Μαθηματικά -yια την Γ' Λvκdου
να ανοζητηθείμεταξύ των τμημάτων ΑΒ που είναι κάθετα στην πρώτη διχοτόμο. Εκrός και αν αποδείξουμε ότι ΜΝ
�1Β1 για κάθε Μεπί της C1και Νεπίτης CΓ, .
h
(�} h(O)< h(α)- h (%) =>2h( % )<h(O) +h(α). Το
ίσον ισχύει για α=Ο. Δ. Θα δείξουμε αρχικά ότι : αν για τις συνεχείς συ ναρτήσεις στο διάστημα Δ=[α,β] ισχύει: f(x) για κάθε χeΔ και f(Xo) :;tg(Xo) για κάποιο :Sg(x) χσe [α,β], τότε < Πράγματι για τη συνεχή συνάρτηση h(x)=g(x)-f(x), έχουμε h(x)� στο Δ και h(Xo):;tO, οπότε >0=> Εξάλλου f(lnψ)= eιnψ =ψ, για κάθε ψ>Ο. Σύμφωνα με τα παραπάνω έχου με: Για κάθε π 1 π , επο ως xe[O, - ], ημχ:Sχ και ημ -π = -:;tμέν 6 2 6 2 Ι < Γ. χ · ημχ · συνχ dx = Γ. ημχ · συνχ dx = ο ημ2χ + ι ο χ (ημ2χ + ι)
f,g
J: f(x)dx J: g(x)dx.
L--------------------------
Ανοικτό πρόβλημα!
J x j tj +t2tf+(1j tj )dt = x 2 t= + J xΧ tf (l tl )dt = J x � J xΧ � t t2 + 1 t = Jro � +1 t +1 +1 (t2 + ι ) •dt = [In (t2 + ι )]χ = ln(x2+ 1) = = Jr x o t2 + 1 tf{ tj =fι(χ2+ 1), αφού η συνάρτηση j ) είναι περιτ t2 + 1 l tl άρτια. τη,' και η -t2 + 1 Γ.α) •
lος
τρ όπος:
t2
•
h(x) =
•Χ
·Χ
t2
ο
rι; τρόπος: Η
συνάρτηση h, είναι παραγωγίσιμη και μάλιστα h'(x)= =(f - ι(χ2+ 1)) ', οπότε χ +1 h(x)= ! ι(χ2+ 1)+c . h(O)= r-ι (02+ 1) = Ο= c 2 1-x l+χ Γ. α) Για κάθε χ>Ο, h (χ)= χ2 + 1 2 h"(x)>O<:>O<x<l και h"(χ)<Ο<:>χ> l . 'Αρα έχει μοναδικό σημείο καμπής το M{l , ln2). Η εφαπτομένη της Ch στο Μ είναι η (ε): ψ=x+ ln2-1 που τέμνει τους άξονες στα σημεία A(l-ln2,0) και Β{Ο, ln2-1). Άρα E=(OAB)= x A · Ψ s l = jx A Ψs l = 1 - In 2 2 ·
�
,
�I
II
{ )( ) ( )
�
�(
)
�
Όμως: 1 <2<e=>O<ln2<lne=>O<ln2< 1 => e l -. O<l-ln2<1=>(1-ln2)2<1-ln2= ln-e =>E< -1 hι-= n 2 2 2 2 β) Η h ικανοποιεί το ΘΜΤ στα [0, � ],[ � ,α], ο2 2 α πότε υπάρχουν χ ι e{O, - ), x2 e( -α ,α) τέτοια ώστε: 2 2
h ,(χι)=
h (�) -h(O) , , h (χ2) α
h(α) - h
( %)
α � 2 2 χ ι < χ2=> h'(χ ι )< h'(x2) (h κυρτή στο [0,1])=> = ----->
J:h(x)dx
J: g(x)dx> J: f(x)dx .
π
π
= fϊ ημχ+ ( ημχ) 'dχ = }ηrημ 2 _ Ψ_ dψ = ο ημ2χ 1 μ ο ψ2 + 1 . + 2 ( ) 1 dx = [ In ( ψ2 + 1 ) 1 =.!.ln 2 = In.J2 =!J• Ψ 2 ο Ψ2 + ι 2 π
π
]
ο
Β ' τρόπος (Χωρίς αλλαγή μεταβλητής)
f!!. ημχ · συνχ dx --ι !!. (ημ2χ + 1 ). dx 2 η μ2χ + l 2 Jο2 ημ2χ + ι ι (ημ2χ + 1)J : = ι m2 = In.J2 . =2[1η 2 Στα ολοκληρώματα της μορφής J: _
_
ο
π
:��)
•
ιΙχ
εν
δείκνυται αρχικά να ελέγχουμε μήπως χ = c · χ , όπου c σταθερά 2χ + 3 π.χ. Στο Ι = Q εφ έχουμε: εφχ + 2χ 1 - + 2 1 + εφ2χ + 2 = εφ2χ + 3, ( εφχ + 2χ ' --
g'( ) f{ ) π
)
dx
4
συν 2 χ " οπότε: ι = Jl (εφχ + 2χ)' dx = [ 1n ( εφχ + 2χ)]! = ... εφχ + 2χ 4 =
=
π
4
Άσκηση 4η Α. Να βρεθούν οι παραγωΎfσιμες συναρτήσεις
f, g έτσι ώστεf(χ)=Ιn(g(χ)+χ) (1) 1 - (2) ,g(x) > Ο ,g(x) + χ > Ο , και f'(x) g(x) για κάθε χ IR και g(O)=l. Β. Αν f(x)=ln(.Jx2 + 1 + χ) ,g(x) .Jx2 + 1 στο (Ο, +οο ) να λυθεί η aνίσωση f(x2 + 2) + f(2x) > f(x2) + f(2x + 2) (3) .
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 92 τ.4/52
=
e
=
τότε