------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες
--------
Το πλήθος των κανονικών εξαγώνων Tn_2 είναι: mn -2 = 3(n - n + 2)(n - n + 3) + 1 = 3 . 2 · 3 + 1 . Το πλήθος των κανονικών εξαγώνων 1',_ 1 είναι: mn-ι = 3(n - n + 1 )(n - n + 2) + 1 = 3 · 1 · 2 + 1 = 7 (Σχήμα 3). Το πλήθος των κανονικών εξαγώνων Tn είναι: mn = 3( n - n )( n - n + 1) + 1 = 3 · Ο · 1 + 1 = 1 . Στη συνέχεια, με τον όρο "εγγράφεται", εννοούμε ότι: υπάρχει κανονικό εξάγωνο, που οι κορυφές του βρίσκονται στις πλευρές του κανονικού εξαγώνου Υ: και είναι κορυφές ισοπλεύρων τριγώνων. Στο κανονικό εξάγωνο 1Ί δεν "εγγράφεται" κανονικό εξάγωνο (Σχήμα 2). Στο κανονικό εξάγωνο τ; "εγγράφεται" 1 κανονικό εξάγωνο (Σχήμα 2). Στο κανονικό εξάγωνο τ; "εγγράφονται" ί - 1 κανονικά εξάγωνα.
.
Τελικά ο αριθμός των κανονικών εξαγώνων θα είναι: Ν = 1 · mι + 2 · m2 + 3 · m + . + (n - 1) · mn - ! + n · mn . 3
·
Σχήμα 3 Ο τυχόν όρος
Άρα έχουμε
ί · m; , του παραπάνω αθροίσματος, γράφεται: ί · mi = ί(3(n - ί)(n - ί + 1) + 1 ) = 3ί(n - ί)(n - ί + 1 ) + ί n
Ν = Σ (3ί(n - ί)(n - ί + 1) + ί) i=!
και χρησιμοποιώντας τα γνωστά αθροίσματα: + 1)(2n + 1) και + 1) ί = n(n , ί 2 = n(n 6 2 i=! i=! καταλήγουμε στη σχέση:
Ι
Σ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 93 τ.l/20
Σί i=l
3
(
)
1) 2 = n(n + ' 2