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caderno do

ensino médio a

1 - SÉRIE volume 1 - 2009

matemática

PROFESSOR


Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-186-4 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título. CDU: 373.5:51


Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo


Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

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Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

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Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos – Regularidades numéricas e/ ou geométricas 11 Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas ou progressões geométricas

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Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira 36 Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 51 Orientações para Recuperação

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Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 59 Considerações finais

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Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

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Ficha do caderno Sequências numéricas

nome da disciplina:

Matemática

Área:

Matemática

etapa da educação básica:

Ensino Médio 1a

Série: Período letivo: Temas e conteúdos:

1o bimestre de 2009 Conjuntos numéricos: regularidades numéricas e/ou geométricas Progressões aritméticas e progressões geométricas

Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita: aplicações à Matemática Financeira

Limite da soma dos termos de uma PG infinita

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orienTação geral Sobre oS cadernoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos e as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento de cada um deles. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das

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outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4) que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados, também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Conteúdos básicos do bimestre A abordagem dos conceitos deste 1o bimestre da 1a série, relativos ao bloco Números e Sequências, priorizará aspectos considerados fundamentais para a compreensão de alguns dos diferentes significados dos conceitos envolvidos. O primeiro aspecto do qual pretendemos ressaltar a importância para este estudo refere-se ao reconhecimento da regularidade envolvida na construção de sequências numéricas ou de sequências geométricas. Para tanto, propomos que o início do trabalho se dê com a retomada das características dos conjuntos numéricos, a fim de que os alunos percebam, por um lado, a regularidade do conjunto dos números naturais e dos números inteiros e, por outro, a questão da densidade dos números reais. Partindo do conhecimento desses conjuntos, esperamos que os alunos possam relacionar a regularidade dos números naturais à de outras sequências numéricas e também geométricas, identificando essa regularidade, sempre que possível, por intermédio de uma equação matemática. Para tanto, apresentamos, na Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos nu­ m��ricos; regularidades numéricas e/ou geo­ métricas, uma série de situações-problema exemplares, para que o professor possa optar pela utilização total ou parcial no início de seu trabalho. Partindo do princípio de que os alunos devem reconhecer a regularidade de sequências numéricas de qualquer natureza e escrever equações matemáticas que reflitam

a regularidade observada, julgamos importante que não sejam tratadas de maneiras completamente distintas as sequências aritméticas e as sequências geométricas, como se costuma observar nos livros didáticos. Essa proposta de abordagem simultânea dos dois tipos mais comuns de sequências, as PAs e as PGs está contemplada na Situa­ ção de Aprendizagem 2 – Progressões aritmé­ ticas ou progressões geométricas e permite, ao nosso ver, que o foco do tratamento conceitual se desloque do formalismo algébrico para a construção do significado real e importante das características da regularidade de cada sequência. Progressões aritméticas ou geométricas estão presentes em várias situações contextualizadas, conforme alguns modelos apresentados na Situação de Aprendizagem 2, e não costumam trazer dificuldades adicionais de compreensão para os alunos. Dentre as inúmeras aplicações desse conteúdo, destacamos especialmente uma, na Situa­ ção de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita; aplicações à Matemática Financeira, quando propomos que problemas clássicos de cálculos de juros e de montantes envolvidos em processos de capitalização ou amortização componham o contexto possível para o tratamento da soma de um número finito de termos de uma PA ou de uma PG. Para o desenvolvimento das atividades que compõem essa Situação de Aprendizagem, conforme justificaremos adiante, julgamos fundamental que os alunos possam dispor de calculadoras.

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O conceito de infinito, de suma importância em Matemática, costuma ser bastante motivador para o estudo de alguns conceitos, desde as séries iniciais, quando os alunos tomam contato com a ideia do “mais 1”, que conduz à construção do campo numérico dos naturais. A ideia da quantidade infinita de números existente entre dois números reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo que parece inicialmente estranho para nossos alunos, mas pode, pouco a pouco, firmar-se como um conceito fundamental da Matemática, dependendo das diferentes abordagens que destinamos ao conceito durante toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto é, com o objetivo de que os estudantes construam, gradual e lentamente, o conceito de limite de uma função, não devemos perder oportunidades que surjam durante nossas aulas para, de maneira apropriada ao momento, abordar a ideia de limite. É nesse contexto que propomos a realização da sequência de atividades que compõem a Situação de Aprendizagem 4 – limite da soma dos infi­ nitos termos de uma PG infinita, durante a qual o foco estará sempre colocado sobre o conceito de limite, em detrimento de dificuldades de natureza algébrica.

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A organização do trabalho do bimestre, com base nas considerações anteriores, pode ser feita nas oito unidades seguintes, referentes, aproximadamente, a oito semanas.

Quadro geral de conteúdos do 1o bimestre da 1a série do Ensino Médio unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade. unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações. unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações. unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita. unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira. unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira. unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita. unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

SituAçõES dE APrEndizAGEM

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1 CONjuNtOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICAS E/Ou GEOMÉtRICAS

tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequências numéricas. Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral; obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente; reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas. Estratégias: resolução de exercícios exemplares.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Na 1a série do Ensino Médio, é bem provável que os alunos conheçam os conjuntos numéricos, Naturais, Inteiros, Racionais e Reais, e é provável, também, que tragam construída a ideia preliminar da relação entre dois subconjuntos desses conjuntos, conhecimento este que é a base do conceito de função. Se a premissa é verdadeira, cabe ao professor relembrar aos alunos algumas características desses conjuntos, com o objetivo de construir a base para a apresentação, posterior, das leis de formação das sequências numéricas. Caso a premissa não seja verdadeira, isto é, se os alunos não conhecem com qualidade os conjuntos numéricos, convém que o professor apresente a eles, formalmente, cada conjunto (N, z, Q e R), antes de iniciar a aplicação da Etapa 1.

Conhecidos os conjuntos numéricos, os alunos poderão reconhecer que, na maioria das vezes, uma sequência ordenada de números pode ser identificada por intermédio de uma sentença matemática que relaciona um número natural a um número real. Essa ideia é fundamental para o estudo das relações de dependência entre um par de grandezas, ou, em outros termos, para o estudo das funções. Nesta Situação de Aprendizagem, exploraremos, inicialmente, na Etapa 1, a construção dos conjuntos numéricos e algumas de suas propriedades. Em seguida, apresentaremos algumas sequências, em que será possível a identificação de determinados padrões de regularidades, e pediremos que os alunos descrevam, em língua materna, a regularidade que identificam. Isso feito, o próximo passo será pedir que os alunos encontrem termos sucessivos dessas sequências, caso elas mantenham a regularidade observada. Completando a primeira

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etapa, os alunos serão convidados a exprimir a regularidade observada, por intermédio de uma sentença matemática. Realizada a etapa inicial, proporemos, na Etapa 2, que os alunos obtenham sequências numéricas a partir de condições dadas em língua materna ou em linguagem matemática e, ainda, que obtenham termos determinados de algumas dessas sequências.

Etapa 1 – observando padrões e regularidades Inicialmente, recomendamos que o professor liste o conjunto dos números naturais e dos números inteiros para, em seguida, pedir que identifiquem alguns subconjuntos descritos por informações comunicadas em língua materna, como, por exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Quais são os elementos do conjunto numérico assim formado:

apropriados, poderá ser pedido que os alunos transcrevam as informações comunicadas em língua materna para a linguagem matemática. No caso dos exemplos anteriores, teríamos: a) {x ∈ N / x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. b) {x ∈ N / x ≥ 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}. c) {x ∈ z / – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. d) {x ∈ z / |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Discutidos alguns casos, como exemplificado, recomendamos que os alunos se envolvam na resolução dos seguintes problemas:

Problema 1 Dados os conjuntos seguintes, descritos em linguagem cotidiana, encontre, em cada caso, seus elementos e traduza a descrição dada para a linguagem matemática. a) O conjunto A é formado por números naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a 11.

a) números naturais menores do que 7. {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. b) números naturais maiores ou iguais a 8. c) números inteiros menores do que 7 e maiores do que –2. d) números inteiros cujo valor absoluto é menor do que 4. Em seguida, após a exposição desses e de outros exemplos que o professor julgar

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b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 6. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a –3 e menores do que 5. {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a –2. {–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Problema 2 Quais são os cinco menores números que pertencem a cada um dos seguintes conjuntos? a) E é o conjunto dos números naturais que são divisíveis por 4. E = {0, 4, 8, 12, 16}. b) F é o conjunto dos números naturais ímpares maiores do que 7. F = {9, 11, 13, 15, 17}. c) G é o conjunto dos números inteiros que, elevados ao quadrado, resultam em um número menor do que 10. G = { –3, –2, –1, 0, 1}. d) H é o conjunto dos números naturais que, quando dobrados e somados a 1, resultam em um número maior do que 7. H = {4, 5, 6, 7, 8}. Após a resolução desses e de outros problemas de mesma natureza, convém questionar os alunos sobre como descrever, em linguagem matemática, os conjuntos E, F, G e H do Problema 2. O desafio pode ser lançado aos alunos a fim de que seja verificada a compreensão que podem ou não ter conseguido da atividade. Embora possam ser aceitas diferentes respostas,

caberá ao professor avaliar aquelas que apresentam maior grau de correção, valorizandoas. De qualquer maneira, apresentamos, a seguir, possíveis respostas corretas. E = {4n, sendo n ∈ N, e n < 5}. F = {2n + 1, sendo n ∈ N, e 4 ≤ n ≤ 8}. G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}. H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N, e n < 9}. A resolução e a discussão desses problemas iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir a notação apropriada para a designação de termos de uma sequência numérica. Todavia, antes que isso seja implementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante que os alunos se detenham um pouco mais na identificação das regularidades de algumas sequências. A sequência dos números naturais é construída, como sabemos, pelo acréscimo de uma unidade a um termo já conhecido. A fim de proporcionar aos alunos a oportunidade de observar regularidades e perceber que, muitas vezes, é possível construir uma “receita” ou uma sentença que indique como a sequência deve continuar, o professor pode apresentar tipos diferentes de sequências para que os alunos observem as propriedades de seus elementos e descubram a lei de formação, ou seja, o padrão utilizado para a construção da sequência. Oriente-os a construir uma sentença algébrica que permita calcular um termo qualquer, em função de sua posição na sequência (sequências, sob o ponto de vista funcional).

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Assim, uma possível abordagem desse tema pode iniciar-se com a proposição de questões que envolvam sequências repetitivas ou não, solicitando do estudante que observe o padrão de cada uma, escreva os próximos termos e determine, por exemplo, o centésimo termo da sequência.

Para tanto, o aluno deverá perceber que a sétima figura é igual à primeira, a oitava figura é igual à segunda e assim por diante. Ou seja, cada período é formado por seis figuras; portanto, a 152a figura será igual à segunda, pois tanto o número 2 (que indica a posição da segunda figura) quanto o número 152 (que indica a posição da 152a figura), quando divididos por 6, deixam resto 2.

f 1, 1, 1, 1, 1, ..., ..., ...

Assim, o professor poderá auxiliar os alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7, 13, 19, etc. são todas iguais à primeira figura, pois os números 1, 7, 13, 19, etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo, as Figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc., quando divididos por 6, deixam resto 3 e assim sucessivamente.

f 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ... f 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, ... É importante que o professor auxilie os alunos na observação de que, nessas sequências, os motivos (períodos) são repetidos igualmente – um elemento ou um grupo de elementos se repete periodicamente –, levando-os a perceber que essa característica deve ser levada em conta, na organização dos dados, para a identificação do termo solicitado.

A exploração de sequências repetitivas, numéricas ou não, favorece a discussão sobre algumas noções trabalhadas nas séries anteriores, como múltiplos, divisores e regras de divisibilidade, e permite uma aproximação da noção de congruência, uma vez que trabalha com números que, divididos por um determinado número inteiro, apresentam o mesmo resto.

As sequências figurais também podem enriquecer o trabalho com a observação de regularidades e generalização de padrões. No caso da sequência abaixo, o professor pode, por exemplo, solicitar que o aluno indique a figura que deve ocupar a 152a posição.

1

2

3

4

5

Realizada a discussão do exemplo proposto e de outros que o professor julgar apropriados, propomos que os alunos resolvam os seguintes problemas:

6

7

8

Problema 3 Observe a sequência de figuras:

3

4

14

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

...


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Supondo que a lei de formação continue a mesma, desenhe as figuras que deverão ocupar as posições 38a e 149a, nessa sequência. Justifique sua resposta. A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posição 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.

Problema 4 Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça a lei de formação dessa sequência, determine o 38o e o 149o termos dessa sequência. O período é de cinco números. Assim, o 38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da sequência é o número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto termo da sequência é o número 3.

