regular de cualquier número de lados, conocida su apotema. 15. Construir un pentágono regular cuyas diagonales midan 8 cms. 16. Construir un hexágono regular cuyos diagonales midan 9 cms.


17. Construir un decágono regular cuya apotema mida 3 cms. 18. Construir las escalas decimales sizuientes: 1: 100: 1:200: 1 :300; 1 :400; 1: 1.500. 19. En una circunferencia de 10 cms. de diámetro inscribir un triángulo equilátero y un cuadrado y rectificar la semicircunferencia. 20. Rectificar una circunferencia de 5 cms. de diámetro. 21. Dadas dos rectas que forman un ángulo de 37" 30' y una circunferencia de 15 mm. de radio y cuyo centro dista 140 mm. del vértice y 20 mm. de la bisectrir. hallar las circunferencias tangentes comunes a las dos rectas y a la circunferencia dada. 22. Dado un triángulo de lados 50: 70 y 50 mm., se trazan en dos vértices cualesquiera circunferencias de 25 y 15 mm. de radio. Trazar dos circunferencias que sean tangentes a las dadas y pasen por el tercer vértiee. 23. Dadas una recta y una circunferencia de 4 cm. de diámetro y cuyo centro se encuentra a 45 mm. de la recta. trazar dos circunferencias tangentes comunes a ambas y que pasen por un nunto oue se encuentra a 18 mm. de la recta y a 3 0 mm. del centro de la circunferencia r i 24. Construir la evolvente o voluta de un cuadrado, hexágono. etc. 25. Dibujar a escala 2:l la Fig. 76 empleando alguno de los métodos conocidos. 26. Dibujar a escala 2: 1 la Fig. 77. 27. Dibujar a escala 1:2 la Fig 78. 28. ~ i b u j a ra escala 1: 1 la Fig. 79

Codeno

Fig. 76

Fig. 77

Fig. 78

Fig. 79


tomando las medidas del propio dibujo, considerado como 29. -~ Dibuiar a escaia 2:l la Fig. 80, escala natural. 30. Dibujar a escala 2: 1 la Fig. 81. 3 1. Dibujar a escaia 1:1 la Fig. 82. 32. Dibujar a escaia 2: 1 la Fig. 83. 33. Dibujar a escaia 2:1 la Fig. 84. 34. Dibujar a escaia 1: 1 la Fig. 85. 35. Dibujar a escala 1: 1 la Fig. 86.

7

Fig. 81

Fig. 80

Fig. 82

Fig. 84

Fig. 83

Fig. 85


36. Construir una cónica conociendo un foco y tres puntos. 37. Determinar una elipse conociendo el centro, 2a y dos tan,-entes. 38. Trazar siete circunferencias iguales y tangentes entre si y que sean tangentes interiores a los lados de un heptágono regular inscrito en una circunferencia de 80 mm. de diámetro. 39. Dados dos diámetros conjugados de una elipse AB y CD de 60 y 100 mm. respectivamente, y La figura afin de esta elipse tomando que formen entre si un ángulo de 60°. Determinar: como eje de afinidad el diámetro conjugado menor. 2." Los ejes de la elipse. 3.' Trazar las tangentes desde un punto P que dista 35 y 50 mm. de los elementos B y C de los diámetros conjugados. 4: Puntos de intersección con una recta que pasa por el centro de la elipse y forma un ángulo de 75" con el eje de afinidad. 40. Se da un triángulo cuyos lados miden 32, 34 y 18 mm.; los vértices de éste son los pies de las alturas de otro tnángulo, los vértices del cuál son los pies de las medianas de un tercer tnángulo, se pide construir este último. 41. Construir la hipocicloide de razón 1/2, siendo el diámetro de la base de 100 mm. Asimismo, obtener la hipocicloide acortada y alargada cuyos - puntos generadores distan del punto de tangencia d e j a base y de la ruletá 15 y 1 0 mm. respectivamente, centro de curvatura en un punto cualquiera y en aquellos puntos que estén en línea recta con los centros de la base y ruleta. 42. Construir por puntos una elipse cuyos ejes miden 115 y 70 mm. 43. Construir por haces proyectivos una elipse cuyos ejes miden 110 y 80 mm. 44. Construir una elipse conociendo 2a = 100 mm. y 2c = 60 mm. Trazar la tangente en un punto de ella. 45. Construir una parábola cuya tangente en el vértice sea el lado mayor de un rectángulo de lados 100 y 60 mm. siendo los otros dos puntos no pertenecientes a este lado: dos puntos de la parábola.


SISTEMA DIEDRICO

El sistema diédrico es un sistema de proyecciones cilíndricas ortogonales. Está constituido por dos planos perpendiculares y sobre cada uno de estos planos se hallan las proyecciones ortogonales del cuerpo o figura a representar fig. 1).

Fig. 1 Uno de los planos es horizontal y lo representaremos por plano H, o bien P.H. El otro plano es vertical, por ser paralelo a la dirección de la plomada; se representa por plano V. o bien P.V. La intersección de estos dos planos es una recta llamada línea de tierra y designada por L.T.; se representa por dos tracitos dibujados por debajo de ella y en sus extremos. Los planos se consideran ilimitados y opacos. La proyección de un punto. de una figura o de un cuerpo sobre el plano H se llama proyección horizontal o planta.


La proyección sobre el plano V se llama proyección vertical o alzado. Los planos horizontal y vertical dividen al espacio en cuatro diedros. Cada uno de los planos queda dividido en dos semiplanos. separados por la L.T. La parte del plano H situada por delante del plano V, es decir, en el primer diedro, es el piano horizontal anterior; el otro semiplano es el horizontal posterior. De la misma forma. el plano V queda dividido en dos semiplanos, vertical superior y vertical inferior. Los diedros se llaman: primero, segundo, tercero y cuarto diedro, cuyo orden y posición es la que indica la vista de perfil de l a j g . 2. Los planos bisectores de estos diedros dividen al espacio en.ocho partes, llamados octantes. El plano bisector del primero y tercer diedro se llama primer bisector, y el plano bisector del segundo y cuarto diedro se llama segundo bisector. Estos son los elementos del sistema diédrico, Supongamos ahora un punto A del espacio en el primer diedro @g. 1). Se proyecta ortogonalmente sobre el plano H en A' y sobre el plano V en A". Estos dos puntos son las proyecciones del punto A @g. 3).

Fig. 2

Fig. 3

Si se conocen los puntos A' y A" para hallar el punto A del espacio, del cual son proyecciones, basta trazar por A' la perpendicular al plano H y por A" la perpendicular al plano V; estas perpendiculares se cortan en el punto A del espacio. Quiere decir esto que un punto tiene sólo dos proyecciones y que éstas sólo pueden serlo de un punto del espacio. Esta reversibilidad es la propiedad principal de todo sistema de representación. Un sistema, para estar definido completamente, ha de ser reversible, es decir, que a partir de las proyecciones se pueda saber la posición del cuerpo proyectado. Para poder representar el conjunto del espacio de l a j g . 1 sobre el papel de dibujo, se abate el plano V alrededor de la L.T. hasta hacerle coincidir con el plano H. El sentido de giro o abatimiento es el sentido trigonométrico, es decir, contrario al movimiento de las agujas del reloj. De esta forma, el semiplano vertical superior viene a coincidir con el horizontal posterior y el vertical inferior con el horizontal anterior. El plano del dibujo es el plano H, quedando dividido en dos partes por la L.T. La disposición definitiva del dibujo es la que indica lafig. 3. Las proyecciones A' y A" del punto A están, después del abatimiento del plano V, sobre la misma perpendicular a L.T. Esta es la propiedad fundamental de las proyecciones de un punto. Según esto, dos puntos no situados en una misma perpendicular a L.T. no pueden ser las proyecciones de un punto del espacio.

Para hallar las proyecciones en el sistema diédrico, el observador se coloca en el infinito por encima del plano H y por delante del plano V, o sea, en el primer diedro. La proyección vertical se obtiene colocándose en el primer diedro y mirando al plano V desde el infinito. La proyección horizontal se obtiene colocándose en el primer diedro mirando al plano H desde el infinito. Sabiendo que los planos de proyección son opacos, solamente se considera vista la parte de los cuerpos situada en el primer diedro. Los tres diedros restantes son ocultos.


A veces es necesario utilizar una tercera proyección del cuerpo a representar. Esta proyección se hace sobre un plano de perfd, el cual es perpendicular a los dos de proyección y, por lo tanto, a ia L.T. (Fig. 4). La tercera proyección del punto A sobre el plano a de perfil es Al.Este plano se abate sobre el V y éste, a su vez, sobre el H, quedando la disposición del dibujo como indica la&. S. El plano de perfil es la recta a,-al,según se vera al representar el plano. Considerando este tercer plano, de perfil, un punto se puede dar por tres cotas o distancias a los tres planos. Por ejemplo, el punto A se puede representar por A (25, 24, 40); 25 unidades es lo que dista del plano de perfil, 24 unidades es la distancia al plano H y 40 unidades es lo que dista del plano V. Hemos visto que un punto queda completamente representado cuando se conocen sus dos se llama línea de referencia de este punto a la recta que proyecciones. Sea el punto A (Ar-A"); une sus dos proyecciones y que sabemos es perpendicular a L.T. Se dibuja fina y continua. A

Ordenada o cota de un punto es la distancia de ese punto al plano H; es también la distancia entre la proyección vertical del punto y la L.T. La cota es positiva si el punto está por encima del plano H, es decir, en el primero y en el segundo diedros. Si el punto está en el plano H, la cota es cero; los puntos del tercero y cuarto diedros tienen cota negativa. Alejamiento de un punto es la distancia de ese punto al plano V o también la distancia que existe entre la proyección horizontal del punto y la L.T. Los puntos del primero y cuarto diedros tienen alejamiento positivo, y los puntos del segundo y tercero, alejamiento negativo. Con el titulo de alfabeto del punto, queremos indicar las diversas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio con relación a los planos de proyección. El punto puede ocupar diecisiete posiciones Ifig. 6). 3. ?Lri*:TOSS1TU:lDOS ES L 3 S PLANOS DE PIIGYECCION.

