E-modul Teorema Phytagoras

TEOREMA PHYTAGORAS Mata Pelajaran Matematika Kelas VIII SMP/ MTs Penulis: Dian Pangestika (180402006) E Modul untuk Pembelajaran Mandiri

2. Memeriksa Tripel Phytagoras dan jenis segitiga

3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Teorema Phytagoras. Deskripsi: Kegiatan pembelajaran mandiri merupakan kegiatan yang mendorong siswa untuk menguasai suatu kompetensi tertentu sehingga bisa menyelesaikan suatu permasalahan. Melalui e modul ini, siswa diarahkan untuk memegang kendali dalam proses pembelajaran. Pada kegiatan pembelajaran mandiri ini, siswa akan mempelajari materi tentang Teorema Phytagoras. Setelah mempelajari e modul mengenai Teorema Phytagoras ini, siswa diharapkan dapat mengenal dan mengetahui manfaat Teorema Phytagoras sehingga dapat menerapkannya pada permasalahan sehari hari. Modul ini akan disajikan dalam tiga kegiatan belajar, yakni: 1. Memeriksa kebenaran Teorema Phytagoras

2. Triple Phytagoras dan Jenis Segitiga 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Teorema Phytagoras Agar memperoleh hasil yang maksimal dalam pembelajaran mandiri ini, ikuti petunjuk pembelajaran berikut: 1. Baca dan pahamilah dengan cermat bagian pendahuluan, untuk apa dan bagaimana mempelajari e modul ini. 2. Lakukan semua kegiatan yang dianjurkan sesuai petunjuk e modul Peta Konsep: PhytagorasTeorema Triple Phytagoras Segitiga segitiga Khusus Segitiga Siku siku Sama Kaki Segitiga Siku siku Sudutdengan 30°;60°; 90° PhytagorasPenerapanTeorema PENDAHULUAN

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 1

Kompetensi Inti: 4 Mengolah, menyaji dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

Kompetensi Dasar: 4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras Tujuan Pembelajaran: 1. Menemukan dan memeriksa kebenaran Teorema Phytagoras.

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 2 MEMERIKSA KEBENARAN TEOREMA PHYTAGORAS A. Pembuktian teorema Phytagoras menggunakan 4 buah segitiga siku siku 1. Buatlah 4 buah segitiga siku siku menggunakan kertas. 2. Berilah keterangan pada setiap gambar segitiga tersebut dengan panjang alas = a, tinggi = b, dan sisi miring = c seperti gambar berikut: 3. Luas segitiga I, II, III, dan IV: ��∆��= 1 2 × alas × tinggi ��∆����= 1 2 × alas × tinggi ��∆������= 1 2 × alas × tinggi ��∆����= 1 2 × alas × tinggi 4. Jumlah luas keempat segitiga tersebut: Luas 4∆=��∆�� +��∆���� +��∆������ +��∆���� = (1 2 × alas × tinggi) + (1 2 × alas × tinggi) + (1 2 × alas × tinggi) + (1 2 × alas × =tinggi) 4 2 × alas × tinggi = 2× alas × tinggi 5. Susunlah keempat segitiga tersebut seperti gambar di bawah ini: 6. Apa bangun yang terbentuk setelah keempat segitiga tersebut tersusun? 7. Terbentuk bangun persegi kecil. KEGIATAN BELAJAR 1

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 3 Sisi persegi kecil = �� �� Luas sisi persegi kecil =(�� ��)(�� ��)=��2 2����+��2 8. Keempat segitiga tersebut membentuk segitiga besar dengan panjang sisi �� Sehingga luas persegi besar =���� =��2 9. Tulislah kesimpulan untuk membuktikan teorema Phytagoras, bahwa: Luas persegi besar sama dengan luas 4 segitiga ditambah luas persegi kecil. B. Pembuktian teorema Phytagoras dengan persegi satuan 1. Siapkan 3 buah persegi dengan luas masing masing 9 satuan, 16 satuan, dan 25 satuan. Kemudian tempelkan sebuah persegi dangan luas 9 satuan pada alas segitiga, persegi dengan luas 16 satuan pada tinggi segitiga dan persegi dengan luas 25 satuan pada sisi miring segitiga seperti gambar di bawah ini: 2. Buatlah keterangan pada segitiga dengan alas = b, tinggi = a, dan sisi miring = c 3. Panjang sis a, b, dan c masing masing adalah 4, 3, 5 cm 4. Apakah hubungan Luas persegi I, II, dan III? Perikasalah hasil pembuktian kalian dengan beberapa contoh di bawah ini! Contoh 1: A B C

