Material de Apoio; Estatistica

Material de Apoio sobre Estatística para Sistemas de Informação (2º ano) Prof. Ms. Carlos Roberto da Silva

3. Esperança Matemática (ou valor esperado) Existem características numéricas que são importantes em uma distribuição de probabilidades de um variável aleatória discreta. São os parâmetros das distribuições.

Um primeiro parâmetro é a esperança matemática (ou simplesmente média) de uma variável aleatória.

Definição: Se X é uma variável aleatória dada por: x1 P(x1)

X P(X)

x2 P(x2)

x3 P(x3)

… …

xn P(xn)

então chama-se valor esperado da variável aleatória X ao valor numérico: E(X) =

x

i 

P(x i )

A esperança matemática é um número real. É também uma média aritmética ponderada.

Notação: E(X), μ(x), μx, μ.

Vejamos os exemplos seguintes: Exemplo 1: Uma seguradora paga R$ 30 000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de R$ 1 000,00. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado?

Resolução: Seja X: “Lucro” por carro. Fazendo uma tabela, temos: X 1 000 –29 000

P(X) 0,97 0,03 1

X  P(X) 970,00 –870,00 100,00

Portanto, E(X) = R$ 100,00. Isto é, o lucro médio por carro é de R$ 100,00.

Exemplo 2: Suponhamos que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X: número de divisores do número sorteado. Calcule o número médio divisores do número sorteado.

Resolução: X: número de divisores, logo:

Número Nº de divisores 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4 7 2 8 4 9 3 10 4

X 1 2 3 4

 P(X) 1/10 8/10 6/10 12/10 27/10 = 2,7

P(X) 1/10 4/10 2/10 3/10 1

X

Portanto, E(X) = 2,7 número médio de divisores do número sorteado.

Exemplo 3: Num jogo de dados, Alberto paga R$ 20,00 a Beto e lança 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados apenas, Alberto ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em dois dados apenas, Alberto ganha R$ 50,00, e se sair 1 nos três dados, Alberto ganha R$ 80,00. Calcule o lucro líquido médio de Alberto em uma jogada.

Resolução: Alberto

Recebe

Paga

A: apenas uma face 1 B: apenas duas faces 1 C: três faces 1 D: nenhuma face 1

20 50 80 0

20 20 20 20

Lucro Líquido (X) 0 30 60 –20

 X: –20, 0, 30, 60 Observamos que: 1 5 P(A) =  6 6 P(B) =

1 6



1 6



5 6



3=

75 216

P(C) =



5 6



3=

15 216

P(D)=

Fazendo o dispositivo prático: X –20 0 30 60  E(X) = –9,21

P(X) 125/216 75/216 15/216 1/216 1

X  P(X) –2 500/216 0 450/216 60/216 –1 990/216

1 6 5 6





1 6 5 6





1 1 = 6 216 5 6



3=

125 216

4. Variância e Desvio Padrão A mesma analogia existe entre a variância e desvio padrão de uma distribuição de frequência e a variância e desvio padrão de uma variável aleatória X. A fórmula da variância de uma distribuição de frequência representativa de uma população é dada por:

σ 2 (X) =

x  x f

2

i

 fi

i

que, pode ser escrita na forma: σ (X) = 2

x



2

 fi

n

 x

=

f    x  x   n  2

i

i

fi como p(xi) e x = μ, então a expressão pode ser escrita: n

Se considerarmos σ 2 (X) =

x

i

 μ x  p(x i ) 2

i

O desvio padrão da variável aleatória X é definido por: σ(X) =

σ 2 (X)

Notação: Var(X), V(X), σ 2 (X) , σ 2 x , σ 2 .

Vejamos os seguintes exemplos: Exemplo 1: Seja a distribuição X abaixo. Determine a média e o desvio padrão.

X 0 1 2

P(X) 1/8 6/8 1/8 1

Resolução: X 0 1 2

E(X) = 1

P(X) 1/8 6/8 1/8 1

X



P(X) 0 6/8 2/8 μx = 1

(X – μx) –1 0 1

(X – μx)2 1 0 1

σ(X) =

(X – μx)2  P(X) 1/8 0 1/8 Var(X) = 0,25

0,25 = 0,5

Exemplo 2: Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. 3 bolas são retiradas com reposição. Seja X o número de bolas brancas. Calcular E(X) e σ(X).

Resolução: P(X = 0) = P(3P) = 0,6



0,6



0,6 = 0,216

P(X = 1) = P(1B e 2P) = 0,4



0,6



0,6



3 = 0,432

P(X = 2) = P(2B e 1P) = 0,4



0,4



0,6



3 = 0,432

P(X = 3) = P(3B) = 0,4

X 0 1 2 3

E(X)=1,2 σ(X)=0,8485

P(X) 0,216 0,432 0,288 0,064 1



X

0,4





0,4 = 0,064

P(X) 0 0,432 0,576 0,192 μx =1,2

(X – μx) -1,2 -0,2 0,8 1,8 2,208

(X – μx)2 1,44 0,04 0,64 3,24

(X – μx)2  P(X) 0,31104 0,01728 0,18432 0,20736 0,72

5

Exercícios 1) Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Oferece um prêmio de R$ 150,00 para cada cliente atendido além de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de R$ 100,00 para cada cliente atendido além de 41. As probabilidades de atendimento são: nº de clientes Probabilidade

até 41 0,88

42 0,06

43 0,04

44 0,01

45 46 0,006 0,004

Qual a esperança de ganho do banco se este novo sistema for implantado?

2) As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num sábado são, respectivamente: 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas no carro? Se chegam no litoral 4 000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas, em 10 horas de contagem?

3) As probabilidades de que um aluno no período das provas tenha uma ou duas provas, no mesmo dia, são 0,70 e 0,30 respectivamente. A probabilidade de que deixe de fazer uma prova, por razões diversas, é 0,20. O tempo de duração de cada prova é de 90 minutos. Faça X o tempo total gasto por dia, que ele usa fazendo as provas. Achar em média quantas horas gasta, por dia, resolvendo as provas.

4) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é dada pela fórmula: P(X) = (0,8).(0,2)X – 1 para x = 1, 2, 3, … a) Calcular P(X) para X = 1, X = 2, X = 3, X = 4 e X = 5. b) Some as probabilidades obtidas no item a. O que você pode dizer a respeito das probabilidades para valores de x maiores que 5?

5) Um vendedor calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 20%.

Certo dia, ele contata dois possíveis clientes. Construa a tabela de distribuição de probabilidade para a variável Y: número de clientes que assinam um contrato de venda.

6) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade: X P(X)

1 0,20

2 0,25

3 ?

4 0,30

a) Encontre o valor de P(3). b) Calcule a média da distribuição. c) Calcule a variância e o desvio padrão de X.

5 0,10

6

Respostas: 1) E(X) = 7,30 2) 3,15 pessoas; 126 000 pessoas 3) E(X) = 93,6  1h 34 4a) X P(X)

1 0,8

2 0,16

3 0,032

4 0,0064

5 0,00128

b) A soma das probabilidades é 0,99968. Logo, as probabilidades para valores maiores que 5 são próximas de zero.

5) Y P(Y) 6a) 0,15

0 0,64

1 0,32

2 0,04 b) E(X) = 2,85

c) Var(X) = 1,7275 e σ(X) = 1,31