Puntos A, E, 1y M @g. 7).

Fig. 6

Fig. 7


Punto A.- Estรก situado en el plano H anterior; la proyecciรณn vertical estรก en la L.T. y la horizontal coincide con el punto A, estando por debajo de la L.T.; la cota es nula y el alejamiento positivo. Punto E. - En el vertical superior; la proyecciรณn vertical coincide con el punto y la horizontal estรก en L.T.; cota positiva y alejamiento nulo. Punto L - En el horizontal posterior; la proyecciรณn vertical en L.T. y la horizontal por encima de L.T.; cota nula y alejamiento negativo. Punto M. - En el vertical inferior; la proyecciรณn horizontal en L.T. y la vertical por debajo de L.T.; cota negativa y alejamiento nulo. .

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Puntos C?G. K y P Ifig. 8). Punto C. - Situado en el primer bisector, primer diedro; la proyecciรณn vertieal por encima de L.T. y la horizontal por debajo; tiene igual cota que alejamiento. Todos los puntos del primer bisector tienen sus proyecciones equidistantes de L.T. y a distinto lado de ella. Punto G.- Situado en el segundo bisector, segundo diedro; tiene las proyecciones confundidas y por encima de L.T. La cota y el alejamiento de los puntos del segundo bisector son iguales, pero de signo contrario. Punto K. - Igual que el punto C, pero las proyecciones invertidas, la horizontal por encima de L.T. y la vertical por debajo; la cota y el alejamiento son negativos. Punto P.- Isual que el punto G, pero las proyecciones por debajo de L.T. Los puntos del segundo bisector siempre tienen las proyecciones coincidentes.

Puntos B, D, F, H, J, N, O, Q y R Ifig 9) Punto B. - En el primer octante; tiene mรกs alejamiento que cota. Punto D. - En el segundo octante; tiene mรกs cota que alejamiento. Punto F. - En el tercer octante; tiene mรกs cota que alejamiento. Punto H. - En el cuarto octante; tiene mรกs alejamiento que cota. Punto J. - En el quinto octante. Punto N. - En el sexto octante. Punto O. - En el sรฉptimo octante. Punto Q. - En el octavo octante. Punto R. - En la L.T.; tiene las dos proyecciones en L.T.

Fig.8


6. LA RECTA. REPRESENT.%CIO\; Y POSICIOXES. La proyección de una recta sobre un plano es otra recta formada por las proyecciones de todos los puntos de aquélla. Si la recta es perpendicular al plano, la proyección es un punto. Una recta del espacio queda completamente definida cuando se conocen sus proyecciones sobre los dos planos de proyección. En el caso de que la recta sea de perfil, será necesaria una tercera proyección. Sea la recta r (fig. 10). Sus proyecciones sobre los planos son: r'sobre el plano H y r" sobre el plano V. El plano que proyecta la recta r sobre el plano H se llama *plano proyectante horizontal de la recta. y está formado por el triángulo V"-V'-H'. El plano que proyecta la recta r sobre el plano V se llama nplano proyectante vertical de la rectan y está formado por el triángulo V"-H"-H'. Como se ve, la recta intersección de estos dos planos es la recta r del espacio. Una recta puede definirse por sus trazas. Se llaman trazas de una recta a los puntos donde corta a los planos de proyección. La recta r encuentra al plano H en el punto H (H'-H"), llamado traza horizontal de la recta; como se ve, H" está en L.T. El punto V(V1-V"), donde la recta corta al plano vertical, es la traza vertical. Los puntos V' y H" están siempre en L.T. Abatiendo el plano vertical, la disposición del dibujo queda como indica la&, 11.

Fig. 12 La parte de la recta comprendida entre las trazas es vista por estar en el primer diedro;' desde la traza horizontal hacia la izquierda es oculta: por estar en el cuarto diedro, ya que tiene las dos proyecciones por debajo de L.T.; desde la traza vertical hacia la derecha, es también oculta por estar en el segundo diedro, pues tiene las dos proyecciones por encima de L.T. Si colocásemos en la recta varios puntos, ellos nos dirían, por su posición. los diedros por los que pasa la recta. Dos rectas se cortan en el espacio si las proyecciones del mismo nombre se cortan en puntos que están en una misma perpendicular a L.T. fig. 12); así, las rectas r (rf-r") y s (S/-S")se cortan en el punto P del espacio de proyecciones P'-P". Las rectas n (n'-n") y m (m'-m,,) fig. 13) se cruzan en el espacio, pues las proyecciones horizontales n' y m' se cortan en B', y las verticales n" y m" se cortan en A" y éstos no son las proyecciones de un punto del espacio. Un punto pertenece a una recta cuando las proyecciones del punto están sobre las proyecciones del mismo nombre de la recta: en lafig. 12, el punto P pertenece a la recta r por estar P' en r' y P" en r"; por la misma razón pertenece a la recta s. En lafig. 13, el punto A (A-N ) pertenece a la recta m. pero no a la n. y el punto B (Bf-B") está en la recta n. pero no pertenece a la recta m.


Veamos ahora las diversas posiciones que puede ocupar una recta respecto a los planos de proyecci贸n. Esto es lo que constituye el llamado alfabeto de la recta. En l a j g . 14 se representa en el espacio una recta perpendicular al horizontal, llamada .recta de punta,,; en la j g . 15 se representa esta recta ya en proyecciones; la recta es r (r'-r"); la proyecci贸n horizontal es el punto r'; la traza horizontal es H'-H"; no tiene traza vertical; el punto N (N'-N") es del primer bisector.

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Fig. 14

Fig. 15

En l a j g . 16 se representa en el espacio una-recta perpendicular al plano V y en lafig. 17, esta recta ya en proyecciones; la recta es r (1'4') y su proyecci贸n vertical r" es un punto; la traza vertical es VI-V"; no tiene traza horizontal.

Fig. 16

Fig. 1 7

En la j g . 18 se indica una recta r paralela a L.T.; hay tantas posiciones diferentes como posiciones se han visto en el alfabeto del punto. Una recta paralela a L.T. tienen sus proyecciones paralelas a L.T. En lafig. 19 se representa en proyecciones; el punto A'-& pertenece a la recta.

Fig. 18

Fig. 19


En lafig. 20 se representa una recta paralela al plano horizontaI por encima de él; es, pues, una recta horizontal; la traza vertical es V'-V"; en la& 21 se representa la recta anterior r (r'-r") ya en proyecciones; la proyección r" es paralela a L.T., por lo que no tiene traza horizontal: los puntos M'-M" y N'-N" son los de intersección de la recta con el primero y segundo bisector, respectivamente. Esta recta pasa por el primero y segundo diedros.

L a j g . 22 representa una recta paralela al plano verticaI por delante de él; este tipo de rectas se llaman ['frontales de plano». En l a j g . 23 se tienen las proyecciones de la recta anterior; la traza horizontal es H'-H ; no tiene traza vertical y por ello r' es paralela a L.T.; esta recta pasa por el primero y cuarto diedros.

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Fig. 22

Fig. 23

7. FIG. 24. RECTAS DE PERFIL.

Son las rectas que estan situadas en planos de perfd; tienen las dos proyecciones según una misma perpendicular a L.T. Hay que distinguir: rectas perpendiculares a los bisectores y rectas no perpendiculares a los bisectores.

Fig. 24

Fig. 25 89


La jig. 24 representa las seis posiciones de rectas de perfil perpendiculares a los bisectores. El lector debe hacer la figura del espacio de cada una de estas rectas para su mejor interpretación. Recta s ( ~ ' 4 ' ) :Perpendicular al primer bisector por encima del segundo; las trazas equidistan de L.T. Recta S, (S', -S",): Perpendicular al primer bisector y contenida en el segundo; se determina por un punro A -A" del segundo bisector; las trazas están en L.T.; es toda oculta. Recta S, (S',-S",): Perpendicular al primer bisector por debajo del segundo; es toda oculta; las trazas al contrario que en la recta s. Recta r (r'-1"): Perpendicular al segundo bisector por encima del pnmero; las trazas N' y V" coinciden en proyección. Recta r, (r', -rr',): Perpendicular al segundo bisector y contenida en el primero, se determina por un punto A' -A'del primer bisector; las trazas en L.T. Recta r, (r',-r",): Perpendicular al segundo bisector por debajo del pnmero; las trazas H' y V" coinciden en proyección. Hay que fijarse bien en las partes vistas y ocultas de estas rectas. ,

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Son cuatro posiciones. El lector, como ejercicio, puede hallar las proyecciones de las rectas a, b, c y d, que siendo de perfil son oblicuas a los planos bisectores.

