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Divisibilidade por sete ou por qualquer número primo acima de sete As regras de divisibilidade por 7 são, em geral, complicadas a ponto de muitos dizerem que é mais fácil fazer a divisão do que decorar qualquer delas. Foi pensando nisso que elaborei um algoritmo para que os alunos pudessem verificar a divisibilidade por 7 com maior facilidade. Espero que o processo aqui apresentado também facilite uma maior compreensão da lógica matemática que é cada vez mais utilizada em sala de aula e na vida prática.

Vou expor o método por meio de alguns exemplos: Exemplo 1 O número 3 672 é divisível por 7? 1.º passo: subtraímos do número o primeiro múltiplo de 7 que termina com o mesmo algarismo, no caso, 2.

3 672 – 42 = 3 630 2.º passo: esquecemos o zero, pois um número terminado em zero é divisível por

7 se e somente se sem o zero ele também for (eliminando zeros estamos dividindo por potências de 10, logo eliminando apenas os fatores primos 2 e 5). Consideramos o 363. Agora repetimos os dois passos descritos até chegar a um número com um ou dois algarismos:

363 – 63 = 300 Consideramos o 3. Como 3 não é divisível por 7,então o número 3 672 também não é.


Exemplo 2 O número 56 924 é divisível por 7?

56 924 – 14 = 56 910 5 691 – 21 = 5 670 567 – 7 = 56 56 é divisível por 7, logo 56 924 também é. 1.º passo: subtraímos do número o primeiro múltiplo de 7 que termina com o mesmo algarismo, no caso, 2.

3 672 – 42 = 3630

Demonstração Se um número x é divisível por sete, então ele é uma soma de vários setes.

x  7 7  ... 7    n vezes

x  7.n

Ao subtrair um múltiplo de 7, se retira parte do número, interferindo desta maneira no valor do número, mas não na sua divisibilidade por 7.

E um número terminado em zero(s) só é divisível por 7 se, após retirar o zero(s), o número que sobrar também o for:

49  7  7 se

49  100

então

ou

490  7  70

, ou ainda 4900  7  700

49  101 ou 49  102 são divisíveis por sete


então

49  10 m , m N , também é!

Com relação ao 2.º exemplo, observe:

56924  7 7  ... 7  7 ... 7 7 ... 7   7... 7 0    77  7 7 7  8132 vezes

primeira retirada 2 vezes

segunda retirada 30 vezes

terceira retirada 100 vezes

56103 , 56 número divisível , 8000 vezes

56924  7  n  2  7  30  7  100  7  8000  7   7  2  30  100  8000  7  8132

O mesmo raciocínio serve para qualquer número primo acima de sete.

Professor Especialista José Sérgio Ramos


Divisibilidade por sete ou por qualquer número primo acima de sete