------
Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου
-------
βy (ΑΕΔ) 2 · 2 β.y = = ΑΔΒ έχουν Β=Γ=30°' οπότε (ΜΕΔ) α α α2 · 2"2 ίί. Έστω ΝΚ το ύψος του τριγώνου ΑΝΒ. Τα τρί γωνα ΜΝΚ και ΜΒΓ είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και έχουν ΝΜΚ = ΓΜΒ σαν κατακορυ1 ΝΚ ΜΝ ' Άρα , = -- � ΝΚ = - α . Οποτε φην. ΒΓ ΜΓ 5 α ΑΒ . ΝΚ α · -5 � _!_ = - = = (ΑΒΓΔ) (ΑΒΝ) 2 10 10 2 2 . Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΔ=6 και ---
-
2
ΑΒ=8. Η κάθετη από το Α στη ΒΔ τέμνει την ΒΔ στο Ε και την ΓΔ στο Ζ. ί . Να βρείτε τα μήκη των ΔΕ και ΔΒ ii. Να υπολογίσετε το ΔΖ.
Απόδ ειξη : ί. Από Π.Θ στο ΑΒΔ έχω 2 ΒΔ =ΑΒ2+ΑΔ2=>ΒΔ=10. Επίσης ΔΕ.ΔΒ=ΔΑ2=>ΔΕ. 1 0=36=>ΔΕ=3,6 ίί. Από θεώρημα τεμνουσών έχουμε ΔΕ · ΔΒ=ΔΖ · ΔΓ=>3,6 · 10=ΔΖ · 8=>ΔΖ=4,5 · ------
u
Για να είναι (ΑΕΔ)�(ΜΔΕ), αρκεί επομένως α22:β -γ. Όμως έχω α2=β2η2-2βyσυν60=β2η2-βy . Άρα αρκεί β2+γ2-βy2:βy, ή (β-y)22:0 που ισχύει. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α =90°. Αν ΑΔ το
ύψος του και Ε το εμβαδόν του κύκλου κέντρου Α και ακτίνας ΑΔ, να δείξετε ότι Απ ο' δ ειξη :
,
Αρκει
_Ε_ � π .
(ΑΒΓ)
π ·ΑΔ2 β- � π , Υ
�- .
β η, υα2 y 2
2 Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο ΑΒΓ ισχύει η 1 1 1 ' αρκει = ---z + ---z , δη λαδη υα = +y οποτε y υα β Υ βy ή + Υ 2: 2βy, ή 2: 0, που ισχύει +y 2,
-2 �β 2 ·� �
'
β2
2 ββ22-. 22 ( β-y)2 -
-
'
'
�
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α =60° και Μ το μέσον της ΒΓ. Επίσης ΒΔ, ΓΕ τα ύψη του. ΒΓ Να δείξετε ότι: ί. ΜΔ=ΜΕ= 2 ίί. Το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισόπλευρο iii. (ΑΕΔ)S(ΔΕΜ) Απόδειξη : ί.
Οι ΜΔ, ΜΕ είναι διάμεσοι που αντιστοιχούν στην υποτείνουσα στα ορθογώνια ΒΓ ΒΔΓ, ΒΕΓ αντίστοιχα άρα ΜΔ=ΜΕ= 2 ΒΓ ii. Επειδή ΜΒ=ΜΕ=ΜΔ=ΜΓ= ο κύκλος κέ2 ντρου Μ και ακτίνας R= Β Γ διέρχεται από τα Β,
5.
Οι χορδές AB=R J3 και ΓΔ=R τέμνονται σε σημείο Ρ εκτός του κύκλου με γωνία 30°. Αν ΟΡ=2 .J7 , να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.
BrA = 60° γιατί AB=R .J3 =Ι=λ3 • Επίσης ΓΑΔ = 30° = ΓΒΔ γιατί ΓΔ=R=�, και αν ...-. χ ..-.. ΒΔ =χ τότε ΒΑΔ=- =ΒΓΔ . Στο ΑΓΡ έχω 2
Απόδειξη :
-
-
..-....
2
Δ, Ε, Γ. Η γωνία .ΑΪΈ =30° και είναι εγγεγραμμέ νη στον παραπάνω κύκλο. Άρα η αντίστοιχη επίκεντρη ΔΜΕ =2.30°=60°. Άρα το ισοσκελές τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισόπλευρο. ( ΑΕΔ) Α=Μ=6οο ΑΕ·ΑΔ ίίί. = Τα ορθογώνια ΑΓΕ, ΜΕ.ΜΔ ( ΜΕΔ ) -
Από δύναμη σημείου Ρ: ΔPTP=OP2-R2-2R· 3R= =(2 .J7 )2-R2=> 7R2=28=>R=2.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 92 τ.4/38