Problema 5 Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívida exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da semana cairá o 90o dia?

árvores. No primeiro dia, foram plantadas 120 árvores, e planejou-se que, nos próximos dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores a mais do que teria sido plantado no dia anterior. Isso sendo feito, a) quantas árvores serão plantadas no sétimo dia? 6 . 10 + 120 = 180 árvores. b) qual é o número x, se, no final do décimo dia, havia-se plantado a metade do total previsto inicialmente? No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210 ⇒ S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210 S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total) Total de árvores = 1 650 . 2 x = 3300

Problema 7 Observe os seis primeiros termos de uma sequência. (I) 1 2 3 4 A B C D

A B C D (III) 1 2 3 4

O período é de sete dias. A divisão de 90 por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será o sexto elemento da sequência dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90o dia será terça-feira.

A B C D

Problema 6

A B C D

Um processo de reflorestamento previa a plantação de um número x de mudas de

(II) 1 2 3 4

(IV) 1 2 3 4 A B C D

(V) 1 2 3 4

(VI) 1 2 3 4 A B C D

15


Supondo que a regularidade observada na formação desses termos seja mantida para a formação dos demais, isto é, que o termo (I) seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja igual ao termo (VIII) e assim por diante, a) quais quadrículas estarão pintadas no termo (XXX)? O período da sequência é de seis termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim, o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3, D3 e D4. b) quantas vezes a quadrícula B2 terá sido pintada, desde o termo (I) até o termo (XIX)? A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2 será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.

Professor, uma prática que costuma motivar os alunos e aproveitar, de forma mais intensa, seus conhecimentos anteriores é solicitar-lhes que, com base nas condições desse problema, criem diversas questões, para que sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos, sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de atividade é um consistente instrumento no estímulo à metacognição, isto é, estimula cada aluno a refletir sobre como elabora e mobiliza suas estratégias de raciocínio durante uma etapa de resolução de problemas.

16

Etapa 2 – Sequências definidas por sentenças matemáticas Nesta etapa, os alunos serão convidados a obter sequências numéricas a partir de condições definidas, inicialmente, na língua materna e, posteriormente, na linguagem matemática. Além disso, desenhando um percurso inverso ao anterior, uma série de problemas será proposta para que os alunos obtenham a expressão do termo geral de determinada sequência numérica. Propomos que o exemplo seguinte seja apresentado e discutido com os alunos antes que eles se envolvam com a resolução dos problemas propriamente dita. Em uma sequência numérica, o primeiro termo é uma fração de numerador 1 e denominador 4. Os termos seguintes ao primeiro podem ser obtidos adicionando sempre uma unidade ao numerador e ao denominador da fração do termo imediatamente anterior. a) Quais são os cinco primeiros termos dessa sequência? 1 2 3 4 5. , , , , . 4 5 6 7 8 b) Chamando o primeiro termo de a1, o segundo termo de a2, o terceiro de a3 e assim por diante, quanto é a9? 9 . . 12 c) Quanto é a54? 54 . . 57


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d) Como se pode determinar um termo an qualquer? Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é igual a n e o denominador é 3 unidades a mais do que n, isto é, é igual a n + 3. Assim, an = n . n+3 Chamamos a atenção do professor para o fato de que o conjunto de problemas desta etapa envolve sequências numéricas de várias naturezas, e não apenas as aritméticas e as geométricas, e também para a necessidade de os alunos escreverem em língua materna a regularidade expressa na linguagem matemática.

Problema 1 Em uma sequência numérica, o primeiro termo é igual a 2, e os seguintes são obtidos a partir do acréscimo de 3 unidades ao termo imediatamente anterior. Nessa sequência: a) quais são os cinco primeiros termos?

Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor que uma expressão geral deva conter o termo 3 . n. Para que a1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3 . n. Assim, an = 3 . n – 1.

Problema 2 Para obter os termos de uma sequência numérica, é necessário fazer o seguinte: 1. Elevar a posição do termo ao quadrado, isto é, calcular 12 para o primeiro termo, 22 para o segundo termo, 32 para o terceiro termo e assim por diante. 2. Adicionar duas unidades ao resultado obtido após elevar ao quadrado a posição do termo. Para essa sequência numérica: a) quais são os cinco primeiros termos?

(2, 5, 8, 11, 14). b) qual é o a10?

(3, 6, 11, 18, 27).

(29).

b) qual é o oitavo termo?

c) qual é o a20?

a8 = 82 + 2 = 66.

(59). d) como se pode determinar um termo an qualquer? Somando o termo inicial, 2, a um certo número de termos sempre iguais a 3. Para obter um termo n qualquer, devemos somar o primeiro termo, 2, com n – 1 termos iguais a 3. Assim, an = 2 + 3 . (n – 1) = 3 . n – 1.

c) qual é o a20? a20 = 202 + 2 = 402. d) como se pode determinar um termo an qualquer? an = n2 + 2.

17


Problema 3 Observe os cinco primeiros termos da seguinte sequência numérica: 5 3 7 , , . 3 2 5

3, 2,

Verifique que é possível determinar os termos dessa sequência a partir da expressão n+2 , atribuindo a n valores naturais an = n maiores do que zero.

9 . 11

10 – 1 9 pode ser escrito como . 10 + 1 11 Portanto, ele é o décimo termo.

O termo

Problema 5 uma determinada sequência numérica tem 1 a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = . Nessa sequência, 3 qual é:

Para n = 1 ⇒ a1 =

1+2 = 3; 1

Para n = 2 ⇒ a2 =

2+2 = 2; 2

a) o quinto termo?

Para n = 3 ⇒ a3 =

3+2 5 = . 3 3

Cada termo da sequência, a partir do segundo, é obtido pela divisão do anterior por 3. Assim, o quinto termo será igual a

Problema 4 A expressão an =

n –1 é a expressão do n +1

termo geral de uma sequência numérica, isto é, os termos da sequência podem ser obtidos, se forem atribuídos a n valores naturais maiores do que zero. Para essa sequência, encontre: a) a1 1–1 a1 = = 0. 1+1 b) a5 a5 =

5–1 4 2 = = . 5+1 6 3

c) o oitavo termo a8 =

18

d) a posição do termo que é igual a

7 8–1 = . 9 8+1

1 1 ÷3= . 9 3 b) o a6? a6 = a5 ÷ 3 =

1 1 . ÷3= 27 9

c) a posição do termo que é igual a Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e termo,

1 ? 81

1 é o sexto 27

1 é o sétimo termo. 81

Problema 6 Qual das duas expressões listadas a seguir é a expressão do termo geral da sequência do exercício anterior? (Lembre-se que n é o número que dá a posição do termo na sequência,


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isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5, temos o quinto termo e assim por diante.) 9 an = n 3

an = 33 – n

O termo geral da sequência é an = 33 – n, que poderá ser verificado a partir da substituição de n por números naturais maiores do que zero.

Problema 7 A sequência dos números pares positivos é esta: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... Nessa sequência: a) qual é o décimo termo? O décimo termo é 18. b) qual é o 15o termo? O 15o termo é 28. c) qual é o a35? a35 = 68. d) qual é o a101? a101 = 200.

Problema 8 Escreva os cinco primeiros termos da sequência dos números ímpares positivos. 1, 3, 5, 7, 9... Nessa sequência: a) qual é o décimo termo? a10 = 19. b) qual é o a13? a13 = 25. c) qual é o a25? a25 = 49. d) como se pode determinar um termo an qualquer? Fazendo 2 . n – 1, em que n é um número natural maior do que zero.

Problema 9 Observe a sequência numérica 1, 4, 9, 16, 25, ... Nessa sequência, qual é: a) o sexto termo?

e) qual é a posição do termo que é igual a 420?

O sexto termo é 62 = 36.

420 é o 211o termo.

b) o a7?

f) como se pode determinar um termo an qualquer?

a7 = 72 = 49.

Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número natural maior do que zero.

c) a expressão de seu termo geral? an = n2.

19


Problema 10

b) Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de quadrinhos brancos, em função da posição n da figura na sequência. (Sugestão: você pode organizar os dados em uma tabela como a que segue.)

uma sequência numérica é dada pelo seguinte termo geral: an = n + 1 Para essa sequência, determine:

Posição da número de número de quadri­ figura na quadrinhos nhos brancos sequência pretos 1 1 0

a) os cinco primeiros termos. 2 , 3 , 2, 5 , 6 . b) os cinco primeiros termos que sejam números inteiros.

2

2

2² – 2

3

3

3² – 3

4

4 n

4² – 4

n

n² – n = n . (n – 1)

Os cinco primeiros termos representados por números inteiros serão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito.

c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 39a figura dessa sequência?

a3 = 2

Problema 12

a8 = 3

a15 = 4

a24 = 5

39² – 39 = 1 482 = 39 . 38.

a35 = 6

Problema 11 Observe a sequência de figuras.

A seguir, estão os primeiros elementos de uma sequência de figuras que representam os chamados números quadrangulares. Analiseos e responda às questões propostas.

1

2

3

4

5

a) Quantos quadrinhos deverá ter o sexto elemento dessa sequência? E o décimo termo? Responda: a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a sexta figura dessa sequência? 30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.

20

36; 100. b) Escreva a expressão do termo geral dessa sequência. n².


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Problema 13

Problema 14

Observe a figura:

Observe as linhas completas da tabela e complete as que estiverem em branco. Adição

1

3

5

7

a) qual é a soma dos números escritos abaixo da quinta figura? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. b) que relação pode ser estabelecida entre esse resultado e a figura analisada? A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao total de quadrinhos que formam a figura. Os números escritos abaixo da figura são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 5² = 25. c) utilize os resultados de suas observações para determinar, sem efetuar a adição, o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15. 8² = 64.

1 + 3 = 4 = 2²

A soma dos dois primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 2.

1 + 3 + 5 = 9 = 3²

A soma dos três primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 3.

1+3+5+7= 16 = 4²

A soma dos quatro primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 4.

1+3+5+7+9= 25 = 5²

A soma dos cinco primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 5.

1+3+5+7+9+ ...+ 2 . n – 1 +...= n²

A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2.

9

Nessa representação, os números escritos logo abaixo da figura indicam a quantidade de quadrinhos de cada um desses conjuntos. Sendo assim, responda:

descrição

Considerações sobre a avaliação A Situação de Aprendizagem 1 abordou a regularidade numérica, e também geométrica, observada em algumas sequências. Além disso, introduziu a ideia de que é possível obter uma sequência numérica a partir de uma relação matemática estabelecida entre um conjunto discreto (naturais) e um conjunto de qualquer natureza. São esses, pois, os elementos importantes a serem avaliados. Para tanto, sugerimos que o professor elabore momentos de avaliação que contemplem:

21


f a obtenção de termos de maiores ordens de uma sequência, a partir do conhecimento dos primeiros termos; f a determinação do termo geral de sequências numéricas, desde que esses termos gerais se baseiem em expressões conhecidas pelos alunos, como, por exemplo, expressões do tipo a . x + b ou a . x2 + b. Salientamos, também, a importância de que as avaliações não se restrinjam a situações

individuais. Em alguns momentos, pode-se contemplar a possibilidade de que os alunos consultem seu material de aula e, em outros, seus colegas de grupo. Destacamos, por fim, o fato de que um trabalho com características essencialmente indutivas, como é o caso dos temas desenvolvidos neste Caderno, estimula sobremaneira a discussão e a tomada de decisões, justificando, dessa forma, a inclusão de instrumentos de avaliação não individuais.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 PROGRESSÕES ARItMÉtICAS Ou PROGRESSÕES GEOMÉtRICAS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas; expressão do termo geral da PA e da PG. Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas. Estratégias: resolução de exercícios exemplares.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 As sequências aritméticas ou geométricas são bastante estudadas, no Ensino Médio, por vários motivos, sendo um deles a pouca exigência algébrica, e outro motivo a facilidade de padronizar os conceitos por intermédio de fórmulas matemáticas.

