Sociedade Brasileira de Matemática
D 2 = cos 6 x + i sen 6 x D 3 = cos 9 x + i sen 9 x D n = cos 3nx + i sen 3nx 1 −n n n D 2 .D 2 D 2 − D 2 ⇒ S D = D + D 2 + D3 + … + D n = −1 12 D − D 2 (3n + 1) x (3n + 1) x + i sen cos 3nx 2 2 ⇒ SD = ⋅ sen 3x 2 sen 2
(18)
Tomando-se a parte imaginária da relação (18) tem-se que
(3n + 1) x 3nx ⋅ sen sen 2 2 sen 3kx = ∑ 3x k =1 sen 2 n
(19)
Logo, por (6) e (19) teremos que
(n + 1) x (3n + 1) x 3nx nx 3 sen ⋅ sen sen ⋅ sen 1 2 2 2 2 − S1 = ∑ sen 3 kx = 3x x 4 k =1 sen sen 2 2 n
Vale lembrar que a soma S =
(20)
n
∑ sen 3kx k =1
observando-se as igualdades a seguir, isto é
EUREKA! N°33, 2011
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também poderá ser calculada