------ Ομοιότητα
------
ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ = ΑΒ + ΒΓ +ΓΑ = λ (ο λόγοc_ των περιμέτρων δύο ομοίων Α'Β' Β'Γ ΓΑ ' Α'Β' + Β 'Γ+ΓΑ ' τριγώνων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας). 2) (���') = λ 2 (ο λσyος των εμβαδών δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας). Τέλος μια σημαντική παρατήρηση είναι η εξής: τα κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. π.χ. όλα τα κανονικά πεντάγωνα μεταξύ τους, οι γωνίες τους είναι 108°. 1)
•
•
•
•
•
Ασκήσεις στα όμοια τρίγωνα 1°) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Πάνω στην πλευρά ΑΒ αρίζουμε ένα σημείο Δ, τέτοιο ώστε AΔ=6cm και
ΑΔ
=
� ΑΒ . Από το Δ φέρνουμε παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την
5 πλευρά ΑΓ στο Ε. (Δηλ. ΔΕ/ΙΒΓ). Εάν ΕΓ= 7cm, να υπολογίσετε: α) την πλευρά ΑΕ του τργ. ΑΔΕ και τις πλευρές ΑΒ , ΑΓ του τριγ. ΑΒΓ. β) Μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η τιμή των πλευρών ΔΕ και ΒΓ.
γ) Να υπολογιστούν οι λόγοι i) (ΑΑΔΕ) ( ΒΓ ) Λύση .
και ii)
( ΑΔΕ) (ΔΕΓΒ )
Α
ΔΕΙIΒΓ
,ΑΔ=βcm
Γ Β .________________�
3 · ΑΒ ή 3·ΑΒ = 30 ή ΑΒ = l Ocm. Επειδή ΑΔ = �ΑΒ ή 6 =�ΑΒ ή 6 = 5 5 5 ΑΕ = ΑΔ ή ΑΕ = � ή 4 . ΑΕ = 42 ή ΑΕ = 10, 5cm . Συνεπώς ΑΓ=10,5+7= 17,5cm. ΕΓ ΔΒ 7 4 β) Από τριγωνική σχέση στο τριγ. ΑΔΕ είναι: ΑΕ-ΑΔ<ΔΕ<ΑΕ+ΑΔ ή 10,5 - 6<ΔΕ<10,5+6 ή 4,5cm<ΔE<16,5cm , ομοίως στο τριγ. ΑΒΓ είναι ΑΓ-ΑΒ<ΒΓ<ΑΓ+ΑΒ ή 17,5-10<ΒΓ<17,5+10 ή 7,5cm<BΓ<27 . 5cm. ΑΔΕ ΑΔΕ ) ( ΑΔ )2 η, ( ΑΔΕ ) = ( 3 )2 = 9 )γ ι.) (( ΑΒΓ)) = λ2 η, ( ΑΒΓ ( ) ΑΒ ( ΑΒΓ ) S 25 α)
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 86 τ.2/29