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A baixa exigência algébrica envolvida, especialmente no estudo das PAs, deve ser, de fato, valorizada, em detrimento de exercícios sem qualquer contexto, que exijam a escrita de equações complexas. Enfatizamos, portanto, que se priorizem o desenvolvimento dos conteúdos e a apresentação de situações-problema, sob o prisma do reconhecimento da regularidade da sequência e da generalização


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intuitiva do termo geral, colocando em segundo plano, portanto, a simples substituição de valores em fórmulas decoradas. Outro aspecto que merece comentário é o fato de que, em geral, as PAs e as PGs são tratadas de modo independente, uma a cada tempo, e, em primeiro lugar, sempre vêm as PAs e, depois, as PGs. No entanto, vale destacar o fato de que o raciocínio principal envolvido em um ou em outro tipo de sequência é o mesmo, ou seja, um valor constante é o passo que permite obter um termo a partir do anterior. O fato de que, em um caso, esse passo é adicionado, enquanto, no outro, é multiplicado é algo que compõe o raciocínio secundário do estudo, cujo reconhecimento não costuma trazer qualquer dificuldade adicional aos alunos. Dessa forma, apresentaremos, a seguir, uma série de problemas exemplares, compostos, em alguns casos, por PA, em outros, por PG e, em outras situações, pelos dois tipos de sequências. Sugerimos que sejam propostos aos alunos na ordem em que aparecem. O Problema 1 pode ter a resolução solicitada sem nenhum comentário prévio. Durante os comentários da correção, o professor poderá valorizar as diversas maneiras de resolução que eventualmente surgirem. um tipo de resolução importante, que poderá ser levantado pelo professor, caso não surja dos alunos, é aquele que considera o passo de cada sequência como parcela ou fator constante no momento

da escrita da expressão do termo geral da sequência. Por exemplo, no caso da sequência (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante é 4, que, adicionado a cada termo, permite que se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão do termo geral deverá conter, necessariamente, um termo do tipo 4 . n. Compreendido isso, pode-se pensar da seguinte maneira:

Para n = 1, o resultado deve ser igual a 5, que é o primeiro termo da sequência. No entanto, ao fazer 4 . n ou 4 . 1, o resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda falta uma unidade para ser obtido o primeiro termo. Logo, o termo geral pode ser este: an = 4 . n + 1 testando essa expressão para outros termos, verificamos que ela é válida, pois: a2 = 4 . 2 + 1 = 9 a3 = 4 . 3 + 1 = 13 Logo, o termo geral da sequência é mesmo an = 4 . n + 1.

Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser aplicado na determinação do termo geral de uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...), por exemplo, o passo constante é 3, que, quando multiplicado a algum termo, resulta no termo imediatamente seguinte. Assim, se sempre se multiplica por 3, o termo geral da sequência

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deve conter 3n. A partir do entendimento dessa regularidade, pode-se pensar que: Para n = 1, o resultado deve ser igual a 2, que é o primeiro termo da sequência. No entanto, ao fazer 3n ou 31, obtemos 3, e não 2. Logo, deve haver mais um fator na expressão, a fim de que o resultado 2 esperado seja obtido. Esse fator é , 3 2 = 2. Então, o termo geral da pois 3 . 3 sequência deve ser este: 2 . 3n an = 3 testando essa expressão para outros termos, verificamos que ela é válida, pois:

Problema 1 Considere as sequências de (I) a (VI) para responder às questões propostas. (i) (0, 3, 6, 9, 12, ...) (ii) (1, 4, 7, 10, 13, ...)

2 18 . 32 = =6 3 3

(iii) (2, 5, 8, 11, 14, ...)

a2 = a3 =

2 54 . 33 = = 18 3 3

(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)

Logo, o termo geral da sequência 2 . 3n, que, simplificando, é mesmo an 3 pode ser escrito an = 2 . 3n – 1. É esperado, nessa Situação, que alguns alunos adotem procedimento semelhante ao adotado para a PA, isto é, fazer 3n e, em seguida, subtrair uma unidade, a fim de que 31 – 1 coincida com o primeiro termo da sequência. Nesse caso, caberá ao professor pedir que os alunos apliquem a “fórmula” obtida para os demais termos da sequência, quando, então, perceberão o equívoco do raciocínio adotado. Salientamos, novamente, que não é conveniente formalizar a adoção de um ou

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outro tipo de raciocínio, nem mesmo esse que descrevemos há pouco. Caberá a cada aluno escolher o raciocínio que considera mais adequado, e caberá ao professor discutir todos os raciocínios que surgirem, apresentando prós e contras de cada um, no sentido de fornecer elementos para que os alunos possam refinar suas estratégias iniciais.

(iV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)

(Vi) (1, 4, 16, 64, 256, ...) a) Escreva os três termos seguintes de cada uma dessas sequências. (I) 15, 18, 21. (II) 16, 19, 22. (III) 17, 20, 23. (IV) 64, –128, 256. (V) 1,0; 1,2; 1,4. (VI) 1 024, 4 096, 16 384. b) É verdade que o algarismo 8 não aparece em nenhum número da sequência (II)? justifique. Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o décimo termo da sequência.


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c) É possível que um mesmo número natural apareça em duas das três primeiras sequências? Justifique. Não, pois a sequência (I) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto zero; a sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a divisão por um número natural diferente de zero (divisão euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos, não é possível que um mesmo número apareça em duas dessas sequências. d) O número 1 087 é um termo de qual(is) sequência(s)? O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa resto 1, e é também elemento da sequência (V), uma vez que é múltiplo de 0,2. e) Mostre que o número 137 não pertence à sequência (II). A sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 1. Logo, o 137 não é termo da sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2. f) Escreva o termo geral da sequência (I). an = 3 .(n – 1), n ∈ N*.

g) Escreva o termo geral da sequência (II). an = 3 . n – 2, n ∈ N*. h) Escreva o termo geral da sequência (III). an = 3 . n – 1, n ∈ N*. i) Escreva o termo geral da sequência (IV). an = (– 2)n, n ∈ N*. j) Escreva o termo geral da sequência (V). an = 0,2 . n, n ∈ N*. k) Escreva o termo geral da sequência (VI). an = 4n ÷ 4, n ∈ N*. l) Escolha um critério, justificando-o, e separe as seis sequências em dois grupos. Espera-se, neste item, que os alunos percebam que há, entre as sequências apresentadas, algumas em que o passo constante é somado a cada termo e outras em que o passo constante é multiplicado a cada termo. Todavia, poderão aparecer outros critérios, e o professor deverá estar atento para valorizar os critérios surgidos, mas, também, enfatizar a importância do reconhecimento do passo constante das sequências, seja ele somado ou multiplicado.

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Problema 2 Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do Mundo e os jogos Pan-americanos ocorrem de quatro em quatro anos. Se essas competições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, respectivamente, e considerando que continuem a acontecer, segundo essa regra, por muito tempo, responda: a) Qual competição ocorrerá em 2118? E em 2079 e 2017? As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto zero, a Copa acontece em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 2, e os Jogos Pan-americanos acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim, em 2118 aconteceria a Copa do Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam os Jogos Pan-americanos (resto 3), e em 2017 não aconteceria nenhuma dessas três competições (resto 1). b) Haverá algum ano em que ocorrerá mais de uma dessas três competições? Explique. Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa um, e apenas um, desses restos: zero, 1, 2 ou 3.

Problema 3 uma determinada sequência numérica respeita a seguinte condição: a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma e igual a 6. Se o primeiro termo dessa sequência é –8,

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a) quais são os cinco primeiros termos? (–8, –2, 4, 10, 16...). b) qual é o a9? 40. c) qual é o 15o termo? 76. d) qual é o 20o termo? 106. e) quanto é a diferença entre a12 e a5? 42. f) qual é a expressão de seu termo geral, isto é, qual é a formula matemática que relaciona um termo qualquer (an) à posição do termo (n)? an = 6 . n – 14.

Problema 4 O primeiro termo de uma sequência numérica é 0,02, e, para obter os termos seguintes, basta multiplicar o termo imediatamente anterior por 5. Dessa forma, qual é: a) o segundo termo? 0,1.


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b) o a3? 0,5. c) o a4? 2,5. d) o resultado da divisão entre a6 e a4? 25. e) o termo geral da sequência, isto é, qual é a formula matemática que relaciona um termo qualquer (an) à posição do termo (n)? an = 0,02 . 5n – 1. A resolução dos exercícios anteriores foi, de certa forma, preparatória para a caracterização das PAs e das PGs. Finalizada essa etapa, o professor poderá definir progressão aritmética e progressão geométrica a partir de uma discussão com seus alunos, identificando, dentre as sequências já estudadas, aquelas que atendem a cada definição dada. Compreendido o significado de uma progressão aritmética, o aluno será capaz de concluir que, partindo do primeiro termo, para avançar um termo na sequência, deverá adicionar o “passo”, ou razão “r”, uma vez, isto é, a2 = a1 + r; da mesma forma, para avançar dois termos, deverá adicionar 2 . r ao primeiro termo, obtendo a3 = a1 + 2 . r. Por esse processo, espera-se que o aluno reconheça que, para obter o 20o elemento, deverá adicionar 19 . r ao primeiro termo e escreverá:

a20 = a1 + 19 . r, e assim sucessivamente. Esse raciocínio favorecerá a construção, por parte do aluno, da fórmula do termo geral da PA, que é dada por an = a1 + (n – 1) . r. Além disso, essa compreensão permitirá que o aluno note que, para “passar” de a4 para a11, deverá avançar sete termos, ou seja, para obter o termo a11 a partir do termo a4, deverá adicionar 7 . r ao termo a4 e escreverá: a11 = a4 + 7 . r. Da mesma forma, poderá escrever a4 = a11 – 7 . r, pois, para “passar” de a11 para a4, deve “retroceder” sete termos. De forma análoga, as progressões geométricas têm a si associado o significado de que, conhecidos o primeiro termo e o passo, ou razão “q”, é possível determinar qualquer termo da sequência a partir da multiplicação do primeiro termo pela razão um determinado número de vezes. Assim, se o aluno compreender que a2 = a1 . q, que a3 = a1 . q2, e assim por diante, compreenderá, também, que an = a1 . qn – 1 e, generalizando, que an = ak . qn – k. Destacamos, novamente, a importância de valorizar o raciocínio dos alunos na obtenção do termo geral de uma PA ou de uma PG, em detrimento de amarrar a resolução dos problemas à utilização das fórmulas obtidas. O professor deverá estar atento para a observação das estratégias de resoluções dos alunos, a fim de distinguir aqueles que utilizam fórmulas prontas como um mero atalho para a aplicação do conceito que já dominam, e, portanto,podem ser estimulados nessa postura, ainda dos alunos que, sem terem atingido a compreensão desejada, buscam adaptar as condições dos

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geométrica de 8 e 32, pois 16 = 8 . 32 .

Após a discussão dos problemas anteriores e das expressões do termo geral das PAs e das PGs, o professor poderá pedir que os alunos resolvam alguns problemas exemplares.

Problema 5 Considere que uma progressão aritmética é uma sequência (a1, a2, a3, ... an, ...) de números an, em que a diferença entre cada termo an + 1 e seu antecedente an é uma constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão aritmética e é representada por r. Assim, em uma progressão aritmética de razão r, temos: an + 1 – an = r, para todo n natural, n ≥ 1. De acordo com essa definição, indique quais das sequências que se seguem são progressões aritméticas. Em caso afirmativo, determine a razão. a) (2, 5, 8, 11, ...). b) (2, 3, 5, 8, ...).

28

341

2 2 , , ... . 3 9

f) 6, 2,

341

3 1 , –1, – , 0, ... . 2 2

e) –

341

2 2 2 2 , , , , ... . 3 3 3 3

143

Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média

d)

143

É importante que o professor também explore o seguinte fato: cada termo de uma PG, a partir do segundo, é a média geométrica entre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a seguir serve como ilustração:

c) (7, 3, –1, –5, ...). 143

problemas às fórmulas, como se perguntassem a si próprios, todo o tempo: “Qual fórmula eu uso agora?”. Casos dessa natureza certamente merecerão maior atenção do professor.

São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3); 1 c) (razão –4); d) (razão: 0); e) (razão: ). 2

Problema 6 Considere as sequências dadas por seus termos gerais: I)

an = 4 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;

II) an = 4 . n2 + 1, com n ∈ N, n ≥ 1; III) a1 = 2 e an = an – 1 . 3, com n ∈ N, n ≥ 2; IV) a1 = 2 e an = an – 1 + 3, com n ∈ N, n ≥ 2. Obtenha os cinco primeiros termos de cada uma dessas sequências e destaque a razão daquelas que forem progressões aritméticas. I) 5, 9, 13, 17, 21.

II) 3, 15, 35, 63, 99.

III) 2, 6, 18, 54, 162.

IV) 2, 5, 8, 11, 14.

São PAs as seguintes sequências: (I), com razão = 4, e (IV), com razão = 3.

Problema 7 Considere que uma progressão geométrica é uma sequência (a1, a2, a3,... an, ...), em que cada termo an, a partir do segundo, é obtido


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pela multiplicação de seu antecedente an – 1 por uma constante diferente de zero.

V)

(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão 3; (III), de razão 3; e (V), de razão 2.

De acordo com essa definição, quais das sequências abaixo são progressões geométricas? Justifique sua resposta. (1, 3, 9, 27, ...); 143 143

III) 36, 12, 4, V) 3,

341 341

I)

II) (1, 2, 6, 24, ...);

Problema 9 Observe a sequência de figuras e responda às questões propostas.