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Fig. 26

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Fig.27

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Fig. 28

10. FIG. 27. PROBLEMA: DADA LA PROYECCIOX DE U 3 PUNTO COSTENlDO EN CTA RECT.4 DE PERFIL. HALL.4R LA OTRA PROYECCION. Se conoce la proyección A' de un punto situado en la recta rt-r"; referida ésta a tercera proyección en r"' que pasa por V y H se obtiene el punto A"' y éste nos determina A" trazando la paralela a L.T. 11. FIG. 28. PROBLEMA: AVERIGUAR SI SE CORTAX O NO DOS RECTAS DADAS,

CXA DE PERFIL Y OTRA CUALQUIERA. Se dan las rectas r'-r" de perfd y S,-S"cualquiera; aparentemente se coTtan en el punto Y-1", pero referido este unto a la tercera proyección en 1"', vemos que no pertenece a la recta de perfil r"', lo que in ica que las rectas se cruzan. El punto P-1"sólo pertenece a la'recta s.

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REPRESENTACION DEL PLANO. 12. FIC. 29. TRAZAS DE U h PPA3O.

Se llaman trazas de un plano las rectas intersecciones de éste con cada uno de los planos de proyección. Un plano tiene, pues, dos trazas: la traza horizontal y la traza vertical. Sea el plano a; las trazas son las rectas a, y a 2 , las cuales se cortan en un mismo punto de L.T. Desoués de abatir el plano V, el plano a se representa por las dos trazas a,y a,,tal como se

Fig. 29

Fig. 30

Elplano, en el espacio, puede dejnirse de lasformas siguientes: Por tres puntos de él no alineados. Por dos rectas que se cortan. por dos rectas ;aralelas. Por un punto y'una recta que no se pertenezcan. Conociendo estos elementos, se pueden determinar las trazas del plano para poder operar con ellas. Hemos de tener en cuenta que las trazas del plano son los lugares geométncos de las trazas de todas las rectas contenidas en dicho plano, En lafig, 31 los puntos A, B y C definen el plano a, por pasar las trazas a, y a, por las trazas horizontal y vertical de las dos rectas r y S, formados por estos tres puntos, siendo A, en este caso, el punto de intersección de r y s.

Fig. 32. - Si nos dan dos rectas paralelas, por ejem lo la n'-n" y la t'-t", las trazas del plano se obtienen de igual forma; en este caso, el plano es el - &).

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Fig.31

Fig.32


Una recta está situada en un plano cuando las trazas de la recta están situadas sobre las trazas del mismo nombre del plano. La recta r (r'-r") está situada en el plano a por estar H' en a, y V"en a,. Un punto está en un plano cuando sus proyecciones están sobre las proyecciones del mismo nombre de una recta contenida en dicho plano. Así, el punto A'-N' está en el plano a por pertenecer a la recta r'-r" de este plano. . .,

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Fig. 33

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En el alfabeto de la recta se estudiaron las posiciones de la recta frontal y de la recta horizontal. En la figura, representamos en el espacio la recta f (ff-f"),situada en el plano oj (U, -N), y a la derecha, ya en proyecciones, vemos que f es paralela a L.T., f" es paralela a o,y que el punto H', traza horizontal de la recta, está en w , ; esta recta está a la distancia a del plano vertical.

15. FIG. 35. SITU.4R L'NA RECTA HORIZONTAL EN Ci; PLANO. Representamos a la izquierda un plano a (a,-a,) y en él una recta horizontal h (hf-h"); a la derecha tenemos el plano a por sus trazas a, y a, y la recta h ya en proyecciones; h" es paralela a L.T. y h' es paralela a a, ; el punto V", traza vertical de la recta h, ha de estar en a*


ALFABETO DEL PLANO. 16. FIG. 36. PLAXO PROYECT.4STE HORIZOXT.4L. El plano a (a,-a,) es un plano perpendicular al plano H y se llama proyectante horizontal; la traza horizontal a, es una recta cualquiera, y la traza vertical a2es perpendicular a L.T.; el ángulo A es el que forma el plano con el vertical. Todos los puntos y figuras contenidos en este plano se proyectan horizontalmente sobre la traza horizontal a,. 17. FIG. 37. PLAXO PRCl~ELT.AXTEYERTiC.4L. El planoP(B,-&)es perpendicular al V y se llama proyectante vertical; la traza vertical P2 es una recta cualquiera, y la traza horizontal B1es perpendicular a la L.T.; el ángulo B es el que forma el plano con el horizontal. Todos los puntos se proyectan verticalmente sobre la traza vertical p;.

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Fig. 3 7

Fig. 36 18. FIG. 35. PLAXO HORiZOhT.iL.

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El plano o (wi)es paralelo al plano horizontal por encima de él; no tiene más que traza vertical o, y es paralela a L.T. Este plano es perpendicular al V y, por tanto, proyectante sobre él.

El plano a ( al) es paralelo al plano vertical por delante de él; no tiene más que traza horizontal a, y es paralela a L.T. Este plano es perpendicular al H y, por tanto, proyectante sobre él.

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Fig.38

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Fig. 39


PROBLEMAS DE RECTAS Y PLANOS

Sean los planos oblicuos a (a,-a,) y /3 (P1-P2)fig.40). Se observa que la intersección es la recta que une los puntos H' y V", donde se encuentran las trazas del mismo nombre de los dos planos. Si cortamos por el plano H (Jig.41): las intersecciones con los planos a y P son las rectas r2 (rl,-r",) y S, (si-S",), que se confunden con las trazas /3, y a, y cuyo punto de encuentro es H'-H". Tomando como plano auxiliar el plano V, las intersecciones son las rectas r, (r', -r",) y si (S', -S",), que confundidas con P2y a, se cortan en el punto V"-V'. La recta i (i'-i") que une los puntos H (H'-H) y V (VI-V") es la intersección de los dos planos.

Fig. 40

Fig. 41

Se tiene la recta r y el plano a . Para hallar el punto de intersección, se hace pasar por la recta un plano cualquiera /3, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto 1, que es el de intersección de la recta r con el plano a (iig. 42). En diédnco fig. 43), para facilitar las operaciones, el plano /3 que se hace pasar por la recta es el proyectante horizontal Pl-/3i.

Fig. 42 94

Fig. 43


PARALELISMO 12. RECTAS P-IR-ALELASEXTXE SI. i f i g . 441. Dos rectas paralelas en el espacio se proyectan sobre un plano, según dos rectas paralelas, pero si las proyecciones sobre un plano de dos rectas son paralelas, no quiere decir que aquéllas lo sean en el espacio; las rectas r y s son paralelas y se proyectan en r' y S' y las rectas s y t cualesquiera, pero situadas en dos pianos proyectantes verticales paralelos, se proyectan también según dos paralelas s' y t'. Para que dos rectas Sean paralelas en el espacio es preciso que las proyecciones sobre los dos planos de proyección sean paralelas Ifig. 45). Las rectasr (r'-r") y s (S'-S") tienen las proyecciones del mismo nombre paralelas, las horizontales r' y S' y también las verticales r" y S".

Fig.44

Fig. 45

Al cortar a dos planos paralelos por un tercer plano, las intersecciones son dos rectas paralelas Ifig 46). Si el plano secante es el plano H, las intersecciones son las trazas a, y O,, que son paralelas, y lo mismo ocurre con las trazas verticales a, y P2 al cortar a los planos a y (3 por el plano vertical. En diédrico (jg. 47,. los planos cr ( a , - a 2 ) y (3 ((3, - (32) son paralelos, por tener las trazas del mismo nombre paralelas.

Fig. 46

Fig. 47

PERPENDICULARIDAD

Fig.48

Si .-r recta r es perpendicular a un plano a , las proyecciones de la :+:-.a. r' y r". son perpendiculares a las trazas a , y a 2 del plano: ;;z:afig. 48 la recta pasa por el punto P.


DISTANCIAS

Fig. 49

Fig. 50

Fig. 51

Sean los puntos A y B en el espacio; sus proyecciones A y B' sobre el plano H, determinan la proyección horizontal d' de la distancia. Por B trazamos la paralela a d', formándose el t g n g u l o rectángulo AA,B, que tiene por catetos: la proyección horizontal d' del segmento AB y la diferencia de cotas h = de los puntos A y B. En el sistema diédrico Ifig. SO), las proyecciones de los puntos son A'-A"y B'-B" y de la distancia d-d". Por A se traza la perpendicular a d' y se lleva la diferencia de cotas h, obteniéndose el segmento D, verdadera magnitud de la distancia AB. Igualmente se puede tomar como cateto la proyección vertical d" y como otro cateto la diferencia de los alejamientos de los dos puntos. Si los puntos están en distinto diedro, hay que considerar las cotas y los alejamientos con los dos signos Ifig. 51).