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 4 Luas Persegi A Luas Persegi B Luas Persegi C Hubungan A, B, C 4×4=16 3×3=9 4×��∆+��∎ =4×(1 2.3.4)+(1.1) =24+1 =25 ����+���� =���� 16+9= 25 42 +32 =52 Contoh 2: Luas Persegi A Luas Persegi B Luas Persegi C Hubungan A, B, C 5×5=25 4×4=16 4×��∆+��∎ =4×(1 2.4.5)+(1.1) =40+1 =41 ����+���� =���� 25+16=41 52 +42 =(√41)2 PadaKesimpulan:segitiga siku siku dengan panjang sisi a, b, dan c sebagai sisi miring (sisi yang terpanjang), maka berlaku: ��2 +��2 = ��2 A B C

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 5 Rumus ini dikenal sebagai Teorema Phytagoras: “Pada segitiga siku-siku, jumlah kuadrat sisi-tegaknya sama dengan kuadrat sisi miring” SisiKeterangan:miring(hipotenusa) terletak di depan sudut siku siku Pembuktian dengan Aljabar: Contoh: 1. Tentukan panjang sisi hipotenusa (panjang sisi c) segitiga di bawah ini! Penyelesaian: ��2 +��2 =��2 52 +122 =��2 25+144=��2 169=��2 √169=�� 13= �� Jadi panjang sisi hipotenusa segitiga tersebut adalah 13. ��∎���������� =��∎���������� +4��∆ (��+��)2 =��2 +4(1 2����) ��2 +2����+��2 =��2 +2���� ��2 +2���� 2����+��2 =��2 +2���� 2���� ��2 +��2 =��2 ��2 = ��2 +��2 ��2 =��2 +��2 ��2 =��2 +��2

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 6 2. Sebuah persegi memiliki panjang sisi 5 cm. Tentukan panjang diagonal persegi tersebut! (misalkanpanjangdiagonal=d)Penyelesaian: 52 +52 =��2 25+25=��2 50= ��2 √50=�� 5√2=�� Jadi panjang diagonal persegi tersebut adalah 5√2

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 7 1. Tentukan panjang ��! 2. Tentukan panjang ��! 3. Tentukan panjang ��! 4. Apakah segitiga yang memiliki panjang sisi 9 cm, 12, cm, dan 18 cm merupakan segitiga siku siku? Jelaskan! 5. Sebuah pesawat Garuda Airlines terbang dari kota A ke arah timur menuju kota B menempuh jarak 475 km, kemudian berbelok ke arah utara menuju kota C menempuh jarak 600 km, kemudian berbelok ke arah timur menuju kota D menempuh jarak 325 km. Berapakah jarak kota A dengan kota D? Jelaskan! TES FORMATIF 1

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 8 TRIPEL PHYTAGORAS DAN JENIS SEGITIGA A. Tripel Phytagoras Tripel Phytagoras merupakan kelompok tiga bilangan yang memenuhi persamaan rumus Phytagoras. 1)Contoh:Apakah 15, 20, 25 adalah Tripel Pythagoras? Penyelesaian: Sisi terpanjang = 25 152 +202 …. 252 225+400….625 625=625 Jadi 15, 20, 25 adalah Tripel Pythagoras 2) Apakah 7, 12, 13 adalah Tripel Pythagoras? Penyelesaian: Sisi terpanjang = 13 72 +122 …. 132 49+144….169 193≠169 Jadi 7, 12, 13 adalah bukan Tripel Pythagoras B. Jenis Segitiga Jenis segitiga jika dilihat dari besar sudutnya: 1) Segitiga siku-siku : salah satu sudutnya siku-siku (90°) 2) Segitiga lancip : ketiga sudutnya lancip (<90°) 3) Segitiga tumpul : salah satu sudutnya tumpul (>90°) 1) Segitiga siku-siku a,b,c adalah sisi segitiga dengan sisi terpanjangnya c. Jika ��2 =��2 +��2, maka segitiga tersebut siku siku 2) Segitiga lancip a,b,c adalah sisi segitiga dengan sisi terpanjangnya c. Jika ��2 <��2 +��2, maka segitiga tersebut siku siku KEGIATAN BELAJAR 2

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 9 3) Segitiga tumpul a,b,c adalah sisi segitiga dengan sisi terpanjangnya c. Jika ��2 >��2 +��2, maka segitiga tersebut siku siku Contoh: Selidiki apakah sisi sisi segitiga berikut membentuk segitiga siku siku, lancip, atau tumpul! a. 8,12,17 Bukti: Sisi terpanjang = 17 172 82 +122 289 64+144 289>208 Jadi panjang sisi sisi tersebut membentuk segitiga tumpul b. 9,15,16 Bukti: Sisi terpanjang = 16 162 92 +152 256….81+225 256<336 Jadi panjang sisi-sisi tersebut membentuk segitiga lancip c. 10,24,26 Bukti: Sisi terpanjang = 26 262….102 +242 676….100+576 676=676 Jadi panjang sisi sisi tersebut membentuk segitiga siku siku