4 , ... ; IV) (1, –2, 4, –8 ...); 3

8 7 , , 2, ... ; 3 3

IV) ( 2, 2, 2 2, 4, ...)

1 São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão ; 3 (IV), de razão –2; (VI), de razão

2.

Problema 8 Considere as sequências: I) an = 3 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1; II) an = 3 . n2 – 1, com n ∈ N, n ≥ 1; III) an = 3 . n, com n ∈ N, n ≥ 1; IV) a1 = 3 e an = an – 1 . 2, com n ∈ N, n ≥ 2; V) a1 = 3 e an = an – 1 + 2, com n ∈ N, n ≥ 2; Determine os cinco primeiros termos de cada sequência e destaque a razão daquelas que forem progressões geométricas ou progressões aritméticas. I)

3, 5, 7, 9, 11.

4, 7, 10, 13, 16.

II) 2, 11, 26, 47, 74. III) 3, 6, 9, 12, 15. IV) 3, 6, 12, 24, 48.

1

2

3

4

a) Quantos quadradinhos comporão a quinta figura dessa sequência? E a sexta figura? Quinta figura: 48 quadradinhos e sexta figura: 96 quadradinhos. b) Associe a essa sequência outra que indique o número de quadradinhos de cada figura. Essa sequência é uma PG? Justifique. (3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an é obtido a partir da multiplicação do termo anterior an – 1 por 2. c) Construa uma fórmula que possa ser utilizada para determinar um termo qualquer dessa sequência. Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 . 2n – 1. Este problema poderá favorecer uma discussão sobre a obtenção da fórmula do termo geral de uma PG.

29


Para o desenvolvimento desta atividade, a tabela a seguir organiza os dados, a fim de que as regularidades sejam mais facilmente observadas. uma possível solução é a seguinte:

b) Quantos palitos serão necessários para a construção da sexta figura? E da sétima?

Posição de um termo na sequência 1

c) Quantos palitos serão necessários para construir a 78a figura?

2 3 4 ... n

Cálculo

Quantidade de quadradinhos

3

3

3 . 2 = 3 . 21 6.2=3.2.2= 3 . 22 12 . 2 = 3 . 2 . 2 . 2 = 3 . 23 ... (an-1) . 2 = 3 . 2n n-1

6

4 + 77 . 6 = 466. d) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posição n nessa sequência.

12 24 an-1 an = (an-1) . 2 = 3 . 2n-1

Neste caso, o aluno pode obter uma fórmula de recorrência: an = (an – 1) . 2 e a fórmula do termo geral: an = 3 . 2n – 1.

Problema 10 Na figura, cada quadradinho é formado por quatro palitos de comprimentos iguais.

... 1

2

3

4

5

a) A sequência formada pelas quantidades de palitos necessários para a construção das figuras forma uma PA? justifique sua resposta. A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim, uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a precedente: 4, 10, 16, 22, 28, ...

30

28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40.

an = 4 + (n – 1) . 6 = 6 . n – 2.

Problema 11 Sabe-se que o nono termo de uma PA de razão 4 é 29. Qual é o 20o termo dessa PA? a20 = 73. Para determinar o 20o termo de uma PA é suficiente adicionar ao 9o termo uma parcela que é igual ao produto 11 . 4, pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário “avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11 . r. Não é necessário, portanto, encontrar antes o primeiro termo para se obter o vigésimo.

Problema 12 Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma progressão aritmética. Determine os valores de x e y. Em toda PA, temos a3 – a2 = a2 – a1 ⇒ –4 – x = x – 8 ⇒ x = 2. Com o mesmo raciocínio, escrevemos y – (–4) = –4 – x ⇒ y + 4 = –4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso, temos: (8, 2, –4, –10).


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Problema 14

a8 = 2 187

II)

143

I) (1, 3, 9, 27, ...)

341

Determine o oitavo termo de cada uma das progressões geométricas: 1 8, 4, 2, 1, , … 2 1 a8 = 16

Problema 15

a12 = 512.

Problema 16 Uma bola é lançada de uma altura de 18 metros, e seu impacto no solo provoca saltos sucessivos, de tal forma que, em cada salto, a altura que ela atinge é igual a 80% da altura alcançada no salto anterior. Que altura será alcançada pela bola quando ocorrer o quinto salto? E o décimo salto? (Use uma calculadora.)

1 , x, 32, y determine os va2 lores de x e y. Dada a PG

Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica do antecessor e do sucessor. Neste caso, x =

1  32 = 4. Por ou2

tro lado, pela definição de PG,

y 32 = ⇒ 32 x

y 32 = ⇒ y = 256. Nesse caso, temos: 32 4 143

Determinar o 12o termo de uma PG de razão 2, sabendo-se que o quinto termo dessa sequência é 4.

143

A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto do número 6 pela razão da PA inventada.

Problema 17 341

Invente uma progressão aritmética. Separe apenas os termos cuja posição (n) é indicada por um número múltiplo de 6 e forme outra sequência de números. Essa nova sequência também é uma progressão aritmética? Em caso de resposta afirmativa, determine a razão da PA. Justifique sua resposta.

A altura atingida no quinto salto corresponde ao sexto termo de uma PG em que o primeiro termo é igual a 80% de 18 e a razão é 0,8. Assim, a6 = 18 . 0,85 ≅ 5,898 m. A altura do décimo salto, obedecendo a essa lógica, será: a11 = 18 . 0,810 ≅ 1,933 m.

341

Problema 13

1 , 4, 32, 256 2

Problema 18 Suponha que a população de uma cidade tenha uma taxa de crescimento constante e igual a 20% ao ano. No fim do ano de 2007, a população era de 50 000 habitantes. a) Calcule a população da cidade ao fim de cada um dos próximos quatro anos e escreva os resultados obtidos em forma de sequência.

31


Sugere-se que o professor estabeleça com seus alunos uma linguagem como:

Essa fórmula pode ser generalizada para Pn = P0 . (1 + i)n, sendo i a taxa de crescimento.

P0 : a população inicial; P1 : a população um ano depois; P2 : a população dois anos depois e assim por diante.

Problema 19

P1= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000. P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000. Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-se as populações P3 e P4 : 86 400 e 103 680, respectivamente. b) A sequência obtida é uma PG? Em caso afirmativo, qual é a razão? A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, ...) é uma PG de razão 1,2, pois : 60 000 72 000 86 400 103 680 = = = = 1,2. 50 000 60 000 72 000 86 400 Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conhecido, basta multiplicar este último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2 . Pn. c) Encontre uma fórmula que permita calcular a população dessa cidade daqui a n anos, contados a partir de 2007. P1 = 50 000 . 1,21 P2 = 50 000 . 1,21 . 1,2 = 50 000 . 1,22 P3 = 50 000 . 1,22 . 1,2 = 50 000 . 1,23 Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.

32

Suponha que o valor de um automóvel diminua a uma taxa constante de 10% ao ano. Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil. a) Calcule o valor desse automóvel daqui a quatro anos. R$ 13 122,00. b) Encontre uma fórmula que permita calcular o preço desse automóvel daqui a n anos. Pn = 20 000 . 0,9n. Convém ressaltar com a classe que a taxa, nesse problema, é negativa. Se há uma depreciação de 10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior. utilizando os resultados da atividade anterior, discuta com os alunos que, para calcular o preço do carro daqui a um ano, é suficiente multiplicar o valor inicial do carro por 0,9, pois P1 = P0 .(1 – 0,1) = P0 . 0,9.

tratamento das progressões sob o ponto de vista funcional Ao obter os termos de uma progressão aritmética por meio da lei de formação, utilizando a fórmula do termo geral ou de recorrência, o aluno trabalha, intuitivamente, com a noção de função, pois associa cada índice ao termo correspondente. Ou seja, todo número natural (n) que é índice na sequência está associado a


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

um único número real. A fórmula relativa à lei de formação da PA é a expressão algébrica que representa a função. Nesse caso, temos uma função f: S → IR, sendo S ⊂ N*. Assim, o domínio dessa função é formado pelos índices dos termos da PA, isto é, D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomí­ nio dessa função é IR, e o conjunto imagem é formado pelos termos da PA, ou seja, Im(f) = {a1, a2, a3, ..., an ...}. A representação gráfica da função que corresponde a uma PA é um conjunto de pontos que pertencem a uma reta. todavia, o gráfico não é a reta que contém esses pontos. tomando como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...), na qual a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, e assim sucessivamente, sua representação gráfica é a figura a seguir.

a4 = 10

a3 = 7

a2 = 4

a1 = 1 1

2

3

4

Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an = 3 . n – 2 Essa terminologia somente deverá ser destacada para o aluno quando esse assunto for retomado, posteriormente, nesta série, no momento do estudo da função polinomial do 1o grau. Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de recorrência para a determinação dos elementos de uma PG, de modo análogo ao que se faz para uma PA, os estudantes também utilizam, intuitivamente, a ideia de função, pois associam cada índice ao termo correspondente. Ou seja, todo número natural (n) que é índice na sequência está associado a um único número real. A fórmula que indica a lei de formação da PG corresponde à expressão algébrica que representa a função. Nesse caso, temos uma função f: t → IR, sendo t ⊂ N*. A expressão do termo geral de uma PG, an = a1 . qn – 1, reflete o crescimento exponencial de an em função de q. Se o tratamento funcional das PAs estará associado ao estudo das funções afim, esse tipo de tratamento para as PGs será feito quando do estudo das funções exponenciais. Portanto, não se trata de, neste momento, apresentar aos alunos toda a terminologia adotada no estudo das funções, mas apenas apontar relações que serão exploradas mais adiante, no 2o e no 3o bimestres. Os problemas seguintes são exemplos de como a apresentação inicial desse tratamento pode ser realizada.

33


Problema 20 um conjunto A é formado apenas pelos seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim, podemos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um conjunto B é formado por elementos numéricos obtidos a partir dos elementos do conjunto A, da seguinte forma: cada elemento de B é 4 unidades a mais do que o triplo de um elemento de A. Dito de outra forma, se chamarmos cada elemento do conjunto A de n e cada elemento do conjunto B de p, temos: p=4+3.n

elemento do conjunto C e d representa um elemento do conjunto D. a) Quais são os elementos do conjunto D? D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}. b) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto D? Uma PA de razão –5.

Problema 22 uma determinada regra matemática “transforma” cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em outro número, conforme mostra a seguinte representação:

a) Quais são os elementos do conjunto B?

1

B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.

2

b) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto A?

3 4

Uma PA de razão 1.

5

c) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto B?

E G R A

7 13 19 25 31

Uma PA de razão 3.

a) Qual é o resultado associado ao número 6?

Problema 21

(37).

Cada elemento de um conjunto D será obtido a partir de um elemento correspondente do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguinte forma: d = –5 . c + 15, onde c representa um

34

R

b) Qual é o resultado associado ao número 10? (61).


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

c) Se cada elemento do conjunto E for identificado pela letra n, e cada resultado for identificado pela letra p, qual é a equação matemática que relaciona p e n? 6.n+1=p d) Ordenando os resultados obtidos, qual ocupará a nona posição? (55). e) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto dos resultados? Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.

Considerações sobre a avaliação O desenvolvimento apresentado nesta Situação de Aprendizagem para o tratamento das progressões priorizou dois aspectos: f a abordagem comum das progressões aritméticas e das progressões geométricas; f a determinação dos termos gerais das PAs ou das PGs a partir da regularidade observada nas sequências, em detrimento do uso

das conhecidas fórmulas que, em geral, os alunos decoram e usam mecanicamente. Em relação ao primeiro aspecto, relativo ao tratamento comum dos dois tipos de sequências, julgamos importante que o professor leve-o, de fato, em consideração, no momento da elaboração de avaliações, propondo, por exemplo, questões semelhantes aos problemas 9 e 10. É comum os alunos utilizarem as fórmulas dos termos gerais da PA e da PG na resolução de problemas. Não há porque evitar tal conduta, mas sim propor situações em que o simples uso da fórmula não conduz diretamente ao resultado procurado. Nesse sentido, apresentamos, nesta Situação de Aprendizagem, alguns modelos, como é o caso, por exemplo, do Problema 3. Por fim, salientamos, novamente, a necessidade da existência de momentos de avaliação em que os alunos possam trocar ideias com outros colegas de grupo e mesmo consultar suas anotações. Além disso, o professor poderá pedir que os alunos demonstrem seu conhecimento sobre o assunto criando problemas e/ou contextos em que os conceitos possam, claramente, serem aplicados.

