Μαθηματικοί Δtαyωvισμοi Μαθηματικές Ολυμπιάδες
Ε.Μ.Ε.
Προκριματικός διαγωνισμός 2014 12 Απριλίου 2014 Πρόβλημα 1
Έστω ( xn ) , n � 1 , μια ακολουθία πραγματικών αριθμών με χ1 αναδρομική σχέση
2xn+l
=3 xn + �sx; - 4 .
=1, που ικανοποιεί την
(α) Να αποδειχθεί ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι φυσικοί αριθμοί. (β) Να εξετασθεί αν υπάρχει όρος της ακολουθίας που να διαιρείται με το 2011. (Σ. Μπραζιτίκος) Λύση
Από τη δοθείσα αναδρομική σχέση παίρνουμε ότι
(2χn+ι - 3xn)2 =5 χ; - 4�4χ;+ι -12xn+ιxn + 4χ; =-4 � χ;+ι - 3xn+ιxn + χ; =-1 (1 ). Αν τώρα γράψουμε τη τελευταία για n το n + 1 παίρνουμε χ;+2 - 3xn+2xn+Ι + χ;+Ι =-1 (2). Θεωρούμε τώρα τη δευτεροβάθμια εξίσωση: χ 2 - 3χ χn+ι + χ;+ι + 1 =Ο. Λόγω των (1 ) και (2), αυτή η δευτεροβάθμια έχει λύσεις τα xn , xn+2 , οπότε από τους τύπους του Vieta παίρνουμε: και (3) (4). Γράφοντας τη σχέση (3) ως xn+2 =3χn+Ι - xn και αφού οι πρώτοι δύο όροι χ1 =1 και χ2 =2 είναι ·
ακέραιοι, επαγωγικά βλέπουμε ότι όλοι θα πρέπει να είναι ακέραιοι. Για το δεύτερο σκέλος του ερωτήματος, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας , έστω ο xs , έτσι ώστε: 20111 xs. Τότε η σχέση (4) για n=s, δίνει xsxs+2 =χ;+ι + 1 . Αφού οι όροι είναι ακέραιοι και 20111 xs , θα έχουμε ότι:
20lllx;+l +1�χ;+Ι Ξ-1(mod20ll)� ( χ;+1)1005 Ξ (-1)1005 Ξ -1(mod2011) � χ;��Ο Ξ-1(mod2011) (5) Όμως ο 2011 είναι πρώτος και (xs+I'2011)=1 . Πράγματι, αν (xs+l'2011) =d >1' τότε
dlxs+l'dl2011 � dlxs+l' dlxs, αφού 2011lxs' οπότε από τη σχέση xsxs+2 =x;+l + 1 προκύπτει
ότι dl1 , άτοπο. Επομένως, από το θεώρημα Fennat θα έχουμε ότι: χ;��ο 1(mod2011) , (6) η οποία έρχεται σε αντίφαση με τη σχέση (5) Επομένως, δεν υπάρχει όρος της ακολουθίας που να διαιρείται με 2011 . Ξ
Σ η μ είωση . Πρέπει να παρατηρήσει κανείς ότι δε μπορεί να μιλήσει για διαιρετότητα στη σχέdη (2), γιατί δε νω γ ρίζουμε αν όλοι οι όροι είναι ακέραιοι ή όχι. Επομένως για το 2° σκέλος της απάντησης απαιτείται το ]0 Πρόβλη μ α 2 •
Βρείτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν την ισότητα Λύση
(Ρ( χ ) Υ+ 3(Ρ( χ) )2 =Ρ( χ3 } - 3Ρ( -χ) ,
(1) για κάθε χ ε JR.
(Α. Φελλούρης)
Έστω ότι deg Ρ(χ)=Ο, οπότε Ρ (χ)=α * Ο. Τότε από τη σχέση ( 1) προκύπτει ότι: α3 + 3α2 =α- 3α <=> α3 + 3α2 + 2α=Ο<=> α=-1 ή α=-ο--2. Άρα τα σταθερά πολυώνυ μα Ρ(χ)=-1 και Ρ(χ)=-2 είναι λύσεις του προβλήματος. Έστω degP(x)=n > Ο. Τότε το πολυώνυμο Ρ(χ) μπορεί να γραφεί στη μορφή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 93 τ.l/9