La distancia D, de un punto P a un plano 4 se determina trazando la perpendicular r

desde el punto al plano; se haiia el punto 1 de intersección de la recta y del plano y el segmentoF es la distancia. En el sistema diédrico Ifig. 52), sea el punto P (P'-P") y el plano a (a,-ai);la recta perpendicular es r (1'-r"). El punto de intersección 1 (1'-1") se determina empleando el proyectante vertical fl, - P i de la recta, que corta el plano a según i (i'-i") y ésta encuentra a la r en I'-1". La distancia tiene como proyecciones ci-d" y la verdadera magnitud se obtiene como se ha indicado en la distancia entre dos puntos.


REPRESENTACION DE FIGURAS PLANAS Abatimientos, cambios de planos y giros

Por medio de los abatimientos podemos obtener la verdadera forma de magnitudes lineales y superficiales contenidas en un plano oblicuo con respecto a los planos de proyección. Abatir un plano sobre otro es hacer coincidir el primero con éste, girándolo alrededor de la recta intersección de ambos.

Fig. 53

Fig. 54

Fig. 55

28. ABATIMIEXTO DE UN PUNTO CONTENIDO E S U N PLANO. La expresión «abatir un puntos es incorrecta; lo que en realidad se abate siempre es un plano y con él todos los puntos, rectas o figuras que contenga. Sea el plano a , el que contiene el punto A, que vamos a abatir sobre el plano horizontal @g. 53).

La intersección de los dos planos es a,, que se toma como eje de giro. Este eje de giro se llama charnela o eje de abatimiento y se representa por ch. El punto, al girar alrededor de a,; describe una circunferenciá de radio que está en el plano perpendicular a al por C. Este radio es la hipotenusa del triángulo rectángulo A-A'-C, en el que AA' es Ia mta del punto y A'C la distancia de la proyección horizontal del punto a la charnela. Si abatimos este triángulo sobre el plano H, tendremos el C-A'-(AO)~y vemos que A'C es la perpendicular por A' a la charnela. A'-(Ao), es la paralela por A' a la charnela y que A'-(Ao), es la cota del punto A. Con centro en C se traza la circunferencia de radio C-(Ao)?que corta en A, a la perpendicular a la charnela. Este punto es el abatimiento del punto A sobre el plano H, que, como se ve, se puede abatir en los dos sentidos. Diédrico @g. 541.'- En el sistema diédrico se han resuelto estas operaciones Resumiendo: Por la proyección horizontal A' del punto, se traza la perpendicular y la paralela -a la charnela, sobre la paralela, se lleva la cota h del punto y con centro en C y radio C (A,), se corta a la perpendicular en A,. En la figura sólo se ha abatido en un sentido, pero en la figura anterior del espacio pueden verse las dos posiciones del punto abatido sobre la misma perpendicular a la charnela. Si el punto se abate sobre el plano V (fig.551, la charnela es la traza vertical a , del plano y sobre 12 paralela a ella se lleva la distancia del punto A al plano vertical que es el alejamiento del punto.


(o2)

Si el punto se abate sobre un plano P paralelo al plano H (fig. 561, se halla l'a intersección de este plano con el u; esta intersección es la horizontal a'-a" y la charnela es la proyección horizontal a'. Se traza por A', como en los casos anteriores, la perpendicular y la paralela a la charnela y sobre ésta se toma la cota hl del punto con relación al plano 02. Con el radio de giro, se traza la circunferencia que nos corta a la perpendicular en A, y No,abatimientos del punto A sobre el plano P2.

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Fig.56

Entre la proyección horizontal de una figura y el abatimiento sobre el plano horizontal existe una relación de afinidad cuyos elementos son: E j e de afinidad: La intersección de los dos planos, es decir, del H y del que contiene a la figura, que es la traza horizontal del plano. Dirección de afinidad: Perpendicular a dicha traza horizontal. Unpar depuntos afines: La proyección horizontal de un punto y su abatimiento. Si el plano se abate sobre el plano vertical, esta relación de afinidad es la existente entre la proyección vertical de la figura y el abatimiento de la figura en e1 espacio. El eje de afinidad es la traza vertical del plano y la dirección de afinidad es perpendicular a dicho eje. Véanse los ejemplos que más adelante se indican.

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Supongamos un plano cualquiera a ( a ,-a,) y en él una figura que en nuestro caso es una circunferencia Ifig. 57). Vamos a hallar las proyecciones de esta circunferencia a partir de su verdadera forma, es decir, conociendo el centro y el radio. Se abate el plano sobre el horizontal, según hemos indicado anteriormente, y para ello se abate el punto P'-P" de su traza vertical, que será Po. Situamos el centro O (0'-0")de la circunferencia en el plano, tomando la horizontal a'- a"; se abate este punto, obteniendo 0 0 ;con centro en O0 y radio el de la circunferencia, trazamos ésta y queda hecho el abatimiento de la figura. Las proyecciones de esta circunferencia son dos elipses cuyos elementos vamos a determinar. Trazamos los diámetros A,B, y CODO,paralelo y perpendicular, respectivamente, a la traza horizontal del plano a,. Sabiendo la afinidad existente entre la proyección horizontal y el abatimiento,haliamos los puntos afines de A,, B,, C, y Do, que son los puntos A', B', C' y D', vértices de la elipse proyección horizontál. El diámetro A,B,, por ser paralelo a a,, su afii es A'B', que pasa por 0' y es también paralelo a a, ; según esto, el eje mayor es igual al diámetro de la circunferencia, pues es la proyección de un diámetro de ésta, paralelo al plano H y, por lo tanto, está sobre la horizontal a'- a". La proyección vertical de este diámetro es A" -B". El afin de C, es C'; al unir C, con A,, corta en N al eje y este punto unido con A' nos fija el

c.

El afin de Do es D', pues las rectas D,A, y D'A' son afines. En proyección vertical obtenemos C" y D , pues la recta C'-D' es la proyección horizontal; se halla su otra proyección y se refieren a ella.


Vemos, pues, que en proyección vertical los segmentos A"-B" y '2"-D" constituyen una pareja de diámetros conjugados de la elipse, suficientes para que quede definidá. No obstante, si queremos fijar 10s ejes, repetimos la operación, abatiendo el plano sobre el vertical. Para ello se abate el centro O en (O,), y se traza la circunferencia con este centro. Los diámetros 1,-2, y 30-40 tienen por afines los 1"-2" y 3"-4", que son los ejes de la elipse. Estos ejes en proyección horizontal son los diámetros conjugados 1'-2' y 3'-4'. Como se deducirá, el diámetro 1-2 es frontal de plano, por ello en proyección vertical se proyecta en verdadera magnitud. Sin hacer uso de la afinidad, podemos desabatir también los puntos A,, B,, Co y Do. Las rectas paralelas al eje de afinidad, tienen por afines rectas que también lo son. Por ejemplo, por C, trazamos la paralela al eje, es decir a a,, corta en R, a (a,),;este punto desabatido en proyección horizontal está en L.T. según R', y por R' pasa la afin de CORO, que es una horizontal de plano. Repitiendo esta operación para todos los puntos abatidos, se obtienen sus proyecciones horizontales. Para este procedimiento es necesario conocer (a,), y, sin embargo, empleando la afinidad no es preciso tener el plano abatido. Si trazamos la tangente t, a la circunferencia en un punto To, su afin es t', tangente a la elipse en proyección horizontal en el punto T' y en proyección vertical en T". En la figura se indica la dirección de afinidad d a ,perpendicular a a l .

Los cambios de planos de proyección, como la misma expresión indica, consisten en tomar otros planos de proyección sobre los cuales las proyecciones de una figura o de un cuerpo sean fáciles de determinar. De esta forma, como se indicó al hablar de los métodos, se facilitan las operaciones a realizar en un problema. En este método, los que cambian son los planos de proyección, quedando fijos en el espacio los elementos a proyectar.

Para indicar el plano de proyección que se cambia, se coloca en la L.T. primitiva una llave con las letras V y H, y en la L.T. nueva con las letras VI y H, o bien V y H, , según sea el plano vertical o el horizontal el que se cambia. La L.T. nueva se indica con dos tracitos debajo de ella en sus extremos y si se hace un segundo cambio de plano se colocan tres tracitos en la tercera L.T.

Si cambiamos el plano V, éste produce en el plano H una intersección que es la L.T. nueva. Esta L.T. hay que tomarla de tal forma que al operar con respecto a ella se produzca el resultado deseado. Por ejemplo, si queremos hacer que una recta oblicua pase a ser paralela al plano H, es decir, horizontal de plano, se elegirá la L.T. paralela a la proyección vertical de la recta dada. Si un plano oblicuo necesitamos situarlo proyectante horizontal. elegiremos la L.T. perpendicular a la traza vertical. Según sea el resultado que se persigue, elegiremos una línea de tierra en particular, tal como se verá en el transcurso de este tema.