35


SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 SOMA DOS tERMOS DE uMA PA Ou DE uMA PG FINItA; APLICAçÕES À MAtEMÁtICA FINANCEIRA tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas: termos gerais e soma dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização. Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao estudo das progressões numéricas. Estratégias: resolução de exercícios exemplares.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Esta Situação de Aprendizagem é dividida em duas etapas. A primeira etapa é composta por problemas exemplares para a construção de significados da soma dos elementos de uma sequência, e a segunda etapa é toda dirigida para a aplicação da soma de elementos de uma PA ou de uma PG, em alguns casos típicos da Matemática Financeira. O cálculo da soma dos termos de uma PA ou de uma PG é um bom momento para retomar e aprofundar com os alunos a noção de algoritmo em Matemática. Isso porque podemos entender o cálculo da soma de qualquer desses dois tipos de sequência como realizado a partir de certa ordenação de procedimentos que conduzem, com eficiência, ao resultado procurado. No caso de uma PA do tipo (a1, a2, a3, ...,an – 3, an – 2, an – 1, an), o professor pode explorar a

36

propriedade da equidistância dos extremos, isto é, a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ..., a fim de desenvolver estratégias para o cálculo da soma de seus termos, em um trabalho que antecede à construção e utilização da fórmula da soma dos termos de uma PA. Por exemplo, para o cálculo da soma dos 200 primeiros números naturais, indicada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 +198 + 199 + 200, o aluno pode ser auxiliado no sentido de observar que 1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 = ... = 201. Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201 e, finalmente, concluirá que S200 = 100 . 201 = 20 100. Podemos, também, dizer que a soma dos 200 números naturais é igual ao produto 201 , ou seja, o produto de 200 de 200 por 2


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

pela média aritmética dos termos equidistantes dos extremos. No caso de sequências que apresentam número ímpar de termos, como (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19), de sete termos, o aluno poderá utilizar a seguinte estratégia: 1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20. Assim, são obtidas três somas iguais a 20. Como o número 10, que é o termo central (mediana), não foi adicionado, a soma dos termos dessa PA será representada da seguinte forma: S7 = 3 . 20 + 10 = 60 + 10 = 70. Nesse exemplo, é importante destacar que a soma dos sete termos dessa progressão aritmética 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 é igual a 7 . 10, sendo 10 a média aritmética dos termos equidistantes dos extremos. Essa sequência de passos para se obter a soma dos termos de uma PA pode ser vista como um algoritmo que permite rapidez e precisão no cálculo e, por isso mesmo, pode e deve ser bem compreendida e utilizada sempre que possível. No momento que julgar oportuno, o professor poderá pedir que os próprios alunos generalizem a estratégia que adotam particularmente, em uma ou outra sequência, para uma sequência aritmética qualquer, obtendo-se, então, a expressão ( a1 + a n ) . n . 2 No caso de ser necessário obter a soma dos termos de uma PG, o professor poderá lançar mão, novamente, da ideia de um algoritmo que permita agilizar o cálculo, mostrando aos Sn =

alunos como fazê-lo em alguns casos específicos, como neste exemplo: S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162. Os termos dessa série formam uma PG de razão 3. A primeira providência para se obter o resultado sem efetuar a adição termo a termo é multiplicar toda a expressão pelo valor da razão. 3 . (S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162) ⇒ 3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486. Isso feito, teremos duas expressões e subtrairemos uma da outra, de forma que os vários pares de termos iguais sejam cancelados. S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486 –2 . S = 2 – 486 –2 . S = – 484 ⇒ S = 242 Essa sequência de passos, ou esse algoritmo, permite a obtenção da soma dos termos de uma PG de modo mais rápido e eficaz do que o cálculo da soma termo a termo. Comentando o fato com seus alunos, o professor poderá pedir que algumas somas sejam obtidas dessa maneira e, analogamente ao que foi realizado para a PA, pedir que generalizem o algoritmo em uma fórmula que possa ser aplicada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa, os alunos percorrerão as seguintes etapas: PG: (a1, a2, a3,...., an–3, an–2, an–1, an) Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)

37


Multiplica-se toda a soma pela razão q: q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II) Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pares de termos iguais: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)

Etapa 1 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita Problema 1 Calcule a soma dos termos da progressão (10, 16, 22, ..., 70).

q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II) 440.

Sn – q . Sn = a1 – an . q Isso feito, “sobram” apenas o último termo de (II) e o primeiro termo de (I). Isola-se Sn: Sn – q . Sn = a1 – an . q Sn . (1 – q) = a1 – an . q ⇒ Sn =

a1 – an . q ou 1–q

a . q – a1 . Sn = n q–1 A expressão da soma dos termos de uma PG, escrita da forma apresentada acima, em função da razão (q) e do último termo (an), tem mais significado para os alunos do que escrita em função apenas da razão (q) e do número de termos (n). Por isso, convém o professor trabalhar alguns problemas, antes de mostrar aos alunos a segunda maneira de escrever a mesma expressão. Sn – q . Sn = a1 – an . q Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn–1 . q ⇒ Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn ⇒ Sn . (1 – q) = a1 – a1 . qn . Sn . (1 – q) = a1 . (1 – q) ⇒ S n = a1 .

38

(1 – q n ) ( q n – 1) ⇒ S n = a1 . 1– q q –1

Problema 2 Calcule a soma dos termos da progressão (13, 20, 27, ...), desde o 21o termo até o 51o, inclusive. 7 998.

Problema 3 Calcule a soma dos números inteiros, divisíveis por 23, existentes entre 103 e 850. Os números inteiros, divisíveis por 23, entre 103 e 850, formam a PA de razão 23: (115, 138,..., 828). Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a fórmula da soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.

Problema 4 A figura abaixo apresenta os primeiros elementos de uma sequência de números chamados números triangulares.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

a) Escreva a sequência numérica correspondente a essa figura, considerando o número de bolinhas que formam cada triângulo:

Durante a resolução desse problema, os alunos podem perceber que um termo qualquer da sequência de números triangulares pode ser expresso por uma fórmula de recorrência, incluindo duas informações:

1, 3,........,.........,.........,.........,........,.......

a1 = 1 e an = an–1 + n.

b) Que regularidade você observou na construção desses números triangulares?

Podem, também, organizar os dados em uma tabela como a que segue. Essa estratégia os levará à fórmula t do termo geral, que pode ser obtida pela aplicação da fórmula da soma dos termos da PA de n termos, com a1 = 1 e razão 1:

c) Escreva uma fórmula que permita calcular um termo qualquer dessa sequência, utilizando a recorrência, ou seja, definindo um termo a partir de seu precedente. d) Construa uma fórmula que calcule um termo qualquer dessa sequência, sem necessariamente recorrer ao termo anterior.

Posição do termo na sequência

t=

Processo de contagem das bolinhas

(1 + n) . n n2 + n = . 2 2

Quantidade de bolinhas em cada termo

1

1

1

2

1+2

3

3

1+2+3

6

4

1+2+3+4

10

...

...

...

n

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n −1) + n

Após a discussão sobre as questões dessa atividade, o professor pode, ainda, explorar os números triangulares, incentivando seus alunos a descobrir outras propriedades interessantes. Por exemplo,

an =

n . (n + 1) 2

propondo questões como as que seguem: Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um número natural qualquer; 55 e 6 são números triangulares). Experimente, agora, representar

39


o número 84 em forma de adição de, no máximo, três números triangulares.

determinar a quantidade de bolinhas da figura n nessa sequência.

Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.

Em relação aos números pentagonais, reiteramos que a construção de uma tabela como a que segue favorece a obtenção de uma fórmula de generalização:

Adicione dois números triangulares consecutivos. Que característica você percebe nessa soma? A soma de dois números triangulares consecutivos é igual a um número quadrado perfeito: 1 + 3 = 4; 6 + 10 = 16;

3 + 6 = 9; 10 + 15 = 25.

Problema 5 A seguir, estão os primeiros elementos de uma sequência de figuras que representam os chamados números pentagonais.

Posição da figura na sequência

Cálculo

número de boli­ nhas

1

1

1

2

1+4 a1 + 4

5

3

5+3.3–2 a2 +3 . 3 – 2

12

4

12 + 3 . 4 – 2 a3 + 3 . 4 – 2

22

5

22 + 3 . 5 – 2 a4 + 3 . 5 – 2

35

...

...

...

n–1 n 1

2

3

4

5

a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura dessa sequência? E a sétima? 51 e 70. b) Observe as regularidades que existem no processo de construção da Figura 2 a partir da Figura 1; no processo de construção da Figura 3 a partir da Figura 2; e assim por diante. Organize os dados na tabela abaixo e, em seguida, procure construir uma fórmula que permita

40

an – 1 + 3 . n – 2 an = an – 1 +3 . n – 2

Caso o aluno encontre dificuldades, durante a resolução deste problema, o professor pode propor questões que o ajudem a perceber que, a partir da segunda figura, cada termo an da sequência pode ser obtido pelo acréscimo de três fileiras de n bolinhas à figura anterior (an – 1), devendo ser subtraídas 2 unidades, que correspondem às duas bolinhas que se sobrepõem em dois vértices do pentágono. No entanto, a fórmula obtida é por recorrência, e a obtenção da fórmula geral é um pouco mais difícil, pois cada termo é obtido por meio de


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

seu antecessor, adicionando a este 3n – 2 bolinhas. Os números que são adicionados estão na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ... Posição da figura na sequência

Cálculo

1

1

2

1+4

3

1 + 4 +7

4

1 + 4 + 7 + 10

5

1 + 4 + 7 + 10 + 13

...

...

n

1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 3 . n – 2

A expressão do termo geral dessa soma pode ser obtida fazendo a1 = 1 e an = 3 . n + 2 na expressão geral da soma da PA, da seguinte forma: t = 1 + 4 + 7 + 10 + 13+...+ 3 . n – 2 = (a1 + an) . n (1 + 3n – 2) . n (3n – 1) . n = = = 2 2 2 3 . n2 – n . 2 3 . n2 n – , sendo n um 2 2 número natural diferente de zero, permite a determinação de um número pentagonal que ocupa a posição n na sequência. Por exemplo, o sétimo número pentagonal da sequência é: Assim, o polinômio

t7 =

3 . 72 7 3 . 49 7 140 – = – = = 70 2 2 2 2 2

Problema 6 Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa PG, deixando indicada a potência. S20 = 1 .

(220 – 1) ⇒ S20 = 220 – 1 2–1

Problema 7 Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x = 510, sabendo que as parcelas do primeiro membro da equação estão em PG. A razão da PG é 2. Portanto, 2 .

(2n – 1) = 510 ⇒ 2–1

2n – 1 = 510 ÷ 2 ⇒ 2n = 256 ⇒ 2n = 28 ⇒ n = 8. Logo, x = a8 = 2 . 28–1 ⇒ x = 256.

Problema 8 (Vunesp) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas tábuas quantas tiverem sido colocadas anteriormente.

Pilha na 1a vez

Pilha na 2a vez

Pilha na 3a vez

41


Determine, ao final de nove operações: a) Quantas tábuas terá a pilha. A sequência da quantidade de tábuas colocadas é: 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... Para obter o total de tábuas, ao final de nove operações, será necessário calcular a soma dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e, em seguida, acrescentar uma unidade.

S=

an . q – a1 128 . 2 – 1 = = 255. q–1 2–1

Portanto, a pilha terá 256 tábuas. b) A altura, em metros, da pilha. A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 = 128 cm = 1,28 m.

Problema 9 uma pessoa compra uma televisão para ser paga em 12 prestações mensais. A primeira prestação é de R$ 50,00 e, a cada mês, o valor da prestação é acrescido em 5% da primeira prestação. Quando acabar de pagar, quanto a pessoa terá pago pela televisão? Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57,50 +...... + 77,50, que resulta R$ 765,00.

42

Problema 10 A primeira parcela de um financiamento de seis meses é de R$ 200,00, e as demais são decrescentes em 5%. Assim, a segunda parcela é 5% menor do que a primeira, a terceira parcela é 5% menor do que a segunda e assim por diante. Adotando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcule: a) Qual é o valor da última parcela? Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95 e queremos determinar o sexto termo. a6 = 200 . 0,955 = 154,00. b) Quanto terá sido pago, quando a dívida for totalmente quitada? Devemos calcular a soma dos termos da PG. a . q – a1 200 . 0,955 – 200 = S= n = q–1 0,95 – 1 200 . (0,956 – 1) = –4 000 . (0,956 – 1) = –0,05 R$ 1 080,00.

Problema 11 Dada a progressão aritmética (–4, 1, 6, 11, ...), obtenha: a) o termo geral da sequência. an = 5 . n – 9. b) a soma dos 12 primeiros termos. 282. c) uma expressão para o cálculo da soma dos n primeiros termos. S=

(a1 + an) . n (–4 + 5 . n – 9) . n = = 2 2

1 . (5 . n2 –13 . n). 2


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Problema 12 A soma de n termos de uma progressão aritmética pode ser calculada pela expressão Sn = 3 . n2 – 5 . n. Para essa sequência, determine:

a) quanto estará correndo, no quarto dia? a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km. b) quantos quilômetros terá corrido, em 10 dias? (Dado: 1,210 ≈ 6,2.)

a) a soma dos seis primeiros termos.

