Sociedade Brasileira de Matemática
Somando-se todas as linhas acima tem-se que sen(2n + 1) x − sen x = 2 sen x ⋅ S´
∴ S´=
sen nx. cos(n + 1) x , que é exatamente o valor encontrado da parte real do sen x
somatório dado por (10).
1 1 + cos 2 x 2 2 n 1 1 cos(n + 1) x. sen nx ⇒ S 2 = ∑ cos 2 jx = [n + S´] = n + 2 2 sen x j =1
Observando-se (9) e que cos 2 x =
(13)
que resolve o problema do cálculo de S 2 . PROBLEMA 3: Considere a seguir o problema do cálculo das somas dadas por n
n
k =1
k =1
S1 = ∑ sen 3 kx e S 2 = ∑ cos 3 kx . Seja C = cosx + isenx. Sendo C ± K = cos kx ± i sen kx pode-se escrever que
C k + C −k 2 k C − C −k sen kx = 2i cos kx =
Elevando-se
(14) (15)
a
relação 3
(
(15)
) (
ao
)
cubo
tem-se
que
C −C C −C −3 C −C = sen 3 kx = 2i − 8i 3 sen kx − sen 3kx (16) ⇒ sen 3 kx = 4 n n 1 n (17) ∴ S1 = ∑ sen 3 kx = 3∑ sen kx − ∑ sen 3kx 4 k =1 k =1 k =1 nx (n + 1) x sen ⋅ sen n 2 2 e observando-se que se Por (6) tem-se que ∑ sen kx = x k =1 sen 2 D = cos 3 x + i sen 3 x teremos que: k
−k
3k
−3 k
EUREKA! N°33, 2011
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k
−k