El punto P Ifig.58) tiene por proyecciones sobre los planos H y V, los puntos P' y P". Si tomamos otro plano vertical V, la proyección horizontal P' es la misma y la proyección vertical está en P"I con la misma cota, es decir, P", M = P N . En el sistema diédrico, el nuevo plano vertical V, (fig. 59) está indicado por la nueva L.T., que se distingue con dos tracitos debajo de ella. Por P' se traza la perpendicular a la nueva L.T. y a partir de ella se lleva la cota MP", = NP", obteniéndose P",, nueva proyección vertical del punto P. Si los dos tracitos se hubieran puesto por encima de la L.T. nueva, la cota MP", se hubiera tomado hacia abajo en el sentido MP'. quedando el punto en el segundo diedro. Es, pues. importante tener en c!:-nta dónde se colocan los trazos y considerar las cotas y los.alejamientos con los dos signos. Si se cambia el plano H por otro H, @g. 60),el alejamiento del punto es o i :nisino y la proyección vertical no varia. Por P" se traza la perpendicular a la nueva L.T. y i e i' ,I MP'i = NP', pues P' estaba por debajo de L.T. Si los trazos se colocan del lado de P"se :.:r ia MP' en sentido contrario, es decir, hacia P": quedando el punto en el cuarto diedro. Resumiendo: Un punto puede pasar del primero al segundo diedro, o bis: Ir;]primero al cuarto, con un solo cambio de plano, pero no puede pasar del primero al tercero. o del segundo al cuarto diedro, para lo cual es preciso hacer dos cambios de planos, uno de cada plano de proyección. Si cambiamos el plano vertical, las proyecciones horizontales de los puntos, rectas, figuras y cuerpos no varían, haciéndolo sólo las proyecciones verticales y conservando la misma cota. Si el que cambia es el plano H, cambian las proyecciones horizontales y conservan los puntos el mismo alejamiento. .

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Fig. 58

Fig. 59

Fig. 60

35. PROBLEMA: PONER UNA RECTA OBLICUA, PARALELA iiUNO DE LOS PLAIiOC DE PROYECCION (fig 61). Sea la recta oblicua r (1'-1"). Si tomamos un nuevo plano vertical que sea paralelo a la recta r, ésta es frontal, es decir, que r f es paralela a la L. T. nueva y la proyección vertical se obtiene cambiando dos puntos; el punto H', traza horizontal, de cota nula, se proyecta verticalmente en H , y el punto P en P", . La recta P",-H';es la r", , proyección vertical de la

frontal.

A Fig. 61


En el sistema diédrico @gg 621, la recta 1'-r", al cambiar el.plano vertical por otro V , , tiene oor proyección vertical r",. Como se dijo al cambiar el punto P se verifica N P = MP", y. H", 'estáén ¿.T. por estar10 H . Cambiando el plano horizontal por otro H, $g. 631, tomamos la L.T. nueva, paralela a r", y cambiamos r'. El punto V" tiene su proyección horizontal en L.T., es decir, V', , y el punto P cambiado es P; - P , llevando MP', = NP'. La recta r', -1" queda horizontal de plano.

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Fig. 62

Fig. 63

36. GIROS.

Por medio de los giros se consigue situar los puntos, rectas y cuerpos en la posición más conveniente a cada caso. Tienen como diferencia fundamental con los cambios de planos, que en los giros son los elementos a proyectar los que varian de posición, permaneciendo fijos los planos de proyección. Los giros se hacen tomando como ejes de giro o de rotación, rectas perpendiculares a los planos y siendo además el giro circular; es decir, que cada punto del elemento que gira describe unacircunferencia que está en un plano perpendicular al eje y cuyo centro está en la intersección del eje con el plano de la circunferencia,' siendo pues, el radio, la distancia del punto al eje. Los giros se emplean para situar, sobre todo, segmentos y carasplanas de cuerpos, en posición de paralelismo respecto a uno de los planos de proyección y de esta forma se proyecten en verdadera magnitud. 37. G I R O DE L.L PCX'IO. iFi:\. 64 1.65).

Fig. 64.- Sea el punto P (P'-P") y el eje de giro la recta vertical e (e'-e"). El punto P, al girar alrededor de e, describe una circunferencia que está en el plano a , horizontal y perpendicular al %esta circunferencia se proyecta horizontalpente en verdadera magnitud. El radio de giro es O-P y el punto, después de girado un ángulo A, tiene como proyección horizontal nueva P', . La proyección vertical nueva P', está en a2,es decir, en la paralela a L.T. trazada por P". En la parte izquierda se indica el giro en el espacio y en la derecha se representa en proyecciones.


Fig. 65.- Si el eje de giro es una recta e (er-e,,), perpendicular al @ano vertical, el punto N'-N". después de girado un ángulo C , tiene por proyecciones nuevas N ,-N", ; en este caso, la circunferencia se proyecta en verdadera forma sobre el plano vertical, pues está en el plano 8, paralelo a e1 y. por lo tanto, perpendicular al eje; N; está en la paralela por N' a la L.T. Se tendrá muy en cuenta al girar una recta, una figura o un cuerpo, que todos los puntos giran el mismo ángulo y en el mismo sentido, alrededor de1 eje, para que no vanen las posiciones relativas iniciales.

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Fig. 65

Fig. 66. - Se trata de girar la recta r (1'-r") alrededor del eje e (e'-e"), que corta a la recta en el punto 1 (1'-1"). El punto 1'-1" de la recta, por pertenecer al eje, no varia en el giro; se toma otro punto de la recta, por ejemplo, el H (H'-H), y se gira el ángulo B hasta que r' sea paralela a , girado, y que unido con 1'-1" nos da la nueva recta girada L.T. y tenemos el punto H', -H", 1'4 -r"l. Al quedar la recta paralela al plano vertical, r", está en verdadera magnitud; quiere decir esto que la longitud real de 1'H'-1"-H" es el segmento 1 " H . En la figura se indica a la izquierda el problema en el espacio y a la derecha ya en proyecciones.

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Fig. 66 Fig. 67. - Se trata ahora de girar la recta r (r'-r") alrededor del eje e (e'-e"), perpendicular al de la recta y del eje, no gira, y el punto V'-V", girado un plano vertical. El punto 1 (1'-Y), ángulo D, hasta que r" sea paralela a L.T., nos da el punto V', -V", ; tenemos así la nueva recta r r , con r paralela a L.T. y, por lo tanto, horizontal; con ello conseguimos que r', se vea ahora en su verdadera forma. La longitud real del segmento oblicuo 1'V'-1" V" es el segmento l'v', .

Fig. 6 7


REPRESENTACION DE SOLIDOS GEOMETRICOS

i

Fig. 68

Fig. 69

Fig. 71 1O3


La base o directriz del prisma es el poligono 1'-2'-3'-4'-S, situado en el plano H y las aristas laterales 1-l1, 2-21, 3-33 ,... son paraielas a la dirección de la generatriz, recta g'-g". Ifig. 72). '

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La superficie piramidal es ú n a superficie radiada, pues está engendrada por una recta que, pasando por un punto fijo, se apoya en un polígono llamado directriz. El punto de concurso de las generatnces es el vértice de la pirámide. En la fig. 73 se representa una pirámide de directriz pentagonal cualquiera, situada en el plano horizontal y cuyo vértice es el punto V'-V". Los planos rasantes que determinan el contorno aparente en proyección horizontal son y y 6 ; estos planos son proyectantes horizontales y contienen a las generatrices g',-g", y g'5-g''5 de contorno aparente. La arista V-1 es, pues, oculta en proyección horizontal. Los planos rasantes que fijan el contorno aparente vertical son 0 y a , proyectantes verticales, y que contienen a las generatrices V-1 y V-3. En proyección vertical es oculta la parte de superficie V-1-2-3 y vista la que corresponde a V- 1-5-4-3.

1

Fig. 72

\61

Fig. 73 45. REPXESESTACIOK DEL CGYO.

Como la pirámide, el cono queda definido conociendo la directriz y el vértice. Sea la directriz circular en el plano H y el vértice el punto VI-V" Ifig. 74). El contorno aparente horizontal se obfiene trazando las generatrices de contorno aparente, que son las tangentes V'Tt1 y V'T', . Los planos rasantes verticales determinan las.generalrices de contomo aparente vertical g', -gffl y 9'2-g"2 que parten de los puntos 1'-1" y 2'-2". En la figura se indican las partes vistas .y ocultas en que dividen a lasuperficie los planos rasantes. Para situar un punto P'-P" se coloca una generatriz, la g'-g", por ejemplo; todos los puntos de eiia pertenecen a la superficie y, por lo tanto, los P'-P" y Q'-Q".

Fig. 74


Cuando el cono es de revolución, la proyección V' del vkrtice coincide con el centro de la directriz circular Ifig 75). No tiene generatnces de contorno aparente horizontal. El desarrollo de un cono de revolución es un sector circular de radio igual a la generatriz del cono y cuyo ángulo central se obtiene por una sencilla regla de tres, fijándose que la longitud del arco del sector es igual a la longitud de la circunferencia de la base Ifig. 76).

En la figura, por ser el radio r la tercera parte de la generatnz g, se obtiene un ángulo de 120°.

Fig. 77

Fig. 78

Fig. 75

Fig. 76

Fig. 79

Si el cilindro es de revolución con la base en el plano H, las proyecciones son las indicadas en la& 77. Las generatrices son rectas de punta; así, la g'-g" tiene como proyección horizontal el punto g' sobre la circunferencia de la base; la generatriz g', -gn1 es oculta y está superpuesta con la anterior en proyección vertical. Si el cilindro está apoyado por una generatriz en el plano H Ifig. 781, la proyección horizontal es un rectángulo. Las bases del cilindro se proyectan verticalmente, según dos elipses. El eje mayor de las elipses es el diámetro del cilindro. El eje e'-e'' es una recta horizontal. En lafig. 79 se representa un cilindro de base circular en el plano H y de eje frontal e'-e". Este cilindro, que no es de revolución, esta limitado por un plano horizontal que contiene a la base superior. La generatriz g'-g" es oculta sobre el plano H y vista sobre el plano V, pues basta observar los planos rasantes horizontales y verticales para ver las partes vistas y ocultas sobre cada proyección; lo contrario ocurre con la generatriz g', -gUl. Los puntos A -A" y B'-B" pertenecen a la superficie, por estar sobre una generatriz de ella.