Trata-se de calcular a soma dos dez termos de uma PG em que a1 = 10 e a10 = 10 . 1,29.

S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78.

an . q – a1 10 . 1,29 . 1,2 – 10 10 . (1,210 – 1) = = = S= q–1 1,2 – 1 0,2

b) a soma dos sete primeiros termos.

50 . (1,210 – 1) = 50 . (6,2 – 1) = 260 km.

S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112. c) o sétimo termo. O sétimo termo é a diferença entre S7 e S6. Portanto, a7 = 112 – 78 = 34. d) os cinco primeiros termos. a1 = S1 = –2 a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4 A PA tem razão 6, e os primeiros termos são –2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.

Etapa 2 – Aplicações na Matemática Financeira O crescimento de um capital, a uma taxa constante de juros simples, caracteriza-se por envolver uma série de termos que formam uma progressão aritmética. Por outro lado, no cálculo do crescimento de um capital a uma taxa constante de juros compostos, aparece uma progressão geométrica. No exemplo abaixo, podemos comparar a evolução de um capital inicial, quando submetido a juros simples e a juros compostos: Capital = C

Problema 13 um atleta fora de forma, desejando recuperar o tempo perdido, planeja correr, diariamente, uma determinada distância, de maneira que, a cada dia, a distância corrida aumenta 20% em relação ao que foi corrido no dia anterior. Começando a correr 10 km, no primeiro dia,

Inicial Depois de um mês Depois de dois meses Depois de três meses Depois de quatro meses

taxa de juros = 5% ao mês Evolução do Evolução do capital a juros capital a juros simples compostos C C 1,05 . C

1,05 . C

1,10 . C

1,052 . C

1,15 . C

1,053 . C

1,20 . C

1,054 . C

43


Os valores dessa tabela foram obtidos levando-se em conta que um capital inicial (C), acrescido de 5%, resulta no capital inicial multiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 . C. Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital já acrescido de 5%, o resultado será igual a 1,10 . C, se os juros forem simples, e 1,052 . C, se os juros forem compostos, conforme representado nas operações seguintes: Capital Inicial: C. Acréscimo de 5% sobre C: 5 . C = C + 0,05 . C = 1,05 . C. C+ 100 Acréscimo de 5% de juros simples: 1,05 . C + 0,05 . C = 1,10 . C. Acréscimo de 5% de juros compostos: 1,05 . C + 5% . 1,05 . C = 1,05 . C . (1 + 5%) = 1,05 . C . 1,05 = 1,052 . C. O valor do capital, nos próximos meses de aplicação, segue a mesma lógica, isto é,

adicionando-se 0,05 . C, no caso de juros simples, e multiplicando-se por 1,05 . C, no caso de juros compostos. juros simples, como sabemos, não são praticados no mercado financeiro, mas podem servir de contexto inicial para a determinação de valores totais capitalizados em certo período. Vamos supor, por exemplo, que um cidadão aplique, mensalmente, e durante oito meses, uma quantia fixa de R$ 200,00, a juros simples de 5%. Ao final, depois dos oito meses de aplicação, quanto terá acumulado essa pessoa? Propondo um problema dessa natureza aos seus alunos, o professor poderá comentar que ele é de fácil resolução por envolver juros simples, mas que, no caso real, de um capital aplicado a juros compostos, será necessário um método organizado de resolução. justifica-se, dessa maneira, o processo representado na tabela seguinte:

tabela de capitalização

Capital

Mês

44

1o

2o

3o

4o

5o

6o

7o

8o

Final

200

210

220

230

240

250

260

270

280

200

210

220

230

240

250

260

270

200

210

220

230

240

250

260

200

210

220

230

240

250

200

210

220

230

240

200

210

220

230

200

210

220

200

210


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Os R$ 200,00 depositados no primeiro mês tornam-se R$ 210,00, no segundo mês, R$ 220,00, no terceiro mês, e assim por diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00. Os R$ 200,00 depositados no segundo mês, de modo análogo, convertem-se em R$ 270,00, ao final de sete meses de aplicação. Seguindo o raciocínio, o saldo final da aplicação será o resultado da adição dos valores da última coluna da tabela, que são os termos de uma progressão aritmética: Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 + 260 + 270 + 280 (210 + 280) . 8 = 1 960 Saldo final = 2 Portanto, o saldo final da aplicação será igual a R$ 1 960,00. No caso real, de uma capitalização a juros compostos, o esquema de resolução será similar ao apresentado, variando apenas a forma de crescimento das parcelas aplicadas. Em relação ao problema anterior, alterando apenas a forma de incidência da taxa de juros, de simples para compostos, pode ser escrita a seguinte tabela:

A soma dos valores da última coluna da tabela fornece o total capitalizado. trata-se da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 1,05. S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 + 1,056 + 1,057 + 1,058) S = 200 . an . q – a1 = q–1 8 200 . 1,05 . 1,05 – 1,05 1,05 – 1

O cálculo dessa soma é trabalhoso, se realizado manualmente. Por isso, propomos que os alunos possam utilizar calculadoras para agilizar a obtenção do resultado, sem qualquer perda de significado para o conceito. O importante, aqui, não é saber calcular uma potência, coisa que os alunos já devem saber, mas sim a obter da expressão numérica que conduz ao resultado desejado. todavia, mesmo usando calculadoras, será interessante simplificar inicialmente a expressão, como nesse caso:

tabela de capitalização Mês 1o

2o

3o

4o

5o

6o

7o

8o

Final

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057 200 . 1,058 200

200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057

Capital

200

200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200

200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200

200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200

200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200

200 . 1,05 200 . 1,052 200

200 . 1,05

45


S = 200 .

1,058 . 1,05 – 1,05 (Colocando 1,05 – 1

1,05 em evidência.)

S = 200 .

1,05 . (1,058 – 1) (Dividindo 0,05

1,05 por 0,05.) S = 200 . 21 . (1,058 – 1) Caso o professor opte por não permitir o uso de calculadoras, o que não aconselhamos, poderá fornecer aos alunos, previamente, o valor da potência. No caso, 1,058 ≈ 1,48. De um jeito ou de outro, o resultado da soma será: S = 200 . 21 . (1,48 – 1) = 2 016. Comparando os dois resultados do processo de capitalização, fica claro que o processo a juros compostos conduz a um maior valor final (R$ 1 960,00, em um caso, e R$ 2 016,00, no outro). Outra aplicação importante das somas das progressões diz respeito ao cálculo da parcela fixa de um financiamento a taxa constante de juros. De fato, trata-se de um problema inverso ao que foi analisado há pouco, isto é, conhece-se o montante final e deseja-se calcular a parcela mensal do investimento. Vamos analisar, como exemplo, o caso do financiamento da compra de um automóvel, que custa R$ 10 000,00 e será pago em 24 parcelas fixas e mensais, com juros de 5% ao mês. Em primeiro lugar, vamos representar o cálculo da parcela de financiamento, no caso de os juros serem simples, isto é, incidirem sempre sobre o valor inicial.

46

1o) Com taxa de juros simples Os R$ 10 000,00 financiados deverão ser corrigidos e devolvidos pelo comprador do bem, ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro passo é calcular o juro total da aplicação em juros simples, ou seja, 24 . 5% = 120%. O valor de R$ 10 000,00 deverá ser devolvido corrigido em 120%, isto é, deverão ser devolvidos R$ 22 000,00. Ocorre que o comprador não devolve esse valor de uma única vez, mas sim em parcelas mensais. Assim, o próximo passo é calcular o valor da parcela, e aí é necessário se lembrar do exemplo anterior, da capitalização a juros simples. Supomos, então, que certa parcela P é capitalizada mensalmente, durante 24 meses, a juros simples de 5%. Nessa condição, ao final dos 24 meses, terá sido capitalizado um valor total igual ao resultado da seguinte soma: S = P . (1,05 + 1,10 + 1,15 + .... + 2,15 + 2,20). Os porcentuais, nesse caso, formam uma progressão aritmética. Calculemos a soma desses porcentuais. (a1 + an) . n (1,05 + 2,20) . 24 =P. 2 2 = P . 39 S=P.

Como a soma S deve coincidir com o valor corrigido do final do financiamento, isto é, S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim obtida: 22 000 = P . 39 ⇒ P = 564,10


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Portanto, a juros simples, o valor da parcela mensal é igual a R$ 564,10. Perceba que, apesar de as prestações serem todas iguais a R$ 564,10, a simples multiplicação desse valor pelo número de prestações, que, neste caso, é 24, não tem como resultado o valor corrigido da dívida (R$ 22 000,00). Essa diferença acontece porque a primeira parcela de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração vale para todas as parcelas.

2o) Com taxa de juros compostos Da mesma forma que no caso dos juros simples, discutido anteriormente, o valor financiado deve ser corrigido para compor o pagamento final. Nesse caso, trata-se de corrigir R$ 10 000,00, em 24 meses, a juros compostos de 5%, o que implica multiplicarmos 10 000 por 1,0524. Isso feito, teremos R$ 32 251,00. Mas esse valor não é devolvido de uma única vez, ao final do financiamento, e sim em parcelas mensais. Para o cálculo do valor dessa parcela, devemos imaginar alguém que deposite, mensalmente, um valor P, a juros compostos de 5%, durante 24 meses. Nesse caso, o valor total depositado será igual ao resultado da seguinte adição: S = P(1,05+ 1,052 + 1,053 + ..... + 1,0524). O valor de S, como vimos há pouco, é R$ 32 251,00. Para o cálculo da parcela P, será preciso calcular a soma da progressão geométrica formada pelos termos dentro dos parênteses. 32 251 = P .

an . q – a1 1,0524 . 1,05 – 1,05 = P. q–1 1,05 – 1

32 251 = P .

1,05 . (1,05 24 – 1) = 1,05 – 1

P . 21 . (1,0524 – 1) Dado que 1,0524 ≈ 3,225, fazemos: 32 251 = P . 21 . (3,225 – 1) 32 251 = P . 46,725 ⇒ P = 690,23 Portanto, a juros compostos, a parcela de financiamento deverá ser igual a R$ 690,23. Os cálculos envolvendo processos de capitalização e de amortização são comumente vistos em situações do cotidiano, muito embora nem sempre de forma transparente. Por isso, é comum que surjam dúvidas por parte dos alunos, as quais caberá ao professor esclarecer. No caso que analisamos há pouco, do financiamento de R$ 10 000,00, é preciso destacar com muita ênfase dois aspectos geradores de dúvidas. O primeiro deles refere-se à necessidade de corrigir o valor financiado, isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524. Os alunos precisam entender que o bem financiado será considerado quitado apenas quando a última parcela for paga, e que, por isso mesmo, é preciso considerar a correção do valor financiado. A segunda dúvida que costuma ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de calcular o valor futuro de cada parcela que vai sendo paga, o que conduz ao cálculo da soma da PG. É comum os alunos fazerem, equivocadamente, a simples divisão do resultado do produto 10 000 . 1,0524 por 24 para determinar o valor de cada parcela. O professor deve chamar a atenção dos alunos para o fato de que as parcelas não são todas pagas ao final do

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financiamento, mas sim em tempos diferentes, e que, por isso mesmo, o valor futuro de uma parcela não é igual ao da outra. julgamos importante que o professor discuta alguns exemplos de cálculos de montantes e de parcelas de amortização, mas não deixe de retomar o assunto no 3o bimestre, quando abordar o crescimento exponencial. Após discutir alguns exemplos com seus alunos, o professor poderá propor a resolução da seguinte sequência de problemas exemplares.

Problema 1 uma financeira remunera os valores investidos à base de 4% de juros simples. Quanto conseguirá resgatar, nesse investimento, uma pessoa que depositar, mensalmente, R$ 500,00, durante 10 meses? Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + .... + 700. S=

(520 + 700) . 10 = 1 220 . 5 = 6 100 2

O resgate será de R$ 6 100,00.

Problema 2 Laura aderiu a um plano de capitalização de um banco, depositando, mensalmente, R$ 1 000,00, durante 12 meses. Se o banco promete remunerar o dinheiro aplicado à taxa de 2% de juros compostos ao mês, calcule quanto Laura resgatará ao final do período. (Dado: 1,0212 = 1,27.)