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 10 1. Isilah tabel berikut untuk mencari bilangan Tripel Phytagoras: �� �� (��2 +��2) (��2 ��2) �� �� Hubungan Tripel Phytagoras 5555444332 4321321211 22 +12 =5 22 12 =3 2.2.1= 4 52 = 32 +42 5,3,4 2. Manakah kelompok bilangan berikut yang membentuk segitiga siku siku, lancip, atau tumpul? Berikan penjelasan! a. 13;9;11 b. 18;22;12 c. 6;2,5;6,5 d. 10;20;24 e. 130;120;50/ f. 21 2;6;631 2 TES FORMATIF 2

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 11 MENYELESAIKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN TEOREMA PHYTAGORAS Phytagoras dapat diterapkan dalam berbagai bidang. Masalah sehari-hari yang sering berkaitan dengan teorema Phytagoras adalah masalah yang berhubungan dengan jarak atau panjang bangun datar maupun bangun ruang. Contoh: 1. Perhatikan gambar jembatan Ampera di bawah ini. Jika diketahui tinggi menara 24 m dan jarak kabel dengan bawah menara adalah 70 m, hitunglah panjang kabel jembatan Ampera tersebut dengan menggunakan teorema Phytagoras! Penyalesaian: TinggiMisalkan,menara = �� =24 m Jarak kabel denganbawah menara = �� = 70 m Panjang kabel jembatan = �� = ? Berdasarkan teorema Phytagoras, ��2 . =��2 +��2 =242 +702 =576+4900 =5476 ��. =√5476 =74 Jadi, panjang kabel jembatan adalah 74 m. 2. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi masing masing tiang adalah 12 m dan 22 m, hitunglah kawat penghubung antara ujung tiang tersebut. Penyelesaian: Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini. KEGIATAN BELAJAR 3

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 12 Di mana AB merupakan tinggi tiang pertama, CE merupakan tinggi tiang kedua, dan AE merupakan panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama dan ujung tiang kedua, sehingga panjang kawat AE dapat dicari menggunakan teorema Phytagoras. Langkah pertama yaitu dengan mengetahui terlebih dahulu panjang DE, yakni: ���� = ���� ���� ���� = 22 12 ���� =10 Dengan menggunakan teorema Phytagoras, panjang AE yakni: ���� =√����2 +����2 ���� =√242 +102 ���� = √576+100 ���� =√676 ���� = 26 Jadi, panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama dengan ujung tiang kedua adalah 26 m.

2. Anik berdiri di depan salah menara tandon air di Kampung Pelangi. Jarak Anik sampai ke menara tendon air tersebut 5 meter. Arah pandang Anik ke puncak menara tersebut membentuk sudut 60o. Berapa tinggi menara tendon air tersebut?

1. Setiap malam minggu akhir bulan di Kampung Pelangi mengadakan kemah pramuka. Ali mendirikan tenda, salah satu tiang tenda diikat tali sepanjang 3 meter. Ujung tali diikatkan di tiang sedangkan ujung yang lain diikat dan ditancapkan di tanah. Jarak ikatan bawah sampai ke tiang 1,8 meter. Berapa tinggi kemah tersebut?

3. Saat berjalan jalan di lapangan Kampung Pelangi, Dinda melihat dua orang temannya Nia dan Fika. Nia berada 12 meter di sebelah utaranya, sedangkan Fika berada 9 meter di sebelah baratnya. Berapa jarak Nia dan Fika?

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 13

TES FORMATIF 3

TEOREMA PHYTAGORAS KELAS VIII SMP/MTS 14 Pelangi, (Dariyanto, 2021)(Safitri, 2022)(SMP N 1 Mejayan, 2022)(Budihardjo, 2018)(As’ari et al., 2017) As’ari, A. R., Tohir, M., Valentino, E., Imron, Z., & Taufiq, I. (2017). MatematikaKelas VIIISMP/MTsSemester2 (Revisi). Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud. http://buku.kemdikbud.go.id Budihardjo. (2018). Modul Tema 8: Kampung Pelangi. In MatematikaPaketBSetara SMP/MTsKelasVIII (pp. 1 38). Kemdikbud. https://emodul.kemdikbud.go.id/BMtk 8/B Mtk 8.pdf Dariyanto, T. (2021). Modul Pythagoras Kemdikbud. Safitri,https://pubhtml5.com/bphn/pppw/basicI.(2022).E-Modul Teorema Phytagoras. SMPhttps://online.flipbuilder.com/hecgr/jpcw/index.html#p=1N1Mejayan.(2022). Modul 1 Teorema Pythagoras. 1 17. https://smpn1mejayan.sch.id/wp content/uploads/2022/01/e MODUL Teorema Pythagoras.pdf DAFTAR PUSTAKA