Cuando el eje e'-e" es una recta cualquiera, el cilindro de base circular en el plano H es el representado en lafig. 80. Los puntosA'-A" y A',-A",están sobre la superficie del cilindro, observándose que tienen la misma proyección vertical, pues las generatnces r y r, tienen sus proyecciones r" y r", confundidas.

Fig.80

Fig. 81

La esfera es la superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira alrededor de uno de sus diámetros. Sea e! punto 0'-0"el centro de la esfera. Las proyecciones sobre los planos de proyección son dos circunferencias, que son precisamente las intersecciones de los cilindros proyectantes circunscntos a la esfera con cada plano de proyección. El ecuador de la esfera, supuesto el eje vertical, es la circunferencia máxima producida por el plano perpendicular al eje que pasa por su centro. Este ecuador tiene por proyecciones e'-e"; e" es la recta AB y e' es la circunferencia proyección horizontal. Un meridiano de la esfera es la circunferencia máxima producida por un plano que pasa por el eje. Todos los meridianos son iguales. El meridiano que es paralelo al plano V se iiama meridiano principal. Se llama paralelo a la sección producida por un plano cualquiera perpendicular al eje. El ecuador es el mayor de los paralelos. El plano horizontal fl, produce como sección el paralelo HG, que se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud.

El toro es una superficie de revolución que aparece con gran frecuencia en la práctica. Está engendrado por un circulo que gira alrededor de una recta de su plano sin cortarlo, o bien se puede considerar como la superficie engendrada por una esfera que gira airededor de una recta que no la corta. La proyección horizontal está compuesta por las circunferencias de centro 0' y diámetros N'M' y R'S'; la de diámetro N'M' es el ecuador del toro, que se proyecta verticalmente, según la recta WM"; el plano de este ecuador es P z ; la circunferencia de diámetro R'-S' es la circunferencia de garganta y se proyecta sobre el plano V, según R"S".


La proyección vertical está formada por el meridiano principal del toro, que son las circunferencias de diámetros N'K-N"R" y S'M'S"W, unidas por las tangentes comunes exteriores. Este meridiano está en el plano a, paralelo al vertical. El eje del toro es la recta vertical e'-e" y el centro de la superficie es el punto 0'-O".

Un paralelo cualquiera está formado por dos circunferencias; así el plano y, contiene el paralelo que forman las circunferencias de radios AB" y AC", que se proyectan horizontalmente en verdadera magnitud. Para situar un punto sobre la superficie, se coloca sobre un paralelo; en este caso, el punto p esta en el paralelo del plano yi La proyección vertical es P" y refiriendo a las circunferencias del paralelo, se obtienen cuatro proyecciones horizontales P'i, P'2, Pf3 y PJ4, como puede deducirse fáciimente en el espacio observando la superficie. .

Fig.82

SECCIONES PLANAS 19. SECCIONES PLANAS DE LOS POLIEDBOS.

Para haliar la sección que produce un plano cualquiera al cortar a un poliedro, se emplea, como mrdio más rápido y sencillo, un cambio de plano. Por medio de éste se convierte el plano en proyectante, cambiando seguidamente el poiiedro. De esta forma se obtiene directamente la sección sobre la traza vertical del plano, si es que el plano se ha colocado proyectante vertical. En sucesivos ejemplos y en el estudio de la pirámide, risma, etc., se estudiarán casos de secciones I planas por medio de los cambios de plano.

Método 1."-Por intersección de aristas laterales con el plano Ifig 83). Sea el prisma representado en la figura. trianp i a r de base 1'-2'-3'. Se hallan los puntos de intersección de cada una de las aristas empleando planos proyectantes verticales. El plano 0 (6, - 02) pasa por la arista que parte del punto 1' de la base, corta al plano secante a, según la recta que encuentra en el punto 1; -Yi a la citada arista. De esta forma se obtiene el resto de los puntog del polígono sección.


Método 2."-Por cambios de plano Ifig. 84). Como se ve en la figura, se cambia el plano, eligiendo una nueva L.T., que le transforme en proyectante, en este caso proyectante vertical. Se cambia también el prisma y obtenemos la sección sobre la nueva traza vertical del plano, según el segmento 1-2-3. Esta sección se refiere a la proyección horizontal, punto por punto a las correspondientes aristas y después a la proyección vertical antigua.

Método 1: -Por intersección de aristas con el plano (Jig 85). Se trazan como en el prisma los planos proyectantes verticales de las aristas laterales- de la pirámide. El plano P (P,- P 2 ) determina el punto 1'-1" de la sección. Método 2."- Por cambios de plano fig. 86).

Fig. 85

Fig. 84

Fig. 86

52. SECCIOKES PLANAS DEL CONO. En lafig. 87 se indica la obtención de dos puntos, el A'-A" y el B'-B", de la sección producida por el plano a, -a,, empleando un cambio de plano vertical. 1O8


En la fiE. 88 se obtiene la sección de un cono de revolución por el plano a , - a ? ,empleando un cambio de plano vertical.

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I

Fig. 87

Fig. 88

53. SECCIOh DE L1V CILIYDRO OBLICUO POR UY PLAhO CUALQUIER4.

Método l."-Por intersección de generatnces @g. 89). La generatriz g'-g" corta al plano secante a , -a2en el punto A ' - * , obteñido por medio del proyectante P, - 0 2 , que pasa por ella. De esta forma se pueden obtener cuantos puntos se deseen, pero es un método largo y poco práctico. Método 2.0-Por cambios de plano Ifig. 90). Haciendo un cambio de plano vertical, el plano secante U . , -aise coloca proyectante y la sección se obtiene directamente sobre a r 2basta ; llevar puntos a las generatnces correspondientes


para obtener las proyecciones definitivas: así. por ejen~plo.A", de g", se refiere a A' de g', la pro\.ección vertical en A" sobre S';.

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El plano proyectante vertical a, -a2corta a la esfera según un circulo menor que se proyecta verticalmente en a, según A" C" y horizontalmente según la elipse de ejes B'-D' y A'-C'. El eje menor A'-C' se obtiene sabiendo que la proyección del meridiano principal es la recta paralela a L.T. que pasa por 0'. El eje mayor es B'-D' = A" Cm;por ser la recta AC frontal de plano. Puntos importantes son también los M' y N' de contacto de la elipse con el ecuador de la esfera. Estos puntos se obtienen trazando por 0 " la paralela a L.T., basta que corte a n2en M" y N", ya que esta recta es la proyección vertical del ecuador. El eje mayor B'D' es una cuerda del paralelo que tiene por radio el segmento 3-4.

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Por medio de un cambio de plano vertical, el plano n se coloca proyectante vertical y se obtiene la sección como en el caso anterior. .. -.->7c -%--

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Consideremos en general un plano oblicuo cualquiera a , - a , @g. 93). La sección se determina cortando por planos horizontales tales como el p,, A?, etc., que producen en el toro, paralelos y en el plano, horizontales de plano, obteniendo directamente los puntos en proyección horizontal. Puntos importantes de la sección: 1.0 Los D'-D", S'-S", S', -Su1 y Da1-D"I situados en el contorno aparente horizontal, es decir, en el ecuador y en la circunferencia de garganta; se obtienen por medio del plano ,u,. 2.0 Los N-N", A'-At',,M'-M y G ' - G , que son los más altos y más bajos; se obtienen por medio de los planos P2 y r2. Obsérvense con detenimiento las partes vistas y ocultas.

Fig.93


DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS

La sección recta de un prisma es la producida por un plano que es perpendicular a las aristas laterales. Para determinar el desarrollo es preciso hallar esta sección. El plano secante a es proyectante vertical, por ser el prisma frontal. La sección recta es inmediata; si abatimos el plano secante sobre el horizontal se obtiene la verdadera magnitud de la sección recta, triángulo 1, -2, -3, .

Fig.94 Para el desarrollo, se coloca sobre una recta el perímetro de la sección obtenida; en la figura, el prisma está abierto por la arista 1. Por estar el prisma frontal, la longitud de las aristas está en verdadera magnitud en el plano vertical. Por los puntos indicados en la sección recta, se levantan perpendiculares y se toman hacia un lado y hacia otro la porción de arista comprendida entre la sección recta y L.T., o entre esta sección y la base superior. Así, 1-1, = 1"-Y, y 1, -A = l", - A . En la transformada, los lados de una base son paralelos a los de la otra.

La base de la pirámide está en verdadera magnitud por estar en el plano H. Para poder construir los triángulos de que está formado el desarrollo, se giran las aristas laterales hasta colocarlas paralelas al plano V; para ello se toma un eje que pasa por el punto V'-VV.En el desarrollo la arista de apertura que se ha tomado es la V-3, cuya longitud real es V"-3",; la

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Fig.96


longitud real de la V-4 es V"-4", : con estas dos aristas y el lado 3'-4' = 3-4 de la base. se consiruye en ri desarrollo el triingulo V-3-4. Dr la misma forma se obtienen los otros cuatro tri5ngulos.