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Trata-se de calcular a soma de termos em PG: S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 . 10,23 + ..... + 1 000 . 1,0212 S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + ... + 1,0212) S = 1 000 . 1 000 . 1000 .

an . q – a1 = q–1

1,0212 . 1,02 – 1,02 = 1,02 – 1 1,02 . (1,0212 – 1) 0,02

S = 1 000 . 51 . (1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27 = 13 770 Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.

Problema 3 Carlos deseja comprar um automóvel que custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00. Para conseguir seu objetivo, Carlos resolveu depositar uma quantia x em um investimento que promete remunerar o dinheiro aplicado à razão de 10% de juros simples ao mês. Qual deve ser o valor mínimo de x para que Carlos consiga comprar o automóvel, ao final dos dez meses? Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos a soma de termos em PA, da seguinte maneira: S = 1,1 . x + 1,2 . x + 1,3 . x + ...... + 2,0 . x 15 500 = x . (1,1 + 1,2 + 1,3 + ..... + 2,0) 15 500 = x .

(a1 + an) . n ⇒ 2


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

x . (1,1 + 2,0) . 10 ⇒ 2 15 500 = x . 15,5 ⇒ x = 1 000 15 500 =

Portanto, a parcela mínima a ser depositada é igual a R$ 1 000,00.

Problema 4 uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1 500,00 será financiada em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês, qual é o valor da parcela mensal? (Dado: 1,036 = 1,19.) O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual 1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 = 1 785. A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em: S = P . (1,03 + 1,032 + .... + 1,036),onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1 785, temse: 1 785 = 1,036 . 1,03 – 1,03 1,03(1,036 – 1) =P. P. 1,03 – 1 0,03 P . 34,33 . (1,036 – 1) = P . 34,33 . 0,19 = 1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65 Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.

Problema 5 julia guardou, mensalmente, R$ 200,00 em um banco que remunerou seu dinheiro à base de 4% ao mês de juros compostos. Ao final de oito meses de aplicação, julia usou o dinheiro

que havia guardado para dar de entrada em um pacote de viagem, que custava, à vista, R$ 5 000,00. O saldo devedor julia pretende financiar em cinco vezes, em parcelas iguais e fixas, à taxa de 2% ao mês. (Dados 1,048 ≈ 1,37; 1,025 ≈ 1,10.) a) Quanto julia deu de entrada no pacote de viagem? O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de termos em PG. S = 200(1,04 + 1,042 + 1,043 + ....... + 1,048) S = 200 . 200 .

1,048 . 1,04 – 1,04 = 1,04 – 1

1,04(1,048 – 1) = 200 . 26 . (1,37 – 1) 0,04

= 1 924 Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00. b) Qual o valor da parcela mensal fixa do financiamento do saldo do pacote de viagem? O valor financiado foi igual à diferença entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja, R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a 2% ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60. Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao mês, deve, ao final, gerar montante equivalente a R$ 3 383,60. 3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + 1,025) 3 383,60 = P .

1,025 . 1,02 – 1,02 = 1,02 – 1

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P.

1,02(1,025 – 1) = P . 51 . 0,10 = P . 5,1 0,02

3 383,60 = P . 5,1 ⇒ P = 663,45 Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.

Considerações sobre a avaliação Nesta Situação de Aprendizagem, de forma semelhante ao realizado na anterior, foi proposto que as somas das progressões aritméticas e progressões geométricas fossem estudadas paralelamente. Insistimos nessa prática, pois entendemos que ela valoriza a existência de regularidades numéricas possíveis de serem traduzidas por equações matemáticas, em detrimento da aplicação imediata de fórmulas na resolução de exercícios descontextualizados. A apresentação das expressões de cálculo para as somas das sequências foi feita a partir da ideia de que cálculos que se repetem devido a algum tipo de regularidade podem ser traduzidos por intermédio de um algoritmo, isto é, por uma sequência ordenada de passos que, quando realizada corretamente, conduz ao resultado desejado de forma mais rápida. Consideramos importante que os alunos compreendam essa ideia e que, após a exercitarem durante a resolução de alguns problemas,

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possam, autonomamente, generalizar em uma expressão o raciocínio envolvido no algoritmo. Os instrumentos preparados para a avaliação dos conceitos aqui tratados deverão levar em conta, de acordo com as considerações anteriores, a possibilidade de que sejam propostos problemas que envolvam tanto progressões aritméticas, como progressões geométricas, desenvolvidos sobre contextos diferentes dos problemas apresentados e discutidos durante as aulas, com base no contexto da Matemática Financeira e nos cálculos de montantes e de parcelas em processos de capitalização. Gostaríamos, ainda, de ressaltar o fato de que a obtenção de soma de termos de uma PG exige, via de regra, o cálculo de uma potência na qual, muitas vezes, a base não é um número inteiro. As aplicações das progressões à Matemática Financeira são exemplos clássicos dessas situações. Nesses casos, visando a que o aspecto da compreensão conceitual não seja sobrepujado pela dificuldade aritmética, sugerimos ao professor que permita o uso de calculadoras, inclusive científicas, até mesmo nas avaliações individuais. uma segunda sugestão segue o que foi feito na apresentação no Problema 5 da Etapa 2, ou seja, pode-se fornecer ao aluno o resultado aproximado da potência necessária para a resolução do problema proposto.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 LIMItE DA SOMA DOS INFINItOS tERMOS DE uMA PG INFINItA tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: soma dos termos de uma PG; limite da soma dos termos de uma PG infinita. Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; compreender a noção intuitiva de limite de uma função; considerar a pertinência da noção de infinito no cálculo de quantidades determinadas. Estratégias: resolução de exercícios exemplares.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Nesta Situação de Aprendizagem, são propostos problemas algébricos e geométricos, com o objetivo de se investigar a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, com razão real entre –1 e 1. Nesse percurso, são abordadas, intuitivamente, duas noções extremamente importantes na Matemática. trata-se das noções de continuidade e de infinito. Embora costumem causar nos alunos certa estranheza e alguma dificuldade de compreensão, são conceitos que estimulam sobremaneira a curiosidade e a intuição e, por consequência, também o interesse dos alunos pela Matemática. Quando uma progressão geométrica tem por razão um número real entre –1 e 1, diferente de zero, a sequência “tende” para zero. Com isso, queremos dizer que, à medida que aumentamos a quantidade de termos da sequência, mais o último termo se aproxima de zero, muito embora nunca seja igual a zero. 1 1 A progressão geométrica 4, 2, 1, , , ..., 2 4 por exemplo, tende a zero, assim como a

progressão –3, 1, –

1 1 1 , ,– , ... Nesses dois 3 9 27

casos, em que a razão é um número real entre –1 e 1, é possível determinar o termo que desejarmos, mas ele poderá ser tão pequeno que, dependendo das exigências, poderá ser considerado nulo. O centésimo termo da primeira sequência, por exemplo, é igual a um número que tem 30 zeros após a vírgula, antes de aparecer o primeiro algarismo não nulo. É um número pequeno, se for comparado à espessura de um fio de cabelo, mas não é pequeno, se comparado às dimensões atômicas. Aumentando ainda mais o número de termos, além dos cem, chegará um momento em que o resultado será pequeno mesmo quando comparado com a medida de raios atômicos. Mas o termo ainda não será nulo e ainda poderá ser diminuído. Nesse raciocínio estão contidas as ideias da continuidade e do limite. Conjuntos numéricos infinitos e discretos, como os Naturais e os Inteiros, já foram estudados, em séries anteriores, e retomados agora, no Ensino Médio. O fato de esses conjuntos possuírem quantidade inumerável

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de elementos está, normalmente, bem assimilada pelos alunos, nesta etapa de ensino, uma vez que a ideia do “mais 1”, no caso dos Naturais, ou do “menos 1”, no caso dos Inteiros, características dos conjuntos discretos, vem sendo apresentada a eles desde que começaram sua escolaridade. A dificuldade surge na passagem do discreto para o contínuo, quando a noção de infinito ganha uma nova dimensão. Como explicar, por exemplo, que um segmento AB, de determinado comprimento, pode ser dividido em tantas partes quantas se desejar, não havendo medida limite para o comprimento de cada uma das partes que surgem? Na Grécia antiga, a contraposição entre discreto e contínuo trazia, já, alguns problemas de interpretação. Para os pitagóricos, o número era a referência de toda dúvida e toda dificuldade. Segundo eles, se não fosse pelo número e por sua natureza, nada do que existe poderia ser compreendido por alguém, nem em si mesmo, nem com relação a outras coisas. Os números constituíam o verdadeiro elemento de que era feito o mundo. Chamavam um ao ponto, dois à linha, três à superfície e quatro ao sólido. A partir de um, dois, três e quatro, podiam construir um mundo. A concepção geométrica dos gregos do século V a.C., influenciada pela visão dos pitagóricos, entendia que o número de pontos de uma linha determinada seria finito, muito embora não fosse possível quantificá-lo. Em outras palavras, a noção do contínuo não fazia parte das ideias geométricas de então. Essa concepção de uma série de pontos justapostos,

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como uma grande fila, de maneira que qualquer segmento poderia ser quantificado como uma determinada quantidade de pontos, ou, em outras palavras, que todo segmento poderia ser mensurável, caiu por terra a partir da descoberta da incomensurabilidade simultânea da diagonal e do lado do quadrado: se um é perfeitamente mensurável, o outro não poderá ser. O professor poderá comentar com seus alunos alguns dos aspectos históricos que localizam a crise da escola pitagórica em relação à incomensurabilidade de 2 e à descoberta dos irracionais. uma boa “entrada” para a questão é a apresentação dos paradoxos de zenão, especialmente o paradoxo da corrida entre Aquiles e a tartaruga, que discutiremos mais adiante. Parece-nos, portanto, que o contexto das progressões geométricas tendendo a zero pode ser uma boa porta de entrada para a introdução da noção de infinito associada à de continuidade dos números reais. Para introduzir o limite da soma dos infinitos termos de uma PG, sugerimos que o professor recorra, prioritariamente, à intuição dos alunos, postergando a necessária formalização para mais tarde, quando o conceito estiver razoavelmente construído. Nesse sentido, o professor pode partir do cálculo da soma de termos de uma PG com as características desejadas, aumentando, pouco a pouco, o número de termos, a fim de intuir a ideia de que haverá um limite para a soma, como no problema seguinte, que comentamos em detalhes.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

O triângulo ABC da figura é equilátero de lado 1. Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtemos o segundo triângulo PQR. Unindo os pontos médios dos lados do triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo STU, e assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros dos infinitos triângulos construídos por esse processo.

B

P A

dos lados AB e BC, respectivamente, então PQ é paralelo a AC, e sua medida é igual à metade de AC. O mesmo vale para os demais lados do triângulo PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero. Dessa forma, os perímetros dos triângulos 3 3 e . 2 4 A sequência de triângulos assim construídos terá perímetros respectivamente iguais a:

da figura são 3,

3 3 3 3 , , , , .... 2 4 8 16 Após esse trabalho inicial, sugere-se que os alunos calculem as somas dos perímetros: dos dois primeiros, dos três primeiros e assim por diante. 3,

T

S

R

Q

U

Assim, os alunos obteriam as somas: S1 = 3 S2 = 3 +

3 9 = = 4,5 2 2

Antecedendo a resolução, o professor pode propor aos alunos as seguintes questões:

S3 = 3 +

3 3 21 + = = 5,25 2 4 4

a) Quanto mede o lado PQ do triângulo PQR? E os lados PR e RQ?

S4 = 3 +

3 3 3 45 + + = = 5,625 2 4 8 8

S5 = 3 +

3 3 3 3 93 + + + = = 5,8125 2 4 8 16 16

S6 = 3 +

3 3 3 3 3 + + + + = 2 4 8 16 32

C

b) Qual é o perímetro dos triângulos ABC, PQR e STU? c) Escreva uma sequência numérica cujos termos são os perímetros dos triângulos ABC, PQR, STU e mais outros dois triângulos construídos segundo o critério. Para essas questões, é importante que o professor discuta, inicialmente, que, dado um triângulo ABC, se P e Q são pontos médios

189 = 5,90625 16 S7 = 3 +

3 3 3 3 3 3 + + + + + = 2 4 8 16 32 64

381 = 5,953125 64

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Após esses cálculos, o professor poderia solicitar que os alunos fizessem suas conjecturas a respeito deles, procurando responder à questão: O que acontece à soma, se as parcelas forem aumentando com os perímetros de outros triângulos da sequência? É importante discutir com a classe que as somas aumentariam, com o acréscimo de novas parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.

