Sociedade Brasileira de Matemática
Demonstração: Suponha que o conjunto dos números primos seja finito, digamos { p1, p2,…, pn}. Nesse caso, o número N = p1p2…pn +1 seria maior que todos os primos, mas não divisível por nenhum deles, pois pi( p1p2…pn + 1) ⇒ pi 1, absurdo. Teríamos então um natural N > 2 que não seria múltiplo de nenhum primo, contradizendo o teorema fundamental da aritmética ❏ Obs.: As idéias desta seção podem ser utilizadas em situações mais gerais, como no estudo de polinômios (por exemplo com coeficientes racionais), onde existe um algoritmo de divisão, a partir do qual pode-se provar de modo análogo resultados correspondentes aos aqui apresentados sobre máximo divisor comum, existência e unicidade de fatoração.
Seção 2: Congruências Definição: Sejam a, b, n ∈ Z, n > 0. Dizemos que a é congruente a b (módulo n) (denota-se a ≡ b (módulo n)) se n(b – a) Obs: a ≡ a (módulo n), a ≡ b (módulo n) ⇔ b ≡ a (módulo n), a ≡ b (módulo n), b ≡ c (módulo n) ⇒ a ≡ c (módulo n), ou seja, congruência (módulo n) é uma relação de equivalência. Proposição: Se a ≡ b (módulo n) e c ≡ d (módulo n) então a + c ≡ b + d (módulo n) e ac ≡ bd (módulo n). Demonstração: n(b – a), n (d – c) ⇒ n (b + d) – (a + c) ⇒ (a + c) ≡ (b + d) (módulo n), e bd – ac = b(d – c) + ((b – a) ⇒ n(bd – ac) ⇒ bd ≡ ac (módulo n) ❏ Definição: Dados n, a ∈ Z n > 0, definimos a =a (módulo n) = = {k ∈ Zk ≡ a (módulo n)}. Dados a, b ∈ Z definimos a +b = a + b ea ⋅b = ab ( estas operações de soma e produto estão bem definidas pela proposição anterior). Definimos ainda Z/nZ = {a (módulo n), a ∈ Z}={0, 1, 2,… n − 1 }. Cada a é chamada uma classe de congruência módulo n.
EUREKA! N° 2, 1998
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