1.O Sección de un cono recto de revolución por un plano a paralelo a L.T. Desarrollo y transformada de la sección (Figs. 9 7 98). ~

2:' Sección de un cono recto de revolución por un plano proyectante vertical que corta a todas las generatrices de una de las ramas. Desarrollo y transformada de la sección (figs. 9 9 y 100).

I

Fig. 99

Fig. 1O0

Si el cono fuese oblicuo, el desarrollo no se puede obtener exactamente. Según esto, lo mejor es inscribir una pirámide de número suficiente de caras y utilizar el método descrito en el caso de la pirámide, Ifigs. 95y 96). Los puntos de la base y la transformada se unirán con una curva. El error cometido en el desarrollo, será tanto menor cuantas más caras tenga la pirámide inscrita en el cono.


60. DESARROLLO DEL CILINDRO. EJEMPLO PARA FUZSOLVER.

Hallar las proyecciones de un cilindro de revelución de 15 mm. de radio y cuyo eje es una recta que tiene por trazas los puntos H (O, 35) y V (50, O), siendo la separación entre las iíneas de referencia de estos dos puntos de 50 mm. Desarrollo de la parte de cilindro comprendida en el primer diedro figs.101 y 102). (Por medio de un cambio de plano se coloca el cilindro frontal, operando a continuación como en el caso del prisma,fig. 94). Observe el lector que al cilindro se le ha inscrito un prisma de doce caras

Fig. 101

Fig. 102

INTERSECCION DE SUPERFICIES

Este tema es el de mayor aplicación práctica de toda la Geometria Descriptiva. Debido a ello, le damos una extensión, si no todo lo completa que requiere el caso, si lo suficientemente amplia para poner en manos del lector los conocimientos precisos que le ayuden a resolver cualquier caso práctico de mayor envergadura. Indicaremos los procedimientos generales y la obtención de los puntos importantes que puede presentar una curva intersección de dos superficies. Estos puntos importantes, sobre todo, los que estén situados en los contornos aparentes o cuyas tangentes sean horizontales o verticales, es decir, los puntos más altos o más bajos y más a la derecha o más a la izquierda, unidos a otros puntos cualesquiera, pocos en todos los casos, dejarán bien determinada la curva intersección. Para hallar la intersección de dos superficies se sigue siempre el mismo procedimiento. Consiste éste en cortar a las dos superficies por otra superficie auxiliar, de forma que las secciones que produce en cada una de las dadas, se puedan obtener rápida y fácilmente. Si estas secciones tienen puntos comunes, estos puntos pertenecen a la línea intersección de las dos superficies. Al repetir esta operación y unir ordenadamente los puntos hallados, se obtiene la línea intersección buscada. Según la naturaleza y la posición de las superficies. se elegirá la superficie ausiliar adscuada. pero, en general, estas superficies auxiliares serán planos o esferas.


En lajig. 103 se indican dos conos de vértices V, y V, y de directrices d, y d2 situadas en dos planos cualesquiera y que para mayor sencillez se ha supuesto que son los planos de proyección.

Fig. 103 Las superficies auxiliares que emplearemos serán planos que produzcan como secciones, parejas de generatrices;. para que esto ocurra, los planos han de pasar por los vértices de las superficies radiadas y sus trazas pasarán por los puntos H y V: trazas de la recta V, -V2. El plano y, - y,, que pasa por V, y V,, corta a las superficies según dos parejas de generatrices que parten de los puntos 1, 2, 3 y 4, donde las trazas y, y y, cortan a las directrices; por estar contenidas en un mismo plano, estas generatrices se cortan en los puntos A, B, C y D, que son de la intersección buscada. Repitiendo esta operación varias veces, se obtienen puntos suficientes de la intersección. En la figura, vemos que el plano a,-a, es tangente al cono de vértice V i , por serlo e,a d, y exterior al otro cono, no producien@ en él ninguna sección; esto nos indica que no todos los planos que pasen por la recta V, -V2son útiles, sino que han de cortar a las dos superficies o al menos cortar a una y ser tangentes a la otra. Desde la traza H de la recta V,-V, se pueden trazar las tangentes a,y 0, a la directriz d,, que son las trazas horizontales de los planos auxiliares que son tangentes al cono de vértice .Vi; pero no todos los planos comprendidos entre estos planos cortan al cono de vértice VZ. Si repetimos la operación desde el punto traza V, se obtienen los planos E y w , cuyas €,y w,son tangentes a d,.

Resumiendo: Los planos w,-w, y 0, -0, son los planos llamados límites, de forma que las trazas de todos los planos secantes, útiles para determinar puntos de intersección, han de tener sus trazas comprendidas en el ángulo que forma P,-w, y 13,-w, Se puede suponer que las directrices de las dos superficies están en un mismo plano, a lo que podemos llegar suponiendo una de ellas indefinida, hasta que corte al plano de la otra directriz. Veamos los casos que pueden presentarse.


1."Los dosplanos limites de una directriz son exteriores a losplanos limites de la otra fig. 104). En la figura, se rayan las partes útiles de las directrices, es decir, q u ~ s o l a m e n t ese y 3-6 con todas las determinarán las intersecciones de las generatrices que parten de los arcos generatrices de la superficie de directriz d, . Los planos límites comunes son y y 8 . La intersección está formada en este caso por dos curvas independientes, una de entrada y otra de salida, recibiendo el nombre de qxnetración»; esto se explica, fijándose en que las generatrices que parten del arco 3-6 cortan a todas las generatrices de la directriz d l , formando una curva cerrada; de igual forma ocurre con las generatrices del arco 4-5, que al cortar a todas las generatrices de la otra superficie, forman la segunda curva cerrada y generalmente alabeada. Para obtener los puntos y poderlos unir ordenadamente, supongamos que partimos del plano limite y y del punto 4 de la'directriz d2; sevan traiando planos secantes y sólo se consideran los puntos del arco en este sentido y al Uegar al punto 5, se vuelve en sentido contrario, hasta el punto 4 de partida; en la directriz d,, que habremos empezado por el punto 2, se habrá dado la vuelta completa hasta llegar al mismo punto. De esta forma, se obtiene una de las curvas de intersección. Operando con los mismos planos, se repite la operación para el arco marchando de 3 a 6 y volviendo en sentido contrario hasta 3; en la directriz d, se repite el mismo recorrido, obteniendo la segunda curva que forma la intersección. 2.0Losplanos limites y y 6 están alternados fig. 105). Esto nos dice que 6 es tangente a d, y secante a d,, y lo contrario ocurre cony. La curva intersección es una sola. Este caso recibe el nombre de "mordedura".

-

a

n,

Fig.107

Fig. 106

-~ ....

-

...~ .....

Se parte. por ejemplo, del punto 5 hasta llegar a 6 pasando por el 4 y desde el 6 se vuelve en sentido contrario hasta llegar al punto de partida; haciendo esta misma operación en d , , se obtiene la única curva cerrada que forma la intersección. 3.0 Uno de losplanos límites es comirn a las dos directrices Ifig. 106). La intersección tiene un punto doble, que es donde se encontrarían las generatrices que parten de los puntos 1 y 5 de tangencia del plano limite común 6. Este caso es intermedio entre 10s dos anteriores y se llama limite sencillo. 4.' Los dosplanos límites son comunes a las dos directrices Ifig 107). La intersección se llama limite doble y esti formada por dos curvas que tienen dos puntos dobles. precisamente aquellos donde se encuentran las generatrices que parten de los puntos 2-3 y 1-4.


j

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EJEMPLO 1."@g. 108). Se trata de dos conos, uno de revolución de eje vertical y otro oblicuo con la base en el plano V. Según se ha indicado anteriormente, por los puntos V" y H', trazas de la recta Vl -VI, se trazan los pianos limites; en este caso, &-82y al-a=.siendo la intersección una mordedura. En la figura se indica con todo detalle la obtención de puntos de la intersección.

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1 i

!i ! EJEMPLO 2.0@g. 109). Las dos superficies cónicas, de vértices V y V I , tienen la directriz en el plano H; una de ellas circular y la otra elíptica. Los planos límites a y y indican que se trata de un caso de penetración. En la figura, sólo se dibuja una curva, la de salida; considerando la segunda rama de las superficies, se obtendría la otra curva, de entrada.

64. INTERSECCION DE DOS PIR.4iMIDES. Se resuelve este caso como el anterior, teniendo en cuenta que la línea intersección es ahora poligonal. En lafig. 110 se presentan dos pirámides, de vértices VI-V" y V't -V"r, pentagonal y triangular, respectivamente. La traza horizontal de la recta V-VI es H' ; por este punto pasan las trazas de los planos secantes auxiliares. Sígase en la figura la obtención de los puntos L, 1, H y G. Los puntos E, K, J y F son inmediatos.

Fig. 110


.