143

341

O uso da fórmula da soma dos termos de uma PG pode ampliar essa discussão: 1 –3 2

an –3 an . q – a1 2 = = S= 1 1 q–1 – –1 2 2 A soma assim obtida está em função de an, aqui considerado o último termo. O questionamento seguinte aos alunos é sobre o que ocorre com an, à medida que n cresce muito. As respostas dos alunos tendem a caminhar no sentido da intuição de que o último termo da sequência, supondo grande número de termos, será praticamente zero ou, como o professor poderá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos como fica a expressão da soma, uma vez que an é praticamente nulo. O correto será, nesse momento, trocar “S” por “lim S” an .

n

Assim, podemos escrever que a série infinita 3 +

3 3 3 3 + + + + ... = 6, ou seja, o 2 4 8 16

limite da soma quando n tende ao infinito é 6. Reproduzindo esse raciocínio na expressão do cálculo da soma da PG, obtém-se a expressão do limite da soma dos infinitos termos de uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1, que é esta: a lim S = 1 1–q n ∞ A partir dessa discussão, será possível propor aos alunos a resolução das seguintes situações-problema exemplares.

Problema 1 Por mais que aumentemos o número de termos na adição 1 1 1 + + + ..., 2 8 32 existirá um valor limite, isto é, um valor do qual a soma se aproxima cada vez mais, porém nunca o atingindo? Qual é esse valor? S=2+

O valor procurado corresponde ao limite da 1 soma de uma PG de razão para o número 4 de termos tendendo a infinito. Podemos fazer:

an –3 2 = 0–3 =6 lim S = 1 1 n ∞ – – 2 2 Esse resultado nos diz que, quanto mais acrescentarmos termos à soma em questão,

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mais nos aproximaremos do valor limite, 6, sem jamais alcançá-lo.

lim S =

a1 = 1���q

2

=

8 3

1 4 Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parcelas da soma, nunca 8 ultrapassaremos o valor , embora cada 3 vez mais nos aproximemos dele. n

1–


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Problema 2 Calcule o resultado limite das seguintes somas: a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 + 0,0001 – .... –

100 11

b) S =

2 1 1 1 1 + + + + + .... 5 5 10 20 40

4 5

Problema 3 uma bola de borracha cai da altura de 6 m, bate no solo e sobe até a terça parte da altura inicial. Em seguida, a bola cai novamente, bate no solo, inverte o sentido de movimento e sobe até atingir a terça parte da altura anterior. Continuando seu movimento segundo essas condições, isto é, atingindo, após cada batida, a terça parte da altura que atingiu após a batida imediatamente anterior, qual será a distância vertical total percorrida pela bola até parar?

6m

Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola, durante as descidas: 2 2 + + .... Sdescida = 6 + 2 + 3 9 Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola, durante as subidas: 2 2 + + .... Ssubida = 2 + 3 9 2 a =3 Sdescida = lim S = 1 = 1–q 1 n ∞ 1– 3 Ssubida = 6 + 3 = 9 Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual a Sdescida + Ssubida = 12 m.

Problema 4 Resolva a equação em que o primeiro termo da igualdade é o limite da soma dos termos x x x de uma PG infinita: + + + ... = 18 2 8 32 x 2 1 1– 4

= 18 ⇒ x = 27

Problema 5 (Adaptado do Paradoxo de zenão) uma corrida será disputada entre Aquiles, grande atleta grego, e uma tartaruga. Como Aquiles é 10 vezes mais rápido do que a tartaruga, esta partirá 10 metros à frente de Aquiles, conforme representado no esquema abaixo.

10 m

55


Quando Aquiles chegou ao ponto em que a tartaruga estava inicialmente, depois de percorrer 10 m, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, estava 1 m à frente.

c) Calcule a soma das infinitas distâncias percorridas por Aquiles até chegar ao ponto em que se encontrava a tartaruga a cada vez.

lim S = n

a1 10 10 100 = = = m. 1 – q 1 – 0,1 0,9 9

d) Quantos metros percorrerá Aquiles até alcançar a tartaruga? Ou você acredita que ele não a alcança?

1m

Aquiles, então, correu 1 m, até o ponto em que a tartaruga estava, mas ela já não estava mais lá: estava 10 cm à frente, pois correu, no mesmo intervalo de tempo, 10 vezes menos que Aquiles, e a décima parte de 1 metro é 10 cm.

Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer 100 m. 9

Problema 6 Qual é o resultado da raiz 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...... ?

10 cm

Repetindo esse raciocínio para os intervalos de tempo seguintes, parece que Aquiles nunca alcançará a tartaruga, pois ela sempre terá percorrido 1 do que Aquiles percorrer. 10 Será mesmo verdade que ele nunca alcançará a tartaruga? a) Escreva a sequência das distâncias que Aquiles percorre até chegar ao ponto em que a tartaruga estava a cada vez. 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + .... b) A sequência das distâncias é uma PG. Qual é a razão dessa PG? 0,1.

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A expressão pode ser re-escrita da seguinte forma: 1

1

1

1

1

2 2 . 2 4 . 2 8 . 2 16 . ... = 2 2

+

1 1 1 + ... + + 4 8 16

Trata-se de calcular o limite da soma da PG 1 e razão igual a de primeiro termo igual a 2 1 , cujo resultado é 1. Assim, o resultado da 2 raiz é igual a 21 = 2.

Problema 7 uma dívida foi paga, mensalmente, da seguinte maneira: 1o mês: metade do valor inicial da dívida; 2o mês: metade do valor restante após o pagamento da parcela anterior;


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3o mês: metade do valor restante após o pagamento da parcela anterior;

1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + .....

4o mês: metade do valor restante após o pagamento da parcela anterior;

Depois, sugira que escreva essa soma utilizando frações para representar os números envolvidos. Assim,

e assim sucessivamente, até a quitação total da dívida. Verifique que a soma das parcelas pagas corresponde ao valor total da dívida. Levando-se ao pé da letra a descrição fornecida no enunciado, a dívida jamais seria paga, pois sempre restaria um resíduo, por menor que fosse. Podemos, no entanto, calcular o limite da soma da PG formada pelas parcelas, pois esse será o valor limite da dívida. Chamando de x o valor total da dívida, S=

x x x x a1 = + + + + ... = 1–q 2 4 8 16

x 2 1–

1 2

=

x 2 1 2

1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + .....= 1 +

7 7 7 + + + .... 10 100 1000

Desse modo, os alunos concluirão que as parcelas 7 , 7 , 7 , .... formam uma 10 100 1000 1 PG infinita de razão q = e primeiro termo 10 a1 = 7 . 10 Assim, aplicando a fórmula do limite da soma lim Sn =

a1 , obtém-se: 1–q

=x

Problema 8

lim Sn =

a1 = 1–q

7 10 1–

1 10

=

7 10 9 10

=

Determine a geratriz da dízima 1,777...

Desse modo, a geratriz de 1,777... será

O aluno deve ser convidado a decompor a dízima em uma soma:

1 + 7 = 16 . 9 9

7. 9

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Considerações sobre a avaliação Nesta Situação de Aprendizagem, abordamos dois conceitos matemáticos bem abrangentes, que foram os conceitos de continuidade e de infinito. Isso se deu a partir do trabalho com situações-problema, cujas resoluções implicavam a soma dos termos de uma PG infinita, com razão real entre –1 e 1. Não existe, de forma alguma, a pretensão de que esses conceitos sejam perfeitamente compreendidos nesta etapa de escolarização, na 1a série

do Ensino Médio. Existe, sim, a intenção de que possam ter sido apontadas relações que serão exploradas na 3a série, quando os alunos estiverem estudando o conjunto de todas as funções e as taxas de variação. Com relação aos instrumentos pensados para a avaliação dos conceitos trabalhados no período, valem, aqui, as considerações feitas na Situação de Aprendizagem anterior, a respeito da permissão ao uso de calculadoras ou à informação sobre o resultado das potências de expoentes elevados.

ORIENtAçÕES PARA RECuPERAçãO Na 1a série do Ensino Médio, os alunos, iniciando seu último ciclo de escolaridade básica, começam a tomar contato com aspectos da Matemática que exigem maior elaboração algébrica e também a mobilização de estratégias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo que os conteúdos matemáticos apresentados a eles neste momento sejam ainda de pouca dificuldade conceitual, o professor deverá estar atento para a presença de alunos que, eventualmente, não tenham conseguido completar a construção conceitual da maneira projetada. Se processos de recuperação são importantes em qualquer etapa de escolaridade, o são ainda mais agora, ao iniciar-se o Ensino Médio. Para os alunos que necessitarem de recuperação, sugerimos, em primeiro lugar, que o tipo de construção dos conceitos proposto neste Caderno não seja alterado, sobretudo no que diz respeito à identificação da regularidade da sequência e à possibilidade de traduzi-la por

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intermédio de uma equação matemática. Se não se altera a concepção, altera-se, por outro lado, a forma com que devem ser abordados os conceitos. Assim, sugerimos que o professor: f prepare e aplique listas de problemas com características mais pontuais, que explorem de forma mais lenta e gradual cada conceito; f recorra ao livro didático adotado e também a outros, selecionando problemas e agrupando-os de modo a formar listas de atividades em concordância com a proposta de construção conceitual desenvolvida neste Caderno; f forme grupos de alunos para a realização conjunta das sequências didáticas que elaborou e, se possível, convoque alunos com maior desenvoltura nos conceitos estudados para auxiliarem os grupos em recuperação.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO PROFESSOR E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA Caso o professor julgue necessário aprofundar o estudo de alguns dos temas apresentados neste Caderno, sugerimos a leitura, dentre outros, dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira de Matemática: ÁVILA, G. “As séries infinitas”. Revista do Professor de Matemática, n. 30.

CARVALHO, P. C. P. “um problema doméstico”. Revista do Professor de Matemática, n. 32. LIMA, E. L. “uma construção geométrica e a progressão geométrica”. Revista do Professor de Matemática, n. 14. VALADARES, E. e WAGNER, E. “usando geometria para somar”. Revista do Professor de Matemática, n. 39.

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conSideraçÕeS FinaiS Neste Caderno, foram apresentadas diversas situações-problema envolvendo as principais noções de sequências e de progressões aritméticas e geométricas. Foram sugeridas atividades que propiciam experiências educativas diversificadas e que entendemos como essenciais para o desenvolvimento de competências relativas a esse tema. Convém ressaltar que as expectativas de aprendizagem para o 1o bimestre da 1a série do Ensino Médio não expressam todos os conteúdos referentes ao tema do bimestre, mas apenas os aspectos considerados fundamentais, isto é, aqueles que possibilitam ao aluno continuar aprendendo, nos bimestres seguintes, sem que seu aproveitamento seja comprometido. Assim, espera-se que o aluno, ao final do bimestre, obtenha os termos de uma sequência a partir da expressão de seu termo geral e determine essa expressão a partir de seus termos. Além disso, o aluno deverá classificar uma progressão (aritmética ou geométrica), obter a expressão do termo geral e calcular a soma dos termos de uma progressão em situações diversas. Em relação às progressões geométricas, espera-se, também, que o aluno calcule o limite da soma de uma PG infinita.

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Ressalte-se que a avaliação deve fornecer informações ao estudante sobre seu desenvolvimento, a respeito de suas capacidades em utilizar as noções aprendidas em situações-problema. Por outro lado, a avaliação deve fornecer ao professor dados sobre a aprendizagem de seus alunos, para a adequação das situações apresentadas e a proposição de novas. O professor deve ter clareza sobre os critérios da avaliação e as limitações e possibilidades dos instrumentos que serão utilizados. Os instrumentos de avaliação devem, também, contemplar as explicações, justificativas e argumentações orais, uma vez que estas revelam aspectos do raciocínio que, muitas vezes, não ficam explícitos nas avaliações escritas. Para que se tenha uma ideia mais nítida das múltiplas inter-relações entre os diversos conteúdos aqui tratados, apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática de todas as séries do Ensino Médio, destacando-se com um sombreado os conteúdos de outras séries e de outros bimestres diretamente relacionados com os conteúdos apresentados neste Caderno.


Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

conTeÚdoS de MaTeMÁTica Por SÉrie/biMeSTre

4o Bimestre

3o Bimestre

2o Bimestre

1o Bimestre

do enSino MÉdio 1a série

2a série

3a série

NÚMEROS E SEQuÊNCIAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

tRIGONOMEtRIA - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

GEOMEtRIA ANALÍtICA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

FuNçÕES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função do 1o grau, função do 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MAtRIzES, DEtERMINANtES E SIStEMAS LINEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQuAçÕES ALGÉBRICAS, POLINÔMIOS, COMPLEXOS - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x - k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

FuNçÕES EXPONENCIAL E LOGARÍtMICA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - Logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANÁLISE COMBINAtÓRIA E PROBABILIDADE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

EStuDO DAS FuNçÕES - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

GEOMEtRIA-tRIGONOMEtRIA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos co-senos.

GEOMEtRIA MÉtRICA ESPACIAL - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

EStAtÍStICA - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.

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