κεφάλσιο δεύτερο
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ
2.1
xoEIR
Γενικά
Σ το κ εφ ά λ αιο α υτ ό ορίζουμ ε την έννοια το υ ο ρ ί ου σ υν άρτησης και μ ε λετάμ ε
ο ρ ι σ μ ένε ς από τις ιδιότητε ς του. Η έ νν ο ι α το υ ορίο υ είν α ι θεμελιώδη ς για την Α νάλυση, γιατί πολλέ ς από τι ς βασικ έ ς έν ν ο ιε ς των Μαθηματικών, τη ς Φ υσική ξ α λλ ά και άλλω ν επ ι σ τ η μ ώ ν μόνο μ ε τη βοήθει ά το υ μπορο ύ ν να οριστούν και να κατανοηθούν. Στις προηγούμεν ε ς τά ξει ς εί χαμε μια πρώτη προσ έγ γιση τη ς έννοια ς το υ ορίου . Έννοιε ς όπω ς η στιγμιαία τα χ ύτητ α , το ά θ ρ οισμα απείρων όρων γεωμετρική ς
προόδου με λόγο λ, ΙλΙ
e =2,71 ...
<Ι,
η δύναμη α', μ ε α >0 και τ άρρητο και ο αριθμός
ο ρ ί σ τ η κ αν ως όρια συναρτήσεων ή ακολουθιών.
Στην παράγραφο αυτή , με απ λά α λ λά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα και
με τη βοήθεια της γεωμετρική;εποπτείας, θα επιχειρήσουμε μια κα λύτερη προ σ έγγιση της σημαντική; αυτής έννοιας, ώστε να γίνει κατανοητός ο αυστηρός μαθηματικόξ ορισμός , πο υ θ α δοθεί στην ε πό μενη π α ρ άγραφο .
•
Θεωρούμ ε τη συνάρτηση
f
'3
(χ + , (χ) = 1 + συνκ , 2
Υ
αν χ < Ο
αν x~O
με γ ρ α φ ι κ ή παράσταση που φαίνετ αι στο σχήμα (Ι).
Παρατηρούμ ε ότι:
Καθώς το Χ , κινούμενο με όποιον δήποτε τρόπο
πάνω
στον άξονα
χ' Χ, πλησιάζει το σημείο
~
το
,
... f =. 1 ι
f(χ -
f(x)
κινούμενο πάνω στον άξονα
Υ'Υ, πλησιάζει τον πραγματικό α ριθμό
1.
ο
Ι
---1-, Ι
-- -
Ο'Γ
Ι
ι
- .ι-
Ι
X --Π
"2
-
ί
~· - · · Χ
π
χ
Σχ . 1
45