65. INTERSECCION DE DOS CILIPU'DROS. Tratándose de dos superficies radiadas, el procedimiento a seguir es el indicado anteriormente. Por ser los vértices impropios, se toma un punto P @g. 111)y por él se trazan las rectas r y S, paralelas, respectivamente, a las generatrices de cada uno de los cilindros; estas rectas definen un plano 1p, al cual han de ser paralelos todos los planos secantes auxiliares, y que producirán en cada cilindro, como sección, una pareja de generatrices. Así, el plano 6, corta a las directrices en los puntos 1 y 2 y las generatnces que parten de ellos dan, al cortarse, el punto A de la intersección. La tangente en un punto A de la curva obtenida es la intersección de los planos tangentes a cada cilindro en el punto A y que contienen a las generatnces Al y A2. Las tangentes en 1 y 2 a las directrices se cortan en el punto H, que es la traza de la recta tangente t que se busca. En la&. 112 se indican estas operaciones en diédrico, tomando el punto M'-M" y dando como intersección una mordedura, según indican los planos Emites cr, y P,.

/

Fig.111 EJEMPLO 1.0@p.ll3 y 114). En este caso, los dos cilindros tienen el mismo diámetro. La intersección es un caso de mordedura con dos puntos dobles. En proyección vertical, la intersección está formada por dos rectas, y en proyección horizontal se confunde con la circunferencia base del cilindro vertical. Para obtener la intersección, basta cortar a los dos cuerpos por planos horizontales, que darán como intersección con los dos cilindros, circunferencias en uno y generatrices en el otro.

Fig.11 3

Fig. 112

Fig.114 117


En l a h . 114. se indican los desarrollos de los dos cilindros. 2 . O Ifig. 115). EJEMPLO

Es un caso particular del anterior; el eje del cilindro horizontal no es paralelo a L.T. y de esta forma pueden apreciarse las dos elipses que forman la intersección y que en el caso anterior se proyectaban según dos rectas.

EJEMPLO 1 Ifig. 116). Los dos prismas son hexagonales regulares, uno vertical y el otro frontal. La intersección se obtiene haciendo pasar olanos aral lelos al vertical por las aristas laterales del prisma frontal. De esta forma, la eeneratriz que pasa por 4' corta a las aristas que parten de O' y de R' en los puntos D ' - D y D',-D;. La arista que parte de 3' corta a las caras laterales del prisma vertical en los puntos C'-C" y '2,-C"1. .O

Flg. 115

EJEMPLO 2.0Ifigs. 11 7, 118y 119). Se trata de dos prismas cuadrangulares oblicuos. Se opera como en el caso de dos cilindros. Por un punto M'-M" se trazan las rectas r y S,paralelas a las aristas de los dos prismas; la traza a,del plano que ellas determinan, da la dirección de las trazas de los planos auxiliares. Los planos límites son y p,, siendo, por consiguiente, la intersección una mordedura. En l a j g . 117 se detalla la obtención de cada uno de los puctos de la intersección.

Fig. 11 6

Fig. 11 7


Tratándose de dos superficies radiadas, resolveremos este caso como los anteriores. Como el vértice del cilindro está en el infinito, la recta que le une con V es la r, paralela a las generatrices de dicho cilindro @g. 120). La traza de r con el plano de las directrices es el punto H y por él han de pasar las trazas de todos los planos auxiliares secantes. En la figura, los planos límites son a l y Pl, obteniendo la penetración del cono con el cilindro.

EJEMPLOIfig. 121). El cilindro de revolución tiene el eje paralelo a L. T. y el tronco de cono reposa en el plano H por su base. La intersección se obtiene por medio de planos horizontales que producen circunferencias y parejas de generatnces en el cono y en el cilindro, respectivamente; éstas se proyectan horizontalmente en verdadera magnitud. Los planos límites son a , y A,. Por cortarse los ejes, los puntos 1" y 5" son de la intersección.

Fig. I 2 I


En lapg. 122 se dibuja un caso de esta intersección, cuando los ejes de los dos cuerpos se cortan. El lector puede resolver, como ejercicio, la forma de obtener esta intersección.

Fig. 122

Fig. 123

69. INTERSECCION DE CONO Y PRISMA. (Figs. 123 1.174) Indicada claramente la posición de los dos cuerpos, veamos cómo se obtiene la intersección. Se hallan las secciones que producen las caras laterales del prisma en el cono. La cara superior da la semicircunferencia A'C'B', y la inferior, dos arcos de circunferencia iguales a Dr1. Las caras laterales producen, la posterior, dos generatnces, y la anterior, un arco de parábola. En la figura están indicados todos los pasos seguidos.

Fig. 124 120

Fig. 125


71. IXTERSECCION DE PRIS\IA Y CILINDRO. (Fig 126) La intersección es una penetración del prisma en el cilindro; en la figura se ha obtenido empleando planos paralelos al vertical, tales como el a,, etc. Estos planos producen parejas de generatrices en los dos cuerpos. Para determinar las generatrices del cilindro, nos auxiliamos de la tercera proyección.

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Se sigue el mismo procedimiento que el indicado para el cono y el cilindro. Por el vértice V de la pirámide, se traza la recta paralela a las aristas del prisma, por cuya traza M, con el plano de las directrices, han de pasar las trazas de los planos auxiliares secantes; de esta forma la recta VM es la arista del haz de planos secantes que producen parejas de generatrices en ambas superficies. Siguiendo este procedimiento seneral, se resuelve en la& 128 el problema en diédrico, para una pirámide regular de eje vertical y un prisma oblicuo. Desde el punto M, se trazan los pianos secantes auxiliares que pasan por las aristas de cada una de las superficies.


EJEMPLO Ifig. 129). La pirámide tiene por base, en el horizontal, el triángulo A'B'C' y por vértice el punto V (V'-V"). El prisma es triangular y está apoyado por una de sus caras laterales en el plano H. Para buscar la intersección, que es una penetración, basta hallar la intersección de las aristas laterales del prisma con la pirámide. Los puntos 2', 3', 4' y 7' son inmediatos. El resto de los puntos se obtiene con toda sencillez, tal como indica la figura.

Fig.129 73. INTERSECCION DE ESFERA Y TORO Ifig. 130).

El eje del toro es perpendicular al plano V. La intersección se obtiene por medio de planos paralelos al plano V; éstos producen en la esfera y en el toro circunferencias que, al cortarse, dan puntos de la intersección. Es una mordedura.


Desarrollo d e l a t u b e r i a

1

. .

1

Unidn de una tuberia cilĂ­ndrica


TRAZADO DE UN CODO DE VIROLAS CILINDRICAS

n


1

6

7

8

7

6

4

i

1

5

2

3

Desarrollo del p r i s m a ,

1

4

3

2

A

. PENETRACION DE UN PRISMA EN

OTRO PRISMA

i

Los ejes se c o r f o n y son oblicuos

i

i

i

1

.

INTERSECCION D E U N PRISMA Y DE UNA PIRAMIDE

126

1

:

i

i


Interseccibn de un cono y de un cilindro. (Los ejes se cortan y son perperdiculares PLANTA


Tiempo de e j e c u c i d n : 2 clases F o r m a t o de Idmina: A3 (en sentido v e r t i c a l ) Tema: Trayectoria de un rayo de luz en una escuadra dptica EJERCICIO: La cdmara poliédrica representada está revestida interiormente de espejo en todas sus caras con excepcidn de la inferior y lateral que es de vidrio. El valor del diedro, cuyas caras laterales son c¿ y B y cuya a rista es CD, es de 90". Se dibujará la vista frontal superior y sus proyecciones sobre un nuevo plano y 1 h' y un nuevo plano H , 1 5 .Adernds se trazará la trayectoria del rayo r en el interior de la cámara en todas las vistas . Datos: Medidas en mm. ESCALA 5 : l

' i


Tiempo de e j e c u c i d n : 1 clase. F o r m a t o de I d m i n a : A 3 . Tema:Representacidn de u n a pieza apoyada sobre u n plano o b l i c u o . EJERCICIO : R e p r e s e n t a r a escolo 7 : I las vistas superior y f r o n l o l del objeto representado. en el casa de que l a a r i s t a AB seo horizontal y f o r m e 30째 con el plano v e r t i c a l de proyeccidn : el plano de la cara ABCD debe formar u n dngulo de 30' con e l plano horizontal de proyecci6n.Lo r e c t a AB t e n d r b r u m b o S E y el p l a n o de la cara ABCD pendiente ascendente hacia el NE. Se r e s o l v e r 6 e l p r o b l e m a por tres cambios de planos sucesivas: HV,, Vl Hl y HI tales que en el p r i m e r s i s t e m a A B r e s u l t e r e c t a de p u n t a , en e l segundo sistema el plano ABCD resulte h o r i z o n t a l y en el tercer s i s t e m a e l s e g m e n t o BC r e s u l t e de punta.

9

DATOS :

A" 1155 , 180 1 : A' 1 755.90 1 ; 0 1213 ,270)

O : Es el punto de i n t e r s e c c i b n de las Ilneas de referencia V,H y I/IHI.

La IIneo de referencia HI $ coincidird con l a VH ( c o n g r u e n l e con A"B'7


Formato de lbmina :A3. Tema: Conducto de aspiracidn. EJERCICIO : Determinar la vista fronfal y desarrollo del conducto dado DA TOS :

Escala 1 : l Medidas en m.m,

manual DT  

manual de ayuda al libro